material 4 - 17 de junio 2010

8/8/2019 Material 4 - 17 de Junio 2010

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ndice General

Captulo 1. Conceptos y teoremas bsicos 11. Angulos entre paralelas. 12. Angulos en circunferencias 33. El Teorema de Tales 94. Tringulos semejantes 115. Cuadrilteros cclicos. 186. El Teorema de Pitgoras 247. Potencia de un punto 288. Area de tringulos y cuadrilteros 37

Captulo 2. Puntos notables en el tringulo 431. Las medianas y el gravicentro 432. Las bisectrices y el incentro 473. Las alturas y el ortocentro 534. Las mediatrices y el circuncentro 565. Circunferencias exinscritas 596. Simedianas 63

Captulo 3. Teoremas selectos 691. Teorema de Ptolomeo 692. Teorema de Carnot 713. Teorema de Ceva y de Menelao 724. Lnea de Euler 745. Circunferencia de los nueve puntos 756. Lnea de Simson 767. Teorema de Desargues y Teorema de Pappus 77

Captulo 4. Algunas estrategias en Geometra 791. Prolongar segmentos 792. Trazar perpendiculares 833. Trazar paralelas 844. Trazar tangentes y cuerdas comunes 865. Construir un ngulo 896. Re ejar puntos 907. Construir tringulos equilteros 918. Ir hacia atrs 919. Usando a Ceva y Menelao 92

i


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ii NDICE GENERAL

10. El punto falso (falsa posicin) 9211. Problemas miscelneos 92

Bibliografa 95


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CAPTULO 1

Conceptos y teoremas bsicos

1. Angulos entre paralelas.Consideremos lneas que se hallan en un mismo plano y que no se intersectanpor ms que se prolonguen. A este tipo de lneas las llamaremoslneas paralelas . Si una lnea corta a un par de paralelas (l y m ) entonces formangulos con stas, los cuales mantienen la siguiente relacin:] 1 = ] 2 y se llaman ngulosopuestos por el vrtice,] 1 = ] 3 y se llaman ngulosalternos internos,] 1 = ] 4 y se llaman nguloscorrespondientes,] 2 = ] 4 y se llaman ngulosalternos externos,

l

m1

2

34 5

adems, tambin tenemos que] 4 + ] 5 = 180 y se dice que] 4 y ] 5son suplementarios . Aprovechando todo esto podemos probar el siguienteteorema:

Teorema 1. La suma de los ngulos internos de un tringulo es 180.l

C B

A

Demostracin. Sea l una lnea paralela aBC , la demostracin esevidente al observar la gura anterior, ya que] + ] + ] = 180 .

1


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2 1. CONCEPTOS Y TEOREMAS BSICOS

1.1. Ejercicios.

Ejercicio 1. Encuentra cunto vale el ngulo exterior en la siguiente gura si son conocidos los ngulos y :

A

B C

Ejercicio 2. Encuentra cunto vale la suma de los ngulos internos de un polgono convexo 1 de n vrtices.

Ejercicio 3. Encuentra cunto vale el ngulo x en la siguiente gura.

140

140

140

x

Ejercicio 4. Calcula la suma de los ngulos internos en los vrtices A,B , C , D y E .

1 Una gura se dice que es convexa, si para cualesquiera dos puntos en ella, el segmentoque los une est totalmente contenido en la gura.


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2. ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS 3

A

D

C

B

E

2. Angulos en circunferenciasExisten distintos tipos de ngulos en las circunferencias, los cuales podemoscalcular en funcin de los arcos que intersectan. La manera en que se cal-culan depende de si el vrtice del ngulo se encuentra dentro, sobre, fuerade la circunferencia. Veamos cada uno de ellos y la manera de calcularlos:

Definicin 1. Un ngulo central es el que tiene su vrtice en el centrode un crculo y su valor es igual al arco que intersecta medido en radianes,es decir =

_

AB 2 .

O

A

B

Definicin 2. Un ngulo inscrito es el que tiene su vrtice sobre la circunferencia y su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir =

_AB

2 .

2 Con_

XY denotamos al arco de la circunferencia entre los puntosX y Y .


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A

B

C

Definicin 3. Un ngulo semi-inscrito es el que tiene su vrtice sobre la circunferencia y est formado por una lnea tangente y una secante. Su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir =

_AB

2 . A

B

Teorema 2. El valor de un ngulo inscrito es igual a la mitad del n-gulo central que intersecta el mismo arco.

Demostracin. Probaremos esto para el caso cuando uno de los ladosdel ngulo coincide con un dimetro:

O

A

B

C

En la gura anterior seaCB un dimetro, sean] ACB = (ngulo inscrito)y ] AOB = (ngulo central). Debemos probar que =

2. Observemos

que tanto OA comoOC son radios de la circunferencia, entonces el tringulo] AOC es issceles, esto es] ACO = ] CAO = . Utilizando el resultadodel ejercicio 1 de la seccin 1, tenemos que] AOB = ] ACO + ] CAO = + = , por lo tanto = 2 .

Ahora faltara demostrar lo anterior para las siguientes guras, lo cual ellector puede probar fcilmente utilizando el caso que hemos probado.


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O

A

B

C

O

A

B

C

Teorema 3. La magnitud del ngulo entre dos lneas que se cortan den-tro de un crculo es igual a la semisuma de los arcos que cortan dichas lneas.Es decir

=

_

AB +_

CD2

.

A

C B

D

P

Demostracin. Se traza el segmentoCB formndose as el tringulo4 P CB . Como = + tenemos

=

_

AB2

+

_

CD2

=

_

AB +_

CD2

.

Teorema 4. La magnitud del ngulo entre dos lneas que se cortan fuera de un crculo es igual a la semidiferencia de los arcos que cortan dichas lneas. Es decir

=

_

AB _

CD2

.

A

B

P

C

D


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Demostracin. Se traza el segmentoDB , formndose as el tringulo4 P DB . Como = + , tenemos que = , entonces

=

_

AB2

_

CD2

=

_

AB _

CD2

.

Ejemplo 1. Las circunferencias C 1 y C 2 se intersectan en los puntos A y B . Se traza una recta l que corta a C 1 en C y D , y a C 2 en M y N ,de tal manera que A y B quedan en distintos lados de l. Demuestra que ] CAN + ] MBD = 180 .

Solucin 1. Trazamos la cuerda AB. Tenemos que ] ABD = ] ACD = y ] ABM = ] ANM = , adems, en el tringulo 4 ACN si hacemos ] CAN = , tenemos que + + = 180 = ] CAN + ] MBD.

C 1

C 2

A

B

C DN M

Ejemplo 2. Sea ABCD un cuadriltero cclico tal que las lneas AB y DC se intersectan en un punto Q y las lneas DA y CB se intersectan en

un punto P . Demuestra que las bisectrices 3

de los ngulos ] DP C y ] AQDson perpendiculares.

Solucin 2. Sea H el punto de interseccin de las dos bisectrices men-cionadas. Sean Y y X los puntos donde la bisectriz del ] AQD intersecta a la circunferencia y sean E y F los puntos donde esta bisectriz intersecta a los lados AB y BC . Probar que ] P HQ = 90 es equivalente a probar que el tringulo 4 P EF es issceles. Para probar esto utilizaremos una tcnica que resulta muy til al resolver problemas y a la cual denominaremos ir haciaatrs. La idea es suponer vlido el resultado que queremos demostrar e ir observando que otros resultados tambin seran vlidos. Se hace esto hasta que lleguemos a un resultado el cual sea fcil de demostrar o sea conocido

por nosotros de alguna manera. Una vez hecho esto tratamos de regresarnos siguiendo los pasos en orden inverso. Aplicando esta tcnica al problema tenemos lo siguiente:

4 P EF issceles =

] P EF = ] P F E =

_

DY +_

AB +_

BX =_

Y A +_

AB +_

XC =

_

DY +_

BX =_

Y A +_

XC =

_

DY _

XC =_

Y A _

BX. Esto ltimo3 La bisectriz de un ngulo divide a ste en dos ngulos de la misma medida.


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es cierto debido a que QY es la bisectriz del ngulo ] AQD . El regreso se lleva a cabo sin di cultad alguna en este caso.

A

D

B

C

P

Q

Y X

H E

F

2.1. Ejercicios.Ejercicio 5. Demuestra que dos lneas paralelas cualesquiera que in-

tersectan una circunferencia, cortan arcos iguales entre ellas.Ejercicio 6. Demuestra que el valor de un ngulo semi-inscrito es igual

al valor de un angulo inscrito que intersecte el mismo arco.Ejercicio 7. Demuestra que el radio trazado hacia el punto de tangen-

cia es perpendicular a la tangente.Ejercicio 8. Una circunferencia ha sido dividida arbitrariamente en

cuatro partes, y los puntos medios de los arcos obtenidos se han unido con segmentos de rectas. Demuestra que entre estos segmentos dos sern per-pendiculares entre s.

Ejercicio 9. En la siguiente gura P A y P B son tangentes a la cir-cunferencia. Demuestra que P A = P B .

B

A

P

Ejercicio 10. Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto A. BC es una tangente comn externa. Demuestra que ] BAC = 90 .


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Ejercicio 11. A una circunferencia se le han trazado dos lneas tan-gentes paralelas las cuales la tocan en los puntos M y N . Se traza una tercer tangente la cual corta a las tangentes anteriores en los puntos K y L . Sea O el centro de la circunferencia. Demuestra que ] KOL = 90 .

Ejercicio 12. Uno de los lados de un tringulo inscrito en una cir-cunferencia coincide con un dimetro. Demuestra que el tringulo es un tringulo rectngulo.

Ejercicio 13. Demuestra que la razn entre la longitud del lado de un tringulo y el seno del ngulo opuesto es igual al dimetro de la circunfer-encia circunscrita al tringulo. 4

Ejercicio 14. Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y Bcomo se muestra en la gura. Se escoge un punto arbitrario C en la primer circunferencia y se trazan los rayos CA y CB , los cuales intersectan la segunda circunferencia de nuevo en los puntos D y E , respectivamente. De-muestra que la longitud del segmento DE no depende de la eleccin del puntoC.

A B

C

E D

Ejercicio 15. Dos circunferencias de centros O 1 y O 2 se intersectan en los puntos A y B , como se muestra en la gura. La lnea CD es tangente a ambas circunferencias. Demuestra que

] CAD =12

] O1 AO 2 .

4 Con sto hemos probado que aSenA =b

SenB= c

SenC = 2 R , la cual es conocida como

la Ley de los Senos .


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3. EL TEOREMA DE TALES 9

O 1

O 2

A

B

DC

3. El Teorema de TalesTeorema 5. Si una lnea transversal corta a tres paralelas y los segmen-

tos que quedan entre stas se dividen en la razn m : n , entonces cualquier otra transversal que corte a estas paralelas tambin quedar dividida en la razn m : n .

Por ejemplo, seanp, q , r , tres rectas paralelas. Si una lneal corta a lasrectas en los puntosA, B y C , de manera tal queAB : BC = 2 : 1, y otralnea t corta a las rectas paralelas enD , E y F , tambin tendremos queDE : EF = 2 : 1.

p

q

r

t l

E B

A D

F C

Tambin el recproco del teorema de Tales es aplicado a tringulos parademostrar segmentos paralelos. Por ejemplo, si en el tringulo4 ABC M y N son los puntos medios de los ladosAB y AC , tenemos queAM : NB =AN : NC = 1 : 1, y por el teorema de Tales decimos queMN es paralelo aBC .

Ejemplo 3. Sean F , G , H e I los puntos medios de los lados AB , BC ,CD y DA , respectivamente. Demuestra que el cuadriltero FGHI es un paralelogramo.

Solucin 3. Tracemos la diagonal BD . Como F e I son los puntos medios de AB y AD respectivamente, tenemos que F I es paralelo a BD ;tambin, como G y H son los puntos medios de BC y CD , entonces GH es paralelo a BD , de aqu tenemos que F I es paralelo a GH . Anlogamente


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podemos demostrar que F G es paralelo a IH . Como el cuadriltero FGHI tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos, entonces es un paralelogramo.

A

BC

D I

H

G

F

3.1. Ejercicios.Ejercicio 16. En la siguiente gura los segmentos a , b, c y d son pa-

ralelos y dividen al lado BC en 4 segmentos iguales. Si a = 10 , encuentra la suma a + b + c + d.

a

b

cd

A

BC

Ejercicio 17. Sea ABCD un paralelogramo en el que L y M son pun-tos medios de AB y CD , respectivamente. Demuestra que los segmentos LC y AM dividen la diagonal BD en tres segmentos iguales.

Ejercicio 18. En la siguiente gura, BE y AD son alturas del 4 ABC .F , G y K son puntos medios de AH , AB , y BC , respectivamente. Demues-tra que ] F GK es un ngulo recto.

A

B C D

E

H

K

G

F


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4. TRINGULOS SEMEJANTES 11

Ejercicio 19. Demuestra que las diagonales en un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Ejercicio 20. Sea AM la mediana trazada hacia el lado BC de un tringulo 4 ABC . Prolongamos AM ms all del punto M y tomamos un punto N de tal manera que AN es el doble de AM . Demuestra que el cuadriltero ABNC es un paralelogramo.

Ejercicio 21. Demuestra que el segmento de lnea, que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadriltero, bisecta el segmento de lnea que une los puntos medios de las diagonales.

Ejercicio 22. En un paralelogramo ABCD se escogen los puntos E y F sobre la diagonal AC de manera que AE = F C . Si BE se extiende hasta intersectar AD en H , y BF se extiende hasta intersectar DC en G ,

Demuestra que HG es paralelo a AC .Ejercicio 23. AM es la mediana hacia el lado BC de un tringulo

4 ABC . Se toma un punto P sobre AM . BP se extiende hasta intersectar AC en E , y CP se extiende hasta intersectar AB en D . Demuestra que DE es paralelo a BC .

Ejercicio 24. Sobre los lados AB y AC de un tringulo 4 ABC se construyen hacia afuera los cuadrados ABNM y CAPQ . Sea D el puntomedio del lado BC . Demuestra que P M = 2 AD .

4. Tringulos semejantesDefinicin 4. Se dice que dos tringulos son semejantes si tienen la

misma forma (aunque no necesariamente el mismo tamao), es decir, si tienen sus tres ngulos iguales.

Por ejemplo, los tringulos4 ABC y 4 A0B 0C 0 son semejantes:

B' C'

A'

C B

A

60

8040 4080

60

Si nosotros movemos el tringulo4 ABC hasta que el vrticeA concidacon el vrticeA0, y adems lo hacemos de tal manera que el ladoAB quedeexactamente encima del ladoA0B 0, tendremos la siguiente gura:


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A, A'

B C

C' B'

60

80

40

40

80

Aqu podemos observar que los ladosBC y B 0C 0 son paralelos, y de manerainversa, si nosotros trazamos una lnea paralela a uno de los lados de untringulo de manera que sta corte a los dos lados restantes, entonces esta

lnea paralela cortar un tringulo semejante al tringulo original. A

B C

M N

Utilizando lo anterior y el teorema de Tales, tenemos las siguiente propor-cin:

BM MA

=CN NA

,

sumando1 en ambos lados tenemos

BM MA

+ 1 =CN NA

+ 1 =

BM + MAMA

=CN + NA

NA=

ABAM

=AC AN

,

adems, si trazamos una paralela aAB la cual pase por el puntoN , ten-dremos el paralelogramo5 MNPB :

5 Un paralelogramo es un cuadriltero en el que cada par de lados opuestos son par-alelos y de la misma longitud.


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A

B C

M N

P

utilizando nuevamente el teorema de Tales tenemos queCP P B

=CN NA

.

Nuevamente sumamos 1 en ambos lados y obtenemos queCBP B

=CANA

,

pero comoP B = NM tenemos queBC MN

=AC AN

.

Juntando los resultados anteriores tenemos queABAM

=BC MN

=AC AN

,

es decir, si dos tringulos son semejantes entonces sus lados son propor-cionales.Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4. Tenemos dos tringulos semejantes 4 ABC y 4 MNP. Sabe-mos que sus lados son iguales a los valores marcados en la siguiente gura,encuentra cunto vale x .

8

4 x

3

4

2

M

N P

BC

A

Solucin 4. Como tenemos que los lados de ambos tringulos son pro-porcionales, entonces:

x3

=84

con esto llegamos a que el valor de x es 6.


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Tenemos que el tringulo 4 BCZ es semejante al tringulo 4 BXA, de aqu obtenemos

CZ AX = BZ AB .

De manera anloga, de la semejanza entre los tringulos 4 ACZ y 4 AY B ,tenemos que

CZ BY

=AZ AB

.

Sumando estas dos expresiones que hemos obtenido tenemos que CZ AX

+CZ BY

=BZ AB

+AZ AB

=AZ + ZB

AB=

ABAB

= 1 .

Ejemplo 7. Dado un tringulo 4 ABC, sea l una lnea que pasa por el

vrtice A la cual divide el ngulo ] BAC en dos partes iguales. Sean P y Qlas proyecciones desde B y C sobre l, y sea D un punto sobre la lnea BC de tal manera que DA es perpendicular a l. Demuestra que AD , BQ y CP concurren.

Solucin 7. Sea S el punto donde la lnea BQ intersecta a AD . ComoAD, CQ y BP son paralelas, tenemos que

SQSB

=AQAP

.

Adems, como los tringulos 4 ABP y 4 ACQ son semejantes, tenemos que QC

BP =

AQ

AP ,

de aqu obtenemos que los tringulos 4 SQC y 4 SBP son semejantes y comparten el vrtice S , por lo tanto, P , C y S son colineales.

A

B C

Q

P

D

S

4.1. Ejercicios.Ejercicio 25. Demuestra que la recta que une los puntos medios de

los lados paralelos de un trapecio pasa por el punto de interseccin de las diagonales.


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Ejercicio 26. En un tringulo 4 ABC , sobre el lado BC se toma un punto D de tal manera que ] BAD = ] ACB. Demuestra que AB 2 = BD BC.

Ejercicio 27. En un tringulo 4 ABC , la altura CE es extendida hasta G de tal manera que EG = AF , donde AF es la altura trazada hacia BC .Una lnea a travs de G y paralela a AB intersecta CB en H . Demuestra que HB = AB .

A

B C F

E

G

H

Ejercicio 28. En un trapecio ABCD ( AB paralelo a DC ) sea AB = ay DC = b. Sean M , N , P y Q los puntos medios de AD , BD , AC y BC repectivamente. Demuestra que a) MQ = a + b2b) NP = |a b |2

Ejercicio 29. En un trapecio ABCD ( AB paralelo a DC ) sea AB = ay DC = b. Sabemos que ] ADC + ] BCD = 90 . Sean M , y N los puntos medios de AB y DC. Demuestra que

MN =b

a

2 .

Ejercicio 30. En un trapecio ABCD ( AB paralelo a DC ), las diag-onales se intersectan en P , AM es una mediana del tringulo 4 ADC , la cual intersecta BD en E . A travs de E , se traza una lnea paralela a DC la cual corta a AD , AC y BC en los puntos H , F y G , respectivamente.Demuestra que HE = EF = F G .

A

C D

H

B

M

G E F

P

Ejercicio 31. Demuestra que las rectas que unen los centros de los cuadrados, construidos exteriormente sobre los lados de un paralelogramo, forman tambin un cuadrado.


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Ejercicio 32. Expresa el lado de un decgono regular en funcin del radio de la circunferencia circunscrita a ste.

Ejercicio 33. Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y B .Por el punto A se han trazado los segmentos AC y AD , cada uno de los cuales, siendo cuerda de una circunferencia, es tangente a la segunda cir-cunferencia. Demuestra que AC 2 BD = AD 2 DC .

Ejercicio 34. Sea M el punto medio de la base AC de un tringuloissceles 4 ABC . H es un punto en BC tal que MH es perpendicular a BC .P es el punto medio del segmento MH . Demuestra que AH es perpendicular a BP .

Ejercicio 35. Se da un tringulo 4 ABC. En la recta que pasa por el vrtice A y es perpendicular al lado BC , se toman dos puntos A1 y A2 de modo que AA 1 = AA 2 = BC ( A1 es ms prximo a la recta BC que A2 ).De manera anloga, en la recta perpendicular a AC , que pasa por B , se toman los puntos B 1 y B 2 de modo que BB 1 = BB 2 = AC . Demuestra que los segmentos A1 B 2 y A2 B 1 son iguales y mutuamente perpendiculares.

Ejercicio 36. Por el punto de interseccin de las diagonales de un cuadriltero ABCD se traza una recta que corta a AB en el punto M y a CD en el punto N . Por M y N se trazan las rectas paralelas a CD y AB ,respectivamente, que cortan a AC y a BD en los puntos E y F . Demuestra que BE es paralelo a CF .

Ejercicio 37. En un cuadriltero ABCD . Sobre las rectas AC y BDse toman los puntos K y M de manera que BK es paralelo a AD y AM es paralelo a BC . Demuestra que KM es paralelo a CD .

Ejercicio 38. Sea E un punto arbitrario sobre el lado AC del tringulo4 ABC . Por el vrtice B tracemos una recta arbitraria l. Por E , se traza una recta paralela a BC la cual corta l en el punto N . Tambin por E , se traza una recta paralela a AB la cual corta l en el punto M . Demuestra que AN es paralelo a CM .

Ejercicio 39. Sea 4 ABC un tringulo equiltero y sea el semicrculoque tiene a BC como dimetro y que es exterior al tringulo. Mostrar que si una lnea que pasa por A trisecta a BC , entonces tambin trisecta al arco .


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5. Cuadrilteros cclicos.Definicin 5. Un cuadriltero que est inscrito en una circunferencia,

es decir, sus cuatro vrtices estn sobre una circunferencia se dice que es un cuadriltero cclico.

Teorema 6. Una condicin necesaria y su ciente para que un cuadril-tero sea cclico es que la suma de dos ngulos opuestos sea igual a 180 .

Demostracin. Para probar esto, primero vamos a suponer que elcuadriltero ABCD es cclico. Tenemos que el] DAB =

_BD

2 y ] BCD =_

DB2 , y como

_

BD +_

DB = 360 (midiendo los ngulos en grados) tenemosque ] DAB + ] BCD = + = 180 .

B

D

A

C

Ahora supongamos que] DAB + ] BCD = + = 180 . Tracemos lacircunferencia circunscrita al tringulo4 DAB y supongamos que sta no

pasa por el vrticeC

. ProlonguemosDC

hasta que intersecte a la cir-cunferencia enC 0. Como el cuadrilteroABC 0D es cclico tenemos que] DAB + ] BC 0D = 180 , esto quiere decir que] BC 0D = ] BCD = yentoncesDC sera paralelo aDC 0, lo cual es una contradiccin ya que lneasparalelas no se intersectan. EntoncesC coincide conC 0 y por lo tanto elcuadriltero ABCD es cclico.

B

D

A

C' C

Ahora vamos a hacer un ejemplo donde utilicemos el teorema anterior:


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5. CUADRILTEROS CCLICOS. 19

Ejemplo 8. Las circunferencias C 1 y C 2 se intersectan en los puntos A y B . Por el punto A se traza una recta que corta a las circunferencias C 1 y C 2 en los puntos C y D , respectivamente. Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se intersectan en el puntoM . Demuestra que el cuadriltero MCBD es cclico.

Solucin 8. Queremos probar que ] CMD + ] DBC = 180 . Trace-mos la cuerda comn AB . Tenemos que ] MCA = ] CBA = ya que unoes ngulo seminscrito y el otro es ngulo inscrito, ambos en la circunferen-cia C 1 . Anlogamente se demuestra que ] MDA = ] DBA = (en C 2 ).Tenemos que + + = 180 , por ser los ngulos internos del tringulo4 MCD , pero como ] CBD = + tenemos que ] CM D + ] DBC = 180 .

C 2

C 1 B

AC

D

M

Ejemplo 9. Sea BC el dimetro de un semicrculo y sea A el puntomedio del semicrculo. Sea M un punto sobre el segmento AC. Sean P y Qlos pies de las perpendiculares desde A y C a la lnea BM , respectivamente.Demuestra que BP = P Q + QC .

Solucin 9. Tomamos el punto D sobre el rayo BP de tal manera que QD = QC , entonces P D = P Q + QD = P Q + QC . Bastar entonces probar que P es el punto medio de BD . Primero, tenemos que Q y M coinciden, entonces ] QDC = ] QCD = 45 , y como O es el punto mediode BC ahora tendremos que demostrar que OP es paralelo a DC . Para esto, bastar demostrar que ] BP O = 45 . Como AO BC y

] AP B = 90 tenemos que APOB es cclico y de aqui que ] BP O = ] BAO = 45 , por lotanto BP = P Q + QC .


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O B C

A

M,Q

P

D

45

45

45

45

Ejemplo 10. Sea 4 ABC un tringulo y sea D el pie de la altura desde A. Sean E y F sobre una lnea que pasa por D de tal manera que AE es perpendicular a BE , AF es perpendicular a CF , E y F son diferentes de D .Sean M y N los puntos medios de BC y EF , respectivamente. Demuestra

que AN es perpendicular a NM .

CB

A

MD

E

F

N

Solucin 10. Tenemos que E est sobre la circunferencia circunscrita al tringulo 4 ABD y F est sobre la circunferencia circunscrita al tringulo4 ADC , entonces los cuadrilteros ABDE y ADCF son cclicos. De loanterior tenemos que ] ABD = ] AEF = y ] ACD = ] AF E = locual implica que 4 ABC

4 AEF. Tanto M como N son puntos medios

de los lados correspondientes BC y EF , respectivamente, y esto implica que ] AMB = ] ANE = ] AND = , es decir, el cuadriltero ADMN es cclicoy por lo tanto ] ANM = 90 .

Ejemplo 11. Dos circunferencias de centros O1 y O2 se intersectan en los puntos A y B como se muestra en la gura. Por A se traza una recta l que intersecta de nuevo a las circunferencias en los puntos M y N . Por M y N se trazan las lneas tangentes respectivas y stas se intersectan en el punto P . La paralela a P N por O 2 y la paralela a P M por O1 se intersectan en Q . Demuestra que las rectas P Q, al variar la recta l, pasan por un punto jo y que la longitud del segmento P Q es constante.


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Solucin 11. Como vimos en el ejemplo 8, el cuadriltero BMPN es cclico. Entonces ] BP N = ] BM N = . Por otro lado, tenemos que ] BO 1 O 2 = ] BM N y ] BO 2 O1 = ] BN M , lo cual implica que ] O1 BO 2 =] MBN Con esto hemos probado que el cuadriltero BO 1 QO 2 es cclico.De aqu obtenemos que ] BQO 2 = ] BO 1 O2 = ] BM N = , lo cual im-plica que B , Q y P estn alineados. De no ser as, tendramos que BP intersectara a la lnea QO 2 en un punto Q 0 distinto de Q, pero entonces tambin tendramos que ] BQ 0O2 = ] BP N = ] BQO 2 = , lo que a su vez implicara que los puntos B , O1 , Q , Q 0 y O 2 son concclicos. Esto es una contradiccin, por lo tanto, B , Q y P estn alineados.Para la segunda parte consideramos la proyeccin de Q sobre P N y la lla-mamos T . Sabemos que el ngulo ] BM A = no depende de la eleccin de la recta l, entonces, como la longitud del segmento QT es igual al radiode la circunferencia de centro O 2 y ] QP T = , tenemos que los tringulos

4 QP T siempre son congruentes. Por lo tanto, la longitud del segmento P Qno depende de la eleccin de la lnea l.

O 2

O 1

A

B

M N

P

Q

T

5.1. Ejercicios.

Ejercicio

40.

En la siguiente

gura estn trazadas las bisectrices 6

de los ngulos interiores del cuadriltero ABCD , las cuales se intersectan en los puntos E , F , G y H , como se muestra en la gura. Demuestra que el cuadriltero EFGH es cclico.

6 La bisectriz de un ngulo es la lnea que pasa por el vrtice y lo divide en dos ngulosiguales.


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A

B C

D

E

F

G

H

Ejercicio 41. En un tringulo 4 ABC sean M , N y P , puntos sobre los lados BC , CA y AB, respectivamente. Se trazan las circunferencias circunscritas a los tringulos 4 APN, 4 BM P y 4 CN M . Demuestra que las tres circunferencias tienen un punto en comn. 7

Ejercicio 42. Por uno de los puntos C del arco _AB de una circunferencia se han trazado dos rectas arbitrarias que cortan la cuerda AB en los puntos D y E y a la circunferencia, en los puntos F y G . Para cul posicin del punto C en el arco

_

AB , al cuadriltero DEGF se le puede circunscribir una circunferencia?

Ejercicio 43. Una lnea P Q , paralela al lado BC de un tringulo4 ABC , corta a AB y a AC en P y Q , respectivamente. La circunferen-cia que pasa por P y es tangente a AC en Q corta de nuevo a AB en R .Demuestra que el cuadriltero RQCB es cclico.

Ejercicio 44. Se toma un punto P en el interior de un rectnguloABCD de tal manera que ] AP D + ] BP C = 180 . Encuentra la suma de los ngulos ] DAP y ] BCP .

Ejercicio 45. Sobre los lados de un cuadriltero convexo hacia el ex-terior estn construidos cuadrados. Las diagonales del cuadriltero son per-pendiculares. Demuestra que los segmentos que unen los centros de los cuadrados opuestos, pasan por el punto de interseccin de las diagonales del cuadriltero.

Ejercicio 46. En un cuadrado ABCD , M es el punto medio de AB .Una lnea perpendicular a MC por M intersecta AD en K . Demuestra que ] BCM = ] KC M .

Ejercicio 47. Sea ABCD un cuadriltero cclico, sea M el punto de interseccin de las diagonales de ABCD , y sean E , F , G y H los pies de las perpendiculares desde M hacia los lados AB , BC , CD y DA , respectiva-mente. Determina el centro de la circunferencia inscrita en el cuadrilteroEFGH .

7 Este resultado es conocido como elteorema de Miquel .


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Ejercicio 48. Sea AB el dimetro de un crculo con centro O . Se toma el punto C sobre la circunferencia de tal manera que OC es perpendicular a AB . Sea P un punto sobre el arco CB . Las lneas CP y AB se intersectan en Q . Se escoge un punto R sobre la lnea AP de tal manera que RQ y ABson perpendiculares. Demuestra que BQ = QR .

Ejercicio 49. Demuestra que si un cuadriltero cclico tiene sus diago-nales perpendiculares, entonces la perpendicular trazada hacia un lado desde el punto de interseccin de las diagonales bisecta el lado opuesto.

Ejercicio 50. Demuestra que si un cuadriltero cclico tiene sus diago-nales perpendiculares, entonces la distancia desde el centro de la circunfer-encia circunscrita hasta un lado es igual a la mitad de la longitud del ladoopuesto.

Ejercicio 51. Sea ABCD un cuadriltero convexo tal que las diago-nales AC y BD son perpendiculares, y sea P su interseccin. Demuestra que las re exiones de P con respecto a AB , BC , CD y DA son concclicos.

Ejercicio 52. Est dada la circunferencia . Desde un punto exterior P se trazan dos lneas tangentes a las cuales la tocan en A y B. Tambin por P se traza una secante l a . Desde el centro de se traza una recta perpendicular a l la cual corta a en el punto K y a l en C (el segmentoBK corta a l). Demuestra que BK bisecta el ngulo ] ABC .

Ejercicio 53. La cuerda CD de un crculo de centro O es perpendicular a su dimetro AB . La cuerda AE bisecta el radio OC . Demuestra que la cuerda DE bisecta la cuerda BC .

Ejercicio 54. Est dados una circunferencia C 1 y un punto P exterior a sta. Desde P se trazan las tangentes a C 1 las cuales la intersectan en los puntos A y B . Tambin desde P se traza la secante l la cual intersecta a C 1en los puntos C y D . Por A se traza una lnea paralela a l la cual intersecta a C 1 , adems de en A, en un punto E . Demuestra que EB bisecta la cuerda CD .

Ejercicio 55. Desde un punto sobre la circunferencia circunscrita a un tringulo equiltero 4 ABC estn trazadas rectas paralelas a BC , CA y AB ,las cuales cortan CA , AB y BC en los puntos M , N y Q , respectivamente.Demuestra que M , N y Q estn alineados.

Ejercicio 56. El 4 ABC tiene inscrita una circunferencia, cuyo di-metro pasa por el punto de tangencia con el lado BC y corta la cuerda que une los otros dos puntos de tangencia en el punto N . Demuestra que AN parte BC por la mitad.

Ejercicio 57. Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y B .Una recta arbitraria pasa por B y corta por segunda vez la primera circunferencia en el punto C y a la segunda, en el punto D . Las tangentes a la primera circunferencia en C y a la segunda en D se cortan en el punto M .


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Por el punto de interseccin de AM y CD pasa una recta paralela a CM ,que corta AC en el punto K . Demuestra que KB es tangente a la segunda circunferencia.

Ejercicio 58. Sean B y C dos puntos de una circunferencia, AB y AC las tangentes desde A. Sea Q un punto del segmento AC y P la interseccin de BQ con la circunferencia. La paralela a AB por Q corta a BC en J .Demuestra que P J es paralelo a AC si y slo si BC 2 = AC QC.

6. El Teorema de PitgorasAntes de enunciar elTeorema de Pitgoras vamos a analizar un tringulorectngulo el cual tiene trazada la altura hacia la hipotenusa.

B C

A

D

Sea 4 ABC el tringulo mencionado el cual tiene trazada la alturaADy con ngulo recto enA. Sean ] ABC = y ] ACB = . Tenemos que + = 90 , entonces tambin] DAC = y ] BAD = . As de sta manerahemos obtenido dos tringulo semejantes al4 ABC , es decir, 4 BAD y4 DAC son semejantes al tringulo4 ABC . De la semejanza entre4 BADy 4 DAC obtenemos:

BDAD

=ADDC

de aqu obtenemos queAD 2 = BD DC,

y se dice queAD es lamedia geomtrica o media proporcional de BD y DC .Adems, de manera anloga podemos obtener tambin que

AB 2 = BD BC (1)(de la semejanza de los tringulos4 BAD y 4 ABC ) y que

AC 2 = DC BC (2)(de la semejanza de los tringulos4 DAC y 4 ABC ).Sumando (1) y (2) tenemos que

AB 2 + AC 2 = BD BC + DC BC,

esto es


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Ejemplo 12. En el tringulo 4 ABC, sean BC = a , CA = b, AB = cy ] ABC = . Demuestra que b2 = a 2 + c2 2acCos .

hb

c

x a-x

A

C B D

Solucin 12. Sea AD = h la altura trazada hacia el lado BC y sea BD = x . Tenemos que

h 2 + x 2 = c2

y

h 2 + ( a x )2 = b2

esto implica que

c2 x2 + a 2 + x 2 2ax = c

2 + a 2 2ax = b2

y como x = cCos , tenemos que

b2 = a 2 + c2 2acCos .La frmula anterior es conocida como laLey de los Cosenos.

6.1. Ejercicios.Ejercicio 59. Probar el inverso del teorema de Pitgoras: si a , b y c

son los lados de un tringulo que cumple que a 2 + b2 = c2 , entonces es un tringulo rectngulo.

Ejercicio 60. Sean a , b los catetos de un tringulo rectngulo, c la hipotenusa y h la altura trazada hacia la hipotenusa. Demuestra que el tringulo con lados h , c + h y a + b es un tringulo rectngulo.

Ejercicio 61. Dado un rectngulo A1 A2 A3 A4 y un punto P dentro de ste sabemos que P A 1 = 4 , P A 2 = 3 y P A 3 = 10 . Cul es la longitud de P A 4 ?

Ejercicio 62. En una circunferencia de radio R est trazado un dimetroy sobre ste se toma el punto A a una distancia d de su centro. Hallar el radio de la circunferencia que es tangente al dimetro en el punto A y es tangente interiormente a la circunferencia dada.

Ejercicio 63. K es el punto medio del lado AD del rectngulo ABCD .Hallar el ngulo entre BK y la diagonal AC si sabemos que AD : AB = 2.


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6. EL TEOREMA DE PITGORAS 27

Ejercicio 64. En un tringulo 4 ABC , E es un punto sobre la altura AD . Demuestra que

AC 2

CE 2

= AB2

EB2

.Ejercicio 65. Sean AB y CD dos cuerdas perpendiculares en una cir-

cunferencia de radio R . Demuestra que AC 2 + BD 2 = 4 R 2 .

Ejercicio 66. Un trapecio ABCD , con AB paralelo a CD , tiene sus diagonales AC y BD perpendiculares. Demuestra que

AC 2 + BD 2 = ( AB + DC )2 .

Ejercicio 67. Demuestra que si en un cuadriltero la suma de los cuadra-dos de los lados opuestos son iguales, entonces sus diagonales son perpen-diculares entre si.

Ejercicio 68. En la siguiente gura, ABCD es un cuadrado y el trin-gulo 4 ABP es rectngulo con ngulo recto en P . Demuestra que

MN 2 = AM BN.

D C

A B

P

M N

Ejercicio 69. Sobre un lado de un ngulo recto con vrtice en el puntoO , se toman dos puntos A y B , siendo OA = a y OB = b. Halla el radiode la circunferencia que pasa por los puntos A y B , a la cual es tangente el otro lado del ngulo.


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7. Potencia de un puntoEstn dados un punto jo P y una circunferencia . Consideremos unalnea l que pase porP y las interseccionesA y B de l con . El productoP A P B es llamado lapotencia de P con respecto a la circunferencia yno depende de la lneal que hayamos trazado. La potencia de un puntodado P es positiva, cero, negativa dependiendo de si el punto se encuentrafuera, sobre, dentro de la circunferencia. En los siguientes dos teoremasno nos preocuparemos por el signo de la potencia, slo analizaremos el valorabsoluto de ella.

l l l P A B P, A

B A

B

P

Teorema 9. La potencia de un punto interior a la circunferencia es constante.

C

B

D

A

P

Demostracin. Sean AB y CD dos cuerdas arbitrarias que pasan porel punto P . TracemosCA y BD . Tenemos que] ACD = ] ABD porqueambos son ngulos inscritos que intersectan el mismo arco, anlogamente] CAB = ] CDB , de aqui que el tringulo4 AP C es semejante al tringulo4 DP B de donde se obtiene que

AP

P D=

P C

P B=

AP P B = CP P D

lo cual muestra que la potencia es constante para todas las cuerdas quepasen porP .

Teorema 10. La potencia de un punto exterior a la circunferencia es constante.


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7. POTENCIA DE UN PUNTO 29

P

B

D

A

C

Demostracin. SeanP B y P D dos secantes arbitrarias trazadas desdeel punto P , las cuales intersectan a la circunferencia, adems de enB y D ,en los puntosA y C , como se muestra en la gura. TracemosCA y BD .Tenemos que] ACP = ] ABD = , ya que el cuadrilteroABCD es cclico.Por la misma razn,] CAP = ] BDC = , de aqui que el tringulo4 DP C es semejante al tringulo4 DP B de donde se obtiene que

AP P D

=P C P B

=

AP P B = CP P D

lo cual muestra que la potencia es constante para todas las rectas secantesque pasen porP 8 .

Ejemplo 13. Est dado un ngulo con vrtice O y una circunferencia inscrita en l, la cual toca sus lados en los puntos A y B . Por el punto Ase traza una lnea paralela a OB la cual intersecta a la circunferencia en el punto C . El segmento OC intersecta la circunferencia en el punto E . Las lneas AE y OB se intersectan en el punto K . Demuestra que OK = KB .

Solucin 13. Demostrar que OK = KB es equivalente a demostrar que OK 2 = KB 2 , adems, como KB 2 es la potencia del punto K a la circunferencia tenemos que KB 2 = KE KA (esto se deja como ejercicio).Solo falta calcular OK 2 , y para esto tenemos que ] OAK = ] ACE = ,ya que ambos ngulos intersectan el arco

_

EA ; adems ] EOK = ] ACE,por ser AC y OK paralelos. Tenemos entonces que 4 EOK

4 OAK de donde obtenemos que OK 2 = KE KA y como ya habamos encontrado que KB 2 = KE KA tenemos que OK 2 = KB 2 .

8 Falta demostrar que el valor de la potencia se sigue conservando cuando la rectatrazada desdeP es tangente a la circunferencia, pero sto se deja como ejercicio.


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O

A

B

C

E

K

Ejemplo 14. La circunferencia inscrita en el tringulo ABC es tan-gente a los lados BC , CA y AB es los puntos D , E y F , respectivamente.AD corta la circunferencia en un segundo punto Q . Demuestra que la recta EQ pasa por el punto medio de AF si y slo si AC = BC . (Iberoamericana 1998/2)

Solucin 14. De manera anloga a la solucin del ejemplo anterior,tenemos que M es el punto medio de AF si y slo si ] MAQ = ] AEM.Por otro lado, sabemos que ] EDQ = ] AEM, entonces M ser el puntomedio de AF si y slo si ] MAQ = ] EDQ. Esto es, M es el punto mediode AF si y slo si AC = BC .

A

B C D

E

F

Q M

Definicin 6 (Eje Radical). Dadas dos circunferencias, se de ne el eje radical de stas, como el lugar geomtrico de los puntos para los cuales la potencia hacia las dos circunferencias es igual. Es decir, el eje radical es la lnea formada por todos los puntos que tienen igual potencia con respecto a las dos circunferencias.Es claro que el eje radical es una lnea recta. Consideremos, por ejemplo, elcaso cuando las dos circunferencias se cortan en dos puntos:


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C 1C 2

B

A

P

C

D

Es muy fcil ver que cualquier punto sobre la lnea que pasa porA y B tienela misma potencia con respecto a las dos circunferencias. Slo falta ver que

no existe ningn punto fuera de la recta el cual tenga la misma potenciacon respecto aC 1 y C 2 . Supongamos queP tiene la misma potencia conrespecto aC 1 y C 2 y consideremos la lnea que pasa porP y A. Esta lneaintersecta a C 1 y C 2 por segunda vez enC y D, respectivamente. Tenemosque la potencia deP con respecto aC 1 es P A P C y la potencia deP conrespecto aC 2 es P A P D , pero P C 6= P D , por lo tantoP no pertenece aleje radical.

Adems, si las dos circunferencias son tangentes en un punto entonces el ejeradical es la lnea tangente que pasa por el punto comn:

C 1 C 2

Por otro lado, si las dos circunferencias no se intersectan, podemos probarque el eje radical es la recta que pasa por los puntos medios de las tangentescomunes9 :

C 1 C 2

9 Esto se deja como ejercicio para el lector.


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C 1

C 2

C 4

C 3

P

Q

Ejemplo 15. Una lnea paralela al lado BC de un tringulo 4 ABC corta a AB en F y a AC en E . Probar que las circunferencias que tienen como dimetros a BE y a CF se cortan en un punto que cae en la altura del tringulo 4 ABC bajada desde el vrtice A.

Solucin 15. Denotemos por C 1 y C 2 a las circunferencias de dime-tros BE y CF , respectivamente. Sean M y N los centros de C 1 y C 2 , y sean P y Q los puntos de interseccin de estas circunferencias. Debido a que BE es dimetro de C 1 tenemos que BLE = 90 , de la misma manera tenemos que CK F = 90 , y con esto tenemos que el cuadriltero BKLC es cclico. Como F E es paralelo a BC tenemos que tambin FKLE es cclico.Denotemos la circunferencia circunscrita de FKLE por C 3 . Tenemos que la lnea AC es el eje radical de C 1 y C 3 , adems, la lnea AB es el eje radical de C 2 y C 3 . Estos ejes radicales se intersectan en A, entonces el eje radical de C 1 y C 2 debe pasar por el punto A. Por otro lado, sabemos que la lnea de los centros de dos circunferencias es perpendicular a su eje radical 11 ,entonces P Q es perpendicular a MN y por ende a BC . Con esto tenemos que P y Q estn contenidos en la altura del tringulo 4 ABC trazada hacia el lado BC .

