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MATEMÁTICAS I, Grado en Ingeniería Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica.
Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Politécnica Superior de Sevilla
Curso 2010-11
Boletín no 1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.
1. Resolver los siguientes sistemas por el método de Gauss.
a)
8<:x1 + x2 + 2x3 = 8
�x1 � 2x2 + 3x3 = 13x1 � 7x2 + 4x3 = 10
b)
8<:2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
�2x1 + 5x2 + 2x3 = 18x1 + x2 + 4x3 = �1
c)
8>><>>:x� y + 2z � w = �1
2x+ y � 2z � 2w = �2�x+ 2y � 4z + w = 1
3x� 3w = �3
d)
8<:�2b+ 3c = 1
3a+ 6b� 3c = 16a+ 6b+ 3c = 5
e)
8<:2x1 � 3x2 = �22x1 + x2 = 13x1 + 2x2 = 1
f)
8<:4x1 � 8x2 = 123x1 � 6x2 = 9
�2x1 + 4x2 = �6
g)�5x1 � 2x2 + 6x3 = 0�2x1 + x2 + 3x3 = 1
h)�
x1 � 2x2 + 3x3 = 0�2x1 + 4x2 � 6x3 = 1
2. Sin usar lápiz y papel, determinar cuáles de los siguientes sistemas homogéneos tienen solucionesno triviales.
a)
8<:2x1 � 3x2 + 4x3 � x4 = 07x1 + x2 � 8x3 + x4 = 02x1 + 8x2 + x3 � x4 = 0
b)
8<:x1 + 3x2 � x3 = 0
x2 � 8x3 = 04x3 = 0
c)�3x� 2y = 06x� 4y = 0
3. Resolver los siguientes sistemas homogéneos, por cualquier método
a)
8<:2x� y � 3z = 0
�x+ 2y � 3z = 0x+ y + 4z = 0
b)
8>><>>:v + 3w � 2x = 0
2u+ v � 4w + 3x = 02u+ 3v + 2w � x = 0
�4u� 3v + 5w � 4x = 0
4. Resolver los siguientes sistemas, donde a; b y c son constantes.
a)�
2x+ y = a3x+ 6y = b
b)
8<:x1 + x2 + x3 = a2x1 + 2x3 = b3x2 + 3x3 = c
5. ¿Para qué valores de a el sistema (S) no tiene solución, tiene exactamente una solución o in�nitassoluciones?
(S) :
8<:x+ 2y � 3z = 43x� y + 5z = 2
4x+ y + (a2 � 14)z = a+ 2
1
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6. ¿Para qué valores de a el sistema (S) tiene soluciones no triviales?
(S) :
�(a� 3)x+ y = 0x+ (a� 3)y = 0
7. Demostrar que si ad� bc 6= 0; entonces la forma escalonada reducida de la matriz A =�a bc d
�es la matriz identidad:
8. Dadas las matricesA =
24 3 0�1 21 1
35 ; B = � 4 �10 2
�; C =
�1 4 23 1 5
�; D =
24 1 5 2�1 0 13 2 4
35 ;E =
24 6 1 3�1 1 24 1 3
35 : Calcular, cuando sea posible:a) D � E b) 2ET � 3DT c) A(BC) d) (DA)T e)
�CTB
�AT f) (�AC)T + 5DT :
9. Dadas las matrices A =
24 3 �2 76 5 40 4 9
35 y B =24 6 �2 40 1 37 7 5
35 : Calcular, sin realizar el productode las dos matrices completamente:
a) La segunda columna de AB: b) La primera columna de BA: c) La tercera columna de AA:
10. En cada apartado, determinar las matrices A, x y b que expresen el sistema de ecuaciones dadoscomo una ecuación matricial Ax = b:
a)
8<:x1 + x2 + 2x3 = 8
�x1 � 2x2 + 3x3 = 13x1 � 7x2 + 4x3 = 10
b)
8>><>>:x� y + 2z � w = �1
2x+ y � 2z � 2w = �2�x+ 2y � 4z + w = 1
3x� 3w = �3
11. En cada apartado, expresar la ecuación matricial como un sistema de ecuaciones lineales:
a)
24 3 �1 24 3 7
�2 1 5
3524 x1x2x3
35 =24 2�14
35 b)
26643 �2 0 15 0 2 �23 1 4 7
�2 5 1 6
37752664wxyz
3775 =26640000
377512. En cada apartado encontrar la forma escalonada y escalonada reducida de la matriz de orden
tres cuyos elementos son
a) aij = i+ j b) aij = ij�1 c) aij =�
1 si ji� jj > 1�1 si ji� jj � 1
13. Sean A =
24 2 �1 30 4 5
�2 1 4
35 ; B =24 8 �3 �50 1 24 �7 6
35 ; C =24 0 �2 31 7 43 5 9
35 ; a = 4 y b = �7:
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Comprobar que se veri�can las siguientes igualdades:
a) (AB)C = A(BC) b) (a+ b)C = aC + bC c) A(B � C) = AB �AC:
d)�AT�T= A e) (A+B)T = AT +BT f) (aC)T = aCT :
g) (AB)T = BTAT h) (AB)�1 = B�1A�1
14. Sean A y B 2Mn(R);¿es cierto que (AB)2 = A2B2? Justi�car la respuesta.
15. En cada apartado, usar la información para calcular A.
a) A�1 =�2 �13 5
�b) (7A)�1 =
��3 71 �2
�c) (I + 2A)�1 =
��1 24 5
�
16. Sea A =�2 04 1
�. Calcular A3; A�3 y A2 � 2A+ I: ¿Se tiene que veri�car que A2 � 2A+ I =
(A� I)2? ¿Es cierto que (A�B)2 = A2 � 2AB +B2 ? Justi�car la respuesta.
17. Demostrar que si una matriz A regular cumple la ecuación A2 � 3A + I = O, entonces A�1 =3I �A:
18. Dadas las matrices A =
24 3 4 12 �7 �18 1 5
35 ; B =24 8 1 52 �7 �13 4 1
35 ; C =24 3 4 12 �7 �12 �7 3
35 :Encontrar matrices elementales F1; F2;F3;; F4; tales que:
F1A = B; F2B = A; F3A = C; F4C = A:
19. Calcular, en el caso de que exista, la inversa de cada una de las siguientes matrices:
a)�1 42 7
�b)�
6 �4�3 2
�c)
24 3 4 �11 0 32 5 �4
35 d)
24 �1 3 �42 4 1
�4 2 �9
35
e)
24 1 0 10 1 11 1 0
35 f)
26641 0 0 01 3 0 01 3 5 01 3 5 7
3775 g)
26641 2 39 5 �10 2 5
�1 3 1
3775
20. Considerar la matriz A =�
1 0�5 2
�:
a) Encontrar matrices elementales F1 y F2 tales que F2F1A = I:
b) Escribir A�1 como un producto de dos matrices elementales.
c) Escribir A como un producto de dos matrices elementales.
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21. Expresar la matriz A =
24 0 1 7 81 3 3 8
�2 �5 1 �8
35 en la forma A = EFGU , donde E;F y G son
matrices elementales y U está en la forma escalonada.
22. En cada apartado, encontrar las condiciones que deben satisfacer las bi para que el sistema tengasolución
a)�6x1 � 4x2 = b13x1 � 2x2 = b2
b)
8<:x1 � 2x2 + 5x3 = b14x1 � 5x2 + 8x3 = b2
�3x1 + 3x2 � 3x3 = b3c)
8<:x1 � 2x2 � x3 = b1
�4x1 + 5x2 + 2x3 = b2�4x1 + 7x2 + 4x3 = b3
23. Considerar las matrices A =
24 2 1 22 2 �23 1 1
35 y x =24 x1x2x3
35 :a) Demostrar que la ecuación Ax = x se puede escribir como (A� I)x = 0 y usar esteresultado para resolver Ax = x:
b) Resolver Ax = 4x:
24. Resolver la ecuación matricial:
24 1 �1 12 3 00 2 �1
35X =
24 2 �1 5 74 0 �3 03 5 �7 2
3525. Encontrar todos los valores de a; b y c para los que la matriz A es simétrica
A =
24 2 (a� 2b+ 2c) (2a+ b+ c)3 5 (a+ c)0 �2 7
3526. Encontrar todos los valores de a y b para los que las matrices A y B no son invertibles si-
multáneamente.
A =
�a (+b� 1) 0
0 3
�B =
�5 00 (2a� 3b+ 7)
�27. Sea A una matriz simétrica.
a) Demostrar que A2 es simétrica.
b) Demostrar que 2A2 � 3A+ I es simétrica.
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Solución de los ejercicios del boletín no 1.
1. a)
8<:x1 = 3x2 = 1x3 = 2
b)
8<:x1 = �1=7� 3sx2 = 1=7� 4sx3 = 7s
con s 2 R.
c)
8>><>>:x = �1 + �y = 2�z = �w = �
con �; � 2 R. d)
8<:a = 4=3� 2�b = �1=2 + 3�=2c = �
con � 2 R.
e) El sistema es incompatible. f)�x1 = 3 + 2tx2 = t
con t 2 R.
g)
8<:x1 = 2� 12
5 tx2 = 5� 3tx3 = t
con t 2 R. h)El sistema es incompatible.
2. a) y c).
3. En ambos casos utilizaremos el método de Gauss.
a) El sistema es C.D. y la única solución es x = y = z = 0.
b)
8>><>>:u = t=2� s=2v = �3t+ 2sw = tx = s
con t; s 2 R.
4. Aplicaremos en ambos casos el método de Gauss.
a) La única solución es x = 23a�
19b; y =
29b�
13a
b) La única solución es
8<:x1 = a� 1
3cx2 = a� 1
2bx3 =
13c� a+
12b
5. Si a2 � 16 6= 0 (o equivalentemente, a 6= 4 y a 6= �4) el sistema es C.D.,si a = 4, el sistema es C.I., si a = �4, el sistema es incompatible.
6. El sistema posee soluciones no triviales si y sólo si a = 2 ó a = 4.
7. Sugerencia: distinguir los casos a 6= 0 y a = 0:
8. a)D � E =
24 �5 4 �10 �1 �1
�1 1 1
35 b) 2ET � 3DT =
24 9 1 �1�13 2 �40 1 �6
35
c) A(BC) =
24 3 45 9�11 �11 177 17 13
35 d) (DA)T =�0 �2 1112 1 8
�
e)�CTB
�AT =
24 12 6 948 �20 1424 8 16
35 f)(�AC)T + 5DT =
24 2 �10 1113 2 54 �3 13
35
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9. a)
24 412167
35 b)
24 6663
35 c)
24 769897
35
10. a)
24 1 1 2�1 �2 33 �7 4
3524 x1x2x3
35 =24 8
110
35 b)2664
1 �1 2 �12 1 �2 �2
�1 2 �4 13 0 0 �3
37752664xyzw
3775 =2664�1�21
�3
3775
11. a)
8<:3x1 � x2 + 2x3 = 2
4x1 + 3x2 + 7x3 = �1�2x1 + x2 + 5x3 = 4
b)
8>><>>:3w � 2x+ z = 05w + 2y � 2z = 0
3w + x+ 4y + 7z = 0�2w + 5x+ y + 6z = 0
12. a) U =
24 1 3=2 20 1 20 0 0
35 ; Ur =24 1 0 �10 1 20 0 0
35
b) U =
24 1 1 10 1 30 0 1
35 y Ur = I3 c)
24 1 1 �10 �1 00 0 1
35 y Ur = I3:13. Sólo se expondrán los resultados de las igualdades.
a) (AB)C = A(BC) =
24 �10 �222 2683 �67 27887 33 240
35 b) (a+ b)C = aC+bC =
24 0 6 �9�3 �21 �12�9 �15 �27
35
c) A(B � C) = AB �AC =
24 20 �32 �231 �84 �23�13 �52 2
35 d) (AT )T = A =
24 2 �1 30 4 5
�2 1 4
35
e) (A+B)T = AT +BT =
24 10 0 2�4 5 �6�2 7 10
35 f) (aC)T = aCT =
24 0 4 12�8 28 2012 16 36
35
g) (AB)T = BTAT =
24 28 20 0�28 �31 �216 38 36
35 h) (AB)�1 = B�1A�1 =
24 � 531456
21208 � 439
4368� 15182
326 � 59
546� 5104
7104 � 11
312
3514. En general la igualdad es falsa. Por ejemplo, si A =
�1 2
�1 3
�y B =
��1 02 1
�, se tiene
(AB)2 6= A2B2:
15. a) A =�
513
113
� 313
213
�b) A =
�27 117
37
�c) A =
�� 913
113
213 � 6
13
�
16. a) A3 =�8 028 1
�, A�3 =
�A3��1
=
�18 0
�72 1
�, A2 � 2A+ I =
�1 04 0
�b) Sí, pues AI = IA = A:
c) En general no es cierto. Sólo se veri�caría si A y B conmutan.
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17. Sugerencia: multiplicar por A�1 los dos miembros de A2 � 3A+ I = O.
18. a) F1 = F13 =
24 0 0 10 1 01 0 0
35, F2 = F13 =24 0 0 10 1 01 0 0
35
b) F3 = F31(�2) =
24 1 0 00 1 0
�2 0 1
35 ; F4 = F31(2) =24 1 0 00 1 02 0 1
3519. a) A�1 =
��7 42 �1
�b) La matriz A no tiene inversa.
c) A�1 =
24 32 �11
10 �65
�1 1 1�12
710
25
35 d) La matriz A no tiene inversa.
e) A�1 =
24 12 �1
212
�12
12
12
12
12 �1
2
35 f) A�1 =
26641 0 0 0
�13
13 0 0
0 �15
15 0
0 0 �17
17
3775g) La matriz A no tiene inversa porque no es cuadrada.
20. a) F2 = F2�12
�=
�1 00 1
2
�y F1 = F21 (5) =
�1 05 1
�b) A�1 = F2
�12
�F21 (5)
c) A = F21 (�5)F2 (2)
21. A = EFGU; siendo E = F21; F = F31 (�2) ; G = F32 (1) ; y U =
24 1 3 3 80 1 7 80 0 0 0
3522. a) 2b2 � b1 = 0.
b) b3 + b2 � b1 = 0.c) El sistema tiene solución para cualquier valor de los bi. Además para cada b el sistema tendrásolución única.
23. a) La única solución es
8<:x1 = 0x2 = 0x3 = 0
b) La solución es
8<:x1 = tx2 = 0x3 = t
24. X =
24 11 12 �3 27�6 �8 1 �18�15 �21 9 �38
3525. a = 11; b = �9; c = �13:
26. a = �45 ; b =
95 :
27. Sugerencia: Hallar la traspuesta.
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Boletín no 2. El espacio vectorial Rn
1. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de R3.
(a) Todos los vectores de la forma (a; 0; 0).
(b) Todos los vectores de la forma (a; 1; 1).
(c) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a+ c:
(d) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a+ c+ 1:
2. Determinar si el espacio solución del sistema Ax = 0 es una recta que pasa por el origen, unplano que pasa por el origen o sólo el origen. Si es un plano, encontrar su ecuación general; sies una recta, encontrar sus ecuaciones paramétricas.
(a) A =
24 �1 1 13 �1 02 �4 �5
35 (b) A =
24 1 2 32 5 31 0 8
35 (c) A =
24 1 �3 12 �6 23 �9 3
353. ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de u = (0;�2; 2) y v = (1; 3;�1)?(a) (2; 2; 2) (b) (3; 1; 5) (c) (0; 4; 5) (d) (0; 0; 0).
4. Expresar cada uno de los siguientes vectores como combinación lineal de
u = (2; 1; 4), v = (1;�1; 3) y w = (3; 2; 5) :(a) (�9;�7;�15) (b) (6; 11; 6) (c) (7; 8; 9) (d) (0; 0; 0).
5. En cada apartado, determinar si los vectores dados generan R3.
(a) v1 = (2; 2; 2), v2 = (0; 0; 3) y v3 = (0; 1; 1) :
(b) v1 = (2;�1; 3), v2 = (4; 1; 2) y v3 = (8;�1; 8) :(c) v1 = (1; 2; 6), v2 = (3; 4; 1), v3 = (4; 3; 1) y v4 = (3; 3; 1) :
6. Explicar, por inspección, por qué los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependi-entes
(a) v1 = (�1; 2; 4), y v2 = (5;�10;�20) :(b) v1 = (3;�1), v2 = (4; 5) y v3 = (�4; 17) :
7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R4 son linealmente independientes?
(a) (3; 8; 7;�3) ; (1; 5; 3;�1) ; (2;�1; 2; 6) ; (1; 4; 0; 3) :(b) (0; 0; 2; 2) ; (3; 3; 0; 0) ; (1; 1; 0;�1) :
8. Determinar si los vectores (�1; 2; 3) ; (2;�4; 6); (�3; 6; 0) pertenecen a un mismo subespacio deR3 de dimensión menor que tres: ¿El vector (1; 1; 0) está en el mismo subespacio?
9. ¿Para qué valores de � los vectores��; �12 ;
�12
�;��12 ; �;
�12
� ��12 ;
�12 ; �
�forman un conjunto lin-
ealmente dependiente en R3?
10. a) Expresar (4a; a� b; a+ 2b) como una combinación lineal de (4; 1; 1) y (0;�1; 2) :b) Expresar (3a+ b+ 3c;�a+ 4b� c; 2a+ b+ 2c) como una combinación li-neal de (3;�1; 2) y(1; 4; 1) :
c) Expresar (1; 1) como una combinación lineal de (1;�1); (3; 0) y (2; 1) de dos formas diferentes.
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11. Explicar, por inspección, por qué los siguientes conjuntos de vectores no son bases en los espaciosvectoriales R2 y R3 respectivamente.
(a) v1 = (3;�1), v2 = (4; 5) y v3 = (�4; 17) :(b) v1 = (3;�1; 9) y v2 = (4; 5; 0) :
12. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R2?a) (2; 1) ; (3; 0) b) (3; 9) ; (�4;�12) c) (0; 0) ; (1; 3):
13. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R3?a) f(1; 0; 0) ; (2; 2; 0) ; (3; 3; 3)gb) f(3; 1;�4) ; (2; 5; 6) ; (1; 4; 8)gc) f(1; 6; 4) ; (2; 4;�1); (�1; 2; 5)g:
14. En los siguientes apartados, determinar la dimensión y una base para el espacio solución delsistema
a)
8<:x1 + x2 � x3 = 0
�2x1 � x2 + 2x3 = 0�x1 + x3 = 0
b)�3x1 + x2 + x3 + x4 = 05x1 � x2 + x3 � x4 = 0
c)
8>><>>:x+ y + z = 0
3x+ 2y � 2z = 04x+ 3y � z = 06x+ 5y + z = 0
15. Determinar bases para los siguientes subespacios de R3:
(a) El plano 3x� 2y + 5z = 0(b) El plano x� y = 0:(c) La recta x = 2t; y = �t; z = 4t:(d) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a+ c:
16. Expresar Ax como una combinación lineal de los vectores columnas de A:
a)�
2 3�1 4
� �12
�b)
24 4 0 �13 6 20 �1 4
3524 �235
35 c)�2 1 56 3 �8
�24 305
3517. En cada apartado, determinar si b está en el espacio columna de A y, en caso a�rmativo, expresar
b como una combinación lineal de las columnas de A:
a) A =�1 34 �6
�, b =
��210
�b) A =
24 1 1 21 0 12 1 3
35, b =24 102
35c) A =
24 1 �1 11 1 �1
�1 �1 1
35, b =24 200
35 :18. En cada apartado, encontrar una base para el espacio nulo de A:
a) A =
24 1 0 31 1 �1
�1 �1 1
35 b) A =
24 1 1 21 0 12 1 3
35 c) A =
24 2 0 �14 0 �20 0 0
35
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19. En cada apartado, encontrar el rango y la dimensión del subespacio nulo de la matriz y comprobarque se veri�ca que el teorema de la dimensión.
a) A =
24 1 �1 35 �4 �47 �6 2
35 b) A =
24 1 4 5 22 1 3 0
�1 3 2 2
35 c) A =
24 2 0 �14 0 �20 0 0
3520. ¿Qué condiciones deben satisfacer b1; b2; b3; b4; b5 para que el siguiente sistema lineal tenga solu-
ción? 8>>>><>>>>:x1 � 3x2 = b1x1 � 2x2 = b2x1 + x2 = b3x1 � 4x2 = b4x1 + 5x2 = b5
21. Analizar como el rango de A varía con t:
a) A =
24 1 1 t1 t 1t 1 1
35 b) A =
24 t 3 �13 6 2
�1 �3 t
3522. ¿Para qué valores de s el espacio solución del sistema (S) es sólo el origen, un subespacio de
dimensión uno o un subespacio de dimensión dos?
(S) :
8<:x+ y + sz = 0x+ sy + z = 0sx+ y + z = 0
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Solución de los ejercicios del boletín no 2.
1. a)�(a; 0; 0) 2 R3: a 2 R
; sí es un subespacio s.v.
b) W =�(a; 1; 1) 2 R3: a 2 R
; no es subespacio.
c) W =�(a; b; c) 2 R3: b = a+ c
sí es subespacio vectorial.
d) W =�(a; b; c) 2 R3: b = a+ c+ 1
; no es subespacio vectorial.
2. a) S = L f(�1;�3; 2)g, es una recta que pasa por el origen.b) S = f(0; 0; 0)gc) S = L f(3; 1; 0) ; (�1; 0; 1)g, es un plano que pasa por el origen.
3. a) w = 2u+ 2v:
b) w no es combinación lineal de u y w:
c) w = 4u+ 3v:
d) El vector 0 es combinación lineal de cualesquiera vectores, en particular 0 = 0u+ 0v:
4. a) t = u� 2v � 2wb) t = �5u+ 4v + wc) t = �2u+ 3w:d) 0 = 0u+ 0v + 0w
5. a) Los vectores fv1; v2; v3g constituyen una base.b) Estos tres vectores no generan R3:c) Los vectores fv1; v2; v3; v4g constituyen un sistema generador que no es base.
6. a) Son l.d. por ser proporcionales.
b) Como dim R2 = 2, en R2 no puede haber conjunto de tres vectores que sean l.i., luego estostres vectores son l.d.
7. a) Los vectores son l.i. b)Los vectores son l.i.
8. Los tres vectores sí pertenecen a este subespacio vectorial de dimensión dos, pero (1; 1; 0) =2 H:
9. Si � 6= 1 y �2�� 1 6= 0 los vectores son l.i. y si � = 1 ó � = �12 los vectores son l.d.
10. a) (4a; a� b; a+ 2b) = a (4; 1; 1) + b (0;�1; 2) :b) (3a+ b+ 3c;�a+ 4b� c; 2a+ b+ 2c) = (a+ c) (3;�1; 2) + b (1; 4; 1) :c) Hay in�nitas formas (1; 1) = (�1+t)(1;�1)+ 2�3t
3 (3; 0)+t (2; 1) ;siendo t 2 R: Haciendo t = 0obtenemos que (1; 1) = �(1;�1) + 2
3(3; 0) y haciendo t = 1 obtenemos (1; 1) = �13(3; 0) + (2; 1).
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11. a) En R2 no puede haber más de dos vectores independientes, luego los vectores fv1; v2; v3g sonlinealmente dependientes y no pueden constituir base.
b) Los vectores v1 y v2 son independientes pero no pueden generar a todo R3, que sabemos quetiene dimensión tres.
12. Sólo la pareja de vectores del apartado a) es l.i y por lo tanto es una base.
13. Los tres conjuntos de vectores son bases de R3:
14. S = N(A):
a) BS = f(1; 0; 1)g y dimS = 1:b) BS = f(�3;�3; 12; 0) ; (0;�3; 0; 3)g y dimS = 2.
c) BS = f(4;�5; 1)g y N(A) = 1.
15. Determinar bases para los siguientes subespacios de R3:a) BS = f(2; 3; 0) ; (�5; 0; 3)g :b) BS = f(1; 1; 0) y (0; 0; 1)g:c) BS = f(2;�1; 4)g :d) BS ={(1; 1; 0) y (0; 1; 1)g:
16. a)�
2 3�1 4
� �12
�= 1 �
�2
�1
�+ 2 �
�34
�.
b)
24 4 0 �13 6 20 �1 4
3524 �235
35 = �224 430
35+ 324 0
6�1
35+ 524 �12
4
35.
c)�2 1 56 3 �8
�24 305
35 = 3 � 26
�+ 5
�5
�8
�.
17. a) b 2 R(A), de hecho b = a1 � a2, donde a1 y a2 son las columnas de A:b) b =2 R(A):c) b 2 R(A), b = a1 + (t� 1)a2 + ta3, siendo t 2 R:
18. a) B = f(�3; 4; 1)gb) B = f(�1;�1; 1)gc) B = f(1; 0; 2) ; (0; 1; 0)g :
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19. a) N(A = L f(16; 19; 1; )g, dimN(A) = 1 y rg(A) = 2. Se veri�ca rg(A) + dimN(A) = 3.b) N(A = L f(�1;�1; 1; 0) ; (2;�4; 0; 7)g, dimN(A) = 2 y rg(A) = 2. Se veri�ca rg(A) +dim (N(A)) = 4.
c) N(A = L f(1; 0; 2) ; (0; 1; 0)g, dimN(A) = 2 y rg(A) = 1. Se veri�ca rg(A) + dim (N(A)) = 3.
20. Ha de veri�carse que
8<:b3 � 4b2 + 3b1 = 0b4 + b2 � 2b1 = 0b5 � 8b2 + 7b1 = 0
Estas son las condiciones que tiene que cumplir b para que el sistema tenga solución. Tambiénse puede decir que son las ecuaciones implicitas del subespacio R(A) � R5.
21. a) Si t = 1; rg(A) = 1;si t = �2; rg(A) = 2; si t 6= 1 y t 6= �2; rg(A) = 3:b) Si t 6= �1
2 ó t 6= 1, rg(A) = 3; si t = �12 , rg(A) = 2; si t = 1, rg(A) = 2.
22. Si s 6= 1 y s 6= �2 entonces el sistema tiene sólo la solución trivial (0; 0; 0). Si s = 1; rg(A) = 1y dimN(A) = 2: Si s = �2; rg(A) = 2 y dimN(A) = 1:
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Boletín no 3: Ortogonalidad y mínimos cuadrados
1. Determinar si el vector (�1; 1; 0; 2) es ortogonal al subespacio de R4,
W = L f(0; 0; 0; 0) ; (1;�5;�1; 2) ; (4; 0; 9; 2)g :
2. ¿Para qué valores de k son ortogonales los vectores u y v?
a) u = (2; 1; 3) y v = (1; 7; k) b) u = (k; k; 1) y v = (k; 5; 6):
3. Determinar una base de W?, siendo W = L f(1; 2)g :
4. Encontrar unas ecuaciones paramétricas para W?, sabiendo que W está determinado por laecuación x� 2y � 3z = 0: Idem si W = L f(2;�5; 4)g :
5. Sea A =
24 1 2 �13 5 01 1 2
35.(a) Encontrar bases para el espacio columna de A y para el espacio nulo de AT :
(b) Comprobar que todo vector en el espacio columna de A es ortogonal a todo vector en elespacio nulo de AT :
6. Encontrar una base para el complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores:
(a) v1 = (1;�1; 3) ; v2 = (5;�4;�4); v3 = (7;�6; 2):(b) v1 = (2; 0;�1) ; v2 = (4; 0;�2):(c) v1 = (1; 4; 5; 2) ; v2 = (2; 1; 3; 0); v3 = (�1; 3; 2; 2):
7. Demostrar que si u y v son vectores ortogonales tales que kuk = kvk = 1 entonces ku� vk =p2:
8. Comprobar que los vectores v1 =��35 ;45 ; 0�; v2 =
�45 ;35 ; 0�; v3 = (0; 0; 1) forman una base
ortonormal para R3. Expresar cada uno de los siguientes vectores como una combinación linealde v1; v2; v3:
a) (1;�1; 2) b) (3;�7; 4):
9. Transformar la base fu1; u2g en una base ortonormal.a) u1 = (1;�3) ; u2 = (2; 2) b) u1 = (1; 0) ; u2 = (3;�5) :
10. Sea S = Lfu1; u2g; un subespacio de R3; determinar una base ortonormal S.a) u1 = (1; 1; 1) ; u2 = (�1; 1; 0) :b) u1 = (1; 0; 0) ; u2 = (3; 7; 2) :
11. Encontrar la proyección ortogonal de u sobre el espacio vectorial generado por el vector a
a) u = (�1;�2); a = (�2; 3) b) u = (1; 0; 0) ; a = (4; 3; 8):
12. a) Encontrar todos los escalares k tales que kkvk = 5, siendo v = (�2; 3; 6):b) Encontrar dos vectores en R2 con norma uno cuyo producto escalar con (3;�1) sea cero.c) Demostrar que existe una in�nidad de vectores en R3 con norma uno cuyo producto escalarcon (1;�3; 5) es cero.
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13. Encontrar la distancia entre u y v, siendo
a) u = (�1;�2); v = (�2; 3); b) u = (1; 0; 0) ; v = (4; 3; 8):
14. Sea W = L��
45 ; 0;�
35
�; (0; 1; 0)
. Expresar el vector w = (1; 2; 3) en la forma w = w1 + w2,
donde w1 2W y w2 2W?.
15. Repetir el ejercicio anterior con W = L f(1; 1; 1) ; (2; 0; 1)g y w = (4; 2; 0):
16. Repetir el ejercicio anterior siendo ahora W = L f(1; 1; 1)g y w = (�1; 1; 0):
17. Encontrar la solución por mínimos cuadrados del sistema lineal Ax = b y hallar la proyecciónortogonal de b sobre el espacio columna de A:
a) A =
24 1 1�1 1�1 2
35 ; b =24 707
35 b) A =
24 2 �21 13 1
35 ; b =24 2�11
35
c) A =
26641 0 �12 1 �21 1 01 1 �1
3775 ; b =26646093
3775 :18. Determinar la proyección ortogonal de u sobre el subespacio W = L fv1; v2g
(a) u = (2; 1; 3); v1 = (�1; 2; 1); v2 = (2; 2; 4)(b) u = (0; 1;�1); v1 = (�1; 2; 1); v2 = (�2; 4; 2):
19. Hallar la proyección ortogonal del vector u = (5; 6; 7; 2) sobre el espacio solución del sistema�x1 + x2 + x3 = 02x2 + x3 + x4 = 0
20. Sea W el subespacio de R3 de ecuación 5x� 3y + z = 0:
(a) Encontrar una base para W:
(b) Encontrar la distancia entre el punto P (1;�2; 4) y el subespacio W:
21. Deteminar cuáles de las siguientes matrices son ortogonales. Para las que lo sean, encontrar suinversa.
a)
"1p2
�1p2
1p2
1p2
#b)
264 0 1 1p2
1 0 00 0 1p
2
375 c)264
�1p2
1p6
1p3
0 �2p6
1p3
1p2
1p6
1p3
375d)264
�1p2
1p2
1p6
1p6
1p3
1p3
37522. Determinar a; b; c tales que la matriz A sea ortogonal. ¿son únicos los valores de a; b; c?
A =
264 a1p2
�1p2
b 1p6
1p6
c 1p3
1p3
37523. Si medimos cuatro veces el peso de un cuerpo, obtenemos los siguietes resultados p1 = 150; p2 =
153; p3 = 150; p4 = 151: ¿Cúal es el valor que asignaríamos al peso según el método de losmínimos cuadrados?
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24. Se ha observado en una granja que la producción diaria de huevos está relacionada con lascantidades de dos comidas �jas x1 y x2, por y = c1x1 + c2x2; con c1; c2 2 R. Para determinarla relación se ha realizado un programa de investigación donde se han obtenido los siguientesdatos:
y 4 5 6 5 4x1 1 0 1 2 1x2 0 1 1 1 2
Encontrar la mejor aproximación utilizando el método de los mínimos cuadrados.
25. Dados los puntos (�1; 0); (0; 3); (1; 2); (2; 1). Ajustar a una recta por el método de los mínimoscuadrados. Repetir la operación ajustando a una parábola.
26. Unos grandes almacenes obtienen los siguientes datos relacionando el número de ventas con elde ventas anuales:
Número de vendedores 5 6 7 8 9 10Ventas anuales (en millones de euros) 2.3 3.2 4.1 5.0 6.1 7.2
Emplear el método de los mínimos cuadrados para ajustar los datos a una recta. Utiliza estarecta para estimar el número de ventas con 14 vendedores.
27. Encontrar la ecuación cúbica y = ax3 + bx2 + cx + d que mejor se ajusta a la nube de puntos(�2;�8); (�1;�1); (0; 3); (1; 1); (2;�1); (3; 0):
28. En un experimento para determinar la capacidad de orientación de una persona, se coloca aun individuo en una habitación especial y después de un cierto tiempo en ella se le pide queencuentre el camino de salida en un laberinto. Los resultados que se obtienen son:
Tiempo en una habitación (horas) 1 2 3 4 5 6Tiempo en salir del laberinto (minutos) 0.8 2.1 2.6 3 3.1 3.3
Encontrar la recta que mejor se aproxime a los datos anteriores y estimar el tiempo que tardaríaen salir una persona que hubiera permanecido en la habitación 10 horas.
