mec 8470 Éléments finis en mécanique des solides · mec8470 Éléments finis en mécanique des...
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MEC8470
Éléments Finis en Mécanique des Solides
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Introduction
Plan du cours
Le Professeur
Intro E.F.
Vocabulaire
Unités
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MEC 8470Éléments Finis en Mécanique des Solides
École Polytechnique de Montréal
Hiver 2018
Transparents préparés par Prof. Martin Lévesque
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Introduction
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Page de présentation
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MEC 8470 - Éléments Finis en Mécaniquedes Solides
Professeur:
→ Frédérick Gosselin→ [email protected]→ (local A115.2, tel. 514-340-4711, ext 3747)
Chargés de laboratoires:
→ Pierre Faucheux→ [email protected]→ Wassime Siguerdidjane→ [email protected]
Assistants de laboratoires:
→ Boris Burgarella→ Jean-François Chauvette
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Introduction
Introduction
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Quels problèmes peut-on résoudre avec la méthode des élémentsfinis ?
Figure 1: Exemple du pont de Québec
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Place du cours dans le cheminement de génie mécanique
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Éléments finis
Matériauxcomposites
Matériauxplastiques
Résistance desmatériaux IIVibrations
Résistance desmatériaux I
MatériauxStatique
Dynamique
Algèbre vectorielle
Calcul matriciel
Équations différentielles
Figure 2: Notions sur lesquelles le cours MEC8470 s’appuie
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Déroulement du cours
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Comme son sigle l’indique (4-2-3), le cours MEC8470 comprend 4heures de théorie, 2 heures de laboratoires et 3 heures de travauxpersonnels.
COURS THEORIQUES
1. Les cours théoriques sont divisés en deux parties:
(a) Notions pratiques – cours 1 à 9(b) Notions théoriques – cours 10 à 26
2. Les objectifs des cours théoriques sont:
(a) Assimiler les concepts théoriques et mathématiques debase à la méthode des éléments finis
(b) Développer des aptitudes à la simplification des problèmespour en faire ressortir les caractéristiques essentielles
(c) Connaître les différences entre les divers éléments finisainsi que leurs domaines d’utilité
(d) Reconnaître les diverses sources d’erreurs possibles et lescorriger
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Déroulement du cours – suite
Introduction
Introduction
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Particularités
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LABORATOIRES
1. Les objectifs des laboratoires sont:
(a) Apprendre à utiliser des logiciels commerciaux(b) Apprendre à choisir les éléments et le maillage
correctement afin de représenter le comportement de lastructure
(c) Apprendre à interpréter les résultats obtenus(d) Faire des liens entre la théorie vue en cours et les
applications(e) Valider les résultats par diverses méthodes
2. Deux logiciels : NASTRAN et ANSYS3. La classe est séparée en deux groupes de laboratoire4. La présence aux laboratoires est obligatoire
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Évaluation
Introduction
Introduction
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Déroulement
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Particularités
Le Professeur
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Unités
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Vos connaissances seront évaluées de la manière suivante:
1. Travaux pratiques → 35%
(a) Présence aux laboratoires → 10%(b) Feuilles de résultats (×7) → 10%(c) Examen de laboratoire → 15%
2. Mini-quiz → 30%
(a) ∼ aux deux semaines(b) 5 mini-quiz, on ne compte que les 4 meilleurs
3. Examen final → 35%
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Particularités
Introduction
Introduction
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Déroulement
Évaluation
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Le Professeur
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Unités
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Le site web
→ Le site web est un outil essentiel au cours.→ Les notes, des exercices, des solutions, des annonces, les TP,
etc. y sont postés à toutes les semaines→ Le consulter régulièrement
Disponibilité
→ Mercredis de 10h45 à 11h45 au A115.2→ Sur rendez-vous
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Le professeur
Introduction
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Le Professeur
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Attentes
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Professeur à Polytechnique depuis 2012
Études
Post-Doc École Polytechnique de Montréal 2011Doctorat École Polytechnique – Paris 2009Maîtrise Université McGill 2006Baccalauréat Université McGill 2004
Intérêts de recherche
→ Mécanique des structures élancées→ Interactions fluide-structure
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Mes attentes
Introduction
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Le Professeur
Background
⊲ Attentes
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Valeurs véhiculées par l’Ordre des ingénieurs
→ Accessibilité→ Diligence→ Rigueur→ Intégrité→ Imputabilité
Mes attentes
→ Ponctualité→ Discipline→ Rigueur→ Intégrité
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Mes attentes
Introduction
Introduction
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Le Professeur
Background
⊲ Attentes
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1
Merci de votre compréhension!
Merci de votre compréhension!
Figure 3: Conduite en classe
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Introduction à la méthode des élémentsfinis
Introduction
Introduction
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⊲ Intro E.F.
Pb. Méca
Géométrie
Localisation
Globalisation
Solution
Conclusion
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Définition d’un problème de mécanique des solides
Introduction
Introduction
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⊲ Pb. Méca
Géométrie
Localisation
Globalisation
Solution
Conclusion
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Les ingrédients suivants sont nécessaires pour définir correctementun problème de mécanique:
1. Géométrie du problème2. Loi de comportement des matériaux3. Déplacements imposés4. Chargement appliqué (optionnel)
Figure 4: Éléments nécessaires pour définir entièrement un problèmede mécanique du solide
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Définition d’un problème de mécanique des solides
Introduction
Introduction
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Géométrie
Localisation
Globalisation
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Conclusion
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Notes
→ Les déplacements et les chargements sont appliqués parl’extérieur et sont la donnée du problème
→ Les réactions aux déplacements imposés, les déplacements où lechargement est imposé ainsi que les déplacements, contrainteset déformations dans le domaine de la structure étudiée sont lesinconnues recherchées.
→ On ne peut appliquer à la fois une force et un déplacement aumême point car cela reviendrait à changer le matériau (exempledu ressort).
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Définition d’un problème de mécanique des solides
Introduction
Introduction
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Géométrie
Localisation
Globalisation
Solution
Conclusion
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Notes
→ Par convention, lorsqu’aucune force ou aucun déplacement n’estdessiné en un point donné on suppose que la force y est nulle.
– Alors dans le problème de la figure on aura:
1. Un déplacement ~U appliqué en un point2. Deux déplacements nuls aux appuis3. Une force distribuée ~w sur une portion de ∂Ω4. Une force nulle partout ailleurs sur ∂Ω
– Ceci constitue la définition des conditions aux rives duproblème (forces et déplacements)
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Problème du cadre à barreaux droits - Géométrie
Introduction
Introduction
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Pb. Méca
⊲ Géométrie
Localisation
Globalisation
Solution
Conclusion
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Soit le problème suivant:
(1)
(2)(3)
~F (2, 1)
1 2
3
x
y
→ (i) fait référence à un barreau i
→ Barreaux de section A(i), de moduled’Young E(i) et de longueur L(i)
constants→ Système d’axes global x− y
→ Pivot au noeud 1→ Appui simple au noeud 2→ Force ~F au noeud 3
On cherche les quantités suivantes:
f1x
u1x
f1y u1yf2x u2x
f2y u2y
f3x u3x
f3y u3y
(1)
(2)(3)
x
y → Les forces f aux noeuds i→ Les déplacements u aux noeuds i→ Par convenance, on va noter:
f =
f1xf1yf2xf2yf3xf3y
, u =
u1x
u1y
u2x
u2y
u3x
u3y
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Problème du cadre à barreaux droits - Localisation
Introduction
Introduction
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Géométrie
⊲ Localisation
Globalisation
Solution
Conclusion
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On va faire exploser la géométrie en éléments de base:
x(1)
y(1)
(1)
x(2)
y(2)(2)
x(3)y(3)
(3)
x
y
→ Chaque élément (i) est doté de sonsystème d’axes x(i) − y(i) qui luiest propre
→ Notation: u est un déplacementdans le repère global et u(i) est undéplacement exprimé dans lerepère local de l’élément (i)
→ Ces systèmes d’axes sont bien surexprimés dans le repère global
Considérons un élément (i) dans son repère local:
u(i)ix f
(i)ix
