mecmatcap4 flexion pura

8/16/2019 MecMatCap4 Flexion Pura

1/46

MECHANICS OF

MATERIALS

Third Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CHAPTER

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4Flexión Pura


2/46


MECHANICS OF MATERIALSh i r d

E d i t i on

Beer • Johnston • DeWolf

4 - 2

Flexión Pura (Pág. 182)

Pure Bending

Other Loading Types

Symmetric Member in Pure Bending

Bending Deformations

Strain Due to Bending

Beam Section Properties

Properties of American Standard Shapes

Deformations in a Transverse Cross SectionSample Problem 4.2

Bendin

g of Members Made of Several Materials

Example 4.03

Reinforced Concrete Beams

Sample Problem 4.4Stress Concentrations

Plastic Deformations

Members Made of an Elastoplastic Material

Example 4.03

Reinforced Concrete Beams

Sample Problem 4.4

Stress Concentrations

Plastic Deformations

Members Made of an Elastoplastic Material

Plastic Deformations of Members With a

Single

Plane of S...Residual Stresses

Example 4.05, 4.06

Eccentric Axial Loading in a Plane of Symmetry

Example 4.07

Sample Problem 4.8

Unsymmetric BendingExample 4.08

General Case of Eccentric Axial Loading


3/46



E d i t i on


4 - 3

Flexión Pura (Pág. 182)

Flexión Pura: Miembros prismáticossometidos a cargas iguales y opuestasactuando en el mismo plano

longitudinal.

MECHANICS OF MATERIALS


4/46



E d i t i on


4 - 4

Otros tipos de Cargas (Pág. 182-183)

•

Principio de Superposición: La tensiónnormal debido a la flexión pura se puedecombinar con el esfuerzo normal debidoa la carga axial y la tensión del cortante

para encontrar el complete estado deesfuerzo.

•

Carga Excéntrica: Carga axial que no pasa por el centroide produce fuerzasinternas equivalentes a una fuerza axialy a un par.

•

Carga Transversal: Concentrada odistribuida la carga transversal producefuerzas internas equivalentes a unafuerza cortante y a un par.

MECHANICS OF MATERIALSE


5/46



E d i t i on


4 - 5

Elemento simétrico sometido a Flexión Pura (Pág. 185)

M dA y M

dA z M

dAF

x z

x y

x x

0

0

• Estos requisitos pueden aplicarse a las sumas de los

componentes y los momentos de las fuerzas internaselementales estáticamente indeterminadas.

• Las fuerzas internas en cualquiera sección transversal de unelemento simétrico en flexión pura son equivalentes a un par.

El momento de dicho par se conoce como MomentoFlexionante

• Por Estática, un par M consiste de dos fuerzas igualesy opuestas.

• La suma de los componentes de las fuerzas en

cualquier dirección es cero.• El momento es el mismo sobre cualquier eje

perpendicular al plano de la par y cero sobrecualquier eje contenida en el plano.



6/46



E d i t i on


4 - 6

Deformaciones debido a flexión pura (Pág. 185-186)

Deformaciones en un elemento simétrico

sometido a flexión pura:• El elemento debe de ser simétrico.

• Curvas uniformemente para formar un arco circular

• Plano transversal atraviesa el centro del arco y

permanece plana.

• Longitud de superior disminuye y la longitud defondo aumenta.

• Una superficie neutral debe existir, es paralela a las

superficies superiores e inferiores y no cambia lalongitud.

• La deformación y el esfuerzo sonnegativos (compresión) bajo el eje neutro son

positivo (tensión).



7/46© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.


E d i t i on


4 - 7

Tensión debido a la flexión (Pág. 185-186)

Consideremos un segmento de viga de longitud L.

Después de la deformación, la longitud de lasuperficie neutral permanece a la misma longitud L.En otras secciones,

m x

m

m

x

c

y

c ρc

y y

L

y y L L y L

or

(Deformación varíalinealmente)





E d i t i on


4 - 8

Tensión debida a la flexión (Pág. 188)

• Para un material elástico lineal,

m

m x x

c

y

E c y E

• Por el equilibrio estático,

dA yc

dAc ydAF

m

m x x

0

0

Primer momento con respecto al

plano neutro es cero. Por lo tanto, lasuperficie neutral debe pasar por elcentroide de la sección.

