mba em bi - apostila
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Esta apostila contém conteúdos a nível de MBA em Business Intelligence.TRANSCRIPT
1
MBA EM BUSINESS INTELLIGENCE
APOSTILA DE
ESTATISTICA APLICADA A BUSINESS INTELLIGENCE
Prof°. Giancarlo de França Aguiar
Email: [email protected]
2
Esta apostila contém material base e introdutório para a cadeira de Estatística Aplicada a Business
Intelligence (30 horas) do MBA em Business Intelligence da Universidade Positivo. Este material
foi organizado de modo enxuto para proporcionar uma visão técnica de algumas ferramentas de
Estatística que serão abordados durante todo o curso. De maneira alguma, este descritivo objetiva
excluir os referenciais bibliográficos constantes na literatura, mas promover a facilidade no tratar
de negócios para estudantes oriundos de cursos de graduação que tiveram ou não a disciplina
Estatística.
Prof. Giancarlo de França Aguiar
3
Sumário
1.0 Apresentação ........................................................................................................... 04
2.0 Distribuição de Probabilidades .............................................................................. 06
3.0 Descrição, Exploração e Comparação de Dados ................................................... 12
3.1 Tabelas de Frequência ................................................................................ 12
3.2 Medidas de Tendência Central ................................................................... 18
3.3 Medidas de Dispersão ................................................................................. 21
4.0 Probabilidade por Meio de Simulação .................................................................... 27
5.0 Análise de Correlação Linear ................................................................................. 30
6.0 Análise de Regressão Linear .................................................................................. 36
7.0 Simulação ............................................................................................................... 41
7.1 Modelos de Programação Linear ................................................................ 41
7.2 Simulação em Excel ................................................................................... 52
7.3 Modelos de Estoques .................................................................................. 54
7.4 Simulação .................................................................................................... 68
8.0 Planejamento de Projetos ....................................................................................... 75
8.1 Redes PERT ............................................................................................... 75
8.2 Redes PERT/Custo...................................................................................... 78
9.0 Referências ............................................................................................................ 82
4
1.0 APRESENTAÇÃO
É presente no comércio, academia e indústria a procura por profissionais que
tenham a competência de pensar Estatística e estimular a sua utilização. Mais do que
tratar um conjunto de dados, é preciso interpretá-los. Atualmente é imprescindível
tomar decisões sem algum modelo ou método que auxilie o tomador de decisões. Os
slides a seguir dão uma breve noção da importância da Estatística.
5
Diz-me, e eu esquecerei; ensina-me e eu lembrar-me-ei; envolve-me, e eu aprenderei.
(Autor desconhecido)
6
2.0 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
É possível explorar um conjunto de dados utilizando para isto, gráficos, tabelas e
medidas que serão abordadas no próximo capítulo (3), contudo, podemos combinar
essas medidas de forma a estabelecermos distribuições de probabilidades que podem
descrever o que provavelmente ocorrerá.
8
Problemas para iniciar a discussão:
1- Problema do Jogo Pick Three
Considere o jogo de números praticado há muitos anos por organizações ligadas ao
crime e agora legalizados por muitos governos organizados – assim como também por
alguns governos não muito bem organizados. Em geral conhecido como “escolha três”
(Pick three), o apostador aposta em três números, que deverão coincidir com os
números sorteados (há mil possibilidades de 000 a 999). O ganho típico é de 499 para 1,
o que significa que para cada $ 1 apostado o jogador recebe $500 (ou seja, um retorno
líquido de $499). Suponha o leitor que apostou $1 no número 327. Qual é o valor
esperado (média) de seu ganho ou perda? Considere um número significativo de
jogadas/apostas (longo prazo).
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
9
2- Problema do Jogo do Bicho no Grupo
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
3- Problema do Jogo do Bicho na Milhar
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
10
Exercícios:
1- Ao apostar em um cassino $5 no número 7 da roleta, tem-se uma probabilidade de
1/38 de ganhar $175 e uma probabilidade de 37/38 de perder $5. Qual é o valor
esperado? Em um número muito grande de apostas, quanto se perde para cada dólar
apostado?
2- Uma mulher de 27 anos decide contratar uma apólice de seguro de vida de R$
100.000,00 por um ano, pagando um premio de R$ 156,00. A probabilidade de ela
sobreviver um ano é de 0,9995 (base de dados do Ministério da Saúde). Qual é o seu
valor esperado para a apólice de seguro?
Nos exercícios (3, 4, 5 e 6), determine se é dada uma distribuição de probabilidades.
Caso sim construa o seu histograma de frequências e calcule a sua média, variância e o
desvio-padrão.
3- Ao escolher aleatoriamente um colega de cela condenado por dirigir alcoolizado
(DA), a distribuição de probabilidade do número “x” de sentenças anteriores em casos
de (DA) é dada na tabela a seguir.
x P (x)
0 0,512
1 0,301
2 0,132
3 0,055
4- Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem distinção de sexo e o
conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulheres, o quadro a
seguir dá a distribuição do número x de mulheres contratadas.
x P (x)
0 0,0625
1 0,2500
2 0,3750
3 0,2500
11
4 0,0625
5- Para resolver uma questão de paternidade, fazem-se testes de sangue em duas pessoas
diferentes. Se “x” é o número dos que têm sangue do grupo A, então “x” pode ser 0, 1 e
2, e as probabilidades correspondentes são 0,36; 0,48 e 0,16, respectivamente.
6- Ao avaliar riscos de crédito, o Jefferson Valley Bank investiga o número de cartões
de crédito que a pessoa tem. Com “x” sendo o número de cartões de crédito que os
adultos possuem. O quadro a seguir dá a distribuição de probabilidades para um
conjunto de solicitantes (base da dados da Matriz Marketing Research , Inc.).
x 0 1 2 3 4 5 6 7
P(x) 0,26 0,16 0,12 0,09 0,07 0,09 0,07 0,14
“São dois os mais fortes dos guerreiros: o tempo e a paciência”.
14
“O trabalho espanta três males: o vício, a pobreza e o tédio”.
Voltaire
Problema para iniciar a discussão:
Os dados da tabela abaixo fornecem o tempo em dias exigido para se completar
auditorias de fim de ano para uma amostra de 20 clientes da Sanderson and Clifford,
uma pequena firma de contabilidade. Construir uma tabela de frequências, frequências
relativas e frequências acumuladas para os dados.
Tempo em dias de auditorias de fim de ano
12 14 19 18
15 15 18 17
20 27 22 23
22 21 33 28
14 18 16 13
15
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
Exercícios
1- Um radar da polícia rodoviária registrou as velocidades de 50 veículos em uma
rodovia, obtendo-se os seguintes resultados (velocidade em Km/h):
75,3 78,5 65,6 80,0 79,2 36,8 77,9 80,7 78,2 50,3
83,0 67,2 75,0 73,9 85,0 78,6 79,0 81,6 35,9 67,8
79,2 81,0 79,3 68,0 77,2 79,6 70,2 90,6 80,9 73,6
78,1 80,0 80,0 79,9 74,0 55,4 60,7 80,2 77,0 80,0
82,0 83,1 79,6 80,5 65,7 83,7 68,0 75,6 71,9 78,3
Monte uma tabela de freqüência com 7 classes.
2- As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades e as causas de morte.
Construa um histograma correspondente aos dados da tabela de frequências abaixo. Os
dados se baseiam em um estudo da revista Time sobre vítimas fatais de armas de fogo
na América durante uma semana. O que o histograma sugere quanto às idades dessas
vítimas fatais?
Idade na Morte Frequência
16 – 25 22
26 – 35 10
36 – 45 6
46 – 55 2
56 – 65 4
66 – 75 5
76 – 85 1
16
3- O tempo que cada cliente de um restaurante permanece na mesa foi medido. Para
uma amostra de 50 clientes, os dados obtidos (tempo em minutos) e já organizados em
tabela de frequência, foram:
Tempo de Permanência (min) Frequência
10 20 5
2 30 13
30 40 19
40 50 9
50 60 2
60 70 1
70 80 1
Soma 50
Construa um histograma e um polígono de frequência (unindo os pontos médios da
parte superior de cada retângulo do histograma com segmentos de reta, obtemos o
chamado polígono de frequência) para esses dados.
4- Uma pesquisa coletou o consumo comercial de energia elétrica (Eletrobrás) de 1970
a 2010. Fonte: IPEA, 2012 (http://www.ipeadata.gov.br/).
