정답과 풀이 - 개념원리 · 2018-11-21 · 002 정답과 풀이 01 함수의 극한 Ⅰ....

수학

문제기본서

정답과 풀이

002 정답과 풀이

함수의 극한01Ⅰ. 함수의 극한과 연속

본문 7쪽, 9쪽교과서 문제 정 /복 /하 /기

f(x)=2x-1로놓으면y=f(x)

의그래프는오른쪽그림과같다.즉,x의값

이-1에한없이가까워질때, f(x)의값은

-3에한없이가까워지므로

limx`Ú-1

(2x-1)=-3 답 -3

0001

f(x)=xÛ`+1로놓으면y=f(x)

의그래프는오른쪽그림과같다,즉,x의

값이3에한없이가까워질때, f(x)의값은

10에한없이가까워지므로

limx`Ú 3

(xÛ`+1)=10 답 10

0002

f(x)='Äx-1로놓으면

y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같

다.즉,x의값이2에한없이가까워질

때, `f(x)의값은1에한없이가까워지

므로

limx`Ú 2

'Äx-1=1 답 1

0003

f(x)= 1xÛ`

로놓으면y=f(x)의

그래프는오른쪽그림과같다.즉,x의값

이0에한없이가까워질때,`f(x)의값은

한없이커지므로

limx`Ú 0

1xÛ`

=¦ 답 ¦

0005

f(x)= -1|x-1|

로놓으면

y=f(x)의그래프는오른쪽그림과같다.

즉,x의값이1에한없이가까워질때,

`f(x)의값은음수이면서그절댓값이한

0006

f(x)=x-3으로놓으면y=f(x)

의그래프는오른쪽그림과같다.즉,x의값

이한없이커질때, f(x)의값도한없이커

지므로

limx`Ú¦

(x-3)=¦ 답 ¦

0007

f(x)=xÛ`으로놓으면y=f(x)의

그래프는오른쪽그림과같다.즉,x의값이

한없이커질때, f(x)의값도한없이커지

므로

limx`Ú¦

`xÛ`=¦ 답 ¦

0008

f(x)=;[!;로놓으면y=f(x)의그

래프는오른쪽그림과같다.즉,x의값이음

수이면서그절댓값이한없이커질때,

`f(x)의값은0에한없이가까워지므로

limx`Ú-¦

`;[!;=0 답 0

0009

f(x)=2+;[!;로놓으면y=f(x)

의그래프는오른쪽그림과같다.즉,x의

값이음수이면서그절댓값이한없이커질

때,`f(x)의값은2에한없이가까워지므로

limx`Ú-¦

{2+;[!;}=2 답 2

0010

⑴ limx`Ú 0-

|x|x = lim

x`Ú 0- -xx = lim

x`Ú 0-(-1)=-1

⑵ limx`Ú 0+

|x|x = lim

x`Ú 0+ xx = lim

x`Ú 0+ 1=1

답 ⑴ -1 ⑵ 1

0011

⑸ limx`Ú-2+

`f(x)=0, limx`Ú-2-

`f(x)=2

즉, limx`Ú-2+

`f(x)+ limx`Ú-2-

`f(x)이므로 limx`Ú-2

`f(x)는존재하지

않는다.

답 ⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ 2 ⑷ 2 ⑸ 존재하지 않는다. ⑹ 2

0012

limx`Ú-1

(1-3x)=1-3´(-1)=4 답 40013

limx`Ú 1

(xÛ`-4)(x+1)=(1-4)´(1+1)=-6

답 -6

0014

f(x)= 1x+2 로놓으면y=f(x)

의그래프는오른쪽그림과같다.즉,x의

값이0에한없이가까워질때, f(x)의값

은;2!;에한없이가까워지므로

limx`Ú 0

1x+2 =;2!; 답 ;2!;

0004

없이커지므로

limx`Ú 1

-1|x-1|

=-¦ 답 -¦

01. 함수의 극한 003

limx`Ú 4

`7=7 답 70016

limx`Ú 3

xÛ`-3`x-1 = 9-3

3-1 =3 답 30015

limx`Ú -1

xÛ`-1`x+1 = lim

x`Ú -1 (x+1)(x-1)

x+1

= limx`Ú -1

(x-1)=-2 답 -2

0017

limx`Ú 2

xÛ`-5x+6`x-2 =lim

x`Ú 2 (x-2)(x-3)

x-2

=limx`Ú 2

(x-3)=-1 답 -1

0018

limx`Ú -1

xÛ`+5x+4`x+1 = lim

x`Ú -1 (x+1)(x+4)

x+1

= limx`Ú -1

(x+4)=3 답 3

0019

limx`Ú 4

'§x-2`x-4 =lim

x`Ú 4 ('§x-2)('§x+2)(x-4)('§x+2)

=limx`Ú 4

x-4`(x-4)('§x+2)

=limx`Ú 4

1'§x+2

=;4!; 답 ;4!;

0020

limx`Ú 0

x'Ä§x+4-2

=limx`Ú 0

x('Ä§x+4+2)`

('Ä§x+4-2)('Ä§x+4+2)

=limx`Ú 0

x('Ä§x+4+2)

x

=limx`Ú 0

('Ä§x+4+2)

=4 답 4

0021

limx`Ú ¦

3xÛ`+5x-2`2xÛ`+1

= limx`Ú ¦

3+;[%;- 2

xÛ`

2+ 1xÛ`

=;2#; 답 ;2#;0023

limx`Ú-¦

2x+13x-1 = lim

x`Ú-¦ 2+;[!;

3-;[!;=;3@; 답 ;3@;0024

limx`Ú¦

3xÛ`-2xx+2 =lim

x`Ú¦ 3x-2

1+;[@;=¦ 답 ¦0025

limx`Ú ¦

5x-2`3xÛ`+1

= limx`Ú ¦

;[%;- 2

xÛ`

3+ 1xÛ`

=0 답 00022

limx`Ú¦

(xÛ`-3x+2)=limx`Ú¦

xÛ` {1-;[#;+ 2xÛ`}=¦

답 ¦

0026

limx`Ú¦

("ÃxÛ`+1-x)=limx`Ú¦

xÛ`+1-xÛ`"ÃxÛ`+1+x

=limx`Ú¦

1"ÃxÛ`+1+x

=0 답 0

0027

limx`Ú¦

("ÃxÛ`+10x-x)=limx`Ú¦

xÛ`+10x-xÛ`"ÃxÛ`+10x+x

=limx`Ú¦

10x"ÃxÛ`+10x+x

=limx`Ú¦

10

®É1+ 10x +1

=5 답 5

0028

limx`Ú 0

;[!; {1- 1x+1 }=lim

x`Ú 0 {;[!;´ x

x+1 }

=limx`Ú 0

1x+1 =1 답 1

0029

limx`Ú 3

2x-3 {x-;[(;}=lim

x`Ú 3 { 2

x-3 ´xÛ`-9

x }

=limx`Ú 3

[ 2x-3 ´

(x-3)(x+3)x ]

=limx`Ú 3

2(x+3)

x =4 답 4

0030

limx`Ú 2

ax+bx-2 =3이고,lim

x`Ú 2(x-2)=0이므로

limx`Ú 2

(ax+b)=0

즉,2a+b=0이므로b=-2a

b=-2a를주어진식에대입하면

limx`Ú 2

ax-2ax-2 =lim

x`Ú 2 a(x-2)

x-2 =a=3

∴a=3,b=-6 답 a=3, b=-6

0031

limx`Ú 1

x-1xÛ`+ax-b

=-1이고,limx`Ú 1

(x-1)=0이므로

limx`Ú 1

(xÛ`+ax-b)=0

즉,1+a-b=0이므로b=a+1

b=a+1을주어진등식에대입하면

limx`Ú 1

x-1xÛ`+ax-(a+1)

=limx`Ú 1

x-1(x-1)(x+a+1)

=limx`Ú 1

1x+a+1

= 1a+2 =-1

∴a=-3,b=-2 답 a=-3, b=-2

0032


모든실수x에대하여

-xÛ`+2x-3Éf(x)ÉxÛ`-2x-1이고

limx`Ú 1

(-xÛ`+2x-3)=-2,limx`Ú 1

(xÛ`-2x-1)=-2이므로

limx`Ú 1

`f(x)=-2 답 -2

0033

모든실수x에대하여xÛ +1>0이므로주어진부등식의

각변을xÛ`+1로나누면

4xÛ`-1xÛ`+1

É f(x)É 4xÛ`+5xÛ`+1

이때limx`Ú¦

4xÛ`-1xÛ`+1

=4,limx`Ú¦

4xÛ`+5xÛ`+1

=4이므로

limx`Ú¦

`f(x)=4 답 4

0034

본문 10~16 쪽유형 익 /히 /기

① limx`Ú 0+

`f(x)=0

② limx`Ú 4+

`f(x)=1

③ limx`Ú 5-

`f(x)=4

④ limx`Ú 2+

`f(x)=0, limx`Ú 2-

`f(x)=-3

즉, limx`Ú 2+

`f(x)+ limx`Ú 2-

`f(x)이므로limx`Ú 2

`f(x)는존재하지않

는다.

⑤ limx`Ú 3+

`f(x)=2, limx`Ú 3-

`f(x)=2이므로limx`Ú 3

`f(x)=2

따라서극한값이존재하지않는것은④이다. 답 ④

0035

① limx`Ú a+

`f(x)=¦, limx`Ú a-

`f(x)=-¦이므로

limx`Ú a

`f(x)는존재하지않는다.

②,③,④ limx`Ú a+

`f(x)+ limx`Ú a-

`f(x)이므로limx`Ú a

`f(x)는존재하지

않는다.

⑤ limx`Ú a+

`f(x)= limx`Ú a-

`f(x)이므로 limx`Ú a

`f(x)의값이존재한다.

따라서limx`Ú a

`f(x)의값이존재하는것은⑤이다. 답 ⑤

0036

limx`Ú-2+

`f(x)= limx`Ú-2+

(x+k)=-2+k

0038

ㄱ. limx`Ú-1+

`f(x)=1, limx`Ú-1-

`f(x)=1이므로

limx`Ú-1

`f(x)=1

ㄴ. limx`Ú 1+

`f(x)=-1, limx`Ú 1-

`f(x)=-1이므로limx`Ú 1

`f(x)=-1

ㄷ. limx`Ú 2+

`f(x)=3, limx`Ú 2-

`f(x)=2

즉, limx`Ú 2+

`f(x)+ limx`Ú 2-

`f(x)이므로limx`Ú 2

`f(x)는존재하지않

는다.

따라서극한값이존재하는것은ㄱ,ㄴ이다. 답 ㄱ, ㄴ

0037

f(x)= 2xÛ`-3x-2|x-2|

=(x-2)(2x+1)

|x-2|

=[2x+1-2x-1

(x>2)(x<2)

limx`Ú 2+

`f(x)= limx`Ú 2+

(2x+1)=5 ∴a=5

limx`Ú 2-

`f(x)= limx`Ú 2-

(-2x-1)=-5 ∴b=-5

∴a-b=5-(-5)=10 답 ⑤

0041

limx`Ú-1-

`f(x)+ limx`Ú 0+

`f(x)+limx`Ú 1

`f(x)

=3+0+3=6 답 ②

0039

limx`Ú 0-

`f(x)= limx`Ú 0-

(-x+1)=1

limx`Ú 1+

`f(x)= limx`Ú 1+

3=3

∴ limx`Ú 0-

`f(x)+ limx`Ú 1+

`f(x)=1+3=4 답 4

0040

limx`Ú 1-

`f(x)=2

1-x=t로놓으면x`Ú 1+일때t`Ú 0-이므로lim

x`Ú 1+`f(1-x)= lim

t`Ú 0-`f(t)=0

∴ limx`Ú 1-

`f(x)+ limx`Ú 1+

`f(1-x)=2+0=2 답 ⑤

0042

f(x)=t로놓으면x`Ú 1-일때t`Ú 0+이므로lim

x`Ú 1- g( f(x))= lim

t`Ú 0+ g(t)=1

g(x)=p로놓으면x`Ú 0+일때p=1이므로

limx`Ú 0+

`f( g(x))=f(1)=0

∴ limx`Ú 1-

g( f(x))- limx`Ú 0+

`f( g(x))=1-0=1 답 ④

0043

ㄱ. f(x)=t로놓으면x`Ú 1-일때t`Ú -1+이므로

limx`Ú 1-

`f( f(x))= limt`Ú-1+

`f(t)=1

ㄴ. f(x)=t로놓으면x`Ú 1+일때t=-1이므로

limx`Ú 1+

`f( f(x))=f(-1)=-1

0044

limx`Ú-2-

`f(x)= limx`Ú-2-

(-xÛ`-4x+3)=7

limx`Ú-2

`f(x)의값이존재하려면 limx`Ú-2+

`f(x)= limx`Ú-2-

`f(x)이어

야하므로

-2+k=7 ∴k=9

답 9

단계 채점요소 배점

limx`Ú -2+

`f(x)의값구하기 30%

limx`Ú -2-


k의값구하기 40%

01. 함수의 극한 005

x-5=t로놓으면x`Ú 5일때t`Ú 0이므로limx`Ú 5

`f(x-5)=limt`Ú 0

`f(t)=3 ∴limx`Ú 0

`f(x)=3

∴limx`Ú 0

1+4 f(x)2-f(x)

= 1+4´32-3 =-13 답 -13

0049

2 f(x)+g(x)=h(x)로놓으면

g(x)=h(x)-2 f(x)이고limx`Ú 2

h(x)=6

∴limx`Ú 2

`g(x)=limx`Ú 2

{h(x)-2 f(x)}

=limx`Ú 2

h(x)-2 limx`Ú 2

`f(x)

=6-2´(-2)=10

답 10

0048

limx`Ú 1

`f(x)=2,limx`Ú 1

g(x)=a이므로

limx`Ú 1

`f(x)+3 g(x)f(x)g(x)-4

= 2+3a2a-4 =;2!;

4+6a=2a-4 ∴a=-2 답 -2

0046

limx`Ú 0

5xÛ`-3 f(x)7xÛ`+f(x)

=limx`Ú 0

5x-3´ `f(x)

x

7x+`f(x)

x

= 0-3´30+3 =-3 답 -3

0047

x-3=t로놓으면x`Ú 3일때t`Ú 0이므로

limx`Ú 3

f(x-3)xÛ`-9

=limx`Ú 3

f(x-3)

(x-3)(x+3)

=limt`Ú 0

f(t)

t(t+6)

=limt`Ú 0

`f(t)

t ´limt`Ú 0

1t+6

=2´;6!;=;3!; 답 ;3!;

0050

limx`Ú 2

`f(x)=a라하면

limx`Ú 2

xÛ`-4{ f(x)}Û`-25

=limx`Ú 2

(x-2)(x+2)

{ f(x)-5}{ f(x)+5}

=limx`Ú 2

x+2`f(x)-5

x-2 ´{ f(x)+5}

= limx`Ú 2`(x+2)

limx`Ú 2

`f(x)-5

x-2 ´limx`Ú 2

{ f(x)+5}

= 410(a+5)

즉,4

10(a+5)=;2Á0;이므로a=3

∴ limx`Ú 2

`f(x)=3� 답 ③

0051

2 f(x)-g(x)=h(x)로놓으면

g(x)=2 f(x)-h(x)이고limx`Ú 1

h(x)=3

∴limx`Ú 1

`f(x)-3 g(x)3 f(x)-g(x)

=limx`Ú 1

`f(x)-3{2 f(x)-h(x)}3 f(x)-{2 f(x)-h(x)}

=limx`Ú 1

-5 f(x)+3h(x)f(x)+h(x)

=limx`Ú 1

-5+3´ h(x)

f(x)

1+h(x)`f(x)

=-5� 답 -5

다른풀이 limx`Ú 1

`f(x)=¦,limx`Ú 1

{2 f(x)-g(x)}=3이므로

limx`Ú 1

`2 f(x)-g(x)

f(x)=0

즉,limx`Ú 1[2- g(x)

f(x)]=2-lim

x`Ú 1 g(x)f(x)

=0이므로

limx`Ú 1

g(x)f(x)

=2

∴limx`Ú 1

`f(x)-3 g(x)3 f(x)-g(x)

=limx`Ú 1

1-3´

g(x)f(x)

3-g(x)f(x)

= 1-3´23-2 =-5

0045

ㄷ. f(x)=t로놓으면x`Ú ---1+일때t`Ú --1-이므로 limx`Ú-1+

`f( f(x))= limt`Ú 1-

`f(t)=-1

따라서옳은것은ㄷ뿐이다. 답 ③


g(x)를h(x),f(x)에대한식으로나타내기 40%

limx`Ú 2

`g(x)의값구하기 60%

ㄱ.[반례] f(x)=[01

(x¾a)(x<a)

,g(x)=[10

(x¾a)(x<a)

이면limx`Ú a

`f(x)와limx`Ú a

g(x)는모두존재하지않지만

f(x)+g(x)=1이므로limx`Ú a

{ f(x)+g(x)}=1이다.

ㄴ.limx`Ú a

{ f(x)+2 g(x)}=a,limx`Ú a

{2 f(x)+g(x)}=b라하면

limx`Ú a

`f(x)=limx`Ú a

;3!; [ 2{2 f(x)+g(x)}-{ f(x)+ 2 g(x)}]

=;3!;(2b-a)

ㄷ.[반례] f(x)=0,g(x)=[0 (x¾a)1 (x<a)

이면

limx`Ú a

`f(x)=0,limx`Ú a

`f(x)g(x)=0이지만

limx`Ú a

`g(x)는존재하지않는다.

따라서옳은것은ㄴ뿐이다.� 답 ②

0052


limx`Ú-2

xÜ`+82xÛ`+3x-2

= limx`Ú-2

(x+2)(xÛ`-2x+4)

(x+2)(2x-1)

= limx`Ú-2

xÛ`-2x+4

2x-1

=-:Á5ª: 답 -:Á5ª:

0053

limx`Ú 1

8(xÝ`-1)

(xÛ`-1)f(x)=lim

x`Ú 1 8(xÛ`-1)(xÛ`+1)

(xÛ`-1) f(x)

=limx`Ú 1

8(xÛ`+1)

f(x)

=16

f(1)

즉,16

f(1)=2이므로 f(1)=8 답 ①

0054

limx`Ú 1

{ f(x)}Û`+3 f(x)xÛ` f(x)-f(x)

=limx`Ú 1

`f(x){ f(x)+3}

f(x)(xÛ`-1)

=limx`Ú 1

f(x)+3

(x-1)(x+1)

=limx`Ú 1

`f(x)+3

x-1´lim

x`Ú 1 1x+1

=2´;2!;=1 답 1

0055

limx`Ú 0+

xx+|x|

= limx`Ú 0+

xx+x =;2!; ∴ a=;2!;

limx`Ú -1+

xÛ`+x|xÛ`-1|

= limx`Ú -1+

xÛ`+x1-xÛ`

= limx`Ú -1+

x(1+x)

(1+x)(1-x)

= limx`Ú -1+

x1-x =-;2!;

∴b=-;2!;

∴a+b=;2!;+{-;2!;}=0� 답 0

0056

limx`Ú 2

"ÃxÛ`+5-3

x-2 =limx`Ú 2

("ÃxÛ`+5-3)("ÃxÛ`+5+3)

(x-2)("ÃxÛ`+5+3)

=limx`Ú 2

xÛ`-4(x-2)("ÃxÛ`+5+3)

=limx`Ú 2

(x-2)(x+2)

(x-2)("ÃxÛ`+5+3)

=limx`Ú 2

x+2"ÃxÛ`+5+3

=;3@; 답 ④

0057

limx`Ú 1

`f(x)(x-1)'§x-1

=limx`Ú 1

`f(x)(x-1)('§x+1)

('§x-1)('§x+1)

=limx`Ú 1

`f(x)(x-1)('§x+1)

x-1

=limx`Ú 1

`f(x)('§x+1)

=limx`Ú 1`f(x)´lim

x`Ú 1('§x+1)

=3´2=6 답 ②

0059

limx`Ú 0

'Ä1-x-'Ä1+x'Ä§4+x-'Ä§4-x

=limx`Ú 0

('Ä1-x-'Ä1+x )('Ä1-x+'Ä1+x )('Ä4+x+'Ä4-x )('Ä§4+x-'Ä§4-x )('Ä§4+x+'Ä§4-x )('Ä§1-x+'Ä§1+x )

=limx`Ú 0

-2x('Ä4+x+'Ä4-x )2x('Ä§1-x+'Ä§1+x )

=limx`Ú 0

{- 'Ä4+x+'Ä4-x'Ä§1-x+'Ä§1+x

}=-2 답 -2

0058

limx`Ú ¦

f(x+1)- f(x)

x-1

= limx`Ú ¦

(x+1)(x+2)-x(x+1)

x-1

= limx`Ú ¦

2(x+1)

x-1 = limx`Ú ¦

2+;[@;

1-;[!;=2 답 2

0061

limx`Ú ¦

2xÛ`+3x+5xÛ`-2x+1

+ limx`Ú ¦

"ÃxÛ +1-2

x

=limx`Ú ¦

2+;[#;+ 5

xÛ`

1-;[@;+ 1xÛ`

+limx`Ú ¦{¾Ð1+ 1

xÛ`-;[@;}

=2+1=3 답 3

0062

limx`Ú ¦

3xÛ`+4 f(x)2xÛ`-f(x)

= limx`Ú ¦

3+ f(x)

x ´;[$;

2- f(x)

x ´;[!;

= 3+3´02-3´0 =;2#; 답 ②

0063

x=-t로놓으면x`Ú-¦일때t`Ú ¦이므로

limx`Ú-¦

"ÃxÛ`-3x+x"ÃxÛ`-1-'Ä3-x

=limt`Ú¦

"ÃtÛ`+3t-t"ÃtÛ`-1-'Ä3+t

=limt`Ú¦

¾Ð1+;t#;-1

¾Ð1- 1tÛ`

-¾Ð 3tÛ`

+ 1t

= 1-11-0 =0 답 ④

0060

x=-t로놓으면x`Ú-¦일때t`Ú¦이므로

limx`Ú-¦

("ÃxÛ`+2x+3+x)

=limt`Ú¦

("ÃtÛ`-2t+3-t)

=limt`Ú¦

("ÃtÛ`-2t+3-t)("ÃtÛ`-2t+3+t)

"ÃtÛ`-2t+3+t

=limt`Ú¦

-2t+3

"ÃtÛ`-2t+3+t=lim

t`Ú¦

-2+ 3t

¾Ð1Ð- 2t + 3

tÛ`+1

= -21+1=-1 답 ③

0064

01. 함수의 극한 007

⑴limx`Ú¦

`1

"Ã4xÛ`+x-2x

=limx`Ú¦

`"Ã4xÛ`+x+2x

("Ã4xÛ`+x-2x)("Ã4xÛ`+x+2x)

=limx`Ú¦

`"Ã4xÛ`+x+2x

x

=limx`Ú¦ {®É4+;[!;+2}

=2+2=4

⑵limx`Ú 1

`1x-1 [

`1(x+1)Û`

-;4!;]=limx`Ú 1

[ `1x-1 ´

-xÛ`-2x+34(x+1)Û

]

=limx`Ú 1

-(x-1)(x+3)4(x-1)(x+1)Û`

=limx`Ú 1

-(x+3)4(x+1)Û`

=-;4!;

답 ⑴ 4 ⑵ -;4!;

0065

x=-t로놓으면x`Ú-¦일때t`Ú¦이므로

limx`Ú-¦

xÛ`{1+ x"ÃxÛ`+2

}=limt`Ú¦

tÛ`{1+ -t"ÃtÛ`+2

}

=limt`Ú¦

{tÛ`´ "ÃtÛ`+2-t"ÃtÛ`+2

}

=limt`Ú¦

[tÛ`´ ("ÃtÛ`+2-t)("ÃtÛ`+2+t)"ÃtÛ`+2 ("ÃtÛ`+2+t)

]

=limt`Ú¦

2tÛ`"ÃtÛ`+2 ("ÃtÛ`+2+t)

=limt`Ú¦

2

¾Ð1+ 2tÛ` {¾Ð1+ 2

tÛ`+1}

= 21´(1+1)=1 답 1

0066

limx`Ú¦

("ÃxÛ`+ax-"ÃxÛ`-ax`)

=limx`Ú¦

("ÃxÛ`+ax-"ÃxÛ`-ax )("ÃxÛ`+ax+"ÃxÛ`-ax )

"ÃxÛ`+ax +"ÃxÛ`-ax�

=limx`Ú¦

2ax"ÃxÛ`+ax +"ÃxÛ`-ax

=limx`Ú¦

2a

¾Ð1+ ax +¾Ð1- a

x

= 2a1+1=3

∴a=3 답 3

0067

x`Ú 1일때,(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므로(분자)`Ú 0이다.즉,lim

x`Ú 1 (axÜ`+x+b)=0이므로a+1+b=0

∴b=-a-1 yy`㉠

㉠을주어진식에대입하면

0068


x`Ú 2 ('Äx+§a-b)=0이므로'Ä2+§a-b=0

∴b='Ä2+§a yy`㉠


limx`Ú 2

'Äx+§a-'Ä2+a

x-2 =limx`Ú 2

x-2(x-2)('Äx+§a+'Ä2+a )

=limx`Ú 2

1'Äx+§a+'Ä2+a

= 12'Ä2+§a

12'Ä2+§a

=;4!;에서a=2이므로이것을㉠에대입하면b=2

∴a-b=0 답 0

0069

x`Ú --3일때,(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므로(분자)`Ú 0이다.

즉, limx`Ú -3

("ÃxÛ`-x-3+ax)=0이므로'Ä9+3-3-3a=0

∴a=1

a=1을주어진식에대입하면

limx`Ú -3

"ÃxÛ`-x-3+x

x+3 = limx`Ú -3

-(x+3)

(x+3)("ÃxÛ`-x-3-x)

= limx`Ú -3

-1"ÃxÛ`-x-3-x

=-;6!;

∴b=-;6!;

∴a+b=1+{-;6!;}=;6%;

답 ;6%;


a의값구하기 40%

b의값구하기 50%

a+b의값구하기 10%

0070

limx`Ú 1

axÜ`+x-a-1x-1 =lim

x`Ú 1 (x-1)(axÛ +ax+a+1)

x-1

=limx`Ú 1

(axÛ`+ax+a+1)

=3a+1

3a+1=7에서a=2이므로이것을㉠에대입하면b=-3

∴ab=-6 답 ①

x`Ú -1일때,(분자)`Ú 0이고0이아닌극한값이존재하므로(분모)`Ú 0이다.즉, lim

x`Ú -1(3xÛ`-x-a)=0이므로3+1-a=0 ∴a=4

a=4를주어진식에대입하면

0071


limx`Ú¦

("Ã2xÛ`+x+1-ax)

=limx`Ú¦

2xÛ`+x+1-aÛ`xÛ`"Ã2xÛ`+x+1+ax

=limx`Ú¦

(2-aÛ`)xÛ`+x+1"Ã2xÛ`+x+1+ax

yy`㉠

㉠의극한값이존재하려면2-aÛ`=0

aÛ`=2 ∴a='2`(∵a>0)

a='2 를㉠에대입하면

0074

limx`Ú 2

xÛ`+x-6

xÛ`-a에서x`Ú 2일때(분자)`Ú 0이고0이아

닌극한값이존재하므로(분모)`Ú 0이다.

즉,limx`Ú 2

(xÛ`-a)=0이므로4-a=0 ∴a=4

∴limx`Ú 1

xÛ`-1

xÛ`-ax+3=lim

x`Ú 1 xÛ`-1xÛ`-4x+3

=limx`Ú 1

(x-1)(x+1)(x-1)(x-3)

=limx`Ú 1

x+1x-3 =-1 답 ①

0072


x`Ú 0 ("ÃxÛ`+ax+b-a)=0이므로

'b-a=0 ∴b=aÛ` yy`㉠


limx`Ú 0

"ÃxÛ`+ax+aÛ`-a'Äa+§x-'Äa-§x

=limx`Ú 0

(xÛ`+ax)('Äa+§x+'Äa-§x )

2x("ÃxÛ`+ax+aÛ`+a)

=limx`Ú 0

(x+a)('Äa+§x+'Äa-§x )

2("ÃxÛ`+ax+aÛ`+a)

=2a'a4a =

'a2

'a2 =1에서a=4이므로이것을㉠에대입하면

b=16

∴a+b=20 답 20

0073

limx`Ú¦

`f(x)=limx`Ú¦

axÛ`+bx+cxÛ`+x-2

=1에서

limx`Ú¦

a+;[B;+ c

xÛ`

1+;[!;- 2xÛ`

=1 ∴a=1

또,limx`Ú 1

`f(x)=limx`Ú 1

xÛ`+bx+cxÛ`+x-2

=-1에서x`Ú 1일때,

(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므로(분자)`Ú 0이다.

즉,limx`Ú 1

(xÛ`+bx+c)=0이므로1+b+c=0

∴c=-b-1

∴limx`Ú 1

`f(x)=limx`Ú 1

xÛ`+bx-b-1xÛ`+x-2

=limx`Ú 1

(x-1)(x+1+b)

(x-1)(x+2)

=limx`Ú 1

x+1+bx+2

= 2+b3

즉,2+b

3 =-1에서b=-5이므로c=-b-1=5-1=4

∴a-b+c=1-(-5)+4=10 답 ⑤

0075

limx`Ú¦

f(x)2x-1 =2에서 f(x)는최고차항의계수가4인일

차함수임을알수있다.

즉, f(x)=4x+a`(a는상수)로놓으면

limx`Ú -1

`f(x)= limx`Ú -1

(4x+a)=-4+a=-3 ∴a=1

따라서 f(x)=4x+1이므로

f(3)=12+1=13 답 13

0076

limx`Ú 0

`f(x)

x =4에서x`Ú 0일때,(분모)`Ú 0이고극한

값이존재하므로(분자)`Ú 0이다.즉,lim

x`Ú 0`f(x)=0이므로 f(0)=0 yy`㉠

limx`Ú 1

`f(x)x-1 =-2에서x`Ú 1일때,(분모)`Ú 0이고극한값이

존재하므로(분자)`Ú 0이다.즉,lim

x`Ú 1`f(x)=0이므로 f(1)=0 yy`㉡

0077

limx`Ú¦

x+1"Ã2xÛ`+x+1+'2x

=limx`Ú¦

1+;[!;

¾2 Ð+ 1x + Ð 1

xÛ`+'2`

= 1'2+'2

='24

∴b='24

∴ab='2´ '24 =;2!; 답 ③

limx`Ú -1

xÛ`-13xÛ`-x-4

= limx`Ú -1

(x-1)(x+1)(x+1)(3x-4)

= limx`Ú -1

x-13x-4 =;7@;

∴b=;7@;

∴ab=4´;7@;=;7*; 답 ;7*;

01. 함수의 극한 009

㉠,㉡에의하여 f(x)=x(x-1)(ax+b)`(a,b는상수)로놓

으면

limx`Ú 0

`f(x)

x =limx`Ú 0

`x(x-1)(ax+b)

x

=limx`Ú 0

(x-1)(ax+b)

=-b=4

∴b=-4

limx`Ú 1

`f(x)x-1 =lim

x`Ú 1 `x(x-1)(ax+b)

x-1

=limx`Ú 1

x(ax+b)

=a+b=a-4=-2

∴a=2

따라서 f(x)=x(x-1)(2x-4)이므로

limx`Ú 2

`f(x)x-2 =lim

x`Ú 2 `x(x-1)(2x-4)

x-2

=limx`Ú 2

2x(x-1)=4 답 4

㈎에서 f(x)-2xÜ`=2xÛ`+ax+b`(a,b는상수)로놓

을수있으므로 f(x)=2xÜ`+2xÛ`+ax+b

㈏에서x`Ú 0일때,(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므로

(분자)`Ú 0이다.

즉,`limx`Ú 0

`f(x)=0이므로 f(0)=0 ∴b=0

∴limx`Ú 0

`f(x)

x =limx`Ú 0

2xÜ`+2xÛ`+axx

=limx`Ú 0

(2xÛ`+2x+a)

=a=-3

따라서 f(x)=2xÜ`+2xÛ`-3x이므로

f(-1)=-2+2+3=3 답 3

0078

주어진조건에의하여 f(1)=0, f(2)=0이므로

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)(Q(x)는다항함수) yy`㉠

로놓을수있다.

㉠을limx`Ú 1

f(x)x-1

=1에대입하면

limx`Ú 1

(x-1)(x-2)Q(x)

x-1=lim

x`Ú 1 (x-2)Q(x)=1

∴Q(1)=-1 yy`㉡

㉠을limx`Ú 2

f(x)x-2

=1에대입하면

limx`Ú 2

(x-1)(x-2)Q(x)

x-2=lim

x`Ú 2 (x-1)Q(x)=1

∴Q(2)=1 yy`㉢

㉠에서Q(x)의차수가낮을수록 f(x)의차수도낮고,㉡,㉢을

모두만족시키는다항함수Q(x)중차수가가장낮은것은일차

함수이므로Q(x)=ax+b`(a,b는상수)로놓으면

Q(1)=a+b=-1,Q(2)=2a+b=1

위의두식을연립하여풀면a=2,b=-3

0079

limx`Ú¦

x+23x+1 =;3!;,lim

x`Ú¦ xÛ`+5x+33xÛ`+2x+1

=;3!;이므로

limx`Ú¦

`f(x)=;3!; 답 ①

0080

따라서Q(x)=2x-3이므로

g(x)=(x-1)(x-2)(2x-3)

∴g(3)=2´1´3=6 답 ⑤

모든실수x에대하여xÛ`+2>0이므로주어진부등식의

각변을xÛ`+2로나누면

3xÛ`+1xÛ`+2

<f(x)< 3xÛ`+5xÛ`+2

이때limx`Ú¦

3xÛ`+1xÛ`+2

=3,limx`Ú¦

3xÛ`+5xÛ`+2

=3이므로

limx`Ú¦

`f(x)=3 답 3

0081

모든양의실수x에대하여xÛ`>0이므로주어진부등식

의각변을xÛ`으로나누면

xÛ`-x-1xÛ`

<`f(x)xÛ`

< xÛ`-x+1xÛ`

이때limx`Ú¦

xÛ`-x-1xÛ`

=1, limx`Ú¦

xÛ`-x+1xÛ`

=1이므로

limx`Ú¦

`f(x)xÛ`

=1 답 ③

0082

모든양의실수x에대하여0<3x+2<f(x)<3x+4

이므로주어진부등식의각변을제곱하면

(3x+2)Û`<{ f(x)}Û`<(3x+4)Û`

모든양의실수x에대하여xÛ`+1>0이므로각변을xÛ`+1로나

누면

(3x+2)Û`xÛ`+1

<{ f(x)}Û`xÛ`+1

<(3x+4)Û`

xÛ`+1

이때limx`Ú¦

(3x+2)Û`

xÛ`+1=9,lim

x`Ú¦ (3x+4)Û`

xÛ`+1=9이므로

limx`Ú¦

{ f(x)}Û`xÛ`+1

=9 답 9

0083

본문 17쪽유형

①1<x<2일때,[x]=1이므로

limx`Ú 1+

[x]x =;1!;=1

②0<x<1일때,1<x+1<2이므로[x+1]=1

∴ limx`Ú 0+

`x+1[x+1] =;1!;=1

③-1<x<0일때,-2<x-1<-1이므로[x-1]=-2

∴ limx`Ú 0-

[x-1]x-1 = -2

-1 =2

0084


①x`Ú 2+일때 f(x)`Ú 0-이므로

limx`Ú 2+

[ f(x)]=-1

②x`Ú 2-일때 f(x)`Ú 0+이므로

limx`Ú 2-

[ f(x)]=0

③x`Ú -2-일때 f(x)`Ú 0+이므로

limx`Ú-2-

[ f(x)]=0

④x`Ú -2+일때 f(x)`Ú 0+이므로

limx`Ú-2+

[ f(x)]=0

⑤ limx`Ú-2+

[ f(x)]= limx`Ú-2-

[ f(x)]=0이므로

limx`Ú-2

[ f(x)]=0

따라서나머지넷과다른하나는①이다. 답 ①

0086

limx`Ú 3+

[x]=3, limx`Ú 3-

[x]=2이므로

limx`Ú 3+

[x]Û`+[x]

xÛ`-x+ lim

x`Ú 3- [x]Û`+[x]

[x] = 3Û`+33Û`-3

+ 2Û`+22

=2+3=5 답 5

0085

A(x)=;2!;´1´y=;2!;y=;2!;xÛ`

B(x)=;2!;´4´x=2x

∴limx`Ú ¦

A(x)xB(x)

= limx`Ú ¦

;2!;xÛ`

2xÛ`= lim

x`Ú ¦ xÛ`4xÛ`

=;4!; 답 ;4!;

0087

점P의좌표를(t,2tÛ`)`(t>0),점Q의좌표를(0,y)

로놓으면PQÓ=QOÓ=y이므로

"Ã\tÛ`+(2tÛ`-y)Û`=y

양변을제곱하면tÛ`+4tÝ`-4ytÛ`+yÛ`=yÛ`

4ytÛ`=4tÝ`+tÛ` ∴y=tÛ`+;4!;

점P가원점O에한없이가까워지면t`Ú 0이므로

limt`Ú 0

y=limt`Ú 0

{tÛ`+;4!;}=;4!;

따라서원의중심Q는점{0,;4!;}에한없이가까워진다. 답 ①

0088

OPÓ="ÃtÛ`+tÝ` 이므로OPÓ=OQÓ에서Q("ÃtÛ`+tÝ`,0)

따라서직선PQ의방정식은

y-tÛ`= -tÛ`"ÃtÛ`+tÝ`-t

(x-t) yy`㉠

㉠에x=0을대입하면

y-tÛ`= -tÛ`"ÃtÛ`+tÝ`-t

´(-t)= tÛ`"Ã1+tÛ`-1

∴ f(t)= tÛ`"Ã1+tÛ`-1

+tÛ``

점P가원점O에한없이가까워지면t`Ú 0이므로

limt`Ú 0

`f(t)=limt`Ú 0

{ tÛ`"Ã1+tÛ`-1

+tÛ`}

=limt`Ú 0

[ tÛ`("Ã1+tÛ`+1)tÛ`

+tÛ`]

=limt`Ú 0

("Ã1+tÛ`+1+tÛ`)=2

답 2


직선PQ의방정식구하기 30%

f(t)구하기 30%

f(t)가한없이가까워지는값구하기 40%

0089

본문 18~21쪽꼭 나오는 문제시험에

ㄱ. f(x)=2-;[!;로놓으면

y=f(x)의그래프는오른쪽그림과

같다.

즉, limx`Ú 0+

{2-;[!;}=-¦,

limx`Ú 0-

{2-;[!;}=¦

이므로limx`Ú 0

{2-;[!;}은존재하지않는다.

ㄴ. limx`Ú 2-

x-2|x-2|

= limx`Ú 2-

x-2-(x-2)

=-1

ㄷ.limx`Ú 3

xÛ`-5x+6x-3

=limx`Ú 3

(x-2)(x-3)

x-3=lim

x`Ú 3 (x-2)=1

ㄹ. f(x)=|x|xÛ`로놓으면y=f(x)의

그래프는오른쪽그림과같으므로

limx`Ú 0

|x|xÛ`

=¦

따라서극한값이존재하는것은ㄴ,ㄷ의

2개이다. 답 ③

0090

⑤limx`Ú 3

`f(x)=3 답 ⑤0091

④-xÛ`+6x-9=-(x-3)Û`이고,x`Ú 3일때-(x-3)Û`은

0보다작은값을가지면서0에한없이가까워지므로

limx`Ú 3

[-xÛ`+6x-9]=-1

⑤0<x<1일때,-1<x-1<0이므로[x-1]=-1

∴ limx`Ú 0+

`x-1[x-1] = -1

-1 =1 yy`㉠

-1<x<0일때,-2<x-1<-1이므로[x-1]=-2

∴ limx`Ú 0-

`x-1[x-1] = -1

-2 =;2!; yy`㉡

㉠,㉡에서 limx`Ú 0+

`x-1[x-1]+ lim

x`Ú 0- `x-1[x-1]이므로

limx`Ú 0

`x-1[x-1] 은존재하지않는다.

따라서옳지않은것은④,⑤이다. 답 ④, ⑤

01. 함수의 극한 011

0092 `f(x)=

({9

x-2 (x¾2)

-x+2(1Éx<2)

-xÛ`+3`(x<1)

이므로

limx`Ú 1-

`f(x)+ limx`Ú 1+

`f(x)+limx`Ú 3

`f(x)

= limx`Ú 1-

(-xÛ`+3)+ limx`Ú 1+

(-x+2)+limx`Ú 3

(x-2)

=2+1+1=4 답 4

g(x)=t로놓으면x`Ú 1-일때t=-1이므로

limx`Ú 1-

`f(g(x))=f(-1)=0 ∴a=0

f(x)=p로놓으면x`Ú 1+일때p`Ú 1+이므로lim

x`Ú 1+ g( f(x))= lim

p`Ú 1+ g(p)=1 ∴b=1

∴a+b=1 답 1

0093

①limx`Ú a

{-2 f(x)}=-2 limx`Ú a

`f(x)=-2´3=-6

②limx`Ú a

3 f(x)g(x)=3 limx`Ú a

`f(x)´limx`Ú a

g(x)=3´3´2=18

③limx`Ú a

2 f(x)g(x)

=2 limx`Ú a

`f(x)g(x)

=2´limx`Ú a``f(x)

limx`Ú ag(x) =2´;2#;=3

④limx`Ú a

g(x)=2이므로limx`Ú a

`f(g(x))= f(2)

그런데 f(2)의값은알수없다.

⑤limx`Ú a

[3{ f(x)}Û`+2 g(x)]=3{limx`Ú a`f(x)}Û`+2 lim

x`Ú a g(x)

=3´3Û`+2´2=31

따라서옳지않은것은④이다. 답 ④

0094

3 f(x)-2 g(x)=h(x)로놓으면

g(x)=3f(x)-h(x)

2 이고limx`Ú ¦

h(x)=1

∴limx`Ú ¦

`f(x)-2 g(x)-2f(x)+g(x)

=limx`Ú¦

f(x)-2´ 3 f(x)-h(x)

2

-2 f(x)+3 f(x)-h(x)

2

=limx`Ú¦

4 f(x)-2h(x)f(x)+h(x)

=limx`Ú¦

4-2´

h(x)f(x)

1+h(x)f(x)

=4 답 4

0095

ㄱ.limx`Ú a

g(x)=a,limx`Ú a

f(x)g(x)

=b`(a,b는실수)라하고

f(x)g(x)

=h(x)로놓으면 f(x)=g(x)h(x)이므로

limx`Ú a

`f(x)=limx`Ú a

`g(x)h(x)=limx`Ú a

`g(x)´limx`Ú a

`h(x)=ab

ㄴ.[반례] f(x)=0,g(x)=[1 (x¾a)2 (x<a)

이면

limx`Ú a

`f(x)=0,limx`Ú a

f(x)g(x)

=0이지만limx`Ú a

`g(x)는존재하지

않는다.

ㄷ.limx`Ú a

{ f(x)+ g(x)}=a,limx`Ú a

{ f(x)- g(x)}=b

(a,b는실수)라하고

f(x)+ g(x)=h(x), f(x)- g(x)=k(x)로놓으면

limx`Ú a

h(x)=a,limx`Ú a

k(x)=b이다.

이때 f(x)=h(x)+k(x)

2 이므로

limx`Ú a

`f(x)=limx`Ú a

h(x)+k(x)

2 = a+b2따라서옳은것은ㄱ,ㄷ이다. 답 ③

0097

x-2=t로놓으면x`Ú 2일때t`Ú 0이므로

limx`Ú 2

`f(x-2)xÛ`-4

=limx`Ú 2

`f(x-2)

(x-2)(x+2)=lim

t`Ú 0

`f(t)t(t+4)

=limt`Ú 0

`f(t)

t ´limt`Ú 0

1t+4 =4´;4!;=1 답 ③

0096

limx`Ú 0

'Ä1+§x-'Ä1-§x

x

=limx`Ú 0

('Ä1+§x-'Ä1-§x )('Ä1+§x+'Ä1-§x )

x('Ä1+x+'Ä1-x )

=limx`Ú 0

2xx('Ä1+x+'Ä1-x )

=limx`Ú 0

2'Ä1+x+'Ä1-x

= 21+1 =1 답 1

0099

ㄱ.limx`Ú ¦

3x+1xÛ`+2x-3

=limx`Ú¦

;[#;+ 1

xÛ`

1+;[@;- 3xÛ`

=0

ㄴ. limx`Ú ¦

2xÛ`3xÛ`-1

=limx`Ú¦

2

3- 1xÛ`

=;3@;

ㄷ. limx`Ú ¦

"ÃxÛ`+½1+x

2x =limx`Ú¦

¾Ð1+ 1

xÛ`+1

2 =1

따라서옳은것은ㄴ,ㄷ이다. 답 ④

0100

limx`Ú 1

4(xÜ`-1)

(xÛ`-1) f(x)=lim

x`Ú 1 4(x-1)(xÛ`+x+1)(x+1)(x-1) f(x)

=limx`Ú 1

4(xÛ`+x+1)(x+1) f(x)

= 122 f(1)

=2

∴ f(1)=3 답 3

0098


limx`Ú 0

;[!;{ 1'¶1-x

- 2'¶4-x

}

=limx`Ú 0

{;[!;´'¶4-x-2'¶1-x'¶1-x '¶4-x

}

=limx`Ú 0

[;[!;´('¶4-x-2'¶1-x )('¶4-x+2'¶1-x )'¶1-x '¶4-x`('¶4-x+2'¶1-x )

]

=limx`Ú 0

3'¶1-x '¶4-x`('¶4-x+2'¶1-x )

= 32(2+2) =;8#; 답 ③

0102

x`Ú 3일때,(분모)Ú 0이고극한값이존재하므로

(분자)Ú 0이다.

즉,limx`Ú 3

(xÛ`-4x+a)=0이므로9-12+a=0 ∴a=3

a=3을주어진식에대입하면

limx`Ú 3

xÛ`-4x+3'¶x+1-2

=limx`Ú 3

`(x-1)(x-3)('¶x+1+2)

x-3

=limx`Ú 3

(x-1)('¶x+1+2)

=8

∴b=8

∴a+b=11 답 ⑤

0103

x`Ú 1일때,(분모)Ú 0이고극한값이존재하므로

(분자)Ú 0이다.

즉,limx`Ú 1

(a'¶x+1-b)=0이므로

a'2-b=0 ∴b=a'2

0105

x`Ú 1일때,(분자)Ú 0이고0이아닌극한값이존재

하므로(분모)Ú 0이다.

즉,limx`Ú 1

(xÛ`+ax+b)=0이므로1+a+b=0

∴b=-(a+1)

b=-(a+1)을주어진식에대입하면

limx`Ú 1

x-1xÛ`+ax-(a+1)

=limx`Ú 1

x-1(x-1)(x+a+1)

=limx`Ú 1

1x+a+1

= 1a+2

=;3!;

따라서a=1,b=-2이므로ab=-2 답 ②

0104

limx`Ú ¦

`f(x)-xÜ`

5xÛ`=2에서

f(x)-xÜ`=10xÛ`+ax+b`(a,b는상수)로놓을수있으므로

f(x)=xÜ`+10xÛ`+ax+b

limx`Ú-1

`f(x)x+1 =-8에서x`Ú -1일때,(분모)`Ú 0이고극한값

이존재하므로(분자)`Ú 0이다.즉, lim

x`Ú-1`f(x)=0이므로 f(-1)=-1+10-a+b=0

∴ b=a-9

limx`Ú-1

`f(x)x+1 = lim

x`Ú-1 xÜ`+10xÛ`+ax+a-9

x+1

= limx`Ú-1

(x+1)(xÛ`+9x+a-9)

x+1

= limx`Ú-1

(xÛ`+9x+a-9)

=1-9+a-9=-8

∴a=9,b=0

따라서 f(x)=xÜ`+10xÛ`+9x이므로

f(2)=8+40+18=66 답 66

0106

Úx>1일때,x-1>0이므로주어진부등식의각변

을x-1로나누면

xÛ -1x-1 É

`f(x)x-1É

3xÛ`-4x+1x-1

(x-1)(x+1)

x-1 É `f(x)x-1É

(x-1)(3x-1)x-1

∴x+1É `f(x)x-1É3x-1

이때 limx`Ú 1+

(x+1)=2, limx`Ú 1+

(3x-1)=2이므로

limx`Ú 1+

`f(x)x-1 =2

Ûx<1일때,x-1<0이므로주어진부등식의각변을x-1

로나누면

3xÛ`-4x+1

x-1 É `f(x)x-1É

xÛ -1x-1

∴3x-1É `f(x)x-1Éx+1

이때 limx`Ú1-

(3x-1)=2, limx`Ú 1-

(x+1)=2이므로

0107

b=a'2를주어진식에대입하면

limx`Ú 1

a'¶x+1-a'2

x-1 =limx`Ú 1

a('¶x+1-'2)

x-1

=limx`Ú 1

a('¶x+1-'2)('¶x+1+'2)

(x-1)('¶x+1+'2)

=limx`Ú 1

a'¶x+1+'2

= a2'2

='2

따라서a=4,b=4'2이므로aÛ`+bÛ`=16+32=48 답 48

limx`Ú ¦

("ÃxÛ`+3x+4-x)

=limx`Ú ¦

("ÃxÛ`+3x+4-x)("ÃxÛ`+3x+4+x)

"ÃxÛ`+3x+4+x

=limx`Ú ¦

3x+4"ÃxÛ`+3x+4+x

=limx`Ú¦

3+;[$;

¾1Ð+ 3x + Ð 4

xÛ` +1`

= 31+1 =;2#; 답 ;2#;

0101

01. 함수의 극한 013

limx`Ú 1-

`f(x)x-1 =2

Ú,Û에서limx`Ú 1

`f(x)x-1 =2 답 2

[;2{;]=;2{;-h`(0Éh<1)로놓으면

limx`Ú¦;[$; [;2{;]=lim

x`Ú¦ ;[$; {;2{;-h}

=limx`Ú¦{2- 4h

x }=2 답 2

0108

①-1<x<0일때,[x]=-1이므로

limx`Ú 0-

x[x] = lim

x`Ú 0- x-1 =0

②0<x<1일때,[x]=0이므로

limx`Ú 0+

[x]x = lim

x`Ú 0+ 0x =0

③-1<x<0일때,-2<x-1<-1이므로[x-1]=-2

∴ limx`Ú 0-

[x-1]x-1 = lim

x`Ú 0- -2x-1 =2

④0<x<1일때,1<x+1<2이므로[x+1]=1

∴ limx`Ú 0+

x+1[x+1] = lim

x`Ú 0+ x+1

1 =1

⑤-1<x<0일때,[x]=-1이므로

limx`Ú 0-

{ x[x] ´

1[x] }= lim

x`Ú 0- { x

-1 ´1

-1 }=0 답 ③

0109

OAÓ="ÃxÛ`+2x,OBÓ=x이므로

f(x)=OAÓ-OBÓ="ÃxÛ`+2x-x

∴`limx`Ú¦

`f(x)=limx`Ú¦

("ÃxÛ`+2x-x)

=limx`Ú¦

("ÃxÛ`+2x-x)("ÃxÛ`+2x+x)

"ÃxÛ`+2x+x

=limx`Ú¦

2x"ÃxÛ`+2x+x

=limx`Ú¦

2

®É1+;[@;+1=1 답 1

0110

3 f(x)-2 g(x)=h(x)로놓으면

2 g(x)=3 f(x)-h(x)이고limx`Ú¦

h(x)=3

∴limx`Ú¦

`f(x)+4 g(x)

-2 f(x)+6 g(x)

=limx`Ú¦

`f(x)+2{3 f(x)-h(x)}

-2 f(x)+3{3 f(x)-h(x)}

=limx`Ú¦

7f(x)-2h(x)7f(x)-3h(x)

=limx`Ú¦

7-2´ h(x)

f(x)

7-3´ h(x)f(x)

=1

답 1

0111

limx`Ú¦

`f(x)=limx`Ú¦

xÛ`-5x+12xÛ`-7x+1

=limx`Ú¦

1-;[%;+ 1

xÛ`

2-;[&;_ 1xÛ`

=;2!;

limx`Ú¦

g(x)=limx`Ú¦

("Ã9xÛ`-x-3x)

= limx`Ú¦

("Ã9xÛ`-x-3x)("Ã9xÛ`-x+3x)

"Ã9xÛ`-x+3x

= limx`Ú¦

-x"Ã9xÛ`-x+3x

=limx`Ú¦

-1

®É9-;[!;+3=-;6!;

∴ limx`Ú¦

`f(x)+limx`Ú¦

g(x)=;2!;+{-;6!;}=;3!;

답 ;3!;


limx`Ú ¦


limx`Ú ¦


limx`Ú ¦

`f(x)+ limx`Ú ¦


0112

aÉ0이면limx`Ú¦

{"ÃxÛ`+x+1-(ax-1)}=¦이므로

a>0이어야한다.

limx`Ú¦

{"ÃxÛ`+x+1-(ax-1)}

=limx`Ú¦

(xÛ`+x+1)-(ax-1)Û`"ÃxÛ`+x+1+(ax-1)

=limx`Ú¦

(1-aÛ`)xÛ`+(1+2a)x"ÃxÛ`+x+1+(ax-1)

yy`㉠

㉠의극한값이존재하려면

1-aÛ`=0 ∴a=1(∵a>0)

a=1을㉠에대입하면

limx`Ú¦

3x"ÃxÛ`+x+1+x-1

=limx`Ú¦

3

¾1 ¨+ 1x + 1

xÛ`+1- 1

x `

= 31+1 =;2#;

∴b=;2#;

0113


g(x)를h(x),f(x)에대한식으로나타내기 40%

limx`Ú ¦

f(x)+4g(x)-2f(x)+6g(x)

의값구하기 60%


limx`Ú 1

`f(x)+2

x-1 =2에서x`Ú 1일때,(분모)`Ú 0이고

극한값이존재하므로(분자)`Ú 0이다.

즉,limx`Ú 1

{`f(x)+2}=0이므로limx`Ú 1

`f(x)=-2

∴limx`Ú 1

{ f(x)}Û`+2 f(x)

xÛ`-1=lim

x`Ú 1 { f(x)+2}f(x)(x-1)(x+1)

=limx`Ú 1

`f(x)+2

x-1 ´limx`Ú 1

`f(x)x+1

=2´ -21+1 =-2

답 -2


limx`Ú 1


주어진식변형하기 40%

limx`Ú 1{ f(x)}Û`+2 f(x)

xÛ`-1의값구하기 10%

0114

t-1t+1 =m으로놓으면t`Ú¦일때m`Ú1-이므로

limt`Ú¦

f { t-1t+1 }= lim

m`Ú 1-`f(m)=2

4t-1t+1 =n으로놓으면t`Ú-¦일때n`Ú 4+이므로

limt`Ú-¦

f { 4t-1t+1 }= lim

n`Ú 4+ f (n)=3

∴limt`Ú¦

f { t-1t+1 }+ lim

t`Ú-¦ f { 4t-1

t+1 }=2+3=5 답 ③

0115

;[!;=t로놓으면x`Ú 0+일때t`Ú ¦이므로

limx`Ú 0+

x f {;[!;}-1

3-x =limt`Ú ¦

;t!; f(t)-1

3-;t!;=lim

t`Ú ¦ `f(t)-t3t-1 =2

이때 f(t)-t=6t+b`(b는상수)로놓을수있으므로

f(t)=7t+b ∴ f(x)=7x+b

limx`Ú 2

`f(x)

xÛ`-3x+2=a에서x`Ú 2일때,(분모)`Ú 0이고극한값이

0116

Ú n<x<n+1일때,[x]=n이므로

limx`Ú n+

[x]Û`+x

[x] = nÛ`+nn =n+1

Û n-1<x<n일때,[x]=n-1이므로

limx`Ú n-

[x]Û`+x

[x] =(n-1)Û`+n

n-1 = nÛ`-n+1n-1

극한값이존재하므로n+1= nÛ`-n+1n-1

nÛ`-1=nÛ`-n+1 ∴n=2

이때k=n+1=3

∴n+k=5 답 5

0117

점P의좌표가(a,a)이므로Q('§a,a),R(a,aÛ`)

Ú0<a<1일때,PQÓ='§a-a,PRÓ=a-aÛ``

∴ lima`Ú 1-

PRÓPQÓ

= lima`Ú 1-

a-aÛ`'§a-a

= lima`Ú 1-

(a-aÛ`)('§a+a)('§a-a)('§a+a)

= lima`Ú 1-

('§a+a)=2

Ûa>1일때,PQÓ=a-'§a,PRÓ=aÛ`-a

∴ lima`Ú 1+

PRÓPQÓ

= lima`Ú 1+

aÛ`-aa-'§a

= lima`Ú 1+

(aÛ`-a)(a+'§a )(a-'§a )(a+'§a )

= lima`Ú 1+

(a+'§a )=2

Ú,Û에서lima`Ú 1

PRÓPQÓ

=2 답 2

0118

∴a+b=1+;2#;=;2%;

답 ;2%;





존재하므로(분자)`Ú 0이다.

즉,limx`Ú 2

`f(x)=limx`Ú 2

(7x+b)=0이므로

14+b=0 ∴b=-14

따라서 f(x)=7x-14이므로

a=limx`Ú 2

`7x-14xÛ`-3x+2

=limx`Ú 2

7(x-2)

(x-2)(x-1)

=limx`Ú 2

7x-1 =7

∴ f(a)=f(7)=7´7-14=35 답 35

02. 함수의 연속 015

함수의 연속02Ⅰ. 함수의 극한과 연속


함수 f(x)가x=0에서정의되어있지않으므로불연속

이다. 답 풀이 참조

0119

limx`Ú 0+

`f(x)=2, limx`Ú 0-

`f(x)=1이므로

limx`Ú 0+

`f(x)+ limx`Ú 0-

`f(x)

따라서극한값limx`Ú 0

`f(x)가존재하지않으므로불연속이다.

