Asignatura: Matemática

Profesora: Mariel Roa

Curso: IV°Medio

Corporación Educacional Colegio “Sao Paulo”

Placilla 333, Estación Central

Unidad Técnico-Pedagógica

Módulo de autoaprendizaje Nº16

Tema: Función seno y coseno.

.

Objetivo: Analizar el comportamiento gráfico de las relaciones trigonométricas seno y coseno.

Definición:

Definiremos las funciones de dominio real seno y coseno de la siguiente forma:

• Recorrido: [– 1, 1]

• sen(x) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋)

• Puntos de intersección: (𝑘𝜋, 0), 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ

•Recorrido: [– 1, 1]

• cos(x) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋)

•Puntos de intersección con el eje X: (𝑘𝜋 + 𝜋

2, 0), 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ

Una función se llama periódica cuando su valor se repite cada vez que la variable independiente recorre

un cierto intervalo o completa un ciclo determinado. El valor de este intervalo se llama periodo:

𝑓(𝑥 + 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜) = 𝑓(𝑥).

Al sumar un valor t en el argumento de la función seno, esta se traslada horizontalmente, de modo que la

gráfica trasladada g(x) = sen (x + t) es:

Además de trasladar horizontalmente la función seno, podemos trasladarla verticalmente mediante la

suma de un valor c fuera del argumento de la función seno. La gráfica de h(x) = sen(x) + c es:

Ejemplo:

I. Por ejemplo, para el ángulo π

3 se tiene sen(

π

3) =

√3

2 y cos(

π

3) =

1

2. Esto quiere decir que el punto P(x, y)

tiene su coordenada x en 1

2. y su coordenada y en

√3

2.

II. ¿Cuál es el periodo de las funciones seno y coseno?, ¿cómo se relaciona con la cantidad de vueltas

alrededor de la circunferencia unitaria?

El periodo es 2π, una vuelta en la circunferencia

III. Gráfica de la función f(x) = sen (x + 3π) – 1

Paso 1: Gráfica la función f(x)= sen (x)

Paso 2: Traslada horizontalmente 3π

f(x) = sen (x + 3π)

Paso 3: Traslada verticalmente -1 unidad.

f(x) = sen (x + 3π) – 1

La grafica de la función (x) = sen (x + 3π) – 1

1.- Ahora hazlo tú,

I. Realiza los siguientes ejercicios.

a. Determina los valores de x para los ángulos: −π

4,

−π

6,

π

4 𝑦

π

6

b. ¿Qué regularidad cumplen cos(α) y cos(−α)?

c. Determina los valores de y para los ángulos−π

4,

−π

6,

π

4 𝑦

π

6.

d. ¿Qué regularidad cumplen sen(α) y sen(−α)?

II. Ingresa a www.enlacesmineduc.cl con el código T20M4MP152A. Muevan los deslizadores y respondan:

a. ¿Qué diferencia observan entre los movimientos que provocan en la función seno los deslizadores t

y c? b. ¿En qué eje realiza modificaciones el parámetro t, que se encuentra dentro del argumento de la

función seno?

c. ¿Qué regularidad observas cuando utilizas valores mayores que 2π? ¿Cómo relacionas este

comportamiento con el periodo?

d. ¿En qué eje realiza modificaciones el parámetro c, que se encuentra fuera del argumento de la

función seno?

e. Presiona la casilla de función coseno. ¿Cuánto hay que trasladar la función seno para obtener la

función coseno?

III. Gráfica de la función

a. f(x) = sen (x + 2π) – 3

b. f(x) = sen (x + π/2) +2

2.- Revisa los resultados obtenidos

I.

a. √2

2,

√3

2,

√3

2,

√2

2

b. cos (α) = cos (− α)

c. −√2

2,

−1

2,

1

2,

√2

2

d. sen(α) = − sen (− α)

II.

a. t produce movimientos horizontales y c verticales.

b. Eje X.

c. Se repiten los valores anteriores.

d. Eje Y

III.

a.

b.

3.- Finalmente responde esta autoevaluación marcando la opción que corresponda luego de haber

revisado tus respuestas.

Indicador Sí No

¿Encontré el eje al mover el deslizador?

¿Observe la diferencia que provoca los

deslizadores en la función seno?

¿Encontré la regularidad con valores mayores a

360°?

¿Realice el procedimiento algebraico correcto?

¿Logré argumentar mi respuesta?

¿Encontré los valores de x e y para los ángulos

entregados?

¿Encontré el radian correcto?

¿Logre evaluar correctamente la función?

¿Grafique correctamente la función aplicando la

traslación correspondiente?

¿Obtuve las traslaciones correspondientes?