MATRIČNI RAČUN

1Prof. dr Olivera Nikolić

Kvantitativne metode

MATRIČNI RAČUN

• Osnovni pojmovi: matrice i determinante• Operacije sa matricama• Primena matričnog računa

2

Osnovni pojmovi

•Svaku tabelu možemo prikazati u obliku pravougaone šeme podataka poznate pod nazivom matrica, u oznaci:

Turističke agencije

Turističke ponude

S1 S2 S3 S4 S5

D1 20 30 40 50 60

D2 22 28 40 45 61

D3 19 32 40 50 60

D4 18 26 42 52 61

20 30 40 50 60

22 28 40 45 61

19 32 40 50 60

18 26 42 52 61

3

• Matricu zapisujemo u opštem obliku

• ili kraće

gde je opšti član (i=1,2,...,m j=1,2,...,n)

m broj vrsta

n broj kolona

ija

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

4

ij m x nA a

Kraći prikaz matrice

Osnovni pojmovi: matrica determinanta

• Red (tip) matrice označava broj vrsta i kolona matrice.

• Na primer, matrica A je tipa 3x2:

• Matrica B je tipa 2x3:2 3

2 -1 6

1 1 -1x

B

3x2

1 2

A= 5 -9

3 -2

5

Neke vrste matrica

– Kvadratne– Jedinične– Matrica vrsta– Matrica kolona– Nulta matrica– Transponovana matrica

6

Kvadratne matrice

• Matrica koja ima isti broj elemenata u vrsti i koloni naziva se kvadratna matrica i to je matrica tipa nxn.

7

Jedinične matrice

• Kvadratna matrica kod koje su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0

a elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1 , naziva se jedinična matrica i obeležava se simbolom ,gde je n broj vrsta i kolona.

• Jedinična matrica tipa :

8

( , 0)ijza i j a ( , 1)ijza i j a

n x nI

n n

1...00

............

0...10

0...01

Matrica vrsta

• Matrica koja ima samo jednu vrstu naziva se matrica vrsta (1xn)

9

1 4 0 2 1 4xA

Na primer:

Matrica kolona

• Matrica koja ima samo jednu kolonu naziva se matrica kolona (mx1)

• Na primer:

10

3 1

1

2

2xA

Nulta matrica

Kvadratna matrica koja ima sve elemente jednake 0 naziva se nula matrica i obeležava se simbolom 0.

11

Transponovana matrica

• Transponovana matrica AT ili A’ matrice A se dobija tako što kolone matrice A prelaze u vrste matrice AT.

• Ako je matrica A tipa mxn, onda je transponovana matrica AT tipa nxm

12

Primer

13

1 2 1 3

3 4 2 4

T

Operacije sa matricama

• Jednakost matrica • Sabiranje (oduzimanje) matrica • Množenje matrica realnim brojem• Množenje matrica• Inverzna matrica

A BA B

14

r A

Jednakost matrica

• Dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi međusobno jednaki.

15

1, 1,ij ij ij ijmxn mxnA a B b a b i m j n

Primer

• Da li su jednake matrice?

16

1 0

2 1

3 2

A

i 1 2 3

0 1 2B

Nisu jer nisu istog tipa

Sabiranje matrica

• Zbir dve matrice istog tipa je matrica, takođe istog tipa čiji je svaki element jednak zbiru elemenata obe matrice sa iste pozicije.

17

.

Primer

18

2 1 2 0

0 1 5 0

3 2 0 1

2 2 1 0 0 1

0 5 1 0 5 1

3 0 2 1 3 1

Množenje matrica realnim brojem

Matrica se množi realnim brojem tako što se svaki element matrice pomnoži datim realnim brojem.

19

.

Primer

20

2 3 2 6 9 6

3 0 1 0 0 3 0

1 5 1 3 15 3

Množenje matrica

Proizvod dve matrice, gde je broj kolona jedne matrice jednak broju vrsta druge matrice, je matrica čiji je broj vrsta jednak broju vrsta prve matrice, broj kolona je jednak broju kolona druge matrice, a elemeni nove matrice se izračunavaju

21

ijc

n

kkjikij bac

1

Množenje matrica

22

11 12 111 12 1

21 22 221 22 2

1 21 2

......