답 풀이 참조

0120

함수 f(x)가x=0에서정의되어있지않고,극한값

limx`Ú 0

`f(x)도존재하지않으므로불연속이다. 답 풀이 참조

0122

f(1)=2,limx`Ú 1

`f(x)=2이고limx`Ú 1

`f(x)=f(1)이므로

함수 f(x)는x=1에서연속이다. 답 연속

0123

f(0)=2,limx`Ú 0

`f(x)=1이므로 limx`Ú 0

`f(x)+f(0)

따라서 f(x)는x=0에서불연속이다. 답 풀이 참조

0121

f(1)=1,

limx`Ú 1

`f(x)=limx`Ú 1

xÛ`-xx-1 =lim

x`Ú 1 x(x-1)x-1 =lim

x`Ú 1 x=1

이고limx`Ú 1

`f(x)=f(1)이므로함수 f(x)는x=1에서연속이다.

답 연속

0126

f(1)=0,limx`Ú 1

`f(x)=0이고limx`Ú 1

`f(x)=f(1)이므로

함수 f(x)는x=1에서연속이다. 답 연속

0124

함수 f(x)가x=1에서정의되어있지않으므로

함수 f(x)는x=1에서불연속이다. 답 불연속

0125

함수 f(x)= 1x+1의정의역은x+1+0,즉x+-1

인x의값들의집합이므로열린구간(-¦,-1),(-1,¦)이

다. 답 (-¦, -1), (-1, ¦)

0135

함수 f(x)=x+3은모든실수,즉열린구간

(-¦,¦)에서연속이다. 답 (-¦, ¦)0136

함수 f(x)='Äx-1은x-1¾æ0일때,즉반닫힌구간

[1,¦)에서연속이다. 답 [1, ¦)0137

함수 f(x)=2는모든실수,즉열린구간(-¦,¦)에

서연속이다. 답 (-¦, ¦)0138

함수 f(x)=xÛ`+2x의정의역은실수전체의집합이므

로열린구간(-¦,¦)이다. 답 (-¦, ¦)0133

함수 f(x)=;[!;은x+0인모든실수,즉열린구간

(-¦,0),(0,¦)에서연속이다. 답 (-¦, 0), (0, ¦)

0139

함수y=xÛ`-2x는다항함수이므로열린구간

(-¦,¦)에서연속이다. 답 (-¦, ¦)0140

함수y=(x+1)(xÛ`+x-2)는다항함수이므로열린구

간(-¦,¦)에서연속이다. 답 (-¦, ¦)0141

함수y= x+1xÛ`-3x+2

= x+1(x-1)(x-2)

은유리함수이

므로x+1,x+2인모든실수,즉열린구간(-¦,1),(1,2),

(2,¦)에서연속이다. 답 (-¦, 1), (1, 2), (2, ¦)

0143

함수y= x-2x-3는유리함수이므로x+3인모든실수,

즉열린구간(-¦,3),(3,¦)에서연속이다.

답 (-¦, 3), (3, ¦)

0142

⑴ f(x)+g(x)=(x-2)+(xÛ`+4x-5)

=xÛ`+5x-7

즉,함수 f(x)+g(x)는다항함수이므로열린구간(-¦,¦)에서연속이다.

⑵f(x)g(x)=(x-2)(xÛ`+4x-5)=xÜ`+2xÛ`-13x+10

즉,함수 f(x)g(x)는다항함수이므로열린구간(-¦,¦)

에서연속이다.

⑶f(x)g(x)

= x-2xÛ`+4x-5

= x-2(x+5)(x-1)

는유리함수이므로

x+-5,x+1인모든실수,즉열린구간(-¦,-5),

(-5,1),(1,¦)에서연속이다.

0144

답 [-2, 3] 답 (1, 5)0127 0128

답 [-3, 4) 답 (-7, 2]0129 0130

답 (-¦, 4) 답 [3, ¦)0131 0132

함수 f(x)='Ä3-x의정의역은3-x¾æ0,즉xÉ3인

x의값들의집합이므로반닫힌구간(-¦,3]이다.

답 (-¦, 3]

0134


⑷g(x)f(x)

= xÛ`+4x-5x-2 =

(x+5)(x-1)x-2 은유리함수이므로

x+2인모든실수,즉열린구간(-¦,2),(2,¦)에서연

속이다.

답 ⑴ (-¦, ¦) ⑵ (-¦, ¦)

⑶ (-¦, -5), (-5, 1), (1, ¦) ⑷ (-¦, 2), (2, ¦)

f(a)=4a이고

limx`Ú a+

`f(x)= limx`Ú a+

4x=4a,

limx`Ú a-

`f(x)= limx`Ú a-

(xÛ`-5)=aÛ`-5

함수 f(x)가x=a에서연속이려면limx`Ú a

`f(x)가존재하고

0154

답 ㈎ 연속 ㈏ 사잇값 0148

답 ㈎ 연속 ㈏ 0 ㈐ (0, 1)0149

f(x)=xÝ`+xÜ`-9x+1이라하면함수 f(x)는닫힌구

간[1,2]에서연속이고 f(1)=-6<0, f(2)=7>0이므로

사잇값의정리에의하여 f(c)=0인c가열린구간(1,2)에적

어도하나존재한다.따라서방정식xÝ`+xÜ`-9x+1=0은열린

구간(1,2)에서적어도하나의실근을갖는다. 답 풀이 참조

0151

①,②,③ f(0)이정의되어있지않으므로함수 f(x)

는x=0에서불연속이다.

④f(0)=2이고

limx`Ú 0

`f(x)= limx`Ú 0+

(xÛ`+2)= limx`Ú 0-

(-x+2)=2

즉,limx`Ú 0

`f(x)=f(0)이므로함수 f(x)는x=0에서연속이다.

⑤ limx`Ú 0+

`f(x)= limx`Ú 0+

|5x|x = lim

x`Ú 0+ 5xx =5

limx`Ú 0-

`f(x)= limx`Ú 0-

|5x|x = lim

x`Ú 0- -5x

x =-5

∴ limx`Ú 0+

`f(x)+ limx`Ú 0-

`f(x)

즉,극한값limx`Ú 0

`f(x)가존재하지않으므로함수 f(x)는

x=0에서불연속이다.

따라서x=0에서연속인함수는④이다. 답 ④

0153

f(x)=xÜ`-xÛ`-2라하면함수 f(x)는닫힌구간

[1,2]에서연속이고 f(1)=-2<0, f(2)=2>0이므로사잇

값의정리에의하여 f(c)=0인c가열린구간(1,2)에적어도

하나존재한다.따라서방정식xÜ`-xÛ -2=0은열린구간(1,2)

에서적어도하나의실근을갖는다. 답 풀이 참조

0150

함수 f(x)=xÛ`+2x-1은닫힌

구간[-2,0]에서연속이고이구간에서

함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림과

같다.

따라서함수 f(x)는x=-2,x=0에서

최댓값-1,x=-1에서최솟값-2를갖는다.

답 최댓값: -1, 최솟값: -2

0145

함수 f(x)= 2x-1는닫힌구간

[2,4]에서연속이고이구간에서함수


따라서함수 f(x)는x=2에서최댓값2,

x=4에서최솟값;3@;를갖는다. 답 최댓값: 2, 최솟값: ;3@;

0146

함수 f(x)=1-'Äx+1은닫힌

구간[3,8]에서연속이고이구간에서

함수y=f(x)의그래프는오른쪽그림

과같다.따라서함수 f(x)는x=3에서

최댓값-1,x=8에서최솟값-2를갖는다.

답 최댓값: -1, 최솟값: -2

0147


ㄱ.x+1일때, f(x)=(x-1)(x+1)

x-1 =x+1

함수 f(x)가모든실수x에서연속이려면x=1에서연속이

어야한다.

이때 f(1)=2이고,limx`Ú 1

`f(x)=limx`Ú 1

(x+1)=2

즉,limx`Ú 1

`f(x)=f(1)이므로함수 f(x)는x=1에서연속이

다.따라서함수 f(x)는모든실수x에서연속이다.

ㄴ. limx`Ú 0+

`f(x)= limx`Ú 0+

`;[{;=1, limx`Ú 0-

`f(x)= limx`Ú 0-

x-x=-1

∴ limx`Ú 0+

`f(x)+ limx`Ú 0-

`f(x)




ㄷ.f(1), f(-1)이정의되어있지않으므로함수 f(x)는

x=1,x=-1에서불연속이다.

ㄹ.함수 f(x)가모든실수x에서연속이려면x=0에서연속이

어야한다.

이때 f(0)=0이고,

limx`Ú 0+

`f(x)= limx`Ú 0-

`f(x)=0이므로limx`Ú 0

`f(x)=0

∴limx`Ú 0

`f(x)=f(0)

즉,함수 f(x)는x=0에서연속이므로 f(x)는모든실수x

에서연속이다.

따라서모든실수x에서연속인함수는ㄱ,ㄹ이다. 답 ㄱ, ㄹ

0152

02. 함수의 연속 017

ㄱ. limx`Ú 0+

`f(x)g(x)=0´0=0

limx`Ú 0-

`f(x)g(x)=0´0=0

∴limx`Ú 0

`f(x)g(x)=0

이때 f(0)g(0)=1´0=0이므로

limx`Ú 0

`f(x)g(x)=f(0)g(0)

즉,함수 f(x)g(x)는x=0에서연속이다.

ㄴ. limx`Ú 0+

`f( g(x))=f(0)=1

limx`Ú 0-

`f( g(x))=f(0)=1

∴limx`Ú 0

`f( g(x))=1

이때 f( g(0))=f(0)=1이므로limx`Ú 0

`f( g(x))=f( g(0))

즉,함수 f( g(x))는x=0에서연속이다.

ㄷ. limx`Ú 0+

`g(`f(x))= limf(x)`Ú 0-

`g(`f(x))=0

limx`Ú 0-

`g(`f(x))= limf(x)`Ú 0+

`g(`f(x))=0

∴limx`Ú 0

`g(`f(x))=0

이때g(`f(0))=g(1)=0이므로limx`Ú 0

`g(`f(x))=g(`f(0))

즉,함수g( f(x))는x=0에서연속이다.

따라서x=0에서연속인함수는ㄱ,ㄴ,ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ

0159

limx`Ú a

`f(x)=f(a)이어야하므로

4a=aÛ`-5,aÛ`-4a-5=0

(a+1)(a-5)=0 ∴a=-1또는a=5

따라서모든실수a의값의합은

-1+5=4

답 4


연속이되도록하는조건알기 40%


모든실수a의값의합구하기 10%

ㄱ. limx`Ú 3+

`f(x)=0, limx`Ú 3-

`f(x)=0

∴limx`Ú 3

`f(x)=0

ㄴ. limx`Ú 1+

`f(x)=2, limx`Ú 1-

`f(x)=1

∴ limx`Ú 1+

`f(x)+ limx`Ú 1-

`f(x)


`f(x)가존재하지않는다.

ㄷ.함수y=f(x)의그래프가x=1,x=2,x=3에서끊어져

있으므로x=1,x=2,x=3에서불연속이다.

즉,함수 f(x)가불연속인x의값의개수는3이다.

따라서옳은것은ㄴ,ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ

0155

함수 f(x)는x=0에서불연속이고주어진함수g(x)는모든실수x에서연속이므로합성함수g(`f(x))가닫힌구간

[-2,2]에서연속이려면x=0에서연속이어야한다.

ㄱ. limx`Ú 0+

`g(`f(x))=`g(-1)=1

limx`Ú 0-

`g(`f(x))=`g(1)=1

∴limx`Ú 0

`g(`f(x))=1


`g(`f(x))+g(`f(0))

즉,함수g(`f(x))는x=0에서불연속이다.

ㄴ. limx`Ú 0+

`g(`f(x))=`g(-1)=-1

limx`Ú 0-

`g(`f(x))=`g(1)=-1

∴limx`Ú 0

`g(`f(x))=-1

이때g(`f(0))=g(0)=-1이므로

limx`Ú 0

`g(`f(x))=g(`f(0))

즉,함수g(`f(x))는x=0에서연속이다.

ㄷ. limx`Ú 0+

`g(`f(x))=`g(-1)=0

limx`Ú 0-

`g(`f(x))=g(1)=0

∴limx`Ú 0

`g(`f(x))=0


`g(`f(x))+g(`f(0))

즉,함수g(`f(x))는x=0에서불연속이다.

따라서함수g(`f(x))가닫힌구간 [-2,2]에서연속인것은

ㄴ뿐이다. 답 ②

0158

limx`Ú 1+

`f(x)=1, limx`Ú 1-

`f(x)=4이므로

limx`Ú 1+

`f(x)+ limx`Ú 1-

`f(x)


`f(x)가존재하지않는다. ∴a=1

함수y=f(x)의그래프가x=1,x=2에서끊어져있으므로

x=1,x=2에서불연속이다. ∴b=2

∴a+b=1+2=3 답 ②

0156

ㄱ. f(0)=-2이고

limx`Ú 0+

`f(x)= limx`Ú 0-

`f(x)=-1이므로limx`Ú 0

`f(x)=-1

즉,limx`Ú 0

`f(x)+f(0)이므로함수 f(x)는x=0에서불연속

이다.

ㄴ. limx`Ú -1+

`f(x)=-1, limx`Ú -1-

`f(x)=1

∴ limx`Ú -1+

`f(x)+ limx`Ú -1-

`f(x)

따라서극한값 limx`Ú -1

`f(x)는존재하지않는다.

ㄷ.함수y=f(x)의그래프가x=-1,x=0,x=1에서끊어

져있으므로x=-1,x=0,x=1에서불연속이다.

즉,함수 f(x)가불연속인x의값의개수는3이다.

따라서옳은것은ㄷ뿐이다. 답 ㄷ

0157


f(x)= 1

x+ 1x-2

= 1xÛ -2x+1

x-2

= x-2xÛ`-2x+1

= x-2(x-1)Û`

따라서함수 f(x)는x-2=0,(x-1)Û`=0인x의값에서정의

되어있지않으므로불연속이되도록하는x의값은1,2의2개

이다. 답 2

0160

함수 f(x)가x=2에서연속이므로limx`Ú 2

`f(x)=f(2)

∴limx`Ú 2

xÛ`+ax-4x-2 =b yy`㉠

x Ú 2일때,(분모) Ú 0이고극한값이존재하므로(분자) Ú 0

이다.

즉,limx`Ú 2

(xÛ`+ax-4)=0이므로

4+2a-4=0 ∴a=0


limx`Ú 2

xÛ`-4x-2 =lim

x`Ú 2 (x+2)(x-2)

x-2 =limx`Ú 2

(x+2)=4=b

∴a+b=0+4=4 답 ④

0165

f( g(x))=f(3xÛ`)이므로

f( g(x))=3xÛ`-1|3xÛ`-1|

(3xÛ`+1)

0 (3xÛ`=1)à

=

1 (3xÛ`-1>0)

0 (3xÛ`-1=0)

-1 (3xÛ`-1<0)

(Ò9

즉,함수 f( g(x))는3xÛ`-1=0인x의값에서불연속이므로

3xÛ`=1 ∴x=Ñ '33따라서구하는모든x의값의곱은'33 ´{-

'33 }=-;3!; 답 -;3!;

0161

함수 f(x)가모든실수x에서연속이므로x=-1,

x=4에서도연속이다.

함수 f(x)가x=-1에서연속이므로

limx`Ú -1+

`f(x)= limx`Ú -1-

`f(x)=f(-1)

limx`Ú -1+

(xÛ`-2x+b)= limx`Ú -1-

(ax+1)

1+2+b=-a+1 ∴a+b=-2 yy`㉠

함수 f(x)가x=4에서연속이므로

limx`Ú 4+

`f(x)= limx`Ú 4-

`f(x)=f(4)

limx`Ú 4+

(ax+1)= limx`Ú 4-

(xÛ`-2x+b)

4a+1=16-8+b ∴4a-b=7 yy`㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=1,b=-3

∴a-b=1-(-3)=4 답 ④

0166

함수 f(x)가모든실수x에서연속이므로x=1에서도

연속이다.

따라서limx`Ú 1

`f(x)=f(1)이므로

limx`Ú 1

xÛ`+ax-3x-1 =b yy`㉠

x Ú 1일때,(분모) Ú 0이고극한값이존재하므로(분자) Ú 0

이다.

즉,limx`Ú 1

(xÛ`+ax-3)=0이므로

1+a-3=0 ∴a=2

a=2를㉠에대입하면

limx`Ú 1

xÛ`+2x-3x-1 =lim

x`Ú 1 (x-1)(x+3)

x-1 =limx`Ú 1

(x+3)=4=b

∴a+b=2+4=6 답 6

0162

함수 f(x)= x+1xÛ`-2ax+3

이모든실수x에서연속이

려면xÛ`-2ax+3=0이실근을갖지않아야하므로

이이차방정식의판별식을D라 하면

D4=aÛ`-3<0 ∴-'3<a<'3

따라서정수a는-1,0,1의3개이다. 답 3

0163

f(x)=ax+2 (|x|¾3)

xÛ`+x-b (|x|<3)à

=

ax+2 (x¾3)

xÛ`+x-b (-3<x<3)

ax+2 (xÉ-3)

(Ò9

함수 f(x)가모든실수x에서연속이므로x=-3,x=3에서도

연속이다.


limx`Ú -3+

`f(x)= limx`Ú -3-

`f(x)=f(-3)

limx`Ú -3+

(xÛ`+x-b)= limx`Ú -3-

(ax+2)

6-b=-3a+2 ∴3a-b=-4 yy`㉠

함수 f(x)가 x=3에서연속이므로

limx`Ú 3+

`f(x)= limx`Ú 3-

`f(x)=f(3)

0167

f(0)=-4이므로-b=-4 ∴b=4

함수 f(x)가모든실수x에서연속이므로x=1,x=-2에서도

연속이다.

x=1에서연속이므로

limx`Ú 1+

`f(x)= limx`Ú 1-

`f(x)=f(1)

0164

a-5=1-b ∴a=2

x=-2에서연속이므로

limx`Ú -2+

`f(x)= limx`Ú -2-

`f(x)=f(-2)

4-b=-6+c ∴c=6

∴abc=2´4´6=48 답 48

02. 함수의 연속 019


limx`Ú -1+

`f(x)= limx`Ú -1-

`f(x)=f(-1)

limx`Ú -1+

`f(x)=1+(-a+2)´(-1)=a-1

limx`Ú -1-

`f(x)=4+(-a+2)´(-2)=2a

f(-1)=1+(-a+2)´(-1)=a-1

이므로a-1=2a ∴a=-1 답 -1

0171

x+2일때,

f(x)= xÛ`+2x-8x-2 =

(x-2)(x+4)x-2 =x+4


f(2)=limx`Ú 2

`f(x)=limx`Ú 2

(x+4)=6 답 6

0174

limx`Ú 3+

(ax+2)= limx`Ú 3-

(xÛ`+x-b)

3a+2=12-b ∴3a+b=10 yy`㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=1,b=7

∴a+b=1+7=8 답 8


limx`Ú 1+

`f(x)= limx`Ú 1-

`f(x)=f(1)

∴ limx`Ú 1+

a'Äx+1-b

x-1 =1 yy`㉠

x Ú`1+일때,(분모) Ú`0이고극한값이존재하므로

(분자) Ú`0이다.

즉, limx`Ú 1+

(a'Äx+1-b)=0이므로

a'2-b=0 ∴b=a'2

b=a'2를㉠에대입하면

limx`Ú 1+

a'Äx+1-a'2

x-1

= limx`Ú 1+

a('Äx+1-'2`)('Äx+1+'2`)

(x-1)('Äx+1+'2`)

= limx`Ú 1+

a'Äx+1+'2=

a2'2=1

따라서a=2'2,b=4이므로

ab=8'2

답 8'2


함수f(x)가x=1에서연속일조건구하기 20%

a,b의관계식구하기 30%

ab의값구하기 50%

0168

함수 f(x)가x=n에서연속이므로

limx`Ú n+

`f(x)= limx`Ú n-

`f(x)=f(n)

limx`Ú n+

`f(x)= limx`Ú n+

([x]Û`-3[x]+4)=nÛ`-3n+4

limx`Ú n-

`f(x)= limx`Ú n-

([x]Û`-3[x]+4)

=(n-1)Û`-3(n-1)+4=nÛ`-5n+8

f(n)=nÛ`-3n+4

이므로nÛ`-3n+4=nÛ`-5n+8

2n=4 ∴n=2 답 ②

0170


연속이다.

따라서 limx`Ú 2+

`f(x)= limx`Ú 2-

`f(x)=f(2)이므로

limx`Ú 2-

"ÃxÛ`+4+bx

x-2 =a yy`㉠

x Ú`2-일때,(분모) Ú`0이고극한값이존재하므로


즉, limx`Ú 2-

("ÃxÛ`+4+bx)=0이므로

2'2+2b=0 ∴b=-'2b=-'2를㉠에대입하면

limx`Ú 2-

"ÃxÛ`+4-'2x

x-2 = limx`Ú 2-

-(x-2)(x+2)

(x-2)("ÃxÛ`+4+'2x)

=-4

4'2=-

1'2

=a

∴ab={- 1'2}´(-'2)=1 답 ③

0169

g(x)=xÛ`-4x+1

(0<x<5)로놓으면

g(x)=(x-2)Û`-3이므로함수

y=g(x)의그래프는오른쪽그림과같다.

g(x)=-2,-1,0,y,5를만족시

키는x에서 f(x)가불연속이다.

이때g(x)=-2,-1,0을만족시키

는x의값은각각2개씩존재하고g(x)=1,2,3,4,5를만족시

키는x의값은1개씩존재하므로열린구간(0,5)에서불연속이

되는x의값의개수는11이다. 답 ④

0172

x+1일때, f(x)= xÛ`-4x+ax-1


f(1)=limx`Ú 1

`f(x)=limx`Ú 1

xÛ`-4x+ax-1

x Ú`1일때,(분모) Ú`0이고극한값이존재하므로


즉,limx`Ú 1

(xÛ`-4x+a)=0이므로

-3+a=0 ∴a=3

∴ f(1)=limx`Ú 1

xÛ`-4x+3x-1 =lim

x`Ú 1 (x-1)(x-3)

x-1

=limx`Ú 1

(x-3)=-2 답 ①

0173


두함수 f(x),g(x)가x=a에서연속이므로

limx`Ú a

`f(x)=f(a),limx`Ú a

`g(x)=g(a)

①limx`Ú a

{2 f(x)-g(x)}=2f(a)-g(a)이므로

함수2 f(x)-g(x)는x=a에서연속이다.

②limx`Ú a

`f(x)g(x)=f(a)g(a)이므로함수 f(x)g(x)는x=a

에서연속이다.

③[반례] f(a)=g(a)이면 f(a)f(a)-g(a)

가x=a에서정의되어

있지않으므로함수f(x)

f(x)-g(x) 는x=a에서불연속이다.

④limx`Ú a

{`f(x)}Û ={`f(a)}Û 이므로함수{`f(x)}Û은x=a에서연속

이다.

⑤함수g(f(x))가x=a에서연속이려면

limx`Ú a

`g(f(x))=g(f(a))이어야하므로함수g(x)가

x=f(a)에서연속이라는조건이더필요하다.

따라서x=a에서항상연속인함수가아닌것은③,⑤이다.

답 ③, ⑤

0178

x+1일때, f(x)= axÛ`+bxx-1


f(1)=limx`Ú 1

`f(x)

∴limx`Ú 1

axÛ`+bxx-1 =2 yy`㉠

x Ú`1일때,(분모) Ú`0이고극한값이존재하므로(분자) Ú`0이다.즉,lim

x`Ú 1(axÛ`+bx)=0이므로

a+b=0 ∴b=-a

b=-a를㉠에대입하면

limx`Ú 1

axÛ`-axx-1 =lim

x`Ú 1 ax(x-1)

x-1 =limx`Ú 1

ax=a

∴a=2,b=-2

∴ab=-4

답 -4


x=1에서연속임을이용하기 30%


a,b의값구하기 30%


0176

① f(x)-3g(x)=-3xÛ`-8x-20이므로

함수 f(x)-3g(x)는모든실수x에서연속이다.②g(f(x))=g(x-5)=(x-5)Û`+3(x-5)+5

=xÛ`-7x+15

이므로함수g(`f(x))는모든실수x에서연속이다.

③f(x)g(x)

= x-5xÛ`+3x+5

에서

xÛ`+3x+5={x+;2#;}Û`+:Á4Á:>0

이므로함수f(x)g(x)

는모든실수x에서연속이다.

0177

ㄱ.h(x)=f(x)+g(x)로놓으면 g(x)=h(x)-f(x)

이때 f(x)와h(x)가모든실수x에서연속이므로g(x)도모든실수x에서연속이다.

ㄴ.[반례] f(x)=1 (x>1)

-1 (xÉ1)à ,g(x)=|x|이면

함수g(`f(x))는x=1에서연속이지만 f(x)는x=1에서

불연속이다.

ㄷ.[반례] f(x)= 1x+2 ,g(x)=-;[@;이면

두함수 f(x),g(x)는모두x=1에서연속이지만

함수 f( g(x))= x2(x-1)

는x=1에서정의되어있지않

으므로x=1에서불연속이다.

따라서옳은것은ㄱ뿐이다. 답 ①

0179

①함수y=f(x)의그래프가x=0,x=1에서끊어져

있으므로불연속이되는x의값은0,1의2개이다.

②함수 f(x)는닫힌구간[-1,2]에서최솟값을갖지않는다.

④ limx`Ú 1+

`f(x)=1, limx`Ú 1-

`f(x)=3이므로극한값limx`Ú 1

`f(x)는

존재하지않는다.

0180

④g(x)f(x)

= xÛ`+3x+5x-5 는x=5에서정의되어있지않으므로


⑤f(x)g(x)=(x-5)(xÛ`+3x+5)=xÜ`-2xÛ`-10x-25

이므로함수 f(x)g(x)는모든실수x에서연속이다.따라서모든실수x에서연속인함수가아닌것은④이다. 답 ④

x+4일때, f(x)=x'§x-8'§x-2


f(4)=limx`Ú 4

`f(x)=limx`Ú 4

x'§x-8'§x-2

=limx`Ú 4

('§x)Ü`-2Ü`'§x-2

=limx`Ú 4

('§x-2)(x+2'§x+4)

'§x-2

=limx`Ú 4

(x+2'x+4)

=4+4+4=12 답 ③

0175

02. 함수의 연속 021

⑤열린구간(0,3)에서x=1일때최댓값3을갖는다.

따라서옳지않은것은②이다. 답 ②

g(x)=f(x)-1로놓으면함수 f(x)가연속함수이므

로함수g(x)도연속함수이다.

방정식 f(x)=1,즉g(x)=0이열린구간(1,3)에서실근을가

지려면사잇값의정리에의하여g(1)g(3)<0이어야한다.이때

g(1)=f(1)-1=k-1,

g(3)=f(3)-1=(k-5)-1=k-6

이므로(k-1)(k-6)<0 ∴1<k<6

따라서정수k는2,3,4,5의4개이다.

답 4


g(x)=f(x)-1로놓고함수g(x)가연속함수임을알기 20%

사잇값의정리를이용하여k의값의범위구하기 60%

정수k의개수구하기 20%

0186

f(x)= 2x+1x-1 = 3

x-1+2

이므로닫힌구간[2,4]에서함수


따라서함수 f(x)는x=2에서최댓값5,

x=4에서최솟값3을갖는다.

답 최댓값: 5, 최솟값: 3

0181

ㄱ.함수 f(x)g(x)는닫힌구간[a,b]에서연속이므 로반드시최댓값과최솟값을갖는다.

ㄴ.[반례] 두함수 f(x)=x,g(x)=xÛ은닫힌구간[-1,1]에

서모두연속이지만f(x)g(x)

= xxÛ`는닫힌구간 [-1,1]에서

최댓값과최솟값을갖지않는다.

ㄷ.[반례] 두함수 f(x)=;[!;,g(x)=x-2는닫힌구간

[1,3]에서모두연속이지만 f( g(x))= 1x-2 은닫힌구간

[1,3]에서최댓값과최솟값을갖지않는다.

따라서반드시최댓값과최솟값을갖는함수는ㄱ뿐이다.

답 ①

0182

f(x)=2xÜ`-xÛ`-x-1로놓으면함수 f(x)는모든실

수x에서연속이다.

f(-1)=-3<0, f(0)=-1<0, f(1)=-1<0,

f(2)=9>0, f(3)=41>0, f(4)=107>0

따라서 f(1)f(2)<0이므로사잇값의정리에의하여주어진방

정식의실근이존재하는구간은(1,2)이다. 답 ③

0183

f(-2)f(-1)<0, f(2)f(3)<0이므로방정식

f(x)=0은열린구간(-2,-1),(2,3)에서각각적어도하나

의실근을갖는다.

또, f(1)=0이므로방정식 f(x)=0은열린구간(-2,3)에서

적어도3개의실근을갖는다. 답 3개

0184

ㄱ. f(x)=xÜ`+x-5로놓으면함수 f(x)는닫힌구간

[1,2]에서연속이고 f(1)=-3<0, f(2)=5>0이므로

사잇값의정리에의하여방정식 f(x)=0은열린구간(1,2)

에서적어도하나의실근을갖는다.

ㄴ.f(x)=xÜ`-2x-3으로놓으면함수 f(x)는닫힌구간

[1,2]에서연속이고 f(1)=-4<0, f(2)=1>0이므로



0185

ㄷ.f(x)=xÝ`+xÜ`-9x+1로놓으면함수 f(x)는닫힌구간

[1,2]에서연속이고 f(1)=-6<0, f(2)=7>0이므로



따라서열린구간(1,2)에서적어도하나의실근을갖는것은

ㄱ,ㄴ,ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ

속력이연속하여변하므로속력이83`km/h에서

98`km/h로변하는11`:`30과12`:`00사이에속력이95`km/h

인순간이적어도한번존재한다.마찬가지로12`:`00와12`:`30

사이에속력이95`km/h인순간이적어도한번존재한다.

따라서k의최솟값은2이다. 답 ②

0187

몸무게는연속하여변하므로사잇값의정리에의하여

②몸무게가67`kg인때가적어도한번있었다. 답 ②

0188

본문 32쪽유형

함수g(`f(x))가실수전체의집합에서연속이므로x=1에서도연속이다.

∴ limx`Ú 1+

`g(`f(x))= limx`Ú 1-

`g(`f(x))=g(`f(1))

g(`f(x))=g(3-x) (x¾1)

g(x+2) (x<1)à 이므로

limx`Ú 1+

`g(`f(x))= limx`Ú 1+

`g(3-x)=g(2)=4+2a

limx`Ú 1-

`g(`f(x))= limx`Ú 1-

`g(x+2)=g(3)=9+3a

즉,4+2a=9+3a ∴a=-5 답 ①

0189


㈎에서x=1일때, f(3)=f(5)이고

x=4일때, f(0)=f(8)

이때㈏에서 f(0)과 f(3)의부호가서로다르고㈐에서 f(4)와

0193

f(5)의부호가서로다르므로 f(0), f(4), f(8)의부호는서로

같고이는 f(3), f(5)의부호와다르다.

따라서방정식 f(x)=0의실근이존재하는구간은열린구간

(0,3),(3,4),(4,5),(5,8)이므로적어도4개의실근을갖

는다.

∴k=4 답 4

함수 f(x)+g(x)가x=1에서연속이므로

limx`Ú 1+

{`f(x)+g(x)}= limx`Ú 1-

{`f(x)+g(x)}=f(1)+g(1)

limx`Ú 1+

{`f(x)+g(x)}= limx`Ú 1+

{(xÛ`+1)+(x+k)}=3+k

limx`Ú 1-

{`f(x)+g(x)}= limx`Ú 1-

{(x-1)+(xÛ`+2)}=3

이므로3+k=3 ∴k=0

∴g(5)=5+0=5 답 5

0190

함수 f(x)가실수전체의집합에서연속이면x=3에서

도연속이므로 limx`Ú 3+

`f(x)= limx`Ú 3-

`f(x)=f(3)

즉, limx`Ú 3+

(3x-6)= limx`Ú 3-

(xÛ`+ax+b)이므로

3=9+3a+b ∴3a+b=-6 yy`㉠

이때 f(x)=f(x+5)이므로 f(0)=f(5)

∴b=15-6=9

b=9를㉠에대입하면3a+9=-6 ∴a=-5

따라서 f(x)=3x-6 (3ÉxÉ5)

xÛ`-5x+9 (0Éx<3)à 이므로

f(16)=f(11)=f(6)=f(1)=1-5+9=5 답 5

0191

㈎에서 limx`Ú -1

(x+1)=0이고극한값이존재하므로

limx`Ú -1

`f(x)=0 ∴ f(-1)=0

㈏에서limx`Ú 2(x-2)=0이고극한값이존재하므로

limx`Ú 2

`f(x)=0 ∴ f(2)=0

이때 f(x)=(x+1)(x-2)g(x)( g(x)는다항함수)로놓으

면g(x)는모든실수x에서연속이고

limx`Ú -1

f(x)x+1= lim

x`Ú -1 (x+1)(x-2)g(x)

x+1

= limx`Ú -1

{(x-2)g(x)}=-3g(-1)=a

∴g(-1)=-;3A;

limx`Ú 2

f(x)x-2=lim

x`Ú 2 (x+1)(x-2)g(x)

x-2

=limx`Ú 2

{(x+1)g(x)}=3g(2)=b

∴g(2)=;3B;

∴g(-1)g(2)={-;3A;}´;3B;=- ab9 <0(∵ab>0)

이때사잇값의정리에의하여방정식g(x)=0은열린구간

(-1,2)에서적어도하나의실근을갖는다.

따라서방정식 f(x)=0은두실근-1,2를갖고,열린구간

(-1,2)에서적어도하나의실근을가지므로닫힌구간 [-1,2]

에서최소3개의실근을갖는다. 답 ③

0192

f(3)=a, f(1)=b라하자.

ㄱ.f(`f(2))=f(3)=a

따라서 f(`f(2))의값은존재한다.

ㄴ.x Ú`2+일때 f(x) Ú`3+이고,x Ú`2-일때 f(x) Ú`1-이므로 f(x)=t라하면

limx`Ú 2+

`f(`f(x))= limt`Ú 3+

`f(t)=a

0196

답 ④0194


① f(x)='Äx+1은정의역[-1,¦)에서연속이다.

②f(x)=2xÛ`-4x+3은다항함수이므로모든실수x에서연속

이다.

③f(x)= x+3xÛ`-x-2

= x+3(x+1)(x-2)

은x=-1,x=2에서

정의되어있지않으므로x=-1,x=2에서불연속이다.

④f(x)가모든실수x에서연속이려면x=0에서연속이어야

한다.

이때 f(0)=0이고,

limx`Ú 0+

`f(x)= limx`Ú 0+

xÜ`|x|

= limx`Ú 0+

xÜ`x = limx`Ú 0+

xÛ`=0

limx`Ú 0-

`f(x)= limx`Ú 0-

xÜ`|x|

= limx`Ú 0-

xÜ`-x= limx`Ú 0-

(-xÛ`)=0

이므로limx`Ú 0

`f(x)=0 ∴limx`Ú 0

`f(x)=f(0)

따라서함수 f(x)는x=0에서연속이므로함수 f(x)는모

든실수x에서연속이다.

⑤ limx`Ú 1+

`f(x)= limx`Ú 1+

xÛ`-x|x-1|

= limx`Ú 1+

x(x-1)x-1

= limx`Ú 1+

x=1

limx`Ú 1-

`f(x)= limx`Ú 1-

xÛ`-x|x-1|

= limx`Ú 1-

x(x-1)-(x-1)

= limx`Ú 1-

(-x)=-1

∴ limx`Ú 1+

`f(x)+ limx`Ú 1-

`f(x)




따라서모든실수x에서연속인함수는②,④이다. 답 ②, ④

0195

02. 함수의 연속 023

버스가A정류장을출발한지x시간후의버스의속력

을 f(x)`km/h라하고A정류장을출발한지각각b시간,c시

간후에B정류장,C정류장에도착하였다고하면

f(0)=0, f(b)=0, f(c)=0

이때0<a<b,b<b<c이고 f(a)=58, f(b)=68인a,b가

존재하므로 f(k)=30인k가구간(0,a),(a,b),(b,b),(b,c)

에각각적어도하나씩존재한다.

따라서버스의속력이30`km/h인순간은적어도4번존재한다.

∴n=4 답 ④

0203

함수 f(x)= 5x+2 는x+-2인모든실수x에서연속

이다.

①-5Éx<-2일때,최솟값은없다.

②,④,⑤ f(x)는주어진닫힌구간에서연속이므로최대·최소

정리에의하여이구간에서반드시최댓값과최솟값을갖는다.

③-2<xÉ3일때,최솟값은 f(3)= 53+2=1

따라서최솟값이존재하지않는구간은①이다. 답 ①

0201

열린구간{-;3$;,1}에서함수 f(x)=;3$; [3x]는

x=-1,-;3@;,-;3!;,0,;3!;,;3@;에서불연속이므로불연속이되

는x의값의개수는6이다. 답 ④

0199

이차함수g(x)는실수전체의집합에서연속이며,함수

f(x)는실수전체의집합에서 f(x)>0이고x=2에서만불연

속이다.이때함수g(x)f(x)

가실수전체의집합에서연속이므로


0204

f(x)=xÜ`+xÛ`-1로놓으면함수 f(x)는모든실수x

에서연속이다.

f(-1)=-1+1-1=-1<0

f {-;2!;}=-;8!;+;4!;-1=-;8&;<0

f(0)=0+0-1=-1<0

f {;2!;}=;8!;+;4!;-1=-;8%;<0

f(1)=1+1-1=1>0

f(2)=8+4-1=11>0

따라서 f {;2!;} f(1)<0이므로사잇값의정리에의하여주어진

방정식의실근이존재하는구간은{;2!;,1}이다. 답 ④

0202

f(0)=limx`Ú 0

`f(x)=limx`Ú 0

xÛ`-x'Ä1+x-'Ä1-x

=limx`Ú 0

x(x-1)('Ä1+x+'Ä1-x`)

('Ä1+x-'Ä1-x`)('Ä1+x+'Ä1-x`)

=limx`Ú 0

x(x-1)('Ä1+x+'Ä1-x`)

2x

=limx`Ú 0

(x-1)('Ä1+x+'Ä1-x`)

2

=-1 답 ②

x+0일때, f(x)= xÛ`-x'Ä1+x-'Ä1-x

열린구간(-1,1)에서함수 f(x)가연속이므로x=0에서도연

속이다.즉,

0200

limx`Ú 2-

`f(`f(x))= limt`Ú 1-

`f(t)=b

∴ limx`Ú 2+

`f(`f(x))+ limx`Ú 2-

`f(`f(x))


`f(`f(x))는존재하지않는다.

ㄷ.ㄴ에의하여함수 f(`f(x))는x=2에서불연속이다.


참고 합성함수 g(`f(x))의 극한값을 구할 때는 좌극한과 우극한에

주의하면서 f(x)=t로 치환하여 생각한다.

x Ú`a+일 때, f(x) Ú`b+이면 t Ú`b+이므로

limx`Ú a+

`g(`f(x))= limt`Ú b+

`g(t)= limx`Ú b+

`g(x)


limx`Ú -1

`f(x)=f(-1) ∴ limx`Ú -1

xÛ`+ax+bx+1 =2 yy`㉠

x Ú`-1일때,(분모) Ú`0이고극한값이존재하므로(분자) Ú`0이다.즉, lim

x`Ú -1(xÛ`+ax+b)=0이므로

1-a+b=0 ∴b=a-1

b=a-1을㉠에대입하면

limx`Ú -1

xÛ`+ax+a-1x+1 = lim

x`Ú -1 (x+1)(x+a-1)

x+1

= limx`Ú -1

(x+a-1)

=-2+a=2

따라서a=4,b=3이므로

a+b=7 답 7

0198


연속이다.즉,

f(2)=limx`Ú 2

`f(x)=limx`Ú 2

xÜ`-8x-2

=limx`Ú 2

(x-2)(xÛ`+2x+4)

x-2

=limx`Ú 2

(xÛ`+2x+4)=12

∴a=12 답 12

0197


함수 f(x)가모든실수x에서연속이므로x=-1,


Úf(x)는x=-1에서연속이므로

limx`Ú -1+

`f(x)= limx`Ú -1-

`f(x)=f(-1)

limx`Ú -1+

(xÛ`-b)= limx`Ú -1-

(-2x+a)=1-b

1-b=2+a ∴a+b=-1 yy㉠

Ûf(x)는x=1에서연속이므로

limx`Ú 1+

`f(x)= limx`Ú 1-

`f(x)=f(1)

limx`Ú 1+

(3x+c)= limx`Ú 1-

(xÛ`-b)=3+c

3+c=1-b ∴b+c=-2 yy㉡

또, f(0)=-1이므로0-b=-1 ∴b=1

b=1을㉠,㉡에각각대입하면

a=-2,c=-3

∴abc=(-2)´1´(-3)=6

답 6


조건을이용하여a,b,c에대한식세우기 50%

a,b,c의값구하기 30%

abc의값구하기 20%

0205

g(2)f(2)

= limx`Ú 2+

g(x)f(x)

= limx`Ú 2-

g(x)f(x)

이므로

g(2)f(2)

= limx`Ú 2+

g(x)x-2= lim

x`Ú 2-

g(x)xÛ -4x+5

limx`Ú 2+

g(x)x-2가존재하고(분모) Ú`0이므로(분자) Ú`0이다.

∴g(2)=0

이차함수g(x)를g(x)=(x-2)(x+a)(a는상수)로놓으면

g(2)f(2)

=g(2)1 =0, lim

x`Ú 2-

g(x)xÛ -4x+5

=g(2)1 =0

에서 limx`Ú 2+

g(x)x-2=0이므로

limx`Ú 2+

(x-2)(x+a)

x-2 = limx`Ú 2+

(x+a)=2+a=0

∴a=-2

따라서g(x)=(x-2)Û`이므로

g(5)=3Û`=9 답 ③

g(x)=f(x)+3x로놓으면 f(x)가연속함수이므로

g(x)도연속함수이다.g(1)=f(1)+3=-5+3=-2

g(2)=f(2)+6=-2+6=4

g(3)=f(3)+9=3+9=12

g(4)=f(4)+12=-14+12=-2

따라서g(1)g(2)<0,g(3)g(4)<0이므로사잇값의정리에의

하여방정식g(x)=0은열린구간(1,2),(3,4)에서각각적어

도하나의실근을갖는다.

즉,방정식 f(x)+3x=0은열린구간(1,4)에서적어도2개의

실근을갖는다.

답 2개


g(x)=f(x)+3x로놓고g(1),g(2),g(3),g(4)의값구하기

60%

g(a)g(b)<0인열린구간(a,b)구하기 30%

실근의최소개수구하기 10%

0207

x+2일때, f(x)= axÛ`+bxx-2

함수 f(x)가모든실수x에서연속이므로x=2에서도연속이다.

따라서limx`Ú 2

`f(x)=f(2)이므로

limx`Ú 2

axÛ`+bxx-2 =4 yy`㉠

0206 직선y=x+k가곡선

y='Äx-2와접할때의실수k

의값은

'Äx-2=x+k에서

x-2=xÛ`+2kx+kÛ``

xÛ`+(2k-1)x+kÛ`+2=0

0208

x Ú`2일때,(분모) Ú`0이고극한값이존재하므로(분자) Ú`0이다.즉,lim

x`Ú 2(axÛ`+bx)=0이므로

4a+2b=0 ∴b=-2a

b=-2a를㉠에대입하면

limx`Ú 2

axÛ -2axx-2 =lim

x`Ú 2 ax(x-2)

x-2 =limx`Ú 2

ax=2a=4

∴a=2,b=-4

∴a+b=-2

답 -2


x=2에서연속임을이용하기 30%




02. 함수의 연속 025

Ýr= 3'22 일때, f(r)=3

Þ 3'22 <r<'5일때,

f(r)=4

ßr='5일때, f(r)=3

àr>'5일때, f(r)=2

Ú~à에의하여함수y=f(r)의

그래프는오른쪽그림과같다.

따라서함수 f(r)는r='22 ,

3'22 ,

'5에서불연속이므로불연속이되는r의값의개수는3이다. 답 ③

원의중심(1,2)와직선x-y=0사이의거리는

|1-2|"Ã1Û`+(-1)Û`

='22

원의중심(1,2)와직선x+y=0사이의거리는

|1+2|"Ã1Û`+1Û`

=3'22

원의중심(1,2)와원점사이의거리는

"Ã1Û`+2Û`='5

Ú0<r<'22 일때, f(r)=0

Ûr= '22 일때, f(r)=1

Ü '22 <r<3'22 일때, f(r)=2

0209

이이차방정식의판별식을D라하면

D=(2k-1)Û`-4(kÛ`+2)

=(4kÛ`-4k+1)-(4kÛ`+8)

=-4k-7=0

∴k=-;4&;

또,직선y=x+k가곡선y='Äx-2와서로다른두점에서만

나도록하는실수k의최솟값은직선y=x+k가점(2,0)을지

날때이므로k=-2

∴ f(k)=

0 {k>-;4&;}

1 {k=-;4&;}

2 {-2Ék<-;4&;}

1 (k<-2)

(|Ò|9

따라서함수y=f(k)의그래프는오

른쪽그림과같고,함수 f(k)가불연

속이되도록하는k의값은

-2,-;4&;의2개이다.

답 2

�AOBC=;2!;´(9+7)´6=48

오른쪽그림과같이직선y=t와

�AOBC가만나는점을D,E라하고

�DOBE의넓이를 f(t)라하자.

이때함수 f(t)는닫힌구간[0,6]에서

연속이고 f(0)=0, f(6)=48이므로

사잇값의정리에의하여 f(c)=:¢2¥:인

c가열린구간(0,6)에존재한다.

따라서�AOBC의넓이를이등분하고x축에평행한직선y=c

가존재한다. 답 풀이 참조

0210


미분계수와 도함수03Ⅱ. 미분


DyDx=

`f(2)-f(0)2-0 = 7-1

2 =3 답 30211

DyDx=

`f(2)-f(0)2-0 = 4-0

2 =2 답 20212

DyDx=

`f(2)-f(0)2-0 =

20-(-4)2 =12 답 120213

DyDx=

`f(2)-f(0)2-0 = 1-9

2 =-4 답 -40214

⑴ DyDx=

`f(4)-f(1)4-1 =-14-1

3 =-5

⑵DyDx=

`f(3+Dx)-f(3)(3+Dx)-3

={-(3+Dx)Û`+2}-(-7)

Dx

=-6Dx-(Dx)Û`

Dx =-6-Dx

답 ⑴ -5 ⑵ -6-Dx

0215

⑴ DyDx=

`f(a+Dx)-f(a)(a+Dx)-a

={2(a+Dx)+3}-(2a+3)

Dx

=2Dx Dx =2

⑵DyDx=

`f(a+Dx)-f(a)(a+Dx)-a

={(a+Dx)Û`-(a+Dx)}-(aÛ`-a)

Dx

=(2a-1)Dx+(Dx)Û`

Dx =2a-1+Dx

답 ⑴ 2 ⑵ 2a-1+Dx

0216

f '(2)= limDx`Ú0

`f(2+Dx)-f(2)

Dx

= limDx`Ú0

3(2+Dx)-6

Dx

= limDx`Ú0

3Dx Dx =3 답 3

0217

f '(2)= limDx`Ú0

`f(2+Dx)-f(2)

Dx

= limDx`Ú0

{-2(2+Dx)+5}-1

Dx

= limDx`Ú0

-2Dx Dx =-2 답 -2

0218

f '(2)= limDx`Ú0

`f(2+Dx)-f(2)

Dx

= limDx`Ú0

{(2+Dx)Û`-2}-2

Dx

= limDx`Ú0

4Dx+(Dx)Û`

Dx

= limDx`Ú 0

(4+Dx)=4 답 4

0219

f '(2)= limDx`Ú0

`f(2+Dx)-f(2)

Dx

= limDx`Ú0

(2+Dx+3)Û`-25`

Dx

= limDx`Ú0

10Dx+(Dx)Û`

Dx

= limDx`Ú 0

(10+Dx)=10 답 10

0220

f '(a)= limDx`Ú0

`f(a+Dx)-f(a)

Dx

= limDx`Ú0

{(a+Dx)Û`-2(a+Dx)}-(aÛ`-2a)

Dx

= limDx`Ú0

(2a-2)Dx+(Dx)Û`

Dx

= limDx`Ú 0

(2a-2+Dx)=2a-2

즉,2a-2=6이므로a=4 답 4

0221

f '(a)= limDx`Ú0

`f(a+Dx)-f(a)

Dx

= limDx`Ú0

{2(a+Dx)Ü`+3}-(2aÜ`+3)

Dx

= limDx`Ú0

6aÛ`Dx+6a(Dx)Û`+2(Dx)Ü`

Dx

= limDx`Ú 0

{6aÛ`+6aDx+2(Dx)Û`}=6aÛ`

즉,6aÛ`=6이므로a=1(∵a>0) 답 1

0222

f '(-1)= limDx`Ú0

`f(-1+Dx)-f(-1)

Dx

= limDx`Ú0

{3(-1+Dx)Û`+1}-4

Dx

= limDx`Ú0

-6Dx+3(Dx)Û`

Dx

= limDx`Ú 0

(-6+3Dx)=-6 답 -6

0223

f '(0)= limDx`Ú0

`f(0+Dx)-f(0)

Dx

= limDx`Ú0

{(0+Dx)Û`-2(0+Dx)-5}-(-5)

Dx

= limDx`Ú0

-2Dx+(Dx)Û`

Dx

= limDx`Ú 0

(-2+Dx)=-2 답 -2

0224

03. 미분계수와 도함수 027

limx`Ú2+

`f(x)-f(2)

x-2 = limx`Ú2+

(x-2)-0

x-2 =1

limx`Ú2-

`f(x)-f(2)

x-2 = limx`Ú2-

(-x+2)-0

x-2 =-1

이므로 f '(2)가존재하지않는다.따라서함수f(x)는x=2에

서미분가능하지않다. 답 미분가능하지 않다.

0227

limx`Ú1+

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1+

2xÜ`-2x-1

= limx`Ú1+

2(x-1)(xÛ`+x+1)

x-1

= limx`Ú1+

2(xÛ`+x+1)=6

limx`Ú1-

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1-

(6x-4)-2

x-1

= limx`Ú1-

6(x-1)x-1 =6

이므로 f`'(1)이존재한다.따라서함수 f(x)는x=1에서미분

가능하다. 답 미분가능하다.

0229

f '(-1)= limDx`Ú0

`f(-1+Dx)-f(-1)

Dx

= limDx`Ú0

{-(-1+Dx)Ü-(-1+Dx)+7}-9

Dx

= limDx`Ú0

-4Dx+3(Dx)Û`-(Dx)Ü`

Dx

= limDx`Ú 0

{-4+3Dx-(Dx)Û`}=-4 답 -4

0225

f '(x)=limh`Ú0

`f(x+h)-f(x)

h

=limh`Ú0

{2(x+h)+1}-(2x+1)

h

=limh`Ú0

2hh =2 답 f '(x)=2

0231

f '(x)=limh`Ú0

`f(x+h)-f(x)

h

=limh`Ú0

{(x+h)Û-1}-(xÛ`-1)

h

=limh`Ú0

2xh+hÛ`

h

=limh`Ú 0

(2x+h)=2x 답 f '(x)=2x

0232

ㄱ.limh`Ú0

`f(x+h)-f(x)

h =f '(x)

ㄴ. limDx`Ú0

`f(1+Dx)-f(1)

Dx =f '(1)

ㄷ.t-x=h로놓으면t=x+h

t`Ú x일때h`Ú 0이므로

limt`Úx

`f(t)-f(x)

t-x =limh`Ú0

`f(x+h)-f(x)

h =f '(x)

ㄹ. limDx`Ú0

`f(x)-f(Dx)

Dx + limDx`Ú0

`f(x+Dx)-f(x)

Dx =f '(x)

따라서서로같은것은ㄱ,ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ

0233 limx`Ú2+

f(x)= limx`Ú2+

(x-2)=0

limx`Ú2-

f(x)= limx`Ú2-

(-x+2)=0

따라서limx`Ú2

f(x)=f(2)=0이므로함수f(x)는x=2에서연속

이다. 답 연속이다.

0226

limx`Ú1+

f(x)= limx`Ú1+

2xÜ`=2

limx`Ú1-

f(x)= limx`Ú1-

(6x-4)=2

따라서limx`Ú1

f(x)=f(1)=2이므로함수f(x)는x=1에서연속

이다. 답 연속이다.

0228

f '(x)=limh`Ú0

`f(x+h)-f(x)

h

=limh`Ú0

2-2h =0 답 f '(x)=0

0230

y'=(xÜ`)'=3xÛ` 답 y'=3xÛ0234

y'=(-xÞ`)'=-5xÝ`` 답 y'=-5xÝ0235

y'=(-3xÛ`+9x+10)'=(-3xÛ`)'+(9x)'+(10)'

=-6x+9 답 y'=-6x+9

0238

⑴함수 f(x)+g(x)의x=1에서의미분계수는

`f '(1)+g '(1)=3+(-2)=1

⑵함수2 f(x)-g(x)의x=1에서의미분계수는

2 f '(1)-g '(1)=2´3-(-2)=8

답 ⑴1 ⑵ 8

0239

y'=(-8)'=0 답 y'=00236

y'={;2!;xÝ`+xÛ`}'={;2!;xÝ`}'+(xÛ`)'

=2xÜ`+2x 답 y'=2xÜ+2x

0237

y'=x'(3x+2)+x(3x+2)'

=(3x+2)+3x=6x+2 답 y'=6x+2

0240

y'=(x-4)'(3x-1)+(x-4)(3x-1)'

=(3x-1)+3(x-4)

=6x-13 답 y'=6x-13

0241


y'=(-xÛ`)'(2x-3)+(-xÛ`)(2x-3)'

=-2x(2x-3)-2xÛ`

=-6xÛ`+6x 답 y'=-6xÛ+6x

0242

y'=(xÛ`-3)'(x+4)+(xÛ`-3)(x+4)'

=2x(x+4)+(xÛ`-3)

=3xÛ`+8x-3 답 y'=3xÛ+8x-3

0243

y'=x'(x-1)(x-2)+x(x-1)'(x-2)

+x(x-1)(x-2)'

=(x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)

=3xÛ`-6x+2 답 y'=3xÛ-6x+2

0244

y'=(x-5)'(2x+4)(-x+1)

+(x-5)(2x+4)'(-x+1)

+(x-5)(2x+4)(-x+1)'

=(2x+4)(-x+1)+2(x-5)(-x+1)

-(x-5)(2x+4)

=-6xÛ`+16x+14 답 y'=-6xÛ+16x+14

0245

y=(2x-1)Ü`=(2x-1)(2x-1)(2x-1)이므로

y'=(2x-1)'(2x-1)(2x-1)+(2x-1)(2x-1)'(2x-1)

+(2x-1)(2x-1)(2x-1)'

=3(2x-1)Û`(2x-1)'

=6(2x-1)Û` 답 y'=6(2x-1)Û

0247

y=(3x+2)Û`=(3x+2)(3x+2)이므로

y'=(3x+2)'(3x+2)+(3x+2)(3x+2)'

=2(3x+2)(3x+2)'

=6(3x+2) 답 y'=6(3x+2)

다른풀이 y'={(3x+2)Û`}'=2(3x+2)(3x+2)'

=6(3x+2)

0246

y=(xÛ`+1)(2x+1)Û`

=(xÛ`+1)(2x+1)(2x+1)

이므로

y'=(xÛ`+1)'(2x+1)(2x+1)+(xÛ`+1)(2x+1)'(2x+1)

+(xÛ +1)(2x+1)(2x+1)'

=2x(2x+1)Û`+2(xÛ`+1)(2x+1)(2x+1)'

=2x(2x+1)Û`+4(xÛ`+1)(2x+1)

=2(2x+1)(4xÛ`+x+2)

답 y'=2(2x+1)(4xÛ+x+2)

0248

본문 42~49쪽유형 익 /히 /기

x의값이1에서a까지변할때의함수 f(x)의평균변화

율은

`f(a)-f(1)a-1 =

aÜ`-2a+5-(1-2+5)a-1 =

aÜ`-2a+1a-1

=(a-1)(aÛ`+a-1)

a-1 =aÛ`+a-1

즉,aÛ`+a-1=5이므로

aÛ`+a-6=0,(a+3)(a-2)=0

∴a=2(∵a>1) 답 2

0249

x의값이1에서1+h까지변할때의함수 f(x)의평균

변화율은

`f(1+h)-f(1)(1+h)-1

=(1+h)Û`-1Û`

h = hÛ`+2hh =h+2

즉,h+2=3이므로h=1 답 1

0250

x의값이1에서a까지변할때의함수 f(x)의평균변화

율은

`f(a)-f(1)a-1 =

aÛ`-3a+a-(1-3+a)a-1 =

aÛ`-3a+2a-1

=(a-1)(a-2)

a-1 =a-2

즉,a-2=2a-7이므로a=5 답 5

0251

직선AB의기울기는x의값이2에서4까지변할때의

함수y=f(x)의평균변화율과같으므로

`f(4)-f(2)4-2 =2

그런데함수y=f(x)의그래프는직선x=2에대하여대칭이므

로 f(0)=f(4)

따라서x의값이0에서2까지변할때의함수 f(x)의평균변화

율은

`f(2)-f(0)2-0 =

`f(2)-f(4)2 =-

`f(4)-f(2)2 =-2답 -2

0252

x의값이-1에서4까지변할때의함수 f(x)의평균

변화율은

`f(4)-f(-1)4-(-1)

= 8-35 =1

함수 f(x)의x=a에서의미분계수는

f`'(a)=limh`Ú0

`f(a+h)-f(a)

h

=limh`Ú0

{(a+h)Û`-2(a+h)}-(aÛ`-2a)

h

=limh`Ú0

2ah+hÛ`-2h h

=limh`Ú 0

(2a+h-2)=2a-2

0253


x의값이1에서k까지변할때의함수 f(x)의평균변화

율은

`f(k)-f(1)k-1 =

(kÜ`-1)-0k-1

=(k-1)(kÛ`+k+1)

k-1 =kÛ`+k+1

함수 f(x)의x='7에서의미분계수는

f '('7 )=limh`Ú0

`f('7+h)-f('7 )

h

=limh`Ú0

{('7+h)Ü`-1}-{('7 )Ü`-1}

h

=limh`Ú0

21h+3'7hÛ`+hÜ`

h

=limh`Ú 0

(21+3'7h+hÛ`)=21

즉,kÛ`+k+1=21이므로

kÛ`+k-20=0,(k+5)(k-4)=0

∴k=4(∵ k>1) 답 4

0254

x의값이a에서2a까지변할때의함수 f(x)의평균변

화율은

`f(2a)-f(a)2a-a =

`(4aÜ`+4a)-(aÜ`+2a)a = `3aÜ`+2a

a

=3aÛ`+2

함수 f(x)의x=1에서의미분계수는

f '(1)=limh`Ú0

`f(1+h)-f(1)

h

=limh`Ú0

{a(1+h)Û`+2(1+h)}-(a+2)

h

=limh`Ú0

2ah+ahÛ`+2hh

=limh`Ú0

(2a+ah+2)=2a+2

즉,3aÛ`+2=2a+2이므로

3aÛ`-2a=0,a(3a-2)=0

∴a=;3@;(∵ a>0)

답 ;3@;


x의값이a에서2a까지변할때의평균변화율구하기 30%

x=1에서의미분계수구하기 40%


0255

`f(k)-f(1)

k-1 =-k, f(1)=3이므로

f(k)=-kÛ`+k+3

따라서 f(x)=-xÛ`+x+3이므로x=1에서의미분계수는

f '(1)=limh`Ú0

`f(1+h)-f(1)

h

=limh`Ú0

{-(1+h)Û`+(1+h)+3}-3

h

=limh`Ú0

-h-hÛ`h =lim

h`Ú 0(-1-h)=-1 답 -1

0256

limh`Ú0

`f(2+h)-f(2-h)

3h

=limh`Ú0

{`f(2+h)-f(2)}-{`f(2-h)-f(2)}

3h

=limh`Ú0

`f(2+h)-f(2)

h ´;3!;-limh`Ú0

`f(2-h)-f(2)

-h ´{-;3!;}

=;3!; f '(2)+;3!; f '(2)=;3@; f '(2)

=;3@;´6=4 답 4

0257

limh`Ú0

`f(1+kh)-f(1)

h =limh`Ú0

`f(1+kh)-f(1)

kh ´k

=kf '(1)=3k

즉,3k=6이므로k=2 답 2

0258

limh`Ú0

`f(a+2h)-f(a-3h)

h

=limh`Ú0

{`f(a+2h)-f(a)}-{`f(a-3h)-f(a)}

h

=limh`Ú0

`f(a+2h)-f(a)

2h ´2-limh`Ú0

`f(a-3h)-f(a)

-3h ´(-3)

=2f '(a)+3f '(a)=5f '(a) 답 ⑤

0259

즉,2a-2=1이므로a=;2#; 답 ;2#;

limh`Ú0

`f(a+3h)-f(a+hÛ`)

h

=limh`Ú0

{`f(a+3h)-f(a)}-{`f(a+hÛ`)-f(a)}

h

=limh`Ú0

`f(a+3h)-f(a)

3h ´3-limh`Ú0[ `f(a+hÛ`)-f(a)

hÛ`´h]

=3 f '(a)+0´f '(a)=3 f '(a)

=3´(-3)=-9 답 -9

0260

limx`Ú1

`f(xÜ`)-f(1)

x-1

=limx`Ú1

[ `f(xÜ`)-f(1)(x-1)(xÛ`+x+1)

(xÛ`+x+1)]

=limx`Ú1

[ `f(xÜ`)-f(1)xÜ`-1

´(xÛ`+x+1)]

=3 f '(1)=3´2=6 답 ③

0261


limx`Ú1

xÛ` f(1)-f(xÛ`)

x-1

=limx`Ú1

{xÛ` f(1)-f(1)}-{`f(xÛ`)-f(1)}

x-1

=limx`Ú1

xÛ`-1x-1 f(1)-lim

x`Ú1 `f(xÛ`)-f(1)

x-1

=limx`Ú1

(x+1)´f(1)-limx`Ú1

[ `f(xÛ`)-f(1)xÛ`-1

´(x+1)]

=2 f(1)-2 f '(1)

=2´3-2´1=4 답 4

0263

limx`Ú1

¿¹f(x)-3'¶x-1

=limx`Ú1

¿¹f(x)-¿¹f(1)'¶x-1

=limx`Ú1

[ {¿¹f(x)-¿¹f(1)}{¿¹f(x)+¿¹f(1)}('¶x-1)('¶x+1)

´ '¶x+1

¿¹f(x)+¿¹f(1)]

=limx`Ú1

`f(x)-f(1)

x-1 ´limx`Ú1

'¶x+1

¿¹f(x)+¿¹f(1)

=f '(1)´ 22¿¹f(1)

=6´;3!;=2 답 2

0264

주어진식의양변에x=0,y=0을대입하면

f(0)=f(0)+f(0)-1 ∴ f(0)=1

f '(2)=limh`Ú0

`f(2+h)-f(2)

h

=limh`Ú0

`f(2)+f(h)-1-f(2)

h

=limh`Ú0

`f(h)-1

h =limh`Ú0

`f(h)-`f(0)

h =f '(0)

이때 f '(2)=1이므로 f '(0)=1

∴ f '(1)=limh`Ú0

`f(1+h)-f(1)

h

=limh`Ú0

`f(1)+f(h)-1-f(1)

h

=limh`Ú0

`f(h)-1

h =limh`Ú0

`f(h)-`f(0)

h

=f '(0)=1 답 ①

0265


f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0

0266


f(0)=f(0)+f(0)-0 ∴ f(0)=0

f '(2a)=limh`Ú0

`f(2a+h)-f(2a)

h

=limh`Ú0

`f(2a)+f(h)-2ah-f(2a)

h

=limh`Ú0

`f(h)-2ah

h =limh`Ú0

`f(h)-`f(0)

h -2a

=f '(0)-2a=3-2a

즉,3-2a=7이므로a=-2 답 -2

0267


f(0)=2f(0) f(0) ∴ f(0)=;2!; (∵ f(0)>0)

f`'(2)=limh`Ú0

`f(2+h)-f(2)

h

=limh`Ú0

2f(2) f(h)-f(2)

h =limh`Ú0

2 f(2)[ f(h)-;2!;]

h

=2 f(2)´limh`Ú0

`f(h)-f(0)

h = 2 f(2) f`'(0)

=2 f(2)´3=6 f(2)

∴`f '(2)f(2)

=`6 f(2)f(2)

=6 답 ④

0268

오른쪽그림과같이

A(a, f(a)),B(b, f(b))라하자.

ㄱ. f '(a)는점A에서의접선의기

울기이고, f '(b)는점B에서의

접선의기울기이므로

f '(a)>f '(b)

ㄴ.직선AB의기울기는1보다작으므로`f(b)-`f(a)

b-a <1

이때b-a>0이므로 f(b)-f(a)<b-a

ㄷ.`f(a)a 는원점과점A를지나는직선의기울기이고,

`f(b)b

는원점과점B를지나는직선의기울기이므로

`f(a)a >

`f(b)b

따라서옳은것은ㄴ뿐이다. 답 ㄴ

0269

limx`Ú3

`f(x)-f(3)

x-3 =f '(3)이므로 f '(3)=1

∴limh`Ú0

`f(3+3h)-f(3)

h =limh`Ú0

`f(3+3h)-f(3)

3h ´3

=3 f '(3)=3´1=3 답 3

0262 ∴ f`'(1)=limh`Ú0

`f(1+h)-f(1)

h

=limh`Ú0

`f(1)+f(h)-f(1)

h

=limh`Ú0

`f(h)h =lim

h`Ú0 `f(h)-f(0)

h

=f`'(0)=3 답 3


f(x)=(x+2)|x-1|에서

limx`Ú 1+

f(x)= limx`Ú 1+

(x+2)(x-1)=0

limx`Ú 1-

f(x)= limx`Ú 1-

(x+2)(-x+1)=0

즉,limx`Ú 1

f(x)=f(1)=0이므로 f(x)는x=1에서연속이다.

0273

①limx`Ú 0

`f(x)=f(0)=5이므로 f(x)는x=0에서연속

이다.

f '(0)=limx`Ú0

`f(x)-f(0)

x =limx`Ú0

5-5x =0

이므로 f(x)는x=0에서미분가능하다.

②limx`Ú 0

`f(x)=f(0)=0이므로 f(x)는x=0에서연속이다.

f '(0)=limx`Ú0

`f(x)-f(0)

x =limx`Ú0

x|x|x =limx`Ú0

|x|=0


③limx`Ú 0


limx`Ú0+

`f(x)-f(0)

x = limx`Ú0+

|x|x = limx`Ú0+

xx =1

limx`Ú0-

`f(x)-f(0)

x = limx`Ú0-

|x|x = limx`Ú0-

-xx =-1

이므로 f(x)는x=0에서미분가능하지않다.

④ f(x)=|x|x 는x=0에서불연속이고미분가능하지않다.

⑤limx`Ú 0


f '(0)=limx`Ú0

`f(x)-f(0)

x =limx`Ú0

|x|Û`x

=limx`Ú0

xÛ`x =limx`Ú0

x=0

이므로 f(x)는x=0에서미분가능하다. 답 ③

0274

limx`Ú1+

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1+

(x+2)(x-1)

x-1

= limx`Ú1+

(x+2)=3

limx`Ú1-

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1-

(x+2)(-x+1)

x-1

= limx`Ú1-

(-x-2)=-3


따라서 f(x)는x=1에서연속이지만미분가능하지않다.

답 연속이지만 미분가능하지 않다.


연속성조사하기 40%

미분가능성조사하기 50%

답구하기 10%

ㄱ. f '(a)는점A에서

의접선의기울기이고,

f '(b)는점B에서의접선의

기울기이므로

f '(a)<f '(b)

ㄴ.직선AB의기울기가점B에

서의접선의기울기보다작으므로

`f(b)-f(a)

b-a <f '(b)

ㄷ.aÉxÉb에서함수 f(x)의그래프는아래로볼록하므로

f { a+b2 }<

`f(a)+f(b)2

따라서옳은것은ㄱ,ㄴ,ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ

0271

ㄱ. limx`Ú1 f(x)=f(1)=1이므로 f(x)는x=1에서연

속이다.

limx`Ú1

`f(x)-f(1)

x-1 =limx`Ú 1

xÛ`-1x-1

=limx`Ú 1

(x+1)=2


ㄴ. limx`Ú1 f(x)=f(1)=0이므로 f(x)는x=1에서연속이다.

limx`Ú1+

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1+

|xÛ`-x|x-1 = lim

x`Ú1+ xÛ`-x`x-1

= limx`Ú 1+

x=1

limx`Ú1-

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1-

|xÛ`-x|x-1 = lim

x`Ú1- -xÛ`+x

x-1

= limx`Ú 1-

(-x)=-1

이므로 f '(1)이존재하지않는다.따라서 f(x)는x=1에서

미분가능하지않다.

ㄷ.limx`Ú1 f(x)=f(1)=1이므로 f(x)는x=1에서연속이다.

limx`Ú1

`f(x)-f(1)

x-1 =limx`Ú1

1x -1

x-1 =limx`Ú1

{-;[!;}=-1


따라서x=1에서미분가능한함수는ㄱ,ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ

0272

미분계수 f '(a)는곡선

y=f(x)위의점(a, f(a))에서의

접선의기울기이므로①~⑤의값은

각각오른쪽그림의접선의기울기와

같다.따라서가장큰값은⑤이다.

답 ⑤

0270

⑤

①②

③ ④

ㄱ.limx`Ú 0

`f(x)=f(0)=0이므로 f(x)는x=0에서연속

이다.

limx`Ú0+

`f(x)-f(0)

x = limx`Ú0+

xx =1

0275


함수y=f(x)는x=-2,x=1에서불연속이므로

m=2

또,x=-2,x=1,x=2에서미분가능하지않으므로n=3

∴m+n=5 답 5

0276

①점(3, f(3))에서의접선의기울기는음수이므로

f`'(3)<0

② limx`Ú 2+

f(x)= limx`Ú 2-

f(x)이므로limx`Ú 2

f(x)의값이존재한다.

③ f`'(x)=0인x의값은존재하지않는다.

④함수 f(x)는x=2,x=4에서불연속이므로불연속인x의

값은2개이다.

⑤함수 f(x)는x=1,x=2,x=4에서미분가능하지않으므로

미분가능하지않은x의값은3개이다. 답 ⑤

0277

{`f(x)}Û`=g(x)로놓으면y=g(x)에서

y'=limh`Ú0

`g(x+h)-g(x)

h =limh`Ú0

{`f(x+h)}Û`-{`f(x)}Û`

h

=limh`Ú0

{`f(x+h)+`f(x)}{`f(x+h)-`f(x)}

h

=limh`Ú0

{ `f(x+h)+f(x)}´limh`Ú0

`f(x+h)-f(x)

h

= 2`f(x) f '(x)

답 ㈎ f(x+h)+f(x) ㈏ f(x+h)-f(x) ㈐ 2`f(x) f '(x)

0278

xÛ` f(x)=g(x)로놓으면y=g(x)에서

y'=limh`Ú0

`g(x+h)-g(x)

h

=limh`Ú0

(x+h)Û` f(x+h)-xÛ` f(x)

h

=limh`Ú0

(x+h)Û`{ `f(x+h)-f(x)}+f(x){(x+h)Û`-xÛ`}

h

=limh`Ú0

(x+h)Û`´limh`Ú0

`f(x+h)-f(x)

h

+f(x)´limh`Ú0

( 2x+h)

= xÛ` f '(x)+2x f(x)

답 ㈎ f(x+h)-f(x) ㈏ 2x ㈐ xÛ f '(x)+2x f(x)

0279

f '(x)=-xÛ`+x+1이므로

f '(2)=-4+2+1=-1 답 ①

0280

f '(x)=3xÛ`-6x+a이므로

f '(1)=2에서3-6+a=2 ∴a=5 답 ⑤

0281

f(1)=1에서a+b+3=1 ∴a+b=-2 y`㉠

f '(x)=3axÛ`+b이므로

f '(1)=4에서3a+b=4 y`㉡


∴ab=-15 답 -15

0283

f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)에서

f '(x)=(x+1)'(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)'(x+3)

+(x+1)(x+2)(x+3)'

=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)

∴ f '(0)=6+3+2=11 답 ①

0284

g'(x)=(xÛ`+3x)'f(x)+(xÛ`+3x)f '(x)

=(2x+3) f(x)+(xÛ`+3x)f '(x)

∴g'(1)=5 f(1)+4 f '(1)=5´3+4´2=23 답 23

0286

f(x)=(3xÛ`-1)Ü`=(3xÛ`-1)(3xÛ`-1)(3xÛ`-1)

이므로

f '(x)=(3xÛ`-1)'(3xÛ`-1)(3xÛ`-1)

+(3xÛ -1)(3xÛ -1)'(3xÛ -1)

+(3xÛ -1)(3xÛ -1)(3xÛ -1)'

=3(3xÛ`-1)Û`(3xÛ`-1)'=18x(3xÛ`-1)Û`

∴ f '(1)=18´4=72 답 72

0285

f '(x)=1+x+xÛ`+ y +xá`á`이므로

f '(1)=1+1+1+ y +1=1´100=100 답 100

100개

0282

á | { | »

limx`Ú0-

`f(x)-f(0)

x = limx`Ú0+

-xx =-1


ㄴ.limx`Ú 0


limx`Ú0+

`f(x)-f(0)

x = limx`Ú0+

(xÛ`-3x+2)-2

x

= limx`Ú0+

xÛ`-3xx = lim

x`Ú0+ (x-3)=-3

limx`Ú0-

`f(x)-f(0)

x = limx`Ú0-

(xÛ`+3x+2)-2

x

= limx`Ú0-

xÛ`+3xx = lim

x`Ú0- (x+3)=3


ㄷ.limx`Ú 0


limx`Ú0+

`f(x)-f(0)

x = limx`Ú0+

(x+1)Û`-1

x

= limx`Ú0+

xÛ`+2xx = lim

x`Ú0+ (x+2)=2

limx`Ú0-

`f(x)-f(0)

x = limx`Ú0-

(2x+1)-1

x = limx`Ú0-

2xx =2


따라서x=0에서연속이지만미분가능하지않은함수는ㄱ,

ㄴ이다. 답 ㄱ, ㄴ


f '(x)=(x-a)'(xÜ`+2xÛ`+8)

+(x-a)(xÜ`+2xÛ`+8)'

=(xÜ`+2xÛ`+8)+(x-a)(3xÛ`+4x)

=4xÜ`+(6-3a)xÛ`-4ax+8

f '(a)=11에서aÜ`+2aÛ`+8=11

aÜ`+2aÛ`-3=0,(a-1)(aÛ`+3a+3)=0

∴a=1(∵a는실수)

따라서 f '(x)=4xÜ`+3xÛ`-4x+8이므로

f '(-1)=-4+3+4+8=11

답 11


f'(x)구하기 40%


f'(-1)의값구하기 30%

0287

limh`Ú0

`f(1+h)-f(1-h)

h

=limh`Ú0

{`f(1+h)-f(1)}-{`f(1-h)-f(1)}

h

=limh`Ú0

`f(1+h)-f(1)

h -limh`Ú0

`f(1-h)-f(1)

-h ´(-1)

=f '(1)+f '(1)=2 f '(1)

f '(x)=3xÛ`-4x이므로

f '(1)=3-4=-1

∴(주어진식)=2 f '(1)=2´(-1)=-2 답 ①

0288

limx`Ú1

{`f(x)}Û`-{`f(1)}Û`

x-1

=limx`Ú1

{`f(x)+f(1)}{`f(x)-f(1)}

x-1

=limx`Ú1

{`f(x)+f(1)}´limx`Ú1

`f(x)-f(1)

x-1

=2 f(1) f '(1)

f(x)=xÜ`-5xÛ`에서 f(1)=1-5=-4

f '(x)=3xÛ`-10x이므로 f '(1)=3-10=-7

∴(주어진식)=2 f(1) f '(1)

=2´(-4)´(-7)=56 답 56

0289

limx`Ú2

2 f(x)-x f(2)

x-2

=limx`Ú2

{2 f(x)-2 f(2)}-{x f(2)-2 f(2)}

x-2

=limx`Ú2

`f(x)-f(2)

x-2 ´2-limx`Ú2

(x-2) f(2)

x-2

=2 f '(2)-f(2)

0290

f(1)=3,g(1)=3이므로

limh`Ú0

`f(1+2h)-g(1-h)

3h

=limh`Ú0

`f(1+2h)-3+3-g(1-h)

3h

=limh`Ú0

{`f(1+2h)-f(1)}-{g(1-h)-g(1)}

3h

=limh`Ú0

`f(1+2h)-f(1)

2h ´;3@;-limh`Ú0

`g(1-h)-g(1)

-h ´{-;3!;}

=;3@; f '(1)+;3!; g'(1)

`f '(x)=1+3xÛ`+5xÝ`이므로 f '(1)=9

g'(x)=2x+4xÜ`+6xÞ`이므로g'(1)=12

∴(주어진식)=;3@; f '(1)+;3!; g'(1)

=;3@;´9+;3!;´12=10 답 ⑤

0291

limx`Ú1

`f(x)x-1 =2에서(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므

로(분자)`Ú 0이어야한다.즉,lim

x`Ú1 f(x)=0이므로 f(1)=0

∴limx`Ú1

`f(x)x-1 =lim

x`Ú1 `f(x)-`f(1)

x-1 =f '(1)=2

한편, f(x)=xÜ`+2axÛ`+bx-2b에서

f(1)=1+2a+b-2b=0 ∴2a-b=-1 yy`㉠

f '(x)=3xÛ`+4ax+b이므로

f '(1)=3+4a+b=2 ∴4a+b=-1 yy`㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=-;3!;,b=;3!;

∴a+b=0 답 ③

0292

f(x)=(3x-2)Ü`에서 f(2)=4Ü`=64

f '(x)=3(3x-2)Û`´3=9(3x-2)Û`이므로

f '(2)=9´4Û``=144

∴(주어진식)=2 f '(2)-f(2)

=2´144-64=224 답 224

limx`Ú1

`f(x)-`f(1)

xÛ`-1 =lim

x`Ú1 [ `f(x)-`f(1)

x-1 ´ 1x+1 ]

=;2!; f '(1)

즉,;2!; f '(1)=;2%;이므로 f '(1)=5

한편, f(x)=xÜ`+axÛ`+b, f '(x)=3xÛ`+2ax이므로

`f(-1)=-1+a+b=3 ……`㉠

`f '(1)=3+2a=5 ∴a=1

a=1을㉠에대입하면b=3

∴ab=3 답 ⑤

0293


limx`Ú0

`f(x)x =-1에서(분모)`Ú 0이고극한값이존재

하므로(분자)`Ú 0이어야한다.즉,lim

x`Ú0 f(x)=0이므로 f(0)=0 yy`㉠

limx`Ú1

`f(x)x-1 =4에서(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므로

(분자)`Ú 0이어야한다.즉,lim

x`Ú1 f(x)=0이므로 f(1)=0 yy`㉡

㉠,㉡에의하여삼차함수 f(x)는x(x-1)을인수로가지므로

f(x)=x(x-1)(ax+b)로놓으면

limx`Ú0

`f(x)x =lim

x`Ú0 x(x-1)(ax+b)

x

=limx`Ú0

(x-1)(ax+b)=-b

즉,-b=-1이므로b=1

limx`Ú1

`f(x)x-1 =lim

x`Ú1 x(x-1)(ax+1)

x-1

=limx`Ú1

x(ax+1)=a+1

즉,a+1=4이므로a=3

따라서 f(x)=x(x-1)(3x+1)이므로방정식 f(x)=0의세

근의합은

0+1+{-;3!;}=;3@;

답 ;3@;


f(x)=x(x-1)(ax+b)로놓기 40%



방정식f(x)=0의모든근의합구하기 20%

0294

limx`Ú2

`f(x)-f(2)

x-2 =f '(2)=-2

limh`Ú0

`f(1-2h)-f(1+2h)

h

=limh`Ú0

{`f(1-2h)-f(1)}-{`f(1+2h)-f(1)}

h

=limh`Ú0

`f(1-2h)-f(1)

-2h ´(-2)-limh`Ú0

`f(1+2h)-f(1)

2h ´2

=-2 f '(1)-2 f '(1)=-4 f`'(1)

즉,-4 f`'(1)=8이므로 f '(1)=-2

한편, f(x)=xÝ`+axÛ`+bx+1에서

f '(x)=4xÜ`+2ax+b이므로

f '(2)=32+4a+b=-2 ∴4a+b=-34 yy`㉠

f '(1)=4+2a+b=-2 ∴2a+b=-6 yy`㉡

0295

f(x)=xÜ`+ax+b로놓으면 f '(x)=3xÛ`+a

점(1,1)에서의접선의기울기가-3이므로

f '(1)=3+a=-3 ∴a=-6

또,점(1,1)은곡선y=xÜ`-6x+b위의점이므로

1=1-6+b ∴b=6

∴ab=-6´6=-36 답 ①

0296

f(x)=xÛ`-3x+2에서 f '(x)=2x-3

점(a,b)에서의접선의기울기가9이므로

f '(a)=2a-3=9 ∴a=6

또,점(6,b)는함수 f(x)=xÛ -3x+2의그래프위의점이므로

b=f(6)=36-18+2=20 답 a=6, b=20

0297

점(1,3)은함수 f(x)=xÛ`+ax+1의그래프위의점

이므로

f(1)=1+a+1=3 ∴a=1

즉, f(x)=xÛ`+x+1에서 f '(x)=2x+1

점(1,3)에서의접선의기울기가m이므로

m=f '(1)=2+1=3

∴a+m=1+3=4 답 ①

0298

f(x)=(2x-1)Ü`(xÛ`+k)로놓으면

f '(x)={(2x-1)Ü`}'(xÛ`+k)+(2x-1)Ü`(xÛ`+k)'

=3(2x-1)Û`(2x-1)'(xÛ`+k)+(2x-1)Ü`´2x

=6(2x-1)Û`(xÛ`+k)+2x(2x-1)Ü`

=2(2x-1)Û`(5xÛ`-x+3k)

x좌표가1인점에서의접선의기울기가-16이므로

f '(1)=2(4+3k)=-16

4+3k=-8 ∴k=-4 답 ④

0299

함수 f(x)가x=-1에서미분가능하므로x=-1에서

연속이다.즉, limx`Ú-1

f(x)=f(-1)이므로

-1+1-b=a+3 ∴a+b=-3 yy`㉠

또, f '(-1)이존재하므로

limx`Ú-1+

`f(x)-f(-1)

x-(-1)= lim

x`Ú-1+ (axÛ`+3)-(a+3)

x+1

= limx`Ú-1+

a(x-1)(x+1)

x+1

= limx`Ú-1+

a(x-1)=-2a

0300

㉠,㉡을연립하여풀면

a=-14,b=22

따라서 f(x)=xÝ`-14xÛ`+22x+1이므로

f(1)=1-14+22+1=10 답 10


함수 f(x)가x=1에서미분가능하므로x=1에서연속

이다.즉,limx`Ú1

f(x)=f(1)이므로

a+b=1　　 yy`㉠

또, f '(1)이존재하므로

limx`Ú1+

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1+

xÛ`-1x-1

= limx`Ú1+

(x+1)(x-1)

x-1

= limx`Ú1+

(x+1)=2

limx`Ú1-

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1-

(ax+b)-(a+b)

x-1

= limx`Ú1-

a(x-1)x-1 =a

∴a=2

a=2를㉠에대입하면b=-1

∴ab=2´(-1)=-2 답 -2

0301

함수 f(x)가모든실수x에서미분가능하므로 f(x)는

x=1에서미분가능하다.

따라서 f(x)는x=1에서연속이다.즉,limx`Ú 1

`f(x)=f(1)이므로

-b+3+1=1+a-2 ∴a+b=5 yy`㉠


limx`Ú1+

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1+

(xÛ`+ax-2)-(1+a-2)

x-1

= limx`Ú1+

(x-1)(x+1+a)

x-1

= limx`Ú 1+

(x+1+a)=2+a

0302

함수 f(x)가x=a에서미분가능하므로x=a에서연속

이다.즉,limx`Ú a

f(x)=f(a)이므로

aÜ`=aÛ`+a+b yy`㉠

또, f '(a)가존재하므로

limx`Úa+

`f(x)-f(a)

x-a = limx`Úa+

(xÛ`+x+b)-(aÛ`+a+b)

x-a

= limx`Úa+

(x-a)(x+a+1)

x-a

= limx`Úa+

(x+a+1)=2a+1

limx`Úa-

`f(x)-f(a)

x-a = limx`Úa-

xÜ`-aÜ`x-a

= limx`Úa-

(x-a)(xÛ`+ax+aÛ`)

x-a

= limx`Úa-

(xÛ`+ax+aÛ`)=3aÛ``

즉,2a+1=3aÛ`,3aÛ`-2a-1=0

(3a+1)(a-1)=0 ∴a=1(∵a>0)


1=1+1+b ∴b=-1

∴a+b=1-1=0 답 ②

0303

다항식xÜ`+axÛ`+bx-5를(x+1)Û`으로나눌때의몫

을Q(x)라하면

xÜ`+axÛ`+bx-5=(x+1)Û` Q(x) yy`㉠

㉠의양변에x=-1을대입하면

-1+a-b-5=0 ∴a-b=6 yy`㉡

㉠의양변을x에대하여미분하면

3xÛ`+2ax+b=2(x+1)Q(x)+(x+1)Û` Q'(x)

위식의양변에x=-1을대입하면

3-2a+b=0 ∴2a-b=3 yy`㉢

㉡,㉢을연립하여풀면a=-3,b=-9

∴a+b=-3-9=-12 답 -12

다른풀이 `f(x)=xÜ`+axÛ`+bx-5로놓으면

f(-1)=0, f '(-1)=0

`f(-1)=0에서-1+a-b-5=0 ∴a-b=6

`f '(x)=3xÛ`+2ax+b이므로 f '(-1)=0에서

3-2a+b=0 ∴2a-b=3

0304

limx`Ú-1-

`f(x)-f(-1)

x-(-1)

= limx`Ú-1-

(xÜ`+xÛ`+bx)-(-1+1-b)

x+1

= limx`Ú-1-

(x+1)(xÛ`+b)

x+1

= limx`Ú-1-

(xÛ`+b)=1+b

즉,-2a=1+b ∴2a+b=-1 yy`㉡


∴a-b=2-(-5)=7 답 7

다른풀이 g(x)=axÛ`+3,h(x)=xÜ`+xÛ`+bx로놓으면

g '(x)=2ax,h'(x)=3xÛ+2x+b

x=1에서연속이므로g(-1)=h(-1)

a+3=-1+1-b ∴a+b=-3

x=1에서미분계수가존재하므로g '(-1)=h'(-1)

-2a=3-2+b ∴2a+b=-1

따라서a=2,b=-5이므로

a-b=7

limx`Ú1-

`f(x)-f(1)

x-1

= limx`Ú1-

(-bxÛ`+3x+1)-(-b+3+1)

x-1

= limx`Ú1-

(x-1)(-bx-b+3)

x-1

= limx`Ú 1-

(-bx-b+3)=-2b+3

즉,2+a=-2b+3 ∴a+2b=1 yy`㉡


∴a-b=9-(-4)=13 답 13


다항식xÚ`â`-2xÜ`+1을(x+1)Û`으로나눌때의몫을

Q(x),나머지를R(x)=ax+b(a,b는상수)라하면

xÚ`â`-2xÜ`+1=(x+1)Û` Q(x)+ax+b yy`㉠


-a+b=4 yy`㉡


10xá`-6xÛ`=2(x+1)Q(x)+(x+1)Û` Q'(x)+a

위식의양변에x=-1을대입하면a=-16

a=-16을㉡에대입하면b=-12

따라서R(x)=-16x-12이므로

R(1)=-28 답 ②

0306

다항식xÚ`â`+axÜ`+b를(x-1)Û`으로나눌때의몫을

Q(x)라하면나머지가4x-9이므로

xÚ`â`+axÜ`+b=(x-1)Û` Q(x)+4x-9 yy`㉠

㉠의양변에x=1을대입하면

1+a+b=4-9 ∴a+b=-6 yy`㉡


10xá`+3axÛ`=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û` Q'(x)+4

위식의양변에x=1을대입하면

10+3a=4 ∴a=-2

a=-2를㉡에대입하면b=-4

∴ab=-2´(-4)=8 답 8

0307

f(x)=xÇ`-2xÛ`-3x로놓으면 f(1)=-4이므로

limx`Ú1

xÇ`-2xÛ`-3x+4x-1 =lim

x`Ú1 `f(x)-f(1)

x-1 =f '(1)=5

이때 f '(x)=nxn-1-4x-3이므로 f '(1)=n-7

즉,n-7=5에서n=12 답 12

0309

limx`Ú2

xÇ`+x-34x-2 =k에서(분모)`Ú 0이고극한값이존

재하므로(분자)`Ú 0이어야한다.즉,lim

x`Ú 2 (xÇ`+x-34)=0이므로

2Ç`+2-34=0,2Ç`=32=2Þ` ∴n=5

f(x)=xÞ`+x로놓으면 f(2)=34이므로

limx`Ú2

xÇ`+x-34x-2 =lim

x`Ú2 `f(x)-f(2)

x-2 =f '(2)=k

이때 f '(x)=5xÝ`+1이므로k=f '(2)=5´16+1=81

∴n+k=5+81=86 답 86

0310

f(x)=xá`-x¡`+xà`-xß`+xÞ`으로놓으면 f(1)=1이므로

limx`Ú1

xá`-x¡`+xà`-xß`+xÞ`-1x-1 =lim

x`Ú1 `f(x)-f(1)

x-1 =f '(1)

이때 f '(x)=9x¡`-8xà`+7xß`-6xÞ`+5xÝ`이므로

f '(1)=9-8+7-6+5=7

∴limx`Ú1

xá`-x¡`+xà`-xß`+xÞ`-1x-1 =f '(1)=7 답 7

0311

f(x)가이차함수이므로

f(x)=axÛ`+bx+c`(a,b,c는상수,a+0)로놓으면

f '(x)=2ax+b

f(x), f '(x)를주어진식에대입하면

(x+2)(2ax+b)-(axÛ`+bx+c)=3xÛ`+12x

axÛ`+4ax+2b-c=3xÛ`+12x

이등식이모든실수x에대하여성립하므로

a=3,2b-c=0 yy`㉠

또, f '(-1)=1이므로-2a+b=1 yy`㉡

㉠,㉡에서a=3,b=7,c=14

따라서 f '(x)=6x+7이므로

f '(-2)=-12+7=-5 답 ②

0312

본문 50쪽유형

limx`Ú1

xÇ`-kx+2x-1 =15에서(분모)`Ú 0이고극한값이

존재하므로(분자)`Ú 0이어야한다.즉,lim

x`Ú 1 (xÇ`-kx+2)=0이므로

0308

다항식xß`-3xÛ`+a를(x-b)Û`으로나눌때의몫을

Q(x)라하면

xß`-3xÛ`+a=(x-b)Û` Q(x) ……`㉠

㉠의양변에x=b를대입하면

bß`-3bÛ`+a=0 ……`㉡


6xÞ`-6x=2(x-b)Q(x)+(x-b)Û` Q'(x)

위식의양변에x=b를대입하면

6bÞ`-6b=0,6b(bÛ`+1)(b+1)(b-1)=0

∴b=1(∵b>0)

b=1을㉡에대입하면1-3+a=0 ∴a=2

∴a-b=2-1=1 답 1

0305 1-k+2=0 ∴k=3

f(x)=xÇ`-3x로놓으면 f(1)=-2이므로

limx`Ú1

xÇ`-3x+2x-1 =lim

x`Ú1 `f(x)-f(1)

x-1 =f '(1)=15

이때 f '(x)=nxn-1-3이므로 f '(1)=n-3

즉,n-3=15에서n=18

∴n+k=18+3=21 답 ④


limh`Ú0

`f(a+h)-g(a+h)

h

=limh`Ú0

{`f(a+h)-f(a)}-{ g(a+h)-g(a)}

h

=limh`Ú0

`f(a+h)-f(a)

h -limh`Ú0

`g(a+h)-g(a)

h

=f '(a)-g '(a)=1-g '(a)즉,1-g '(a)=3이므로g '(a)=-2 답 -2

f(a)=g(a)이므로 식의 값은

변하지 않는다.0316


x의값이1에서3까지변할때의함수 f(x)의평균변화

율은

`f(3)-f(1)3-1 =

7-12 =3

함수 f(x)의x=a에서의미분계수는

f '(a)=limh`Ú0

`f(a+h)-f(a)

h

=limh`Ú0

{(a+h)Û`-(a+h)+1}-(aÛ`-a+1)

h

=limh`Ú0

hÛ`+2ah-h

h

=limh`Ú 0

(h+2a-1)=2a-1

즉,2a-1=3이므로a=2 답 ④

0315

limx`Ú2

`f(x+2)-6

xÛ`-4=3에서(분모)`Ú 0이고극한값이

존재하므로(분자)`Ú 0이어야한다.즉,lim

x`Ú 2 { f(x+2)-6}=0이므로 f(4)=6

x+2=a로놓으면x`Ú 2일때a`Ú 4이므로

limx`Ú2

`f(x+2)-6

xÛ`-4=lim

x`Ú2 `f(x+2)-6(x+2)(x-2)

=lima`Ú4

`f(a)-f(4)a(a-4)

=lima`Ú4

[ `f(a)-f(4)a-4 ´;a!;]=;4!; f '(4)

즉,;4!; f '(4)=3이므로 f '(4)=12

∴ f(4)+f '(4)=6+12=18 답 18

0318

점(1, f(1))에서의접선의기울기가-6이므로

f '(1)=-6

∴limx`Ú1

`f(x)-f(1)

xÜ`-1=lim

x`Ú1 [ `f(x)-f(1)

x-1 ´ 1xÛ`+x+1

]

=;3!; f '(1)=;3!;´(-6)

=-2 답 -2

0317

y=f(x)의그래프가y축에대하여대칭이므로

f(-x)=f(x)

∴ f '(-a)=limh`Ú0

`f(-a+h)-f(-a)

h

=limh`Ú0

`f(a-h)-f(a)

h

=limh`Ú0

`f(a-h)-f(a)

-h ´(-1)

=-f '(a)

즉, f '(2)=-3에서 f '(-2)=-f '(2)=3

∴ limx`Ú-2

`f(xÛ`)-f(4)`f(x)-f(-2)

= limx`Ú-2

[ `f(xÛ`)-f(4)xÛ`-4

´ x-(-2) `f(x)-f(-2)

´(x-2)]

=f '(4)´ 1`f '(-2)

´(-4)

=6´;3!;´(-4)=-8 답 ①

0319

f(x) f '(x)=9x+12 yy`㉠

f(x)를n차식이라하면 f '(x)는(n-1)차식이고㉠의우변이

일차식이므로

n+(n-1)=1,2n=2 ∴n=1

따라서 f(x)는일차식이므로 f(x)=ax+b`(a,b는상수,

a+0)로놓으면 f '(x)=a

f(x), f '(x)를㉠에대입하면

(ax+b)a=9x+12

aÛ`x+ab=9x+12


aÛ`=9,ab=12

∴a=3,b=4또는a=-3,b=-4

Úa=3,b=4일때, f(x)=3x+4이므로

f(1) f(2)=7´10=70

Ûa=-3,b=-4일때, f(x)=-3x-4이므로

f(1) f(2)=-7´(-10)=70

Ú,Û에서 f(1) f(2)=70 답 70

0314

f(x)가이차함수이므로

f(x)=axÛ`+bx+c`(a,b,c는상수,a+0)로놓으면

f '(x)=2ax+b

f(x), f '(x)를주어진식에대입하면

x(2ax+b)-(axÛ`+bx+c)=xÛ`+3

axÛ`-c=xÛ`+3


a=1,c=-3

또, f '(1)=3이므로2a+b=3 ∴b=1

따라서 f(x)=xÛ`+x-3이므로

f(2)=4+2-3=3 답 ⑤

0313



`f(0)=f(0)+f(0)-0 ∴ f(0)=0

0323

① limx`Ú 3+

f(x)= limx`Ú 3-

f(x)=2이므로 limx`Ú 3

f(x)=2

②점(4, f(4))에서의접선의기울기는음수이므로 f '(4)<0

③함수 f(x)는x=2,x=3에서불연속이므로불연속인x의

값은2개이다.

④함수 f(x)는x=1,x=2,x=3에서미분가능하지않으므로

미분가능하지않은x의값은3개이다.

⑤ f '(x)=0인x의값은열린구간(-1,1),(4,5)에서각각

한개씩존재하고,열린구간(1,2)의모든점에서 f '(x)=0

이다. 답 ⑤

0322

limx`Ú2

`f(x)-2xÛ`-4

=2에서(분모)`Ú 0이고극한값이존재


x`Ú2 {`f(x)-2}=0이므로 f(2)=2

∴limx`Ú2

`f(x)-2xÛ`-4

=limx`Ú2

`f(x)-f(2)

xÛ`-4

=limx`Ú2

[ `f(x)-f(2)x-2 ´ 1

x+2 ]=;4!; f '(2)

즉,;4!; f '(2)=2에서 f '(2)=8

또,limx`Ú2

`g(x)-1xÜ`-8

=1에서(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므

로(분자)`Ú 0이어야한다.즉,lim

x`Ú2 { g(x)-1}=0이므로g(2)=1

∴limx`Ú2

`g(x)-1xÜ`-8

=limx`Ú2

`g(x)-g(2)

xÜ`-8

=limx`Ú2

[ `g(x)-g(2)x-2 ´ 1

xÛ`+2x+4 ]

=;1Á2; g'(2)

즉,;1Á2; g'(2)=1에서g'(2)=12

따라서함수y=f(x)g(x)의x=2에서의미분계수는

y'=f '(2)g(2)+f(2)g'(2)=8´1+2´12=32 답 32

0324

1n =h로놓으면n`Ú ¦일때h`Ú 0이므로

limn`Ú¦

n[`f {1+ 3n }-f {1- 2

n }]

=limh`Ú0

`f(1+3h)-f(1-2h)

h

=limh`Ú0

{`f(1+3h)-f(1)}-{`f(1-2h)-f(1)}

h

=limh`Ú0

`f(1+3h)-f(1)

3h ´3-limh`Ú0

`f(1-2h)-f(1)

-2h ´(-2)

=3 f '(1)+2 f '(1)=5 f '(1)

f '(x)=8xÜ`-3이므로 f '(1)=5

∴(주어진식)=5 f '(1)=5´5=25 답 25

0325

y=f(x)의그래프에서

f(1)=0, f '(1)<0, f(2)<0, f '(2)=0, f(3)=0, f '(3)>0

또,g(x)=x f(x)에서g '(x)=f(x)+x f '(x)이므로

g '(1)=f(1)+f '(1)<0

g '(2)=f(2)+2 f '(2)<0

g '(3)=f(3)+3 f '(3)>0

ㄱ. f(1)+g '(1)=g '(1)<0

ㄴ.g(2)g '(2)=2 f(2)g '(2)>0

ㄷ. f(3)+g '(3)=g '(3)>0


0320

ㄱ. f(x)="Ã(x-2)Û`=|x-2|

limx`Ú 2


limx`Ú2-

`f(x)-f(2)

x-2 = limx`Ú2-

|x-2|x-2

= limx`Ú2-

-(x-2) x-2 =-1

limx`Ú2+

`f(x)-f(2)

x-2 = limx`Ú2+

|x-2|x-2

= limx`Ú2+

x-2x-2=1


ㄴ. limx`Ú 2


limx`Ú2

`f(x)-f(2)

x-2 =limx`Ú2

(x-2)|x-2|

x-2

=limx`Ú 2

|x-2|=0


ㄷ. f(x)= xÛ`-4|x-2|

는x=2에서불연속이므로미분가능하지

않다.

따라서x=2에서미분가능하지않은함수는ㄱ,ㄷ이다.

답 ㄱ, ㄷ

0321

∴ f '(x)=limh`Ú0

`f(x+h)-f(x)

h

=limh`Ú0

`f(x)+f(h)-3xh-f(x)

h

=limh`Ú0

`f(h)-3xh

h

=limh`Ú0

`f(h)-f(0)

h -3x

=f '(0)-3x=-3x-2 답 f '(x)=-3x-2


다항식xÞ`+axÝ`+b를(x+1)Û`으로나눌때의몫을

Q(x)라하면

xÞ`+axÝ`+b=(x+1)Û` Q(x) yy`㉠


-1+a+b=0 ∴a+b=1 yy`㉡


5xÝ`+4axÜ`=2(x+1)Q(x)+(x+1)Û` Q'(x)

위식의양변에x=-1을대입하면

5-4a=0 ∴a=;4%;

a=;4%;를㉡에대입하면

;4%;+b=1 ∴b=-;4!;

∴a-b=;4%;-{-;4!;}=;2#; 답 ⑤

0328

다항식 f(x)를(x-1)Û`으로나누었을때의몫을

Q(x),나머지를R(x)=ax+b`(a,b는상수)라하면

f(x)=(x-1)Û` Q(x)+ax+b yy`㉠

㉠의양변에x=1을대입하면

f(1)=a+b=7 yy`㉡


f '(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û` Q'(x)+a

위식의양변에x=1을대입하면

f '(1)=a=20

0329

조건㈎에서주어진식의양변에x=0,y=0을대입하면

f(0)=f(0)+f(0)-1 ∴ f(0)=1

f '(1)=limh`Ú0

`f(1+h)-f(1)

h

=limh`Ú0

`f(1)+f(h)+2h-1-f(1)

h

=limh`Ú0

`f(h)+2h-1

h =limh`Ú0

`f(h)-f(0)

h +2

=f '(0)+2

이때 f '(1)=1이므로

f '(0)+2=1 ∴ f '(0)=-1

답 -1


f(0)의값구하기 30%

f'(1)을f'(0)으로나타내기 40%

f'(0)의값구하기 30%

0330

함수 f(x)가미분가능하므로x=1에서연속이다.즉,

limx`Ú 1

f(x)=f(1)이므로b+3=1+a

∴a-b=2 yy`㉠


limx`Ú1+

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1+

(xÛ`+a)-(1+a)

x-1

= limx`Ú1+

xÛ`-1x-1 = lim

x`Ú1+(x+1)=2

limx`Ú1-

`f(x)-f(1)

x-1 = limx`Ú1-

(bx+3)-(b+3)

x-1

= limx`Ú1-

b(x-1)x-1 =b

∴b=2

b=2를㉠에대입하면a=4

∴a+b=4+2=6

답 6





0331

조건㈎에서limx`Ú¦

`f(x)

xÛ`-3x+2=-3이므로

f(x)의최고차항은-3xÛ`이다.

f(x)=-3xÛ`+ax+b(a,b는상수)라하면

f '(x)=-6x+a

조건㈏에서(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므로(분자)`Ú 0이어야한다.

즉,limx`Ú 1

{`f(x)-5}=0이므로 f(1)=5

∴limx`Ú1

`f(x)-5x-1 =lim

x`Ú1 `f(x)-f(1)

x-1 =f '(1)=-6+a

즉,-6+a=-8이므로a=-2

따라서 f '(x)=-6x-2이므로

f '(-1)=6-2=4 답 4

0326

함수y=f(x)의그래프위의점(3,1)에서의접선의

기울기가-1이므로

f(3)=1, f '(3)=-1

g(x)=xÛ`+x f(x)에서g'(x)=2x+f(x)+x f '(x)

∴g'(3)=2´3+f(3)+3 f '(3)

=6+1+3´(-1)=4 답 4

0327

a=20을㉡에대입하면

20+b=7 ∴b=-13

따라서R(x)=20x-13이므로

R(2)=40-13=27 답 27


f(x)의최고차항을axÇ``(a+1인상수)으로놓으면

{`f(x)}Û`-f(xÛ`)의최고차항은aÛ`xÛ`Ç`-axÛ`Ç`=a(a-1)xÛ`Ç`

xÜ` f(x)의최고차항은axn+3

이때조건㈎에서극한값이존재하므로

2n=n+3 ∴n=3

limx`Ú¦

{`f(x)}Û`-f(xÛ`)

xÜ` f(x)=

a(a-1)a =a-1

이므로a-1=4 ∴a=5

따라서 f(x)의최고차항이5xÜ`이므로

f(x)=5xÜ`+bxÛ`+cx+d(b,c,d는상수)로놓으면

f '(x)=15xÛ`+2bx+c

조건㈏에서(분모)`Ú 0이고극한값이존재하므로(분자)`Ú 0이어야한다.

즉,limx`Ú 0

f '(x)=0이므로

f '(0)=0 ∴c=0

limx`Ú0

`f '(x)

x =limx`Ú0

15xÛ`+2bxx =lim

x`Ú0 (15x+2b)=2b

이므로2b=4 ∴b=2

0333

함수 f(x)는실수전체의집합에서미분가능하므로실

수전체의집합에서연속이다.

따라서 f(x)는x=-1에서연속이므로

limx`Ú -1+

f(x)= limx`Ú -1-

f(x)

∴ limx`Ú -----1+

f(x)= limx`Ú 1-

f(x)(∵ f(x+2)=f(x))

-a+b-1+1=a+b+1+1

2a=-2 ∴a=-1

∴ f(x)=-xÜ`+bxÛ`+x+1(-1Éx<1)

함수 f(x)는x=-1에서미분가능하므로

limx`Ú -1+

`f(x)-f(-1)

x-(-1)

= limx`Ú -1+

(-xÜ`+bxÛ`+x+1)-(1+b)

x-(-1)

= limx`Ú -1+

-(xÛ`-1)(x-b)

x+1

= limx`Ú -1+

{-(x-1)(x-b)}

=-2(b+1)

x+2=t로놓으면x`Ú -1-일때t`Ú 1-이므로

limx`Ú -1-

`f(x)-f(-1)

x-(-1)

= limt`Ú 1-

`f(t-2)-f(-1)

t-1

= limt`Ú 1-

`f(t)-f(-1)

t-1

= limt`Ú 1-

(-tÜ`+btÛ`+t+1)-(1+b)

t-1

= limt`Ú 1-

-(tÛ`-1)(t-b)

t-1

= limt`Ú 1-

{-(t+1)(t-b)}

=2(b-1)

즉,-2(b+1)=2(b-1)이므로b=0

따라서 f(x)=-xÜ`+x+1이므로 f '(x)=-3xÛ`+1

∴ f(101)+f '(101)=f(2´51-1)+f '(2´51-1)

=f(-1)+f '(-1)

=1+(-2)=-1 답 -1

0334

limx`Ú2

`f(x)-ax-2 =4에서(분모)`Ú 0이고극한값이존재


x`Ú 2 {`f(x)-a}=0이므로 f(2)=a

∴limx`Ú2

`f(x)-ax-2 =lim

x`Ú2 `f(x)-f(2)

x-2 =f '(2)=4

한편, f(x)를(x-2)Û`으로나눌때의몫을Q(x)라하면나머

지가bx+3이므로

f(x)=(x-2)Û` Q(x)+bx+3 yy`㉠

㉠의양변에x=2를대입하면

f(2)=2b+3=a yy`㉡


f '(x)=2(x-2)Q(x)+(x-2)Û` Q'(x)+b

위식의양변에x=2를대입하면

f '(2)=b=4

b=4를㉡에대입하면a=11

∴a+b=11+4=15

답 15


f(2)를a로나타내고f'(2)의값구하기 30%

f(x)의식세우기 20%



0332따라서 f '(x)=15xÛ`+4x이므로

f '(1)=15+4=19 답 19

f(x)=(\{\9

x+1 (-2Éx<0)

0 (x=0)

x-1 (0<xÉ2)

g(x)=(\{\9

-1 (-2ÉxÉ-1)

x (-1<x<0,0<x<1)

1 (x=0,1ÉxÉ2)

0335

03. 도함수의 활용 ( 1 ) 041

ㄱ. f(x)+g(x)=[2x+1 (-1ÉxÉ0)

2x-1 (0<xÉ1)에서

limx`Ú 0+

{ f(x)+g(x)}= limx`Ú 0+

(2x-1)=-1

limx`Ú 0-

{ f(x)+g(x)}= limx`Ú 0-

(2x+1)=1

이므로 f(x)+g(x)는x=0에서불연속이고미분가능하지

않다.

ㄴ. f(x)g(x)=[-x-1 (-2ÉxÉ-1)

xÛ`+x (-1<xÉ0)에서

limx`Ú -1

f(x)g(x)=f(-1)g(-1)=0이므로 f(x)g(x)는

x=-1에서연속이다.

limx`Ú-1+

`f(x)g(x)-f(-1)g(-1)

x-(-1)

= limx`Ú-1+

xÛ`+xx+1 = lim

x`Ú-1+ x(x+1)x+1

= limx`Ú-1+

x=-1

limx`Ú-1-

`f(x)g(x)-f(-1)g(-1)

x-(-1)

= limx`Ú-1-

-x-1x+1 = lim

x`Ú-1- -(x+1)x+1

=-1

이므로 f(x)g(x)는x=-1에서미분가능하다.

ㄷ.(`f½g)(x)=f(g(x))=[x-1 (0<x<1)

0 (1ÉxÉ2)에서

limx`Ú 1

(`f½g)(x)=(`f½g)(1)=0이므로(`f½g)(x)는

x=1에서연속이다.

limx`Ú1+

(`f½g)(x)-(`f½g)(1)

x-1

= limx`Ú1+

0x-1 =0

limx`Ú1-

(`f½g)(x)-(`f½g)(1)

x-1

= limx`Ú1-

x-1 x-1 =1

이므로(`f½g)(x)는x=1에서미분가능하지않다.


336 0 f(x)=xÛ`-1로놓으면f '(x)=2x이므로

f '(2)=2´2=4

따라서구하는접선의방정식은

y-3=4(x-2)

∴y=4x-5

337 0 f(x)=2xÛ`-3x+7로놓으면f '(x)=4x-3이므로

f '(1)=4´1-3=1


y-6=1´(x-1)

∴y=x+5

338 0 f(x)=;3!;xÜ +2xÛ -4로놓으면f '(x)=xÛ +4x이므로

f '(-3)=(-3)Û`+4´(-3)=-3


y-5=-3(x+3)

∴y=-3x-4

339 0 f(x)=-xÜ`+6x+8로놓으면f '(x)=-3xÛ`+6이므

로

f '(-1)=(-3)´(-1)Û`+6=3


y-3=3(x+1)

∴y=3x+6

340 0 f(x)=-xÛ`+3x+5로놓으면f '(x)=-2x+3

접점의좌표를(t,-tÛ`+3t+5)라하면접선의기울기가1이므

로

f '(t)=-2t+3=1 ∴t=1

따라서구하는접선은점(1,7)을지나고기울기가1인직선이

므로

y-7=x-1 ∴y=x+6

341 0 f(x)=;2!;xÛ`-5x+3으로놓으면f '(x)=x-5

접점의좌표를{t,;2!;tÛ`-5t+3}이라하면접선의기울기가1이

므로

f '(t)=t-5=1 ∴t=6

답 y=4x-5

답 y=x+5

답 y=-3x-4

답 y=3x+6

답 y=x+6

도함수의 활용 ( 1 )04Ⅱ. 미분

본문 55쪽교과서 문제 정 /복 /하 /기


따라서 구하는 접선은 점 (6, -9)를 지나고 기울기가 1인 직선

이므로

y+9=x-6 ∴ y=x-15

342 0 f(x)=xÜ`-2x로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-2

접점의 좌표를 (t, tÜ`-2t)라 하면 접선의 기울기가 1이므로

f '(t)=3tÛ`-2=1 ∴ t=Ñ1

Ú t=1일 때

점 (1, -1)을 지나고 기울기가 1인 직선이므로

y+1=x-1 ∴ y=x-2

Û t=-1일 때

점 (-1, 1)을 지나고 기울기가 1인 직선이므로

y-1=x+1 ∴ y=x+2

따라서 구하는 접선의 방정식은 y=x-2, y=x+2이다.

343 0 f(x)=-xÜ`+4x로 놓으면 f '(x)=-3xÛ`+4이므로

f '(2)=(-3)´2Û`+4=-8

따라서 점 (2, 0)에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 ;8!;이므

로 구하는 직선의 방정식은

y-0=;8!;(x-2)

∴ y=;8!;x-;4!;

344 0 f(x)=xÜ`+5로 놓으면 f '(x)=3xÛ`

접점의 좌표를 (t, tÜ`+5)라 하면 직선 y=3x+1에 평행한 접선

의 기울기는 3이므로

f '(t)=3tÛ`=3 ∴ t=Ñ1

Ú t=1일 때

점 (1, 6)을 지나고 기울기가 3인 직선이므로

y-6=3(x-1) ∴ y=3x+3

Û t=-1일 때

점 (-1, 4)를 지나고 기울기가 3인 직선이므로

y-4=3(x+1) ∴ y=3x+7

따라서 구하는 접선의 방정식은 y=3x+3, y=3x+7이다.

345 0 f(x)=xÛ`-x로 놓으면 f '(x)=2x-1

접점의 좌표를 (t, tÛ`-t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는

f '(t)=2t-1이므로 접선의 방정식은

y-(tÛ`-t)=(2t-1)(x-t)

∴ y=(2t-1)x-tÛ` yy ㉠

이 직선이 점 (1, -1)을 지나므로

-1=-tÛ`+2t-1, tÛ`-2t=0

t(t-2)=0 ∴ t=0 또는 t=2 yy ㉡

답 y=x-15

답 y=x-2, y=x+2

답 y=;8!;x-;4!;

답 y=3x+3, y=3x+7

㉡을 각각 ㉠에 대입하면

y=-x, y=3x-4

따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-x, y=3x-4이다.

346 0 f(x)=xÜ`-xÛ`-2로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-2x

접점의 좌표를 (t, tÜ`-tÛ`-2)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기

는 f '(t)=3tÛ`-2t이므로 접선의 방정식은

y-(tÜ`-tÛ`-2)=(3tÛ`-2t)(x-t)

∴ y=(3tÛ`-2t)x-2tÜ`+tÛ`-2 yy ㉠

이 직선이 점 (-1, 2)를 지나므로

2=-2tÜ`-2tÛ`+2t-2, tÜ`+tÛ`-t+2=0

(t+2)(tÛ`-t+1)=0 ∴ t=-2

이것을 ㉠에 대입하면

y=16x+18

따라서 구하는 접선의 방정식은 y=16x+18이다.

347 0 함수 f(x)=xÛ`-4x는 닫힌구간 [-1, 5]에서 연속이고

열린구간 (-1, 5)에서 미분가능하며 f(-1)=f(5)=5이므로

롤의 정리에 의하여 f '(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 5)에 적어

도 하나 존재한다.

이때 f '(x)=2x-4이므로

f '(c)=2c-4=0 ∴ c=2

348 0 함수 f(x)=3x-xÛ`은 닫힌구간 [1, 2]에서 연속이고

열린구간 (1, 2)에서 미분가능하며 f(1)=f(2)=2이므로 롤의

정리에 의하여 f '(c)=0인 c가 열린구간 (1, 2)에 적어도 하나

존재한다.

이때 f '(x)=3-2x이므로

f '(c)=3-2c=0 ∴ c=;2#;

349 0 함수 f(x)=xÜ`-xÛ`-5x-4는 닫힌구간 [-1, 3]에서

연속이고 열린구간 (-1, 3)에서 미분가능하며

f(-1)=f(3)=-1이므로 롤의 정리에 의하여 f '(c)=0인

c가 열린구간 (-1, 3)에 적어도 하나 존재한다.

이때 f '(x)=3xÛ`-2x-5이므로

f '(c)=3cÛ`-2c-5=0

(3c-5)(c+1)=0 ∴ c=;3%; (∵ -1<c<3)

따라서 실수 c의 개수는 1이다.

350 0 함수 f(x)=xÛ`은 닫힌구간 [1, 3]에서 연속이고 열린구

간 (1, 3)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

f(3)-f(1)3-1 =f '(c)인 c가 1과 3 사이에 적어도 하나 존재한

다.

답 y=-x, y=3x-4

답 y=16x+18

답 2

답 ;2#;

답 1

04. 도함수의 활용 ( 1 ) 043

이때 f '(x)=2x이므로 9-13-1 =2c

2c=4 ∴ c=2

351 0 함수 f(x)=xÛ`-2x는 닫힌구간 [1, 5]에서 연속이고

열린구간 (1, 5)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

f(5)-f(1)5-1 =f '(c)인 c가 1과 5 사이에 적어도 하나 존재한

다.

이때 f '(x)=2x-2이므로 15-(-1)

5-1 =2c-2

2c-2=4 ∴ c=3

352 0 함수 f(x)=;3!;xÜ`-xÛ`은 닫힌구간 [-3, 3]에서 연속이

고 열린구간 (-3, 3)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하

여 f(3)-f(-3)

3-(-3) =f '(c)인 c가 -3과 3 사이에 적어도 하나

존재한다.

이때 f '(x)=xÛ`-2x이므로 0-(-18)3-(-3) =cÛ`-2c

cÛ`-2c-3=0, (c+1)(c-3)=0

∴ c=-1 (∵ -3<c<3)

따라서 실수 c의 개수는 1이다.

본문 56~62쪽유형 익 /히 /기

353 0 f(x)=xÜ`+axÛ`+b로 놓으면 f '(x)=3xÛ`+2ax

점 (2, 6)이 곡선 y=f(x) 위의 점이므로

f(2)=8+4a+b=6

∴ 4a+b=-2 yy ㉠

점 (2, 6)에서의 접선의 기울기가 8이므로

f '(2)=12+4a=8 ∴ a=-1

이것을 ㉠에 대입하면 b=2

∴ a+b=-1+2=1

354 0 곡선 y=f(x) 위의 점 (2, f(2))에서의 접선의 기울기

가 -3이므로 f '(2)=-3

∴ limh`Ú0

f(2+5h)-f(2)h =lim

h`Ú0

f(2+5h)-f(2)5h ´5

=5f '(2)

=5´(-3)=-15

답 2

답 3

답 1

답 1

답 -15

355 0 f(x)=xÜ`+3axÛ`+bx+c로 놓으면

f '(x)=3xÛ`+6ax+b

점 (-1, 1)이 곡선 y=f(x) 위의 점이므로

f(-1)=-1+3a-b+c=1

∴ 3a-b+c=2 yy ㉠

점 (-1, 1)에서의 접선의 기울기가 15이므로

f '(-1)=3-6a+b=15

∴ -6a+b=12 yy ㉡

x좌표가 2인 점에서의 접선의 기울기가 6이므로

f '(2)=12+12a+b=6

∴ 12a+b=-6 yy ㉢

㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-1, b=6

이것을 ㉠에 대입하면 c=11

∴ a-b+c=-1-6+11=4

356 0 f(x)=-xÜ`+9xÛ`-20x+1로 놓으면

f '(x)=-3xÛ`+18x-20=-3(x-3)Û`+7이므로

f '(x)는 x=3일 때 최댓값 7을 갖는다.

∴ M=7

이때 f(3)=-27+81-60+1=-5이므로 접점의 좌표는

(3, -5)이다.

∴ p=3, q=-5

∴ p+q+M=3+(-5)+7=5

357 0 f(x)=xÜ -xÛ +ax+2로 놓으면 f '(x)=3xÛ -2x+a

점 (1, 3)이 곡선 y=f(x) 위의 점이므로

f(1)=1-1+a+2=3 ∴ a=1

점 (1, 3)에서의 접선의 기울기는

f '(1)=3-2+1=2

따라서 점 (1, 3)을 지나고 기울기가 2인 접선의 방정식은

y-3=2(x-1) ∴ y=2x+1

∴ b=2, c=1

∴ abc=1´2´1=2

358 0 f(x)=-3xÛ`+7x-4로 놓으면 f '(x)=-6x+7

점 (0, -4)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=7이므로 직선 l의

방정식은

y+4=7x ∴ y=7x-4 yy ㉠

또, 점 (2, -2)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=-5이므로 직

선 m의 방정식은

y+2=-5(x-2) ∴ y=-5x+8 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

x=1, y=3

따라서 두 직선 l, m의 교점의 좌표는 (1, 3)이다.

답 4

답 5

답 ②

답 (1, 3)


359 0 f(0)=f(3)=f(4)=a (a는 상수)라 하면

f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차식이므로

f(x)=x(x-3)(x-4)+a로 놓을 수 있다.

이때 점 (2, -1)이 곡선 y=f(x) 위의 점이므로

f(2)=2´(-1)´(-2)+a=-1 ∴ a=-5

따라서 f(x)=x(x-3)(x-4)-5=xÜ -7xÛ +12x-5이므로

f '(x)=3xÛ`-14x+12에서 f '(2)=-4

따라서 점 (2, -1)을 지나고 기울기가 -4인 접선의 방정식은

y+1=-4(x-2) ∴ y=-4x+7

360 0 limx`Ú-1

f(x)-3x+1 =-2에서 x 4Ú`-1일 때, (분모) 4Ú`0

이고 극한값이 존재하므로 (분자) 4Ú`0이어야 한다.

즉, limx`Ú-1

{f(x)-3}=0이므로 f(-1)=3

∴ limx`Ú-1

f(x)-3x+1 = lim

x`Ú-1

f(x)-f(-1)x-(-1)

=f '(-1)=-2

따라서 곡선 y=f(x) 위의 점 (-1, f(-1))에서의 접선의 기

울기는 -2이므로 점 (-1, 3)에서의 접선의 방정식은

y-3=-2(x+1) ∴ y=-2x+1

따라서 a=-2, b=1이므로

a+b=-1


f(-1)의 값 구하기 30%

f '(-1)의 값 구하기 30%

접선의 방정식 구하기 30%

a+b의 값 구하기 10%

361 0 f(x)=x(x+1)(2-x)로 놓으면

f '(x) =(x+1)(2-x)+x(2-x)-x(x+1)

=-3xÛ`+2x+2

점 (2, 0)에서의 접선의 기울기는

f '(2)=-12+4+2=-6

이므로 이 점에서의 접선과 수직인 직선의 기울기는 ;6!;이다.

따라서 구하는 직선의 방정식은

y-0=;6!;(x-2) ∴ y=;6!;x-;3!;

따라서 m=;6!;, n=-;3!;이므로 m+n=-;6!;

답 y=-4x+7

답 -1

답 ③

362 0 f(x)=2x-;3!;xÜ`으로 놓으면 f '(x)=2-xÛ`

접점의 좌표를 {a, 2a-;3!;aÜ`}이라 하면 직선 x-2y+10=0,

즉 y=;2!;x+5와 수직인 접선의 기울기는 -2이므로

f '(a)=2-aÛ`=-2, aÛ`=4 ∴ a=-2 또는 a=2

따라서 접점의 좌표는 {-2, -;3$;}, {2, ;3$;}이므로 구하는 직선

의 방정식은

y+;3$;=-2(x+2), y-;3$;=-2(x-2)

∴ y=-2x- 163 , y=-2x+ 16

3

답 y=-2x- 163 , y=-2x+ 16

3

363 0 f(x)=xÜ`-ax, g(x)=xÛ`+bx+c로 놓으면

f '(x)=3xÛ`-a, g '(x)=2x+b

두 곡선이 점 (1, -1)에서 만나므로

f(1)=1-a=-1 ∴ a=2 yy ㉠

g(1)=1+b+c=-1 ∴ b+c=-2 yy ㉡

또, 점 (1, -1)에서의 두 접선이 서로 수직이므로

f '(1)g '(1)=-1에서

(3-a)(2+b)=-1 yy ㉢

㉠을 ㉢에 대입하면 b=-3

이것을 ㉡에 대입하면 c=1

∴ abc=-6

364 0 f(x)=xÜ`+kxÛ`-3으로 놓으면 f '(x)=3xÛ`+2kx

f '(-1)=3-2k, f '(1)=3+2k

x좌표가 -1인 점에서의 접선과 x좌표가 1인 점에서의 접선이

서로 수직이므로

f '(-1)f '(1)=-1에서 (3-2k)(3+2k)=-1

9-4kÛ`=-1, kÛ`=;2%;

∴ k='¶10`2 (∵ k는 양수)

365 0 f(x)=xÜ`-4xÛ`+5로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-8x

점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=-5이므로 접선의 방

정식은

y-2=-5(x-1) ∴ y=-5x+7

이 직선이 곡선과 만나는 점의 x좌표는

-5x+7=xÜ`-4xÛ`+5에서

xÜ`-4xÛ`+5x-2=0, (x-1)Û`(x-2)=0

∴ x=1 또는 x=2

따라서 구하는 점의 좌표는 (2, -3)이므로

a=2, b=-3　　∴ a-b=5

답 -6

답 ④

답 5

04. 도함수의 활용 ( 1 ) 045

366 0 f(x)=-xÜ`+3xÛ`+x-7로 놓으면

f '(x)=-3xÛ`+6x+1

점 P(2, -1)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=1이므로 접선의

방정식은

y+1=x-2 ∴ y=x-3

이때 점 Q의 좌표는 (3, 0)이다.

또, 직선 y=x-3이 주어진 곡선과 만나는 점의 x좌표는

x-3=-xÜ`+3xÛ`+x-7에서

xÜ`-3xÛ`+4=0, (x-2)Û`(x+1)=0

∴ x=2 또는 x=-1

따라서 점 R의 좌표는 (-1, -4)이므로

PQÓ="Ã(3-2)Û`+(0+1)Û`='2PRÓ="Ã(-1-2)Û`+(-4+1)Û`=3'2∴ PQÓ : PRÓ='2` : 3'2 =1 : 3

367 0 f(x)=;3!;xÜ`-2xÛ`+;3$;x로 놓으면

f '(x)=xÛ`-4x+;3$;

점 O(0, 0)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=;3$;이므로 접선의 방

정식은 y=;3$;x

이 직선이 주어진 곡선과 만나는 점의 x좌표는

;3$;x=;3!;xÜ`-2xÛ`+;3$;x에서 xÜ`-6xÛ`=0, xÛ`(x-6)=0

∴ x=0 또는 x=6

따라서 점 A의 좌표는 (6, 8)이고, 점 M은 OAÓ의 중점이므로

OÕMÓ=;2!; OAÓ= "Ã6Û`+8Û``2 =5

368 0 f(x)=3xÛ`-4x+1로 놓으면 f '(x)=6x-4

접점의 좌표를 (a, 3a Û`-4a+1)이라 하면 직선 x+y-3=0,

즉 y=-x+3에 평행한 직선의 기울기는 -1이므로

f '(a)=6a-4=-1 ∴ a=;2!;

따라서 접점의 좌표는 {;2!;, -;4!;}이므로 구하는 직선의 방정식은

y+;4!;=-{x-;2!;} ∴ y=-x+;4!;

369 0 f(x)=xÜ`-4x+a로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-4

점 P의 좌표를 (t, tÜ`-4t+a)라 하면

접선의 기울기는 f '(t)=3tÛ`-4이므로 접선의 방정식은

y-(tÜ`-4t+a)=(3tÛ`-4)(x-t)

∴ y=(3tÛ`-4)x-2tÜ`+a

이 직선이 직선 y=-x+b와 일치해야 하므로

3tÛ`-4=-1, tÛ`=1 ∴ t=1 또는 t=-1 yy ㉠

-2tÜ`+a=b yy ㉡

답 ②

답 5

답 ②

이때 점 P는 제1사분면 위의 점이므로 ㉠에서 t=1

t=1을 ㉡에 대입하면 -2+a=b

∴ a-b=2

370 0 f(x)=xÜ`+6xÛ`+7x-1로 놓으면

f '(x)=3xÛ`+12x+7

접점의 좌표를 (a, aÜ`+6aÛ`+7a-1)이라 하면 접선의 기울기가

-5이므로

f '(a)=3aÛ`+12a+7=-5

3aÛ`+12a+12=0, aÛ`+4a+4=0

(a+2)Û`=0 ∴ a=-2

즉, 접점의 좌표는 (-2, 1)이므로 접선의 방정식은

y-1=-5(x+2) ∴ y=-5x-9

따라서 구하는 y절편은 -9이다.

371 0 f(x)=-xÛ`+3x+2로 놓으면 f '(x)=-2x+3

접점의 좌표를 (a, -aÛ`+3a+2)라 하면 접선의 기울기는

tan`45ù=1이므로

f '(a)=-2a+3=1 ∴ a=1

따라서 접점의 좌표는 (1, 4)이다.

372 0 f(x)=xÜ -3xÛ -9x+a로 놓으면 f '(x)=3xÛ -6x-9

접점의 좌표를 (t, tÜ`-3tÛ`-9t+a)라 하면 이 점에서의 접선의

기울기는 f '(t)=3tÛ`-6t-9이므로 접선의 방정식은

y-(tÜ`-3tÛ`-9t+a)=(3tÛ`-6t-9)(x-t)

∴ y=(3tÛ`-6t-9)x-2tÜ`+3tÛ`+a

이 직선이 직선 y=-12x+11과 일치해야 하므로

3tÛ`-6t-9=-12 yy ㉠

-2tÜ`+3tÛ`+a=11 yy ㉡

㉠에서 3tÛ`-6t+3=0, tÛ`-2t+1=0

(t-1)Û`=0 ∴ t=1

t=1을 ㉡에 대입하면 -2+3+a=11

∴ a=10

373 0 곡선 y=xÛ`-4x+a와 직선 y=-2x+1의 접점의

x좌표가 t이므로 x=t일 때 접선의 기울기는 -2이다.

f(x)=xÛ`-4x+a로 놓으면 f '(x)=2x-4이므로

f '(t)=2t-4=-2 ∴ t=1

따라서 접점의 좌표가 (1, -1)이므로 x=1, y=-1을

y=xÛ`-4x+a에 대입하면

-1=1-4+a ∴ a=2

∴ at=2´1=2

374 0 f(x)=xÜ`+ax+3으로 놓으면 f '(x)=3xÛ`+a

곡선 y=f(x) 위의 점 (-1, c)에서 직선 y=4x+b와 접하므로

답 2

답 -9

답 (1, 4)

답 ④

답 2


f(-1)=-1-a+3=c yy ㉠

f '(-1)=3+a=4 yy ㉡

㉠, ㉡에서 a=1, c=1

따라서 점 (-1, 1)에서의 접선의 방정식은

y-1=4(x+1) ∴ y=4x+5

∴ b=5

∴ abc=1´5´1=5

375 0 f(x)=xÜ`+axÛ`+2ax+1로 놓으면

f '(x)=3xÛ`+2ax+2a

접점의 좌표를 (t, tÜ`+atÛ`+2at+1)이라 하면 이 점에서의 접

선의 기울기는 f '(t)=3tÛ`+2at+2a이므로 접선의 방정식은

y-(tÜ`+atÛ`+2at+1)=(3tÛ`+2at+2a)(x-t)

∴ y=(3tÛ`+2at+2a)x-2tÜ`-atÛ`+1

이 직선이 직선 y=3x+1과 일치해야 하므로

3tÛ`+2at+2a=3 yy ㉠

-2tÜ`-atÛ`+1=1 yy ㉡

㉡에서 tÛ`(2t+a)=0 ∴ t=0 또는 t=-;2A;

Ú t=0일 때, ㉠에 대입하면 a=;2#;

Û t=-;2A;일 때, ㉠에 대입하면

3´{-;2A;}2`+2a´{-;2A;}+2a=3

aÛ`-8a+12=0, (a-2)(a-6)=0

∴ a=2 또는 a=6

Ú, Û에서 모든 상수 a의 값의 곱은 ;2#;´2´6=18

376 0 f(x)=xÜ`-x+3으로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-1

접점의 좌표를 (t, tÜ`-t+3)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울

기는 f '(t)=3tÛ`-1이므로 접선의 방정식은

y-(tÜ`-t+3)=(3tÛ`-1)(x-t)

∴ y=(3tÛ`-1)x-2tÜ`+3 yy ㉠

이 직선이 점 (0, 1)을 지나므로

1=-2tÜ`+3, tÜ`=1 ∴ t=1

t=1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=2x+1

따라서 구하는 y절편은 1이다.

377 0 f(x)=xÛ`+x로 놓으면 f '(x)=2x+1

접점의 좌표를 (t, tÛ`+t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는

f '(t)=2t+1이므로 접선의 방정식은

y-(tÛ`+t)=(2t+1)(x-t)

∴ y=(2t+1)x-tÛ`

이 직선이 점 (-1, -1)을 지나므로

-1=-(2t+1)-tÛ`, tÛ`+2t=0

답 ④

답 18

답 1

t(t+2)=0 ∴ t=0 또는 t=-2

따라서 두 접선의 기울기의 곱은

f '(0)f '(-2)=1´(-3)=-3

378 0 f(x)=xÜ`-5xÛ`+6x로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-10x+6

접점의 좌표를 (t, tÜ`-5tÛ`+6t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울

기는 f '(t)=3tÛ`-10t+6이므로 접선의 방정식은

y-(tÜ`-5tÛ`+6t)=(3tÛ`-10t+6)(x-t)

∴ y=(3tÛ`-10t+6)x-2tÜ`+5tÛ` yy ㉠

이 직선이 점 (-1, 4)를 지나므로

4=-(3tÛ`-10t+6)-2tÜ`+5tÛ`, -2tÜ`+2tÛ`+10t-10=0

tÜ`-tÛ`-5t+5=0, (t-1)(tÛ`-5)=0

그런데 접선의 기울기가 유리수이므로 t=1

t=1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=-x+3

따라서 a=-1, b=3이므로

ab=-3

379 0 f(x)=;4!;xÛ`+1로 놓으면 f '(x)=;2!;x

접점의 좌표를 {t, ;4!;tÛ +1}이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기

는 f '(t)=;2!;t이므로 접선의 방정식은

y-{;4!;tÛ`+1}=;2!;t(x-t)

∴ y=;2!;tx-;4!;tÛ`+1

이 직선이 점 (0, a)를 지나므로 a=-;4!;tÛ`+1

∴ tÛ`+4(a-1)=0 yy ㉠

이차방정식 ㉠의 두 근을 tÁ, tª라 하면 두 접선의 기울기는 ;2!;tÁ,

;2!;tª이고 두 접선이 서로 수직이므로

;2!;tÁ´;2!;tª=-1 ∴ tÁtª=-4 yy ㉡

또한, ㉠에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tÁtª=4(a-1) yy ㉢

㉡, ㉢에서 4(a-1)=-4

∴ a=0

380 0 f(x)=xÜ`+2xÛ`, g(x)=-xÛ`+4로 놓으면

f '(x)=3xÛ`+4x, g'(x)=-2x

두 곡선이 x좌표가 t인 점에서 공통인 접선을 갖는다고 하면

` f(t)=g(t)에서 tÜ`+2tÛ`=-tÛ`+4

tÜ`+3tÛ`-4=0, (t-1)(t+2)Û`=0

∴ t=1 또는 t=-2

`f '(t)=g '(t)에서 3tÛ`+4t=-2t

3tÛ`+6t=0, 3t(t+2)=0

∴ t=0 또는 t=-2

답 -3

답 ③

답 0

04. 도함수의 활용 ( 1 ) 047

따라서 t=-2일 때, 즉 점 (-2, 0)에서 공통인 접선을 갖고

` f '(-2)=g'(-2)=4이므로 공통인 접선의 방정식은

y-0=4(x+2)

∴ y=4x+8

381 0 f(x)=xÛ`+ax+b, g(x)=-xÛ`+c로 놓으면

f '(x)=2x+a, g '(x)=-2x

두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 점 (1, 3)을 지나므로

f(1)=1+a+b=3 ∴ a+b=2 yy ㉠

g(1)=-1+c=3 ∴ c=4

점 (1, 3)에서 두 곡선에 그은 접선의 기울기가 같으므로

` f '(1)=g '(1)에서 2+a=-2 ∴ a=-4

이것을 ㉠에 대입하면 b=6

∴ a-b-c=-14

382 0 f(x)=xÜ`+ax+1, g(x)=xÛ`으로 놓으면

f '(x)=3xÛ`+a, g '(x)=2x

두 곡선이 x좌표가 t인 점에서 접한다고 하면

f(t)=g(t)에서

tÜ`+at+1=tÛ` yy ㉠

f '(t)=g '(t)에서

3tÛ`+a=2t ∴ a=2t-3tÛ` yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

tÜ`+(2t-3tÛ` )t+1=tÛ`, 2tÜ`-tÛ`-1=0

(t-1)(2tÛ`+t+1)=0

∴ t=1 (∵ 2tÛ`+t+1>0)

따라서 t=1을 ㉡에 대입하면 a=-1


f(t)=g(t)임을 이용하여 식 세우기 30%

f '(t)=g '(t)임을 이용하여 식 세우기 30%

t와 a의 값 구하기 40%

383 0 f(x)=-;2!;xÛ`으로 놓으면 f '(x)=-x

점 (2, -2)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=-2이므로 접선의

방정식은 y+2=-2(x-2)

∴ y=-2x+2

오른쪽 그림과 같이 직선 y=-2x+2

가 x축, y축과 만나는 점의 좌표는 각

각 (1, 0), (0, 2)이므로 구하는 도형

의 넓이는

;2!;´1´2=1

답 ④

답 ①

답 -1

답 ①

384 0 f(x)=xÜ`+a로 놓으면 f '(x)=3xÛ`

f(2)=8+a, f '(2)=12이므로 x좌표가 2인 점에서의 접선의

방정식은

y-(8+a)=12(x-2) ∴ y=12x+a-16

이때 접선 y=12x+a-16이 x축, y축과 만나는 점의 좌표는

각각 {;3$;- a12 , 0}, (0, a-16)이므로 x좌표가 2인 점에서의

접선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는

;2!;´{;3$;- a12}´(16-a)=;3@;에서

aÛ`-32a+240=0, (a-12)(a-20)=0

∴ a=12 또는 a=20

그런데 0<a<16이므로 a=12

385 0 f(x)=xÛ`+1로 놓으면 f '(x)=2x

접점의 좌표를 (t, tÛ`+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기

는 f '(t)=2t이므로 접선의 방정식은

y-(tÛ`+1)=2t(x-t)

∴ y=2tx-tÛ`+1

이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로

tÛ`-1=0, (t-1)(t+1)=0

∴ t=1 또는 t=-1

따라서 두 접점의 좌표는

(1, 2), (-1, 2)이므로 구하는 삼각형

의 넓이는 ;2!;´2´2=2

386 0 f(x)=-xÛ`-3x+4로 놓으면 f '(x)=-2x-3

곡선이 x축과 만나는 점의 x좌표는

-xÛ`-3x+4=0, (x+4)(x-1)=0

∴ x=-4 또는 x=1

점 A는 x축의 음의 부분에서 만나므로 A(-4, 0)이다.

곡선이 y축과 만나는 점의 좌표는 B(0, f(0)), 즉 B(0, 4)이다.

이때 직선 AB의 기울기는 0-4

-4-0 =1

한편, 직선 CD가 곡선과 만나는 접점의 좌표를 (t, -tÛ -3t+4)

라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=-2t-3이고 직

선 AB의 기울기와 같으므로

-2t-3=1 ∴ t=-2

이때 접점의 좌표는 (-2, 6)이므로 직선 CD의 방정식은

y-6=x+2 ∴ y=x+8

따라서 C(-8, 0), D(0, 8)이고, ABDC의 넓이는

△OCD의 넓이에서 △OAB의 넓이를 뺀 것과 같다.

∴ ABDC=△OCD-△OAB

=;2!;´8´8-;2!;´4´4=24

387 0 f(x)=(x+a)(x-a)=xÛ`-aÛ`으로 놓으면

f '(x)=2x

답 12

답 ③

답 24


곡선 y=f(x)가 x축과 만나는 점을 A(-a, 0), B(a, 0)이라

하면 ` f '(-a)=-2a, ` f '(a)=2a

점 A(-a, 0)에서의 접선의 방정

식은

y =-2a(x+a)=-2ax-2aÛ`

점 B(a, 0)에서의 접선의 방정식

은

y=2a(x-a)=2ax-2aÛ`

두 접선의 교점을 C라 하면 점 C의 x좌표는

-2ax-2aÛ`=2ax-2aÛ`에서 x=0 (∵ a+0)

∴ C(0, -2aÛ` )

이때 △ACB의 넓이가 16이므로

;2!;´ABÓ´OCÓ=;2!;´2a´2aÛ`=16

2aÜ`=16, aÜ`=8

∴ a=2


두 점 A, B에서의 접선의 방정식 구하기 40%

두 접선의 교점의 좌표 구하기 30%

a의 값 구하기 30%

388 0 f(x)=a(x-1)Û`-2=axÛ`-2ax+a-2로 놓으면

f '(x)=2ax-2a

점 (0, a-2)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=-2a이므로 접선

의 방정식은

y-(a-2)=-2ax ∴ y=-2ax+a-2

이때 직선 y=-2ax+a-2의 x절편과 y절편은

0=-2ax+a-2에서 x= a-22a

y=a-2

따라서 P{ a-22a , 0}, Q(0, a-2)이므로 삼각형 OPQ의 넓이

S는

S=;2!;´| a-22a |´|a-2|= (a-2)Û`

4a

∴ lima`Ú0+

aS= lima`Ú0+

(a-2)Û`4 =1

389 0 원의 중심을 C(0, a), 접점을

T(1, 1)이라 하면 CTÓ와 접선 l은 수직

이다.

f(x)=xÝ`으로 놓으면 f '(x)=4xÜ`

점 T(1, 1)에서의 접선의 기울기는

f '(1)=4이므로

답 2

답 1

(직선 CT의 기울기)= 1-a1-0 =-;4!; ∴ a=;4%;

∴ C{0, ;4%;}

이때 원의 반지름의 길이 r는

r=CTÓ=æ¾Ð1Û`+{1-;4%;}2`= '¶17`4

따라서 원의 넓이는

prÛ`=;1!6&;p

390 0 f(x)=xÜ`으로 놓으면 f '(x)=3xÛ`

곡선 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=3

원의 중심이 x축 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하면

두 점 (1, 1), (a, 0)을 지나는 직선은 접선과 수직이다.

1-01-a =-;3!; ∴ a=4

이때 원의 반지름의 길이 r는 두 점 (1, 1), (4, 0) 사이의 거리

와 같으므로

r="Ã(4-1)Û`+1Û`='¶10따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 '¶10이다.

391 0 f(x)=-xÛ`+4로 놓으면 f '(x)=-2x

접점의 좌표를 (t, -tÛ`+4)라 하면

이 점에서의 접선의 기울기는

f '(t)=-2t

두 점 (t, -tÛ`+4), (0, 0)을 지나

는 직선은 접선과 수직이므로

-tÛ`+4t = 1

2t , tÛ`=;2&;

∴ t=-'¶14`2 또는 t=

'¶14`2

따라서 두 접점의 좌표는

{- '¶14`2 , ;2!;}, { '¶14`2 , ;2!;}

이때 원의 반지름의 길이 r는 원점과 접점 사이의 거리이므로

r=æ¾Ð{ '¶14`2 }2`+{;2!;}2`= '¶15`2

따라서 원의 둘레의 길이는

2pr=2p´ '¶15`2 ='¶15`p


두 접점의 좌표 구하기 40%

원의 반지름의 길이 구하기 40%

원의 둘레의 길이 구하기 20%

답 ;1!6&;p

답 '¶10

답 '¶15`p

04. 도함수의 활용 ( 1 ) 049

392 0 함수 f(x)=(x+2)(x-3)Û`은 닫힌구간 [-2, 3]에서

연속이고 열린구간 (-2, 3)에서 미분가능하며

f(-2)=f(3)=0이므로 롤의 정리에 의하여

f '(c)=0인 c가 열린구간 (-2, 3)에 적어도 하나 존재한다.

이때 f '(x)=(x-3)(3x+1)이므로

f '(c)=(c-3)(3c+1)=0

∴ c=-;3!; (∵ -2<c<3)

393 0 함수 f(x)=-2xÛ`+4x는 닫힌구간 [-1, 3]에서 연속

이고 열린구간 (-1, 3)에서 미분가능하며

f(-1)=f(3)=-6이므로 롤의 정리에 의하여

f '(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 3)에 적어도 하나 존재한다.

이때 f '(x)=-4x+4이므로

f '(c)=-4c+4=0

∴ c=1

394 0 함수 f(x)=-2xÜ`-4xÛ`+8x+3은 닫힌구간

[-a, a]에서 롤의 정리를 만족시키므로 f(-a)=f(a)이다.

2aÜ`-4aÛ`-8a+3=-2aÜ`-4aÛ`+8a+3

4aÜ`-16a=0, 4a(a-2)(a+2)=0

∴ a=2 (∵ a는 자연수)

롤의 정리에 의하여 f '(c)=0인 c가 열린구간 (-2, 2)에 적어

도 하나 존재한다.

이때 f '(x)=-6xÛ`-8x+8이므로

f '(c)=-6cÛ`-8c+8=-2(3c-2)(c+2)=0

∴ c=;3@; (∵ -2<c<2)

∴ ac = 2

;3@;=3

395 0 함수 f(x)=2xÛ -4x+1은 닫힌구간 [1, 3]에서 연속이

고 열린구간 (1, 3)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

f(3)-f(1)3-1 =f '(c)

인 c가 열린구간 (1, 3)에 적어도 하나 존재한다.

이때 f '(x)=4x-4이므로 7-(-1)

3-1 =4c-4

4c-4=4 ∴ c=2

396 0 닫힌구간 [a, b]에서 평균값 정

리를 만족시키는 상수 c는 오른쪽 그림에

서 직선 AB의 기울기와 곡선 y=f(x)

의 접선의 기울기가 같은 점의 x좌표이다.

이때 직선 AB와 평행한 접선을 3개 그

을 수 있으므로 실수 c의 개수는 3이다.

답 ①

답 ④

답 3

답 2

답 3

397 0 h(x)=f(x)-g(x)라 하면 함수 h(x)는 닫힌구간

[a, b]에서 연속이고, 열린구간 (a, b)에서 미분가능 하다.

a<x<b인 모든 실수 x에 대하여 f '(x)=g '(x)이므로

h '(x)=f '(x)-g '(x)= 0

따라서 h(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 상수함수이므로

h(x)=f(x)-g(x)=k (k는 상수)

즉, f(x)=g(x)+k이다.

398 0 함수 f(x)=-xÛ`+5x에 대하여 닫힌구간 [a, 1]에서

평균값 정리를 만족시키는 실수 0이 존재하므로

f(1)-f(a)1-a =f '(0)

이때 f '(x)=-2x+5이므로

4-(-aÛ`+5a)1-a =5, aÛ`=1

∴ a=-1 (∵ a<0)

399 0 f(x)=2xÛ`에서 f '(x)=4x

f(x+h)-f(x)=hf '(x+hh)에서

2(x+h)Û`-2xÛ`=4h(x+hh)

2h(2x+h)=4h(x+hh)

2x+h=2x+2 hh

∴ h=;2!; (∵ h+0)

400 0 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 미분가능하므로 f(x)는

닫힌구간 [x-5, x+1]에서 연속이고 열린구간 (x-5, x+1)

에서 미분가능하다.

따라서 평균값 정리에 의하여

f(x+1)-f(x-5)(x+1)-(x-5) =f '(c) (x-5<c<x+1)

인 c가 적어도 하나 존재한다.

이때 x Ú¦이면 c Ú¦이므로

limx`Ú¦

{f(x+1)-f(x-5)}=6limx`Ú¦

f(x+1)-f(x-5)(x+1)-(x-5)

=6limc`Ú¦

f '(c)

=6´(-2)=-12

본문 63쪽유형

401 0 f(x)=xÛ`으로 놓으면 f '(x)=2x

곡선 y=f(x)의 접선 중에서 직선 y=2x-11과 평행한 접선의

답 ㈎ 연속 ㈏ 미분가능 ㈐ 0

답 ⑤

답 ①

답 -12


접점의 좌표를 (t, tÛ` )이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 2

이어야 하므로

f '(t)=2t=2 ∴ t=1

따라서 접점의 좌표는 (1, 1)이고, 점 (1, 1)과 직선 y=2x-11,

즉 2x-y-11=0 사이의 거리가 구하는 최솟값이므로

|2-1-11|"�2Û`+(-1)Û`

=2'5

402 0 f(x)=xÜ`-2x로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-2

접점의 좌표를 (t, tÜ`-2t)라 하면 접선의 기울기가 10이므로

f '(t)=3tÛ`-2=10

3tÛ`-12=0, 3(t+2)(t-2)=0

∴ t=-2 또는 t=2

즉, 접점의 좌표는 (-2, -4), (2, 4)이다.

따라서 두 점 A, B 사이의 거리는

"Ã(2+2)Û`+(4+4)Û`=4'5


접점의 좌표를 (t, tÜ`-3tÛ`+2)라 하면 접선의 기울기가 9이므로

f '(t)=3tÛ`-6t=9

tÛ`-2t-3=0, (t+1)(t-3)=0

∴ t=-1 또는 t=3

따라서 접점의 좌표는 (-1, -2), (3, 2)이므로 두 접선의 방

정식은

y+2=9(x+1) ∴ 9x-y+7=0 yy ㉠

y-2=9(x-3) ∴ 9x-y-25=0 yy ㉡

두 직선 ㉠, ㉡ 사이의 거리는 직선 ㉠ 위의 점 (0, 7)과 직선 ㉡

사이의 거리와 같으므로

|0-7-25|"�9Û`+(-1)Û`

= 32'§82 = 16'§82

41

404 0 f(x)=xÛ`+5x+8로 놓으면 f '(x)=2x+5

직선 AB의 기울기는 1-(-5)-5-1 =-1이므로

직선 AB의 방정식은

y+5=-(x-1) ∴ x+y+4=0

곡선의 접점 중에서 직선 AB와 평행한 접선의 접점의 좌표를

(t, tÛ`+5t+8)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 -1이어

야 하므로

f '(t)=2t+5=-1 ∴ t=-3

따라서 접점의 좌표는 (-3, 2)이므로 P(-3, 2)일 때 삼각형

ABP의 넓이가 최소이다.

직선 AB와 점 P 사이의 거리는

|-3+2+4|"�1Û`+1Û`

= 3'2 = 3'2

2

답 2'5`

답 4'5`

답 ②

이때 ABÓ="�(1+5)Û`+(-5-1)Û`=6'2 이므로

삼각형 ABP의 넓이의 최솟값은

;2!;´6'2 3'22 =9


접점의 좌표를 (t, tÜ`-4tÛ`+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기

울기는 f '(t)=3tÛ`-8t이므로 접선의 방정식은

y-(tÜ`-4tÛ`+1)=(3tÛ`-8t)(x-t)

∴ y=(3tÛ`-8t)x-2tÜ`+4tÛ`+1

이 직선이 점 (a, 1)을 지나므로

1=(3tÛ`-8t)a-2tÜ`+4tÛ`+1

t{2tÛ`-(4+3a)t+8a}=0

∴ t=0 또는 2tÛ`-(4+3a)t+8a=0

이때 접선이 오직 한 개 존재하려면 이차방정식

2tÛ`-(4+3a)t+8a=0이 t=0을 중근으로 갖거나 실근을 갖지

않아야 한다.

Ú 2tÛ`-(4+3a)t+8a=0이 t=0을 중근으로 갖는 경우

2tÛ`=0이므로 4+3a=0, 8a=0

그런데 이를 만족시키는 a의 값이 존재하지 않으므로 이 이차

방정식은 t=0을 중근으로 갖지 않는다.

Û 2tÛ`-(4+3a)t+8a=0이 실근을 갖지 않는 경우

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D=(4+3a)Û`-64a<0

9aÛ`-40a+16<0, (9a-4)(a-4)<0

∴ ;9$;<a<4

Ú, Û에서 ;9$;<a<4

406 0 f(x)=xÛ`-3x-1로 놓으면 f '(x)=2x-3

접점의 좌표를 (t, tÛ`-3t-1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기

울기는 f '(t)=2t-3이므로 접선의 방정식은

y-(tÛ`-3t-1)=(2t-3)(x-t)

∴ y=(2t-3)x-tÛ`-1

이 직선이 점 (a, -2)를 지나므로

-2=(2t-3)a-tÛ`-1

∴ tÛ`-2at+3a-1=0

위의 이차방정식의 두 근을 tÁ, tª라 하면 tÁ, tª는 각각 두 점 B,

C의 x좌표이다.

이때 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tÁ+tª=2a이므

로 삼각형 ABC의 무게중심의 x좌표는

a+tÁ+tª3 = a+2a

3 =3

∴ a=3

407 0 f(x)=-xÛ`+3으로 놓으면 f '(x)=-2x

접점의 좌표를 (t, -tÛ`+3)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울

기는 f '(t)=-2t이므로 접선의 방정식은

답 9

답 ①

답 3

04. 도함수의 활용 ( 1 ) 051

y-(-tÛ`+3)=-2t(x-t)

∴ y=-2tx+tÛ`+3

이 직선이 점 P(1, 6)을 지나므로

6=-2t+tÛ`+3, tÛ`-2t-3=0

(t+1)(t-3)=0

∴ t=-1 또는 t=3

따라서 접점의 좌표는

Q(-1, 2), R(3, -6)

∴ QRÓ="�(-1-3)Û`+(2+6)Û`=4'5

직선 QR의 기울기는 2-(-6)-1-3 =-2이므로

직선 QR의 방정식은

y-2=-2(x+1) ∴ 2x+y=0

직선 QR와 점 P(1, 6) 사이의 거리는

|2´1+6|"�2Û`+1Û`

= 8'5 = 8'5

5

따라서 삼각형 PQR의 넓이는

;2!;´4'5 8'55 =16


408 0 f(x)=xÜ`+6xÛ`+10x-4로 놓으면

f '(x)=3xÛ`+12x+10=3(x+2)Û`-2

따라서 접선의 기울기는 x=-2일 때 최솟값 -2를 갖는다.

f(-2)=-8이므로 기울기가 최소인 접선의 방정식은

y+8=-2(x+2) ∴ y=-2x-12

즉, a=-2, b=-12이므로

ab=24

409 0 f(x)=xÛ`-3x+1로 놓으면

f '(x)=2x-3이므로 f '(t)=2t-3

점 (t, tÛ`-3t+1)에서의 접선의 방정식은

y-(tÛ`-3t+1)=(2t-3)(x-t)

∴ y=(2t-3)x-tÛ`+1

∴ g(t)=-tÛ`+1

∴ limt`Ú¦

g(t+2)-g(t)t =lim

t`Ú¦

{-(t+2)Û`+1}-(-tÛ`+1 )t

=limt`Ú¦

-4t-4t =-4

답 16

답 24

답 ②

410 0 f(x)=axÜ`-2xÛ`+1로 놓으면 f '(x)=3axÛ`-4x

점 (1, b)에서의 접선이 직선 y=-;2!;x+4와 수직이므로 접선

의 기울기는 f '(1)=3a-4=2 ∴ a=2

b=f(1)=2-2+1=1

∴ a+b=2+1=3

411 0 f(x)=xÜ`-4x+a로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-4

접점의 좌표를 (t, tÜ`-4t+a)라 하면 이 점에서의 접선의 기울

기는 f '(t)=3tÛ`-4이므로 접선의 방정식은

y-(tÜ`-4t+a)=(3tÛ`-4)(x-t)

∴ y=(3tÛ`-4)x-2tÜ`+a

이 직선이 직선 y=ax-4와 일치하므로

a=3tÛ`-4 yy ㉠

-2tÜ`+a=-4 yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

-2tÜ`+3tÛ`-4=-4, tÛ`(2t-3)=0

∴ t=0 또는 t=;2#;

Ú t=0일 때, a=-4

Û t=;2#;일 때, a=;;Á4Á;;

따라서 모든 상수 a의 값의 곱은 -4´;;Á4Á;;=-11

412 0 f(x)=xÛ`-x로 놓으면 f '(x)=2x-1

접점의 좌표를 (t, tÛ`-t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는

f '(t)=2t-1이므로 접선의 방정식은

y-(tÛ`-t)=(2t-1)(x-t)

∴ y=(2t-1)x-tÛ`


-1=2t-1-tÛ`, tÛ`-2t=0

t(t-2)=0 ∴ t=0 또는 t=2

이때 접선의 기울기가 음수이어야 하므로 t=0

따라서 접선의 방정식은 y=-x이고 이 직선이 점 (a, -5)를

지나므로

a=5

413 0 f(x)=xÜ`-x+3, g(x)=xÛ`+a로 놓으면

f '(x)=3xÛ`-1, g'(x)=2x

두 곡선이 x좌표가 t`(t>0)인 점에서 접한다고 하면

` f(t)=g(t)에서 tÜ`-t+3=tÛ`+a yy ㉠

` f '(t)=g'(t)에서 3tÛ`-1=2t yy ㉡

㉡에서 3tÛ`-2t-1=0, (3t+1)(t-1)=0

∴ t=1`(∵ t>0)

t=1을 ㉠에 대입하면 a=2

답 3

답 -11

답 ④

답 2


414 0 f(x)=xÛ`+2로 놓으면 f '(x)=2x

접점의 좌표를 (t, tÛ`+2)라 하면 이 점에

서의 접선의 기울기는 f '(t)=2t이므로

접선의 방정식은

y-(tÛ`+2)=2t(x-t)

∴ y=2tx-tÛ`+2


-1=2t-tÛ`+2, tÛ`-2t-3=0

(t+1)(t-3)=0

∴ t=-1 또는 t=3

따라서 두 접점을 B(-1, 3), C(3, 11)이라 하면

삼각형 ABC의 넓이는

12´4-{;2!;´2´4+;2!;´2´12+;2!;´8´4}

=48-(4+12+16)

=16

415 0 함수 f(x)=xÛ`-(a+b)x+ab는 닫힌구간 [a, b]에서

연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능하며 f(a)=f(b)=0

이므로 롤의 정리에 의하여 f '(c)=0인 c가 열린구간 (a, b)에

적어도 하나 존재한다.

이때 f '(x)=2x-(a+b)이므로

f '(c)=2c-(a+b)=0 ∴ c= a+b2

416 0 곡선의 접점 중에서 직선 OA와 평행한 접선의 접점의

좌표를 (t, at(t-2)Û )이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는

f '(t)=3atÛ`-8at+4a

삼각형 OAP의 넓이가 최대가 되는 점 P에서의 접선은 직선

OA와 평행하므로

f '{;2!;}=3a´{;2!;}2`-8a´;2!;+4a=1

;4#;a=1 ∴ a=;3$;

417 0 점 (2, a)는 곡선 y=f(x) 위의 한 점이므로

a=f(2)=2Ü`-4´2+5=5

f '(x)=3xÛ`-4에서 f '(2)=8

즉, 점 (2, 5)에서 곡선 y=f(x)에 그은 접선의 방정식은

y-5=8(x-2) ∴ y=8x-11 yy ㉠

따라서 구하는 접선은 직선 ㉠과 직선 y=x에 대하여 대칭이므로

x=8y-11 ∴ y=;8!;x+;;Á8Á;;

답 ③

답 ④

답 ②

답 y=;8!;x+;;Á8Á;;



곡선 y=f(x) 위의 점 (2, 5)에서의 접선의 방정식 구하기 30%

구하는 접선의 방정식 구하기 40%

418 0 f(x)=;4!;xÛ`+a로 놓으면 f '(x)=;2!;x

접점의 좌표를 {t, ;4!; tÛ`+a}라 하면 이 점에서의 접선의 기울기

는 f '(t)=;2!; t이므로 접선의 방정식은

y-{;4!; tÛ`+a}=;2!; t(x-t)

∴ y=;2!; tx-;4!; tÛ`+a

이 직선이 점 (-4, 0)을 지나므로

0=;2!; t´(-4)-;4!; tÛ`+a

∴ tÛ`+8t-4a=0 yy ㉠

이차방정식 ㉠의 두 근을 tÁ, tª라 하면 두 접선의 기울기는

;2!; tÁ, ;2!; tª이고 두 접선이 서로 수직이므로

;2!; tÁ´;2!; tª=-1 ∴ tÁ tª=-4 yy ㉡

또한, ㉠에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tÁ tª=-4a yy ㉢

㉡, ㉢에서 -4=-4a ∴ a=1


t, a의 관계식 세우기 40%

기울기의 곱을 이용하여 tÁ, tª의 관계식 세우기 30%


419 0 f(x)=xÜ`+(a+3)xÛ`-ax+7로 놓으면

f '(x)=3xÛ`+2(a+3)x-a

접점의 좌표를 (t, f(t))라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는

f '(t)=3tÛ`+2(a+3)t-a

이때 3tÛ`+2(a+3)t-a=-;3!;, 즉

3tÛ`+2(a+3)t-a+;3!;=0을 만족시키는 실수 t의 값이 존재하

지 않아야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D4 =(a+3)Û`-3´{-a+;3!;}<0

aÛ`+6a+9+3a-1<0

aÛ`+9a+8<0, (a+1)(a+8)<0

∴ -8<a<-1

답 1

05. 도함수의 활용 (2) 053

따라서 정수 a는 -7, -6, -5, -4, -3, -2의 6개이다.

420 0 함수 f(x)는 닫힌구간 [1, 7]에서 연속이고 열린구간

(1, 7)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

f(7)-f(1)7-1 =f '(c)인 c가 열린구간 (1, 7)에 적어도 하나 존

재한다.

조건 ㈐에서 |f '(c)|=| f(7)-f(1)7-1 |É;3!;

| a-26 |É;3!;, |a-2|É2

-2Éa-2É2 ∴ 0ÉaÉ4

따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ⑤ 5이다.

421 0 f(x)=xÛ`으로 놓으면 f '(x)=2x

곡선 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 기울기가 f '(2)=4이므로 접

선의 방정식은

y-4=4(x-2) ∴ y=4x-4

이 접선과 x축과의 교점의 좌표는 (1, 0)이므로 aÁ=1

또한, 곡선 위의 점 (an, anÛ )에서의 접선의 기울기가

f '(an)=2an이므로 접선의 방정식은

y-anÛ`=2an(x-an)

∴ y=2anx-anÛ`

이 접선과 x축과의 교점의 좌표는 {;2!;an, 0}이므로

an+Á=;2!;an

즉,

aª=;2!;áÁ=;2!;

a£=;2!;áª={;2!;}Û`

a¢=;2!;á£={;2!;}Ü`

y

이므로 aÁÁ={;2!;}10

답 6

답 ⑤

답 ④

도함수의 활용 (2)05Ⅱ. 미분


xÁ<xª인 임의의 두 양수 xÁ, xª에 대하여

f(xÁ)-f(xª)=xÁÛ`-xªÛ`=(xÁ+xª)(xÁ-xª)<0

이므로 f(xÁ)<f(xª)

따라서 함수 f(x)는 열린구간 (0, ¦)에서 증가한다. 답 증가

0422

xÁ<xª인 임의의 두 실수 xÁ, xª에 대하여

f(xÁ)-f(xª) =-xÁÜ`-(-xªÜ`)

=-(xÁ-xª)(xÁÛ`+xÁxª+xªÛ`)>0

이므로 f(xÁ)>f(xª)

따라서 함수 f(x)는 열린구간 (-¦, ¦)에서 감소한다.

답 감소

={xÁ+xª2 }

Û`+;4#;xªÛ`>0

0423

xÁ<xª<3인 임의의 두 실수 xÁ, xª에 대하여

f(xÁ)-f(xª) =(-xÁÛ`+6xÁ)-(-xªÛ`+6xª)

=-(xÁÛ`-xªÛ`)+6(xÁ-xª)

=-(xÁ-xª)(xÁ+xª-6)<0

이므로 f(xÁ)<f(xª)

따라서 함수 f(x)는 열린구간 (-¦, 3)에서 증가한다. 답 증가

xÁ<3, xª<3이므로 xÁ+xª-6<0

0424

f(x)=3x-xÛ`에서 f '(x)=3-2x

`f`'(x)=0에서 x=;2#;

따라서 함수 f(x)는 반닫힌구

간 {-¦, ;2#;]에서 증가하고,

반닫힌 구간 [;2#;, ¦}에서 감소한다. 답 풀이 참조

0425

x … ;2#; …

f '(x) + 0 -

f(x) ↗ ↘

f(x)=xÛ -x-2에서 f '(x)=2x-1

f '(x)=0에서 x=;2!;

따라서 함수 f(x)는 반닫힌

구간 {-¦, ;2!;]에서 감소하

고, 반닫힌 구간 [;2!;, ¦}에서 증가한다. 답 풀이 참조

0426

x … ;2!; …

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ ↗

f(x)=;3!;xÜ`+xÛ`-4에서 f '(x)=xÛ`+2x=x(x+2)

f '(x)=0에서 x … -2 … 0 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ ↘ ↗

x=-2 또는 x=0

따라서 함수 f(x)는

0427


함수 f(x)는x=-1의좌우에서증가하다가감소하므

로함수 f(x)는x=-1에서극대이며극댓값은

f(-1)=6

또,x=3의좌우에서감소하다가증가하므로함수 f(x)는x=3

에서극소이며극솟값은 f(3)=-26

답 극댓값: 6, 극솟값: -26

0428

함수 f(x)는x=5에서극댓값3을가지므로 f(5)=3

x=2에서극솟값을가지므로 f '(2)=0

∴ f(5)+f '(2)=3+0=3 답 3

0430

⑴함수 f(x)는x=b,x=d의좌우에서증가하다가

감소하므로x=b,x=d에서극댓값을갖는다.

⑵함수 f(x)는x=a,x=c,x=f 의좌우에서감소하다가증

가하므로x=a,x=c,x=f에서극솟값을갖는다.

답 ⑴ b, d ⑵ a, c, f

0429

f(x)=xÜ`-12x에서

f '(x)=3xÛ`-12=3(x+2)(x-2)

f '(x)=0에서x=-2또는x=2

따라서함수 f(x)는 x … -2 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 16 ↘ -16 ↗

x=-2에서극댓값16,

x=2에서극솟값-16

을갖는다.

답 극댓값: 16, 극솟값: -16

0431

f(x)=-xÜ`+3x+1에서

f '(x)=-3xÛ`+3=-3(x+1)(x-1)


따라서함수 f(x)는 x … -1 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ -1 ↗ 3 ↘

x=1에서극댓값3,

x=-1에서극솟값

-1을갖는다.

답 극댓값: 3, 극솟값: -1

0432

f(x)=xÝ`-2xÛ`에서

f '(x)=4xÜ`-4x=4x(x+1)(x-1)

f '(x)=0에서x=-1또는x=0또는x=1

x … -1 … 0 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ -1 ↗ 0 ↘ -1 ↗

따라서함수 f(x)는x=0에서극댓값0,x=-1과x=1에서

극솟값-1을갖는다. 답 극댓값: 0, 극솟값: -1

0433

f(x)=-3xÝ`+4xÜ`-1에서

f '(x)=-12xÜ`+12xÛ`=-12xÛ`(x-1)

f '(x)=0에서x=0또는x=1

따라서함수 f(x)는 x … 0 … 1 …

f '(x) + 0 + 0 -

f(x) ↗ -1 ↗ 0 ↘

x=1에서극댓값0을

갖고,극솟값은없다.

답 극댓값: 0, 극솟값: 없다.

0434

f(x)=-xÜ`+3x+2에서

f '(x)=-3xÛ`+3=-3(x+1)(x-1)


x … -1 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ 0 ↗ 4 ↘

따라서함수y=f(x)의그래프는오른쪽

그림과같다.

답 풀이 참조

0435

f(x)=;3!;xÜ`-xÛ`에서

f '(x)=xÛ`-2x=x(x-2)


x … 0 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 0 ↘ -;3$; ↗


그림과같다.

답 풀이 참조

0436

f(x)=xÝ`-4xÜ`+4xÛ`+2에서

f '(x)=4xÜ`-12xÛ`+8x=4x(x-1)(x-2)

f '(x)=0에서x=0또는x=1또는x=2

x … 0 … 1 … 2 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ 2 ↗ 3 ↘ 2 ↗


그림과같다.

답 풀이 참조

0437

반닫힌구간(-¦,-2]와반닫힌구간[0,¦)에서증가하고,

닫힌구간[-2,0]에서감소한다. 답 풀이 참조

05

05. 도함수의 활용 (2) 055

f(x)=-xÜ`+3xÛ`에서

f '(x)=-3xÛ`+6x=-3x(x-2)

`f '(x)=0에서x=0또는x=2

x -2 … 0 … 2 … 3

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) 20 ↘ 0 ↗ 4 ↘ 0

따라서함수 f(x)는x=-2에서최댓값20,x=0과x=3에서

최솟값0을갖는다. 답 최댓값: 20, 최솟값: 0

0438

f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x-2에서

f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3)


x 0 … 1 … 3 … 4

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) -2 ↗ 2 ↘ -2 ↗ 2

따라서함수 f(x)는x=1과x=4에서최댓값2,x=0과x=3

에서최솟값-2를갖는다.

답 최댓값: 2, 최솟값: -2

0439

f(x)=;4!;xÝ`-xÜ`에서

`f '(x)=xÜ`-3xÛ`=xÛ`(x-3)


따라서함수 f(x)는 x -2 … 0 … 3

f '(x) - 0 - 0

f(x) 12 ↘ 0 ↘ -:ª4¦:

x=-2에서최댓값12,

x=3에서최솟값

-:ª4¦:을갖는다.

답 최댓값: 12, 최솟값: -;;ª4¦;;

0440

f(x)=3xÝ`-4xÜ`+1에서

f '(x)=12xÜ`-12xÛ`=12xÛ`(x-1)


x -1 … 0 … 1 … 2

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) 8 ↘ 1 ↘ 0 ↗ 17

따라서함수 f(x)는x=2에서최댓값17,x=1에서최솟값0

을갖는다. 답 최댓값: 17, 최솟값: 0

0441

f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c에서

f '(x)=3xÛ`+2ax+b

함수 f(x)가감소하는구간이닫힌구간[1,2]이므로이차방정

식 f '(x)=0의두근은1,2이다.

이차방정식의근과계수의관계에의하여

1+2=- 2a3 ,1´2=;3B;

따라서a=-;2(;,b=6이므로

2a+b=-3 답 -3

0443

f(x)=-xÜ`+axÛ`+bx+3에서

f '(x)=-3xÛ`+2ax+b

함수 f(x)가-1ÉxÉ2에서증가하고xÉ-1또는x¾2에서

감소하므로이차방정식 f '(x)=0의두근은-1,2이다.


-1+2= 2a3 ,(-1)´2=-;3B;

따라서a=;2#;,b=6이므로

ab=9 답 9

0445

f(x)=2xÜ`+axÛ`+36x+9에서

f '(x)=6xÛ`+2ax+36

함수 f(x)가감소하는x의값의범위가bÉxÉ3이므로이차방

정식 f '(x)=0의두근은b,3이다.


b+3=-;3A;,3b=6

따라서b=2,a=-15이므로

b-a=17 답 17

0444

f(x)=xÜ`-axÛ`+(a+6)x+5에서

f '(x)=3xÛ`-2ax+a+6

함수 f(x)가실수전체의집합에서증가하려면모든실수x에

대하여 f '(x)æ¾0이어야하므로이차방정식 f '(x)=0의판별

식을D라할때

0446


f(x)=-xÜ`-3xÛ`+24x-2에서

f '(x)=-3xÛ`-6x+24=-3(x+4)(x-2)

0442


x … -4 … 2 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ -82 ↗ 26 ↘

따라서함수 f(x)는닫힌구간[-4,2]에서증가하므로

a=-4,b=2

∴a+b=-2 답 -2


D4 =aÛ`-3(a+6)É0,aÛ`-3a-18É0

(a+3)(a-6)É0 ∴-3ÉaÉ6

따라서정수a의최댓값은6이다. 답 ③

f(x)=-xÜ`+axÛ`-12x-1에서

f '(x)=-3xÛ`+2ax-12

함수 f(x)가실수전체의집합에서감소하려면모든실수x에

대하여 f '(x)É0이어야하므로이차방정식 f '(x)=0의판별

식을D라할때

D4 =aÛ`-36É0,(a+6)(a-6)É0

∴-6ÉaÉ6

답 -6ÉaÉ6


f'(x)구하기 30%

a의값의범위구하기 70%

0447

f(x)=axÜ`+xÛ`-x에서

f '(x)=3axÛ`+2x-1

함수 f(x)가열린구간(-¦,¦)에서감소하려면모든실수x

에대하여 f '(x)É0이어야하므로a<0 yy㉠

이차방정식 f '(x)=0의판별식을D라할때

D4 =1+3aÉ0 ∴aÉ-;3!; yy㉡

㉠,㉡에서aÉ-;3!;

따라서정수a의최댓값은-1이다. 답 ③

0448

f(x)=xÜ`+2kxÛ`+4x에서

f '(x)=3xÛ`+4kx+4

xÁ+xª이면 f(xÁ)+f(xª)를만족시키도록하는함수 f(x)는

일대일함수이어야하고, f(x)의최고차항의계수가양수이므로

함수 f(x)는실수전체의집합에서증가해야한다.

즉,모든실수x에대하여 f '(x)æ¾0이어야하므로이차방정식

f '(x)=0의판별식을D라할때

0450

f(x)=-xÜ`+axÛ`+ax+7에서

f '(x)=-3xÛ`+2ax+a

xÁ<xª인임의의두실수xÁ,xª에대하여 f(xÁ)>f(xª)가성

립하려면함수 f(x)가실수전체의집합에서감소해야한다.즉,

모든실수x에대하여 f '(x)É0이어야하므로이차방정식


D4 =aÛ`+3aÉ0,a(a+3)É0

∴-3ÉaÉ0 답 ③

0449

f(x)=;3!;xÜ`-axÛ`+3ax에서

f '(x)=xÛ`-2ax+3a

함수 f(x)의최고차항의계수가양수이므로 f(x)의역함수가

존재하려면 f(x)가실수전체의집합에서증가해야한다.

즉,모든실수x에대하여 f '(x)¾0이어야하므로이차방정식


D4 =aÛ`-3aÉ0,a(a-3)É0

∴0ÉaÉ3

따라서실수a의최댓값은3이다. 답 3

0451

f(x)=xÜ`-3xÛ`+ax+2에서

f '(x)=3xÛ`-6x+a

함수 f(x)가닫힌구간[1,3]에서감소하

려면1ÉxÉ3에서 f '(x)É0이어야하

므로오른쪽그림에서

f '(1)=a-3É0에서aÉ3 yy㉠

f '(3)=a+9É0에서aÉ-9 yy㉡

㉠,㉡을동시에만족시키는실수a의값의범위는

aÉ-9 답 ①

0452

f(x)=-xÜ`+xÛ`+ax-4에서

f '(x)=-3xÛ`+2x+a

함수 f(x)가닫힌구간[1,2]에서증가하

려면1ÉxÉ2에서 f '(x)æ¾0이어야하


f '(1)=-1+a¾æ0에서a¾1 yy㉠

f '(2)=-8+aæ¾0에서a¾8 yy㉡

㉠,㉡을동시에만족시키는실수a의값의범위는

a¾8 답 a¾8

0453

f(x)=xÜ`+kxÛ`-8x+4에서

f '(x)=3xÛ`+2kx-8

함수 f(x)가-2ÉxÉ1에서감소하

려면이구간에서 `f '(x)É0이어야하


f '(-2)=12-4k-8É0에서

k¾1 yy㉠

f '(1)=3+2k-8É0에서kÉ;2%; yy㉡

㉠,㉡을동시에만족시키는실수k의값의범위는1ÉkÉ;2%;

0454

D4 =4kÛ`-12É0,kÛ`-3É0

(k+'3)(k-'3)É0 ∴-'3ÉkÉ'3 답 ③

05. 도함수의 활용 (2) 057

f(x)=xÜ`+axÛ`+3에서

f '(x)=3xÛ`+2ax

함수 f(x)가닫힌구간[1,2]에서감소하고,반닫힌구간[3,¦)

에서증가하려면1ÉxÉ2일때

f '(x)É0,x¾3일때 f '(x)æ¾0이어야

하므로오른쪽그림에서

f '(1)=3+2aÉ0에서aÉ-;2#; y㉠

f '(2)=12+4aÉ0에서aÉ-3y㉡

f '(3)=27+6a¾0에서a¾-;2(;y㉢

㉠,㉡,㉢을동시에만족시키는실수a의값의범위는

-;2(;ÉaÉ-3 답 -;2(;ÉaÉ-3

0455

f(x)=-2xÜ`+6x+1에서

f '(x)=-6xÛ`+6=-6(x+1)(x-1)


따라서함수 f(x)는 x … -1 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ -3 ↗ 5 ↘


x=-1에서극솟값

-3을가지므로

M=5,m=-3

∴M+m=2 답 ①

0456

f(x)=xÝ`-4xÜ`+15에서

f '(x)=4xÜ`-12xÛ`=4xÛ`(x-3)


따라서함수 f(x)는 x … 0 … 3 …

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ ↘ -12 ↗

x=3에서극솟값

-12를가지므로

a=3,b=-12

∴a+b=-9 답 ②

0457

f(x)=-xÝ`+4xÜ`+2xÛ`-12x-7에서

f '(x)=-4xÜ`+12xÛ`+4x-12

=-4(x+1)(x-1)(x-3)


x … -1 … 1 … 3 …

f '(x) + 0 - 0 + 0 -

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

따라서함수 f(x)는x=-1,x=1,x=3에서극값을가지므

로모든x의값의합은

(-1)+1+3=3 답 3

0458

f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x+8에서

f '(x)=3xÛ`-6x-9=3(x+1)(x-3)


따라서함수 f(x)는 x … -1 … 3 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 13 ↘ -19 ↗

x=-1에서극댓값13,

x=3에서극솟값-19

를가지므로

A(-1,13),B(3,-19)

따라서ABÓ의중점의좌표는

{-1+32 ,

13-192 },즉(1,-3)이다. 답 (1, -3)

0459따라서실수k의최댓값은;2%;,최솟값은1이므로구하는합은

;2%;+1=;2&; 답 ④

f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+3에서

f '(x)=3xÛ`+2ax+b

f '(2)=0에서12+4a+b=0 yy㉠

f(2)=23에서11+4a+2b=23 yy㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=-9,b=24

따라서 f(x)=xÜ`-9xÛ`+24x+3이므로

f '(x)=3xÛ`-18x+24=3(x-2)(x-4)


x … 2 … 4 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 23 ↘ 19 ↗

따라서함수 f(x)는x=4에서극솟값19를갖는다. 답 ⑤

0460

f(x)=-xÜ`+27x+a에서

f '(x)=-3xÛ`+27=-3(x+3)(x-3)


x … -3 … 3 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ a-54 ↗ a+54 ↘

따라서함수 f(x)는x=-3에서극솟값a-54,x=3에서극

댓값a+54를갖는다.

이때극댓값과극솟값의합이10이므로

(a+54)+(a-54)=10

2a=10 ∴a=5 답 5

0461

f(x)=-2xÜ`-6xÛ`+a에서

f '(x)=-6xÛ`-12x=-6x(x+2)


x … -2 … 0 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

따라서함수 f(x)는x=-2에서극솟값1을가지므로

0462


f(x)=xÜ`+(2a+4)xÛ`-5x에서

f '(x)=3xÛ`+2(2a+4)x-5

함수y=f(x)의그래프에서극대인점과극소인점의x좌표를

각각a,b라하면a,b는이차방정식3xÛ`+2(2a+4)x-5=0

의두근이다.

이때극대인점과극소인점이원점에대하여대칭이므로

a+b=0

따라서이차방정식의근과계수의관계에의하여

a+b=-2(2a+4)

3 =0

∴a=-2 답 -2

0463

f(x)는최고차항의계수가1이고그래프가원점을지나

는삼차함수이므로 f(x)=xÜ +axÛ +bx (a,b는상수)로놓으면

f '(x)=3xÛ`+2ax+b

함수 f(x)가x=-1과x=3에서극값을가지므로이차방정식

f '(x)=0의두근은-1과3이다.


-1+3=- 2a3 ,(-1)´3=;3B; ∴a=-3,b=-9

∴ f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x

이때 f '(x)=3xÛ`-6x-9=3(x+1)(x-3)


x … -1 … 3 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)는x=-1에서극댓값을가지므로극댓값은

f(-1)=-1-3+9=5

답 5


함수 f(x)구하기 60%

함수 f(x)의극댓값구하기 40%

0464

f(x)=2xÜ`-;2#;axÛ`+1에서

f '(x)=6xÛ`-3ax=3x(2x-a)

f '(x)=0에서x=0또는x=;2A;

따라서함수 f(x)는x=0,x=;2A;에서극댓값또는극솟값을갖

는다.

이때함수y=f(x)의그래프가x축에접하므로

f(0)=0또는 f {;2A;}=0

0465

함수 f(x)는x=3에서극값1을가지므로

f(3)=1, f '(3)=0

이때g(x)=(-2x+1)f(x)에서

g(3)=-5f(3)=(-5)´1=-5

g'(x)=-2f(x)+(-2x+1)f '(x)에서

g'(3)=-2f(3)-5f '(3)=-2

따라서곡선y=g(x)위의x=3인점에서의접선의방정식은

y-(-5)=-2(x-3) ∴2x+y-1=0

따라서원점과직선2x+y-1=0사이의거리는

|-1|"Ã2Û`+1Û`

= 1'5=

'55

답 '55

0466

b=-2,`f(-2)=16-24+a=1 ∴a=9

∴a-b=9-(-2)=11 답 ③

그런데 f(0)=1+0이므로 f {;2A;}=0

f {;2A;}=2{;2A;}Ü`-;2#;a{;2A;}Û`+1=0,-;8!;aÜ`+1=0

∴a=2 답 2

조건㈎에서 f(0)=0이므로

f(x)=xg(x) (g(x)는다항함수)라하면

limx`Ú 0

`f(x)x =lim

x`Ú 0 xg(x)

x =g(0)=-2 yy㉠

조건㈏에서 f '(1)=0, f(1)=-3

한편 f(x)=xg(x)에서 f '(x)=g(x)+xg'(x)이므로f '(1)=g(1)+g'(1)=0 yy㉡

f(1)=g(1)=-3 yy㉢

㉠,㉡,㉢을모두만족시키는차수가가장낮은다항함수g(x)는이차함수이므로g(x)=axÛ +bx+c`(a+0,a,b,c는상수)로

놓으면

g(0)=c=-2

g(1)=a+b+c=-3 ∴a+b=-1 yy㉣

g'(x)=2ax+b에서g'(1)=2a+b=3`(∵㉡,㉢) yy㉤

㉣,㉤을연립하여풀면a=4,b=-5

∴g(x)=4xÛ`-5x-2

∴ f(x)=x(4xÛ`-5x-2)=4xÜ`-5xÛ`-2x

답 f(x)=4xÜ-5xÛ-2x

0467

y=f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표가0,4

이므로 f '(x)=0에서x=0또는x=4

x … 0 … 4 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)는x=0에서극댓값을가지므로구하는극댓

값은 f(0)=10 답 ③

0468

f(x)=axÜ +bxÛ +cx+d (a+0,a,b,c,d는상수)로

놓으면

f '(x)=3axÛ`+2bx+c

0469

05. 도함수의 활용 (2) 059

오른쪽그림에서x=xª의

좌우에서 f '(x)의부호가양에서

음으로바뀌므로함수 f(x)는

x=xª에서극댓값을갖는다.

∴m=1

또,x=xÁ,x=x£의좌우에서 f '(x)의부호가음에서양으로

바뀌므로함수 f(x)는x=xÁ,x=x£에서극솟값을갖는다.

∴n=2

∴m-n=-1 답 -1

0472

f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d(a+0,a,b,c,d는상수)

로놓으면 f '(x)=3axÛ`+2bx+c

y=f '(x)의그래프에서 f '(0)=0, f '(-2)=0이므로

f '(0)=c=0

f '(-2)=12a-4b=0 ∴b=3a yy㉠

이때 f '(x)=0에서x=-2또는x=0

따라서함수 f(x)는 x … -2 … 0 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x=0에서극솟값-2,

x=-2에서극댓값6

을가지므로

f(0)=d=-2

f(-2)=-8a+4b-2=6 ∴2a-b=-2 yy㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=2,b=6

따라서 f(x)=2xÜ`+6xÛ`-2이므로

f(1)=2+6-2=6 답 6

0470

y=f '(x)의그래프가y축과만나는점의y좌표가3이므로

f '(0)=c=3

y=f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표가-3,1이므로

이차방정식 f '(x)=0의두근은-3과1이다.


-3+1=- 2b3a ,(-3)´1= c

3a=;a!;

∴a=-;3!;,b=-1

이때 f '(x)=0에서x=-3또는x=1

따라서함수 f(x)는 x … -3 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

x=-3에서극솟값,

x=1에서극댓값을

갖는다.

이때 f(x)=-;3!;xÜ`-xÛ`+3x+d이므로구하는차는

f(1)-f(-3)={-;3!;-1+3+d}-(9-9-9+d)

=:£3ª: 답 :£3ª:

①x>-1일때, f '(x)æ¾0이므로 f(x)는증가한다.

②x=-1의좌우에서 f '(x)의부호가음에서양으로바뀌므로

f(x)는x=-1에서극소이다.

③ f '(2)=0이므로 f(x)는x=2에서미분가능하다.

④x=2의좌우에서 f '(x)의부호가바뀌지않으므로 f(x)는

x=2에서극값을갖지않는다.따라서 f(x)의극값은

x=-1에서의극솟값1개뿐이다.

⑤열린구간(2,4)에서 f '(x)>0이므로 f(x)는증가한다.

답 ③

0471

ㄱ.열린구간(a,b)에서 f '(x)>0이므로함수 f(x)

는증가한다.

ㄴ.x=b,x=c의좌우에서 f '(x)의부호가바뀌므로함수

f(x)는x=b,x=c에서극값을갖는다.즉,함수 f(x)가

극값을갖는점은2개이다.

ㄷ.x=b의좌우에서 f '(x)의부호가양에서음으로바뀌므로

함수 f(x)는x=b에서극댓값을갖는다.


0475

f(x)=xÜ`+axÛ`+12x+2에서

f '(x)=3xÛ`+2ax+12

함수 f(x)가극값을가지려면이차방정식 f '(x)=0이서로다

른두실근을가져야하므로 f '(x)=0의판별식을D라하면

D4 =aÛ`-36>0,(a+6)(a-6)>0

∴a<-6또는a>6 답 ①

0476

f(x)=xÜ`+3xÛ`+ax-1에서

f '(x)=3xÛ`+6x+a

함수 f(x)가극댓값과극솟값을모두가지려면이차방정식

0477

ㄱ.x=a의좌우에서 f '(x)의부호가음에서양으로바

뀌므로함수 f(x)는x=a에서극솟값을갖는다.

ㄴ.x=e의좌우에서 f '(x)의부호가양에서음으로바뀌므로

함수 f(x)는x=e에서극댓값을갖는다.

ㄷ.x=a,x=e,x=g 에서극값을가지므로극값을갖는점은3개이다.

따라서옳은것은ㄱ,ㄴ,ㄷ이다. 답 ⑤

0474

주어진그래프에서 f '(x)의부호가양에서음으로바뀌

는점의x좌표는-4,7이므로함수 f(x)는x=-4,x=7에

서극댓값을갖는다.

따라서구하는모든x의값의합은

-4+7=3 답 3

0473


f(x)=3xÜ`+(k+2)xÛ`+kx+1에서

`f '(x)=9xÛ`+2(k+2)x+k



D4 =(k+2)Û`-9k>0,kÛ`-5k+4>0

(k-1)(k-4)>0 ∴k<1또는k>4


a+b=5 답 ③

0478

f(x)=xÜ`+3axÛ`+ax-2에서

f '(x)=3xÛ`+6ax+a



D4 =9aÛ`-3a>0,3a(3a-1)>0

∴a<0또는a>;3!;

따라서자연수a의최솟값은1이다. 답 ①

0479

f(x)=xÜ`+axÛ`+3x+4에서

f '(x)=3xÛ`+2ax+3

함수 f(x)가극값을갖지않으려면이차방정식 f '(x)=0이중

근또는허근을가져야하므로 f '(x)=0의판별식을D라하면

D4 =aÛ`-9É0,(a+3)(a-3)É0

∴-3ÉaÉ3 답 ④

0480

f(x)=xÜ`-;2#;(a-1)xÛ`-3ax+2에서

f '(x)=3xÛ`-3(a-1)x-3a



D=9(a-1)Û`+36aÉ0,9(a+1)Û`É0

∴a=-1 답 ①

0481

f(x)=xÜ`-3(a-1)xÛ`-3(bÛ`-9)x+a에서

f '(x)=3xÛ`-6(a-1)x-3(bÛ`-9)



0482

D4 ={3(a-1)}Û`+3{3(bÛ`-9)}É0

9(a-1)Û`+9(bÛ`-9)É0

(a-1)Û`+bÛ`É9

Úa=1일때

bÛ`É9,-3ÉbÉ3이므로b=1,2,3

따라서순서쌍(a,b)는(1,1),(1,2),(1,3)의3개

Ûa=2일때

bÛ`É8,-2'2ÉbÉ2'2 이므로b=1,2

따라서순서쌍(a,b)는(2,1),(2,2)의2개

Üa=3일때

bÛ`É5,-'5ÉbÉ'5 이므로b=1,2

따라서순서쌍(a,b)는(3,1),(3,2)의2개

Ýa=4일때

bÛ`É0이므로순서쌍(a,b)는없다.

Ú ~ Ý에서순서쌍(a,b)의개수는

3+2+2=7

답 7


극값을갖지않을조건을이용하여a,b사이의관계식구하기 30%

순서쌍(a,b)구하기 60%

순서쌍(a,b)의개수구하기 10%

f '(x)=0이서로다른두실근을가져야하므로`f '(x)=0의판

별식을D라하면

D4 =9-3a>0 ∴a<3 답 a<3

f(x)=xÜ`+pxÛ`+(p-1)x에서

f '(x)=3xÛ`+2px+p-1

함수 f(x)가-1<x<1에서극댓값과

극솟값을모두가지려면이차방정식

f '(x)=0이-1<x<1에서서로다른

두실근을가져야한다.

Ú이차방정식 f '(x)=0의판별식을

D라하면

D4 =pÛ`-3(p-1)>0에서

pÛ`-3p+3={p-;2#;} Û`+;4#;>0이므로모든실수p에대하

여성립한다.

Ûf '(-1)=2-p>0에서p<2

Üf '(1)=3p+2>0에서p>-;3@;

Ý이차함수y=f '(x)의그래프의축의방정식이x=-;3P;이므로

-1<-;3P;<1 ∴-3<p<3

Ú ~ Ý에서실수p의값의범위는-;3@;<p<2

따라서정수p는0,1의2개이다. 답 2

0483

05. 도함수의 활용 (2) 061

f(x)=2xÜ`+3xÛ`+kx-5에서

f '(x)=6xÛ`+6x+k

이차방정식 f '(x)=0의두실근을a,b

(a<b)라하면

-2<a<0,b>0

이어야하므로

Ú f '(-2)=24-12+k>0 ∴k>-12

Û f '(0)=k<0

Ú,Û에서실수k의값의범위는-12<k<0이므로

a=-12,b=0

∴aÛ`+bÛ`=(-12)Û`+0Û`=144 답 144

0484

f(x)=xÜ`-3axÛ`+3ax-1에서

f '(x)=3xÛ`-6ax+3a



D4 =9aÛ`-9a>0,9a(a-1)>0

∴a<0또는a>1 yy㉠

이차방정식 f '(x)=0의두실근을a,b`(a<b)라하면

f '(x)=3(x-a)(x-b)

즉,`f(x)는x=b에서극솟값을가

지므로1ÉbÉ2이어야한다.

Ú f '(1)=3-6a+3aÉ0

∴a¾1 yy㉡

Û f '(2)=12-12a+3a¾0

∴aÉ;3$; yy㉢

㉠,㉡,㉢을동시에만족시키는a의값의범위는

1<aÉ;3$; 답 ④

0485

f(x)=-xÝ`+4xÜ`+4axÛ`에서

f '(x)=-4xÜ`+12xÛ`+8ax=-4x(xÛ`-3x-2a)

함수 f(x)가극솟값을가지려면방정식 f '(x)=0이서로다른

세실근을가져야하므로이차방정식xÛ`-3x-2a=0이0이아

닌서로다른두실근을가져야한다.

이차방정식xÛ`-3x-2a=0의판별식을D라하면

a+0,D=9+8a>0에서-;8(;<a<0또는a>0

따라서a=-;8(;,b=0이므로

a+b=-;8(; 답 -;8(;

0486

f(x)=3xÝ`-8xÜ`+6axÛ`+7에서

f '(x)=12xÜ`-24xÛ`+12ax=12x(xÛ`-2x+a)

함수 f(x)가극댓값과극솟값을모두가지려면삼차방정식

f '(x)=0이서로다른세실근을가져야하므로이차방정식

0487

사차함수 f(x)가극댓값을갖지않으려면삼차방정식

f '(x)=0이한실근과두허근또는한실근과중근또는삼중근

을가져야한다.

이차방정식xÛ`+ax+2a=0의판별식을D라하면

Ú f '(x)=0이한실근과두허근을갖는경우

이차방정식xÛ`+ax+2a=0이허근을가져야하므로

D=aÛ`-8a<0,a(a-8)<0

∴0<a<8

Û f '(x)=0이한실근과중근을갖는경우

이차방정식xÛ`+ax+2a=0이x=-1을근으로갖거나

-1이아닌실수를중근으로가져야한다.

xÛ`+ax+2a=0이x=-1을근으로가지면

1-a+2a=0 ∴a=-1

이차방정식xÛ`+ax+2a=0이-1이아닌실수를중근으로

가지면D=a(a-8)=0 ∴a=0또는a=8

Ú,Û에서a의값의범위는a=-1또는0ÉaÉ8이므로정수

a는-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8의10개이다. 답 10

0489

xÛ`-2x+a=0이0이아닌서로다른두실근을가져야한다.

이차방정식xÛ`-2x+a=0의판별식을D라하면

a+0,D4 =1-a>0에서

a<0또는0<a<1 답 a<0 또는 0<a<1

f(x)=-3xÝ`-8xÜ`+6(k+3)xÛ`-12kx에서

f '(x)=-12xÜ`-24xÛ`+12(k+3)x-12k

=-12(x-1)(xÛ`+3x-k)

사차함수 f(x)가극솟값을갖지않으려면삼차방정식

f '(x)=0이한실근과두허근또는한실근과중근또는삼중근

을가져야한다.

이차방정식xÛ`+3x-k=0의판별식을D라하면

Ú -12(x-1)(xÛ`+3x-k)=0이한실근과두허근을갖는

경우

이차방정식xÛ`+3x-k=0이허근을가져야하므로

D=9+4k<0 ∴k<-;4(;

Û-12(x-1)(xÛ +3x-k)=0이한실근과중근을갖는경우

이차방정식xÛ`+3x-k=0이x=1을근으로갖거나1이아

닌실수를중근으로가져야한다.

xÛ`+3x-k=0이x=1을근으로가지면

1+3-k=0 ∴k=4

xÛ`+3x-k=0이1이아닌실수를중근으로가지면

D=9+4k=0 ∴k=-;4(;

Ú,Û에서구하는실수k의값의범위는

k=4또는kÉ-;4(;

답 k=4 또는 kÉ-;4(;

0488


f(x)=2xÜ`+3xÛ`-12x+3에서

`f '(x)=6xÛ`+6x-12=6(x+2)(x-1)

`f '(x)=0에서x=-2또는x=1

x -2 … 1 … 2

f '(x) 0 - 0 +

f(x) 23 ↘ -4 ↗ 7

따라서함수 f(x)는x=-2에서최댓값23,x=1에서최솟값

-4를가지므로M=23,m=-4

∴M+m=23+(-4)=19 답 ②

0490

f(x)=3xÝ`-8xÜ`+6xÛ`+1에서

f '(x)=12xÜ`-24xÛ`+12x=12x(x-1)Û`


x -1 … 0 … 1 … 2

f '(x) - 0 + 0 +

f(x) 18 ↘ 1 ↗ 2 ↗ 9

따라서함수 f(x)는x=-1에서최댓값18,x=0에서최솟값

1을가지므로M=18,m=1

∴Mm=18 답 18

0492

f(x)=xÝ`-2xÛ`-2에서

`f '(x)=4xÜ`-4x=4x(x+1)(x-1)

`f '(x)=0에서x=1또는x=0또는x=1

x … -1 … 0 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ -3 ↗ -2 ↘ -3 ↗

따라서함수 f(x)는x=-1과x=1에서최솟값-3을가지므

로a=-1,b=1,c=-3

∴aÛ`+bÛ`+cÛ`=(-1)Û`+1Û`+(-3)Û`=11 답 11

0491

xÛ`-4x+2=t로놓으면

t=xÛ`-4x+2=(x-2)Û`-2

0ÉxÉ4에서t의값의범위는-2ÉtÉ2

g(t)=tÜ`-12t+1로놓으면

g '(t)=3tÛ`-12=3(t+2)(t-2)

g '(t)=0에서t=-2또는t=2

따라서함수g(t)는t=-2에서 t -2 … 2

g'(t) 0 - 0

g(t) 17 ↘ -15

최댓값17,t=2에서최솟값-15

를가지므로

M=17,m=-15

∴M+m=2 답 2

0493

f(x)=3xÝ`-4xÜ`+6xÛ`-12x+a에서

f '(x)=12xÜ`-12xÛ`+12x-12=12(x-1)(xÛ`+1)

0494

f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+5에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+b

닫힌구간[0,3]에서삼차함수 f(x)는x=2에서최솟값3을가

지므로x=2에서극솟값3을가져야한다.

f '(2)=12+4a+b=0,4a+b=-12 yy㉠

f(2)=8+4a+2b+5=3,2a+b=-5 yy㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=-;2&;,b=2

따라서 f(x)=xÜ`-;2&;xÛ`+2x+5이므로

f(1)=1-;2&;+2+5=;2(; 답 ;2(;

0496

f(x)=axÜ`-6axÛ`+b에서

f '(x)=3axÛ`-12ax=3ax(x-4)

`f '(x)=0에서x=0 (∵-1ÉxÉ2)

x -1 … 0 … 2

f '(x) + 0 -

f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b

a>0이므로-7a+b>-16a+b

따라서함수 f(x)는x=0에서최댓값b,x=2에서최솟값

-16a+b를가지므로

b=3,-16a+b=-13


a+b=4 답 ④

0495

f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c에서

f '(x)=3xÛ`+2ax+b

f '(1)=f '(3)=0에서

3+2a+b=0 yy㉠

27+6a+b=0 yy㉡

㉠,㉡을연립하여풀면a=-6,b=9

x 0 … 1 … 2

f '(x) + 0 -

f(x) ↗ 극대 ↘

닫힌구간[0,2]에서함수 f(x)는x=1일때극대이면서최대

이므로최댓값은 f(1)=6

a+b+c+1=6 ∴c=2

∴ f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x+2

0497

`f '(x)=0에서x=1 (∵xÛ`+1>0)

따라서함수 f(x)는x=1에 x … 1 …

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ -7+a ↗

서최솟값-7+a를가지므로

-7+a=1

∴a=8 답 ⑤

05. 도함수의 활용 (2) 063

오른쪽그림과같이

직사각형ABCD의한꼭짓점D의좌표

를(a,0)`(0<a<2)이라하면

A(-a,0),B(-a,aÛ`-4),

C(a,aÛ`-4)

직사각형ABCD의넓이를S(a)라하면

S(a)=2a(-aÛ`+4)=-2aÜ`+8a

S'(a)=-6aÛ`+8=-2(3aÛ`-4)

S'(a)=0에서a=2'33 `(∵0<a<2)

따라서함수S(a)는a (0) …

2'33

… (2)

S'(a) + 0 -

S(a) ↗ 극대 ↘

a=2'33 일때극대이

면서최대이므로구하는

직사각형의넓이의최댓

값은

S{ 2'33 }=-2´{ 2'33 }3+8´ 2'33 =

32'39 답

32'39

0498

곡선y=-xÛ`+3위의한점의좌표를(t,-tÛ`+3)으

로놓으면이점과점(5,4)사이의거리는

"Ã(t-5)Û`+(-tÛ`+3-4)Û`="ÃtÝ`+3tÛ`-10t+26

f(t)=tÝ`+3tÛ`-10t+26으로놓으면

f '(t)=4tÜ`+6t-10=2(t-1)(2tÛ`+2t+5)

f '(t)=0에서t=1`(∵2tÛ`+2t+5>0)

따라서함수 f(t)는t=1일때 t … 1 …

f '(t) - 0 +

f(t) ↘ 극소 ↗

극소이면서최소이므로최솟값은

f(1)=20

따라서구하는거리의최솟값은

"Ãf(1)='2�0=2'5 답 2'5

0499

A제품x개를판매하여얻는이익을g(x)원이라하면g(x)=1000x-f(x)

=-xÜ`+180xÛ`-4000 (단,x>0)

g'(x)=-3xÛ`+360x=-3x(x-120)

g'(x)=0에서x=120(∵x>0)

따라서함수g(x)는x=120 x (0) … 120 …

g'(x) + 0 -

g(x) ↗ 극대 ↘

일때극대이면서최대이므로

이익을최대로하기위해하

0500

따라서 f(0)=2, f(2)=4이므로함수 f(x)의최솟값은2이다.

답 2


f'(1)=f'(3)=0에서a,b의값구하기 30%

c의값과f(x)구하기 40%

함수f(x)의최솟값구하기 30%

-2xÛ`+8=0에서

-2(x+2)(x-2)=0

이므로x=-2또는x=2

∴A(-2,0),B(2,0)

오른쪽그림과같이사다리꼴

ABCD의한꼭짓점C의좌표를C(a,-2aÛ`+8)`

(0<a<2)이라하면

D(-a,-2aÛ`+8)

사다리꼴ABCD의넓이를S(a)라하면

S(a)=;2!;(2a+4)(-2aÛ`+8)=-2aÜ`-4aÛ`+8a+16

S'(a)=-6aÛ`-8a+8=-2(3a-2)(a+2)

S'(a)=0에서a (0) … ;3@; … (2)

S'(a) + 0 -

S(a) ↗ :°2Á7ª: ↘

a=;3@; (∵0<a<2)

따라서함수S(a)는

a=;3@;일때극대이면

서최대이므로구하는넓이의최댓값은

M=S{;3@;}=:°2Á7ª:

∴27M=512

답 512


네점A,B,C,D의좌표구하기 30%

사다리꼴ABCD의넓이S(a)구하기 30%

M의값구하기 30%

27M의값구하기 10%

0502

잘라내는정사각형의한변의길이를x라하고상자의

부피를V(x)라하면

V(x)=x(12-2x)Û``(단,0<x<6)

V '(x)=(12-2x)Û`+x´2(12-2x)(-2)

=12xÛ`-96x+144=12(x-2)(x-6)

V '(x)=0에서x=2`(∵0<x<6)

따라서함수V(x)는 x (0) … 2 … (6)

V'(x) + 0 -

V(x) ↗ 극대 ↘

x=2일때극대이면서최

대이므로구하는부피의

최댓값은

V(2)=2(12-4)Û`=128 답 128

0501

루에생산해야할제품의개수는120이다. 답 120


원기둥의밑면의반지름의길이를

r (0<r<3)라하고높이를h(0<h<15)라

하면오른쪽그림에서

15`:`3=(15-h)`:`r

3(15-h)=15r ∴h=15-5r

원기둥의부피를V(r)라할때

V(r)=prÛ`h=prÛ`(15-5r)=p(15rÛ`-5rÜ`)에서

V'(r)=p(30r-15rÛ`)=15pr(2-r)

V'(r)=0에서r=2`(∵0<r<3)

따라서함수V(r)는 r (0) … 2 … (3)

V'(r) + 0 -

V(r) ↗ 극대 ↘

r=2일때극대이면서

최대이므로구하는원

기둥의부피의최댓값은

V(2)=p´2Û`´(15-5´2)=20p 답 20p

0503

사각기둥의밑면의한변의길이를a,높이를x라하면

피타고라스정리에의해

a="Ã144-xÛ`(단,0<x<12)

사각기둥의부피를V(x)라할때

V(x)=x("Ã144-xÛ`)Û`=x(144-xÛ`)

V'(x)=(144-xÛ`)+x´(-2x)

=-3xÛ`+144=-3(xÛ`-48)

=-3(x+4'3)(x-4'3)V'(x)=0에서x=4'3`(∵0<x<12)

따라서함수V(x)는 x (0) … 4'3 … (12)

V'(x) + 0 -

V(x) ↗ 극대 ↘

x=4'3일때극대이면서최대이므로사각기둥의부피

가최대가되게하는밑면의

넓이는

aÛ`=144-(4'3)Û`=96 답 ⑤

0504

본문 77쪽유형

함수 f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d의그래프에서

xÚ ¦일때, f(x)Ú ¦이므로a>0

f(0)>0이므로d>0

f '(x)=3axÛ`+2bx+c에서이차방정식 f '(x)=0의서로다른

두실근이a,b이고a<0,b>0,|b|>|a|이므로이차방정식

의근과계수의관계에의하여

a+b=- 2b3a>0 ∴b<0

ab= c3a<0 ∴c<0

∴ab<0,ac<0,bd<0,cd<0

따라서옳은것은④이다. 답 ④

0505

y=f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표는

-1,1이다.

따라서함수 f(x)는 x … -1 … 1 …

f '(x) + 0 - 0 -

f(x) ↗ 극대 ↘ ↘

증가하다가x=-1에

서극댓값을갖고,

x=-1에서부터계속

감소하므로함수y=f(x)의그래프의개형이될수있는것은

④이다. 답 ④

0507

y=f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표는

a,b,c이다.

x … a … b … c …

f '(x) + 0 - 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)는x=a에서극댓값을갖고,x=c에서극솟

값을가지므로함수y=f(x)의그래프의개형이될수있는것은

③이다. 답 ③

0508

f(x)=xÜ`+axÛ`+9x-1에서

f '(x)=3xÛ`+2ax+9

함수 f(x)가감소하는x의값의범위가1ÉxÉb이므로이차방

정식 f '(x)=0의두근은1,b이다.


b+1=- 2a3 ,b=3

따라서a=-6,b=3이므로

a+b=-3 답 -3

0509



xÚ ¦일때, f(x)Ú -¦이므로a<0

f(0)>0이므로d>0


두실근이a,b이고a<0,b<0이므로이차방정식의근과계수

의관계에의하여

a+b=- 2b3a<0 ∴b<0

ab= c3a>0 ∴c<0

따라서그값이항상양수인것은④이다. 답 ④

0506

05. 도함수의 활용 (2) 065

ㄱ. f(x)=xÜ`+3xÛ`+3x에서

f '(x)=3xÛ`+6x+3=3(x+1)Û`¾æ0

따라서함수 f(x)는열린구간(-¦,¦)에서증가한다.

ㄴ.g(x)=;3!;xÜ`-2xÛ`+5x+4에서

g'(x)=xÛ`-4x+5=(x-2)Û`+1>0

따라서함수g(x)는열린구간(-¦,¦)에서증가한다.

ㄷ.h(x)=2xÜ`+6xÛ`-18x+1에서

h'(x)=6xÛ`+12x-18=6(x+3)(x-1)

따라서xÉ-3또는xæ¾1일때만h'(x)¾0이므로함수

h(x)는열린구간(-¦,¦)에서증가하는것은아니다.

따라서열린구간(-¦,¦)에서증가하는함수는ㄱ,ㄴ이다.

답 ③

0510

f(x)=-xÜ`-axÛ`+2ax+15에서

f '(x)=-3xÛ`-2ax+2a

함수 f(x)가실수전체의집합에서감소하려면모든실수x에

대하여 f '(x)É0이어야하므로이차방정식 f '(x)=0의판별식

을D라할때

D4 =aÛ`+6aÉ0, a(a+6)É0

∴-6ÉaÉ0 답 ③

0511

f(x)=2xÜ`+axÛ`에서 f '(x)=6xÛ`+2ax

함수 f(x)가닫힌구간[1,3]에서증가하려면1ÉxÉ3에서

f '(x)¾0이어야하므로오른쪽그림에서

f '(1)=6+2a¾0 ∴a¾-3

f '(3)=54+6a¾0 ∴a¾-9

∴a¾-3

따라서실수a의최솟값은-3이다.

답 ②

0512

f(x)=2xÜ`-9xÛ`+12x+2에서

f '(x)=6xÛ`-18x+12

=6(x-1)(x-2)


따라서함수 f(x)는 x … 1 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 7 ↘ 6 ↗


x=2에서극솟값6을

가지므로

M=7,m=6

∴Mm=42 답 42

0513

f(x)=xÝ`-4xÜ`+4xÛ`+2에서

f '(x)=4xÜ`-12xÛ`+8x=4x(x-1)(x-2)


0514

f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c (a,b,c는상수)로놓으면

f '(x)=3xÛ`+2ax+b

조건㈎에서 f(1)=1+a+b+c=3

∴ a+b+c=2 yy㉠

f '(1)=3+2a+b=0 ∴2a+b=-3 yy㉡

조건㈏에서 f '(2)=12+4a+b=-7

∴4a+b=-19 yy㉢

㉡,㉢을연립하여풀면a=-8,b=13

이를㉠에대입하면c=-3

따라서 f(x)=xÜ`-8xÛ`+13x-3이므로

f(3)=27-72+39-3=-9 답 -9

0516

f(x)=xÜ`-3kxÛ`-9kÛ`x+1에서

f '(x)=3xÛ`-6kx-9kÛ`=3(x+k)(x-3k)

f '(x)=0에서x=-k또는x=3k

k>0이므로함수 x … -k … 3k …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f(x)는x=-k에서

극댓값을갖고,x=3k

에서극솟값을갖는다.

0517

x … 0 … 1 … 2 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ 2 ↗ 3 ↘ 2 ↗

따라서함수 f(x)는x=0과x=2에서

극솟값2,x=1에서극댓값3을갖는다.

A(0,2),B(1,3),C(2,2)라하면

이때△ABC의넓이는

;2!;´2´1=1 답 ②

f(x)=-xÜ`-xÛ`+x+;3!;에서

f '(x)=-3xÛ`-2x+1=-(3x-1)(x+1)

f '(x)=0에서x=-1또는x=;3!;

따라서함수 f(x)는x … -1 … ;3!; …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ -;3@; ↗ ;2!7$; ↘

x=-1에서극솟값

-;3@; 를갖고,

x=;3!;에서극댓값

;2!7$; 를갖는다.

g(x)=|f(x)|이므로g(x)는x=-1에서극댓값;3@;,x=;3!;

에서극댓값;2!7$; 를가지므로g(x)의모든극댓값의합은

;3@;+;2!7$;=;2#7@; 답 ;2#7@;

0515


y=f '(x)의 x … -1 … 1 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

그래프가x축과만나

는점의x좌표는

-1,1이다.

③ f(x)는-1<x<1에서감소한다.

①,②,④,⑤ f(x)는x=-1에서극댓값을갖고,x=1에서

극솟값을갖는다. 답 ④

0519

f(x)=xÜ`-axÛ`+(a+6)x+1에서

f '(x)=3xÛ`-2ax+a+6



0521

조건㈎에서 f(x)는삼차함수이고삼차항의계수는1

이므로 f '(x)는이차함수이고이차항의계수는3이다.

이때조건㈏에서x=-1과x=2에서극값을가지므로

f '(-1)=f '(2)=0

에서 f '(x)는x+1과x-2를인수로갖는다.

∴ f '(x)=3(x+1)(x-2)

∴limh`Ú 0

`f(3+h)-f(3-h)

h

=limh`Ú 0

{ f(3+h)-f(3)}-{ f(3-h)-f(3)}

h

=limh`Ú 0

`f(3+h)-f(3)

h +limh`Ú 0

`f(3-h)-f(3)

-h

=f '(3)+f '(3)

=2f '(3)

=2·12=24 답 ⑤

0518

y=f '(x)의

그래프가x축과만나는

점의x좌표는1,5이다.

이때 f(3)=0이고

x=1에서극댓값 f(1)을가지므로 f(1)>0

x=5에서극솟값 f(5)를가지므로 f(5)<0

∴ f(1)>f(5), f(1)f(5)<0

따라서옳은것은ㄱ,ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ

0520 x … 1 … 5 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f(x)=xÜ`-(a+2)xÛ`+ax에서

f '(x)=3xÛ`-2(a+2)x+a

이차방정식 f '(x)=0의두근을a,b`(a<b)라하면

-1<a<0,b>0

이어야하므로오른쪽그림에서

f '(-1)=3+2(a+2)+a>0

∴a>-;3&;

f '(0)=a<0

∴-;3&;<a<0

따라서정수a는-2,-1이므로모든정수a의값의곱은

-2´(-1)=2 답 ①

0522

f(x)=xÝ`-4xÜ`+2axÛ`+1에서

f '(x)=4xÜ`-12xÛ`+4ax=4x(xÛ`-3x+a)

최고차항의계수가양수인사차함수 f(x)가극댓값을가지려면

삼차방정식 f '(x)=0이서로다른세실근을가져야하므로이차

방정식xÛ`-3x+a=0이0이아닌서로다른두실근을가져야

한다.이차방정식xÛ`-3x+a=0의판별식을D라하면

a+0,D=9-4a>0에서

a<0또는0<a<;4(;

따라서정수a의최댓값은2이다. 답 ③

0523

f(x)=2xÜ`-3xÛ`-12x+k에서

f '(x)=6xÛ`-6x-12=6(x+1)(x-2)


x -2 … -1 … 2 … 3

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) -4+k ↗ 7+k ↘ -20+k ↗ -9+k

따라서함수 f(x)는x=-1에서최댓값7+k,x=2에서최솟

값-20+k를가지므로

M=7+k,m=-20+k

∴M-m=7+k-(-20+k)=27 답 27

0524

f(x)=-xÝ`+4aÜ`x-20에서

f '(x)=-4xÜ`+4aÜ`=-4(x-a)(xÛ`+ax+aÛ`)

f '(x)=0에서x=a(∵xÛ`+ax+aÛ`>0)

0525

이때극댓값과극솟값의차가32이므로

f(-k)-f(3k)=32에서

(-kÜ`-3kÜ`+9kÜ`+1)-(27kÜ`-27kÜ`-27kÜ`+1)=32

32kÜ`=32,kÜ`=1

∴k=1 답 1

D4 =aÛ`-3(a+6)É0

aÛ`-3a-18É0,(a+3)(a-6)É0

∴-3ÉaÉ6

따라서정수a는-3,-2,-1,y,4,5,6의10개이다. 답 ④

05. 도함수의 활용 (2) 067

f(x)=ax(x-3)Û`+b=axÜ`-6axÛ`+9ax+b이므로

f '(x)=3axÛ`-12ax+9a=3a(x-3)(x-1)


x 0 … 1 … 3 … 5

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) b ↗ 4a+b ↘ b ↗ 20a+b

따라서함수 f(x)는x=5에서최댓값20a+b,x=0과x=3

에서최솟값b를가지므로

20a+b=15,b=-5

따라서a=1,b=-5이므로

aÛ`+bÛ`=26 답 26

0526

f(x)=xÛ`-4x+4에서 f '(x)=2x-4

f '(a)=2a-4이므로점(a,b)에서의접선의방정식은

y-b=(2a-4)(x-a) ∴y=(2a-4)x-2aÛ`+4a+b

이때점(a,b)는곡선y=f(x)위의점이므로b=aÛ`-4a+4

∴y=(2a-4)x-aÛ`+4

따라서접선의x절편은 aÛ`-42a-4=

a+22 이고,접선의y절편은

-aÛ`+4이다.

삼각형의넓이를S(a)라하면

S(a)=;2!;´ a+22 ´(-aÛ`+4)=;4!;(-aÜ`-2aÛ`+4a+8)에서

S'(a)=;4!;(-3aÛ`-4a+4)=-;4!;(a+2)(3a-2)

S'(a)=0에서a (0) … ;3@; … (2)

S'(a) + 0 -

S(a) ↗ 극대 ↘

a=;3@;(∵0<a<2)

따라서함수S(a)는

a=;3@;일때극대이면서최대이므로

b={;3@;}Û`-4´;3@;+4=:Á9¤:

∴b-a=:Á9¤:-;3@;=:Á9¼: 답 ③

0527

삼각기둥의밑면의넓이는

'34 (10-2x)Û`='3(x-5)Û`

이때상자의높이는

x´tan`30ù= 1'3 x이므로상자의

0528

따라서함수 f(x)는x=a에서 x … a …

f '(x) + 0 -

f(x) ↗ 3aÝ`-20 ↘

최댓값3aÝ`-20을가지므로

3aÝ`-20=aÝ`+12

aÝ`=16

∴a=2(∵a는양수) 답 2

함수 f(x)의역함수가존재하려면 f(x)가일대일대응

이어야하므로실수전체의집합에서 f(x)는증가하거나감소해

야한다.그런데 f(x)의최고차항의계수가양수이므로`f(x)는

증가해야한다.

즉,모든실수x에대하여`f '(x)¾0이어야하므로

f '(x)=3xÛ`-4ax+a¾0

이차방정식 f '(x)=0의판별식을D라할때

0531

부피를V(x)라하면

V(x)='3(x-5)Û`´ 1'3 x=x(x-5)Û`=xÜ`-10xÛ`+25x

V'(x)=3xÛ`-20x+25=(3x-5)(x-5)

V'(x)=0에서x=;3%;`(∵0<x<5)

따라서함수V(x)는x (0) … ;3%; … (5)

V'(x) + 0 -

V(x) ↗ 극대 ↘

x=;3%;일때극대이면

서최대이므로

a=;3%;

∴3a=5 답 5


xÚ ¦일때, f(x)Ú ¦이므로a>0


두실근이a,b이고a<0,b>0,|b|>|a|이므로이차방정식

의근과계수의관계에의하여

a+b=- 2b3a >0,ab= c

3a<0

이때a>0이므로b<0,c<0

∴|b+c|-|b|+|c|=-(b+c)-(-b)+(-c)=-2c

답 ②

0529

y=x f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표는

-1,0이다.

Úx<-1일때,x f '(x)<0이므로 f '(x)>0

Û-1<x<0일때,x f '(x)>0이므로 f '(x)<0

Üx>0일때,x f '(x)>0이므로 f '(x)>0

x … -1 … 0 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

ㄱ.함수 f(x)는x>0에서증가한다.

ㄴ.함수 f(x)는x=-1에서극댓값을갖는다.

ㄷ.함수 f(x)는x=0에서극솟값을갖는다.

따라서옳은것은ㄱ뿐이다. 답 ㄱ

0530


f(x)=xÜ`-6xÛ`+k에서

f '(x)=3xÛ`-12x=3x(x-4)


x … 0 … 4 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ k ↘ k-32 ↗

함수 f(x)는x=0에서극댓값k,x=4에서극솟값k-32를

갖는다.

이때극댓값과극솟값의절댓값이같고그부호가서로다르므로

f(0)=-f(4)에서

k=-(k-32),2k=32

∴k=16

답 16


f'(x)구하기 20%

극댓값과극솟값을k에대한식으로나타내기 40%


0532

g(x)=xÛ`+2x=(x+1)Û`-1이므로g(x)=t로놓으

면tæ¾-1이고

( f½g)(x)=f(g(x))=f(t)=-tÜ`+3t

f '(t)=-3tÛ`+3=-3(t+1)(t-1)

f '(t)=0에서t=-1또는t=1

t -1 … 1 …

f'(t) 0 + 0 -

f(t) -2 ↗ 2 ↘

따라서함수 f(t)는t=1에서최댓값2를가지므로

( f½g)(x)의최댓값은2이다.

답 2


g(x)=t로놓고(f½g)(x)를t에대한식으로나타내기 30%

f'(t)=0을만족시키는t의값구하기 30%

(f½g)(x)의최댓값구하기 40%

0534

f(x)=xÜ`-3kxÛ`+kx에서

f '(x)=3xÛ`-6kx+k

함수 f(x)가x>0에서극댓값과극솟값을모두가지려면이차

방정식 f '(x)=0이x>0에서서로다른두실근을가져야한다.

Ú이차방정식 f '(x)=0의판별식을D라하면

D4 =9kÛ`-3k>0,3k(3k-1)>0

∴k<0또는k>;3!;

Ûf '(0)=k>0

Ü이차함수y=f '(x)의그래프의축의방정식은x=k이므로

k>0

0533

반구의반지름의길이를R라

하자.반구를중심O를포함하여밑면

에수직으로자르면단면은오른쪽그림

과같다.

h="ÃRÛ`-rÛ` 이므로원기둥의부피는

prÛ`h=prÛ`"ÃRÛ`-rÛ`=p"ÃrÝ`RÛ`-rß`

f(r)=rÝ`RÛ`-rß`으로놓으면`

f '(r)=4rÜ`RÛ`-6rÞ`=2rÜ`(2RÛ`-3rÛ`)

=2rÜ`('2R+'3r)('2R-'3r)

f '(r)=0에서r=®;3@; R`(∵0<r<R)

즉,r=®;3@; R일때원기둥의부피가최대이다.

∴hr ="ÃRÛ`-rÛ`

r =®ÉRÛ`-;3@;RÛ``

®;3@;R=

1'3R

®;3@;R

= 1'2=

'22 답

'22

0535

D4 =4aÛ`-3aÉ0,a(4a-3)É0

∴0ÉaÉ;4#;

답 0ÉaÉ;4#;


함수f(x)가증가해야함을알기 30%

f'(x)의조건알기 30%

a의값의범위구하기 40%

Ú,Û,Ü에서실수k의값의범위는k>;3!;

답 k>;3!;


판별식을이용하여k의값의범위구하기 30%

f'(0)의값을이용하여k의값의범위구하기 30%

축의방정식을이용하여k의값의범위구하기 30%

k의값의범위구하기 10%

06. 도함수의 활용 (3) 069

x`Ú ¦일때, f(x)`Ú ¦이고f(-4)=f(-1)=f(2)=0이므로

f(x)=a(x+4)(x+1)(x-2) (a>0)로놓으면

f '(x)=3a(xÛ`+2x-2)=3a(x+1+'3 )(x+1-'3 )f '(x)=0에서x=-1-'3또는x=-1+'3이므로y=f(x)와y=f '(x)의그래프는다음그림과같다.

Úf(x)-f '(x)<0에서 f(x)<f '(x)

Ûf(x) f '(x)<0에서

f(x)>0, f '(x)<0또는 f(x)<0, f '(x)>0

Ú,Û를동시에만족시키는x의값의범위는

x<-4또는-1+'3<x<2

따라서집합S에대하여옳은것은④이다. 답 ④

0537

조건㈎와㈏에서최고차항의

계수가1인사차함수 f(x)와그도함

수 f '(x)의그래프의개형은오른쪽

그림과같다.

ㄱ.방정식 f '(x)=0은열린구간

(0,2)에서실근x=k를갖는다.

ㄴ.함수 f(x)는x=k에서극솟값을갖는다.

ㄷ. f(0)=0에서 f(x)=xÜ`(x+a)`(a는상수)로놓으면

f(x)=xÝ`+axÜ`에서 f '(x)=4xÜ`+3axÛ`

f '(2)=32+12a=16 ∴a=-;3$;

f '(x)=4xÜ`-4xÛ`=4xÛ`(x-1)이므로


x … 0 … 1 …

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)=xÜ`{x-;3$;}이므로x=1에서최솟값

f(1)=1-;3$;=-;3!; 을가진다.즉,모든실수x에대하여

f(x)¾-;3!;이다.

따라서옳은것은ㄱ,ㄷ이다. 답 ③

0536

도함수의 활용 (3)06Ⅱ. 미분


f(x)=xÜ`-6xÛ`+2로놓으면

f '(x)=3xÛ`-12x=3x(x-4)


x … 0 … 4 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 2 ↘ -30 ↗

따라서y=f(x)의그래프는오른쪽그림과

같으므로주어진방정식은서로다른세실

근을갖는다. 답 3

0538

f(x)=xÜ`-3xÛ`-4로놓으면

f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)


x … 0 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ -4 ↘ -8 ↗


같으므로주어진방정식은한실근을갖는다.

답 1

0539

f(x)=-xÝ`+2xÛ`+2로놓으면

f '(x)=-4xÜ`+4x=-4x(x+1)(x-1)


x … -1 … 0 … 1 …

f '(x) + 0 - 0 + 0 -

f(x) ↗ 3 ↘ 2 ↗ 3 ↘


같으므로주어진방정식은서로다른두실

근을갖는다. 답 2

0540

3xÝ`+6xÛ`=8xÜ`+1에서3xÝ`-8xÜ`+6xÛ`-1=0

f(x)=3xÝ`-8xÜ`+6xÛ`-1로놓으면

f '(x)=12xÜ`-24xÛ`+12x=12x(x-1)Û`


0541


f(x)=xÜ`-6xÛ`-15x+k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-12x-15=3(x+1)(x-5)


⑴삼차방정식이서로다른세실근을가지려면

f(-1)f(5)<0이어야하므로

(k+8)(k-100)<0 ∴-8<k<100

⑵삼차방정식이한실근과중근을가지려면

f(-1)f(5)=0이어야하므로

(k+8)(k-100)=0 ∴k=-8또는k=100

⑶삼차방정식이한실근과두허근을가지려면

f(-1)f(5)>0이어야하므로

(k+8)(k-100)>0 ∴k<-8또는k>100

답 ⑴ -8<k<100 ⑵ k=-8 또는 k=100

⑶ k<-8 또는 k>100

0542

f(x)=3xÝ`-8xÜ`+18로놓으면

f '(x)=12xÜ`-24xÛ`=12xÛ`(x-2)


x … 0 … 2 …

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ 18 ↘ 2 ↗

함수 f(x)는x= 2 에서극소이면서최소이므로모든실수

x에대하여 f(x)의최솟값은 2 이다.

즉, f(x) > 0이므로

3xÝ`-8xÜ`+18>0 답 ㈎ 2 ㈏ 2 ㈐ >

0543

f(x)=2xÜ`-3xÛ`+3으로놓으면

f '(x)=6xÛ`-6x=6x(x-1)


x (0) … 1 …

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 2 ↗

x>0일때함수 f(x)의최솟값은2이므로

f(x)¾2>0,즉2xÜ`-3xÛ`+3>0

따라서x>0일때부등식2xÜ`-3xÛ`+3>0이성립한다.

답 풀이 참조

0544

f(x)=;4!;xÝ`-xÜ`+xÛ`+k로놓으면

f '(x)=xÜ`-3xÛ`+2x=x(x-1)(x-2)


x … 0 … 1 … 2 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ k ↗ k+;4!; ↘ k ↗

따라서함수 f(x)는x=0또는x=2일때극소이면서최소이

므로모든실수x에대하여 f(x)æ¾0이려면kæ¾0 답 k¾0

0545

v= dxdt =3tÛ`-8t,a= dv

dt =6t-8이므로

시각t=2에서의점P의속도와가속도는

v=3´2Û`-8´2=-4,a=6´2-8=4 답 v=-4, a=4

0546

v= dxdt =3tÛ`-6t+2,a= dv

dt =6t-6이므로


v=3´1Û`-6´1+2=-1,a=6´1-6=0 답 v=-1, a=0

0547

v= dxdt =4tÜ`-4,a= dv

dt =12tÛ`이므로


v=4´2Ü`-4=28,a=12´2Û`=48 답 v=28, a=48

0548

⑴구의겉넓이를S라하면

S=4p(0.2t)Û`=0.16ptÛ`

∴dSdt =0.32pt

따라서시각t=15에서의구의겉넓이의변화율은

0.32p´15=4.8p

⑵구의부피를V라하면

V=;3$;p(0.2t)Ü`= 0.0323 ptÜ`

∴dVdt =0.032ptÛ`

따라서시각t=20에서의구의부피의변화율은

0.032p´20Û`=12.8p 답 ⑴ 4.8p ⑵ 12.8p

0550

dldt =2t+4이므로

시각t=2에서의물체의길이의변화율은

2´2+4=8 답 8

0549

x … 0 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 +

f(x) ↘ -1 ↗ 0 ↗

따라서y=f(x)의그래프는오른쪽그

림과같으므로주어진방정식은서로다

른두실근을갖는다. 답 2

06. 도함수의 활용 (3) 071

xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x-a=0에서

xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x=a yy㉠

방정식㉠이서로다른네실근을가지려면곡선

y=xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x와직선y=a가서로다른네점에서만

나야한다.

f(x)=xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x로놓으면

f '(x)=4xÜ`-12xÛ`-4x+12=4(x+1)(x-1)(x-3)


x … -1 … 1 … 3 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ -9 ↗ 7 ↘ -9 ↗

함수y=f(x)의그래프는오른쪽

그림과같으므로곡선y=f(x)와

직선y=a가서로다른네점에서

만나려면

-9<a<7 답 -9<a<7

0552

xÜ`-3xÛ`+2-k=0에서xÜ`-3xÛ`+2=k yy㉠

방정식㉠이서로다른세실근을가지려면곡선y=xÜ`-3xÛ`+2

와직선y=k가서로다른세점에서만나야한다.

f(x)=xÜ`-3xÛ`+2로놓으면 f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)


x … 0 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 2 ↘ -2 ↗


과같으므로곡선y=f(x)와직선

y=k가서로다른세점에서만나려면

-2<k<2

따라서정수k는-1,0,1이므로

3개이다. 답 3

0551


xÝ`+4xÜ`+28=8xÛ`+k에서

xÝ`+4xÜ`-8xÛ`+28=k yy㉠

방정식㉠이오직하나의실근을가지려면곡선

y=xÝ`+4xÜ`-8xÛ`+28과직선y=k가오직한점에서만나야

한다.

f(x)=xÝ`+4xÜ`-8xÛ`+28로놓으면

f '(x)=4xÜ`+12xÛ`-16x=4x(x+4)(x-1)


x … -4 … 0 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ -100 ↗ 28 ↘ 25 ↗

0553


같으므로곡선y=f(x)와직선y=k가

오직한점에서만나려면

k=-100 답 -100

f(x)-k=0에서 f(x)=k yy㉠

방정식㉠이서로다른세실근을가지려면곡선y=f(x)와직

선y=k가서로다른세점에서만나야한다.

y=f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표가-2,1이므로


x … -2 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ -1 ↗ 2 ↘

함수y=f(x)의그래프는오른쪽그

림과같으므로곡선y=f(x)와직선y=k가서로다른세점에

서만나려면-1<k<2 답 -1<k<2

0554

2xÜ`-3xÛ`-12x+1-k=0에서

2xÜ`-3xÛ`-12x+1=k yy㉠

방정식㉠이한개의양근과서로다른두개의음근을가지려면

곡선y=2xÜ`-3xÛ`-12x+1과직선k의교점의x좌표가한개

는양수이고다른두개는음수이어야한다.

f(x)=2xÜ`-3xÛ`-12x+1로놓으면

f '(x)=6xÛ`-6x-12=6(x+1)(x-2)


0556

xÜ`-;2#;xÛ`-a=0에서xÜ`-;2#;xÛ`=a yy㉠

방정식㉠이한개의음근과서로다른두개의양근을가지려면

곡선y=xÜ`-;2#;xÛ`과직선y=a의교점의x좌표가한개는음수

이고다른두개는양수이어야한다.

f(x)=xÜ`-;2#;xÛ`으로놓으면

f '(x)=3xÛ`-3x=3x(x-1)


x … 0 … 1 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 0 ↘ -;2!; ↗


과같으므로곡선y=f(x)와직선y=a의교점의x좌표가한

개는음수이고서로다른두개는양수가되는실수a의값의범

위는-;2!;<a<0 답 -;2!;<a<0

0555


f(x)=2xÜ`-3xÛ`+a로놓으면

f '(x)=6xÛ`-6x=6x(x-1)


삼차방정식 f(x)=0이한실근과두허근을가지려면

f(0)f(1)>0,즉a(a-1)>0에서

a<0또는a>1 답 a<0 또는 a>1

0560

f(x)=xÜ`-3xÛ`+1-k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)


삼차방정식 f(x)=0이서로다른세실근을가지려면

f(0)f(2)<0,즉(1-k)(-3-k)<0에서

(k-1)(k+3)<0 ∴-3<k<1

따라서정수k는-2,-1,0이므로3개이다. 답 3

0559

xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x-k=0에서

xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x=k yy㉠

방정식㉠이서로다른두개의양근과서로다른두개의음근을

가지려면곡선y=xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x와직선y=k의교점의

x좌표가두개는양수이고두개는음수이어야한다.

f(x)=xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x로놓으면

f '(x)=4xÜ`-12xÛ`-4x+12=4(x+1)(x-1)(x-3)


x … -1 … 1 … 3 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ -9 ↗ 7 ↘ -9 ↗


과같으므로곡선y=f(x)와직선y=k

의교점의x좌표가서로다른두개는양

수,서로다른두개는음수가되는실수

k의값의범위는

-9<k<0

따라서정수k는-8,-7,y,-1로8개이다. 답 8

0558

xÜ`-5xÛ`+7x=xÛ`-2x+a에서

xÜ`-6xÛ`+9x=a yy㉠

방정식㉠이서로다른세개의양근을가지려면곡선

y=xÜ`-6xÛ`+9x와직선y=a의교점의x좌표가서로다른세

양수이어야한다.

f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x로놓으면

f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3)


x … 1 … 3 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 4 ↘ 0 ↗


과같으므로곡선y=f(x)와직선y=a

의교점의x좌표가서로다른세양수가되는실수a의값의범위

는0<a<4

따라서정수a는1,2,3으로3개이다. 답 3

0557

x … -1 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 8 ↘ -19 ↗


과같으므로곡선y=f(x)와직선y=k

의교점의x좌표가한개는양수이고서

로다른두개는음수가되는실수k의

값의범위는

1<k<8 답 ④

f(x)=2xÜ`-6xÛ`+k로놓으면

f '(x)=6xÛ`-12x=6x(x-2)


삼차방정식 f(x)=0이서로다른두실근을가지려면

f(0)f(2)=0,즉k(k-8)=0에서k=0또는k=8

따라서모든실수k의값의합은0+8=8 답 8

0561

xÜ`-2=12x+k에서xÜ`-12x-2-k=0

f(x)=xÜ`-12x-2-k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-12=3(x+2)(x-2)


삼차방정식 f(x)=0이한개의실근을가지려면

f(-2)f(2)>0,즉(14-k)(-18-k)>0에서

(k-14)(k+18)>0 ∴k<-18또는k>14

따라서a=-18,b=14이므로b-a=32 답 ⑤

0562

주어진곡선과직선이서로다른세점에서만나려면

방정식xÜ`-11x=x+k,즉xÜ`-12x-k=0이서로다른세실

근을가져야한다.

f(x)=xÜ`-12x-k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-12=3(x+2)(x-2)



f(-2)f(2)<0,즉(16-k)(-16-k)<0에서

(k-16)(k+16)<0

∴-16<k<16 답 -16<k<16

다른풀이 주어진곡선과직선이서로다른세점에서만나려면방

정식xÜ`-12x=k가서로다른세실근을가져야한다.즉,곡선

y=xÜ`-12x와직선y=k가서로다른세점에서만나야한다.

f(x)=xÜ`-12x로놓으면

0563

06. 도함수의 활용 (3) 073

주어진두곡선이서로다른두점에서만나려면방정식

xÜ`-5xÛ`+3x+k=-2xÛ`+3x,즉xÜ`-3xÛ`+k=0이서로다

른두실근을가져야한다.

f(x)=xÜ`-3xÛ`+k로놓으면 f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)


삼차방정식 f(x)=0이서로다른두실근을가지려면

f(0)f(2)=0,즉k(k-4)=0에서k=4(∵k>0) 답 4

0564

주어진두곡선이오직한점에서만나려면방정식

xÜ`+2xÛ`-5x+k=-xÛ`+4x+2,즉xÜ`+3xÛ`-9x+k-2=0

이한실근과두허근을가져야한다.

f(x)=xÜ`+3xÛ`-9x+k-2로놓으면

f '(x)=3xÛ`+6x-9=3(x+3)(x-1)


삼차방정식 f(x)=0이한실근과두허근을가지려면

f(-3)f(1)>0,즉(25+k)(k-7)>0에서

k<-25또는k>7

따라서자연수k의최솟값은8이다.

답 8


방정식이오직하나의실근을가져야함을알기 20%

f'(x)=0인x의값구하기 30%

k의값의범위구하기 40%

자연수k의최솟값구하기 10%

0565

주어진두곡선이한점에서만나고다른한점에서접하

려면방정식-2xÜ`-xÛ`+6x+3=2xÛ`-6x+k,즉

2xÜ`+3xÛ`-12x-3+k=0이중근과한실근을가져야한다.

f(x)=2xÜ`+3xÛ`-12x-3+k로놓으면

f '(x)=6xÛ`+6x-12=6(x+2)(x-1)


삼차방정식 f(x)=0이중근과한실근을가지려면

0566

Úa=0일때,

xÝ`+48¾0이므로주어진부등식은항상성립한다.

Ûa+0일때,

f(x)=xÝ`-4aÜ`x+48로놓으면

f '(x)=4xÜ`-4aÜ`=4(x-a)(xÛ`+ax+aÛ`)

이때xÛ`+ax+aÛ`={x+;2A;}Û`+;4#;aÛ`æ¾0이므로

f '(x)=0에서x=a

함수 f(x)는x=a에서극소 x … a …

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗

이면서최소이므로최솟값은

f(a)=aÝ`-4aÝ`+48

=-3aÝ`+48

모든실수x에대하여 f(x)>0이려면 f(a)>0이어야하므로

-3aÝ`+48>0,aÝ`-16<0

(a+2)(a-2)(aÛ`+4)<0

∴-2<a<0또는0<a<2(∵a+0)

Ú,Û에서-2<a<2 답 ③

0567

xÝ`-4x+aÛ`>2ax(2-x)에서

xÝ`+2axÛ`-4(a+1)x+aÛ`>0

f(x)=xÝ`+2axÛ`-4(a+1)x+aÛ`으로놓으면

f '(x)=4xÜ`+4ax-4(a+1)=4(x-1)(xÛ`+x+a+1)

이때xÛ`+x+a+1={x+;2!;}Û`+a+;4#;>0(∵a>0)이므로

f '(x)=0에서x=1

함수 f(x)는x=1에서극소이면 x … 1 …

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗

서최소이므로최솟값은

f(1)=1+2a-4(a+1)+aÛ`

=aÛ`-2a-3

모든실수x에대하여 f(x)>0이려면 f(1)>0이어야하므로

aÛ`-2a-3>0,(a-3)(a+1)>0

∴a>3(∵a>0)

따라서양의정수a의최솟값은4이다. 답 ④

0568

f(x)=;4!;xÝ`-xÜ`+;2%;xÛ`-3x+k로놓으면

f '(x)=xÜ`-3xÛ`+5x-3=(x-1)(xÛ`-2x+3)

이때xÛ`-2x+3=(x-1)Û`+2>0이므로

f '(x)=0에서x=1

함수 f(x)는x=1에서극소이 x … 1 …

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗

면서최소이므로최솟값은

f(1)=k-;4%;

모든실수x에대하여 f(x)æ¾0이려면 f(1)¾0이어야하므로

k-;4%;¾æ0 ∴k¾;4%; 답 kæ¾;4%;

0569

f '(x)=3xÛ`-12=3(x+2)(x-2)


x … -2 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 16 ↘ -16 ↗


같으므로곡선y=f(x)와직선y=k가

서로다른세점에서만나려면-16<k<16

f(-2)f(1)=0,즉(k+17)(k-10)=0에서

k=-17또는k=10

따라서모든실수k의값의합은-17+10=-7 답 -7


f(x)=xÜ`-;2#;xÛ`-6x+k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-3x-6=3(x+1)(x-2)

0<x<2일때 f '(x)<0이므로함수 f(x)는열린구간(0,2)

에서감소한다.

따라서0<x<2일때 f(x)>0이려면 f(2)¾0이어야하므로

8-6-12+kæ¾0 ∴kæ¾10 답 kæ¾10

0572

h(x)=f(x)-g(x)로놓으면

h(x)=4xÜ`-xÛ`-2x-(æ2xÛ`+4x-k)=4xÜ`-3xÛ`-6x+k

h'(x)=12xÛ`-6x-6=6(2x+1)(x-1)

h'(x)=0에서x=-;2!;또는x=1

xæ¾2일때h'(x)>0이므로함수h(x)는반닫힌구간[2,¦)

에서증가한다.

따라서xæ¾2일때h(x)¾æ0이려면h(2)¾0이어야하므로

32-12-12+k¾æ0 ∴kæ¾-8

따라서실수k의최솟값은-8이다. 답 -8

0573

xÜ`+k>3xÛ`에서xÜ`-3xÛ`+k>0

f(x)=xÜ`-3xÛ`+k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)

x>2일때 f '(x)>0이므로함수 f(x)는열린구간(2,¦)에

서증가한다.

따라서x>2일때 f(x)>0이려면 f(2)¾0이어야하므로

8-12+kæ¾0 ∴kæ¾4

따라서실수k의최솟값은4이다. 답 ②

0571

xÜ -xÛ -2x+1æ¾-xÛ +x-k에서xÜ -3x+1+k¾0

f(x)=xÜ`-3x+1+k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1)


x 0 … 1 … 2

f'(x) - 0 +

f(x) k+1 ↘ k-1 ↗ k+3

닫힌구간[0,2]에서함수 f(x)는x=1일때극소이면서최소

이므로최솟값은k-1이다.

즉, f(x)æ¾0이려면k-1¾æ0 ∴kæ¾1

따라서실수k의최솟값은1이다. 답 1

0574 3xÝ`+4aÜ`¾4xÜ`+3aÝ`에서

3xÝ`-4xÜ`-3aÝ`+4aÜ`¾0

f(x)=3xÝ`-4xÜ`-3aÝ`+4aÜ`으로놓으면

f '(x)=12xÜ`-12xÛ`=12xÛ`(x-1)


x … 0 … 1 …

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ ↘ 극소 ↗

함수 f(x)는x=1에서극소이면서최소이므로최솟값은

f(1)=-3aÝ`+4aÜ`-1

모든실수x에대하여 f(x)æ¾0이려면-3aÝ`+4aÜ`-1æ¾0

이때g(a)=-3aÝ`+4aÜ`-1로놓으면

g'(a)=-12aÜ`+12aÛ`=-12aÛ`(a-1)

g'(a)=0에서a=0또는a=1

a … 0 … 1 …

g '(a) + 0 + 0 -

g(a) ↗ -1 ↗ 0 ↘

g(a)æ는a=1일때최댓값0을가지므로g(a)æ¾0을만족시키는

실수a의값은1이다. 답 1

0570


h(x)=5xÜ`-10xÛ`+k-(æ5xÛ`+2)=5xÜ`-15xÛ`+k-2

h'(x)=15xÛ`-30x=15x(x-2)

h'(x)=0에서x=0또는x=2

x (0) … 2 … (3)

h'(x) - 0 +

h(x) ↘ k-22 ↗

0<x<3일때함수h(x)는x=2일때극소이면서최소이므로

최솟값은k-22이다.

즉,h(x)>æ0이려면k-22>æ0 ∴k>æ22 답 k>22

0576

xÜ`-3x+2>6x+k에서xÜ`-9x+2-k>0

f(x)=xÜ`-9x+2-k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-9=3(x+'3`)(x-'3`)f '(x)=0에서x=-'3또는x='3

x (0) … '3 … (2)

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ -6'3+2-k ↗

0<x<2일때함수 f(x)는x='3에서극소이면서최소이므로최솟값은-6'3+2-k이다.

즉, f(x)>0이려면-6'3+2-k>0

∴k<-6'3+2<-8

따라서정수k의최댓값은-9이다. 답 ②

0575

점P가원점을지날때는x=0일때이므로

tÜ`-5tÛ`+6t=0,t(t-2)(t-3)=0

∴t=0또는t=2또는t=3

따라서점P는t=3일때마지막으로원점을통과한다.

점P의속도를v라하면

v= dxdt =3tÛ`-10t+6

따라서t=3에서의점P의속도는3´3Û`-10´3+6=3 답 3

0577

06. 도함수의 활용 (3) 075


v= dxdt =3tÛ`+6t+1

속도v가25이므로3tÛ`+6t+1=25에서

3tÛ`+6t-24=0,3(t+4)(t-2)=0

이때t>0이므로t=2

점P의가속도를a라하면

a= dvdt =6t+6

따라서시각t=2에서의점P의가속도는

6´2+6=18 답 18

0579


v= dxdt =3tÛ`-6t-14

속도v가10이므로3tÛ`-6t-14=10에서

3tÛ`-6t-24=0,3(t+2)(t-4)=0

이때t>0이므로t=4

따라서시각t=4에서의점P의위치는

4Ü`-3´4Û`-14´4=-40 답 ②

0578

두점P,Q의속도를각각vP,vQ라하면

vP=2tÛ`+4t,vQ=8t+30

이때두점P,Q의속도가같아지려면vP=vQ이므로

2tÛ`+4t=8t+30,tÛ`-2t-15=0

(t+3)(t-5)=0 ∴t=5(∵t>0)

xP(5)=;3@;´5Ü`+2´5Û`-;3!;=133,

xQ(5)=4´5Û`+30´5=250이므로두점P,Q사이의거리는

250-133=117

답 117


두점P,Q의속도구하기 40%

속도가같아지는시각구하기 30%

두점P,Q사이의거리구하기 30%

0580

점P의속도를v,가속도를a라하면

v= dxdt =-4tÜ`+14tÛ`-8t-1

a= dvdt =-12tÛ`+28t-8

점P의속도가증가하면a>0이므로

-12tÛ`+28t-8>0,(3t-1)(t-2)<0

∴ ;3!;<t<2 답 ②

0581

두점P,Q의속도를각각vP(t),vQ(t)라하면

vP(t)=8t-3,vQ(t)=4t-8

두점P,Q가서로반대방향으로움직이면vP(t)vQ(t)<0이므로

(8t-3)(4t-8)<0,(8t-3)(t-2)<0

∴;8#;<t<2 답 ②

0586


v= dxdt =-3tÛ`+10t-3=-(3t-1)(t-3)

운동방향을바꾸는순간의속도는0이므로

v=0에서t=;3!;또는t=3

즉,점P는시각t=;3!;에서첫번째로운동방향을바꾸고,시각

t=3에서두번째로운동방향을바꾼다.

점P의가속도를a라하면

a= dvdt =-6t+10

따라서시각t=3에서의점P의가속도는

-6´3+10=-8 답 -8

0585

두점P,Q가만나는시각은xP(t)=xQ(t)일때이므로

2t Ü`+tÛ`=tÜ`+2t,t(t+2)(t-1)=0 ∴t=1(∵t>0)

두점P,Q는출발후시각t=1에서다시만난다.

두점P,Q의속도를각각vP(t),vQ(t)라하면

vP(t)=dx¸dt =6tÛ`+2t,vQ(t)=

dxÎdt =3tÛ`+2에서

vP(1)=6+2=8,vQ(1)=3+2=5

따라서a=8,b=5이므로ab=40 답 40

0584


v= dxdt =-tÛ`+6t+16=-(t-3)Û`+25

0ÉtÉ5일때,v는시각t=3에서최댓값25를갖는다.

따라서M=25,a=3이므로M-a=22 답 22

0582


v= dxdt =;4#;tÛ`-3t-1=;4#;(t-2)Û`-4

즉,0ÉtÉ6에서-4ÉvÉ8이므로

0É|v|É8

따라서점P의속력의최댓값은8이다. 답 8

0583


v= dxdt =3tÛ`-18t+24=3(t-2)(t-4)

운동방향을바꾸는순간의속도는0이므로v=0에서

t=2또는t=4

0587


가로등밑에서사

람까지의거리를x`m,그

림자의앞끝까지의거리

를y`m라하면

4`:`1.6=y`:`(y-x)

1.6y=4(y-x) ∴y=;3%;x

그런데x=100t이므로y= 5003 t

∴dydt = 500

3

따라서그림자의앞끝이움직이는속도는5003 `m/min이다.

답 ③

0594

돌의t초후의속도를v라하면

v= dhdt =40-10t

ㄱ.t=2일때,속도v는v=40-10´2=20(m/s)

ㄴ.최고높이에도달했을때의속도는0이므로v=0에서

40-10t=0 ∴t=4

ㄷ.지면에떨어질때의높이는0이므로h=0에서

45+40t-5tÛ`=0,tÛ`-8t-9=0

(t+1)(t-9)=0 ∴t=9(∵t>0)

즉,9초후돌이지면에떨어지는순간의속도는

v=40-10´9=-50(m/s)

따라서옳은것은ㄱ,ㄴ,ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ

0593

물체의t초후의속도를v라하면

v= dhdt =a-10t

최고지점에도달했을때의속도는0이므로v=0에서

a-10t=0 ∴t=;1�0;

즉,t=;1�0;일때물체의높이가최대이므로

a´;1�0;-5´{;1�0;}Û`¾45, aÛ`20¾45

∴a¾30(∵a>0)

따라서상수a의최솟값은30이다. 답 30

0592

t초후의고무풍선의반지름의길이가(4+t)cm이므로

고무풍선의부피를VcmÜ`라하면

V=;3$;p(4+t)Ü`=;3$;p(tÜ`+12tÛ`+48t+64)

∴dVdt =;3$;p(3tÛ`+24t+48)

=4p(t+4)Û`

0595

열차가제동을건지t초후의속도를v라하면

v= dxdt =a-6t

이때열차가제동을건지2초후에정지하므로t=2일때의속

도가0이다.

즉,a-6´2=0에서a=12 답 12

0589

기차가제동을건지t초후의속도를v라하면

v= dxdt =9-3tÛ`

기차가정지할때의속도는0이므로v=0에서

9-3tÛ`=0 ∴t='3(∵t>0)

이때까지기차가움직인거리는

9'3-('3 )Ü`=6'3(m)

따라서목적지로부터6'3`m의지점에서제동을걸어야한다. 답 ④

0590

물체의t초후의속도를v라하면

v= dhdt =20-10t

최고지점에도달했을때의속도는0이므로v=0에서

20-10t=0 ∴t=2

따라서2초후이물체의지면으로부터높이는

40+20´2-5´2Û`=60(m) 답 ②

0591

자동차가제동을건지t초후의속도를v라하면

v= dxdt =18-0.9t

자동차가정지할때의속도는0이므로v=0에서

18-0.9t=0 ∴t=20

따라서20초동안자동차가움직인거리는

18´20-0.45´20Û`=180(m) 답 180`m

0588

즉,점P는시각t=2에서첫번째로운동방향을바꾸고,시각

t=4에서두번째로운동방향을바꾼다.

시각t=2에서의점P의위치A는2Ü`-9´2Û`+24´2=20

시각t=4에서의점P의위치B는4Ü`-9´4Û`+24´4=16

따라서두점A,B사이의거리는20-16=4이다.

답 4단계 채점요소 배점

점P의속도구하기 30%

운동방향을바꿀때의시각구하기 20%

두점A,B사이의거리구하기 50%

06. 도함수의 활용 (3) 077

t초후의맨바깥쪽파문의반지름의길이를r`m라하면

원의넓이는S=prÛ`(mÛ`)

이때반지름의길이의일정한증가율을k라하면

r=kt ∴S=p(kt)Û`=pkÛ`tÛ`

∴dSdt =2pkÛ`t

t=2일때의파문의넓이의증가율은4pkÛ`=p이므로kÛ`=;4!;

따라서t=3일때파문의넓이의증가율은

2p´;4!;´3=;2#;p(mÛ`/s) 답 ②

0597

점P가출발한지t초후의두점P,Q의좌표는

P(3t,0),Q(0,4(t-2))이므로△OPQ의넓이를S라하면

S=;2!;´3t´4(t-2)=6t(t-2)=6tÛ`-12t(t>2)

∴dSdt =12t-12

t=5일때삼각형의넓이의변화율은

12´5-12=48 답 48

0598

따라서t=6일때고무풍선의부피의변화율은

4p(6+4)Û`=400p(cmÜ`/s)

답 400p`cmÜ`/s


t초후의풍선의반지름의길이구하기 20%

부피V를t에대한식으로나타내기 20%

dVdt구하기 30%

t=6일때부피의변화율구하기 30%

t초후의수면의반지름의길이를r`cm,높이를h`cm

라하면h=t이므로높이가5`cm가되는시각은

t=5

또,오른쪽그림에서6`:`18=r`:`h

∴r=;3!;h

물의부피를VcmÜ`라하면

V=;3!;prÛ`h=;3!;p´{;3!;h}Û`´h

=;2Á7;phÜ`=;2Á7;ptÜ`

∴dVdt =;9!;ptÛ`

따라서t=5일때물의부피의변화율은

;9!;p´5Û`=:ª9°:p(cmÜ`/s) 답 :ª9°:`p`cmÜ`/s

0596

ㄱ.시각t=5의좌우에서v(t)의부호가바뀌지않으므

로시각t=5에서운동방향을바꾸지않는다.

ㄴ.시각t=2,t=4에서운동방향을바꾼다.

ㄷ.시각2<t<4에서수직선위를음의방향으로움직인다.

ㄹ.시각4<t<5에서y=v(t)는증가하는함수가아니다.

따라서옳은것은ㄷ이다. 답 ㄷ

0602

비가내리기전측정기의각모서리의길이는

10-5=5(mm)이고,낮12시부터t시간이지난후의측정기의

각모서리의길이는(5+5t)`mm이므로이때의측정기의부피

를V`mmÜ라하면

V=(5+5t)Ü`=125(tÜ`+3tÛ`+3t+1)

∴dVdt =125(3tÛ`+6t+3)=375(t+1)Û`

측정기의부피의변화율이13500`mmÜ`/h가되는순간은

375(t+1)Û`=13500에서

(t+1)Û`=36 ∴t=5(∵t>0)

따라서강수량의변화율이13500`mmÜ /h가되는순간은낮12시

부터5시간이지난후인오후5시이다. 답 ②

0600

ㄱ.시각t=a에서점P의속도는0이다.

ㄴ.시각t=a,t=c,t=e에서운동방향을바꾼다.

ㄷ.시각t=c에서속도는0이다.

0603

본문 91쪽유형

점P의시각t에서의가속도를a(t)라하면

a(t)= dvdt이므로점P의시각t에서의가속도는시각t에서의

y=v(t)의그래프의접선의기울기와같다.이때

a(tÁ)<0,a(tª)=0,a(t£)>0,a(t¢)=0,a(t°)<0

이므로시각t£에서의가속도가가장크다. 답 ③

0601

t초후의두점P,Q의좌표는각각(t,0),(0,2t)이

므로두점P,Q를지나는직선의방정식은xt + y

2t=1 yy`㉠

직선㉠과직선y=2x의교점R의좌표는xt + 2x

2t =1에서x= t2 ,y=t

즉,R{ t2 ,t}이므로ORÓ=l이라하면

l=¾Ðæ{ t2 }

Û`+tÛ`='52 t ∴dl

dt ='52

따라서선분OR의길이의변화율은'52 이다.

답 '52

0599


2xÜ`+3xÛ`-12x+a=0에서

-2xÜ`-3xÛ`+12x=a yy㉠

방정식㉠이한개의음근과두개의양근을가지려면곡선

y=-2xÜ`-3xÛ`+12x와직선y=a의교점의x좌표가한개는

음수이고다른두개는양수이어야한다.

f(x)=-2xÜ`-3xÛ`+12x로놓으면

f '(x)=-6xÛ`-6x+12=-6(x+2)(x-1)


x … -2 … 1 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ -20 ↗ 7 ↘


같으므로곡선y=f(x)와직선y=a의

교점의x좌표가한개는음수이고다른

두개는양수가되는실수a의값의범위

는

0<a<7 답 0<a<7

0608

y=f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표가

-1,3,5이므로


x … -1 … 3 … 5 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ -2 ↗ ↘ 1 ↗

따라서함수y=f(x)의그래프가오

른쪽그림과같다.

이때방정식 f(x)+x+1=0의실

근은함수y=f(x)의그래프와직선

y=-x-1의교점A,B의x좌표

와같으므로1개의양근과1개의음근을갖는다. 답 ①

0607

f(x)=2xÜ`-3axÛ`+a로놓으면

f '(x)=6xÛ`-6ax=6x(x-a)

f '(x)=0에서x=0또는x=a

삼차방정식 f(x)=0이중근과다른한실근을가지려면

f(0)f(a)=0,즉a(a-aÜ`)=0에서

aÛ`(a+1)(a-1)=0 ∴a=1(∵a>0) 답 ①

0609

y=f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표가a,c

이므로 f '(x)=0에서x=a또는x=c

이때x=a에서는극값을갖지않고,x=c에서는극값을갖는다.

ㄱ. f(a)=0

즉, f(x)=0은서로다른두실근을

갖는다.

0610

y=f '(x)의그래프가x축과만나는점의x좌표가0,a,

b,c이므로

f '(x)=0에서x=0또는x=a또는x=b또는x=c

x … 0 … a … b … c …

f '(x) + 0 + 0 + 0 - 0 +

f(x) ↗ ↗ ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

함수y=f(x)의그래프는오른쪽

그림과같다.

방정식 f(x)=k의실근은함수

y=f(x)의그래프와직선y=k의

교점의x좌표와같으므로방정식

f(x)=k의서로다른실근의개수의최댓값은3이다. 답 ③

0606

ㄱ.시각t=a에서점P의속도는0이므로점Q의속도

가더크다.

ㄴ.점P와점Q는시각t=b에서위치가같으므로만난다.

ㄷ.t=c일때,두곡선y=xP(t),y=xQ(t)위의점에서의접

선의기울기가모두음수이므로두점P,Q는서로같은방향

으로움직인다.


0604

;4#;xÝ`-xÜ`-3xÛ`+k=0에서

;4#;xÝ`-xÜ`-3xÛ`=-k yy㉠

방정식㉠이서로다른네개의실근을가지려면곡선

y=;4#;xÝ`-xÜ`-3xÛ`과직선y=-k가서로다른네점에서만나

야한다.

f(x)=;4#;xÝ`-xÜ`-3xÛ`으로놓으면

f '(x)=3xÜ`-3xÛ`-6x=3x(x+1)(x-2)


x … -1 … 0 … 2 …

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ -;4%; ↗ 0 ↘ -8 ↗


같으므로곡선y=f(x)와직선y=-k

가서로다른네점에서만나려면

-;4%;<-k<0 ∴0<k<;4%;

따라서실수k의값으로적당한것은②

이다. 답 ②

0605


ㄹ.시각t=a일때원점에서가장멀리떨어져있다.

따라서옳은것은ㄴ,ㄷ이다. 답 ②

06. 도함수의 활용 (3) 079

ㄴ. f(a)f(c)<0

즉, f(x)=0은서로다른두실근을

갖는다.

ㄷ. f(a)f(c)>0

⇨ f(a)>0, f(c)>0또는 f(a)<0, f(c)<0

즉, f(x)=0은서로다른두실근을갖거나실근을갖지않

는다.

따라서옳은것은ㄱ,ㄴ이다. 답 ㄱ, ㄴ

주어진곡선과직선이서로다른세점에서만나려면방

정식xÜ`-x=2x+k,즉xÜ`-3x-k=0이서로다른세실근을

가져야한다.

f(x)=xÜ`-3x-k로놓으면

f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1)



f(-1)f(1)<0,즉(2-k)(-2-k)<0에서

(k+2)(k-2)<0 ∴-2<k<2 답 ③

0611

f(x)=xÜ`-3xÛ`-2로놓으면 f '(x)=3xÛ`-6x

점(0,a)에서곡선y=xÜ`-3xÛ`-2에그은접선의접점의좌표

를(t,tÜ`-3tÛ`-2)라하면접선의방정식은

y-(tÜ`-3tÛ`-2)=(3tÛ`-6t)(x-t)

이직선이점(0,a)를지나므로

a-(tÜ`-3tÛ`-2)=(3tÛ`-6t)(-t)

∴2tÜ`-3tÛ`+2+a=0 yy`㉠

점(0,a)에서주어진곡선에오직한개의접선만을그을수있

으려면t에대한삼차방정식㉠이오직하나의실근만을가져야

한다.

f(t)=2tÜ`-3tÛ`+2+a로놓으면 f '(t)=6tÛ`-6t=6t(t-1)

f '(t)=0에서t=0또는t=1

삼차방정식㉠이오직하나의실근을가지려면

f(0)f(1)>0이어야하므로

(a+2)(a+1)>0 ∴a<-2또는a>-1 답 ①

0612

xÝ`-8x+aæ¾4xÜ`-6xÛ`에서

f(x)=xÝ`-4xÜ`+6xÛ`-8x+a로놓으면

f '(x)=4xÜ`-12xÛ`+12x-8=4(x-2)(xÛ`-x+1)

f '(x)=0에서x=2(∵xÛ`-x+1>0)

함수 f(x)는x=2에서극소


f(2)=a-8

x … 2 …

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗

0613

두점P,Q의시각t에서의속도vP(t),vQ(t)는

vP(t)=tÛ`+4,vQ(t)=4t이므로

속도가같아지는시각은

tÛ`+4=4t에서t Û`-4t+4=0

(t-2)Û`=0 ∴t=2

0617

4xÛ`-3x<xÜ`+kx에서-xÜ`+4xÛ`-3x<kx

f(x)=-xÜ`+4xÛ`-3x=-x(x-1)(x-3)으로놓으면

f(x)=0에서x=0또는x=1또는x=3

따라서 f(x)의그래프는그림과같다.

이때곡선y=f(x)와x=t에서접하는

접선의방정식

y=(-3tÛ`+8t-3)(x-t)

+(-tÜ`+4tÛ`-3t)

이원점을지나므로

2tÜ`-4tÛ`=0,2tÛ`(t-2)=0 ∴t=2(∵t>0)

즉,접점(2,2)에서의접선의방정식은y=x

따라서4xÛ`-3x<xÜ`+kx가성립하려면k>1이어야한다.

답 ②

0616

xÝ`-4x¾æ-xÛ`+2x-a에서xÝ`+xÛ`-6x+aæ¾0

h(x)=xÝ`+xÛ`-6x+a로놓으면

h'(x)=4xÜ`+2x-6=2(x-1)(2xÛ`+2x+3)

이때2xÛ`+2x+3=2{x+;2!;}Û`+;2%;>0이므로

h'(x)=0에서x=1

함수h(x)는x=1에서극소 x … 1 …

h'(x) - 0 +

h(x) ↘ 극소 ↗


h(1)=a-4

모든실수x에대하여h(x)æ¾0

이려면h(1)¾0이어야하므로

a-4æ¾0 ∴aæ¾4 답 a¾4

0614

모든실수x에대하여 f(x)æ¾0이려면

f(2)¾0이어야하므로

a-8¾æ0 ∴aæ¾8

따라서실수a의최솟값은8이다. 답 ⑤

2xÜ`+kæ¾3xÛ`에서2xÜ`-3xÛ`+kæ¾0

f(x)=2xÜ`-3xÛ`+k로놓으면 f '(x)=6xÛ`-6x=6x(x-1)


x¾æ0일때,함수 f(x)는 x 0 … 1 …

f '(x) 0 - 0 +

f(x) k ↘ k-1 ↗

x=1에서극소이면서최

소이므로최솟값은

f(1)=k-1

따라서x¾æ0일때, f(x)æ¾0이려면 f(1)¾0이어야하므로

k-1¾æ0 ∴kæ¾1 답 k¾1

0615


가로등밑에서사람까지의거리를x`m,그림자의앞끝

까지의거리를y`m,사람의키를h`m라하면

x=60t

오른쪽그림에서

y`:`(y-x)=3`:`h

3(y-x)=hy

(3-h)y=3x

y= 3x3-h ∴y=

1803-h t

∴dydt = 180

3-h

해성이의키는180`cm이므로

vÁ= 1803-1.8 = 180

1.2 =150(m/min)

유빈이의키는150`cm이므로

vª= 1803-1.5 =120(m/min)

∴vÁ`:`vª=5`:`4 답 ③

0622

t초후의정삼각형의한변의길이는(2+2t)`cm이므

로정삼각형의넓이를S`cmÛ`라하면

S='34 (2t+2)Û`='3(t+1)Û`='3(tÛ`+2t+1)

∴dSdt =2'3(t+1)

따라서t=5일때,정삼각형의넓이의변화율은

2'3(5+1)=12'3(cmÛ`/s) 답 12'3`cmÛ`/s

0623

ㄹ.물체의가속도를a라하면a= dvdt =-10으로일정하다.

따라서옳은것은ㄱ,ㄹ이다. 답 ㄱ, ㄹ

t초후의수면의반지름의길이를r`cm,높이를h`cm

라하면h=0.5t이므로높이가4`cm가되는시각은

4=0.5t ∴t=8(초)

또,오른쪽그림에서4`:`8=r`:`h

∴r=;2!;h

t초후의물의부피를V`cmÜ`라하면

V=;3!;prÛ`h=;3!;p{;2!;h}Û`´h

= p12 hÜ`= p

12 {;2!;t}Ü`

= p96 t Ü`

∴dVdt = p

32 tÛ`

따라서t=8일때물의부피의변화율은

p32 ´8Û`=2p(cmÜ`/s) 답 ①

0624

ㄱ.x(1)=;3!;-4+7=:Á3¼:,

x(3)=;3!;´3Ü`-4´3Û`+7´3=-6이므로시각t=1,t=3에

서의점P의위치는같지않다.

ㄴ.시각t에서의속도를v라하면v= dxdt =tÛ`-8t+7

따라서시각t=0에서의속도는7이다.

ㄷ.시각t에서의가속도를a라하면a= dvdt =2t-8

따라서시각t=3에서의가속도는2´3-8=-2

ㄹ.v=0에서tÛ`-8t+7=(t-1)(t-7)=0

∴t=1또는t=8

따라서점P는움직이는동안시각t=1,t=8에서운동방

향을바꾼다.

따라서옳은것은ㄷ,ㄹ이다. 답 ③

0620

ㄱ.t초후의속도를v라하면v= dhdt =30-10t

최고높이에서물체의속력은0이므로v=0에서t=3

따라서최고높이에도달하는데걸리는시간은3초이다.

ㄴ.물체의최고높이는t=3일때의높이이므로

35+30´3-5´3Û`=80(m)

ㄷ.물체가지면에떨어질때의높이는0이므로

35+30t-5tÛ`=0,tÛ`-6t-7=0,(t+1)(t-7)=0

∴t=7(∵t>0)

따라서걸리는시간은7초이다.

0621

시각t에서의중점M의위치를x라하면

x=;2!;{(2tÜ`-2tÛ`+3t)+(-4tÛ`-t)}=tÜ`-3tÛ`+t

시각t에서의중점M의속도를v라하면

v= dxdt =3tÛ`-6t+1

따라서시각t=3에서의속도는

3´3Û`-6´3+1=10 답 ①

0618

시각t에서의점P의속도를v라하면

v= dxdt =3tÛ`-12

운동방향이바뀌는순간은v=0이므로

3tÛ`-12=0에서t=2(∵t>0)

이때점P가원점에위치하므로

2Ü`-12´2+k=0 ∴k=16 답 ④

0619

따라서두점P,Q의시각t=2에서의위치는각각

xP(2)=;3!;´2Ü`+4´2-;3@;=;3*;+8-;3@;=10

xQ(2)=2´2Û`-10=8-10=-2

이므로두점P,Q사이의거리는10-(-2)=12 답 12

06. 도함수의 활용 (3) 081

ㄱ.출발후2초까지점P는양의방향으로이동했으므

로위치는원점이아니다.

ㄴ.t=2에서점P의속도는0이고양의방향에서음의방향으로

움직이는방향이바뀐다.

ㄷ.t=2,t=5에서v=0이고,t=2,t=5의양옆으로속도의

부호가바뀌므로운동방향이2번바뀐다.

따라서옳은것은ㄴ,ㄷ이다. 답 ⑤

0625

xÜ`-3xÛ`-k=0에서xÜ`-3xÛ`=k yy㉠

방정식㉠의서로다른실근의개수를구하려면곡선

y=xÜ`-3xÛ`과직선y=k의교점의개수를구하면된다.

f(x)=xÜ`-3xÛ`으로놓으면

f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)


x … 0 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 0 ↘ -4 ↗


같으므로x=0에서극댓값0,x=2에서

극솟값-4를갖는다.

이때-4<k<0에서곡선y=f(x)와직선y=k의교점의개

수가3이므로주어진방정식의서로다른실근의개수는3이다.

답 3


f'(x)=0인x의값구하기 20%

y=f(x)의그래프그리기 40%

방정식의서로다른실근의개수구하기 40%

0626


h(x)=2xÜ`-3xÛ`-(xÜ`-a)=xÜ`-3xÛ`+a에서

h'(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)

h'(x)=0에서x=2(∵1<x<3)

x (1) … 2 … (3)

h'(x) - 0 +

h(x) ↘ 극소 ↗

1<x<3에서h(x)는x=2에서극소이면서최소이므로최솟값은

h(2)=2Ü`-3´2Û`+a=a-4

0627

시각t에서두점P,Q의속도는

vP(t)=2t-6,vQ(t)=t+4

두점P,Q가서로같은방향으로움직이려면

vP(t)vQ(t)>0

즉,(2t-6)(t+4)>0에서t>3(∵t>0)

답 t>3


두점P,Q의속도구하기 40%

같은방향으로움직일때의조건알기 40%

t의값의범위구하기 20%

0628

t분동안사람이움직인거리는90t`m이고시각t분에서

그림자의길이를x`m라하면


3`:`1.5=(x+90t)`:`x

1.5(x+90t)=3x

∴x=90t

∴dxdt =90

따라서그림자의길이의변화율은90`m/min이다.

답 90`m/min


비례식세우기 40%

x를t에대한식으로나타내기 40%

그림자의길이의변화율구하기 20%

0629

1<x<3에서h(x)¾0이려면h(2)¾0이어야하므로

a-4¾0 ∴a¾4

따라서상수a의최솟값은4이다.

답 4


h'(x)=0인x의값구하기 30%

h(x)의최솟값구하기 40%

a의최솟값구하기 30%

Úx¾a일때,g(x)=x-a

h(x)=6xÜ`-x-(x-a)=6xÜ`-2x+a라하면

h'(x)=18xÛ`-2=2(3x+1)(3x-1)

0630


선분OQ가밑면의반지름의길이t이고,

선분PQ의높이는 f(t)=-tÛ`-4t이므로

만들수있는원뿔의부피를V(t)라하면

V(t)=;3!;ptÛ`´(-tÛ`-4t)=-;3!;ptÜ`(t+4)

V'(t)=-;3!;p(4tÜ`+12tÛ`)=-;3$;ptÛ`(t+3)

V'(t)=0에서t=-3또는t=0

t … -3 … 0 …

V'(t) + 0 - 0 -

V(t) ↗ 극대 ↘ ↘

따라서t=-3일때원뿔의부피가최대가되므로

V(-3)=-;3!;p´(-3)Ü`´(-3+4)=9p 답 9p

0632

직각삼각형OAB에서

OAÓ=1,∠OBA=30ù이므로

OBÓ=2

따라서공이경사면과처음으로충돌하

는순간의공의중심의높이는2이므로

h(t)=74-8tÛ`=2,8tÛ`=72

∴t=3(∵ t>0)

이때v(t)=h'(t)=-16t이므로

v(3)=-48(m/s) 답 -48`m/s

0631

h'(x)=0에서x=-;3!;또는x=;3!;

h(x)=0이서로다른두실근을가지려면

h{-;3!;}h{;3!;}=0이어야하므로

{-;2¤7;+;3@;+a}{;2¤7;-;3@;+a}=0,{a+;9$;}{a-;9$;}=0

∴a=-;9$;또는a=;9$;

이때x¾a이므로a=-;9$;

Ûx<a일때,g(x)=-x+a

h(x)=6xÜ`-x-(-x+a)=6xÜ`-a라하면

h'(x)=18xÛ`

h'(x)=0에서x=0

h(x)=0은오직한개의근만갖는다.

Ú,Û에서h(x)=0이서로다른두실근을갖도록하는실수

a의값은-;9$;이다. 답 ④

부정적분07Ⅲ. 적분


633 0 f(x)=(3x2+4x+C)'=6x+4 답 f(x)=6x+4

634 0 f(x)=(x3-x2+C)'=3x2-2x

답 f(x)=3x2-2x

635 0 f(x)={;4!;x4+;3!;x3+;2!;x2+C}'

f(x)=x3+x2+x 답 f(x)=x3+x2+x

636 0ddx [ :` f(x)dx]=f(x)이므로

ddx `{:`x2dx}=x2

답 x2

637 0 :`[ ddx f(x)]dx=f(x)+C이므로

:`{ ddxx2}dx=x2+C 답 x2+C

638 0ddx [:` f(x)dx]=f(x)이므로

ddx [:`(xÜ`+2x)dx]=xÜ`+2x 답 xÜ +2x

639 0 :`[ ddx f(x)]dx=f(x)+C이므로

:`[ ddx(xÜ`+2x)]dx=xÜ`+2x+C 답 xÜ`+2x+C

640 0 :`dx=:`1 dx=x+C 답 x+C

641 0 :`x3dx=;4!;x4+C 답 ;4!;x4+C

642 0 :`x21dx= 122 x

22+C 답 ;2Á2;x22+C

643 0 :`xn-1dx= 1n xn+C 답

1n xn+C

07. 부정적분 083

644 0 :`(3x-4)dx=:`3x dx-:`4 dx

:`(3x-4)dx=3:`x dx-:`4 dx

:`(3x-4)dx=;2#;x2-4x+C 답 ;2#;x2-4x+C

651 0 :`(x+1)Û`dx-:`(x-1)Û`dx

=:`(xÛ`+2x+1)dx-:`(xÛ`-2x+1)dx

=:`4x dx=4:`x dx

=2xÛ`+C 답 2xÛ`+C

652 0 : xÜ`x-2 dx-: 8

x-2 dx

=: xÜ`-8x-2 dx=:`(xÛ`+2x+4)dx

=:`xÛ`dx+:`2x dx+:`4 dx

=:`xÛ`dx+2:`x dx+:`4 dx

=;3!;xÜ`+xÛ`+4x+C 답 ;3!;xÜ`+xÛ`+4x+C

645 0 :`(5x2-2x+1)dx=:`5x2dx-:`2x dx+:`dx

:`(5x2-2x+1)dx=5:`x2dx-2:`x dx+:`dx

:`(5x2-2x+1)dx=;3%;x3-x2+x+C

답 ;3%;x3-x2+x+C

646 0 :`(x-1)(x+2)dx=:`(xÛ`+x-2)dx

:`(x-1)(x+2)dx=:`xÛ`dx+:`x dx-:`2 dx

:`(x-1)(x+2)dx=;3!;xÜ`+;2!;xÛ`-2x+C

답 ;3!;xÜ`+;2!;xÛ`-2x+C

647 0 :`(2x-3)Û`dx=:`(4xÛ`-12x+9)dx

:`(3-2x)Û`dx=:`4xÛ`dx-:`12x dx+:`9 dx

:`(3-2x)Û`dx=4:`xÛ`dx-12:`x dx+:`9 dx

:`(3-2x)Û`dx=;3$;xÜ`-6xÛ`+9x+C

답 ;3$;xÜ`-6xÛ`+9x+C

648 0 :`(x-3)(xÛ`+3x+9)dx=:`(xÜ`-27)dx

:`(x-3)(xÛ`+3x+9)dx=:`xÜ`dx-:`27dx

:`(x-3)(xÛ`+3x+9)dx=;4!;xÝ`-27x+C

답 ;4!;xÝ`-27x+C

649 0 :` x2-4x+2 dx=:`(x-2)dx=:`x dx-:`2 dx

=;2!;xÛ`-2x+C 답 ;2!;xÛ`-2x+C

650 0 : xÜ`+1x+1 dx=:`(xÛ`-x+1)dx

=:`xÛ`dx-:`x dx+:`dx

=;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+x+C

답 ;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+x+C

본문 100~105쪽유형 익 /히 /기

653 0 (x-3)f(x)=(xÜ`-27x)'=3xÛ`-27

(x-3)f(x)=3(x+3)(x-3)

따라서f(x)=3(x+3)이므로

f(-1)=3´2=6 답 ④

654 0 F(x)=xÜ`+xÛ`+1로놓으면

f(x)=F'(x)=3xÛ`+2x 답 ②

655 0 F(x)={` f(x)g(x)}'=f`'(x)g(x)+f(x)g '(x)=4x(4x+3)+(2xÛ`-1)´4

=24xÛ`+12x-4

∴F(0)=-4 답 -4

656 0 f(x)=F'(x)=3xÛ`+2ax+2이므로

f(0)=2=b

f '(x)=6x+2a이므로

f '(0)=2a=3 ∴a=;2#;

∴ab=;2#;´2=3

답 3


657 0ddx [ :`(axÜ`+2xÛ`+bx-7)dx]=axÜ`+2xÛ`+bx-7

이므로axÜ`+2xÛ`+bx-7=xÜ`+cxÛ`+3x+d

위의등식이모든실수x에대하여성립하므로

a=1,b=3,c=2,d=-7

∴a+b+c+d=-1 답 ③

658 0ddx [:`xf(x)dx]=xf(x)이므로

xf(x)=xÝ`+xÜ`+xÛ`+x=x(xÜ`+xÛ`+x+1)

따라서f(x)=xÜ`+xÛ`+x+1이므로

f(3)=27+9+3+1=40 답 40

659 0 F(x)=:`[ ddx (xÜ`-2x)]dx=xÜ`-2x+C

F(0)=2이므로C=2

따라서F(x)=xÜ`-2x+2이므로

F(2)=8-4+2=6 답 6

660 0 :`[ ddx f(x)]dx=f(x)+C1이므로

f(x)+C1=xÜ`-6x+C

∴f(x)=xÜ`-6x+C-C1

f(3)=10이므로27-18+C-CÁ=10 ∴C-C1=1

따라서f(x)=xÜ`-6x+1이므로

f(-1)=-1+6+1=6 답 ⑤

661 0 F(x)= ddx [:`xf(x)dx]=xf(x)=2xÛ`+x

G(x)=:`[ ddxxf(x)]dx=xf(x)+C=2xÛ`+x+C

G(1)=5이므로2+1+C=5 ∴C=2

따라서F(x)=2xÛ`+x,G(x)=2xÛ`+x+2이므로

F(-1)+G(-1)=1+3=4 답 4

662 0 f(x)=:`[ ddx (xÛ`-4x)]dx=xÛ`-4x+C

=(x-2)Û`+C-4

함수f(x)의최솟값이-8이므로

C-4=-8 ∴C=-4

따라서f(x)=xÛ`-4x-4이므로

f(5)=25-20-4=1 답 1





663 0 F(x)=:` [ ddx :`[ d

dx f(x)]dx] dx

=:` [ ddx {f(x)+C1}] dx

=f(x)+C2

=10x10+9x9+y+2xÛ`+x+C2

F(0)=-5이므로C2=-5

따라서F(x)=10x10+9x9+y+2xÛ`+x-5이므로

F(1)=10+9+y+2+1-5=50 답 ③

664 0ddx { f(x)g(x)}=3xÛ`에서

: [ ddx

{ f(x)g(x)}] dx=:`3xÛ`dx

∴f(x)g(x)=xÜ`+C

f(2)=0,g(2)=12이므로

f(2)g(2)=8+C=0 ∴C=-8

즉,f(x)g(x)=xÜ`-8=(x-2)(xÛ`+2x+4)이므로

[ f(x)=x-2g(x)=xÛ`+2x+4

또는[ f(x)=xÛ`+2x+4g(x)=x-2

그런데f(2)=0,g(2)=12이므로

f(x)=x-2,g(x)=xÛ`+2x+4

∴f(0)+g(1)=-2+7=5 답 5

665 0ddx {f(x)+g(x)}=4에서

:` [ ddx

{f(x)+g(x)}] dx=:`4 dx

∴f(x)+g(x)=4x+C1

또,ddx {f(x)-g(x)}=4x에서

:` [ ddx

{f(x)-g(x)}] dx=:`4x dx

∴f(x)-g(x)=2xÛ`+C2

f(0)=3,g(0)=-4이므로

f(0)+g(0)=C1=-1,f(0)-g(0)=C2=7

즉,f(x)+g(x)=4x-1,f(x)-g(x)=2xÛ`+7이므로

f(x)=xÛ`+2x+3,g(x)=-xÛ`+2x-4

∴f(1)+g(-1)=6+(-7)=-1 답 -1

666 0ddx {f(x)+g(x)}=4x+2에서

:` [ ddx

{f(x)+g(x)}] dx=:`(4x+2)dx

∴f(x)+g(x)=2xÛ`+2x+C1

또,ddx {f(x)g(x)}=12xÛ`+4x+4에서

: [ ddx

{f(x)g(x)}] dx=:`(12xÛ`+4x+4)dx

∴f(x)g(x)=4xÜ`+2xÛ`+4x+C2

07. 부정적분 085

667 0 f(x)=:` x2

x-1 dx-:` 1x-1 dx

=: x2-1x-1 dx=: (x-1)(x+1)

x-1 dx

=:`(x+1)dx=;2!;xÛ`+x+C

`f(0)=1이므로C=1

따라서f(x)=;2!;xÛ`+x+1이므로

` f(2)=2+2+1=5 답 5

668 0 f(x)=:`(1-x)Ü` dx-:`(1+x)Ü` dx

=:`(1-3x+3xÛ`-xÜ`)dx

-:`(1+3x+3xÛ`+xÜ`)dx

=:`(-2xÜ`-6x)dx

=-;2!;xÝ`-3xÛ`+C

f(0)=;2!;이므로C=;2!;

따라서f(x)=-;2!;xÝ`-3xÛ`+;2!;이므로

f(1)=-;2!;-3+;2!;=-3 답 -3

669 0 :` 9x `dx+:` (2x+3)(2x-3)x `dx

=:` 9x `dx+:` 4x2-9x `dx=:` 9x `dx+:`{4x- 9

x }dx

=:`4x`dx=2xÛ`+C

따라서a=2,b=0이므로a+b=2 답 ②

670 0 f(x)=:`(1+2x+3xÛ`+y+9x8)dx

f(x)=x+xÛ`+xÜ`+y+x9+C

f(1)=10이므로9+C=10 ∴C=1

따라서f(x)=1+x+xÛ`+xÜ`+y+x9이므로

f(-1)=1-1+1-1+y-1=0 답 0

f(0)=2,g(0)=1이므로

f(0)+g(0)=C1=3,f(0)g(0)=C2=2

즉,f(x)+g(x)=2xÛ`+2x+3=(2xÛ`+2)+(2x+1),

f(x)g(x)=4xÜ`+2xÛ`+4x+2=(2xÛ`+2)(2x+1)이므로

[ f(x)=2xÛ`+2g(x)=2x+1

또는[ f(x)=2x+1g(x)=2xÛ`+2

그런데f(0)=2,g(0)=1이므로

f(x)=2xÛ`+2,g(x)=2x+1

∴f(1)-g(2)=4-5=-1 답 -1

671 0 f(x)=:` f'(x)dx=:`(3xÛ`+2ax+1)dx

f(x)=xÜ`+axÛ`+x+C

f(0)=1,f(1)=2이므로

f(0)=C=1

f(1)=1+a+1+1=2 ∴a=-1

따라서f(x)=xÜ`-xÛ`+x+1이므로

f(2)=8-4+2+1=7 답 7

672 0 f '(x)=3xÛ`-1이므로

f(x)=:` f '(x)dx=:`(3xÛ`-1)dx

f(x)=xÜ`-x+C

f(0)=2이므로C=2

따라서f(x)=xÜ`-x+2이므로

f(1)=1-1+2=2 답 2

673 0 f(x)=:` f '(x)dx=:` xÜ`-27xÛ`+3x+9

`dx

f(x)=:` (x-3)(xÛ`+3x+9)xÛ`+3x+9

`dx

f(x)=:`(x-3)dx=;2!;xÛ`-3x+C

f(0)=1이므로C=1

따라서f(x)=;2!;xÛ`-3x+1이므로

f(-2)=2+6+1=9 답 9

674 0 `조건㈏에서x4Ú`1일때(분모)4Ú`0이고극한값이존

재하므로(분자)4Ú`0이어야한다.즉,f(1)=0이므로

limx`Ú1

f(x)x-1 =lim

x`Ú1

f(x)-f(1)x-1 =f'(1)=2+a

즉,a+2=2a-1이므로a=3

∴f(x)=:`(2x+3)dx=xÛ`+3x+C

f(1)=0이므로1+3+C=0 ∴C=-4

따라서f(x)=xÛ`+3x-4이므로

a+f(2)=3+(4+6-4)=9 답 9

675 0 F(x)=xf(x)+2xÜ`-xÛ`+1의양변을x에대하여미

분하면

f(x)=f(x)+xf '(x)+6xÛ`-2x

xf '(x)=-6xÛ`+2x ∴f '(x)=-6x+2

∴f(x)=:`(-6x+2)dx=-3xÛ`+2x+C

f(1)=2이므로-3+2+C=2 ∴C=3

∴f(x)=-3xÛ`+2x+3 답 ②


678 0 :`(x-2)f(x)dx+2F(x)=-;2!;xÝ`+;3*;xÜ`+xÛ`+C

의양변을x에대하여미분하면

(x-2)f(x)+2f(x)=-2xÜ`+8xÛ`+2x

xf(x)=-2xÜ`+8xÛ`+2x

∴f(x)=-2xÛ`+8x+2=-2(x-2)Û`+10

따라서함수f(x)는x=2에서최댓값10을가지므로

a=2,M=10 ∴aM=20 답 20

679 0 f(x)+:`xf(x)dx=;4!;xÝ`+;3@;xÜ`-;2%;xÛ`+2x의양변

을x에대하여미분하면

f '(x)+xf(x)=xÜ`+2xÛ`-5x+2 yy㉠

f(x)를n차함수라하면xf(x)는(n+1)차함수이므로

n+1=3 ∴n=2

즉, f(x)가이차함수이므로 f(x)=axÛ`+bx+c(a,b,c는상

수,a+0)로놓을수있다.

f(x)=axÛ`+bx+c,f '(x)=2ax+b를㉠에대입하면

2ax+b+x(axÛ`+bx+c)=xÜ`+2xÛ`-5x+2

677 0 (x-1)f(x)-F(x)=4xÜ`-6xÛ`의양변을x에대하

여미분하면

f(x)+(x-1)f '(x)-f(x)=12xÛ`-12x

(x-1)f '(x)=12x(x-1) ∴f '(x)=12x

∴f(x)=:`12x dx=6xÛ`+C

f(1)=2이므로6+C=2 ∴C=-4

따라서f(x)=6xÛ`-4이므로

f(-2)=24-4=20


f'(x)구하기 40%

f(x)구하기 40%

f(-2)의값구하기 20%

답 20

676 0 :` f(x)dx=xf(x)-2xÜ`+3xÛ`의양변을x에대하여

미분하면

f(x)=f(x)+xf '(x)-6xÛ`+6x

xf '(x)=6xÛ`-6x ∴f '(x)=6x-6

∴f(x)=:`(6x-6)dx=3xÛ`-6x+C

f(1)=3이므로3-6+C=3 ∴C=6

따라서f(x)=3xÛ`-6x+6이므로

f(-1)=3+6+6=15 답 15

∴axÜ`+bxÛ`+(2a+c)x+b=xÜ`+2xÛ`-5x+2


a=1,b=2,2a+c=-5 ∴a=1,b=2,c=-7

따라서f(x)=xÛ`+2x-7이므로

f(3)=9+6-7=8 답 ④

680 0 3:` f(x)dx=xf(x)-2f(x)의양변을x에대하여미

분하면

3f(x)=f(x)+xf '(x)-2f '(x)

∴2f(x)=(x-2)f '(x) yy㉠f(x)의최고차항을axn(a+0인상수,n은자연수)이라하면

2f(x)의최고차항은2axn,(x-2)f '(x)의최고차항은anxn

이므로

2a=an,a(n-2)=0 ∴n=2(∵a+0)

즉,f(x)가이차함수이고f(0)=2이므로f(x)=axÛ`+bx+2

(a,b는상수,a+0)로놓을수있다.

f(x)=axÛ`+bx+2,f '(x)=2ax+b를㉠에대입하면

2(axÛ`+bx+2)=(x-2)(2ax+b)

∴2axÛ`+2bx+4=2axÛ`+(b-4a)x-2b


2b=b-4a,4=-2b ∴a=;2!;,b=-2

따라서f(x)=;2!;xÛ`-2x+2이므로

f(4)=8-8+2=2 답 ②

681 0 f '(x)=[2x+4 (x¾0)-xÛ`+4 (x<0)

에서

f(x)=[xÛ`+4x+C1 (x¾0)

-;3!;xÜ`+4x+C2 (x<0)

f(2)=6이므로4+8+CÁ=6 ∴CÁ=-6

f(x)는x=0에서연속이므로

limx`Ú0-

{-;3!;xÜ`+4x+C2}=f(0) ∴C2=CÁ=-6

따라서f(x)=[ xÛ`+4x-6 (x¾0)

-;3!;xÜ`+4x-6(x<0)이므로

f(-3)=9-12-6=-9 답 -9

682 0 f '(x)=[2x+2 (x¾1)3xÛ`+1(x<1)

에서

f(x)=[xÛ`+2x+C1 (x¾1)xÜ`+x+C2 (x<1)


limx`Ú1-

(xÜ`+x+C2)=f(1)

1+1+C2=1+2+C1 ∴C2-C1=1

07. 부정적분 087

∴f(0)-f(2)=C2-(4+4+C1)=(C2-C1)-8

=1-8=-7 답 -7

683 0 f '(x)=xÛ`-|x|에서

f '(x)=[xÛ`-x (x¾0)xÛ`+x (x<0)

∴f(x)=[;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+C1(x¾0)

;3!;xÜ`+;2!;xÛ`+C2(x<0)

f(1)=0이므로;3!;-;2!;+C1=0 ∴C1=;6!;


limx`Ú0-

{;3!;xÜ`+;2!;xÛ`+C2}=f(0) ∴C2=;6!;

따라서f(x)=[;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+;6!; (x¾0)

;3!;xÜ`+;2!;xÛ`+;6!; (x<0)이므로

f(-2)+f(2)={-;3*;+2+;6!;}+{;3*;-2+;6!;}=;3!; 답 ;3!;

684 0 f '(x)=[2x+k (x>1)6 (x<1)

에서

f(x)=[xÛ`+kx+C1 (x¾1)6x+C2 (x<1)

f(0)=-2이므로C2=-2

f(2)=6이므로4+2k+C1=6 ∴2k+C1=2 yy㉠


limx`Ú1+

(xÛ`+kx+C1)= limx`Ú1-

(6x-2)

1+k+C1=4 ∴k+C1=3 yy㉡

㉠,㉡을연립하여풀면k=-1,C1=4

따라서f(x)=[xÛ`-x+4 (x¾1)6x-2 (x<1)

이므로

k+f(1)=-1+4=3 답 3

685 0 f '(x)=3xÛ`+5이므로

f(x)=:`(3xÛ`+5)dx=xÜ`+5x+C

곡선y=f(x)가점(0,3)을지나므로

f(0)=C=3

따라서f(x)=xÜ`+5x+3이므로

f(1)=1+5+3=9 답 ⑤

686 0 f '(x)=-4x+2이므로

f(x)=:`(-4x+2)dx=-2xÛ`+2x+C

곡선y=f(x)가점(1,2)를지나므로

f(1)=C=2

687 0 f '(x)=4x+6이므로

f(x)=:`(4x+6)dx=2xÛ`+6x+C

곡선y=f(x)가점(1,3)을지나므로

f(1)=2+6+C=3 ∴C=-5

∴f(x)=2xÛ`+6x-5

따라서방정식 f(x)=0,즉2xÛ`+6x-5=0의모든근의곱은

근과계수의관계에의하여-;2%;이다. 답 -;2%;

688 0 f(x)=:`(kxÛ`-4x+4)dx의양변을x에대하여미분

하면

f '(x)=kxÛ`-4x+4

곡선y=f(x)위의점(1,2)에서의접선의기울기가6이므로

f '(1)=k=6

∴f(x)=:`(6xÛ`-4x+4)dx=2xÜ`-2xÛ`+4x+C


f(1)=2-2+4+C=2 ∴C=-2

따라서f(x)=2xÜ`-2xÛ`+4x-2이므로

f(2)=16-8+8-2=14

답 14


f'(x)구하기 20%


f(x)구하기 40%


689 0 limh`Ú0

f(-2+h)-f(-2-h)h

=limh`Ú0

{ f(-2+h)-f(-2)}-{f(-2-h)-f(-2)}h

=limh`Ú0

f(-2+h)-f(-2)h +lim

h`Ú0

f(-2-h)-f(-2)-h

=f '(-2)+f '(-2)

=2f '(-2)

f(x)=:`(xÜ`-2x+2)dx의양변을x에대하여미분하면

f '(x)=xÜ`-2x+2

∴f '(-2)=-8+4+2=-2

따라서구하는값은

2f '(-2)=2´(-2)=-4 답 -4

따라서f(x)=-2xÛ`+2x+2이므로

k=f(2)=-8+4+2=-2 답 -2


690 0 limx`Ú-2

f(x)-f(-2)x+2 = lim

x`Ú-2

f(x)-f(-2)x-(-2)

=f '(-2)=4

f(x)=:`(xÛ`-2x+k)dx의양변을x에대하여미분하면

f '(x)=xÛ`-2x+k

f '(-2)=4이므로4+4+k=4 ∴k=-4

f(x)=:`(xÛ`-2x-4)dx=;3!;xÜ`-xÛ`-4x+C

f(0)=3이므로C=3

따라서f(x)=;3!;xÜ`-xÛ`-4x+3이므로

f(3)=9-9-12+3=-9 답 ①

691 0 조건㈏에서limx`Úa

f(x)-f(a)x-a =f '(a)이므로모든실

수a에대하여f '(a)=6aÛ`-4a-5가성립한다.

즉,f '(x)=6xÛ`-4x-5이므로

f(x)=:`(6xÛ`-4x-5)dx=2xÜ`-2xÛ`-5x+C

조건㈎에서f(0)=4이므로C=4

∴f(x)=2xÜ`-2xÛ`-5x+4

따라서방정식f(x)=0,즉2xÜ`-2xÛ`-5x+4=0의모든근의

곱은근과계수의관계에의하여-;2$;=-2이다. 답 -2

692 0 f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy에x=0,y=0을대입

하면

f(0)=f(0)+f(0)-0 ∴f(0)=0

f '(0)=4이므로

f '(0)=limh`Ú0

f(0+h)-f(0)h =lim

h`Ú0

f(h)h =4

f '(x)=limh`Ú0

f(x+h)-f(x)h

f '(x)=limh`Ú0

f(x)+f(h)-2xh-f(x)h

f '(x)=limh`Ú0

f(h)h -2x

f '(x)=-2x+4

∴f(x)=:`(-2x+4)dx=-xÛ`+4x+C

이때f(0)=0이므로C=0

따라서f(x)=-xÛ`+4x이므로

f(3)=-9+12=3 답 3

693 0 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1에x=0,y=0을대

입하면

f(0)=f(0)+f(0)+0+1 ∴f(0)=-1

f '(x)=limh`Ú0

f(x+h)-f(x)h

f '(x)=limh`Ú0

f(x)+f(h)+xh+1-f(x)h

f '(x)=limh`Ú0

f(h)+1h +x

f '(x)=x+2(∵㈎)

∴f(x)=:`(x+2)dx=;2!;xÛ`+2x+C

이때f(0)=-1이므로C=-1

따라서f(x)=;2!;xÛ`+2x-1이므로

f(1)=;2!;+2-1=;2#; 답 ;2#;

694 0 f(x+y)=f(x)+f(y)+xÛ y+xyÛ -3에x=0,y=0

을대입하면

f(0)=f(0)+f(0)+0+0-3 ∴f(0)=3

f '(0)=3이므로

f '(0)=limh`Ú0

f(0+h)-f(0)h =lim

h`Ú0

f(h)-3h =3

f '(x)=limh`Ú0

f(x+h)-f(x)h

f '(x)=limh`Ú0

f(x)+f(h)+xÛ`h+xhÛ`-3-f(x)h

f '(x)=limh`Ú0

f(h)-3h +xÛ`

f '(x)=xÛ`+3

∴f(x)=:`(xÛ`+3)dx=;3!;xÜ`+3x+C


∴f(x)=;3!;xÜ`+3x+3 답 f(x)=;3!;xÜ +3x+3

본문 106쪽유형

695 0 f '(x)=kx(x+2)(k<0)로놓으면


x … -2 … 0 …

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

따라서함수 f(x)는x=-2에서극솟값을갖고,x=0에서극

댓값을갖는다.이때

f(x)=:`kx(x+2)dx=:`(kxÛ`+2kx)dx

=;3K;xÜ`+kxÛ`+C

이고f(-2)=-1,f(0)=3이므로

07. 부정적분 089

696 0 f '(x)=xÛ`+2x-8=(x+4)(x-2)이므로


x … -4 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)는x=-4에서극댓값을갖고,x=2에서극

솟값을갖는다.이때

f(x)=:`(xÛ`+2x-8)dx=;3!;xÜ`+xÛ`-8x+C

이고f(2)=-8이므로

f(2)=;3*;+4-16+C=-8 ∴C=;3$;

따라서f(x)=;3!;xÜ`+xÛ`-8x+;3$;이므로극댓값은

f(-4)=- 643 +16+32+;3$;=28 답 28

697 0 f '(x)=x(x-4)이므로


x … 0 … 4 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)는x=0에서극댓값을갖고,x=4에서극솟

값을갖는다.이때

f(x)=:`x(x-4)dx=:`(xÛ`-4x)dx

=;3!;xÜ`-2xÛ`+C

이므로f(0)=C,f(4)= 643 -32+C=C-32

3

극댓값이극솟값의3배이므로

C=3{C- 323 } ∴C=16

따라서f(x)=;3!;xÜ`-2xÛ`+16이므로

f(3)=9-18+16=7 답 ④

698 0 삼차함수 f(x)의최고차항이2xÜ`이므로 f '(x)의최고

차항은6xÛ`이다.또,f '(-1)=f '(3)=0이므로

f '(x)=6(x+1)(x-3)


f(-2)=-;3*;k+4k+C=;3$;k+C=-1

f(0)=C=3

∴k=-3,C=3

따라서f(x)=-xÜ`-3xÛ`+3이므로

a=-1,b=-3,c=0,d=3

∴a+d=2 답 ⑤

699 0 f '(x)=(x+1)(3x-1)이므로

f '(x)=0에서x=-1또는x=;3!;

x … -1 … ;3!; …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)는x=-1에서극댓값을갖고,x=;3!;에서극


f(x)=:`(x+1)(3x-1)dx=:`(3xÛ`+2x-1)dx

f(x)=xÜ`+xÛ`-x+C

이므로

f(-1)=-1+1+1+C=C+1

f{;3!;}=;2Á7;+;9!;-;3!;+C=C-;2°7;

y=f(x)의그래프가x축에접하면

(극댓값)=0또는(극솟값)=0이므로

C+1=0또는C-;2°7;=0 ∴C=-1또는C=;2°7;

∴f(x)=xÜ`+xÛ`-x-1또는f(x)=xÜ`+xÛ`-x+;2°7;

답 f(x)=xÜ`+xÛ`-x-1

또는 f(x)=xÜ +xÛ -x+;2°7;

700 0 f '(x)=k(x+1)(x-1)(k>0)로놓으면

f '(0)=-2에서-k=-2 ∴k=2

∴f '(x)=2(x+1)(x-1)=2xÛ`-2

이때

f(x)=:`(2xÛ`-2)dx=;3@;xÜ`-2x+C

이고f(0)=0이므로C=0

∴f(x)=;3@;xÜ`-2x

한편,f '(x)=0에서x=-1또는x=1

x … -1 … 3 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)는x=-1에서극댓값을갖고,x=3에서극


f(x)=:`6(x+1)(x-3)dx=:`(6xÛ`-12x-18)dx

=2xÜ`-6xÛ`-18x+C

이고f(-1)=24이므로

f(-1)=-2-6+18+C=24 ∴C=14

따라서f(x)=2xÜ`-6xÛ`-18x+14이므로극솟값은

f(3)=54-54-54+14=-40 답 -40



701 0 xf(x)={;6%;xÜ`-;4!;xÛ`+C}'=;2%;xÛ`-;2!;x

따라서f(x)=;2%;x-;2!;이므로

f(2)=5-;2!;=;2(; 답 ;2(;

702 0 f(x)=:`[ ddx (3xÜ`-axÛ`)]dx=3xÜ`-axÛ`+Cy㉠

f(1)=6이므로3-a+C=6 ∴a-C=-3 yy㉡

또,limx`Ú1

f(x)-f(1)x-1 =f '(1)이므로f '(1)=-1


f '(x)=9xÛ`-2ax

이때f '(1)=-1이므로9-2a=-1 ∴a=5

a=5를㉡에대입하면C=8이므로

f(x)=3xÜ`-5xÛ`+8

∴f(2)=24-20+8=12 답 12

703 0 f(x)=:`{;2!;xÜ`+2x+1}dx-:`{;2!;xÜ`+x}dx

f(x)=:`(x+1)dx=;2!;xÛ`+x+C

f(0)=1이므로C=1

따라서f(x)=;2!;xÛ`+x+1이므로

f(4)=8+4+1=13 답 ④

704 0 f(x)=:`x20dx+2:`(x6-x)dx

f(x)=:`(x20+2x6-2x)dx

f(x)=;2Á1;x21+;7@;x7-xÛ+C

x … -1 … 1 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

즉,함수f(x)의극댓값은

f(-1)=-;3@;+2=;3$;,극솟값은

f(1)=;3@;-2=-;3$;이므로y=f(x)의그래프는오른쪽그림과

같다.

따라서방정식 f(x)=k가서로다른세실근을갖기위한실수

k의값의범위는

-;3$;<k<;3$; 답 -;3$;<k<;3$;

707 0 :`(3x+2)f '(x)dx=xÜ`-2xÛ`-4x+C의양변을x

에대하여미분하면

(3x+2)f '(x)=3xÛ`-4x-4=(3x+2)(x-2)

f '(x)=x-2

∴f(x)=:`(x-2)dx=;2!;xÛ`-2x+C1

이때함수f(x)의그래프의y절편이1이므로C1=1

따라서f(x)=;2!;xÛ`-2x+1이므로f(x)의모든계수의합은

;2!;-2+1=-;2!; 답 -;2!;

708 0 f '(x)=[2x-1 (x¾1)-3xÛ`+4x (x<1)

에서

f(x)=[xÛ`-x+C1 (x¾1)-xÜ`+2xÛ`+C2(x<1)

f(0)=1이므로C2=1


limx`Ú1-

(-xÜ`+2xÛ`+1)=f(1)

-1+2+1=1-1+C1 ∴C1=2

따라서f(x)=[xÛ`-x+2 (x¾1)-xÜ`+2xÛ`+1(x<1)

이므로

f(2)=4-2+2=4 답 4

709 0 f '(x)=[2 (x¾1)2x (x<1)

에서

f(x)=[2x+C1(x¾1)xÛ`+C2 (x<1)

705 0 f`'(x)=12xÛ`+4x-2이므로

f(x)=:`(12xÛ`+4x-2)dx=4xÜ`+2xÛ`-2x+C

f(x)가x-1로나누어떨어지므로

f(1)=4+2-2+C=0 ∴C=-4

따라서f(x)=4xÜ`+2xÛ`-2x-4이므로

f(-1)=-4+2+2-4=-4 답 ①

706 0 :`g(x)dx=xÜ` f(x)+x+C의양변을x에대하여미

분하면

g(x)=3xÛ` f(x)+xÜ` f '(x)+1

∴g(2)=12f(2)+8f '(2)+1

=12-8+1=5 답 ⑤

f(0)=;3@;이므로C=;3@;

따라서f(x)=;2Á1;x21+;7@;x7-xÛ`+;3@;이므로

f(1)=;2Á1;+;7@;-1+;3@;=0 답 0

07. 부정적분 091

712 0 limh`Ú0

f(x+3h)-f(x-h)h

=limh`Ú0

{ f(x+3h)-f(x)}-{f(x-h)-f(x)}h

=limh`Ú0

f(x+3h)-f(x)3h ´3+lim

h`Ú0

f(x-h)-f(x)-h

=3f '(x)+f '(x)

=4f '(x)

즉,4f '(x)=12xÛ`+8x-8에서

f '(x)=3xÛ`+2x-2

∴f(x)=:`(3xÛ`+2x-2)dx=xÜ`+xÛ`-2x+C

f(1)=3이므로1+1-2+C=3 ∴C=3

따라서f(x)=xÜ`+xÛ`-2x+3이므로

f(-1)=-1+1+2+3=5 답 5

710 0 f '(x)=3xÛ`-12이므로

f(x)=:`(3xÛ`-12)dx=xÜ`-12x+C


f(0)=C=4

따라서f(x)=xÜ`-12x+4이므로

f(2)=8-24+4=-12 답 -12

711 0 곡선y=f(x)위의임의의점(x,y)에서의접선의기울

기가xÛ`에정비례하므로f`'(x)=axÛ`(a+0)으로놓으면

f(x)=:`axÛ`dx=;3 A;xÜ`+C

곡선y=f(x)가두점(1,3),(-1,1)을지나므로

f(1)=;3A;+C=3,f(-1)=-;3A;+C=1

∴a=3,C=2

따라서f(x)=xÜ`+2이므로

f(3)=27+2=29 답 29

713 0 limx`Ú1

f(x)-f(1)xÜ`-1

=limx`Ú1

f(x)-f(1)(x-1)(xÛ`+x+1)

=limx`Ú1[ f(x)-f(1)

x-1 ´ 1xÛ`+x+1

]

=;3!; f '(1)

y=f(x)의그래프가원점을지나므로

f(0)=C2=0


limx`Ú1-

x2=f(1)

1=2+C1 ∴C1=-1

따라서f(x)=[2x-1(x¾1)xÛ` (x<1)

이므로

f(4)=8-1=7 답 7

716 0ddx {f(x)+g(x)}=2x+1에서

:`[ ddx

{f(x)+g(x)}]dx=:`(2x+1)dx

714 0 f '(x)=ax(x-2)`(a>0)로놓으면


x … 0 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서함수 f(x)는x=0에서극댓값을갖고,x=2에서극솟

값을갖는다.이때

f(x)=:`ax(x-2)dx=:`(axÛ`-2ax)dx

=;3A;xÜ`-axÛ`+C

이고f(0)=4,f(2)=-4이므로

f(0)=C=4

f(2)=;3*;a-4a+C=-;3$;a+4=-4

∴a=6,C=4

따라서f(x)=2xÜ`-6xÛ`+4이므로

f(1)=2-6+4=0 답 ①

715 0 f(x)=:`(6xÛ`+ax-12)dx의양변을x에대하여미

분하면

f '(x)=6xÛ`+ax-12

f(x)가x=1에서극솟값3을가지므로

f '(1)=0,f(1)=3

f '(1)=0에서6+a-12=0 ∴a=6

∴f '(x)=6xÛ`+6x-12=6(x+2)(x-1)


x … -2 … 1 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f(x)=:`(6xÛ`+6x-12)dx=2xÜ`+3xÛ`-12x+C

이고f(1)=3이므로

2+3-12+C=3 ∴C=10

따라서f(x)=2xÜ`+3xÛ`-12x+10이므로극댓값은

f(-2)=-16+12+24+10=30 답 30

f(x)=:`(5xÜ`-xÛ`+4x+7)dx의양변을x에대하여미분하면

f '(x)=5xÜ`-xÛ`+4x+7 ∴f '(1)=5-1+4+7=15

따라서구하는값은;3!; f '(1)=;3!;´15=5 답 ⑤


717 0 xf(x)-F(x)=;3!;xÜ`+3xÛ`의양변을x에대하여미분

하면

f(x)+xf '(x)-f(x)=xÛ`+6x

xf '(x)=x(x+6) ∴f '(x)=x+6

∴f(x)=: (x+6)dx=;2!;xÛ`+6x+C

`f(1)=;2!;이므로;2!;+6+C=;2!; ∴C=-6

∴f(x)=;2!;xÛ`+6x-6

따라서방정식f(x)=0,즉;2!;xÛ`+6x-6=0의모든근의곱은

근과계수의관계에의하여-12이다.

답 -12

∴f(x)+g(x)=xÛ`+x+CÁ

ddx {f(x)g(x)}=3xÛ`-6x+2에서

:`[ ddx

{f(x)g(x)}]dx=:`(3xÛ`-6x+2)dx

∴f(x)g(x)=xÜ`-3xÛ`+2x+Cª

이때f(0)=-3,g(0)=2이므로

f(0)+g(0)=-3+2=CÁ ∴CÁ=-1

f(0)g(0)=(-3)´2=Cª ∴Cª=-6

f(x)+g(x)=xÛ`+x-1=(x-3)+(xÛ`+2),

f(x)g(x)=xÜ`-3xÛ`+2x-6=(x-3)(xÛ`+2)이므로

[ f(x)=x-3g(x)=xÛ`+2

또는[ f(x)=xÛ`+2g(x)=x-3

그런데f(0)=-3,g(0)=2이므로

f(x)=x-3,g(x)=xÛ`+2

∴f(1)+g(2)=(1-3)+(4+2)=4

답 4


f(x)+g(x)를적분상수CÁ을써서나타내기 20%

f(x)g(x)를적분상수Cª를써서나타내기 20%

적분상수CÁ,Cª의값구하기 20%

f(x),g(x)구하기 20%

f(1)+g(2)의값구하기 20%

719 0 조건㈎에서 limx`Ú¦

f '(x)x =2이므로 f '(x)는일차항의

계수가2인일차식이다.

즉,f '(x)=2x+k(k는상수)로놓을수있다.

조건㈏에서x4Ú`3일때(분모)4Ú`0이고극한값이존재하므로

(분자)4Ú`0이어야한다.즉,f(3)=0이므로

limx`Ú3

f(x)x-3=lim

x`Ú3

f(x)-f(3)x-3 =f '(3)=6+k

즉,6+k=2이므로k=-4

∴f '(x)=2x-4

f(x)=:`(2x-4)dx=xÛ`-4x+C

이때f(3)=0이므로9-12+C=0 ∴C=3

∴f(x)=xÛ`-4x+3=(x-1)(x-3)

따라서방정식f(x)=0,즉(x-1)(x-3)=0의해는

x=1또는x=3 답 x=1 또는 x=3


f'(x)구하기 40%

f(x)구하기 40%

방정식f(x)=0의모든근의곱구하기 20%

718 0 f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy에x=0,y=0을대입

하면

f(0)=f(0)+f(0)+0 ∴f(0)=0

f '(0)=limh`Ú0

f(0+h)-f(0)h =lim

h`Ú0

f(h)h =3

f '(x)=limh`Ú0

f(x+h)-f(x)h

f '(x)=limh`Ú0

f(x)+f(h)+3xh-f(x)h

f '(x)=limh`Ú0

f(h)h +3x=3x+3

∴f(x)=:`(3x+3)dx=;2#;xÛ`+3x+C


따라서f(x)=;2#;xÛ`+3x이므로

f(2)=6+6=12



f'(x)구하기 30%

f(x)구하기 30%


답 12

08. 정적분 093

720 0 최고차항의계수가1인삼차함수f(x)에대하여방정식

f(x)=0의해가x=0또는x=a(중근)이므로

f(x)=x(x-a)Û`

조건㈎에서g '(x)=f(x)+xf '(x)={xf(x)}'이므로

g(x)=:`g '(x)dx=:`{xf(x)}'dx

g(x)=xf(x)+C=xÛ`(x-a)Û`+C

∴g '(x)=2x(x-a)Û`+2xÛ(x-a) =2x(x-a){(x-a)+x}

=2x(x-a)(2x-a)

g'(x)=0에서x=0또는x= a2 또는x=a

x … 0 … ;2Ä; … a …

g'(x) - 0 + 0 - 0 +

g(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서함수g(x)는x=0,x=a에서극솟값을갖고,x= a2에

서극댓값을갖는다.

조건㈏에서g(x)의극댓값이81이고극솟값이0이므로g(0)=g(a)=C=0

g{ a2 }={a2 }2`{

a2 -a}2`+C= a

4

16=81

aÝ`=6Ý` ∴a=6(∵a>0)

따라서g(x)=xÛ`(x-6)Û`이므로

g{ a3 }=g(2)=4´16=64 답 ⑤

721 0 ㄱ.[반례]f(x)=x+1,g(x)=x-1이면

f '(x)=g '(x)=1이므로f '(x)=g '(x)이지만f(x)+g(x)이다.

ㄴ.주어진식의우변을x에대하여미분하면

ddx [{f(x)}Û`+C]=2f(x)f '(x)

∴:` f '(x)f(x)dx+{ f(x)}Û`+C

ㄷ.주어진식의좌변을정리하면

:`g(x)dx+:`xg '(x)dx=:`{ g(x)+xg '(x)}dx

주어진식의우변을x에대하여미분하면

ddx {xg(x)+C}=g(x)+xg '(x)

∴:`g(x)dx+:`xg '(x)dx=xg(x)+C


정적분08Ⅲ. 적분


722 0 :)12x dx=[xÛ`]1)=1

723 0 :!3(2y-1)dy=[yÛ`-y]3!

=(9-3)-(1-1)=6

724 0 :!2(xÛ`-2x+6)dx=[;3!;xÜ`-xÛ`+6x]2!

={;3*;-4+12}-{;3!;-1+6}

=;;Á3¤;;

725 0 :!2(x-1)(x-2)dx=:!2(xÛ`-3x+2)dx

=[;3!;xÜ`-;2#;xÛ`+2x]2!

={;3*;-6+4}-{;3!;-;2#;+2}

=-;6!;

726 0 :@2(xÜ`-xÛ`+4)dx=0

727 0 :!- 2 (xÜ`+3xÛ` ) dx=-:_1@ (xÜ`+3xÛ` ) dx

=-[;4!;xÝ`+xÜ`]1_@

=-[{;4!;+1}-(4-8)]

=-;;ª4Á;;

728 0 :#1(3xÛ`-x+1)dx

=-:!3(3xÛ`-x+1)dx=-[xÜ`-;2!;xÛ`+x]3!

=-[{27-;2(;+3}-{1-;2!;+1}]=-24

729 0 :)2(xÛ`-1)dx+:)2(xÛ`+1)dx

=:)2(xÛ`-1+xÛ`+1)dx=:)22xÛ`dx

=[;3@;xÜ`]2)=;;Á3¤;;

답 1

답 6

답 ;;Á3¤;;

답 -;6!;

답 0

답 -;;ª4Á;;

답 -24

답 ;;Á3¤;;


740 0 F'(x)=xÛ`-2x-1이라 하면

limh`Ú0

1h :)h (xÛ`-2x-1)dx=lim

h`Ú0

F(h)-F(0)h

=F'(0)=-1

741 0 F'(t)=2tÛ`+3이라 하면

limx`Ú1

1x-1 :!/ (2tÛ`+3)dt=lim

x`Ú1

F(x)-F(1)x-1

=F'(1)=5

본문 112~118쪽유형 익 /히 /기

742 0 :_2! (6t+5)(1-2t)dt+:#3 (6t-5)(1+2t)dt

=:_2! (6t+5)(1-2t)dt+0=:_2! (-12tÛ`-4t+5)dt

=[-4tÜ`-2tÛ`+5t]2_!=-27

743 0 :)2 xÛ` f(x)dx=:)2 xÛ`(5xÛ`-8x+3)dx

=:)2 (5xÝ`-8xÜ`+3xÛ` ) dx

=[xÞ`-2xÝ`+xÜ`]2)=8

744 0 :_1@ {f '(x)+3xÛ` } dx=[ f(x)+xÜ`]1_@

={f(1)+1}-{f(-2)-8}

=f(1)+4 (∵ f(-2)=5)

즉, f(1)+4=2이므로 f(1)=-2

745 0 :)2 (-6xÛ`+6kx-5)dx=[-2xÜ`+3kxÛ`-5x]2)

=12k-26

즉, 12k-26<10이므로 k<3

따라서 정수 k의 최댓값은 2이다.

746 0 :)a (3xÛ`+2x-2)dx=[xÜ`+xÛ`-2x]a)

=aÜ`+aÛ`-2a

즉, aÜ`+aÛ`-2a=0이므로

a(a+2)(a-1)=0 ∴ a=1 (∵ a>0)

747 0 :)1 (6aÛ`xÛ`-8ax-3)dx=[2aÛ`xÜ`-4axÛ`-3x]1)

=2aÛ`-4a-3

=2(a-1)Û`-5

답 -1

답 5

답 ①

답 8

답 -2

답 2

답 1

730 0 :_3! (3xÛ`+x-2)dx-:_3! (x+3)dx

=:_3! (3xÛ`+x-2-x-3)dx=:_3! (3xÛ`-5)dx

=[xÜ`-5x]3_!=12-4=8

731 0 :_1@ (x+1)Ü`dx-:_1@ (x-1)Ü`dx

=:_1@ (xÜ`+3xÛ`+3x+1)dx-:_1@ (xÜ`-3xÛ`+3x-1)dx

=:_1@ (xÜ`+3xÛ`+3x+1-xÜ`+3xÛ`-3x+1)dx

=:_1@ (6xÛ`+2)dx=[2xÜ`+2x]1_@=4-(-20)=24

732 0 :_0! (xÛ`+1)dx+:)2 (xÛ`+1)dx

=:_2! (xÛ`+1)dx=[;3!;xÜ`+x]2_!=;;Á3¢;;-{-;3$;}=6

733 0 :_0! (2xÛ`-x+1)dx+:)- 1 (2xÛ`-x+1)dx

=:_-!1 (2xÛ`-x+1)dx=0

734 0 :-1

-2(xÛ`-4x+5)dx+:_1! (yÛ`-4y+5)dy

=:-1

-2(xÛ`-4x+5)dx+:_1! (xÛ`-4x+5)dx

=:_1@ (xÛ`-4x+5)dx=[;3!;xÜ`-2xÛ`+5x]1_@

=;;Á3¼;;-{-;;¤3ª;;}=24

735 0 :)1 (xÜ`-3xÛ` ) dx+:@1 (3xÛ`-xÜ` ) dx

=:)1 (xÜ`-3xÛ` ) dx+:!2 (xÜ`-3xÛ` ) dx

=:)2 (xÜ`-3xÛ` ) dx=[;4!;xÝ`-xÜ`]2)=-4

736 0 :_1! (xÞ`-xÜ`+3xÛ`+5x+1)dx

=2:)1 (3xÛ`+1)dx=2[xÜ`+x]1)=2´2=4

737 0 :_2@(xà`-4xÜ`+3xÛ`-1)dx

=2:)2 (3xÛ`-1)dx=2[xÜ`-x]2)=2´6=12

738 0 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면

f(x)=2x-2

739 0 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면

f(x)=3xÛ`+2x-1

답 8

답 24

답 6

답 0

답 24

답 -4

답 4

답 12

답 f(x)=2x-2

답 f(x)=3xÛ +2x-1

08. 정적분 095

따라서 주어진 정적분은 a=1일 때 최솟값 -5를 가지므로

m=1, n=-5

∴ m+n=1+(-5)=-4


주어진 정적분을 간단히 나타내기 40 %

m, n의 값 구하기 40 %

m+n의 값 구하기 20 %

748 0 함수 f(x)=axÛ`+bx+c의 그래프가 두 점 (-1, 1),

(1, 1)을 지나므로

f(-1)=a-b+c=1 yy ㉠

f(1)=a+b+c=1 yy ㉡

㉠-㉡을 하면 -2b=0 ∴ b=0

b=0을 ㉠에 대입하면 a+c=1 ∴ c=1-a

따라서 f(x)=axÛ`+1-a이므로

:)1 f(x)dx=:)1 (axÛ`+1-a)dx

=[;3A;xÜ`+(1-a)x]1)

=-;3@;a+1

즉, -;3@;a+1=-1이므로 a=3

749 0 :)1 1x+1 dx-:!0 yÜ`

y+1 dy

=:)1 1x+1 dx+:)1 xÜ`

x+1 dx=:)1 xÜ`+1x+1 dx

=:)1 (x+1)(xÛ`-x+1)x+1 dx=:)1 (xÛ`-x+1)dx

=[;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+x]1)=;6%;

750 0 A+B=:)1 (3x+1)Û`dx+:!0 (3y-1)Û`dy

=:)1 (3x+1)Û`dx-:)1 (3x-1)Û`dx

=:)1 {(9xÛ`+6x+1)-(9xÛ`-6x+1)}dx

=:)1 12x dx=[6xÛ`]1)=6

751 0 :)2 (x+k)Û`dx-:)2 (x-k)Û`dx

=:)2 {(xÛ`+2kx+kÛ`)-(xÛ`-2kx+kÛ`)}dx

=:)2 4kx dx=[2kxÛ`]2)=8k

즉, 8k=16이므로 k=2

답 -4

답 ④

답 ;6%;

답 6

답 ④

752 0 :#1 f(x)dx=-2에서 :!3 f(x)dx=2

∴ :!3 {f(x)-2}Û`dx

=:!3 [{f(x)}Û`-4f(x)+4]dx

=:!3 {f(x)}Û`dx-4 :!3 f(x)dx+:!3 4 dx

=6-4´2+8=6

753 0 :!2 xÛ`xÛ`+1

dx-:#2 xÛ`xÛ`+1

dx+:!3 1xÛ`+1

dx

=:!2 xÛ`xÛ`+1

dx+:@3 xÛ`xÛ`+1

dx+:!3 1xÛ`+1

dx

=:!3 xÛ`xÛ`+1

dx+:!3 1xÛ`+1

dx

=:!3 xÛ`+1xÛ`+1

dx=:!3 dx=[x]3!=2

754 0 :_1!`(2xÜ`+6xÛ`-2)dx+:!2 (2yÜ`+6yÛ`-2)dy

=:_1!`(2xÜ`+6xÛ`-2)dx+:!2 (2xÜ`+6xÛ`-2)dx

=:_2!`(2xÜ`+6xÛ`-2)dx

=[;2!;xÝ`+2xÜ`-2x]2_!=;;£2»;;

755 0 :@5 f(x)dx-:#5 f(x)dx+:!2 f(x)dx

=:@5 f(x)dx+:%3 f(x)dx+:!2 f(x)dx

=:@3 f(x)dx+:!2 f(x)dx=:!3 f(x)dx

=:!3 (xÛ`-2x)dx=[;3!;xÜ`-xÛ`]3!=;3@;

756 0 :_3! f(x)dx=:_2! f(x)dx+:@3 f(x)dx

=:_2! f(x)dx+:@1 f(x)dx+:!3 f(x)dx

=:_2! f(x)dx-:!2 f(x)dx+:!3 f(x)dx

=2-8+4=-2

757 0 :)2 f(x)dx=:)1 f(x)dx+:!2 f(x)dx

=:)1 x`dx+:!2 (x-2)Û`dx

=:)1 x`dx+:!2 (xÛ`-4x+4)dx

=[;2!;xÛ`]1)+[;3!;xÜ`-2xÛ`+4x]2!

=;2!;+;3!;=;6%;

답 6

답 2

답 ;;£2»;;

답 ;3@;

답 -2

답 ;6%;


758 0 f(x)=[12 (x¾0)3x+12 (xÉ0)

∴ :_4$ xf(x)dx=:_0$ (3xÛ`+12x)dx+:)4 12x dx

=[xÜ`+6xÛ`]0_$+[6xÛ`]4)

=-32+96=64

759 0 :)2 |xÛ`-1|dx-2:@0 |1-xÛ`|dx

=:)2 |xÛ`-1|dx+2:)2 |xÛ`-1|dx

=3:)2 |xÛ`-1|dx

한편, |xÛ`-1|=[xÛ`-1 (xÉ-1 또는 x¾1) -xÛ`+1 (-1ÉxÉ1)

이므로

:)2 |xÛ`-1|dx=:)1 (-xÛ`+1)dx+:!2 (xÛ`-1)dx

=[-;3!;xÜ`+x]1)+[;3!;xÜ`-x]2!

=;3@;+;3$;=2

∴ (주어진 식)=3:)2 |xÛ`-1|dx=3´2=6

760 0 |xÛ`+x-2|=[xÛ`+x-2 (xÉ-2 또는 x¾1) -xÛ`-x+2 (-2ÉxÉ1)

∴ :)2 |xÛ`+x-2|dx

=:)1 (-xÛ`-x+2)dx+:!2 (xÛ`+x-2)dx

=[-;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+2x]1)+[;3!;xÜ`+;2!;xÛ`-2x]2!

=;6&;+;;Á6Á;;=3

761 0 |x|=[x (x¾0)-x (xÉ0)

∴ :_3@ (|x|-2k)dx=:_0@ (-x-2k)dx+:)3 (x-2k)dx

=[- 12 xÛ`-2kx]0_@+[ 1

2 xÛ`-2kx]3)

=(2-4k)+{;2(;-6k}=-10k+;;Á2£;;

즉, -10k+;;Á2£;;=-;2&;이므로 k=1

762 0 |x-2|=[x-2 (x¾2)-x+2 (xÉ2)

∴ :)a x|x-2|dx=:)2 x(-x+2)dx+:@a x(x-2)dx

=:)2 (-xÛ`+2x)dx+:@a`(xÛ`-2x)dx

=[-;3!;xÜ`+xÛ`]2)+[;3!;xÜ`-xÛ`]a@

=;3$;+{ aÜ`3 -aÛ`+;3$;}= aÜ`

3 -aÛ`+;3*;

답 64

답 6

답 3

답 ①

즉, aÜ`3 -aÛ`+;3*;=8이므로

aÜ`-3aÛ`-16=0, (a-4)(aÛ`+a+4)=0

∴ a=4 (∵ a는 실수)

763 0 f(x)=|x-3|, g(x)=xÛ`+2에서

(f`ç`g)(x) =f(g(x))=f(xÛ`+2)

=|(xÛ`+2)-3|=|xÛ`-1|

=[xÛ`-1 (xÉ-1 또는 x¾1) -xÛ`+1 (-1ÉxÉ1)

∴ :_1@ (f`ç`g)(x)dx=:-1

-2(xÛ`-1)dx+:_1! (-xÛ`+1)dx

=[;3!;xÜ`-x]-_1@+[-;3!;xÜ`+x]1_!

=;3$;+;3$;=;3*;

764 0 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽

그림과 같다.

함수 f(x)는 x=0일 때 최솟값을 가지므로

a=f(0)=4

∴ :@a f(x)dx=:@4 (x+2+x+x-2)dx=:@4 3x`dx

=[;2#;xÛ`]4@=18


함수 y=f(x)의 그래프 그리기 40 %

a의 값 구하기 20 %

정적분의 값 구하기 40 %

765 0 :_4@ (5xÝ -xÜ +3x+1)dx+:$2 (5xÝ -xÜ +3x+1)dx

=:_2@ (5xÝ`-xÜ`+3x+1)dx=2:)2 (5xÝ`+1)dx

=2[xÞ`+x]2)=2´34=68

766 0 :_aA (2xÜ`-3x+4)dx=2:)a 4 dx=2[4x]a)=8a

즉, 8a=16이므로 a=2

767 0 :_1! xf(x)dx=:_1! (axÛ`+bx)dx=2:)1 axÛ`dx

=2[;3A;xÜ`]1)=;3@;a

즉, ;3@;a=1이므로 a=;2#;

답 ②

답 ;3*;

답 18

답 ①

답 2

08. 정적분 097

:_1! xÛ` f(x)dx=:_1! (axÜ`+bxÛ` ) dx=2:)1 bxÛ`dx

=2[;3B;xÜ`]1)=;3@;b

즉, ;3@;b=-1이므로 b=-;2#;

∴ a+2b=;2#;+(-3)=-;2#;

768 0 :_1! (1+2x+3xÛ`+ y +2nx2n-1)dx

=2:)1 {1+3xÛ`+5xÝ`+ y +(2n-1)x2n-2}dx

=2[x+xÜ`+xÞ`+ y +x2n-1]1)

=2(1+1+1+ y +1)=2n

즉, 2n=100이므로 n=50

769 0 f(-x)=-f(x)에서 f(x)는 기함수이므로 xÛ` f(x)

는 기함수, xf(x)는 우함수이다.

∴ :_2@ (5xÛ`+2x+1)f(x)dx

=5:_2@ xÛ` f(x)dx+2:_2@ xf(x)dx+:_2@ f(x)dx

=4:)2 xf(x)dx=4´2=8

770 0 f(-x)=f(x)에서 f(x)는 우함수이므로

:_4$ f(x)dx=2:)4 f(x)dx=14 ∴ :)4 f(x)dx=7

∴ :@4 f(x)dx=:@0 f(x)dx+:)4 f(x)dx

=-:)2 f(x)dx+:)4 f(x)dx

=-5+7=2

771 0 f(x)는 기함수, g(x)는 우함수이므로

f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)

즉, f(x)g(x)는 기함수이다.

∴ :_aA {f(x)+g(x)}dx+:_aA f(x)g(x)dx

=:_aA f(x)dx+:_aA g(x)dx+:_aA f(x)g(x)dx

=2:)a g(x)dx=2´5=10

772 0 :)2 f(t)dt=k (k는 상수) yy ㉠

로 놓으면 f(x)=3xÛ`+2x+k


:)2 (3tÛ`+2t+k)dt=k, [tÜ`+tÛ`+kt]2)=k

12+2k=k ∴ k=-12

답 -;2#;

n개

(8 | | { | | 98

답 50

답 8

답 2

답 10

따라서 f(x)=3xÛ`+2x-12이므로

f(2)=12+4-12=4

773 0 :)3 t f '(t)dt=k (k는 상수) yy ㉠

로 놓으면 f(x)=4x+k

∴ f '(x)=4


:)3 4t dt=k, [2tÛ`]3)=k ∴ k=18

따라서 f(x)=4x+18이므로

f(-3)=-12+18=6

774 0 :!2 f(t)dt=k`(k는 상수) yy ㉠

로 놓으면 f(x)=;;Á7ª;;xÛ`-2kx+kÛ`


:!2 {;;Á7ª;;tÛ`-2kt+kÛ`} dt=k, [;7$;tÜ`-ktÛ`+kÛ`t]2!=k

4-3k+kÛ`=k, kÛ`-4k+4=0

(k-2)Û`=0 ∴ k=2

∴ 10:!2 f(x)dx=10k=20

775 0 f(x)=3xÛ`+:)1 (2x-1)f(t)dt

=3xÛ`+2x:)1 f(t)dt-:)1 f(t)dt

이때 :)1 f(t)dt=k`(k는 상수) yy ㉠

로 놓으면 f(x)=3xÛ`+2kx-k


:)1 (3tÛ`+2kt-k)dt=k, [tÜ`+ktÛ`-kt]1)=k

1+k-k=k ∴ k=1

∴ :)1 f(x)dx=k=1

776 0 a=-:)2 f(t)dt, b=2:)1 f(t)dt이므로

a=-:)2 (tÛ`+at+b)dt=-[;3!;tÜ`+;2A;tÛ`+bt]2)

=-{;3*;+2a+2b}=-;3*;-2a-2b

∴ 3a+2b=-;3*; yy ㉠

b=2:)1 (tÛ`+at+b)dt=2[;3!;tÜ`+;2A;tÛ`+bt]1)

=2{;3!;+;2A;+b}=;3@;+a+2b

∴ a+b=-;3@; yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;3$;, b=;3@;

∴ a-b=-2

답 ⑤

답 ②

답 20

답 1

답 -2


777 0 :#/ f(t)dt=xÛ`-ax-3 yy ㉠

㉠의 양변에 x=3을 대입하면

9-3a-3=0 ∴ a=2

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면

f(x)=2x-2

∴ f(4)=8-2=6

778 0 f(x)=:!/ (2t-3)(tÛ`+1)dt의 양변을 x에 대하여

미분하면

f '(x)=(2x-3)(xÛ`+1)

∴ limh`Ú0

f(1+2h)-f(1)h =lim

h`Ú0

f(1+2h)-f(1)2h ´2

=2f '(1)=2´(-2)=-4

779 0 :A/ f(t)dt=xÛ`-2x-8 yy ㉠

㉠의 양변에 x=a를 대입하면

aÛ`-2a-8=0, (a-4)(a+2)=0 ∴ a=4 (∵ a>0)


f(x)=2x-2

∴ f(a)=f(4)=8-2=6

∴ a+f(a)=4+6=10



f(a)의 값 구하기 40 %

a+f(a)의 값 구하기 10 %

780 0 f(x)=:x+2

x(tÜ`-t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x) ={(x+2)Ü`-(x+2)}-(xÜ`-x)=6xÛ`+12x+6

이때 f(x)=: (6xÛ`+12x+6)dx=2xÜ`+6xÛ`+6x+C이므로

f(-1)=-2+6-6+C=0 ∴ C=2

따라서 f(x)=2xÜ`+6xÛ`+6x+2이므로

f(1)=2+6+6+2=16

781 0 xf(x)=6xÝ`-4xÜ`+12xÛ`+:!/ f(t)dt yy ㉠

㉠의 양변에 x=1을 대입하면

f(1)=6-4+12=14


f(x)+xf '(x)=24xÜ`-12xÛ`+24x+f(x)

xf '(x)=24xÜ`-12xÛ`+24x ∴ f '(x)=24xÛ`-12x+24

답 ①

답 -4

답 10

답 ④

이때 f(x)=: (24xÛ`-12x+24)dx=8xÜ`-6xÛ`+24x+C

이므로

f(1)=8-6+24+C=14 ∴ C=-12

따라서 f(x)=8xÜ`-6xÛ`+24x-12이므로

f(2)=64-24+48-12=76

782 0 :A/ (x-t)f(t)dt=xÜ`-2xÛ`-3x-4에서

x:A/ f(t)dt-:A/ t f(t)dt=xÜ`-2xÛ`-3x-4

위의 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면

:A/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=3xÛ`-4x-3

∴ :A/ f(t)dt=3xÛ`-4x-3

위의 등식의 양변을 다시 x에 대하여 미분하면

f(x)=6x-4

∴ f(2)=12-4=8

783 0 :@/ (x-t)f(t)dt=-2xÜ`+4ax+b의 양변에 x=2를

대입하면

-16+8a+b=0 ∴ 8a+b=16 yy ㉠

:@/ (x-t)f(t)dt=-2xÜ`+4ax+b에서

x:@/ f(t)dt-:@/ t f(t)dt=-2xÜ`+4ax+b


:@/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=-6xÛ`+4a

∴ :@/ f(t)dt=-6xÛ`+4a

위의 등식의 양변에 x=2를 대입하면

-24+4a=0 ∴ a=6

㉠에 a=6을 대입하면 48+b=16 ∴ b=-32

∴ a-b=6-(-32)=38

784 0 :)/ (x-t)f '(t)dt=;3@;xÜ`에서

x:)/ f '(t)dt-:)/ t f '(t)dt=;3@;xÜ`


:)/ f '(t)dt+xf '(x)-xf '(x)=2xÛ`

∴ :)/ f '(t)dt=2xÛ`


f '(x)=4x

이때 f(x)=: 4x dx=2xÛ`+C이므로

f(0)=C=2

따라서 f(x)=2xÛ`+2이므로

f(1)=2+2=4

답 76

답 ④

답 38

답 4

08. 정적분 099

785 0 F'(x)=f(x)로 놓으면

limx`Ú2

1x-2 :@/ f(t)dt=lim

x`Ú2

F(x)-F(2)x-2 =F'(2)=f(2)

=8-8+3=3

786 0 f(x)=xÜ`-xÛ`+2, F'(x)=f(x)로 놓으면

limh`Ú0

1h :

1+2h

1(xÜ`-xÛ`+2)dx

=limh`Ú0

1h :

1+2h

1f(x)dx=lim

h`Ú0

F(1+2h)-F(1)h

=limh`Ú0

F(1+2h)-F(1)2h ´2=2F'(1)=2f(1)

=2(1-1+2)=4

787 0 F'(x)=f(x)로 놓으면

limx`Ú1

1x-1 :!/ f(t)dt=lim

x`Ú1

F(x)-F(1)x-1 =F'(1)=f(1)

=6+a

즉, 6+a=2이므로 a=-4

788 0 F'(x)=f(x)로 놓으면

limx`Ú2

1xÛ`-4

:@/ f(t)dt=limx`Ú2

F(x)-F(2)xÛ`-4

=limx`Ú2

F(x)-F(2)x-2

´ 1x+2

=;4!;F'(2)=;4!; f(2)

=;4!;(8-8+12)=3

789 0 F'(x)=f(x)로 놓으면

limx`Ú1

1x-1 :

xÜ`

1f(t)dt=lim

x`Ú1

F(xÜ` )-F(1)x-1

=limx`Ú1

F(xÜ` )-F(1)xÜ`-1

´(xÛ`+x+1)

=3F'(1)=3f(1)

=3(1+2-3+1)=3

790 0 F'(x)=f(x)로 놓으면

limh`Ú0

1h :

2+h

2-3hf(x)dx

=limh`Ú0

F(2+h)-F(2-3h)h

=limh`Ú0

{F(2+h)-F(2)}-{F(2-3h)-F(2)}h

=limh`Ú0

F(2+h)-F(2)h -lim

h`Ú0

F(2-3h)-F(2)-3h ´(-3)

=F'(2)+3F'(2)=4F'(2)

=4f(2)=40-8k

즉, 40-8k=24이므로 k=2

답 ③

답 ④

답 -4

답 3

답 3

답 2

791 0 조건 ㈏에서 양변을 h로 나누면

g(x+h)-g(x)h = 1

h :x+h

xf(t)dt

limh`Ú0

g(x+h)-g(x)h =lim

h`Ú0

1h :

x+h

xf(t)dt

F'(x)=f(x)로 놓으면

limh`Ú0

g(x+h)-g(x)h =lim

h`Ú0

F(x+h)-F(x)h

∴ g '(x)=F'(x)=f(x)=3xÛ`-2x+1

이때 g(x)=: (3xÛ`-2x+1)dx=xÜ`-xÛ`+x+C이므로

g(0)=C=2

∴ g(x)=xÜ`-xÛ`+x+2

∴ g '(2)+g(2)=9+8=17


g '(x) 구하기 40 %

g(x) 구하기 40 %

g '(2)+g(2)의 값 구하기 20 %

본문 119~120쪽유형

792 0 f(x+3)=f(x)이므로

:`_2! f(x)dx=:@5 f(x)dx=:%8 f(x)dx=:*1`1 f(x)dx=3

∴ :11

-1f(x)dx

=:`_2! f(x)dx+:@5 f(x)dx+:%8 f(x)dx+:*1`1 f(x)dx

=4:_2! f(x)dx=4´3=12

793 0 f(x+2)=f(x)이므로

:)2 f(x)dx=:@4 f(x)dx= y =:*1`0` f(x)dx=10

또, f(-x)=f(x)에서 f(x)는 우함수이므로

:10

-10f(x)dx

=2:)1`0 f(x)dx

=2[:)2 f(x)dx+`:@4 f(x)dx+ y +:*1`0 f(x)dx]

=2´5:)2 f(x)dx=2´5´10=100

답 17

답 12

답 100


794 0 f(x+1)=f(x)이므로

:_-@1 f(x)dx=:_0! f(x)dx=:)1 f(x)dx=:!2 f(x)dx

∴ :_2@ f(x)dx

=:_-@1 f(x)dx+:_0! f(x)dx+:)1 f(x)dx+:!2 f(x)dx

=4:)1 f(x)dx=4:)1 (-xÛ`+x)dx

=4 [-;3!;xÜ`+;2!;xÛ`]1)=4´;6!;=;3@;

795 0 f(x)=:_/# (3tÛ`+at+b)dt의 양변을 x에 대하여 미

분하면 f '(x)=3xÛ`+ax+b

함수 f(x)가 x=5에서 극솟값 -32를 가지므로

f '(5)=0, f(5)=-32

f '(5)=0에서 75+5a+b=0

∴ 5a+b=-75 yy ㉠

f(5)=-32에서

:_5# (3tÛ`+at+b)dt=[tÜ`+;2A;tÛ`+bt]5_#

=125+;;ª2°;;a+5b-{-27+;2(;a-3b}

=152+8a+8b=-32

∴ a+b=-23 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-13, b=-10

∴ ab=130

796 0 f(x)=:x+a

xt(t-2)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x) =(x+a)(x+a-2)-x(x-2)

=2ax+aÛ`-2a

함수 f(x)가 x=-1에서 극솟값을 가지므로

f '(-1)=0에서 aÛ`-4a=0, a(a-4)=0

∴ a=4 (∵ a>0)

797 0 f(x)=:_/! t(t-1)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x)=x(x-1)

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1

x … 0 … 1 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극대, x=1에서 극소이므로

M=f(0)=:_0! t(t-1)dt=:_0! (tÛ`-t)dt

=[;3!;tÜ`-;2!;tÛ`]0_!=;6%;

답 ;3@;

답 ③

답 ④

m=f(1)=:_1! t(t-1)dt=:_1! (tÛ`-t)dt

=[;3!;tÜ`-;2!;tÛ`]1_!=-;6!;-{-;6%;}=;3@;

∴ M+m=;6%;+;3@;=;2#;

798 0 주어진 그래프에서

F(x)=ax(x-2)=axÛ`-2ax (a>0)

로 놓을 수 있다.

F(x)=:@/ f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

F'(x)=f(x) ∴ f(x)=2ax-2a

y=f(x)의 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로

f(2)=4a-2a=4 ∴ a=2

따라서 f(x)=4x-4이므로

f(3)=12-4=8

799 0 주어진 그래프에서 f(x)=a(x+1)(x-3)`(a<0)으

로 놓으면 f(0)=3이므로

-3a=3 ∴ a=-1

∴ f(x)=-(x+1)(x-3)=-xÛ`+2x+3

F(x)=:_/! f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

F'(x)=f(x)=-(x+1)(x-3)

F'(x)=0에서 x=-1 또는 x=3

x … -1 … 3 …

F'(x) - 0 + 0 -

F(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

따라서 함수 F(x)는 x=3에서 극댓값을 갖는다.

F(x)=:_/! f(t)dt=:_/! (-tÛ`+2t+3)dt

=[-;3!;tÜ`+tÛ`+3t]/_!=-;3!;xÜ`+xÛ`+3x+;3%;

이므로 F(x)의 극댓값은

F(3)=-9+9+9+;3%;=;;£3ª;;

800 0 f(x)=:)/ (t-a)(t-2)dt의 양변을 x에 대하여 미분

하면 f '(x)=(x-a)(x-2)

f '(x)=0에서 x=a 또는 x=2

즉, 함수 f(x)는 x=a에서 극대, x=2에서 극소이다.

함수 f(x)가 x=2에서 극솟값 ;3@;를 가지므로

f(2)=:)2 (t-a)(t-2)dt=:)2 {tÛ`-(a+2)t+2a}dt

=[;3!;tÜ`- a+22 tÛ`+2at]2)=2a-;3$;=;3@;

∴ a=1

답 ②

답 ④

답 ;;£3ª;;

08. 정적분 101

따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극대이므로 극댓값은

f(1)=:)1 (t-1)(t-2)dt=:)1 (tÛ`-3t+2)dt

=[;3!;tÜ`-;2#;tÛ`+2t]1)=;6%;


극댓값을 갖는 x의 값 구하기 30 %


극댓값 구하기 30 %

801 0 f(x)=:x+1

x(tÜ`-t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x) ={(x+1)Ü`-(x+1)}-(xÜ`-x)

=3x(x+1)

f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0

x -1 … 0 … 1

f '(x) 0 - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗

f(-1)=:_0! (tÜ`-t)dt=[;4!;tÝ`-;2!;tÛ`]0_!=;4!;

f(0)=:)1 (tÜ`-t)dt=[;4!;tÝ`-;2!;tÛ`]1)=-;4!;

f(1)=:!2 (tÜ`-t)dt=[;4!;tÝ`-;2!;tÛ`]2!=;4(;

따라서 -1ÉxÉ1에서 함수 f(x)의 최댓값 M=;4(;, 최솟값

m=-;4!;이므로

M+m=;4(;+{-;4!;}=2

802 0 :)/ (x-t)f(t)dt=;4#;xÝ`-xÛ`에서

x:)/ f(t)dt-:)/ t f(t)dt=;4#;xÝ`-xÛ`


:)/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=3xÜ`-2x

∴ :)/ f(t)dt=3xÜ`-2x


f(x)=9xÛ`-2

따라서 함수 f(x)는 x=0일 때 최솟값 -2를 갖는다.

803 0 주어진 그래프에서 f(x)=a(x-1)(x-4)`(a>0)로

놓을 수 있다.

답 ;6%;

답 2

답 -2

g(x)=:x+1

xf(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

g '(x) =f(x+1)-f(x)

=ax(x-3)-a(x-1)(x-4)

=2a(x-2)

g '(x)=0에서 x=2

x … 2 …

g '(x) - 0 +

g(x) ↘ 극소 ↗

따라서 함수 g(x)는 x=2일 때 극소이면서 최소이므로 g(x)의

최솟값은 g(2)이다.


804 0 :)1 (axÛ`+1)dx=[;3A;xÜ`+x]1)=;3A;+1

즉, ;3A;+1=4이므로 a=9

805 0 :)2 (4x+2)dx-:K2 (4t+2)dt

=:)2 (4x+2)dx-:K2 (4x+2)dx

=:)2 (4x+2)dx+:@k (4x+2)dx

=:)k (4x+2)dx=[2xÛ`+2x]k)=2kÛ`+2k

즉, 2kÛ`+2k=84이므로

kÛ`+k-42=0, (k+7)(k-6)=0

∴ k=6 (∵ k>0)

806 0 :_2@ f(x)dx=:_0@ f(x)dx+:)2 f(x)dx이므로

:_2@ f(x)dx=:_0@ f(x)dx에서 :)2 f(x)dx=0

∴ :_2@ f(x)dx=:_0@ f(x)dx=:)2 f(x)dx=0

한편, f(0)=1이므로

f(x)=axÛ`+bx+1`(a, b는 상수, a+0)이라 하면

:)2 f(x)dx=:)2 (axÛ`+bx+1)dx=[;3A;xÜ`+;2ºB;xÛ`+x]2)

=;3*;a+2b+2

:_0@ f(x)dx=:_0@ (axÛ`+bx+1)dx=[;3A;xÜ`+;2ºB;xÛ`+x]0_@

=;3*;a-2b+2

즉, ;3*;a+2b+2=0, ;3*;a-2b+2=0이므로 두 식을 연립하여

풀면

답 ②

답 ②

답 6


a=-;4#;, b=0

따라서 f(x)=-;4#;xÛ`+1이므로

f(2)=-3+1=-2

807 0 :_2@ f(x)dx=:_1@ xÛ`dx+:!2 (2x-xÛ` ) dx

=[;3!;xÜ`]1_@+[xÛ`-;3!;xÜ`]2!