•

Por el equilibrio estático,

I

My

c

y

S M

I Mc

c

I dA y

c M

dAc

y ydA y M

x

m x

m

mm

m x

ngSubstituti

2

(Esfuerzo varía linealmente)





E d i t i on


4 - 9

Propiedades de las sección transversal de las vigas (Pág. 189)

• La tensión normal máxima debido a la flexión,

modulussection

inertiaof momentsection

c

I S

I

S

M

I

Mc

m

Una sección de la viga con un módulo de la sección

más grande tendrá una menor tensión máxima• Considere una viga se sección transversal rectangular,

Ahbhh

bh

c

I S 6

12

61

3

121

2

Entre dos vigas con la misma área seccionaltransversal, la viga con la mayor profundidadserá más eficaz en la resistencia de flexión.

• Vigas de acero estructurales están diseñadas para tener un módulo de gran sección.





E d i t i on


4 - 10

Propiedades de perfiles laminados de acero (A-15…)





E d i t i on


4 - 11

Deformaciones en una sección transversal (Pág. 191)

• Deformación debido a la flexión momento M escuantificada por la curvatura de la superficie neutral

EI

M

I

Mc

Ec Eccmm

11

•

Aunque los planos de sección transversal permanecen planas cuando es sometido a momentos de flexión, lasdeformaciones en el plano son distintos de cero,

y y x z x y

• Expansión por encima de la superficie neutra y contraccióndebajo de él causa una curvatura en el plano,

1

Curvatura anticlástica





E d i t i on


Beer 6ta Ed. pág.224

4 - 12





E d i t i on


4 - 13

MECHANICS OF MATERIALS

E



MECHANICS OF MATERIALShi r d

E d i t i on


4 - 14

MECHANICS OF MATERIALSh

E




Edi t i on


4 - 15


E d




Edi t i on


4 - 16

Problema modelo 4.2 (Pág. 193)

Una sección de una máquina de hierrocolado se somete a un par de 3 kN-m.Si E = 165 GPa y se desprecia el efectode los filetes, determine (a) losesfuerzos máximos de tensión ycompresión en el elemento fundido, (b)su radio de curvatura.

SOLUCIÓN:

•

Basado en la geometría de la seccióntransversal, calcular la ubicación delcentroide de la sección y momento deinercia.

2d A I I

A

A yY x

• Aplicar la fórmula de flexión elástica para encontrar las tensiones detracción y compresión máximas.

I

Mcm

• Calcular la curvatura

EI

M

1


E d




Edi t i on


4 - 17

Problema modelo 4.2 (Pág. 193)

SOLUCIÓN:

Basado en la geometría de la seccióntransversal, calcular la ubicación del centroidede la sección y momento de inercia.

mm383000

10114 3

A

A yY

33

3

32

101143000104220120030402

109050180090201

mm,mm,mmArea,

A y A

A y y

49-3

2312123

121

231212

m10868mm10868

18120040301218002090

I

d Abhd A I I x


E d




di t i on


4 - 18

Problema modelo 4.2 (Pág. 193)• Aplicar la fórmula de flexión elástica para

encontrar las tensiones de tracción y compresión

máximas.

49

49

mm10868

m038.0mkN3

mm10868

m022.0mkN3

I

c M

I

c M

I

Mc

B B

A A

m

MPa0.76 A

MPa3.131 B

• Calcular la curvatura

49- m10868GPa165

mkN3

1

EI

M

m7.47

m1095.201 1-3


E d




di t i on


4 - 19

Flexión de elementos hechos de varios materiales (Pág. 198)

• Considere una viga compuesta formada dedos materiales con E 1 y E 2.

• La deformación normal es lineal.

y x

• Por trozos variación lineal tensión normal.

y E E y E E x x 222111

Eje neutro no pasa por el centroide dela sección de la sección compuesta.