f(i)jx u
(i)jx
f(i)iy
f(i)jy
u(i)iy u
(i)jy
i j
x(i)
y(i)
→ L’axe x(i) est positif dei → j
→ y(i) ⊥ x(i)
→ Le barreau transmet desefforts axiaux uniquement
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Problème du cadre à barreaux droits - Localisation – suite
Introduction
Introduction
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Pb. Méca
Géométrie
⊲ Localisation
Globalisation
Solution
Conclusion
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u(i)ix f
(i)ix
f(i)jx u
(i)jx
f(i)iy
f(i)jy
u(i)iy u
(i)jy
i j
x(i)
y(i)
On s’intéresse à la relation entre les forces et les déplacementsappliqués sur le barreau. On a:
→ Matériau élastique: σ = Eε
→ σ = FA= E∆L
L= Eε, d’où F = AE
L∆L = k∆L
→ On peut assimiler ce système à un ressort→ Quand il est en tension, la force en i < 0 et en j > 0→ Dans ce système d’axes, on aura:
f(i)ix = k
(
u(i)ix − u
(i)jx
)
, f(i)jx = k
(
u(i)jx − u
(i)ix
)
(1)
f(i)iy = f
(i)jy = 0 (2)
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Problème du cadre à barreaux droits - Localisation – suite
Introduction
Introduction
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Globalisation
Solution
Conclusion
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On peut ré-écrire cela sous une forme plus compacte:
f(i)ix
f(i)iy
f(i)jx
f(i)jy
=E(i)A(i)
L(i)
1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0
u(i)ix
u(i)iy
u(i)jx
u(i)jy
(3)
f (i)
=[
K(i)]
u(i)
(4)
où la matrice[
K(i)]
est appelée matrice de rigidité de l’élément(i) donnée dans son repère local.
On peut ainsi calculer une matrice de rigidité pour chacun deséléments du modèle. Cette matrice dépend de:
→ Du matériau (module E)→ De la géométrie de l’élément (L et A)→ De la formulation de l’élément (ici on ne transmet que des
efforts axiaux)
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Problème du cadre à barreaux droits - Globalisation
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Géométrie
Localisation
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Maintenant que l’on a les matrices de rigidité de tous les élémentsdans leurs repères locaux, il serait intéressant de les connaître dansle système global. Considérons l’élément:
x(3)y(3)
(3)
x
y
u(3)jx
u(3)jx
u(3)jyu
(3)jy
u(3)ix
u(3)ix
u(3)iyu
(3)iy θ
i
j
Par la géométrie du problème, on a que:
u(3)ix = u
(3)ix cos θ + u
(3)iy sin θ , u
(3)iy = −u
(3)ix sin θ + u
(3)iy cos θ
(5)
u(3)jx = u
(3)jx cos θ + u
(3)jy sin θ , u
(3)jy = −u
(3)jx sin θ + u
(3)jy cos θ
(6)
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u(3)ix = u
(3)ix cos θ + u
(3)iy sin θ , u
(3)iy = −u
(3)ix sin θ + u
(3)iy cos θ
u(3)jx = u
(3)jx cos θ + u
(3)jy sin θ , u
(3)jy = −u
(3)jx sin θ + u
(3)jy cos θ
Qui peut se mettre sous la forme (en généralisant):
u(i)
=[
R(i)]
u(i)
(7)
où:
[R] =
cos θ sin θ 0 0− sin θ cos θ 0 0
0 0 cos θ sin θ0 0 − sin θ cos θ
(8)
La matrice [R], appelée matrice de rotation, est particulière...
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[R] =
cos θ sin θ 0 0− sin θ cos θ 0 0
0 0 cos θ sin θ0 0 − sin θ cos θ
La matrice [R] est orthogonale, ce qui entraîne que:
[R]−1 = [R]T (9)
Pour être orthogonale, il faut que les vecteurs colonnes formant lamatrice forment une base orthonormée. C’est bien le cas ici.
On aura donc sans difficulté que:
u(i)
=[
R(i)]
u(i)
(10)[
R(i)]T
u(i)
=
u(i)
(11)
On a évidemment les mêmes relations pour les forces.
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Rappelons la relation entre les forces et les déplacements auxnoeuds d’un élément dans son repère local:
f (i)
=[
K(i)]
u(i)
En utilisant les dernières relations on a:[
R(i)]
f (i)
=[
K(i)] [
R(i)]
u(i)
(12)
Si l’on multiplie chaque côté par [R]−1 = [R]T, on obtient:
f (i)
=[
R(i)]T [
K(i)] [
R(i)]
u(i)
(13)
f (i)
=[
K(i)]
u(i)
(14)
où[
K(i)]
est la matrice de rigidité de l’élément (i) exprimée dans lerepère global. On a donc atteint notre objectif ! Il reste maintenantà assembler toutes les contributions des éléments à la solution duproblème...
