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Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test
미분
Section1. 함수의 극한
1. 삼각함수의 극한
삼각함수의 꼴은 을 이용한다.
【삼각함수의 극한 증명】
(ⅰ) 일 때
오른쪽 그림과 같이, 반지름의 길이가 인 원 에서
의 크기를 (라디안),
점 에서 원 에 그은 접선과 직선 와의 교점을 라 하면
의 넓이) (부채꼴 의 넓이) 의 넓이 )
따라서,
이므로 각 변을 로 나누고 역수를 취하면
그런데 이므로
(ⅱ) 일 때,
로 놓으면 이므로
(ⅰ), (ⅱ) 에서
2. 지수함수, 로그함수의 극한
지수, 로그함수의 극한은 그래프를 그려서 알아보고
꼴은 을 이용한다.
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[설명]
함수 에 대하여 가 0에 한없이 가까워질 때의 극한값을 알아보면 에
을 차례로 대입하여 값을 구하여 보면 그 값이 일정한 수에 수렴하고 있음을
알 수 있다.
실제로, 일 때 의 극한값이 존재한다는 것이 알려져 있으며 이 극한값을 문자 로 나타내고
자연상수라 부른다.
이 때 는 무리수이고 와 같이 순환하지 않는 무한소수임이 알려져 있다.
Section2. 미분법
♣.평균변화율
1)정의 ; 함수 에서 의 값이 부터 까지 변할 때,
를 구간 [ ]에서의 의 평균변화율 이라 한다.
즉 평균변화율 의변화의변화 직선의 기울기
2)기하학적인 의미 ; 좌표가 인 점과 인 점을 맺는 직선의 기울기를 나타낸다.
♣. 변화율 (미분계수)
1) 정의 ; 함수 에서 구간 [ ]에서의 평균변화율의 일 때 극한값
즉 가 존재할 때 이 극한값을
의 에서의 (순간)변화율 또는 미분계수라 하고,
로 나타낸다.
즉
2) 변화율의 기하학적인 의미 ;
변화율 는 좌표가 인 점에서의 접선의 기울기를 나타낸다.
♣. 미분가능
1)정의 ; 에서의 미분가능하다는 말은 에서의 미분계수 즉 가 존재함을 의미한다.
2)함수 가 에서 미분가능하면 는 에서 연속이다.
에서 미분가능하면 미분계수가 존재하므로 가 존재한다. 연속이므로 가 성립한다.
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1. 도함수
함수 에서 를 에 관한 y의 도함수라 하고,
으로 나타낸다.
또 함수 에서 도함수 를 구하는 것을 를 에 관하여 미분한다고 하고 그 계산법을
미분법이라 한다.
2. 미분법의 공식
1) 기본공식
(1) 상수 이면 ==>
(2) 은 유리수 이면 ==>
(3) 는 상수 이면 (4) 이면 복호 동순 (5) 이면
【기본공식 증명】
(1) 는 상수) 이면
(2) 은 자연수) 이면,
개
(3) 는 상수) 이면,
(4) 이면,
(복부호동순)
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(5) 이면,
2) 몫의 미분법
두 함수 의 도함수가 존재할 때,
특히,
【몫의 미분 증명】
이면
Δ
ΔΔ Δ
ΔΔΔ
Δ Δ
Δ ΔΔ
Δ Δ
Δ ΔΔ
Δ
ΔΔ
ΔΔ
Δ
즉, (단, ) 이면
3). (합성함수의 미분법)
가 미분가능할 때,
이면 즉
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【합성함수 미분 증명】
의 증분 에 대한 의 증분을 , 또 의 증분 에 대한 의 증분을 라 하고
가 미분가능하므로 일 때 이다.
예) (1) 이면
(2) 이면
4) (음함수의 미분법)
의 함수 가 음함수 으로 주어지고, 가 에 대하여 미분가능할 때,
에 대한 의 도함수는 의 각 항은 에 대하여 미분하여 를 구한다.
