introduction à la mécanique des solides cido – saint-etienne

Introduction à la mécanique des solides

CIDO – Saint-EtienneP. Badel

Ch. 1 Introduction générale

Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel2

Notions de système et de modèle

Notre environnement est fait de systèmes qui interagissent entre eux

• Interactions électriques,

• chimiques,

• magnétiques,

• mécaniques…

Grande complexité !

En science, souvent, on ne considère que certaines interactions, on néglige les autres Différentes disciplines de la physique.


Notions de système et de modèle

On est toujours amenés à faire des hypothèses, limiter les études

Il s’agit d’interprétations physiques de la réalité

- fondées sur des hypothèses,

- basées sur des lois mathématiques.

Modèle = représentation imparfaite de la réalité


On construit des modèles

?⇔

Objectifs

Ce cours est un cours de base à :

• l’étude des interactions mécaniques entre solides rigides (en statique)

• l’étude mécanique des solides déformables

Applications typiques

• Robotique,

• automobile,

• biomécanique musculo-squelettique…


Cadre/contenu de ce cours

Applications en 2D essentiellement

Partie 1

Etude de l’équilibre statique des particules (ch. 2)

Etude de l’équilibre statique des solides rigides (ch. 3 et 4)

Etude cinématique des particules et solides (ch. 5)

Notions de dynamique (ch. 6)

Partie 2

Milieux déformables, notions de comportement des matériaux (ch. 7)

Notions de contrainte et déformation en mécanique du solide (ch. 8)


PARTIE 1Mécanique des solides rigides


Hypothèses de base

• Systèmes matériels non variables.

• Un système matériel est constitué d’éléments individualisables : les points matériels.

• Un ensemble de points matériels dont les distances entre points sont constantes

= un solide indéformable (ou rigide).

• La masse ne dépend que de la nature du matériau.

Limitations (on sort du domaine de validité des modèles)

• Très petits systèmes matériels. Exemple : taille < µm.

• Vitesses proches de celle de la lumière.

• Autres interactions physiques qui peuvent être non négligeables.

Hypothèses et limites de la mécanique classique


Méthodologie générale en mécanique du solide rigide

Dans un système, on va s’intéresser à chacun des solides :

Isoler chaque solide

(Analyser ses mouvements)

Analyser les actions mécaniques extérieures appliquées sur ce solide

Analyser les relations entre actions mécaniques et (non-)mouvement


Ch. 2 Statique des particules


Introduction

Notion de particule ou de point

• Notion utilisée en mécanique du point

• Ne s’adresse pas qu’à l’étude de particules infiniment petites, mais aussi aux cas suivants :

• Peut s’appliquer à de nombreuses situations réelles


La taille et la forme des solides considérés n’affecte pas le problème

On peut considérer que les forces sont appliquées en un même point

Forces sur une particule

Définition

Elle est caractérisée par :

• Un point d’application

• Une direction (droite support + sens)

• Une intensité (→ unité Newton N)

Représentation graphique


force = action d’un corps sur un autre

échelle

Forces sur une particule

Résultante de 2 forces

• 2 forces agissant sur un point peuvent être remplacées par une seule force

• Elle est obtenue par construction selon un parallélogramme

(constat expérimental)


Q

R

P

R est la résultante de P et Q

L’outil vecteur

La somme de forces n’est pas la somme des intensités !

La somme de forces suit le principe du parallélogramme.