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Il nous faut maintenant reconnecter tous les éléments ensemble pourdonner un sens physique au problème qui reflète bien la réalité.
Première règle: Compatibilité géométrique
→ Les éléments qui partagent des noeuds doivent avoir les mêmesdéplacements en ces noeuds.
Considérons le noeud 3 auquel est attaché les éléments (3) et (2).
(1)
(2)(3)
1 2
3
x
y
3 3(3) (2)
~u(3)3 ~u
(2)3
Pour qu’il y ait compatibilité géométrique, il faut que, u(3)3x = u(2)3x et
u(3)3y = u
(2)3y . On peut généraliser aux autres noeuds de la structure.
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Deuxième règle: Équilibre statique à chaque noeud du système
Considérons encore le noeud 3. On se rappelle que les forces sontpositives selon les axes positifs dans les systèmes locaux. Parréaction, on aura:
−~f(3)3 −~f
(2)3
~f3
On peut tout de suite voir que:
~f3 − ~f(3)3 − ~f
(2)3 = ~0 (15)
pour qu’il y ait équilibre au noeud 3. On rappelle que ~f3 est la forceappliquée par l’extérieur sur la structure.
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On peut aussi écrire que:
f3xf3y
=
f(1)3x
f(1)3y
+
f(2)3x
f(2)3y
+
f(3)3x
f(3)3y
(16)
où f(1)3x et f (1)
3x sont interprétées comme les forces appliquées aunoeud 3 par l’élément (1). Or, l’élément (1) n’est pas connecté aunoeud 3. Ces forces sont donc nulles. On peut ré-écrire les vecteurs
f (i)
sous la forme:
f1xf1yf2xf2xf3xf3y
=
f(1)1x
f(1)1y
f(1)2x
f(1)2x
f(1)3x
f(1)3y
+
f(2)1x
f(2)1y
f(2)2x
f(2)2x
f(2)3x
f(2)3y
+
f(3)1x
f(3)1y
f(3)2x
f(3)2x
f(3)3x
f(3)3y
(17)
ou encore:f =
f (1)
+
f (2)
+
f (3)
(18)
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On a vu précédemment que
f (i)
=[
K(i)]
u(i)
. Si l’onconsidère l’élément 1 (qui a son système d’axes parallèle au systèmeglobal), on avait:
f(1)1x
f(1)1y
f(1)2x
f(1)2y
=E(1)A(1)
L(1)
1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0
u(1)1x
u(1)1y
u(1)2x
u(1)2y
On peut ré-écrire la matrice[
K(1)]
et le vecteur
u(1)
de sorteque:
f(1)1x
f(1)1y
f(1)2x
f(1)2y
f(1)3x
f(1)3y
=E(1)A(1)
L(1)
1 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0−1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
u(1)1x
u(1)1y
u(1)2x
u(1)2y
u(1)3x
u(1)3y
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Écrite sous cette forme, la compatibilité géométrique devient:
u(1)
=
u(2)
=
u(3)
= u (19)
On aura donc:
f (1)
=[
K(1)]
u ,
f (2)
=[
K(2)]
u
f (3)
=[
K(3)]
u
Comme f =
f (1)
+
f (2)
+
f (3)
, on aura:
f =([
K(1)]
+[
K(2)]
+[
K(3)])
u (20)
qui conduit à l’équation fondamentale et la plus importante pour cecours:
f = [K] u (21)
On appelle la matrice [K] la matrice de rigidité du système. Elle faitle lien entre tous les déplacements et les forces appliquées sur lesystème.
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f1x
u1x
f1y u1yf2x u2x
f2y u2y
f3x u3x
f3y u3y
(1)
(2)(3)
x
y
Dans cet exemple, on a que E(1)A(1) = 100, E(2)A(2) = 50,E(3)A(3) = 200
√2, L(1) = 10, L(2) = 10 et L(3) = 10
√2. De plus,
on a que f3x = 2 et f3y = 1. Remarquez qu’aucune unité à étéintroduite...
Au niveau des déplacements, on a un pivot au noeud 1, ce quientraîne que u1x = u1y = 0. On a un appui simple au noeud 2, cequi entraîne que u2y = 0 et f2x = 0.