이 때, 를 이용한다.
【설명】
일 때, 이므로 로 놓으면,
이며, 이것은 을 에 관하여 미분할 때에는 먼저 을 에 에 대하여 미분
하고, 여기에다 를 로 미분한 것을 곱한 것임을 보이고 있다.
위의 성질을 이용하여 의 양변을 에 대하여 미분하면,
에서
【참고】 의 함수 가 의 꼴로 주어질 때의 를 의 음함수라고 하며,
의 함수 가 의 꼴로 주어질 때의 를 의 양함수라고 한다.
예) 에서 를 구하면 양변을 x에 대하여 미분하면
단
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5) (역함수의 미분법 )
가 의 역함수이면
즉 (단, )
즉 (단, )
【설 명】
를 에 대하여 미분하면,
……… ㉠
한편, 의 양변을 제곱하면
이고, 이것을 에 대하여 미분하면,
……… ㉡ 이다.
여기서 ㉠, ㉡ 을 비교하면 다음의 관계가 성립함을 이해할 수 있다.
예) 일 때, 를 구하면
6) (매개변수로 표시된 함수의 미분법)
가 t에 관해 미분가능하고, 일 때,
이면
【설 명】
가 에 대하여 미분가능하고 이면
Δ
ΔΔ Δ
ΔΔΔΔ
Δ
ΔΔ
Δ
ΔΔ
Δ 일 때, Δ )
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예) 일 때 를 구하면
7) 삼각함수의 미분법
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(6)
【삼각함수 미분 증명】
(1) 일 때,
(2) 일 때,
(3) 일 때,
(4) 일 때,
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(5) 일 때,
(6) 일 때,
8) 로그함수의 미분법
(1)
(2)
(3)
【로그 함수의 미분 증명】
(1) 일 때,
(2) (1)에서 로 놓으면, 일 때,
(3)
① 일 때, 에서
② 일 때, 에서
①, ② 에서
【참고】
양변의 절대값의 로그를 취하고 그것을 미분하여 도함수를 구하는 방법을 로그미분법이라고 하며,
지수가 복잡하거나, 형태가 복잡한 함수의 도함수를 구할 때는 로그미분법을 이용하는 것이 편리하다.
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9) 지수함수의 미분법
(1) (단, )
(2)
(3)
(4)
【지수함수 미분 증명】
(1) 일 때,
이다.
여기서 임을 밝혀 보자.
로 놓으면, 이므로 이고,
일 때, 이므로
(2) (1)에서 로 놓으면, 일 때,
(3) 합성함수의 미분법에 의하여 의 도함수는 ,
로 놓으면 이므로
(4) (3)에서 로 놓으면, 일 때,
◐ 고계도함수의 정의
; 양의 정수 에 대하여 함수 를 번 미분하여 얻은 함수를 의 계도함수라 하고
이것을 로 나타낸다.
이계도함수 이상의 도함수를 통틀어 고계도함수라 한다.
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1. 다음 극한값을 구하시오.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6) π
2. 다음 등식을 만족시키는 상수 의 값을 구하시오.
(1) (2)
3. 함수 가 임의의 실수 에 대하여 항상 를 만족시킬 때, 을 구하여라
(단, ) .
4. 개구간 에서 정의된 함수 가 은 자연수)로 주어질 때,
에서 미분계수 이 존재하도록 하는 상수 의 값을 구하여라.
5. 도함수의 정의에 따라 를 미분하여라
6. 는 의 다항식이고, 모든 에 대하여
을 만족시킬 때, 를 구하시오.
7. 다음 함수를 미분하시오.
(1) (2)
8. 에서 를 구하시오.
9.. 의 역함수의 도함수를 구하시오. (단, π π
)
10. 일 때, 를 구하시오.
11. 을 만족하는 의 값을 구하시오 (π
)
12.함수 을 미분하시오. (단, )
13. 일 때, 의 값을 구하시오.
14. 다음 함수의 도함수를 구하시오.
(1) (2) (3)