MATERIA: MATEMÁTICAS

FINANCIERAS II

BLOQUE I. :

ASESOR:

M.T.E. JOSÉ LUIS PÉREZ GARCÍA

Correo electrónico del asesor joseluisperez@sealapiedad.edu.mx

Página web para los materiales joseluisperez.sealapiedad.edu.mx

SIMBOLOGÍA Icono Descripción

Este icono te invita a que prestes especial atención al tema tratado. Sé cuidadoso en estos puntos, debido a que, por su relevancia, debes enfocarte un poco más en ellos.

Cuando este icono aparezca en tus guías de estudio significa que tu maestro de asignatura te está haciendo una invitación a que, por medio de una lectura detallada, logres tus objetivos de aprendizaje.

Mediante este icono te podrás dar cuenta de los espacios en que se implementarán actividades donde se valoren los conocimientos que has construido.

En esta sección de la guía encontrarás diversos elementos que te permitirán practicar lo aprendido, incluidos, por ejemplo, resúmenes, mapas mentales, ejercicios, tareas, reportes de lecturas, etc.

Es fundamental que este icono lo tengas en consideración, debido a que te indicará aspectos de tu guía que debes analizar cuidadosamente, gracias a su importancia en el desarrollo adecuado de los temas estudiados.

Este símbolo hace énfasis en aquellos aspectos de la guía que no debes dejar pasar por alto, debido a la enorme importancia que implican para el avance de tu guía.

Esta sección de tu guía hace referencia a aquellas actividades que has realizado y que deben ser “almacenadas” como evidencia de tu avance académico. Es importante que guardes estos elementos, debido a que podrán ser requeridos durante toda tu estancia en el bachillerato y con cualquiera de tus maestros y sus respectivas asignaturas.

OBLIGACIÓN

Al enviar un mensaje de correo electrónico al asesor debes asegurarte que lo envíes con la siguiente información en el apartado Asunto o subject. Nombre de la actividad, nombre de la asignatura y tu nombre completo.

Monto, capital e interés.

4 Aplicaciones del concepto de inflación.

2

Interés compuesto.

1

CONTENIDO

Tasa y tiempo.

3

Evaluación Diagnóstica

Sistema de Evaluación

Contesta con cuidado, conscientemente y de manera reflexiva.

1. ¿Qué es el interés compuesto?

2. ¿En qué situaciones puedes aplicar el interés compuesto?

3. ¿Qué es una tasa de interés?

Que se te calificará:

Examen 30 %.

Proyecto de solución 50 %.

Formulario y ejercicios 20 %.

Al estudiar Matemáticas Financieras I, nos dimos cuenta que al calcular el interés

simple, el capital permanece constante durante el plazo del préstamo. Y en

Matemáticas Financieras II vamos a ver que cuando se calcula el interés

compuesto, el capital aumenta por la adición de los intereses vencidos al final de

cada uno de los periodos de tiempo a que se refiere la tasa. Siempre que no se

paga efectivamente el interés al final de un periodo, sino que se añada al capital,

se dice que los intereses se capitalizan. El interés compuesto en nuestra vida es fundamental para entender las

Matemáticas Financieras, es por eso que este semestre tiene la finalidad de

otorgarles una educación financiera, que los prepare al mundo de los préstamos

al que van a estar inmersos en un futuro. Entonces, es que vamos a allegarnos

de los conocimientos necesarios, y con la aplicación del interés compuesto

entenderemos cómo obtenemos intereses sobre intereses, esto es la

capitalización del dinero en el tiempo. Por tanto, si calculamos el monto del interés

sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en periodos anteriores

lo obtendremos; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a

convertirse en nuevo capital.

El cálculo del interés compuesto puede ser una tabla de

salvación si se emplea como medida de prevención en

caso de hablar de préstamos y créditos y una buena

forma de evaluar una inversión si lo que se pretende es

calcular el interés final de la misma. Y si hablamos de

inversiones y planes de ahorros, el interés o la rentabilidad

nos permitirán analizar las plusvalías que obtendremos por

nuestros ahorros.

Todas las operaciones financieras se realizan con base en el interés

compuesto, esto es así para poder capitalizar intereses, concepto que hace

referencia a aquellos intereses que, si bien se liquidan, no se pagan y pasan a

formar parte del capital con lo que en los periodos siguientes generan nuevos

intereses.

Por lo que al terminar de estudiarlo vamos a saber calcular el pago final de

un préstamo o una deuda, ya que actualmente el interés compuesto es el que

domina el sistema financiero y cualquier tipo de crédito se determina con las tasas

de intereses que aplicaremos en este bloque.

Diferencia entre interés simple e interés compuesto

Básicamente, existen dos tipos de interés: el interés simple y

el interés compuesto.

El interés simple es el que ganas únicamente sobre el capital

que tienes trabajando. Por tanto, este interés permanece constante al

paso del tiempo (siempre y cuando el monto del capital no cambie).

Por consiguiente, es la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo

predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio

económico llamado interés. Y a su vez, los intereses producidos por el capital

principal en un cierto periodo no se acumulan para generar los intereses que

corresponden al siguiente periodo.

El interés compuesto es el que ganas cuando al capital, se le va sumando

el monto de los intereses que se van ganando, y sobre esa nueva cifra se calcula

el nuevo interés. Por tanto, va creciendo conforme pasa el tiempo. Por lo que este

interés, se refiere al beneficio (o costo) del capital principal a una tasa de interés

durante un cierto periodo de tiempo, en el cual los intereses obtenidos al final de

cada periodo no se retiran, sino que se añaden al capital principal reinvirtiéndose.

La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto

consiste en:

A) El interés simple liquida los intereses cada periodo y se pagan

inmediatamente y en cambio, el interés compuesto acumula los intereses

para formar un nuevo capital denominado monto, y sobre este monto se

calculan los nuevos intereses del siguiente periodo.

B) El interés simple que produce el capital invertido será igual en todos los

periodos mientras dure la inversión, por otra parte, en el interés

compuesto los intereses se reinvierten.

C) El interés simple es menor que el interés compuesto, ya que el segundo

no gana intereses que aumenta el capital y el interés compuesto gana

intereses por sí mismo.

Ejemplo:

Diferencia de interés simple e interés compuesto

En la siguiente tabla se aprecia el cálculo realizado para un capital de $100

colocado al 10% anual de interés durante 5 años.

Actividad a desarrollar

Diseña un recuadro donde se ejemplifique la diferencia que existe entre interés simple e interés compuesto, como lo viste en el recuadro anterior, con base en a una situación que hayas vivido. Posteriormente, escribe tres diferencias entre ambos intereses. Y por último, justifica con tu opinión personal cómo aplicarías en tu vida cotidiana el comparativo de estos intereses. Cuando hayas terminado, súbelo a la plataforma.

Interés compuesto o monto Se le conoce como interés sobre interés,

se define como la capitalización de los

intereses al término de su vencimiento. Es el

interés que proviene del capital, sumando con

los intereses del mismo capital.

Este representa el costo del dinero,

beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o

principal a una tasa de interés (i) durante un

periodo (n), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada periodo de

inversión no se retiran (ni entregan a los socios) sino que se reinvierte

añadiéndose al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital

final (M) o monto.

Para un periodo determinado es:

Capital final (M) = capital inicial (C) más los intereses ( i ).

CAPITAL FINAL O MONTO: Es el capital obtenido más el interés ganado.

Para calcular el interés compuesto se necesita conocer las variables que lo

generan.

1. Capital inicial, conocido también como capital o valor presente 2. Capital final también conocido como monto final o valor futuro 3. Tasa de interés 4. Tiempo o número de periodos

Valor presente

Es la cantidad de dinero (actual) que se invierte o se presta ahora, a una tasa

de interés y durante algunos periodos.

Valor futuro

Es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la

transacción. Equivale a un pago único futuro.

Tasa de interés

Es el porcentaje que le aplicas al capital, en cierto periodo de tiempo.

Tiempo o número de periodos

Son los periodos durante los cuales se invierte o se presta el capital, que puede

ser, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral y anual.

Hasta el momento hemos visto los elementos que conforman un monto o

capital final (M), y actualmente son pocas las operaciones que se trabajan con

interés simple y lo más usado es el interés compuesto sobre todo en el sistema

financiero.

La fórmula básica para el interés compuesto es:

M = C (1 + i)n

Para calcular el valor futuro donde:

M = Monto de capital (al final del tiempo de capitalización) o valor futuro

C = Capital inicial o valor presente i = Tasa de interés (por periodo de capitalización)

n = Tiempo o número de periodos.

Y manipulando la fórmula podemos calcular, valor presente ( C ), la tasa de

interés ( i ) y el número de periodos (n), las fórmulas quedarían de la siguiente

manera:

𝐶 =𝑀

(1+𝑖)𝑛 Calcular el valor presente si sabemos el valor futuro, la tasa de

interés y el número de periodos.

𝑖 = (𝐶

)1/𝑛

− 1 Calcular la tasa de interés si sabemos el valor presente,

el valor futuro y el número de periodos.

𝑛 =𝐼𝑛(

𝑀

𝐶)

1/𝑛

𝐼𝑛(1+𝑖) Calcular el número de periodos si sabemos el valor

presente, el valor futuro y la tasa de interés.

Actividad a desarrollar

En clase, elabora un formulario con el modelo matemático principal y despeja para identificar los modelos matemáticos de las variables, que la integran del interés compuesto, transfórmalo de tal manera que le puedas seguir añadiendo fórmulas de los siguientes temas que vamos a ver en los siguientes bloques. Personalízalo para que puedas plasmar tu nombre completo, grupo, fotografía (imagen o dibujo), la materia y algo que te describa (pensamiento, frase, canción, etc.), utiliza tu creatividad de manera respetuosa.

Ejercicios

1. Averiguar en qué se convierte un capital de $1,200,000 al cabo de 5 años, y a

una tasa de interés compuesto anual de 8 %.

Aplicando la fórmula M = C (1 + i ) n

Reemplazamos con los valores conocidos:

8 i = 100 = 0.08

En tasa de interés compuesto

Capital inicial C= 1,200,000.00

Tiempo en años n = 5

M = 1,200,000.00 (1 + 0.08) 5

M = 1,200,000.00 (1.08) 5

M = 1,200,000.00 * 1.4693280

M = 1,763.19

2. Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual

de 10% se ha convertido en $1,583.94 pesos. Calcula el capital inicial,

sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.

Aplicando la fórmula M = C (1 + i ) n

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final M = $1,583.94 pesos

Tiempo en a;os n = 7

𝑖 =10

100=

0.10

2= 0.05

𝐶 =1,583,945.00

(1 + 0.05)2∗7

𝐶 =1,583,945.00

(1.05)14

𝐶 =1,583,945.00

1.9799316

C = 799,999.99

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Interés compuesto

En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y

resuélvelos con el uso de tu formulario.

1. Laura compró un carro con un valor de $150,000 pesos y firmó un pagaré a 3

años, a una tasa de interés compuesto anual de 2%. ¿Cuánto va a pagar al

final del plazo?

2. José invirtió un capital durante 3 años a una tasa de interés compuesto anual

de 15% y se ha convertido en $585,000 pesos. Los intereses se pagaron

bimestralmente. ¿Cuál fue el capital inicial?

3. Digamos que pretendemos tener $30,000 dentro de 4 años. Si el banco paga

una tasa de 8% anual, ¿cuánto necesitamos como capital inicial?

4. El Sr. Suárez compró una camioneta último modelo a $500,000 y el monto final

calculado fue de $1,281,652 pesos, si el pago se calculó a dos años. ¿Cuál fue

la tasa interés mensual que se aplicó?