11 Este resultado se deja como ejercicio.


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C 2

C 1

A

B C

E

N M

K

F

Q

P L

H

7.1. Ejercicios.Ejercicio 70. En la siguiente gura estn trazadas una secante y una

tangente que intersectan la circunferencia en los puntos A, B y M . De-muestra que P M 2 = P A P B.

B

P

M

A

Ejercicio 71. En la siguiente gura, desde un vrtice del cuadrado est trazada una tangente, la cual tiene una longitud igual al doble del lado del cuadrado. Encuentra el radio de la circunferencia en funcin del lado del cuadrado.

x

x

2x

Ejercicio 72. En la siguiente gura AB = AD = 5 , BC = 9 y AC = 7 .Encuentra BDDC .


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BS = DQ . Por S se traza una paralela a AB que corta a AC en un puntoT . Demuestra que AT = RC .

Ejercicio 81. Demuestra que si una circunferencia intersecta los lados BC , CA , AB del tringulo 4 ABC en los puntos D , D 0; E , E 0; F , F 0;respectivamente, entonces

AF F B

BDDC

CE EA

AF 0

F 0B

BD 0

D 0C

CE 0

E 0A= 1 .

Ejercicio 82. En una circunferencia est trazado el dimetro AB y la cuerda CD perpendicular a AB . Una circunferencia arbitraria es tangente a la cuerda CD y al arco BD . Demuestra que la tangente a esta circunferencia trazada a partir del punto A es igual a AC .

Ejercicio 83. Sea 4 ABC un tringulo acutngulo. Los puntos M y N son tomados sobre los lados AB y AC , respectivamente. Los crculos con dimetros BN y CM se intersectan en los puntos P y Q . Demuestra que P , Q y el ortocentro H 13 , son colineales.

Ejercicio 84. Dado un punto P, en el plano de un tringulo 4 ABC,sean D , E y F las proyecciones de P sobre los lados BC , CA y AB , respec-tivamente. El tringulo 4 DEF es denominado el tringulo pedal del puntoP . Demuestra que el rea del tringulo 4 DEF se puede calcular como

|DEF | =(R 2 d

2 )|ABC |4R 2

,

donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo 4 ABC y d es la distancia del punto P al circuncentro de 4 ABC. (Teorema de Euler)

Ejercicio 85. Sean A, B , C y D cuatro puntos distintos sobre una lnea (en ese orden). Los crculos con dimetros AC y BD se intersectan en X y Y . La lnea XY intersecta BC en Z . Sea P un punto sobre la lnea XY , distinto de Z . La lnea CP intersecta el crculo con dimetro AC en C y M , y la lnea BP intersecta el crculo con dimetro BD en B y N .Demuestra que las lneas AM , DN y XY son concurrentes.

Ejercicio 86. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en el trin-gulo ABC . Esta circunferencia es tangente a los lados BC , CA y ABdel tringulo en los puntos K , L y M , respectivamente. La recta paralela a MK que pasa por el punto B intersecta a las rectas LM y LK en los puntos R y S , respectivamente. Demuestra que el ngulo ] RIS es agudo. (IMO

1998/5)

13 El ortocentro de un tringulo es el punto donde se intersectan las alturas.


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8. AREA DE TRINGULOS Y CUADRILTEROS 37

8. Area de tringulos y cuadrilterosSi en un tringulo conocemos la longitud de un lado y la altura trazadahacia ese lado, es bien sabido que podemos calcular su rea simplementemultiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura y despusdividiendo entre dos. Si embargo, existen otras frmulas, las cuales en ciertasocasiones resultan ms tiles, por ejemplo:

Ejemplo 16. En el tringulo 4 ABC , sabemos que AB = c, BC = a y ] ABC = . Probar que

|ABC | =12

acSen .

Solucin 16. Sea h la altura trazada hacia el lado BC. Sabemos que |ABC | = 12 ah y adems como

hc = Sen , tenemos que |ABC | =

12 acSen .

hc

A

C B D

Adems, del ejercicio 13 tenemos que a

SenA=

bSenB

=c

SenC = 2 R,

utilizando ste resultado y sustituyndolo en la frmula anterior tenemos |ABC | = 2 R 2 SenASenBSenC.

Ejemplo 17. Consideremos ahora un cuadriltero convexo ABCD , sea P el punto de interseccin de AC y BD . Si sabemos que ] BP C = ,entonces

|ABCD | =12

AC BDSen .

Solucin 17. Tracemos las perpendiculares desde B y D sobre AC , las cuales intersectan AC en F y E , respectivamente.

A

B C

D

E

F

P


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La frmula anterior es conocida como lafrmula de Brahmagupta . Cuandoel cuadriltero se degenera en tringulo, obtenemos la conocidafrmula de Hern , por ejemplo, siD = A entonces tenemos que

|ABC | = p (s a )(s b)(s c)( s).Ejemplo 19. Las reas de los tringulos formados por segmentos de las diagonales de un trapecio y sus bases son S 1 y S 2 . Hallar el rea del trapecio.

Solucin 19. En el trapecio ABCD sea P el punto de interseccin de las diagonales, y sean |DP C | = S 2 , |AP B | = S 1 y ] DP C = . Tenemos que

p |AP B | | DP C | = p (AP PBSen )(DP PCSen )=

p |AP B | | DP C | = p (AP DPSen )(BP PCSen )=p |AP B | | DP C | = p |AP D | | BP C |pero como |AP D | = |BP C | , tenemos que

p |AP B | |DP C | = p S 1 S 2 = |AP D | = |BP C |=

|ABCD | = S 1 + S 2 + 2p S 1 S 2 = p S 1 + p S 22

.

8.1. Ejercicios.Ejercicio 87. Tenemos dos tringulo con un vrtice A comn, los dems

vrtices se encuentran en dos rectas que pasan por A. Demuestra que la razn entre las reas de estos tringulos es igual a la razn entre los pro-ductos de los dos lados de cada tringulo que contienen el vrtice A.

Ejercicio 88. Sea ABCD un cuadriltero convexo. Sean P , Q , R y S los puntos medios de los lados AB , BC , CD y DA , respectivamente.Se trazan las lneas P R y QS las cuales dividen el cuadriltero en cuatrocuadrilteros ms pequeos cuyas reas se muestran en la gura. Demuestra que a + c = b + d.

A

B C

D

S

P

Q

R

a

b c

d


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Ejercicio 89. En el trapecio ABCD , de bases AB y DC , las diagonales se intersectan en el punto E , el rea del 4 ABE es 72 y el rea del 4 CDE es 50. Cul es el rea del trapecio ABCD ?

Ejercicio 90. Demuestra que |ABC | = rs , donde r es el radio de la circunferencia inscrita, s = 12 (a + b + c).

Ejercicio 91. Sea ABCD un cuadriltero convexo, y sean AB = a ,BC = b, CD = c, DA = d y s = a + b+ c + d2 . Sean adems, y dos ngulos opuestos en el cuadriltero. Demuestra que

|ABCD | = r (s a )(s b)(s c)(s d) 12abcd (1 + Cos ( + )) .Ejercicio 92. Demuestra que la suma de las distancias, desde cualquier

punto interior de un tringulo equiltero, hasta sus lados es igual a la altura de ste tringulo.

Ejercicio 93. Sea 4 ABC un tringulo issceles con AB = AC . Los puntos D y E estn sobre los lados AB y AC , respectivamente. La lnea que pasa por B y paralela a AC intersecta la lnea DE en F . La lnea que pasa por C y paralela a AB intersecta la lnea DE en G . Demuestra que

|DBCG ||FBCE |

=ADAE

.

Ejercicio 94. Demuestra que 1

h 1+

1h 2

+1

h 3=

1r

,

donde h 1 , h 2 , h 3 son las alturas del tringulo; r el radio de la circunferencia inscrita.

Ejercicio 95. En el paralelogramo ABCD , los vrtices A , B , C y Destn unidos con los puntos medios de los lados CD , AD , AB y BC , respec-tivamente. Demuestra que el rea del cuadriltero formado por stas rectas tiene una quinta parte del rea del paralelogramo.

Ejercicio 96. Sobre los catetos AC y BC de un tringulo rectngulohacia el exterior estn construidos los cuadrados ACKL y BCMN . De-muestra que el cuadriltero acotado por los catetos y las rectas LB y NAes equivalente al tringulo formado por las rectas LB , NA y la hipotenusa AB .

Ejercicio

97.

Estn dados los puntos E , F , G , H , sobre la contin-uacin de los lados AB , BC , CD , DA , de un cudriltero convexo ABCD ,tales que BE = AB , CF = BC , DG = CD , AF = DA . Demuestra que

|EFGH | = 5 |ABCD | .Ejercicio 98. En los lados AC y BC del tringulo 4 ABC , hacia el

exterior estn construidos dos paralelogramos ACDE y BCFG . Las pro-longaciones de DE y F G se intersectan en el punto H . Sobre el lado AB


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est construido el paralelogramo ABML , cuyos lados AL y BM son iguales y paralelos a HC . Demuestra que |ABML | = |ACDE | + |BCFG |14 .

Ejercicio 99. En un cuadriltero convexo ABCD , los puntos medios de los lados BC y DA son E y F , respectivamente. Demuestra que |EDA | + |F BC | = |ABCD | .

Ejercicio 100. A travs de cierto punto tomado dentro del tringulo,se han trazado tres rectas paralelas respectivamente a sus lados. Estas rectas dividen el rea del tringulo en seis partes, tres de las cuales son tringulos con reas iguales a S 1 , S 2 y S 3 . Halla el rea del tringulo dado.

Ejercicio 101. Por los extremos de la base menor de un trapecio estn trazadas dos rectas paralelas que cortan la base mayor. Las diagonales del trapecio y stas rectas dividen el trapecio en siete tringulos y un pentgono.Demuestra que la suma de las reas de tres tringulos adyacentes a los lados y a la base menor del trapecio, es igual al rea del pentgono.

Ejercicio 102. Sea ABCD un paralelogramo; el punto E se halla en la recta AB ; F , en la recta AD ( B , en el segmento AE ; D , en el segmentoAF ), K es el punto de interseccin de las rectas ED y F B . Demuestra que

|ABKD | = |CEKF | .

14 Este es conocido comoTeorema generalizado de Pitgoras .


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CAPTULO 2

Puntos notables en el tringulo

1. Las medianas y el gravicentroEl segmento de recta que une el vrtice de un tringulo con el punto mediodel lado opuesto se llamamediana .

Teorema 12. Las medianas en un tringulo se intersectan en un punto

y se dividen por ste en la razn 2 : 1, a partir de los vrtices. A

B C

D F

G

Demostracin. Sean CF y BD dos medianas del tringulo4 ABC.LlamemosG al punto de interseccin de estas dos medianas. Debido alteorema de Tales tenemos queF D es paralelo aBC , de aqui se sigue que] GF D = ] GCB = ya que son ngulos alternos internos. Anlogamente] GDF = ] GBC = y tenemos que el tringulo4 GDF es semejanteal tringulo 4 GBC con una razn de semejanza igual a12 debido a queF D = 12 BC. Con esto tenemos queF G =

12 GC y DG =

12 GB y por lo tanto

las medianasCF y BD se cortan en el puntoG en la razn2 : 1. Haciendoun anlisis similar se puede llegar a que la mediana que no consideramos seintersecta con cualquiera de las dos medianas anteriores en un punto tal quequedan divididas en la razn2 : 1, por lo que ese punto de interseccin debe

ser G , y de aqu concluimos que las tres medianas se intersectan en un puntoel cual llamamoscentroide (gravicentro, baricentro, centro de gravedad), yse dividen en la razn2 : 1 a partir de los vrtices.

Ejemplo 20. Sea G el centroide de un trngulo 4 ABC , y sean M , N y P los centroides de los tringulos 4 BGC , 4 CGA y 4 AGB , respecti-vamente. Demuestra que el tringulo 4 MNP es semejante al tringulo4 ABC .

43


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44 2. PUNTOS NOTABLES EN EL TRINGULO

Solucin 20. Sean D y E los puntos medios de BG y CG , respecti-vamente. Tenemos que DE es paralelo a BC , adems, como AP : P D =AN : NE = 2 : 1 entonces P N es paralelo a DE y consecuentemente a BC . Anlogamente, P M es paralelo a AC y MN es paralelo a AB . Co-mo tenemos que 4 MNP y 4 ABC tienen sus lados paralelos, entonces son semejantes.

A

B C

G

E D M

N P

Ejemplo 21. Del punto M , situado en el interior del 4 ABC , se trazan perpendiculares a los lados BC , AC , AB y en ellas se marcan los segmen-tos MA 1 , MB 1 y MC 1 iguales a los correspondientes lados del tringulo.Demuestra que el punto M es el centro de gravedad del 4 A1 B 1 C 1 .

M

C B

A

B 1

C 1

A 1

D

Solucin 21. Sea D el punto de interseccin de la lnea A1 M y el seg-mento C 1 B 1 . Tenemos que

C 1 DDB 1

=|C 1 DA 1 ||B 1 DA 1 |

=|C 1 DM ||B 1 DM |

=|C 1 DA 1 | |C 1 DM ||B 1 DA 1 | |B 1 DM |

,


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Ejercicio 109. En un cuadriltero convexo de niremos una mediana como la lnea que une un vrtice con el centroide del tringulo formadopor los tres vrtices restantes. Demuestra que las cuatro medianas en un cuadriltero se intersectan en un punto y que adems se dividen por ste en la razn 3 : 1.

Ejercicio 110. En un tringulo 4 ABC con medianas AD , BE , y CF ,sea m = AD + BE + CF , y sea s = AB + BC + CA . Demuestra que

32

s > m >34

s.

Ejercicio 111. Demuestra que 34

(a 2 + b2 + c2 ) = m 2a + m 2b + m 2c .

Ejercicio 112. Demuestra que si en un tringulo se cumple que m 2a + m 2b = 5 m 2c entonces ste es un tringulo rectngulo.

Ejercicio 113. Si AE y BF son las medianas trazadas hacia los catetos de un tringulo rectngulo 4 ABC , encuentre el valor de

AE 2 + BF 2

AB 2.

Ejercicio 114. En los lados CA y CB del tringulo 4 ABC , fuera de l se construyen los cuadrados CAA 1 C 1 y CBB 1 C 2 . Demuestra que la me-diana del tringulo 4 CC 1 C 2 trazada por el vrtice C es perpendicular al lado AB e igual a su mitad.

Ejercicio 115. En los lados del tringulo, fuera de l, estn construidos los tringulos equilteros 4 ABC 1 , 4 BA 1 C y 4 CAB 1 . Demuestra que los centroides de los tringulos 4 ABC y 4 A1 B 1 C 1 coinciden.

Ejercicio 116. Demuestra que en el tringulo 4 ABC , con centroide G , tenemos

AB 2 + BC 2 + AC 2 = 3( GA 2 + GB 2 + GC 2 ).

Ejercicio 117. Teorema de Leibniz. Supongamos que M es un pun-to arbitrario del plano, G el centroide del tringulo 4 ABC . Entonces se cumple la igualdad

3MG 2 = MA 2 + MB 2 + MC 2 13

(AB 2 + BC 2 + CA 2 )


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2. LAS BISECTRICES Y EL INCENTRO 47

2. Las bisectrices y el incentroLa recta que divide un ngulo en dos ngulos iguales se llamabisectriz , yse de ne como el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de los ladosque forman el ngulo. Esto quiere decir que si tomamos un punto cualquierasobre la bisectriz de un ngulo, este punto estar a la misma distancia delas dos rectas que forman el ngulo.

Teorema 13. Las bisectrices de los ngulos internos de un tringulo se intersectan en un punto, el cual es el centro de la circunferencia inscrita en el tringulo.

A

B C D

I

E

Demostracin. Sean D y E los puntos donde las bisectrices internasde los ngulos] BAC y ] BCA cortan a los ladosBC y AB , y sea I elpunto de interseccin de los segmentosAD y CE . ComoAD bisecta al] BAC entoncesI equidista de los ladosAB y AC ; adems comoI tambinpertenece al segmentoCE , el cual bisecta al] BCA , entoncesI equidistade los ladosBC y AC . ComoI equidista de los ladosAB y BC entoncesla bisectriz del] ABC tambin pasa por el puntoI , por lo que las tresbisectrices concurren en este punto. Este punto de interseccin es llamadoincentro , ya que podemos trazar una circunferencia que sea tangente a lostres lados del tringulo y que tenga como centro al puntoI .

Ejemplo 22. Sea D el punto donde la bisectriz del ] BAC de un tringulo corta al lado BC , y sean a , b y c los lados BC , CA y AB ,respectivamente. Demuestra que

BD = acb + c

.

Solucin 22. Un truco muy bonito y el cual puede ser muy til en la mayora de los problemas donde tenemos una suma de distancias, es el construir esa distancia. Por ejemplo, en nuestro problema necesitamos construir la distancia b + c. Prolonguemos CA hasta un punto F de tal manera que AF = AB = c,


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c b

c

A

B C D

F

tenemos entonces que el tringulo 4 F AB es un tringulo issceles. Sea ] BAC = 2 , como ] BF A + ] ABF = 2 tenemos que ] BF A = ] ABF = , esto implica que F B es paralelo a AD . Ahora, por el teorema de Tales tenemos que

BDF A

=BC F C

=

BD =BC F A

F C =

acb + c

,

lo cual queramos demostrar.Ejemplo 23. Sean a, b y c los lados BC , CA y AB , de un tringulo

4 ABC . Sea I el incentro y D el punto donde la bisectriz del ] BAC corta al lado BC . Demuestra que

AI ID

=b + c

a.

Solucin 23. Por A trazamos una paralela a BC . Las bisectrices de ] B y ] C intersectan a esta paralela en N y M , respectivamente. Co-mo ] AMC = ] ACM = tenemos AM = AC = b. Anlogamente,AN = AB = c. Adems, tenemos que 4 IM N 4 ICB, esto implica que

AI ID

=MN BC

=b + c

a.

bc

b c

C B

A

D

I

M N


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2. LAS BISECTRICES Y EL INCENTRO 51

A

B C D

Ejercicio 123. Demuestra que si a y b son dos lados de un tringulo, es el ngulo entre estos y l, la bisectriz de ste ngulo, entonces

l =2abCos 2

a + b.

Ejercicio 124. Sea AD la bisectriz del ] BAC de un tringulo 4 ABC .Demuestra que

BDDC

=ABAC

.

Ejercicio 125. El cuadriltero ABCD est circunscrito a una circunferencia con centro O . Demuestra que

] AOB + ] COD = 180 .Ejercicio 126. Sean a, b y c los lados BC , CA y AB , de un trin-

gulo 4 ABC . Sean I el incentro y G el gravicentro del tringulo 4 ABC .Demuestra que IG es paralelo a BC si y slo si 2a = b + c.

Ejercicio 127. Las bisectrices de los ngulos A y B del tringulo 4 ABC intersectan los lados BC y CA en los puntos D y E , respectivamente. Si se cumple que AE + BD = AB , determina el ngulo C .

Ejercicio 128. En un tringulo 4 ABC , ] A = 60 y las bisectrices BB 0 y CC 0 se intersectan en I . Demuestra que IB 0 = IC 0.

Ejercicio 129. En un tringulo 4 ABC , sean E y D puntos sobre los lados AB y AC , repectivamente. BF bisecta el ] ABD , y CF bisecta ] ACE . Demuestra que ] BEC + ] BDC = 2 ] BF C .

Ejercicio 130. La bisectriz interior de ] B y la bisectriz exterior de ] C de un 4 ABC se intersectan en D . A travs de D se traza una lnea paralela a BC la cual intersecta AC en L y AB en M . Si las longitudes de LC y MB son 5 y 7, respectivamente. Encuentra la longitud de LM .


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A

B C

DM L

Ejercicio 131. Demuestra que las cuatro proyecciones del vrtice A del tringulo 4 ABC sobre las bisectrices exteriores e interiores de los ngulos ] B y ] C son colineales.

Ejercicio 132. Sobre la base AC del tringulo issceles 4 ABC se toma

un punto M de manera que AM = a , MC = b. En los tringulos 4 ABM y 4 CBM estn inscritas circunferencias. Encuentra la distancia entre los puntos de tangencia del lado BM con esta circunferencias.

Ejercicio 133. En los lados opuestos BC y DA de un cuadrilteroconvexo se toman los puntos M y N , de tal manera que

BM : MC = AN : ND = AB : CD.Demuestra que la recta MN es paralela a la bisectriz del ngulo formadopor los lados AB y CD .

Ejercicio 134. El tringulo 4 ABC est inscrito en una circunferen-cia. Las bisectrices interiores de los ngulos ] A, ] B y ] C, cortan a la

circunferencia de nuevo en los puntos D , E y F , respectivamente. Demues-tra que a) |DEF | |ABC | .b) DE + EF + F A AB + BC + CA.c) AD + BE + CF > AB + BC + CA.

Ejercicio 135. Dado el tringulo 4 ABC , se traza una lnea l paralela al lado AB la cual pasa por el vrtice C . La bisectriz del ngulo ] BAC intersecta el lado BC en D y a l en E . La bisectriz del ngulo ] ABC intersecta el lado AC en F y a l en G . Si GF = DE , demuestra que AC = BC .


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3. LAS ALTURAS Y EL ORTOCENTRO 53

3. Las alturas y el ortocentroTeorema 14. Las alturas de un tringulo se intersectan en un punto.

Demostracin. En el tringulo4 ABC sean D y E los pies de lasalturas sobre los ladosBC y AC , respectivamente, y seaH el punto deinterseccin deAD y BE . Se traza la lneaCH la cual intersecta al ladoABen el puntoF . Para demostrar queCF es una altura, bastar con demostrarque el cuadrilteroAFDC es cclico, porque as de esta manera el] AF C sera igual al] ADC = 90 . Como] HDC = 90 = ] HEC entonces elcuadriltero HDCE es cclico, por lo que el] HED = ] HC D = . Porotro lado, el cuadrilteroBDEA tambin es cclico ya que] BDA = 90 =] BEA , por lo que] BAD = ] BED = . Como] BAD = ] F CB = ,entonces se concluye que el cuadrilteroAFDC es cclico y por lo tantoCF es una altura del tringulo4 ABC . El punto H es llamadoortocentro deltringulo.

