matematyka 2

MATEMATYKA

Odkryj, zrozum, zastosuj...klasa 2, szkoła ponadgimnazjalna

Odkryj, zrozum, zastosuj...Podtytuł:Matematyka

Przedmiot:matematyka

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej:Jacek Stańdo, Paweł Kwiatkowski, Henryk Dąbrowski , Hanna Drabik-Zalewska, Gertruda Gwóźdź-Łukawska, Agnieszka Zajączkowska , Krzysztof Kisiel, Grzegorz Kusztelak, Dorota Krawczyk - Stań-do, Magdalena Furmaniak, Kinga Pietrasik-Kulińska, Aneta Stasiak, Witold Walas, Wanda Człapińska,Mariusz Doliński, Maciej Furmaniak, Elżbieta Galewska , Kinga Gałązka, Magdalena Górajska, AnnaJeżewska, Dominik Kłys, Agata Krawczyk, Iwona Krawczyk-Kłys, Janusz Kuliński, Paweł Kuliński,Renata Kusztelak, Alicja Laskowska , Piotr Mazur , Bronisław Pabich, Dorota Palka-Rutkowska, JerzyPełczewski, Jolanta Piekarska, Marek Pisarski, Monika Potyrała , Dorota Rogowska , Alina Saganiak,Bartosz Sakowicz, Izabela Sakwa, Sławomir Sapanowski, Jolanta Schilling, Marzena Sławińska, To-masz Stasiak, Katarzyna Szczepaniak, Bożenna Szkopińska, Anna Warężak, Beata Wojciechowska iIzabella Żółtaszek

Format treści:E-podręcznik dla ucznia

Data wydania:10 kwietnia 2016

Typ szkoły:szkoła ponadgimnazjalna

Oznaczenia zadań:A - zadanie z minimalnego poziomu osiągnięcia efektu kształceniaB - zadanie z ogólnego poziomu osiągnięcia efektu kształceniaC - zadania z kreatywnego osiągnięcia efektu kształceniaK - zadanie do osiągnięcia kompetencji

- zadanie do wykonania w zeszycie

Oznaczenia treści:treści rozszerzające

oprawa metodyczna

ISBN 978-83-65450-39-5E-podręcznik, po uzyskaniu akceptacji ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania, zostałdopuszczony do użytku szkolnego na podstawie art. 22 c ust. 2 i 5 Ustawy z dnia 7 września 1991roku o systemie oświaty (Dz. U. Nr 95, poz. 425 z późn. zm.).

Rzeczoznawcy Ministerstwa Edukacji Narodowej:merytoryczno-dydaktyczni – dr hab. Maria Korcz, mgr Agnieszka Pfeiffer, dr hab. WacławZawadowskijęzykowy – dr Iwona Wanda Grygields. podręczników do kształcenia specjalnego – dr Jan Piotr Omieciński

Spis treściRozdział 1. Geometria analityczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . 51.2. Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej . . . . . . . . . . . . . 111.3. Proste równoległe, proste prostopadłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4. Długość odcinka. Środek odcinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.5. Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta . . . . 55

Rozdział 2. Funkcja kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.1. Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowegowzdłuż osi układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcjikwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.3. Współrzędne wierzchołka paraboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.3.1. Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcjikwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.2. Współrzędne wierzchołka paraboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.4. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej . . . . . . 1262.5. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lubo jej wykresie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.6. Równanie kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652.7. Nierówność kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.8. Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedzialedomkniętym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042.9. Zastosowania funkcji kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

2.9.1. Zadania wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2202.9.2. Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas . . 224

Rozdział 3. Wielomiany. Funkcje wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

3.1. Pierwiastki równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2293.2. Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.3. Wyrażenia wymierne. Równania wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2483.4. Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych . . . . . . . 2613.5. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

3.5.1. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.5.2. Wykres funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2743.5.3. Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . 280

3.6. Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych . . . . . . . 285

Rozdział 4. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

4.1. Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.2. Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.3. Ciągi – własności ciągów arytmetycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3264.4. Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3334.5. Ciąg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3404.6. Suma wyrazów ciągu geometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3544.7. Procent składany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.8. Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Odkryj, zrozum, zastosuj...

3

Rozdział 5. Funkcja wykładnicza. Logarytmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

5.1. Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej . . . 3785.2. Definicja logarytmu. Własności logarytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4125.3. Działania na logarytmach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

5.3.1. Działania na logarytmach. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4265.3.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

5.4. Zastosowanie funkcji wykładniczej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

Rozdział 6. Wykresy funkcji specjalnych i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Słowniczek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455Rozdział 7. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Rozdział 8. O e-podręczniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

Odkryj, zrozum, zastosuj...

4

Rozdział 1. Geometria analityczna

1.1. Wprowadzenie do geometrii w prostokątnymukładzie współrzędnychW klasie pierwszej omówiliśmy podstawowe własności figur płaskich. Teraz pokażemy, że umiesz-

czenie takich figur w układzie współrzędnych stwarza możliwość opisania ich za pomocą równań.

Przykład 1.Oblicz pole prostokąta ABCD.

Film na epodreczniki.pl

Geometria analityczna

5

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iSebwrX2DD#iSebwrX2DD_d46d4e925WOMI

Przykład 2.Zaznacz w układzie współrzędnych punkt o podanych współrzędnych.

Aplikacja na epodreczniki.pl

Przykład 3.Podaj współrzędne punktu P.


Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych

6



Przykład 4.Punkty A, B i C są trzema wierzchołkami równoległoboku. Umieść punkt D tak, aby zbudo-

wać równoległobok ABCD.


Przykład 5.Dany jest trójkąt ABC. Umieść odcinek h tak, aby był wysokością tego trójkąta poprowadzoną

z wierzchołka A.



7



Przykład 6.Dany jest trójkąt ABC. Umieść dane odcinki tak, aby były środkowymi tego trójkąta.


Przykład 7.Umieść punkty A, B i C tak, aby punkty S1, S2, i S3 były środkami boków utworzonego trój-

kąta ABC.



8



Przykład 8.Umieść punkt C tak, aby pole trójkąta ABC było równe 12.



9


Przykład 9.Odcinek AB jest bokiem, a S jest punktem przecięcia wysokości (ortocentrum) trójkąta ABC.

Wyznacz wierzchołek C trójkąta ABC.



10


1.2. Równanie prostej w postaci ogólnej oraz wpostaci kierunkowej

Poziom trudności: AZadanie 1.2.1Czy dana prosta jest wykresem funkcji?


Już wiesz:

W klasie pierwszej, w rozdziale poświęconym funkcji liniowej dowiedzieliśmy się,

że:

• prosta prostopadła do osi Ox nie jest wykresem funkcji f(x) = ax + b

• jeżeli na wykresie funkcji liniowej leżą dwa różne punkty A = (xA, yA) i

B = (xB, yB), (gdzie xA ≠ xB), to współczynnik kierunkowy prostej, będącej wy-

kresem funkcji jest równy

a =yA − yBxA − xB

natomiast wyraz wolny jest równy

b = yA − axA

Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej

11

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/im3YqbtoOZ#im3YqbtoOZ_d37d4e1201WOMI

• każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez

punkt A = (xA, yA) ma równanie y = ax + (yA − axA), co zapisujemy w postaci

y = a(x − xA) + yA

• każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez dwa

różne punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) ma równanie

y =yA − yBxA − xB

(x − xA) + yA.

Poziom trudności: AZadanie 1.2.2Zaznacz poprawne stwierdzenie.

a) Punkty A = (3, 6) i B = ( − 3, 6) leżą na prostej o równaniu y = 6.

b) Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty K = (3, − 2) i L = ( − 2, 1)jest równy − 2

5 .

c) Prosta przechodząca przez punkty A = ( − 4, − 2) i B = ( − 3, − 1) ma równanie y = x + 2.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.3Dopasuj równanie prostej do odpowiedniego rysunku.

y = 3a)

y =12xb)

y = − 1c)

y = − 13x +

103

d)

y = 3x + 2e)

y = − 15xf)


12

A.

B.

C.


13

D.

E.

F.


14

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.4


Poziom trudności: AZadanie 1.2.5Punkt M = (1, − 4) leży na prostej o równaniu

a) y = 3x + 1

b) y = − 3x − 1

c) y = 3x − 1

d) y = − 3x + 1

(Pokaż odpowiedź)

Przykład 1.Zapisujemy równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (4, 2) i B = ( − 3, 1).Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy


=2 − 14 + 3 =

17

Równanie prostej możemy zapisać w postaci

y =17x + b

Współczynnik b obliczymy, wstawiając do równania współrzędne dowolnego punktu nale-

żącego do tej prostej, np. A = (4, 2)

2 =17 ∙ 4 + b,

więc b =107 . Wynika z tego, że równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B ma postać

y =17x +

107 .


15

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/im3YqbtoOZ#im3YqbtoOZ_d5e313WOMI

Zauważmy, że mnożąc obie strony równania prostej przez 7, otrzymamy inną postać tego

równania:

7y = x + 10.

Po uporządkowaniu możemy zapisać

x − 7y + 10 = 0.

Jest to równanie tej samej prostej przechodzącej przez punkty A i B zapisane w postaci ogól-

nej.


16

Definicja: Równanie ogólne prostej

Równanie Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C są liczbami rzeczywistymi oraz A i B nie są

jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.



17



Przykład 2.

Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty A = ( xA, yA) i B = ( xB, yB),gdzie xA ≠ xB. Zauważmy, że korzystając ze wzoru

y =yA − yBxA − xB

(x − xA) + yA

otrzymamy postać kierunkową prostej.

Możemy jednak przekształcić wzór tak, aby można było otrzymać również postać ogólną pro-

stej.

Od obu stron równania odejmiemy wyrażenie

yA − yBxA − xB

(x − xA) + yA

y − yA −yA − yBxA − xB

(x − xA) = 0

Mnożymy obie strony przez

xA − xB (xA − xB ≠ 0)

(y − yA)(xA − xB) − (yA − yB)(x − xA) = 0


18


Zauważmy, że jeżeli xA = xB, to otrzymany wzór opisuje prostą równoległą do osi Oy, prze-

chodzącą przez punkty A i B. Ponieważ ( xA, yA) ≠ ( xB, yB) i xA = xB, to yA ≠ yB. Wówczas ma-

my

(y − yA) ∙ 0 − (yA − yB)(x − xA) = 0 / : (yA − yB)

x − xA = 0

x = xA

Zapamiętaj

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = ( xA, yA) i B = ( xB, yB) ma postać

(y − yA)(xA − xB) − (yA − yB)(x − xA) = 0

Przykład 3.• Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A = ( − 3, 4) i B = ( 2, − 1).

Po podstawieniu współrzędnych punktów A i B do wzoru

(y − yA)(xA − xB) − (yA − yB)(x − xA) = 0

otrzymamy x − ( − 3)

(y − 4)( − 3 − 2) − ?4 − ( − 1)?[x − ( − 3)] = 0

−5(y − 4) − 5(x + 3) = 0

−5y + 20 − 5x − 15 = 0

Po uporządkowaniu

−5x − 5y + 5 = 0 / : ( − 5)

x + y − 1 = 0


19

• Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A = ( 5, 2) i B = ( 5, − 3).

Po podstawieniu współrzędnych punktów A i B do wzoru

(y − yA)(xA − xB) − (yA − yB)(x − xA) = 0

otrzymamy

(y − 2)(5 − 5) − (2 + 3)(x − 5) = 0

0 ∙ (y − 2) − 5(x − 5) = 0

Po uporządkowaniu otrzymaliśmy równanie prostej w postaci ogólnej

x − 5 = 0.


20

Jest to prosta prostopadła do osi Ox. Tej prostej nie można opisać równaniem w postaci kie-

runkowej, ponieważ nie jest ona wykresem funkcji liniowej.

Uwaga.

Równanie tej prostej wyznaczymy szybciej, jeśli zauważymy, że pierwsze współrzędne obu

punktów są jednakowe i równe 5, a drugie są różne. Oznacza to, że równanie prostej prze-

chodzącej przez te punkty ma postać x = 5, czyli x − 5 = 0.




21


Przykład 4.Narysuj prostą o równaniu ogólnym 3x − y + 2 = 0.

Narysowanie tej prostej będzie łatwiejsze, jeśli zapiszemy ją w postaci kierunkowej: y = 3x + 2

.

Z własności funkcji liniowej pamiętamy, że wykres funkcji y = 3x + 2 przecina oś Oy w punkcie

o współrzędnych (0, 2), a współczynnik kierunkowy jest równy 3.

Poziom trudności: AZadanie 1.2.7Prosta o równaniu −2x + 5y − 10 = 0

a) przecina oś Oy w punkcie (0, 2)

b) przechodzi przez punkt A = (2, 3)

c) przecina oś Ox w punkcie ( − 5, 0)

(Pokaż odpowiedź)




22


Poziom trudności: AZadanie 1.2.9Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A = (30, 20) i B = (40, 80) jest

równy

a) − 16

b) 6

c) −6

d)16

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.10Punkty M = (√3, √2) i N = ( − √3, √2) leżą na prostej o równaniu

a) x = √3

b) y = − √2

c) x = − √3

d) y = √2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.11Równanie prostej −2x + 4y − 6 = 0 można zapisać w postaci

a) y = − 12x − 3

2

b) y =12x +

32

c) y = − 12x +

32

d) y =12x − 3

2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.12Punkt M = ( − 2, 2) leży na prostej o równaniu 3x + By + 10 = 0. Wynika z tego, że


23

a) B = − 2

b) B = 2

c) B = 4

d) B = − 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.13Punkt K = (m + 1,1) leży na prostej o równaniu −20x + 33y + 127 = 0. Wynika z tego, że

a) m = − 7

b) m = 3

c) m = 7

d) m = − 3

(Pokaż odpowiedź)


Prosta m ma równanie y = − 23x + 2. Wskaż równanie, które nie jest równaniem prostej m.

a) −8x + 12y + 24 = 0

b) 2x + 3y − 6 = 0

c) 16x + 24y − 48 = 0

d) −2x − 3y + 6 = 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.15Punkty A = ( − 1, 2) , B = (3, 4), C = ( − 1, 7) i D = ( − 5, 4) są wierzchołkami czworokąta ABCD

. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie o współrzędnych

a) S = ( − 3,7)

b) S = ( − 5,7)

c) S = (3,2)


24

d) S = ( − 1,4)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.16Dany jest punkt A = (2, − 1) oraz prosta k o równaniu y = 3x − 4. Na prostej k leży taki punkt B,

że prosta AB jest prostopadła do osi Ox układu współrzędnych. Współrzędne punktu B są rów-

ne

a) B = (2, − 2)

b) B = (2,2)

c) B = (3, − 1)

d) B = ( − 4, − 1)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.17Punkty A = (0, 0), B = (0, 150), C = (50, 50) są wierzchołkami trójkąta ABC. Boki AC i BC są za-

warte w prostych o równaniach

a) AC : y = x, BC : y = 2x + 150

b) AC : y = − x, BC : y = 2x + 150

c) AC : y = x, BC : y = − 2x + 150

d) AC : y = − x, BC : y = − 2x + 150

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.18Punkty A = ( − 1, 2), B = (3, 4), C = ( − 1, 7) i D = ( − 5, 4) są wierzchołkami czworokąta ABCD

. Przekątne AC i BD zawierają się w prostych o równaniach

a) AC : x − 1 = 0, BD : y − 4 = 0

b) AC : x + 1 = 0, BD : y + 4 = 0

c) AC : x − 1 = 0, BD : y + 4 = 0

d) AC : x + 1 = 0, BD : y − 4 = 0

(Pokaż odpowiedź)


25

Poziom trudności: AZadanie 1.2.19Wyznacz równanie prostej w postaci ogólnej, która przechodzi przez punkty

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.20Wyznacz współrzędne punktu M, w którym przecinają się proste o równaniach

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.2.21Boki trójkąta ABC zawierają się w prostych AC, AB i BC. Wyznacz współrzędne wierzchołków te-

go trójkąta, jeśli

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz równania przekątnych czworokąta o wierzchołkach w punktach: A = ( − 4, − 2),B = (5, − 5), C = (4,2) i D = ( − 2,4). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworo-

kąta ABCD.

(Pokaż odpowiedź)

A = (0,0) i B = ( − 4,1)a)

A = (2,4) i B = ( − 2, − 3)b)

A = ( − 5,2) i B = ( − 5, − 6)c)

A = (124,48) i B = ( − 124, − 48)d)

A = (√3, 3√3) i B = (5√3, 4√3)e)

m : − 2x + 5y − 12 = 0 i k : x + 3y − 5 = 0a)

m : − 2x + 3y + 1 = 0 i k : x − 5 = 0b)

m : − x + 3y − 6 = 0 i k : 2x + y − 2 = 0c)

m : x + 4y + 23 = 0 i k : 3x − 2y − 1 = 0d)

AB : y + 4 = 0, AC : 5x + 3y − 8 = 0 oraz BC : x − y = 0a)

AB : x + y + 2 = 0, AC : − 3x + 2y + 9 = 0 oraz BC : − x + 9y − 22 = 0b)

AB : − x + 2y − 10 = 0, AC : x − 4 = 0 oraz BC : y − 3 = 0c)


26

Poziom trudności: AZadanie 1.2.23Wyznacz wszystkie wartości m, tak aby prosta

(Pokaż odpowiedź)


Uzasadnij, że nie istnieje wartość m, dla której prosta (m2 − 9)x + (m − 3)y + m + 3 = 0 jest pro-

stopadła do osi Ox.

(Pokaż odpowiedź)

3x − (m − 1)y + 3 = 0 przechodziła przez punkt K = ( − 5,4)a)

3(m + 3)x + (m + 4)y + 5 = 0 była prostopadła do osi Oxb)

(m2 − 25)x − 2(m − 2)y − 1 = 0 była prostopadła do osi Oyc)


27

1.3. Proste równoległe, proste prostopadłeW klasie pierwszej, w rozdziale o własnościach funkcji liniowej ustaliliśmy, że jeżeli wykresy funkcji

liniowych są do siebie równoległe, to ich współczynniki kierunkowe są równe.



Proste równoległe, proste prostopadłe

28

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDvVAVc0GR#iDvVAVc0GR_d81d4e1806WOMI


Twierdzenie: Proste równoległe

Proste o równaniach

• m : y = a1x + b1

• k : y = a2x + b2

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

a1 = a2


29

Przykład 1.Wyznacz równanie prostej k, która jest równoległa do prostej o równaniu y = − 3x + 4 i prze-

chodzi przez punkt

P = (−2, 3).

Ponieważ proste są równoległe, to ich współczynniki są równe. Zatem równanie prostej k mo-

żemy zapisać

y = − 3x + b.

Współrzędne punktu P = ( − 2, 3) spełniają równanie prostej y = − 3x + b. Po ich podstawie-

niu do równania otrzymujemy

3 = − 3 ∙ (−2) + b,

więc

b = − 3.

Wynika z tego, że prosta k ma równanie y = − 3x − 3.


30


Przykład 2.Dana jest prosta m o równaniu y = ax (a ≠ 0). Ta prosta jest przekątną prostokąta ABCD, w

którym B = (1, a) i D = (0, 0). Zbudujmy prostokąt A1B1C1D, w którym B1 = ( − a, 1).Oba prostokąty są przystające, a zatem odpowiednie kąty między bokami i przekątnymi są

równe.

Wynika z tego, że kąt między prostymi zawierającymi przekątne prostokątów jest sumą

dwóch kątów

β = α + (90 ° − α),


31


czyli

β = 90 ° .

Zatem proste k i m są prostopadłe.

Prosta k ma równanie y = a1x, a punkt B1 ma współrzędne ( − a, 1). Po podstawieniu współ-

rzędnych punktu B1 do równania prostej otrzymamy

1 = a1 ∙ (−a)

−1 = a1 ∙ a.


Twierdzenie: Proste prostopadłe

Proste o równaniach m : y = a1x + b1 oraz k : y = a2x + b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy,

gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

a1 ∙ a2 = − 1


32


Ważne

Jeśli współczynnik kierunkowy jednej z prostych jest równy 0, a więc prosta jest równoległa

do osi Ox, to prosta do niej prostopadła jest równoległa do osi Oy i opisana jest równaniem

x = x0.

Przykład 3.Napisz równanie prostej k, która jest prostopadła do prostej o równaniu y = 2x − 1 i przecho-

dzi przez punkt P = ( − 2, 3).

Współczynnik kierunkowy a prostej y = 2x − 1 jest równy 2. Równanie prostej k ma postać

y = a1x + b.

Ponieważ proste są prostopadłe, to ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

−1 = a ∙ a1. Po podstawieniu a = 2 otrzymamy

−1 = 2 ∙ a1

a1 = − 12

Równanie prostej k możemy zapisać w postaci y = − 12x + b.

Współrzędne punktu P = ( − 2, 3) spełniają równanie prostej y = − 12x + b . Po ich podstawie-

niu do równania otrzymujemy

3 = − 12 ∙ (−2) + b,

więc

b = 2


33

Wynika z tego, że prosta k ma równanie

y = − 12x + 2.

Przykład 4.Sprawdź, czy proste o równaniach 5x + 2y − 15 = 0 i −x + 3y − 10 = 0 są prostopadłe.

Oba równania zapiszemy w postaci kierunkowej.

y = − 52x +

152

y =13x +

103

Współczynniki kierunkowe tych prostych są równe a1 = − 52 i a2 =

13 .

Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek a1 ∙ a2 = − 1.

Otrzymujemy − 52 ∙ 1

3 ≠ − 1. Wynika z tego, że proste o równaniach

y = − 52x +

152

y =13x +

103

nie są prostopadłe.

Przykład 5.Punkty A = (1, 5), B = (4, 0) i C = (5, 4) są wierzchołkami trójkąta. Wykaż, że trójkąt ABC

jest prostokątny.

Aby wykazać, że ten trójkąt jest prostokątny, wystarczy stwierdzić, że dwie proste zawierające

boki trójkąta są prostopadłe.

Współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki trójkąta obliczymy ze wzoru


.

bok AB bok AC bok BC

aAB =0 − 54 − 1 = − 5

3 aAC =4 − 55 − 1 = − 1

4 aBC =4 − 05 − 4 =

41 = 4

Dla prostych zawierających boki AC i BC zachodzi warunek

aAC ∙ aBC = − 14 ∙ 4 = − 1.

Wynika z tego, że te proste są prostopadłe. Zatem trójkąt ABC jest prostokątny.


34

Przykład 6.Wierzchołek C trójkąta ABC ma współrzędne (1, 6), a bok AB leży na prostej opisanej równa-

niem x + 6y − 8 = 0. Wyznacz równanie prostej m zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną

na bok AB.

Równanie prostej, na której leży bok AB, można zapisać w postaci kierunkowej

y = − 16x + 1

13 .

Prosta, zawierająca wysokość opuszczoną na ten bok, jest do niej prostopadła, czyli jej współ-

czynnik kierunkowy musi spełniać warunek

− 16 ∙ a1 = − 1.

Zatem

a1 = 6.

Równanie prostej m możemy zapisać w postaci

y = 6x + b.

Wierzchołek C trójkąta leży na tej prostej, a jego współrzędne spełniają to równanie. Możemy

obliczyć wartość współczynnika b

6 = 6 ∙ 1 + b

b = 0

Równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok AB, ma postać y = 6x.


35

Przykład 7.

Dla jakiej wartości m prosta y =13x − 2 jest prostopadła do prostej y = (m2 − 12)x + m − 1 ?

Ponieważ proste są do siebie prostopadłe, to spełniony jest warunek

13 ∙ (m2 − 12) = − 1

m2 − 12 = − 3

m2 = 9

Wynika z tego, że proste y =13x − 2 i y = (m2 − 12)x + m − 1 są prostopadłe dla m = 3 lub

m = − 3.

Równania tych prostych to y = − 3x + 2 i y = − 3x − 4.




36

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDvVAVc0GR#iDvVAVc0GR_d5e463WOMI


(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.3Bok BC równoległoboku ABCD jest zawarty w prostej o równaniu y = − 2x − 1, a bok AB jest za-

warty w prostej o równaniu y = − 1. Wierzchołek D ma współrzędne D = (3,3). Wyznacz równa-

nia prostych zawierających boki AD i CD tego równoległoboku.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.4-6





(Pokaż odpowiedź)

Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y =23x − 4 i przechodzącej

przez punkt A = ( − 3, 5).

a)

Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 6x − 2y + 3 = 0 i przecho-

dzącej przez punkt B = (2, 1).b)

Uzasadnij, że czworokąt ABCD o wierzchołkach w punktach

A = (2, − 2), B = (6, 0), C = (5, 3) i D = (3, 2) jest trapezem.

c)

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y =35x − 2 i przechodzącej

przez punkt A = (3, 1).

a)

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu −x + 2y + 6 = 0 i przecho-

dzącej przez punkt B = (1, − 1).b)

Uzasadnij, że trójkąt ABC o wierzchołkach A = (1, − 1), B = (−3, 1) i C = (4, 5) jest pro-

stokątny.

c)


37






Wierzchołki trójkąta ABC to punkty o współrzędnych: A = (4,1), B = (0,3), C = (2, − 5). Wyznacz

równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.12Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej y = − 2x + 3 jest równy

a) 2

b)12

c) −2

d) − 12

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.13Wskaż równanie prostej równoległej do prostej y = 3x − 1 i przechodzącej przez punkt

P( − 2, − 3).

a) y = 3x − 3

b) y = 3x + 3

c) y = − 2x − 3

d) y = − 3x − 9

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.14Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej y = 2x + 3?


38


a) y = − 12x + 4

b) y = − 2x − 7

c) y =12x + 2

d) y = 2x − 3

(Pokaż odpowiedź)


Proste o równaniach y = 3x − 5 i y =15x + 3

a) pokrywają się

b) przecinają się pod kątem innym niż kąt prosty

c) są prostopadłe

d) są równoległe i różne

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.16Prosta −x + 4y − 6 = 0 jest prostopadła do prostej y = ax + 3. Wynika z tego, że

a) a = − 4

b) a =14

c) a = 4

d) a = − 14

(Pokaż odpowiedź)


Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej y = − √2 + 12 x + √2

2 jest równy

a) 2√2 + 2

b) 2√2 − 2

c)−√2 − 1

2


39

d) √2 + 12

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej y = − 15x + 2 i przechodzącej przez punkt

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś Oy w punkcie (0, − 2) i jest prostopa-

dły do prostej y = − 2x + 3.

(Pokaż odpowiedź)


Punkty A = (3, 5), B = ( − 2, − 4), C = (6, − 1) są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz równanie

prostej, na której leży wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C.

(Pokaż odpowiedź)


Punkty A = (2, 6), B = (2, 1), C = ( − 2, − 2) i D = ( − 2, 3) są wierzchołkami czworokąta ABCD.

Uzasadnij, że ten czworokąt jest równoległobokiem.

(Pokaż odpowiedź)


Dla jakich wartości parametru m proste k : y = (m + 2)x − 1 i l : y = (3m − 2)x + m są równoległe?

(Pokaż odpowiedź)

M = ( − 1, 3)a)

M = (0, 0)b)

M = (4, 0)c)

M = (0, 5)d)


40


Dla jakich wartości parametru m proste y = (m + 5)x − 2m i y =12x + 7 są prostopadłe?

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A = (0, 2), B = (3, 1), C = (2, 3) jest prostokątny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.3.25Podstawa AB trapezu ABCD zawiera się w prostej y = − 3x + 5. Wyznacz równanie prostej, w

której zawiera się podstawa CD, jeżeli C = (− 12 , − 1

2 ).(Pokaż odpowiedź)


Punkty A = (1, − 1), B = (3, 3), C = (0, 6) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD

. Wyznacz równania prostych, w których zawierają się boki tego równoległoboku oraz współ-

rzędne wierzchołka D.

(Pokaż odpowiedź)


41

1.4. Długość odcinka. Środek odcinka

Przykład 1.Oblicz długość odcinka AB o końcach w punktach A = ( − 5, 2) i B = (1, 6).Zbudujmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współ-

rzędnych, a odcinek AB jest jego przeciwprostokątną.

Przykład 2.Odległość punktów na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, odpowia-

dających tym punktom.

Zatem przyprostokątne tego trójkąta mają długości | AC | = 6 i | BC | = 4.

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej AB.

| AB |2

= | AC |2

+ | BC |2

| AB |2

= 62 + 42

| AB |2

= 52

| AB | = √52 = 2√13.

Długość odcinka. Środek odcinka

42

Przykład 3.

Punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) są końcami odcinka AB. Oblicz długość odcinka AB.


Zapamiętaj

Długość odcinka AB, którego końcami są punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) obliczamy ze wzoru

| AB | = √(xA − xB)2

+ (yA − yB)2


43

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq#iQa4B0s9mq_d2094d4e14335WOMI

Zauważmy, że wzór jest prawdziwy w szczególnych przypadkach:

• gdy odcinek AB jest równoległy do osi Ox, wtedy

yA = yB

| AB | = √(xA − xB)2

= | xA − xB |• gdy odcinek AB jest równoległy do osi Oy, wtedy

xA = xB

| AB | = √(yA − yB)2

= | yA − yB |

Środek odcinka

Przykład 4.Ola ma 160 cm wzrostu, a jej brat Marcin 190 cm. Oblicz średni wzrost rodzeństwa.

Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb 160 i 190, czyli

x =160 + 190

2 = 175 (cm).

Na osi liczbowej liczba 175 jest jednakowo oddalona od obu liczb 160 i 190.

Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej

dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.


44

Przykład 5.

Punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) są końcami odcinka AB. Wyznacz współrzędne środka odcin-

ka AB.


Zapamiętaj

Współrzędne punktu S, który jest środkiem odcinka o końcach w punktach A = (xA, yA) i

B = (xB, yB), są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka AB.


45


S = (xA + xB

2 ,yA + yB

2 )


Przykład 6.Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach A = (2, 2), B = ( − 3, 6) i C = (5, 6) jest

równoramienny. Oblicz obwód tego trójkąta.

Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczymy długości boków trójkąta.

| AB | = √(2 + 3)2

+ (2 − 6)2

= √25 + 16 = √41


46


| AC | = √(2 − 5)2

+ (2 − 6)2

= √9 + 16 = √25 = 5

Zauważ, że drugie współrzędne punktów B i C są równe 6, co oznacza, że odcinek BC jest

równoległy do osi Ox. Jego długość jest równa

| BC | = | 5 + 3 | = 8.

Długość tego odcinka możemy również obliczyć, wykorzystując odpowiedni wzór. Wtedy

| BC | = √(−3 − 5)2

+ (6 − 6)2

= √64 = 8

Każdy bok tego trójkąta ma inną długość, zatem nie jest on równoramienny.

Obwód trójkąta jest równy

Ob = 5 + 8 + √41 = 13 + √41

Przykład 7.Oblicz długość przekątnej prostokąta ABCD o wierzchołkach w punktach: A = ( − 5, − 1),B = (5, − 5) i C = (7,0). Wyznacz współrzędne wierzchołka D.

Przekątna prostokąta ABCD jest równa długości odcinka

| AC | = √(−5 − 7)2

+ (−1 − 0)2

= √144 + 1 = √145

Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie S, który jest środkiem każdej z nich. Wynika

z tego, że środek przekątnej AC jest również środkiem przekątnej BD.

Środek S przekątnej AC ma współrzędne

S = (−5 + 72 ,

−1 + 02 ) = (1, − 1

2 )


47

Niech D = (xD, yD).

S = (1, − 12 ) jest środkiem odcinka BD, a zatem

(1, − 12 ) = (

5 + xD2 ,

−5 + yD2 )

1 =5 + xD

2 , − 12 =

−5 + yD2

xD = − 3 i yD = 4

Wynika z tego, że D = ( − 3, 4).


48

Przykład 8.Napisz równanie prostej, na której leży środkowa poprowadzona z wierzchołka C w trójkącie

o wierzchołkach w punktach

A = (−2, − 5), B = (8, 1), C = (0, 4).

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.

Naprzeciw wierzchołka C leży bok AB, którego środek ma współrzędne

S = (−2 + 82 ,

−5 + 12 ) = (3, − 2)

Środkowa poprowadzona z wierzchołka C leży na prostej CS i ma równanie y = ax + b.

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

a =4 + 20 − 3 = − 2,

a punkt C = (0, 4) jest jej punktem przecięcia z osią Oy. Wynika z tego, że b = 4.

Równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C ma postać

y = − 2x + 4

Przykład 9.Punkty A = ( − 3, 7) i B = (4, 8) są wierzchołkami rombu ABCD, a punkt S = (3, 5) jest jego

środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.

Punkt S = (3, 5) jest środkiem przekątnej AC, zatem

(3, 5) = (−3 + xC

2 ,7 + yC

2 ),


49

czyli

3 =−3 + xC

2 , 5 =7 + yC

2

xC = 9, yC = 3

C = (9,3)

Podobnie obliczymy współrzędne punktu D.

(3,5) = (4 + xD

2 ,8 + yD

2 )

3 =4 + xD

2 , 5 =8 + yD

2

xD = 2, yD = 2

D = (2,2)


50

Poziom trudności: AZadanie 1.4.1Punkt S jest środkiem odcinka AB. Znajdź brakujące współrzędne.


Poziom trudności: AZadanie 1.4.2Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach w punktach A i B.

(Pokaż odpowiedź)



A = (√2, 3√2), B = ( − 3√2, 5√2)a)

A = (1, 3√3), B = ( − 5,3√3)b)

A = ( − 4√2, − 3), B = ( − 4√2, 3)c)

A = (1 − √5, 3 + √3), B = (1 + √5, 3 − √3)d)


51


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq#iQa4B0s9mq_d5e510WOMI



Poziom trudności: AZadanie 1.4.9Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są podane punkty.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.10Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka A.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.11Punkty A, B, C są wierzchołkami prostokąta ABCD. Oblicz długość przekątnej prostokąta oraz

wyznacz współrzędne wierzchołka D.

(Pokaż odpowiedź)

A = (1,6), B = ( − 4,1), C = (1, − 4)a)

A = (2,8), B = ( − 2,5), C = (6, − 1)b)

A = (√2, − √2), B = (2√2, − 2√2), C = (3√2, √2)c)

A = (2,8), B = ( − 2,5), C = (6, − 1)a)

A = ( − 3,4), B = (5, − 1), C = (5,9)b)

A = (0,0), B = (4, − 1), C = (2,5)c)

A = ( − 2,1), B = (0,6), C = (6,2)d)

A = ( − 2,3), B = (1,6), C = (5,2)a)

A = (2,0), B = ( − 2,6), C = (1,8)b)

A = (0,3), B = ( − 6,0), C = (0, − 12)c)


52

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq#iQa4B0s9mq_d5e555WOMI

Poziom trudności: AZadanie 1.4.12Sprawdź, czy trójkąt ABC jest równoramienny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.13Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S. Wyznacz współrzędne braku-

jących wierzchołków równoległoboku.

(Pokaż odpowiedź)


Dane są punkty: A = (4,1), B = (2, − 4), C = ( − 2,2). Wyznacz równania prostych zawierających

środkowe trójkąta ABC.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.4.15Sprawdź, czy trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A1B1C1, jeśli wierzchołki trójkątów mają

współrzędne: A = ( − 2,1), B = ( − 1, − 2), C = (1,2) oraz A1 = (3,0) , B1 = ( − 3, − 2), C1 = (5, − 6).(Pokaż odpowiedź)

A = (2, − 7), B = ( − 5, − 3), C = (6,0)a)

A = (1, − 6), B = ( − 5,1), C = (7,1)b)

A = (1, − 5), B = (8, − 6), C = (6,4)c)

A = (0, − 4), B = (7, − 5), S = (3,0)a)

A = (9,1), B = (1, − 7), S = (2, − 2)b)

A = (7,0), B = (0, − 4), S = (0, − 1)c)

A = (10, − 4), B = (5, − 7), S = (7, − 72 )d)


53


Dane są punkty S = (412 , − 1

2 ) , A = (m + 3, m) oraz B = (2m, m − 5). Wyznacz wartość m tak, aby

| AS | = | BS | .

(Pokaż odpowiedź)


Punkty A = (m − 2, − 2m + 8), B = (5,0). Wyznacz takie wartości m, dla których długość odcinka

AB jest równa 2√2.

(Pokaż odpowiedź)


54

1.5. Zastosowania równania prostej: wysokości,środkowe, symetralne boków trójkąta

Przykład 1.Dane są punkty A = ( − 1,1) i B = (5, − 1). Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.

Pokażemy dwa sposoby rozwiązania tego zadania.

• sposób I

Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego śro-

dek

Współrzędne S środka odcinka o końcach w punktach A = ( − 1,1) i B = (5, − 1) są równe

xS =−1 + 5

2 = 2 i yS =1 − 1

2 = 0, czyli S = (2,0).Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy

a =−1 − 15 + 1 = − 1

3 .

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest więc równy a1 = 3. Zatem symetralną

można opisać równaniem

y = 3x + b.

Punkt S = (2,0) leży na symetralnej. Po podstawieniu współrzędnych punktu S do równania

otrzymujemy 0 = 3 ∙ 2 + b, czyli b = − 6.

Równanie symetralnej ma postać y = 3x − 6.

• sposób II

Z własności symetralnej odcinka wynika, że każdy punkt P leżący na symetralnej jest równo

oddalony od końców odcinka.

Wynika z tego, że | AP | = | BP | .

Wykorzystując wzór na długość odcinka, otrzymujemy

√(x + 1)2

+ (y − 1)2

= √(x − 5)2

+ (y + 1)2

Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta

55

(x + 1)2

+ (y − 1)2

= (x − 5)2

+ (y + 1)2

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia

x2 + 2x + 1 + y2 − 2y + 1 = x2 − 10x + 25 + y2 + 2y + 1

Stąd otrzymujemy równanie ogólne

12x − 4y − 24 = 0.

Zapisując to równanie w postaci kierunkowej, mamy

y = 3x − 6.

Przykład 2.

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach: A = (−3,6), B = (0,2), C = (4,4) jest pro-

stokątny.

• sposób I

Trójkąt jest prostokątny, jeśli dwa jego boki są prostopadłe. Sprawdzimy, czy wśród trzech

prostych zawierających boki trójkąta jest para prostych prostopadłych.

Obliczymy współczynniki kierunkowe każdej z trzech prostych.

Jeśli proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy −1.

Sprawdźmy:

aAB ∙ aBC = − 43 ∙ 1

2 ≠ − 1, zatem boki AB i BC nie leżą na prostych prostopadłych. Podobnie

aBC ∙ aAC = − 27 ∙ 1

2 ≠ − 1, zatem boki BC i AC nie leżą na prostych prostopadłych.

Zauważmy, że boki AB i AC również nie są prostopadłe (ich współczynniki kierunkowe są

ujemne, więc ich iloczyn nie może być równy −1).

Wynika z tego, że żadne dwa boki trójkąta nie są prostopadłe, więc ten trójkąt nie jest pro-

stokątny.

Uwaga.

Jeśli wcześniej zaznaczymy punkty w układzie współrzędnych, to zauważymy, że tylko boki

AB i AC mogą być prostopadłe. Wystarczy w tym przypadku pokazać, że aAB ∙ aAC ≠ − 1.

Współczynnik kierunkowy prostej AB: aAB =6 − 2−3 = − 4

3 .a)

Współczynnik kierunkowy prostej BC: aBC =4 − 2

4 =12 .b)

Współczynnik kierunkowy prostej AC: aAC =6 − 4

−3 − 4 = − 27 .c)


56

• sposób II

Krok 1

Obliczamy długości boków trójkąta.

| AB | = √(−3)2

+ (2 − 6)2

= √25 = 5

| AC | = √(−3 − 4)2

+ (6 − 4)2

= √53

| BC | = √(−4)2

+ (2 − 4)2

= √20

Krok 2

Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi

długości trzeciego boku. Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek wynikający z twierdzenia

odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

| AB |2

+ | BC |2

= 25 + 20

| AC |2

= 53

53 ≠ 25 + 20

Wynika z tego, że trójkąt nie jest prostokątny.

Przykład 3.

Punkty: A = (−3,7), B = (0, − 2), C = (6,0), D = (3,9) są wierzchołkami czworokąta. Uzasad-

nij, że czworokąt ABCD jest prostokątem.


57

• sposób I

Krok 1

Sprawdzimy, czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem (ma dwie pary boków równole-

głych).

Obliczymy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki czworokąta.

aAB =7 + 2−3 = − 3

aBC =−2−6 =

13

aCD =9

3 − 6 = − 3

aDA =9 − 73 + 3 =

13

Ponieważ aAB = aCD = − 3 i aBC = aDA =13 , więc czworokąt ABCD ma dwie pary boków równo-

ległych.

Krok 2

Sprawdzamy, czy kąty wewnętrzne równoległoboku są proste.

Ponieważ aAB ∙ aBC = − 3 ∙ 13 = − 1, to proste zawierające boki AB i BC są prostopadłe. Wynika

z tego , że jeden z kątów wewnętrznych równoległoboku jest prosty. Z własności kątów w

równoległoboku (suma kątów, których wspólnym ramieniem jest bok równoległoboku jest

równa 180 ° ) wynika, że pozostałe kąty są również proste.

Uzasadniliśmy, że czworokąt ABCD jest równoległobokiem, którego kąty wewnętrzne są pro-

ste, a więc ten czworokąt jest prostokątem.

• sposób II


58

• Krok 1

Sprawdzamy, czy przekątne czworokąta są równe.

Długość przekątnej AC: | AC | = √(−3 − 6)2

+ (7)2

= √130.

Długość przekątnej BD: | BD | = √(3)2

+ (9 + 2)2

= √130.

Wynika z tego, że przekątne czworokąta ABCD są równe.

• Krok 2

Sprawdzamy, czy środek przekątnej AC jest jednocześnie środkiem przekątnej BD.

Środek przekątnej AC: S1 = (−3 + 62 ,

72 ) = (3

2 ,72 ).

Środek przekątnej BD: S2 = (32 ,

−2 + 92 ) = (3

2 ,72 ).

Wynika z tego, że S1 = S2. Jest to zatem punkt wspólny obu przekątnych i jednocześnie jest

środkiem każdej z nich.

Zatem czworokąt ABCD ma równe przekątne, które przecinają się w punkcie dzielącym każdą

z nich na połowę. Z tego wynika, że czworokąt ABCD jest prostokątem.


59

Przykład 4.Oblicz pole trapezu prostokątnego, którego wierzchołkami są punkty:

A = ( − 2, − 1), B = (6,3), C = ( − 1,7) , D = ( − 5,5).Aby obliczyć pole trapezu, potrzebne są długości obu podstaw trapezu i jego wysokość.

Długości podstaw trapezu:

a = | DC | = √(−1 + 5)2

+ (7 − 5)2

= √20 = 2√5

b = | BA | = √(−2 − 6)2

+ (−1 − 3)2

= √80 = 4√5

Wysokość trapezu:

h = | DA | = √(−2 + 5)2

+ (−1 − 5)2

= √45 = 3√5

Pole trapezu:

P =a + b

2 ∙ h =6√5

2 ∙ 3√5 = 9 ∙ 5 = 45

Przykład 5.

Punkty: S1 = (4,5), S2 = (132 , 1), S3 = (3

2 , 0) są środkami boków trójkąta ABC. Wyznacz

współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Współrzędne wierzchołków oznaczamy odpowiednio: A = (xA, yA), B = (xB, yB), C = (xC, yC).Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, możemy zapisać

S1 = (4,5) = (xA + xB

2 ,yA + yB

2 )


60

S2 = (132 , 1) = (

xB + xC2 ,

yB + yC2 )

S3 = (32 , 0) = (

xA + xC2 ,

yA + yC2 )

Stąd otrzymujemy następujące układy równań:

{4 =

xA + xB2

132 =

xB + xC2

32 =

xA + xC2

{5 =

yA + yB2

1 =yB + yC

2

0 =yA + yC

2

czyli

{8 = xA + xB

13 = xB + xC

3 = xA + xC {10 = yA + yB

2 = yB + yC

0 = yA + yC

{xA = − 1

xB = 9

xC = 4 {yA = 4

yB = 6

yC = − 4

Wierzchołki trójkąta mają współrzędne: A = ( − 1, 4), B = (9, 6), C = (4, − 4).


61

Przykład 6.Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty: A = ( − 2,6), B = (6, − 2) , C = (9,5).

• sposób I

Obliczymy pole tego trójkąta, wykorzystując wzór PABC =12 | AB | ∙ h. Potrzebna więc bę-

dzie długość jednego z boków i długość wysokości opuszczonej na ten bok.

• Krok 1

Obliczamy długość boku AB.

| AB | = √(−2 − 6)2

+ (6 + 2)2

= 8√2

• Krok 2

Obliczamy wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C do boku AB.


62

Wysokość jest równa długości odcinka CD, gdzie D jest spodkiem tej wysokości na bok AB.

Punkt D jest punktem wspólnym prostej zawierającej bok AB i prostej do niej prostopadłej,

przechodzącej przez wierzchołek C.

Krok 2.1

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej bok AB.

Współczynnik kierunkowy a =6 + 2

−2 − 6 = − 1. Do tej prostej należy punkt A = ( − 2,6), zatem jej

równanie można zapisać

y = − 1(x − ( − 2)) + 6

y = − x + 4.

Krok 2

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość CD.

Prosta CD jest prostopadła do AB, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy 1.

Jej równanie możemy zapisać w postaci y = x + b.

Podstawiamy współrzędne punktu C = (9,5) leżącego na tej prostej i obliczamy współczynnik

b.

5 = 9 + b

czyli b = − 4. Równanie prostej AB ma postać

y = x − 4

Krok 3

Obliczamy współrzędne punktu wspólnego obu wyznaczonych prostych.

Współrzędne punktu D są rozwiązaniem układu równań złożonych z równań obu prostych:

{ y = − x + 4

y = x − 4


63

Rozwiązaniem jest { x = 4

y = 0. Stąd D = (4,0).

Krok 4

Obliczamy wysokość h.

h = | CD | = √(9 − 4)2

+ (5)2

= 5√2

Krok 5

Obliczymy pole trójkąta ABC.

P =12 | AB | h =

12 ∙ 8√2 ∙ 5√2 = 40

Uwaga.

Potrzebna do obliczenia pola wysokość trójkąta h jest równa odległości punktu C od prostej

zawierającej bok AB.

Odległość punktu P = (x0, y0) od prostej o równaniu

Ax + By + C = 0 jest równa

d =| Ax0 + By0 + C |

√A2 + B2

Równanie prostej AB ma postać kierunkową y = − x + 4 i ogólną x + y − 4 = 0.

Wysokość h jest odległością punktu C = (9,5) od prostej o równaniu x + y − 4 = 0.

Zatem, wstawiając do wzoru odpowiednie liczby, otrzymujemy

h =| x0 + y0 − 4 |

√12 + 12 =| 9 + 5 − 4 |

√2 =| 10 |

√2 =10

√2 = 5√2

• sposób II


64

Trójkąt ABC możemy wpisać w taki prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu

współrzędnych. Wtedy pole trójkąta można obliczyć jako różnicę pól prostokąta i trzech trój-

kątów prostokątnych.


Przykład 7.Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach: A = ( − 2,6), B = (6, − 3) , C = (5,3).Pole trójkąta rozwartokątnego ABC można obliczyć jako sumę pól dwóch trójkątów ACF i CFB

.

PACF = 7 ∙ 7 − (12 ∙ 7 ∙ 7 +

12 ∙ 7 ∙ 3) = 14


65

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDpzUxWz9D#iDpzUxWz9D_d5965d4e17628WOMI

PCFB = 6 ∙ 2 − (12 ∙ 2 ∙ 2 +

12 ∙ 2 ∙ 6) = 4

Pole trójkąta ABC:

PABC = PACF + PCFB = 14 + 4 = 18

Przykład 8.Punkt A leży na prostej k o równaniu y = 2x − 1, a punkt B na prostej m o równaniu y = − x + 3

. Wyznacz współrzędne punktów A i B tak, aby punkt P = (0,0) był środkiem odcinka AB.

Współrzędne punktu A możemy zapisać, wykorzystując fakt, że A leży na prostej y = 2x − 1:

A = (xA, 2xA − 1). Podobnie zapisujemy współrzędne punktu B leżącego na prostej y = − x + 3

:

B = (xB, − xB + 3).Punkt P = (0,0) jest środkiem odcinka AB, zatem wykorzystując wzory na współrzędne środka

odcinka, otrzymujemy:

xA + xB2 = 0 i

(2xA − 1) + ( − xB + 3)2 = 0.

Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań

{ xA + xB = 0

2xA − xB = − 2

Rozwiązaniem układu jest xA = − 23 i xB =

23 .

Z tego wynika, że

A = (− 23 , 2 ∙ (− 2

3 ) − 1) = (− 23 , − 7

3 )


66

B = (23 , − 2

3 + 3) = (23 ,

73 )

Poziom trudności: AZadanie 1.5.1Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.2Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową AD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są

podane punkty.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach w punktach: A = (0,4), B = (5,3), C = ( − 1, − 1) jest prosto-

kątny. Czy ten trójkąt jest równoramienny?

(Pokaż odpowiedź)

A = ( − 2,4), B = (3,2)a)

A = ( − 3, − 1), B = (1,1)b)

A = (1,2), B = ( − 2, − 1)c)

A = (6,3), B = ( − 2,5)d)

A = (0, − 2), B = (5,3)e)

A = (2√2, − 8√2), B = ( − 2√2, 8√2)f)

A = (−2,3), B = (1, − 2), C = (4,2)a)

A = (−3,3), B = (4, − 1), C = ( − 2,3)b)

A = (6,1), B = (7,0), C = (1,0)c)

A = (−3,2), B = (3,5), C = ( − 2, − 1)d)


67

Poziom trudności: AZadanie 1.5.4Wykaż, że czworokąt ABCD, którego wierzchołkami są punkty:

A = (4, − 1), B = (8,6), C = (0,5), D = ( − 4, − 2), jest rombem.

(Pokaż odpowiedź)


Punkty A = (0,1), B = (6, − 1), C = (7,2) są wierzchołkami równoległoboku ADBC. Punkt E jest

punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Wyznacz równanie prostej przecho-

dzącej przez punkt E i równoległej do boku AB

(Pokaż odpowiedź)


Punkty B = (5, − 2) i D = (3,6) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz rów-

nanie prostej AC.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.7Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołkami są podane punkty

(Pokaż odpowiedź)


W trójkącie ABC bok AB leży na prostej y = − x − 2, wierzchołek C = (3,5). Wyznacz równanie wy-

sokości opuszczonej na bok AB oraz oblicz długość tej wysokości.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 1.5.9Oblicz pole równoległoboku ABCD o wierzchołkach w punktach:

A = (11,4), B = (5, − 3), C = (1, − 2).(Pokaż odpowiedź)

A = (5,4), B = ( − 3,0), C = (3,6)a)

A = (5,2), B = (−3,8), C = (6,5)b)


68

Poziom trudności: BZadanie 1.5.10

Punkty: K = ( − 3,2), L = (1,4), M = (3,0) są środkami kolejnych boków kwadratu ABCD. Wy-

znacz współrzędne wierzchołków kwadratu.

(Pokaż odpowiedź)


69

Rozdział 2. Funkcja kwadratowa

2.1. Jednomian kwadratowy i jego własności.Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowegowzdłuż osi układu współrzędnych

Jednomian kwadratowy i jego własności

Omówimy własności funkcji f określonej wzorem f(x) = x2.

Przykład 1.W poniższej tabeli zapisane są wartości funkcji f(x) = x2 dla kilku przykładowych argumentów.

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

f(x) 9 4 1 0 1 4 9

Odczytujemy stąd, że f(2) = f(−2) = 4. Uzasadnimy, że tylko dla tych dwóch argumentów funk-

cja f przyjmuje wartość 4.

Argument x, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 4, spełnia równanie x2 = 4, które jest

równoważne równaniu

x2 − 4 = 0,

czyli

(x − 2)(x + 2) = 0.

Otrzymany iloczyn (x − 2)(x + 2) jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego czynników

jest równy zero.

Wobec tego x − 2 = 0 lub x + 2 = 0.

Stąd f(x) = 4 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2 lub x = − 2.

Funkcja kwadratowa

70

Przykład 2.Zauważamy też, że f(−1) = f(1) = 1 i f(−3) = f(3) = 9.

Wykażemy, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi, funkcja f przyj-

muje tę samą wartość.

Rozpatrzmy pewną liczbę x, która jest różna od zera. Wtedy f(x) = x2 oraz f(−x) = (−x)2

= x2, co

oznacza, że f(−x) = f(x), czyli funkcja f przyjmuje tę samą wartość dla takich dwóch argumen-

tów, które są liczbami przeciwnymi.


Przykład 3.Z tabeli z przykładu 1 odczytujemy, że f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9, więc

f(0) < f(1) < f(2) < f(3). Zauważmy też, że f(1) − f(0) = 1, f(2) − f(1) = 3, f(3) − f(2) = 5.

Uzasadnimy, że:

• Weźmy pewną liczbę całkowitą nieujemną n. Wówczas f(n) = n2 i

f(n + 1) = (n + 1)2

= n2 + 2n + 1, więc f(n + 1) − f(n) = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1 > 0, bo liczba

n jest nieujemna.

• Ponieważ f(n + 1) − f(n) = 2n + 1, więc wraz ze wzrostem n rośnie wartość 2n + 1.

dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n prawdziwa jest nierówność f(n + 1) > f(n),a)

wraz ze wzrostem n różnica f(n + 1) − f(n) rośnie.b)

Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych

71

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ik1JIubkZ2#ik1JIubkZ2_d706d4e2263WOMI

Przykład 4.Pokażemy, że jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji f(x) = x2 z osią Ox jest punkt

(0, 0), a pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi Ox.

Funkcja f przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej

x jest x2 ≥ 0. Ponadto x2 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.

Zatem

• punkt (0, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji f z osią Ox,

• pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi Ox.

Przykład 5.Uzasadnimy, że prosta określona równaniem x = 0 jest osią symetrii wykresu funkcji f.

Na wykresie funkcji f możemy wskazać pary punktów symetrycznych względem osi Oy. Np.

(1, 1) oraz ( – 1, 1), a także ( – 2, 4) i (2, 4). Jak wcześniej wykazaliśmy, funkcja f przyjmuje tę

samą wartość dla takich dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi. Zatem dla do-

wolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość f(−x) = f(x), a to oznacza, że oś Oy (czyli prosta

o równaniu x = 0) jest osią symetrii wykresu funkcji f.

Przykład 6.Uzasadniliśmy wcześniej, że dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n prawdziwa jest

nierówność f(n + 1) > f(n). Wykażemy, że dla dowolnych liczb nieujemnych x1, x2, takich że

x1 < x2, prawdziwa jest nierówność f(x2) > f(x1).Weźmy takie dwie liczby nieujemne x1, x2, że x1 < x2. Wtedy

f(x2) − f(x1) = x22 − x1

2 = (x2 − x1)(x2 + x1)

W otrzymanym iloczynie oba czynniki są dodatnie: x2 − x1 > 0, bo x1 < x2, natomiast

x2 + x1 > 0, gdyż x2 + x1 jest sumą liczby nieujemnej x1 i liczby dodatniej x2. Stąd

f(x2) − f(x1) > 0, czyli f(x2) > f(x1).Zatem (z uwagi na symetrię wykresu funkcji f względem osi Oy)

• maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca to ? 0, + ∞),• maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca to ( – ∞, 0 ? .

Przykład 7.Uzasadniliśmy wcześniej, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi,

funkcja f przyjmuje tę samą wartość.

Wykażemy, że dla każdej dodatniej liczby k istnieją dokładnie dwa takie argumenty funkcji f,

że f(x) = k.

Przekształcamy równanie

x2 = k


72

x2 − k = 0

(x − √k)(x + √k) = 0.

Ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x − √k = 0 lub x + √k = 0.

Zatem f(x) = k wtedy i tylko wtedy, gdy x = √k lub x = − √k. Liczby te są różne, gdyż

−√k < 0 < √k.

To oznacza, że dowolna dodatnia liczba k należy do zbioru wartości funkcji f.

Ponieważ f(0) = 0, to możemy stwierdzić, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział

? 0, + ∞).

Ważne

• Wykresem funkcji f(x) = x2 jest krzywa o równaniu y = x2, którą nazywamy parabolą.

• Punkt O = (0, 0) nazywamy wierzchołkiem tej paraboli.

• Prosta x = 0 jest osią symetrii tej paraboli. Symetryczne względem tej prostej części pa-

raboli y = x2 nazywać będziemy jej ramionami.

• Ramiona paraboli y = x2 skierowane są zgodnie ze zwrotem osi Oy (mówimy też, że ra-

miona tej paraboli skierowane są w górę).

• Parabola ta ma dokładnie dwa punkty wspólne z każdą prostą o równaniu y = k, gdzie

k > 0.

Przykład 8.Narysujemy wykres funkcji g(x) = 2x2.

Ustalimy najpierw zależność między wykresem funkcji g a wykresem funkcji f(x) = x2.

Wartości tych funkcji dla kilku przykładowych argumentów prezentuje poniższa tabela.


73

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

f(x) 9 4 1 0 1 4 9

g(x) 18 8 2 0 2 8 18

Zauważmy, że g(0) = f(0) = 0. Dla ustalonego argumentu x ≠ 0, f(x) > 0 oraz równość

g(x) = 2x2 = 2f(x),

co oznacza, że wartość funkcji g jest dwa razy większa od wartości funkcji f.

Wykres funkcji g (krzywa o równaniu y = 2x2) jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt

O = (0, 0), a ramiona skierowane są w górę.


74

Przykład 9.W odniesieniu do wykresu funkcji f(x) = x2 rozpatrzmy wykres funkcji h danej wzorem

h(x) = ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią. Niezależnie od wartości a jest h(0) = f(0) = 0.

Dla ustalonego niezerowego x ≠ 0 zachodzi równość h(x) = a ? f(x) > 0.

Wykresem każdej takiej funkcji h jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt O = (0, 0) i

ramiona skierowane są w górę.


• Krzywą o równaniu y = x2 nazwaliśmy parabolą. Wykazaliśmy, że pewne jej własności ma

również każda krzywa o równaniu y = ax2, gdzie a > 0 i na tej podstawie uznaliśmy, że każdą

z tych krzywych można również nazwać parabolą.

• Wybierzmy na płaszczyźnie dowolną prostą k oraz punkt F, który nie należy do tej prostej.

Parabola to zbiór wszystkich punktów tej płaszczyzny, których odległość od prostej k, zwanej

kierownicą paraboli, jest równa odległości od punktu F, tzw. ogniska paraboli.

• Punkt paraboli, którego odległość od ogniska jest najmniejsza z możliwych, nazywamy

wierzchołkiem paraboli. Wierzchołek leży w połowie odległości ogniska F od kierownicy k.

• Prosta prostopadła do kierownicy k i przechodząca przez ognisko F jest osią symetrii para-

boli i przecina tę parabolę w jej wierzchołku.

Przykład 10.Wykażemy, że krzywa o równaniu y = x2 to parabola, której kierownicą jest prosta k o równa-

niu y = − 14 , a ogniskiem punkt F = (0,

14 ).

Spośród punktów danej krzywej, najbliżej prostej k leży punkt W = (0, 0), jedyny punkt tej


75


krzywej, który leży na osi Ox. Jego odległość zarówno od punktu F, jak i od prostej k jest rów-

na14 .

Na krzywej o równaniu y = x2 leżą też np. punkty A = (1, 1) i B = (−2, 4). Pokażemy, że każdy

z nich jest równo odległy od kierownicy k i ogniska F.

Dla punktu A odległość od kierownicy k jest równa 114 , a odległość od ogniska jest równa

| AF | = √(1 − 0)2

+ (1 − 14 )

2= √1 +

916 = √25

16 =54 ,

czyli również 114 .

Dla punktu B odległość od kierownicy k jest równa 414 , a odległość od ogniska jest równa

| BF | = √(−2 − 0)2

+ (4 − 14 )

2= √(−2)

2+ (15

4 )2

= √4 +22516 = √289

16 =174 = 4

14 ,

zatem i te dwie odległości są równe.

Pokażemy, że każdy punkt krzywej o równaniu y = x2 leży w tej samej odległości od prostej k

i punktu F.

Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x punkt P = (x, x2) leży na tej krzywej. Odle-

głość punktu P od prostej k to x2 +14 , a odległość punktu P od ogniska F jest równa

| PF | = √(x − 0)2

+ (x2 − 14 )

2= √x2 + x4 − 1

2x2 +1

16 = √x4 +12x2 +

116 = √(x2 +

14 )

2= x2 +

14

Zatem dla każdego x odległości te są równe, więc krzywa o równaniu y = x2 to parabola, któ-

rej wierzchołkiem jest punkt W = (0, 0), a jej osią symetrii jest prosta o równaniu x = 0.

Każda krzywa o równaniu y = ax2, gdzie a ≠ 0 to parabola, której kierownicą jest prosta k o równa-

niu y = − 14a , a ogniskiem jest punkt F = (0,

14a ).

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x punkt P = (x, ax2) leży na tej krzywej. Odległość punktu P od

prostej k to | ax2 +1

4a | , a odległość punktu P od ogniska F wyraża się wzorem

| PF | = √(x − 0)2

+ (ax2 − 14a )

2= √x2 + a2x4 − 1

2x2 +1

16a2 = √a2x4 +12x2 +

1

16a2 = √(ax2 +1

4a )2

=

= a | x2 +1

4a | .

Odległości te są równe, zatem krzywa o równaniu y = ax2 to parabola. Jej wierzchołkiem jest punkt

W = (0, 0), a osią symetrii – prosta o równaniu x = 0.


76

Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego

wzdłuż osi układu współrzędnych

Przykład 11.

Narysujemy wykresy funkcji f1(x) = x2 − 3 oraz f2(x) = (x − 2)2.


Rozpatrzmy parabolę o równaniu y = x2.

Zauważmy, że:


77


• po jej przesunięciu o 3 jednostki w dół wzdłuż osi Oy otrzymamy parabolę o równaniu

y = x2 − 3. Wykresem funkcji f1 jest więc parabola, której wierzchołek to W1 = (0, – 3),a jej ramiona skierowane są w górę. Prosta x = 0 jest osią symetrii tej paraboli. Zatem

maksymalny przedział, w którym funkcja f1 jest rosnąca, to ? 0, + ∞), a maksymalny

przedział, w którym funkcja f1 jest malejąca, to ( – ∞, 0 ? . Zbiór wartości funkcji f1 to

? −3, + ∞).

• po jej przesunięciu o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi Ox otrzymamy parabolę o równa-

niu y = (x − 2)2. Stąd wykresem funkcji f2 jest parabola o wierzchołku w punkcie

W2 = (2, 0), której ramiona skierowane są w górę. Prosta x = 2 jest osią symetrii tej pa-

raboli. Wobec tego przedział ? 2, + ∞) to maksymalny przedział, w którym funkcja f2

jest rosnąca, a przedział ( – ∞, 2 ? to maksymalny przedział, w którym funkcja f jest

malejąca. Zbiór wartości funkcji f1 to ? 0, + ∞).

Przykład 12.Narysujemy wykresy funkcji.

g1(x) =12 (x + 1)

2a)

g2(x) = − x2 − 1b)


78

Rozpatrzmy funkcję f daną wzorem f(x) = ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą różną od zera.

Obrazem wykresu funkcji f w przesunięciu o q jednostek wzdłuż osi Oy jest wykres takiej

funkcji g, że g(x) = ax2 + q. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu y = ax2,

której wierzchołkiem jest punkt (0, q). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = 0

.

Obrazem wykresu funkcji f w przesunięciu o p jednostek wzdłuż osi Ox jest wykres takiej

funkcji h, że h(x) = a(x − p)2. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu y = ax2,

której wierzchołkiem jest punkt (p, 0). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = p

.

Wobec powyższego:

g3(x) = − 13x2 + 3c)

g4(x) = − 2(x + 1)2d)

Wykresem funkcji g1(x) =12 (x + 3)

2jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(−3, 0), a jej ramiona są skierowane w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o

równaniu x = − 3. Maksymalny przedział, w którym funkcja g1 jest rosnąca, to

? – 3, + ∞), a maksymalny przedział, w którym funkcja g1 jest malejąca, to

( – ∞, – 3 ? . Zbiór wartości funkcji g1 to ? 0, + ∞).

a)


79

Wykresem funkcji g2(x) = 2x2 + 1 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (0, 1),a jej ramiona skierowane są w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu

x = 0. Maksymalny przedział, w którym funkcja g2 jest rosnąca, to ? 0, + ∞), a maksy-

malny przedział, w którym jest ona malejąca, to ( – ∞, 0 ? . Zbiór wartości funkcji g2 to

? 1, + ∞).

b)

Wykresem funkcji g3(x) = − 13x2 + 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(0, 3), a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o rów-

naniu x = 0. Maksymalny przedział, w którym funkcja g3 jest rosnąca, to ( – ∞, 0 ? , a

maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to ? 0, + ∞). Zbiór wartości funk-

cji g2 to ( – ∞, 3 ? .

c)


80

Przykład 13.Znajdziemy równania parabol, które są zaprezentowane na poniższych rysunkach.

Wykresem funkcji g4(x) = − (x − 1)2

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(1, 0), a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o rów-

naniu x = 1. Maksymalny przedział, w którym funkcja g4 jest rosnąca, to ( – ∞, 1 ? , a

maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to ? 1, + ∞). Zbiór wartości funk-

cji g4 to ( – ∞, 0 ? .

d)

a)


81

b)

c)

d)

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (0, 1), więc ma ona równanie postaci y = ax2 + 1. Na

tej paraboli leży też punkt (1, 2), zatem a ? 12 + 1 = 2, stąd a = 1. Wobec tego równanie

tej paraboli to y = x2 + 1.

a)


82



Poziom trudności: AZadanie 2.1.2Funkcja g określona jest wzorem g(x) = − 2x2 − c2. Można tak dobrać c , aby największa wartość

tej funkcji była równa

a) 2

b) 1

c) 0

d) – 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.3Do zbioru wartości funkcji f(x) = x2 należy liczba

a) −√3 + √2

b) −3 + √2

c) −√3 + 2

d) −2 + √3

(Pokaż odpowiedź)

Wierzchołkiem paraboli jest punkt ( – 1, 0), zatem ma ona równanie postaci

y = a(x + 1)2. Na tej paraboli leży też punkt (0, – 1), więc a ? (0 + 1)

2= − 1, stąd a = − 1.

To znaczy, że ta parabola ma równanie y = − (x + 1)2.

b)

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, 0), więc ma ona równanie postaci y = a(x − 1)2.

Na tej paraboli leży też punkt (0, 2), zatem a ? (0 − 1)2

= 2, stąd a = 2. To znaczy, że ta

parabola ma równanie y = 2(x − 1)2.

c)

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (0, 3), zatem ma ona równanie postaci y = ax2 + 3.

Na tej paraboli leży też punkt (3, 0), więc a ? 32 + 3 = 0, stąd a = − 13 . Wobec tego rów-

nanie tej paraboli to y = − 13x2 + 3.

d)


83

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ik1JIubkZ2#ik1JIubkZ2_d5e544WOMI

Poziom trudności: AZadanie 2.1.4Wskaż prostą, która przecina parabolę y = − x2 w dokładnie dwóch punktach.

a) y = 2

b) y = 1

c) y = 0

d) y = − 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.5Aby otrzymać wykres funkcji f(x) = − 2x2, należy

a) odbić parabolę o równaniu y = 2x2 symetrycznie względem osi Oy

b) odbić parabolę o równaniu y = 2x2 symetrycznie względem osi Ox

c) przesunąć parabolę o równaniu y = x2 o 2 jednostki wzdłuż osi Oy

d) przesunąć parabolę o równaniu y = x2 o 2 jednostki wzdłuż osi Ox

(Pokaż odpowiedź)


Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja f(x) = − 3(x + 1)2

jest malejąca.

a) (−∞, 1 ?

b) (−∞, −1 ?

c) ? −1, + ∞)

d) ? 1, + ∞)

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja f określona jest wzorem f(x) = 17(x − 1)2. Wskaż prawdziwą równość.

a) f( – 50) = f(53)


84

b) f( – 50) = f(52)

c) f( – 50) = f(51)

d) f( – 50) = f(50)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.8Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji f.

Funkcja f jest określona wzorem

a) f(x) = (x + 2)2

b) f(x) = (x − 2)2

c) f(x) = x2 − 2

d) f(x) = x2 + 2

(Pokaż odpowiedź)


85

Poziom trudności: AZadanie 2.1.9Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji g.

Funkcja g jest określona wzorem

a) g(x) = − (x + 3)2

b) g(x) = − x2 − 3

c) g(x) = − (x − 3)2

d) g(x) = − x2 + 3

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja g określona jest wzorem g(x) = (m2 + 2)x2 + m. Można dobrać taką wartość m, żeby osią

symetrii wykresu tej funkcji była prosta o równaniu

a) x = 2

b) x = 1

c) x = 0

d) x = − 1

(Pokaż odpowiedź)


86

Poziom trudności: AZadanie 2.1.11Narysuj wykres funkcji f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.12Narysuj wykres funkcji g. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.13Podaj zbiór wartości funkcji f.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.14Podaj zbiór wartości funkcji h.

f(x) = x2 + 1a)

f(x) = 4x2 − 1b)

f(x) = 2x2 + 2c)

g(x) = − x2 + 4a)

f(x) = − 2x2 − 1b)

f(x) = − 3x2 + 3c)

f(x) = − 12x2 − 2d)

f(x) = 3x2 + 1a)

f(x) = (x + 5)2b)

f(x) = 2x2 − 3c)

f(x) = 4(x − 7)2d)

h(x) = − (x + 4)2a)

h(x) = − 9x2 − 4b)


87

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.15Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja g maleje.

(Pokaż odpowiedź)


Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = − (x + 3)2. Na jego podstawie ustal, ile rozwi-

ązań ma podane równanie.

(Pokaż odpowiedź)

h(x) = − x2 + 2c)

h(x) = − 3(x − 1)2d)

g(x) = 3x2 − 1a)

g(x) = − (x + 2)2

− 1b)

g(x) =34 (x − 1)

2+ 2c)

g(x) = − 5x2 + 5d)

f(x) = 3a)

f(x) = 0b)

f(x) = − 1c)

f(x) = − 3d)


88


Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem g(x) = − 2x2 + 2. Na jego podstawie ustal, ile rozwi-

ązań ma podane równanie.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.1.18Na rysunkach przedstawiono trzy parabole będące wykresami funkcji kwadratowej. Odczytaj

współrzędne wierzchołka W każdej z tych parabol i znajdź wzór każdej z funkcji.

g(x) = 3a)

g(x) = 2b)

g(x) = 1c)

g(x) = 0d)

a)


89

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja f jest określona wzorem f(x) = − 2(x − 3)2. Uszereguj od najmniejszej do największej

liczby: m = f(103), n = f(−96), k = f(−100), l = f(101).(Pokaż odpowiedź)


Rozpatrzmy funkcję f(x) = 3x2. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n różnica f(n) − f(n − 1)jest liczbą nieparzystą.

(Pokaż odpowiedź)

b)

c)


90

2.2. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzoremw postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowejzapisanej wzorem w postaci ogólnejWykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w

postaci kanonicznej

Rozpatrzmy parabolę o równaniu y = ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą różną od zera.

Po przesunięciu tej paraboli o | p | jednostek wzdłuż osi Ox (w prawo, gdy p > 0 lub w lewo,

gdy p < 0) oraz o q jednostek wzdłuż osi Oy (w górę, gdy q > 0 lub w dół, gdy q < 0), otrzymujemy

parabolę o równaniu

y = a(x − p)2

+ q.

Aby uprościć zapisy, będziemy mówić, że na przykład „przesuwamy wykres o 3 wzdłuż osi Oy”, za-

miast „przesuwamy wykres o 3 jednostki w dół wzdłuż osi Oy”.

Przykład 1.

Wykresem funkcji f(x) = (x + 1)2

− 4 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (−1, − 4), a

jej ramiona są skierowane w górę.

Wykres funkcji f otrzymujemy, przesuwając parabolę y = x2 o – 1 wzdłuż osi Ox oraz o – 4

wzdłuż osi Oy.

Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu x = − 1.

Maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie, to ? – 1, + ∞), a maksymalny przedział, w

którym funkcja f maleje, to ( – ∞, – 1 ? .

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ? −4, + ∞).

Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w

91

Przykład 2.

Wykresem funkcji g(x) = 2(x − 3)2

+ 2 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3, 2), a

jej ramiona skierowane są w górę.

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y = 2x2 o 3 wzdłuż osi Ox

oraz o 2 wzdłuż osi Oy.

Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x = 3.

Maksymalny przedział, w którym funkcja g rośnie, to ? 3, + ∞), a maksymalny przedział, w

którym funkcja g maleje, to (−∞, 3 ? .

Zbiorem wartości funkcji g jest przedział ? −2, + ∞).


92

Przykład 3.

Wykresem funkcji h(x) = − (x − 2)2

− 2 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (2, − 2), a jej ramiona są skierowane w dół.

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y = − x2 o 2 wzdłuż osi Ox

oraz o – 2 wzdłuż osi Oy.

Osią symetrii wykresu funkcji h jest prosta o równaniu x = 2.

Maksymalny przedział, w którym funkcja h rośnie, to (−∞, 2 ? , a maksymalny przedział, w

którym funkcja h maleje, to ? 2, + ∞).Zbiorem wartości funkcji h jest przedział (−∞, −2 ? .


93

Przykład 4.

Wykresem funkcji k(x) = − 4(x + 3)2

+ 1 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (−3, 1), a jej ramiona są skierowane w dół.

Wykres funkcji k otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y = − 4x2 o – 3 wzdłuż osi

Ox oraz o 1 wzdłuż osi Oy.

Osią symetrii wykresu funkcji k jest prosta o równaniu x = − 3.

Maksymalny przedział, w którym funkcja k rośnie, to (−∞, −3 ? , a maksymalny przedział, w

którym funkcja k maleje, to ? −3, + ∞).Zbiorem wartości funkcji f jest przedział (−∞, 1 ? .


94

Przykład 5.


Przykład 6.Wykres każdej z omawianych funkcji rysowaliśmy, korzystając z pomysłu przedstawionego

na początku tej lekcji. Przepis ten da się zastosować do wykresu każdej funkcji kwadratowej,

której wzór umiemy zapisać w postaci y = a(x − p)2

+ q, nazywanej postacią kanoniczną funk-

cji kwadratowej.

Zauważmy, że w przypadku funkcji f i k, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na

kwadrat sumy, otrzymujemy

f(x) = (x + 1)2

− 4 = (x2 + 2x + 1) − 4 = x2 + 2x − 3

oraz

k(x) = − 4(x + 3)2

+ 1 = − 4(x2 + 6x + 9)2

+ 1 = − 4x2 − 24x − 35,

natomiast w przypadku funkcji g i h, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwa-

drat różnicy, otrzymujemy

g(x) = 2(x − 3)2

+ 2 = 2(x2 − 6x + 9) + 2 = 2x2 − 12x + 20,

a także


95

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED#inT4yVy8ED_d1309d4e6273WOMI

h(x) = − (x − 2)2

− 2 = − (x2 − 4x + 4) − 2 = − x2 + 4x − 6.

Zatem każdą z funkcji f, g, h i k można zapisać w postaci y = ax2 + bx + c.

Wzór y = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c są ustalone, przy czym a jest różne od 0, nazywamy po-

stacią ogólną funkcji kwadratowej zmiennej x.

Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w

postaci ogólnej

Przykład 7.

Na jednym rysunku naszkicujemy wykresy funkcji f i g określonych wzorami f(x) = (x − 2)2

− 4

oraz g(x) = x2 − 4x.

Przekształcimy wzór funkcji f.

f(x) = (x − 2)2

− 4 = x2 − 4x + 4 − 4 = x2 − 4x

Wobec tego funkcje f i g są tożsamościowo równe, czyli ich wykresem jest ta sama parabola.

Wykresem obu tych funkcji jest parabola, która powstaje w wyniku przesunięcia paraboli o

równaniu y = x2 o 2 wzdłuż osi Ox oraz o – 4 wzdłuż osi Oy.

Przykład 8.Wykażemy, że przesuwając równolegle parabolę y = x2, otrzymamy wykres funkcji f określo-

nej wzorem

f(x) = x2 + 8x + 12.

Po przesunięciu paraboli y = x2 o p wzdłuż osi Ox oraz o q wzdłuż osi Oy otrzymujemy pa-


96

rabolę o równaniu y = (x − p)2

+ q, które przekształcamy do postaci y = x2 − 2px + p2 + q. Za-

uważmy, że dla p = − 4 równanie tej paraboli to y = x2 + 8x + 16 + q. Przyjmując dodatkowo

q = − 4, dostajemy y = x2 + 8x + 12. Oznacza to, że przesuwając parabolę o równaniu y = x2 o

– 4 wzdłuż osi Ox i o – 4 wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres podanej funkcji f. Wzór funkcji

f można też zapisać w postaci f(x) = (x + 4)2

− 4.

Przykład 9.Narysujemy wykres funkcji f(x) = − x2 + 4x + 5.

Wykorzystamy w tym celu pomysł z poprzedniego przykładu. Spodziewamy się, że wykres

funkcji f otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y = − x2 o p wzdłuż osi Ox oraz o

q wzdłuż osi Oy. W efekcie otrzymujemy parabolę o równaniu y = − (x − p)2

+ q, które prze-

kształcamy do postaci y = − x2 + 2px − p2 + q. Jeżeli przyjmiemy p = 2, to 2p = 4 i parabola

ma równanie y = − x2 + 4x − 4 + q. Wystarczy zatem przyjąć q = 9 i otrzymujemy równanie

y = − x2 + 4x + 5. Mamy więc

f(x) = − (x − 2)2

+ 9.

Wobec tego wykresem funkcji f określonej wzorem f(x) = − x2 + 4x + 5 jest parabola, którą

otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y = − x2 o 2 wzdłuż osi Ox i o 9

wzdłuż osi Oy.


97

Przykład 10.Narysujemy wykres funkcji f(x) = 3x2 − 6x.

Zauważmy, że wzór funkcji f można zapisać jako f(x) = 3(x2 − 2x). Ponadto dla każdej liczby x

prawdziwa jest równość x2 − 2x + 1 = (x − 1)2, a więc także równość x2 − 2x = (x − 1)

2− 1.

Wzór funkcji f można przekształcić do postaci

f(x) = 3(x2 − 2x) = 3((x − 1)2

− 1) = 3(x − 1)2

− 3.

Wynika z tego, że wykresem funkcji f opisanej wzorem f(x) = 3x2 − 6x jest parabola, którą

otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y = 3x2 o 1 wzdłuż osi Ox i o – 3

wzdłuż osi Oy.


98

Przykład 11.Narysujemy wykres funkcji f(x) = − 2x2 + 16x − 22.

Zauważmy, że wzór funkcji f można zapisać jako f(x) = − 2(x2 − 8x) − 22. Ponadto dla każdej

liczby x prawdziwa jest równość x2 − 8x + 16 = (x − 4)2, a więc także równość

x2 − 8x = (x − 4)2

− 16.

Wzór funkcji f można zatem zapisać w postaci

k(x) = − 2(x2 − 8x) − 22 = − 2((x − 4)2

− 16) − 22 = − 2(x − 4)2

+ 10.

Wynika z tego, że wykresem funkcji f określonej wzorem f(x) = − 2x2 + 16x − 22 jest parabola,

którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y = − 2x2 o 4 wzdłuż osi Ox i

o 10 wzdłuż osi Oy.

Przykład 12.Na rysunkach przedstawiono


99

wykres funkcji kwadratowej fa)

wykres funkcji kwadratowej gb)

wykres funkcji kwadratowej hc)


100

wykres funkcji kwadratowej k

Zapiszemy wzór każdej z tych funkcji w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej.

d)

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, – 1), więc ma ona równanie postaci

y = a(x − 1)2

− 1. Na tej paraboli leży też punkt (0, 0), zatem a ? (0 − 1)2

− 1 = 0, stąd

a = 1. Wobec tego postać kanoniczna funkcji f to f(x) = (x − 1)2

− 1. Przekształcamy ten

wzór do postaci ogólnej: f(x) = x2 − 2x + 1 − 1, stąd f(x) = x2 − 2x.

a)

Wierzchołkiem paraboli jest punkt ( – 2, 2), więc ma ona równanie postaci

y = a(x + 2)2

+ 2. Na tej paraboli leży też punkt (0, 0), zatem a ? (0 + 2)2

+ 2 = 0, stąd

a = − 12 . Wobec tego postać kanoniczna funkcji g to g(x) = − 1

2 (x + 2)2

+ 2. Przekształca-

my ten wzór do postaci ogólnej: g(x) = − 12 (x2 + 4x + 4) + 2, stąd g(x) = − 1

2x2 − 2x.

b)

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3, 4), więc ma ona równanie postaci y = a(x − 3)2

+ 4

. Na tej paraboli leży też punkt (1, 0), zatem a ? (1 − 3)2

+ 4 = 0, stąd a = − 1. Wobec te-

go postać kanoniczna funkcji h to h(x) = − (x − 3)2

+ 4. Przekształcamy ten wzór do po-

staci ogólnej: h(x) = − (x2 − 6x + 9) + 4, stąd h(x) = − x2 + 6x − 5.

c)

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, 1), więc ma ona równanie postaci

y = a(x − 1)2

+ 1. Na tej paraboli leży też punkt (0, 3), zatem a ? (0 − 1)2

+ 1 = 3, skąd

a = 2. Wobec tego postać kanoniczna funkcji k to k(x) = 2(x − 1)2

+ 1. Przekształcamy

ten wzór do postaci ogólnej: k(x) = 2(x2 − 2x + 1) + 1, stąd k(x) = 2x2 − 4x + 3.

d)


101




Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (x – 1)2

+ 2. Wynika z tego, że wykres funkcji f

a) ma dwa punkty wspólne z prostą y = 5

b) ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą y = 1

c) przecina oś Oy

d) przecina oś Ox

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.4Wskaż zdania prawdziwe.

a) Największa wartość funkcji k(x) = – (x + 1)2

+ 2 to 1.

b) Największa wartość funkcji h(x) = – 2x2 + 3 to 3.

c) Najmniejsza wartość funkcji g(x) = (x – 2)2

– 3 to – 3.

d) Najmniejsza wartość funkcji f(x) = 3x2 + 1 to 3.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.5Znajdź zbiór wartości funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

f(x) = (x + 2)2

− 1a)

g(x) = − (x − 1)2

+ 3b)

h(x) = − 3x2 + 4c)

k(x) = 4(x − 1)2

+ 2d)


102

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED#inT4yVy8ED_d5e427WOMI



Poziom trudności: AZadanie 2.2.8Narysuj wykres funkcji kwadratowej f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś

symetrii.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.9Narysuj wykres funkcji kwadratowej f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś

symetrii.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.10Ustal maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie i maksymalny przedział, w którym ma-

leje.

f(x) = (x − 3)2

+ 1a)

f(x) = (x + 4)2

− 1b)

f(x) =12 (x + 2)

2+ 2c)

f(x) = 2(x − 2)2

− 5d)

f(x) = − (x + 1)2

+ 4a)

f(x) = − (x − 2)2

− 1b)

f(x) = − 2(x − 1)2

+ 3c)

f(x) = − 23 (x + 3)

2− 2d)

f(x) = 2(x + 1)2

− 7a)

f(x) = − (x − 4)2

+ 9b)


103

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED#inT4yVy8ED_d5e597WOMI

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.11Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i ustal jej zbiór wartości.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.12Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i ustal jej zbiór wartości.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.2.13Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i podaj równanie osi symetrii jej wy-

kresu.

(Pokaż odpowiedź)

f(x) =34 (x − 5)

2+

12

c)

f(x) = − 25 (x + 6)

2− 11d)

f(x) = x2 − 2x + 7a)

g(x) = x2 + 10xb)

h(x) = x2 − 12x + 20c)

t(x) = x2 + 4x + 9d)

f(x) = − x2 + 6x + 1a)

g(x) = − x2 + 2x − 4b)

h(x) = − x2 − 8x + 14c)

t(x) = − x2 − 5xd)

f(x) = 2x2 − 6x + 3a)

g(x) =12x2 − 5x + 12b)

h(x) = − 3x2 − 15xc)

t(x) = − 14x2 +

72xd)


104

Poziom trudności: AZadanie 2.2.14Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji kwadratowej f. Zapisz wzór tej funkcji w postaci

kanonicznej oraz w postaci ogólnej.

a)

b)

c)


105

(Pokaż odpowiedź)

d)


106

2.3. Współrzędne wierzchołka paraboli

2.3.1. Zależności między wartościami współczynnikówwystępujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaciogólnej i w postaci kanonicznej

Przypomnijmy pojęcia, które wprowadziliśmy w poprzednim rozdziale.

Definicja: Funkcja kwadratowa zmiennej x

Funkcją kwadratową zmiennej x nazywamy funkcję określoną wzorem

f(x) = ax2 + bx + c,

gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera.

Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.

• Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej

f(x) = a(x − p)2

+ q,

gdzie a, p oraz q to liczby rzeczywiste i a ≠ 0.

Pokażemy, że istnieją ścisłe zależności między wartościami współczynników występujących we

wzorach funkcji kwadratowej zapisanych w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej.

Twierdzenie: Funkcja kwadratowa w postacikanonicznej i ogólnej

Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej f(x) = ax2 + bx + c lub w równo-

ważnej postaci kanonicznej f(x) = a(x − p)2

+ q, gdzie p =−b2a i q = −Δ

4a .

Symbolem ∆ (delta) oznaczyliśmy liczbę Δ = b2 − 4ac, którą nazywamy wyróżnikiem funkcji

kwadratowej f.

Dowód

Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia (x − p)2, postać kanoniczną funkcji f możemy zapisać

jako

Współrzędne wierzchołka paraboli

107

f(x) = a(x2 − 2px + p2) + q,

stąd

f(x) = ax2 − 2apx + ap2 + q.

Aby dla każdego x zachodziła równość

ax2 − 2apx + ap2 + q = ax2 + bx + c

potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x.

Zatem

−2ap = b oraz ap2 + q = c, stąd p =−b2a i q = c − a(−b

2a )2

= c − ab2

4a2 = c − b2

4a =4ac − b2

4a . Przyjmując

oznaczenie Δ = b2 − 4ac, otrzymujemy q = −Δ4a .

Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do ka-

nonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kil-

ku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu

f(x) = ax2 + bx + c = a(x2 +ba x) + c = a((x +

b2a )

2− b2

4a2 ) + c =

= a(x +b2a )

2− b2

4a + c = a(x +b2a )

2− b2 − 4a2

4a = a(x +b2a )

2− Δ

4a .

Przykład 1.Zapiszemy w postaci kanonicznej funkcję

f(x) = x2 − 14x + 25

Odczytujemy: a = 1, b = − 14, c = 25, stąd p =−(−14)2 ? 1 = 7. Obliczamy wyróżnik

Δ = (−14)2

− 4 ? 1 ? 25 = 96.A więc q =−964 ? 1 = − 24. Zatem postacią kanoniczną tej funk-

cji jest f(x) = (x − 7)2

− 24.

Zauważmy, że ten wynik można otrzymać, przekształcając wzór funkcji f jak poniżej

f(x) = x2 − 14x + 25 = (x2 − 14x + 49) − 49 + 25 = (x − 7)2

− 24.

a)

g(x) = 2x2 + 8x + 11

Odczytujemy: a = 2, b = 8, c = 11, stąd p =−8

2 ? 2 = − 2. Obliczamy wyróżnik

Δ = 82 − 4 ? 2 ? 11 = − 24.Zatem q =−(−24)4 ? 2 = 3. Postacią kanoniczną tej funkcji jest

b)

Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i

108

Przykład 2.


g(x) = 2(x + 2)2

+ 3.

Wynik ten można otrzymać, przekształcając wzór jak poniżej

g(x) = 2x2 + 8x + 11 = 2(x2 + 4x + 4) − 8 + 11 = 2(x + 2)2

+ 3.

h(x) = − x2 + 6x + 7

Odczytujemy: a = − 1, b = 6, c = 7, stąd p =−6

2 ? (−1)= 3. Obliczamy wyróżnik

Δ = 62 − 4 ? (−1) ? 7 = 64.Zatem q =−64

4 ? (−1)= 16. Postacią kanoniczną tej funkcji jest

więc h(x) = − (x − 3)2

+ 16.

Wzór ten można otrzymać w wyniku następujących przekształceń:

g(x) = − x2 + 6x + 7 = − (x2 − 6x + 9) + 9 + 7 = − (x − 3)2

+ 16.

c)

k(x) = − 3x2 + 5x − 4

Odczytujemy: a = − 3, b = 5, c = − 4, stąd p =−5

2 ? (−3)=

56 . Obliczamy wyróżnik

Δ = 52 − 4 ? (−3) ? (−4) = − 23.Zatem q =−(−23)4 ? (−3)

= − 2312 . Postacią kanoniczną tej funkcji

jest

k(x) = − 3(x − 56 )

2− 23

12 .

d)

Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i

109

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i6DI3bt4cP#i6DI3bt4cP_d2833d4e6018WOMI

2.3.2. Współrzędne wierzchołka paraboli


Ważne

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c ma współ-

rzędne (p, q), gdzie p = − b2a oraz q = − Δ

4a .

Zauważmy też, że współrzędne wierzchołka paraboli spełniają warunek q = f(p).

Przykład 1.Wyznaczymy współrzędne wierzchołka W paraboli o równaniu

Przykład 2.Wyznaczymy zbiór wartości funkcji

y = x2 − 2x + 10

Odczytujemy a = 1, b = − 2, c = 10, stąd p =−(−2)2 ? 1 = 1, a więc q = f(1) = 1 − 2 + 10 = 9. Za-

tem W = (1, 9).

a)

y = − x2 − 4x + 1

Odczytujemy a = − 1, b = − 4, c = 1, stąd p =−(−4)

2 ? (−1)= − 2. Wtedy

q = f(−2) = − 4 + 8 + 1 = 5, czyli W = (−2, 5).

b)

y = 2x2 + 12x + 17

Odczytujemy a = 2, b = 12, c = 17, stąd p =−122 ? 2 = − 3, więc

q = f(−3) = 18 − 36 + 17 = − 1, czyli W = (−3, − 1).

c)

f(x) = − 3x2 + 8x − 9

Odczytujemy a = − 3, b = 8, c = − 9, stąd p =−8

2 ? (−3)=

43 . Ponadto

Δ = 82 − 4 ? (−3) ? (−9) = − 44, stąd q =−(−44)4 ? (−3)

= − 4412 = − 11

3 , czyli W = (43 , − 11

3 ).

d)

f(x) = x2 − 4x − 7

Odczytujemy współczynnik a = 1. Ponieważ jest on dodatni, więc wykresem funkcji f

jest parabola skierowana ramionami do góry. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji

jest przedział ? q, +∞, gdzie q to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym

przypadku q = −(−4)

2− 4 ? 1 ? (−7)4 ? 1 = − 44

4 = − 11, zatem zbiorem wartości funkcji f jest

przedział ? −11, +∞.

a)


110

Przykład 3.Wyznaczymy maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca oraz maksymalny prze-

dział, w którym ta funkcja jest malejąca.

f(x) = − x2 + 6x − 2

Odczytujemy, że współczynnik a jest ujemny (a = − 1), więc wykresem funkcji f jest pa-

rabola skierowana ramionami do dołu. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest

przedział (−∞, q ? , gdzie q to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przy-

padku q = −62 − 4 ? (−1) ? (−2)

4 ? (−1)= − 28

−4 = 7, zatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział

(−∞, 7 ? .

b)

f(x) = 5x2 + 15x + 1

Ponieważ a = 5 > 0 oraz q = − 152 − 4 ? 5 ? 14 ? 5 = − 41

4 , to zbiorem wartości funkcji f jest

przedział ? − 414 , +∞).

c)

f(x) = − 3x2 + 21x − 16

Ponieważ a = − 3 < 0 oraz q = −212 − 4 ? (−3) ? (−16)

4 ? (−3)=

834 , to zbiorem wartości funkcji f jest

przedział (−∞,834 ? .

d)

f(x) = x2 − 4x − 7

Współczynnik a jest dodatni (a = 1), więc wykresem funkcji f jest parabola skierowana

ramionami do góry. Ponadto p =−(−4)2 ? 1 = 2. Zatem maksymalny przedział, w którym

funkcja f jest rosnąca, to ? 2, +∞), a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest

malejąca, to (−∞, 2 ? .

a)

f(x) = − x2 + 6x − 2

Współczynnik a jest ujemny (a = − 1), więc wykresem funkcji f jest parabola skierowa-

na ramionami do góry. Ponadto p =−6

2 ? (−1)= 3. Zatem maksymalny przedział, w któ-

rym funkcja f jest rosnąca, to (−∞, 3 ? , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja

jest malejąca, to ? 3, +∞).

b)

f(x) = 3x2 + 5x − 8

Ponieważ a = 3 > 0 oraz p =−5

2 ? 3 = − 56 , więc maksymalnym przedziałem, w którym

funkcja f rośnie, jest ? − 56 , +∞), a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja

maleje, jest (−∞, − 56 ? .

c)

f(x) = − 4x2 − 7x + 19

Ponieważ a = − 4 < 0 oraz p =−(−7)

2 ? (−4)= − 7

8 , więc maksymalnym przedziałem, w którym

d)


111

Przykład 4.


funkcja f rośnie, jest (−∞, − 78 ? , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja

maleje, jest ? − 78 , +∞).


112

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iHN7wgfWsq#iHN7wgfWsq_d2617d4e5144WOMI

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.1Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej.

Przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji f, na innym – wykres funkcji g, a na jeszcze in-

nym jest wykres funkcji h. Wiadomo, że zbiorem wartości funkcji f jest ? −2, +∞), wierzchoł-

kiem wykresu funkcji g jest punkt (−1, 2), a osią symetrii wykresu funkcji h jest prosta o równa-

niu x = 1. Na którym rysunku jest wykres funkcji f, na którym - wykres g, a na którym – wykres

funkcji h?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.2Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 8x − 10. Wówczas

a) osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = 8

b) ta parabola nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu y = − 25

c) wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu x = − 4

d) wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu y = − 10

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.3Prosta o równaniu y = − 3 ma dokładnie jeden punkt wspólny

a) z wykresem funkcji f4(x) = − x2 + 2x − 3

b) z wykresem funkcji f3(x) = − x2 − 2x − 4

c) z wykresem funkcji f2(x) = x2 − 2x − 2

d) z wykresem funkcji f1(x) = x2 + 2x − 2

(Pokaż odpowiedź)


113

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.4Osią symetrii paraboli y = − x2 + bx + 2 jest prosta o równaniu x = p.

a) Jeżeli b = p, to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (0, 2).

b) Dla p = − 2 współczynnik b jest równy −1.

c) Dla p = 3 współczynnik b jest równy 6.

d) Jeżeli b = 2, to p = 4.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.5

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = x2 + bx + c. Oblicz wartości współczynników

b i c, wiedząc, że wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzęd-

nych

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.6-7


Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.8Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = ax2 + bx jest parabola o wierzchołku

W. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

a) Jeżeli W = ( − 3, − 27), to a = 3 i b = 18.

b) Jeżeli W = (1, 1), to a = − 1 i b = 2.

c) Jeżeli a = − 1 i b = 6, to W = (3, 9).

(0, 2)a)

(2, 0)b)

(1, 1)c)

(−1, 2)d)


114

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iHN7wgfWsq#iHN7wgfWsq_d5e426WOMI

d) Jeżeli a = 1 i b = 4, to W = (2, − 2).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.9Do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty:

A = (−15, 35), B = (−5, − 20), C = (5, 35). Wynika z tego, że

a) f(−7) + f(−9) > f(−4) + f(−2)

b) f(−6) < − 30

c) f(−20) > 30

d) f(−10) = f(0)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.10Wierzchołek paraboli y = x2 − 2x + 2 leży na prostej o równaniu

a) x = 1

b) x = − 1

c) x = 2

d) x = − 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.11Wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = − x2 + 6x ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą

o równaniu

a) y = 0

b) y = 3

c) y = 6

d) y = 9

(Pokaż odpowiedź)


115

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.12Wskaż równanie paraboli, której wierzchołkiem jest punkt W = (5, 5).

a) y = x2 + 10x + 55

b) y = x2 − 10x + 30

c) y = x2 − 10x + 15

d) y = x2 + 10x + 5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.13Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 2x + 5 jest

a) ? 5, +∞)

b) ? 4, +∞)

c) ? 2, +∞)

d) ? −1, +∞)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.14Największa wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 − 8x + 2

a) jest większa od 30

b) jest równa 18

c) jest równa 2

d) nie istnieje

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.15Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział ? −2, +∞), może być określona

wzorem

a) y = (x − 2)2

+ 2


116

b) y = − (x − 2)2

+ 2

c) y = (x + 2)2

− 2

d) y = − (x + 2)2

− 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.16Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej określo-

nej wzorem f(x) =12x2 − 2x + 1.

a)

b)


117

c)

d)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.17Prosta x = 3 jest osią symetrii wykresu funkcji f określonej wzorem f(x) = 2x2 + bx. Wtedy praw-

dziwa jest równość


118

a) f(0) = f(6)

b) f(0) = f(4)

c) f(0) = f(1)

d) f(0) = f(−3)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.18Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = x2 + bx + c jest punkt W = (−2, 3). Wtedy

a) b = 4, c = 7

b) b = 2, c = 7

c) b = − 4, c = 3

d) b = − 2, c = 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.19Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = x2 − 2mx + 4. Można wskazać taką wartość m

, aby zbiorem wartości tej funkcji był przedział

a) ? 10, + ∞)

b) ? 6, + ∞)

c) ? 5, + ∞)

d) ? 3, + ∞)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.20Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową f, określoną wzorem ogólnym

f(x) = 2x2 − 5a)

f(x) = − 3x2 + 4b)

f(x) = x2 + x +14

c)


119

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.21Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową f, określoną wzorem ogólnym

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.22Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej f, której wykresem jest parabola o

wierzchołku W, przecinająca oś Oy w punkcie P.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.23W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadrato-

wej. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

f(x) = − 2x2 + 5x − 318

d)

f(x) = 5x2 + 30x + 31a)

f(x) = 2x2 − 4x − 1b)

f(x) = − 3x2 − x + 6c)

f(x) = − 4x2 + 14x − 7d)

W = (2, 0), P = (0, 5)a)

W = ( – 1, 1), P = (0, – 2)b)

W = ( – 2, – 3), P = (0, 1)c)

W = (4, 6), P = (0, – 2)d)


120

a)

b)


121

c)

d)


122

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.24Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej f, wiedząc, że na jej wykresie leżą punk-

ty A, B, C.

e)

f)

A = ( – 1, 3), B = (0, 1) i C = (1, 3)a)


123

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.25Podaj zbiór wartości funkcji określonej wzorem

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.26Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej f.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.27Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie.

(Pokaż odpowiedź)

A = (0, – 5), B = ( – 3, 4) i C = ( – 6, – 5)b)

f(x) = 2 + (1 − x)2a)

f(x) = 5 − (−3 + x)2b)

f(x) = (3x − 1)2

− 9c)

f(x) = − (2x + 5)2

+ 7d)

f(x) = x2 + 12xa)

f(x) = 3x2 − 6x + 5b)

f(x) = − x2 + 2x − 5c)

f(x) = − 12x2 + 2x + 3d)

f(x) = 3 − (x − 2)2a)

f(x) = 11 + (1 − x)2b)

f(x) = (2x − 6)2

− 7c)

f(x) = − (3x + 15)2

+ 8d)


124

Poziom trudności: AZadanie 2.3.2.28Wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja f maleje.

(Pokaż odpowiedź)


Wykres y = x2 − 2x + 3 funkcji kwadratowej ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o rów-

naniu y = m. Oblicz m.

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = − x2 − 6x + c. Wyznacz wartość c, tak aby pa-

rabola będąca wykresem tej funkcji miała dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu

y = – 5.

(Pokaż odpowiedź)


Prosta x = − 3 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = x2 + 6kx + k − 4. Ustal

wartość k i wyznacz współrzędne wierzchołka W tej paraboli.

(Pokaż odpowiedź)


Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = − x2 + 4x + c jest przedział

(−∞, 5 ? . Wyznacz wartość c.

(Pokaż odpowiedź)

f(x) = x2 − 5xa)

f(x) = 2x2 + 3x + 5b)

f(x) = − x2 − 4x + 7c)

f(x) = − 3x2 + 8x − 1d)


125

2.4. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postaćiloczynowa funkcji kwadratowejMiejsca zerowe funkcji kwadratowej

Przypomnijmy, że miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego funkcja przyjmuje war-

tość 0.

Przykład 1.


Przykład 2.Znajdziemy miejsca zerowe funkcji

Rozwiązanie

Iloczyn a i b jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0

.

a ∙ b = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub b = 0.

f(x) = (x − 3)(x + 2)a)

f(x) = (2x + 1)(3x − 12)b)

f(x) = − 11(x + 6)(8 − x)c)

f(x) = 2(5 − x)(4x + 7)d)

(x − 3)(x + 2) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x − 3 = 0 lub x + 2 = 0. Stąd x = 3 lub x = − 2.

