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Mathématiquesécrit / admissibilité tome 2

Professeur des écoles Concours 2016

Jean-François BergeautChristophe Billy

Marc CailholMichèle Couderette

Pierre DanosRomy Delbreil-Deblaize

Cédric FruchonMarie-Hélène Lallement-Dupouy

Isabelle Laurençot-SorgiusNicolas Ros

Madeleine Vaultrin-Pereira

CRPE 2016

Remerciements

Les auteurs tiennent à remercier Cathy Babel, Éliane Berthon, Valentina Celi, Monique Combeaud, Hervé Depecker, Marie-Paule Fournier, Valérie Frède, Danièle Gérard, Éric Laguerre, Georges Madar et Jean-Luc Mordwa pour leurs contributions et leurs précieux conseils.

Les auteurs expriment toute leur reconnaissance à Jeanine Duverneuil et Rose Palanque ainsi qu’aux collègues formateurs de l’IUFM de Midi-Pyrénées et de la nouvelle ÉSPÉ Toulouse Midi-Pyrénées, sans qui ce travail n’aurait pas eu de fon-dement.

Les auteurs remercient les personnes de leur entourage qui les ont soutenus dans la réalisation de ce projet.

Concept de couverture : DominoConcept de maquette intérieure : Domino

Concept graphique des rabats : Mélissa Jallier-Lundgren

Mise en page : Belle Page

© Dunod, Paris, 2015

5 rue Laromiguière, 75005 Pariswww.dunod.com

ISBN 978-2-10-073814-4

Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes de l’article L. 122-5, 2° et 3° a), d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de I’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 122-4).Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue-rait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.

Le pictogramme qui figure ci-contre mérite une explication. Son objet est d’alerter le lecteur sur la menace que représente pour I’avenir de I’écrit, particulièrement dans le domaine de I’édition technique et universi-taire, le développement massif du photocopillage.Le Code de la propriété intellec-tuelle du 1er juillet 1992 interdit en effet expressément la photoco-pie à usage collectif sans autori - sation des ayants droit. Or, cette pratique s’est généralisée dans les établissements

d’enseignement supérieur, provoquant une baisse brutale des achats de livres et de revues, au point que la possibilité même pour

les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer cor-rectement est aujourd’hui menacée.Nous rappelons donc que toute reproduction, partielle ou totale, de la présente publication est interdite sans autorisation de I’auteur, de son éditeur ou du Centre français d’exploitation du

droit de copie (CFC, 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris).

Table des matières

Présentation du CRPE et de l’épreuve de maths 1

Conseils méthodologiques 11

Partie 1 Les problèmes

1 Les problèmes en mathématiques 36

A Objectif concours : Thème A. Pro blèmes por tant sur un ou plusieurs domaines 37

Partie 2 Géo mé trieSous-partie 2.1. Géométrie : partie disciplinaire 48

2 Angles, cercles et disques 49

1. Rap pels sur les nota tions de géo mé trie 49

2. Défi ni tions et pro prié tés carac té ris tiques uti lisant les dis tances 49

3. Angles 51

4. Cercle et disque 54

Je fais le point 57

3 Poly gones 63

1. Poly gones 63

2. Tri angles 65

3. Qua dri la tères par ti cu liers 70

Je fais le point 73

4 Outils en géo mé trie : théorèmes de Pythagore et de Thalès, tri go no métrie 79

1. Intro duc tion 79

2. Théo rème de Pythagore 79

3. Théo rème de Thalès 83

4. Tri go no métrie 86

Je fais le point 89

IV

Table des matières

5 Construc tions 97

1. Construc tions de droites par ti cu lières 98

2. Tri angle 101

3. Opé ra tions sur les lon gueurs 102

4. Construc tion d’un tri angle iso métrique à un autre 104

5. Construc tions d’angles 104

6. Construc tions de poly gones régu liers 105

7. Exemples de pro blèmes de construc tions 107

Je fais le point 109

6 Trans for ma tions du plan, triangles sem blables, tri angles iso métriques 116

1. Rap pels théo riques sur les trans for ma tions 116

2. Symé trie axiale 117

3. Symétrie centrale 120

4. Tri angles sem blables, tri angles iso métriques 121


B Objectif concours : Thème B. Géo mé trie plane 131

7 Posi tions rela tives de droites et plans de l’espace 150

1. Carac té ri sa tions d’une droite et d’un plan 150

2. Posi tions rela tives d’une droite et d’un plan 150

3. Posi tions rela tives de deux plans et pro prié tés 152

4. Posi tions rela tives de deux droites de l’espace 156

5. Dis tance dans l’espace 157


8 Solides de l’espace : défi ni tions, repré sen ta tions 165

1. Géné ra li tés 165

2. Clas si fi ca tion des solides 165

3. Sec tions planes de solides 166

4. Repré sen ta tions des solides 167


9 Solides de l’espace : exemples 177

1. Cylindres et prismes 177

2. Cônes et pyra mides 180

3. Boules et sphères 183

4. Décrire des polyèdres 184


C Objectif concours : Thème C. Géo mé trie dans l’espace 195

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Sous-partie 2.2. Géométrie à l’école : partie didactique 212

10 Espace et géo mé trie à l’école : géné ra li tés 213


2. L’espace à l’école 217

3. Le voca bu laire de la spa tia lité 218

4. Types de tâches géo mé triques et spatiales 219

5. Dif fi cultés, erreurs 223

6. Variables didac tiques 224

11 Géo mé trie plane à l’école 227

1. Pro gres si vité des appren tis sages 227

2. Les outils, maté riels et voca bu laire 228

3. Des concepts de géo mé trie de l’école 230

4. Des situa tions de réfé rence 236

12 Géo mé trie des solides à l’école 240


2. Maté riels, voca bu laire 241


4. Dif fé rents types de tâches 243


6. Des situa tions de réfé rence 244

D Objectif concours : Thème D. Géométrie à l'école 247

Partie 3 Gran deurs et mesuresSous partie 3.1. Grandeurs et mesures : partie disciplinaire 260

13 Gran deurs et mesures 261

1. Introduction à la notion de grandeur : exemple d’une comparaison d’aires 261

2. Plu sieurs types de gran deurs 262

3. Compa rer deux objets du point de vued’une gran deur 263

4. Mesu rer 264


14 Gran deurs : exemples 273

1. Lon gueurs 273

2. Aires 276

3. Volumes, conte nances 282

4. Durées 285

5. Masses 286

VI

Table des matières

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6. Agrandissement- réduction et gran deurs 286


E Objectif concours : Thème E. Gran deurs 295

Sous-partie 3.2. Grandeurs et mesures à l’école : partie didactique 308

15 Gran deurs et mesures à l’école 309



3. Des types de tâches dans deux cadres dif fé rents et les tech niques asso ciées 313

4. Les outils, maté riels et voca bu laire 314



F Objectif concours : Thème F. Gran deurs à l’école 322

Partie 4 Sujets d’écrits de concours

1 CRPE 2015 - Sujet groupement 2 342

Corrigé CRPE 2015 - Groupement 2 349

2 CRPE 2015 – Sujet groupement 3 360

Corrigé CRPE 2015 - Groupement 3 369

3 CRPE 2015 - Sujet Créteil 380

Corrigé CRPE 2015 - Sujet Créteil 392

4 CRPE - Sujet complémentaire A 400

Corrigé CRPE - Sujet complémentaire A 410

Index 421

Ressources numériques. Comment y accéder ?

Pour aller plus loin et mettre toutes les chances de votre côté pour réussir le concours, des compléments de cours et des exercices supplémentaires sont disponibles pour chaque chapitre sur le site www.dunod.com.

Connectez-vous à la page de l’ouvrage (grâce aux menus déroulants, ou en saisissant le titre, l’auteur ou l’ISBN dans le champ de recherche de la page d’accueil). Sur la page de l’ouvrage, sous la couverture, cliquez sur le lien « Compléments en accès réservé ».

Partie 1 Les problèmes

Sous-partie 1.1. Les problèmes : partie disciplinaire

1 Les problèmes en mathématiquesA Objectif concours : Thème A.

Problèmes variés

Sous partie 1.2 . Les problèmes à l’école : partie didactique

2 Réso lu tion de problèmes à l’écoleB Objectif concours : Thème B.

Réso lu tion de pro blèmes à l’école

Partie 2 Nombres et cal culs

Sous-partie 2.1. Nombres et calculs : partie disciplinaire

3 Sys tèmes de numé ra tion4 Les ensembles de nombresC Objectif concours : Thème C.

Nombres et numérations5 Arith mé tiqueD Objectif concours : Thème D.

Arith mé tique6 Opé ra tions, calculs avec des frac tions,

puissances, radi caux7 Équa tions, in équations et sys tèmesE Objectif concours : Thème E. Calculs

Sous-partie 2.2. Nombre et calculs à l’école : partie didactique

8 Nombres à l’école : géné ra li tés9 Fractions et déci maux à l’école10 Cal culs à l’école

F Objectif concours : Thème F. Nombres et cal culs à l’école

Partie 3 Organisation et gestion des données

Sous partie 3.1 Organisation et gestion des données : partie disciplinaire

11 L’outil tableur12 Fonc tions, pro por tion na litéG Objectif concours : Thème G.

Fonc tions, pro por tion na lité13 Sta tistiquesH Objectif concours : Thème H.

Statistiques

14 Pro ba bi li tésI Objectif concours : Thème I.

Dénombrements, probabilités

Sous-partie 3.2 Organisation et gestion des données à l’école : partie didactique

15 Pro por tion na lité à l’école16 Tableaux et gra phiques à l’école17 Uti li sation des TICE à l’écoleJ Objectif concours : Thème J. Organi-

sation et gestion des données à l’école

Partie 4 Sujets d’écrits de concours

1 CRPE 2015 – Sujet groupement 12 CRPE 2015 – Sujet Complémentaire B

Vous trouverez dans le tome 1

1

1 La formation des enseignants du premier degré

1.1 La formation

a. Les Écoles Supérieures du Professorat et de l’Éducation (ESPE)

Depuis la rentrée 2013, les concours se préparent principalement dans le cadre des Écoles Supérieures du Professorat et de l’Éducation (ÉSPÉ). Leur mission est, entre autres, d’assurer la formation initiale de tous les enseignants et personnels d’éduca-tion, de la maternelle à l’enseignement supérieur.

b. Le master Métiers de l’Enseignement, de l’Éducation et de la Formation (MEEF)

Les ESPE organisent des formations de master MEEF à vocation professionnelle. Ces formations comportent différents modules permettant la maîtrise des savoirs et leur didactique, une initiation à la recherche, une ouverture sur l’international, un volet apprentissage par et au numérique, des outils et méthodes pédagogiques innovants.

c. Une formation renouvelée

Le futur enseignant doit acquérir un haut niveau de qualification et un corpus de savoirs et de compétences indispensable à l’exercice du métier. La formation s’ap-puie sur :•• un cadre national de la formation ;•• un référentiel national de compétences pour les futurs enseignants ;•• des concours, spécialement dédiés aux métiers de l’enseignement, de l’éducation et de la formation.

1.2 Le recrutementPour être recruté par l’Éducation nationale et exercer la profession de professeur des écoles, il faut être admis au concours de recrutement des professeurs des écoles (CRPE). Pour s’inscrire au CRPE, il faut au minimum être titulaire d’une licence et être inscrit en master 1 ou être titulaire d’un titre ou diplôme reconnu équivalent. Les mères ou pères d’au moins trois enfants et les sportifs de haut niveau sont

Présentation du CRPE et de l’épreuve de maths

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dispensés de diplôme. Pour l’ensemble des conditions1, voir avant votre inscrip-tion le site du ministère www.education.gouv.fr/pid97/siac1.html, cela de façon à avoir la dernière version des conditions.

1.3 La titularisationLa titularisation dans le corps enseignant se fait à l’issue d’une année de stage, com-portant un mi-temps en responsabilité dans une classe et un mi-temps de formation à l’ESPE. Elle intervient après examen du dossier de titularisation par un jury acadé-mique s’appuyant sur une validation de master ou de formation et deux avis :•• le stagiaire a obtenu un master 2 MEEF ou a un master et a validé la formation dis-pensée à l’ESPE ;•• l’avis de l’employeur, représenté par le corps d’inspection et/ou le tuteur établisse-ment qui a effectué le suivi du stagiaire ;•• l’avis du directeur de l’ESPE, s’appuyant sur l’avis du tuteur ESPE et de l’équipe pédagogique de formation.

2 Le concours de recrutement Le cadrage des épreuves et les modalités d’organisation du concours sont définis dans l’arrêté du 19 avril 2013 (MENH1310119A).

2.1 Les épreuvesÉpreuve Durée Notation

ADMISSIBILITÉ : ÉPREUVES ÉCRITES

FrançaisPartie 1 : Réponse argumentée à une question portant sur plusieurs textesPartie 2 : Connaissance de la languePartie 3 : Analyse d’un dossier

4 heures 40 pointsPartie 1 : 11 ptsPartie 2 : 11 ptsPartie 3 : 13 pts5 points permettent d’évaluer la correction syntaxique et la qualité écrite de la production du candidat.

MathématiquesPartie 1 : ProblèmePartie 2 : Exercices indépendantsPartie 3 : Analyse d’un dossier

4 heures 40 pointsPartie 1 : 13 ptsPartie 2 : 13 ptsPartie 3 : 14 pts5 points au maximum peuvent être retirés pour tenir compte de la correction syntaxique et de la qualité écrite de la production du candidat.

1. • posséder la nationalité française ou être ressortissant d’un autre État membre de l’Union européenne ou partie à l’ac-cord sur l’Espace économique européen, ou d’Andorre ou de Suisse

• jouir de vos droits civiques,

• ne pas avoir subi une condamnation incompatible avec l’exercice des fonctions,

• être en position régulière au regard des obligations du service national,

• justifier des conditions d’aptitude physique requises.

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. Présentation du CRPE et de l’épreuve de maths

Épreuve Durée Notation

ADMISSION : ÉPREUVES ORALES

Mise en situation professionnelle dans un domaine au choix du candidat :sciences et technologiehistoiregéographiehistoire des artsarts visuelséducation musicaleenseignement moral et civiqueLe candidat remet préalablement au jury un dossier de 10 pages au plus.Partie 1 : Présentation du dossierPartie 2 : Entretien avec le jury

1 heurePartie 1 : 20 minPartie 2 : 40 min

60 pointsPartie 1 : 20 ptsPartie 2 : 40 pts

Entretien à partir d’un dossierPartie 1 : Sujet relatif à une activité physique, sportive et artistiquePartie 2 : Sujet relatif à une situation professionnelle inscrite dans le fonctionnement de l’école primaire

1 h 15min(+ 3 h de préparation)Partie 1 : 30 minPartie 2 : 45 mn

100 pointsPartie 1 : 40 ptsPartie 2 : 60 pts

Le cadre de référence des épreuves d’admissibilité est celui des programmes pour l’école primaire en vigueur l’année du concours, voir les détails dans le paragraphe 4. Les connaissances attendues des candidats sont celles que nécessite un enseignement maîtrisé de ces programmes. Le niveau attendu correspond à celui exigé par la maî-trise des programmes de collège.

a. Deux épreuves d’admissibilité

•• Une épreuve écrite de français découpée en trois parties : réponse argumentée à une question portant sur plusieurs textes, connaissance de la langue et analyse d’un dos-sier composé de plusieurs supports d’enseignement du français.•• Une épreuve écrite de mathématiques découpée en trois parties : résolution d’un problème, résolution d’exercices indépendants et analyse d’un dossier composé de plusieurs supports d’enseignement. Voir paragraphe 3.

b. Deux épreuves d’admission

•• Une première épreuve vise à mettre le candidat dans une situation professionnelle dans un domaine de son choix (à faire au moment de l’inscription) parmi les sui-vants : sciences et technologie, histoire, géographie, histoire des arts, arts visuels, éducation musicale, enseignement moral et civique. L’épreuve comporte la présen-tation d’un dossier devant le jury puis un entretien.•• Une seconde épreuve est organisée en deux parties. La première permet d’évaluer les connaissances du candidat sur l’enseignement de l’éducation physique et spor-tive et l’éducation à la santé. La seconde partie de l’épreuve vise à apprécier les connaissances du candidat sur le système éducatif français.

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c. Pré-requis

Deux qualifications sont également exigées à la date de publication des résultats de l'admissibilité de professeur des écoles :•• un brevet de natation de 50 m ;•• une attestation de formation aux premiers secours (PSC1).

Il est conseillé de vérifier régulièrement les textes en vigueur1.

2.2 Le calendrierLe concours a lieu à la fin de la première année de master. Pour les étudiants admis, la deuxième année de master inclut une période en alternance en responsabilité dans une école. Ces étudiants auront alors le statut de fonctionnaires stagiaires.

Consulter pour les dates le site : www.education.gouv.fr/pid97/siac1.html.

2.3 Le référentiel des compétences professionnelles des métiers du professorat et de l’éducation (arrêté du 1/07/2013 - cf. le BO n°30 du 25 juillet 2013)

1. Faire partager les valeurs de la République.2. Inscrire son action dans le cadre des principes fondamentaux du système éducatif et dans

le cadre réglementaire de l’école.3. Connaître les élèves et les processus d’apprentissage.4. Prendre en compte la diversité des élèves.5. Accompagner les élèves dans leur parcours de formation.6. Agir en éducateur responsable et selon des principes éthiques.7. Maîtriser la langue française à des fins de communication.8. Utiliser une langue vivante étrangère dans les situations exigées par son métier.9. Intégrer les éléments de la culture numérique nécessaires à l’exercice de son métier.10. Coopérer au sein d’une équipe.11. Contribuer à l’action de la communauté éducative.12. Coopérer avec les parents d’élèves.13. Coopérer avec les partenaires de l’école.14. S’engager dans une démarche individuelle et collective de développement profession-

nel.P 1. Maîtriser les savoirs disciplinaires et leur didactique.P 2. Maîtriser la langue française dans le cadre de son enseignement.P 3. Construire, mettre en œuvre et animer des situations d’enseignement et d’apprentis-

sage prenant en compte la diversité des élèves.P 4. Organiser et assurer un mode de fonctionnement du groupe favorisant l’apprentissage

et la socialisation des élèves.P 5. Évaluer les progrès et les acquisitions des élèves.

1. www.education.gouv.fr/cid50923/conditions-inscription-aux-concours-externe-externe-special.html

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3 Présentation de la deuxième épreuve d’admissibilité

Durée : quatre heures.

L’épreuve vise à évaluer la maîtrise des savoirs disciplinaires nécessaires à l’ensei-gnement des mathématiques à l’école primaire et la capacité à prendre du recul par rapport aux différentes notions. Dans le traitement de chacune des questions, le can-didat est amené à s’engager dans un raisonnement, à le conduire et à l’exposer de manière claire et rigoureuse.

L’épreuve comporte trois parties :

1. Une première partie constituée d’un problème portant sur un ou plusieurs domaines des programmes de l’école ou du collège, ou sur des éléments du socle commun de connaissances, de compétences et de culture, permettant d’apprécier particulièrement la capacité du candidat à rechercher, extraire et organiser l’in-formation utile.

2. Une deuxième partie composée d’exercices indépendants, complémentaires à la première partie, permettant de vérifier les connaissances et compétences du candidat dans différents domaines des programmes de l’école ou du collège. Ces exercices pourront être proposés sous forme de questions à choix multiples, de questions à réponse construite ou bien d’analyses d’erreurs-types dans des pro-ductions d’élèves, en formulant des hypothèses sur leurs origines.

3. Une analyse d’un dossier composé d’un ou plusieurs supports d’enseignement des mathématiques, choisis dans le cadre des programmes de l’école primaire qu’ils soient destinés aux élèves ou aux enseignants (manuels scolaires, documents à caractère pédagogique), et productions d’élèves de tous types, permettant d’ap-précier la capacité du candidat à maîtriser les notions présentes dans les situations d’enseignement.

Il n’y a que trois sujets différents chaque année ; en 2015 il y a eu un concours excep-tionnel pour l’académie de Créteil. Il est indispensable de les avoir travaillés. On les trouvera dans le tome 1 ou 2.

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ExempleExemple de première page d’un sujet

Mathématiques (Durée : 4 heures)L’épreuve est notée sur 40 points : 13 pour la première partie, 13 pour la deuxième et 14 pour la troisième. 5 points au maximum peuvent être retirés pour tenir compte de la cor-rection syntaxique et de la qualité écrite de la production du candidat.Une note globale égale ou inférieure à 10 est éliminatoire.Ce sujet contient n pages, numérotées de 1/n à n/n. Assurez-vous que cet exemplaire est complet.S’il est incomplet, demandez un autre exemplaire au chef de salle.L’usage de la calculatrice électronique de poche à fonctionnement autonome, sans impri-mante est autorisé.L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout matériel électronique est rigoureusement interdit.Si vous estimez que le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes comporte une erreur, signalez lisiblement votre remarque dans votre copie et poursuivez l’épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement.N.B. : Hormis l’en-tête détachable, la copie que vous rendrez ne devra, conformément au principe d’anonymat, comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine etc.Tout manquement à cette règle entraîne l’élimination du candidat.

Attention, quant à l’usage de la calculatrice, on peut aussi trouver dans l’en-tête du sujet : « L’usage de la calculatrice est interdit. »De façon générale, à ce jour, l’utilisation des calculatrices aux examens et concours est régie par une circulaire du 16-11-1999 parue au Bulletin Officiel n° 42 du 25 novembre 1999.

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4 Rapports de juryIl est conseillé de lire les rapports de jury du CRPE de quelques académies, sur deux ou trois années (disponibles sur l’espace SIAC1 du Ministère de l’Éducation Nationale).

Voici à titre d’exemple quelques extraits toujours d’actualité de deux rapports de jury du CRPE de Toulouse. Dans le chapitre suivant « conseils méthodologiques », de nombreux autres extraits sont donnés au fur et à mesure.

(2011) « Certains exercices demandaient une culture mathématique plus approfondie : la confusion entre nombres premiers et nombres premiers entre eux en est une illustra-tion. ».

Recherche d’un potentiel scientifique chez le candidat(2013) « Le sujet 2013 qui correspond à la troisième session depuis la modification des textes régissant les concours des professeurs d’école confirme la volonté de changement. Le sujet confirme l’importance de la qualité scientifique attendue chez les candidats afin

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qu’ils aient l’aptitude à transmettre les connaissances mathématiques. Cela se traduit par une attente forte en termes de qualité de raisonnement. Le sujet 2013 se démarque des sujets précédents par la présence d’un exercice où plusieurs stratégies peuvent être utilisées pour le résoudre. »

(2011) « Des connaissances de base concernant l’utilisation du tableur en mathéma-tiques sont attendues dans le cadre du B2I collège et de la compétence 4 du socle. Elles font donc partie intégrante des programmes. L’épreuve a mis clairement en évidence que beaucoup de candidats ne maîtrisaient pas ces connaissances qui sont des attendus du socle commun. »

Remarques sur le raisonnement et les méthodes de démonstration(2011) « Toute méthode correcte a été acceptée. La méthode par tâtonnement (essais et erreurs) n’est pas la plus rapide mais est conceptuellement très utile dans le cadre de la démarche d’investigation qui est au cœur des apprentissages. »

Erreurs sur les raisonnements algébriques(2013) « La démonstration de propriétés algébriques […] est un attendu récent et important des programmes de collège. Le maniement des expressions littérales reste un incontournable. On continue à observer trop de candidats qui raisonnent sur de simples exemples […] pour démontrer un résultat au lieu de raisonner de manière littérale. […] La question 2 met en œuvre des maniements algébriques sur des situations géo-métriques. Ceci, sans être difficile, demande cependant une expertise que beaucoup de candidats n’avaient pas. »

Le candidat sera vigilant aux nombreux points cités ci-dessous qui sont la source de la plupart des faiblesses repérées dans les copies.