• Son fuerzas elementales en la sección

dA y E dAdF dA y E dAdF

2221

11

1

2112

E

E ndAn

y E dA

ynE dF

• Definir una sección transformada tal que

x x

x

n

I

My

21


E d




di t i on


4 - 20

Una barra obtenida uniendo piezas

de acero (Steel) ( E s = 29x106

psi) ylatón (Brass) ( E b = 15x106 psi).Determine los esfuerzos máximosen el acero y el latón cuando la

barra se somete a flexión pura conun momento 40 kip*in es aplicado.

SOLUCIÓN:

•

Transformar la barra con una seccióntransversal equivalente hecha de latón

• Evaluar las propiedades seccionalestransversales de la sección transformada

• Calcular la tensión máxima en la seccióntransformada. Esta es la correcta tensiónmáxima para las piezas de latón de la

barra.

• Determinar la tensión máxima en la porción de la barra de aceromultiplicando la tensión máxima de lasección transformada por la relación delos módulos de elasticidad.

Example 4.03 (Pág. 200)


E d




di t i on


4 - 21

Ejemplo 4.03

• Evaluar las propiedades seccionales transversalestransformadas.

4

31213

121

in063.5

in3in.25.2

hb I T

SOLUCIÓN:

• Transformar la barra con una sección transversal

equivalente hecha de latón.

in25.2in4.0in75.0933.1in4.0

933.1 psi1015

psi10296

6

T

b

s

b

E

E n

• Calcular el esfuerzo máximo

ksi85.11in5.063

in5.1inkip404

I

Mcm

ksi85.11933.1max

max

ms

mb

n

ksi22.9

ksi85.11

max

max

s

b


E d




di t i on


4 - 22

Vigas con concreto reforzado (Pág. 200-201)

• Vigas de hormigón sometidas a flexión momentosson reforzadas por las barras de acero.

• En la sección transformada, el área de sección

transversal del acero (steel), As , se reemplaza por elárea equivalente nAs donde n = E s /E c.

• Para determinar la localización del eje neutro,

0

02

221

d An x An xb

xd An x

bx

ss

s

• La tensión normal en el hormigón y el acero

xs xc

x

n

I

My

• Las barras de acero llevan toda la carga extensibledebajo de la superficie neutra. La parte superior dela viga de hormigón lleva la carga compresiva.


E d



MECHANICS OF MATERIALSi r d di t i on


4 - 23

Sample Problem 4.4

A concrete floor slab is reinforced with5/8-in-diameter steel rods. The modulus

of elasticity is 29x106psi for steel and3.6x106psi for concrete. With an applied

bending moment of 40 kip*in for 1-ftwidth of the slab, determine the maximumstress in the concrete and steel.

SOLUTION:

• Transform to a section made entirelyof concrete.

• Evaluate geometric properties oftransformed section.

• Calculate the maximum stressesin the concrete and steel.


E d

B J h D W lf



MECHANICS OF MATERIALSi r d i t i on


4 - 24

Sample Problem 4.4

SOLUTION:

• Transform to a section made entirely of concrete.

2285

4

6

6

in95.4in206.8

06.8 psi106.3

psi1029

s

c

s

nA

E

E n

•

Evaluate the geometric properties of thetransformed section.

422331 in4.44in55.2in95.4in45.1in12

in450.10495.42

12

I

x x x

x

• Calculate the maximum stresses.

42

41

in44.4

in55.2inkip4006.8

in44.4

in1.45inkip40

I

Mcn

I

Mc

s

c

ksi306.1c

ksi52.18s


E d

B J h t D W lf


25/46


MECHANICS OF MATERIALSir d i t i on


4 - 25

Concentración de esfuerzos (Pág. 201-202)

Concentración de esfuerzo puede ocurrir: I

McK

m

• en las cercanías de puntos dondelas cargas se aplican

• en las cercanías de cambios bruscos de sección transversal

MECHANICS OF MATERIALSh i

E d

B J h t D W lf


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MECHANICS OF MATERIALSir d i t i on