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Après les calculs des matrices de rigidité et des matrices de rotation,on a le résultat suivant:
f1xf1y0f2y21
=
20 10 −10 0 −10 −1010 10 0 0 −10 −10
−10 0 10 0 0 00 0 0 5 0 −5
−10 −10 0 0 10 10−10 −10 0 −5 10 15
00u2x
0u3x
u3y
(22)
→ On peut remarquer qu’il y a certaines équations où u est connu→ Dans notre cas particulier, ces composantes connues sont nulles
– On pourra donc effacer les colonnes qui multiplient cesquantités
→ Que faire si les déplacements connus n’étaient pas nuls ?
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Il restera donc:
f1xf1y0f2y21
=
−10 −10 −100 −10 −10
10 0 00 0 −50 10 100 10 15
u2xu3xu3y
(23)
→ On voit que si l’on connaît u, on pourra connaître les forcesqui sont inconnues
→ On peut remarquer que l’on a aussi autant de forces connuesque de déplacements inconnus
– On pourra donc générer autant d’équations que nécessairepour calculer tous les déplacements.
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Au final, on aura:
021
=
10 0 00 10 100 10 15
u2xu3xu3y
(24)
La solution de ce système d’équations conduit à:
00.4−0.2
=
u2xu3xu3y
(25)
Comme l’on connaît tous les déplacements, on peut calculer lesforces avec la matrice de rigidité.
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Problème du cadre à barreaux droits - Conclusion
Introduction
Introduction
Plan du cours
Le Professeur
Intro E.F.
Pb. Méca
Géométrie
Localisation
Globalisation
Solution
⊲ Conclusion
Vocabulaire
Unités
Intro. TP
34 / 53
En conclusion, la solution d’un problème de structure se résoud parla technique des éléments finis en suivant le schéma suivant:
1. Idéalisation du problème physique
→ Choix du type d’éléments (solide, poutres, plaques,barreaux)
→ Définition de la géométrie du problème (noeuds)→ Détermination les forces et déplacements appliqués sur la
structure→ Étape entièrement réalisée par l’homme et la plus
importante
2. Localisation
→ Calcul du système d’axes local des éléments (ordi.)→ Définition des propriétés des éléments (rigidité, section,
inertie, etc.) (humain)→ Calcul des matrices de rigidité locales (ordi.)→ Calcul des matrices de rotation des éléments (ordi.)
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Problème du cadre à barreaux droits - Conclusion - suite
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Globalisation
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35 / 53
3. Globalisation
→ Calcul des matrices de rigidité des éléments dans le systèmeglobal
→ Calcul de la matrice de rigidité du système→ Entièrement réalisée par l’ordinateur
4. Solution
→ Réorganisation des systèmes d’équations→ Solution numérique→ Entièrement réalisée par l’ordinateur
5. Analyse des résultats
→ Calcul des forces, contraintes, déformations, etc. dans toutle modèle (ordi)
→ Critique des résultats (humain)
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Problème du cadre à barreaux droits - Conclusion - suite et fin
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Globalisation
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On peut voir que l’ordinateur est impliqué dans les étapes de calculmatriciel uniquement.
L’ordinateur va toujours donner une solution... mais laquelle ?
→ Celle qui s’appuie sur les hypothèses simplificatrices introduitespar l’homme
Une des devises des éléments finis:
Garbage in, garbage out !
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Vocabulaire et terminologie
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Vocabulaire et terminologie
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Élément
→ Entité mathématique qui représente le phénomène physique quel’on veut se représenter
→ Brique de base de la structure que l’on veut modéliser→ Exemple: barreaux, poutres, plaques, solides, etc.
Noeud
→ Points qui servent à connecter les différents éléments entre eux
Système de coordonnées global
→ Système de coordonnées universel attaché à l’Univers→ La position des noeuds est habituellement donnée dans ce
repère
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Système de coordonnées local
→ Système de coordonnées défini par rapport à une entité→ Les éléments possèdent tous un système de coordonnées local
qui sert à exprimer les lois de la physique
Degrés de liberté (définition plus générale plus tard)
→ Déplacements aux noeuds qui sont activés par les éléments etpour lesquels on cherche une solution
→ Dans l’exemple du cadre de barreaux, chaque élément activaitdes translations dans le plan. On avait donc deux degrés deliberté (ux et uy) par noeud
→ En mécanique des solides, les noeuds peuvent avoir 6 degrés deliberté: 3 translations et 3 rotations
Conditions aux rives
→ Valeurs affectées aux degrés de liberté de la structure parl’extérieur
→ Pivot, appui simple, etc.