Déplacements, vitesses, accélérations (et autres grandeurs physiques) sont aussi représentés par des vecteurs


On représente une force par un vecteur

L’outil vecteur

Vecteur : définition

Un vecteur est caractérisé par :

• Une direction (droite support + sens)

• Une longueur (intensité)

Vecteur : propriétés

• On somme des vecteurs par le principe du parallélogramme

• On note un vecteur , F (notation choisie ici) ou F (notation parfois confuse)

• L’intensité donne la longueur du vecteur représenté en construction graphique, celle-ci est notée F


F

F

L’outil vecteur

Vecteur force

Un vecteur force représente la force appliquée sur un point. Il est caractérisé par

• Un point d’application

• Un vecteur

Autres types de vecteur

• Vecteurs dits glissants (on peut les déplacer le long de leur support)

• Vecteurs libres (on peut les déplacer dans tout l’espace)

Autres remarques

• Vecteurs égaux : ont même direction et même intensité

• Opposé d’un vecteur :


On parle de vecteur lié

F est l'opposé de F. Il vérifie F F 0

L’outil vecteur

Addition de vecteurs

• Suivre le principe de construction par parallélogramme

• Attention, rappel norme de

(somme des vecteurs ≠ somme des intensités)

• Commutation :

•

• Somme de plusieurs vecteurs :

Produit par un scalaire

•

• Généralisation : est de même direction et sens que et d’intensité nP


P Q P Q

P Q Q P

P Q P Q

A B C A B C A B C

P P 2P

nP

P

L’outil vecteur

Application graphique


M N

N M

M N

M N P

M N

P

Résultante de plusieurs forces

Forces concourantes en un point A

•


La somme peut être exprimée par un seul vecteur : la résultante des forces

A

P Q S R

P

R

Q

S

Composantes d’une force – vecteurs unitaires

Inversement à la somme de forces, on peut décomposer une force en 2 ou plusieurs forces dont la somme a le même effet

En 2D, on s’intéresse le plus souvent aux couples de 2 composantes

Exemples :• On connait une composante → on ob�ent l’autre car la somme vaut

(en représentation graphique, fermeture du triangle)

• Lignes d’ac�on de 2 composantes connues → on peut projeter la force


On parle des composantes d’une force

F

F

Composantes d’une force – vecteurs unitaires

Résoudre les problèmes en utilisant un repère orthonormé donné

• Soit le repère . On utilisera toujours un repère orthonormé direct.sont les vecteurs unitaires de base portés par les axes x et y.

• Fx et Fy sont les composantes de dans cette base.


Fx = F cos θFy = F sin θ

tan θ = Fy

Fx

F = Fx² + Fy²

x

y

θ

x

y

vecteurs unitaires

x y x yF F F F i F j

x xF F i

O,i, j

i et j

F

y yF F j F

j

i

Résultante de forces – somme de composantes


Rx = Ax + Bx + Cx

Ry = Ay + By + Cy

Rx = ∑ Fx

Ry = ∑ Fy

A

x

y

x yR R i R j

R A B C

R F

Q

P

S

Equilibre d’une particule

1ère loi de Newton

Alors la particule reste au repos (si initialement au repos), ou se déplace linéairement à vitesse constante (si se déplace initialement)


Une particule est à l’équilibre quand la résultante de toutes les forces sur la particule est nulle

∑ Fx = 0∑ Fy = 0 R F 0

Equilibre d’une particule

Statique graphique

Bien choisir le point à isoler…

On soulève une caisse de 75 kg. Quelles sont les tensions en AC et AB ? (qui force le moins…)


En 3D

Tout peut s’étendre en 3D !

Attention, les angles sont moins simples à définir et manipuler


F = Fx² + Fy² + Fz²

y zj k xF F i F F

Ch. 3 Forces sur un solide rigide


Introduction

Rappel : point matériel Portion de l’espace pourvue de matière et assez petite pour être considérée ponctuelle.

Solide indéformable


Domaine contenant un ensemble de points matériels gardant des distances fixes entre eux au cours du temps

Remarques :

Il s’agit d’un modèle. Tout solide est déformable ! … Cf. seconde partie du cours.

Modèle idéal pour l’étude des forces et mouvements

Exemples : mécanismes, squelette…

Introduction

Forces internes – forces externes

2 types de forces peuvent s’appliquer à un solide rigide :

• Forces externes : par les autres solides sur le solide considéré.

• Forces internes : maintiennent la cohésion du solide considéré.


Introduction

Rappel• Seul effet d’une action sur un point = translation (une rotation n’a pas de sens)

• Cette action est une force qui tend à le déplacer. Elle est caractérisée par :• Un vecteur

• Un point d’application (ou point de passage)

• Somme de plusieurs forces = somme vectorielle

L’action est identique tout le long de la ligne d’action (analogie avec la ficelle)

• Pour un solide rigide, une force est donc caractérisée par :• Un vecteur

• Une ligne d’action


P

P’P

P’

F

F

Produit vectoriel

Outil indispensable pour comprendre les actions mécaniques sur un solide (qui peut être entrainé en rotation).

Définition


V P Q

Le produit vectoriel de P et Q est défini par le vecteur V tel que

La direction de V est perpendiculaire à P et Q

L'intensité est donnée par : V = PQsinθ

La direction est donnée par la règle de

la main droite

θ

Produit vectoriel

Propriétés

Attention


1 2 1 2

Q P P Q

Q P P Q P Q P

Q nP n Q P

Produit vectoriel

Composantes d’un produit vectoriel

Règle du gamma


x y x yV P Q P i P j Q i + Q j ...

x y y xV = P Q - P Q

x x

x y y xy y

P Q = P Q - P Q k

P Q

i

j

k

Moment d’une force par rapport à un point

Effets d’une force sur un solide

• Entrainement en translation

Lorsque la somme des actions se résume à une force, tous les points du solide ont tendance à suivre la translation définie par Δ

• Entrainement en rotation

Pour le traduire, on utilise le vecteur moment en P.


Δ

P

Le moment (action d’entraînement en rotation) est d’autant plus fort que : F est grand Le bras de levier PH est grand

Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm

A

H

2F

1F

R

F

M P, F = PH.F = PA sin PA, F F

Moment d’une force par rapport à un point

Le vecteur moment traduit l’entrainement en rotation

Dans le cas général, il se calcule par :

Remarques :

─ Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm.

─ Il ne dépend pas du point d’application, si celui-ci est sur la ligne d’action de F

─ Le moment en O ne permet pas de connaitre où est appliquée la force.

─ Deux forces sont équivalentes si


P

A

H M P, F = PA F

F = F' et M P, F = M P, F'

F

Système force-moment en un point

Action mécanique équivalente

Action qui a le même effet mécanique sur le solide


P

A

P

A

F

F

M P

Moment d’un système de forces par rapport à un point

Moment résultant de plusieurs forces


P

A

P

A2

A1

1 2 1 2... ... M P, F , F , M P, F M P, F

1 2 1 2M P,F ,F PA F PA F

1 2 1 1 2 2M P,F ,F PA F PA F

1F

2F

1F

2F

Transport de l’action d’une force

Calcul du moment en un autre point Q

Remarque :

TRES utile pour le calculer en un point d’intérêt, comme un centre d’articulation…


, + P M , F M F PQ FQ P

AQ

M Q,F QA F

QP PA F

PA F QP F

F

Système force-moment équivalent

Bilan des actions sur un solide

• Entrainement en translation

Caractérisé par la somme des forces (peut être écrite en tout point du solide)

• Entrainement en rotation

Caractérisé par la somme des moments (peut être calculée en tout point du solide)

La somme des actions mécaniques, en un point, est donnée par :

• Une résultante :

• Un moment résultant en un point P :


Ce couple suffit à déterminer totalement l’action mécanique en un point d’un solide.

R F

M P M P

Ch 4 Statique des solides rigides


Introduction : équations d’équilibre statique


P

AA2A3

O

Un solide est en équilibre statique si

Un système de plusieurs solides est en équilibre statique si chacune de ses parties est en équilibre

En 2D∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0

∑ M(O) = 0

Rappel

Le comportement d’un solide soumis à n actions est défini, en un point O, par une résultante et un moment résultantR F

M P M P

et F 0 M 0 0

F

2F3F

F

M 0

Bilan des efforts extérieurs au solide

Isoler le solide

Lister les efforts extérieurs (forces, moments) connus et inconnus

• Actions mécaniques à distance écrire force/moment

Exemple : gravité

• Actions mécaniques de contact écrire force/moment

Reste plus qu’à écrire la condition d’équilibre !


SS1S2 S

Efforts dans les liaisons extérieurs

Principe des actions mutuelles (réciprocité)


S1S2

et

1/2 2/1

1/2 2/1

F -F

M P M P


Force seule, ligne d’action connue : appui simple

• Appui ponctuel

• Surface plane sans frottement

• Roulement parfait

• Câble

Force seule, ligne d’action inconnue : pivot ou articulation

• Articulation

• Surface rugueuse

Force + moment : encastrement

• Encastrement

• Liaison fixe


Equilibre 2D d’un solide

Principe fondamental de la statique en 2D

• ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 et ∑ M(O) = 0

• Donc 3 équations à disposition

On peut ne déterminer, au plus, que 3 inconnues

Exemple :


Remarque sur l’indétermination d’un système de forces

Isostatisme

Si le solide/système ne peut bouger sous aucune charge (totalement contraint)

+ Si les réactions n’ont que 3 inconnues et peuvent être déterminées par le PFS

ALORS

Le système est isostatique

HyperstatismeIl y a trop d’inconnues (problème indéterminé)

Il faudrait utiliser la mécanique des milieux déformables pour équations suppl.

HypostatismeOn peut résoudre le problème et trouver les inconnuesMAIS une charge additionnelle peut faire bouger le solide/système (il est partiellement contraint)


Remarque sur l’indétermination d’un système de forces

Exemples


Cas particulier : solide soumis à 2 forces

Ecrire les équations d’équilibre en A…


A

B

Solide soumis à 2 forces ⇒ Forces colinéaires, de sens opposées, de même norme

1F

2F

Statique graphique

Exemple des structures en treillis



Ecrire les conditions d’équilibre du solide au point I intersection des directions de F1 et F2…



A

B C

I

Solide soumis à 3 forces ⇒ Forces concourantes, de somme vectorielle nulle

1F

2F

3F

Statique graphique



Cas générale d’équilibre en 3D

Pour un système S, les conditions d’équilibre vont se traduire par :

• Deux équations vectorielles

• En 3D 6 équations pour déterminer les paramètres inconnus

• En 2D, Il n’y en a plus que trois.

Rappel : on ne peut résoudre le problème que si l’on a autant d’équations que d’inconnues


∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ; ∑ Fz = 0 ∑ Mx(O) = 0 ; ∑ My(O) = 0 ; ∑ Mz(O) = 0

∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ∑ M(O) = 0

F 0 et M 0 0

Exemple de résolution graphique

• Effort nécessaire pour couper le boulon

1500 daN

• Liaisons parfaites

Déterminer l’effort de compression sur la vis



2 1F

3 1F


1 3F

3 1 1 3F F


1 3F

2 3F

5 3F


1 2F

3 2F

4 2F


2 4F

7 4F

6 4F


6 visF4 6F

Ch 5 Cinématique


Introduction

Rappels

─ Point matériel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être considérée comme ponctuelle

─ Solide rigide ou indéformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de points matériels gardant des distances constantes entre eux.On peut donc installer un repère sur D

─ Temps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides

Cinématique = étude des mouvements indépendamment de leur causes

Préalable à l’étude des liens entre forces et mouvements

!! Notion relative !!

