Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test

Complex Numbers- 1 -

Section 2. 복소수

1.복소평면

1) 복소평면 (가우스평면)

평면 위의 직교좌표에서 점 P(a, b)가 복소수 에 대응될 때,

이 평면을 복소평면 또는 가우스 평면이라 하고 P( ) 또는 점 라 나타낸다.

특히 x축을 실수축, y축을 허수축이라 한다.

이 때, 을 로 나타내고 의 절대값이라고 한다.

즉

2) 복소수의 합과 차

(1) 복소수의 덧셈

두 점 가 주어져 있을 때, 합 를 나타내는 점 의 작도는 를

이웃 두 변으로 하는 평행사변형의 제 4의 꼭지점을 구하면 된다.

☞ 의 기하학적인 정의는 평행이동을 의미함

(2) 복소수의 뺄셈

두 점 가 주어져 있을 때, 차 를 나타내는 점 의 작도는 다음 두 가지

방법이 쓰인다.

(ⅰ) 의 O에 대한 대칭점을 를 구하고 를 이웃 두 변으로 하는 평행사변형의

제 4의 꼭지점을 구한다.

(ⅱ) 을 이웃 두 변으로 하는 평행사변형의 제 4의 꼭지점을 구한다.

☞ 의 기하학적인 의미는 원점 가까이 평행이동을 의미한다

【참고】

1) 절대값의 기하학적인 의미 ; 원점에서 복소수까지의 거리을 의미

즉 는 와 사이의 거리을 의미함.

2)

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Complex Numbers- 2 -

3) 복소수 α, β의 켤레복소수를 α β라 할 때

α β α β α β α β

αβ

α

β , α α

4) 의 켤레복소수가 (단, 는 실수) 일 때

가 실수

가 순허수

5) 이동

(ⅰ) 점 와 점 는 원점에 대하여 대칭

(ⅱ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭

(ⅲ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭

(ⅳ) 점 는 점 를 π

만큼 회전이동 ( ; 회전연산자)

6) 선분 의 내분점, 외분점

; 복소평면에서 두 점 를 잇는 선분 를 으로

내분점 ; , 외분점 ;

2.복소수의 극형식

를 θ θ 꼴로 나타낼 때 이것을 z 의 복소수의 극형식이라

하고, 를 복소수의 절대값, θ를 편각이라 한다.

특히 편각의 표현은 또는 로 나타낸다.

(단 , θ θ )

【설명】복소수 에 대하여,

θ θ 를 만족하는

θ 를 구하면, 다음과 같이 극형식으로 변형할 수 있다.

θ θ

θ θ

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Complex Numbers- 3 -

【참고】 복소수 θ θ 에 대하여

(1) θ θ π θ π θ

(2) θ θ θ θ

(3) 복소수 의 편각 θ 는 일반각이므로 여러 가지로 나타낼 수 있으나 보통 θ π 또는 π θ π 의 범위에서 그 절대값이 가장 작은 각의 크기를 취한다.

(4) 복소수 0 의 절대값은 0 이고, 편각은 임의의 각으로 본다.

(5) arg는 argument 의 약자이다.

3. 극형식으로 나타낸 복소수의 곱셈․나눗셈

θ θ θ θ (단, ) 일 때

1) 곱셈

극형식 : θ θ θ θ , 절대값 :

편 각 :

2) 나눗셈

극형식 : θ θ θ θ , 절대값 :

편 각 :

【복소수의 곱셈과 나눗셈의 증명】

(1) 곱셈

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

(2) 나눗셈

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

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Complex Numbers- 4 -

θ θ θ θ

θ θ -끝-

4. 복소수의 평행이동, 회전이동

(1) 평행이동 : 점 를 α 만큼 평행이동한 점 는 α

(2) 회전이동 : 점 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점 는 θ θ 이고,

점 를 α를 중심으로 θ만큼 회전이동한 점 는 α α θ θ

5. 드․무아브르의 정리

이 정수일 때 θ θ θ θ

【참고】 반드시 극형식일 때만 드 무아브르 정리를 적용할 수 있다.

6.복소평면 위의 선분의 길이와 각의 크기 도형의 방정식

1) 선분의 길이: 점 가 복소평면 위에서 각각 복소수 를 나타내는 점이라 할 때,

를 나타내는 두 점을 라 하면,

이므로

2) 복소평면 위에서 두 선분의 교각

복소수 를 나타내는 점을 각각 라 할 때,

(1) 두 선분의 교각 와 의 교각

(2) 두 선분의 평행 (실수)

(3) 두 선분의 수직 (순허수)

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Complex Numbers- 5 -

【설명】

(1) 두 선분의 교각 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 하고,

두 선분 가 이루는 각을 θ 라 하면,

θ β α 따라서, θ

(2) 두 선분의 평행 오른쪽 그림과 같이, 일 때, 와 가 양의 실수축과 이루는 각은 같다. 즉, 이므로,

따라서, 실수

(3) 두 선분의 수직 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 할 때,

이면, 다음 두 경우로 생각할 수 있다.

이 때 β απ

이므로, π

π

따라서, (순허수)

3) 복소평면 위에서 도형의 방정식

(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고, 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은

α

(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고, 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은

α β

(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은

α β

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Complex Numbers- 6 -

7.이항방정식 의 해법

복소수 z, α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수

있다. 즉, 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다. 특히 이항방정식의

근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다.

예를 들면)

방정식 의 해는 π α π α 단 이다.

1. 방정식 의 한 근을 라고 하고, 이라고 할 때, 의 값을 구하시오.

2. π

를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오.

3. 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라.

또, 극형식으로 나타내어라.

4. 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를

구하라.

5. 을 만족하는 양의 정수, 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의

값을 구하시오.

6. 이 순허수가 되도록 가 변할 때, 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가 ?

① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선

7. π π일 때, 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오.