......

... ... ... ...... ... ... ...

......

qn

qn

n n nqm m mn mxn nxq

b b ba a a

b b ba a a

b b ba a a

11 12 1

21 22 2

1 2

11 11 11 12 21 1 1

1 1 2 2

...

...

... ... ... ...

...

...

...

q

q

m m mq

n n

ij i j i j in nj

c c c

c c c

c c c

c a b a b a b

c a b a b a b

.

Primer

23

1 02 0 3

2 51 1 0

0 3

A i B

1 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 3 0 02 0 3

2 5 2 2 5 1 2 0 5 1 2 3 5 01 1 0

0 3 0 2 3 1 0 0 3 1 0 3 3 0

A B

2 0 3

9 5 6

3 3 0

A B

Izračunati proizvod matrica

Proizvod matrica je definisan jer je matrica A tipa 3x2 a matrica B tipa 2x3

Napomena

• Množenje matrica nije komutativno

A B B A

24

Determinante

• Svaka kvadratna matrica A ima svoju determinantu koju obeležavamo sa: detD A

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...det

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aD A

a a a

25

Izračunavanje determinanti

• Determinanta ima svoju vrednost koju možemo izračunati

26

1 1 11 11

11 122 2

21 22

11 22 21 12

x

x

D a a

a aD

a a

D a a a a

Determinante trećeg reda

• Sarusovo pravilo

27

11 1211 12 13

3 3 21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 32 33 31 32

13 22 31 11 23 32 12 21 33

x

a aa a a

D a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a

= = + + -

- - -

Primer

28

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 4

2 3 1

2 5 1

1 2 4 1 2

2 3 1 2 3

2 5 1 2 5

1 3 1 2 1 2 4 2 5 2 3 4) 1 1 5

1 2 2 3 4 40 24 5 4

67 13 54

A

D

-

= -

-

- -

= - -

-

= ×- ×- + - ×× + ×× - - × - ××

- - ××- = - + + - -

= - =

Teorema o razvijanju determinante

• Laplasov razvoj determinante

29

detD A= =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

1 2

1 1 2 2det 1 1 ... 1i i i n

i i i i in inA a A a A a A

Inverzna matrica

• Kvadratna matrica ima svoju inverznu matricu ako je detA≠0.

• A A-1 = A-1 A=I.• Sa A-1 je označena inverzna matrica.

Matrica koja ima svoju inverznu matricu naziva se regularnom matricom.

30

Izračunavanje inverzne matrice

1 1*

detA A

A

31

11 21 311

12 22 32

13 23 33

1, ( 1)

deti j

ij ij

M M M

A M M M M AAM M M

A* je adjungovana matrica matrice A

Primer

1 -5 -21

2 11A

32

1 5 2

-2 -1A

1 2

2 5A

det 1A

11 125 2A A

21 222 1A A

Odrediti inverznu matricu matrice

Determinanta matrice je

pa ova matrica ima inverznu. Sada ćemo odrediti elemente adjungovane matrice

33

1 2 1

2 5 2

1 1 3

A

det 4A

1 1 1 2 1 311 12 13

5 2 2 2 2 5( 1) 13 ( 1) 8 ( 1) 7

1 3 1 3 1 1M M M

2 1 2 2 2 321 22 23

2 1 1 1 1 2( 1) 5 ( 1) 4 ( 1) 3

1 3 1 3 1 1M M M

3 1 3 2 3 331 32 33

2 1 1 1 1 2( 1) 1 ( 1) 0 ( 1) 1

5 2 2 2 2 5M M M

Odrediti inverznu matricu matrice

pa ova matrica ima inverznu. Sada ćemo odrediti elemente adjungovane matrice

1

13 5 11

8 4 04

7 3 1

A

34

Konačno

NEKE PRIMENE MATRIČNOG RAČUNA

35

Rešavanje sistema linearnih jednačina

Upoznaćemo neke metode:• MATRIČNI METOD• KRAMEROV METOD• KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA• REŠAVANJE HOMOGENIH SISTEMA