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Conseils d’ordre général à partir de ceux donnés par des rapports de jury•• Faire une lecture attentive des énoncés ; •• Proposer une argumentation concise ;•• Faire preuve d’esprit de synthèse ;•• Rechercher la clarté de l’expression écrite ;•• S’imposer une grande rigueur dans l’argumentation ;•• Rechercher la précision de l’expression ;•• Proposer des démonstrations suffisamment argumentées pour être convaincantes ;•• Faire preuve bon sens ;•• Faire preuve de rigueur scientifique ;•• Ne pas recopier inutilement les consignes ;•• Éviter les contradictions flagrantes.

Conseils disciplinaires à partir de ceux donnés par des rapports de jury•• Avoir de bonnes connaissances de logique ;•• Bien utiliser divers raisonnements (contre exemple, disjonction des cas, absurde…) ;•• Maîtriser les fonctions de base du tableur ;•• Bien utiliser le raisonnement déductif ;

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« La correction prend en compte les calculs, les résultats mais donne un poids très important à la qualité du raisonnement et à la pertinence de la démarche, c’est-à-dire à la valeur scientifique. Les attentes générales, en termes scientifiques, sont des connaissances de base mathématiques basées sur le niveau « troisième » mais avec une réelle clairvoyance et une certaine hauteur de vue.On attend une capacité du candidat à analyser les situations et à mettre en œuvre un raisonnement simple et cohérent, à défaut d’une démonstration théorique. L’enseignement des mathématiques à l’école primaire est un enjeu important dans le cursus scolaire. La qualité de l’enseignement des mathématiques conditionne la réussite des élèves bien au-delà de la discipline mathématique.L’exigence importante dans l’analyse des copies est à la hauteur de cette ambition. »

•• Justifier tous les calculs ;•• Faire des schémas ;•• Connaître les formules de volume ;•• Maîtriser les conversions d’unités ;•• Maîtriser les ordres de grandeur ;•• Étudier les fondamentaux de géométrie.

... SYNTHÈSE D’UN RAPPORT DU JURY ...

5 Programmes de l’école primaire

5.1 Où trouver les programmes ?Les programmes de l’école maternelle et élémentaire sont publiés dans le Bulletin Officiel de l’Éducation Nationale (abréviation BO ou BOEN). Les programmes en vigueur l’année du concours 2016 vont être : •• le programme de maternelle 2015 paru au BO spécial n° 2 du 26 mars 2015 ; il est nouveau et sera mis en œuvre à la rentrée 2015 ;•• le programme de l’école élémentaire paru au BO hors-série n° 3 du 19 juin 2008, complétés par des recommandations de mise en œuvre dans le BO n° 25 du 19 juin 2014. Les projets de programme de cycle 2 et 3 pour la rentrée 2016 sont consul-tables en ligne. Le cycle 3 englobera à la rentrée 2016 la classe de Sixième du collège, ce qui n’est pas le cas actuellement.

Ils sont publiés en ligne sur le site du ministère de l’Éducation nationale (education.gouv.fr rubrique Bulletin Officiel) que l’on consultera.

Différents documents pour le professeur sont aussi disponibles sur le portail natio-nal des professionnels de l’éducation « éduscol » (http://eduscol.education.fr/). Cer-tains appartiennent à la collection « Ressources pour faire la classe » :•• DURPAIRE Jean–Louis, MÉGARD Marie et al. Le nombre au cycle 2 - Apprentissages numériques [en ligne] Ressources pour faire la classe. MEN - CNDP, 2010 ;•• DURPAIRE Jean–Louis, MÉGARD Marie et al. Le nombre au cycle 3 - Apprentissages numériques [en ligne] Ressources pour faire la classe. MEN - CNDP, 2012.

http://eduscol.education.fr/

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Des ressources d’accompagnement pour les nouveaux programmes de l’école mater-nelle sont annoncées sur éduscol.

Les programmes d’enseignement de 2008, actuellement en vigueur pour les cycles 2 et 3, permettent d’assurer la maîtrise des premiers paliers du socle commun par les élèves, les objectifs de chaque cycle y étant précisés ainsi que les repères annuels prioritaires (Article D.122-2 du code de l’éducation , décret n° 2006-830 du 11 juillet 2006).

Il est à noter qu’à partir de la rentrée 2016, un nouveau socle, désormais intitulé « socle commun de connaissances, de compétences et de culture » entrera en vigueur.

5.2 Quelle est la structure des programmes ?

a. Le programme de maternelle 2015 paru au BO spécial n°2 du 26/03/2015

Après une explicitation des objectifs de l’école maternelle, le programme explicite les modalités d’apprentissage dans le paragraphe 2 :

« 2.1. Apprendre en jouant

2.2. Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmes

2.3. Apprendre en s’exerçant

2.4. Apprendre en se remémorant et en mémorisant. »

Il donne ensuite les cinq domaines d’apprentissage, avec pour chacun des domaines (ou des thèmes des domaines) les objectifs visés et éléments de progressivité, et les attendus en fin de maternelle. Ce qui relève des mathématiques est présent dans différents domaines, puisqu’en mathématiques, on va mobiliser le langage, l’écrit, construire des outils pour structurer sa pensée, se repérer dans le temps et l’espace. Des compétences de type mathématique seront aussi travaillées lors d’activités artistiques et physiques (trier les gommettes bleues nécessaires à la confection d’un masque, constituer des groupes en salle de motricité, etc.).

Les domaines et thèmes des domaines sont :1. Mobiliser le langage dans toutes ses dimensions ;2. Agir, s’exprimer, comprendre à travers l’activité physique ;3. Agir, s’exprimer, comprendre à travers les activités artistiques ;4. Construire les premiers outils pour structurer sa pensée ;

4.1. Découvrir les nombres et leurs utilisations,4.2. Explorer des formes, des grandeurs, des suites organisées,

5. Explorer le monde ;5.1. Se repérer dans le temps et l’espace,5.2. Explorer le monde du vivant, des objets et de la matière.

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http://www.legifrance.gouv.fr/affichCode.do;jsessionid=EF74D22BD287966DF2FE8B56E4C8FE2A.tpdjo13v_1?idSectionTA=LEGISCTA000006166882&cidTexte=LEGITEXT000006071191&dateTexte=20080128

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b. Le programme de l’école élémentaire paru au BO hors-série n° 3 du 19 juin 2008, cycle 2 et cycle 3

Pour chaque cycle, il est structuré en trois parties :

Une partie « programme »•• Avec une introduction, des domaines et leurs contenus. En mathématiques les domaines sont : •• Nombres et calcul ; •• Géométrie ; •• Grandeurs et mesures ; •• Organisation et gestion des données.

Une partie « programmation » Elle est structurée en tableau de plusieurs colonnes, une colonne par niveau du cycle (en cycle 2, deux colonnes, l’une CP, l’autre CE1, en cycle 3 trois colonnes CE2, CM1, CM2). Au début de cette partie, il est indiqué : « Les tableaux suivants donnent des repères aux équipes pédagogiques pour organiser la progressivité des apprentissages. Seules des connaissances et compétences nouvelles sont mentionnées dans chaque colonne. Pour chaque niveau, les connaissances et compétences acquises dans la classe antérieure sont à consolider. La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages ».

Les attendus du socle commun de compétencesOn retrouve principalement les mathématiques au sein de la compétence 3 (« Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique »), la compétence 4 (« maîtrise des techniques usuelles de l’information et de la com-munication ») est aussi travaillée en mathématiques.•• En cycle 2 : premier palier pour la maîtrise du socle commun, compétences atten-dues à la fin du CE1 ;•• En cycle 3 : deuxième palier pour la maîtrise du socle commun : compétences atten-dues à la fin du CM2.

