MATERIA: MATEMÁTICAS

FINANCIERAS II

BLOQUE II. :

ASESOR:

M.T.E. JOSÉ LUIS PÉREZ GARCÍA

Correo electrónico del asesor joseluisperez@sealapiedad.edu.mx

Página web para los materiales joseluisperez.sealapiedad.edu.mx

SIMBOLOGÍA Icono Descripción

Este icono te invita a que prestes especial atención al tema tratado. Sé cuidadoso en estos puntos, debido a que, por su relevancia, debes enfocarte un poco más en ellos.

Cuando este icono aparezca en tus guías de estudio significa que tu maestro de asignatura te está haciendo una invitación a que, por medio de una lectura detallada, logres tus objetivos de aprendizaje.

Mediante este icono te podrás dar cuenta de los espacios en que se implementarán actividades donde se valoren los conocimientos que has construido.

En esta sección de la guía encontrarás diversos elementos que te permitirán practicar lo aprendido, incluidos, por ejemplo, resúmenes, mapas mentales, ejercicios, tareas, reportes de lecturas, etc.

Es fundamental que este icono lo tengas en consideración, debido a que te indicará aspectos de tu guía que debes analizar cuidadosamente, gracias a su importancia en el desarrollo adecuado de los temas estudiados.

Este símbolo hace énfasis en aquellos aspectos de la guía que no debes dejar pasar por alto, debido a la enorme importancia que implican para el avance de tu guía.

Esta sección de tu guía hace referencia a aquellas actividades que has realizado y que deben ser “almacenadas” como evidencia de tu avance académico. Es importante que guardes estos elementos, debido a que podrán ser requeridos durante toda tu estancia en el bachillerato y con cualquiera de tus maestros y sus respectivas asignaturas.

OBLIGACIÓN

Al enviar un mensaje de correo electrónico al asesor debes asegurarte que lo envíes con la siguiente información en el apartado Asunto o subject. Nombre de la actividad, nombre de la asignatura y tu nombre completo.

Tipos de anualidades.

2

Anualidades.

1

CONTENIDO

Evaluación Diagnóstica

Sistema de Evaluación

Contesta con cuidado, conscientemente y de manera reflexiva.

1. ¿Qué es una anualidad?

2. ¿Qué periodos se consideran anualidad?

3.

Para ti, ¿cuál sería un ejemplo de anualidad?

Que se te calificará:

Examen 40 %.

Ejercicios y actividades 60 %.

Anualidad El término anualidad, no es nada ajeno a la vida diaria, ya que cualquier

persona tiene vigente por lo general alguna deuda de este tipo, por ejemplo: la

mayoría de la gente al comprar una casa, lo hace con dinero prestado generalmente

por instituciones bancarias o de crédito (bancos, Infonavit, financieras, Fonacot,

etc.) que se compromete a liquidar mediante pagos mensuales durante un lapso

que varía generalmente entre 1 a 30 años. Calcular de uno en uno cada uno de los

pagos con su respectivo interés sería muy laborioso, por tal motivo, los financieros

han desarrollado fórmulas y tablas que convierten la solución de problemas que

involucran a un número muy alto de pagos, algo tan sencillo como es el manejo de

una cantidad única a pagar.

A las series de pagos mensuales equivalentes que la persona efectúa al

comprar una casa se le denomina anualidad. El pago de intereses sobre préstamos,

bonos, las primas de seguros y los pagos sobre gastos de instalación, son típicos

ejemplos de lo que es una anualidad. En general, todo conjunto de pagos de igual

denominación, a efectuarse en iguales intervalos, constituye una anualidad.

El uso de los pagos en forma de anualidad, es muy conveniente en muchas

ocasiones ya que por lo general una persona no tiene el dinero suficiente para cubrir

un pago requerido al comprar algún bien en una sola exhibición, por ejemplo, una

casa, un auto, o algún otro producto o bien cuyo costo sea elevado. El costo total

de la deuda como vimos anteriormente, se divide en pagos a plazos con cierta tasa

de interés, esto facilita por supuesto la adquisición de ciertos tipos de productos o

bienes que pueden ser adquiridos de esta forma.

Concluimos entonces, que es de vital importancia el conocimiento sobre este tema,

ya que cualquier persona en algún momento de su vida ya sea al comprar un

celular, una tablet o bien una casa, un auto, la renta de algún bien inmueble, tendrá

que pagar algún tipo de anualidad; por ello es conveniente para los intereses

personales el conocer y qué mejor saber calcularlos, mediante las fórmulas que

veremos en este tema.

Anualidades

Es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos

de tiempo iguales y con interés compuesto, es decir, un conjunto de pagos iguales

realizados a intervalos iguales de tiempo.

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes

características:

1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma

tasa.

4. El número de pagos debe ser igual al número de períodos.

La palabra anualidad indica periodos anuales; teniendo como frecuencia

cualquier otra como pueden ser:

• Mensual

• Semanal • Semestral

• Diaria

Algunos ejemplos de anualidades son:

- Pagos mensuales por la renta de un local o departamento - Cobro quincenal de sueldos - Pagos anuales a las pólizas de seguro

Elementos de las anualidades

En una anualidad intervienen los siguientes elementos:

Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente y se expresa con

“R”.

Plazo: Es la duración de la anualidad. Tiempo que transcurre entre el inicio y el fin

de la anualidad (cada uno de los periodos conforman el plazo a pagar).

Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro, es decir, el

intervalo de tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, representado por “n“.

Valor presente: Es el valor actual de un capital que no es inmediatamente exigible,

es decir, el valor equivalente de la renta al inicio del plazo. Se expresa como “C”.

Valor futuro: Es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la

transacción. Se expresa con “M”. Tasa: Es el tipo de interés que se fija en la

operación. Puede ser efectiva o capitalizable una vez en el año; o bien, nominal, si

se capitaliza más de una vez en el año, se expresa en porcentaje y está

representado por “i”.

Actividad a desarrollar

En clase, identifica los elementos de anualidades en la descripción del siguiente problema.

El propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6,500 por mes. La renta que cobro fue de $78,000 pero decidió depositarlo en una inversión del 18% que le dio a ganar $107,000.

Clasificación y aplicación de las anualidades

Para clasificar las anualidades vamos a distinguir las cuatro clasificaciones:

Las anualidades según pagos son vencidas y anticipadas:

– Anualidades vencidas: cuando el pago correspondiente a

un intervalo se hace al final del mismo, es decir, es aquella

en la cual los pagos se hacen al final de cada periodo, por

ejemplo: el pago de salarios a los empleados, ya que

primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago. Se

representa así:

– Anualidades anticipadas: cuando el pago se hace al inicio del intervalo, es

decir, los pagos se hacen al principio del periodo, por ejemplo, el anticipo del

arrendamiento de una casa, ya que primero se paga y luego se habita el

inmueble.

Las anualidades para aplicarse en un contexto de tiempo son ciertas

y contingente. En estas intervienen como nombre lo dice, el tiempo,

es decir, la fecha de la anualidad de inicio y fin:

– Anualidades ciertas: Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo:

al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el

primer pago, como la fecha para efectuar el último pago. Ejemplo: las tarjetas

de crédito.

– Anualidad contingente: La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o

ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: una renta vitalicia que se obliga a un

cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge,

que no se sabe exactamente cuándo.

Las anualidades de iniciación, como su nombre lo dice es el momento

en el que inicia el pago, ya sean diferidas o inmediatas, son:

– Anualidades diferidas: La realización de los cobros o pagos se hace tiempo

después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: se adquiere hoy un

artículo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de

hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.

– Anualidades inmediatas: Es cuando los pagos se hacen desde el primer

periodo. Ejemplo: la compra de un departamento, donde el enganche se paga

en abonos desde el día de la compra.

Las anualidades de intereses pueden ser generales o simple:

– Anualidades generales: Son aquellas que el periodo de pago no coincide con

el periodo de capitalización. Ejemplo: el pago de una renta semestral con

intereses a 30% anual capitalizable trimestralmente.

– Anualidades simples: Cuando el periodo de pago coincide con el de

capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con

intereses a 18% capitalizable mensualmente.

Actividad a desarrollar

En clase, representa mediante un cuadro sinóptico la clasificación de las anualidades donde se identifiquen cada una de ellas, el modelo matemático, un ejemplo y una breve explicación que las defina.

Los tipos de anualidades son de monto, renta y valor presente.

Anualidades según el monto:

En las anualidades el monto es uno de los elementos que vale la pena

destacar. Los elementos que intervienen en este tipo de anualidad son: renta,

periodo y tasa, donde buscamos el valor futuro expresado por M.

Ejemplo:

¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $10,000.00

pesos al final de cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 66% anual

convertible mensualmente?

Primero vamos a representar la situación en un diagrama de tiempo y valor:

Segundo, sustituir datos y aplicar la fórmula.

El interés i = 66% = 0.66 anual si lo convertimos a mensual sería 0.66/12 = 0.055

mensual

Aplicando la fórmula el resultado queda de la siguiente forma:

10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

Resolución de problemas

Anualidades. Monto

En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y resuélvelos con el

uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que lo resuelva.

1. ¿Cuál es el monto de $20,000 pesos semestrales depositados durante 4 años y

medio en una cuenta bancaria que rinde 48% capitalizable semestralmente?

2. Laura Díaz deposita $10,000 pesos al mes de que su hijo inició trámites para la

universidad. Continúa haciendo depósitos mensuales por esa cantidad hasta que

su hijo se gradúa, para ese día, entregarle lo acumulado como herencia. Si

durante los 6 años pagó 36% anual convertible mensualmente, ¿cuánto recibió

su hijo al graduarse?

Anualidades según el valor presente

Es el valor actual de un Capital que no es inmediatamente exigible, es decir, el valor

equivalente de la renta al inicio del plazo. Se expresa como C.

¿Cuál es el valor actual de una renta bimestral de $45,000 pesos depositados

al final de cada uno de los 7 bimestres, si la tasa de interés es de 9% bimestral?

Sustitución de datos.

C = ? R = 45,000 i = 0.09 n = 7 (el tiempo está representado en

bimestres)

Diagrama de tiempo y valor

1. ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $10,000 pesos al final de cada

3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual de 56% convertible

trimestralmente?

2. ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil?

- Pagar $600,000 pesos de contado, o

- $250,000 pesos de enganche y $37,500 pesos al final de cada uno de los 12

meses siguientes, si el interés se calcula a razón de 62% convertible

mensualmente?

Anualidades según la renta

Se conoce como renta el pago periódico que se realiza con intervalos iguales

de tiempo, se expresa con R.

¿Cuánto debe invertir Ana Gutiérrez al final de cada mes durante los próximos

7 años en un fondo que paga 63% convertible mensualmente con el objeto de

acumular $10,000,000 pesos al realizar el último depósito?

M = 10,000,000 R = ? i = 0.63/12 = 0.0525 n = 7 (12)= 84

(el tiempo está representado en meses)

Resolución de problemas

Anualidades. Renta

En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y

resuélvelos con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que lo resuelva.

1. Una persona debe pagar $60,000 pesos al final de cada periodo, durante dos

años. ¿Cuánto tendría que pagar a fines de cada mes para sustituir el pago

anual, si se consideran intereses a razón de 75% anual convertible

mensualmente?

2.- ¿Cuánto debe invertir José Miranda al final de cada bimestre durante los

próximos 4 años en un fondo que paga 55% convertible bimestralmente con el

objeto de acumular $20,000 pesos al realizar el último depósito?

Actividad a desarrollar

En clase, añade a tu formulario los modelos matemáticos de anualidades de monto, valor presente, rentas; y los modelos de las clasificaciones que son: vencidas, anticipadas, ciertas, contingentes y diferidas, así como los modelos matemáticos que se puedan despejarlas, no incluyas los nombres de las fórmulas, únicamente éstas.

Aplicación de modelos matemáticos en la clasificación de anualidades.

Para efectos de clase solo practicaremos algunas de las anualidades y sus

modelos matemáticos ya que son las de mayor aplicación actualmente, las cuales

serán las anualidades vencidas, anticipadas, ciertas y diferidas, que a continuación

se ejemplifican.

Las anualidades según pagos son vencidas y anticipadas:

Anualidades vencidas

También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo

indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es

decir, al final de cada periodo.

Ejemplo de valor futuro

En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1,500 pesos en una

cuenta que abona 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12

años, aumentó sus consignaciones a $3,000 pesos. Calcular la suma que tendrá a

disposición de ella a los 18 años.

Ejemplo de valor presente:

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes

condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2

años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última

mensualidad. Para el cálculo, utilizar 9% con capitalización mensual.

Resolución de problemas

Anualidades vencidas

En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y

resuélvelos con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que

lo resuelva.

1. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan:

$14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un

último pago de $2.500, si se carga 12% con capitalización mensual? VP

2. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima

que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el

rendimiento del dinero es de 8%. VP

3. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona 6%

de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo

de 20 años. VF

4. Calcular el valor de contado de una computadora vendida en las siguientes

condiciones: $3,000 de contado; $500 por mensualidades vencidas durante un

año y ocho meses y un último pago de $1.500 un mes después de pagada la

última mensualidad. Para el cálculo, utilizar 6% con capitalización mensual. VF

Anualidades anticipadas

Las anualidades anticipadas generan un mayor valor actual que las vencidas,

porque el primer depósito es inmediato y producen intereses más pronto que las

vencidas.

Fórmulas de anualidades anticipadas

Valor Futuro F = Valor futuro

(1 + i )n+1 -1

F = A [ -1 ]

i n = tiempo

Valor presente A = anualidad

1 -(1 + i )-n+1

P = A [ 1 + ]

i P = Valor presente

Ejemplo de valor futuro:

Se considera una anualidad anticipada de 23 depósitos bimestrales de $1,

000 cada uno, con 4% tasa anual. Se desea calcular la cantidad que se puede

acumular en 23 bimestres, es decir, el valor futuro.

Ejemplo de valor presente:

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con

pagos de $3,000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es de 12%

convertible mensualmente.

Resolución de problemas

Anualidades anticipadas

En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y resuelve

los siguientes problemas con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula

que lo resuelva.

1. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada

mes, durante 1.5 años en una cuenta de ahorros que gana 19% anual convertible

mensualmente? VP

2. José Luis pretende invertir una anualidad anticipada de 15 depósitos bimestrales

de $1,500 cada uno, con 16% tasa anual. Se desea calcular la cantidad que se

puede acumular en 15 bimestres, es decir, el valor futuro. VP.

3. Un arquitecto desea ahorrar $4,000 mensuales durante 5 años. Si sus ahorros

ganan 5.4% convertible mensualmente, ¿cuánto habrá acumulado al mes

siguiente del último depósito? VF.

4. María Luisa vendió una propiedad al contado, cuya propiedad vendida a 10 años

de plazo, con pagos de $3,500 mensuales por mes anticipado, si la tasa de

interés es de 24% convertible mensualmente. VP

Las anualidades para aplicarse en un contexto de tiempo son ciertas y

contingente. En estas intervienen como nombre lo dice, el tiempo, es

decir, la fecha de la anualidad de inicio y fin:

Anualidades ciertas

Sus fechas de pago son fijas y se estipulan de antemano.

Una empresa hará un fondo de ahorro para acumular durante 12 años la suma

necesaria para renovar parte de sus equipos de trabajo, para lo cual invertirá $500

pesos al final de cada mes, a la tasa de 7% anual. ¿Cuánto tendrá al finalizar el

plazo?

Resolución de problemas

Anualidades ciertas

En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y

resuélvelos con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que

lo resuelva.

1. Yolanda compró con su tarjeta de crédito una computadora Laptop la cual va a

pagar durante 2 años la cantidad de $600 mensualmente a la tasa de 23% anual.

¿Cuánto pagará al término de los 2 años?

2. Miguel Ángel hizo un ahorro cuando entró a la universidad para que al graduarse

tuviera una inversión para iniciar su propio negocio. Considerando que estudió

durante 5 años y depositó $250 pesos mensuales a una tasa de 33% anual.

¿Cuánto dinero logró reunir para su negocio?

Las anualidades de intereses pueden ser generales o simple:

Anualidades diferidas

Las anualidades diferidas son aquellas en los que el inicio de los pagos

periódicos se pospone para un tiempo posterior a la formalización de la operación.

No se requieren fórmulas nuevas a las ya vistas, solo hacer los ajustes

correspondientes a los plazos específicos de cada ejemplo o problema.

Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años si el

primer pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es de 17% semestral

capitalizable al semestre.

6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000

1 2 3 4 5 6 7

1er. pago interés 17% semestral capitalizable al semestre

Resolución de problemas

Anualidades diferidas

En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y

resuélvelos con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que lo

resuelva.

1. El Sr. Dueñas adquiere una copiadora en Canon y la recibe el 1 de noviembre,

la cual debe pagar en 10 mensualidades de $250 a partir del 1 de enero. Si se

considera el interés al 36% anual convertible mensualmente, ¿cuál es el valor

de contado de la copiadora?

2. Calcula el valor de la compra de un pick up que la empresa La Frutería realizó

en noviembre del año pasado para mover su mercancía con más facilidad.

Pero le ofrecen una promoción que empieza a pagar hasta marzo del año en

curso a un plazo de 3 años con mensualidades de $8,500 a una tasa de 35%

anual capitalizable.

Actividad a desarrollar

Transcribe y resuelve nuevamente en limpio todos los ejercicios de “Resolución de problemas”, de los temas de anualidades: anualidades de monto, valor presente, rentas y los modelos de las clasificaciones que son: vencidas, anticipadas, ciertas, diferidas, con la ayuda del formulario. Entrégalo al profesor como pase para tu examen, no olvides anexar portada y conclusión.

Proyecto del bloque II En binas, diseñen los ejercicios del tema de anualidad que se les indicará. Preséntenlo en PowerPoint para exponerlo en clase.

Ya terminado tus ejercicios, envía el o los archivos originales, creados en el

procesador de textos, también la presentación electrónica hecha en PowerPoint al

asesor para su revisión y calificación.

No olvides enviar o guardar este proyecto en tu Portafolio de Evidencias.

Revisando tus conocimientos

Contesta con atención y honestamente. Si tienes serias dificultades para

contestar estas preguntas es mejor que estudies un poco más, tu material

de estudio, antes de avanzar.

1. ¿Cuáles operaciones básicas que viste durante el bloque?

2. ¿Qué son las anualidades?

3. ¿Qué son las anualidades vencidas?

4. ¿Qué son las anualidades anticipadas?

5. ¿Qué son las anualidades diferidas?

Qué sabes hacer ahora…

Derechos de Autor

MATEMÁTICAS FINANCIERAS I

Edición, agosto de 2016

Actualizado por:

C.P. Margarita Castillo González

Lic. Araceli Ahumada Muñoz

Lic. Arely Mariet Cordero Gañiño

Edición, agosto de 2019

Actualizado por:

Lic. Dora Julita Villaseñor Pimienta

Lic. Araceli Ahumada Muñoz

Lic. Laura Carolina Amador Guzmán

En la realización del presente material, participaron:

JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Lic. Teresa López Pérez

EDICIÓN, AGOSTO DE 2019

Lic. Gerardo Enríquez Niebla

Ing. Diana Castillo Ceceña

Lic. Alba Ruth González Ruelas

I.Q. Gabriela López Arenas

La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.