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Solución de los ejercicios del boletín no 3.
1. v no es ortogonal a W:
2. a) k = �3 b) k = �2 ó �3:
3. BW? = f(�2; 1)g:
4. a) Unas ecuaciones parámetricas de W? son
8<:x = ty = �2tz = �3t
con t 2 R.
b) Unas ecuaciones paramétricas de W?:
8<:x = 5
2 t� 2sy = tz = s
con t; s 2 R:
5. a) BR(A) = f(1; 3; 1) ; (2; 5; 1)g, BN(AT ) = f(2;�1; 1)g:
b) Sugerencia: veri�car que las bases de R(A) y N(AT ) son ortogonales.
6. a) BW? = f(16; 19; 1)g.b) BW? f(1; 0; 2) ; (0; 1; 0)g.c) BW? = f(�1;�1; 1; 0) ; (2;�4; 0; 7)g :Nota: Observese que dim(W ) + dim(W?) = n:
7. ku� vk2 = (u� v) � (u� v) = u � u � v � u � u � v + v � v = kuk|{z}=1
2 � 2u � v|{z}=0
+ kvk|{z}=1
2 = 1 + 1 = 2,
luego ku� vk =p2.
8. Veri�car que v1 � v2 = v1 � v3 = v2 � v3 = 0 y kv1k = kv2k = kv3k = 1.a) (1;�1; 2) = �7
5v1 +15v2 + 2v3.
b) (3;�7; 4) = �375 v1 �
95v2 + 4v3.
9. a) fw1; w2g =n�
1p10;� 3p
10
�;�
3p10; 1p
10
�o.
b) fw1; w2g = f(1; 0); (0;�1)g.
10. a) fw1; w2g =n�
1p3; 1p
3; 1p
3
�;��1p2; 1p
2; 0�o:
b) fw1; w2g =n(1; 0; 0) ;
�0; 7p
53; 2p
53
�o
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11. Sea S = Lfag; a) proyS(u) =�813 ;�
1213
�.b) proyS(u) =
�1689 ;
1289 ;
3289
�12. a) k = 5
7 y k = �57 .
b)�
1p10; 3p
10
�y �
�� 1p
10;� 3p
10
�.
c) Todos los vectores v = (x; y; z) 2 R3 ortogonales al vector (1;�3; 5) deben pertenecer al planoque pasa por el origen y su ecuación es x � 3y + 5z = 0. De estos vectores debemos encontraraquellos que tienen norma uno. Por tanto, deben pertencer a la esfera de centro el origen y radiouno (cuya ecuación es x2+ y2+ z2 = 1). Es decir, los vectores de norma unidad y ortogonales alvector (1;�3; 5) son los que están en la intersección del plano con la esfera y esta interseccióntiene in�nitos vectores.
13. a) d(u; v) =p26. b) d(u; v) =
p82.
14. w1 =��45 ; 2;
35
�y w2 =
�95 ; 0;
125
�.
15. w1 = (3; 1; 2) y w2 = (1; 1;�2).
16. w1 = (0; 0; 0) y w2 = (�1; 1; 0).
17. a) x1 = 3; x2 = 9=2, b1 = proyR(A) b = (152 ;
32 ; 6)
b) x1 = 3=7; x2 = �2=3. b1 = proyR(A) b = (4621 ;�521 ;
1321)
c) x1 = 12; x2 = �3; x3 = 9;. b1 = proyR(A) b = (3; 3; 9; 0)
18. a) proyW u = u b)proyW u = (�16 ;13 ;16)
19. proyW u = (0; 0; 0; 1):
20. a) B = f(3; 5; 0) ; (�1; 0; 5)g
b) Nos están pidiendo que calculemos kproyW?(v)k =q
457 , siendo v = (1;�2; 4) :
21. a) Si, Q�1 = Qt: b) No c) Si, Q�1 = Qt d) No es cuadrada.
22. (a; b; c) =�0;�
q23 ;
1p3
�y (a; b; c) =
�0;q
23 ;�
1p3
�
23. p =p1 + p2 + p3 + p4
4
Boletines 1-4. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla 19
24. La pseudosolución es c1 = 2, c2 = 2.
25. a) y = 15x+
75 b) y = �x2 + 6
5x+125 .
26. y = 0: 974 29x� 2: 657 1: Con 14 vendedores se estima un volumen ventas de 10: 983 millones deeuros.
27. y = 49x3 � 137
84 x2 + 5
36x+4421 .
28. y = 0:454 29x+0:893 33. Si una persona permanece 10 horas en la habitación, el tiempo estimadopara salir del laberinto es 5: 4362:
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Boletín no 4.Diagonalización de matrices.