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Il est conseillé de relire ce chapitre avant l’épreuve.

Les conseils méthodologiques généraux se trouvent dans les deux tomes de l’ouvrage mais les exemples proposés sont spécifiques aux thèmes traités dans chaque ouvrage.

Par ailleurs, figurent au paragraphe 3.4 de chacun des deux tomes, des conseils spé-cifiques, par thèmes disciplinaires relatifs au tome concerné.

1 Préparer l’épreuveComme le précisent les textes officiels précédemment cités, les connaissances mathé-matiques à maîtriser sont globalement de niveau du collège1. Il s’agit donc pour tout candidat de consolider, approfondir voire redécouvrir les notions et techniques relatives aux domaines mathématiques de l’école et du collège auxquelles il faudra ajouter les savoirs relatifs aux bases et systèmes de numération sans oublier l’appren-tissage éventuel d’outils informatiques dont le tableur.

Le rapport de jury Orléans-Tours 2014 pointe : « Plus généralement, il ne faut pas limiter la préparation au niveau de compétences exigées en fin de collège. Les capaci-tés de modélisation, prise d’initiative, synthèse sur des questions enchaînées sont aussi souvent sollicitées dans les sujets de concours. La maîtrise des notions de base de logique mathématique est également indispensable. ».

Un entraînement régulier en travaillant notamment des exercices proposés en col-lège (sujets du brevet des collèges appelé DNB par exemple), en explorant les res-sources proposées sur les sites institutionnels (comme par exemple la banque de problèmes relative au Socle commun sur éduscol ou les cours de l’académie en ligne niveau collège [www.academie-en-ligne.fr] ou le site de l’ARPEME [www.arpeme.fr]) s’avère en cela nécessaire.

Les exercices de cet ouvrage se trouvent à deux endroits : •• dans une partie « Je fais le point » qui se trouve après chaque chapitre des parties disciplinaires. On y renvoie dans le corps des chapitres ;•• dans une rubrique « Objectif Concours » qui se trouve après un ou plusieurs cha-pitres ; ces exercices permettent d’une part d’exercer plusieurs compétences simul-tanément, et d’autre part de mobiliser des connaissances de plusieurs chapitres.

L’ensemble des exercices de cet ouvrage a été conçu pour faire revisiter chacune des notions du programme du concours ; les parties « Je fais le point » s’attachent à faci-liter l’appropriation des connaissances et techniques de chaque chapitre.

Travailler un exercice signifie chercher à le résoudre en y passant du temps, sans avoir recours dès la première difficulté à son corrigé. La lecture d’un corrigé peut

1. Cependant, une connaissance de niveau supérieur peut être utilisée, sa maîtrise n’étant pas indispensable à la résolution

de l’exercice. De bonnes compétences en calcul mental permettent, bien sûr, de perdre moins de temps dans les calculs mais

aussi de percevoir rapidement des procédures de résolution efficaces pour de nombreux problèmes.

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s’avérer dans un premier temps rassurante, mais si le temps de recherche du pro-blème et d’appropriation des contraintes de l’énoncé n’a pas été suffisant, les tech-niques et connaissances présentées dans le corrigé seront très vite oubliées et face à une situation identique le candidat sera à nouveau démuni.

Aussi on ne saurait trop recommander, dans la mesure du possible :•• de coopérer entre personnes préparant le concours ; en effet la constitution d’équipes de travail aussi hétérogènes soient-elles peut être bénéfique à tous car elle permet à ceux qui maîtrisent mieux les différents concepts de s’exercer à la démons-tration et de tester leurs connaissances en les exposant dans des formes accessibles à ceux qui ont plus de lacunes ; ces derniers pour leur part trouveront une nouvelle occasion de s’approprier les connaissances en jeu ;•• de s’exercer en calcul mental ; de nombreux sites de calcul mental peuvent vous aider à reconstruire des automatismes oubliés ;•• de sélectionner le matériel nécessaire : crayons à papier, gomme, règle graduée, équerre, compas, rapporteur (par exemple pour tracer des angles dans un diagramme circulaire), ciseaux, etc. ;•• de s’entraîner à la manipulation de sa propre calculatrice (celle qui sera utilisée lors de l’épreuve). Une calculatrice de niveau collège est suffisante1. Avec cette calcula-trice, il convient d’être capable de :– savoir calculer le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle et réciproquement ;– savoir calculer une expression avec des puissances ;– savoir simplifier une fraction ;– savoir enchaîner plusieurs calculs en utilisant les touches mémoires ou les paren-

thèses… ;– savoir afficher le nombre en écriture scientifique ;

2 Gérer l’épreuveLa posture que vous allez adopter face à la résolution des exercices est essentielle pour votre réussite et, tout d’abord, il vous faut gérer le temps de l’épreuve.

En utilisant la relation de proportionnalité entre le nombre de points et la durée totale de l’épreuve on pourrait dire que si 40 points correspondent à quatre heures, 10 points correspondent environ à une heure : il ne faudrait pas passer trop de temps sur une question sans évaluer le nombre de points qu’elle peut rapporter ; on peut décider par exemple d’abandonner une question où l’on bloque plus de 10 minutes.

De manière à bien gérer votre temps pendant l’épreuve il est conseillé de :•• percevoir la globalité du sujet ou d’un exercice avant de commencer à rédiger :

– parcourir rapidement l’ensemble du sujet de mathématiques afin de repérer les exercices ou les questions qui paraissent facilement solubles car vous les avez déjà vus sous cette forme ou sous une autre et qui pourront alors être traités en premier ;

– lire toutes les questions d’un même exercice avant de commencer à le résoudre, certaines réponses pouvant figurer dans les questions ultérieures.

1. Une calculatrice d’un niveau lycée ou supérieur n’est pas interdite, tant qu’elle satisfait aux contraintes imposées (de

poche, non communicante, sans imprimante).

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. Conseils méthodologiques

•• appliquer vos méthodes personnelles de lecture active comme par exemple :– identifier les points importants du sujet (en les surlignant ou soulignant…) ;– repérer les contraintes dans les questions de l’énoncé (unités, format de

réponse…) en les surlignant par exemple. Il est à noter que la forme sous laquelle la réponse est attendue peut être formulée tout à la fin des questions posées.

3 Répondre aux questions mathématiques de l’épreuve

3.1 Généralités

a. Raisonnement

Les erreurs à éviterEn général au CRPE, •• constater n’est pas démontrer ;•• mesurer n’est pas démontrer ;•• expérimenter sur des exemples n’est pas démontrer (sauf à explorer tous les cas possibles – comme dans certains exercices d’arithmétique notamment – ou dans le cas du contre-exemple).

À ce propos on peut lire dans plusieurs rapports de jury :•• Rapport de jury Nice 2014 : « Rappelons donc encore une fois que la multiplication d’exemples tous plus convaincants les uns que les autres et mis en valeur de la meilleure façon possible n’a pas valeur de preuve d’universalité d’un résultat ».•• Rapport de jury Limoges 2014 : « Une conjecture s’émet à partir d’exemples ; mais sa preuve ne se fait pas à partir de plusieurs exemples, mais par une démonstration ».•• Rapport de jury Lille 2014 : « Le reproche fait aux candidats porte essentiellement sur l’utilisation d’un cas particulier pour généraliser une propriété ».

Les techniques à adopter•• Utilisez un contre-exemple pour démontrer qu’une proposition universelle du type « pour tout b dans l’ensemble E, on a C » est fausse (on trouve un b dans E pour lequel C est fausse).

ExempleSi l’on veut montrer que la proposition : « Tout nombre premier est impair » est fausse, il suffit de trouver un nombre premier qui soit pair, le nombre 2 est premier et pair : on dit que le nombre 2 est un contre-exemple à l’affirmation proposée.