Data Consumo de Energia Elétrica
1970 5.158
1971 5.679
1972 6.396
1973 7.237
1974 8.117
1975 8.987
1976 9.860
1977 10.487
1978 11.340
1979 12.539
1980 13.750
1981 14.424
1982 15.477
1983 16.754
1984 17.704
1985 18.539
1986 19.610
1987 20.465
1988 21.337
1989 22.367
1990 23.790
1991 24.957
1992 25.940
1993 27.392
1994 28.869
1995 32.276
1996 34.764
17
1997 38.197
1998 41.544
1999 43.589
2000 47.627
2001 44.433
2002 45.255
2003 47.522
2004 49.609
2005 52.985
2006 55.308
2007 58.744
2008 61.949
2009 65.379
2010 69.080
Monte uma tabela de frequências.
5- Uma pesquisa coletou o risco Brasil (título de dívida) em 2012. Fonte: IPEA, 2012
(http://www.ipeadata.gov.br/). Monte uma tabela de frequências.
Data Risco Brasil
19/03/2012 163
16/03/2012 171
15/03/2012 167
14/03/2012 163
13/03/2012 168
12/03/2012 180
09/03/2012 179
08/03/2012 183
07/03/2012 193
06/03/2012 198
05/03/2012 190
02/03/2012 190
01/03/2012 190
29/02/2012 194
28/02/2012 199
27/02/2012 205
24/02/2012 201
23/02/2012 199
22/02/2012 196
17/02/2012 197
16/02/2012 201
15/02/2012 205
14/02/2012 204
13/02/2012 196
10/02/2012 198
18
09/02/2012 195
08/02/2012 201
07/02/2012 204
06/02/2012 209
03/02/2012 205
02/02/2012 217
01/02/2012 216
31/01/2012 221
30/01/2012 221
27/01/2012 218
26/01/2012 218
25/01/2012 212
24/01/2012 209
23/01/2012 209
20/01/2012 211
19/01/2012 218
18/01/2012 227
17/01/2012 232
16/01/2012 233
13/01/2012 237
12/01/2012 228
11/01/2012 232
10/01/2012 223
09/01/2012 217
06/01/2012 214
05/01/2012 212
04/01/2012 212
03/01/2012 214
02/01/2012 223
3.2 Medidas de Tendência Central
22
Problema para iniciar a discussão:
Com a tabela de frequências para a variável aleatória “tempo em dias exigido para se
completar auditorias de fim de ano” para uma amostra de 20 clientes da Sanderson and
Clifford, construída no capítulo anterior:
a) Determine à média e o desvio-padrão para o conjunto de dados agrupados.
b) Utilize o teorema de Theibichev (2
11
KTT ) para determinar um intervalo de
confiança para a média populacional. Utilize .2K
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
23
Exercícios
1- O tempo que cada cliente de um restaurante permanece na mesa foi medido. Para
uma amostra de 60 clientes, os dados obtidos (tempo em minutos) foram organizados no
quadro a seguir. Determine a média e desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de
frequências. Utilize o teorema de Theibichev (2
11
KTT ) para determinar um
intervalo de confiança para a média populacional. Utilize .2K
Tempo de Permanência (min) Freqüência
10 19 13
20 29 5
30 39 9
40 49 18
50 59 2
60 69 11
70 79 2
Soma 60
2- As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades e as causas de morte.
Construa um histograma correspondente aos dados da tabela de freqüências abaixo. Os
dados se baseiam em um estudo da revista Times sobre vítimas fatais de armas de fogo
na América durante uma semana. O que o histograma sugere quanto às idades dessas
vítimas fatais? Calcule a sua média e o desvio-padrão. Utilize o teorema de Theibichev
(2
11
KTT ) para determinar um intervalo de confiança para a média populacional.
Utilize .2K
Idade na Morte Freqüência
16 – 25 22
26 – 35 10
36 – 45 6
46 – 55 2
56 – 65 4
66 – 75 5
76 – 85 1
3- Milhões de americanos se levantam todas as manhãs e vão para o escritório, em sua
própria casa. Sugere-se que o uso de computadores pessoais seja uma das razões para
que mais pessoas possam trabalhar em casa. A seguir está uma amostra de dados, por
idade, de indivíduos que trabalham em casa:
22 58 24 50 29 52 57 31 30 41
44 40 46 29 31 37 32 44 49 29
24
Calcule a média e o desvio-padrão. Utilize o teorema de Theibichev (2
11
KTT ) para
determinar um intervalo de confiança para a média populacional. Utilize .2K
4- Um departamento de produção usa um procedimento de amostragem para testar a
qualidade de itens recém-produzidos. O departamento emprega a seguinte regra de
decisão em uma estação de inspeção: se uma amostra de 14 itens tem uma variância de
mais que 0,005, a linha de produção precisa ser paralisada para reparos. Suponha que os
seguintes dados tenham sido coletados:
3,43 3,45 3,43 3,48 3,52 3,50 3,39
3,48 3,41 3,38 3,49 3,45 3,51 3,50
A linha de produção deveria ser paralisada? Por quê?
5- Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de frequência para o número
de litros de gasolina vendidos por carro em uma amostra de 680 carros.
Gasolina (litros) Frequência
0 – 4 74
5 – 9 192
10 – 14 280
15 – 19 105
20 – 24 23
25 – 29 6
Total 680
Calcule a média, a variância e o desvio-padrão para esses dados agrupados. Se o posto
de gasolina espera atender cerca de 120 carros em um determinado dia, qual é a
estimativa do número total de litros de gasolina que serão vendidos?
Exercícios Complementares
1- A Média Harmônica costuma ser usada como medida de tendência central para
conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo,
velocidades. A média harmônica é obtida dividindo-se o número n de valores pela soma
dos inversores de todos os valores. Se expressa como:
x
n
1
(nenhum valor pode ser zero) Por exemplo, teremos como média harmônica para os
números 2, 4 e 10:
25
5,385,0
3
10
1
4
1
2
1
3
1
x
n
Um despachante calcula a velocidade média, em milhas por hora, do percurso de ida e
volta entre duas cidades. Dá-se a seguir os resultados obtidos em 14 viagens diferentes.
Com base nestes dados, qual é a velocidade média harmônica de um ônibus neste
percurso?
42,6 41,3 38,2 42,9 43,4 43,7 40,8
34,2 40,1 41,2 40,5 41,7 39,8 39,6
2- A Média Geométrica é usada em administração e economia para achar taxas médias
de variação, de crescimento, ou razões médias. Dados n valores (todos positivos), a
média geométrica é a raiz nma
do seu produto. Por exemplo, determina-se a média
geométrica de 2, 4 e 10 multiplicando-se os três valores (o que neste caso da 80) e
tomando-se a raiz cúbica do resultado (porquê há 3 valores). O resultado é 4,3. O fator
de crescimento médio para o dinheiro composto às taxas anuais de juro de 10%, 8%,
9%, 12% e 7% pode ser determinado calculando-se a média geométrica de 1.10, 1.08,
1.09, 1.12 e 1.07. Calcule esse fator médio de crescimento.
3- A Média Quadrática é utilizada em geral em experimentos físicos. Em sistemas de
distribuição de energia, por exemplo, as tensões e correntes são em geral dadas em
termos de sua média quadrática. Obtém-se a média quadrática de um conjunto de
valores elevando-se cada um ao quadrado, somando-se os resultados, dividindo-se o
total pelo número n de valores e tomando-se a raiz quadrada do resultado. Por exemplo,
obtemos a média quadrática de 2, 4 e 10:
3,6403
120
3
1001642
n
x
Calcule a média quadrática dos seguintes valores de fornecimento de energia (em volts):
151 162 0 81 - 68
4- A Média Ponderada é utilizada quando os valores dos dados têm diferentes pesos.
Consideremos que em uma festa escolar existam pessoas com 18, 19, 20, 35 e 40 anos
de idade. Além disso, consideremos também que sejam 5 pessoas com 18 anos, 9 com
19 anos, 4 com 20 anos, 1 com 35 anos e 1 com 40 anos. A média ponderada é o
resultado da soma dos produtos do número de pessoas (por idade) multiplicado por suas
idades, divididos pelo número total de pessoas.
Um aluno de estatística tirou nota 8,5 na primeira prova, 3,5 na segunda, 4,5 na terceira
e 4,5 na última. Calcule a média ponderada com peso 2 para a primeira prova, peso3
para a segunda, peso 2 para a terceira e peso 3 para a quarta.
8,2011495
1.401.354.209.195.18.