1. Obtener los autovalores y bases para los subespacios propios asociados a cada autovalor de lassiguientes matrices
a)�10 �94 �2
�b)�0 34 0
�c)�0 00 0
�d)�1 00 1
�
e)
24 4 0 1�2 1 0�2 0 1
35 f)
24 �1 0 1�1 3 0�4 13 �1
35 g)
24 5 0 11 1 0
�7 1 0
35
2. Calcular los autovalores de la matriz A =
266410 �9 0 04 �2 0 00 0 �2 �70 0 1 2
3775 :3. Encontrar los autovalores y bases para los subespacios propios asociados de la matriz A25, siendo
A =
24 �1 �2 �21 2 1
�1 �1 0
35 :
4. Encontrar los autovalores y autovectores de A�1, siendo A =
24 �2 2 3�2 3 2�4 2 5
35.5. Determinar cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables
a)�2 01 2
�b)�2 �31 �1
�c)
24 3 0 00 2 00 1 2
35 d)26644 0 0 01 �1 0 00 1 2 00 1 4 3
3775 e)26642 �1 0 10 2 1 �10 0 3 20 0 0 3
37756. Determinar si las siguientes matrices son diagonalizables y en caso a�rmativo encontrar unamatriz de paso P y obtener P�1AP:
a)
24 �1 4 �2�3 4 0�3 1 3
35 b)
24 5 0 01 5 00 1 5
35 c)
24 0 0 00 0 03 0 1
35 .7. Encontrar una matriz cuadrada de orden dos cuyos autovalores sean 1 y 2 y tal que V (1) =L f(1; 1)g y V (2) = L f(1; 0)g :
8. Encontrar una matriz cuadrada de orden tres cuyos autovalores sean �1 y 2 y tal que V (2) =L f(1; 1;�1)g y V (�1) =
�(x; y; z) 2 R3 : x� z = 0
.
9. Sean A =
24 �1 7 �10 1 00 15 �2
35 y B =
�1 0
�1 2
�. Hallad A6 y B10 (sugerencia diagonalizar
previamente A y B).
Boletines 1-4. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla 21
10. Diagonalizar las siguienets matrices simétricas.
a)�
6 �2�2 3
�b)
24 1 1 01 1 00 0 0
35 c)24 2 �1 �1�1 2 �1�1 �1 2
35 d)24 3 2 42 0 24 2 3
35 e)24 5 4 24 5 22 2 2
3511. Los autovalores de una matriz simétrica A; de orden tres, son 1;�2 y 3 y los subespacios propios
asociados son V (1) = L f(1; 1;�1)g ; V (�2) = L f(0; 1; 1)g : Obtener una base para V (3) yaveriguar cuál es la matriz A.
12. De una matriz simétrica de orden tres se sabe que tiene por autovalores 1 y �1 y que V (1) =�(x; y; z) 2 R3 : x+ y + z = 0
: Obtener la matriz.
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Solución de los ejercicios del boletín no 4.
1. a) � = 4; m = 2, V (�) = L f(3; 2)g.b) �1 = 2
p3; �2 = �2
p3: V (�1) = L
�(p3; 2)
. y V (�2) = L
�(�p3; 2)
.
c) � = 0; m = 2. V (�) = R2, cualquier base, por ejemplo, f(1; 0) ; (0; 1)g.d) �1 = 1; m1 = 2. V (�1) = R2 y f(1; 0) ; (0; 1)g una base de V (�1).e) �1 = 1; �2 = 2 y �3 = 3: V (�1) = L f(0; 1; 0)g ; V (�2) = L f(1;�2;�1)g. V (�3) =L f(�1; 1; 1)g.f) �1 = 2; m1 = 1. V (�1)) = L f(1; 1; 3)g :g) �1 = 2; m1 = 3. V (�1) = L f(�1;�1; 3)g.
2. �1 = 4; m1 = 2.
3. Autovalores de A : �1 = 1 y �2 = �1. Los autovalores de A25 : �1 = 125 = 1 y �2 = (�1)25 = �1.Los subespacios coinciden: V (1) = L f(�1; 1; 0) ; (�1; 0; 1)g ; V (�1) = L f(2;�1; 1)g :
4. Los autovalores de A son 1; 2 y 3 y los de A�1 son sus inversos: 1; 12 y13 :
VA�1(1) = VA(1) = L f(1; 0; 1)g, VA(2) = VA�1(12) = L f(1; 2; 0)g y VA(3) = VA�1(
13) =
L f(1; 1; 1)g.
5. a) A no es diagonalizable, pues �1 = 2; m1 = 2 6= �1 = 1.b) A no posee ningún autovalor real y es no diagonalizable en R .c) A no es diagonalizable, pues �1 = 1; m1 = �1 = 1, y �2 = 2;m1 = 2 6= �2 = 1.d) Los autovalores son todos distintos: 4;�1; 2 y 3, y la matriz es diagonalizable.e) No es diagonalizable, pues �1 = 2; m1 = 2 6= �1 = 1 y �2 = 3, m2 = 2.
6. a) P =
24 1 2 11 3 31 3 4
35, D =
24 1 0 00 2 00 0 3
35 :b) La matriz no es diagonalizable, pues �1 = 5; m1 = 3 6= �1 = 1:
c) P =
24 �1 0 00 1 0
�3 0 1
35, D =
24 0 0 00 0 00 0 1
357. A =
�2 �10 1
�:
8. A =
24 12 0 �3
232 �1 �3
2�32 0 1
2
35.9. A6 =
24 1 �315 630 1 00 �315 64
35, B10 = � 1 0�1023 1024
�.
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10. a) P =
�1 �22 1
�D =
�2 00 7
�b) P =
24 �1 0 11 0 10 1 0
35 D =
24 0 0 00 0 00 0 2
35 c)P =
24 1 �1 �11 0 11 1 0
35 D =
24 0 0 00 3 00 0 3
35
d) P =
24 2 �1 �11 0 22 1 0
35 y D =
24 8 0 00 �1 00 0 �1
35e) P =24 �1 �1 2
1 0 20 2 1
35 y D =
24 1 0 00 1 00 0 10
35 :11. V (3) = L f(2;�1; 1g ; A =
24 73 �2
323
�23 �1
6 �116
23 �11
6 �16
35
12. A = 13
24 1 �2 �2�2 1 �2�2 �2 1
35 :