•• Pour démontrer qu’une affirmation est vraie : structurez avec des chaînons déduc-tifs (en géométrie, arithmétique…) en utilisant à propos les connecteurs : « si », « alors », « donc », « or », « puisque », « car »…

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ExempleJe sais que…Selon le théorème… : Si… alors…Donc…

L’expression française « si P alors Q » (où P et Q sont des propositions) correspond d’un point de vue logique à « P implique Q ».

Pour montrer que « P implique Q », on peut partir de P et avec des implications successives arriver à Q. Si on ne voit pas les implications successives, on peut au brouillon essayer de travailler par « chaînage arrière », c’est-à-dire partir de la fin, à savoir la proposition Q et essayer de voir ce qui implique Q. Par exemple si on doit montrer que des droites sont perpendiculaires, on peut se remémorer les techniques permettant de montrer que des droites sont perpendiculaires.

Le rapport de jury d’Orléans-Tours 2014 mentionne : « Une démonstration mathé-matique n’est pas un enchaînement de phrases sans lien mais une démarche déductive aux étapes clairement justifiées ».

Dans certains cas, on pourra utiliser le raisonnement par équivalence, soit en deux phases « si P alors Q » et « si Q alors P », soit en utilisant des équivalents, par exemple dans la résolution d’équations, inéquations. Il est nécessaire cependant d’être très prudent dans l’utilisation des équivalents.

•• Définissez de façon précise toutes les variables et inconnues nécessaires ; utiliser si besoin du calcul littéral (avec des lettres).

ExempleOn n’écrira pas : « c : chevaux » mais « On appelle c le nombre de chevaux ».

•• Pour démontrer l’égalité A = B (entre deux nombres, deux grandeurs de même type, etc.), plusieurs techniques sont possibles :– partir de A (respectivement de B), transformer son écriture plusieurs fois jusqu’à

obtenir B (respectivement A) : A = … = … = B, (respectivement B = … = … = A) ;– montrer que A et B sont égaux à un même troisième (nombre, respectivement

grandeur de même type) C c’est-à-dire : A = … = … = C et B = … = … = C ;– montrer que leur différence est nulle : A – B = 0 ;– montrer que leur quotient est égal à 1 : A : B = 1 (en sachant par ailleurs que B est

non nul) ;– quand A et B sont des nombres et ont le même signe, montrer qu’ils ont même

carré : A2 = B2. L’égalité A2 = B2 et A et B ont le même signe implique que A = B.

On peut aussi utiliser un raisonnement par contraposée pour montrer que « P implique Q ». Au lieu de montrer que « P implique Q », on montre que « non Q implique non P », où « non P» est la négation de P ; par exemple, si P est l’assertion « le triangle est rectangle », « non P » est l’assertion « le triangle n’est pas rectangle ».

Dans certains cas (assez rares), vous pouvez utiliser le raisonnement par l’absurde1 : on suppose la négation de ce que l’on veut démontrer et en utilisant des chaînons déductifs, on aboutit à une « absurdité ».

Lorsque ces raisonnements sont présents dans des corrigés d’exercices de cet ouvrage, cela sera mentionné.

1. Un raisonnement par l’absurde, pour montrer que la proposition P est vraie, consiste à supposer que c’est sa « négation » qui est vraie, négation notée « non P ». On montre ensuite que la proposition « non P » implique une autre proposition R. On fait apparaître que l’on ne peut pas avoir « non P » et R vraies simultanément (d’où le mot « absurde ») ; on conclut que « non P » est fausse et donc que P est vraie.

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Nous donnons ci-après un exemple de raisonnement par l’absurde et un de raisonnement par contraposée. Par l’absurde :

Énoncé :Dans un cube ABCDEFGH, la face du « bas » est ABCD (EFGH a la même disposition que ABCD), montrer que le centre O du cube n’ap-partient pas au plan (ACH) nommé P ([AC] est une diagonale de la face du bas et H le sommet « au-dessus » de D). Solution : on suppose que O appartient au plan P, alors la droite (HO) est incluse dans le plan P ; (HO) contient B, donc B appartient au plan P, ce plan (ACH) est donc le même que (ABC), c’est-à-dire que la face du bas contient le point H qui est un sommet de la face du haut. Or on sait que H n’appartient pas à ce plan, par conséquent l’hypothèse de départ est fausse. Ce raisonnement par l’absurde prouve que O n’ap-partient pas au plan (ACH).

Par contraposée : un exercice sur les grandeurs (d’autres raisonnements sont possibles pour cet exercice, on présente ici uniquement celui utilisant un raisonnement par contraposée, à partir d’une production d’élève de collège, en explicitant la rédaction pour faire apparaître le raisonnement).

Énoncé :« Sur la route des vacances, Audrey a parcouru 1 h 30 sur route nationale à une vitesse moyenne de 70 km.h–1. Le reste du trajet, effectué sur autoroute à vitesse constante, lui a pris 45 minutes. À la fin du trajet, le compteur indique que la vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours était de 100 km.h–1. Audrey a-t-elle respecté la limite de vitesse sur autoroute, qui était de 130 km.h–1 ? »

Solution : La distance parcourue sur la route nationale est égale à 70 km.h–11,5 h, c’est-à-dire 105 km. La distance parcourue sur autoroute, si on roule à la vitesse maximum de 130 km.h–1 pen-

dant 45 min, c’est-à-dire 3

4h est égale à : 130

3

497 51km h h km. ,− × = . Si Audrey roule à une vitesse

inférieure à 130 km.h–1 alors la distance totale parcourue sera inférieure ou égale à la somme de la distance parcourue sur route nationale et sur autoroute lorsqu’on roule à 130 km.h–1, c’est-à-dire inférieure ou égale à 202,5 km (105 km + 97,5 km = 202,5 km). La vitesse moyenne sur l’ensemble

du parcours sera alors inférieure à 202 5

2 25

,

,

km

h, qui est égal à 90 km.h–1. Or cette vitesse est égale à

100 km.h–1 .

On a montré que « Si Audrey roule à une vitesse inférieure à 130 km.h–1

(nommons cela « P »), alors

la vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours sera inférieure à 90 km.h–1 (nommons cette partie-là

« Q ») ». On en déduit que « Si « non Q », c’est-à-dire la vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours

est supérieure à 90 km.h–1 , alors « non P », c’est-à-dire Audrey roule sur l’autoroute à une vitesse

supérieure à 130 km.h–1 . La réponse à la question est donc le non-respect de la vitesse sur autoroute.

... POUR ALLER PLUS LOIN ...

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G

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C

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A B

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b. Pendant la recherche

•• Dans tout exercice, il y a toujours des questions plus simples que d’autres et ce ne sont pas nécessairement les premières : il vous faut les repérer car elles constituent des points facilement accessibles ; ne limitez cependant pas votre travail à résoudre ce type de questions.•• En l’absence de piste ou de technique disponible d’emblée, revenez aux définitions des notions mathématiques présentes dans l’énoncé et au sens lié au contexte de la situation.•• Plusieurs méthodes sont parfois possibles, si vous en voyez plusieurs, optez pour celle qui vous semble la plus convaincante ou que vous arrivez facilement à rédiger et servez-vous de l’autre méthode comme moyen de vérification.

