maximos, minimos y mutliplicadores de lagrange
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Ejercicios resueltos de puntos maximos y minimos en funciones de varias variables y uso del metodo de multiplicadores de LagrangeTRANSCRIPT
Sección 11.7; Página 809.
28. Determine los valores máximos y mínimos de f en el conjunto D:
���, �� � 4� 6� � �� � �� � ���, ��|0 � � � 4, 0 � � � 5�
Fig. 1. Región D.
Se calculan las derivadas parciales de f:
����, �� � 4 � 2� ����, �� � 6 � 2�
Se igualan a cero:
4 � 2� � 0
2� � 4
� � 2
6 − 2� = 0
2� = 6
2� = 6
� = 3
El único punto crítico de f en D es (2,3) donde
��2,3� = 4�2� + 6�3� − �2�� − �3��
→ ��2,3� = 13
Ahora se hallan los puntos críticos en las fronteras de D.
Para ��: � = 0 y 0 ≤ � ≤ 4
ℎ���� = ���, 0� = 4� − ��
ℎ�� ��� = 4 − 2� → 4 − 2� = 0 ↔ 2� = 4 ↔ � = 2
Comoℎ������ = −2 < 0 , ��2,0�es un máximo.
��2,0� = 4�2� + 6�0� − �2�� − �0�� = 4
En los extremos de este intervalo:
��0,0� = 4�0� + 6�0� − �0�� − �0�� = 0
��4,0� = 4�4� + 6�0� − �4�� − �0�� = 0
Ambos son mínimos.
Para��: � = 4 y 0 ≤ � ≤ 5
ℎ���� = ��4, �� = 6� − ��
ℎ�� ��� = 6 − 2� → 6 − 2� = 0 ↔ 2� = 6 ↔ � = 3
Comoℎ������ = −2 < 0 → ��4,3�es un máximo.
��4,3� = 4�4� + 6�3� − �4�� − �3�� = 9
En los extremos de este intervalo:
��4,0� = 4�4� + 6�0� − �4�� − �0�� = 0
��4,5� = 4�4� + 6�5� − �4�� − �5�� = 5
��4,5�es un mínimo.
Para�": � = 5 y 0 ≤ � ≤ 4
ℎ"��� = ���, 5� = 4� − �� + 5
ℎ"� ��� = 4 − 2� → 4 − 2� = 0 ↔ 2� = 4 ↔ � = 2
Comoℎ"����� = −2 < 0 → ��2,5�es un máximo.
��2,5� = 4�2� + 6�5� − �2�� − �5�� = 9
En los extremos de este intervalo:
��0,5� = 4�0� + 6�5� − �0�� − �5�� = 5
��4,5� = 4�4� + 6�5� − �4�� − �5�� = 5
Ambos son mínimos.
Para �#: � = 0 y 0 ≤ � ≤ 5
ℎ#��� = ��0, �� = 6� − ��
ℎ#� ��� = 6 − 2� → 6 − 2� = 0 ↔ 2� = 6 ↔ � = 3
Comoℎ#����� = −2 < 0 → ��0,3�es un máximo.
��0,3� = 4�0� + 6�3� − �0�� − �3�� = 9
En los extremos de este intervalo:
��0,0� = 4�0� + 6�0� − �0�� − �0�� = 0
��0,5� = 4�0� + 6�5� − �0�� − �5�� = 5
��0,0�es un mínimo.
Comparando todos los puntos hallados, se tiene:
��2,3� = 13 es el máximo local de f en D.
��0,0� = ��4,0� = 0 son los mínimos locales de f en D.
41. Encuentre el volumen de la caja rectangular más grande que este en el primer octante y que tenga tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano � + 2� + 3$ = 6.
Como la caja está en el primer octante: � > 0, � > 0, $ > 0.