On étudie le mouvement par rapport à un référentiel (ou repère, ou observateur)


Cinématique du point - Repérage

On utilise des repères orthonormés directs (r.o.n.d = 1 point + 1 base o.n.d)

Repérage d’un point P donné dans le repère

On peut obtenir les coordonnées par projection :

On peut noter :


Px

y z

O

R

OP xi yj zk

O,i, j,k

R

x OP.i

y OP.j

z OP.k

OP x, y, z

Cinématique du point - Vitesse

Définition

Soit P mobile / repère R. Sa vitesse est définie par :

Remarque

Définition indépendante de O pourvu qu’il soit fixe dans R.

Expression :


O

PP’

(t)

(t+Δt)

R

Δt 0 Δt 0

PP' ΔP dV P/ = lim = lim = OP

Δt Δt dt

R

OP = xx + yy + zz

d

V P/ = OPdtdx dy dz

= x + y + kdt dt dt

R

• • •

V P/ = xx + y y + zz

R

Cinématique du point - accélération

Définition

Soit P mobile / repère R. Son accélération est définie par :

Expression


O

PP’

Δt 0

V P' - V P dA P/ = lim = V P

Δt dt

R

•• •• ••

A P/ = x x + y y + z z R

V P

V P'

Cinématique du solide

Repérage d’un solide

Besoin de 6 paramètres

─ Position de OS :

─ Orientation / R : 3 paramètres d’Euler ou 3 autres angles

Difficultés…

Il faut tenir compte des rotations, ce qui complique fortement les calculs…


x

y z

OOS

SOO = xi + y j + zk

Cinématique du solide

Champ de vitesse d’un solide

Observons le déplacement du point B :

Champ d’accélération… à calculer pour les plus courageux…


R A1

Δt

B1 A2 B2 = +B’

A2B2

A1

B1 A2

B’

A22B'B = Δθ AB Δθ

1 2 1 2B B B B' B'B ...

ΔB ΔA BA Δθ

V B V A BA ω

Ch 6 Notions de dynamique


Dynamique du point

Dynamique : Etude des relations entre les mouvements et leurs causes.

Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (2nde loi de Newton)

(Valable dans un repère absolu ou galiléen, supposé exister)

Soit un point P de masse m. Le principe fondamental de la dynamique (PFD) permet d’écrire :

: Résultante des efforts sur P

Cas particulier de la (quasi-)statique (1ère loi de Newton)


F mA P

F

F 0

Principe de la dynamique du solide

Actions extérieures

Actions à distance

Actions de contact, (intérieures) et extérieures

PFD appliqué à un solide de masse m

Une des écritures possibles :

Dynamique d’un système de solides

Idem pour chaque solide + inclure les actions des liaisons

C’est complexe !


S

F mA G

M G GP A P dm

PARTIE 2Mécanique du solide déformable


Ch 7 Introduction à la mécanique des milieux déformables


Limite de la mécanique du solide rigide

• La statique ne renseigne pas sur les efforts intérieurs

• Comment se déforme le solide ?

• Même à résultante d’efforts nulle, le solide peut se déformer

• Casse d’un solide est un problème d’efforts intérieurs


Loi de comportement des matériaux

Définition

• Soit un effort, noté, F sur solide donné

• Soit le changement de forme = déformation, noté D

• La loi de comportement du matériau permet de décrire l’un en fonction de l’autre :


D = f(F)

F2

F1

F3

F4

état initial

état déformé

Loi de comportement des matériaux

Solide ou fluide ?

Solides─ Certaine mémoire de la géométrie initiale, retour élastique

─ Résistance au cisaillement

─ Force constante Déformation constante

─ Sur des temps COURTS, pas/peu de réarrangements de molécules

Fluides─ Réarrangements irréversibles, pas de retour élastique

─ Prend la forme du récipient

─ Force constante Déformation croissante et vitesse de déformation constante

─ Sur des temps LONGS, réarrangements de molécules

En pratique tout matériau est solide et fluide ! Tout est question d’échelle de temps « caractéristique » :