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Vocabulaire et terminologie
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Chargement (définition plus générale plus tard)
→ Forces appliquées sur la structure
Modèle éléments finis
→ Tous ces concepts assemblés pour représenter le problèmephysique que l’on veut résoudre
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Les unités cohérentes
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Introduction TP1
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⊲ Intro. TP
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Schéma réact.
Schéma global
Cuve
Mach. remplace.
Bouclier
Maillage
Chargement
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Introduction
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Intro. TP
⊲ TP1
Schéma réact.
Schéma global
Cuve
Mach. remplace.
Bouclier
Maillage
Chargement
43 / 53
→ Nous allons étudier un bouclier anti-radiation construit pour lacentrale nucléaire de Pickering en Ontario
Figure 5: Centrale nucléaire de Pickering en Ontario
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Schéma du réacteur nucléaire
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⊲ Schéma réact.
Schéma global
Cuve
Mach. remplace.
Bouclier
Maillage
Chargement
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Figure 6: Élements de la centrale nucléaire
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Schéma global de la centrale nucléaire
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Schéma réact.
⊲ Schéma global
Cuve
Mach. remplace.
Bouclier
Maillage
Chargement
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Figure 7: Circuit de la centrale nucléaire
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Cuve du réacteur
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Schéma réact.
Schéma global
⊲ Cuve
Mach. remplace.
Bouclier
Maillage
Chargement
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Figure 8: Cuve du réacteur
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Machine de remplacement des grappes d’uranium
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Intro. TP
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Schéma réact.
Schéma global
Cuve
⊲Mach.remplace.
Bouclier
Maillage
Chargement
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Figure 9: Machine de remplacement des grappes d’uranium
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Machine de remplacement des grappes d’uranium en action
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Schéma réact.
Schéma global
Cuve
⊲Mach.remplace.
Bouclier
Maillage
Chargement
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Figure 10: Fonctionnement de la machine de remplacement desgrappes d’uranium
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Usage du bouclier
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Schéma réact.
Schéma global
Cuve
⊲Mach.remplace.
Bouclier
Maillage
Chargement
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Bouclier
Anti-radiation
Figure 11: Position du bouclier anti-radiation. Le bouclier sert àprotéger les machines des radiations du réacteur.
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Schéma du bouclier anti-radiation
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Schéma réact.
Schéma global
Cuve
Mach. remplace.
⊲ Bouclier
Maillage
Chargement
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Figure 12: Schématisation du bouclier anti-radiation
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Maillage de la structure avec des éléments de poutre
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Intro. TP
TP1
Schéma réact.
Schéma global
Cuve
Mach. remplace.
Bouclier
⊲ Maillage
Chargement
51 / 53
11
12
13
14
20 40 41 42 43
21 30 31 32 33
22
23 24 25 26 27
4443424140
3433323115
26252423
22
21
1
2
3
CL
Plan de
Symétrie
0 2000 3152 4304 5402 6500
0
480
915
16 50 51
Figure 13: Maillage de la structure
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Répartition des charges sur le modèle
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Intro. TP
TP1
Schéma réact.
Schéma global
Cuve
Mach. remplace.
Bouclier
Maillage
⊲ Chargement
52 / 53
11
12
13
14
20 40 41 42 43
21 30 31 32 33
22
23 24 25 26 27
CL
21 30 31 32
23 25 26
21 30 31 32
23 24 25 26
52 kN 52 kN
13 13 13 6.5
6.5131313
13
Béton - 2.83 N / mm
Figure 14: Répartition des charges
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Calcul des charges équivalentes aux noeuds du modèle
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Schéma réact.
Schéma global
Cuve
Mach. remplace.
Bouclier
Maillage
⊲ Chargement
53 / 53
157 mm
~P
~Feq
~P
~Feq
~MeqBéton lourd
Poids de la dalle
Transfert de la charge
équivalente de la dalle
au centroïde du profilé
Figure 15: Transfert de la charge équivalente de la dalle de béton aucentroïde de la poutre