=3+;3@;=;;Á3Á;

808 0 0<a<1이므로

f(a)=:)1 (x+a)|x-a|dx

=:)a (aÛ`-xÛ`)dx+:A1 (xÛ`-aÛ`)dx

=[aÛ`x-;3!;xÜ`]a) + [;3!;xÜ`-aÛ`x]1A=;3$;aÜ`-aÛ`+;3!;

f '(a)=4aÛ`-2a=2a(2a-1)

f '(a)=0에서 a=;2!; (∵ 0<a<1)

x (0) … ;2!; … (1)

f '(a) - 0 +

f(a) ↘ 극소 ↗

따라서 함수 f(a)는 a=;2!;일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은

f {;2!;}=;6!;-;4!;+;3!;=;4!;

809 0 f(3+x)=f(3-x)에서 함수 f(x)의 그래프는 직선

x=3에 대하여 대칭이므로

:)6 f(x)dx=2:#6 f(x)dx=2[ :#9 f(x)dx+:(6 f(x)dx]

=2[ :#9 f(x)dx-:^9 f(x)dx]

=2(8-2)=12

810 0 f(x)=xÛ`+:)1 (2x+1)f(t)dt

=xÛ`+2x:)1 f(t)dt+:)1 f(t)dt

이때 :)1 f(t)dt=k (k는 상수) yy ㉠

로 놓으면 f(x)=xÛ`+2kx+k


:)1 (tÛ`+2kt+k)dt=k, [;3!;tÜ`+ktÛ`+kt]1)=k

;3!;+2k=k ∴ k=-;3!;

∴ :)1 f(x)dx=k=-;3!;

답 -2

답 ;;Á3Á;;

답 ②

답 12

답 ②

811 0 f(x)=:)/ (2at+1)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x)=2ax+1

이때 f '(2)=17이므로 4a+1=17 ∴ a=4

812 0 :)/ (x-t)f(t)dt=2xÝ`-3xÛ`에서

x:)/ f(t)dt-:)/ t f(t)dt=2xÝ`-3xÛ`


:)/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=8xÜ`-6x

∴ :)/ f(t)dt=8xÜ`-6x

위의 등식에 x=2를 대입하면

:)2 f(t)dt=64-12=52 ∴ :)2 f(x)dx=52

813 0 F'(x)=f(x)로 놓으면 조건 ㈎에서

limx`Ú2

1x-2 :@/ f(t)dt=lim

x`Ú2

F(x)-F(2)x-2 =F'(2)

=f(2)=8a-b+4

즉, 8a-b+4=2이므로 8a-b=-2 yy ㉠

조건 ㈏에서

:)1 f(x)dx=:)1 (xÛ`+4ax-b)dx

=[;3!;xÜ`+2axÛ`-bx]1)=2a-b+;3!;

즉, 2a-b+;3!;=1이므로 2a-b=;3@; yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;9$;, b=-;;Á9¢;;

∴ a-b=-;9$;-{-;;Á9¢;;}=;;Á9¼;;

814 0 f(x)=f(x+2)이므로

:_1! f(x)dx=:!3 f(x)dx= y =:!1!3 f(x)dx

∴ :!1`3 f(x)dx

=:!3 f(x)dx+:#5 f(x)dx+ y +:!1!3 f(x)dx

=6:_1!` f(x)dx=6:_1! (-xÛ`+1)dx

=6[-;3!;xÜ`+x]1_!=6´;3$;=8

815 0 f(x)=:)/ (3tÛ`-6t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2

x … 0 … 2 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

답 4

답 52

답 ;;Á9¼;;

답 8

08. 정적분 103

따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극소이므로 극솟값은

f(2)=:)2 (3tÛ`-6t)dt=[tÜ`-3tÛ`]2)=-4

즉, a=2, b=-4이므로 a+b=-2

816 0 -2<x<-1에서 f(x)는 증가하므로 f '(x)>0

-1<x<1에서 f(x)는 감소하므로 f '(x)<0

∴ :_1@ |f '(x)|dx

=:_-@1 f '(x)dx-:_1! f '(x)dx=[ f(x)]-_1@-[ f(x)]1_!`

={` f(-1)-f(-2)}-{` f(1)-f(-1)}

=(4-1)-(1-4)=6

817 0 :)1 (x-k)Û` f(x)dx

=:)1 (xÛ`-2kx+kÛ` )f(x)dx

=:)1 xÛ` f(x)dx-2k:)1 xf(x)dx+kÛ`:)1 f(x)dx

=kÛ`-6k+:)1 xÛ` f(x)dx=(k-3)Û`-9+:)1 xÛ` f(x)dx

이때 정적분 :)1 xÛ` f(x)dx는 상수이므로 k=3일 때 주어진 정

적분의 값이 최소가 된다.

818 0 조건 ㈎에서 f(-x)=f(x)이므로 f(x)는 우함수,

g(-x)=-g(x)이므로 g(x)는 기함수이다.

∴ :_3# {2f(x)-3g(x)}dx

=2:_3# f(x)dx-3:_3# g(x)dx

=4:)3 f(x)dx

=4´4=16


두 함수 f(x), g(x) 파악하기 40 %

우함수, 기함수의 특성을 이용하여 정적분 간단히 하기 40 %

정적분의 값 구하기 20 %

819 0 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면

0=1-1+a+5-2 ∴ a=-3

답 ①

답 ②

답 ③

답 16

:!/ (x-t)f '(t)dt=xÝ`-xÜ`-3xÛ`+5x-2에서

x:!/ f '(t)dt-:!/ t f '(t)dt=xÝ`-xÜ`-3xÛ`+5x-2


:!/ f '(t)dt+xf '(x)-xf '(x)=4xÜ`-3xÛ`-6x+5

∴ :!/ f '(t)dt=4xÜ`-3xÛ`-6x+5


f '(x)=12xÛ`-6x-6

∴ f(x)=:`(12xÛ`-6x-6)dx=4xÜ`-3xÛ`-6x+C

이때 f '(x)=12xÛ`-6x-6=6(2x+1)(x-1)=0에서

x=-;2!; 또는 x=1

x … -;2!; … 1 …

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서 함수 f(x)는 x=-;2!;에서 극댓값 M, x=1에서 극솟

값 m을 가지므로

M=f {-;2!;}=-;2!;-;4#;+3+C=;4&;+C

m=f(1)=4-3-6+C=-5+C

∴ M-m={;4&;+C}-(-5+C)=;;ª4¦;;



f '(x) 구하기 30 %

f(x)의 극댓값, 극솟값 구하기 40 %

M-m의 값 구하기 10 %

820 0 주어진 그래프에서

f(x)=a(x-2)(x-7)`(a<0)

로 놓을 수 있다.

g(x)=:x+1

xf(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면

g '(x) =f(x+1)-f(x)

=a(x-1)(x-6)-a(x-2)(x-7)

=2a(x-4)

답 ;;ª4¦;;


g '(x)=0에서 x=4

x … 4 …

g '(x) + 0 -

g(x) ↗ 극대 ↘

따라서 함수 g(x)는 x=4일 때 극대이면서 최대이므로

k=4


그래프를 이용하여 f(x)의 식 세우기 20 %

g '(x) 구하기 40 %

k의 값 구하기 40 %

821 0 f(x)=[2 (|x|¾1)|x| (|x|É1)

의 양변에 x 대신 2-x를 대입

하면

f(2-x)=[2 (|2-x|¾1)|2-x| (|2-x|É1)

이때 |2-x|=|x-2|이므로

|2-x|¾1에서 |x-2|¾1 ∴ xÉ1 또는 x¾3

|2-x|É1에서 |x-2|É1 ∴ 1ÉxÉ3

즉, f(2-x)=[2 (xÉ1 또는 x¾3)|2-x| (1ÉxÉ3)

이므로

:)2 xÛ` f(2-x)dx=:)1 xÛ` f(2-x)dx+:!2 xÛ` f(2-x)dx

=:)1 2xÛ`dx+:!2 xÛ`|2-x|dx

=:)1 2xÛ`dx+:!2 xÛ`(2-x)dx

=[;3@;xÜ`]1)+[;3@;xÜ`-;4!;xÝ`]2!

=;3@;+{;3$;-;1°2;}=;1!2(;

따라서 p=19, q=12이므로

p+q=19+12=31

822 0 f(x)의 차수를 2 이상의 자연수 n이라 하면 주어진 등

식의 좌변의 차수는 nÛ`, 우변의 차수는 n+1이므로

nÛ`=n+1 ∴ nÛ`-n-1=0

그런데 위의 식을 만족시키는 2 이상의 자연수 n은 존재하지 않

으므로 f(x)는 일차 이하의 다항식이다.

이때 f(x)=ax+b (a, b는 상수)로 놓으면

f( f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=aÛ`x+ab+b

이므로 주어진 등식에 대입하면

aÛ`x+ab+b=-xÛ`+4x+:)/ f(t)dt


aÛ`=-2x+4+f(x) ∴ f(x)=2x+aÛ`-4

답 4

답 31

즉, ax+b=2x+aÛ`-4이므로

a=2, b=0

따라서 f(x)=2x이므로

:@4 f(x)dx=:@4 2xdx=[xÛ`]4@=12

823 0 g(x)=:_/!(t-1)f(t)dt에서

Ú x<1일 때, f(x)=-1이므로

g(x)=:_/!(1-t)dt=[t-;2!;tÛ`]/_!=-;2!;xÛ`+x+;2#;

Û x¾1일 때, f(x)=-x+2이므로

g(x)=:_1!(1-t)dt+:!/ (t-1)(-t+2)dt

=[t-;2!;tÛ`]1_!+[-;3!;tÜ`+;2#;tÛ`-2t]/!

=-;3!;xÜ`+;2#;xÛ`-2x+;;Á6¦;;

Ú, Û에서 g(x)=[-;2!;xÛ`+x+;2#; (x<1)

-;3!;xÜ`+;2#;xÛ`-2x+;;Á6¦;; (x¾1)

한편, g(x)=:_/!(t-1)f(t)dt의 양변을

x에 대하여 미분하면

g '(x)=(x-1)f(x)

=[-(x-1) (x<1)(x-1)(-x+2) (x>1)

ㄱ. 1<x<2일 때,

g '(x)=-(x-1)(x-2)>0

이므로 g(x)는 열린구간 (1, 2)에서 증가한다.

ㄴ. limx`Ú1-

{-(x-1)}= limx`Ú1+

(x-1)(-x+2)=0

즉, g '(1)=0이므로 g(x)는 x=1에서 미분가능하다.

ㄷ. y=g(x)의 그래프가 오른쪽 그

림과 같으므로 방정식 g(x)=k

가 서로 다른 세 실근을 갖도록

하는 실수 k는 존재하지 않는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

답 12

답 ③

09. 정적분의 활용 105

정적분의 활용09Ⅲ. 적분


:)2-(xÛ`-2x)dx=-[;3!;xÜ`-xÛ`]2)

=-{;3*;-4}=;3$; 답 ;3$;

0824

:_2! -(xÜ`-3xÛ`)dx=-[;4!;xÝ`-xÜ`]2_!

=-{-4-;4%;}=:ª4Á: 답 :ª4Á:

0828

곡선y=xÛ`-3x와직선

y=x-3의교점의x좌표는

xÛ`-3x=x-3에서xÛ`-4x+3=0

(x-1)(x-3)=0

∴x=1또는x=3

따라서구하는넓이는

:!3` {(x-3)-(xÛ`-3x)}dx=:!3` (-xÛ`+4x-3)dx

=[-;3!;xÜ`+2xÛ`-3x]3!

=;3$; 답 ;3$;

0832

곡선y=xÛ`+2x-3과x축의교

점의x좌표는xÛ`+2x-3=0에서

(x+3)(x-1)=0

∴x=-3또는x=1


-:)1 (xÛ`+2x-3)dx=-[;3!;xÜ`+xÛ`-3x]1)

=;3%; 답 ;3%;

0829

곡선y=;2!;xÛ`-4와x축의교

점의x좌표는;2!;xÛ`-4=0에서

xÛ`-8=0

(x+2'2`)(x-2'2`)=0

∴x=-2'2또는x=2'2따라서구하는넓이는

-:_2!`{;2!;xÛ`-4}dx=-[;6!;xÜ`-4x]2_!=-{-:¢6¼:-:ª6£:}

=:ª2Á: 답 :ª2Á:

0830

곡선y=-xÛ`과직선

y=x-2의교점의x좌표는

-xÛ`=x-2에서xÛ`+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

∴x=-2또는x=1


:_1@`{-xÛ`-(x-2)}dx=:_1@`(-xÛ`-x+2)dx

=[-;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+2x]1_@

=;2(; 답 ;2(;

0831

곡선y=1-xÛ`과x축의교점의

x좌표는1-xÛ`=0에서

(1+x)(1-x)=0

∴x=-1또는x=1


:_1!`(1-xÛ`)dx=[x-;3!;xÜ`]1_!

={1-;3!;}-{-1+;3!;}=;3$; 답 ;3$;

0825

곡선y=xÜ`-x와x축의교점

의x좌표는xÜ`-x=0에서

x(xÛ`-1)=0

x(x+1)(x-1)=0

∴x=-1또는x=0또는x=1


:_1!`|xÜ`-x|dx=:_0!`(xÜ`-x)dx-:)1 (xÜ`-x)dx

=[;4!;xÝ`-;2!;xÛ`]0_!-[;4!;xÝ`-;2!;xÛ`]1)

=;4!;+;4!;=;2!; 답 ;2!;

0826

곡선y=xÜ`-xÛ`-2x와x축

의교점의x좌표는xÜ`-xÛ`-2x=0에

서x(xÛ`-x-2)=0

x(x+1)(x-2)=0



:_2!`|xÜ`-xÛ`-2x|dx

=:_0!`(xÜ`-xÛ`-2x)dx-:)2 (xÜ`-xÛ`-2x)dx

=[;4!;xÝ`-;3!;xÜ`-xÛ`]0_!-[;4!;xÝ`-;3!;xÜ`-xÛ`]2)

=;1°2;+;3*;=;1#2&; 답 ;1#2&;

0827


:)2 (-tÛ`+4t-3)dt=[-;3!;tÜ`+2tÛ`-3t]2)

=-;3@; 답 -;3@;

0836

곡선y=xÜ`과직선y=x의교

점의x좌표는xÜ`=x에서

xÜ`-x=0

x(x+1)(x-1)=0



:_0!`(xÜ`-x)dx+:)1 (x-xÜ`)dx

=[;4!;xÝ`-;2!;xÛ`]0_!+[;2!;xÛ`-;4!;xÝ`]1)

=;4!;+;4!;=;2!; 답 ;2!;

0833

:!4 (-tÛ`+4t-3)dt=[-;3!;tÜ`+2tÛ`-3t]4!

=0 답 0

0837

두곡선y=xÛ`-5x+6,

y=-xÛ`+3x의교점의x좌표는

xÛ`-5x+6=-xÛ`+3x에서

xÛ`-4x+3=0

(x-1)(x-3)=0

∴x=1또는x=3


:!3 {(-xÛ`+3x)-(xÛ`-5x+6)}dx

=:!3 (-2xÛ`+8x-6)dx

=[-;3@;xÜ`+4xÛ`-6x]3!

=0-{-;3*;}=;3*; 답 ;3*;

0834

:!4` |-tÛ`+4t-3|dt

=:!3 (-tÛ`+4t-3)dt

-:#4 (-tÛ`+4t-3)dt

=[-;3!;tÜ`+2tÛ`-3t]3!

-[-;3!;tÜ`+2tÛ`-3t]4#

=;3$;-{-;3$;}=;3*; 답 ;3*;

0838

두곡선y=xÜ`-xÛ`과y=xÛ`의

교점의x좌표는xÜ`-xÛ`=xÛ`에서

xÜ`-2xÛ`=0

xÛ`(x-2)=0

∴x=0또는x=2


:)2` {xÛ`-(xÜ`-xÛ`)}dx=:)2 (-xÜ`+2xÛ`)dx

=[-;4!;xÝ`+;3@;xÜ`]2)

=;3$; 답 ;3$;

0835

곡선y=-xÛ`+4x-3과

x축의교점의x좌표는

-xÛ`+4x-3=0에서

xÛ`-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0

∴x=1또는x=3


:!2 (-xÛ`+4x-3)dx=[-;3!;xÜ`+2xÛ`-3x]2!

=;3@; 답 ②

0840

곡선y=xÛ`-6x와x축의교점의

x좌표는xÛ`-6x=0에서

x(x-6)=0

∴x=0또는x=6


:_0!`(xÛ`-6x)dx-:)1 (xÛ`-6x)dx

=[;3!;xÜ`-3xÛ`]0_!-[;3!;xÜ`-3xÛ`]1)

=:Á3¼:+;3*;=6 답 6

0839

본문 126~132 쪽유형 익 /히 /기

곡선y=xÜ`+xÛ`-2x와

x축의교점의x좌표는

xÜ`+xÛ`-2x=0에서

x(xÛ`+x-2)=0

x(x+2)(x-1)=0



:_0@`(xÜ`+xÛ`-2x)dx-:)1 (xÜ`+xÛ`-2x)dx

=[;4!;xÝ`+;3!;xÜ`-xÛ`]0_@-[;4!;xÝ`+;3!;xÜ`-xÛ`]1)

=;3*;+;1°2;=;1#2&; 답 ③

0841


곡선y=x(x-3)Û`과직선

y=x의교점의x좌표는

x(x-3)Û`=x에서

x(xÛ`-6x+8)=0

x(x-2)(x-4)=0

∴x=0또는x=2또는x=4


:)2` {x(x-3)Û`-x}dx+:@4` {x-x(x-3)Û`}dx

=:)2 (xÜ`-6xÛ`+8x)dx+:@4 (-xÜ`+6xÛ`-8x)dx

=[;4!;xÝ`-2xÜ`+4xÛ`]2)+[-;4!;xÝ`+2xÜ`-4xÛ`]4@

=4+4=8 답 ④

0845

곡선y=xÛ`-3x와

직선y=ax의교점의x좌표는

xÛ`-3x=ax에서

x{x-(a+3)}=0

∴x=0또는x=a+3

따라서주어진곡선과직선으로둘러싸

인도형의넓이는

:)a` Ñ 3``{ax-(xÛ`-3x)}dx=:)a` Ñ 3``{-xÛ`+(a+3)x}dx

=[-;3!;xÜ`+a+3

2 xÛ`]a) Ñ 3``

=;6!;(a+3)Ü`

즉,(a+3)Ü`

6 =36이므로(a+3)Ü`=6Ü`

a+3=6 ∴a=3 답 3

0848

곡선y=-xÛ`+ax와x축의

교점의x좌표는-xÛ`+ax=0에서

x(x-a)=0 ∴x=0또는x=a

오른쪽그림에서색칠한도형의넓이는

:)a (-xÛ`+ax)dx

=[-;3!;xÜ`+;2A;xÛ`]a)= aÜ`6

따라서aÜ`6 =;;£3ª;;이므로

aÜ`=64 ∴a=4 답 ②

0842 곡선y=-xÛ`+6x와직선

y=2x의교점의x좌표는

-xÛ`+6x=2x에서

xÛ`-4x=0,x(x-4)=0

∴x=0또는x=4


:)4` {(-xÛ`+6x)-2x}dx=:)4 (-xÛ`+4x)dx

=[-;3!;xÜ`+2xÛ`]4)

=:£3ª: 답 :£3ª:

다른풀이 포물선y=-xÛ`+6x와직선y=2x로둘러싸인도형

의넓이는

|-1|(4-0)Ü`6 =:£3ª:

참고 포물선 y=axÛ`+bx+c와 직선 y=mx+n이 서로 다른 두 점

에서 만날 때, 교점의 x좌표를 a, b(a<b)라 하면 포물선과 직선 사

이의 넓이 S는

⇨ S=|a|(b-a)Ü`

6

0846

오른쪽그림에서색칠한도형의넓

이는

-:_0!`kxÜ`dx+:)2 kxÜ`dx

=-[;4K;xÝ`]0_!+[;4K;xÝ`]2)

=;4K;+4k=:Á4¦:k

따라서:Á4¦:k=17이므로k=4 답 ④

0843

곡선y=3x-xÛ`과직선

y=3-x의교점의x좌표는

3x-xÛ`=3-x에서

xÛ`-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0

∴x=1또는x=3


:!3` {(3x-xÛ`)-(3-x)}dx=:!3 (-xÛ`+4x-3)dx

=[-;3!;xÜ`+2xÛ`-3x]3!=;3$;

답 ②

0847 :!/ f(t)dt=;3@;xÜ`-;2!;xÛ`-;6!;의양변을x에대하여미

분하면

f(x)=2xÛ`-x

곡선y=f(x)와x축의교점의x좌표는

2xÛ`-x=0에서x(2x-1)=0

∴x=0또는x=;2!;


-:) ;2!;`(2xÛ`-x)dx=-[;3@;xÜ`-;2!;xÛ`])

;2!;`

=;2Á4; 답 ;2Á4;

0844


두곡선y=xÜ`-4x,y=3xÛ`의

교점의x좌표는xÜ`-4x=3xÛ`에서

xÜ`-3xÛ`-4x=0

x(xÛ`-3x-4)=0

x(x+1)(x-4)=0



:_0! {(xÜ`-4x)-3xÛ`}dx+:)4` {3xÛ`-(xÜ`-4x)}dx

=:_0! (xÜ`-3xÛ`-4x)dx+:)4 (-xÜ`+3xÛ`+4x)dx

=[;4!;xÝ`-xÜ`-2xÛ`]0_!+[-;4!;xÝ`+xÜ`+2xÛ`]4)

=;4#;+32= 1314 답

1314

0850

곡선y=xÛ`-1을x축에대하여대칭이동하면

-y=xÛ`-1 ∴y=-xÛ`+1

이곡선을x축의방향으로1만큼,y축의방향으로3만큼평행이

동하면

y=-(x-1)Û`+4

두곡선y=xÛ`-1,y=-(x-1)Û`+4의

교점의x좌표는

xÛ`-1=-xÛ`+2x+3에서

2xÛ`-2x-4=0,xÛ`-x-2=0

(x+1)(x-2)=0

∴x=-1또는x=2


:_2! {(-xÛ`+2x+3)-(xÛ`-1)}dx

=:_2! (-2xÛ`+2x+4)dx

=[-;3@;xÜ`+xÛ`+4x]2_!

=9 답 9

0851

두곡선y=xÛ`-4x+5,

y=-xÛ`+6x-3의교점의x좌표는

xÛ`-4x+5=-xÛ`+6x-3에서

2xÛ`-10x+8=0,xÛ`-5x+4=0

(x-1)(x-4)=0

∴x=1또는x=4


:!4` {(-xÛ`+6x-3)-(xÛ`-4x+5)}dx

=:!4 (-2xÛ`+10x-8)dx

=[-;3@;xÜ`+5xÛ`-8x]4!=9 답 ①

0849 xÜ`-3xÛ`=xÛ`-3x에서

xÜ`-4xÛ`+3x=0

x(xÛ`-4x+3)=0

x(x-1)(x-3)=0


SÁ=:)1 `{xÜ`-3xÛ`-(xÛ`-3x)}dx=:)1 `(xÜ`-4xÛ`+3x)dx

=[;4!;xÝ`-;3$;xÜ`+;2#;xÛ`]1)=;1°2;

Sª=:!3 `{xÛ`-3x-(xÜ`-3xÛ`)}dx=:!3 `(-xÜ`+4xÛ`-3x)dx

=[-;4!;xÝ`+;3$;xÜ`-;2#;xÛ`]3!=;3*;

∴SÁSª=;;Á9¼;;

답 ;;Á9¼;;


두곡선의교점의x좌표구하기 30%

SÁ,Sª의값구하기 50%

SÁSª의값구하기 20%

두곡선y=xÜ`-3xÛ`,y=xÛ`-3x의교점의x좌표는0852

y=x|x-1|=x(x-1) (x¾1)

-x(x-1)(xÉ1)à


:)1 {-x(x-1)}dx+:!2 x(x-1)dx

=:)1 (-xÛ`+x)dx+:!2 (xÛ`-x)dx

=[-;3!;xÜ`+;2!;xÛ`]1)+[;3!;xÜ`-;2!;xÛ`]2!

=;6!;+;6%;=1 답 ②

0853

y=|x(x-1)|=x(x-1) (xÉ0또는x¾1)

-x(x-1)(0ÉxÉ1)à


:_0!`{2-(xÛ`-x)}dx

+:)1` {2-(-xÛ`+x)}dx

+:!2` {2-(xÛ`-x)}dx

=:_0!`(-xÛ`+x+2)dx+:)1 (xÛ`-x+2)dx

+:!2 (-xÛ`+x+2)dx

=[-;3!;xÜ`+;2!;xÛ`+2x]0_!+[;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+2x]1)

+[-;3!;xÜ`+;2!;xÛ`+2x]2!

=;6&;+:Á6Á:+;6&;=:ª6°: 답 ④

0854


f(x)=x(x-1)(x-4)=xÜ`-5xÛ`+4x로놓으면

f'(x)=3xÛ`-10x+4이므로곡선위의점(1,0)에서의접선의

기울기는3´1Û`-10´1+4=-3이고접선의방정식은

y-0=-3(x-1)

∴y=-3x+3

곡선y=xÜ`-5xÛ`+4x와직선

y=-3x+3의교점의x좌표는

xÜ`-5xÛ`+4x=-3x+3에서

xÜ`-5xÛ`+7x-3=0

(x-1)Û`(x-3)=0

∴x=1또는x=3


:!3` {(-3x+3)-(xÜ`-5xÛ`+4x)}dx

=:!3 (-xÜ`+5xÛ`-7x+3)dx

=[-;4!;xÝ`+;3%;xÜ`-;2&;xÛ`+3x]3!

=;3$;

답 ;3$;


접선의방정식구하기 30%

곡선과접선의교점의x좌표구하기 30%

넓이구하기 40%

0858

f(x)=xÛ`+2로놓으면

f'(x)=2x이므로곡선위의점

(1,3)에서의접선의기울기는

2´1=2이고,접선의방정식은

y-3=2(x-1)

∴y=2x+1


:)1` {(xÛ`+2)-(2x+1)}dx

=:)1 (xÛ`-2x+1)dx=[;3!;xÜ`-xÛ`+x]1)=;3!; 답 ;3!;

0856

f(x)=-xÜ`으로놓으면

f'(x)=-3xÛ`이므로곡선위의점

(-1,1)에서의접선의기울기는

-3´(-1)Û =-3이고접선의방정식은

y-1=-3(x+1)

∴y=-3x-2

곡선y=-xÜ`과직선y=-3x-2의

교점의x좌표는-xÜ`=-3x-2에서

xÜ`-3x-2=0

(x+1)Û`(x-2)=0 ∴x=-1또는x=2

따라서넓이S는

S=:_2!{-xÜ`-(-3x-2)}dx=:_2!`(-xÜ`+3x+2)dx

=[-;4!;xÝ`+;2#;xÛ`+2x]2_!=:ª4¦:

∴4S=4´:ª4¦:=27 답 ③

0857

y=|xÛ`-ax|=xÛ`-ax (xÉ0또는x¾a)

-xÛ`+ax (0ÉxÉa)à

곡선y=|xÛ`-ax|와직선y=ax의교점의x좌표는

ÚxÉ0또는x¾æa일때

xÛ`-ax=ax에서xÛ`-2ax=0

x(x-2a)=0 ∴x=0또는x=2a

Û0ÉxÉa일때

-xÛ`+ax=ax에서xÛ`=0 ∴x=0

오른쪽그림에서곡선과직선으로둘

러싸인도형의넓이는

:)a` {ax-(-xÛ`+ax)}dx

+:A2`a` {ax-(xÛ`-ax)}dx

=:)a xÛ` dx+:A2`a` (-xÛ`+2ax)dx

=[;3!;xÜ`]a)+[-;3!;xÜ`+axÛ`]2Aa`

=;3!;aÜ`+;3@;aÜ`=aÜ`

즉,aÜ`=:ª8¦:이므로a=;2#; 답 ③

0855

f(x)=xÛ`으로놓으면 f'(x)=2x이므로곡선위의점

(1,1)에서의접선의기울기는2´1=2이고접선의방정식은

y-1=2(x-1)

∴y=2x-1

곡선y=axÛ`-1(a>0)과직선

y=2x-1의교점의x좌표는

axÛ`-1=2x-1에서

axÛ`-2x=0,x(ax-2)=0

∴x=0또는x=;a@;

따라서주어진접선과곡선으로둘러싸인도형의넓이는

:);a@; {(2x-1)-(axÛ`-1)}dx=:)

;a@;`(2x-axÛ`)dx

=[xÛ`-;3A;xÜ`]);a@;`

= 4aÛ`

- 83aÛ`

= 43aÛ`

즉,4

3aÛ`=;3$;이므로aÛ`=1

∴a=1(∵a>0) 답 1

0859


f(x)=xÛ`으로놓으면 f'(x)=2x

접점의좌표를(t,tÛ`)이라하면이점에서접선의기울기는2t이

므로접선의방정식은

y-tÛ`=2t(x-t) yy`㉠

직선㉠이점(1,-3)을지나므로

-3-tÛ`=2t(1-t)

tÛ`-2t-3=0,(t+1)(t-3)=0

∴t=-1또는t=3

Út=-1일때,㉠에서

y-1=-2(x+1)

∴y=-2x-1

Ût=3일때,㉠에서

y-9=6(x-3) ∴y=6x-9

두직선y=-2x-1,y=6x-9의

교점의x좌표는-2x-1=6x-9에

서x=1


:_1! {xÛ`-(-2x-1)}dx+:!3 {xÛ`-(6x-9)}dx

=:_1!`(xÛ`+2x+1)dx+:!3 (xÛ`-6x+9)dx

=2:)1 (xÛ`+1)dx+:!3 (xÛ`-6x+9)dx

=2[;3!;xÜ`+x]1)+[;3!;xÜ`-3xÛ`+9x]3!

=;3*;+;3*;

=:Á3¤: 답 ⑤

0860

f(x)=-xÛ +2x+3으로놓으면

f'(x)=-2x+2이므로곡선위의점

(2,3)에서의접선의기울기는

-2´2+2=-2이고접선의방정식은

y-3=-2(x-2)

∴y=-2x+7


;2!;´;2&;´7-:)3 (-xÛ`+2x+3)dx

=:¢4»:-[-;3!;xÜ`+xÛ`+3x]3)

=:¢4»:-9

=:Á4£: 답 :Á4£:

0861

곡선y=-xÛ`+(k+2)x-2k와x축의교점의x좌표

는-xÛ`+(k+2)x-2k=0에서

xÛ`-(k+2)x+2k=0,(x-k)(x-2)=0

∴x=k또는x=2

0862

색칠한두도형의넓이가서로같으므로

:)1 (xÜ`-a)dx=0

[;4!;xÝ`-ax]1)=0,;4!;-a=0

∴a=;4!; 답 ;4!;

0863

곡선y=x(x-1)(x-k)와x축의교점의x좌표는

x(x-1)(x-k)=0에서

x=0또는x=1또는x=k

오른쪽그림에서SÁ=Sª이므로

:)k` x(x-1)(x-k)dx=0

:)k` {xÜ`-(k+1)xÛ`+kx}dx=0

[;4!;xÝ`- k+13 xÜ`+;2K;xÛ`]k)=0

- kÝ`12 + kÜ`

6 =0,kÜ`(k-2)=0

∴k=2(∵k>1) 답 2

0864

곡선y=-xÛ`+3x와x축의교점의x좌표는

-xÛ`+3x=0에서x(x-3)=0

∴x=0또는x=3


:)k (-xÛ`+3x)dx=0

[-;3!;xÜ`+;2#;xÛ`]k)=0

-;3!;kÜ`+;2#;kÛ`=0,kÛ`(2k-9)=0

∴k=;2(;(∵k>3) 답 ;2(;

0865


:)2` {-xÛ`+(k+2)x-2k}dx=0

[-;3!;xÜ`+ k+22 xÛ`-2kx]2)=0

-;3*;+2(k+2)-4k=0

-2k+;3$;=0 ∴k=;3@; 답 ;3@;

A`:`B=1`:`2에서B=2A

이고,B는곡선y=xÛ`-2x+p의대

칭축x=1을경계로이등분되므로오

른쪽그림에서빗금친도형의넓이는

A와같다.

0866


곡선y=xÛ`-2x와직선y=mx의교점의x좌표는

xÛ`-2x=mx에서

xÛ`-(m+2)x=0,x{x-(m+2)}=0

∴x=0또는x=m+2

오른쪽그림에서SÁ=Sª이고

SÁ=-:)2 (xÛ`-2x)dx

=-[;3!;xÜ`-xÛ`]2)=;3$;

SÁ+Sª=:) µ``±Û` {mx-(xÛ`-2x)}dx

=:) µ``±Û` {-xÛ`+(m+2)x}dx

=[-;3!;xÜ`+ m+22 xÛ`])µ``±Û`=;6!;(m+2)Ü`

즉,;6!;(m+2)Ü`=2´;3$;이므로

(m+2)Ü`=16 답 16

0867

오른쪽그림에서곡선

y=4x-xÛ`과x축으로둘러싸인

도형의넓이는

SÁ+Sª=:)4 (4x-xÛ`)dx

=[2xÛ`-;3!;xÜ`]4)=:£3ª:

0869

곡선y=-xÛ`+3x와직선y=mx의교점의x좌표는

-xÛ`+3x=mx에서

xÛ`+(m-3)x=0

x(x+m-3)=0

∴x=0또는x=3-m

오른쪽그림에서SÁ=Sª이고

SÁ=:)3 -`m``{(-xÛ`+3x)-mx}dx

=:)3 -`m``{-xÛ`+(3-m)x}dx

=[-;3!;xÜ`+ 3-m2 xÛ`]3)-`m`

=;6!;(3-m)Ü`

SÁ+Sª=:)3 `(-xÛ`+3x)dx=[-;3!;xÜ`+;2#;xÛ`]3)=;2(;

즉,;6!;(3-m)Ü`=;2!;´;2(;이므로(3-m)Ü`=;;ª2¦;;

∴mÜ`-9mÛ`+27m=;;ª2¦;; 답 ;;ª2¦;;

0868

v(t)=0일때,점P는운동방향을바꾸므로

tÛ`-7t+10=0,(t-2)(t-5)=0

∴t=2또는t=5

따라서t=5에서점P의운동방향이두번째로바뀌므로이때의

점P의위치는

:)5 (tÛ`-7t+10)dt=[;3!;tÜ`-;2&;tÛ`+10t]5)

=:ª6°: 답 ②

0870

3초후물체의높이는

30+:)3 (20-10t)dt=30+[20t-5tÛ`]3)

=30+15=45 (m)

∴hÁ=45

물체가최고지점에도착할때의속도는0이므로

v(t)=20-10t=0에서t=2

t=2일때물체의높이는

30+:)2 (20-10t)dt=30+[20t-5tÛ`]2)

=30+20=50 (m)

∴hª=50

0872

t=4에서점P의위치는

0+:)4v(t)dt=:)2(-tÛ`+2t)dt+:@4(tÛ`-3t+2)dt

=[-;3!;tÜ`+tÛ`]2)+[;3!;tÜ`-;2#;tÛ`+2t]4@

=;3$;+;;Á3¢;;=6 답 6

0871

∴:)1 (xÛ`-2x+p)dx=0

[;3!;xÜ`-xÛ`+px]1)=0

;3!;-1+p=0 ∴p=;3@; 답 ;3@;

∴SÁ=Sª=;2!;´:£3ª:=:Á3¤:

두곡선y=axÛ`,y=4x-xÛ`의교점의x좌표는

axÛ`=4x-xÛ`에서

(a+1)xÛ`-4x=0,x{(a+1)x-4}=0

∴x=0또는x= 4a+1

두곡선으로둘러싸인도형의넓이SÁ은

SÁ=:)4

a+1{(4x-xÛ`)-axÛ`}dx

=:)4

a+1{4x-(a+1)xÛ`}dx

=[2xÛ`- a+13 xÜ`])

4a+1

= 323(a+1)Û`

즉,32

3(a+1)Û`=:Á3¤:이므로

(a+1)Û`=2 ∴a='2 -1(∵a>0) 답 ①


자동차A의출발점을원점이라하면자동차B의출발점

의위치는24이다.출발한지t초후의두자동차A,B의위치를

각각xA(t),xB(t)라하면

xA(t)=0+:)t 2t dt=[tÛ`]t)=tÛ`

xB(t)=24+:)t (t+1)dt

=24+[;2!;tÛ`+t]t)=;2!;tÛ`+t+24

xA(t)=xB(t)일때자동차A와자동차B의위치가같아지므로

tÛ`=;2!;tÛ`+t+24,tÛ`-2t-48=0

(t-8)(t+6)=0

∴t=8(∵t>0)

따라서자동차A와자동차B의위치가같아지는것은출발한지

8초후이다. 답 ③

0874

점P가원점을출발하여다시원점으로되돌아오는데

걸리는시간을a초라하면출발한지a초후의점P의위치의변

화량은0이므로

:)a (tÛ`-2t)dt=0 `

[;3!;tÜ`-tÛ`]a)=0

;3!;aÜ`-aÛ`=0,;3!;aÛ`(a-3)=0

∴a=3(∵a>0)

따라서3초동안점P가움직인거리는

:)3` |tÛ`-2t|dt=:)2 (-tÛ`+2t)dt+:@3 (tÛ`-2t)dt

=[-;3!;tÜ`+tÛ`]2)+[;3!;tÜ`-tÛ`]3@

=;3$;+;3$;=;3*; (m) 답 ;3*;`m

0875

v(t)=0일때,물이멈추므로

4t-tÛ`=0,t(4-t)=0

∴t=0또는t=4

따라서구하는물의양은

p:)4 (4t-tÛ`)dt=p[2tÛ`-;3!;tÜ`]4)

=:£3ª:p (cmÜ`) 답 :£3ª:p`cmÜ`

0873

5초동안물체가실제로움직인거리는

:)5` |v(t)|dt

=:)5` |20-10t|dt

=:)2 (20-10t)dt+:@5 (-20+10t)dt

=[20t-5tÛ`]2)+[-20t+5tÛ`]5@

=20+45

=65 (m) 답 65`m

0876

v(t)=0일때열차가정지하므로

30-3t=0에서t=10

따라서열차는제동을건후10초후에정지하므로정지할때까

지달린거리는

:)1`0` |30-3t|dt=:)1`0 (30-3t)dt

=[30t-;2#;tÛ`]1)0`

=150 (m) 답 ②

0877

4`km를달리는데걸리는시간을x분이라하면

4=:)/ {;4#;tÛ`+;2!;t+;2!;}dt

=[;4!;tÜ`+;4!;tÛ`+;2!;t]/)

=;4!;xÜ`+;4!;xÛ`+;2!;x

즉,xÜ`+xÛ`+2x-16=0에서

(x-2)(xÛ`+3x+8)=0

∴x=2(∵xÛ`+3x+8+0)

이때v(2)=;4#;´4+;2!;´2+;2!;=;2(;이므로2분후부터는속력이

;2(;`km/min으로일정하다.

따라서열차가출발한후10분동안달린거리는

4+(10-2)´;2(;=40 (km) 답 40`km

0878

∴|hÁ-hª|=5

답 5


hÁ의값구하기 40%

hª의값구하기 40%

|hÁ-hª|의값구하기 20%

시각t=2에서점P의위치는

0+:)2 v(t)dt=;2!;´2´1=1

∴a=1

0880

점P가움직인거리는속도v(t)의그래프와t축및직선

t=0,t=3으로둘러싸인도형의넓이와같으므로

;2!;´1´2+1´2+2{;2!;´;2!;´2}=1+2+1=4 답 4

0879


두곡선y=;k!;xÜ`,y=-9kxÜ`

과직선x=1로둘러싸인도형의넓이는

:)1` [;k!;xÜ`-(-9kxÜ`)]dx

={9k+;k!;}:)1 xÜ` dx

={9k+;k!;}[;4!;xÝ`]1)

=;4!;{9k+;k!;}

æ¾;4!;´2æ®É9k´;k!;=;2#;(∵k>0)

{단,등호는k=;3!;일때성립한다.}

따라서구하는최솟값은;2#;이다. 답 ;2#;

참고 산술평균과 기하평균의 관계

a>0, b>0일 때,

æa+b

2 ¾'¶ab (단, 등호는 a=b일 때 성립한다.)

0885


:)7``v(t)dt=;2!;´(1+3)´k-;2!;´2´2+;2!;´2´k

즉,2k-2+k=10이므로

3k=12 ∴k=4 답 ④

0881

ㄱ.출발한지4초후의점P의위치는

0+:)4 v(t)dt=;2!;´2´2-;2!;´2´2=0

이므로원점이다.

ㄴ.속도v(t)의부호가바뀌는점에서점P가운동방향을바꾸

므로점P는시각t=2와t=6에서운동방향을2번바꾼다.

ㄷ.출발한지1초후의점P의위치는

:)1 v(t) dt=;2!;´1´2=1

출발한지7초후의점P의위치는

:)7``v(t)dt=;2!;´2´2-;2!;´2´2-;2!;´2´2+;2!;´1´2=-1

즉,출발한지1초후와7초후의점P의위치는다르다.


0882

①aÉtÉb에서v(t)¾0이므로점P가움직인거리는

:Ab``v(t)dt이다.

②:)c``v(t)dt=0이면시각t=0에서t=c까지의위치의변화

량이0이다.따라서시각t=c일때점P는출발점과같은위

치에있다.

③시각t=a일때v'(t)=0이므로v(t)는t=a에서극대이다.

따라서점P는t=a일때최고의속도로움직이고있다.

④v(t)의부호는운동방향을나타낸다.

⑤(속력)=|v(t)|이므로t=c일때,점P의속력은최대이다.

답 ③

0883

본문 133쪽유형

곡선y=x(x-2)(x-a)

와x축으로둘러싸인도형의넓이를

S(a)라하면

S(a)

=:)a x(x-2)(x-a)dx-:A2 x(x-2)(x-a)dx

=:)a` {xÜ`-(a+2)xÛ`+2ax}dx

-:A2` {xÜ`-(a+2)xÛ`+2ax}dx

=[;4!;xÝ`- a+23 xÜ`+axÛ`]a)-[;4!;xÝ`- a+2

3 xÜ`+axÛ`]2A

=-;6!;aÝ`+;3@;aÜ`-;3$;a+;3$;

이때양변을a에대하여미분하면

S'(a)=-;3@;aÜ`+2aÛ`-;3$;

=-;3@;(aÜ`-3aÛ`+2)

=-;3@;(a-1)(aÛ`-2a-2)

S'(a)=0에서a=1(∵0<a<2)

a (0) … 1 … (2)

S'(a) - 0 +

S(a) ↘ 극소 ↗

따라서S(a)는a=1일때극소이면서최소이다. 답 1

0884


:)4 v(t)dt=;2!;´2´1-;2!;´2´1=0

∴b=0

∴a+b=1

답 1






오른쪽그림과같이구하는넓

이는직선y=x에의하여이등분되고,

빗금친도형의넓이는

;2!;(1+3)´2-:!3 f(x)dx

=4-3=1

따라서구하는넓이는빗금친도형의넓이의2배이므로

2´1=2 답 2

0886

함수 f(x)='§x의역함수가g(x)이므로두곡선y=f(x)와

y=g(x)는직선y=x에대하여대칭

이다.


B=C이므로

:!9 `f(x)dx+:!3 g(x)dx

=A+B=A+C

=9´3-1´1

=26 답 26

0887

f(x)=3xÛ`+1`(x¾0)의역

함수가g(x)이므로y=f(x)의그래

프와y=g(x)의그래프는직선y=x

에대하여대칭이다.이때구하는넓이

는오른쪽그림의A와같고A=B이

므로

2´13-:)2 (3xÛ`+1)dx

=26-[xÜ`+x]2)

=26-(8+2)

=16 답 16

0888

두곡선y=f(x)와

y=g(x)는직선y=x에대하여대

칭이므로두곡선으로둘러싸인도형

의넓이S는곡선y=f(x)와직선

y=x로둘러싸인도형의넓이의2배

이다.곡선y=f(x)와직선y=x의

교점의x좌표는

xÜ`-3xÛ`+3x=x에서

xÜ`-3xÛ`+2x=0,x(x-1)(x-2)=0


0889

∴S=2[:)1` {(xÜ`-3xÛ`+3x)-x}dx

+:!2` {x-(xÜ`-3xÛ`+3x)}dx]

=2[ :)1` (xÜ`-3xÛ`+2x)dx+:!2` (-xÜ`+3xÛ`-2x)dx]

=2{[;4!;xÝ`-xÜ`+xÛ`]1)+[-;4!;xÝ`+xÜ`-xÛ`]2!}

=2{;4!;+;4!;}=1 답 1

곡선y=x(x-2)Û` 과x축의

교점의x좌표는x(x-2)Û`=0에서

x=0또는x=2


:)2 x(x-2)Û`dx

=:)2 (xÜ`-4xÛ`+4x)dx

=[;4!;xÝ`-;3$;xÜ`+2xÛ`]2)

=;3$; 답 ②

0890


곡선y=xÛ`-2x와x축의교점의x좌표는

xÛ`-2x=0에서x(x-2)=0

∴x=0또는x=2

색칠한도형의넓이는

-:)2 (xÛ`-2x)dx+:@a (xÛ`-2x)dx

=-[;3!;xÜ`-xÛ`]2)+[;3!;xÜ`-xÛ`]a@

=;3$;+;3!;aÜ`-aÛ`+;3$;

=;3!;aÜ`-aÛ`+;3*;

따라서;3!;aÜ`-aÛ`+;3*;=;3*;이므로

;3!;aÜ`-aÛ`=0,aÛ`(a-3)=0

∴a=3(∵a>2) 답 3

0891

두곡선y=xÜ`-2x,y=xÛ`의

교점의x좌표는xÜ`-2x=xÛ`에서

xÜ`-xÛ`-2x=0

x(x+1)(x-2)=0


0892


두곡선y=xÛ`(x-4),y=ax(x-4)는x축과x=0,

x=4인점에서만난다.

이때A=B이므로

:)4` {xÛ`(x-4)-ax(x-4)}dx=0

:)4` {xÜ`-(4+a)xÛ`+4ax}dx=0

[;4!;xÝ`- 4+a3 xÜ`+2axÛ`]4)=0

-:¤3¢:+:£3ª:a=0 ∴a=2 답 2

0896

A`:`B=1`:`2에서

B=2A이고,B는y=xÛ`-6x+a의

대칭축x=3에의하여이등분되므로

오른쪽그림에서두도형의넓이A와

C는서로같다.즉,

:)3 (xÛ`-6x+a)dx=0

[;3!;xÜ`-3xÛ`+ax]3)=0

3a-18=0 ∴a=6 답 6

0898

f(0)=c이므로곡선y=f(x)와x=0에서접하는직선

의방정식은y=c이다.

곡선y=f(x)와직선y=c가x=0에서접하고x=1에서만나

므로

f(x)-c=xÛ`(x-1)


:)1` {c-f(x)}dx=:)1` {-xÛ`(x-1)}dx

=-:)1 (xÜ`-xÛ`)dx

=-[;4!;xÝ`-;3!;xÜ`]1)

=;1Á2; 답 ①

0894

y=|x(x-2)|=x(x-2) (xÉ0또는x¾2)

-x(x-2)(0ÉxÉ2)à


:_0!`{3-(xÛ`-2x)}dx

+:)2``{3-(-xÛ`+2x)}dx

+:@3``{3-(xÛ`-2x)}dx

=:_0!`(-xÛ`+2x+3)dx+:)2``(xÛ`-2x+3)dx

+:@3``(-xÛ`+2x+3)dx

=[-;3!;xÜ`+xÛ`+3x]0_!+[;3!;xÜ`-xÛ`+3x]2)

+[-;3!;xÜ`+xÛ`+3x]3@

=;3%;+:Á3¢:+;3%;=8 답 8

0893

f(x)=;2!;xÛ`+2로놓으면 f '(x)=x이므로곡선위의

점(2,4)에서의접선의기울기는2이고접선의방정식은

y-4=2(x-2) ∴y=2x


:)2` [{;2!;xÛ`+2}-2x]dx

=[;6!;xÜ`+2x-xÛ`]2)`

=;3$; 답 ;3$;

0895

곡선y=-xÛ`+3x와직선y=-2x의교점의x좌표는

-xÛ`+3x=-2x에서

xÛ`-5x=0,x(x-5)=0 ∴x=0또는x=5

따라서곡선y=-xÛ`+3x와직선y=-2x로둘러싸인도형의

넓이는

:)5` {(-xÛ`+3x)-(-2x)}dx=:)5 (-xÛ`+5x)dx

이것은오른쪽그림의색칠한도형의넓

이와같다.이때이넓이를이등분하는직

선x=a는포물선y=-xÛ`+5x의대칭

축이어야하므로

y=-xÛ`+5x=-{x-;2%;}Û`+:ª4°:

에서x=;2%;이다. ∴a=;2%; 답 ;2%;

0899

x초후에다시만난다고하면두점P,Q의x초후의위

치는같다.

0900

A=B이므로

:)2 {kx-;2!;xÛ`}dx=0

[;2K;xÛ`-;6!;xÜ`]2)=2k-;3$;=0

따라서k=;3@;이므로30k=20 답 20

0897


:_0! {(xÜ`-2x)-xÛ`}dx+:)2` {xÛ`-(xÜ`-2x)}dx

=:_0!`(xÜ`-xÛ`-2x)dx+:)2 (-xÜ`+xÛ`+2x)dx

=[;4!;xÝ`-;3!;xÜ`-xÛ`]0_!+[-;4!;xÝ`+;3!;xÜ`+xÛ`]2)

=;1°2;+;3*;=;1#2&; 답 ④


점P가진행방향을바꾸는시각은

v(t)=tÛ`-5t+4=0에서

(t-1)(t-4)=0 ∴t=1또는t=4

ㄱ.0ÉtÉ1에서v(t)¾æ0

1ÉtÉ4에서v(t)É0

t¾æ4에서v(t)¾æ0

이므로시각t=0에서의진행방향과반대방향으로움직이

는때는시각t=1부터t=4까지의3초동안이다.

ㄴ.시각t=2에서점P의위치는

:)2 v(t)dt=:)2 (tÛ`-5t+4)dt

=[;3!;tÜ`-;2%;tÛ`+4t]2)=;3@;

ㄷ.시각t=0에서t=3까지점P가움직인거리는

:)3` |tÛ`-5t+4|dt

=:)1 (tÛ`-5t+4)dt-:!3 (tÛ`-5t+4)dt

=[;3!;tÜ`-;2%;tÛ`+4t]1)-[;3!;tÜ`-;2%;tÛ`+4t]3!

=:Á6Á:-{-:Á3¼:}=:£6Á:

따라서옳은것은ㄴ뿐이다. 답 ②

0901

ㄱ.0<t<3일때v(t)>0,3<t<6일때v(t)<0

즉,시각t=3에서속도가양에서음으로바뀌었으므로t=4

일때,물체는처음진행방향과반대방향으로움직인다.

ㄴ.물체가원점을출발하였으므로t=0일때물체의위치는0이

고,t=3에서물체의위치는

0+:)3 v(t)dt=;2!;´1´1+1´1+;2!;´1´1=2

즉,시각t=3에서물체는원점에있지않다.

ㄷ.:!5 v(t)dt=:!3 v(t)dt+:#5 v(t)dt

=;2#;+{-;2#;}=0

이므로시각t=1에서와t=5에서의물체의위치는같다.

0902

두곡선y=f(x)와y=g(x)는직선y=x에대하여대

칭이고, f`'(x)=3xÛ`+2x+1=3{x+;3!;}Û`+;3@;>0이므로

함수 f(x)는실수전체의집합에서증가한다.

두곡선의교점의x좌표는곡선y=f(x)와직선y=x의교점의

x좌표와같으므로xÜ`+xÛ`+x=x에서

xÜ`+xÛ`=0,xÛ`(x+1)=0 ∴x=-1또는x=0

이때두곡선y=f(x)와y=g(x)로둘러싸인도형의넓이를S

라하면곡선y=f(x)와직선y=x로둘러싸인도형의넓이의

2배이므로

S=2:_0! {`f(x)-x}dx

=2:_0!`(xÜ`+xÛ`)dx

=2[;4!;xÝ`+;3!;xÜ`]0_!

=;6!; 답 ;6!;

0903

곡선y=axÛ`+bx+c의y절편이3이므로c=3

이차방정식axÛ`+bx+c=0의두근이x=1또는x=3이므로

a(x-1)(x-3)=0

axÛ`-4ax+3a=0

3a=c=3이므로a=1

-4a=b이므로b=-4

따라서구하는도형의넓이는

:)1 (xÛ`-4x+3)dx-:!3 (xÛ`-4x+3)dx

=[;3!;xÜ`-2xÛ`+3x]1)-[;3!;xÜ`-2xÛ`+3x]3!

=;3$;+;3$;

=;3*;

답 ;3*;


c의값구하기 20%


도형의넓이구하기 50%

0904

x초후의두점P,Q의위치는각각

:)/ t(t-1)dt,:)/ (2t+3)dt이므로

:)/ t(t-1)dt=:)/ (2t+3)dt에서

[;3!;tÜ`-;2!;tÛ`]/)=[tÛ`+3t]/)

;3!;xÜ`-;2!;xÛ`=xÛ`+3x

2xÜ`-9xÛ`-18x=0

x(x-6)(2x+3)=0

∴x=6(∵x>0)

따라서두점P,Q가다시만나는시각은6초후이다. 답 ③

ㄹ.시각t=1에서t=4까지실제로움직인거리는

:!4` |v(t)|dt=:!3 v(t)dt+:#4` {-v(t)}dt

=;2#;+;2!;=2

따라서옳은것은ㄱ,ㄷ,ㄹ이다. 답 ④


f(x)=xÜ`+2로놓으면 f '(x)=3xÛ`

접점의좌표를(t,tÜ`+2)라하면접선의기울기는3tÛ`이므로

접선의방정식은

y-(tÜ`+2)=3tÛ`(x-t) yy`㉠

이접선이원점을지나므로0-(tÜ`+2)=3tÛ`(0-t)

tÜ`=1 ∴t=1

t=1을㉠에대입하면y-3=3(x-1)

∴y=3x

이때접선과곡선의교점의x좌표는xÜ`+2=3x에서

xÜ`-3x+2=0,(x+2)(x-1)Û`=0

∴x=-2또는x=1


:_1@`(xÜ`+2-3x)dx

=[;4!;xÝ`+2x-;2#;xÛ`]1_@

=:ª4¦:

답 :ª4¦:


접선의방정식구하기 40%

접선과곡선의교점의x좌표구하기 20%

접선과곡선으로둘러싸인도형의넓이구하기 40%

0905 직사각형의넓이가최대이면

색칠한도형의넓이가최소이다.오른

쪽그림과같이x축의양의부분과만

나는직사각형의꼭짓점의x좌표를a

라하면직사각형의넓이g(a)는

g(a)=2a(-aÛ`+3)

=-2aÜ`+6a

g '(a)=-6aÛ`+6=0에서aÛ`=1

∴a=1(∵a>0)

따라서g(a)는a=1일때극대이면서최대이므로직사각형의

넓이의최댓값은

g(1)=4

또한곡선y=-xÛ`+3과x축으로둘러싸인도형의넓이는

:-'3`

'3``(-xÛ`+3)dx=2:)'3`

(-xÛ`+3)dx

:-'3`

'3``(-xÛ`+3)dx=2[-;3!;xÜ`+3x])'3

:-'3`

'3``(-xÛ`+3)dx=4'3

따라서색칠한도형의넓이의최솟값은

4'3-4

답 4'3-4


직사각형의넓이구하기 30%

직사각형의넓이의최댓값구하기 30%

곡선과x축으로둘러싸인도형의넓이구하기 30%

색칠한도형의넓이의최솟값구하기 10%

0907

⑴x(1)=-2+:)1 v(t)dt=-2+;2!;=-;2#;

x(3)=-2+:)3 v(t)dt=-2+4=2

x(5)=-2+:)5 v(t)dt=-2+7=5

⑵:)6` |v(t)|dt=;2!;(2+5)´2+;2!;´1´2=8

답 ⑴ -;2#;, 2, 5 ⑵ 8


x(1)구하기 20%

x(3)구하기 20%

x(5)구하기 20%

t=0에서t=6까지움직인거리구하기 40%

0906

y=2x|x-1|

=2x(x-1) (x¾1)

-2x(x-1) (xÉ1)à

이므로곡선y=2x|x-1|과직선

y=x의교점의x좌표는다음과같다.

Úxæ¾1일때,2x(x-1)=x에서

2xÛ`-3x=0,x(2x-3)=0

∴x=;2#;(∵x¾æ1)

ÛxÉ1일때,-2x(x-1)=x에서

2xÛ`-x=0,x(2x-1)=0

∴x=0또는x=;2!;

0908


두곡선의교점의

좌표를각각P{a,;2!;aÛ`},

Q{-a,;2!;aÛ`}이라하자.

(단,a>0)

f(x)=;2!;xÛ`이라하면 f '(x)=x이므로

함수y=;2!;xÛ`의그래프의접점P에서접선의기울기는

f '(a)=a이고이접선은직선AP와수직이다.

즉,;2!;aÛ`-;2#;a-0 =- 1

a이므로

aÛ`=1 ∴a=1(∵a>0)

∴P{1,;2!;},Q{-1,;2!;}

0910

f(x)=xÛ`-1로놓으면 f '(x)=2x이므로곡선위의

점(t,tÛ`-1)에서의접선의기울기는2t이고접선의방정식은

y-(tÛ`-1)=2t(x-t) ∴y=2tx-tÛ`-1

오른쪽그림에서색칠한

도형의넓이는

:)1 {(xÛ`-1)-(2tx-tÛ`-1)}dx

=:)1 (xÛ`-2tx+tÛ`)dx

=[;3!;xÜ`-txÛ`+tÛ`x]1)

=;3!;-t+tÛ`

={t-;2!;}Û`+;1Á2;

따라서구하는최솟값은;1Á2;이다. 답 ;1Á2;

0909

곡선 f(x)=-xÛ`+4x-3과x축의교점의x좌표는

-xÛ`+4x-3=0에서(x-1)(x-3)=0

∴x=1또는x=3

:)a f(x)dx=-X+Y-Z=-2Y+Y=-Y

=-:!3 f(x)dx=-:!3 (-xÛ`+4x-3)dx

=-[-;3!;xÜ`+2xÛ`-3x]3!=-;3$; 답 -;3$;

0911

따라서구하는넓이의합은

:) ;2!; (-2xÛ`+2x-x)dx+:

;2!;1 {x-(-2xÛ`+2x)}dx

+:! ;2#; {x-(2xÛ`-2x)}dx

=:) ;2!; (-2xÛ`+x)dx+:

;2!;1 (2xÛ`-x)dx

+:! ;2#; (-2xÛ`+3x)dx

=[-;3@;xÜ`+;2!;xÛ`]);2!;+[;3@;xÜ`-;2!;xÛ`]1

;2!;+[-;3@;xÜ`+;2#;xÛ`]!

;2#;

=;2Á4;+;2°4;+;2¦4;=;2!4#; 답 ;2!4#;

직선AP의방정식은y=-x+;2#;

한편,접점P에서의접선의방정식은

y-;2!;=x-1 ∴y=x-;2!;

원의반지름의길이는중심A{0,;2#;}과접선y=x-;2!;,즉

2x-2y-1=0사이의거리와같으므로

r=|2´0-2´;2#;-1|

"Ã2Û`+(-2)Û`='2

∠PAO=45ù이므로구하는넓이를S라하면

S=2[ :)1 {-x+;2#;-;2!;xÛ`}dx-p´('2)Û`´ 45360 ]

=2[[-;6!;xÜ`-;2!;xÛ`+;2#;x]1)- p4 ]

=;3%;- p2

따라서a=;3%;,b=-;2!;이므로

120(a+b)=140 답 140

정답과 풀이 - 개념원리 · 2018-11-21 · 002 정답과 풀이 01 함수의 극한 Ⅰ....

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