materi kuliah : matriks dan ruang...
TRANSCRIPT
Materi Kuliah :Matriks dan Ruang Vektor
Bab VI
TRANSFORMASI LINIER
1. Pengertian Transformasi
Definisi :
Dalam Kalkulus dikenal dengan kata FUNGSI, yaitu sebuah PEMETAAN yang bersifat khusus.
PEMETAAN disebut juga TRANSFORMASI karena Domain dan Codomainnya merupakan Vektor berdimensi n atau Rn, sedangkan FUNGSI Domainnya merupakan sebuah bilangan
1. Pengertian Transformasi
TRANSFORMASI dari Rn ke Rn ditulis
Dengan rumus :
nn RRT :
2121 _,_, xnilaixnilaixxT
321321 _,_,_,, xnilxnilxnilxxxT
1. Pengertian Transformasi
Contoh :
Diketahui Transformasi dengan rumus
tentukan hasil
Transformasi dari vektor
Hasil Transformasi biasanya disebut PETA
22: RRT
212121 3,2, xxxxxxT
3,2V
1. Pengertian Transformasi
Jawab :
Diketahui vektor , maka berarti dan
Transformasinya
Maka :
merupakan PETA
3,2V 21 x
32 x 212121 3,2, xxxxxxT
332,3223,2 T
212121 3,2, xxxxxxT
92,343,2 T
11,13,2 T
1. Pengertian Transformasi
Contoh :
Diketahui Transformasi dengan rumus
tentukan
Hasil Transformasi dari vektor
22: RRT
321312321 3,23,,, xxxxxxxxxT
1,2,2 V
1. Pengertian Transformasi
Jawab :
Diketahui vektor , maka berarti ,
dan dengan Transformasinya
Maka :
1,2,2 V 21 x
22 x 13 x
321312321 3,23,,, xxxxxxxxxT
321312321 3,23,,, xxxxxxxxxT
1322,1223,21,2,2 T
1. Pengertian Transformasi
Soal Latihan :
Diketahui sebuah vektor yaitu dengan
Rumus Transformasi berikut :
3212132321 2,2,,,.1 xxxxxxxxxxT
2,1,3 V
321321321 3,,2,,.2 xxxxxxxxxT
32213321 2,,2,,.3 xxxxxxxxT
32212321 22,32,2,,.4 xxxxxxxxT
2. Transformasi Vektor Linier
Sebuah Transformasi T disebut Transformasi
Vektor Linier jika memenuhi dua syarat berikut :
1. Untuk setiap vektor misalkan V1 dan V2, maka akan berlaku :
T[V1] + T[V2] = T[V1 + V2]2. Untuk setiap vektor misalkan V dan sebuah
bilangan , maka akan berlaku
T[V] = T[V]
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi dengan rumus
Apakah Transformasi
itu merupakan Transformasi Vektor Linier ?,
Tunjukan
22: RRT
212121 3,2, xxxxxxT
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi dengan rumus
Apakah Transformasi
itu merupakan Transformasi Vektor Linier ?,
Tunjukan
22: RRT
212121 2,, xxxxxxT
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi dengan rumus
Apakah Transformasi itu
merupakan Transformasi Vektor Linier ?,
Tunjukan
22: RRT
34,3, 1221 xxxxT
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi dengan rumus
Apakah
Transformasi itu merupakan Transformasi Vektor
Linier ?, Tunjukan
33: RRT
21312321 ,,2,, xxxxxxxxT
2. Transformasi Vektor Linier
Contoh :
Diketahui Transformasi dengan rumus
Apakah
Transformasi itu merupakan Transformasi Vektor
Linier ?, Tunjukan
33: RRT
21312321 3,22,1,, xxxxxxxxT
3. Matriks Transformasi
Definisi :
Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi
vektor Linier , maka [T]e merupakan matriks
Transformasi yaitu Transpose dari matriks
Koefisien. Dan jika diketahui sebuah vektor V,
maka Peta dari vektor V yaitu T[V] dapat
ditentukan dengan Rumus
T[V] = [ T ]e V
3. Matriks Transformasi
Definisi Basis :
Jika Diketahui T : R2 R2 maka Basisnya :
Basis Sumbu X : e1 = 1,0 T[e1] = T[1,0]
Basis Sumbu Y : e2 = 0,1 T[e2] = T[0,1]
Misalkan T[x1,x2] = [ax1 + bx2 , cx1 + dx2], maka :
T[e1] = T[1,0] = ae1 + ce2
T[e2] = T[0,1] = be1 + de2
Jadi Matriks Koefisienya
db
caT
3. Matriks Transformasi
Maka Matriks Transformasinya
dc
baT e][
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi
vektor Linier, dengan rumus
Matriks Koefisien :
T[e1] = T[1,0] = 2e1 + 1e2
T[e2] = T[0,1] = –1e1 + 3e2
matriks Transformasinya [T]e adalah
212121 3,2, xxxxxxT
31
12T
31
12eT
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi
vektor Linier, dengan rumus
maka matriks Koefisienya ?
Matriks Transformasinya [T]e
212121 2,3, xxxxxxT
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi
vektor Linier, dengan rumus
maka matriks Koefisienya ?
Matriks Transformasinya [T]e
12121 ,2, xxxxxT
3. Matriks Transformasi
Definisi Basis :
Jika Diketahui T : R3 R3 maka Basisnya :
Basis Sumbu X : e1 = 1,0,0 T[e1] = T[1,0,0]
Basis Sumbu Y : e2 = 0,1,0 T[e2] = T[0,1,0]
Basis Sumbu Z : e3 = 0,0,1 T[e3] = T[0,0,1]
3. Matriks Transformasi
Misalkan
T[x1,x2,x3]=[ax1+bx2+cx3, dx1+ex2+fx3, gx1+hx2+ix3]
maka :
T[e1] = T[1,0,0] = ae1 + de2 + ge3
T[e2] = T[0,1,0] = be1 + ee2 + he3
T[e3] = T[0,0,1] = ce1 + fe2 + ie3
Jadi Matriks Koefisienya
ifc
heb
gda
T
3. Matriks Transformasi
Jika ditranspose menjadi Matriks Transformasi
yaitu :
ihg
fed
cba
T e
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi
vektor Linier, dengan rumus
Tentukan Matriks Koefisien dan Matriks
Transformasinya
3212132321 2,2,,, xxxxxxxxxxT
3. Matriks Transformasi
Diketahui :
T[e1] = T[1,0,0] = 0e1 + 1e2 + 1e3
T[e2] = T[0,1,0] = 1e1 + 2e2 + 2e3
T[e3] = T[0,0,1] = –1e1 + 0e2 + –1e3
Jadi :
maka
101
221
110
T
121
021
110
eT
3212132321 2,2,,, xxxxxxxxxxT
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Tentukan Peta dari Vektor V[1, 2, 3] dengan
matriks Transformasi jika diketahui rumus
Transformasi
32212321 22,2,2,, xxxxxxxxT
3. Matriks Transformasi
Diketahui
Maka Petanya
200
212
020
T
220
012
020
eT
2
4
4
3
2
1
220
012
020
VTVT e
32212321 22,2,2,, xxxxxxxxT
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Tentukan Peta dari Vektor V[1, 1, 2] dengan
matriks Transformasi jika diketahui rumus
Transformasi
3131321321 2,2,2,, xxxxxxxxxxT
3. Matriks Transformasi
Contoh :
Tentukan Peta dari Vektor V[3, 3, 1] dengan
matriks Transformasi jika diketahui rumus
Transformasi
132132321 2,23,,, xxxxxxxxxT
Transformasi Vektor Linier
Siip...
Lanjut Slide 7..