1
1
m
k
k
m
k
kk
p
pk
ponderadamédia
26
5- Calcule a média dos dados da tabela a seguir inserindo na própria tabela as colunas
que representam a média dos intervalos de classe e seu produto pela freqüência
Classe Freqüência
10 12 4
12 14 12
14 16 21
16 18 13
18 20 6
“A riqueza de um homem está em seu coração. É em seu coração que ele é o rei do mundo. Viver não exige a posse de tantas coisas”.
Giono
27
4.0 PROBABILIDADE POR MEIO DE SIMULAÇÃO
A determinação direta de probabilidades de eventos às vezes é muito difícil.
Eventualmente os resultados, embora corretos, não são o que esperávamos. Em lugar de
confiar exclusivamente nos princípios abstratos da teoria das probabilidades, a
simulação pode vir a ajudar-nos.
Definição: Uma simulação de um experimento é um processo que se comporta
como o próprio experimento, produzindo resultados análogos.
Exemplo 1: Em técnicas de teste sobre seleção de sexo, os pesquisadores médicos
precisam conhecer probabilidades relacionadas com o sexo de nascituros. Admitindo
que os sexos (masculino e feminino) sejam igualmente prováveis, descreva um
experimento que simule o sexo em nascimentos.
R: Vamos representar como:
1 = Masculino e 0 = feminino
Agora vamos simular 20 nascimentos:
Função: aleatórioentre(0;1)
Obtivemos: doze (uns) e oito (zeros). Ou seja,
P(masculino) = 12/20 = 0,6 = 60%
P(feminino) = 8/20 = 0,4 = 40% em simulação.
28
Exemplo 2: A fabricante de telefones celulares Delmarva Comunications Company
vem experimentando uma taxa de 6% de defeitos. O controlador de qualidade sabe que
os telefones são produzidos em lotes de 240 e que, em média, há aproximadamente 15
defeitos por lote. Ele deseja saber a variação típica do número de defeitos. Descreva
uma simulação de 240 telefones celulares fabricados com um taxa de 6% de incidência
de defeitos.
R: Tomamos a taxa de defeito 0,06 (ou seja, 6 a cada 100 lançamentos). Tomaremos
que:
os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 representarão os defeitos, e
os números 7, 8, ..., 100 representarão os não-defeitos.
Simulando 240 lançamentos de 1 a 100 e ordenando os dados:
Obtivemos por simulação um total de 14 defeitos em um lote de 250 celulares.
Realizando 10 simulações obtivemos os seguintes resultados:
14 11 8 15 9 14 15 9 10 12
Média e Desvio-Padrão do número de defeitos:
7,1110
117_
n
xx 6687,2
1
)( 2
n
xxS
29
Coeficiente de Variação: %8,222280,07,11
6687,2
Exercícios para sala:
1- Simule o lançamento de um dado não viciado 200 vezes e encontre as
probabilidades de sair os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
2- Simule o lançamento de uma moeda não viciada 100 vezes e encontre a
probabilidade sair cara.
“Todo o nosso descontentamento por aquilo que nos falta procede da nossa falta de gratidão por aquilo que temos”.
Daniel Defoe
32
Problemas para iniciar a discussão:
1- O gerente de uma grande loja está interessado em investigar a relação entre o número
de comerciais mostrados no fim de semana e as vendas na loja durante a semana
seguinte. Os dados de amostra com as vendas expressas em centenas de dólares são
fornecidos no quadro a seguir:
33
Dados de Amostra para a Loja
N° de Comerciais Volume de Vendas
Semana “x” “y”
1 2 50
2 5 57
3 1 41
4 3 54
5 4 54
6 1 38
7 5 63
8 3 48
9 4 59
10 2 46
Existe algum relacionamento entre o número de comerciais e o aumento no volume de
vendas?
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
34
Exercícios
1- A Média Industrial Dow Jones (DJIA) e o índice Standard & Poor´s 500 (S&P 500)
são ambos utilizados como medidas do movimento global no mercado de ações. O
DJIA é baseado no movimento de preços de 30 ações; o S&P 500 é um índice composto
de 500 ações. Alguns dizem que o S&P 500 é uma medida melhor do desempenho do
mercado de ações porque é baseado em maior número de ações. O Quadro a seguir
ilustra o preço de fechamento para o DJIA e para o S&P 500 para 10 semanas em 1997.
a- Calcule o coeficiente de correlação para a amostra.
b- O que o coeficiente de correlação nos conta sobre a relação entre os índices
DJIA e S&P 500?
Preços de fechamento para os índices da média industrial Dow Jones e S&P 500
Data Dow Jones S&P 500
24 de outubro 7.715 942
31 de outubro 7.442 915
7 de novembro 7.581 928
14 de novembro 7.572 928
21 de novembro 7.881 963
28 de novembro 7.823 955
5 de dezembro 8.149 984
12 de dezembro 7.838 953
19 de dezembro 7.756 947
26 de dezembro 7.679 936
2- O quadro a seguir relaciona os pesos (em centenas de libras) e as taxas de consumo
de combustível em rodovia (em mi/gal) para uma amostra de carros de passeio novos.
Com base nos resultados, espera-se um maior consumo de combustível se adquirir um
carro mais pesado? Os resultados se modificam se os pesos forem dados como 2900,
3500, ..., 2400?
x peso 29 35 28 44 25 34 30 33 28 24
y combustível 31 27 29 25 31 29 28 28 28 33
3- A tabela a seguir dá os pesos (em libras) do plástico descartado por uma amostra de
residências, juntamente com o tamanho destas. Há alguma correlação linear
significatica?
x plástico
(lb)
0,27 1,41 2,19 2,83 2,19 1,81 0,85 3,05
y tamanho
residência
2 3 3 6 4 2 1 5
35
4- Fez-se um estudo para investigar a relação entre idade (em anos) e a CAS
(Concentração de Álcool no Sangue) medida quando os motoristas intoxicados
condenados foram presos pela primeira vez. Com base no resultado, parece haver
relação entre o nível de CAS e a idade da pessoa testada?
Idade 17,2 43,5 30,7 53,1 37,2 21 27,6 46,3
CAS 0,19 0,2 0,26 0,16 0,24 0,20 0,18 0,23
5- A tabela a seguir dá o número (em milhares) de armas automáticas registradas,
juntamente com a taxa de criminalidade (em crimes por 100.000), para estados
selecionados aleatoriamente. Consideram-se automáticas as armas que continuam
disparando enquanto o gatilho está acionado. Os crimes com armas de fogo parecem
estar relacionados com as aramas automáticas? Uma correlação linear significativa
implica que o aumento do número de armas automáticas resulta em maior número de
crimes?
Armas
automáticas
11,6 8,3 3,6 0,6 6,9 2,5 2,4 2,6
Taxa de
criminalidade
13,1 10,6 10,1 4,4 11,5 6,6 3,6 5,3
38
Problemas para iniciar a discussão:
1- Pressupondo a correlação entre o número de comerciais e o volume de vendas em um
determinada loja, é possível predizer o volume de vendas para a loja na próxima semana
sabendo que o numero de comerciais desta semana foi 3.
Dados de Amostra para a Loja
N° de Comerciais Volume de Vendas
Semana “x” “y”
1 2 50
2 5 57
3 1 41
4 3 54
5 4 54
6 1 38
7 5 63
8 3 48
9 4 59
10 2 46
39
Tomador de Decisão: ________________________________________
Exercícios
1- A figura a seguir ilustra o diagrama de dispersão da população de estudantes (em
milhares no eixo x) e o volume de vendas trimestrais (em milhares de dólares) para a
Armand´s Pizza Parlors. Determine a equação de regressão linear para o diagrama e
determine qual seria o volume de vendas se a população de estudantes fosse de 13 mil
estudantes.
58
105
88
118 117
137
157169
149
202
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Série1
2- Os dados seguintes mostram o gasto com mídia (milhões de dólares) e as vendas de
caixas (milhões) para sete grandes marcas de refrigerantes.
Marca Gastos com Mídia (US$) Vendas de Caixas
Coca-Cola 131,3 1.929,2
Pepsi-Cola 92,4 1.384,6
Coca-Cola Light 60,4 811,4
Sprite 55,7 541,5
Dr. Pepper 40,2 536,9
Mountain Dew 29,0 535,6
7-up 11,6 219,5
40
a) Desenvolva um diagrama de dispersão para esses dados.
b) Encontre a equação de regressão estimada.
c) Tente prever a venda de caixas para uma marca com um gasto com mídia de
US$ 70 milhões.
