matemÁtica ii (10026)

MATEMÁTICA II (10026)

02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS

1) Determinar qué tipo de curvas son las curvas de nivel de las siguientes funciones. Justificar la respuesta.

a) 22 22),( yxyxf

Solución:

Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de

la forma cz

Entonces 2

222),( 222222 cyxcyxcyxcyxf

Si 0;0,00 22 yxyxc

Si 2

0 22 cyxc

Observación: como los coeficientes que acompañan a x e y son iguales, sabemos que las curvas son Circun-

ferencias de centro (0,0) y radio 2

cr ; 0c

Ejemplos:

Si c=8 entonces 𝑥2 + 𝑦2 =8

2 circunferencia de centro (0,0) y radio 2







b) 2),( yxyxf

Solución:


la forma cz

Entonces cyxcyxcyxf 22),(

Cualquiera sea Rc , las curvas son parábolas cóncavas hacia la derecha simétrica con respecto al eje “x”.

Ejemplos:

Si c=1 entonces 𝑥 = 𝑦2 + 1, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (1,0)

Si c=-1 entonces 𝑥 = 𝑦2 − 1, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (-1,0)

Si c=0 entonces 𝑥 = 𝑦2, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (0,0)

c) 223),( yxyxf

Solución:


la forma cz

Entonces cyxcxf 223)(

Si 0;0,030 22 yxyxc

Si cyxc 2230

Observación: como los coeficientes que acompañan a x e y son distintos, sabemos que las curvas son elipses,

buscamos los valores de los semiejes a y b :



1

3

322

22 c

y

c

xcyx

Luego, las curvas son Elipses de semiejes 3

ca y cb y centro (0,0)

Ejemplos:

Si c=1 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 1, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √1

3 y 𝑏 = 1


3 y 𝑏 = √27


3 y 𝑏 = 3


3 y 𝑏 = √48

d) yxyxf 23),(

Solución:


la forma cz

Entonces 22

3

2

323),(

cx

xcycyxcyxf

Cualquiera sea Rc , las curvas son Rectas paralelas con pendiente positiva.

Ejemplos:

Si c=2 resulta 𝑦 =3

2𝑥 − 1 recta cuya pendiente es

3

2 y ordenada al origen -1



Si c=-2 resulta 𝑦 =3

2𝑥 + 1 recta cuya pendiente es

3

2 y ordenada al origen 1


2𝑥 − 3 recta cuya pendiente es

3

2 y ordenada al origen -3

Si c=-6 resulta 𝑦 =3

2𝑥 + 3 recta cuya pendiente es

3

2 y ordenada al origen 3

e) xyyxf ),(

Solución:


la forma cz

Entonces cxycyxf ),(

Observación: Como c es el resultado de una raíz de índice par, entonces 0c

Si 0000 yoxxyc

Si x

cycxyc

2

0 cuyas curvas sonHipérbolas en el primer y tercer cuadrante.

Ejemplos:


𝑥 hipérbolas en el primer y tercer cuadrante







f) yxyxf 2),(

Solución:


la forma cz

Entonces cyxcyxf 2),(

Observación: Como c es el resultado de una raíz de índice par, entonces 0c

Luego

222 cxycyx

Cuyas curvas son Parábolas cóncavas hacia arriba simétricas con respecto al eje “y”.

Ejemplos:

Si c=0 resulta 𝑦 = 𝑥2 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,0)

Si c=1 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 1 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-1)

Si c=2 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 4 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-4)



Si c=√2 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 2 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-2)

2) Escribir la ecuación de la curva de nivel de la función 2225),( yxyxf , que pasa por el punto (3,4).

Solución:

Las curvas de nivel son 2225 yxc o sea cyx 2522 , cuando x = 3 e y = 4 el valor de c debe ser c = 0, pues

02543 22 . En consecuencia la curva de nivel que pasa por el punto (3,4) es 2522 yx se trata de una circunfe-

rencia de centro (0,0) y radio r = 5.



3) Escribir la función h como composición de dos funciones:

a) 1)( xxh

Solución:

Considerando las funciones básicas o elementales: xxf )( y 1)( xxg resulta

1)1())(()()( xxfxgfxfogxh

b) 115959)(2333 xxxxxh

Solución:

Considerando las funciones: 11)( 23 xxxf y xxxg 59)( 3 resulta

115959)59())(()()( 3233 xxxxxxfxgfxfogxh

c) 3

1)(

2

x

xxh

Solución:

Considerando las funciones básicas o elementales: xxf )( y 3

1)(

2

x

xxg resulta

3

1

3

1))(()()(

22

x

x

x

xfxgfxfogxh

4) Un expendio de café vende una libra de café a 9,75 UM. Los gastos mensuales son de 4500 UM más 4,25 UM por cada libra de café vendida. a) Escribir la fórmula para la función )(xrr que calcula el ingreso mensual total en función de la cantidad de

libras de café vendidas. b) Escribir la fórmula de la función )(xee que calcula los gastos mensuales totales en función de la cantidad de

libras de café vendidas. c) Escribir la fórmula de la función er . ¿Qué calcula esta función? Solución:

a) Sabemos que la función ingreso depende del precio y de la cantidad, por lo tanto xxrr 75,9)( don-

de cafédelibrasx :

b) Como los gastos mensuales son 4500 UM más 4,25 UM por cada libra de café vendida entonces xxee 25,44500)(

c) 450050,525,4450075,9)()( xxxxexrer

Esta función calcula el beneficio obtenido. 5) Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, q, es una función del número de empleados, m, donde

4

40)(

2mmmfq

El ingreso total, r, que se recibe por la venta de q unidades está dado por



qqgr 40)(

Determinar mgof . ¿Qué describe esta función?

Solución:

2222

1040040.104

40.40

4

40mmmm

mmmmgmgof

Esta función describe el ingreso por día que recibe el fabricante.

6) Para las siguientes funciones de oferta y demanda determine analítica y gráficamente la cantidad y el precio de

equilibrio del mercado:

a) {𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑝 = 2𝑥 + 20

𝑑𝑒𝑚𝑎𝑚𝑑𝑎 𝑝 = 200 − 𝑥2

Primero buscamos el punto de equilibrio, sabemos que en él el precio de la oferta y la demanda coinciden:

𝑝 = 2𝑥 + 20

𝑝 = 200 − 𝑥2} 2𝑥 + 20 = 200 − 𝑥2 ⟺ 2𝑥 + 20 − 200 + 𝑥2 = 0 ⟺

⟺ 𝑥2 + 2𝑥 − 180 {𝑥𝑒 = −1 + √181

𝑥2 = −1 − √181 (𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)

𝑠𝑖 𝑥𝑒 = −1 + √181 ⟺ 𝑝𝑒 = 2𝑥𝑒 + 20 ⟺ 𝑝𝑒 = 2(−1 + √181) + 20 ⟺ 𝑝𝑒 = 2√181 + 18

Luego, el punto de equilibrio del mercado es:

𝑃𝑒 = (𝑥𝑒 , 𝑝𝑒) = (−1 + √181 , 2√181 + 18)

Observación: las funciones sólo se grafican en el primer cuadrante.



b)

xpdemanda

xpoferta

20:

10:

Primero buscamos el punto de equilibrio, sabemos que en él el precio de la oferta y la demanda coinciden:

22404001020102010

20

10xxxxxxx

xp

xp

2

1141

2

12141

2

.390.1.441413904104040010

2

2,1

22

xxxxxx Luego,.

Observación: no puede haber dos puntos de equilibrio. El punto de equilibrio es único. Veamos que 261 x no verifica

la ecuación inicial: 6626201026 Absurdo.

152 x sí verifica la ecuación inicial: 5515201015

Como 5)15( p el punto de equilibrio de mercado es 5;15eP .

Gráficamente:



7) Un fabricante vende un producto en 8,35 UM por unidad y vende todo lo que produce. Los costos fijos son de 2116

UM y el costo variable es de 7,20 UM por unidad.

a) ¿A qué nivel de producción se obtendrá una ganancia de 4600 UM?

b) ¿A qué nivel de producción se produce una pérdida de 1150 UM?

c) ¿A qué nivel de producción se tiene el punto de no pérdida no ganancia?

Solución:

a) Primero, debemos recordar que se produce ganancia cuando el beneficio es positivo, por lo tanto, debemos obtener

la función de Beneficio y hallar el nivel de producción (x) al que se obtendrá un beneficio de 4600 UM.

)()()( xCxIxB

Para hallar la función Ingreso usamos que dato que el fabricante vende todo lo que produce a 8,35 UM, es decir, su

ingreso es xxI 35,8)(

El costo total es la suma del costo fijo más el costo variable, por lo tanto, xxC 20,72116)(

Luego, 211615,120,7211635,8)()()( xxxxCxIxB es la función beneficio del productor.

Hallaremos ahora para qué valor de x el beneficio es 4600 UM:

584015,1

6716671615,12116460015,14600211615,1 xxxx Por lo tanto, a un nivel de

producción de 5840 unidades se obtendrá una ganancia de 4600 UM.

b) Primero, debemos recordar que se produce pérdida cuando el beneficio es negativo. Hallaremos ahora para qué

valor de x el beneficio es -1150 UM:

84015,1

96696615,12116115015,11150211615,1 xxxx Por lo tanto, a un nivel de

producción de 840 unidades se obtendrá una pérdida de 1150 UM.

c) El punto de no pérdida no ganancia se cumple cuando el beneficio es nulo, es decir,

184015,1

2116211615,10211615,10)( xxxxB

Luego, si se venden 1840 unidades el productor no gana ni pierde.

8) El punto de equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se producen 13500 unidades a un precio de 4,50

𝑈𝑀 por unidad. El productor no proveerá unidades a un precio de 1 𝑈𝑀 y el consumidor no demandará unidades a un

precio de 20 𝑈𝑀. Encontrar las ecuaciones de oferta y demanda si ambas son lineales.

Solución:

Como tenemos el punto de equilibrio 50,4;13500; eee pxP entonces tenemos un punto tanto de la

oferta como de la demanda, ya que es el punto de intersección entre ambas curvas. Como ambas curvas son



funciones lineales, basta encontrar un punto más de cada una ya que con el punto de equilibrio tenemos dos

puntos y sabemos que por dos puntos pasa una única recta.

Como el productor no proveerá unidades a un precio de 1 𝑈𝑀 esto significa que el punto 1;0 pertenece a la cur-

va de oferta. Observar que es la ordenada al origen.

Como el consumidor no demandará unidades a un precio de 20 𝑈𝑀 esto significa que el punto 20;0 pertenece

a la curva de demanda. Observar que es la ordenada al origen.

Por lo tanto: 11

0 xmp

202 xmpd

Para hallar 1m y 2m usamos el punto de equilibrio:

27000

7

13500

150,4113500.50,41 1111

0

mmmxmp

27000

31

13500

2050,42013500.50,420 2222

mmmxmp d

Por lo tanto 127000

70 xp es la ecuación de la oferta y 2027000

31 xp d es la ecuación de la demanda.

9) Una compañía determinó que la ecuación de demanda para su producto es

𝒑 =𝟏𝟎𝟎

𝒙

Donde 𝒑 es el precio por unidad en UM para 𝒙 unidades producidas y vendidas en algún periodo.

a) Determinar la cantidad demandada cuando el precio por unidad es de 4 UM, 2 UM y 0,5 UM.

b) Para cada uno de los precios del ítem a) calcular el ingreso total que la compañía recibirá.

c) Dar una fórmula para calcular el ingreso total en función de la cantidad producida.

a) Para un 𝑝 = 4 UM, 4 =100

𝑥 ⇒ 𝑥 =

100

4 ⇒ x = 25

Para un 𝑝 = 2 UM, 2 =100

𝑋⇒ 𝑥 =

100

2⇒ 𝑥 = 50

Para un 𝑝 = 0,5 UM, 0,5 =100

𝑥⇒ 𝑥 =

100

0,5⇒ 𝑥 = 200

b) Para 𝑝=4, 𝑝=2, 𝑝=0,5, calcular el Ingreso total que la compañía recibirá.

(x; 𝑝)=(25;4) ⇒ 𝐼 = 25 . 4 = 100

(x; 𝑝)=(50;2) ⇒ 𝐼 = 50 . 2 = 100

(x; 𝑝)=(200;0,5) ⇒ 𝐼 = 200 . 0,5 = 100



c) Fórmula para calcular el 𝐼 total en función de la cantidad producida

𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥 = 100

10) Encontrar el punto de no pérdida no ganancia para una compañía que vende todo lo que produce si el costo va-

riable por unidad es de 3 𝑈𝑀, los costos fijos son de 2 𝑈𝑀 y el ingreso por 𝑥 unidades producidas es 𝐼(𝑥) = 5√𝑥. Grafi-

car las curvas de ingreso total y costo total en un mismo sistema coordenado. ¿En qué intervalo ocurre el máximo

beneficio?

El punto de no pérdida no ganancia se produce cuando el ingreso es igual al costo, o lo que es lo mismo, cuando el bene-

ficio es igual a 0:

0)(0)()()()( xBxCxIxCxI

Por lo tanto debemos hallar ambas funciones e igualarlas:

Como el costo variable es de 3 UM y los costos fijos son de 2 UM entonces la función costo total resulta:

23)()( xCxCxC Fv

Entonces 25

4

25

12

25

9

5

2

5

3

5

2

5

3235)()( 2

2

05

2

5

3

xxxxxxxxxxCxIx

9

41

25

4

25

13

25

90 21

2 xxxx

Luego se deben vender 1 unidad o 9

4unidades.

El máximo beneficio ocurre en el intervalo

1;

9

4 ya que ahí los ingresos superan a los costos. (la curva I(x) está por

arriba de la curva C(x))



11) El costo de fabricación C de un determinado bien depende linealmente de las cantidades 𝒙 e 𝒚 de dos insumos

cuyos precios unitarios son 5 UM y 3 UM, respectivamente. Si el costo fijo es de 200 UM, hallar la función de costos.

Dibujar las curvas de isocostos para C = 350 UM, C = 500 UM y C =650 UM.

Función de costos:

𝐶(𝑥𝑦) = 5𝑥 + 5𝑦 + 200

Curvas de Isocostos:

𝑦 =𝐶

3−

5

3−

200

3

𝑦 =𝐶−200

3−

5

3𝑥

⇒ 𝑦 =350−200

3−

5

3𝑥

𝑦 = 50 −5

3𝑥

⇒ 𝑦 =500−200

3−

5

3𝑥

𝑦 = 100 −5

3𝑥

⇒ 𝑦 =650−200

3−

5

3𝑥 ⇒ 𝑦 = 150 −

5

3𝑥

12) La función de producción de un tipo de bien está dada por 𝑷(𝒙; 𝒚) = 𝟏𝟎√𝒙𝒚, donde x e y son las cantidades de

dos insumos distintos para producir dicho bien. La función de costo respecto de las mismas variables es 𝑪(𝒙; 𝒚) =

𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏𝟎.

a) Si el costo no debe ser superior a 50 UM, dibujar la curva de isocostos.



b) Sobre el mismo gráfico anterior trazar algunas isocuantas.

c) Señalar, aproximadamente, en qué punto (x,y) se tendrá la producción máxima, cuando el costo está fijado

en 50 UM.

Solución:

a) Si el costo no debe ser superior a 50 UM, dibujar las curvas de isocostos.

KyxC ),( ( 500 K )

xk

yk

yxkyxKyx

2

10

2

101021022

Si K = 50 entonces xyxy

202

1050

b) Sobre el mismo gráfico anterior, trazar algunas isocuantas.

d) Señalar aproximadamente en qué punto (x,y) se tendrá la producción máxima, cuando el costo está fijado en 50

UM. (El punto buscado será aquel en que la recta de isocostos sea tangente a una isocuantas.)

La curva de isocuanta para una producción P=150 no intersecta a la curva de isocostos, esto quiere decir que no hay

forma de alcanzar una producción de 150 unidades bajo un costo de 50 UM. Luego, la isocuanta para p=50 indica

dos posibles combinaciones para obtener una producción de 50 unidades bajo un costo de 50 UM. Pero la curva de



isocuanta para p=100 pone en evidencia un solo punto de intersección con la curva de isocostos, dicho punto es la

combinación óptima, dado que (10,10) permite una producción de 100 unidades bajo un costo de 50 UM. Aquí se

presenta la máxima producción para un costo especificado. A dicho punto se lo llama Punto de equilibrio óptimo o

Punto Optimo.

La máxima producción total que puede obtenerse para un costo total especificado está dada

por la isocuanta que sea tangente a la recta de isocosto especificada.

13) Dada la función de utilidad 𝑼 = 𝒙𝒚𝟐 , ¿qué tipo de curvas son las curvas de indiferencia del consumidor? Justificar

la respuesta

Las curvas de indiferencia del consumidor son muy parecidas a las hipérbolas.

Para poder graficarlas le vas dando valores arbitrarios a U, el cual igualas a una K arbitraria, de manera que te queden

cuentas sencillas de resolver.

Para poder entender mejor como se grafica lo podes hacer por medio de un graficador o bien construir una tabla de

valores para tener de referencia.

Resolución:

𝑈 = 𝐾

Las curvas de indiferencia tienen la forma: Kxy 2

Si K=36 resulta: x

yx

yxy636

36 22

Si K= 25 x

yx

yxy525

25 22

Si K= 9 x

yx

yxy39

9 22



Gráficamente:

14) Utilizando Q toneladas de petróleo crudo, una destilería puede producir una cantidad x de nafta común y una

cantidad y de nafta especial, según la función 𝑸(𝒙; 𝒚) =𝟏

𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

¿Qué tipo de curvas son las curvas de transformación de producto? Justificar la respuesta

Las curvas de transformación del producto tienen la forma: Kyx 22

4

1

Supongamos K>0

Observación: como los coeficientes que acompañan a 2x y a 2y son distintos, entonces las curvas son elipses. Buscamos

los valores de los semiejes:

144

1 2222

K

y

K

xKyx

Que son elipses de semieje Ka 4 y Kb

Ejemplos:

Si K=4 resulta 1416

44

122

22 yx

yx El tipo de curva es una Elipse con 2by 4 a

Si K=1 resulta 114

14

122

22 yx


Si K=9 resulta 1936

94

122

22 yx


matemÁtica ii (10026)

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