MECANICA DE SOLIDOS II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ENERGA EN EL ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS. ENERGIA DE DISTORSION

INTRODUCCION:Para slidos de material elstico lineal e isotrpico la densidad de energa de deformacin es: +

Donde:

La energa total de deformacin, acumulada en el slido ser:(2)

Podemos aplicar la ley generalizada de Hooke en la ecuacin (1)Ley de Hooke esfuerzo normal:

Ley de Hooke para el esfuerzo cortante: Usando las ecuaciones de la ley generalizada de Hooke, la expresin (1) puede reescribirse en trminos de los esfuerzos, obtenemos:

Expresin que evala la densidad de energa en funcin de los esfuerzos y los mdulos E, G as como de la relacin de poisson v

Luego tenemos las ecuaciones de Lame:

Usando las ecuaciones de lame es posible expresar la energa de deformacin unitaria en funcin de las deformaciones unitarias y las constantes elsticas G, v del material. Reemplazando en la ecuacin (1) se tiene:

y luego la ecuacin(3) se puede expresar as:

DENSIDAD DE ENERGA VOLUMTRICA Y DISTORSIONALLos trminos de la ecuacin (1) pueden reagruparse en dos sumandos:..(5.1)donde: Densidad de energa correspondiente al cambio de volumen, sin distorsin del slido. Densidad de energa correspondiente a la distorsin del solido sin cambio de volumen.

Clculo de :

En el estado medio no existen distorsiones, luego la densidad de energa correspondiente, es:

. (*)

Luego con la ley de Hooke:

Luego reemplazamos en (*) se tiene: , es decir la densidad de energa Volumtrica es:

Luego se tiene:

El valor encontrado Ud es usado en las teoras de falla elstica de materiales.Nota: La densidad de energa total, puede escribirse en funcin de las deformaciones unitarias, en una forma igual a la ecuacin (4).U=(Propiedad:Luego observamos que realizando la derivada parcial de la densidad de energa de deformacin, con respecto a cualquier componente de la deformacin, es igual a la correspondiente componente del esfuerzo. As: (de la ecuacin 8)

Adems:

Es equivalente a:

Siendo las constantes y las constantes elsticas de llam. Entonces:

Nota:Observar la analoga entre la propiedad anunciada y el primer teorema de Castigliano.Como ejemplo, deduciremos las expresiones que corresponden al estado principal de esfuerzos.i) Densidad de Energa (Total) de Deformacin:

E;Las deformaciones unitarias principales son:

Reemplazamos en (1) se tiene:

ii) Densidad de Energa volumtrica y Distorsional: El estado de esfuerzos principales puede definirse como la superposicin del estado medio y del estado desviador.

ESTADO DESVIADOR ESTADO MEDIO

+ =

Estado Medio: No produce distorsiones. Slo cambios de volumen.Estado Desviador: Produce solo distorsiones (cambia a la forma). El volumen no vara. Observar que el estado desviador contiene trminos de esfuerzo cortante (realmente, contiene funciones de la diferencia de esfuerzos principales).Sabemos que:u = uV + ud.. (3)Donde:Uv: corresponde al estado medio y Ud: corresponde al estado desviadorLa densidad de energa volumtrica, Uv, la podemos calcular usando la ecuacin (2), cambiando por tenemos: o

Simplificando: .. (4)

Expresin que define la densidad de energa volumtrica.Usando la ecuacin (3) ud = u uvy reemplazando en esta ultima ecuacin los valores dados por (2) y (4), luego de simplificar tenemos:

Y como:G = = Tenemos:

Que tambin puede escribirse:

Las ecuaciones (5) definen la densidad de energa distorcional.Nota: observar que, incluso la condicin simple de esfuerzo uniaxial, puede dividirse en estado medio y estados desviadores.

CRITERIOS DE FALLAS DE MATERIALES

4.10.1) Introduccin

En los Ensayos de Traccin Uniaxial, se presentan dos situaciones diferenciadas del comportamiento de materiales.

Falla de un elemento estructural: Por excesivas deformaciones. Por fractura real del slido.

Finalidad: Las Teoras de Falla Elstica de Materiales, tienen la finalidad de predecir, basados en el comportamiento Uniaxial en traccin, cuando se presentar la falla elstica bajo condiciones generales de esfuerzo.4.10.2) Teoras de Falla Elstica

Teora del Esfuerzo Principal Mximo (Rankine) Teora del Esfuerzo Cortante Mximo (Tresca) Teora de la Deformacin Principal Mxima (Saint-Venant) Teora de la Densidad de Energa de Deformacin (Haigh) Teora de la Mxima Densidad de Energa de Distorsin (Von Mises)i) Teora del Esfuerzo Principal Mximo (Rankine)

Criterio de Fluencia: = (traccin)Nota: Si 0 > = (compresin)Esta teora se cumple muy satisfactoriamente en el caso de materiales frgiles. Se recomienda no aplicarla en materiales dctiles.Si:i) < no sucede la fallaii) = se inicia la fluenciaiii) > fluencia total

ii) Teora del Esfuerzo Cortante Mximo (Tresca)

En el caso Uniaxial: el esfuerzo cortante mximo serla , (puesto que = 0)

El esfuerzo cortante de fluencia:

Criterio de Falla:

En materiales bajo condiciones generales de esfuerzo:

Ha sido comprobado que esta teora es bastante til en el caso de materiales dctilesCriterio de Tresca: = -

En el caso general de esfuerzos, el criterio de Tresca, establece que para el Inicio de la fluencia, se requiere:

Los puntos "dentro" de la superficie Puntos Seguros (no fluencia) Los puntos "fuera" de la superficie Puntos no Seguros (en fluencia)

) Teora de la Deformacin Principal Mxima (Saint Venant).

Ley de Hooke generalizada:

Criterio de Fluencia:

Si > se presenta la fluenciaSi = se inicia la fluenciaSi < no se presenta la fluenciaEsta teora resulta apropiada para materiales frgiles (hierro)

iv) Teora de la Mxima Densidad de Energa de Deformacin. (Heigh)Criterio de Fluencia: Usamos la ecuacin (2) de la seccin anterior

Simplificando, obtenemos:

Esta teora proporciona resultados muy satisfactorios para el caso de materiales dctiles.v) Teora de la Mxima Densidad de Energa Distorsional (Von Mises)Con referencia al Estado General de Esfuerzos, la densidad total de energa, es:

y la densidad de energa unitaria correspondiente a cambios de volumen (sin distorsiones del slido), es:

La densidad de energa distorsional es ud = u - uv

En el Estado Uniaxial de Traccin, cuando se inicia la fluencia, la densidad de energa distorsional, es:

Condicin de Fluencia (Condicin de Von-Mises):

La condicin de fluencia de Von-Mises puede representarse grficamente en el triedro de esfuerzos principales.

Condicin de Fluencia de Von-Mises para el estado plano de esfuerzos.

Su grfica en el plano ora2 es una elipse (denominada elipse de Von-Mises)

FACTORES DE FORMATriangulo equiltero:

Triangulo recto:

Circulo:

Rombo:

MECANICA DE SOLIDOS IIPgina 18