3- Os dados de performance de linhas aéreas americanas foram reportados no The
Wall Street Journal Almanac 1998. Os dados da porcentagem de vôos chegando na
hora e o número de reclamações a cada 100.000 passageiros são apresentados a
seguir:
Linha Aérea Porcentagem de Pontualidade Reclamações
Southwest 81,8 0,21
Continental 76,6 0,58
Northwest 76,6 0,85
US Airways 75,7 0,68
United 73,8 0,74
American 72,2 0,93
Delta 71,2 0,72
American West 70,8 1,22
TWA 68,5 1,25
a) Desenvolva um diagrama de dispersão para esses dados.
b) Desenvolva uma equação de regressão estimada.
c) Qual será o número de reclamações/100.000 passageiros se a porcentagem de
vôos chegando na hora for de 80%?
4- Um gerente de vendas reuniu os seguintes dados considerando os anos de experiência
e as vendas anuais.
Vendedor Anos de Experiência Vendas Anuais (US$ 1.000)
1 1 80
2 3 97
3 4 92
4 4 102
5 6 103
6 8 111
7 10 119
8 10 123
9 11 117
10 13 136
a) Desenvolva um diagrama de dispersão para esses dados.
b) Desenvolva a equação de regressão estimada.
c) Use a equação para estimar as vendas anuais para um vendedor com nove anos
de experiência.
41
7.0 SIMULAÇÃO
A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada e voltada para a resolução de
problemas reais. Tem como objetivo a tomada de decisões. Fundamenta-se em
conceitos e métodos de outras áreas científicas para o planejamento e operação de
sistemas e projetos.
“A Pesquisa Operacional surgiu durante a Segunda Guerra Mundial, quando os
Aliados se viram confrontados com problemas (de natureza logística, tática e de
estratégia militar) de grande dimensão e complexidade. Para apoiar os comandos
operacionais na resolução desses problemas, foram então criados grupos
multidisciplinares de matemáticos, físicos e engenheiros e cientistas sociais. Esses
cientistas não fizeram mais do que aplicar o método científico, que tão bem conheciam,
aos problemas que lhes foram sendo colocado. Desenvolveram então a idéia de criar
modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os
problemas em estudo e simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou
decisões alternativas” (http://www.sobrapo.org.br/PO.htm).
“O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes que,
terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem
dos problemas se transferiram para as empresas que, com o "boom" econômico que se
seguiu, se viram também confrontadas com problemas de decisão de grande
complexidade” (http://www.sobrapo.org.br/PO.htm).
“Seguiram-se então grandes desenvolvimentos técnicos e metodológicos que hoje,
com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, nos
permitem trabalhar enormes volumes de dados sobre as atividades das empresas e,
através de adequados modelos de base quantitativa, simular e avaliar linhas de ação
alternativas e encontrar soluções que melhor servem aos objetivos dos indivíduos ou
organizações” (http://www.sobrapo.org.br/PO.htm).
7.1 Modelos de Programação Linear
1. Histórico
II Guerra Mundial alocação de recursos limitados
1947 George B. Dantizig formulou o “Método Simplex”
para a resolução de problemas de programação linear.
A partir daí ocorreram vários aprimoramentos do método.
2. Exemplo de um Problema Linear com duas (2) variáveis
42
(Problema 1) Uma empresa deseja lançar duas variedades de produtos, digamos A e B,
em uma área (galpão) restrita a 100 ares (10.000 m²), sendo que cada espaço (are)
destinado ao produto A tem um retorno de 8 unidades, enquanto que cada espaço (are)
destinado ao produto B tem um retorno de 10 unidades. Na linha de produção, cada
espaço destinado ao produto A precisa de 3 homens-hora de trabalho, e cada espaço
destinado ao produto B precisa de 2 homens-hora, sendo que se dispõe de até 240
homens-hora de trabalho para a produção. O custo da mão-de-obra é de 200 u.m.
(unidades monetárias) por homem-hora. A demanda máxima é limitada pelo mercado
consumidor a 480 produtos tipo A, vendido a 150 u.m. por unidade, e 800 produtos do
tipo B, vendido a 120 u.m. por unidade. O gestor da empresa, deseja planejar a sua
produção de forma a maximizar o seu lucro.
Modelagem Matemática:
Passo 1. Variáveis do Problema.
1x Quantidade de espaços (ares) destinados ao produto tipo A.
2x Quantidade de espaços (ares) destinados ao produto tipo B.
Passo 2. Função Objetivo
Maximização do lucro
Lucro = (receitas menos os custos)
Receitas
21
21
.1200.1200
/..120..10/..150..8
xxR
smuxsmuxR
Custos
21
21
.400.600
../..200..2../..200..3
xxC
hhmuxhhmuxC
Portanto Temos o
21
2121
.800.600
.400.600.1200.1200
xxLucro
xxxxLucro
43
Logo para a Função Objetivo teremos
21 .800.600 xxZMax
Passo 3. Restrições Limitações.
Obs.: 1 hectare equivale 100 ares
Área disponível
10021 xx
Consumo de homens-hora
240.2.3 21 xx
Demanda do mercado
60
480.8:
1
1
x
ouxATipo
80
800.10:
2
2
x
ouxBTipo
Modelo Matemático Completo
0,
80
60
240.2.3
100:..
.800.600
21
2
1
21
21
21
xx
x
x
xx
xxas
xxZMax
3. Resolução Gráfica
0,
80
60
240.2.3
100:..
.800.600
21
2
1
21
21
21
xx
x
x
xx
xxas
xxZMax
Para a primeira restrição temos
44
100
1000
0100
2
2
121
x
x
xparaxx
100
1000
0100
1
1
221
x
x
xparaxx
Condição: Desigualdade (<)
Vale a mesma resolução para as demais restrições
Objetivo: Ponto que maximiza a função
O Vetor Gradiente indica a direção do máximo crescimento de uma função.
Função Objetivo 21 .800.600 xxZMax
)80,60(
)800,600(
)(
Z
Z
parciaisderivadasZ
Semi-plano 100
100
Reta
Semi-plano
45
80,20, 21 xxExtremoPonto
..76000
80.80020.600
.800.600
*
*
21
*
muZ
Z
xxZ
Existe uma solução ótima limitada, se e somente se, ela sempre poderá ser encontrada
em um ponto extremo do conjunto de soluções compatíveis.
Dar o exemplo não é a melhor maneira de influenciar os outros. - É a única.
Albert Schweitzer
Direção do vetor gradiente
60
80
20
.
Vértice da solução ótima
Ponto extremo
46
Tomador de Decisão: __________________________________
O Modelo de Transportes (Logística)
Dentro da Programação Linear o modelo de transportes merece uma atenção especial.
Ele possui suas características próprias possuindo um modelo geral de P.L..
Modelo Geral
njemix
demandanjbx
ofertamiaxas
xcCMin
ij
j
m
i
ij
i
n
j
ij
m
i
n
j
ijij
,...,1,...,1,0
)(,...,1,
)(,...,1,:..
.
1
1
1 1
Observação: Nos modelos de transportes a “oferta” deve ser igual a “demanda”.
Se oferta > Demanda
Cria-se um depósito fictício com a demanda igual a diferença da oferta pela demanda
onde os custos de transporte das fábricas ao depósito fictício são iguais a zero.
47
* Na solução ótima, se algo for destinado ao depósito fictício representam excedentes de
produção. (sobra de produção)
Se oferta < Demanda
Cria-se uma fábrica fictícia com a oferta igual a diferença da demanda pela oferta, onde
os custos de transporte da fábrica fictícia a qualquer depósito são iguais a zero.
* Na solução ótima, se algo da fábrica fictícia for destinado a qualquer depósito,
significa demanda não satisfeita.
Exemplo:
Três fábricas de automóveis, F1, F2 e F3, devem suprir a demanda de 4 centros de
distribuição, denominados por C1, C2, C3 e C4. Os automóveis são transportados em
números inteiros de caminhões (comumente referidos como cegonhas). Assim o custo
de transporte entre uma fábrica dependerá da distância rodoviária entre cada fábrica e o
centro de distribuição.
Para simplificar, as rotas mais curtas foram determinadas e os custos de transporte
foram calculados, e encontram-se resumidos no quadro a seguir. Este quadro também
apresenta as ofertas e demandas das fábricas e centros de consumo.
C1 C2 C3 C4 oferta
F1 5,5 4,5 9,9 2,7 10
F2 6,4 2,5 3,3 4,2 9
F3 2,5 4,9 4,6 4,7 9
demanda 4 7 5 12
Construa um modelo de Programação Linear que representa o problema descrito.