Glace : solide < 1 h ; fluide > 24 h

Verre : solide < 1 an ; fluide > 100 ans

Pâte à modeler : solide < 1 s ; fluide > 10 s


Essais mécaniques unidirectionnels

Essais de traction simple


FF

S0

L0

LF

L - L0

ruptureF

ΔL


Essais de traction simple… et comparaisons avec un même matériau


S0

L0

F

L - L0

Fmax

ΔLel

2Fmax

2S0

L0

S0

2L0

2ΔLel


Essais de traction simple… Notion de contrainte

On pose σ = F / S = contrainte

Unité : N /m² = Pa (pascal)


L - L0ΔLel

F / S0

σmax

2ΔLel


Essais de traction simple… Notion de déformation

On pose ε = (L - L0) / L0 = déformation

Sans unité, parfois exprimée en %


εεel

σ

σmax

Notions de comportement des matériaux

Elasticité, plasticité…

Module d’élasticité ou module de Young

• En zone élastique, le modèle le plus courant d’élasticité linéaire est le modèle de Young :


εεel

σ

σel

σrup

εrup

Zone élastique

Zone plastique

Déformations réversibles

Déformations irréversibles

σ = E εE est le module de Young

(Pa, ou souvent Mpa)


Comportement ductile/fragile

• Exemples ?

Viscosité, non linéarité…


εεel

σ

εrup

Matériau ductile εrup >> εel

Matériau fragilesεrup proche de εel

εεel

σ

εrup


Non linéarité…

• Elasticité non linéaire

Viscosité…

• La réponse mécanique (force, contrainte) dépend de la vitesse de déformation (donc du temps).

• Exemples …


ε

σ

ε

σ

polymèrestypique des tissus mous biologiques


Déformation transverse - Coefficient de Poisson

On constate expérimentalement


d0

S0

L0

L

S d

ε1 = L − L0

L0

ε2 = d − d0

d0= ε3

Déformation longitudinale

Déformation transverse

ε1

ε2, ε3

-υ

ε2 = -υ ε1

υ est le coefficient de Poisson du matériau(sans unité)0 < υ < 0,5


Loi de comportement d’un matériau « simple »

• Matériau élastique

• Linéaire

• Isotrope

La loi de comportement est entièrement définie par E et υ.

Cas plus généraux

• Anisotrope : plusieurs paramètres pour caractériser les différentes directions

• Non linéaire : autres paramètres pour caractériser la non linéarité

• Plasticité, viscosité…


Ch 8 Notion de contrainte et déformation


Contrainte

Effort intérieur sur une surface

On suppose la répartition de l’effort homogène sur la surface

─ On isole la partie (1) calcul de


(2)

(1)

Section S

(1)

S

F

F

F

F

2/1F

Contrainte

Vecteur contrainte – contraintes normale et tangentielle

On définit le vecteur contrainte comme :

On peut le décomposer :


(1)

Contrainte normale Contrainte tangentielle (cisaillement)

F

TS

N Tn t F F

TS S

n t T σ τ

T

τ

t

n

F

σ

Contrainte

La contrainte est en fait une grandeur locale

Attention, dépend de l’orientation de la surface

Il existe un formalisme mathématique pour écrire la contrainte locale 3D (basé sur les matrices et opérations associées)


dS

M

dS

M

dF

T MdS

dF

, dF

T M ndS

T

dF

n

Déformation

Déformation longitudinale = déformation en 1D


x = 0 x = l0

x

x = 0 x = l

Δl x + u(x)

ε = Δll0

Déformation

La déformation longitudinale peut être non homogène

Besoin d’une définition locale en xElle est liée aux déplacements relatifs des particules du matériau

Isolons un petite portion autour de x :


x x + dx

x + u(x) x + dx + u(x+dx)

ε(x) = Δll0

= u(x+dx) − u(x)

dx

ε(x) = du

dx

Déformation

Généralisation, formalisme similaire à la contrainte

• Allongements et variations d’angle (cisaillement)


introduction à la mécanique des solides cido – saint-etienne

Documents