4 - 26

Deformaciones Plásticas (Pág. 209)

• Para cualquier miembro sometidas a flexión pura

m x c

y La deformación varia linealmente a

través del la sección transversal• Si el miembro está hecho de un material elástico

lineal, el eje neutro pasa por el centroide de la sección

I

My x y

• Para un material con una curva del esfuerzo-deformación, tiene que satisfacer la condición deleje neutro. En donde,

dA y M dAF x x x 0

• Para un miembro con planos verticales y

horizontales simétricos y un material con la mismarelación de tensión de tracción y compresión, el ejeneutro está situado en el centroide de la sección y larelación de tensión puede usarse para cartografiar ladistribución de esfuerzos.


E d i

B J h t D W lf


27/46


MECHANICS OF MATERIALSr d i t i on


4 - 27

Deformaciones Plásticas

• Cuando la tensión máxima es igual a la últimafuerza del material, se produce el fallo y el

correspondiente momento se conoce como elúltimo momento de flexión.

• El modulo de ruptura en la flexión, R B, seencuentra un valor determinado

experimentalmente de M U hace una distribuciónficticia de esfuerzos.

I

c M R U B

• R B puede ser usada para determiner M U de

cualquier miembro de hecho del mismo materialy con la misma forma seccional cruzada perodiferentes dimensiones.


E d i



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MECHANICS OF MATERIALSr d t i on


4 - 28

Miembros hechos de material elastoplásticos. (Pág. 210)

• Una viga hecha de material Elastoplásticos

momentelasticmaximum

Y Y Y m

mY x

c

I M

I

Mc

• Si se aumenta el momento más allá del máximomomento elástico, las zonas plásticas se desarrollan

alrededor de un núcleo elástico.

thickness-half coreelastic12

2

31

23

Y

Y Y y

c

y M M

• En el límite según el momento aumenta aún más, el

espesor de núcleo elástico va a cero, correspondiente auna deformación plástica completamente.

shape)sectioncrossononly(dependsfactorshape

moment plastic23

Y

p

Y p

M

M k

M M


E d i



29/46




4 - 29

Deformaciones plásticas de los miembros con un

solo plano de simetría (Pág. 214)

• Totalmente plástico de la deformación de una vigacon sólo un plano vertical de la simetría.

• Las Resultantes R1 y R2 de los elementos decompresión y tensión forman un par.

Y Y A A

R R

21

21

El eje neutro de la sección se divide en áreasiguales

• El momento plástico será,

d A M Y p 21

• El eje neutro no se puede suponer que pasa através del centroide.


E d i



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4 - 30

Esfuerzos Residuales (Pág. 214)

• Zonas plásticas se convierten en un miembrohecho de un material elastoplásticos si elmomento flector es bastante grande.

• Puesto que la relación lineal entre la deformacióny el esfuerzo normal se aplica en todos los puntosdurante la fase de descarga, podrán ser

manipulados para que sea completamente elástico.

• Tensiones residuales se obtienen aplicando el principio de superposición para combinar lastensiones debido a la carga con un momento M

(deformación elastoplásticos) y descarga con unmomento - M (deformación elástica).

• El valor final del estrés en un punto en general,no será cero.

MECHANICS OF MATERIALSh i r

E d i t Beer • Johnston • DeWolf


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MECHANICS OF MATERIALSr d ti on


4 - 31

Example 4.05, 4.06

A member of uniform rectangular cross section is

subjected to a bending moment M = 36.8 kN-m.The member is made of an elastoplastic materialwith a yield strength of 240 MPa and a modulusof elasticity of 200 GPa.

Determine (a) the thickness of the elastic core, (b)the radius of curvature of the neutral surface.

After the loading has been reduced back to zero,determine (c) the distribution of residual stresses,(d) radius of curvature.