Modelagem:
Passo 1: Variáveis
)4()3(
)1()3(
)4()2(
)1()2(
)4()1(
)3()1(
)2()1(
)1()1(
34
31
24
21
14
13
12
11
CcentrooparaFfábricadatransportex
CcentrooparaFfábricadatransportex
CcentrooparaFfábricadatransportex
CcentrooparaFfábricadatransportex
CcentrooparaFfábricadatransportex
CcentrooparaFfábricadatransportex
CcentrooparaFfábricadatransportex
CcentrooparaFfábricadatransportex
48
Passo 2: Função Objetivo
Minimizar os custos com transportes
34333231
24232221
14131211
7,46,49,45,2
2,43,35,24,6
7,29,95,45,5
xxxx
xxxx
xxxxCMin
Passo 3: Restrições
Oferta da Fábrica 1
1014131211 xxxx
Oferta da Fábrica 2
924232221 xxxx
Oferta da Fábrica 3
934333231 xxxx
Demanda do Centro 1
4312111 xxx
Demanda do Centro 2
7322212 xxx
Demanda do Centro 3
5332313 xxx
Demanda do Centro 4
12342414 xxx
Modelo Matemático Completo
ijijx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
as
xxxx
xxxx
xxxxCMin
0
12
5
7
4
9
9
10
:.
7,46,49,45,2
2,43,35,24,6
7,29,95,45,5
342414
332313
322212
312111
34333231
24232221
14131211
34333231
24232221
14131211
49
O Modelo da Dieta
Exemplo:
Uma determinada pessoa é forçada pelo seu médico a fazer uma dieta alimentar que
forneça, diariamente, pelo menos as seguintes quantidades de vitaminas A, B, C e D:
A = 80 mg/dia; B = 70 mg/dia; C = 100 mg/dia e D = 60 mg/dia. A dieta deverá incluir
leite, arroz, feijão e carne, os quais contêm os seguintes miligramas de vitaminas em
cada uma de suas unidades de medidas (tratam-se de dados hipotéticos):
Vitaminas
Alimentos
Leite
(copo)
Arroz
(100g)
Feijão
(100g)
Carne
(100g)
A 10 5 9 10
B 8 7 6 6
C 15 3 4 7
D 20 2 3 9
Os custos unitários desses alimentos são os seguintes: Leite = R$ 1,50/copo; arroz = R$
0,40/100g; feijão = R$ 0,70/100g; e carne = R$ 2,30/100g. Deseja-se saber o consumo
diário de cada um desses alimentos de tal maneira que a dieta satisfaça as prescrições
médicas e seja a de menor custo possível.
Modelagem:
Passo 1: Variáveis
gcarnedeporçõesdeQuantidadex
gfeijãodeporçõesdeQuantidadex
garrosdeporçõesdeQuantidadex
leitedecoposdeQuantidadex
100/
100/
100/
4
3
2
1
Passo 2: Função Objetivo
4321 3,27,04,05,1 xxxxCMin
Passo 3: Restrições
50
Quantidade mínima de vitamina A
80109510 4321 xxxx
Quantidade mínima de vitamina B
706678 4321 xxxx
Quantidade mínima de vitamina C
10074315 4321 xxxx
Quantidade mínima de vitamina D
6093220 4321 xxxx
Modelo Matemático Completo
0,,,
6093220
10074315
706678
80109510:..
3,27,04,05,1
4321
4321
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxas
xxxxCMin
“Orgulhar-se de coisas pequenas que você tem, faz com que elas pareçam grandiosas
aos olhos de terceiros”.
R:
51
Tomador de Decisão: __________________________________
R:
Tomador de Decisão: __________________________________
54
7.3 Modelos de Estoques
MODELOS DETERMINÍSTICOS DE ESTOQUES
Modelagem de estoque trata da determinação do nível de certa mercadoria que uma
empresa/indústria deve manter para garantir uma operação tranquila.
A base para a decisão é um modelo que equilibra o custo de capital resultante da
permanência de excedente de estoque com o custo de multas resultantes da falta de
estoque.
Modelo Geral de Estoque
O problema de estoque envolve fazer e receber pedidos de determinados tamanhos
periodicamente. Desse ponto de vista, uma política de estoque responde a duas
perguntas:
Quanto pedir?
Quando realizar o pedido?
A base principal do modelo de estoque é a função objetivo de minimização do custo de
estoque.
CMin = (Custo de compra) + (Custo de preparação) + (Custo de estocagem) + (Custo
de falta)
Custo de Compra: é o preço por unidade de um item de estoque (às vezes o
item é oferecido com desconto se o tamanho do pedido exceder certa
quantidade).
Custo de Preparação: representa os encargos fixos incorridos quando um
pedido de compra é emitido.
Custo de Estocagem: representa o custo para manter a mercadoria em estoque.
Custo de Falta: é a multa incorrida quando ficamos sem estoque. (perda de
receita e confiança do cliente).
Um sistema de estoques pode ser baseado em:
Revisão Periódica: emissão de pedidos toda semana ou todo mês. (exemplo:
postos de gasolina no qual novas entregas chegam no início de cada semana).
Revisão Contínua: emissão de pedido realizado quando o nível de estoque cai a
determinado nível, denominado ponto de reabastecimento. (exemplo:
55
supermercados onde os itens são repostos quando suas quantidades nas
prateleiras atingem certo nível).
Papel da Demanda no Desenvolvimento de Modelos de Estoques
Em situações práticas, o padrão de demanda em um modelo de estoques pode assumir
um dos quatro tipos:
Determinístico e Constante (estático) ao longo do tempo.
Determinístico e Variável (dinâmico) ao longo do tempo.
Probabilístico e Estacionário ao longo do tempo.
Probabilístico e não Estacionário ao longo do tempo.
Como podemos determinar se certa aproximação da demanda é aceitável?
Calcular a média e o desvio-padrão do consumo para um período e calcular o seu
coeficiente de variação 100.média
padrãoDesvioV
.
Coeficiente de Variação: mede a variação relativa ou dispersão dos dados ao redor da
média. Valores mais altos de V indicam maior incerteza na utilização da média como
uma boa aproximação do consumo mensal.
Diretrizes para Entendimento:
Se a demanda mensal média for aproximadamente constante para todos os
meses (período) e V for razoavelmente pequeno (< 20%), a demanda pode ser
considerada determinística e constante.
Se a demanda mensal média apresentar uma variação considerável entre os
diferentes meses, mas V for razoavelmente pequeno (< 20%), a demanda pode
ser considerada determinística e variável.
Se a demanda mensal média for aproximadamente constante para todos os
meses (período) e V for razoavelmente alto (>20%), a demanda pode ser
considerada probabilística e estacionária.
Quando as médias e os coeficientes de variação sofrem uma variação
considerável ao longo do tempo, então a demanda pode ser considerada
Probabilística e não estacionária.
Modelo EOQ (quantidade de ordem econômica) Clássico
O mais simples dos modelos de estoque envolve demanda constante com
reabastecimento instantâneo e nenhuma falta. Definindo-se:
56
y Quantidade do pedido (número de unidades)
D Taxa de demanda (unidades por unidades de tempo)
0t Comprimento do ciclo do pedido (unidades de tempo)
Um pedido de tamanho “y” unidades é emitido e recebido instantaneamente quando o
estoque chega ao nível zero. O ciclo de emissão para esse pedido padrão é:
Como 0t
yD então
D
yt 0 unidades de tempo.
O modelo de custo requer dois parâmetros de custo:
K Custo de preparação associado ao pedido de emissão
h Custo de estocagem
Dado que o nível de estoque médio é 2
y, o Custo Total por unidade de tempo(TCU)
é calculado como
TCU Custo de preparação por unidade de tempo + Custo de estocagem por unidade
de tempo
0
0
t
tciclopor estocagem de Custo preparação de Custo TCU
ot
ty
hK
TCU0.
2.
ou ainda 0
0.2
.
t
ty
h
t
KTCU
o
e como D
yt 0 temos que
2.
yh
D
y
KTCU
Exemplo: Padrão de Estoque no Modelo EOQ Clássico
Nível de
estoque
y
Tempo
Pontos no tempo nos quais os pedidos são recebidos
Estoque
médio = y/2
57
O valor ótimo da quantidade do pedido “y” é determinado pela minimização de TCU (y)
em relação à “y”. Para encontrar esse valor ótimo recorremos ao Cálculo Diferencial:
0TCUdy
d
02
.
yh
D
y
K
dy
dTCU
dy
d Temos que
2.
yh
D
y
KTCU ou ainda y
hyDkTCU .