ExemplePour montrer que des droites sont perpendiculaires, on peut montrer qu’elles sont chacune parallèles à des droites perpendiculaires, ou utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.

c. Pour la rédaction

Un certain nombre de points (en général 5 points au maximum) sur 40 points peuvent être retirés pour sanctionner des erreurs orthographiques, syntaxiques et des maladresses ou lourdeurs dans l’expression écrite. Le rapport de jury Corse 2014 souligne : « Le futur professeur d’école doit être capable d’écrire dans une orthographe et une syntaxe irréprochables ».•• La résolution d’un exercice ne se fait pas complètement au brouillon (pour des questions de durée de l’épreuve) et vous allez devoir mener en parallèle la recherche sur le brouillon et la rédaction de votre réponse sur votre copie.•• Pour faciliter la lecture et la recherche d’information dans votre copie, il est impor-tant d’aérer votre copie et de structurer vos écrits en utilisant des paragraphes dis-tincts :– n’hésitez pas à utiliser plusieurs feuilles (les figures sur des feuilles séparées) ;– sautez des lignes entre chaque exercice ;– lorsque vous n’arrivez pas à répondre à une question, laissez un espace suffisam-

ment important ; vous pourrez y revenir éventuellement par la suite ; il est impor-tant de bien indiquer le numéro des questions traitées afin que le correcteur se repère sans peine ;

– mettez en valeur vos conclusions (soulignées ou encadrées).•• Faites attention à la présentation : à l’orthographe, à l’utilisation correcte et modé-rée du correcteur à pâte blanche et de l’effaceur, à la rédaction ; le rapport de jury Dijon 2014 indique : « Plusieurs candidats ont d’ailleurs été sanctionnés pour une écriture illisible ou difficilement lisible » .•• Donnez le (ou un) bon argument et uniquement celui-ci. Ce n’est pas au lecteur/correcteur de trier parmi une liste d’arguments celui qui convient le mieux à l’expli-cation. On lit dans le rapport de jury Caen 2014 « le jury a pénalisé les copies présentant des réponses en surnombre ».•• Attention aux erreurs de rédaction mathématique : soyez rigoureux dans l’utilisa-tion des symboles = ou », (AB), [AB] ou AB.

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ExempleAB // CD est à proscrire : l’écriture correcte est (AB) // (CD).

•• N’utilisez pas les symboles mathématiques, par exemple //, , … comme abrévia-tions dans un texte en langage courant.

d. Après la rédaction

Après avoir résolu une question, avant de passer à la question suivante, il est impor-tant de relire la question et de vérifier que la réponse proposée correspond bien aux attentes sur la forme (valeur exacte ou arrondie ou écriture scientifique…), qu’elle est complète et surtout que vous avez bien répondu à la question telle qu’elle est posée. Le rapport de jury Orléans-Tours 2014 indique : « La résolution d’une ques-tion doit systématiquement se terminer par un résultat et une phrase de conclusion. La concision est souvent préférable à un discours long et peu structuré qui laisse à penser au correcteur que le candidat masque ses insuffisances en mathématiques avec une rédac-tion trop prolixe ».

3.2 Vrai-fauxCertains sujets de concours peuvent comporter un exercice de ce type qui nécessite de disposer de méthodes de résolution mettant en œuvre un raisonnement mathé-matique dont l’élaboration est à la charge du candidat (pas de questions intermé-diaires).

C’est en testant sur quelques exemples que l’on peut conjecturer1 la valeur de vérité d’une proposition universelle du type « pour toute longueur… » ou « pour tout quadrilatère… ».

Pour montrer que cette proposition est fausse, il suffit de produire un contre-exemple, c’est-à-dire d’exhiber un cas pour lequel cette proposition est fausse.

En revanche pour montrer qu’elle est vraie, il faut travailler dans le cas général ; utiliser des lettres pour nommer les sommets d’un polygone, pour nommer des lon-gueurs, etc. facilite la démonstration de ce cas général.

Attention à la formulation des affirmations : bien distinguer les formulations « pour tout », « il existe ».

Exemple« Pour tout rectangle, les diagonales sont perpendiculaires » est une affirmation fausse tandis que « Il existe des rectangles dont les diagonales sont perpendiculaires » est une affirmation vraie (ce sont les carrés).

Attention aux négations éventuelles qui peuvent inverser vrai et faux.

Dans tous les cas, n’oubliez pas d’écrire explicitement sur la copie si l’affirmation est vraie ou fausse.

1. Une conjecture est une proposition anticipée qui attend sa vérification, soit d’un raisonnement (souvent en mathéma-

tiques), soit de l’expérience (souvent en sciences expérimentales).

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3.3 Questions à choix multiplesLes QCM exigent une lecture très attentive des énoncés. Il s’agit de faire la différence entre les énoncés vrais, et les énoncés qui sont faux ou vrais dans un domaine plus restreint que celui de l’énoncé (gare aux cas particuliers pour lesquels l’énoncé est faux).

Exemple« Toute pyramide à base carrée a toutes ses faces triangulaires superposables » est une affirmation fausse, en effet il existe de nombreuses pyramides ne vérifiant pas cette pro-priété, seules les pyramides régulières la vérifient. Très souvent il y a confusion entre une pyramide à base carrée et une pyramide régulière à base carrée, n’oublions pas que dans ce dernier cas, le sommet de la pyramide est situé sur la perpendiculaire au plan de la base passant par le centre du carré.

•• Vous pouvez procéder par élimination en écartant les propositions qui sont claire-ment fausses ;•• Attention, selon la formulation de l’énoncé, votre choix doit porter sur la réponse juste ou sur la réponse fausse ;•• Relisez complètement la question pour chacun des choix de réponse proposée ;•• Comme dans les Vrai/Faux, soyez attentifs aux négations ; si des expressions comme « aucun », « ne… pas », « jamais », « non » etc. sont présentes dans l’énoncé, cela en inverse le sens (on peut aussi parfois rencontrer des doubles-négations) ;•• Soyez attentif aux mots tels que « tous », « chacun », « chaque », « aucun », « tou-jours », « seulement », « parfois », « rarement », « jamais » etc. qui restreignent, généralisent ou inversent le sens de l’énoncé et donc changent les réponses atten-dues.

Exemples« Tous les losanges ont leurs diagonales de même longueur » est une proposition fausse.« Chaque losange a ses diagonales de même longueur » est fausse.« Aucun losange n’a ses diagonales de même longueur » est fausse.« Il existe des losanges dont les diagonales ont même longueur » est vraie.« Les losanges ont toujours leurs diagonales de même longueur » est fausse.« Les losanges n’ont jamais leurs diagonales de même longueur » est fausse.« Les losanges ont parfois leurs diagonales de même longueur » est vraie.

•• Attention aux conjonctions de coordination « et », « ou », « ni ». Quand l’énoncé contient « et », si une partie de l’énoncé est faux, tout l’énoncé est faux même si les autres parties sont vraies.

Exemple« Un rectangle a quatre angles droits et des diagonales perpendiculaires » est une affirma-tion fausse même s’il a bien quatre angles droits.

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3.4 Selon les domainesIl est conseillé de lire les paragraphes suivants deux fois : une fois avant l’étude des chapitres correspondants et une fois après. Dans ce tome de l’ouvrage, on se limite aux thèmes et aux outils présents dans ce tome, d’autres conseils plus spécifiques se trouvent dans l’autre tome.

a. Pour la géométrie plane

•• Faites les figures complexes − qu’elles soient demandées ou non − sur une feuille séparée de manière à avoir toujours la figure en vue lors de la rédaction. Dans ce cas, il vaut mieux indiquer au correcteur que cette figure existe (en indiquant « voir figure sur la feuille n° »).•• Pour des questions de géométrie du type « cette figure admet deux axes de symétrie », vous pouvez refaire la figure et faire des essais éventuellement à main levée au brouillon.•• Commencez toujours par traduire l’énoncé grâce à une figure réalisée à main levée (pas trop petite !) sur le brouillon ; veillez à ne pas faire une figure ayant des proprié-tés particulières.

ExempleLorsque que l’énoncé mentionne un triangle quelconque, tracez un triangle comme ci-contre qui ne soit pas « presque » isocèle ou « presque » rectangle. Sinon, la figure risquerait d’induire un raisonne-ment erroné.