32/46




4 - 32

Example 4.05, 4.06

mkN8.28

MPa240m10120

m10120

10601050

36

36

233

3

22

3

2

Y Y c

I M

mmbcc

I

• Maximum elastic moment:

• Thickness of elastic core:

666.0

mm60

1mkN28.8mkN8.36

1

2

2

31

23

2

2

31

23

Y Y

Y

Y Y

y

c

y

c

y

c

y

M M

mm802 Y y

• Radius of curvature:

3

3

3

9

6

102.1

m1040

102.1

Pa10200

Pa10240

Y

Y

Y Y

Y Y

y

y

E

m3.33




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Beer Johnston DeWolf

4 - 33

Example 4.05, 4.06

• M = 36.8 kN-m

MPa240

mm40

Y

Y y

• M = -36.8 kN-m

Y

36

2MPa7.306

m10120

mkN8.36

I

Mcm

• M = 0

6

3

6

9

6

105.177

m1040

105.177

Pa10200

Pa105.35

core,elastictheof edgeAt the

x

Y

x x

y

E

m225




34/46




4 - 34

• La distribución de esfuerzos debido a una cargaexcéntrica original puede obtenersesuperponiendo la distribución uniforme delesfuerzo correspondiente a las cargas excéntricas(P` y P) y los pares flectores (M` y M)

I

My

A

P

x x x

bendingcentric

Carga axial excéntrica en un plano de simetría. (Pág. 223)

• Carga excéntrica

Pd M

PF

• Validez requiere tensiones por debajo del límite

proporcional, las deformaciones tienen efectoinsignificante en la geometría y tensiones no debenevaluarse cerca de los puntos de aplicación de carga.




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MECHANICS OF MATERIALSr d i on


4 - 35

Example 4.07

An open-link chain is obtained by bending low-carbon steel rods into theshape shown. For 160 lb load, determine(a) maximum tensile and compressivestresses, (b) distance between sectioncentroid and neutral axis

SOLUTION:

•

Find the equivalent centric load and bending moment

• Superpose the uniform stress due tothe centric load and the linear stressdue to the bending moment.

• Evaluate the maximum tensile andcompressive stresses at the innerand outer edges, respectively, of thesuperposed stress distribution.

• Find the neutral axis by determiningthe location where the normal stressis zero.




36/46


MECHANICS OF MATERIALSdi on


4 - 36

Example 4.07

• Equivalent centric loadand bending moment

inlb104

in6.0lb160

lb160

Pd M

P

psi815

in1963.0

lb160

in1963.0

in25.0

20

2

22

A

P

c A

• Normal stress due to acentric load

psi8475

in10068.

in25.0inlb104

in10068.3

25.0

43

43

4414

41

I

Mc

c I

m

• Normal stress due to bending moment




37/46



4 - 37

Example 4.07

• Maximum tensile and compressivestresses

8475815

8475815

0

0

mc

mt

psi9260t

psi7660c

• Neutral axis location

inlb105in10068.3

psi815

0

43

0

0

M

I

A

P

y

I

My

A

P

in0240.00 y


E d i t i Beer • Johnston • DeWolf


38/46



4 - 38

Sample Problem 4.8

The largest allowable stresses for the castiron link are 30 MPa in tension and 120

MPa in compression. Determine the largestforce P which can be applied to the link.

SOLUTION:

•

Determine an equivalent centric load and bending moment.

•

Evaluate the critical loads for the allowabletensile and compressive stresses.

• The largest allowable load is the smallestof the two critical loads.

From Sample Problem 2.4,

49

23

m10868

m038.0

m103

I

Y

A

• Superpose the stress due to a centricload and the stress due to bending.




39/46


MECHANICS OF MATERIALSd on

4 - 39

Sample Problem 4.8

• Determine an equivalent centric and bending loads.

moment bending028.0

load centric

m028.0010.0038.0

PPd M

P

d

• Evaluate critical loads for allowable stresses.

kN9.76MPa1201559kN6.79MPa30377

PP

PP

B

A

kN9.76P• The largest allowable load

• Superpose stresses due to centric and bending loads

P

PP

I

Mc

A

P

PPP

I

Mc

A

P

B B

A A

155910868

038.0028.0

103

37710868

022.0028.0

103

93

93




40/46


MECHANICS OF MATERIALSd on

4 - 40

Flexión Asimétrica (Pág. 231)

• Análisis de la flexión pura se ha limitado alos miembros sometidos a flexión debido a

pares que actúan en un plano de simetría.