A

B C D

H F

E

Ejemplo 26. Dos tringulos 4 A1 BC y 4 A2 BC estan inscritos en un crculo y tienen el lado BC en comn. Sean H 1 y H 2 los ortocentros de los tringulos 4 A1 BC y 4 A2 BC , respectivamente. Demuestra que el segmentoH 1 H 2 es igual y paralelo al segmento A1 A2 .


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O

A 1

C

A 2

B

H 1

H 2

M

Solucin 26. Sean O el centro del crculo y M el punto medio de BC.Sabemos que la distancia de un vrtice al ortocentro es el doble de la distancia del centro de la circunferencia hacia el lado opuesto a ese vrtice 2 ,con esto tenemos que H 1 A1 = 2 OM y H 2 A2 = 2 OM , esto implica que H 1 A1 = H 2 A2 y adems son paralelas, por lo tanto H 1 A1 A2 H 2 es un paralelogramo.

3.1. Ejercicios.Ejercicio 136. Dos circunferencias de centros O 1 y O 2 se intersectan

en los puntos A y B . Demuestra que AB es perpendicular a O 1 O2 .Ejercicio 137. Demuestra que en un tringulo los puntos simtricos al

ortocentro, con respecto a los lados, estn en la circunferencia circunscrita.Ejercicio 138. Sea AD la altura de el tringulo 4 ABC , H el ortocen-

tro. Demuestra que BD DC = AD DH.Ejercicio 139. Demuestra que el producto de las partes en las cuales

el ortocentro divide una altura, es el mismo para las tres alturas.Ejercicio 140. Sea H el ortocentro de un tringulo 4 ABC . Demues-

tra que los circuncrculos de los cuatro tringulos 4 ABC , 4 HBC , 4 HAC y 4 HAB , tienen todos el mismo radio.Ejercicio 141. Demuestra que el ortocentro de un tringulo acutngulo

es el incentro de su tringulo rtico 3 .2 Este resultado es bastante til. Su demostracin se deja como ejercicio en la siguiente

seccin.3 El tringulo rtico es el formado por los pies de las alturas.


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3. LAS ALTURAS Y EL ORTOCENTRO 55

Ejercicio 142. Sea H el ortocentro de el tringulo 4 ABC . En la rec-ta CH se toma un punto K tal que 4 ABK es un tringulo rectngulo.Demuestra que |ABK | =

p |ABC | | ABH | .

Ejercicio 143. Sean AD , BE y CF las alturas de un tringulo acutn-gulo 4 ABC y sea H su ortocentro. Sea N el punto medio de AH y sea M el punto medio de BC . Demuestra que NM es perpendicular a F E .

Ejercicio 144. El tringulo 4 ABC est inscrito en una circunferen-cia. Las bisectrices interiores de los ngulos ] A, ] B y ] C, cortan a la circunferencia de nuevo en los puntos D , E y F , respectivamente. Sea I el incentro del tringulo 4 ABC . Demuestra que I es el ortocentro del tringulo 4 DEF.

Ejercicio 145. Sea AD la altura desde A en el tringulo 4 ABC . Sean X y Y los puntos medios de las otras dos alturas, y sea H el ortocentroy M el punto medio de BC . Demuestra que el circuncrculo del tringulo4 DXY pasa por H y por M . Tambin Demuestra que los tringulos 4 ABC y 4 DXY son semejantes.

Ejercicio 146. Sean E y F puntos sobre los lados BC y CD , respec-tivamente, de un cuadrado ABCD . Sean M y N las intersecciones de AE y AF con BD , y sea P la interseccin de MF con NE . Si ] EAF = 45 ,demuestra que AP es perpendicular a EF .

Ejercicio 147. Sea ABCD un rectngulo y sea P un punto sobre su circuncrculo, diferente de los vrtices del rectngulo. Sea X , Y , Z y W las proyecciones de P sobre las lneas AB , BC , CD , y DA , respectivamente.Demuestra que uno de los puntos X , Y , Z W es el ortocentro del tringulo formado por los otros tres.

Ejercicio 148. AD , BE y CF son las alturas de un tringulo acutn-gulo 4 ABC . K y M son puntos en los segmentos DF y EF , respectiva-mente. Demuestra que si los ngulos ] MAK y ] CAD son iguales, entonces AK bisecta el ngulo ] F KM .


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4. Las mediatrices y el circuncentroLa lnea perpendicular a un segmento por su punto medio se llamamedi-atriz del segmento y se de ne como el lugar geomtrico de los puntos queequidistan de los extremos de un segmento dado.

Teorema 15. Las mediatrices de los tres lados de un tringulo se in-tersectan en un punto, el cual es el centro de la circuferencia circunscrita a dicho tringulo.

Demostracin. Sea 4 ABC el tringulo,D , E , F los puntos mediosde los ladosBC , CA , y AB, respectivamente. Trazamos las mediatrices delos ladosAB y AC las cuales se intersectan en el puntoO . Tenemos queAO = BO , por de nicin de mediatriz, y de la misma maneraAO = CO .ComoBO = CO entoncesDO es mediatriz del ladoBC , por lo que las tresmediatrices se intersectan en un punto llamadocircuncentro , el cual es elcentro de la circunferencia circunscrita al tringulo.

O

C

A

B D

E F

Ejemplo 27. En un tringulo 4 ABC sean H el ortocentro y O el cir-cuncentro. Sea D el punto donde la lnea AO intersecta al circuncrculo.Demuestra que HD bisecta el lado BC .

Solucin 27. Tenemos que ] ADC = ] ABC y ] ACD = 90 , en-tonces = ] CAD = 90 ] ADC = 90 ] ABC = ] HCB y como] CBD = ] CAD = , tenemos que HC es paralela a BD . Por otrolado, = ] BCD = ] BAD = ] BAC , y adems como ] BAL =90 ] ABC = , tenemos que ] HBC = ] LAC = ] BAC = ,entonces HB es paralela a CD . Tenemos entonces que HBDC es un paralelogramo y por lo tanto, sus diagonales se bisectan.


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4. LAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO 57

O

C

A

B

D

L

H

4.1. Ejercicios.Ejercicio 149. En un tringulo equiltero 4 ABC , el punto K divide

el lado AC en la razn 2 : 1 y el punto M divide al lado AB en la razn 1 : 2. Demuestra que la longitud del segmento KM es igual al radio de la circunferencia circunscrita en el tringulo 4 ABC .

Ejercicio 150. Si s , r , R son el semipermetro, el inradio y el circun-radio, respectivamente, Demuestra que abc = 4 srR.

Ejercicio 151. Demuestra que el tringulo formado por los centros de las circunferencias es semejante al tringulo 4 ABC .

M

P N

A

B C

Ejercicio 152. En un tringulo 4 ABC sean H el ortocentro, O el circuncentro, M el punto medio del lado BC . Demuestra que AH es el doble de OM .


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Ejercicio 153. Sean M y N las proyecciones del ortocentro de un trin-gulo 4 ABC sobre las bisectrices interior y exterior del ngulo ] B. Demues-tra que la lnea MN divide el lado AC por la mitad.

Ejercicio 154. En un tringulo 4 ABC sea H el ortocentro, O el circuncentro, sea AL la bisectriz de el ] BAC . Demuestra que AL bisec-ta el ] HAO .

Ejercicio 155. Sean AD , BE y CF las alturas de un tringulo acutn-gulo 4 ABC y sean H y O su ortocentro y circuncentro, respectivamente.La lnea AO intersecta a CF en el punto P . Si F P = HE demuestra que AB = BC .

Ejercicio 156. En un tringulo 4 ABC, la bisectriz del ngulo ] A in-tersecta al lado BC en U . Demuestra que la mediatriz de AU , la perpendic-ular a BC por U y el circundimetro a travs de A son concurrentes.

Ejercicio 157. En un tringulo 4 ABC, sean H y O su ortocentro y circuncentro, respectivamente. Sea M el punto medio de AB . Sea H 1 el re ejado de H con respecto a C y sea C 1 el re ejado de C con respecto a M . Demuestra que C 1 , O y H 1 estn alineados.

Ejercicio 158. A travs del ortocentro H de un tringulo 4 ABC , se traza una paralela a AB la cual intersecta BC en D. Tambin por H se traza una paralela a AC la cual intersecta a BC en E . Las perpendiculares a BC en D y E intersectan a AB y AC en D 0 y E 0, respectivamente. Demuestra que D 0E 0 intersecta al circuncrculo en los puntos B 0 y C 0 los cuales son diametralmente opuestos a los vrtices B y C , respectivamente.


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5. CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS 59

5. Circunferencias exinscritasEn todos los tringulos existen 4 circunferencias que son tangentes a suslados, slo que algunas son tangentes a uno de los lados y a las prolongacionesde los otros dos. SeaI A el punto de interseccin de la bisectriz interior delngulo ] A y la bisectriz exterior del ngulo] C . ComoI A pertenece a labisectriz interior del ngulo] A, entonces equidista de los ladosAB y AC ,pero como tambin pertenece a la bisectriz exterior del ngulo] C entoncesequidista de los ladosBC y AC . Lo anterior quiere decir que el puntoI A equidista de los ladosAB y BC , esto es, que la bisectriz exterior delngulo ] B pasa por I A , por lo tanto la bisectriz interior del ngulo] A ylas bisectrices exteriores de los ngulos] B y ] C concurren en un punto, alcual se le llama elexcentro respectivo al ladoBC y se denota comnmentecomo I A .Sean F , G , y H los pies de las perpendiculares desdeI A hacialos ladosAB , BC , y CA .Tomamos la distanciaI A G como radio eI A comocentro y trazamos una circunferencia la cual es tangente aAB , BC , y CAen los puntosF , G , y H. Esta circunferencia es llamada la circunferenciaexinscrita del ladoBC . La distanciaI A G es el exradio y se denota comor A .

r A

r Ar A

A

B C

I A

G

H

F

Ejemplo 28. Sea r el radio de la circunferencia inscrita en el 4 ABC .Sea r A el radio de la circunferencia exinscrita del 4 ABC, respectiva al lado


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a . Demuestra que

rr A

=s a

s

donde s es el semipermetro del tringulo.

Solucin 28. En la gura anterior tenemos que AF = AH , adems AF + AH = AB + BG + GC + CA = 2 s , entonces AH = AF = s. Tenemos que

|ABC | = |AF I A H | |BF I A HC |= |AF I A H | 2|BI A C |= sr A ar A= ( s a )r A ,

y como |ABC | = sr , entonces

(s a )r A = sr,

de donde obtenemos la igualdad deseada.

Ejemplo 29. El 4 ABC tiene inscrita una circunferencia. Supongamos que M es el punto de tangencia de la circunferencia con el lado AC , MK es el dimetro. La recta BK corta AC en el punto N . Demuestra que AM = NC.

Solucin 29. Por K trazamos la recta DE paralela a AC . El tringulo4 BDE

4 BAC . Tenemos que la circunferencia inscrita en el tringulo

4 ABC es la circunferencia exinscrita del tringulo 4 BDE (respectiva al lado DE ), entonces N es el punto de tangencia de la circunferencia exins-crita del tringulo 4 ABC con el lado AC . Tenemos que BC + CN = s locual implica que NC = s a , y como sabemos que AM = s a , concluimos que AM = NC .