•• Pour les constructions détaillées dans l’énoncé, faites les figures avec les instruments de géométrie, en les codant (on peut utilement coder le parallélisme avec des cou-leurs de base) ; mentionnez les points par des croix (intersections de lignes) ; vous pouvez aussi nommer les différents éléments : points, droite, cercle.•• En géométrie une figure doit être un support aidant : lorsqu’elle devient trop com-plexe, il est important de focaliser sur la partie relative à la question traitée (on peut pour cela repasser les éléments importants en couleur ou même extraire au brouil-lon ou sur la copie une figure plus simple).•• Pour rechercher les étapes d’une construction, analysez la figure finie (faites-là éventuel-lement « à l’envers ») et recherchez en son sein des configurations connues, des proprié-tés et enfin les étapes de la construction (voir chapitre « constructions »). Si vous ne trouvez pas de configuration à l’intérieur de la figure, n’hésitez pas à compléter la figure pour les faire apparaître (en rajoutant des segments, des diagonales, des milieux…).•• Pour les programmes de construction : utilisez un paragraphe numéroté pour chaque étape de la construction en utilisant le langage de la géométrie.

ExempleÀ la place de « tracer le cercle en pointant le compas en A », écrire « tracer le cercle de centre A » …

•• Si l’on demande de conjecturer une propriété à partir de la figure, construisez la figure de façon précise avec les instruments et n’hésitez pas à refaire une deuxième figure pour tester si la conjecture dépend de la figure tracée initialement.•• Vérifiez systématiquement (et explicitement sur la copie) les conditions d’applica-tion des théorèmes utilisés.

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Exemples•◗ Triangle rectangle pour le théorème de Pythagore ;

•◗ Triangle rectangle pour les lignes trigonométriques ;

•◗ Alignements et parallélisme pour le théorème de Thalès.

Le rapport Besançon 2014 indique: « les notions géométriques semblent insuffisam-ment maîtrisées par une majorité des candidats (« quatre côtés égaux » ne suffit pas à démontrer que IJKL est un carré ; il manque la démonstration de l’existence de l’angle droit pour conclure que c’est un carré) ».

b. Pour la géométrie dans l’espace

•• Ne pas hésiter à découper et plier pour fabriquer grossièrement le solide.•• Si besoin, tracer au brouillon plusieurs vues du solide.•• Ne pas se laisser influencer par les relations entre les représentations des objets vus sur une perspective cavalière.

ExempleDeux droites apparemment sécantes sur une perspective ne le sont pas forcément dans la réalité comme par exemple la diagonale du cube et la diagonale de sa face avant sur la représentation ci-contre.

•• Ne pas oublier que certaines questions d’un exercice relatif à la géométrie dans l’es-pace se ramènent à des questions de géométrie plane, mais il faut absolument men-tionner le plan dans lequel on se place et vérifier que les objets étudiés appartiennent tous à ce plan.•• Faites attention aux nombreux théorèmes vrais en géométrie plane mais pas en géo-métrie dans l’espace. Par exemple dans le plan, si deux droites sont perpendiculaires à un même troisième, elles sont parallèles entre elles. C’est faux dans l’espace.

ExempleSur la figure ci-contre (BK) et (BA) sont perpendiculaires à (CB) mais, elles ne sont pas parallèles entre elles puisqu’elles ont un point commun B.

C

K

AB

c. Pour les grandeurs

•• Ne pas confondre grandeur et mesure.

Exemple2 m est la longueur d’une baguette, 2 est la mesure de la longueur de cette même baguette si l’on choisit le mètre comme unité de longueur.

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•• Pour le calcul d’une aire ou d’un volume, préciser d’abord la formule utilisée, la contextualiser ensuite avec les données de l’énoncé, puis enfin passez à l’application numérique.•• Pour le calcul d’une durée à partir de la donnée de l’instant initial et de l’instant final, le recours à une droite numérique pour représenter ces instants peut être un outil pertinent pour ce calcul d’écart.•• Pour les durées, interpréter correctement la partie décimale de leurs mesures.

Exemple2,4 h représente 2 h + 0,4 h soit 2 h + 0,4 × (60 min) soit 2 h + 24 min que l’on écrit 2 h 24 min.

Le rapport de jury Toulouse 2014 indique : « Une bonne connaissance des change-ments d’unité de durée est attendue.

Des confusions du type 4 minutes 16 secondes = 4,16 minutes peuvent encore persister. La connaissance des calculs de vitesse, ou de durée a pour but de vérifier l’aisance du candidat à manier des unités. »•• Les unités doivent être mentionnées en accord avec les exigences de l’énoncé.

Rapport de jury Toulouse 2014 : « Une attente importante, en lien avec l’enseigne-ment, est bien sûr de ne pas oublier les unités dans les “phrases réponses” ».•• Dans une égalité, les unités doivent se retrouver des deux côtés du signe d’égalité (homogénéité).

ExempleOn peut écrire 2 cm + 3 cm = 5 cm mais pas 2 + 3 = 5 cm.

•• Pour les calculs complexes, on peut faire les calculs numériques sans unité puis rédi-ger une phrase de conclusion en utilisant l’unité adaptée.

ExempleL’aire est 125 cm2, le volume est 18 mm3.

3.5 Des confusions et des erreurs classiques à évitera. Confusions

•• Ne pas confondre grandeur et mesure ;

ExempleLa formulation « la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 » est une formulation incorrecte, une formulation correcte est : « la somme des angles d’un triangle est égale à 180°».

•• Ne pas utiliser dans la preuve la conclusion à démontrer ou des propriétés non encore démontrées.

ExempleÉvocation de l’hypoténuse d’un triangle avant de démontrer que celui-ci est rectangle ou écriture de l’égalité relative aux carrés des longueurs avant de savoir si l’égalité est vraie ou faux (une erreur que l’on trouve dans l’utilisation de la réciproque du théorème de Pytha-gore - idem pour la réciproque du théorème de Thalès).

Mét

hodo

logi

e

22


b. Conseils

•• Vérifier la présence d’unités pour votre réponse ;•• Utiliser les unités dans les calculs pour détecter les erreurs, ou pour déterminer l’unité de la réponse ;

ExempleLors du calcul de l’aire d’un disque de rayon 5 cm, si vous confondez les formules d’aire et périmètre, en écrivant les unités dans les calculs vous pouvez détecter votre erreur de confusion de formule : si vous écrivez A = 2πR = 2π5 cm=10 π cm vous pouvez vous rendre compte que le résultat est une longueur et non une aire.

•• Vérifier la conformité du format de réponse demandé (fraction irréductible, valeur exacte ou valeur approchée…) ;•• Être rigoureux dans l’utilisation du vocabulaire ou des conventions ;

ExemplesAB // CD, milieu d’une droite, d’un axe, milieu ou diagonale d’un cercle… au lieu de, respec-tivement, (AB) // (CD), milieu d’un segment, centre et diamètre d’un cercle…

•• Ne pas utiliser un théorème sans le citer.

4 Analyser des supports d’enseignement des mathématiques

Nous proposons ci-dessous des apports didactiques et quelques questions pour l’analyse : certaines pourront être du type de celles posées par le sujet, d’autres pour-ront vous aider à analyser les supports d’enseignement proposés.

Tout comme dans la partie mathématique, les réponses aux questions du sujet pour cette partie seront systématiquement argumentées.

4.1 Progressivité des apprentissages Les documents de référence du professeur sont les programmes officiels et non les manuels de classe. Ces programmes peuvent donner des indications pour la progression à suivre mais en général n’imposent rien. Pour bâtir sa progression, l’ enseignant doit donc analyser les ressources qu’il utilise et notamment les manuels de classe en fonction des programmes officiels. Il peut être aidé par les livres du maître correspondants aux manuels utilisés. L’enseignant devra découper son ensei-gnement en séquences visant une ou plusieurs compétences du programme. Chaque séquence est divisée en séances correspondant à une unité de temps d’enseignement. Une séquence type comprend une phase d’évaluation diagnostique, qui permet de prendre en compte les connaissances préalables des élèves, une situation d’entrée ou de découverte du thème traité, des situations problèmes destinées à construire les connaissances, des phases d’institutionnalisation des savoirs construits, des phases d’entraînement, et une phase d’évaluation des apprentissages. Suivant les concep-tions sur l’enseignement du professeur, plus « transmissif » ou plus « constructi-viste », les différentes phases seront plus ou moins importantes.

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