2.. 1 e derivando teremos
02
2 hKDyTCU
dy
d
2
2 hKDy
22
h
y
KD
2.2
yh
KD
h
kdy
22
h
kDy
2
Pontos de Reabastecimento no Modelo EOQ Clássico
Nível de
estoque
y
Tempo
Pontos de reabastecimento
Estoque
médio = y/2
58
Assim a política ótima de estoque para o modelo proposto é
Pedido: h
kDy
2 unidades a cada
D
yt 0 unidades de tempo
Na verdade, um novo pedido não precisa ser recebido no instante em que é emitido. Em
vez disso, pode ocorrer um tempo de espera positivo L entre a emissão e o recebimento
de um pedido como na figura anterior. Nesse caso, o ponto de reabastecimento ocorre
quando o nível de estoque cai a LD unidades.
Pela figura anterior considera-se que o tempo de espera L é menor do que o
comprimento do ciclo 0t , o que pode não ser o caso geral. Para levar em conta essa
situação, definimos o tempo de espera efetivo como
0.tnLLe
Onde “n” é o maior inteiro que não ultrapassa 0t
L. Esse resultado é justificado porque
após “n” ciclos de 0t cada, a situação de estoque age como se o intervalo entre emitir
um pedido e receber outro fosse eL . Assim o ponto de reabastecimento ocorre em DLe
unidades.
Exemplo: As lâmpadas de néon do campus de uma universidade são substituídas a taxa
de 100 unidades por dia. O departamento de manutenção emite pedidos periódicos para
essas lâmpadas, e o custo de para iniciar um pedido de compra é $ 100. Estima-se que o
custo de armazenagem de uma lâmpada de néon é de aproximadamente $ 0,02 por dia.
O tempo de espera entre emitir o pedido e receber o material é de 12 dias. Determine a
política ótima de estoque para os pedidos de compra de lâmpadas de néon.
100D unidades por dia 100$K por pedido 02,0$h por unidade por
dia
000.102,0
100.100.22
h
kDy Lâmpadas de néon
O comprimento do ciclo associado é
10100
10000
D
yt dias
Como o tempo de espera 12L dias ultrapassa o comprimento do ciclo 100 t dias.
Devemos calcular eL . O número de ciclos inteiros incluídos em L é
59
0
intt
LeiroMaiorn
10
12int eiroMaiorn
1n
Assim
2)10(112. 0 tnLLe dias
Portanto, o ponto de reabastecimento ocorre quando o nível de estoque cai para
200)100(2 DLe lâmpadas de néon
A política de estoque para emitir pedidos de lâmpadas de néon é:
Pedir 1.000 unidades sempre que o nível de estoque cair a 200 unidades.
O custo diário de estoque associado com a política de estoque proposta é
20$2
100002,0
100
1000
100
2.
yh
D
y
KTCU por dia
Referência Bibliográfica:
Taha, Hamdy A., “Pesquisa Operacional: uma visão geral”, 8° edição, Pearson Prentice
Hall, 2008.
“Dar o exemplo não é a melhor maneira de influenciar os outros. - É a única.” Albert Schweitzer
60
MODELOS DETERMINÍSTICOS DE ESTOQUES
Preço De EOQ com Desconto por Quantidade
Esse modelo é o mesmo que o da seção anterior, exceto que o item de estoque pode ser
comprado com desconto se o tamanho do pedido “y” exceder um dado limite “q”.
Matematicamente, o preço unitário de compra “c” é dado por
qysec
qysecc
,
,
2
1
Onde 21 cc
Em decorrência,
Custo de compra por unidade de tempo =
qyseDc
D
y
yc
t
yc
qyseDc
D
y
yc
t
yc
,
,
22
0
2
11
0
1
Usando a notação da aula anterior, o custo total por unidade de tempo é
qyseyh
y
KDDcyTCU
qyseyh
y
KDDcyTCU
yTCU
2)(
2)(
)(
22
11
Função Custo de Estoque com Desconto no Preço por Unidade
As funções TCU1 e TCU2 estão representadas no gráfico anterior. Como a única
diferença entre as duas funções é uma quantidade constante, seus mínimos devem
coincidir em
Custo
y
TCU1 TCU2
ym Q
I II III
61
h
KDym
2
A função custo TCU (y) começa na esquerda com TCU1(y) e cai para TCU2(y) no
ponto de equilíbrio do preço, “q”. A determinação da quantidade ótima do pedido “y”,
depende do ponto em que se encontra o ponto de equilíbrio do preço em relação as
zonas I, II e III delineadas por I: (0, ym), II: (ym, Q) e III: (Q, infinito). O valor de “Q” (
> ym ) é determinado pela equação
)()( 12 myTCUQTCU
Ou ainda
)(2
12 myTCUQh
Q
KDDc
Que é simplificada para
0)(2
12 myTCUQh
Q
KDDc
0)(2
1
2
2 QyTCUQh
KDDQc m
0)(2
12
2 KDQyTCUDQcQh
m
02
)(22
12
2 KDh
QyTCUh
DQch
Q m
02
)(22
12
2
KD
hQyTCU
hDc
hQ m
0
2)(2 122
h
KDQ
h
yTCUDcQ m
E desta forma a quantidade ótima desejada “y” é:
IIzonanaestiverseq
IIIouIzonasnasestiverqseyy
m
,
,
As etapas para determinar “y” são
Etapa 1: Determine h
KDym
2 . Se “q” estiver na zona I, então myy . Caso
contrário, vá para a etapa 2.
Etapa 2: Determine “Q” ( > ym ) pela equação
62
0
2)(2 122
h
KDQ
h
yTCUDcQ m
Defina as zonas II e III. Se “q” estiver na zona II então qy . Caso contrário, “q” está
na zona III e myy .
Exemplo: A LubeCar é especializada em troca rápida de óleo automotivo. A oficina
compra óleo automotivo a granel por $ 3 por galão. O revendedor oferece um preço com
desconto de $ 2,5 por galão se a Lubecar comprar mais do que 1.000 galões. A oficina
atende aproximadamente 150 carros por dia e cada troca de óleo leva 1,25 galões. A
Lubecar armazena óleo a granel ao custo de $ 0,02 por galão por dia. Além disso, o
custo para emitir um pedido para óleo a granel é $ 20. Existe um tempo de espera de
dois dias para a entrega. Determine a política ótima de estoque.
O consumo de óleo por dia é
D = 150 carros por dia (x) 1,25 galão por carro = 187,5 galões por dia.
Temos também
diaporgalãoporh 02,0$
pedidoporK 20$
diasL 2
galãoporc 3$1
galãoporc 50,2$2
galõesq 000.1
Etapa 1: Calcule
galõesh
KDym 37,612
02,0
5,187.20.22 .
Como q = 1.000 é maior do que 37,612my , passamos para a etapa 2.
Etapa 2: Determine “Q”
m
m
m yh
y
KDDcyTCU
2)( 11
37,612.2
02,0
37,612
)5,187(20)5,187(3)(1 myTCU
75,574)(1 myTCU
63
Por conseguinte
0
2)(2 122
h
KDQ
h
yTCUDcQ m
0
02,0
)5,187)(20(2
02,0
75,574)5,187(5,222
0000.37574,599.102 QQ
Que tem como resultado 25,564.10Q ( > ym). Assim
Zona II: (612,37 ; 10.564,25)
Zona III: (10.564,25 ; infinito)
E como q = 1.000 cai na zona II, a quantidade ótima de pedido é 000.1 qy galões.
Dado um tempo de espera de dois dias, o ponto de renovação de pedido é 2D, ou seja,
2 (187,5) = 375 galões.
Portanto a política ótima de estoque é
Pedir 1.000 galões quando o nível de estoque cair para 375 galões.
1000.2
02,0
1000
)5,187(20)5,187(5.2)(2 myTCU
50,4821075,375,468)(2 myTCU
Obs.: Gerando uma redução no custo considerável de $ 574,75 para $ 482,50.
Referência Bibliográfica:
Taha, Hamdy A., “Pesquisa Operacional: uma visão geral”, 8° edição, Pearson Prentice
Hall, 2008.
“Pensa como pensam os sábios, mas fala como falam as pessoas simples”
Aristóteles
64
MODELOS DETERMINÍSTICOS DE ESTOQUES
Vários itens de EOQ com Limitação de Armazenagem
Esse modelo lida com n ( > 1) itens, cujas flutuações individuais de estoque seguem um
mesmo padrão (não é permitida a falta). A diferença é que os itens competem por um
espaço limitado de armazenagem.