Funkcja f(x) = (x − 3)(x + 2) ma 2 miejsca zerowe 3 i −2.

a)

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

126

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e#igOAxoUD0e_d40d4e854WOMI

Przykład 3.Szkicując wykres funkcji f w układzie współrzędnych, znajdujemy takie punkty (x, y), w któ-

rych x jest argumentem i y = f(x). Wobec tego do opisu funkcji f stosujemy często zapis

y = f(x), gdzie f(x) jest wzorem określającym funkcję f. Na przykład możemy pisać f(x) = 2x2 + 1

, a także y = 2x2 + 1.

Przykład 4.Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Rozwiązanie

(2x + 1)(3x − 12) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (2x + 1) = 0 lub (3x − 12) = 0. Stąd x = − 12

lub x = 4. Funkcja f(x) = (2x + 1)(3x − 12) ma 2miejsca zerowe − 12 i 4.

b)

−11(x + 6)(8 − x) wtedy i tylko wtedy, gdy x + 6 = 0 lub 8 − x = 0. Stąd x = − 6 lub x = 8.

Funkcja f(x) = − 11(x + 6)(8 − x) ma 2 miejsca zerowe −6 i 8.

c)

2(5 − x)(4x + 7) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 5 − x = 0 lub 4x + 7 = 0. Stąd x = 5 lub

x = − 74 .

Funkcja f(x) = 2(5 − x)(4x + 7) ma 2miejsca zerowe 5 i − 74 .

d)

y = x2 − 7xa)

y = x2 − 25b)

y = x2 + 2x + 1c)

y = x2 + 2x + 4d)

Wzór funkcji y = x2 − 7x przekształcamy do postaci y = x(x − 7). Wynika z tego, że y = 0

wtedy i tylko wtedy, gdy x(x − 7) = 0. Zatem x = 0 lub x − 7 = 0, stąd x = 0 lub x = 7.

Funkcja y = x2 − 7x ma więc dwa miejsca zerowe 0 oraz 7.

a)

Wzór funkcji y = x2 − 25 przekształcamy do postaci y = (x + 5)(x − 5). Zatem y = 0 wtedy i

tylko wtedy, gdy (x − 5)(x + 5) = 0. Wobec tego x − 5 = 0 lub x + 5 = 0, stąd x = 5 lub

x = − 5.

Funkcja y = x2 − 25 ma więc dwa miejsca zerowe 5 oraz – 5.

b)

Wzór funkcji y = x2 + 2x + 1 przekształcamy do postaci y = (x + 1)2. Wobec tego y = 0

wtedy i tylko wtedy, gdy (x + 1)2

= 0. Zatem x + 1 = 0, stąd x = − 1.

Funkcja y = x2 + 2x + 1 ma więc jedno miejsce zerowe – 1.

c)

Wzór funkcji y = x2 + 2x + 4 przekształcamy do postaci y = (x + 1)2

+ 3. Zauważmy, że

zbiorem wartości funkcji y = (x + 1)2

+ 3 jest ? 3, +∞), więc nie ma takiej liczby rzeczy-

d)


127

Zauważmy, że wzór każdej z funkcji

y = x2 − 7x, y = x2 − 25, y = x2 + 2x + 1

można było zapisać jako iloczyn dwóch czynników liniowych

y = x2 − 7x = x(x − 7), y = x2 − 25 = (x − 5)(x + 5), y = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2,

co pozwoliło na wyznaczenie wszystkich miejsc zerowych każdej z nich.

Gdyby wzór funkcji y = x2 + 2x + 4 można było również zapisać w postaci iloczynu czynników

liniowych, to funkcja ta miałaby miejsca zerowe. Jednak ta funkcja nie ma miejsc zerowych,

co stwierdziliśmy, zapisując ją w postaci kanonicznej y = (x + 1)2

+ 3 i odczytując jej zbiór war-

tości. Zatem jej wzoru nie da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych.

Przykład 5.Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej y = x2 + 8x − 9.

Rozwiązanie

• sposób I

Zauważmy, że dla x = 1 otrzymujemy y = 12 + 8 ? 1 − 9 = 0, więc liczba 1 jest miejscem zero-

wym danej funkcji.

Jeśli ta funkcja ma jeszcze inne miejsce zerowe, to jest ono również rozwiązaniem równania

x2 + 8x − 9 = 0.

Korzystając z tego, że 12 + 8 ? 1 − 9 = 0, zapiszemy to równanie w postaci

x2 + 8x − 9 = 12 + 8 ? 1 − 9

i przekształcimy równoważnie

x2 − 12 + 8x − 8 ? 1 − 9 + 9 = 0

(x − 1)(x + 1) + 8(x − 1) = 0

(x − 1)((x + 1) + 8) = 0

(x − 1)(x + 9) = 0.

Wobec tego x − 1 = 0 lub x + 9 = 0, stąd x = 1 lub x = − 9.

Zatem funkcja y = x2 + 8x − 9 ma dwa miejsca zerowe 1 oraz – 9.

• Sposób II

wistej x, dla której ta funkcja przyjmuje wartość 0. Oznacza to, że funkcja y = x2 + 2x + 4

nie ma miejsc zerowych.


128

Wzór funkcji y = x2 + 8x − 9 zapisujemy w postaci kanonicznej

y = (x + 4)2

− 25

i przekształcamy równoważnie

y = (x + 4)2

− 52

y = ((x + 4) − 5)((x + 4) + 5)

y = (x − 1)(x + 9).

Funkcję y = x2 + 8x − 9 można zatem zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych

y = (x − 1)(x + 9), więc ma ona dwa miejsca zerowe 1 oraz – 9.

Przykład 6.Pokażemy, że – 1 jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej y = 3x2 + 14x + 11 i znajdziemy

drugie miejsce zerowe tej funkcji.

Sprawdzamy, że dla x = − 1 jest y = 3 ? (−1)2

+ 14 ? (−1) + 11 = 3 − 14 + 11 = 0, więc – 1 jest

miejscem zerowym funkcji y = 3x2 + 14x + 11.

Podamy teraz dwa sposoby poszukiwania drugiego miejsca zerowego.

• sposób I

Przekształcamy wzór funkcji

y = 3x2 + 14x + 11 = 3x2 + 3x + 11x + 11

skąd

y = 3x(x + 1) + 11(x + 1)

czyli

y = (x + 1)(3x + 11)

Zatem drugim miejscem zerowym jest − 113 .

• sposób II

Wykorzystamy spostrzeżenie, że gdyby wzór funkcji y = 3x2 + 14x + 11 można było zapisać w

postaci iloczynu dwóch czynników liniowych, to jednym z nich musiałby być czynnik liniowy,

którego miejscem zerowym jest – 1.

Załóżmy, że jest nim czynnik x + 1.

Powinniśmy więc znaleźć takie wartości współczynników a i b, aby dla każdej liczby rzeczywi-

stej x zachodziła ta równość


129

y = 3x2 + 14x + 11 = (x + 1)(ax + b).

Ale

(x + 1)(ax + b) = ax2 + ax + bx + b = ax2 + (a + b)x + b

Równość

y = 3x2 + 14x + 11 = ax2 + (a + b)x + b

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = 3 i b = 11.

Wobec tego wzór funkcji kwadratowej y = 3x2 + 14x + 11 można zapisać równoważnie w po-

staci iloczynu dwóch czynników liniowych y = (x + 1)(3x + 11). Stąd wynika, że dana funkcja

ma dwa miejsca zerowe −1 oraz − 113 .

Zauważmy jeszcze, że po wyłączeniu liczby 3 przed nawias można wzór danej funkcji zapisać

jako

y = 3(x + 1)(x +113 ).

Przykład 7.Wykażemy, że funkcja y = 5x2 − 10x + 11 nie ma miejsc zerowych.

Przekształcając wzór funkcji do postaci kanonicznej, otrzymujemy

y = 5x2 − 10x + 11 = 5(x − 1)2

+ 6.

Ponieważ dana funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od 6, więc nie ma miejsc zero-

wych.

Przykład 8.Znajdziemy, o ile istnieją, miejsca zerowe funkcji y = x2 − 8x + 5.

Wzór tej funkcji również zapiszemy w postaci kanonicznej.

Mamy wtedy

y = x2 − 8x + 5 = (x − 4)2

− 11.

Wobec tego funkcja y = x2 − 8x + 5 każdą z wartości większych od –11 przyjmuje dla dwóch

różnych argumentów, ma więc dwa różne miejsca zerowe.

Wyznaczymy te miejsca zerowe, zapisując wzór funkcji w postaci iloczynu dwóch czynników

liniowych. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

y = (x − 4)2

− 11

y = (x − 4)2

− √112


130

y = (x − 4 + √11)(x − 4 − √11)

Wynika z tego, że funkcja y = x2 − 8x + 5 ma dwa różne miejsca zerowe 4 − √11 oraz 4 + √11.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Każdą funkcję kwadratową, daną w postaci ogólnej wzorem f(x) = ax2 + bx + c, można zapisać w

postaci kanonicznej f(x) = a(x +b2a )

2− Δ

4a . Stąd mamy f(x) = a((x +b2a )

2− Δ

4a2 ).Wynika z tego, że

• jeżeli wyróżnik jest ujemny, to wyrażenie (x +b2a )

2− Δ

4a2 jest dodatnie, więc w tym przypadku

funkcja f nie ma miejsc zerowych,

• jeżeli Δ = 0, to f(x) = a(x +b2a )

2. Jedynym miejscem zerowym funkcji f jest − b

2a ,

• jeżeli Δ > 0, to wzór funkcji f można przekształcić następująco

f(x) = a((x +b2a )

2− Δ

4a2 ) = a((x +b2a )

2− (√Δ

2a )2

) = a(x +b2a − √Δ

2a )(x +b2a + √Δ

2a )

w tym przypadku funkcja f ma więc dwa różne miejsca zerowe−b + √Δ

2a oraz−b − √Δ

2a .

Istnienie i liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy zatem od znaku jej wyróżnika.


131

Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcjikwadratowej

Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0)• ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste x1 i x2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik

∆ jest dodatni.

Wówczas wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x1)(x − x2),gdzie x1 =

−b + √Δ2a oraz x2 =

−b − √Δ2a .

• ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0. W tym przypad-

ku wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x0)2, gdzie x0 = − b

2a .

• nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ < 0. Wtedy wzoru funkcji

f nie można zapisać w postaci iloczynowej.





132

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e#igOAxoUD0e_d5954d4e12362WOMI

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e#igOAxoUD0e_d5e478WOMI

Poziom trudności: AZadanie 2.4.2Funkcje f, g i h dane są wzorami f(x) = (x − 1)(2x + 2) g(x) = 3(x + 1)(x − 5) h(x) = − 2(x + 4)(x − 3)Wówczas

a) funkcje f i g mają wspólne miejsce zerowe

b) – 2 jest miejscem zerowym funkcji h

c) miejscami zerowymi funkcji f są 1 oraz – 2

d) miejscami zerowymi funkcji g są 1 oraz – 5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.3Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej,

przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji f, na innym – wykres funkcji g, a na jeszcze

innym – wykres funkcji h. Funkcje te określone są wzorami: f(x) = (x + 1)(x − 3),g(x) = 2(x + 1)(x + 3), h(x) = − 1

2 (x + 3)(x − 1). Na którym rysunku jest wykres funkcji f, na którym

wykres funkcji g, a na którym – wykres funkcji h?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.4Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

a) Funkcję kwadratową określoną wzorem y = − x2 + 3x + 10 można zapisać w postaci

iloczynowej wzorem y = − (x + 2)(x − 5).

b) Funkcji kwadratowej określonej wzorem y = − x2 − 2x nie da się zapisać w postaci

iloczynowej.

c) Funkcję kwadratową określoną wzorem y = 2x2 + 3x − 5 można zapisać w postaci

iloczynowej wzorem y = 2(x + 1)(x − 52 ).


133

d) Funkcję kwadratową określoną wzorem y = x2 − 7x + 6 można zapisać w postaci

iloczynowej wzorem y = (x − 1)(x − 6).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.5Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej

a)

b)


134

a) na jednym z tych rysunków przedstawiony jest wykres funkcji k

b) żaden z tych rysunków nie przedstawia wykresu funkcji h

c) wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku c)

d) wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku d)

(Pokaż odpowiedź)

c)

Rozpatrzmy funkcje określone wzorami: f(x) = x2 − 1, g(x) = x2 + 3x, h(x) = x2 + 4x + 4,

k(x) = − x2 + 2x + 3. Wówczas

d)


135


a) Funkcja kwadratowa y = − x2 + 3 nie ma miejsc zerowych.

b) Funkcja kwadratowa y = 2x2 + x ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

c) Funkcja kwadratowa y = x2 − 6x + 9 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

d) Funkcja kwadratowa y = x2 − 10 ma dwa różne miejsca zerowe.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.7Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = x2 + 4x + c. Wówczas

a) jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest – 1, to c = 3

b) jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest 1, to c = 5

c) dla c = 5 funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe

d) dla c = 0 funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe

(Pokaż odpowiedź)




a) Iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = 3x2 − 11x + 3 jest równy 1.

b) Każde z miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = x2 − 2x − 10 należy do przedziału

? −2, 4 ? .

c) Jedno z miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = 2x2 + 9x + 7 jest liczbą dodatnią.

d) Funkcja kwadratowa y = x2 − 12x + 11 ma dwa różne miejsca zerowe, które są liczbami

całkowitymi.

(Pokaż odpowiedź)


136

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e#igOAxoUD0e_d5e830WOMI

Poziom trudności: AZadanie 2.4.10Miejsca zerowe funkcji kwadratowej y = 2(x + 3)(x − 5) to

a) x1 = 3, x2 = − 5

b) x1 = 3, x2 = 5

c) x1 = − 3, x2 = 5

d) x1 = − 3, x2 = − 5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.11Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f.

Funkcja f jest określona wzorem

a) f(x) = − (x − 2)(x + 1)

b) f(x) = − (x − 1)(x + 2)

c) f(x) = (x − 2)(x + 1)

d) f(x) = (x − 1)(x + 2)

(Pokaż odpowiedź)


137

Poziom trudności: AZadanie 2.4.12Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe są liczbami o przeciwnych znakach.

a) y = − 5(x + 2)(x + 4)

b) y = − 4(x + 1)(x − 1)

c) y = 3(x + 1)(x + 2)

d) y = 2(x − 3)(x − 4)

(Pokaż odpowiedź)


Funkcje liniowe f i g są określone wzorami f(x) =12x − 1 oraz g(x) = x + 1. Wskaż rysunek, na któ-

rym przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) ? g(x).

a)


138

b)

c)


139

d)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.14Miejsca zerowe funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = − x2 − 6x − 5 to

a) x1 = 1, x2 = − 5

b) x1 = − 1, x2 = 5

c) x1 = − 1, x2 = − 5

d) x1 = 1, x2 = 5

(Pokaż odpowiedź)


Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są liczby – 2 oraz12 .

a) y = 2x2 + 3x − 2

b) y = x2 +12x − 3

c) y =12x2 + x

d) y = x2 + 3x + 2

(Pokaż odpowiedź)


140

Poziom trudności: AZadanie 2.4.16Do wykresu funkcji kwadratowej y = 3x2 − 28x − 31 należy punkt

a) (3, 0)

b) (−2, 0)

c) (−1, 0)

d) (0, 0)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.17Jednym z miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem f(x) = − x2 + bx + 10 jest liczba −2. Wów-

czas liczba b jest równa

a) – 7

b) – 3

c) 7

d) 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.18Funkcja f określona wzorem f(x) = − x2 + 4x + c nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy

a) c < − 4

b) c = − 4

c) c = 4

d) c > 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.19Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

y = − 6x(x + 2)a)


141

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.20Podana funkcja ma dwa miejsca zerowe x1, x2. Zapisz jej wzór w postaci iloczynowej

y = a(x − x1)(x − x2).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.21Wykaż, że podana funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Wyznacz to miejsce zerowe.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.22Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej

mającej dwa różne miejsca zerowe x1, x2. Zapisz wzór każdej z tych funkcji w postaci iloczyno-

wej y = a(x − x1)(x − x2).

y = (7 − x)(x + 11)b)

y = (3x + 8)(4x − 1)c)

y = (15 − 5x)(16x + 10)d)

y = 2x2 − 22xa)

y = − 3x2 + 48b)

y = 9x2 − 49c)

y = 25x2 + 15xd)

y = x2 + 4x + 4a)

y = − x2 + 2x − 1b)

y = 3x2 + 30x + 75c)

y = − 2x2 + 12x − 18d)


142

a)

b)


143

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.4.23Wykaż, że funkcja nie ma miejsc zerowych.

c)

d)

y = x2 + x + 2a)


144

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


Funkcja f określona wzoremf(x) = 6x2 + x − 1 ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że żadne z

nich nie jest liczbą całkowitą.

(Pokaż odpowiedź)


Liczby x1 oraz x2 są miejscami zerowymi funkcji y = 24x2 − 2x − 15, przy czym x1 < x2. Oblicz

4x1 + 6x2.

(Pokaż odpowiedź)

y = x2 − 3x + 3b)

y = 2x2 − x + 5c)

y = − x2 + 5x − 8d)

y = 2x2 + 3x − 5a)

y = 4x2 − 15x − 19b)

y = − 3x2 − 14x − 8c)

y = − 5x2 + 11x − 2d)


145


(Pokaż odpowiedź)


Funkcja f określona wzorem f(x) = 2x2 + 4x − 7 ma dwa różne miejsca zerowe x1, x2. Oblicz su-

mę x1 + x2 oraz iloczyn x1x2.

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja kwadratowa f(x) = 3x2 − 6x − 1 ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że każde z nich

należy do przedziału (−1, 3).(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że niezależnie od wartości współczynnika b funkcja kwadratowa f(x) = x2 + bx + b − 1 ma

miejsce zerowe równe – 1. Dla jakiej wartości b jest to jedyne miejsce zerowe tej funkcji?

(Pokaż odpowiedź)


Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = − 10x2 + bx + 1 jest liczba − 12 . Oblicz b oraz

drugie miejsce zerowe funkcji f.

(Pokaż odpowiedź)

y = x2 − 4x − 6a)

y = x2 + 2x − 5b)

y = − x2 + 6x + 11c)

y = − x2 − 8x + 7d)


146


Funkcja g(x) = (x − 3)(x + 4) ma te same miejsca zerowe co funkcja f określona wzorem

f(x) = − 2x2 + bx + c. Wyznacz b i c.

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x2 + 6x + c. Ustal liczbę miejsc zerowych funkcji f w zależ-

ności od wartości współczynnika c.

(Pokaż odpowiedź)


147

2.5. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej napodstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jejwykresiePrzypomnijmy, że każdą funkcję kwadratową f określoną wzorem

f(x) = ax2 + bx + c,

gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera, możemy zapisać w

postaci kanonicznej

f(x) = a(x − p)2

+ q,

gdzie p =−b2a i q = −Δ

4a .

Ponadto każdą taką funkcję kwadratową, której wyróżnik jest nieujemny, możemy też zapisać w

postaci iloczynowej

f(x) = a(x − x1)(x − x2),

gdzie x1 =−b − √Δ

2a i x2 =−b + √Δ

2a to miejsca zerowe tej funkcji.

W poniższych przykładach pokażemy, w jaki sposób można wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej

na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Przykład 1.Funkcja kwadratowa f(x) = x2 + 4x + c osiąga wartość najmniejszą równą – 7. Wyznaczymy

wartość współczynnika c.

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że współrzędna q wierzchołka wykresu funkcji f jest równa – 7. Mo-

żemy z tego skorzystać w jeden z następujących sposobów.

• sposób I

Obliczamy wyróżnik funkcji f

Δ = 42 − 4 ? 1 ? c = 16 − 4c

Podstawiamy do wzoru q = −Δ4a .

q = −Δ4a =

−(16 − 4c)4 ? 1 = − 7.

Stąd 4c − 16 = − 28, 4c = − 12, c = − 3.

• sposób II

Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu funkcji p =−4

2 ? 1 = − 2.

Wobec tego

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

148

f(−2) = (−2)2

+ 4 ? (−2) + c = − 7

stąd c = − 3.

• sposób III

Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka: p =−4

2 ? 1 = − 2 i f(−2) = − 7. Wobec

tego funkcję f można zapisać wzorem w postaci kanonicznej f(x) = (x + 2)2

− 7, stąd

f(x) = x2 + 4x + 4 − 7 = x2 + 4x − 3,

czyli c = − 3.

• sposób IV

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej

f(x) = x2 + 4x + c = (x2 + 4x + 4) − 4 + c = (x + 2)2

+ c − 4.

Zatem funkcja f osiąga wartość najmniejszą c − 4 dla x = − 2. Ponieważ f(−2) = − 7, to

c − 4 = − 7, czyli c = − 3.


149


Przykład 2.Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = − 3x2 + bx − 14 jest 7. Wyznaczymy war-

tość współczynnika b.

Rozwiązanie

• sposób I

Z treści zadania wynika, że

f(7) = − 3 ? 72 + b ? 7 − 14 = 0.

Zatem −147 + 7b − 14 = 0, stąd 7b = 161, czyli b = 23.

• sposób II

Z treści zadania wynika, że funkcję f(x) = − 3x2 + bx − 14 można zapisać w postaci iloczynowej

f(x) = − 3(x − 7)(x − x2),

gdzie x2 to drugie miejsce zerowe funkcji f.

Postać iloczynową przekształcamy do postaci ogólnej, stąd

f(x) = − 3(x2 − 7x − x2x + 7x2) = − 3x2 + (21 + 3x2)x − 21x2.

Porównując współczynniki, stwierdzamy, że −21x2 = − 14 oraz b = 21 + 3x2. Zatem drugim

pierwiastkiem jest x2 =23 , więc b = 21 + 3 ?

23 = 23.


150

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iF2jXRqhtN#iF2jXRqhtN_d1343d4e3607WOMI

• sposób III

Z treści zadania wynika, że funkcję f(x) = − 3x2 + bx − 14 można zapisać w postaci iloczynowej

f(x) = − 3(x − 7)(x − x2),

gdzie x2 to drugie miejsce zerowe funkcji f.

Jedynym wyrazem niezależnym od x w tym wzorze jest −3 ? (−7) ? x2, zatem

−3 ? (−7) ? x2 = − 14, a stąd

x2 =23 . Liczba

23 jest więc miejscem zerowym funkcji f, zatem

f(23 ) = − 3 ? (2

3 )2

+ b ?23 − 14 = 0.

Wobec tego − 43 +

23b − 14 = 0,

23b = 14

23 ,

23b =

463 , czyli b = 23.


151

Przykład 3.Wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f(x) = − (x + 1)(x − 3).

Rozwiązanie

• sposób I

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej

f(x) = − (x + 1)(x − 3) = − (x2 + x − 3x − 3) = − x2 + 2x + 3.

Wobec tego współrzędne wierzchołka tej paraboli to: p =−2

2 ? (−1)= 1, q = f(1) = − 12 + 2 + 3 = 4

. Zatem wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1, 4).

• sposób II

Ponieważ f(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = − 1 lub x = 3, to funkcja f ma dwa miejsca zero-

we – 1 oraz 3. Oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f to jednocześnie symetral-

na odcinka, którego końcami są punkty (−1, 0) i (3, 0). Korzystając ze wzoru na współrzęd-

ne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych

(−1 + 32 , 0), więc jest to prosta o równaniu x = 1. Stąd p = 1oraz q = f(1) = − (1 + 1)(1 − 3) = 4.

Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1, 4).



152


Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa

f(x) = ax2 + bx + c

ma dwa miejsca zerowe x1 i x2, to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f ma rów-

nanie

x =x1 + x2

2

Dowód

Jak zauważyliśmy, oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, to jednocześnie syme-

tralna odcinka o końcach w punktach (x1, 0) i (x2, 0). Korzystając ze wzoru na współrzęd-


(x1 + x2

2 , 0). Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że

x1 + x22 = p.

Ponieważ

x1 + x2 =−b − √Δ + (−b + √Δ)

2a =−ba ,

więc

x1 + x22 =

−b2a = p.


153

Przykład 4.


Przykład 5.Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = − 3x2 + bx + c jest parabola o

wierzchołku W = (2, 7). Wyznaczymy wartość współczynnika b i współczynnika c.

Rozwiązanie

• sposób I

Z treści zadania wynika, że funkcję f można zapisać w postaci kanonicznej

f(x) = − 3(x − 2)2

+ 7. Zatem

f(x) = − 3(x2 − 4x + 4) + 7 = − 3x2 + 12x − 5,

czyli współczynniki mają wartości b = 12, c = − 5.

• sposób II

Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzymujemy układ równań

{−b2a = 2

−Δ4a = 7.

Uwzględniając w drugim równaniu Δ = b2 − 4acoraz wstawiając a = − 3, otrzymujemy


154


{−b

2 ? {−3= 2

−{b2 − 4 ? ( − 3c)4 ? {−3

= 7

stąd

{−b = − 12

−{b2 + 12c = − 84

{ b = 12

122 + 12c = 84

{ b = 12

12c = 84 − 144

Mamy zatem

{ b = 12

c = − 5

Przykład 6.Funkcja kwadratowa f(x) = 2x2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe: x1 = − 5 i x2 = 4. Wyznaczymy

wartość współczynnika b i współczynnika c.

Rozwiązanie.

• sposób I

Z treści zadania wynika, że funkcję f można zapisać w postaci iloczynowej.

f(x) = 2(x + 5)(x − 4)

Zatem

f(x) = 2(x2 + 5x − 4x − 20) = 2x2 + 2x − 40.

Współczynniki mają wartości: b = 2, c = − 40.


155

• sposób II

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji f są x1 = − 5 i x2 = 4, więc f(−5) = 0 oraz f(4) = 0. Aby

wyznaczyć wartości współczynników, rozwiązujemy układ równań.

{ 2 ? 42 + b ? 4 + c = 0

2 ? {−52

+ b ? {−5 + c = 0

{ 32 + 4b + c = 0

50 − 5b + c = 0

{ 4b + c = − 32

−5b + c = − 50

Otrzymany układ równań możemy rozwiązać dowolną metodą, np. podstawiania lub prze-

ciwnych współczynników.

Wybierzmy metodę podstawiania

{ c = − 4b − 32

−5b − 4b − 32 = − 50

{ c = − 4b − 32

−9b − 32 = − 50

{ c = − 4b − 32

−9b = − 18

{ c = − 4b − 32

b = 2

{ b = 2

c = − 4 ? 2 − 32


156

{ b = 2

c = − 40

Rozwiązanie układu

{ 4b + c = − 32

−5b + c = − 50

metodą przeciwnych współczynników (lub każdą inną, prowadzącą do wyznaczenia wartości

każdego ze współczynników) pozostawiamy jako osobne ćwiczenie.

• sposób III

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji f są x = − 5 oraz x = 4, więc osią symetrii wykresu funk-

cji f jest prosta x =−5 + 4

2 , czyli x = − 12 . Możemy więc zapisać postać kanoniczną funkcji

f(x) = 2(x +12 )

2+ q.

Wykorzystując jeszcze raz informację o miejscach zerowych, otrzymamy, że np. f(4) = 0, stąd

2 ? (4 +12 )

2+ q = 0

q = − 2 ? (92 )

2,

czyli

q = − 812 .

Wobec tego

f(x) = 2(x +12 )

2− 81

2 = 2(x2 + x +14 ) − 81

2 = 2x2 + 2x +12 − 81

2 = 2x2 + 2x − 40.

Zatem współczynniki mają wartości b = 2, c = − 40.

Uwaga. Zapisując wzór funkcji f w postaci f(x) = 2(x +12 )

2+ q i wykorzystując informację o dru-

gim miejscu zerowym funkcji f : f(−5) = 0, doprowadzimy do tej samej zależności, co otrzyma-

na powyżej q = − 2 ? (− 92 )

2= − 2 ∙ (9

2 )2. Fakt ten wynika stąd, że prosta x = − 1

2 jest symetral-

ną odcinka o końcach w punktach (−5, 0) i (4, 0).


157

Przykład 7.Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c osiąga największą wartość równą 4 dla x = − 2, a na jej

wykresie leży punkt A = (0, 0). Obliczymy wartości współczynników a, b i c.

Rozwiązanie

• sposób I

Z treści zadania wynika, że punkt W = (−2, 4) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem

funkcji f. Wobec tego wzór funkcji f możemy zapisać w postaci f(x) = a(x + 2)2

+ 4. Wiemy po-

nadto, że punkt A leży na wykresie funkcji f, zatem f(0) = 0. Łącząc oba uzyskane wnioski,

otrzymujemy

f(0) = a(0 + 2)2

+ 4 = 0,

stąd 4a = − 4, czyli a = − 1. Stąd wynika wzór funkcji f

f(x) = − 1(x + 2)2

+ 4 = − (x2 + 4x + 4) + 4 = − x2 − 4x.

Współczynniki mają zatem wartości: a = − 1, b = − 4, c = 0.

• sposób II

Z treści zadania wynika, że jednym z miejsc zerowych funkcji f jest 0, a osią symetrii paraboli

będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu x = − 2. Wynika stąd, że −4 jest drugim

miejscem zerowym funkcji f. Zatem wzór funkcji f możemy zapisać w postaci f(x) = ax(x + 4). Wiemy ponadto, że punkt (−2, 4) leży na wykresie funkcji f, więc f(−2) = 4. Łącząc oba uzy-

skane wnioski, otrzymujemy

f(−2) = a(−2)(−2 + 4) = 4,

stąd −4a = 4, czyli a = − 1. Wobec tego wzór funkcji f to

f(x) = − 1x(x + 4) = − (x2 + 4x) = − x2 − 4x.

Współczynniki mają więc wartości: a = − 1, b = − 4, c = 0.

• sposób III

Z treści zadania odczytujemy, że punkt f(x) = 0 oraz punkt W = (−2, 4) jest wierzchołkiem pa-

raboli będącej wykresem funkcji f. Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzy-

mujemy układ równań

{a ? 02 + b ? 0 + c = 0

−b2a = − 2

−Δ4a = 4


158

Przekształcamy ten układ, uwzględniając w drugim równaniu Δ = b2 − 4ac

{c = 0

−b = − 4a

−{b2 − 4ac = 16a

{c = 0

b = 4a

b2 = − 16a

Stąd wniosek, że b2 = (4a)2

= − 16a, więc 16a2 = − 16a, czyli a2 + a = 0, stąd a(a + 1) = 0. Po-

nieważ funkcja f jest kwadratowa, więc a ≠ 0. Zatem a = − 1, stąd b = 4 ? (−1) = − 4. Oznacza

to, że a = − 1, b = − 4, c = 0.

Poziom trudności: AZadanie 2.5.1Ustal współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f(x) = − 14 (x − 5)(x + 7).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.2Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej x sumę tej liczby i kwadratu liczby o 2

od niej większej. Ustal zbiór wartości tej funkcji i znajdź jej miejsca zerowe.

(Pokaż odpowiedź)


Do wykresu funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 5x + c należy punkt A = (−3, 0). Wyznacz wartość

współczynnika c.

(Pokaż odpowiedź)


159


Prosta x = − 4 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = − x2 + bx. Wyznacz

wartość współczynnika b.

(Pokaż odpowiedź)


Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x) = 5x2 − 10x + c jest ? −9, + ∞). Ustal wartość współ-

czynnika c.

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = x2 + bx + c. Wyznacz wartości każdego ze

współczynników b oraz c, wiedząc, że wykres funkcji f ma z osią Ox tylko jeden punkt wspólny

A = ( – 3, 0).(Pokaż odpowiedź)


Funkcja kwadratowa g określona jest wzorem g(x) = − x2 + bx + c. Funkcja ta osiąga wartość

największą równą 17 dla x = − 5. Wyznacz wartości współczynników b i c.

(Pokaż odpowiedź)


Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej g(x) = − 15x2 + bx + c są − 23 i

45 . Wyznacz wartość każ-

dego ze współczynników b, c.

(Pokaż odpowiedź)


Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x) = − 4x2 + bx + c jest parabola o wierz-

chołku W = (32 , 8). Wyznacz wartość każdego ze współczynników b, c.

(Pokaż odpowiedź)


160

Poziom trudności: AZadanie 2.5.10W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadrato-

wej f(x) = ax2 + bx + c. Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, b i c.

(Pokaż odpowiedź)


161

Poziom trudności: AZadanie 2.5.11W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadrato-

wej g(x) = ax2 + bx + c. Ustal wartość każdego ze współczynników a, b i c.

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja kwadratowa g(x) = ax2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe x1 = − 6 oraz x2 = 10. Najmniej-

szą wartością tej funkcji jest – 16. Ustal wartość każdego ze współczynników a, b i c.

(Pokaż odpowiedź)


Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c jest parabola o wierzchołku w punkcie

A = (1, 9). Jednym z punktów przecięcia tej paraboli z osią Ox jest punkt B = (− 12 , 0). Wyznacz

wartość każdego ze współczynników a, b i c.

(Pokaż odpowiedź)


162


Funkcja kwadratowa g(x) = ax2 + bx + c osiąga najmniejszą wartość równą – 5 dla x = 3, a jej

wykres przecina oś Oy w punkcie A = (0, − 2). Oblicz wartość każdego ze współczynników a, b

i c.

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe x1 = − 25 i x2 = 4, a jej wykres ma

dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu y = − 121. Wyznacz wartość każdego ze

współczynników a, b i c.

(Pokaż odpowiedź)


Wykresem funkcji kwadratowej g(x) = ax2 + bx + c jest parabola o wierzchołku w punkcie

A = (−3, 5), do której należy też punkt B = (1, − 27). Wyznacz wartość każdego ze współczyn-

ników a, b i c.

(Pokaż odpowiedź)


Wykresem funkcji kwadratowej g(x) = ax2 + bx + c jest parabola, na której leżą punkty

A = (−1, 5) i B = (2, − 1). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x = 1. Wyznacz war-

tość każdego ze współczynników a, b i c.

(Pokaż odpowiedź)


Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = ax2 + bx + c. Maksymalnym przedziałem, w

którym funkcja f maleje, jest ? −3, + ∞). Parabola będąca wykresem funkcji f ma dokładnie

jeden punkt wspólny z prostą o równaniu y = 1. Ponadto na wykresie tej funkcji leży punkt

P = (−1, − 1). Ustal wartość każdego ze współczynników a, b i c.

(Pokaż odpowiedź)


163


Punkty A = (−3, 5) i B = (−1, 1) leżą na paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f(x) = ax2 + bx + c. Wykaż, że punkt C = (1, − 3) nie leży na tej paraboli.

(Pokaż odpowiedź)


Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c jest parabola , która ma dokładnie jeden

punkt wspólny z osią Ox. Na tej paraboli leżą punkty A = (1, – 9) oraz punkt B = ( – 3, – 1).Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, b i c. Rozpatrz wszystkie przypadki.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.21Wyznacz wszystkie wartości b, dla których wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji

f(x) = x2 − 2bx + b + 25 leży na prostej y = x.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.5.22Wyznacz wszystkie wartości c, dla których miejscem zerowym funkcji f określonej wzorem

f(x) = x2 − 2cx + c + 2 jest liczba x = c.

(Pokaż odpowiedź)


164

2.6. Równanie kwadratowe

Przykład 1.W prostokącie o polu równym 56 jeden z boków jest o 10 dłuższy od drugiego. Obliczymy

obwód tego prostokąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krótszego boku tego prostokąta przez x, gdzie x > 0. Wtedy drugi bok te-

go prostokąta ma długość x + 10, a pole tego prostokąta jest równe x(x + 10). Wiadomo, że

pole tego prostokąta jest równe 56. Otrzymujemy więc równanie

x(x + 10) = 56.

Przekształcamy to równanie równoważnie

x2 + 10x = 56

x2 + 10x − 56 = 0.

Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 10x − 56. Obliczamy wyróż-

nik tej funkcji Δ = 102 − 4 ? 1 ? (−56) = 324. Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ta ma dwa

miejsca zerowe

x1 =−10 − √324

2 ? 1 =−10 − 18

2 = − 14

oraz

x2 =−10 + √324

2 ? 1 =−10 + 18

2 = 4.

Warunki zadania spełnia jedynie x = 4. Długość drugiego boku tego prostokąta jest równa

x + 10 = 14, a obwód prostokąta jest równy 2 ? (4 + 14) = 36.

Uwaga. Można od razu zauważyć, że 4 ? (4 + 10) = 56, wobec tego liczba 4 jest rozwiązaniem

równania x(x + 10) = 56. Jest to więc miejsce zerowe funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 10x − 56.

Wzór tej funkcji można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x − 4

f(x) = x2 + 10x − 56 = x2 − 4x + 14x − 56 = x(x − 4) + 14(x − 4) = (x − 4)(x + 14).

Przykład 2.W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 8, a jedna z przyprostokątnych

jest o 2 krótsza od drugiej. Wykażemy, że pole tego trójkąta jest równe 15.

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta przez x, gdzie x > 0. Wtedy druga

przyprostokątna ma długość x + 2. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy rów-

nanie

x2 + (x + 2)2

= 82.

Równanie kwadratowe

165

Przekształcamy to równanie równoważnie

x2 + x2 + 4x + 4 = 64

2x2 + 4x − 60 = 0

x2 + 2x − 30 = 0.

Szukamy zatem dodatnich miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 2x − 30. Oblicza-

my wyróżnik tej funkcji Δ = 22 − 4 ? 1 ? (−30) = 124. Ponieważ ∆ > 0, więc funkcja ta ma dwa

miejsca zerowe

x1 =−2 − √124

2 ? 1 =−2 − 2√31

2 = − 1 − √31

x2 =−2 + √124

2 ? 1 =−2 + 2√31

2 = − 1 + √31.

Warunki zadania spełnia jedynie x = √31 − 1. Wobec tego przyprostokątne tego trójkąta mają

długości √31 − 1 oraz √31 + 1, a jego pole jest równe12 ? (√31 − 1) ? (√31 + 1) =

12 ? (√312 − 12) =

12 ? 30 = 15, co należało wykazać.

Przykład 3.Wyznaczymy współrzędne punktów, w których prosta o równaniu y = 2x + 9 przecina para-

bolę o równaniu y = x2 + 1.

Rozwiązanie

Ponieważ współrzędne szukanych punktów przecięcia spełniają każde z równań y = 2x + 9

oraz y = x2 + 1, więc x2 + 1 = 2x + 9, stąd x2 − 2x − 8 = 0.

Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = x2 − 2x − 8. Obliczamy wyróżnik tej

funkcji Δ = (−2)2

− 4 ? 1 ? (−8) = 36. Funkcja ta ma więc dwa miejsca zerowe

x1 =2 − √36

2 ? 1 =2 − 6

2 = − 2 oraz x2 =2 + √36

2 ? 1 =2 + 6

2 = 4.

Gdy x = − 2, to y = 2(−2) + 9 = 5, a gdy x = 4, to y = 2 ? 4 + 9 = 17. Wobec tego prosta o równa-

niu y = 2x + 9 przecina parabolę o równaniu y = x2 + 1 w dwóch punktach: jeden ma współ-

rzędne (−2, 5), a drugi ma współrzędne (4, 17).

Równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań równania

kwadratowego

W przykładach rozwiązanie zadania sprowadzało się do znalezienia rozwiązań równania z niewia-

domą x, które przekształcaliśmy do postaci


166

ax2 + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0.

Każde równanie takiego typu nazywamy równaniem kwadratowym z niewiadomą x.

Ponieważ rozwiązania takiego równania to miejsca zerowe funkcji f(x) = ax2 + bx + c, więc korzy-

stając z omówionych wcześniej własności funkcji kwadratowej możemy podać algorytm, pozwala-

jący ustalić istnienie i liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od wartości wyróż-

nika Δ = b2 − 4ac.

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równaniakwadratowego


ax2 + bx + c = 0

• nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ < 0,

• ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste x0 = − b2a wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0,

• ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste x1 =−b − √Δ

2a oraz x2 =−b + √Δ

2a wtedy i tylko wte-

dy, gdy ∆ > 0.

Warto pamiętać, że przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie zawsze wskazane jest auto-

matyczne stosowanie powyższych wzorów. Bardzo przydatne jest na przykład spostrzeżenie, że

iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest

równy zero.

Pokażemy na kilku przykładach, jak można rozwiązać równanie kwadratowe.

Przykład 4.Rozwiążemy równanie.

(2x + 1)(5x − 3) = 0

Można przekształcić to równanie do postaci 10x2 − x − 3 = 0 i wyznaczyć jego rozwiąza-

nia za pomocą wzorów, ale jest to zupełnie niepotrzebne. Wystarczy przecież zauwa-

żyć, że (2x + 1)(5x − 3) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 2x + 1 = 0 lub 5x − 3 = 0, stąd x = − 12

lub x =35 .

a)

x2 + 16 = 0

Zauważamy, że lewa strona równania jest sumą liczby nieujemnej x2 oraz liczby 16, a

więc jest dodatnia. Zatem równanie x2 + 16 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

b)


167

(4x + 7)2

= 112

(4x + 7)2

− 112 = 0

(4x + 7 − 11)(4x + 7 + 11) = 0 (4x − 4)(4x + 18) = 0stąd x = 1 lub x = − 92 .

Przykład 5.Rozwiążemy równanie x2 + 10x − 11 = 0

• sposób I

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zapisanego po lewej stronie równania:

Δ = 102 − 4 ? 1 ? (−11) = 144. Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania

x1 =−10 − √144

2 ? 1 = − 11 oraz x2 =−10 + √144

2 ? 1 = 1.

• sposób II

Można zauważyć, że 1 jest rozwiązaniem danego równania, gdyż 12 + 10 ? 1 − 11 = 0.

Zatem trójmian x2 + 10x − 11 możemy zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynni-

ków jest x − 1:

x2 + 10x − 11 = x2 − x + 11x − 11 = x(x − 1) + 11(x − 1) = (x − 1)(x + 11).Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania x1 = 1 oraz x2 = − 11.

Przykład 6.Rozwiążemy równanie 2x2 + 9x + 7 = 0

• sposób I

Obliczamy wyróżnik trójmianu 2x2 + 9x + 7

Δ = 92 − 4 ? 2 ? 7 = 25.

Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania

x1 =−9 − √25

2 ? 2 = − 72 oraz x2 =

−9 + √252 ? 2 = − 1.

• sposób II

(4x + 7)2

= 112

Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania, przekształcimy równanie, korzystając ze wzoru

na różnicę kwadratów

c)

6x2 = 19x

x(6x − 19) = 0 Przekształcając to równanie do postaci x(6x + 19) = 0, stwierdzamy, że

ma ono dwa rozwiązania 0 i − 196 .

a)


168

Zauważmy, że – 1 jest rozwiązaniem równania 2 ? (−1)2

+ 9 ? (−1) + 7 = 2 − 9 + 7 = 0. Wobec

tego trójmian 2x2 + 9x + 7 można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników

jest x + 1

2x2 + 9x + 7 = 2x2 + 2x + 7x + 7 = 2x(x + 1) + 7(x + 1) = (2x + 7)(x + 1).

Zatem równanie ma dwa rozwiązania x1 = − 1 oraz x2 = − 72 .

Przykład 7.Rozwiążemy równanie 3x2 + 4x + 5 = 345

• sposób I

Przekształcamy równanie do postaci 3x2 + 4x − 340 = 0. Następnie obliczamy wyróżnik trój-

mianu 3x2 + 4x − 340

Δ = 42 − 4 ? 3 ? (−340) = 4096.

Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania

x1 =−4 − √4096

2 ? 3 = − 343 oraz x2 =

−4 + √40962 ? 3 = 10.

• sposób II

Zauważamy, że 10 jest rozwiązaniem równania 3 ? 102 + 4 ? 10 + 5 = 345. Zatem trójmian

3x2 + 4x − 340 można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x − 10

3x2 + 4x − 340 = 3x2 − 30x + 34x − 340 = 3x(x − 10) + 34(x − 10) = (3x + 34)(x − 10)

Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania x1 = 10 oraz x2 = − 343 .

Przykład 8.Rozwiążemy równanie 25x2 − 90x + 81 = 0

• sposób I

Obliczamy wyróżnik trójmianu 25x2 − 90x + 81

Δ = (−90)2

− 4 ? 25 ? 81 = 0

Ponieważ Δ = 0, więc równanie ma jedno rozwiązanie

x0 =90

2 ? 25 =95

• sposób II

Zauważmy, że trójmian 25x2 − 90x + 81 można przekształcić do postaci

(5x)2

− 2 ? 5x ? 9 + 92 = (5x − 9)2. Zatem równanie ma jedno rozwiązanie x0 =

95 .


169

Przykład 9.Wykażemy, że równanie 3x2 − 4x + 2 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3x2 − 4x + 2

Δ = (−4)2

− 4 ? 3 ? 2 = 16 − 24 = − 8 < 0.

Oznacza to, że równanie 3x2 − 4x + 2 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Przykład 10.Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x2 + 3x − 4 = 0.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 2x2 + 3x − 4

Δ = 32 − 4 ? 2 ? (−4) = 41.

Rozwiązaniami danego równania są więc

x1 =−3 − √41

4 oraz x2 =−3 + √41

4 .

Ponieważ √41 nie jest liczbą wymierną, więc żadna z liczb x1, x2 nie jest liczbą wymierną.

Wobec tego żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x2 + 3x − 4 = 0.

Uwaga. Ponieważ liczba √41 jest niewymierna, więc każdy z pierwiastków danego równania

jest liczbą niewymierną.

Przykład 11.Ustalimy liczbę rozwiązań równania x2 − 2x + c = 0 w zależności od wartości współczynnika c.

Wyróżnik trójmianu x2 − 2x + c jest równy Δ = (−2)2

− 4 ? 1 ? c = 4 − 4c. Zatem dane równanie:

• ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy 4 − 4c > 0, czyli dla c < 1,

• ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy 4 − 4c = 0, czyli dla c = 1,

• nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy 4 − 4c < 0, czyli dla c > 1.

Uwaga. Można też równanie przekształcić następująco

x2 − 2x = − c

x2 − 2x + 1 = − c + 1

(x − 1)2

= 1 − c.

Wystarczy teraz zauważyć, że lewa strona otrzymanego równania jest nieujemna, zatem rów-

nanie nie ma rozwiązań, gdy 1 − c < 0, czyli gdy c > 1.

Jeśli natomiast c = 1, to otrzymujemy równanie (x − 1)2

= 0, które ma jedno rozwiązanie, x = 1

.


170

Pozostaje wyznaczyć rozwiązania równania, gdy c < 1. Wtedy jego lewa strona jest dodatnia,

więc równanie można zapisać w postaci

(x − 1)2

= (√1 − c)2

stąd

(x − 1)2

− (√1 − c)2

= 0

(x − 1 − √1 − c)(x − 1 + √1 − c) = 0.

Zatem, gdy c < 1, równanie ma dwa rozwiązania x1 = 1 + √1 − c oraz x2 = 1 − √1 − c.


a) Równanie x(x − 1) = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

b) Żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania (3x + 5)(4 − 2x) = 0.

c) Oba rozwiązania równania (2x + 1)(3x + 7) = 0 są liczbami dodatnimi.

d) Równanie (x − 2)(x + 3) = 0 ma dwa rozwiązania 2 oraz −3.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.2Liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania −3(x + 2)(x − 7) = 0. Wówczas

a)1

x1+

1x2

= − 514

b) x12 + x2

2 = 62

c) x1 + x2 = − 5

d) x1x2 = − 14

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.3Liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania (2x + 5)(x − 1) = (2x + 5)(3 − x) i x1 < x2. Wówczas


171

a) x2 = 5

b) 2x1 + 3x2 = 1

c) x2 = 2

d) x1 = − 3

(Pokaż odpowiedź)


a) Równanie 2x2 = 16x − 32 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

b) Równanie 4x2 = x ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

c) Równanie (2x + 5)2

+ 3 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

d) Równanie (3x − 1)2

= 1 ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.5Liczby x1 i x2 są rozwiązaniami równania x2 − 8x + 5 = 0 i x1 < x2. Wówczas

a) x2 > 7

b) x1 < 0

c) x1x2 = 5

d) x1 + x2 = 8

(Pokaż odpowiedź)



172

a) Jednym z rozwiązań równania 2x2 − x − 10 = 0 jest liczba całkowita.

b) Jedno z rozwiązań równania x2 + 2x − 5 = 0 należy do przedziału (−4, − 3).

c) Żadna liczba ujemna nie jest rozwiązaniem równania x2 − 4x − 1 = 0.

d) Każde z rozwiązań równania 6x2 − 5x + 1 = 0 należy do przedziału (0, 1).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.7Większą z dwóch liczb spełniających równanie −2(x + 1)(x + 4) = 0 jest

a) 4

b) 2

c) 1

d) – 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.8Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania 4(x − 2)(x + 5) = 0. Suma x1 + x2 jest równa

a) – 12

b) – 3

c) 3

d) 7

(Pokaż odpowiedź)


Równanie −(x + 3)2

= (−2)2


173

a) nie ma rozwiązań

b) ma jedno rozwiązanie

c) ma dwa rozwiązania

d) ma cztery rozwiązania

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.10Rozwiązaniami równania (x − 5)(2x + 9) = x(5 − x) są liczby

a) 5 oraz – 3

b) 0 oraz 5

c) 5 oraz − 92

d) 0 oraz − 92

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.11Liczby x1 oraz x2 są różnymi rozwiązaniami równania x2 + 10x − 24 = 0. Suma x1

2 + x22 jest rów-

na

a) 576

b) 196

c) 148

d) 100

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.12Wskaż równanie, które nie ma rozwiązań rzeczywistych.


174

a) x2 − 2x + 5 = 0

b) x2 − 2x − 5 = 0

c) −5x2 − 2 = 0

d) x2 + 5x + 2 = 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.13Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania 5x2 + 4x − 1 = 0 i x1 < x2. Oblicz 3x1 + 10x2.

a) 7

b) 4

c) – 1

d) – 5

(Pokaż odpowiedź)


Liczby x1 oraz x2 są różnymi rozwiązaniami równania 10x2 + 3x − 1 = 0. Suma1

x1+

1x2

jest równa

a) – 1

b) 3

c) − 103

d)1

10

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.15Rozwiąż równanie.

(x + 5)(x − 6) = 0a)

(2x − 3)(3x + 7) = 0b)

(4x − 1)(2 − x) = 0c)


175

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)

(8 − 2x)(9x + 11) = 0d)

3x2 − 108 = 0a)

x2 + 2 = 0b)

−4x2 + 49 = 0c)

−2x2 − 50 = 0d)

x2 − 4x + 4 = 0a)

x2 − 4x = 0b)

9x2 + 12x + 4 = 0c)

12x − 9x2 = 0d)

x2 + 2x − 35 = 0a)

x2 + 6x + 11 = 0b)

4x2 − 11x − 15 = 0c)

3x2 + 5x − 28 = 0d)


176


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.21Kwadrat liczby x jest 8 razy większy od liczby x − 2. Oblicz x.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.22Jeżeli dodatnią liczbę x pomnożymy przez liczbę o 5 większą od połowy liczby x, to w wyniku

otrzymamy 168. Jaka to liczba?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.23Dwie ujemne liczby całkowite różnią się o 5, a suma ich kwadratów jest równa 193. Znajdź te

liczby.