5. Se solicitó un préstamo bancario por $50,000 pesos a una tasa de interés

compuesto anual de 60%. El monto final fue de $97,175 pesos. ¿Qué periodo

fue el que derivó el capital final?

Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de $800,000 pesos.

6. Se realiza una inversión por $3,000,000 pesos en un banco. ¿En qué fecha

valdrá $4,000,000 pesos si la tasa de interés es de 35% compuesta

mensualmente?

7. Se desea hacer un ahorro de $25,000,000 pesos al cabo de 2 años. ¿Qué

cantidad debe depositarse hoy si el banco paga un interés bimestral de 45%?

Tasas de interés Contesta las siguientes preguntas y coméntalas en plenaria con el grupo.

1.- ¿Qué es una tasa de interés?

2.- ¿Para qué te sirve calcular la tasa de interés?

3.- En tu vida cotidiana, ¿dónde se hace presente la tasa de interés?

La tasa de interés la podemos apreciar en la actualidad en las

inversiones, los descuentos de las tiendas de autoservicio, en

los préstamos, intereses bancarios, hipotecarios, intereses

moratorios, etc.

Es el porcentaje al que se invierte un capital en una unidad de tiempo. Podría

decirse que la tasa de interés es el precio del dinero que se paga o se cobra para

pedirlo en préstamo en un momento determinado.

La tasa de interés puede ser:

a) Fija: se mantiene estable mientras dura la inversión.

b) Variable: se actualiza, por lo general, de manera mensual, para adaptarse

a la inflación, la fluctuación del tipo de cambio y otras variables.

Cabe destacar que la tasa de interés es un porcentaje inferior al principal

(capital) que se cobra por los préstamos que se conceden para la realización de

ciertas actividades específicas.

La relación entre dos variables financieras (interés y tasa) se conoce como tasa

de interés, la cual expresa la relación que existe entre una cantidad y otra distinta.

El interés, por otra parte, es el valor, la utilidad, el provecho o la ganancia de algo.

Estos dos conceptos nos permiten acercarnos a la noción de tasa de interés,

que es el precio del dinero que se paga o se cobra para pedirlo o cederlo por un

periodo determinado.

La tasa de interés se puede presentar de 3 maneras en el interés compuesto:

a) Tasa nominal b) Tasa efectiva c) Tasa equivalente

Tasa nominal. La tasa de interés nominal es aquella que refleja la rentabilidad

o el costo de un producto financiero de manera periódica que se basa en la tasa

de interés efectiva. Se conoce como el interés que capitaliza más de una vez al

año. Se trata de un valor de referencia utilizado en las operaciones financieras

que suele ser fijado por las autoridades para regular los préstamos y depósitos,

es decir, es la tasa de interés anual pactada que rige una operación financiera

durante un plazo determinado.

Por ejemplo: la tasa nominal suele expresarse con base anual.

Los contratos, de todas formas, pueden especificar que el

interés se calculará varias veces durante el año (ya sea

mensual, trimestral, semestral u otro periodo). El año, por tanto,

puede dividirse en doce meses, cuatro trimestres o dos

semestres. Si la tasa de interés es de 2% por trimestre, es

posible hablar de una tasa nominal anual de 8% (ya que el año tiene cuatro

trimestres).

La tasa efectiva, o efectiva anual, (su base es la tasa nominal), en cambio, señala

la tasa a la que efectivamente está colocado el capital. Como la capitalización del interés se produce una cierta cantidad de veces al año, se

obtiene una tasa efectiva mayor que la nominal. La tasa efectiva, por otra

parte, incluye el pago de intereses, impuestos, comisiones y otros gastos

vinculados a la operación financiera.

Si tenemos una tasa de interés de 2% mensual, podría decirse que la tasa nominal

es de 6% por trimestre (2% mensual por tres meses). Dicha tasa, por tanto, no

tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. La tasa efectiva, en cambio,

considera también la capitalización del dinero.

La tasa nominal suele estar referenciada a un periodo de un año, aunque

implica varios pagos de intereses en dicho plazo. La tasa efectiva, por su parte,

solo mide el rendimiento en el periodo en que se realiza el pago o cobro.

Tasa de interés equivalente. Es cuando dos o más tasas periódicas de

interés son equivalentes, si con diferente periodicidad producen el mismo interés

efectivo al final de cualquier periodo. La costumbre es considerar este periodo de

un año. Es decir, cuando dos tasas de interés anuales con diferentes periodos

serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

El procedimiento para obtener una tasa de interés ya sea nominal o efectiva,

es el siguiente:

• Sea “i” la tasa de interés efectiva anual • Sea “j” la tasa de interés nominal anual • Sea “m” el número de veces que la tasa nominal se capitaliza al año.

Actividad a desarrollar

Añade a tu formulario los modelos matemáticos de las tasas de interés, así como los modelos matemáticos que se puedan despejar de éstas, no incluyas los nombres de las fórmulas, únicamente éstas.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Tasas de interés

En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y

resuélvelos con el apoyo de tu formulario.

1. Determina la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si

la tasa nominal es de 45% anual capitalizable bimestralmente.

2. Lorenzo pidió un préstamo de $18,500 pesos a la tasa efectiva de 35% anual

capitalizable semestralmente. Determina la tasa nominal

3. Para una tasa que produce un rendimiento de 25% anual efectivo determina

su tasa nominal capitalizable cuatrimestralmente.

4. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de

$1,000.00 pesos, pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente?

5. Determina la tasa nominal convertible trimestralmente, que produce un

rendimiento anual de 40%.

Tasa de interés combinado con interés compuesto

Ejemplo que el profesor te explicará en clase para que puedas diseñar tu

proyecto.

Juan Pérez fue a una financiera por un préstamo y quiere saber, ¿a qué tasa

nominal convertible semestral, un capital de $22,000.00 pesos crecerá a

$68,000.00 pesos en tres años?

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. ¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de

$30,000.00 pesos crecerá a $100,000.00 pesos en cinco años?

2. Calcular la tasa efectiva semestral de una ganancia de $15,000 y un

capital de $10,000.00 pesos, si se depositó a 8 años. Determina la

tasa del interés compuesto, para que posteriormente puedas aplicarla a

la tasa efectiva.

Proyecto del Bloque I

Diseñar tres problemas donde se presenten situaciones combinadas de interés

compuesto y tasa de interés ya sea nominal o efectiva.

Ya terminado tus ejercicios, formulario y el proyecto, envía el o los archivos

originales, creados en el procesador de textos, al asesor para su revisión y

calificación.

No olvides enviar o guardar este proyecto en tu Portafolio de Evidencias.

Revisando tus conocimientos

Contesta con atención y honestamente. Si tienes serias dificultades para

contestar estas preguntas es mejor que estudies un poco más, tu

material de estudio, antes de avanzar.

1. ¿Cuáles operaciones básicas viste durante el bloque?

2. ¿Qué es la inflación?

3. Define capital, interés, tasa y tiempo.

Qué sabes hacer ahora…

Derechos de Autor

MATEMÁTICAS FINANCIERAS I

Edición, agosto de 2016

Actualizado por:

C.P. Margarita Castillo González

Lic. Araceli Ahumada Muñoz

Lic. Arely Mariet Cordero Gañiño

Edición, agosto de 2019

Actualizado por:

Lic. Dora Julita Villaseñor Pimienta

Lic. Araceli Ahumada Muñoz

Lic. Laura Carolina Amador Guzmán

En la realización del presente material, participaron:

JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Lic. Teresa López

Pérez

EDICIÓN, AGOSTO DE 2019

Lic. Gerardo Enríquez Niebla

Ing. Diana Castillo Ceceña

Lic. Alba Ruth González Ruelas

I.Q. Gabriela López Arenas

La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.