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5. CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS 61

C A

B

I

M

K

N

D E

5.1. Ejercicios.Ejercicio 159. Demuestra que el tringulo 4 ABC es el tringulo

rtico del tringulo 4 I A I B I C .

Ejercicio 160. Demuestra que

|ABC | = ( s a )r A = ( s b)r B = ( s c)r C .Ejercicio 161. Demuestra que

1r A

+1

r B+

1r C

=1r

.

Ejercicio 162. Demuestra que

Tan ] A2 = s (s b)( s c)s (s a ) .Ejercicio 163. Demuestra que

T an

] A

2 T an

] B

2 =

r

r C .

Ejercicio 164. Dado un 4 ABC, por su vrtice C pasan n 1 rectas CM 1 , CM 2 , ... , CM n 1 que lo dividen en n tringulos menores 4 ACM 1 ,4 M 1 CM 2 , ..., 4 M n 1 CB (los puntos M 1 , M 2 , ..., M n 1 estn sobre el ladoAB ). Supngase que r 1 , r 2 ,...,r n y 1 , 2 , ..., n denotan, respectivamente,los radios de los crculos inscritos de esos tringulos y los crculos exinscritos que se encuentran dentro del ngulo ] C de cada tringulo. Sean r y


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los radios de los crculos inscrito y exinscrito del propio tringulo 4 ABC .Probar que

r 11

r 22 ...

r nn =

r .

Ejercicio 165. Sea ABCD un trapecio issceles, con AB paralelo a CD . La circunferencia inscrita del tringulo 4 BCD intersecta CD en E .Sea F el punto sobre la bisectriz interna del ngulo ] DAC , tal que EF

CD .

El circuncrculo del tringulo 4 ACF intersecta la lnea CD en C y G .Demuestra que el tringulo 4 AF G es issceles.

Ejercicio 166. En un paralelogramo ABCD se trazan las circunferen-cias de centros O y O 0 y radios R y R 0 exinscritas a los tringulos 4 ABDy 4 BCD , relativas a los lados AD y CD , respectivamente.

a) Demuestra que las circunferencias son tangentes a BD en un mismopunto F .b) Demuestra que D es el ortocentro del tringulo 4 OBO 0.

c) Demuestra que F B F D = R R 0.Ejercicio 167. En un tringulo acutngulo 4 ABC , la bisectriz interna

del ngulo ] A intersecta la circunferencia circunscrita al tringulo 4 ABC en A1 . Los puntos B 1 y C 1 son de nidos de manera semejante. Sea A0el punto de interseccin de la lnea AA 1 con las bisectrices externas de los ngulos ] B y ] C . Los puntos B 0 y C 0 se de nen de manera semejante.Demuestra que a) |A0 B 0 C 0 | = 2 |AC 1 BA 1 CB 1 | .b) |A0 B 0 C 0 |

4|ABC | .


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6. SIMEDIANAS 63

6. SimedianasEn esta seccin trataremos con unas lneas del tringulo, las cuales quizsean un poco menos populares que las anteriores, pero los resultados con-cernientes con ellas resultan de gran utilidad al resolver problemas en loscuales es necesario probar que alguna lnea divide por la mitad un segmento.Tenemos la siguiente de nicin:

Definicin 7. Una recta simtrica a la mediana de un tringulo, con respecto a la bisectriz del mismo ngulo del cual parte la mediana, se llama simediana.

Lema 1. Sean l y m dos lneas isogonales con respecto al ngulo ] BAC de un tringulo 4 ABC . Sean P y Q , puntos sobre l y m , repectivamente.Entonces las distancias desde P hacia AB y AC son inversamente propor-cionales a las respectivas distancias desde Q hacia AB y AC .

Demostracin. Sean x e y las distancias desdeP hacia AB y AC ,respectivamente; y seanr y s las distancias desdeQ hacia AB y AC , res-pectivamente. Sean tambin, D y E los pies de las perpendiculares desde Py sean F y G los pies de las perpendiculares desde Q como se muestra en la gura. Para demostrar el lema basta con probar que

xy

=sr

.

Para esto, tenemos que4 ADP

4 AQG y con estoDP QG

=AP AQ

,

tambin, como4 AP E

4 AQF tenemos queP E F Q

=AP AQ

,

entoncesxy

=sr

.

l m

r s

x y

A

B C

Q

P F G D

E


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Tenemos ahora el siguiente teorema, el cual resulta de gran utilidad al tra-

bajar con simedianas:Teorema 16. Supongamos que la simediana que parte del vrtice A del

tringulo 4 ABC corta BC en el punto K . Entonces tenemos que BK KC

=AB 2

AC 2.

Demostracin. Sea M el punto medio del ladoBC y seanx , y, r y sperpendiculares a los ladosAB y AC como se muestra en la gura. Sabemosque

BK KC

=|ABK ||AKC |

=AB xAC y

.

Por otro lado, sabemos que sr

=ABAC

,

adems, por el lema anterior tenemos quexy

=sr

.

Con esto tenemos queBK KC

=AB 2

AC 2.

r s x

y

A

B C M K

Utilizando este teorema y el Teorema de Ceva es sencillo demostrar que lastres simedianas en un tringulo concurren en un punto al cual llamaremosel punto simediano . Esto es fcil de veri car, ya que si denotamos conM ,N y P a los puntos sobre los ladosBC , CA y AB donde las simedianasrespectivas los intersectan, tenemos que

BM MC

CN NA

AP P B

=AB 2

AC 2

BC 2

AB 2

AC 2

BC 2= 1 .

Ahora daremos una caracterizacin de la simediana de un tringulo, la cualen muchas ocasiones resulta ser muy til.


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6. SIMEDIANAS 65

Ejemplo 30. Las tangentes a la circunferencia circunscrita de un trin-gulo 4 ABC en los puntos B y C se intersectan en un puno P . Entonces tenemos que AP es la simediana del lado BC .

Solucin 30. Por P trazamos una lnea de manera que intersecte a la linea AB en un punto D tal que DP = BP . Esta misma lnea intersecta a la lnea AC en un punto E . Como ] P BD = ] ACB = , tenemos que ] BDP = , lo cual implica que BDEC es un cuadriltero cclico.Entonces, ] CEP = ] ABC = ] P CE = , es decir, 4 CP E es issceles.Como BP = P C , tenemos que DP = P E , es decir, AP es la mediana del tringulo 4 ADE y como 4 ADE

4 ABC tenemos que AP es la simediana

del tringulo 4 ABC trazada hacia el lado BC .

C

A

B

P

E

D

Ejemplo 31. Demuestra que las cuerdas comunes de la circunferencia circunscrita con las circunferencias de Apoloniode un tringulo dado son simedianas de este tringulo.

Solucin 31. Sabemos que la circunferencia de Apolonio del vrtice Apasa por los pies de las bisectrices exterior e interior del mismo vrtice.Sea E el pie de la bisectriz exterior y sea D el pie de la bisectriz interior,adems, sea L el punto donde la bisectriz interior intersecta a la circunfe-rencia circunscrita.


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C

A

B E D

S L

N

M

Desde L trazemos la perpendicular a BC , la cual intersecta BC en el puntoM y a la circunferencia circunscrita en N . La lnea ND intersecta de nuevoal circuncrculo en un punto S . Sabemos que el cuadriltero DMNA es ccli-co, entonces ] DN M = ] DAM = , adems ] SAL = ] SN L = . Con es-to tenemos que AS es simediana del tringulo 4 ABC , slo falta probar que el cuadriltero AESD es cclico. Para esto, tenemos que ] EAS = 90 y como ] EDS = ] MDN = 90 , tenemos que AESD es cclico. Con estohemos probado que AS es la cuerda comn de la circunferencia de Apolonioy la circunferencia circunscrita al tringulo 4 ABC .

6.1. Ejercicios.Ejercicio 168. En un tringulo 4 ABC sea D el punto donde la sime-

diana, trazada hacia el lado BC , intersecta al circuncrculo de ste. De-muestra que la lnea CB es simediana del tringulo 4 ADC .

Ejercicio 169. El cuadriltero ABCD es cclico. Los pies de las per-pendiculares desde D hacia las lneas AB , BC , CA , son P,Q,R , respec-tivamente. Demuestra que las bisectrices de las ngulos ABC y CDA se intersectan sobre la lnea AC si y slo si RP = RQ . (IMO 2003/4)

Ejercicio 170. La tangente a la circunferencia circunscrita de un trin-gulo 4 ABC por el punto A intersecta a la lnea BC en un punto P . Se traza la otra tangente a la circunferencia desde P y sta la intersecta en un punto Q . Demuestra que AQ es simediana del tringulo 4 ABC .

Ejercicio 171. Sea ABCD un cuadriltero con AD paralelo a BC , los ngulos en A y B rectos y tal que el ngulo CM D es recto, donde M es el

punto medio de AB . Sean K el pie de la perpendicular a CD que pasa por M , P el punto de interseccin de AK con BD y Q el punto de interseccin de BK con AC . Demuestra que el ngulo AKB es recto y que

KP P A

+KQQB

= 1 .

Ejercicio 172. Un hexgono convexo ABCDEF est inscrito en una circunferencia de tal manera que AB = CD = EF y las diagonales AD ,


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6. SIMEDIANAS 67

BE y CF concurren en un punto. Sea P el punto de interseccin de AD y CE . Demuestra que CP P E =

AC CE

2.

Ejercicio 173. Sea N el punto de interseccin de las tangentes a la circunferencia circunscrita de un tringulo 4 ABC trazadas por los puntos B y C . Sea M un punto en la circunferencia de tal manera que AM es paralelo a BC y sea K el punto de interseccin de MN con la circunferencia.Demuestra que KA divide BC por la mitad.

Ejercicio 174. Desde un punto A exterior a una circunferencia estn trazadas las tangentes AM y AN . Tambin desde A se traza una secante que corta la circunferencia en los puntos K y L . Trazamos una recta arbitraria l paralela a AM . Supongamos que KM y LM cortan l en los puntos P y Q . Demuestra que la recta MN divide el segmento P Q por la mitad.

Ejercicio 175. La recta l es perpendicular al segmento AB y pasa por B . La circunferencia con el centro situado en l pasa por A y corta l en los puntos C y D . Las tangentes a la circunferencia en los puntos A y C se intersectan en N . Demuestra que la recta DN divide el segmento AB por la mitad.

Ejercicio 176. Dos circunferencias se intersectan en dos puntos. Sea A uno de los puntos de interseccin. Desde un punto arbitrario que se halla en la prolongacin de la cuerda comn de las circunferencias dadas, estn trazadas hacia una de stas dos tangentes que tienen contacto con sta en los puntos M y N . Sean P y Q los puntos de interseccin de las rectas MAy NA , respectivamente, con la segunda circunferencia. Demuestra que la

recta MN parte el segmento P Q por la mitad.Ejercicio 177. Sea AD una altura de un tringulo 4 ABC . Consid-

eremos AD como dimetro de una circunferencia que corta los lados AB y AC en K y L , respectivamente. Las tangentes a la circunferencia en los puntos K y L se intersectan en un punto M . D

material 4 - 17 de junio 2010

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