El volumen de la caja es & = ��$. Se tiene la siguiente restricción: � + 2� + 3$ = 6
3$ = 6 − � − 2�
$ = '(�(��"
Reemplazando en V:
& = �� )'(�(��" * = '��(�+�(���+"
Se hallan las derivadas parciales de V:
�� = 13 �6� − 2�� − 2��� = �3 �6 − 2� − 2�� �� = 13 �6� − �� − 4��� = �3 �6 − � − 4�� Se igualan a cero las derivadas parciales:
�� = 0 ↔ �3 �6 − 2� − 2�� = 0 ↔ � = 0 ∨ 6 − 2� − 2� = 0
Pero, � > 0 → 6 − 2� − 2� = 0 → 2� + 2� = 6 (ec.1)
�� = 0 ↔ �3 �6 − � − 4�� = 0 ↔ � = 0 ∨ 6 − � − 4� = 0
Pero, � > 0 → 6 − � − 4� = 0 → � + 4� = 6 (ec.2)
Si se multiplica (ec.2) por (-2), se tiene: −2� − 8� = −12.
Luego se suma con (ec.1), se obtiene:
−6� = −6 → � = 1
Se reemplaza este valor en (ec.2):
6 � � 4� � � 4�1� � � 4
� � 6 � 4 � 2
El valor de z que corresponde a un máximo es:
$ � '(�(��" � '(�(�
" � '(#" � �
"
El volumen máximo es:
& � �2��1� )�"* �#" �./0121345ú70524�
Sección 11.8; Página 819.
19. Encuentre los valores extremos de f en la región descrita por la desigualdad.
���, �� � 3(�� ; �� 4�� � 1
Fig. 2. Región �� 4�� � 1
Para �� + 4�� < 1 (dentro de la región):
�� = −�3(�� → −�3(�� = 0 ↔ � = 0
�� = −�3(�� → −�3(�� = 0 ↔ � = 0
Punto crítico: �0,0� → ��0,0� = 3(8 = 1
Para �� + 4�� = 1 (en la frontera): Se usa el método de los multiplicadores de Lagrange.
���, �� = 3(�� ; 9��, �� = �� + 4�� − 1
�−�3(�� , −�3(��� = :�2�, 8�� Entonces:
−�3(�� = 2:� (1)
−�3(�� = 8:� (2)
�� + 4�� = 1 (3)
De (1) y (2) se sabe que : ≠ 0, ya que si : = 0 → � = 0 ∧ � = 0, pero de (3) eso es una contradicción.
Se divide (1) entre (2): (�=>?@(�=>?@ = �A�BA� → �� = �#� → 4�� = ��
Se reemplaza en (3):
4�� + 4�� = 1 → 8�� = 1 → �� = 18 → � = ± 12√2
Se reemplaza el valor de �� en (3):
�� + 4E18F = 1 → �� + 12 = 1 → �� = 12 → � = ± 1√2
Se tiene:
� E 1√2 , 12√2F = 3()G√+*) G+√+* = 3(GH
� E 1√2 ,− 12√2F = 3()G√+*)( G+√+* = 3GH
� E− 1√2 , 12√2F = 3()(G√+*) G+√+* = 3GH
� E− 1√2 ,− 12√2F = 3()(G√+*)( G+√+* = 3(GH
Entonces, el primer y último valor son mínimos, y el segundo y el tercero son máximos.
22. Con base en el ejercicio 21, supongamos ahora que la producción se fija en 7�IJ�(I = K, donde Q es una constante. ¿Qué valores de L y K minimizan la función costo L��, J� = M� + /J?
L��, J� = M� + /J ; 9��, J� = 7�IJ�(I −K
∇L = :∇9
�M, /� = :�7O�I(�J�(I, 7�1 − O��IJ(I� Entonces:
M = :7O�I(�J�(I (1)
/ = :7�1 − O��IJ(I (2)
7�IJ�(I = K (3)
De (1):
M = :7O PQRPRQ → : = SPRQTIPQR (4)
De (2):
/ = :7�1 − O� PQRQ → : = URQT��(I�PQ (5)
Igualando (4) y (5):
SPRQTIPQR = URQT��(I�PQ → SPIR = U�(I
Despejando a L:
� = UIRS��(I� (6)
Reemplazando este valor en (3):
7 E /OJM�1 − O�FI J�(I = K
Se despeja K:
7 �/O�IJIVM�1 − O�WI J�(I = K
JIJ�(I = KVM�1 − O�WI7�/O�I
J = K7 XM�1 − O�/O YI
Se reemplaza este valor en (6):
� = /OM�1 − O�K7 XM�1 − O�/O YI
� = /OM�1 − O�K7 VM�1 − O�WI�/O�I = K7 �/O��(IVM�1 − O�WI(� 39. El plano � + � + 2$ = 2 cruza el paraboloide $ = �� + �� en una elipse. Determine los puntos sobre esta elipse que están más cerca y los que estén más lejos del origen.