Definam-se para o item i, i = 1, 2, 3, ..., n.
iD Taxa de demanda
iK Custo de preparação
ih Custo de estocagem por unidade, por unidade de tempo
iy Quantidade de pedido
ia Requisito de área de armazenagem por unidade de estoque
A Máxima área de armazenagem disponível para todos os “n” itens
Sob a premissa de não haver falta, o modelo matemático que representa a situação de
estoque é dado por
n
i
ii
i
iin
yh
y
DKyyyTCUMin
1
212
),...,,(
s.a.:
n
i
ii Aya1
niyi ,...,3,2,1;0
Para resolver este problema, tentamos primeiro uma solução desconsiderando as
restrições:
nih
DKy
i
iii ,...,3,2,1,
2
Se essa solução satisfizer a restrição, o problema estará resolvido. Caso contrário, a
restrição deve ser ativada.
Exemplo: Os dados da tabela a seguir descrevem três itens de estoque.
65
Item i Ki ($) Di (unidades
por dia)
hi ($) ai (pés2)
1 10 2 0,30 1
2 5 4 0,10 1
3 15 4 0,20 1
Área total de armazenagem disponível = 25 pés2
Resolução:
Os valores ótimos desconsiderando as restrições:
nih
DKy
i
iii ,...,3,2,1,
2
55,1130,0
)2)(10(21 y
2010,0
)4)(5(22 y
49,2420,0
)4)(15(23 y
Esses valores violam a restrição de armazenagem
25321 yyy
Por isso a questão é resolvida como um problema de programação não linear usando o
solver do Excel.
Inserindo os dados iniciais na planilha do Excel
B7 =SOMA(B4*(B9/2)+B2*(B3/B9))
C7=C4*C9/2+C2*C3/C9
66
D7=D4*D9/2+D2*D3/D9
E7 =SOMA(B7:D7)
E6 =B5*B9+C5*C9+D5*D9
E9 =E7
Mandar resolver utilizando o solver:
A solução ótima é:
34,61 y unidades 09,72 y unidades 57,113 y unidades 62,13Custo por dia
67
Exercícios tarefa:
1- Os dados da tabela abaixo descrevem cinco itens de estoque:
Item i Ki ($) Di (unidades
por dia)
hi ($) ai (pés2)
1 20 22 0,35 1,0
2 25 34 0,15 0,8
3 30 14 0,28 1,1
4 28 21 0,30 0,5
5 35 26 0,42 1,2
Área total de armazenagem disponível = 25 pés2
Determine as quantidades ótimas do pedido.
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
2- Os dados da tabela abaixo descrevem quatro itens de estoque:
Item i Ki ($) Di (unidades
por dia)
hi ($)
1 100 10 0,1
2 50 20 0,2
3 90 5 0,2
4 20 10 0,1
68
A empresa deseja determinar o lote econômico para cada um dos quatro itens de modo
tal que o número total de lotes por ano (365 dias) seja no máximo 150. Formule a
questão como um problema de programação não linear e ache a solução ótima.
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
Referência Bibliográfica:
Taha, Hamdy A., “Pesquisa Operacional: uma visão geral”, 8° edição, Pearson Prentice
Hall, 2008.
“A verdadeira medida de um homem não é como ele se comporta em momentos de conforto e
conveniência, mas como ele se mantém em tempos de controvérsia e desafio”.
Martin Luther King Jr.
7.4 Simulação
A simulação é uma das técnicas mais gerais usadas em Pesquisa Operacional.
Simular significa reproduzir o funcionamento de um sistema, com o auxílio de um
modelo, o que nos permite testar algumas hipóteses sobre o valor de variáveis
controladas. Modelos de simulação aparecem sob a forma de jogos de empresas,
simuladores de voos, modelos físicos de aeronaves para testes em túnel de vento entre
outros.
Os modelos de simulação dinâmicos são usados de um período de tempo ao
período seguinte, captando as mudanças ocorridas com o tempo, o que nos permite
avaliar o efeito de um conjunto de decisões sucessivas.
69
A simulação em sistemas que incorporam elementos aleatórios é denominada
Simulação Estocástica ou Simulação de Monte Carlo, e na prática é viabilizada com
o uso de computadores devido à grande massa de dados a ser processada.
Aplicações
Dimensionamento de Instalações
O cálculo de número de caixas em um supermercado envolve considerações como:
Número de pessoas que chegam à fila num período de tempo;
O tempo de atendimento de um cliente;
O tempo que o cliente espera para ser atendido, entre outros.
Estas variáveis são aleatórias e a situação se altera com o correr do tempo. O problema
consiste em manter o tempo em que o cliente gasta para este serviço dentro dos padrões
considerados aceitáveis, e com menos custos para estas condições.
Programação de Sistemas com Retro informação
È o caso de empresas que fabricam por encomenda. A programação usa as variáveis:
Capacidade das máquinas usadas na produção;
Disponibilidade de mão-de-obra;
Suprimento de matéria-prima;
Data da entrega combinada, entre outros.
Ao chegar um novo pedido, essa programação tem que ser revista para incorporar dados
novos e consequente atualização. A chegada de um novo pedido é aleatória assim como
as outras variáveis.
Dimensionamento de Estoques
Neste caso devem ser consideradas as variáveis:
Demanda aleatória em um período de tempo;
Tempo aleatório de atendimento de pedido de reposição;
Estoque inicial e final do período, entre outras.
O problema é manter o atendimento dentro dos padrões previamente estabelecidos com
a maior economia possível no gerenciamento e na manutenção dos estoques.
Motivação
A simulação é usada em situações em que é muito caro ou difícil o experimento na
situação real. Ela nos permite fazer esse experimento com o modelo variando
parâmetros críticos, para conhecer quais as combinações que dão os melhores
resultados. Desta forma podemos analisar o efeito de mudanças sem correr o risco da
construção de um sistema real equivocado, o que tornaria os custos dessa construção em
prejuízos.
70
Geração de Eventos Aleatórios
Vamos supor que uma variável aleatória (por exemplo, a demanda de um produto) tenha
apresentado a seguinte distribuição de frequência:
Valor
(Demanda)
Frequência
100 10
105 30
110 40
115 15
120 5
Após uma análise da situação, chegou-se a conclusão de que não há motivo para
acreditar que os fatores importantes que condicionam os valores da variável (demanda
do produto) tenham sofrido alterações significativas. Desta forma podemos aceitar que
esta distribuição gerada no passado continue descrevendo o comportamento dessa
variável, e podemos usá-la para simular um padrão de 10 valores de demandas do
produto para dez dias.
o Uma maneira de se fazer isso seria colocar em uma caixa 10 bolinhas com o
número 100, 30 bolinhas com o número 105, e assim por diante. Ao sortear uma
bolinha, a probabilidade de ocorrer um desses valores é a frequência observada
no passado, e ainda válida.
o Sorteando 10 bolinhas com reposição, teríamos um padrão de valores
(demandas) da variável.
o Esse procedimento pode ser simplificado, considerando as bolinhas grafadas
com número de dois algarismos, de 00 a 99, o que dá 100 bolinhas.
o Para isso, consideremos a distribuição da variável aleatória e sua frequência
acumulada:
Valor
(Demanda)
Frequência Frequência
Acumulada
100 10 10
105 30 40
110 40 80
115 15 95
120 5 100
Teríamos então segundo as frequências acumuladas na tabela
Valor
(Demanda)
Frequência Frequência
Acumulada
Número na
Bolinha
100 10 10 00 a 09
105 30 40 10 a 39
110 40 80 40 a 79
115 15 95 80 a 94
120 5 100 95 a 99
71
Essa tabela reproduz a distribuição por frequência da variável. Sorteamos agora 10
bolinhas e anotamos os valores correspondentes.
Sorteio 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°
N° Bolinha 27 38 03 92 46 12 76 18 50 72
Valores /Demanda 105 105 100 115 110 105 110 105 110 110
Para evitar o manuseio físico de caixas, bolinhas, etc., podemos lançar mão de uma
tabela de números aleatórios. São os números sorteados ou gerados de maneira
equiprovável e colocados em uma tabela. Para gerar um grupo de números aleatórios de
dois dígitos basta iniciar em um ponto qualquer da tabela e anotar, por exemplo, os dois
últimos algarismos do número da tabela. A seguir anotar os dois últimos algarismos dos
números que estão na sequência de linhas ou colunas da tabela a partir do primeiro
número considerado, em qualquer sentido, até obter o total de números de dois
algarismos desejados.