36

• Neka je dat sistem:

11 1 12 2 13 3 1

3 3 21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

:

x

a x a x a x b

S a x a x a x b

a x a x a x b

37

Sistem tri jednačinesa tri nepoznate

MATRIČNI METOD

• Sistem se može predstaviti matričnom jednačinom:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

3 331 32 33

A X B gde je

a a a x b

A a a a X x B b

x ba a a

38

MATRIČNI METOD

• Ova metoda se može koristiti u slučaju da matrica sistema A ima svoju inverznu matricu

(det 0)A

39

1 111 21 31

2 12 22 32 2

13 23 333 3

1

det

x bM M M

x M M M bAM M Mx b

X =A-1 B

Primer

40

6

2 3

2 2 3

x y z

x y z

x y z

Rešenje:

1 1 1 6

2 1 1 , 3

1 2 2 3

x

A X y i B

z

1X A B-= ×

0 4 2 6 6 11 1

3 1 1 3 12 26 6

3 3 3 3 18 3

X

Rešenje našeg sistema je trojka brojeva (1,2,3)

Rešiti sistem matričnim metodom:

KRAMEROV METOD

Ovaj metod se može koristiti u slučaju da je

Polazni sistem jednačina ima jedinstveno rešenje dato Kramerovim formulama:

det 0A

41

1 1 11 2 21 3 31

1( )

detx b M b M b M

A= + +

2 1 12 2 22 3 32

1( )

detx b M b M b M

A= + +

3 1 13 2 23 3 33

1( )

detx b M b M b M

A= + +

Primer6

2 3

2 2 3

x y z

x y z

x y z

42

det 6D A= =-Rešenje:

1 2

6 1 1 1 6 1

det 3 1 1 6 det 2 3 1 12

3 2 2 1 3 2x yD A D A= = - =- = = =-

-3

1 1 6

det 2 1 3 18

1 2 3zD A= = - =-

-

1 2 3yx zDD D

x y i zD D D

= = = = = =

Konačno:

Homogeni sistem jednačina

• Sistem jednačina kod koga su slobodni članovi 0, zove se homogen sistem jednačina.

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

0

0

0

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

+ + =

+ + =

+ + =

43

REŠAVANJE HOMOGENIH SISTEMA

• rang(A) = 3• detA≠0 =>R(S)=(0,0,0)

Sistem ima samo trivijalna rešenja• detA=0 (Rang(A)<3) =>

Sistem ima beskonačno mnogo rešenja

44

Primer

45

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 0

2 0

2 0

x x x

x x x

x x x

1 1 2

det 1 2 1 0

2 1 1

A

1 2 3( , , )x x x

( ) ( )

3 3

3 31 2 3 3 1 2 3 3 3 3

1 3 2 3 3 3

2 1 1 2

2 1, , , , , ,

1 1 1 1

1 2 1 2

, ,

x x

x xx x x x x x x x x x

x x x x x x

- - -

= = = = -- -

=- = =

ima beskonačno mnogo rešenja jer je

Opšte rešenje je:

.

Sistem:

TEST

- 2AX A X I

46

2 3 2

6 6 4

2 1 1

A

2 2 2A A I 1 1

1 1A

1. Izračunati A-1 za matricu

2. Izračunati ako je

0 1 2

2 3 4

1 0 1

A

2

2 3 4

2 3

x y z

x y z

x y z

2

2 3 1

3 2 2 5

x y z

x y z

x y z

3. Rešiti matričnu jednačinu:

a) gde je

4. Rešiti sistem koristeći Kramerove formule:

5. Rešiti sistem Matričnim metodom:

4 2 0

7 8 0

2 3 0

x y z

y z

x y z

6. Rešiti sistem: