Download - math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
1/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 11ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 11ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
ΓΓ΄́ ΤΤΑΑΞΞΗΗ ΓΓΕΕΝΝΙΙΚΚΟΟΥΥ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΟΥΥ ΚΚΑΑΙΙ ΕΕΠΠΑΑΛΛ ((ΟΟΜΜΑΑ∆∆ΑΑ ΒΒ΄́))
ΣΣΑΑΒΒΒΒΑΑΤΤΟΟ 0099//0044//22001166 -- ΕΕΞΞΕΕΤΤΑΑΖΖΟΟΜΜΕΕΝΝΟΟ ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑ
ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑΤΤΙΙΚΚΑΑ ΟΟΜΜΑΑ∆∆ΑΑΣΣ ΠΠ!!ΟΟΣΣΑΑΝΝΑΑΤΤΟΟΛΛΙΙΣΣΜΜΟΟΥΥ ΘΘΕΕΤΤΙΙΚΚ""ΝΝ ΣΣΠΠΟΟΥΥ∆∆""ΝΝ ΚΚΑΑΙΙ ΣΣΠΠΟΟΥΥ∆∆""ΝΝ ΟΟΙΙΚΚΟΟΝΝΟΟΜΜΙΙΑΑΣΣ ΚΚΑΑΙΙ ΠΠΛΛΗΗ!!ΟΟ##ΟΟ!!ΙΙΚΚΗΗΣΣ
ΣΣΥΥΝΝΟΟΛΛΟΟ ΣΣΕΕΛΛΙΙ∆∆""ΝΝ ∆∆ΕΕΚΚΑΑ ((1100))
ΕΕΝΝ∆∆ΕΕΙΙΚΚΤΤΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΠΠΑΑΝΝΤΤΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ
ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 260 - 261
Α2. Σχολικό βιβλίο σελ. 191
Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 169
Α4. i) Σ ii) Σ iii) Λ iv) Σ v) Λ
ΘΕΜΑ Β
Β1. Η f συνεχής στο 0x = α συνεπώς:
( ) ( ) ( ) ( )2 22 4 2 1 1x xlim f x f lim x x
→α →α= α ⇔ − β + β = − β − α − ⇔
2 2 2 22 4 2 2 1 2 4 2 2 1 0⇔ α − βα + β = − βα + α − ⇔ α − βα + β + βα − α + = ⇔
( ) ( )2 22 2 2
02 2 1 0 1 0
1 0
α − β =⇔ α − βα + β + α − α + = ⇔ α − β + α − = ⇔ ⇔
α − =
0 1 0 1
1
α − β = ⇔ − β = ⇔ β =⇔
α =
Συνεπώς η f γίνεται: ( )2
2 4 1 1
1 1
x x , xf x
, x
− + ≠=
− =
Όμως:2
2 1 4 1 1 1⋅ − ⋅ + = − συνεπώς: ( ) 22 4 1f x x x= − + για κάθε x ∈ℝ .
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
2/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 22ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 22ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
Β2. Η f παραγωγίσιμη στο ℝ ως πολυωνυμική με ( ) 4 4f΄ x x= − .
( ) 22 2 2 4 2 1 1f = ⋅ − ⋅ + = άρα: ( )2 1,Α και ( )2 4 2 4 4f΄ = ⋅ − =
Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο ( )2 1,Α είναι:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 4 2 4 7: y f f΄ x y x y xε − = ⋅ − ⇔ − = − ⇔ = −
ο !ητο"μενο εμβα#όν είναι:
( ) ( ) ( )1 1 1
2 2
0 0 0
2 4 1 4 7 2 8 8f x y dx x x x dx x x dxΕ Ω = − = − + − − = − + =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1
31 1 1
2 22
0 0 00
2 22 4 4 2 2 2 23
xx x dx x dx x dx −= − + = − = − = =
∫ ∫ ∫
( ) ( )3 3
2 1 2 2 0 2 2 16 14
3 3 3 3 3
− −= − = − + = τ.μ.
Β3.( ) ( ) ( )
( )1 1 14 14 4
41 1 4 1x x x
f΄ x xxlim lim lim
x x x→ → →
ηµ ηµ −ηµ − = = ⋅− − −
$έτουμε: 4 4u x= − με ( )1 1
4 1 0x xlimu lim x
→ → = − = συνεπώς:
( ) ( )
( )1 1 04 1
4 4 4 1 41 4 1→ → →
ηµ ηµ − ηµ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =− −x x uf΄ x x u
lim lim limx x u
( ) 22 4 1f x x xx x
x xlim e lim e
− +
→+∞ →+∞=
$έτουμε:
22 4 1x x
ux
− +
= συνεπώς:
2 22 4 1 2
2x x x x
x x xlim u lim lim lim x
x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
− += = = = +∞ συνεπώς:
( ) 22 4 1f x x xux x
x x ulim e lim e lim e
− +
→+∞ →+∞ →+∞= = = +∞
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
3/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 33ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 33ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
Β4. ( ) 0 4 4 0 1f΄ x x x= ⇔ − = ⇔ = .
% πίνακας μεταβολών είναι:
χ 1 +∞
f΄ +
f
Η f είναι γνησίως α"&ουσα στο [ )1,+∞ .
Στο 1x = η f παρουσιά!ει ελάχιστο το οποίο είναι το ( ) 21 2 1 4 1 1 2 4 1 1f = ⋅ − ⋅ + = − + = −
H f αντιστρέφεται για κάθε 1x ≥ #ιότι είναι γνησίως α"&ουσα στο [ )1,+∞ και συνεπώς
είναι και «1-1».
( ) ( )2 2 22 4 1 2 4 2 1 2 2 1 1f x x x x x x x= − + = − + − = − + − = ( )2
2 1 1− −x
$έτουμε ( ) ( ) ( )2 21
2 1 1 12
yy f x y x x
+= ⇔ = − − ⇔ = − .
( ) ( )2 22 4 1 2x x xlim f x lim x x lim x→+∞ →+∞ →+∞
= − + = = +∞
Συνεπώς: [ )( ) ( ) ( )) [ )1 1 1x
f , f , lim f x ,→+∞
+∞ = = − +∞
ր
άρα γνωρί!ουμε ότι
1 1 0y y≥ − ⇔ + ≥ .
( ) ( )2 11 1 1
1 1 12 2 2
y y yx x x f y−
+ + += − ⇔ − = ⇔ = + =
Συνεπώς ισχ"ει ότι: ( )11
1
2
xf x−
+= + με: [ )1f ,Α = − +∞ .
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. i) 'ίναι ( ) ( )
( )( )
0
0
0 0 0
1 1 !" #$ %
→ → →
&− −= = ⋅ =
&
hx hx
hx
h D.L.H h h
e elim lim lim x e x
h h
'πίσης ( )2
0 0
2
2
=
→ →
+ − + −&= =
u h
h u
f(x h) f(x) f(x u) f(x)lim lim f x
h u
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
4/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 44ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 44ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
και ( )( )
20
1 20
2→
− + −&= ⋅ '
hx
h
e f(x h) f(x)lim x f (x),x
h
(ρα από υπόθεση:2 2 1
&⋅ = + −x f (x) f(x) x(lnx )
ii) )πό ( )2 2 1 0&⋅ = + − ' ⇔x f (x) f(x) x lnx ,x ( )2 2 1 0&⋅ − = − ' ⇔x f (x) f(x) x lnx ,x
( )2 22 2 1 0&⋅ − ⋅ = − ' ⇔x f (x) x f(x) x lnx ,x2
4 2
2 12 0
&⋅ − ⋅ −= ' ⇔
x f (x) x f(x) lnx,x
x x
22 0
f(x) ln x,x
x x
& & ! != − '" # " #
$ % $ %
άρα 2
2= − +f(x) lnx
cx x
(1) για x = 1
1 2 1 1= − + ⇔ =f( ) ln c c άρα 0
2
22 1 2 0
'
= − + ⇔ = − ⋅ 'xf(x) lnx
f(x) x x lnx,xx x
Η f είναι συνεχής στο 0
0=x άρα
( ) ( ) ( )( )0
2 2
0 0 0 0 0
0 2 2 2+ + + + +
⋅ −∞
→ → → → →= = − ⋅ = − ⋅ = ⋅ =
x x x x xf( ) lim f(x) lim x x lnx lim x lim x lnx lim x lnx
( ) ( )0 0 0 0
2
1
2 2 2 2 01 1
1D.L.Hx x x x
lnxlnx xlim lim lim lim x
x xx
+ + + +
−∞ !" #+∞$ %
→ → → →
&= = = − =& ! −
" #$ %
Συνεπώς ο τ"πος της f είναι: ( )2
2 0
0 0
x xlnx ,xf x
,x
− '=
=
Γ2. *ια 0 2 2 2' = − −x : f '(x) x lnx και 2 1
2 2x
f ''(x)x x
−= − =
χ 0 1 +∞
f΄΄ - +
f
f κοίλη στο (0,1] και κυρτή στο [1, +∞ ) με σημείο καμπής το (1,1)
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
5/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 55ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 55ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
χ 0 1 +∞
f΄
ց
( ) ( ) ( )0 1 1 0f΄
x f΄ x f΄ f΄ x ⇔ ' ⇔ 'ց
ր
( ) ( ) ( )1 1 0f΄
x f΄ x f΄ f΄ x' ⇔ ' ⇔ 'ր
(ρα f րστο ( ) ( )0 1 1 +∞, , , f συνεχής στο [ )0 +∞,
άρα f ր στο [ )0 +∞, . ότε το ολικό ελάχιστο m = f(0) = 0
Γ3. ( ) ( ) ( ) ( )1961 2015 1963 2016+ = +f x f x f x f x . +ρέπει 0≥x . +ροφανείς ρί!ες x = 0 και x = 1
)ν 0 < x < 1 έχουμε
1961 1963'x x και 2015 2016*
' ⇔f
x x
1961 1963'f(x ) f(x ) και ( ) ( )2015 2016'f x f x οπότε
( ) ( ) ( ) ( )1961 2015 1963 2016+ ' +f x f x f x f x
'πομένως η ε&ίσωση είναι α#"νατη στο (0,1)
)ν x > 1 έχουμε
1961 1963x x και 2015 2016*
⇔f
x x
1961 1963f(x ) f(x ) και ( ) ( )2015 2016f x f x οπότε
( ) ( ) ( ) ( )1961 2015 1963 2016
+ +f x f x f x f x
'πομένως η ε&ίσωση είναι α#"νατη στο ( )1 +∞,
(ρα η ε&ίσωση έχει ακριβώς #"ο ρί!ες στο [ )0,+∞ τις x = 0 και x = 1.
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
6/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 66ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 66ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
Γ4. )ν λ ο συντελεστής #ιε"θυνσης της (ε) είναι ( )( )&ε, = - =(t) f x t με ( ) 0'x t
2 2 2(t) x(t) ln(x(t))ε, = ⋅ − − . 21
1 2 2 1( (t)) (t) x (t) x (t) ( )
x(t)
& & &+ ε , ⋅ , = ⋅ − ⋅
1 20 2 0
( )
(t) x (t) x (t)x(t)
& & &, = ⇔ ⋅ − ⋅ = ⇔0
12 1 0 1
x ( t)x (t) x(t)
x(t) & ≠
!&⋅ − = ⇔ =" #
$ %
21 1 2 1 1 1f( ) ln= − ⋅ ⋅ = άρα ,(1,1).
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. 1
1 1
0+
+ + = '
xf(x)t
lnx
lnxe f(x) ,xx x
1
1
1 1xf(x)
t xf (x) lnx xf (x)
lnxe xf(x) lnx e e x f(x) lnx e x f(x)+
+ + = + ⇔ − + ⋅ = + ⇔ + ⋅ =
11
lnxe lnx+= + +
-στω x(x) e x = + με x ∈ℝ έχουμε ότι: 1 0 1 1x'(x) e R " " = + ' . /01 . −ր
( ) 1 = +xf(x) ( lnx)1 1
1 0
−
⇔ = + '" "
xf(x) lnx, x
1 1 10
− +⇔ = '" " lnx
f(x) , xx
2 12
0
2 0
2ηµ −− + ηµ /34 + = − '∫ x xe e x xdx g(x) e lnx, x (2)
22
0
xe x xdx2
ηµ ⋅ ηµ ⋅ /34∫ θέτω x uηµ = , ( )du x ΄dx x dx= ηµ = /34 ⋅ ,
0 0x u= ⇔ = και
12x u
2
= ⇔ =
( )1 1 1 1
12 2 2 2
0
0 0 0 0
2u u u u ue u du e 'u du e u e (u )́ du e e udu = = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫
( )1 1
1
0
0 0
2 2 2u u ue e 'udu e ue e (u)'du = − = − + = ∫ ∫
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
7/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 77ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 77ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
11
1
0
0
2 2 2 2 1 2u ue e e du e e e (e ) e = − + = − + = − + − = − ∫
(ρα από την (2) έχουμε 1 1
2 2 0− −− + − + = − ⇔ = − 'x xe e g(x) e lnx g(x) e lnx,x
Δ2. α)1
0+
= 'lnx
f(x) ,xx
2 2 2
11
1 10
− + − − −= = = '
x ( lnx)lnx lnxxf '(x) ,x
x x x
0 0 0 1 1= ⇔ − = ⇔ = = ⇔ =f '(x) lnx lnx ln x
20 0 0 0 1 0 1
' − ' ⇔ − ' ⇔ ⇔ ⇔ f '(x) x ( lnx) lnx lnx lnx ln x χ 0 1 +∞
f΄ + -
f
0 1
1
1 1 1
1 0 1 0
*
5 +∞
= . = 1-67 µ 86/01 0η9
:α ; 86α 7 ,ε ' ⇔ ; 86α 7 ,ε '
f ( , ]
f [ , )
x f( ) ό έ f
ά f(x) f( ), ά x f(x) , ά x
10
−= − 'xg(x) e lnx, x
1 10
−= − 'xg'(x) e , xx
με 1 0=g'( )
1
2
10
−&& = + '
x
g (x) e ,xγια
κάθε
( )0 0
' . 84 α
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
8/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 88ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 88ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
0 1 1 0 0 1
1 1 0 1
*
*
; ⇔ ; = . 84 , 413/α /01
≥ ⇔ ≥ = . 84 α
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
9/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 99ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 99ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
)ν h(x) = 1/x τότε από (1)
22
11
1 111 1 ⋅ = ⇔ − = ∫ dx xx x )%+%
(ρα από: ( ) ( )2
2
1
1 10 0h(x) h(x) dxx x− ≥ . − ' ⇔∫
( )2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1 11 12 0 2 0h ( x ) h (x ) d x h ( x ) d x h ( x ) d x d x
x x x x⇔ − + ' ⇔ − + ' ⇔∫ ∫ ∫ ∫
( )2 2 2
22 2 2
11 1 1
1 312 1 0 2 1 0 0
2 2h x dx h (x)dx h (x)dx
x ! − ⋅ + − ' ⇔ − + − + ' ⇔ − '" # $ %∫ ∫ ∫
Δ4. Η παράγουσα Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στα παρακάτω #ιαστήματα όπου εφαρμό!εται το $.,..
)πό $.,.. για την Η στο 2
3
α + β α , υπάρχει
1
2
3x , :
α + β !∈ α" #$ %
( ) ( )1 1
2 2
3 33
2
3
'(x ) h(x )
α + β α + β ! !B − B α B − B α" # " #$ % $ %B = = =
α + β β − α− α
)πό $.,.. για την Η στο 2
3,
α + β β υπάρχει
2
2
3x , :
α + β !∈ β" #$ %
( ) ( )2 2
2 2
3 33
2
3
'(x ) h(x )
α + β α + β ! !B β − B B β − B" # " #$ % $ %B = = =
α + β β − αβ −
Η ( ) 0h΄ x ' για κάθε ( )1 3x ,∈ συνεπώς η h είναι γνησίως α"&ουσα στο ( )1 3, .
)κόμη έχουμε: ( )12
1 33
x , ,α + β !∈ α C" #
$ %, ( )2
21 3
3x , ,
α + β !∈ β C" #$ %
και
2 26 3 3 6
3 3
α + β α + β ⇔ α + β α + β ⇔ α β ισχ"ει άρα:
1 2
2 2
3 3x x
α + β α + β
Συνεπώς:
-
8/16/2019 math_O_P_g_lyk_ekf_09-04-2016__apant
10/10
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 1100ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 1100ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 1100 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
( ) ( )( ) ( )
0
1 2 1 2
2 2
3 33 3
h
x x h x h xβ−α'
α + β α + β ! !B − B α B β − B" # " #$ % $ % ⇔ ⇔ ⇔
β − α β − α
ր
( ) ( )2 2
3 3
α + β α + β ! !⇔ B + B B α + B β" # " #$ % $ %
.