Exemplo: O tempo de atendimento de um caixa de supermercado foi anotado após um
período considerado satisfatório para o treinamento do operador, para garantir que sua
rapidez seja estável.
Tempo de atendimento
em minutos
Frequência
2 5
4 8
6 15
8 10
10 2
Gerar com o auxílio da tabela de números aleatórios, um padrão de atendimento para
cinco clientes.
Solução: Como temos 40 observações, calculamos as frequências relativas ou
porcentagens (quantidades em 100), e a frequência relativa acumulada.
Tempo de atendimento
em minutos
Frequência
Relativa (%)
Frequência Relativa
Acumulada (%)
2 12,5 12,5
4 20 32,5
6 37,5 70
8 25 95
10 5 100
Para contornar o problema dos valores não inteiros das duas primeiras porcentagens,
consideramos a frequência em 1.000, o que nos leva a tabela de números aleatórios:
72
Tempo de
atendimento
em minutos
Frequência
Relativa
(%)
Frequência
Relativa
A 1.000
Acumulada
(% x 10)
Números Aleatórios de
Identificação
dos Tempos
2 12,5 125 000 a 124
4 20 325 125 a 324
6 37,5 700 325 a 699
8 25 950 700 a 949
10 5 1000 950 a 999
Com o auxílio da tabela de números aleatórios, sorteamos cinco números de três
algarismos, do mesmo modo que no exemplo anterior:
Números: 053 999 130 563 434
Clientes 1° 2° 3° 4° 5°
Número Aleatório 053 999 130 563 434
Tempo de Atendimento 2 10 4 6 6
Exercício para sala: Uma central de atendimento anotou nos últimos 100 dias a
quantidade de pessoas atendidas por dia, e distribuiu-as em cinco classes.
Classes Número de Atendimentos
10 –I 12 15
12 –I 14 20
14 –I 16 35
16 –I 18 20
18 –I 20 10
Construir um padrão do número de atendimentos para a próxima semana (sete dias).
Use os números aleatórios: 10, 85, 36, 49, 58, 05, 67.
R:
Tomador de Decisão: ________________________________________
73
Exercícios:
1- As variáveis “x” e “y” são independentes e têm aas distribuições empíricas:
10 12 15 x
0,20
0,50
0,30
8 9 10 y
0,40
0,50
0,10
Construir os valores de z = 2x + 3y usando 10 simulações para “x” e “y”. Qual o valor
médio de z ? Qual o desvio-padrão de z ?
Use os números aleatórios:
Para x: 38, 91, 18, 89, 71, 67, 46, 73, 42, 47
Para y: 34, 41, 69, 04, 51, 61, 29, 21, 02, 34
2- Uma empresa de consertos tem três funcionários para o atendimento aos clientes.
Quando não é possível o atendimento através dos funcionários, a firma contrata serviços
de terceiros a um custo maior. Faça 10 simulações para testar cada um das hipóteses:
a- A dispensa de um funcionário (o pior deles, com menor média),
diminuirá os custos de operação.
b- A contratação de um funcionário (igual ao pior deles) diminuirá os
custos de operação.
Dados:
10 12 14
Número de atendimentos diários
do funcionário 1
0,30
0,40
0,30
8 9 10 Número de atendimentos diários
do funcionário 2
0,20
0,50
0,30
7 9 10 Número de atendimentos diários
do funcionário 3
0,40
0,50
0,10
25 30 35
Número de chamadas por dia
30%
50%
20%
74
Custo por atendimento:
- Funcionário: $ 10,00
- Terceiro: $ 15,00
Fixo do funcionário por 10 dias: $ 50,00
Use os números aleatórios:
Funcionário 1: 00, 76, 07, 46, 85, 00, 06, 33, 37 e 83.
Funcionário 2: 96, 64, 02, 04, 89, 78, 89, 57, 63 e 17.
Funcionário 3: 83, 50, 68, 78, 44, 82, 23, 19, 47 e 99.
Número de Chamadas: 53, 59, 43, 94, 10, 40, 37, 65, 20 e 27.
Referência Bibliográfica:
Ermes Medeiros da Silva, et al., “Pesquisa Operacional para os cursos de
Administração, Economia e Ciências Contábeis”, 3° edição, São Paulo: Atlas, 1998.
“A educação é um processo social, é desenvolvimento. Não é a preparação para a vida, é a própria vida”.
John Dewey
79
Exercícios:
1- Para os projetos seguintes:
I. Construir a Rede de atividades P.E.R.T.;
II. Calcule as datas (IMC, TMT, IMT, TMC) e a Folga de cada atividade;
III. Indique o Caminho Crítico para a rede.
Projeto: 1
ATIVIDADE DURAÇÃO DEPENDÊNCIA
A 15 -
B 8 A
C 10 A
D 12 A
E 6 B, C
F 12 C
G 14 D
H 12 E
I 5 G
J 10 G
K 9 F, G, H
L 8 I, J
M 4 J
80
Projeto: 2
ATIVIDADE DURAÇÃO DEPENDÊNCIA
A 6 -
B 8 -
C 4 -
D 18 -
E 8 A, B
F 4 B
G 5 B
H 10 C
I 8 D
J 12 D, E, F
K 8 D, G, H
L 16 K, I, J
M 4 I
2- Para os seguintes projetos:
I. Calcular a Duração Média e a Variância de para cada atividade;
II. Construir a Rede de atividades P.E.R.T.;
III. Calcule as datas (IMC, TMT, IMT, TMC) e a Folga de cada atividade;
IV. Indique o Caminho Crítico para a rede.
Projeto: 1
Atividades Antecessor
imediato
Estimativa de tempo (semanas)
A: otimista B: mais provável C: pessimista
A- Análise da obra --- 3 4 5
B- Projeto de ferramentas e máquinas A 1 2 3
C- Projeto dos blocos ou partes A 3 4 8
D- Projeto geral da obra A 1 2 9
E- Projeto da montagem e teste D 4 5 12
F- Aquisição de ferramentas e máq. B 5 6 7
G- Construção dos blocos e partes E, F 4 4 4
H- Aquisição de fornecedores externos C 5 6 13
I- Montagem final G, H 4 4 10
J- Teste I 1 1 1
81
Projeto: 2
Atividades Estimativa de tempo em semanas Dependência
Otimista Provável Pessimista
A- Projeto 2 6 10 ---
B- Análise 3 4 5 A
C- Preparar local 1 3 4 A
D- Requisição de material 1 1 1 B
E- Fabricação de peças 3 4 5 C, D
F- Requisição de peças especiais 1 1 1 B
G-Recepção de peças especiais 4 5 6 F
H-Contratação de serviços de terceiros 3 5 7 B
I- Recepção de serviços de terceiros 1 1 1 H
J- Montagem 2 3 5 E, G, I
K- Inspeção e teste 3 4 5 J
82
9.0 REFERÊNCIAS
AKAMINE, C. T.; YAMAMOTO, R. K. Estatística Descritiva. Vol. 1., São mPaulo, Érica,
1998. (Id 519.22 – A313e), 10 exemplares.
ANDRADE, E. L. Introdução a Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para a Análise
de Decisão. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998. (Id 65.012.122 – A553i), 20 exemplares.
ERMES, Medeiros da Silva, et al., Pesquisa Operacional para os cursos de
Administração, Economia e Ciências Contábeis, 3° edição, São Paulo: Atlas, 1998
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisão. vol. 1. Rio de
Janeiro: Campus, 2002. (Id 65.012.122 – L138p), 2 exemplares.
LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Probabilidade. 4ª ed. São Paulo, Makron Books, 1994, (5192 –
L767pr), 6 exemplares.
LOESCH, C.; HEIN, N. Pesquisa Operacional: Fundamentos e Modelos. vol. 1. Blumenau:
Editora da FURB, 1999. (Id 65.012.122 – L826p), 13 exemplares.
PUCCINI, A. L. Introdução a Programação Linear. 2. ed. Rio de Janeiro: Ed. Livros
Técnicos, 1989. (Id 005.11 – P977i), 2 exemplares.
TAHA, HAMDY A., Pesquisa Operacional: uma visão geral, 8° edição, Pearson Prentice
Hall, 2008.
TRIOLA, MARIO F. Introdução à Estatística. 7ª ed., Rio de Janeiro, LTC, 1999. (519.22 –
T834i), 25 exemplares.
VIEIRA, SÔNIA. Estatística para a Qualidade. Vol. 1, Rio de Janeiro, Campus, 1999.
(658.56 – V657e), 6 exemplares.
Linkografia:
http://www.ipeadata.gov.br/.
http://www.sobrapo.org.br/PO.htm.