math_o_p_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant

8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant

1/10

ΑΑΡΡΧΧΗΗ 11ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ

ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 11ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ

ΓΓ΄́ ΤΤΑΑΞΞΗΗ ΓΓΕΕΝΝΙΙΚΚΟΟΥΥ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΟΥΥ ΚΚΑΑΙΙ ΕΕΠΠΑΑΛΛ ((ΟΟΜΜΑΑ∆∆ΑΑ ΒΒ΄́))

ΣΣΑΑΒΒΒΒΑΑΤΤΟΟ 0099//0044//22001166 -- ΕΕΞΞΕΕΤΤΑΑΖΖΟΟΜΜΕΕΝΝΟΟ ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑ

ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑΤΤΙΙΚΚΑΑ ΟΟΜΜΑΑ∆∆ΑΑΣΣ ΠΠ!!ΟΟΣΣΑΑΝΝΑΑΤΤΟΟΛΛΙΙΣΣΜΜΟΟΥΥ ΘΘΕΕΤΤΙΙΚΚ""ΝΝ ΣΣΠΠΟΟΥΥ∆∆""ΝΝ ΚΚΑΑΙΙ ΣΣΠΠΟΟΥΥ∆∆""ΝΝ ΟΟΙΙΚΚΟΟΝΝΟΟΜΜΙΙΑΑΣΣ ΚΚΑΑΙΙ ΠΠΛΛΗΗ!!ΟΟ##ΟΟ!!ΙΙΚΚΗΗΣΣ

ΣΣΥΥΝΝΟΟΛΛΟΟ ΣΣΕΕΛΛΙΙ∆∆""ΝΝ ∆∆ΕΕΚΚΑΑ ((1100))

ΕΕΝΝ∆∆ΕΕΙΙΚΚΤΤΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΠΠΑΑΝΝΤΤΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ

ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 260 - 261

Α2. Σχολικό βιβλίο σελ. 191

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 169

Α4. i) Σ ii) Σ iii) Λ iv) Σ v) Λ

ΘΕΜΑ Β

Β1. Η f συνεχής στο 0x = α συνεπώς:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 4 2 1 1x xlim f x f lim x x

→α →α= α ⇔ − β + β = − β − α − ⇔

2 2 2 22 4 2 2 1 2 4 2 2 1 0⇔ α − βα + β = − βα + α − ⇔ α − βα + β + βα − α + = ⇔

( ) ( )2 22 2 2

02 2 1 0 1 0

1 0

α − β =⇔ α − βα + β + α − α + = ⇔ α − β + α − = ⇔ ⇔

α − =

0 1 0 1

1

α − β = ⇔ − β = ⇔ β =⇔

α =

Συνεπώς η f γίνεται: ( )2

2 4 1 1

1 1

x x , xf x

, x

− + ≠=

− =

Όμως:2

2 1 4 1 1 1⋅ − ⋅ + = − συνεπώς: ( ) 22 4 1f x x x= − + για κάθε x ∈ℝ .


2/10



Β2. Η f παραγωγίσιμη στο ℝ ως πολυωνυμική με ( ) 4 4f΄ x x= − .

( ) 22 2 2 4 2 1 1f = ⋅ − ⋅ + = άρα: ( )2 1,Α και ( )2 4 2 4 4f΄ = ⋅ − =

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο ( )2 1,Α είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 4 2 4 7: y f f΄ x y x y xε − = ⋅ − ⇔ − = − ⇔ = −

ο !ητο"μενο εμβα#όν είναι:

( ) ( ) ( )1 1 1

2 2

0 0 0

2 4 1 4 7 2 8 8f x y dx x x x dx x x dxΕ Ω = − = − + − − = − + =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1

31 1 1

2 22

0 0 00

2 22 4 4 2 2 2 23

xx x dx x dx x dx −= − + = − = − = =

∫ ∫ ∫

( ) ( )3 3

2 1 2 2 0 2 2 16 14

3 3 3 3 3

− −= − = − + = τ.μ.

Β3.( ) ( ) ( )

( )1 1 14 14 4

41 1 4 1x x x

f΄ x xxlim lim lim

x x x→ → →

ηµ ηµ −ηµ − = = ⋅− − −

$έτουμε: 4 4u x= − με ( )1 1

4 1 0x xlimu lim x

→ → = − = συνεπώς:

( ) ( )

( )1 1 04 1

4 4 4 1 41 4 1→ → →

ηµ ηµ − ηµ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =− −x x uf΄ x x u

lim lim limx x u

( ) 22 4 1f x x xx x

x xlim e lim e

− +

→+∞ →+∞=

$έτουμε:

22 4 1x x

ux

− +

= συνεπώς:

2 22 4 1 2

2x x x x

x x xlim u lim lim lim x

x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− += = = = +∞ συνεπώς:

( ) 22 4 1f x x xux x

x x ulim e lim e lim e

− +

→+∞ →+∞ →+∞= = = +∞


3/10



Β4. ( ) 0 4 4 0 1f΄ x x x= ⇔ − = ⇔ = .

% πίνακας μεταβολών είναι:

χ 1 +∞

f΄ +

f

Η f είναι γνησίως α"&ουσα στο [ )1,+∞ .

Στο 1x = η f παρουσιά!ει ελάχιστο το οποίο είναι το ( ) 21 2 1 4 1 1 2 4 1 1f = ⋅ − ⋅ + = − + = −

H f αντιστρέφεται για κάθε 1x ≥ #ιότι είναι γνησίως α"&ουσα στο [ )1,+∞ και συνεπώς

είναι και «1-1».

( ) ( )2 2 22 4 1 2 4 2 1 2 2 1 1f x x x x x x x= − + = − + − = − + − = ( )2

2 1 1− −x

$έτουμε ( ) ( ) ( )2 21

2 1 1 12

yy f x y x x

+= ⇔ = − − ⇔ = − .

( ) ( )2 22 4 1 2x x xlim f x lim x x lim x→+∞ →+∞ →+∞

= − + = = +∞

Συνεπώς: [ )( ) ( ) ( )) [ )1 1 1x

f , f , lim f x ,→+∞

+∞ = = − +∞

ր

άρα γνωρί!ουμε ότι

1 1 0y y≥ − ⇔ + ≥ .

( ) ( )2 11 1 1

1 1 12 2 2

y y yx x x f y−

+ + += − ⇔ − = ⇔ = + =

Συνεπώς ισχ"ει ότι: ( )11

1

2

xf x−

+= + με: [ )1f ,Α = − +∞ .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. i) 'ίναι ( ) ( )

( )( )

0

0

0 0 0

1 1 !" #$ %

→ → →

&− −= = ⋅ =

&

hx hx

hx

h D.L.H h h

e elim lim lim x e x

h h

'πίσης ( )2

0 0

2

2

=

→ →

+ − + −&= =

u h

h u

f(x h) f(x) f(x u) f(x)lim lim f x

h u


4/10



και ( )( )

20

1 20

2→

− + −&= ⋅ '

hx

h

e f(x h) f(x)lim x f (x),x

h

(ρα από υπόθεση:2 2 1

&⋅ = + −x f (x) f(x) x(lnx )

ii) )πό ( )2 2 1 0&⋅ = + − ' ⇔x f (x) f(x) x lnx ,x ( )2 2 1 0&⋅ − = − ' ⇔x f (x) f(x) x lnx ,x

( )2 22 2 1 0&⋅ − ⋅ = − ' ⇔x f (x) x f(x) x lnx ,x2

4 2

2 12 0

&⋅ − ⋅ −= ' ⇔

x f (x) x f(x) lnx,x

x x

22 0

f(x) ln x,x

x x

& & ! != − '" # " #

$ % $ %

άρα 2

2= − +f(x) lnx

cx x

(1) για x = 1

1 2 1 1= − + ⇔ =f( ) ln c c άρα 0

2

22 1 2 0

'

= − + ⇔ = − ⋅ 'xf(x) lnx

f(x) x x lnx,xx x

Η f είναι συνεχής στο 0

0=x άρα

( ) ( ) ( )( )0

2 2

0 0 0 0 0

0 2 2 2+ + + + +

⋅ −∞

→ → → → →= = − ⋅ = − ⋅ = ⋅ =

x x x x xf( ) lim f(x) lim x x lnx lim x lim x lnx lim x lnx

( ) ( )0 0 0 0

2

1

2 2 2 2 01 1

1D.L.Hx x x x

lnxlnx xlim lim lim lim x

x xx

+ + + +

−∞ !" #+∞$ %

→ → → →

&= = = − =& ! −

" #$ %

Συνεπώς ο τ"πος της f είναι: ( )2

2 0

0 0

x xlnx ,xf x

,x

− '=

=

Γ2. *ια 0 2 2 2' = − −x : f '(x) x lnx και 2 1

2 2x

f ''(x)x x

−= − =

χ 0 1 +∞

f΄΄ - +

f

f κοίλη στο (0,1] και κυρτή στο [1, +∞ ) με σημείο καμπής το (1,1)


5/10



χ 0 1 +∞

f΄

ց

( ) ( ) ( )0 1 1 0f΄

x f΄ x f΄ f΄ x ⇔ ' ⇔ 'ց

ր

( ) ( ) ( )1 1 0f΄

x f΄ x f΄ f΄ x' ⇔ ' ⇔ 'ր

(ρα f րστο ( ) ( )0 1 1 +∞, , , f συνεχής στο [ )0 +∞,

άρα f ր στο [ )0 +∞, . ότε το ολικό ελάχιστο m = f(0) = 0

Γ3. ( ) ( ) ( ) ( )1961 2015 1963 2016+ = +f x f x f x f x . +ρέπει 0≥x . +ροφανείς ρί!ες x = 0 και x = 1

)ν 0 < x < 1 έχουμε

1961 1963'x x και 2015 2016*

' ⇔f

x x

1961 1963'f(x ) f(x ) και ( ) ( )2015 2016'f x f x οπότε

( ) ( ) ( ) ( )1961 2015 1963 2016+ ' +f x f x f x f x

'πομένως η ε&ίσωση είναι α#"νατη στο (0,1)

)ν x > 1 έχουμε

1961 1963x x και 2015 2016*

⇔f

x x

1961 1963f(x ) f(x ) και ( ) ( )2015 2016f x f x οπότε

( ) ( ) ( ) ( )1961 2015 1963 2016

+ +f x f x f x f x

'πομένως η ε&ίσωση είναι α#"νατη στο ( )1 +∞,

(ρα η ε&ίσωση έχει ακριβώς #"ο ρί!ες στο [ )0,+∞ τις x = 0 και x = 1.


6/10



Γ4. )ν λ ο συντελεστής #ιε"θυνσης της (ε) είναι ( )( )&ε, = - =(t) f x t με ( ) 0'x t

2 2 2(t) x(t) ln(x(t))ε, = ⋅ − − . 21

1 2 2 1( (t)) (t) x (t) x (t) ( )

x(t)

& & &+ ε , ⋅ , = ⋅ − ⋅

1 20 2 0

( )

(t) x (t) x (t)x(t)

& & &, = ⇔ ⋅ − ⋅ = ⇔0

12 1 0 1

x ( t)x (t) x(t)

x(t) & ≠

!&⋅ − = ⇔ =" #

$ %

21 1 2 1 1 1f( ) ln= − ⋅ ⋅ = άρα ,(1,1).

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. 1

1 1

0+

+ + = '

xf(x)t

lnx

lnxe f(x) ,xx x

1

1

1 1xf(x)

t xf (x) lnx xf (x)

lnxe xf(x) lnx e e x f(x) lnx e x f(x)+

+ + = + ⇔ − + ⋅ = + ⇔ + ⋅ =

11

lnxe lnx+= + +

-στω x(x) e x = + με x ∈ℝ έχουμε ότι: 1 0 1 1x'(x) e R " " = + ' . /01 . −ր

( ) 1 = +xf(x) ( lnx)1 1

1 0

−

⇔ = + '" "

xf(x) lnx, x

1 1 10

− +⇔ = '" " lnx

f(x) , xx

2 12

0

2 0

2ηµ −− + ηµ /34 + = − '∫ x xe e x xdx g(x) e lnx, x (2)

22

0

xe x xdx2

ηµ ⋅ ηµ ⋅ /34∫ θέτω x uηµ = , ( )du x ΄dx x dx= ηµ = /34 ⋅ ,

0 0x u= ⇔ = και

12x u

2

= ⇔ =

( )1 1 1 1

12 2 2 2

0

0 0 0 0

2u u u u ue u du e 'u du e u e (u )́ du e e udu = = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫

( )1 1

1

0

0 0

2 2 2u u ue e 'udu e ue e (u)'du = − = − + = ∫ ∫


7/10



11

1

0

0

2 2 2 2 1 2u ue e e du e e e (e ) e = − + = − + = − + − = − ∫

(ρα από την (2) έχουμε 1 1

2 2 0− −− + − + = − ⇔ = − 'x xe e g(x) e lnx g(x) e lnx,x

Δ2. α)1

0+

= 'lnx

f(x) ,xx

2 2 2

11

1 10

− + − − −= = = '

x ( lnx)lnx lnxxf '(x) ,x

x x x

0 0 0 1 1= ⇔ − = ⇔ = = ⇔ =f '(x) lnx lnx ln x

20 0 0 0 1 0 1

' − ' ⇔ − ' ⇔ ⇔ ⇔ f '(x) x ( lnx) lnx lnx lnx ln x χ 0 1 +∞

f΄ + -

f

0 1

1

1 1 1

1 0 1 0

*

5 +∞

= . = 1-67 µ 86/01 0η9

:α ; 86α 7 ,ε ' ⇔ ; 86α 7 ,ε '

f ( , ]

f [ , )

x f( ) ό έ f

ά f(x) f( ), ά x f(x) , ά x

10

−= − 'xg(x) e lnx, x

1 10

−= − 'xg'(x) e , xx

με 1 0=g'( )

1

2

10

−&& = + '

x

g (x) e ,xγια

κάθε

( )0 0

' . 84 α


8/10



0 1 1 0 0 1

1 1 0 1

*

*

; ⇔ ; = . 84 , 413/α /01

≥ ⇔ ≥ = . 84 α


9/10



)ν h(x) = 1/x τότε από (1)

22

11

1 111 1 ⋅ = ⇔ − = ∫ dx xx x )%+%

(ρα από: ( ) ( )2

2

1

1 10 0h(x) h(x) dxx x− ≥ . − ' ⇔∫

( )2 2 2 2

2 2

2 2

1 1 1 1

1 11 12 0 2 0h ( x ) h (x ) d x h ( x ) d x h ( x ) d x d x

x x x x⇔ − + ' ⇔ − + ' ⇔∫ ∫ ∫ ∫

( )2 2 2

22 2 2

11 1 1

1 312 1 0 2 1 0 0

2 2h x dx h (x)dx h (x)dx

x ! − ⋅ + − ' ⇔ − + − + ' ⇔ − '" # $ %∫ ∫ ∫

Δ4. Η παράγουσα Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στα παρακάτω #ιαστήματα όπου εφαρμό!εται το $.,..

)πό $.,.. για την Η στο 2

3

α + β α , υπάρχει

1

2

3x , :

α + β !∈ α" #$ %

( ) ( )1 1

2 2

3 33

2

3

'(x ) h(x )

α + β α + β ! !B − B α B − B α" # " #$ % $ %B = = =

α + β β − α− α

)πό $.,.. για την Η στο 2

3,

α + β β υπάρχει

2

2

3x , :

α + β !∈ β" #$ %

( ) ( )2 2

2 2

3 33

2

3

'(x ) h(x )

α + β α + β ! !B β − B B β − B" # " #$ % $ %B = = =

α + β β − αβ −

Η ( ) 0h΄ x ' για κάθε ( )1 3x ,∈ συνεπώς η h είναι γνησίως α"&ουσα στο ( )1 3, .

)κόμη έχουμε: ( )12

1 33

x , ,α + β !∈ α C" #

$ %, ( )2

21 3

3x , ,

α + β !∈ β C" #$ %

και

2 26 3 3 6

3 3

α + β α + β ⇔ α + β α + β ⇔ α β ισχ"ει άρα:

1 2

2 2

3 3x x

α + β α + β

Συνεπώς:


10/10



( ) ( )( ) ( )

0

1 2 1 2

2 2

3 33 3

h

x x h x h xβ−α'

α + β α + β ! !B − B α B β − B" # " #$ % $ % ⇔ ⇔ ⇔

β − α β − α

ր

( ) ( )2 2

3 3

α + β α + β ! !⇔ B + B B α + B β" # " #$ % $ %

.

math_o_p_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant

Documents