Se hallan los extremos de la función que representa la distancia de un punto (x, y, z) al origen:
1� = ���, �, $� = �� + �� + $� , donde d es la distancia.
Esta función está sujeta a dos restricciones:
9��, �, $� = �� + �� − $ ; ℎ��, �, $� = � + � + 2$ − 2
∇� = :∇9 + Z∇ℎ
�2�, 2�, 2$� = :�2�, 2�,−1� + Z�1,1,2� Entonces:
2� = 2:� + Z (1)
2� = 2:� + Z (2)
2$ = −: + 2Z (3)
�� + �� = $ (4)
� + � + 2$ = 2 (5)
Se restan (1) y (2):
2� − 2� = 2:� − 2:� + Z − Z
2�� − �� = 2:�� − �� Si: � ≠ � → : = 1
Reemplazando en (1):
2� = 2� + Z → Z = 0
De (3):
2$ = −: + 2Z
2$ = −1 + 0
$ = −12
Reemplazando en (4):
�� + �� = −12�→←� Esto es una contradicción.
Entonces: � = �
Si � = � en (4):
2�� = $ En (5):
2� + 2$ = 2
� + $ = 1
$ = 1 − �
Igualando:
2�� = 1 − �
2�� + � − 1 = 0
2 E�� + 12� − 12F = 0
�� + 12� − 12 = 0
\�� + 12� + E14F�] − 12 − 116 = 0
E� + 14F� = 916
� + 14 = ±34
Entonces: � = �� ∨ � = −1
Entonces: � = �� ∨ � = −1
$ = �� ∨ $ = 2
El punto más cercano es )�� , �� , ��* :� )�� , �� , ��* = "# El punto más lejano es �−1,−1,2�:��−1,−1,2� = 6
Repaso: “Revisión de conceptos”. Página 825.
59. Use los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores máximos y mínimos de f sujetos a las restricciones dadas.
���, �� = ��� ; �� + �� = 1
�2��, ��� = :�2�, 2�� 2�� = 2:� (1)
�� = 2:� (2)
�� + �� = 1 (3)
Si � = 0 → :� = 0 → _0� = 0, `ab�3��→←� → : = 0
3�3�:�� = 1 → � = ±1 → _3c03/3:��0, ±1� = 0
De (1): _0� ≠ 0 → � = :
De (2): _0� = 0 → � = 0; e3ba3/�3�:0� + 0� = 1�→←� Entonces: � ≠ 0 → : ≠ 0
Se divide (2) entre (1) y se obtiene: �� = 2�� De (3): 2�� + �� = 1 → 3�� = 1 → � = ± �√" En (3): �� = 1 − �" = �" → � = ±f�" Entonces:
� gh23 , 1√3i = �g−h23 , 1√3i = 23√3 → já�0Ma4
� gh23 ,− 1√3i = �g−h23 ,− 1√3i = − 23√3 → jí/0Ma4 ��0,±1�/a34./Má�0Ma/0./Mí/0Ma. 63. Determine los puntos de la superficie ���$" = 2 más cercanos al origen.
1� = �� + �� + $� = ���, �, $� 9��, �, $� = ���$" − 2
→ �, �, $ ≠ 0
�2�, 2�, 2$� = :���$", 2��$", 3���$�� Entonces: 2� = :��$" (1)
2� = 2:��$" (2)
2$ = 3:���$� (3)
���$" = 2 (4)
De (2): 1 = �$": (5)
De (3): 1 = 3���$: (6)
Se igualan:
�$" = 3���$ → $� = 3�� → � = ± $√3
3�1�, �2�, �3�, �5���6�43c03/3:: ≠ 0 Se dividen (1) y (3):
2�2$ = :��$"3:���$� �$ = $3�
3�� = $�
� = ± $√3
Se reemplazan �y� en (4):
± $√3E± $√3F� $" = 2
± $√3 $�3 $" = 2 → ± $'3√3 = 2 → $' = ±6√3 → $ = f6√3o
De aquí se concluye que � = p√" = q'√"o√" y � = ± q'√"o
√" .