• Ahora tendrá en cuenta las situaciones enlas que los pares de flexión no actúan en un

plano de simetría.

• En general, el eje neutro de la sección nocoincide con el eje donde se aplica el par.

• No puede asumir que el miembro se doblaráen el plano de los pares.

• El eje neutro de la sección transversalcoincide con el eje en donde se aplica el par

• Los miembros siguen siendo simétricos y lacurva en el plano de simetría.




41/46


MECHANICS OF MATERIALSdon

4 - 41

Flexión Asimétrica

Se propone hallar las condiciones precisas para que el eje neutro de una

sección transversal de forma arbitrariacoincida con el eje del par M, como semuestra

•

vector de par debe ser dirigida a lolargo de un eje centroidal principal

inertiof product I dA yz

dAc

y zdA z M

yz

m x y

0or

0

• La fuerza resultante y el momento

de la distribución de fuerzaselementales en la sección debensatisfacer

coupleapplied M M M F z y x 0

•

El eje neutro pasa por el centroide

dA y

dAc

ydAF m x x

0or

0

•

define la distribución de esfuerzo

inertiof moment I I c

I σ

dAc

y y M M

zm

m z

Mor


E d i t i o Beer • Johnston • DeWolf


42/46



4 - 42

Flexión Asimétrica

La superposición se aplica para determinar las tensionesen el caso más general de flexión no simétricas.

• Resolver el vector del par en componentes a lolargo de los ejes centroidal del principal.

sincos M M M M y z

• Superponer las distribuciones de esfuerzo en componente

y

y

z

z x

I y M

I y M

• A lo largo del eje neutro,

tantan

sincos0

y

z

y z y

y

z

z x

I

I

z

y

I

y M

I

y M

I

y M

I

y M




43/46



4 - 43

Example 4.08

A 1600 lb-in couple is applied to arectangular wooden beam in a planeforming an angle of 30 deg. with thevertical. Determine (a) the maximumstress in the beam, (b) the angle that theneutral axis forms with the horizontal

plane.

SOLUTION:

•

Resolve the couple vector intocomponents along the principlecentroidal axes and calculate thecorresponding maximum stresses.

sincos M M M M y z

• Combine the stresses from thecomponent stress distributions.

y

y

z

z x

I

y M

I

y M

•

Determine the angle of the neutralaxis.

tantan y

z

I

I

z

y




44/46



4 - 44

Example 4.08

• Resolve the couple vector into components and calculatethe corresponding maximum stresses.

psi5.609in9844.0

in75.0inlb800

alongoccurstoduestressnsilelargest teThe

psi6.452in359.5

in75.1inlb1386

alongoccurstoduestressnsilelargest teThe

in9844.0in5.1in5.3

in359.5in5.3in5.1

inlb80030sininlb1600

inlb138630cosinlb1600

42

41

43121

43121

y y

z

z

z

z

y

z

y

z

I

z M

AD M

I

y M

AB M

I

I

M

M

• The largest tensile stress due to the combined loadingoccurs at A.

5.6096.45221max psi1062max




45/46


MECHANICS OF MATERIALSon

4 - 45

Example 4.08

• Determine the angle of the neutral axis.

143.3

30tanin9844.0

in359.5tantan

4

4

y

z

I

I

o4.72




46/46

MECHANICS OF MATERIALSonCaso general de carga Axial excéntrica (Pág. 235)

• Considere un elemento recto sometido a cargasaxiales excéntricas iguales y opuestas.

• Las fuerzas excéntricas son equivalentes a unsistema de fuerza centrada y 2 momentos.

Pb M Pa M

P

z y

forcecentric

• Por el principio de superposición, lacombinación de la distribución de esfuerzos

y

y

z

z x

I

z M

I

y M

A

P

• Si el eje neutro se encuentra en la sección,se puede encontrar desde

A

P z

I

M y

I

M

y

y

z

z

mecmatcap4 flexion pura

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