(Pokaż odpowiedź)

x2 + 4x + 7 = 0a)

x2 − 6x + 1 = 0b)

x2 − 8x + 9 = 0c)

x2 + 2√5x + 3 = 0d)

2x2 + 15x = 17a)

3x2 + 7x = 370b)

(x − 5)2

= 3x − 15c)

(2x − 7)2

= 28 − 8xd)


177

Poziom trudności: AZadanie 2.6.24Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych dodatnich jest równa 245. Znajdź te liczby.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.25Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej o równaniu y = x + 2 oraz paraboli o równa-

niu y = 2x2 + x.

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji f(x) = x2 − 3x oraz g(x) = 2x2 − 4.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.27W prostokącie A jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. Gdyby skrócić krótszy bok

tego prostokąta o 1 i jednocześnie przedłużyć dłuższy bok o 2, to otrzymalibyśmy prostokąt B

o polu równym 16. Wyznacz wymiary prostokąta A.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.28W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 17, a jedna z przyprostokątnych jest

o 7 dłuższa od drugiej. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.6.29Każdy z dwóch prostokątów ma przekątną długości 25. Krótszy bok pierwszego prostokąta jest

o 8 dłuższy od krótszego boku drugiego prostokąta, a dłuższy bok pierwszego prostokąta jest o

4 krótszy od dłuższego boku drugiego prostokąta. Oblicz wymiary każdego z tych prostokątów.

(Pokaż odpowiedź)


178

Poziom trudności: AZadanie 2.6.30Wyznacz wszystkie wartości b, dla których liczba b jest rozwiązaniem równania

x2 − (b + 2)x + 10 = 0. Dla otrzymanej wartości b wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz wszystkie wartości c, dla których liczba c jest rozwiązaniem równania x2 − 10x + 3c = 0

. Dla otrzymanej wartości c wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz wszystkie dodatnie wartości b, dla których równanie x2 + 2bx + b = 0 ma dokładnie

jedno rozwiązanie. Dla otrzymanej wartości b wyznacz to rozwiązanie.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że dla każdej wartości m równanie x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 ma co najmniej jedno roz-

wiązanie rzeczywiste.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że dla każdej dodatniej wartości całkowitej k równanie x2 − 7kx + 10k2 = 0 ma dwa różne

rozwiązania całkowite.

(Pokaż odpowiedź)


179

2.7. Nierówność kwadratowa

Przykład 1.Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = (x − 1)(x + 3) ustalimy

zbiór rozwiązań nierówności (x − 1)(x + 3) > 0 oraz nierówności (x − 1)(x + 3) < 0.


Z postaci iloczynowej wzoru funkcji f

f(x) = 1 ? (x − 1)(x + 3)

bezpośrednio odczytujemy:

• współczynnik a : a = 1. Jest on dodatni, więc parabola będąca wykresem funkcji f ma

ramiona skierowane do góry,

• miejsca zerowe funkcji f : 1 oraz – 3. Oznacza to, że wykres funkcji f przecina oś Ox w

dwóch punktach o współrzędnych (1, 0) oraz (−3, 0).

Korzystając z powyższych spostrzeżeń, szkicujemy wykres funkcji f.

Nierówność kwadratowa

180

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iFwzWacLch#iFwzWacLch_d138d4e1056WOMI

Ustalimy zbiór rozwiązań nierówności (x − 1)(x + 3) > 0.

Z otrzymanego wykresu odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości

dodatnie.

Zatem (x − 1)(x + 3) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ? (−∞, − 3) ? (1, + ∞).Ustalimy zbiór rozwiązań nierówności (x − 1)(x + 3) < 0.

Z wykresu funkcji f odczytujemy, dla jakich argumentów ta funkcja przyjmuje wartości ujem-

ne.


181

Wobec tego (x − 1)(x + 3) < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ? (−3, 1).


182

Przykład 2.Wypiszemy wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówność (2x + 5)(4 − x) > 0.

Rozpatrzmy w tym celu funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = (2x + 5)(4 − x).

Po zapisaniu wzoru tej funkcji w postaci iloczynowej f(x) = − 2(x +52 )(x − 4) stwierdzamy, że

funkcja ta ma dwa miejsca zerowe − 52 oraz 4,

a = − 2 < 0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola skierowana ramionami do dołu.

Szkicujemy wykres funkcji f(x) = (2x + 5)(4 − x) i zaznaczamy na nim argumenty, dla których

(2x + 5)(4 − x) > 0.

Zbiorem rozwiązań nierówności (2x + 5)(4 − x) > 0 jest więc przedział (−212 , 4).

Zaznaczamy wszystkie liczby całkowite, które znajdują się w tym przedziale.

Ostatecznie stwierdzamy, że liczbami całkowitymi, które spełniają nierówność

(2x + 5)(4 − x) > 0, są: – 2, – 1, 0, 1, 2, 3.

Przykład 3.Rozwiążemy nierówność


183

x2 − 9 > 0

Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x) = x2 − 9 jest parabola skierowa-

na ramionami do góry, co stwierdzamy, odczytując ze wzoru tej funkcji wartość współ-

czynnika a (a = 1 > 0).Wzór tej funkcji przekształcamy do postaci f(x) = (x − 3)(x + 3). Funkcja ma zatem dwa

miejsca zerowe – 3 oraz 3.

Szkicujemy wykres tej funkcji i odczytujemy wszystkie argumenty, dla których przyjmu-

je ona wartości dodatnie.

Odpowiedź: x ? (−∞, − 3) ? (3, + ∞).

a)

−x2 + 4x < 0b)


184

• sposób I

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = − x2 + 4x. Odczytujemy war-

tość współczynnika a : a = − 1 < 0. Wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona

skierowane są w dół.

Wzór tej funkcji sprowadzamy do postaci iloczynowej f(x) = − x(x − 4) i stwierdzamy, że

funkcja ta ma dwa miejsca zerowe 0 oraz 4.

Sporządzamy szkic wykresu funkcji f(x) = − x2 + 4x i na jego podstawie wyznaczamy

zbiór rozwiązań nierówności −x2 + 4x < 0.

Odpowiedź: x ? (−∞, 0)(4, ∞).


185

• sposób II

Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez – 1 otrzymujemy

równoważnie

x2 − 4x > 0 Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = x2 − 4x. Odczytuje-

my: a = 1 > 0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są

do góry.

Po zapisaniu wzoru tej funkcji w postaci iloczynowej f(x) = x(x − 4) stwierdzamy, że funk-

cja ta ma dwa miejsca zerowe: 0 oraz 4.

Sporządzamy szkic wykresu funkcji f(x) = x2 − 4x i na jego podstawie wyznaczamy zbiór

tych liczb rzeczywistych x, dla których x2 − 4x > 0.

Odpowiedź: x ? (0, 4).


186

Przykład 4.Rozwiążemy nierówność x2 + 2x + 1 > 0 .

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = x2 + 2x + 1. Przekształcamy ten

wzór do postaci f(x) = (x + 1)2. Ponieważ: a = 1 > 0 oraz funkcja ma jedno miejsce zerowe: −1,

więc wykresem tej funkcji jest parabola skierowana ramionami do górę.

Szkicujemy wykres funkcji f(x) = x2 + 2x + 1 i zaznaczamy argumenty, dla których

x2 + 2x + 1 > 0.

Odpowiedź: x ? (−∞, − 1) ? (−1, + ∞).

Przykład 5.Rozwiążemy nierówność x2 − 12x + 11 ≤ 0 .

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = x2 − 12x + 11. Odczytujemy:

a = 1 > 0, zatem wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.

x2 + 3 < 0

Ponieważ x2 ≥ 0 dla każdej liczby rzeczywistej x, więc x2 + 3 > 0 dla każdego rzeczywi-

stego x. Zatem żadna liczba rzeczywista nie spełnia nierówności x2 + 3 < 0.

Odpowiedź: Nierówność x2 + 3 < 0 jest sprzeczna.

a)

−x2 − 1 < 0

Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez – 1 otrzymuje-

my równoważnie x2 + 1 > 0. Ponieważ suma liczby nieujemnej x2 oraz liczby dodatniej

1 jest liczbą dodatnią, więc każda liczba rzeczywista x spełnia nierówność x2 + 1 > 0.

Odpowiedź: Nierówność −x2 − 1 < 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

b)


187

Obliczamy wyróżnik funkcji f(x) = x2 − 12x + 11:

Δ = (−12)2

− 4 ? 1 ? 11 = 100 > 0Wobec tego funkcja f(x) = x2 − 12x + 11 ma dwa miejsca zero-

we

x1 =12 − √100

2 = 1 oraz x2 =12 + √100

2 = 11.

Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie ustalamy zbiór rozwiązań nierów-

ności x2 − 12x + 11 ≤ 0.

Odpowiedź: x ? ? 1, 11 ? .


188

Przykład 6.Rozwiążemy nierówność 2x2 + 7x − 4 > 0.

Ze wzoru funkcji f(x) = 2x2 + 7x − 4 odczytujemy wartość współczynnika a: a = 2 > 0. Wobec

tego wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.

Obliczamy wyróżnik: Δ = 72 − 4 ? 2 ? (−4) = 81 > 0, zatem funkcja f(x) = 2x2 + 7x − 4 ma dwa

miejsca zerowe

x1 =−7 − √81

2 ? 2 = − 4 oraz x2 =−7 + √81

2 ? 2 =12 .

Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie ustalamy zbiór rozwiązań nierów-

ności 2x2 + 7x − 4 > 0.

Odpowiedź: x ? (−∞, − 4) ? (12 , + ∞).

Przykład 7.Rozwiążemy nierówność −x2 + 3x + 10 ≥ 0.

Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez – 1 otrzymujemy rów-

noważnie

x2 − 3x − 10 ≤ 0.

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = x2 − 3x − 10. Ponieważ a = 1 > 0,

więc wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.

Obliczamy wyróżnik: Δ = (−3)2

− 4 ? 1 ? (−10) = 49 > 0. Zatem funkcja f(x) = x2 − 3x − 10 ma

dwa miejsca zerowe x1 =3 − √49

2 = − 2 oraz x2 =3 + √49

2 = 5.

Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie wyznaczamy argumenty, dla któ-

rych x2 − 3x − 10 ≤ 0.


189

Odpowiedź: x ? ? −2, 5 ? .

Przykład 8.Rozwiążemy nierówność −3x2 + 2x + 21 ≤ 0.

Przekształcamy daną nierówność. Po pomnożeniu obustronnie przez – 1 otrzymujemy rów-

noważnie

3x2 − 2x − 21 ≥ 0.

Rozpatrzmy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x) = 3x2 − 2x − 21. Ponieważ a = 3 > 0,

więc wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona skierowane są do góry.

Obliczamy wyróżnik: Δ = (−2)2

− 4 ? 3 ? (−21) = 256 > 0. Zatem funkcja f(x) = 3x2 − 2x − 21 ma

dwa miejsca zerowe:

x1 =2 − √256

2 ? 3 = − 73 oraz x2 =

2 + √2562 ? 3 = 3.

Sporządzamy szkic wykresu tej funkcji i na jego podstawie wyznaczamy argumenty, dla któ-

rych 3x2 − 2x − 21 ≥ 0.


190

Odpowiedź: x ? (−∞, −213 ? ? ? 3, + ∞).

Przykład 9.Uzasadnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest poniższa nierówność.

• sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci x2 − 6x + 9 ≥ 0. Wystarczy za-

tem pokazać, że funkcja kwadratowa y = x2 − 6x + 9 przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.

Obliczamy wyróżnik trójmianu y = x2 − 6x + 9:

Δ = (−6)2

− 4 ? 1 ? 9 = 0

Wynika stąd, że funkcja y = x2 − 6x + 9 ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Ponieważ jej wy-

kresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry (a = 1 > 0), więc dla każdej liczby

rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x2 − 6x + 9 ≥ 0. To kończy dowód.

• sposób II

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

x2 + 9 ≥ 6x

x2 − 6x + 9 ≥ 0

(x − 3)2

≥ 0

x2 + 9 ≥ 6xa)


191

Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność (x − 3)2

≥ 0. To spostrzeżenie koń-

czy dowód.

• sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postacix2

7 − x +74 ≥ 0. Wystarczy poka-

zać, że funkcja kwadratowa y =x2

7 − x +74 przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.

Obliczamy wyróżnik trójmianu y =x2

7 − x +74

Δ = (−1)2

− 4 ?17 ?

74 = 0.

Zatem funkcja ta ma dokładnie jedno miejsce zerowe, a ponieważ jej wykresem jest parabola

o ramionach skierowanych do góry (a =17 > 0), więc dla każdej liczby rzeczywistej x prawdzi-

wa jest nierównośćx2

7 − x +74 ≥ 0. To kończy dowód.

• sposób II


x2

7 +74 ≥ x

4x2 + 49 ≥ 28x

4x2 − 28x + 49 ≥ 0

(2x − 7)2

≥ 0

Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność (2x − 7)2

≥ 0. To spostrzeżenie

kończy dowód.

• sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 3x2 − 10x + 9 > 0. Wystarczy

pokazać, że funkcja kwadratowa y = 3x2 − 10x + 9 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Ponieważ współczynnik przy x2 trójmianu y = 3x2 − 10x + 9 jest dodatni, więc wykresem tej

x2

7 +74 ≥ x

a)

3(x2 + 3) > 10xa)


192

funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry.

Obliczamy wyróżnik trójmianu y = 3x2 − 10x + 9

Δ = (−10)2

− 4 ? 3 ? 9 = − 8 < 0.

Zatem funkcja ta nie ma miejsc zerowych.

Wobec tego dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 3x2 − 10x + 9 > 0. To

kończy dowód.

• sposób II


3(x2 + 3) > 10x

3x2 + 9 > 10x

3x2 − 10x + 9 > 0

9x2 − 30x + 27 > 0

(3x − 5)2

+ 2 > 0


≥ 0, więc suma

(3x − 5)2

+ 2 jest liczbą dodatnią. To spostrzeżenie kończy dowód.

Przykład 10.Uzasadnimy, że jeśli liczby x i y są rzeczywiste, to

• sposób I


4x2 − 20xy + 25y2 ≥ 0

(2x − 5y)2

≥ 0

Jeżeli liczby x i y są rzeczywiste, to prawdziwa jest nierówność (2x − 5y)2

≥ 0. To spostrzeżenie

kończy dowód.

• sposób II

4x2 + 25y2 ≥ 20xya)


193

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 4x2 − 20xy + 25y2 ≥ 0.

Możemy tę nierówność potraktować jako nierówność kwadratową z niewiadomą x i dowolnie

ustaloną liczbę y.

Rozpatrzmy trójmian kwadratowy

f(x) = 4x2 − 20y ? x + 25y2.

Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 (a = 4).Obliczamy wyróżnik tego trójmianu

Δ = (−20y)2

− 4 ? 4 ? 25y2 = 0. Zatem trójmian f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Oznacza

to, że dla każdego x i dla każdego y wartość tego trójmianu jest nieujemna. To spostrzeżenie

kończy dowód.

• sposób I


5x2 + y2 + 4xy ≥ 2x − 1

5x2 + y2 + 4xy − 2x + 1 ≥ 0

4x2 + 4xy + y2 + x2 − 2x + 1 ≥ 0

(2x + y)2

+ (x − 1)2

≥ 0

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest każda z nierówności (2x + y)2

≥ 0 oraz

(x − 1)2

≥ 0, a zatem również prawdziwa jest nierówność (2x + y)2

+ (x − 1)2

≥ 0. To spostrzeże-

nie kończy dowód.

• sposób II

Zapiszmy nierówność w postaci równoważnej.

5x2 + y2 + 4xy − 2x + 1 ≥ 0

Rozpatrzmy trójmian kwadratowy.

f(x) = 5x2 + (4y − 2)x + (y2 + 1)

Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x2 (a = 5).

Obliczamy wyróżnik tego trójmianu

Δ = (4y − 2)2

− 4 ? 5 ? (y2 + 1) = 16y2 − 16y + 4 − 20y2 − 20 = − 4(y2 + 4y + 4) = − 4(y + 2)2

5x2 + y2 + 4xy ≥ 2x − 1a)


194

Dla każdego y wyróżnik jest więc niedodatni, co oznacza, że funkcja może mieć co najwyżej

jedno miejsce zerowe.

Zatem dla każdego x i dla każdego y wartość tego trójmianu jest nieujemna. To spostrzeżenie

kończy dowód.

Przykład 11.

a + b2 ≥ √ab

a + b ≥ 2√ab

a − 2√ab + b ≥ 0

(√a)2

− 2 ? √a ? √b + (√b)2

≥ 0

(√a − √b)2

≥ 0

Dla każdych liczb nieujemnych a i b nierówność (√a − √b)2

≥ 0 jest prawdziwa. To spostrzeże-

nie kończy dowód.

√ab ≥ 2aba + b

a + b ≥ 2ab

√ab

a + b2 ≥

(√ab)2

√ab

a + b2 ≥ √ab

Nierównośća + b

2 ≥ √ab jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich a i b (co udowodniliśmy

w poprzednim podpunkcie), co kończy dowód.

Uwaga. Dla liczb nieujemnych a i b liczbęa + b

2 nazywamy ich średnią arytmetyczną.

Dla liczb nieujemnych a i b liczbę √ab nazywamy ich średnią geometryczną.

Wykażemy, że jeśli a ≥ 0 i b ≥ 0, toa + b

2 ≥ √ab.


a)

Wykażemy, że jeśli a > 0 i b > 0, to √ab ≥ 2aba + b .


a)


195

Dla liczb dodatnich a i b liczbę2aba + b (zapisywaną również w postaci

21a

+1b

) nazywamy ich śred-

nią harmoniczną.

Poziom trudności: AZadanie 2.7.1Spośród podanych niżej nierówności wybierz te, które są prawdziwe dla każdej liczby rzeczywi-

stej x.

a) −x2 < − 2

b) −2x2 < 1

c) x2 > − 2

d) 2x2 > x

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.2Do zbioru rozwiązań nierówności (1 − x)(2x + 5) > 0 należy liczba

a) −√2

b) (− 43 )

2

c) – 2

d) 1

(Pokaż odpowiedź)


a) Zbiorem rozwiązań nierówności x2 < x są liczby należące do przedziału (0, 1).

b) Zbiorem rozwiązań nierówności x2 < 7 są liczby należące do przedziału (−7, 7).

c) Zbiorem rozwiązań nierówności (x + 2)(4 − x) > 0 są liczby należące do przedziału (−2, 4).

d) Zbiorem rozwiązań nierówności (x + 3)(x + 5) < 0 są liczby należące do przedziału (3, 5).

(Pokaż odpowiedź)


196

Poziom trudności: AZadanie 2.7.4W zbiorze rozwiązań nierówności x2 + 8x + 7 > 0

a) jest dokładnie 7 liczb całkowitych

b) nie ma żadnej liczby dodatniej

c) nie ma żadnej liczby ujemnej

d) jest liczba 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.5Spośród podanych niżej nierówności wybierz te, w których zbiorze rozwiązań są dokładnie

dwie dodatnie liczby całkowite.

a) 6x2 − 13x − 8 ≤ 0

b) x2 − 9x + 20 ≤ 0

c) x2 + 4x − 21 < 0

d) x2 + 5x + 4 < 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.6Każda liczba rzeczywista, która spełnia nierówność x2 + 2x − 8 ≤ 0, spełnia też nierówność

a) x2 − 9 < 0

b) x2 − 16 < 0

c) x2 − 25 < 0

d) x2 − 36 < 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.7Do zbioru rozwiązań nierówności (x + 3)(x − 4) > 0 należy liczba

a) 3


197

b) 1

c) 5

d) −2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.8Zbiór rozwiązań nierówności (x − 2)(x + 5) < 0 przedstawiony jest na rysunku

a)

b)

c)

d)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.9Zbiorem rozwiązań nierówności (2x + 4)(x − k) < 0 jest przedział (−4, − 2). Wynika z tego, że

a) k = 4

b) k = 2

c) k = − 2

d) k = − 4

(Pokaż odpowiedź)


198

Poziom trudności: AZadanie 2.7.10Zbiorem rozwiązań nierówności x2 < 9x jest

a) (−3, 3)

b) (−3, 0)

c) (−9, 0)

d) (0, 9)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.11Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność (3x + 5)(2x − 7) ≤ 2(3x + 5) jest

a) 1

b) 0

c) – 1

d) – 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.12Zbiorem rozwiązań nierówności x2 > 16 jest

a) (−∞, − 4) ? ( 4, + ∞)

b) (−∞, 8) ? ( 8, + ∞)

c) (4, + ∞)

d) (−16, + ∞)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.13Do zbioru rozwiązań nierówności 4x2 + 1 ≤ 4x należy liczba

a) 1


199

b)12

c) 0

d)14

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.14Funkcje f i g określone są wzorami f(x) = x2 + x oraz g(x) = x − 1. Wówczas dla każdej liczby rze-

czywistej x prawdziwa jest nierówność

a) f(x) < g(x)

b) f(x) > g(x)

c) g(x) < 0

d) f(x) > 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.15Rozwiąż nierówność.

(Pokaż odpowiedź)


(x + 1)(x − 2) < 0a)

(x − 5)(4x + 11) ≥ 0b)

(x − 2)(6 − 3x) < 0c)

(3 − x)(2x + 1) ≥ 0d)

x2 ≤ 25a)

8x < x2b)

3x + 2x2 ≥ 0c)


200

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)

9 − 3x2 > 0d)

x2 − 18x + 81 > 0a)

3x2 − 18x + 27 ≤ 0b)

x2 − 2x + 3 < 0c)

x2 − 6x + 10 > 0d)

x2 + 2x − 24 < 0a)

x2 − 5x − 24 > 0b)

−x2 + 4x + 32 ≥ 0c)

−x2 − 7x + 18 ≤ 0d)

2x2 + 7x − 4 ≤ 0a)

3x2 + 10x + 8 < 0b)

−2x2 − 15x − 27 < 0c)

−3x2 − 23x + 8 ≤ 0d)


201


(Pokaż odpowiedź)


Rozwiąż nierówność −3x2 + 2x + 5 ≥ 0 i wypisz wszystkie liczby całkowite, które ją spełniają.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.22Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które spełniają jednocześnie podane nierówno-

ści 5x2 + 7x − 24 ≥ 0 oraz x < 2.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.7.23Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność

25x2 + 36 ≥ 60x.

(Pokaż odpowiedź)


Uzasadnij, że jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to prawdziwa jest nierówność3x2

10 +56 ≥ x.

(Pokaż odpowiedź)

4x2 − 8x − 45 > 0a)

15x2 + 7x − 2 ≥ 0b)

−4x2 + 25x − 6 < 0c)

−6x2 + 7x + 10 ≥ 0d)


202


2x2 + 11 > 9x.

(Pokaż odpowiedź)


5(x2 + 2) > 14x.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 2.7.27Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność

49x2 + 9y2 ≥ 42xy.

(Pokaż odpowiedź)


2x2 + y2 + 8x + 16 ≥ 2xy.

(Pokaż odpowiedź)


x2 + 10y2 + 6xy ≥ 5(2y − 5).(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 2.7.30

Wykaż, że nierówność √a2 + b2

2 ≥ a + b2 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b.

(Pokaż odpowiedź)


203

2.8. Wartość najmniejsza oraz wartość największafunkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Przykład 1.Obliczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej

f(x) = x2 − 4x + 1 w każdym z podanych przedziałów

Ustalmy własności funkcji f, gdy jest ona określona dla każdej liczby rzeczywistej.

Ponieważ współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest dodatni, więc wykresem tej funkcji

jest parabola o ramionach skierowanych do góry. Wierzchołek W tej paraboli ma współrzęd-

ne

xW =−(−4)2 ? 1 = 2, yW = f(2) = 22 − 4 ? 2 + 1 = − 3.

Zatem najmniejszą wartością funkcji f jest

f(2) = − 3.

Najmniejszą wartość funkcji f można też obliczyć, korzystając ze wzoru na drugą współrzęd-

ną wierzchołka paraboli

q = − Δ4a .

Zauważmy, że

• maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest malejąca, jest (−∞, 2 ? ,

? −4, 1 ?a)

? −1, 3 ?b)

? 4, 7 ?c)

Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

204

• maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest rosnąca, jest ? 2, +∞)

• największą wartością funkcji f w przedziale ? 4, 7 ? jest wartość w prawym krańcu te-

go przedziału, czyli f(7) = 22,

Przedział ? −4, 1 ? jest zawarty w przedziale (−∞, 2 ? , więc funkcja f jest w tym

przedziale malejąca.

Oznacza to, że

największą wartością funkcji f w przedziale ? −4, 1 ? jest wartość w lewym krańcu te-

go przedziału, czyli f(−4) = 33,

najmniejszą wartością funkcji f w przedziale ? −4, 1 ? jest wartość w prawym krańcu

tego przedziału, czyli f(1) = − 2.

a)

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału ? −1, 3 ? , więc naj-

mniejszą wartością funkcji f w przedziale ? −1, 3 ? jest f(2) = − 3.

W przedziale ? −1, 2 ? funkcja f jest malejąca, a w przedziale ? 2, 3 ? ta funkcja jest

rosnąca. Wobec tego do ustalenia wartości największej funkcji f w przedziale

? −1, 3 ? wystarczy porównać wartości f(−1) oraz f(3).Obliczamy:

f(−1) = 6 f(3) = − 2.Oznacza to, że największą wartością funkcji f w przedziale

? −1, 3 ? jest f(−1) = 6.

b)

Przedział ? 4, 7 ? jest zawarty w przedziale ? 2, +∞), więc funkcja f jest w tym prze-

dziale rosnąca.

Wobec tego

c)


205

• najmniejszą wartością funkcji f w przedziale ? 4, 7 ? jest wartość w lewym krańcu te-

go przedziału, czyli f(4) = 1.


Przykład 2.Obliczymy najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 + 6x + 2 w przedziale

? −2, 5 ? .

Współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest ujemny, zatem wykresem tej funkcji jest para-

bola o ramionach skierowanych w dół.

Wierzchołek W tej paraboli ma współrzędne

xW =−6

2 ? (−1)= 3, yW = f(3) = − 32 + 6 ? 3 + 2 = 11.

Zatem w przedziale ? −2, 3 ? funkcja f jest rosnąca, a w przedziale ? 3, 5 ? funkcja f jest

malejąca.

Oznacza to, że najmniejszą wartością funkcji f jest f(−2) lub f(5).Obliczamy:

f(−2) = − 14, f(5) = 7.

Najmniejszą wartością funkcji f w przedziale ? −2, 5 ? jest więc – 14.


206

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ipzjMCMVgH#ipzjMCMVgH_d986d4e3132WOMI

Przykład 3.Obliczymy największą wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 − 8x + 4 w przedziale

? −3, 2 ? .

Współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest ujemny, zatem wykresem tej funkcji jest para-

bola o ramionach skierowanych w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest

równa

xW =−(−8)

2 ? (−1)= − 4

Funkcja ta jest zatem rosnąca w przedziale ( − ∞, −4 ? i malejąca w przedziale ? −4, ∞). Po-

nieważ przedział ? −3, 2 ? jest zawarty w przedziale ? −4, ∞), więc funkcja f jest w tym prze-

dziale malejąca. Największą wartość funkcja f przyjmuje w lewym krańcu tego przedziału.

Największą wartością funkcji f w przedziale ? −3, 2 ? jest f(−3) = 19.


207

Przykład 4.Obliczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej

f(x) = (3x − 4)(x + 5) w przedziale ? −2, 1 ? .

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci iloczynowej.

f(x) = 3(x − 43 )(x + 5)

Współczynnik przy x2we wzorze funkcji f jest równy 3, zatem wykresem tej funkcji jest para-

bola o ramionach skierowanych w górę.

Miejscami zerowymi funkcji f są liczby −5 oraz43 . Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej

paraboli jest równa

xW =−5 +

43

2 = − 116 = − 1

56 .

więc należy do przedziału ? −2, 1 ? . Oznacza to, że liczba

f(− 116 ) = 3(− 11

6 − 43 )(− 11

6 + 5) = − 36112 = − 30

112

jest najmniejszą wartością funkcji f w przedziale ? −2, 1 ? .

Aby ustalić wartość największą, obliczamy wartości funkcji w obu krańcach danego przedzia-

łu

f(−2) = − 30

oraz

f(1) = − 6.

Wobec tego – 6 jest największą wartością funkcji f w przedziale ? −2, 1 ? .

Przykład 5.Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie x z przedziału ? −4, 1 ? różnicę tej liczby i kwa-

dratu liczby o 2 mniejszej od niej. Wyznaczymy wzór funkcji f oraz obliczymy jej największą

wartość w przedziale ? −4, 1 ? .

Z treści zadania wynika, że funkcja f określona jest wzorem

f(x) = x − (x − 2)2.

Przekształcamy ten wzór

f(x) = x − (x2 − 4x + 4)

stąd


208

f(x) = − x2 + 5x − 4.

Jest to więc funkcja kwadratowa, a w jej wzorze współczynnik przy x2 jest ujemny. Wykresem

funkcji f jest więc parabola o ramionach skierowanych w dół.

Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest równa

xW =−5

2 ? (−1)=

52 ,

więc liczba xW nie należy do przedziału ? −4, 1 ? .

W przedziale ? −4, 1 ? funkcja f jest rosnąca, co oznacza, że największą wartością funkcji f

jest wartość w prawym krańcu tego przedziału, czyli f(1) = 0.


Przykład 6.Ustalimy, jaki jest możliwie największy iloczyn dwóch liczb, o których wiadomo, że suma

pierwszej z nich i podwojonej drugiej jest równa 12.

Oznaczmy przez y pierwszą z tych dwóch liczb, a przez x – drugą z nich.

Wiadomo, że 2x + y = 12. Z tej zależności wyznaczamy y = 12 − 2x.

Iloczyn I tych dwóch liczb zapiszemy w zależności od zmiennej x

I(x) = (12 − 2x) ? x.

Otrzymaną funkcję kwadratową I zmiennej x zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

I(x) = − 2x2 + 12x.

Ponieważ współczynnik przy x2 jest ujemny, więc wykresem funkcji I jest parabola skierowa-


209


na ramionami do dołu.

Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest równa

xW =−12

2 ? (−2)= 3.

Oznacza to, że dla x = 3 iloczyn I jest największy. Jest on wtedy równy

I(3) = − 2 ? 32 + 12 ? 3 = 18.

Zauważmy, że gdy x = 3, to

y = 12 − 2 ? 3 = 6

Przykład 7.Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach 5 dm i 7 dm wycięto w rogach kwadraty, tak

aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boku

wycinanego kwadratu, aby po sklejeniu pole powierzchni bocznej pudełka było największe?

Oblicz największe pole powierzchni bocznej sklejonego pudełka.


Przykład 8.Suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa 10. Obliczymy naj-

mniejszą wartość kwadratu długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Oznaczmy przez x długość jednej z przyprostokątnych trójkąta, a przez y – długość drugiej z

nich.

Wiadomo, że x + y = 10. Z tej zależności wyznaczamy y = 10 − x.

Stosując twierdzenie Pitagorasa, zapisujemy kwadrat k długości przeciwprostokątnej tego


210


trójkąta

k(x) = x2 + (10 − x)2, gdzie x ? (0, 10).

Otrzymaną funkcję kwadratową k zmiennej x zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

k(x) = 2x2 − 20x + 100.

Parabola o równaniu y = 2x2 − 20x + 100 ma ramiona skierowane do góry, a pierwsza współ-

rzędna jej wierzchołka jest równa

xW =−(−20)2 ? 2 = 5.

Ponieważ 5 ? (0, 10), więc najmniejszą wartością funkcji k jest

k(5) = 50.

Zauważmy, że wtedy ten trójkąt jest równoramienny, a każda z przyprostokątnych ma długo-

ść 5.

Przykład 9.Właściciel sklepu z odzieżą sprowadza z hurtowni koszulki, płacąc po 12 zł za sztukę i sprze-

daje średnio 200 sztuk miesięcznie po 20 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny

sprzedaży koszulki o 50 groszy zwiększa sprzedaż miesięczną o 20 sztuk. Jaką cenę sprzeda-

ży jednej koszulki powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego miesięczny zysk był największy?

Przyjmijmy, że cenę koszulki obniżano x razy o 50 groszy. Wtedy cena sprzedaży jednej ko-

szulki to (20 − 0,5x) zł, co oznacza, że wówczas zysk właściciela sklepu to (8 − 0, 5x )zł. Z ob-

serwacji wynika, że przy tak ustalonej cenie w ciągu miesiąca zostanie sprzedanych (200 + 2x)koszulek. Zatem miesięczny zysk w złotych właściciela sklepu jest równy

(8 − 0,5x)(20x + 200),

gdzie x jest dodatnią liczbą całkowitą.

Rozpatrzmy funkcję f określoną wzorem

f(x) = (8 − 0,5x)(20x + 200).

Jest to funkcja kwadratowa, której wzór możemy zapisać w postaci iloczynowej

f(x) = − 10(x − 16)(x + 10).Parabola będąca wykresem funkcji f ma ramiona skierowane do dołu, a pierwsza współrzęd-

na jej wierzchołka jest równa

xW =−10 + 16

2 = 3.

Zatem dla x = 3 funkcja f osiąga wartość największą, równą f(3) = 1690.

Dla tej wartości x spełnione są warunki zadania. Wynika z tego, że sprzedawca osiągnie naj-

większy miesięczny zysk w kwocie 1690 zł, kiedy ustali, że cena sprzedaży jednej koszulki jest

równa 18 zł 50 groszy.


211

Uwaga. W powyższym przykładzie funkcja f nie jest modelem opisującym zysk ze sprzedaży

koszulek. Natomiast korzystając z jej własności, umiemy wskazać taką dodatnią liczbę całko-

witą x, dla której zysk, wyrażający się wzorem (8 − 0,5x)(20x + 200), jest największy.

Przykład 10.Wykażemy, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 2, to a2 + b2 ≥ 2.

Z zależności a + b = 2 wyznaczamy b = 2 − a.

Zapisujemy sumę S kwadratów liczb a i b jako funkcję zmiennej a.

S(a) = a2 + (2 − a)2, gdzie a ? (0, 2).

Otrzymaną funkcję kwadratową S zmiennej a zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

S(a) = 2a2 − 4a + 4.

Parabola o równaniu y = 2x2 − 4x + 4 ma ramiona skierowane do góry, a pierwsza współrzęd-

na jej wierzchołka jest równa

xW =−(−4)2 ? 2 = 1.

Ponieważ 1 ? (0, 2), więc najmniejszą wartością funkcji S jest

S(1) = 2.

Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 2, to a2 + b2 ≥ 2.

Poziom trudności: AZadanie 2.8.1Jaka jest największa wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 + 3 w przedziale ? −2, 1 ? ?

a) 7

b) 3

c) 2

d) 1

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.2Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = (x − 3)(x + 5) w przedziale ? −3, 0 ? ?

a) – 12

b) – 15


212

c) −16

d) – 35

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.3Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = (2 − x)(x + 4) w przedziale ? −2, 1 ? jest równa

a) 9

b) 8

c) 7

d) 5

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.4Największa wartość funkcji kwadratowej f(x) = − x2 + 8x − 3 w przedziale ? −5, − 2 ? jest rów-

na

a) – 3

b) – 18

c) – 23

d) – 51

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.5Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2 − 4x + c w przedziale ? 0, 3 ? jest równa 1.

Wtedy

a) c = 5

b) c = 3

c) c = 1

d) c = − 12

(Pokaż odpowiedź)


213

Poziom trudności: AZadanie 2.8.6Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f.

Na podstawie tego wykresu ustal i zapisz wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji

f w podanym przedziale.

(Pokaż odpowiedź)

? −1, 1 ?a)

? 0, 3 ?b)

? 4, 5 ?c)


214

Poziom trudności: AZadanie 2.8.7Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f.

Na podstawie tego wykresu ustal i zapisz wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji

f w podanym przedziale.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = (x + 1)2

− 5 w po-

danym przedziale.

(Pokaż odpowiedź)

? −6, − 4 ?a)

? −5, − 2 ?b)

? −1, 0 ?c)

? −4, − 2 ?a)

? −3, 0 ?b)

? 2, 5 ?c)


215


Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = − 2(x − 3)2

+ 1 w

podanym przedziale.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = x2 − 10x + 7 w

podanym przedziale.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = − x2 − 2x + 5 w

podanym przedziale.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = (x + 2)(x − 5) w przedziale ? −1, 0 ? .

(Pokaż odpowiedź)

? −1, 0 ?a)

? 1, 4 ?b)

? 5, 6 ?c)

? −1, 3 ?a)

? 4, 6 ?b)

? 7, 10 ?c)

? −5, − 3 ?a)

? −2, 0 ?b)

? 1, 4 ?c)


216


Oblicz największą wartość funkcji kwadratowej f(x) = (x + 1)(3 − x) w przedziale ? 0, 4 ? .

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = (2x − 1)(x + 3) w

przedziale ? −3, 1 ? .

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x) = (x + 2)(5 − 2x) w

przedziale ? −1, 0 ? .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.16Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie x z przedziału ? −2, 3 ? sumę tej liczby i jej kwadra-

tu. Wyznacz wzór funkcji f oraz oblicz:

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.17Ustal, jaka jest możliwie najmniejsza suma kwadratów dwóch liczb, o których wiadomo, że su-

ma pierwszej z nich i podwojonej drugiej jest równa 5.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.18Jaki jest największy iloczyn dwóch liczb, o których wiadomo, że suma podwojonej pierwszej

z nich i siedmiokrotności drugiej jest równa 56. Jakie to liczby?

(Pokaż odpowiedź)

jej wartość najmniejszą w przedziale ? −2, 3 ?a)

jej wartość największą w przedziale ? −2, 3 ?b)


217

Poziom trudności: AZadanie 2.8.19Wśród wszystkich prostopadłościanów o podstawie kwadratowej, w których suma długości

wszystkich krawędzi jest równa 12, jest taki, który ma największe pole powierzchni całkowitej.

Oblicz długość krawędzi podstawy tego prostopadłościanu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.20Siatką o długości 98 m mamy ogrodzić działkę w kształcie prostokąta. Na ogrodzonym terenie

przy jednym boku od strony siatki przewidujemy ścieżkę o szerokości 1 m, pozostałą część

ma zajmować klomb kwiatowy. Jak dobrać wymiary działki, aby klomb kwiatowy zajmował po-

wierzchnię największą z możliwych? Oblicz tę największą powierzchnię.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.21Właściciel sklepu spożywczego zamawia chleb w piekarni, płacąc 1,30 zł za kilogramowy boche-

nek. Kiedy ustalił cenę sprzedaży chleba na 2 zł, sprzedawał dziennie 60 bochenków. Zauważył

jednak, że każda obniżka ceny o 5 gr zwiększa liczbę sprzedanych bochenków o 10. Jaką cenę

za jeden bochenek powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego dzienny zysk ze sprzedaży chle-

ba był największy?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.22Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 10, to ab ≤ 25.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 2a + b = 6, to ab ≤ 92 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.8.24Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 3a + 5b = 30, to ab ≤ 15.

(Pokaż odpowiedź)


218


Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 8, to a2 + b2 ≥ 32.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + 3b = 20, to a2 + b2 ≥ 40.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 5a + 2b = 58, to a2 + b2 ≥ 116.

(Pokaż odpowiedź)


219

2.9. Zastosowania funkcji kwadratowej

2.9.1. Zadania wstępne

Pokażemy teraz kilka przykładowych zadań tekstowych, w których interpretacja danych zapisa-

nych w ich treści doprowadzi do równania kwadratowego.

Przykład 1.W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli

wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok

mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat?


Odpowiedź: Jubilat urodził się w 2001 roku.

Przykład 2.Liczba wszystkich przekątnych pewnego wielokąta foremnego jest równa 135. Ile boków ma

ten wielokąt?

Oznaczmy liczbę boków wielokąta przez n. Wówczas liczba jego przekątnych jest równan(n − 3)

2 .

Otrzymujemy równanie

n(n − 3)2 = 135.

Zastosowania funkcji kwadratowej

220

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTtrwRYti3#iTtrwRYti3_d53d4e945WOMI

Stąd

n2 − 3n = 135 ? 2

n2 − 3n − 270 = 0.

Obliczamy wyróżnik

Δ = (−3)2

− 4 ? 1 ? (−270) = 1089 = 332

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są n1 =3 + 33

2 = 18 oraz n2 =3 − 33

2 = − 15

.

Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba boków nie może być ujemna. Zatem ten wielokąt

jest osiemnastokątem.

Odpowiedź: Ten wielokąt ma osiemnaście boków.

Przykład 3.Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe 280. Kra-

wędź podstawy jest o 3 krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz objętość V tego prostopadłościa-

nu.

Oznaczmy przez x długość krawędzi podstawy prostopadłościanu. Wtedy długość jego kra-

wędzi bocznej jest równa x + 3, a pole powierzchni bocznej jest równe 4 ? x ? (x + 3). Otrzy-

mujemy równanie

4x(x + 3) = 280.

Stąd

x(x + 3) = 70

x2 + 3x = 70

x2 + 3x − 70 = 0.

Obliczamy wyróżnik

Δ = 32 − 4 ? 1 ? (−70) = 289 = 172.

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są

x1 =−3 + 17

2 = 7 oraz x2 =−3 − 17

2 = − 10.

Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania, co oznacza, że jest to prostopadłościan o wy-

miarach 7, 7 i 10, a więc jego objętość V jest równa 490.

Odpowiedź: V = 490.

Zadania wstępne

221

Przykład 4.


Przykład 5.Geodeta wytyczył teren pod dwie prostokątne działki. Pierwsza działka ma powierzchnię

5600 m2. Druga działka ma długość o 20 m większą i szerokość o 5 m większą niż pierwsza

oraz powierzchnię większą o 1900 m2. Obliczymy wymiary obu działek.

Wprowadzamy oznaczenia:

x – długość pierwszej działki (w metrach),

y – szerokość pierwszej działki (w metrach).

Ponieważ jej powierzchnia jest równa 5600 m2, więc xy = 5600.

Wtedy druga działka ma wymiary:

długość: (x + 20) m oraz szerokość: (y + 5) m,

a skoro jej pole jest równe (5600 + 1900) m2, więc

(x + 20)(y + 5) = 7500

Uwzględniamy w tym równaniu zależność xy = 5600 i przekształcamy je do postaci

x = 360 − 4y.

Stąd

(360 − 4y)y = 5600

Zadania wstępne

222

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTtrwRYti3#iTtrwRYti3_d1810d4e4200WOMI

−4y2 + 360y = 5600

y2 − 90y + 1400 = 0.

Obliczamy wyróżnik:

Δ = (−90)2

− 4 ? 1 ? 1400 = 2500 = 502.

Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są y1 =90 + 50

2 = 70 oraz y2 =90 − 50

2 = 20.

Zatem możliwe są dwa przypadki:

pierwsza działka ma wymiary 80 m i 70 m i wtedy druga ma wymiary 100 m i 75 m lub

pierwsza działka ma wymiary 280 m i 20 m i wtedy druga ma wymiary 300 m i 25 m.

Odpowiedź: Możliwe są dwa rozwiązania: pierwsza działka ma wymiary 80 m i 70 m, druga –

100 m i 75 m lub pierwsza działka ma wymiary 280 m i 20 m, druga – 300 m i 25 m.

Zadania wstępne

223

2.9.2. Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych –prędkość, droga, czas

W kolejnych przykładach zadań tekstowych interpretujemy średnią wartość prędkości jako długo-

ść drogi pokonanej w jednostce czasu.Przypomnijmy na wstępie, jak należy rozumieć tego typu

zależności.

Przykład 1.


Rozwiążemy teraz trzy przykładowe zadania dotyczące zagadnień związanych z drogą oraz pręd-

kością i czasem.

Przykład 2.Pociąg towarowy miał przebyć pewną drogę w czasie 21 godzin. W połowie drogi pociąg nie-

spodziewanie zatrzymano na pół godziny. Aby uniknąć spóźnienia, pozostałą część trasy po-

ciąg przebył ze średnią prędkością o 2 km/h większą niż planowana. Jaka była długość tej

drogi i planowana prędkość pociągu?

Oznaczmy planowaną prędkość pociągu przez x (w km / h). Zatem przez pierwsze 10,5 godzi-

ny jazdy pociąg pokonał połowę drogi, czyli (10,5 ? x) km. Po nieplanowanym postoju jechał

jeszcze przez 10 godzin z prędkością (x + 2) km / h, pokonując wtedy drugą połowę drogi, czy-

li 10(x + 2) km.

Wówczas10,5 ? x = 10(x + 2), a stąd x = 40. Oznacza to, że pociąg przejechał 840 km, a plano-

wana średnia prędkość jazdy to 40 km / h.

Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas

224

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iMiy9p13AX#iMiy9p13AX_d455d4e1600WOMI

Przykład 3.Pewien rowerzysta przebył zaplanowaną trasę o długości 200 km, pokonując w ciągu każdej

godziny jazdy tę samą liczbę kilometrów. Gdyby rowerzysta mógł przeznaczyć na tę wyprawę

o 2 godziny więcej, to w ciągu każdej godziny mógłby przejeżdżać o 5 km mniej. Obliczymy, z

jaką średnią prędkością jechał ten rowerzysta.


x – czas (w godzinach) jazdy rowerzysty na trasie 200 km,

y – wartość średniej prędkości (w km / h), z jaką jechał.

Wtedy

xy = 200.

Gdyby rowerzysta jechał przez (x + 2) godziny, to jego średnia prędkość na trasie 200 km by-

łaby równa (y − 5 )km / h.

Zatem

(x + 2)(y − 5) = 200.


y =5x + 10

2 .

Stąd

5x + 102 ? x = 200

5x2 + 10x = 400

x2 + 2x − 80 = 0.

Obliczamy wyróżnik Δ = 22 − 4 ? 1 ? (−80) = 324 = 182. Równanie ma więc dwa rozwiązania,

którymi są x1 =−2 + 18

2 = 8, x2 =−2 − 18

2 = − 10.

Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż czas nie może być ujemny.

Zatem rowerzysta przejechał trasę 200 km w czasie 8 godzin, co oznacza, że jechał ze średnią

prędkością 25 km / h.

Odpowiedź: 25 km / h

Przykład 4.Miasta A i B są oddalone o 400 km. Pan Stanisław pokonał tę trasę samochodem w czasie o

75 minut krótszym niż pan Zenon. Wartość średniej prędkości, z jaką jechał pan Stanisław na

całej trasie była o 16 km / h większa od wartości średniej prędkości, z jaką jechał pan Zenon.

Oblicz średnie wartości:


225


x – czas jazdy pana Zenona,

y – wartość średniej prędkości (w km / h), z jaką jechał pan Zenon.

Wtedy

xy = 400.

Pan Stanisław przebył drogę z A do B w czasie (x − 7560 ) godziny, a średnia wartość jego pręd-

kości była równa (y + 16) km / h.

Zatem

(x − 7560 )(y + 16) = 400.


− 54y + 16x − 20 = 0.

Stąd

y =645 x − 16

co oznacza, że

(645 x − 16) ? x = 400

645 x2 − 16x − 400 = 0

4x2 − 5x − 125 = 0

Obliczamy wyróżnik Δ = (−5)2

− 4 ? 4 ? (−125) = 2025 = 452.

Równanie ma więc dwa rozwiązania x1 =5 + 45

8 =254 , x2 =

5 − 458 = − 5.

Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż czas nie może być ujemny.

Zatem pan Zenon przejechał trasę 400 km w czasie 6 godzin 15 minut, co oznacza, że jechał

ze średnią prędkością 64 km / h. Wtedy średnia wartość prędkości, z jaką jechał pan Stani-

sław była równa 80 km / h.

Odpowiedź: Średnia wartość prędkości, z jaką pan Stanisław jechał z A do B: 80 km / h, śred-

nia wartość prędkości, z jaką pan Zenon jechał z A do B: 64 km / h.

prędkości, z jaką pan Stanisław jechał z A do B,a)

prędkości, z jaką pan Zenon jechał z A do B.b)


226

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.1Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest równa 685. Co to za liczby?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.2Liczba wszystkich odcinków, łączących każde dwa wierzchołki pewnego wielokąta foremnego

jest równa 210. Ile boków ma ten wielokąt?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.3Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe 272. Kra-

wędź boczna jest o 1 krótsza od obwodu podstawy. Oblicz pole P powierzchni bocznej tego

prostopadłościanu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.4Za pewną liczbę takich samych teczek na dokumenty sekretarka zapłaciła w hurtowni 435 zł.

Gdyby cena jednej teczki była o 5 groszy niższa, to za tę samą kwotę można byłoby kupić o 10

teczek więcej. Oblicz cenę jednej teczki.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.5Automat pracujący ze stałą wydajnością wyprodukował 7200 kopert. Gdyby ten automat pro-

dukował o 8 kopert na minutę więcej, to na wykonanie tej liczby kopert potrzebowałby o pół

godziny mniej. Oblicz, w ciągu jakiego czasu automat wyprodukował koperty.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.6Pan Jan przebył w pewnym czasie drogę długości 240 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o

12 km / h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 1 godzinę. Z jaką prędkością jechał pan Jan?

(Pokaż odpowiedź)


227

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.7Pan Jan przebył w pewnym czasie drogę długości 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o

10 km / h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 42 minuty. Z jaką średnią prędkością jechał

pan Jan?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.8Rowerzysta przebył w pewnym czasie drogę długości 72 km. Gdyby jechał ze średnią prędko-

ścią o 6 km / h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 36 minut. Jaka była średnia prędkość

rowerzysty?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.9Rowerzysta miał przebyć 120 km, jadąc z ustaloną średnią prędkością. W połowie drogi, którą

pokonał, jadąc zgodnie z planem, zatrzymał się, aby porozmawiać ze spotkanym znajomym. Po

tej przerwie kontynuował jazdę, ale żeby uniknąć spóźnienia, pozostałą część trasy przebył ze

średnią prędkością o 6 km / h większą niż zaplanowana. Okazało się, że łączny czas jazdy rowe-

rzysty (nie licząc postoju) to 4 godziny i 30 minut. Z jaką średnią prędkością rowerzysta plano-

wał przejechać 120 km?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 2.9.2.10W miasteczku są dwa place zabaw w kształcie prostokątów. Przekątna każdego z tych prosto-

kątów jest równa 85 m. Pierwszy plac ma długość o 7 m większą niż drugi, ale szerokość o 11 m

mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych placów.

(Pokaż odpowiedź)


228

Rozdział 3. Wielomiany. Funkcjewymierne

3.1. Pierwiastki równańW tym rozdziale zajmiemy się funkcjami, zwanymi wielomianami. Znasz już przykłady takich funk-

cji. Każda funkcja liniowa f(x) = ax + b i każda funkcja kwadratowa g(x) = ax2 + bx + c jest wielomia-

nem. Innymi przykładami wielomianów są funkcje

W(x) = x3 − 2x, V(x) = 2x7 − 3x2 + 3, R(x) = 10x5.

Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej x stopnia n (n − liczba naturalna dodatnia) nazywamy funk-

cję określoną wzorem

W(x) = anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0

gdzie x ? R, an ≠ 0 oraz an − 1, an − 2, … , a1, a0 są liczbami rzeczywistymi. Liczby

an, an − 1, an − 2, … , a1, a0nazywamy współczynnikami wielomianu.

• Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała W(x) = a0 , gdzie a0 ≠ 0, jest wie-

lomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową W(x) = 0 nazywamy

wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.

• Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa f(x) = ax + b jest wielomianem stopnia

pierwszego, gdy a ≠ 0, a funkcja kwadratowa

g(x) = ax2 + bx + c

jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście a ≠ 0, gdyż inaczej nie byłaby to

funkcja kwadratowa.

Przykład 1.• Funkcja określona wzorem W(x) = 2x7+x2 − 3x jest wielomianem stopnia 7. Współczyn-

niki tego wielomianu są równe odpowiednio a7 = 2, bo taka liczba stoi przy x7,

a6 = a5 = a4 = a3 = 0, bo te potęgi x nie występują we wzorze funkcji, a2 = 1, a1 = − 3

oraz a0 = 0, gdyż wyraz wolny nie występuje we wzorze funkcji. Wzór tej funkcji mogli-

byśmy zapisać w postaci

W(x) = 2x7+0 ∙ x6 + 0 ∙ x5 + 0 ∙ x4 + 0 ∙ x3 + x2

− 3x + 0.

Wielomiany. Funkcje wymierne

229

• Funkcja P(x) = √5x + 5x3 + 7x2 jest wielomianem stopnia 3, choć wielomian ten nie zo-

stał zapisany w postaci uporządkowanej, jaką byłaby postać

P(x) = 5x3 + 7x2 + √5x.

• Funkcja V(x) = 5x3 + 7x2 + √5x nie jest wielomianem, ponieważ we wzorze tej funkcji wy-

stępuje √5x, czyli √5 ? x12 , a więc zmienna x nie występuje tu w potędze o wykładniku

naturalnym.

• Funkcja Q(x) =2x + 3x2 nie jest wielomianem, gdyż

1x = x−1 nie jest naturalną potęgą

zmiennej x.

• Funkcja R(x) = 5 jest wielomianem stopnia zerowego.

Przykład 2.Przyjrzyj się wykresom niektórych funkcji wielomianowych.


Przykład 3.Wielomian jest funkcją zmiennej x. Możemy obliczyć jego wartość dla danego argumentu x.

Obliczmy na przykład wartość wielomianu W(x) = x3 − 2x dla x = − 2 oraz dla x = − √2.

• W miejsce x podstawiamy liczbę −2 i otrzymujemy

W(−2) = (−2)3

− 2 ∙ (−2) = − 8 + 4 = − 4

• W miejsce x podstawiamy liczbę −√2 i otrzymujemy

Pierwiastki równań

230

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iV1ROpe61v#iV1ROpe61v_1460324567055_0

W(−√2) = (−√2)3

− 2 ∙ (−√2) = − 2√2 + 2√2 = 0

Zauważmy, że W(−√2) = 0, zatem liczba x = √2 jest miejscem zerowym wielomianu

W(x) = x3 − 2x. Miejsce zerowe wielomianu nazywamy często, podobnie jak miejsce zerowe

funkcji kwadratowej, pierwiastkiem tego wielomianu.

Na wielomianach możemy wykonywać różne działania, między innymi możemy je dodawać, odej-

mować i mnożyć. Działania na wielomianach wykonujemy podobnie jak działania na wyrażeniach

algebraicznych.

Przykład 4.Dodamy wielomiany V(x) = 2x3 − 3x2 + 3 oraz P(x) = − 2x2 + x − 7.

Suma tych wielomianów jest równa

V(x) + P(x) = (2x3 − 3x2 + 3) + (−2x2 + x − 7)

Wyrazy podobne to takie składniki sumy, w których x występuje w tej samej potędze. W roz-

ważanej sumie występują dwie pary wyrazów podobnych

V(x) + P(x) = 2x3 − 3x2 + 3 − 2x2 + x − 7

Wyrazy podobne redukujemy, a więc

−3x2 − 2x2 = − 5x2

oraz

+3 − 7 = − 4

Ostatecznie otrzymujemy

V(x) + P(x) = 2x3 − 5x2 + x − 4

Zatem sumą wielomianów V(x) i P(x) jest również wielomian.

Przykład 5.Odejmijmy wielomiany V(x) = 2x3 − 3x2 + 3 i P(x) = − 2x2 + x − 7.

Różnica wielomianów V(x) i P(x) jest równa

V(x) − P(x) = (2x3 − 3x2 + 3) − (−2x2 + x − 7)

Zapiszmy tę różnicę bez użycia nawiasów, pamiętając, że znak minus przed drugim nawia-

sem powoduje, że opuszczając go, zmieniamy znaki wszystkich składników sumy w tym na-

wiasie na przeciwne.


231

V(x) − P(x) = 2x3 − 3x2 + 3 + 2x2 − x + 7

Następnie, tak jak przy dodawaniu, wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Otrzymuje-

my

V(x) − P(x) = 2x3 − 3x2 + 3 + 2x2 − x + 7 = 2x3 − x2 − x + 10

Zatem różnica dwóch wielomianów też jest wielomianem.

Przykład 6.Pomnożymy wielomiany W(x) = x3 − 2x oraz Q(x) = 3x − 5.

Ich iloczyn jest równy

W(x) ∙ Q(x) = (x3 − 2x ) ? (3x − 5)

Mnożymy każdy wyraz sumy z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz sumy z drugiego na-

wiasu

x3 ∙ 3x + x3 ∙ (−5) − 2x ∙ 3x − 2x ∙ (−5)

Po uporządkowaniu wyrażenia, otrzymujemy

W(x) ∙ Q(x) = 3x4 − 5x3 − 6x2 + 10x

Zatem iloczyn dwóch wielomianów też jest wielomianem.

Przykład 7.Wykonamy działania

(x2 − 3)2

− 2x(x3 − 2x + 4) = (x2)2

− 2 ? x2 ? 3 + 32 − 2x ? x3 − 2x ? (−2x) − 2x ? 4 =

x4 − 6x2 + 9 − 2x4 + 4x2 − 8x

Wykonamy redukcję wyrazów podobnych.

x4 − 6x2 + 9 − 2x4 + 4x2 − 8x = − x4 − 2x2 − 8x + 9


232

Przykład 8.Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi liczbami całkowitymi. Jakim wzorem wy-

razi się pole powierzchni i objętość tego prostopadłościanu w zależności od długości najkrót-

szej krawędzi prostopadłościanu?Oznaczmy przez x długość najkrótszej krawędzi prostopa-

dłościanu. Wtedy pozostałe dwie krawędzie są równe x + 1 oraz x + 2, gdzie x jest liczbą na-

turalną dodatnią.

Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami. Zatem pole Pc po-

wierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe

Pc = 2x(x + 1) + 2x(x + 2) + 2(x + 1)(x + 2) = 2x2 + 2x + 2x2 + 4x + 2(x2 + x + 2x + 2) = 4x2 + 6x + 2x2 + 2x + 4x + 4 = 6x2 + 12x + 4

Objętość v tego prostopadłościanu jest równa

v = x(x + 1)(x + 2) = (x2 + x)(x + 2) = x3 + x2 + 2x2 + 2x = x3 + 3x2 + 2x

Przykład 9.Wyznacz wszystkie wartości a, dla których wartość wielomianu

W(x) = ax3 + (1 − a2)x2 + 5ax + 3a + 3

dla argumentu 2 jest równa 3.

Chcemy wyznaczyć wszystkie te wartości parametru a, dla których W(2) = 3. Podstawiamy

więc 2 w miejsce x i otrzymujemy

a ? 23 + (1 − a2) ? 22 + 5a ? 2 − 3a + 3 = 3

Przekształcając to równanie do postaci

8a + 4 − 4a2 + 10a − 3a = 0

a następnie porządkując je, otrzymujemy równanie kwadratowe

−4a2 + 15a + 4 = 0


233

dla którego ∆ = 289. Równanie to ma więc dwa rozwiązania a1 =−15 − 17

−8 = 4 oraz

a2 =−15 + 17

−8 = − 14 .


W(x) = x3 + x2 + x + 1 oraz V(x) = − x2 + 3x − 1. Wtedy wielomian W(x) − V(x) jest równy

a) x3 − 2x2 − 2x − 2

b) x3 + 4x

c) x3 + 2x2 − 2x + 2

d) 3x3 − 2x + 2

(Pokaż odpowiedź)


Wartość wielomianu W(x) = (x4 − 9)(x + 3) dla argumentu √3 jest równa

a) −18√3

b) 6(√3 + 3)

c) −6(√3 + 3)

d) 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.3Który z podanych wielomianów dla argumentu x = − 2 przyjmuje wartość 0 ?

a) W(x) = − 2x3 + 4x2

b) W(x) = x4 + 2x3

c) W(x) = 2x4 + x3 − 2x

d) W(x) = x3 − 2x2

(Pokaż odpowiedź)


234

Poziom trudności: AZadanie 3.1.4Wielomian W(x) = 2x4 − ax3 + x2 − a dla argumentu −2 przyjmuje wartość −1. Wtedy

a) a = − 2

b) a = 2,5

c) a = 3

d) a = − 377

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.5Dla wielomianu W(x) = x4 − 2x2 + 7

a) W(100) = W( − 100)

b) W(1) > W( − 3)c) W(0) > 7

d) W(2) > W( − 2)(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.6Wybierz wielomian, który przyjmuje tylko wartości ujemne.

a) W(x) = − x5 + 1

b) W(x) = − x4

− x2 − 2

c) W(x) = − x5 − x3

d) W(x) = x2 − x4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.7Wielomian W(x) = 2x3 − 4x2 + 5 jest sumą wielomianu P(x) = x4 + 4x2 + 5 oraz wielomianu Q(x).Wtedy


235

a) Q(x) = − x4 + 2x3

b) Q(x) = x4 + 2x3 + 10

c) Q(x) = − x4 + 2x3 − 8x2

d) Q(x) = x4 − 8x2

(Pokaż odpowiedź)


Wielomian W(x) = (2 − 3x)(2 + 3x)(4 + 9x2) jest równy

a) (4 − 9x2)2

b) (4 + 9x2)2

c) 16 + 81x4

d) 16 − 81x4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.1.9Dane są wielomiany W(x) = 3x7 + 4x3 − 2x5 oraz V(x) = 2x7 − 2x5 − x3. Wtedy

a) W(x) − V(x) = x7 + 5x3

b) W(x) + V(x) = 5x7 + 2x3 − 3x5

c) W(x) + V(x) = 5x7 + 2x3 − 3x5

(Pokaż odpowiedź)



236

a) Funkcja V(x) = 2x + 7 jest wielomianem stopnia 2.

b) Funkcja P(x) = 7x jest wielomianem stopnia 1.

c) Funkcja W(x) = √7x3 + 2x − 9 jest wielomianem stopnia 9.

(Pokaż odpowiedź)


Wykonaj działanie W(x) ? V(x), gdy W(x) = − 4x5 + 2x4 + x3 oraz V(x) = x2 − 2x.

(Pokaż odpowiedź)


Dane są wielomiany P(x) = − 3x3 − 3x2 + 7 oraz Q(x) = 2x3 + 3x2. Oblicz.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz wartość wielomianu W(x) − 3V(x) + 2P(x) dla x = − 1, gdy W(x) = 3x5 − x4 + 6x2

V(x) = x5 + x4 + 2x P(x) = 3x4 − 3x + 7

(Pokaż odpowiedź)


Znajdź wielomian W(x) = V(x) ? P(x) − 2Q(x) i określ jego stopień, jeżeli V(x) = 2x − 3, P(x) = x2 + 3

, Q(x) = x3 − 3x2 − 7.

(Pokaż odpowiedź)

P(x) + Q(x)a)

P(x) − Q(x)b)

2P(x) − 3Q(x)c)

P(x) ? Q(x)d)


237


Sprawdź, które z liczb a = 0, b = 7, c = 4 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 − 7x2.

(Pokaż odpowiedź)


Dla jakiej wartości a wartość wielomianu W(x) = x5 − 5x3 + (a2 − 1)x − 7 dla argumentu x = 2 jest

równa 1.

(Pokaż odpowiedź)


Dla jakiej wartości a wielomian W(x) = ax3 − (5 − a)x2 − a2x przyjmuje dla argumentu −1 taką sa-

mą wartość jak wielomian P(x) = 5x4 + 7x?

(Pokaż odpowiedź)


Udowodnij, że wielomiany P(x) = (x2 − 9)(x2 − 16) oraz Q(x) = (x2 − x − 12)(x2 + x − 12) przyjmują

taką samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

(Pokaż odpowiedź)


Udowodnij, że dla dowolnego x wartość wielomianu W(x) = − x4 + 10x2 − 25 jest liczbą niedo-

datnią.

(Pokaż odpowiedź)


Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x takiej, że | x | ≠ √3 wartość wielomianu

W(x) = − x4 + 6x2 − 9 jest liczbą ujemną.

(Pokaż odpowiedź)


238

3.2. Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynuPoszukiwanie miejsc zerowych funkcji W sprowadza się najczęściej do rozwiązania równania

W(x) = 0. Do tej pory rozwiązywaliśmy takie równania, w których W(x) był wielomianem stopnia

pierwszego − wtedy otrzymywaliśmy równanie liniowe. Jeżeli W(x) był wielomianem stopnia dru-

giego, otrzymywaliśmy równanie kwadratowe. Teraz dowiesz się, jak rozwiązywać niektóre z rów-

nań, w których występuje wielomian stopnia wyższego niż dwa. Nie jest to zadanie łatwe. Dla do-

wolnych wielomianów stopnia piątego lub wyższego takie metody w ogóle nie istnieją. Pokażemy

więc, jak możesz sobie poradzić w pewnych szczególnych przypadkach.

Przykład 1.Rozwiążemy równania:

• x3 + 64 = 0

Odejmujemy od obu stron równania liczbę 64 i otrzymujemy równanie x3 = − 64. Jedyną licz-

bą spełniającą to równanie jest x =3√−64 = − 4.

• 2x4 − 162 = 0

2x4 = 162

x4 = 81

Jedyną dodatnią liczbą, która spełnia to równanie, jest x =4√81 = 3, co wynika z definicji pier-

wiastka. Zauważmy, że jeżeli wykładnik k potęgi xk jest parzysty, to xk = (−x)k, co oznacza, że

jeśli liczba 3 jest rozwiązaniem równania x4 = 81, to również liczba −3 jest rozwiązaniem tego

równania, bo (−3)4

= 34 = 81. Równanie ma zatem dwa rozwiązania x = 3 oraz x = − 3.

• x6 + 64 = 0.

Zauważmy, że to równanie jest sprzeczne, gdyż lewa strona tego równania jest sumą

nieujemnej liczby x6 oraz 64. Jest więc nie mniejsza niż 64 dla dowolnej liczby x. Nie mo-

że więc równać się 0.

Twierdzenie: Rozwiązanie równania xn = a

Dla liczby naturalnej dodatniej n, większej od 1, oraz liczby rzeczywistej a ≠ 0 równanie xn = a

ma

• jedno rozwiązanie równe x =n√a, gdy n jest liczbą nieparzystą,

• dwa rozwiązania równe x =n√a oraz x = − n√a, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą

dodatnią,

Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu

239

• zero rozwiązań, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą ujemną.

Przykład 2.Udowodnij, że równanie −x4 − x2 − 5 = 0 jest równaniem sprzecznym.

Zauważmy, że lewa strona równania jest sumą niedodatniej liczby −x4, niedodatniej liczby

−x2 oraz ujemnej liczby −5, więc jest liczbą ujemną. Nie może więc być równa 0.

Przejdziemy teraz do rozwiązywania równań, których jedna ze stron jest iloczynem wielomia-

nów, a druga strona jest równa 0. Będziemy tu korzystać z faktu, że iloczyn jest równy 0 wte-

dy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy 0.

Przykład 3.Rozwiążemy równania

• x(x − 4)(x + 2) = 0

Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Jeśli iloczyn ten równa się zero, to co

najmniej jeden z czynników jest równy zero, czyli x = 0 lub x − 4 = 0 lub x + 2 = 0. Stąd wynika,

że równanie ma trzy rozwiązania x1 = 0, x2 = 4 oraz x3 = − 2.

• (x2 − 16)(2x2 + 9x − 5)(x4 + 4) = 0

W tym równaniu także lewa strona jest iloczynem trzech czynników, a prawa strona jest rów-

na zero. Tak jak poprzednio wnioskujemy, że co najmniej jeden z czynników musi być rów-

ny zero, czyli x2 − 16 = 0 lub 2x2 + 9x − 5 = 0 lub x4 + 4 = 0. Rozwiązujemy kolejno otrzymane

równania.

x2 − 16 = 0 przekształcamy równoważnie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, do

równania

(x − 4)(x + 4) = 0

Stąd x − 4 = 0 lub x + 4 = 0. Otrzymujemy więc dwa rozwiązania x1 = 4 oraz x2 = − 4.

2x2 + 9x − 5 = 0

jest równaniem kwadratowym, którego ∆ = 121. Równanie to ma więc dwa rozwiązania

x1 =−9 − 11

4 = − 5

oraz

x2 =−9 + 11

4 =12

x4 + 4 = 0


240

zgodnie z podanym wcześniej twierdzeniem, nie ma rozwiązań.

Zatem rozpatrywane równanie ma cztery rozwiązania x1 = 4 , x2 = − 4, x3 = − 5 oraz x4 =12 .

Teraz pokażemy, jak niektóre równania doprowadzić do takiej postaci, jaką miały równania oma-

wiane w poprzednim przykładzie.

Przykład 4.Rozwiążemy równanie x3 + x2 − 6x = 0.

Wyłączając x przed nawias, otrzymujemy równanie

x(x2 + x − 6) = 0,

którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Zatem co naj-

mniej jeden z tych czynników jest równy zero, czyli x = 0 lub x2 + x − 6 = 0. Rozwiązujemy dru-

gie równanie.

∆ = 12 − 4 ? (−6) = 25

Ponieważ ∆ > 0, więc równanie to ma dwa rozwiązania x1 =−1 − 5

2 = − 3 oraz x2 =−1 + 5

2 = 2.

Rozwiązywane równanie ma więc trzy rozwiązania x1 = 0, x2 = − 3 oraz x3 = 2.

Przykład 5.Rozwiążemy równanie

x4 − 8x2 + 16 = 0

Zauważmy, że lewą stronę możemy zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, w

następujący sposób

(x2 − 4)2

= 0

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, otrzymujemy kolejno

[[x − 2][x + 2]]2

= 0

(x − 2)2(x + 2)

2= 0

Stąd wnioskujemy, że (x − 2)2

= 0 lub (x + 2)2

= 0, czyli x − 2 = 0 lub x + 2 = 0. Zatem x = 2 lub

x = − 2.


241


x4 − x3 − 8x + 8 = 0

Żeby rozwiązać to równanie, pogrupujemy wyrazy. W tym celu wyłączmy przed nawias x3 z

dwóch pierwszych wyrazów oraz −8 z dwóch ostatnich. W ten sposób otrzymamy równanie

równoważne

x3(x − 1) − 8(x − 1) = 0,

w którym lewa strona jest różnicą dwóch iloczynów. W każdym z tych iloczynów występuje

wspólny czynnik (x − 1). Gdy wyłączymy go przed nawias, otrzymamy równanie

(x − 1)(x3 − 8) = 0

W ten sposób otrzymaliśmy równanie, którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników,

a prawa jest równa zero. Stąd otrzymujemy x1 − 1 = 0 lub x3 − 8 = 0. Pierwsze równanie speł-

nia jedynie liczba x = 1. Drugie równanie przekształcimy do postaci x3 = 8. Jedyną liczbą, któ-

ra spełnia to równanie, jest x2 =3√8 = 2. Ostatecznie otrzymaliśmy dwa rozwiązania x1 = 1

oraz x2 = 2 rozwiązywanego równania.




Dane są wielomiany W(x) = (x − 3)(x + 1), V(x) = (x − 3)(x − 1). Wtedy równanie W(x) ? V(x) = 0 ma

a) 4 rozwiązania

b) 3 rozwiązania

c) 2 rozwiązania

d) 1 rozwiązanie

(Pokaż odpowiedź)


242

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iJ9nWPn9aj#iJ9nWPn9aj_d5e296WOMI

Poziom trudności: AZadanie 3.2.6Liczby x1, x2, x3 są rozwiązaniami równania (x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0. Jeżeli x1 < x2 < x3, to

a) 2x1 + x2 = − 4

b) x1 ? x2 < x3

c) x1 = x2 + x3

d) x3 = x1 + x2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.7Wybierz równanie, które ma dwa różne rozwiązania całkowite.

a) (x2 − 2)(x2 − 3) = 0

b) x(x2 − 4) = 0

c) x4 − 2 = 0

d) x(x − 3)(2x + 1) = 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.8Liczby −1 i 3 są jedynymi rozwiązaniami równania

a) (x2 − 2x + 1)(x − 3)2

= 0

b) (x2 − 2x − 3)(x − 3) = 0

c) 2x(x2 − 2x − 3) = 0

d) 5(x − 1)(x + 3) = 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.9Równanie x5 − 9 = 9x3 − x2 ma dokładnie


243

a) cztery rozwiązania x1 = − 3, x2 = − 1, x3 = 1, x4 = 3

b) jedno rozwiązanie x = 1

c) trzy rozwiązania x = − 3, x = − 1, x = 3

d) dwa rozwiązania x = 1, x = 9

(Pokaż odpowiedź)


Wielomian W(x) = x(x − 1)(x − 3) − (3 − x) można zapisać w postaci

a) W(x) = (x − 3)(x2 − x + 1)b) W(x) = (3 − x)(x − 1)

2

c) W(x) = (x − 3)(x2 − x − 1)d) W(x) = x(x − 1)(x − 3)(3 − x)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.11Równanie 3x4 − x2 = 0 można zapisać w postaci równoważnej

a) x2(3x − 1)2

= 0

b) x(√3x − 1)(√3x + 1) = 0

c) (√3x − 1)(√3x + 1)x2 = 0

d) x2(3x − 1)(3x + 1) = 0

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.2.12Równanie −4x4 − 6x3 + 18x2 = 0 można zapisać w postaci równoważnej

a) −2x2(2x − 3)(x − 3) = 0


244

b) −2x2(2x − 3)(x + 3) = 0

c) 2x2(2x + 3)(x − 3) = 0

d) 2x2(2x − 3)(x + 3) = 0

(Pokaż odpowiedź)


Liczba wszystkich rozwiązań równania x2(2x2 − 7)(x2 + 16) = 0 jest równa

a) pięć

b) cztery

c) trzy

d) dwa

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


2x3 − 432 = 0a)

5x3

2 + 160 = 0b)

3x4 − 48 = 0a)

x6 − 27 = 0b)

5x8 + 20 = 0c)


245

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz taką wartość m, dla której równanie (x − 3)(3x + m) = 0 ma tylko jedno rozwiązanie.

(Pokaż odpowiedź)


Ile rozwiązań ma równanie (x4 − 16)(x2 + 3x − 10) = 0?

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)

7x2(x + 3)2(3x − 1) = 0a)

(4x2 + 4x + 1)(x2 + 10) = 0b)

(16x2 − 9)(25x4 − 1) = 0c)

x4 − 8x3 + 16x2 = 0a)

2x3 − x2 − x = 0b)

x4 − 5x3 + 7x2 = 0c)

x3 + 2x2 − x − 2 = 0a)

x4 + 6x3 + x2 + 6x = 0b)

3x3 + 4x2 − 6x − 8 = 0c)

x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0d)


246


Uzasadnij, że iloczyn pierwiastków równania x3 + 2x2 − 9x − 18 = 0 jest dodatni.

(Pokaż odpowiedź)


Uzasadnij, że suma rozwiązań równania x50 + x2 = 50x48 + 50 jest liczbą całkowitą.

(Pokaż odpowiedź)


Przez jaki wielomian trzeba pomnożyć wielomian W(x) = x2 − 4, żeby otrzymać wielomian

V(x) = x5 − 4x3 − 2x2 + 8?

(Pokaż odpowiedź)


Udowodnij, że jeżeli liczba 2 jest rozwiązaniem równania (x − 2)2(x + 7) − x(x2 − ax + a) = 0, to

równanie to nie ma więcej rozwiązań.

(Pokaż odpowiedź)


247

3.3. Wyrażenia wymierne. Równania wymierneWyrażenia wymierne

Rozważając zależności między różnymi wielkościami, mamy do czynienia również z takimi, w któ-

rych występują wyrażenia wymierne. Na przykład wartość prędkości średniej obliczamy jako ilo-

raz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta.

Przykład 1.Miejscowości A i B są odległe o 154 km. W połowie drogi między nimi znajduje się miejsco-

wość C. Rowerzysta przejechał drogę z A do C, przy czym wartość jego średniej prędkości na

trasie z A do C była o 6 km / h większa niż wartość średniej prędkości na trasie z C do B.

Przyjmując, że wartość średniej prędkości tego rowerzysty na trasie z C do B była równa

v km / h, wyrazimy za pomocą v wartość jego średniej prędkości na całej trasie z A do B.

Z warunków zadania wnioskujemy, że czas t1 (w godzinach) przejazdu rowerzysty z A do C to

t1 =77

v + 6

Natomiast czas t2 (w godzinach) jego przejazdu z C do B to

t2 =77v

Zatem średnia prędkość V tego rowerzysty na trasie z A do B jest równa

V =154

77v + 6

+77v

Wyrażenie to przekształcamy następująco

15477

v + 6+

77v

=154

77v + 77(v + 6)(v + 6)v

=154(v + 6)v77(v + v + 6)

=154(v + 6)v77 ? 2(v + 3)

=(v + 6)v

v + 3

Wobec tego

V =(v + 6)v

v + 3

W powyższym przykładzie przy zapisie czasów t1 i t2 oraz prędkości średniej V wystąpiły wy-

rażenia wymierne t1 =77

v + 6 , t2 =77v , V =

(v + 6)vv + 3 . Każde z nich jest zapisane w postaci ilorazu, a

w mianowniku każdego z tych wyrażeń występuje zmienna v.

Zauważmy, że dla każdej wartości v (która jako wartość prędkości jest dodatnia), wyrażenia

te są określone. Gdyby na przykład ten rowerzysta jechał z C do B ze średnią prędkością

v = 22 km / h, to jego średnia prędkość na trasie z A do C byłaby równa 28 km / h, a średnia

prędkość na całej trasie z A do B – V =28 ? 22

25 km / h = 24,64 km / h. Nie jest to, jak widać,

średnia arytmetyczna wartości prędkości na trasach z A do B i z B do C.

Wyrażenia wymierne. Równania wymierne

248

Przykład 2.Rowerzysta przejechał drogę z A do B. W połowie drogi między miejscowościami A i B znaj-

duje się miejscowość C. Przyjmując, że na trasie z A do C rowerzysta jechał ze średnią pręd-

kością v1 km / h, a na trasie z C do B – ze średnią prędkością v2 km / h, zapiszemy wartość

jego średniej prędkości na całej trasie z A do B.

Oznaczmy przez s drogę z A do B.

Z warunków zadania wnioskujemy, że czas t1 (w godzinach) przejazdu rowerzysty z A do C to

t1 =

s2v1

=s

2v1

Natomiast czas t2 (w godzinach) jego przejazdu z C do B to

t2 =

s2v2

=s

2v2

Zatem średnia prędkość V tego rowerzysty na trasie z A do B jest równa

V =s

t1 + t2=

ss

2v1+

s2v2

=s

sv2 + sv12v1v2

=s ? 2v1v2

s(v1 + v2),

czyli wyraża się wzorem

V =2v1v2v1 + v2

Liczba2v1v2v1 + v2

to tzw. średnia harmoniczna liczb dodatnich v1, v2.

Przykład 3.Wielkość dodatnia a jest wyrażona w zależności od wielkości dodatnich b i c następującym

wzorem

a =3bc

b + 2c

Przyjmując, że to jest możliwe, wyrazimy

Przekształcamy dany wzór do postaci a(b + 2c) = 3bc, stąd ab + 2ac = 3bc. Zatem

b w zależności od a i ca)

c w zależności od a i bb)

2ac = 3bc − ab, a więc b ? (3c − a) = 2ac, co oznacza, że b =2ac

3c − a , gdy 3c − a ≠ 0.a)

ab = 3bc − 2ac, a więc c ? (3b − 2a) = ab, co oznacza, że c =ab

3b − 2a , gdy 3b − 2a ≠ 0.b)


249

Równanie wymierne

Równaniem wymiernym z niewiadomą x nazywamy równanie, które można sprowadzić do posta-

ci

W1(x)

W2(x)= 0

gdzie W1, W2 są wielomianami, przy czym W2 jest wielomianem co najwyżej pierwszego stopnia

W2(x) ≠ 0

Rozwiążemy kilka takich równań.


23x + 1 =

18

Wyrażenie2

3x + 1 , zapisane po lewej stronie równania, jest określone, gdy x ≠ − 13 .

Mnożymy obie strony danego równania przez 8 ? (3x + 1) bo 8 ∙ (3x + 1) ≠ 0, stąd

3x + 1 = 2 ? 8

Oznacza to, że 3x = 15, czyli x = 5. Dla tej wartości x obie strony równania są określone, więc

liczba 5 jest szukanym rozwiązaniem danego równania.

Uwaga. Po zapisaniu warunku x ≠ − 13 można skorzystać z własności proporcji i w ten sposób

przekształcić równoważnie dane równanie do postaci

3x + 1 = 2 ? 8


2x + 1 =

3x − 2

Wyrażenia zapisane w równaniu:2

x + 1 i3

x − 2 są określone, gdy x ≠ − 1 i x ≠ 2.

Ponieważ (x + 1)(x − 2) ≠ 0, to mnożymy obie strony danego równania przez (x + 1) ? (x − 2),stąd

2(x − 2) = 3(x + 1)

Otrzymujemy 2x − 3x = 3 + 4, czyli −7. Dla tej wartości x obie strony równania są określone,

więc liczba x = − 7 jest szukanym rozwiązaniem danego równania.


250


x + 1x − 5 =

3x − 82x + 8

Wyrażenia zapisane w równaniu:x + 1x − 5 i

3x − 82x + 8 są określone, gdy x ≠ 5 i x ≠ − 4.

Mnożymy obie strony danego równania przez (x − 5) ? (2x + 8), stąd

(2x + 8)(x + 1) = (x − 5)(3x − 8)

Wobec tego

2x2 + 10x + 8 = 3x2 − 23x + 40

x2 − 33x + 32 = 0

Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: Δ = 332 − 4 ? 32 = 961 = 312, więc równanie

ma dwa rozwiązania:

x1 =33 − 31

2 = 1 oraz x2 =33 + 31

2 = 32.

Dla tych wartości x obie strony równania są określone, więc równaniex + 1x − 5 =

3x − 82x + 8 ma dwa

rozwiązania: 1 oraz 32.

Przykład 7.

Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równaniax

x − 1 = 2x − 3.

Wyrażeniex

x − 1 jest określone, gdy x ≠ 1.

Mnożymy obie strony danego równania przez liczbę x − 1 różną od zera, stąd

x = (2x − 3)(x − 1)

Wobec tego

x = 2x2 − 3x − 2x + 3

2x2 − 6x + 3 = 0

Wyróżnik tego równania jest dodatni: Δ = 36 − 24 = 12, więc równanie ma dwa rozwiązania.

Ponieważ √Δ = 2√3 jest liczbą niewymierną, to każde z tych rozwiązań

x1 =6 − 2√3

4 =32 − √3

2 oraz x2 =6 + 2√3

4 =32 + √3

2

jest liczbą niewymierną. Zatem równaniex

x − 1 = 2x − 3 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb cał-

kowitych.


251

Przykład 8.

Rozwiążemy równanie2

(x − 1)(x + 1)=

4

x(x + 1)+

3x − 2

x(x − 1).

Wyrażenia2

(x − 1)(x + 1),

4

x(x + 1)i

3x − 2

x(x − 1)zapisane w równaniu są określone, gdy x ≠ 0, x ≠ 1 i

x ≠ − 1.

Mnożymy obie strony danego równania przez x ∙ (x + 1) ∙ (x − 1) wyrażenie różne od zera, stąd

2x = 4(x − 1) + (3x − 2)(x + 1)

Wobec tego

2x = 4x − 4 + 3x2 − 2x + 3x − 2

3x2 + 3x − 6 = 0

x2 + x − 2 = 0

Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: ∆ = 12 − 4 ∙ (−2) = 9 = 32, więc równanie ma

dwa rozwiązania

x1 =−1 − 3

2 oraz x2 =−1 + 3

2 = 1.

Tylko dla wartości x = − 2 obie strony równania2

(x − 1)(x + 1)=

4

x(x + 1)+

3x − 2

x(x − 1)są określone, więc

to równanie ma jedno rozwiązanie: x1 = − 2.

Przykład 9.

Rozwiążemy równanie1

(x − 4)(x − 1)+

1

(x − 1)(x + 2)+

1

(x + 2)(x + 5)=

112 .

Na początku odnotujmy, że wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są okre-

ślone, gdy x ≠ 4, x ≠ 1, x ≠ − 2, x ≠ − 5.

Przedstawimy dwa sposoby rozwiązania tego równania.

• sposób I

Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia w parach: najpierw pierwsze do

drugiego, a następnie otrzymaną sumę z trzecim:

( x + 2

(x − 4)(x − 1)(x + 2)+

x − 4

(x − 4)(x − 1)(x + 2) ) +1

(x + 2)(x + 5)=

112

2(x − 1)(x − 4)(x − 1)(x + 2)

+1

(x + 2)(x + 5)=

112

Pierwszy ułamek możemy skrócić, bo x − 1 ≠ 0

2

(x − 4)(x + 2)+

1

(x + 2)(x + 5)=

112


252

2(x + 5)(x − 4)(x + 2)(x + 5)

+x − 4

(x − 4)(x + 2)(x + 5)=

112

3(x + 2)(x − 4)(x + 2)(x + 5)

=1

12

3

(x − 4)(x + 5)=

112 .

Stąd

(x − 4)(x + 5) = 36,

czyli

x2 + x − 56 = 0.

Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 7 oraz x2 = − 8. Dla tych wartości x obie stro-

ny danego równania są określone, zatem są to jedyne rozwiązania danego równania.

• sposób II

Zauważmy, że różnice wyrażeń zapisanych w mianownikach każdego z trzech ułamków sto-

jących po lewej stronie równania są stałe i równe 3. Wykorzystamy ten fakt do przekształce-

nia równania. Pomnożymy najpierw obie strony równania przez 3:

3

(x − 4)(x − 1)+

3

(x − 1)(x + 2)+

3

(x + 2)(x + 5)=

14

Następnie zapiszemy w liczniku różnice wyrażeń z mianownika

(x − 1) − (x − 4)(x − 4)(x − 1)

+(x + 2) − (x − 1)(x − 1)(x + 2)

+(x + 5) − (x + 2)(x + 2)(x + 5)

=14

Każde z trzech wyrażeń zapiszemy jako różnicę dwóch ułamków

(x − 1)(x − 4)(x − 1)

−(x − 4)

(x − 4)(x − 1)+

(x + 2)(x − 1)(x + 2)

−(x − 1)

(x − 1)(x + 2)+

(x + 5)(x + 2)(x + 5)

−(x + 2)

(x + 2)(x + 5)=

14

a po skróceniu otrzymanych ułamków uporządkujemy lewą stronę równania

1x − 4 − 1

x − 1 +1

x − 1 − 1x + 2 +

1x + 2 − 1

x + 5 =14

1x − 4 − 1

x + 5 =14

Po pomnożeniu obu stron otrzymanego równania przez 4(x − 4)(x + 5) otrzymujemy:

4(x + 5) − 4(x − 4) = (x + 5)(x − 4)


253

4x + 20 − 4x + 16 = x2 + 5x − 4x − 20

x2 + x − 56 = 0

Jak wiemy z rozwiązania poprzednim sposobem, to równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 7

oraz x2 = − 8. Są to jedyne rozwiązania równania1

(x − 4)(x − 1)+

1

(x − 1)(x + 2)+

1

(x + 2)(x + 5)=

112


12x + 3 +

12x + 4 +

12x + 5 +

12x + 6 = 0

Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy

x ≠ − 32 , x ≠ − 2, x ≠ − 5

2 , x ≠ − 3.

Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia parami: pierwsze do ostatniego,

a drugie do trzeciego:

2x + 6 + 2x + 3

(2x + 3)(2x + 6)+

2x + 5 + 2x + 4

(2x + 4)(2x + 5)= 0

Stąd

4x + 9

(2x + 3)(2x + 6)+

4x + 9

(2x + 4)(2x + 5)= 0

(4x + 9)( 1

(2x + 3)(2x + 6)+

1

(2x + 4)(2x + 5) ) = 0

a więc 4x + 9 = 0 lub1

(2x + 3)(2x + 6)+

1

(2x + 4)(2x + 5)= 0

Rozwiązując równanie1

(2x + 3)(2x + 6)+

1

(2x + 4)(2x + 5)= 0, otrzymujemy

1

(2x + 3)(2x + 6)=

−1

(2x + 4)(2x + 5)

(2x + 4)(2x + 5) = − (2x + 3)(2x + 6)

4x2 + 18x + 19 = 0

stąd x1 = − 94 − √5

4 , x2 = − 94 + √5

4 . Zatem równanie ma dwa rozwiązania: − 94 − √5

4 oraz − 94 + √5

4 .


254




Wyrażenie1

x + 1 +1

x + 2 jest równe

a)2x + 3

(x + 1)(x + 2)

b)3x

(x + 1)(x + 2)

c)1

(x + 1)(x + 2)

d)1

2x + 3

(Pokaż odpowiedź)


Rozwiązaniem równania2x + 1x − 3 =

32 jest liczba

a) 11

b) 4

c) – 4

d) – 11

(Pokaż odpowiedź)


Równanie(x + 2)(x − 1)(x − 1)(x − 2)

= 0


255

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iIEiNx2IIi#iIEiNx2IIi_d5e498WOMI

a) ma dokładnie trzy rozwiązania

b) ma dokładnie dwa rozwiązania

c) ma dokładnie jedno rozwiązanie

d) nie ma rozwiązań

(Pokaż odpowiedź)


Wspólnym pierwiastkiem równań2x − 6x + 1 = 0 oraz

(x − 3)(x + 1)x − 5 = 0 jest liczba

a) 5

b) 3

c) 1

d) – 1

(Pokaż odpowiedź)


Jeśli z =2x

x + 3y , to

a) x =3yzz − 2

b) x =z − 23yz

c) x =2 − z3yz

d) x =3yz2 − z

(Pokaż odpowiedź)


Rozwiązaniem równaniax + 2x − 2 =

x − 4x jest liczba


256

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

(Pokaż odpowiedź)


Wspólnym pierwiastkiem równańx2 − 16

x2 + 1= 0 oraz

x2 + 4xx + 2 = 0 jest liczba

a) – 4

b) 0

c) 1

d) 2

(Pokaż odpowiedź)


Równaniex2 + 9x + 9 = 0

a) ma dokładnie trzy rozwiązania

b) ma dokładnie dwa rozwiązania

c) ma dokładnie jedno rozwiązanie

d) nie ma rozwiązań

(Pokaż odpowiedź)


7x − 2 =

6x + 3

a)

3x − 5 =

1x + 4

b)

127x + 10 =

53x + 4

c)


257

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.3.12Wielkości x, y łączy zależność xy + 2x − 3y + 5 = 0. Wyraź

(Pokaż odpowiedź)


Wielkości dodatnie a, b, c łączy zależność a =b + 2cb − c . Wyraź

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)

74 − 3x =

51 − 2x

d)

xx + 1 =

x − 1x + 3

a)

8x + 911 − 4x =

7 − 2xx + 3

b)

3x − 42 − x =

7 − 6x2x + 5

c)

x w zależności od y i ustal, dla jakich y otrzymane wyrażenie jest określonea)

y w zależności od x i ustal, dla jakich x otrzymane wyrażenie jest określoneb)

b w zależności od a i ca)

c w zależności od a i bb)

xx + 1 = x + 4a)

3x − 1x − 5 = 4x − 7b)


258


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania2x

3x − 2 = 4x + 3.

(Pokaż odpowiedź)

2x − 5x − 1 =

3x − 3x + 5

a)

2x + 5x − 4 =

5x + 123x − 6

b)

3x + 1x + 4 =

9x − 294x − 11

c)

4x + 3 +

6x − 3 =

5x + 11

x2 − 9

a)

3x + 2 +

4x − 2 =

7x + 2

x2 − 4

b)

5x + 1 − 2

x − 1 =3x − 7

x2 − 1

c)

4x + 2 − 7

2 − x =11x + 6

x2 − 4

a)

xx + 2 − x − 4

2 − x =2 − 5x

x2 − 4

b)

x + 1x + 3 − x − 2

x − 3 =2x − 12

x2 − 9

c)


259


Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równaniax

x + 1 = 3x − 2.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.3.20Rozwiąż równanie.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 3.3.21Rozwiąż równanie.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 3.3.22

Rozwiąż równanie1

(x + 1)(x + 2)+

1

(x + 2)(x + 3)+

1

(x + 3)(x + 4)=

310 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: CZadanie 3.3.23Rozwiąż równanie.

(Pokaż odpowiedź)

2

(x − 3)(x + 3)− 5

x(x − 3)=

x + 4

x(x + 3)a)

7

(x − 2)(x + 5)+

x − 4

x(x − 2)=

4

x(x + 5)b)

1x + 1 +

1x + 2 +

1x + 3 +

1x + 4 = 0a)

12x − 5 +

12x − 1 +

12x + 3 +

12x + 7 = 0b)

1

(x − 5)(x − 3)+

1

(x − 3)(x − 1)+

1

(x − 1)(x + 1)+

1

(x + 1)(x + 3)= − 1

3a)

1

(x − 5)(x − 3)+

1

(x − 3)(x − 1)+

1

(x − 1)(x + 1)+

1

(x + 1)(x + 3)= − 1

5b)


260

3.4. Zastosowanie równań wymiernych dointerpretacji zagadnień praktycznychPraca i czas potrzebny na jej wykonanie

W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego

na jej wykonanie.Przypomnijmy, że praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego do-

bra, a efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna; w poniższych zadaniach jest to zazwyczaj

wykonany towar lub usługa.

Przez wydajność pracy będziemy rozumieli wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie

(najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).

W rozpatrywanych poniżej przykładach i zadaniach zakładamy, że średnia wydajność wykonywa-

nej pracy przez opisanych w zadaniu robotników, firmy, automaty itp. nie zmienia się wraz z upły-

wem czasu.

Przykład 1.Dwie firmy: firma A i firma B otrzymały do wykonania pewną pracę. Firma A samodzielnie

wykonałaby tę pracę w ciągu 5 dni, a firma B sama wykonałaby tę pracę w ciągu 20 dni. W

ciągu ilu dni wykonałyby tę pracę firmy A i B, pracując razem?

Z treści zadania wynika, że firma A wykonywałaby dziennie15 zaplanowanej pracy, a firma B –

120 tej pracy. Oznacza to, że razem wykonywałaby dziennie

15 +

120 =

520 =

14 całej pracy. Zatem

pracując razem, wykonałyby całą tę pracę w ciągu 4 dni.

Przykład 2.W firmie świadczącej usługi obróbki plastycznej są dwa różne automaty, które tłoczą plasti-

kowe pojemniki o takiej samej wielkości i takim samym kształcie. Firma przyjęła zlecenie wy-

konania pewnej liczby takich pojemników. Gdyby oba automaty pracowały razem, to zlece-

nie zostałoby wykonane w ciągu 4 godzin. Gdyby zaś najpierw połowę tych detali wytłoczył

pierwszy automat, to drugi, do zakończenia zleconej pracy musiałby pracować jeszcze przez

6 godzin. W ciągu ilu godzin pierwszy automat wytłoczyłby wszystkie pojemniki?

Ponieważ drugi automat w ciągu 6 godzin wykonał połowę zleconej pracy, więc na wykonanie

wszystkich pojemników potrzebuje 12 godzin. Zatem w ciągu godziny automat ten wykonuje1

12 wszystkich pojemników.

Z treści zadania wynika, że oba automaty w ciągu godziny wykonują14 całej pracy, co oznacza,

że pierwszy automat wykonuje w tym czasie14 − 1

12 =2

12 =16 wszystkich pojemników. Wobec

tego pierwszy automat wytłoczyłby wszystkie pojemniki w ciągu 6 godzin.

Przykład 3.Firma budowlana planowała w ciągu 10 dni wykonać prace wykończeniowe w budowanym

bloku mieszkalnym. W tym celu zatrudniła dwa zespoły robotników: zespół A i zespół B. Po 4

dniach od rozpoczęcia wspólnej pracy zespół A zrezygnował z udziału w tym przedsięwzięciu,

więc zespół B sam dokończył tę pracę, na co potrzebował jeszcze 9 dni. W ciągu ilu dni każdy

Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych

261

z tych zespołów wykonałby tę pracę samodzielnie?

Z treści zadania wynika, że w ciągu 4 dni wspólnej pracy zespoły wykonały 4 ?1

10 całej pracy.

Do wykonania zostało jeszcze6

10 całej pracy, którą zespół B wykonał w ciągu 9 dni. Zatem ze-

spół B wykonywał w ciągu jednego dnia6

10 ?19 =

115 całej pracy, czyli samodzielnie wykonałby

całe zamówienie w ciągu 15 dni. Oznacza to, że zespół A wykonywał w ciągu jednego dnia1

10 − 115 =

130 całej pracy, czyli wykonałby samodzielnie całą tę pracę w ciągu 30 dni.

Przykład 4.Dwie firmy A i B podjęły się wyprodukować wspólnie w ciągu 12 dni ustaloną liczbę jedna-

kowych okien. Firma A po dwóch dniach wycofała się z udziału w realizacji zamówienia, więc

pozostałą część okien wyprodukowała firma B. W ciągu ilu dni zostało wykonane zamówie-

nie, jeżeli dzienna produkcja firmy B stanowi23 dziennej produkcji firmy A?

Oznaczmy przez a – liczbę okien, które w ciągu jednego dnia produkuje firma A. Wtedy dzien-

na produkcja firmy B to23a, a obie firmy produkują razem a +

23a =

53a okien dziennie.

Ponieważ według planu całe zamówienie miało być wykonane przez obie firmy w ciągu 12

dni, więc do wykonania było 12 ?53a = 20a okien.

W ciągu dwóch dni obie firmy wykonały razem 2 ?53a =

103 a okien. Zatem firmie B pozostało

do wykonania 20a − 103 a =

503 a okien.

Ponieważ dzienna wydajność firmy B to23a, więc firma B wykona tę pracę w ciągu

503 a :

23a = 25 dni.

Oznacza to, że całe zamówienie zostało wykonane w ciągu 27 (dni).

Przykład 5.Dwa zespoły robotników: A i B mają wykonać pewną pracę. Zespół A samodzielnie wykonałby

tę pracę o 7 dni szybciej niż pracujący samodzielnie zespół B.

Przyjmując, że x to liczba dni potrzebnych zespołowi A na samodzielne wykonanie tej pracy,

wyrazimy za pomocą x tę część pracy, która zostanie wykonana w ciągu jednego dnia przez

zespoły A i B pracujące razem.

Z warunków zadania otrzymujemy, że x + 7 to liczba dni, które zespół B potrzebuje na wyko-

nanie zleconej pracy.

Zatem

• zespół A w ciągu jednego dnia wykonuje1x całej pracy,

• zespół B w ciągu jednego dnia wykonuje1

x + 7 całej pracy.

Oznacza to, że oba zespoły, pracując razem, w ciągu jednego dnia wykonują1x +

1x + 7 całej

pracy.

Sprowadzając do wspólnego mianownika ułamki, wyrażenie to zapiszemy w postaci

1x +

1x + 7 =

x + 7 + x

x(x + 7)=

2x + 7

x(x + 7)


262

W powyższym przykładzie pojawiły się wyrażenia wymierne1x ,

1x + 7 ,

2x + 7

x(x + 7).

Zauważmy, że dla każdej wartości x (która jest liczbą dodatnią dni) wyrażenia te są określone.

Gdyby na przykład w opisanej sytuacji zespół A potrzebował na wykonanie całej pracy 21 dni,

to zespół B potrzebowałby na jej wykonanie 28 dni. Ponieważ1

21 +1

28 =1

12 , więc oba zespoły,

pracując razem, wykonałyby całą pracę w ciągu 12 dni.

Zauważmy też, że w przedstawionej sytuacji za pomocą wyrażeniax(x + 7)2x + 7 opisujemy liczbę

dni potrzebnych do wykonania całej pracy przez zespoły A i B pracujące razem.

Przykład 6.Dwa automaty, pracując jednocześnie, wykonały pewną pracę. Pierwszy automat, aby wyko-

nać tę pracę samodzielnie, musiałby pracować trzy razy dłużej, a drugi – o godzinę dłużej niż

wtedy, gdy pracowały razem. W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wyko-

nać tę pracę?Oznaczmy przez x – czas (w godzinach), w którym oba automaty razem wyko-

nały pracę. Wtedy czas potrzebny pierwszemu automatowi i czas potrzebny drugiemu auto-

matowi na samodzielne wykonanie tej pracy to odpowiednio 3x oraz x + 1.

Zatem w ciągu godziny:

• razem wykonają1x całej pracy,

• pierwszy wykona1

3x całej pracy,

• drugi wykona1

x + 1 całej pracy.

Otrzymujemy więc równanie

13x +

1x + 1 =

1x

stąd

23x =

1x + 1

(x > 0)

a więc x = 2.

Zatem pierwszy automat samodzielnie wykonałby pracę w ciągu 6 godzin, a drugi – w ciągu

3 godzin.

Przykład 7.Dwie firmy wykonały prace drogowe w ciągu 32 dni, przy czym najpierw połowę pracy wyko-

nała tylko pierwsza firma, a następnie resztę pracy wykonała tylko druga firma. Gdyby obie

firmy pracowały razem, to wykonałyby te prace w ciągu 15 dni. Ilu dni potrzebowałaby każda

z tych firm na samodzielne wykonanie całej pracy?

