diferencijalni racun
TRANSCRIPT
DIFERENCIJALNI RACUN
Brzina
Tangenta krive
Definicija: Izvod funkcije f:A�R u tacki
Definicija: f:A�R je diferencijabilna u tacki
drugacje napisano:
Stav: Funkcija f je diferencijabilna u tacki akko ima izvod u toj tacki.
Dokaz:
Primer:
Definicija (desni i levi izvod):
Tablica izvoda:
Stav (pravila diferenciranja):
Stav (po izvodu kompozicije):
Stav (izvod inverzne funkcije):
Osnovne teoreme diferencijalnog racuna
Fermaova Teorema:
Rolova Teorema:
Kosijeva Teorema:
Lagranzova Teorema (o srednjoj vrednosti):
Primeri:
Posledica:
Stav:
Stav:
Darbuova Teorema:
Funkcija je neprekidna na zatvorenom, pa dostize ekstremum.
Lopitalovo pravilo:
Teorema:
Teorema:
Primeri:
Visi izvodi
Lajbnicova formula
Tejlorova formula
Definicija:
Teorema:
Posledice:
Stav (ostatak u Peanovom obliku):
Meklorenovi razvoji ekstremnih funkcija
- Exp i trig – Lagranz; Power, log – Kosi
- Za odredjivanje ostataka stavlja se vrednost izmedju ostatka za θ=0 i θ=1.
Konveksne funkcije
Stav:
Stav:
Stav:
Stav:
Ispitivanje funkcija
Definicija:
Stav:
(1) Prema Fermaovoj teoremi da bi diferencijabilna funkcija imala lokalni ekstremum u nekoj tacki x0, neophodno je da njen izvod u toj tacki bude jednak nuli.
(2) Neka funkcija ima u tacki x0 prvi izvod jednak nuli, i definisan drugi izvod. Ako je drugi izvod u tacki x0 manji od nule, onda funkcija u tacki x0 ima lokalni maksimum, ako je veci od nule, lokalni minimum.
Definicija:
x0 je prevojna tacka funkcije akko na nekoj okolini tacke x0 funkcija f menja konveksnost u toj tacki.
Stav: