material didáctico tema 2 liis106 cálculo dif. e int.pdf

Mtro. Juan Jos Arenas Romero

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Instituto Universitario del Prado

Asignatura: Clculo Diferencial e Integral

Tema 2: Funciones

2.1. Definicin de funcin real y su representacin grfica

De manera intuitiva podemos decir que una funcin es una relacin entre dos magnitudes de tal manera

que a cada valor de la primera, le corresponde un nico valor de la segunda, posteriormente veremos

que los nmeros que son aceptados por la mquina, compondrn el dominio de definicin de la funcin

y el conjunto de elementos de salida compondrn el recorrido de la funcin.

Una funcin real est definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una frmula

matemtica. La variable x recibe el nombre de variable independiente resolutiva y la y o f(x), variable

dependiente o resuelta.

Grfico de una funcin es el conjunto de pares, formados por los valores de la variable y sus imgenes

correspondientes. Se puede representar una funcin en el plano, haciendo corresponder a cada par del

grfico, un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de

ordenadas, su correspondiente imagen. Ejemplo:

x 1 2 3 4 5

f(x) 2 4 6 8 10

Funcin real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado

subconjunto de nmeros reales, llamado dominio, otro nmero real.

f : D

x f (x ) = y


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El subconjunto en el que se define la funcin se llama dominio o campo existencia de la funcin, se

designa por D.

El nmero x perteneciente al dominio de la funcin recibe el nombre de variable independiente.

Al nmero, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por

f(x).

Luego: y= f(x)

Se denomina recorrido de una funcin al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

x

Conjunto inicial, conjunto final

Dominio conjunto imagen o recorrido

a) El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x / f ( x ) }

b) El recorrido es el conjunto de elementos que son imgenes. R = {f (x) / x D}

c) El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x / f (x)}


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Estudio del dominio de una funcin: dominio de la funcin poli nmica entera El dominio es R, cualquier nmero real tiene imagen. f(x)= x2 - 5x + 6 D=R

a. Dominio de la funcin racional: el dominio es R menos los valores que anulan al denominador

(no puede existir un nmero cuyo denominador sea cero).

b. Dominio de la funcin irracional de ndice impar: el dominio es R.

c. Dominio de la funcin irracional de ndice par: el dominio est formado por todos los valores que

hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.


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d. Dominio de la funcin logartmica: el dominio est formado por todos los valores que hacen que

el radicando sea mayor que cero.

e. Dominio de la funcin exponencial: el dominio es R.

f. Dominio de la funcin seno: el dominio es R.

g. Dominio de la funcin coseno: el dominio es R.

h. Dominio de la funcin tangente:

i. Dominio de la funcin cotangente:

j. Dominio de la funcin secante:

k. Dominio de la funcin cosecante:

l. Dominio de operaciones con funciones, si realizamos operaciones con funciones, el dominio de la

funcin resultante ser:


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Si f es una funcin real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la funcin f le corresponde en el

plano cartesiano un nico punto P(x, y) = P(x, f(x)).

El valor de x debe pertenecer al dominio de definicin de la funcin.

2.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde una nica pre-imagen, inyectiva.

Si la imagen de la funcin es igual al co-dominio, sobreyectiva o suprayectiva.

Una funcin que sea inyectiva y sobreyectiva, simultneamente, se denomina biyectiva.

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, suprayectiva pero no

inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico.

Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del condominio Y,

consideremos la ecuacin

La funcin es suprayectiva o sobreyectiva si, y slo si, la ecuacin siempre tiene al menos una solucin.

La funcin es inyectiva si, y solo si, la ecuacin (*) tiene a lo ms una solucin. La funcin es biyectiva cuando, y slo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto

universal U, representado por un rectngulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el

conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos

permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo grfico.


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Aplicacin inyectiva y no sobreyectiva

En una funcin inyectiva, cada elemento imagen tiene nica pre-imagen. Una funcin que no sea

inyectiva, tendr al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una funcin suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del condominio es imagen de algn elemento

del dominio. Una funcin no ser suprayectiva, cuando al menos un elemento del condominio (conjunto

final) no tenga una pre-imagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es

las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendr

mayor nmero de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo:

En el diagrama de la figura anterior, todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un nico origen,

esto hace que la aplicacin sea inyectiva.

El elemento d de Y, no tiene ningn origen por lo que esta aplicacin no es sobreyectiva.

Ejemplo:

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:


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Sobre el conjunto de caras pintadas:

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicacin,

como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicacin es inyectiva, y

como la cara pintada de amarillo, no tiene ningn pincel de este color, la aplicacin no es sobreyectiva.

Aplicacin no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicacin no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o ms orgenes y una

sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto

es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicacin el conjunto X ha de tener mayor nmero de elementos que Y, la cardinalidad de X ha

de ser mayor que la de Y.

Ejemplo:

En el diagrama de la figura, el elemento c de Y, tiene dos orgenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicacin

no es inyectiva.

Todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicacin sea sobreyectiva.

Ejemplo:


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En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos

pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su

color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicacin, la cara azul tiene dos pinceles de

su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la

aplicacin es sobreyectiva.

Aplicacin inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicacin es inyectiva y sobreyectiva simultneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva

los elementos que tienen origen tienen un nico origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del

conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las

aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, ser la

interseccin de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo nmero de elementos, la

cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar

dos conjuntos:

Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicacin biyectiva entre ellos, podemos

afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo nmero de elementos. La cardinalidad de X es

igual a la de Y.


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Ejemplo:

En el diagrama de la figura anterior, todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un nico origen,

esto hace que la aplicacin sea inyectiva.

Todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicacin sea sobreyectiva.

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los nmeros naturales:

Por conjunto final el de los nmeros naturales pares:

Podemos ver que la relacin:

Por el que a cada nmero natural x de X, le asociamos un nmero par 2x de Y, se cumple:

1. f: es una aplicacin, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un nico valor 2x

de Y.

2. Esta aplicacin es inyectiva dado que a cada nmero par 2x de Y le corresponde un nico valor x

de X.

3. Es sobreyectiva porque todos los nmeros pares tienen un origen.

Esto nos permite afirmar que hay el mismo nmero de nmeros naturales que de nmeros naturales

pares, se da la paradoja de que los nmeros naturales pares en un subconjunto propio de los nmeros

naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Ejemplo:

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:


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El de caras como conjunto final:

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicacin porque todos

los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicacin es inyectiva porque un

pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su

color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultneamente esta aplicacin es biyectiva.

Una aplicacin biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final

uno a uno, pudindose decir que hay el mismo nmero de elementos en el conjunto inicial que en el

final.

Aplicacin no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicacin no inyectiva tendr al menos un elemento imagen que tenga dos o ms orgenes y una no

sobreyectiva tendr al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de

aplicaciones no tiene un nombre especfico y quiz sean las que presenten, desde el punto de vista

matemtico, un menor inters.

Para esta aplicacin los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningn supuesto

sobre su cardinalidad, partiendo de su comparacin, ni sobre su nmero de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto

es las que no pertenecen a la unin de A y B.

Ejemplo:

En el diagrama de la figura:

El elemento b de Y, tiene dos orgenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicacin no sea inyectiva.

El elemento a de Y, no tiene ningn origen por lo que esta aplicacin no es sobreyectiva.

El elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma

biyectiva y no se utiliza en ningn momento la sobreyectiva por medidas de aseguracin la

funcin se emplea de forma rotativa y no se representa en las grficas.


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Ejemplo:

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

El de caras como conjunto final:

Vemos que todos los pinceles tienen una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta

correspondencia es una aplicacin matemtica.

Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicacin no es inyectiva, y como la cara amarilla no

tiene ningn pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicacin es no inyectiva y no

sobreyectiva.

Resumen:

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva


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Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

2.3. Igualdad de funciones

Se dice que dos funciones son iguales si:

a) Tienen el mismo dominio.

b) Tienen el mismo contra dominio.

a) Tienen la misma regla de correspondencia. Dos funciones son iguales cuando, para los mismos valores de x, las funciones (las y) tambin valen lo mismo. En trminos matemticos, podra decirse que la igualdad de funciones existe cuando las funciones son equivalentes entre si, por ejemplo: f(x)=5(x+3) es equivalente a g(x)=15+5x. 2.4. Clasificacin de funciones segn su expresin Tipos de funciones

Dependiendo de ciertas caractersticas que tome la expresin algebraica o notacin de la funcin f en x, tendremos distintos tipos de funciones: Funcin constante

Una funcin de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una funcin constante. Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los nmeros reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La grfica de abajo muestra que es una recta horizontal.


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Funcin lineal

Una funcin de la forma f(x) = mx + b se conoce como una funcin lineal, donde m representa la

pendiente y b representa el intercepto en y.

La representacin grfica de una funcin lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones poli

nmicas.

Ejemplo:

f(x) = 2x 1

Es una funcin lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, 1).

Su grfica es una recta ascendente:

f(x) = 2x 1

En general, una funcin lineal es de la forma:


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f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es lo mismo que la m anterior (corresponde a la pendiente).

Funcin cuadrtica

Una funcin de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se

conoce como una funcin cuadrtica.

La representacin grfica de una funcin cuadrtica es una parbola.

Una parbola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vrtice de una parbola se

determina por la frmula:

Las funciones cuadrticas son funciones poli nmicas.

Ejemplo:

f(x) = x2 representa una parbola que abre

hacia arriba con vrtice en (0,0).


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Funcin racional

Una funcin racional es el cociente de dos funciones poli nmicas, as es que q es una funcin racional si

para todo x en el dominio, se tiene:

Para los polinomios f(x) y g(x).

Ejemplos:

Nota: el dominio de una funcin poli nmica son los nmeros reales, sin embargo el dominio de una

funcin racional consiste de todos los nmeros reales excepto los ceros del polinomio en el

denominador (ya que la divisin por cero no est definida).

Funcin de potencia

Una funcin de potencia es toda funcin de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier nmero real.

Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia

Funcin trigonomtrica

En el caso de estas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes es importante mencionar

que cada funcin tiene una grfica especfica.

En el caso especfico del seno y coseno, su dominio es (-,) y su imagen *-1, 1].

Veamos en las grficas:


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Funcin exponencial

Se les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = ax, donde la base a es una

constante positiva. Su dominio es (-,) y su imagen (0, ).

Es importante mencionar que si la base de la funcin exponencial es mayor a 1, la grfica ser

descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la grfica ser descendente (pero en el cuadrante

contrario).

Funcin logartmica

Son funciones que tienen la forma f(x) = logax, donde la base a es una constante positiva; es importante

mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ) y su

imagen (- , ).

Veamos ejemplos:


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Como podemos observar en las dos grficas anteriores, a medida que la base del logaritmo es mayor, la

grfica de ste se apega ms al eje Y.

Funcin trascendente

En realidad esta clasificacin engloba a todas aquellas funciones que no son algebraicas (esto es, las que

involucran adicin, sustraccin, divisin y multiplicacin de variables).

Las funciones trascendentes son las trigonomtricas, logartmicas, exponenciales, y trigonomtricas

inversas, entre otras

2.5. Formulacin de Funciones como modelos matemticos de problemas fsicos y geomtricos

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2 est incluido en el recorrido de la

1, se puede definir una nueva funcin que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1


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(g o f) (1) = 6 1 + 1 = 7

Dominio

D(g o f) = {x Df / f(x) Dg}

Propiedades

Asociativa:

f o (g o h) = (f o g) o h

No es conmutativa.

f o g g o f

El elemento neutro es la funcin identidad, i(x) = x.

f o i = i o f = f

Sean las funciones:


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Se llama funcin inversa o reciproca de f a otra funcin f1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f1(b) = a.

Podemos observar que:

El dominio de f1 es el recorrido de f.

El recorrido de f1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una funcin tenemos que hallar el dominio de su funcin inversa.

Si dos funciones son inversas su composicin es la funcin identidad.

f o f -1 = f -1 o f = x


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Las grficas de f y f -1 son simtricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la funcin inversa, f1(x), y la inversa de una funcin,

Clculo de la funcin inversa

1. Se escribe la ecuacin de la funcin con x e y.

2. Se despeja la variable x en funcin de la variable y.

3. Se intercambian las variables.

Calcular la funcin inversa de:


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Vamos a comprobar el resultado para x = 2

En este tema para realizar el estudio de una funcin analizaremos los siguientes puntos:

Crecimiento y decrecimiento.

Cotas.

Mximos y mnimos absolutos y relativos.

Simetra.

Periodicidad.

En otro tema veremos estos puntos bajo otra ptica y otros puntos como:

Puntos de corte con los ejes.

Asntotas.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Extremos relativos o locales.

Puntos de inflexin.


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Concavidad y convexidad.

Tasa de variacin

El incremento de una funcin se llama tasa de variacin, y mide el cambio de la funcin al pasar de un

punto a otro. t.v.= f(x+h) - f(x)

Funcin estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la

entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es positiva.


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Funcin creciente

f es creciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se

cumple:

La tasa de variacin es positiva o igual a cero.

Funcin estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca

al entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es negativa.


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Funcin decreciente

f es decreciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca al entorno de a

se cumple:

La tasa de variacin es negativa o igual a cero.

Funcin acotada superiormente

Una funcin f est acotada superiormente si existe un nmero real k tal que para toda x es f(x) k.

El nmero k se llama cota superior.

k=0.135


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Funcin acotada inferiormente

Una funcin f est acotada inferiormente si existe un nmero real k tal que para toda x es f(x) k.

El nmero k se llama cota inferior.

k = 2

Funcin acotada

Una funcin esta acotada si lo est a superior e inferiormente.

k f(x) k

k = k = -

Mximo absoluto

Una funcin tiene su mximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro

punto del dominio de la funcin.


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Mnimo absoluto

Una funcin tiene su mnimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro

punto del dominio de la funcin.

b = 0

Mximo y mnimo relativo

Una funcin f tiene un mximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos prximos al

punto a.

Una funcin f tiene un mnimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos prximos al

punto b.

a = 3.08 b = -3.08

Clculo de mximos y mnimos relativos

Simetra respecto del eje de ordenadas. Funcin par.

Una funcin f es simtrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:

f(x) = f(x)


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Las funciones simtricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetra respecto al origen: funcin impar.

Una funcin f es simtrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica: f(x) = f(x)

Las funciones simtricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.


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Una funcin f(x) es peridica, de perodo T, si para todo nmero entero z, se verifica:

f(x) = f(x + zT)

La funcin f(x) = sen x es peridica de periodo 2, ya que cumple que:

sen (x + 2) = sen x

La funcin f(x) = tg x es peridica de periodo , ya que cumple que:

tg (x + ) = tg x

La funcin mantisa, f(x) = x - E(x), es peridica de periodo 1.

Si tenemos una funcin peridica f(x) de periodo T, la funcin g(x) = f(kx) tiene de periodo:


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Hallar el periodo de las funciones:

1f(x) = sen 2x

2f(x) = tg (1/2)x

3f(x) = E (1/2)x

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