Z treści zadania wynika, że wykonując po połowie pracy, obie firmy pracowały w sumie 32


263

dni, więc suma liczb dni, w ciągu których każda z firm wykonuje całą pracę, jest równa 64.

Oznaczmy przez x liczbę dni potrzebnych pierwszej firmie na wykonanie całej pracy, wtedy

liczba dni potrzebnych drugiej firmie na wykonanie całej pracy to 64 − x.

Oznacza to, że pierwsza firma wykonuje dziennie1x całej pracy, a druga

164 − x .


1x +

164 − x =

115

stąd

15 ? (64 − x) + 15 ? x = x ? (64 − x)

x2 − 64x + 960 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = 24 oraz x2 = 40. Każde z nich spełnia warunki zadania.

Wynika z tego, że jedna z tych firm wykonałaby samodzielnie całe zlecenie w ciągu 24 dni, a

druga – w ciągu 40 dni.

Przykład 8.Automat do obróbki plastycznej wykonał 720 metalowych detali, pracując na niższym pozio-

mie wydajności. Gdyby przestawić ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu go-

dziny będzie wykonywał o 40 detali więcej i tę samą liczbę detali wykona, pracując o 54 mi-

nuty krócej. W ciągu ilu godzin ten automat wykonał 720 detali?

Oznaczmy przez x czas, w ciągu którego automat wykonał wszystkie detale. Wtedy720

x to licz-

ba detali wykonanych przez ten automat w ciągu godziny.

Z treści zadania wynika, że na wyższym poziomie wydajności automat wytwarza (720x + 40)

detali na godzinę, a do wykonania 720 detali potrzebowałby (x − 910 ) godziny.


(x − 910 )(720

x + 40) = 720

stąd

720 − 648x + 40x − 36 = 720

40x − 36 − 648x = 0

10x2 − 9x − 162 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = 412 oraz x2 = − 3

35 . Tylko pierwsze z nich spełnia wa-


264

runki zadania.

Wynika z tego, że automat wykonał 720 detali w ciągu 4,5 godziny.

Przykład 9.Dwa zespoły robotników w ciagu 14 godzin wykonały zlecone prace murarskie, pracując ko-

lejno: najpierw tylko pierwszy, a następnie tylko drugi. Drugi zespół pracował wtedy1

10 tego

czasu, w którym pierwszy wykonał tę pracę samodzielnie. Gdyby oba zespoły pracowały ra-

zem, to wykonałyby tę pracę w ciągu 4 godzin. Ilu godzin potrzebowałby każdy z tych zespo-

łów, aby wykonać tę pracę samodzielnie?

Oznaczmy przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostałaby wykonana, gdyby pracował

tylko pierwszy zespół.

Drugi zespół pracował zatem przez1

10x godzin, a więc pierwszy pracował przez (14 − 110x) go-

dzin.

Ponadto wiemy, że oba zespoły, pracując razem, wykonałyby w ciągu godziny14 całej pracy i

pierwszy zespół wykonałby w tym czasie1x całej pracy, więc drugi w ciągu godziny wykonałby

(14 − 1

x ) zleconej pracy.

Wobec tego otrzymujemy równanie

110x(1

4 − 1x ) + (14 − 1

10x) ?1x = 1

stąd

140x +

14x − 6

5 = 0

x2 − 48x + 560 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = 20 oraz x2 = 28. Oba spełniają warunki zadania.

Mam więc dwie możliwości:

Przykład 10.Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez

3,5 godziny, to do zakończenia pracy oba automaty musiałyby pracować razem jeszcze przez

4,5 godziny. Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 7 godzin

krótszym niż pierwszy. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać

tę pracę?

Oznaczmy przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko I au-

x = 20, wtedy zespół pierwszy do wykonania całej pracy potrzebuje 20 godzin, a drugi

– 5 godzin,

a)

x = 28, wtedy zespół pierwszy do wykonania całej pracy potrzebuje 28 godzin, a drugi

– 4 godzin i 40 minut.

b)


265

tomat. Wtedy (x − 7) to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko

II automat.

Stąd

3,5x + 4,5(1

x +1

x − 7 ) = 1

co prowadzi do równania

2x2 − 39x + 112 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = 16 oraz x2 = 3,5. Tylko pierwsze z nich spełnia warunki

zadania. Wobec tego pierwszy automat może samodzielnie wykonać tę pracę w ciągu 16 go-

dzin, a drugi – w ciągu 9 godzin.

Przykład 11.Dwa automaty wykonały pewną pracę. Najpierw pracował tylko pierwszy, a potem pracę do-

kończył drugi. Pierwszy automat pracował wtedy59 tego czasu, w którym drugi automat mo-

że wykonać całą pracę.

Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 6 go-

dzin i 40 minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby45 tej pracy, którą wykonał-

by wówczas drugi.

W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?

Oznaczmy:

przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko

pierwszy automat,

przez y – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko

drugi automat.

Ponieważ w czasie wspólnej pracy pierwszy automat wykonuje45 pracy, którą wykonuje dru-

gi, więc y =45x.

W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x całej pracy, drugi –

1y całej pracy.

Zatem, kiedy automaty pracowały jeden po drugim, to pierwszy automat wykonał59y ?

1x =

59 ?

45x ?

1x =

49 całej pracy.

Wobec tego drugi automat wykonał59 całej pracy, więc pracował przez

59y godzin. Oznacza to,

że cała praca została wykonana w ciągu59y +

59y =

109 y godzin.

Stąd, wynika, że gdyby oba automaty pracowały razem, to wykonałyby całą pracę w ciągu

(109 y − 20

3 ) godzin.

Zatem

(109 y − 20

3 )(1x +

1y ) = 1


266

(109 ?

45x − 20

3 )(1x +

145

x ) = 1

8x − 609 ?

94x = 1

8x − 60 = 4x

x = 15

Oznacza to, że pierwszy automat samodzielnie wykonałby tę pracę w ciągu 15 godzin, a drugi

– w ciągu 12 godzin.

Poziom trudności: AZadanie 3.4.1Firma budująca pewien odcinek autostrady zatrudniła do prac geodezyjnych trzy zespoły:

G1, G2 i G3. Zespół G1 wykonałby tę pracę w ciągu 12 dni, zespół G2 – w ciągu 15 dni, a zespół

G3 – w ciągu 60 dni. W ciągu ilu dni zostaną wykonane prace geodezyjne, gdy wszystkie trzy

zespoły będą pracować jednocześnie?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.4.2Do wykonania pewnej pracy można użyć każdego z dwóch automatów. Pierwszy z nich samo-

dzielnie wykonuje tę pracę w ciągu 4 godzin, a drugi – w ciągu 5 godzin. Oba automaty włączo-

no do wspólnej pracy na 2 godziny. Ile czasu potrzebowałby każdy z tych automatów, żeby do-

kończyć pracę samodzielnie?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.4.3W firmie świadczącej usługi obróbki plastycznej pracują trzy różne automaty, które tłoczą me-

talowe detale. Firma przyjęła zlecenie wykonania pewnej liczby takich detali. Gdyby automaty

pracowały oddzielnie, to pierwszy z nich wykonałby zleconą liczbę detali w ciągu 16 godzin, dru-

gi – w ciągu 10 godzin, a trzeci – w ciągu 24 godzin. Do wykonania tej pracy najpierw włączono

na 2 godziny tylko pierwszy automat, następnie drugi pracował sam przez 5 godzin. Ile godzin

musiał potem pracować trzeci automat, żeby dokończyć zleconą pracę?

(Pokaż odpowiedź)


267

Poziom trudności: AZadanie 3.4.4Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty,

pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 4 godzin. Gdyby pierwszy pracował

samodzielnie przez 5 godzin, to oba automaty, aby wykonać wymaganą liczbę detali, musiałyby

pracować jeszcze przez 3 godziny. W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wy-

konać tę liczbę detali?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.4.5Pewna firma planowała wykonać w ciągu 12 dni prace zbrojeniowe przy budowie wiaduktu dro-

gowego, wykorzystując do tego celu dwa zespoły zbrojarzy: zespół A i zespół B. Po 3 dniach od

rozpoczęcia wspólnej pracy zespół B został przeniesiony do pracy w innym miejscu, więc ze-

spół A dokończył tę pracę sam. W tych warunkach prace trwały dwa razy dłużej, niż planowano.

W ciągu ilu dni każdy z tych zespołów robotników wykonałby samodzielnie zlecone prace zbro-

jeniowe?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.4.6Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby najpierw przez 3

godziny pracował tylko pierwszy automat, a następnie przez 6 godzin pracował tylko drugi, to

wykonałyby razem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy z tych automatów wykonuje całą

pracę?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.4.7Dwa zespoły robotników, pracując wspólnie, wykonały pewną pracę. Aby wykonać tę pracę od-

dzielnie, pierwszy zespół musiałby pracować o 4 godziny dłużej, a drugi 3,5 raza dłużej niż wte-

dy, gdy pracowały razem. W jakim czasie każdy z tych zespołów może samodzielnie wykonać tę

pracę?

(Pokaż odpowiedź)


pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 6 godzin. Gdyby pracowały kolejno:

najpierw pierwszy samodzielnie wykonałby połowę detali, a następnie drugi samodzielnie do-


268

kończyłby pracę, to wymaganą liczbę detali wykonałyby w ciągu 16 godzin. W jakim czasie każ-

dy z tych automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

(Pokaż odpowiedź)


Do zbiornika o pojemności 840 m3 można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej

godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 7 m3 wody więcej niż druga rura. Czas napeł-

niania zbiornika wodą tylko z pierwszej rury jest o 6 godzin krótszy od czasu napełniania tego

zbiornika wodą tylko z drugiej rury. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełnio-

ny, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

(Pokaż odpowiedź)


Do zbiornika o pojemności 900 m3 można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej

godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 7,5 m3 wody mniej niż druga rura. Czas napeł-

niania zbiornika wodą tylko z pierwszej rury jest o 20 godzin dłuższy od czasu napełniania tego

zbiornika wodą tylko z drugiej rury. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełnio-

ny, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.4.11Dwa różne automaty wykonują razem pewną pracę w ciągu 2 godzin. Pierwszy automat, pra-

cując samodzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o 3 godziny mniej niż drugi automat

pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę

pracę?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.4.12Dwa różne automaty mają wykonać pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam

przez półtorej godziny, to aby dokończyć pracę oba automaty musiałyby pracować razem jesz-

cze przez 5,5 godziny. Pierwszy automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o

3 godziny dłuższym niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z au-

tomatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

(Pokaż odpowiedź)


269

Poziom trudności: AZadanie 3.4.13Dwa różne automaty wykonały pewną liczbę detali, przy czym pierwszy automat najpierw przez

godzinę pracował sam, a następnie oba razem pracowały jeszcze przez pewien czas. Po trzech

godzinach od momentu rozpoczęcia pracy pierwszego automatu wykonano 45% całej pracy, a

po jej zakończeniu okazało się, że każdy z automatów wykonał po tyle samo detali. W ciągu ilu

godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.4.14Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko

drugi. Pierwszy automat pracował wtedy56 tego czasu, w którym drugi automat może wykonać

całą pracę. Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie

o 8,5 godziny krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby35 tej pracy, którą wykonałby

wówczas drugi. W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?

(Pokaż odpowiedź)


270

3.5. Proporcjonalność odwrotna

3.5.1. Proporcjonalność odwrotna

W rozdziale o funkcjach omówione zostały zależności wprost proporcjonalne. Teraz zajmiemy się

wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

Przykład 1.Szkoła przeznaczyła kwotę 270 zł na wydruk ulotek promocyjnych. Ceny proponowane za

usługę wydruku tej samej ulotki w różnych drukarniach zebrano w tabeli.

cena wydruku 1 ulotki (p) [zł] 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,45 0,50

liczba ulotek (r) [szt] 2700 1800 1350 1080 900 675 600 540

Za każdym razem koszt wydruku wszystkich ulotek jest taki sam: p ∙ r = 270.

Zauważmy, że im wyższa cena jednostkowa wydruku, tym mniej ulotek możemy wydrukować

za podaną kwotę.

Przykład 2.Długość oddanej do użytku (do 2015 roku) autostrady A1 od węzła Łódź Północ (woj. łódzkie)

do węzła Rusocin (woj. pomorskie) to ok. 300 km. Czas potrzebny na przejazd tego odcinka

jest uzależniony od średniej prędkości, z jaką porusza się pojazd. Zależności między tymi

wielkościami przedstawia tabela.

średnia prędkość

(v) [km / h] 80 85 90 95 100 110 120 130

czas przejazdu (t) [h] 3,75ok.

3,5

ok.

3,3

ok.

3,2 3ok.

2,7 2,5ok.

2,3

Zauważmy, że jeśli zwiększa się średnia prędkość samochodu (v), to czas przejazdu (t) jest

coraz krótszy.

Proporcjonalność odwrotna

271


Przykład 3.Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o bokach x , y, których pole jest równe 12.


Pola prostokątów są równe x ∙ y = 12. Iloczyn jest stały, a zwiększenie długości jednego z bo-

ków powoduje proporcjonalne zmniejszenie długości drugiego boku.


272

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iCQnc1UXLj#iCQnc1UXLj_d483d4e1594WOMI

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iCQnc1UXLj#iCQnc1UXLj_d548d4e2356WOMI

Wielkości przedstawione w powyższych przykładach charakteryzują się tym, że wzrost jednej

z nich powoduje takie zmniejszenie drugiej, że iloczyn tych wielkości pozostaje stały. O takich

wielkościach będziemy mówić, że są odwrotnie proporcjonalne.

Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Mówimy, że dwie dodatnie wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko

wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.

Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Funkcja f opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjo-

nalnymi x i y nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn x ∙ y = a nazywa-

ny jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Z faktu, że liczby x i y są dodatnie, wynika, że współczynnik a także jest dodatni.

Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi x i y możemy zapisać

również w postaci y =ax .


273

3.5.2. Wykres funkcji

Zajmiemy się teraz funkcjami opisanymi takim samym wzorem jak proporcjonalność odwrotna,

czyli f(x) =ax , ale określonymi dla dowolnej liczby x ≠ 0. Przyjmiemy, że współczynnik a ≠ 0. Przy

a = 0 f(x) = 0 jest nieokreślona dla x = 0, więc jej dziedziną jest R{a}.

Zastanówmy się, jak wygląda wykres funkcji opisującej proporcjonalność odwrotną.

Przykład 1.

Narysuj wykres funkcji y =1x , gdy x ≠ 0.


Otrzymany wykres nazywamy hiperbolą. Hiperbola składa się z dwóch ramion położonych

symetrycznie względem punktu (0,0). Charakterystyczne dla tego wykresu jest to, że każde z

jego ramion zbliża się do osi układu współrzędnych, ale w żadnym punkcie nie przecina ani

osi Ox, ani Oy.

Przyjrzymy się innym własnościom funkcji f(x) =1x .

Wykres funkcji

274

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/itIav9LEIk#itIav9LEIk_d173d4e1280WOMI

Przykład 2.

Odczytaj z wykresu własności funkcji f(x) =1x .

• Ramiona hiperboli leżą w I i III ćwiartce układu współrzędnych.

• Funkcja f jest określona dla wszystkich x ≠ 0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).

• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, 0) ? (0, + ∞).• Funkcja f nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią Ox).

• Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞, 0) oraz (0, + ∞).• Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (0, + ∞) oraz war-

tości ujemne dla argumentów z przedziału (−∞, 0).

Wykres funkcji

275

Przykład 3.

Korzystając z wykresu funkcji f(x) =1x , narysuj wykres funkcji g(x) = − 1

x .


Zauważmy, że g(x) = − f(x), zatem wystarczy przekształcić hiperbolę f(x) =1x symetrycznie

względem osi Ox.

Odczytamy z wykresu własności funkcji g(x) = − 1x .

Wykres funkcji

276


• Ramiona hiperboli leżą w II i IV ćwiartce układu współrzędnych.

• Funkcja g jest określona dla wszystkich x ≠ 0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).

• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, 0) ? (0, + ∞).• Funkcja g nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią Ox

).

• Funkcja g jest rosnąca w każdym z przedziałów (−∞, 0) oraz (0, + ∞).• Funkcja g przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (−∞, 0) oraz warto-

ści ujemne dla argumentów z przedziału (0, + ∞).

Przykład 4.


Wykres funkcji

277


Przykład 5.

Narysuj wykres f(x) =4x . Odczytaj z wykresu najmniejszą wartość funkcji w przedziale (0, 1 ?

Odpowiedź. Najmniejsza wartość funkcji f(x) =4x w przedziale (0, 1 ? jest równa 4.

Przykład 6.

Punkt P = (3, − 2) leży na wykresie proporcjonalności odwrotnej f(x) =ax . Wyznacz wartość

współczynnika a.

Z tego, że punkt P = (3, − 2) leży na wykresie f(x) =ax , wynika, że −2 =

a3 , czyli a = − 6.

Wykres funkcji

278

Przykład 7.

Narysuj wykres funkcji f(x) = − 3x . Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja f przyj-

muje wartości mniejsze od – 3.

Odpowiedź. Funkcja f(x) = − 3x przyjmuje wartości mniejsze od −3 dla argumentów z prze-

działu (0,1).



Wykres funkcji

279

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/itIav9LEIk#itIav9LEIk_d5e246WOMI

3.5.3. Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych

W rozdziale poświęconym własnościom funkcji mówiliśmy o przesuwaniu wykresu funkcji wzdłuż

osi układu współrzędnych. Teraz wykorzystamy te wiadomości do przesuwania hiperboli.

Przykład 1.

Narysuj wykres funkcji f(x) =3x + 2.

Zauważmy, że do narysowania wykresu funkcji f możemy wykorzystać hiperbolę g(x) =3x . Jeśli

przesuniemy ją o 2 wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji f(x) =3x + 2.


Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji f(x) =3x + 2.

• Funkcja f jest określona dla wszystkich x ≠ 0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).

• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, 2) ? (2, + ∞).• Miejscem zerowym funkcji jest x0 = − 3

2 .

• Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞, 0) oraz (0, + ∞).

• Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów ze zbioru (−∞, − 32 ) ? (0, + ∞)

oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału (− 32 , 0).

Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych

280

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iD72UsX2V7#iD72UsX2V7_d142d4e1159WOMI

Przykład 2.

Narysuj wykres funkcji f(x) =3

x − 4 .

Podobnie jak poprzednio do narysowania wykresu funkcji f wykorzystamy hiperbolę g(x) =3x

. Jeśli przesuniemy ją o 4 w prawo wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres funkcji f(x) =3

x − 4 .


Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji f(x) =3

x − 4 .

• Funkcja f jest określona dla argumentów z przedziału (−∞, 4) ? (4, + ∞).• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, 0) ? (0, + ∞).• Funkcja nie ma miejsca zerowego.

• Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞, 4) oraz (4, + ∞).• Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (4, + ∞) oraz war-

tości ujemne dla argumentów z przedziału (−∞, 4).

Przykład 3.

Narysuj wykres funkcji f(x) = − 3x − 5 − 3.

Do narysowania tego wykresu wykorzystamy wykres funkcji g(x) = − 3x i jego przesunięcie o

5 wzdłuż osi Ox i −3 wzdłuż osi Oy.

Z wykresu możemy odczytać własności funkcji f(x) = − 3x − 5 − 3.

• Funkcja f jest określona dla argumentów z przedziału (−∞, 5) ? (5, + ∞) .

• Zbiorem wartości jest przedział (−∞, − 3) ? (−3, + ∞).• Miejscem zerowym funkcji jest x0 = 4.


281


• Funkcja f jest rosnąca w każdym z przedziałów (−∞, 5) oraz (5, + ∞).• Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (4,5) oraz wartości

ujemne dla argumentów ze zbioru (−∞, 4) ? (5, + ∞).

Przykład 4.



Sprawdź, który z punktów A = (4, √32 ), B = (3

32, 2), C = (−3√3

2 ,−34 ) należy do wykresu funkcji

f(x) =2√3

x .

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz współczynnik a tak, aby do wykresu funkcji f(x) =ax należał punkt o współrzędnych

(−4, 2)a)

(412 , − 1

3 )b)


282


(Pokaż odpowiedź)


Naszkicuj wykres funkcji f(x) =−5

x + 3 − 5. Określ, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje war-

tości nieujemne.

(Pokaż odpowiedź)


Naszkicuj wykres funkcji f(x) =6x + 3. Określ jej dziedzinę i zbiór wartości. Dla jakich argumen-

tów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 6?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.5.3.5Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji f opisanej wzorem

(Pokaż odpowiedź)

( − 34 , − 8

27 )c)

(25,1

100 )d)

(3√3, − 13√3)e)

f(x) =−2

x + 12 − 1a)

f(x) =41

x − 5 + 23b)

f(x) =−7

x − 8 − 15c)

f(x) =−25x + 2 + 18d)

f(x) =5

x − √2 − √5e)


283


Funkcja f opisana jest wzorem f(x) =17

x − 34 + 54. Wyznacz wartość m, dla której funkcja f nie ma

punktów wspólnych z prostą o równaniu y = m.

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz takie wartości liczby p, dla których punkt A = (4,12) należy do wykresu funkcji

f(x) =−12

x − p2 .

(Pokaż odpowiedź)


284

3.6. Zastosowania funkcji wymiernych dointerpretacji zagadnień praktycznychZadania tekstowe z zastosowaniem równań

wymiernych

W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego

na jej wykonanie.Praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego dobra.

Efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna. W poniższych zadaniach jest to najczęściej towar

lub usługa.

Wydajność pracy to wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce

czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).

Przykład 1.Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby pierwszy automat

pracował sam 3 godziny, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby ra-

zem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?

Oznaczmy:

• przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy

automat,

• przez y – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi au-

tomat.

Ponieważ w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x całej pracy, drugi –

1y całej pracy, a

razem wykonują całą pracę w ciągu 5 godzin, to

1x +

1y =

15

W ciągu 3 godzin pierwszy automat wykonuje3x całej pracy, a drugi w ciągu 6 godzin wyko-

nuje6y całej pracy.

Ponadto po 3 godzinach samodzielnej pracy pierwszego automatu i po 6 godzinach samo-

dzielnej pracy drugiego automatu wykonane zostanie 70% całej pracy, zatem

3x +

6y =

710

Wówczas

1y =

15 − 1

x

więc

3x + 6(1

5 − 1x ) =

710

Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych

285

Po rozwiązaniu otrzymanego równania mamy x = 6, stąd y = 30.

Odpowiedź. Pierwszy automat – 6 godzin, drugi automat – 30 godzin.

Przykład 2.Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez

3,5 godziny, to do zakończenia pracy musiałyby razem pracować jeszcze przez 4,5 godziny.

Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 7 godzin krótszym niż

pierwszy automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może sa-

modzielnie wykonać tę pracę?

Szkic. Oznaczmy przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tyl-

ko pierwszy automat. Wtedy x − 7 to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie

pracował tylko drugi automat.

Stąd

3,5x + 4,5(1

x +1

x − 7 ) = 1

co prowadzi do równania

2x2 − 39x + 112 = 0

Tylko jedno rozwiązanie (x = 16) otrzymanego równania spełnia warunki zadania.

Odpowiedź. Pierwszy automat – 16 godzin, drugi automat – 9 godzin.

Przykład 3.Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko

drugi. Pierwszy automat pracował wtedy 5 / 9 tego czasu, w którym drugi automat może wy-

konać całą pracę.

Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 6 go-

dzin i 40 minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby45 pracy, którą wykonałby

wówczas drugi.

W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?

Oznaczmy:

• przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował

tylko pierwszy automat,

• przez y – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował

tylko drugi automat.

Ponieważ w ciągu wspólnej pracy godziny I automat wykonuje45 tego, co wykonuje drugi, to

y =45x.

W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x całej pracy, drugi –

1y całej pracy.

Zatem kiedy automaty pracowały jedne po drugim, to pierwszy automat wykonał59y ?

1x =

59 ?

45x ?

1x =

49 całej pracy.


286

Wobec tego drugi automat pracował wtedy przez59y godzin, czyli cała praca została wykona-

na w ciągu59y +

59y =

109 y godzin.

Stąd gdyby oba automaty pracowały razem, to pracowałyby przez109 y − 20

3 godzin. Ponieważ

wtedy wykonałyby całą pracę, to

(109 y − 20

3 )(1x +

1y ) = 1

(109 ?

45x − 20

3 )(1x +

145

x ) = 1

8x − 609 ?

94x = 1

8x − 60 = 4x

x = 15.

Odpowiedź. I automat – 15 godzin, II automat – 12 godzin.

Przykład 4.Dwa różne automaty wykonują razem zadaną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby pierwszy auto-

mat pracował sam 3 godziny, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby

razem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?

Oznaczmy

• przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko I auto-

mat,

• przez y – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko II auto-

mat.

Ponieważ w ciągu godziny I automat wykonuje1x całej pracy, drugi –

1y całej pracy, a razem

wykonują całą pracę w ciągu 5 godzin, to

1x +

1y =

15

W ciągu 3 godzin I automat wykonuje3x całej pracy, a drugi w ciągu 6 godzin wykonuje

6y całej

pracy.

Ponadto po 3 godzinach samodzielnej pracy I automatu i po 6 godzinach samodzielnej pracy

II automatu wykonane zostanie 70% całej pracy, zatem

3x +

6y =

710

Wówczas


287

1y =

15 − 1

x

więc

3x + 6(1

5 − 1x ) =

710

Po rozwiązaniu otrzymanego równania dostajemy x = 6, skąd y = 30.

Odpowiedź. I automat – 6 godzin, II automat – 30 godzin.

Przykład 5.Automat wykonał 720 detali, pracując na niższym poziomie wydajności. Gdyby przestawić

ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu godziny będzie wykonywał o 40 detali

więcej i wtedy wykona 720 detali, pracując o 54 minuty krócej.

W ciągu ilu godzin ten automat wykonał 720 detali?

Rozwiązanie.

{xy = 720

{x − 910{y + 40 = 720

stąd x2 − 9x − 162 = 0, x = 412 (x = − 3

35 nie spełnia).

Odpowiedź. 4,5 godziny.

Przykład 6.Dwa automaty, pracując jednocześnie wykonały pewną liczbę detali. Aby wykonać taką liczbę

detali, pracując samodzielnie pierwszy automat musiałby pracować 3 razy dłużej, a drugi – o

1 godzinę dłużej.

W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

Rozwiązanie.

13x +

1x + 1 =

1x ,

stąd2

3x =1

x + 1 i x = 2.

Odpowiedź. I: 4 godziny, II: 12 godzin.


pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 4 godzin. Gdyby pierwszy pracował

samodzielnie przez 5 godzin, to aby wykonać wymaganą liczbę detali oba automaty musiałby


288

pracować jeszcze przez 3 godziny. W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wy-

konać tę liczbę detali?

(Pokaż odpowiedź)


pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 6 godzin. Gdyby pracowały kolejno:

najpierw pierwszy samodzielnie wykonał połowę detali, a następnie drugi również samodziel-

nie dokończył pracę, to wymaganą liczbę detali wykonałyby przez 16 godzin. W jakim czasie

każdy z tych automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.6.3Dwa automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę w ciągu 3 godzin. Gdyby pracowały ko-

lejno i najpierw tylko pierwszy wykonał połowę pracy, a następnie tylko drugi wykonał resztę,

to wykonałyby całą pracę w ciągu 8 godzin. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samo-

dzielnie wykonać tę pracę?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 3.6.4Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko

drugi. Pierwszy automat pracował wtedy 5 / 6 tego czasu, w którym drugi automat może wy-

konać całą pracę. Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w

czasie o 8 i pół godziny krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby 3 / 5 tego, co wyko-

nałby wówczas drugi. W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?

Poziom trudności: AZadanie 3.6.5Dwa różne automaty wykonały pewną liczbę detali, przy czym pierwszy automat najpierw przez

godzinę pracował sam, a następnie oba razem pracowały jeszcze przez pewien czas. Po trzech

godzinach od momentu rozpoczęcia pracy pierwszego automatu wykonano 45% całej pracy, a

po jej zakończeniu okazało się, że każdy z automatów wykonał po tyle samo detali. W ciągu ilu

godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

(Pokaż odpowiedź)


289

Poziom trudności: AZadanie 3.6.6Dwa różne automaty mają wykonać pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam

przez półtorej godziny, to do zakończenia pracy musiałyby pracować razem jeszcze przez 5,5

godziny. Pierwszy automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 3 godziny

dłuższym niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów

może samodzielnie wykonać tę pracę?

Poziom trudności: AZadanie 3.6.7Dwa różne automaty wykonują razem pewną pracę w ciągu 2 godzin. Pierwszy automat, pra-

cując samodzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o 3 godziny mniej niż drugi automat

pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę

pracę?

Poziom trudności: AZadanie 3.6.8Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów

miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 1 godzinę dłuższym, drugi –

w czasie o 17 godzin dłuższym, a trzeci – w czasie o 27 godzin dłuższym, niż gdy wykonały tę

pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

(Pokaż odpowiedź)


miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 2 godziny dłuższym, drugi – w

czasie o 4 godziny dłuższym, a trzeci – w czasie o 10 godzin dłuższym, niż wtedy gdy wykonały

tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

(Pokaż odpowiedź)


miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 1 godzinę dłuższym, drugi – w

czasie o 7 godzin dłuższym, a trzeci – w czasie o 16 godzin dłuższym, niż wtedy gdy wykonały

tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

(Pokaż odpowiedź)


290

Rozdział 4. Ciągi

4.1. Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennejnaturalnej


Klasa IIb pojechała na białą szkołę. Tomek, Małgosia, Julka, Franek i Jurek stoją w kolejce do wy-

ciągu narciarskiego. Każde z nich zajmuje konkretną pozycję w kolejce. Możemy powiedzieć, że

każdej z pozycji, czyli kolejnej liczbie naturalnej od 1 do 5, przyporządkowana jest konkretna oso-

ba. Takie przyporządkowanie nazywamy ciągiem.

Liczbie 1 (pierwszemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Tomek.

Liczbie 2 (drugiemu miejscu w kolejce) przyporządkowana jest Małgosia.

Liczbie 3 (trzeciemu miejscu w kolejce) przyporządkowana jest Julka.

Liczbie 4 (czwartemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Franek.

Liczbie 5 (piątemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Jurek.

Ciągi

291

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iZFjx378LV#iZFjx378LV_d29d4e892WOMI

Przykład 1.


Definicja: Definicja ciągu

• Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich.

Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

• Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całko-

witych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1,2 , ..., n}, gdzie n jest ustalo-

ną dodatnią liczbą całkowitą.

• Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. po-

dając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płasz-

czyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane (1, 3) i (3, 1) są różne.

• Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ w kolejce stoi 5

osób, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór

{1, 2, 3, 4, 5}.• Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych

elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.

W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, któ-

rych wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (an ) , (bn ), (cn ), itd. Natomiast

an oznacza n-ty wyraz ciągu (an), na przykład drugi wyraz ciągu (an) to a2.

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

292


Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu 1 oznaczymy (an), to a1 = Tomek, a2 = Małgo-

sia, a3 = Julka, a4 = Franek, a5 = Jurek.

Przykład 2.

Rozpatrzmy ciąg (an) składający się z 5 wyrazów, które są kolejnymi początkowymi liczbami

pierwszymi. Przypomnijmy, że najmniejszą liczbą pierwszą jest 2. Zatem

a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 11

Ciąg liczbowy, podobnie jak inne funkcje, można opisać na różne sposoby, np. narysować je-

go wykres. Oto wykres tego ciągu:

Przykład 3.Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem an = n2 + 3n. Aby obliczyć

wyraz o numerze n, należy podnieść numer wyrazu do kwadratu i dodać do niego potrojony

numer tego wyrazu.

W ten sposób obliczamy

a1 = 12 + 3 ∙ 1 = 4

a2 = 22 + 3 ∙ 2 = 10

a3 = 32 + 3 ∙ 3 = 18

a4 = 42 + 3 ∙ 4 = 28

a5 = 52 + 3 ∙ 5 = 40


293

a6 = 62 + 3 ∙ 6 = 54

Tak samo możemy obliczyć wyraz o dowolnie wybranym numerze, np.

a65 = 652 + 3 ∙ 65 = 4420

a100 = 1002 + 3 ∙ 100 = 10 300

Podany przez nas wzór ma tę własność, że każdy wyraz ciągu jest uzależniony od numeru

tego wyrazu, tego typu wzór określający ciąg nazywamy wzorem ogólnym.


Przykład 4.Dany jest ciąg ułamków takich, że licznik każdego z tych ułamków, a więc każdego wyrazu

tego ciągu równy jest numerowi, a mianownik jest o 1 większy od licznika. Zatem ciąg ten

ma postać (12 ,

23 ,

34 ,

45 , … ). Jego n-ty wyraz możemy opisać wzorem ogólnym an =

nn + 1 . Zna-

jąc wzór, możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu, np.

a73 =73

73 + 1 =7374


294


Przykład 5.

Dany jest ciąg nieskończony (an) o wzorze ogólnym an =n + 1

2n − 7 . Wypiszmy wszystkie wyrazy

ujemne tego ciągu.

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu to ułamekn + 1

2n − 7 , którego licznik, czyli n + 1, jest dodatni,

gdyż n ≥ 1. Zatem ułamek jest ujemny, gdy jego mianownik jest ujemny, czyli gdy 2n − 7 < 0,

a więc n < 3,5. Wynika stąd, że ujemnymi wyrazami są tylko trzy początkowe wyrazy:

a1 =1 + 12 − 7 = − 2

5 , a2 =2 + 14 − 7 = − 1, a3 =

3 + 16 − 7 = − 4

Przykład 6.

Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an =(−1)

n∙ (n2 − 25)n + 2 .

a1 =(−1)

1∙ (12 − 25)1 + 2 = 8

a2 =(−1)

2∙ (22 − 25)2 + 2 = − 21

4 = − 514

a3 =(−1)

3∙ (32 − 25)3 + 2 =

165 = 3

15

a10 =(−1)

10∙ (102 − 25)

10 + 2 =7512 = 6

14

a5 =(−1)

5∙ (52 − 25)5 + 2 = 0, a6 =

(−1)6

∙ (62 − 25)6 + 2 =

118 , a7 =

(−1)7

∙ (72 − 25)7 + 2 = − 24

9 = − 223 ,

co oznacza, że a5 < a6 oraz a6 > a7.

Przykład 7.

Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an = (n + 3)(2n − 5).

Oblicz wyrazy a1, a2, a3, a10.

Korzystając z wzoru ogólnego, mamy:

a)

Wykaż, że a5 < a6 oraz a6 > a7.

Obliczmy

a)


295

Przykład 8.

Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an = √3n + 6. Który wyraz tego ciągu jest równy 2√3

?

Rozwiązujemy równanie √3n + 6 = 2√3, czyli √3n + 6 = √12. Stąd wynika, że 3n + 6 = 12, więc

n = 2. Zatem jedynie a2 = 2√3.

Przykład 9.

Ciąg (an) określony jest wzorem ogólnym an =3√n − 2. Oblicz a1, a2, a3.

Obliczamy

a1 =3√1 − 2 =

3√−1 = − 1, a2 =3√2 − 2 = 0, a3 =

3√3 − 2 = 1

Zauważmy, że podanie kilku początkowych wyrazów ciągu nie pozwala jednoznacznie obli-

czyć kolejnych jego wyrazów ani określić wzoru ogólnego tego ciągu. Rozpatrzmy nieskoń-

czony ciąg ( − 1,0, 1, ...). Można byłoby przypuszczać, że jest to ciąg z poprzedniego przykła-

du, a więc ciąg określony wzorem ogólnym an =3√n − 2. Można byłoby też przyjąć, że wzór

ogólny tego ciągu to an = n − 2 lub an = (n − 2)5. Wówczas jednak inne byłyby już czwarte wy-

razy tych ciągów. W pierwszym a4 =3√2 , w drugim a4 = 2, a w ostatnim a4 = 32.

Jeżeli oprócz podania początkowych wyrazów ciągu określimy również zasadę opisującą two-

rzenie kolejnych jego wyrazów z poprzednich wyrazów, to wtedy ciąg określimy w sposób

jednoznaczny. Na przykład gdybyśmy przy określaniu ciągu nieskończonego ( − 1,0, 1, ...) po-

dali jeszcze, że każdy jego wyraz, począwszy od wyrazu drugiego, jest o 1 większy od wyrazu

bezpośrednio go poprzedzającego, to wówczas obie te informacje moglibyśmy zapisać krót-

ko w postaci a1 = − 1, an + 1 = an + 1 dla n ≥ 1. W ten sposób można obliczyć kolejne wyrazy

ciągu:

a2 = a1 + 1 = − 1 + 1 = 0, a3 = a2 + 1 = 0 + 1 = 1, a4 = a3 + 1 = 1 + 1 = 2

Jednak aby obliczyć np. a100 = a99 + 1, musimy najpierw obliczyć a99, a98, a97 itd. Zauważ-

Uzasadnij, że żaden wyraz ciągu (an) nie jest równy zero.

Przypuśćmy, że któryś z wyrazów jest równy zero, a więc an = 0. Zatem

(n + 3)(2n − 5) = 0, czyli n + 3 = 0 lub 2n − 5 = 0. Stąd n = − 3 lub n = 2,5. Żadna z tych

równości nie jest prawdziwa, gdyż n to numer wyrazu ciągu i jest dodatnią liczbą cał-

kowitą. To oznacza, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy 0.

a)

Który wyraz tego ciągu jest równy 6?

Podobnie jak poprzednio, rozwiązujemy równanie an = 6, czyli (n + 3)(2n − 5) = 6. Po

przekształceniu tego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2n2 + n − 21 = 0,

które ma dwa rozwiązania n = − 3,5 lub n = 3. Tylko drugie z tych rozwiązań jest to do-

datnia liczba całkowita, więc n = 3. Oznacza to, że tylko trzeci wyraz tego ciągu jest

równy 6.

b)


296

my jednak, że ten sam ciąg opisuje wzór ogólny an = n − 2, który pozwala obliczyć dowolny

wyraz ciągu, np.

a100 = 100 − 2 = 98

Przykład 10.Wyznacz wzór ogólny ciągu, którego pierwszy wyraz jest równy 7, a każdy następny wyraz

jest o 3 większy od poprzedniego.

Informacje podane w poleceniu możemy zapisać w postaci a1 = 7, an + 1 = an + 3 dla n ≥ 1.

Pierwszy wyraz ciągu to a1 = 7. Obliczmy kilka następnych wyrazów tego ciągu:

a2 = a1 + 3 = 7 + 1 ∙ 3 = 10

a3 = a2 + 3 = a1 + 3 + 3 = 7 + 2 ∙ 3 = 13

a4 = a3 + 3 = a1 + 2 ∙ 3 + 3 = 7 + 3 ∙ 3 = 16

Zauważmy, że trzeci wyraz jest większy od pierwszego wyrazu o dwie trójki, czyli o 2 ∙ 3,

czwarty jest większy od pierwszego o trzy trójki, czyli o 3 ∙ 3. Zatem wyraz o numerze n jest

większy od wyrazu pierwszego o n − 1 trójek. Wzór ogólny tego ciągu możemy więc zapisać

w postaci

an = 7 + (n − 1) ∙ 3

Zbadamy teraz, rozpatrując kilka przykładów, jak zachowują się kolejne wyrazy ciągu. Intere-

sować nas będzie, czy wyrazy ciągu rosną, maleją, czy nie zmieniają się.

Przykład 11.

Rozpatrzmy nieskończone ciągi (an), (bn), (cn) określone wzorami ogólnymi an =12 ∙ n − 5,

bn =2n − 3, cn = (n − 4)

2. Obliczymy trzy pierwsze wyrazy każdego z tych ciągów:

a1 =12 ∙ 1 − 5 = − 4

12 , a2 =

12 ∙ 2 − 5 = − 4, a3 =

12 ∙ 3 − 5 = − 3

12

b1 =21 − 3 = − 1, b2 =

22 − 3 = − 2, b3 =

23 − 3 = − 2

13

c1 = (1 − 4)2

= 9, c2 = (2 − 4)2

= 4, c3 = (3 − 4)2

= 1

Zauważmy, że

• Obliczone wyrazy ciągu (an) są coraz większe, a więc rosną. Tak też się dzieje z kolejny-

mi wyrazami tego ciągu, gdyż przy coraz większym n rośnie też wartość wyrażenia12 n − 5. Mówimy wówczas, że ciąg jest rosnący.


297

To samo możemy też stwierdzić, gdy zauważymy, że wykres ciągu (an) składa się z punktów

leżących na prostej o równaniu y =12x − 5. Ta prosta jest wykresem rosnącej funkcji liniowej.

Zatem i ciąg (an) jest rosnący.

• Obliczone wyrazy ciągu (bn) są coraz mniejsze, następne również maleją. Jest tak dlate-

go, że przy zwiększaniu n maleje ułamek2n , a to oznacza, że maleje też różnica

2n − 3. Ci-

ąg (bn) jest więc malejący.

Podobnie jak poprzednio do tego samego wniosku możemy dojść, zauważając, że wykres ci-

ągu (bn) składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu y =2x − 3. Ta hiperbola jest

wykresem funkcji, która w przedziale (0, + ∞) jest malejąca. Zatem i ciąg (bn) jest malejący.


298

• Obliczone wyrazy ciągu (cn) maleją, czwarty wyraz jest mniejszy od trzeciego

(c4 = 0 < 1 = c3), ale już kolejne wyrazy nie są coraz mniejsze. Piąty wyraz jest większy

od czwartego (c5 = 1 > 0 = c4). Ciąg ten nie jest więc malejący, nie jest też rosnący. To sa-

mo możemy zauważyć, patrząc na wykres (cn), który składa się z punktów leżących na

paraboli o równaniu y = (x − 4)2. Parabola ta jest wykresem funkcji malejącej w prze-

dziale (−∞, 4?, a rosnącej w przedziale ?4, + ∞. Funkcja ta nie jest więc monotoniczna w

przedziale ?1, + ∞, a w tym przedziale leżą wszystkie numery wyrazów ciągu.


299




300






301






302



Definicja: Ciągi monotoniczne

• Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,

jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla do-

wolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an + 1 > an

• Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,

jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla

dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an + 1 < an

• Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a

więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość

an + 1 = an

• Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugie-

go, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeże-

li dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an + 1 ≥ an

• Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,

jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla


an + 1 ≤ an

Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że

ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Przykład 12.

Ciąg określony wzorem an = (−1)n

∙ n nie jest monotoniczny. Wystarczy obliczyć trzy pierwsze

wyrazy tego ciągu: a1 = − 1, a2 = 2, a3 = − 3. Ponieważ a2 > a1 i a3 < a2, więc ciąg nie jest mo-

notoniczny.


W tabeli podane zostały wszystkie wyrazy ciągu (an).


303

n 1 2 3 4 5 6 7

an −3 −1 0 1 3 5 4

(Pokaż odpowiedź)


Ile wyrazów ujemnych występuje w ciągu an = (n − 20)(2n + 5)?(Pokaż odpowiedź)


Ciąg (an) określony jest wzorem an = n2 − 5n + 1.

a) Pierwszym wyrazem dodatnim tego ciągu jest a5.

b) Siódmy wyraz tego ciągu jest równy 15.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.4Podaj wzór ogólny, jakim może być określony

(Pokaż odpowiedź)

Narysuj wykres ciągu (an).a)

Rozstrzygnij, czy ciąg (an) jest monotoniczny.b)

ciąg siedmiowyrazowy (an): (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)a)

ciąg ośmiowyrazowy (bn): (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65)b)

ciąg sześciowyrazowy (cn): ( − 1,12 , − 1

3 ,14 , − 1

5 ,16 )c)

ciąg dziewięciowyrazowy (dn): (2√3, √13, √14, √15, 4, √17, 3√2, √19, 2√5)d)


304


Które wyrazy nieskończonego ciągu opisanego wzorem an =n2 + 5n + 6

n dla n ≥ 1 są liczbami cał-

kowitymi?

(Pokaż odpowiedź)


Nieskończony ciąg opisany jest wzorem an = n2 − 6n + 5.

(Pokaż odpowiedź)


Dany jest ciąg an =n + 12

7 . Czy istnieje wyraz tego ciągu równy 325?

(Pokaż odpowiedź)


Dany jest nieskończony ciąg (an) określony wzorem ogólnym an =n + 3

4n + 1 . Które wyrazy tego ci-

ągu są większe od13?

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz piąty wyraz ciągu (an) określonego następująco a1 = 3 oraz an + 1 = (−1)n

∙ an + n dla do-

wolnej liczby całkowitej n ≥ 1.

(Pokaż odpowiedź)


Ciąg (an) określony jest wzorem an =(−1)

n

n .

Wyznacz wyraz a7 i wyraz a10.a)

Wyznacz wszystkie ujemne wyrazy tego ciągu.b)

Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n mamy an ≥ − 4.c)


305

(Pokaż odpowiedź)


Ile wyrazów nieskończonego ciągu określonego wzorem an =3

n + 2 należy do przedziału (13 , 2)?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.1.12Niech anoznacza liczbę wszystkich naturalnych dzielników dodatniej liczby całkowitej n, gdzie

1 ≤ n ≤ 7. Sporządź wykres ciągu (an) . Który wyraz tego ciągu jest największy?

(Pokaż odpowiedź)

Oblicz wartość wyrażenia a5 + 2a6.a)

Określ monotoniczność ciągu (an).b)


306


Dane są ciągi (an) i (bn) o wzorach ogólnych an = n + 5 i bn = 3n − 7. Sumą ciągów (an) i (bn )na-

zywamy ciąg (cn) o wzorze ogólnym cn = an + bn . Różnicą ciągów (an) i (bn) nazywamy ciąg (dn) o

wzorze ogólnym dn = an − bn.Iloczynem ciągów (an) i (bn) nazywamy ciąg (en) o wzorze ogólnym

en = anbn.Ilorazem ciągów (an) i (bn) nazywamy ciąg (fn) o wzorze ogólnym fn =anbn

. Ciąg (fn) jest

określony dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n, ponieważ żaden wyraz ciągu (bn) nie jest

równy 0.

(Pokaż odpowiedź)

Ile wyrazów dodatnich ma ciąg (dn)?a)

Który wyraz ciągu (en) jest równy zero?b)

Czy liczba 1 jest jednym z wyrazów ciągu (fn)?c)

Które wyrazy ciągu (cn) są mniejsze od 10?d)

Czy ciąg (fn) jest monotoniczny?e)

Wyznacz wszystkie wartości n, dla których prawdziwa jest równość cn + 4 = en − 4 + 1.f)

Wykaż, że trzeci wyraz ciągu (en) jest kwadratem liczby naturalnej.g)


307


W nieskończonym ciągu (an) każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest dwa razy większy od

różnicy wyrazu poprzedniego i liczby 1. Wyraz a7 = 66. Oblicz wyrazy ciągu od pierwszego do

szóstego.

(Pokaż odpowiedź)



308





309






310

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iZFjx378LV#iZFjx378LV_d5e1078WOMI

4.2. Ciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny

Przykład 1.


Ciąg arytmetyczny

311

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN#iaKE2NFytN_d31d4e917WOMI

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej 3 wyrazy i każdy jego wy-

raz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej licz-

by. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją r.

Jeśli więc ciąg jest skończony i ma k ≥ 3 wyrazów, to an + 1 = an + r dla dowolnej liczby

całkowitej 1 ≤ n ≤ k − 1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to an + 1 = an + r dla

dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1.


Zauważmy, że jeżeli znamy a1, czyli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, oraz różnicę r tego ci-

ągu, to możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu.

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a1 + 3r

a5 = a4 + r = a1 + 4r …

Ciąg arytmetyczny

312


Wystarczy zatem do wyrazu a1dodać (n − 1) razy różnicę r tego ciągu. Otrzymaliśmy w ten sposób

wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.


Ciąg arytmetyczny

313


Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (an) o różnicy r jest równy an = a1 + (n − 1)r.

Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość

an + 1 = an + r możemy też zapisać w postaci równoważnej an + 1 − an = r.


Ciąg arytmetyczny

314



Przykład 2.Sprawdź, czy nieskończony ciąg określony wzorem ogólnym an = 2 − 3n jest ciągiem arytme-

tycznym. Jeżeli tak, to oblicz jego różnicę.

Zbadamy różnicę an + 1 − an dwóch kolejnych wyrazów ciągu (an). Wyznaczmy najpierw

an + 1 = 2 − 3(n + 1) = 2 − 3n − 3 = − 3n − 1

Wtedy

an + 1 − an = − 3n − 1 − (2 − 3n) = − 3n − 1 − 2 + 3n = − 3

Otrzymana różnica jest stała (nie zależy od n), co oznacza, że rozważany ciąg jest arytmetycz-

ny, a otrzymana liczba −3 to właśnie różnica tego ciągu.

Zauważmy, że

a1 = 2 − 3 ∙ 1 = − 1

Wzór na n-ty wyraz to an = − 1 + (n − 1)(−3), co jest zgodne z tym, że an = 2 − 3n.

Przykład 3.

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an) jest równy 7, a różnica tego ciągu jest równa −2.

Oblicz dziesiąty oraz trzydziesty drugi wyraz tego ciągu.

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy

a10 = 7 + (10 − 1)(−2) = 7 − 18 = − 11

Ciąg arytmetyczny

315


a32 = 7 + (32 − 1)(−2) = 7 − 62 = − 55

Przykład 4.

Piąty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy 523 , a siódmy wyraz tego ciągu jest

równy 7. Podaj wyraz jedenasty tego ciągu.

Obliczymy jedenasty wyraz ciągu dwoma sposobami.

• sposób I

Zapiszemy, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, wyrazy a5 i a7

a5 = a1 + 4r

oraz

a7 = a1 + 6r

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi a1i r

{ a1 + 4r = 523

a1 + 6r = 7

Rozwiążmy ten układ:

{ a1 + 4r = 523

a1 = 7 − 6r

{ 7 − 6r + 4r = 523

a1 = 7 − 6r

{ −2r = − 7 + 523

a1 = 7 − 6r

{ −2r = − 43

a1 = 7 − 6r

Ciąg arytmetyczny

316

{ r =23

a1 = 7 − 6 ∙ 23 = 3

Możemy teraz, ponownie stosując wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, obliczyć wyraz

jedenasty

a11 = a1 + 10r = 3 + 10 ∙ 23 = 9

23

• sposób II

Zauważmy, że wyraz siódmy różni się od piątego wyrazu o 2r, gdyż a7 − a6 = r oraz a6 − a5 = r

. Zatem 2r = 7 − 523 =

43 . Szukany wyraz jedenasty różni się od wyrazu siódmego o 4r. Zatem

a11 = a7 + 4r = 7 + 2 ∙ 43 = 9

23

Zwróćmy uwagę, że każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny.


Ciąg arytmetyczny

317


Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu

arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego

jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe a1.


Zauważmy, że każdy punkt wykresu ciągu arytmetycznego an = a1 + (n − 1)r leży na prostej o rów-

naniu y = a1 + (x − 1)r, czyli y = rx + a1 − r, gdzie r oraz a1 (różnica i pierwszy wyraz ciągu) to ustalo-

ne dla danego ciągu liczby. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy różnicy ciągu. Tak więc

ciąg(an) jest:

• rosnący, gdy rosnąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współ-

czynnik kierunkowy r tej prostej jest dodatni, czyli r > 0;

• malejący, gdy malejąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy

współczynnik kierunkowy r tej prostej jest ujemny, czyli r < 0;

• stały, gdy stała jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik

kierunkowy r tej prostej jest równy zero, czyli r = 0.

Ciąg arytmetyczny

318


Przykład 5.

Ciąg (an) jest arytmetyczny oraz a1 + a5 = 8 i a2 ∙ a8 = 19. Oblicz pierwszy wyraz oraz różnicę

ciągu (an).Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać wyrazy a2, a5 i a8 w zależności

od a1 i r. Możemy wtedy zapisać równanie a1 + a5 = 8, podane w treści zadania, w postaci

a1 + (a1 + 4r) = 8. Stąd a1 = 4 − 2r. Podobnie możemy zapisać równanie a2 ∙ a8 = 19 w postaci

(a1 + r)(a1 + 7r) = 19. W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą r

(4 − 2r + r)(4 − 2r + 7r) = 19

Przekształcamy je w sposób równoważny

(4 − r)(4 + 5r) = 19

16 + 16r − 5r2 = 19

−5r2 + 16r − 3 = 0

Obliczamy wyróżnik tego równania ∆ = 256 − 60 = 196 > 0. Zatem równanie to ma dwa roz-

wiązania r1 = 3 oraz r2 =15 .

To oznacza, że istnieją dwa ciągi arytmetyczne, których wyrazy spełniają podane w treści

zadania warunki. Gdy r = 3, to a1 = 4 − 2r = 4 − 2 ∙ 3 = − 2, a gdy r =15 , to

a1 = 4 − 2r = 4 − 2 ∙ 15 =

185 .




Wyrazami nieskończonego ciągu (an) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 6

dają resztę 2, a trzeci wyraz tego ciągu a3 = 56. Oblicz siedemdziesiąty wyraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Ciąg arytmetyczny

319

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN#iaKE2NFytN_d5e408WOMI


a) Ciąg bn =n7 + 2 jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2.

b) Ciąg cn = 2n − 3 jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.

c) Ciąg an = n2 + 7 jest ciągiem arytmetycznym.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.5Liczby a, 2, b, c, 3, d w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz a, b, c i d.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.6Pomiędzy liczby 6 i 30 wstaw siedem liczb, tak aby razem z liczbami 6 i 30 tworzyły ciąg arytme-

tyczny.

(Pokaż odpowiedź)


Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym a10 = 10√2 + 9 oraz r = √2 + 1. Wyznacz równanie

prostej, w której zawarty jest wykres ciągu (an).(Pokaż odpowiedź)

Ciąg arytmetyczny

320

Poziom trudności: AZadanie 4.2.8Który z rysunków przedstawia wykres ciągu arytmetycznego?

(Pokaż odpowiedź)


Wyrazy każdego nieskończonego ciągu arytmetycznego (an) spełniają warunek

a) a4 + a5 = a2 + a7

b) a6 + a8 = 2a7

c) a3 + a7 = a10

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.10Liczby 5, − 2, − 9 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego określonego dla

n ≥ 1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać.

a) 7n − 12

b) −7n + 12

c) −7n − 12

Ciąg arytmetyczny

321

d) 7n + 12

(Pokaż odpowiedź)


Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym r = 6 i a10 = 55. Wtedy pierwszy wyraz ciągu jest rów-

ny

a) 5

b) −1

c) −5

d) 1

(Pokaż odpowiedź)


Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an = 2n + 6 . Wtedy

a) a6 + a12 = 48

b) a6 + a12 = 38

c) a6 + a12 = 28

d) a6 + a12 = 18

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.13Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem an = 4n − 21. Ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich?

a) 7

b) 6

c) 5

d) 4

(Pokaż odpowiedź)

Ciąg arytmetyczny

322


Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli tak, to podaj jego różnicę. an =2n

n + 1

bn = 3 − n + 25 cn = n2 + 5n

(Pokaż odpowiedź)




Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, wiedząc, że a3 =45 oraz a10 = 5.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an), którego różnica jest równa r = − 7 oraz ósmy

wyraz jest równy a8 = 23.

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz takie liczby a, b, c i d, żeby ciąg (3, a, b, c, 8, d) był arytmetyczny.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz pierwszy wyraz i różnicę malejącego ciągu arytmetycznego (an), w którym a2 + a7 = − 17

oraz a3 ∙ a5 = 11.

(Pokaż odpowiedź)

Ciąg arytmetyczny

323

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN#iaKE2NFytN_d5e831WOMI

Poziom trudności: AZadanie 4.2.20Ciąg arytmetyczny składa się z trzech wyrazów. Ich suma jest równa 12, a suma ich kwadratów

jest równa 66. Oblicz wyrazy tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.21Miary kątów w pewnym czworokącie tworzą ciąg arytmetyczny. Największy z kątów ma miarę

105 ° . Oblicz miary pozostałych kątów tego czworokąta.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.2.22Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych, których długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.2.23Wykaż, że jeżeli cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba ta jest podzielna

przez 3.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.2.24Oblicz, ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny, w którym suma dwóch pierwszych wyrazów jest rów-

na 23, suma dwóch ostatnich wyrazów jest równa 119, a wyraz jedenasty jest równy 40.

(Pokaż odpowiedź)

Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?a)

Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?b)

Ciąg arytmetyczny

324

Poziom trudności: BZadanie 4.2.25Wykaż, że jeżeli w ciągu arytmetycznym prawdziwe są zależności an = m oraz am = n dla n ≠ m,

to różnica tego ciągu jest równa − 1.

(Pokaż odpowiedź)


Ciąg arytmetyczny

325


4.3. Ciągi – własności ciągów arytmetycznychWłasności ciągu arytmetycznego

Przykład 1.

Rozważmy dowolny ciąg arytmetyczny (an) określony dla n > 1 i dowolnie wybrany jego wyraz

an.

Poszukamy zależności pomiędzy wyrazem an ciągu oraz wyrazami z nim sąsiadującymi, czyli

wyrazem o numerze o jeden mniejszym an − 1 oraz wyrazem o numerze o jeden większym

an + 1. Zauważmy, że są to trzy kolejne wyrazy ciągu. Różnica pomiędzy kolejnymi dwoma wy-

razami jest stała.

Mamy więc

an − an − 1 = an + 1 − an

stąd

an =an + 1 + an − 1

2

Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciąg (an) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierw-

szym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich

an =an + 1 + an − 1

2 dla n > 1

Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci

2an = an + 1 + an − 1

Ciągi – własności ciągów arytmetycznych

326

Przykład 2.Liczby x − 2, 3, x + 6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu aryt-

metycznego. Oblicz czwarty wyraz tego ciągu.

Korzystając z własności ciągu arytmetycznego, mamy 3 =x − 2 + x + 6

2 , stąd 6 = 2x + 4, czyli x = 1.

Zatem trzy pierwsze wyrazy tego ciągu to −1, 3, 7. Różnica ciągu jest równa 7 − 3 = 4. Czwar-

ty wyraz ciągu jest zatem równy a4 = 11.


Przykład 3.

Sprawdź, czy ciąg ( 1

√2 − 1 , √2,1

√2 + 1 ) jest arytmetyczny.

Ponieważ

1

√2 − 1+

1

√2 + 12 =

√2 + 12 − 1

+ √2 − 12 − 1

2 =2√2

2 = √2, więc ten ciąg jest arytmetyczny.

Przykład 4.

Wyznacz kilka początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), wiedząc, że jego początko-

we wyrazy spełniają warunki a1 + a2 + a3 = 12 oraz a1 ∙ a2 ∙ a3 = 28.

Ponieważ 2a2 = a1 + a3, to pierwsze równanie możemy zapisać w postaci 3a2 = 12, stąd a2 = 4

. Ponieważ a1 = a2 − r = 4 − r oraz a3 = a2 + r = 4 + r, równanie a1 ∙ a2 ∙ a3 = 28 zapisujemy w

postaci

4(4 − r)(4 + r) = 28


327

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ikHgzbVvV3#ikHgzbVvV3_d571d4e1969WOMI

16 − r2 = 7, stąd r = 3 lub r = − 3. Otrzymaliśmy więc dwa ciągi arytmetyczne postaci

(1, 4, 7, 10, … ) oraz (7, 4, 1, − 2, ...).


Zauważmy, że twierdzenie możemy uogólnić. Wybierzmy dowolny wyraz an, który nie jest pierw-

szym ani ostatnim wyrazem ciągu, a następnie całkowitą dodatnią liczbę k < n. Mamy wówczas

an = a1 + (n − 1)r

an + k = a1 + (n + k − 1)r

an − k = a1 + (n − k − 1)r

Wtedy

an + k + an − k2 =

a1 + (n + k − 1)r + a1 + (n − k − 1)r2 =

2a1 + 2(n − 1)r2 = a1 + (n − 1)r = an

Możemy zatem sformułować twierdzenie.


328


Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciąguarytmetycznego

Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego n > 1 oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej

k < n mamy

an =an − k + an + k

2

Zauważmy, że wyrazy an − k, an, an + k są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o

różnicy kr. Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema

kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.


Przykład 5.W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz piąty jest równy 23, a wyraz piętnasty 37. Oblicz wy-

raz dziesiąty.

a10 =a5 + a15

2 =23 + 37

2 = 30


329


Poziom trudności: AZadanie 4.3.1Jaką liczbę należy wpisać pomiędzy liczby 7 i 20, żeby otrzymać trzywyrazowy ciąg arytmetycz-

ny?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.2Liczby a, b, 22 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym a + b = 26. Oblicz a i

b.

(Pokaż odpowiedź)




Liczby 5x − 3, x2 + 3x, 3x2 − 3 są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu

arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.5Dla pewnych liczb x i y wartości wyrażeń x + 4y, 3x + 2y, x + 2y + 2, 3x + y − 3 są czterema po-

czątkowymi, kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an). Wyznacz liczby x i y, a następnie

piąty wyraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)


Nieskończony ciąg liczbowy (an) określony jest wzorem an = 3 − 2n . Wyznacz taką liczbę x, dla

której ciąg (a3, a9, x) jest arytmetyczny.

(Pokaż odpowiedź)


330

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ikHgzbVvV3#ikHgzbVvV3_d5e294WOMI


Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej m ciąg (m + 46 ,

m + 24 ,

m + 13 ) jest arytmetyczny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.8Liczby 5, a, 25 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Zatem a jest równe

a) 30

b) 20

c) 15

d) 10

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.9Jaką liczbę należy wstawić pomiędzy liczby √3 + 2 oraz 3√3 − 4, żeby wraz z nimi utworzyła trzy-

wyrazowy ciąg arytmetyczny?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.10Wyznacz liczbę x, dla której liczby x + 7, 2x + 9, 3x + 11 w podanej kolejności tworzą ciąg aryt-

metyczny.

(Pokaż odpowiedź)


Liczby 6x2 + 8, 2x2 + 5x − 3, 7 − 7x są w podanej kolejności trzema pierwszymi wyrazami ciągu

arytmetycznego. Wyznacz x.

(Pokaż odpowiedź)


331


Ciąg ( 1x + 1 ,

2x + 13x ,

x + 2x + 1 ) jest arytmetyczny dla pewnej liczby x ? R \ {−1,0}. Wyznacz tę liczbę.

(Pokaż odpowiedź)


Ciąg (x + 3y − 4, − x + y + 1, x + y, 3x + 2y, … ) jest arytmetyczny. Wyznacz x i y oraz oblicz

dwudziesty wyraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.14Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe x, dla których liczba x, podwojona cyfra jej jedności i po-

dwojona cyfra jej dziesiątek są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

(Pokaż odpowiedź)


Wiedząc, że w pewnym ciągu arytmetycznym (an) mamy a4 = 1 oraz a9 = 17, wyznacz czternasty

wyraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.3.16W pewnym ciągu arytmetycznym a1 = 4 oraz a5 = 17. Znajdź a2 + a3 + a4.

(Pokaż odpowiedź)


Niech a, b, c będą dowolnymi dodatnimi liczbami, takimi że ciąg (a2, b2, c2) jest arytmetyczny.

Udowodnij, że ciąg liczb ( 1b + c ,

1c + a ,

1a + b ) też jest arytmetyczny.

(Pokaż odpowiedź)


332

4.4. Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznegoSuma wyrazów ciągu arytmetycznego

Przykład 1.


Przykład 2.Podobną metodę możemy zastosować do zsumowania n początkowych wyrazów dowolnego

ciągu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem Sn sumę n początkowych wyrazów ciągu (an),czyli Sn = a1 + a2 + … + an. Zapiszmy zatem sumę Sn dwukrotnie: raz składniki zapiszemy od

pierwszego do ostatniego, drugi raz odwrotnie, czyli

Sn = a1 + a2 + … + an − 1 + an

Sn = an + an − 1 + … + a2 + a1

Każdy wyraz ciągu (an) możemy zapisać w postaci an = a1 + (n − 1)r, więc

Sn = a1 + (a1 + r) + … + (a1 + (n − 2)r) + (a1 + (n − 1)r)Sn = (a1 + (n − 1)r) + (a1 + (n − 2)r) + … + (a1 + r) + a1

Zauważ, że w każdej kolumnie otrzymujemy sumę 2a1 + (n − 1)r, a to jest suma a1 + an.

Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego

333

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm#ia7BnhauDm_d47d4e962WOMI

Ponieważ kolumn jest n, więc 2Sn = n ∙ (2a1 + (n − 1)r ) = n ∙ (a1 + an).W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego.

Twierdzenie: O sumie wyrazów ciąguarytmetycznego

Suma Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa

Sn =2a1 + (n − 1)r

2 ∙ n =a1 + an

2 ∙ n.

Przykład 3.Oblicz sumę 1 + 2 + 3 + ... + 100.

Sumowane liczby tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 1 oraz a100 = 100. Mamy więc

S100 =1 + 100

2 ∙ 100 = 5050

Przykład 4.Oblicz sumę stu początkowych liczb naturalnych, które podzielone przez 3 dają resztę 2.

Pierwszą liczbą naturalną, która podzielone przez 3 daje resztę 2 jest 2, drugą 5, trzecią 8.

Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Suma początkowych wyrazów tego ciągu jest

równa

S100 =2a1 + 99r

2 ∙ 100 =2 ∙ 2 + 99 ∙ 3

2 ∙ 100 = 15050.

Przykład 5.Rozwiąż równanie 3 + 7 + 11 + … + (4n − 1) = 595 z niewiadomą n.

Liczby, które sumujemy po lewej stronie równania, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycz-

nego o pierwszym wyrazie a1 = 3, różnicy r = 4. Suma ta składa się z n wyrazów. Ponieważ n

jest liczbą wyrazów, więc jest liczbą całkowitą dodatnią. Ze wzoru na sumę n początkowych

wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

Sn =2 ∙ 3 + (n − 1)4

2 ∙ n = 3n + 2n(n − 1) = 2n2 + n

Z treści zadania wynika, że

2n2 + n = 595

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe 2n2 + n − 595 = 0, które ma dwa rozwiązania

n1 = − 17,5 oraz n2 = 17. Tylko druga z liczb jest całkowita dodatnia. Zatem rozwiązaniem

równania jest liczba 17.


334

Przykład 6.Liczby 9, 5, 1 są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetyczne-

go (an). Oblicz sumę a10 + a11 + a12 + … + a30.

Pierwszy wyraz ciągu (an) jest równy a1 = 9, a różnica ciągu jest równa r = a2 − a1 = 5 − 9 = − 4

.

• sposób I

Zauważmy, że

a10 + a11 + a12 + … + a30 = a1 + a2 + … + a9 + a10 + a11 + a12 + … + a30 − (a1 + a2 + … + a9) = S30 − S9

Ponieważ

S30 =2a1 + 29r

2 ∙ 30 = (18 − 116) ∙ 15 = − 1470

oraz

S9 =2a1 + 8r

2 ∙ 9 =18 − 32

2 ∙ 9 = − 63,

więc

a10 + a11 + a12 + … + a30 = − 1470 + 63 = − 1407

• sposób II

Możemy zauważyć, że wyrazy a10, a11, a12, … , a30, które mamy zsumować, są kolejnymi

wyrazami ciągu arytmetycznego (bn), który składa się z 21 wyrazów i w którym

b1 = a10 = a1 + 9r = − 27

oraz

b21 = a30 = a1 + 29r = − 107

Suma 21 początkowych wyrazów tego ciągu jest więc równa

S21 =b1 + b21

2 ∙ 21 =−27 − 107

2 ∙ 21 = − 1407




335

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm#ia7BnhauDm_d5e294WOMI

Poziom trudności: AZadanie 4.4.2Suma kolejnych 100 liczb naturalnych jest równa 7250. Jakie to liczby?

(Pokaż odpowiedź)


a) Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym an = 2n − 7 jest równa 352.

Ciąg składa się z 22 wyrazów.

b) Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym an = 2n − 7 dla n ≥ 1 jest

równa 352. Ciąg składa się z 22 wyrazów.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.4Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.5Długości kolejnych boków pewnego wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Najdłuższy

bok wielokąta ma długość 28, a obwód wielokąta jest równy 93. Ile boków ma ten wielokąt?

(Pokaż odpowiedź)


Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest równa Sn =3n2 − 13n

2

dla każdego n ≥ 1. Wtedy

a) Różnica tego ciągu jest równa 3

b) Piąty wyraz tego ciągu jest równy 5

(Pokaż odpowiedź)


336

Poziom trudności: AZadanie 4.4.7Różnica pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 2, natomiast sumy n oraz n + 2 jego począt-

kowych wyrazów są równe Sn = 176 oraz Sn + 2 = 240. Oblicz n.

(Pokaż odpowiedź)



Poziom trudności: AZadanie 4.4.9W ciągu arytmetycznym a1 = 5 oraz a30 = 9. Wtedy suma S30 = a1 + a2 + … + a30 jest równa

a) 1890

b) 270

c) 225

d) 210

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.10Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które podzielone przez 5 dają resztę

2.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.11Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych.

(Pokaż odpowiedź)


Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym a1 = 3 oraz r = 4. Wyznacz największe n, dla którego

Sn < 80.

(Pokaż odpowiedź)


337

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm#ia7BnhauDm_d5e487WOMI

Poziom trudności: AZadanie 4.4.13W pewnym ciągu arytmetycznym a9 = 11 oraz a14 = 1 znajdź sumę początkowych dwudziestu

jeden wyrazów tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.14Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którego wzór ogólny jest

postaci an =2n − 1

5 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.15Suma piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa S15 = 135, a różnica

tego ciągu jest równa r = 3. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu szesnastego

do wyrazu trzydziestego.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.16Ile liczb trzeba wstawić między liczby −13 oraz 8, aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego su-

ma jest równa – 25?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.4.17Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, w którym sumy ośmiu i trzynastu po-

czątkowych wyrazów są równe S8 = − 223 , S13 = 6

12 .

(Pokaż odpowiedź)


Rozwiąż równanie 42 ∙ 44 ∙ 46 ∙ … ∙ 42n = 0,25−30

(Pokaż odpowiedź)


338


Wykaż, że n + 2n + 3n + … + n2 =n2(n + 1)

2 .

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz sumę dwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), wiedząc,

że a8 + a10 + a16 + a18 = 20.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.4.21Wiedząc, że siódmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 0, oblicz sumę trzynastu pierw-

szych wyrazów tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że 1002 − 992 + 982 − 972 + 962 − 952 + … + 42 − 32 + 22 − 12 = 5050.

(Pokaż odpowiedź)


339

4.5. Ciąg geometrycznyCiąg geometryczny

Przykład 1.Spotykamy się czasem ze stwierdzeniem, że zeszyt, w którym piszemy, ma format A4 albo

A5. Co to oznacza? Międzynarodowa norma definiuje 3 serie formatów A, B i C, przy czym

formaty C związane są z określeniami formatów kopert.

Format A0 odpowiada prostokątowi o powierzchni 1 m2, przy czym jego wymiary są tak do-

brane, żeby stosunek dłuższego boku do krótszego był równy √2. Mamy więc wymiary arku-

sza formatu A0: 1188 mm i1188

√2 mm. Format A1 jest połową formatu A0, czyli krótszy bok

arkusza formatu A0 to dłuższy bok arkusza formatu A1 i stosunek dłuższego boku do krót-

szego jest równy √2. Zatem kartka formatu A1 ma wymiary:1188

√2 mm i1188

(√2)2 mm.

Otrzymujemy ciąg liczb, z których każda następna, oprócz pierwszej, jest √2 razy mniejsza od

poprzedniej, czyli (1188,1188

√2 ,1188

(√2)2 ,

1188

(√2)3 ,

1188

(√2)4 , ...). Jakie wymiary będzie miał arkusz formatu

A5?

Wymiary arkusza formatu A5 będą szóstą i siódmą liczbą w tym ciągu. Obliczamy

a6 =a5

√2 =1188

(√2)5 =

297

√2

oraz

a7 =a6

√2 =1188

(√2)6 =

11888 = 148,5

Zatem kartka formatu A5 ma wymiary297

√2 mm i1188

(√2)6 = 148,5 mm.

W praktyce wymiary arkuszy są zaokrąglane do pełnych milimetrów. Otrzymujemy w ten

sposób ciąg (1188, 840, 594, 420, 297, ...).

Oba przykłady opisują ciągi, w których każdy kolejny wyraz jest iloczynem wyrazu poprzedniego

przez pewną ustaloną liczbę. Takie ciągi nazywamy ciągami geometrycznymi.

Ciąg geometryczny

340

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg (an) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej 3 wyrazy, jego

pierwszy wyraz jest różny od 0, a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzednie-

go wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycz-

nego i oznaczamy przez q.

Ciąg geometryczny

341

• Jeśli ciąg jest skończony i ma k ≥ 3 wyrazów, to a1 ≠ 0 i an + 1 = an ∙ q dla dowolnej liczby cał-

kowitej 1 ≤ n ≤ k − 1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to a1 ≠ 0 i an + 1 = an ∙ q dla do-

wolnej liczby całkowitej n ≥ 1.

Z definicji wynika, że

• jeśli q ≠ 0, to, wobec warunku a1 ≠ 0, wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) sa różne

od zera

• jeśli q = 0, to wyrazy ciągua2, a3, a4, … sa równe 0, czyli jest to ciąg postaci a1, 0,0, 0, …

• Ciąg geometryczny w pewnym sensie jest podobny do ciągu arytmetycznego. W ciągu aryt-

metycznym kolejny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. W ciągu

geometrycznym kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu oraz pewnej ustalonej

liczby. Dlatego techniki, którymi będziemy się posługiwać w rozwiązywaniu zadań doty-

czących ciągów geometrycznych i ciągów arytmetycznych, będą podobne, lecz wykonywane

obliczenia będą inne.

• Żeby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, postępujemy podobnie jak w przypadku ciągu

arytmetycznego. Tam badaliśmy, czy różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała. W

przypadku ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od zera, wystarczy zbadać, czy

ilorazan + 1

anjest stały dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1.

• Dowolne trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, w którym a1 ≠ 0 i an ≠ 0, spełniają rów-

nośćan + 1

an=

anan − 1

, którą możemy zapisać w postaci

an2 = an + 1 ∙ an − 1

Dowolne trzy kolejne, różne od 0 wyrazy ciągu geometrycznego spełniają równość

an + 1an

=an

an − 1,

którą możemy zapisać w postaci an2 = an + 1 ∙ an − 1

Ciąg geometryczny

342


Własność: Własność ciągu geometrycznego

Ciąg (an) o wyrazach różnych od 0 jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnej liczby całkowitej n > 1 (1 < n < k, ciąg (an) jest k − wyrazowy) prawdziwa jest równo-

ść

an2 = an + 1 ∙ an − 1

Jeżeli wyrazy ciągu (an) są liczbami dodatnimi, to równość an2 = an + 1 ∙ an − 1 możemy zapisać

w postaci an = √an + 1 ∙ an − 1.

Oznacza to, że wyraz an jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Zauważmy, że jeżeli w ciągu (an) jest a1 ≠ 0 oraz istnieją wyrazy równe 0 i wyrazy różne od

0, to z definicji wynika, że nie jest to ciąg geometryczny, mimo że może spełniać warunek

an2 = an + 1 ∙ an − 1

Na przykład ciąg (2, 0, 0, 3) spełnia warunki a22 = a1 ∙ a3 oraz a3

2 = a2 ∙ a4, lecz nie jest to ciąg

geometryczny.

Ciąg geometryczny

343

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTDlAqaSFo#iTDlAqaSFo_d1728d4e5185WOMI

Przykład 2.Sprawdź, czy ciąg (√2 − 1, 1, √2 + 1) jest ciągiem geometrycznym.

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są różne od zera, więc możemy skorzystać z twierdzenia o

własności ciągu geometrycznego. Wystarczy więc sprawdzić, czy a22 = a1 ∙ a3.

Iloczyn

a1 ∙ a3 = (√2 − 1) ∙ (√2 + 1) = 2 − 1 = 1 = 12 = a22,

więc wnioskujemy, że ten ciąg jest geometryczny.

Przykład 3.W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy mają postać

a1

a2 = a1q

a3 = a2q = (a1q) ∙ q = a1q2

a4 = a3q = (a1q2) ∙ q = a1q3

i tak dalej.

Zauważmy, że każdy kolejny wyraz ciągu jest iloczynem wyrazu pierwszego oraz pewnej licz-

by czynników q. Czynników q jest o 1 mniej, niż wynosi numer wyrazu, który chcemy obliczyć,

a więc wyraz an jest iloczynem wyrazu a1oraz n − 1 czynników q . Zatem n-ty wyraz ciągu jest

równy an = a1qn − 1 .

Ciąg geometryczny

344

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli a1 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (an) i q jest ilorazem tego ciągu, to

dla dowolnej liczby całkowitej n > 1 mamy an = a1qn − 1 .


Przykład 4.

Oblicz ósmy wyraz ciągu geometrycznego, w którym a1 = 81 oraz q = − 13 .

Zastosujemy podany wcześniej wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Ósmy wyraz ciągu

jest więc równy

a8 = a1q7 = 81 ∙ (− 13 )

7= − 34 ∙ 3−7 = − 3−3 = − 1

27

Przykład 5.

Którym wyrazem ciągu geometrycznego (an), w którym a1 = 3 oraz q = 5, jest liczba 1875?

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego mamy 3 ∙ 5n − 1 = 1875. Stąd otrzymujemy

5n − 1 = 625 = 54. Zatem n − 1 = 4, czyli n = 5. Liczba 1875 jest więc piątym wyrazem ciągu (an).

Ciąg geometryczny

345


Przykład 6.

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) jest równy a1 = 1, a trzeci wyraz tego ciągu jest o

2 większy od drugiego wyrazu tego ciągu. Oblicz iloraz q tego ciągu.

Drugi i trzeci wyraz ciągu są równe a2 = a1q, a3 = a1q2. Ponieważ a1 = 1, to a2 = 1 ∙ q = q oraz

a3 = 1 ∙ q2 = q2. Wyrazy te różnią się o 2, czyli a3 − a2 = 2, więc q2 − q = 2. Otrzymaliśmy rów-

nanie kwadratowe z niewiadomą q. Ma ono dwa rozwiązania q1 = − 1 oraz q2 = 2. Są więc

dwa takie ciągi geometryczne o ilorazach q1 = − 1 oraz q2 = 2.

Przykład 7.

Pomiędzy liczby643 oraz 9 wstaw takie dwie liczby, żeby otrzymać czterowyrazowy ciąg geo-

metryczny.

Liczba 9 jest czwartym, a liczba643 pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Stąd 9 =

643 q3

, gdzie q oznacza iloraz tego ciągu. Zatem q =34 . Drugi wyraz tego ciągu jest więc równy

x =643 ∙ q =

643 ∙ 3

4 = 16, a trzeci y = x ∙ q = 16 ∙ 34 = 12.

Przykład 8.

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (an), w którym a6 + a5 = 540 oraz

a6 − a4 = 1296.

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, kolejne wyrazy ciągu geometrycz-

nego zapisujemy a3 = a1q2, a4 = a1q3, a5 = a1q4, a6 = a1q5. Równania dane w zadaniu zapisu-

jemy więc w postaci układu równań

{ a1q5 + a1q4 = 1944

a1q5 − a1q3 = 1296

{ a1q4{q + 1 = 1944

a1q3{q2 − 1 = 1296

{ a1q4{q + 1 = 1944

a1q3{q − 1(q + 1) = 1296

Z pierwszego równania wynika, że a1 ≠ 0, q ≠ 0 oraz q + 1 ≠ 0. Gdyby tak nie było, równanie

Ciąg geometryczny

346

byłoby sprzeczne, gdyż po lewej stronie mielibyśmy 0, a po prawej 1944. Dzielimy więc stro-

nami drugie równanie przez pierwsze. Wtedy otrzymujemy

a1q3(q − 1)(q + 1)

a1q4(q + 1)=

12961944

czyli

q − 1q =

23

Stąd 3q − 3 = 2q. Zatem q = 3. Z równania a1q4(q + 1) = 1944 i q = 3, otrzymujemy

a1 =1944

q4(q + 1)=

1944

34(3 + 1)= 6

Ciąg geometryczny może być malejący, rosnący, stały, niemalejący, nierosnący albo w ogóle może

nie być monotoniczny. Zależy to od wartości ilorazu oraz znaku pierwszego wyrazu. Na przykład

ciąg geometryczny, w którym a1 = 4 oraz q = 2, a więc ciąg (4, 8, 16, 32, 64, … ) jest rosnący,

gdyż każdy kolejny wyraz ciągu jest dwa razy większy od poprzedniego i pierwszy wyraz jest do-

datni.

Korzystając z poniższego apletu, zbadaj monotoniczność kilku ciągów geometrycznych.


Ciąg geometryczny

347




Poziom trudności: AZadanie 4.5.3Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny. Jeżeli jest, to znajdź jego iloraz.

(Pokaż odpowiedź)




Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (an), w którym

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.6Ustaw wyrazy w odpowiedniej kolejności, tak żeby utworzyły ciąg geometryczny, którego iloraz

jest mniejszy od 1.

an = (0,3)na)

bn =2n

7

b)

cn = 3n + 4c)

a1 = 10 oraz a6 =5

16a)

a3 =12 oraz a6 =

1252

b)

1254 ,

252 , 5, 2,

45 ,

825 ,

16125

a)

128√3,323 ,

8

√3 , 2, √32 ,

38

b)

Ciąg geometryczny

348

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTDlAqaSFo#iTDlAqaSFo_d5e416WOMI


Poziom trudności: AZadanie 4.5.7Dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego a6 = 20, a8 = 80. Wtedy

a) a4 = 5

b) q = 2 lub q = − 2

c) a7 = 50

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.8Liczby x − 1, 2x + 2, 6x + 6 są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Wyznacz

te liczby.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.9Suma trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny jest równa −7, a ich iloczyn jest równy 27

. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)


Udowodnij, że jeśli (an) jest ciągiem geometrycznym, to dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1 praw-

dziwa jest równość anan + 3 = an + 1an + 2.

(Pokaż odpowiedź)


W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy 3, a iloraz13 . Dwudziesty wyraz tego ciągu

można zapisać wzorem

a) a20 =13 ∙ (3)

19

b) a20 =13 ∙ (3)

20

c) a20 = 3 ∙ (13 )

19

Ciąg geometryczny

349

d) a20 = 3 ∙ (13 )

20

(Pokaż odpowiedź)


Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego jest równy 513 , a siódmy 21

13 . Iloraz tego ciągu

jest równy

a) −4

b) 2

c) −2

d) 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.13Który z ciągów jest geometryczny?

a)3 + √3

6 ,1 + √3

9 ,3 + √3

18

b)3 + √3

3 ,3 + √3

6 ,3 + √3

18

c)1 + √3

6 ,2 + √3

6 ,3 + √3

6

d)3 + √3

6 ,1 + √3

6 ,3 + √3

18

(Pokaż odpowiedź)


W ciągu geometrycznym mamy a2 =34 oraz a5 =

169 . Wtedy

a) a1 ∙ a3 =13

b) a1 ∙ a3 = 1

c) a1 ∙ a3 =9

16

d) a1 ∙ a3 =43

(Pokaż odpowiedź)

Ciąg geometryczny

350

Poziom trudności: AZadanie 4.5.15W ciągu geometrycznym dane są a1 = 3 oraz a4 = 192. Oblicz iloraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)


Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3 = 1 oraz a4 =34 . Wyznacz pierwszy

wyraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)


W ciągu geometrycznym (an) dane są wyrazy a4 =4516 oraz a6 =

4054 . Wyznacz wzór ogólny tego

ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.18Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a1 = − 3 oraz ilorazie q = − 2. Którym wyra-

zem tego ciągu jest liczba 96?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.19Stosunek sumy trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy wyrazów pierwsze-

go i trzeciego jest równy35 . Oblicz iloraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.20Jaką liczbę trzeba dodać do każdej z liczb:−2, 2, 22, żeby otrzymane liczby były kolejnymi wy-

razami ciągu geometrycznego?

(Pokaż odpowiedź)

Ciąg geometryczny

351




Wykaż, że jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach różnych od zera, to każdy z ciągów

(bn) i (cn) określonych wzorami bn =2

anoraz cn = a3n też jest geometryczny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.23Znajdź x, wiedząc, że

(Pokaż odpowiedź)


Pomiędzy liczby 432 oraz 250 wstaw takie dwie liczby a i b, żeby ciąg (432, a, b, 250) był geo-

metryczny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.5.25Ciąg geometryczny składa się z ośmiu wyrazów. Suma pierwszych sześciu wyrazów jest równa

1, a suma sześciu ostatnich jest równa 16. Oblicz iloraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego (an), w którym a4 + 17a2 = 1 oraz

a2 + a4 + a6 = 1.

(Pokaż odpowiedź)

ciąg (2, x, 98) jest geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.a)

ciąg (2 + √3, 1 + √3, x) jest geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.b)

Ciąg geometryczny

352


Poziom trudności: BZadanie 4.5.27Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, które są liczbami

całkowitymi różnymi od zera, jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.5.28Wykaż, że liczby 5, 6 i 7 nie mogą być wyrazami tego samego ciągu geometrycznego.

(Pokaż odpowiedź)

Ciąg geometryczny

353

4.6. Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Twierdzenie o sumie n początkowychwyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma Sn jego n początkowych wyrazów

jest równa

Sn = a11 − qn

1 − q dla q ≠ 1 albo Sn = na1 dla q = 1.


Przykład 1.

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a1 =12

oraz q = 2.

Iloraz ciągu geometrycznego (an) jest różny od 1, więc suma S10 jego dziesięciu początkowych

wyrazów jest równa

S10 = a11 − q10

1 − q =12 ∙ 1 − 210

1 − 2 =12 ∙ 1 − 210

−1 =12 ∙ (210 − 1) =

1024 − 12 =

10232 = 511

12

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

354

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ilt8Dxv1rf#ilt8Dxv1rf_d1099d4e2631WOMI

Przykład 2.

Oblicz sumę wyrazów od ósmego do dwunastego ciągu geometrycznego (an), w którym

a1 = 3 oraz q = − 2.

Suma, którą należy obliczyć, to a8 + a9 + … + a12. Zrobimy to dwoma sposobami.

• sposób I

Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy S12 oraz S7, odpowiednio dwunastu i siedmiu począt-

kowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.

S12 = a11 − q12

1 − q = 3 ∙1 − (−2)

12

1 − (−2)= 3 ∙ 1 − 212

3 = 1 − 212 = 1 − 4096 = − 4095

S7 = a11 − q7

1 − q = 3 ∙1 − (−2)

7

1 − (−2)= 3 ∙ 1 + 27

3 = 1 + 27 = 1 + 128 = 129

Zatem

a8 + a9 + … + a12 = S12 − S7 = − 4095 − 129 = − 4224

• sposób II

Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są a8, a9, … , a12, to pięciowyrazowy ciąg

geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest ósmy wyraz ciągu (an), i którego iloraz jest

taki sam, jak iloraz ciągu (an) czyli q = − 2. Zatem

a8 + a9 + … + a12 = a8 ∙ 1 − q5

1 − q = a1q7 ∙ 1 − q5

1 − q = 3 ∙ (−2)7

∙1 — (−2)

5

1 − (−2)= − 3 ∙ 128 ∙ 1 + 25

3 = − 128 ∙ 33 = − 4224

Przykład 3.

Dany jest ciąg geometryczny (an), w którym a1 = 27 oraz a4 = 1. Ile początkowych wyrazów

tego ciągu trzeba dodać, żeby otrzymać 4013?

Na początek obliczmy iloraz tego ciągu. Ponieważ a4 = a1q3, więc q3 =a4a1

=1

27 . Stąd q =13 . Po-

zostaje obliczyć n, dla którego Sn = 4013 . Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu

geometrycznego otrzymujemy

27 ∙1 − (1

3 )n

1 −13

= 4013

Równanie to przekształcamy równoważnie


355

27 ∙1 − (1

3 )n

23

=121

3

1 − (13 )

n=

1213 ∙ 27 ∙ 2

3

(13 )

n= 1 − 242

243

(13 )

n=

1243

(13 )

n= (1

3 )5

Stąd n = 5. Zatem należy dodać pięć początkowych wyrazów ciągu (an).

Przykład 4.

Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest określona wzorem Sn = 3n + 1 − 3 dla każdej

liczby całkowitej n ≥ 1.

Rozwiązanie

an = Sn − Sn − 1 = (3n + 1 − 3) − (3n − 3) = 3n + 1 − 3n = 3n(3 − 1) = 2 ∙ 3n = 6 ∙ 3n − 1

To oznacza, że (an) jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz jest równy a1 = 6

a iloraz q = 3.

Przykład 5.Stosunek sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy jego czterech

początkowych wyrazów jest równy 82. Oblicz iloraz tego ciągu.

Oblicz czwarty wyraz ciągu (an).a)

Udowodnij, że ciąg (an) jest geometryczny oraz oblicz iloraz tego ciągu.b)

Zauważmy, że czwarty wyraz ciągu jest równy S4 − S3, czyli

a4 = (35 − 3) − (34 − 3) = 35 − 34 = 34(3 − 1) = 81 ∙ 2 = 162

a)

Wyznaczmy wzór na n-ty wyraz ciągu (an). Postępujemy podobnie jak w punkcie a). Dla

każdej liczby całkowitej n > 1 otrzymujemy

b)


356

Trzeba zauważyć najpierw, że q ≠ 0. Gdyby q = 0 to S8 = 8a1, S4 = 4a1, więcS8S4

=8a14a1

= 2 ≠ 82

. Wobec tego ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyznacza-

my sumę ośmiu i sumę czterech jego początkowych wyrazów

S8 = a11 − q8

1 − q , S4 = a11 − q4

1 − q

Ich stosunek jest równy 82, zatem

82 =a1

1 − q8

1 − q

a11 − q4

1 − q

=1 − q8

1 − q4 =(1 − q4)(1 + q4)

1 − q4 = 1 + q4

Stąd q4 = 81, czyli q = 3 lub q = − 3.


Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) określonego wzorem

an = 512 ∙ (32 )

n.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a3 = − 4

oraz a6 = 32.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.3Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów o numerach parzystych ciągu geometrycznego

(an), w którym a1 = 3 oraz q =12 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.4Łamana o długości 1270 mm składa się z odcinków, z których pierwszy odcinek ma długość

640 mm, a każdy następny jest dwa razy krótszy od poprzedniego. Oblicz, z ilu odcinków składa

się ta łamana.

(Pokaż odpowiedź)


357


Oblicz sumę 7 wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a1 =818 oraz q =

23 .

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q = √2, jeżeli suma S8 = 30 + 30√2.

(Pokaż odpowiedź)


Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) jest równy −8, iloraz tego ciągu jest równy12 oraz

suma pierwszych n wyrazów jest równa−1534 .Wyznacz n-ty wyraz tego ciągu geometrycznego.

(Pokaż odpowiedź)


Ile wyrazów ciągu geometrycznego (an), który jest dany wzorem ogólnym an = (−2)n + 1

, trzeba

zsumować, żeby otrzymać −340?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.9W pewnym sześciowyrazowym ciągu geometrycznym suma wyrazów stojących na pozycjach

nieparzystych jest równa 63, a suma wyrazów stojąca na pozycjach parzystych jest równa 126

. Wyznacz szósty wyraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz sumę wyrazów od szóstego do dziesiątego ciągu geometrycznego (an), w którym a1 = 5

oraz q = 2.

(Pokaż odpowiedź)


358

Poziom trudności: AZadanie 4.6.11Wyznacz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym S2 = 21 oraz S3 = 129.

(Pokaż odpowiedź)


Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) o numerach nieparzy-

stych, w którym a1 = 7 oraz q = − 12 .

(Pokaż odpowiedź)


W pewnym ciągu suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn = 4n + 1 − 4. Wykaż, że

jest to ciąg geometryczny.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.14Stosunek sumy dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy pierwszych

pięciu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy 33. Oblicz iloraz tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.15Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość

(5 − 3) + (52 − 32) + (53 − 33) + … + (5n − 3n) =5n + 1 − 2 ∙ 3n + 1 + 1

4 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.6.16Uzasadnij, że suma wszystkich potęg liczby 3 o wykładnikach naturalnych mniejszych od 10 jest

równa310 − 1

2 .

(Pokaż odpowiedź)


359

Poziom trudności: AZadanie 4.6.17Wiedząc, że w pewnym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy a1, ostatni wyraz jest

równy an oraz suma wszystkich n wyrazów jest równa Sn, wyznacz sumę odwrotności wyrazów

tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.6.18Wykaż, że różnica liczb 11...1

?2n

− 22...2?n

, gdzie w zapisie odjemnej występuje 2n jedynek, a w zapi-

sie odjemnika n dwójek, jest kwadratem liczby naturalnej.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 4.6.19Oblicz sumę 2 + 22 + 222 + … + 2 … 22

?n

, gdzie w zapisie ostatniego składnika występuje n dwó-

jek.

(Pokaż odpowiedź)


360

4.7. Procent składanyProcent składany

Lokatę bankową możemy traktować jako umowę zawartą między klientem a bankiem, na mocy

której klient powierza bankowi określoną kwotę na ustalony termin. W zamian za to, po upływie

tego terminu, bank wypłaca klientowi wpłaconą kwotę powiększoną o odsetki, które zostały na-

liczone zgodnie z warunkami zapisanymi w umowie. Istotny wpływ na wysokość ostatecznie wy-

płaconej kwoty ma, oczywiście, oprocentowanie lokaty, ale ważne jest również to, co dzieje się z

naliczonymi po kapitalizacji odsetkami:

• mogą one zostać przelane na inny rachunek tego samego klienta – wtedy kwota lokaty się

nie zmienia i odsetki naliczone przy kolejnej kapitalizacji będą takie same - taki sposób obli-

czania odsetek nazywa się procentem prostym;

• mogą zostać dopisane do lokaty – wtedy kwota lokaty zwiększa się o odsetki, które biorą

udział w wypracowaniu zysku w kolejnym okresie – ten sposób nazywamy procentem skła-

danym.

W zadaniach w tym rozdziale, mówiąc o lokacie bankowej, przyjmiemy, że każdorazowo po kapi-

talizacji odsetki dopisywane są do lokaty i lokata nie została zerwana przed upływem ustalonego

terminu.


Przykład 1.Pani Joanna wpłaciła 1000 zł do banku na pięcioletnią lokatę „Premium”. Warunki lokaty za-

kładają roczne oprocentowanie w wysokości 5% i roczną kapitalizację odsetek. Jaki kapitał

zostanie zgromadzony na lokacie po 5 latach od jej założenia?

Procent składany

361

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ihw165xY1e#ihw165xY1e_d144d4e1181WOMI

Prześledzimy krok po kroku zmiany tej lokaty.

Kapitał początkowy Kp jest równy Kp = 1000 zł.

Lokata będzie utrzymywana przez 5 lat i kapitalizacja będzie następowała co rok. Mamy za-

tem 5 okresów kapitalizacji (n = 5) .

Oprocentowanie w okresie kapitalizacji jest równe 5%.

Obliczmy kapitał zgromadzony po kolejnych latach

• po pierwszym roku

K1 = 1000 zł + 5% ∙ 1000 zł = 1000 zł ∙ (1 +5

100 ) = 1000 zł ∙ 1,05 = 1050 zł.

Kwota lokaty zwiększyła się o 5% z 1000 zł, czyli o 50 zł.

• po drugim roku

Podstawę do naliczenia odsetek stanowi teraz kwota 1050 zł, czyli otrzymamy

K2 = 1050 zł + 5% ∙ 1050 zł = 1050 zł ∙ (1 +5

100 ) = 1050 zł ∙ 1,05 = 1000 zł ∙ 1,05 ∙ 1,05 =

= 1000zł ∙ (1,05)2

= 1102,50 zł.

Kwota lokaty zwiększyła się o 5% z 1050 zł, czyli o 52,50 zł.

• po trzecim roku

Podstawę do naliczenia odsetek stanowi teraz kwota powiększona o kolejne odsetki, czyli

1102,50 zł. Po następnej kapitalizacji otrzymamy

K3 = 1102,50 zł + 5% ∙ 1102,50 zł = 1102,50 zł ∙ (1 +5

100 ) = 1102,50 zł ∙ 1,05 = = 1000zł ∙ (1.05)2

∙ 1,05 = 1000zł ∙ (1.05)3

= 1157,625 zł ≈ 1157,63 zł

Kwota lokaty zwiększyła się o 5% z 1102,50 zł, czyli o 55,13 zł.

Zauważmy, że w każdym roku doliczamy inną kwotę odsetek. Wynika to z tego, że za każdym

razem inna jest podstawa ich naliczania.

Kwoty lokaty po kolejnych latach są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie

q = 1,05 i wyrazach:

a1 = Kp = 1000 zł

a2 = K1 = 1000 zł ∙ 1,05

a3 = K2 = 1000 zł ∙ (1,05)2

a4 = K3 = 1000 zł ∙ (1,05)3

Wykorzystując wzór na n – ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy:

• po czwartym roku

Procent składany

362

a5 = K4 = 1000 zł ∙ (1,05)4

= 1215,50625 zł ≈ 1215,51 zł.

• po piątym roku

a6 = K5 = 1000zł ∙ (1,05)5

≈ 1276,28 zł

Z tego wynika, że po 5 latach pani Joanna powinna otrzymać 1276,28 zł.


Ważne

• W polskim systemie monetarnym najmniejszą jednostką jest 1 gr , dlatego wszystkie

kwoty zaokrąglamy z dokładnością do 1 gr.

• Od 2002 roku w Polsce obowiązuje podatek od dochodów kapitałowych. Oznacza to, że

przy każdej kapitalizacji dopisywane odsetki zostaną pomniejszone o 19% ich wartości.

W zadaniach w tym rozdziale kwotę podatku od dochodów kapitałowych będziemy pomi-

jać.Kwotę lokaty po n okresach kapitalizacji można obliczyć, korzystając ze wzoru:

Kn = Kp(1 +p

100 )n

gdzie:

• Kp − oznacza kapitał początkowy,

• Kn − oznacza kapitał zgromadzony na lokacie po n okresach kapitalizacji,

• n − oznacza liczbę kapitalizacji,

Procent składany

363

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ihw165xY1e#ihw165xY1e_d1307d4e3836WOMI

• p % − oznacza oprocentowanie lokaty w okresie, po którym następuje kapitalizacja.

Przykład 2.Pan Jerzy wpłacił 10 000 zł na lokatę z rocznym oprocentowaniem w wysokości 6% oraz z

miesięczną kapitalizacją odsetek. Jaką kwotę zgromadzi on na tej lokacie po roku od jej zało-

żenia?

W tym przykładzie mamy

Kp = 10 000 zł

Lokata będzie utrzymywana przez 1 rok, natomiast odsetki będą dopisywane co miesiąc. Ma-

my zatem 12 okresów kapitalizacji (n = 12).

Oprocentowanie roczne jest równe 6%, zatem w pojedynczym okresie kapitalizacji wyniesie

p% =6%12 = 0,5%

Obliczmy kapitał zgromadzony po 12 miesiącach

K12 = Kp(1 +p

100 )12

= 10 000(1 +0,5100 )

12= 10 000 (1,005)

12≈ 10 616,78 zł

Przedstawiony powyżej sposób obliczania kapitału końcowego zakłada, że obliczamy od razu

wartość końcową po n okresach kapitalizacji. Pomijamy tym samym wszystkie kwoty pośred-

nie – po pierwszym, drugim i kolejnych kapitalizacjach.

W rzeczywistości jest inaczej – każdorazowo kwota po dopisaniu odsetek jest zaokrąglana do

1 gr i otrzymane przybliżenie jest podstawą do obliczenia odsetek w następnym okresie. Przy

wielokrotnej kapitalizacji ostateczne kwoty kapitału końcowego mogą się nieznacznie różnić.

Musimy zatem pamiętać, że wzór na procent składany jest tylko matematycznym przybliże-

niem rzeczywistości bankowej.

Poziom trudności: AZadanie 4.7.1Pan Marek zdeponował w banku kwotę 2500 zł na lokacie dwuletniej, oprocentowanej w wyso-

kości 3% rocznie z kapitalizacją kwartalną. Jaki kapitał zgromadzi pan Marek po 2 latach oszczę-

dzania?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.2Uzupełnij tabelę, obliczając potrzebne wartości.

Procent składany

364

liczba

lat

liczba okresów

kapitalizacji

sposób kapitali-

zacji lokaty

oprocentowanie

w skali roku

oprocentowanie w okre-

sie kapitalizacji

4 rocznie 8%

3 kwartalnie 3%

6% 0,5%

10 półrocznie 3%

6

2 12 1%

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.3Pani Zofia chce ulokować w banku 10 000 zł na rocznej lokacie oprocentowanej w wysokości

6%. Oblicz, jaka kwota zostanie zgromadzona na tej lokacie, jeśli kapitalizacja będzie

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.4Lokata Wiosenna jest oprocentowana 4,5% rocznie i kapitalizowana co miesiąc. Paweł wpłacił

na lokatę 1350 zł. Po ilu miesiącach oszczędzania wartość lokaty przekroczy 1400 zł?

(Pokaż odpowiedź)

Przykład 3.Na realizację marzeń o wycieczce do Afryki Justyna potrzebuje co najmniej 9 500 zł. Postano-

wiła systematycznie, co miesiąc, odkładać 500 zł . Bank zaproponował lokatę z możliwością

dopłacania pieniędzy, oprocentowaną 6% rocznie z miesięczną kapitalizacją odsetek. Czy po

18 miesiącach oszczędzania Justyna zgromadzi odpowiednią kwotę?

Przeanalizujmy krok po kroku zmiany na tej lokacie.

Oprocentowanie w okresie kapitalizacji

rocznaa)

kwartalnab)

półrocznac)

miesięcznad)

Procent składany

365

p% =6%12 = 0,5%, n = 18

• Stan lokaty po pierwszym miesiącu

K1 = 500 zł +0,5100 ∙ 500 zł = 500 zł ∙ (1,005) = 502,5 zł

• Stan lokaty po drugim miesiącu

K2 = [500 zł ∙ [1,005] + 500zł] ∙ 1,005 = 500 zł ∙ (1,005)2

+ 500 zł ∙ (1,005) = 1007,51 zł

• Stan lokaty po trzecim miesiącu

K3 = (K2 + 500 zł) ∙ 1,005 = 500 zł ∙ (1,005)3

+ 500 zł ∙ (1,005)2

+ 500zł ∙ (1,005) = 1515,05 zł

• Stan lokaty po czwartym miesiącu

K4 = (K3 + 500 zł) ∙ 1,005 = 500 zł ∙ (1,005)4

+ 500 zł ∙ (1,005)3

+ 500 zł ∙ (1,005)2

+ 500zł ∙ (1,005) = 2025,13zł

Zauważmy, że 500 zł ulokowane w pierwszym miesiącu procentuje najdłużej, kolejne – 1 mie-

siąc krócej i tak dalej, aż do ostatniej wpłaconej kwoty, która procentuje tylko miesiąc.

Stan lokaty po 18 miesiącach oszczędzania możemy zapisać

500zł ∙ (1,005)18

+ 500zł ∙ (1,005)17

+ 500zł ∙ (1,005)16

+ 500zł ∙ (1,005)15

+ … + 500zł ∙ (1,005)Jest to suma osiemnastu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym

a1 = 500zł ∙ 1,005, q = 1,005.

Wartość lokaty po 18 miesiącach będzie sumą osiemnastu wyrazów ciągu geometrycznego

S18 =a1(1 − q18)

1 − q =

500 ∙ 1,005 ∙ (1 − (1,005)18)

1 − 1,005 ≈ 9439,858427 zł ≈ 9439,86 zł.

Zatem Justyna jest bliska zgromadzenia potrzebnej kwoty 9 500 zł, ale brakuje jej jeszcze

około 60 zł.

Poziom trudności: AZadanie 4.7.5Henryk chce podarować wnukowi prezent na 18 urodziny. W dniu narodzin wnuka wpłacił do

banku 250 zł na lokatę oprocentowaną 3,5% w skali roku z roczną kapitalizacją odsetek. Po-

stanowił, że na każde kolejne urodziny będzie dopłacał do tej lokaty kolejne 250 zł. Jaką kwotę

Henryk zgromadzi na tej lokacie do 18 urodzin wnuka?

(Pokaż odpowiedź)

Procent składany

366

Ważne

Musimy pamiętać, że przedstawiane zadania i przykłady zastosowania procentu składanego

nie zawsze są wiernym odwzorowaniem rzeczywistości bankowej. Oferta lokat bankowych

jest bardzo bogata i zróżnicowana. Systemy obliczeniowe stosowane w bankach pozwalają

na zmianę oprocentowania w różnych okresach trwania lokaty, częstą kapitalizację lub nawet

możliwość wypłaty części środków z lokaty przed upływem zadeklarowanego okresu. Ponad-

to od 2002 roku obowiązuje, wspomniany wcześniej, podatek od dochodów kapitałowych,

który każdorazowo zmniejsza kwotę należnych odsetek o 19% ich wartości.

Poziom trudności: AZadanie 4.7.6Oblicz kapitał końcowy uzyskany po 5 latach, jeśli

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.7Wykonaj niezbędne obliczenia i uzupełnij tabelę.

kapitał początkowy(z

dokładnością do 1 zł)

oprocentowanie

roczne

okres kapi-

talizacji

czas

trwania

lokaty

kapitał końcowy (z

dokładnością do 1 gr

)

2500 zł 4% półroczna 3 lata

4500 zł 6% kwartalna 5069,22 zł

3,5% roczna 6 lat 1819,30 zł

3600 zł 4% kwartalna 3,5 roku

7500 zł 6% miesięczna 1 rok

(Pokaż odpowiedź)

wpłacono do banku 1570 zł na lokatę oprocentowaną 8% rocznie i kapitalizowaną co pół

roku;

a)

wpłacono 1500 zł na lokatę oprocentowaną 7% rocznie i kapitalizowaną co miesiąc.b)

Procent składany

367

Poziom trudności: AZadanie 4.7.8Filatelista kupił znaczek pocztowy za 150 zł. Jaka będzie jego wartość po 15 latach, jeśli przyjąć,

że w każdym roku wzrasta ona o 8% w stosunku do wartości sprzed roku?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.9Maciek kupił komputer za 3500 zł . Jaka będzie jego wartość po 6 latach, jeśli przyjąć, że w każ-

dym roku traci on 10% wartości sprzed roku?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.10Iza chce zdać egzamin na prawo jazdy. Koszt kursu, jazd dodatkowych i egzaminów zewnętrz-

nych to 1800 zł. Iza może odkładać w banku co miesiąc 155 zł na lokacie z oprocentowaniem

4,5% rocznie i kapitalizacją miesięczną. O ile kwota lokaty będzie większa od ceny kursu, jeśli

Iza będzie oszczędzać na tej lokacie przez 12 miesięcy?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.11Rodzice małej Zuzi oszczędzają na jej studia. Co roku wpłacają 1300 zł na lokatę z kapitalizacją

roczną, oprocentowaną 6% w skali roku. Po ilu latach kwota tych oszczędności przekroczy kwo-

tę 30 000 zł?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.12Kuba chce wpłacić do banku 3600 zł na roczną lokatę. Dwa banki mają w swojej ofercie lokatę

oprocentowaną w wysokości 8% rocznie. Bank X kapitalizuje ją co pół roku, natomiast bank Y –

co kwartał. O ile więcej zyska Kuba dzięki korzystniejszej kapitalizacji?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.13Bank proponuje trzy rodzaje lokat.

Lokata 3 – miesięcznaa)

Procent składany

368

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.7.14Wyobraź sobie, że codziennie odkładasz 1 zł na lokatę oprocentowaną 0,0001% dziennie i ka-

pitalizowaną codziennie. Jaką kwotę zbierzesz po roku, a jaką po dwóch latach takiego oszczę-

dzania? Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator lub komputer.

(Pokaż odpowiedź)

czas trwania lokaty 3 miesiące

minimalna kwota 500 zł

oprocentowanie roczne 4%

rodzaj kapitalizacji po zakończeniu trwania lokaty, odsetki dopisane do lokaty

inne warunki lokata może być odnawiana na następne okresy

Lokata 6 – miesięczna

czas trwania lokaty 6 miesięcy


oprocentowanie roczne 4,5%

rodzaj kapitalizacji po zakończeniu trwania lokaty, odsetki dopisane do lokaty


b)

Lokata 9 – miesięczna

czas trwania lokaty 9 miesięcy


oprocentowanie roczne 5%

rodzaj kapitalizacji kwartalnie, odsetki dopisane do lokaty


Która z nich jest najbardziej korzystna, jeśli chcemy ulokować 1750 zł na okres 2 lat?

c)

Procent składany

369

4.8. Ciąg arytmetyczny i geometrycznyzastosowanieCiąg arytmetyczny i geometryczny – zastosowanie

Przykład 1.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) dane są wyrazy a5 = − 7 i a9 = 13. Ile wyrazów

tego ciągu to dodatnie liczby całkowite dwucyfrowe?

Liczby całkowite dwucyfrowe są mniejsze od 100 i większe od 9. Z tego wynika, że musimy

rozwiązać nierówność an < 100 i an > 9.

Wyznaczymy wzór ogólny tego ciągu.

Rozwiązaniem układu równań

{ −7 = a1 + 4r

13 = a1 + 8r

otrzymanego po wstawieniu piątego i dziewiątego wyrazu do wzoru na n – ty wyraz ciągu są

a1 = − 27 i r = 5. Z tego wynika, że wzór ogólny tego ciągu ma postać

an = 5n − 32

Mamy zatem nierówność

9 < 5n − 32 < 100

czyli 815 < n < 26

25 . Oznacza, że warunki zadania spełnia 18 wyrazów ciągu. Są to wyrazy

a9, a10, … , a26.

Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie

370

Przykład 2.

Ciąg (4, x,9

16 ) jest malejącym ciągiem geometrycznym, natomiast ciąg ( − 5, x +72 , y) jest

arytmetyczny. Wyznacz wyrazy obu ciągów.

Z własności ciągu geometrycznego (4, x,9

16 ) wynika równanie x2 = 4 ∙ 916 , czyli x2 =

94 .

Zatem x =32 lub x = − 3

2 . Rozwiązanie ujemne odrzucamy, ponieważ ciąg geometryczny jest

malejący.

Po podstawieniu otrzymanej wartości x otrzymamy ciąg arytmetyczny ( − 5,32 +

72 , y), czyli

( − 5, 5, y). Różnica w tym ciągu jest równa r = 10 . Z tego wynika, że y = 15.

Zatem liczby (4,32 ,

916 ) tworzą ciąg geometryczny, a liczby (−5, 5, 15) tworzą ciąg arytme-

tyczny.



Ciąg (x, 9, x + 4) jest rosnącym ciągiem arytmetycznym, a ciąg (x + 1, 12, y − 7) jest ciągiem

geometrycznym. Oblicz x i y.

(Pokaż odpowiedź)


371

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i80wLmpN3X#i80wLmpN3X_d828d4e2187WOMI

Przykład 3.Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 34 ° . Oblicz miarę największego

kąta w tym trójkącie.

Wprowadźmy oznaczenia wykorzystujące fakt, że miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytme-

tyczny o różnicy 34 ° .

Suma miar kątów trójkąta jest równa α + α + 34 ° + α + 2 ∙ 34 ° = 180 ° . Z tego wynika, że

? = 26 ° .

Największy kąt w tym trójkącie ma miarę 26 ° + 68 ° = 94 ° .


(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.8.3Boki trójkątów równobocznych tworzą ciąg arytmetyczny, w którym r > 0.

(Pokaż odpowiedź)

Przykład 4.Punkty S1, S2, S3, S4 są środkami półokręgów. Promień największego z półokręgów jest

równy 8. Oblicz długość spirali przestawionej na rysunku.

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Oblicz po-

le tego prostokąta.

a)

Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 48 cm, a jego pole 96 cm2. Długości boków

trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego. Wyznacz dłu-

gości boków trójkąta.

b)

Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?a)

Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?b)


372

Z faktu, że każdy kolejny półokrąg tworzący spiralę przechodzi przez środek poprzedniego

półokręgu, wynika, że każdy kolejny promień jest połową promienia poprzedniego półokrę-

gu.

Zatem kolejne promienie półokręgów tworzą malejący ciąg geometryczny, którego iloraz

q =12 .

Długości kolejnych półokręgów są równe

L1 = 8π , L2 =12 ∙ 8π = 4π, L3 =

12 ∙ 4π = 2π…,

I również tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q =12 .

Długość spirali jest sumą pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Zatem

L = S5 = 8π1 − (1

2 )5

1 −12

= 8π ∙ 3116 =

312 π

Przykład 5.W pierwszym miesiącu pracy w pizzerii Kamil zarobił 650 zł. W każdym następnym miesiącu

zarabiał o 20 zł więcej niż w miesiącu poprzednim. Jaką kwotę zarobił Kamil, pracując w ten

sposób przez pół roku?

Zauważmy, że zarobione przez Kamila kwoty są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego,

w którym a1 = 650 zł i r = 20 zł.

Zarobiona przez pół roku kwota będzie sumą sześciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Wsta-

wiając wartości do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy

S6 =2 ∙ 650 + 5 ∙ 20

2 ∙ 6 = 4200 zł


Ciąg (3, 2x, y − 3) jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg (64, y, x) jest ciągiem geometrycznym.

Wyznacz x i y.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.8.5Liczby 30 , x, y w podanej kolejności tworzą malejący ciąg arytmetyczny. Oblicz x i y, wiedząc,

że ciąg (x, y, 2) jest geometryczny.

(Pokaż odpowiedź)


373


Wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (an) są kolejne dodatnie liczby całkowite, któ-

re przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1: a1 = 1, a2 = 5. Wyrazami nieskończonego ciągu arytme-

tycznego (bn) są kolejne dodatnie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2:

b1 = 2, b2 = 7. Wypisz wszystkie liczby dwucyfrowe, które występują w obu tych ciągach.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.8.7Oblicz sumę

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.8.8Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz różnicę tego ciągu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.8.9Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym najmniejszy kąt ma miarę 51 ° . Ob-

licz miarę największego kąta tego trójkąta.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 4.8.10Pierwszy odcinek łamanej ma długość 4 cm, a każdy kolejny jest dłuższy od poprzedniego o

2 cm. Z ilu odcinków składa się ta łamana, jeśli jej całkowita długość jest równa 270 cm?

(Pokaż odpowiedź)

wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które są dwucyfrowe i dzielą się przez 3a)

parzystych liczb dwucyfrowychb)

wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 8c)

wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2d)


374


Prostokąt o polu powierzchni równym 128 cm2 podzielono na dwa takie prostokąty, że pole

większego jest trzy razy większe od pola mniejszego. Długości odcinków a, b są długościami

boków mniejszego prostokąta, b, c są długościami boków większego z prostokątów, które po-

wstały z podziału. Wiedząc, że a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, wyznacz długości boków tego

prostokąta.

(Pokaż odpowiedź)


Dany jest kwadrat o boku a i prostokąt o bokach x i y. Ciąg (x, a, y) jest geometryczny. Która z

tych figur ma większe pole?

(Pokaż odpowiedź)


375

Poziom trudności: AZadanie 4.8.13Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą

ciąg geometryczny, a suma długości tych krawędzi jest równa 12. Objętość tego prostopadło-

ścianu jest równa 64. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu.

(Pokaż odpowiedź)


Poziom trudności: AZadanie 4.8.14Na kolejnych rysunkach zaznaczono sposób tworzenia tzw. dywanu Sierpińskiego.

Za każdym razem z kwadratu jest usuwana pewna liczba kwadratów.

(Pokaż odpowiedź)

Ile łącznie kwadratów zostanie usuniętych po 4 kroku?a)

Ile łącznie kwadratów zostanie usuniętych po n krokach?b)


376


Poziom trudności: AZadanie 4.8.15Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 24, a długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.

Oblicz obwód tego trójkąta.

(Pokaż odpowiedź)



377


Rozdział 5. Funkcja wykładnicza.Logarytmy

5.1. Funkcja wykładnicza i jej własności.Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczejZdefiniowaliśmy wcześniej potęgi o wykładnikach naturalnych, całkowitych i wymiernych, przyj-

mując odpowiednie założenia o podstawach tych potęg.Powyższą wiedzę uzupełnimy krótką in-

formacją o potędze o wykładniku niewymiernym.

Zakładamy, że podstawa a jest liczbą rzeczywistą, dodatnią, wykładnik x jest dowolną liczbą nie-

wymierną, na przykład 3√2, 2π.

Potęga ax jest liczbą, której przybliżenie możemy znaleźć, przyjmując przybliżenie wymierne wy-

kładnika x i ewentualnie podstawy a. Oczywiste jest, że im lepsze przybliżenie wykładnika i pod-

stawy, tym dokładniejszą wartość wymierną potęgi otrzymamy. Na przykład:

3√2 ≈ 31,4 = 31410 =

10√314 ≈ 4,656

3√2 ≈ 31,41 = 3141100 =

100√3141 ≈ 4,707

3√2 ≈ 31,414 = 314141000 =

1000√31414 ≈ 4,728

Korzystając z kalkulatora, otrzymamy:

3√2 ≈ 4,728804388

Możemy teraz przyjąć, że wyrażenie ax jest dobrze określone dla każdej liczby rzeczywistej x i każ-

dej podstawy a > 0.

Definicja: Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x

wzorem f(x) = ax, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od 1.

Warunek występujący w tej definicji, dotyczący podstawy a wynika z tego, że jedynie dla a > 0 mo-

żemy jednoznacznie określić funkcję f(x) = ax dla każdej liczby rzeczywistej x. Zauważmy, że dla

a < 0 funkcja nie byłaby określona dla każdej liczby rzeczywistej, np. nie dałoby się obliczyć f(12 )

, gdyż oznaczałoby to konieczność obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, a taki

Funkcja wykładnicza. Logarytmy

378

nie istnieje. Dla a = 0 nie można określić funkcji dla żadnej liczby x niedodatniej. Z innego powodu

zakładamy, że a ≠ 1 . Dla a = 1 funkcja jest, co prawda, określona dla każdej liczby rzeczywistej x,

ale wówczas jest to funkcja stała

f(x) = 1x = 1

Funkcji f(x) = 1x = 1 nie będziemy uznawać za funkcję wykładniczą, gdyż ma ona inne własności

niż każda z funkcji wykładniczych.

Przykład 1.Naszkicujmy wykres funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem

f(x) = 2x

W tym celu uzupełnijmy tabelę wartościami funkcji dla kilku wybranych argumentów.

x −2 −1 − 12 0

12 1 2 3

f(x) = 2x

f(−2) = 2−2 =1

22 =14

f(−1) = 2−1 =12

f(− 12 ) = 2

−12 =

1

2

12

=1

√2 = √22

f(0) = 20 = 1

f(12 ) = 2

12 = √2

f(1) = 21 = 2

f(2) = 22 = 4

f(3) = 23 = 8

Uzupełniamy tabelę, wpisując obliczenia wartości funkcji f.

x −2 −1 − 12 0

12 1 2 3

f(x) = 2x 14

12

√22 1 √2 2 4 8

Zastanówmy się, jak funkcja f będzie się zachowywać dla bardzo małych argumentów. Na

przykład

f(−100) = 2−100 =1

2100

Jest to liczba dodatnia, ale na tyle mała, że nie uda nam się dokładnie zaznaczyć w układzie

Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej

379

współrzędnych punktu ( − 100,1

2100 ), który leży na wykresie tej funkcji. Dla jeszcze mniej-

szych argumentów wartości funkcji będą nadal dodatnie, ale jeszcze bliższe zeru. Każda, bar-

dzo, bardzo bliska zeru liczba dodatnia jest wartością tej funkcji wykładniczej dla pewnego

ujemnego argumentu. Geometrycznie oznacza to, że lewa część wykresu funkcji f zbliża się

do osi Ox, czyli do prostej o równaniu y = 0. Tę prostą nazywamy asymptotą wykresu funkcji.

Krzywa przechodząca przez wyznaczone punkty (te które znaleźliśmy i dowolne inne, które

moglibyśmy w ten sposób znaleźć) jest wykresem funkcji wykładniczej f(x) = 2x. Krzywą taką

nazywamy krzywą wykładniczą albo ekspotencjalną.

Przykład 2.Przypatrzmy się teraz wykresom innych funkcji wykładniczych

f(x) = ax

w przypadku, gdy a > 1.


380


Zauważmy, że wszystkie te funkcje są rosnące, a ich wykresy w całości leżą nad osią Ox. Za-

tem żadna z tych funkcji nie ma miejsca zerowego. Wszystkie wykresy mają jeden wspólny

punkt. Jest to punkt o współrzędnych (0, 1), w którym wykres każdej z tych funkcji przecina

oś Oy. Jest tak, ponieważ dla dowolnej liczby a > 1 mamy a0 = 1.

Przykład 3.

Rozważmy teraz funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x) = (12 )

x. Korzy-

stając z własności potęg, wzór funkcji g możemy zapisać w postaci

g(x) = (12 )

x= (2−1)

x= 2−x

To oznacza, że wykres tej funkcji otrzymamy, znajdując obraz wykresu funkcji f(x) = 2x w sy-

metrii osiowej względem osi Oy.


381

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM#iy3bhUU7QM_d1657d4e4907WOMI

Zauważmy, że w ten sposób możemy narysować wykres każdej funkcji f(x) = ax, gdzie

a ? (0, 1). Wykres każdej takiej funkcji w całości leży nad osią Ox, więc funkcja nie ma miejsc

zerowych. Również każdy z wykresów funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 1). Jednak każda

z takich funkcji jest malejąca.



382



Podsumujmy teraz własności funkcji wykładniczych, wykorzystując ich wykresy.

Własności funkcji wykładniczej

Każda funkcja wykładnicza f(x) = ax ma następujące własności:

• dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,

• zbiorem wartości jest przedział (0, + ∞),• asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu y = 0,

• nie ma miejsc zerowych,

• jest monotoniczna, przy czym gdy a > 1, to funkcja f jest rosnąca, a gdy 0 < a < 1, to funkcja

jest malejąca,

• jest różnowartościowa, czyli każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu,

• wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0,1).


383


Omówimy teraz przesunięcia wykresów funkcji wykładniczych wzdłuż osi układu współrzędnych.

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej f(x) = ax o p wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres

funkcji o wzorze g(x) = ax − p. Przypomnijmy, że przesunięcie o np. p = − 2, oznacza przesunięcie

wykresu w lewo o 2 jednostki.



384




385


Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej f(x) = ax o q wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres

funkcji o wzorze g(x) = ax + q. W tym przypadku przesunięcie o np. q = − 3 oznacza przesunięcie

wykresu w dół o 3 jednostki. Asymptotą wykresu funkcji g jest teraz prosta o równaniu y = q.



386



Przykład 4.Przesuniemy wykres funkcji f(x) = 3x o m wzdłuż podanej osi układu współrzędnych.

jeżeli m > 0, to wykres przesuwamy o m jednostek w górę.

jeżeli m < 0, to wykres przesuwamy o | m | jednostek w dół.

Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji g oraz zapiszemy jej wzór.


387


Przesuwając wykres funkcji f(x) = 3x o 2 wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji

g(x) = 3x − 2.

a)

Po przesunięciu wykresu funkcji f(x) = 3x o m = − 3 wzdłuż osi Ox otrzymujemy wykres

funkcji o wzorze g(x) = 3x − ( − 3) = 3x + 3.

b)


388

Przykład 5.Narysuj wykres funkcji f. Podaj wzór funkcji wykładniczej g, której wykres przesunęliśmy tak,

aby otrzymać wykres funkcji f. O ile jednostek i wzdłuż której osi układu współrzędnych wy-

konaliśmy to przesunięcie? W jakich punktach wykres funkcji f przetnie osie Oy i Ox?

Po przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej f(x) = 3x o m = 1 wzdłuż osi Oy otrzyma-

my wykres funkcji g(x) = 3x + 1. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział

(1, + ∞), więc można narysować także prostą o równaniu y = 1, która jest asymptotą

wykresu funkcji g. Rysujemy ją zazwyczaj przerywaną linią.

c)

Przesunięcie o m = − 4 wzdłuż osi Oy oznacza przesunięcie wykresu w dół o 4 jednost-

ki. Wzór funkcji, której wykres otrzymamy po tym przekształceniu, ma postać

f(x) = 3x + (−4) = 3x − 4, a asymptotą jej wykresu jest prosta y = − 4.

d)


389

f(x) = (12 )

x − 4a)

f(x) = 2x + 3b)

f(x) = 4x + 1c)

f(x) = (13 )

x− 3

d)

Wykres funkcji f(x) = (12 )

x − 4to wykres funkcji g(x) = (1

2 )xprzesunięty o 4 wzdłuż osi Ox.

Obliczając wartość funkcji f dla argumentu x = 0, znajdujemy współrzędne punktu

przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy. Mamy

f(0) = (12 )

0 − 4= 24 = 16

Zatem szukanym punktem jest (0,16). Cały wykres leży nad osią Ox, więc nie ma punk-

tów wspólnych z tą osią.

a)


390

Wzór funkcji f możemy zapisać w postaci f(x) = 2x + 3 = 2x − ( − 3). Jej wykres powstaje za-

tem przez przesunięcie wykresu funkcji g(x) = 2x o −3 wzdłuż osi Ox, czyli o 3 jednostki

w lewo.

Żeby znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią Oy, obliczamy wartość funkcji dla argu-

mentu 0, czyli

f(0) = 20 + 3 = 8

Zatem wykres przecina tę oś w punkcie (0,8). Z osią Ox wykres funkcji nie przecina się,

ponieważ cały leży nad tą osią.

b)

Wykres funkcji f(x) = 4x + 1 jest wykresem funkcji g(x) = 4x przesuniętym o 1 wzdłuż osi

Oy.

c)


391

f(0) = 40 + 1 = 2, zatem punktem przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy jest punkt (0,2).Cały wykres leży nad osią Ox, zatem nie istnieje punkt przecięcia wykresu z tą osią.


x− 3 powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji g(x) = (1

3 )x

o

−3 wzdłuż osi Oy.

Ponieważ wykres funkcji g przecina oś Oy w punkcie (0,1), więc punktem przecięcia

funkcji f z osią Oy jest punkt (0, − 2). Żeby wyznaczyć punkt przecięcia tego wykresu z

osią Ox, obliczymy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli

0 = (13 )

x− 3. Stąd (1

3 )x

= 3, czyli

(13 )

x= (1

3 )−1

Zatem x = − 1. Punkt przecięcia z osią Ox to punkt ( − 1,0).

d)


392



Przykład 6.Narysujemy wykres funkcji


393



f(x) = − 4xa)

f(x) = − (12 )

x+ 2

b)

Wykres funkcji f(x) = − 4x jest symetryczny względem osi Ox do wykresu funkcji

g(x) = 4x.

a)


394

Przykład 7.Narysujmy wykres funkcji

Żeby sporządzić wykres funkcji f(x) = − (12 )

x+ 2, narysujemy najpierw wykres funkcji

g(x) = (12 )

x. Następnie znajdziemy wykres do niego symetryczny względem osi Ox. Jest

to wykres funkcji h(x) = − (12 )

x, który z kolei przesuniemy o 2 wzdłuż osi Oy. W ten spo-

sób otrzymamy wykres funkcji f.

b)

f(x) = 9 ? √3 ? 3xa)

f(x) = (12 )

x+ (1

2 )xb)


395

Przekształćmy wzór funkcji f, korzystając z własności potęg

f(x) = 9 ? √3 ? 3x = 32 ? 312 ? 3x = 3

2 +12

+ x= 3

x + 212 Zatem, żeby narysować wykres funk-

cji f, przesuwamy wykres funkcji g(x) = 3x o −212 wzdłuż osi Ox.

a)

Zapiszmy wzór funkcji w następujący sposób

f(x) = (12 )

x+ (1

2 )x

= 2 ? (12 )

x= (1

2 )−1

? (12 )

x= (1

2 )x − 1

. Zatem rysujemy wykres funkcji

g(x) = (12 )

x, a następnie przesuwamy go o 1 wzdłuż osi Ox.

b)


396

Przykład 8.

Wyznaczymy wzór funkcji wykładniczej f(x) = ax, mając dany punkt (−2,1

49 ) leżący na jej wy-

kresie.

Skoro punkt (−2,1

49 ) leży na wykresie funkcji f, więc dla argumentu x = − 2 funkcja przyjmuje

wartość f(−2) =1

49 . Mamy więc

149 = a−2

Po przekształceniu równanie to przyjmuje postać 7−2 = a−2, stąd a = 7. Zatem wzór funkcji f

ma postać f(x) = 7x.

Przykład 9.

Sprawdzimy, czy punkt A = (4, 4) leży na wykresie funkcji f(x) = (√2)x.

Wystarczy sprawdzić, czy dla argumentu x = 4 funkcja f przyjmie wartość 4. Ponieważ

f(4) = (√2)4

= 22 = 4, więc punkt A leży na wykresie funkcji f.

Przykład 10.

Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji wykładniczej f(x) = (√5)x

w przedziale

?−2,0??

Funkcja f(x) = (√5)x

jest rosnąca, ponieważ √5 > 1, a dla a > 1 funkcja wykładnicza g(x) = ax jest

rosnąca. Zatem najmniejszą wartość funkcja osiąga dla najmniejszego argumentu z prze-

działu ?−2,0?, czyli dla x = − 2, a największą dla największego argumentu z tego przedziału,

czyli dla x = 0. Mamy więc wartość najmniejszą f(−2) = (√5)−2

=1

(√5)2 =

15 oraz wartość najwięk-

szą f(0) = (√5)0

= 1 w przedziale ?−2,0?.

Przykład 11.

Określ monotoniczność funkcji f(x) = (√32 )

xi na tej podstawie porównaj liczby (√3

2 )10

oraz (√32 )

20.

Ponieważ a = √32 ? (0,1), więc funkcja f(x) = (√3

2 )xjest malejąca. Zatem dla mniejszego argu-

mentu przyjmuje wartość większą. Ponieważ 10 < 20, więc (√32 )

10> (√3

2 )20

.

Przykład 12.

Wyznaczymy wszystkie argumenty funkcji f(x) = (13 )

x, dla których wartość funkcji jest


397

Narysujmy wykres funkcji f(x) = (13 )

x.

równa 81a)

większa od 81b)

co najmniej równa 81c)

Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, czyli każda wartość y ? (0, + ∞) jest przyj-

mowana tylko dla jednego argumentu. Szukamy takiego argumentu x, dla którego

f(x) = 81, czyli (13 )

x= 81. Mamy (1

3 )x

= (13 )

−4, stąd x = − 4.

a)


398

Funkcja wykładnicza i jej własności.

Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej.

Zadania




Na wykresie funkcji f(x) = (13 )

xleży punkt o współrzędnych

a) (12 , √3)

b) ( − 2, 9)

Funkcja f(x) = (13 )

xjest malejąca, czyli wartości większe od 81 funkcja f przyjmuje dla ar-

gumentów mniejszych od x = − 4. Zatem f(x) > 81 dla x ? (−∞, − 4).

b)

Wartości co najmniej równe 81 funkcja f(x) = (13 )

xprzyjmuje dla argumentów mniej-

szych lub równych −4. Zatem f(x) ≥ 81 dla x ? (−∞, − 4?.

c)


399

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM#iy3bhUU7QM_d5e629WOMI

c) (1, 3)

d) (1,0)

(Pokaż odpowiedź)



Poziom trudności: AZadanie 5.1.8Punkt A = ( − 1,3) leży na wykresie funkcji

a) f(x) = 9x

b) f(x) = (√3)x

c) f(x) = (13 )

x

d) f(x) = 3x

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.9Wskaż wzór funkcji rosnącej.

a) f(x) = (13 )

−x

b) f(x) = (13 )

x

c) f(x) = − 3x

d) f(x) = 3−x

(Pokaż odpowiedź)


400

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM#iy3bhUU7QM_d5e692WOMI


Zbiorem wartości funkcji f(x) = (0,5)x

określonej dla każdego x ? ?−1,2? jest przedział

a) ?2, 4?

b) ?− 12 ,

14?

c) ?12 , 4?

d) ?14 , 2?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.11Wyłącznie dodatnie wartości przyjmuje funkcja

a) f(x) = − 5x + 7

b) f(x) = 3−x

c) f(x) = − 2x

d) f(x) = 2x − 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.12Na wykresie funkcji wykładniczej f(x) = ax leży punkt ( − 2,3). Wówczas

a) a = √33

b) a = √3

c) a =13

d) a = 3

(Pokaż odpowiedź)


401


Po przesunięciu wykresu funkcji f(x) = (23 )

xo −3 wzdłuż osi Ox otrzymamy wykres funkcji okre-

ślonej wzorem

a) y = (23 )

x+ 3

b) y = (23 )

x− 3

c) y = (23 )

x + 3

d) y = (23 )

x − 3

(Pokaż odpowiedź)


Wzór funkcji g, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f(x) = (2√28 )

xwzględem osi Oy,

ma postać

a) g(x) = (2√2)x

b) g(x) = ( 8

√2 )x

c) g(x) = − (√24 )

x

d) g(x) = − ( 4

√2 )x

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.15Funkcja wykładnicza f(x) = 10x nie przyjmuje wartości

a) 10 000

b) 50

c) 1

d) −100

(Pokaż odpowiedź)


402

Poziom trudności: AZadanie 5.1.16Wykres funkcji f(x) = 3x − 3 przecina oś Oy w punkcie

a) (3, 0)

b) (0, − 3)

c) (0, 1)

d) (0, − 2)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.17Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy. Narysuj wykres tej funkcji.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.18Narysuj wykres funkcji

(Pokaż odpowiedź)

f(x) = (12 )

x − 3a)

f(x) = 3x + 2b)

f(x) = 4x − 3c)

f(x) = − 3xa)

f(x) = − (23 )

x+ 1

b)


403

Poziom trudności: AZadanie 5.1.19Narysuj wykres funkcji

(Pokaż odpowiedź)


Na wykresie funkcji wykładniczej f(x) = ax leży punkt A = (−3,1

125 ) . Wyznacz wzór tej funkcji.

Określ jej monotoniczność.

(Pokaż odpowiedź)


Na wykresie funkcji wykładniczej f(x) = ax leży punkt A = ( − 2, 9). Czy na wykresie tej funkcji le-

ży również punkt B = (12 , √3

3 )?(Pokaż odpowiedź)

f(x) =2x

8

a)

f(x) = 3x + 3x + 3xb)

f(x) = 2x + 4 + 2x + 6 − 48 ? 2xc)


404


Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f(x) = ax oraz zaznaczony jest jeden

z punktów leżących na tym wykresie . Wyznacz wzór funkcji f.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.23Wyznacz zbiór wartości funkcji

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.1.24Połącz wykresy funkcji z ich wzorami

f(x) = (17 )

x+ 7

a)

f(x) = (√3)−xb)

f(x) = − (1,5)x

− 3c)

f(x) = (13 )

x? √27

81 +13

d)

f(x) = (1,5)xa)

f(x) = (0,7)xb)

f(x) = − (0,8)xc)


405

f(x) = − 2xd)

f(x) = (0,5)x

− 2e)

f(x) = (1,6)x

+ 2f)

1)


406

2)

3)


407

4)

5)


408

(Pokaż odpowiedź)


Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji f(x) = (14 )

xw przedziale ?− 1

2 ,32??

(Pokaż odpowiedź)


Wykres której funkcji: f(x) = − (√2)x

+ √2, g(x) = (√5)x

− 52 czy h(x) = (3

4 )x

+ √6 przetnie oś Oy w

punkcie najdalej leżącym od początku układu współrzędnych?

(Pokaż odpowiedź)


Dana jest funkcja f(x) = (23 )

x. Oblicz wartość wyrażenia

f(x + 2)f(x − 2)

.

(Pokaż odpowiedź)

6)


409


Uporządkuj rosnąco liczby (0,9)3, (0,9)

10,(0,9)

π, (0,9)

3π.

(Pokaż odpowiedź)


Dla jakiego argumentu funkcja f(x) = (√3)xprzyjmie wartość

19?

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja f(x) = (32 )

xprzyjmuje wartości mniejsze niż

funkcja g(x) = (23 )

x.

(Pokaż odpowiedź)



410




411


5.2. Definicja logarytmu. Własności logarytmuPojęcie logarytmu

Rozpatrzmy funkcję wykładniczą f(x) = ax, gdzie a jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą, różną

od 1.

Jak wiemy, funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x, a zbiorem wartości tej funkcji

jest przedział (0, + ∞). Ponadto dla ustalonej dodatniej wartości y istnieje dokładnie jeden argu-

ment x, taki że ax = y.


Przykład 1.Korzystając z własności funkcji wykładniczej, wyznaczymy, o ile istnieją, wszystkie argumenty,

dla których

Rozwiązanie.

funkcja wykładnicza f(x) = 2x przyjmuje wartość 32a)

funkcja wykładnicza f(x) = 3x przyjmuje wartość19

b)

funkcja wykładnicza f(x) = 4x przyjmuje wartość −16c)

funkcja wykładnicza f(x) = (15 )

xprzyjmuje wartość 5

d)

funkcja wykładnicza f(x) = (34 )

xprzyjmuje wartość 1

e)

Definicja logarytmu. Własności logarytmu

412

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iUebUJTEGs#iUebUJTEGs_d130d4e996WOMI

Przykład 2.Argument x, dla którego funkcja wykładnicza f(x) = 2x przyjmuje wartość 9, jest rozwiązaniem

równania 2x = 9. Z wykresu funkcji f odczytujemy, że x jest liczbą z przedziału (3, 4).Argument ten oznaczamy symbolicznie

x = log29

a zapis log29 czytamy „logarytm przy podstawie dwa liczby dziewięć” lub krócej „logarytm

przy podstawie dwa z dziewięciu”.

Zauważmy, że z przyjętej umowy wynika równość

2log29 = 9

Uwaga. Liczba log29 nie jest wymierna. Gdybyśmy założyli przeciwnie, że istnieją takie do-

datnie liczby całkowite p i q, dla których prawdziwa jest równość log29 =pq , to prawdą byłoby

również, że 2pq = 9, stąd 2p = 9q. Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest

liczbą parzystą (jako iloczyn p dwójek), a prawa strona jest liczbą nieparzystą (jako iloczyn q

dziewiątek).

Weźmy dodatnią liczbę rzeczywistą a, różną od 1. Przyjmujemy, że argument b, dla którego

funkcja wykładnicza f(x) = ax przyjmuje wartość c, to

b = logac

Ponieważ funkcja wykładnicza f przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, to logarytm określa-

my tylko dla dodatniej liczby c.

Definicja: Logarytm

Logarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazy-

wamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c.

logac = b wtedy i tylko wtedy, gdy ab = c.

Ponieważ 25 = 32, więc 2x = 32 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 5.a)

Ponieważ 3−2 =19 , więc 3x =

19 wtedy i tylko wtedy, gdy x = − 2.b)

Funkcja wykładnicza f(x) = 4x przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, zatem nie istnieje

taki argument x, dla którego 4x = − 16.

c)

Ponieważ (15 )

−1= 5, więc (1

5 )x

= 5 wtedy i tylko wtedy, gdy x = − 1.d)

Ponieważ (34 )

0= 1, więc (3

4 )x

= 1 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.e)


413

Zapamiętaj

Z definicji wynika logaac = c oraz alogac = c

Liczbę c w zapisie logac nazywamy liczbą logarytmowaną.

Logarytm log10x można też zapisać jako logx lub lgx.Taki logarytm nazywamy logarytmem

dziesiętnym.


Przykład 3.Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

Bezpośrednio z definicji logarytmu wynika, że logaac = c. Korzystając z tego spostrzeżenia,

mamy:

log24a)

log381b)

log1000000c)

log1231d)

log1717e)

log24 = log222 = 2a)

log381 = log334 = 4b)


414

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iUebUJTEGs#iUebUJTEGs_d1253d4e4011WOMI

Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od 1 liczby rzeczywistej a

loga1 = logaa0 = 0

oraz

logaa = logaa1 = 1

Przykład 4.Uzasadnimy, że każda z podanych liczb jest ujemną liczbą całkowitą.

Przykład 5.Zapiszemy liczby bez użycia logarytmu.

log1000000 = log106 = 6c)

log1231 = log1231230 = 0d)

log1717 = log17171 = 1e)

log616

a)

log218

b)

log319

c)

log50,2d)

log0,00001e)

Ponieważ16 = 6−1, więc log6

16 = log66−1 = − 1.a)

Ponieważ18 =

1

23 = 2−3, więc log218 = log22−3 = − 3.b)

Ponieważ19 =

1

32 = 3−2, więc log319 = log33−2 = − 2.c)

Ponieważ 0,2 =15 = 5−1, więc log50,2 = log55−1 = − 1.d)

Ponieważ 0,00001 =1

100 000 =1

105 = 10−5, więc log0,00001 = log 10−5 = − 5.e)

log17

149

a)

log23

827

b)

log45

54

c)


415


Własności logarytmu


log52

0,16d)

Ponieważ ( 149 )

2=

17 , więc log1

7

149 = log1

7(1

7 )2

= 2.a)

Ponieważ8

27 = (23 )

3, więc log2

3

827 = log2

3(2

3 )3

= 3.b)

Ponieważ (54 )

−1=

45 , więc log4

5

54 = log4

5(4

5 )−1

= − 1.c)

Ponieważ 0,16 =16

100 =4

25 = (25 )

2= (5

2 )−2

, więc log52

0,16 = log52(5

2 )−2

= − 2.d)

log2√2a)

log3√10b)

log93c)

log82d)

Ponieważ √2 = 212, więc log2√2 = log22

12 =

12 .

a)

Ponieważ3√10 = 10

13, więc log

3√10 = log1013 =

13 .

b)

Ponieważ 9 = 32, więc 3 = 912, co oznacza, że log93 = log99

12 =

12 .

c)

Ponieważ 23 = 8, więc 2 = 813, co oznacza, że log82 = log88

13 =

13 .

d)

3x = 5a)

2x =9

11b)

7x =14

c)

10x = 2d)


416

Korzystamy z definicji logarytmu.


W definicji logarytmu zapisaliśmy, że dla dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 pod-

stawie a prawdziwa jest równość alogac = c. Wobec tego

Przykład 9.Wyznaczymy wszystkie liczby x, dla których określone jest wyrażenie

Logarytm, którego podstawa jest liczbą dodatnią i różną od 1, jest określony wyłącznie dla

argumentów dodatnich. Wobec tego

Argument, dla którego funkcja wykładnicza f(x) = 3x

przyjmuje wartość 5, to x = log35.a)


przyjmuje wartość9

11 , to

x = log29

11 .

b)


przyjmuje wartość14 , to x = log7

14 .c)

Argument, dla którego funkcja wykładnicza f(x) = 10x przyjmuje wartość 2, to x = log2.d)

2log23a)

7log711b)

1000log2c)

(15 )

log56d)

2log23 = 3a)

7log711 = 11b)

1000log2 = (103)log2

= 103log2 = (10log 2)3

= 23 = 8c)

(15 )

log56= (5−1)

log56= 5−log56 = (5log56)

−1= 6−1 =

16

d)

log3(x − 5)a)

log2(2x + 7)b)

log15(3x − x2)c)

logx2 + 2x − 2

d)


417

Przykład 10.Wyznaczymy wszystkie liczby x, dla których wyrażenie logx9 ma wartość 2.

Podstawa x logarytmu zapisanego po lewej stronie równania logx9 = 2 musi być liczbą do-

datnią i różną od 1.

Korzystając z definicji logarytmu, stwierdzamy, że logx9 = 2 wtedy i tylko wtedy, gdy x2 = 9.

Wobec tego x = 3 lub x = − 3.

Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunki określone dla podstawy logarytmu, co oznacza,

że jedyną liczbą, dla której wyrażenie logx9 ma wartość 2, jest x = 3.

Poziom trudności: AZadanie 5.2.1Dane są liczby a = log28, b = log39, c = log10. Wówczas

a) a + b + c > 10

b) a = b + c

c) b > c

d) a < b

(Pokaż odpowiedź)

wyrażenie log3(x − 5) jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność

x − 5 > 0, czyli dla x > 5.

a)

wyrażenie log2(2x + 7) jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność

2x + 7 > 0, czyli dla x > − 72 .

b)

wyrażenie log15(3x − x2) jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność

3x − x2 > 0.

Zatem

x2 − 3x < 0 x(x − 3) < 0Po rozwiązaniu otrzymanej nierówności kwadratowej stwierdza-

my, że x ? (0, 3).

c)

wyrażenie logx2 + 2x − 2 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność

x2 + 2x − 2 > 0.

Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie x2 + 2 jest dodatnie, więc nierówno-

śćx2 + 2x − 2 > 0 jest równoważna nierówności x − 2 > 0. Zatem wyrażenie log

x2 + 2x − 2 jest okre-

ślone wyłącznie dla x > 2.

d)


418


a) Liczba log1 000 000 jest 3 razy większa od liczby log100.

b) Liczby log21

16 i log12

16 są równe.

c) Suma liczb log39 i log319 jest równa 0.

d) Liczba log5125 jest o 100 większa od liczby log525.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.3Które z podanych wyrażeń jest określone dla każdej dodatniej liczby całkowitej x?

a) log(x2 − x)b) log1

2

(x + 2)

c) log53

(100 − x)

d) log2(3x − 1)

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.4Funkcja wykładnicza określona jest wzorem f(x) = 5x. Wówczas

a) f(x) = 10 dla x = log525

b) f(x) = 7 dla x = log57

c) f(x) = 3 dla x = log553

d) f(x) = 2 dla x = log25

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.5Które z podanych liczb są całkowite?


419

a) 10log

110

b) 9log32

c) log520

d) log20,125

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.6Funkcja wykładnicza określona wzorem f(x) = 4x przyjmuje wartość 12 dla argumentu

a) x = log124

b) x = log43

c) x = 3

d) x = log412

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.7Suma log1 000 + log71 jest równa

a) 3

b) 4

c) 7

d) 101

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.8Liczba t jest równa log26. Wtedy

a) t = 62

b) t = 26

c) 2t = 6

d) t = 3

(Pokaż odpowiedź)


420


Różnica log15

25 − log31

81 jest równa

a) 6

b) 2

c) – 2

d) – 6

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.10Wyrażenie log1

3

(3 − x) jest określone dla wszystkich x, które spełniają warunek

a) x > − 3

b) x > 3

c) x < − 3

d) x < 3

(Pokaż odpowiedź)


Dane są liczby a = log12

12 , b = log1

2

4, c = log12

18 , d = log1

2

16. Największą z nich jest

a) d

b) c

c) b

d) a

(Pokaż odpowiedź)


O liczbie x wiadomo, że log9x =12 . Wtedy


421

a) x =1

512

b) x = 4,5

c) x =29

d) x = 3

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.13Liczba log

3238 jest równa

a) 36

b) 34

c) 6

d) 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.14Zapisz każdą z podanych liczb, nie używając logarytmu.

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)

log636a)

log7343b)

log121c)

log2727d)

2x = 5a)

3x = 10b)

7x = 2c)

10x = 99d)


422

Poziom trudności: AZadanie 5.2.16Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.17Uzasadnij, że podana liczba jest całkowita.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.18Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.19Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu.

3log35a)

2log211b)

5log54c)

10log 7d)

log80,125a)

log41

64b)

log31

243c)

log21

128d)

log15

5a)

log19

81b)

log12

11024

c)

log32

23

d)


423

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.20Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.21Wyznacz wszystkie liczby x, dla których określone jest wyrażenie.

(Pokaż odpowiedź)


Wyznacz wszystkie liczby x, dla których wyrażenie logxx − 310 ma wartość – 1.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.2.23Wykaż, że 5log164 + 7log255 = 6.

(Pokaż odpowiedź)

log4256 − log1000a)

17log171

17 − 32log21

32b)

9log38a)

100log11b)

log(7 − 4x)a)

log21

x + 3b)

log3(x2 − 4)c)

logx(2 − x)d)


424


Wykaż, że 41 + log25 = 100.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że log5√5 + log63√6 + log7

4√7 = 11

12 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.2.26Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek log3a = log5b = log7c = 4. Wykaż, że √abc = 11 025.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.2.27Dane są liczby a = log23 oraz b = log49. Wykaż, że liczby a i b są równe.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.2.28Dane są liczby a = log57, b = log7 oraz c = log5. Wykaż, że c ? a = b.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.2.29Rozstrzygnij, czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite p i q, dla których zachodzi równość

log35 =pq .

(Pokaż odpowiedź)


425

5.3. Działania na logarytmach

5.3.1. Działania na logarytmach. Przykłady

Logarytm iloczynu

Przykład 1.Wykażemy, że

log82 + log832 = 2

Oznaczmy c = log82 oraz d = log832. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 8c = 2

oraz 8d = 32. Zatem

log8(8c ? 8d) = log8(2 ? 32) = log864 = log882 = 2

Równocześnie

log8(8c ? 8d) = log88c + d = c + d

Zachodzi więc równość

c + d = 2

czyli stosując przyjęte oznaczenia

log82 + log832 = 2

W ten sposób dowód został zakończony.

Twierdzenie: Logarytm iloczynu

Jeżeli liczba a jest dodatnia i różna od 1, to dla dowolnych liczb dodatnich x i y

loga(x ? y) = logax + logay

Dowód

Oznaczmy c = logax oraz d = logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x oraz

ad = y. Zatem

loga(x ? y) = loga(ac ? ad) = logaac + d = c + d

Działania na logarytmach

426

Stosując przyjęte oznaczenia, mamy


To kończy dowód.



Rozwiązanie

log93 + log9243 = 3a)

log12515 + log125625 = 1b)

log129 + log1216 = 2c)

log2 + log25 + log0,002 = − 1d)

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu.a)

log93 + log9243 = log9(3 ? 243) = log9729 = log993 = 3b)

log12515 + log125625 = log125(1

5 ? 625) = log125125 = 1c)

Działania na logarytmach. Przykłady

427

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/il6ZbItQlA#il6ZbItQlA_d768d4e2511WOMI

Logarytm ilorazu

Przykład 3.Wykażemy, że log3135 − log35 = 3.

Oznaczmy c = log3135 oraz d = log35. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy

3c = 135

3d = 5

Zatem

log8(3c : 3d) = log3(135 : 5) = log327 = log333 = 3

Równocześnie

log8(3c : 3d) = log33c − d = c − d

Zachodzi więc równość

c − d = 3


log3135 − log35 = 3


Twierdzenie: Logarytm ilorazu

Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnych liczb x > 0 i y > 0 prawdziwa jest rów-

ność

logaxy = logax − logay

Dowód

log129 + log1216 = log12(9 ? 16) = log12144 = log12122 = 2d)

Ponieważ log 2 + log25 = log(2 ? 25) = log50, więc

log2 + log25 + log0,002 = log50 + log1

500 = log (50 ?1

500 ) = log1

10 = log10−1 = − 1.

e)


428


ad = y. Zatem

logaxy = loga

ac

ad = logaac − d = c − d



To kończy dowód.



log162 − log1632 = − 1a)

log49343 − log4917 = 2b)

log4192 − log43 = 3c)

log1750 − log7

40 = 4d)


429


Rozwiązanie

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie ilorazu.

Logarytm potęgi

Przykład 5.Wykażemy, że log58 = 3log52.

Oznaczmy c = log52. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 5c = 2. Zatem

log58 = log523 = log5(5c)3

= log553 ? c = 3 ? c = 3log52


log162 − log1632 = log162

32 = log161

16 = log1616−1 = − 1a)

log49343 − log4917 = log49

34317

= log49(343 ? 7) = log492401 = log49492 = 2b)

log4192 − log43 = log4192

3 = log464 = log443 = 3c)

log1750 − log7

40 = log1750

740

= log(1750 ?407 ) = log10 000 = log104 = 4

d)


430

Twierdzenie: Logarytm potęgi

Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnej liczby x > 0 prawdziwa jest równość

logaxr = r ? logax

Dowód

Oznaczmy c = logax. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x. Zatem

logaxr = loga(ac)r

= logaar ? c = r ? c

Stosując przyjęte oznaczenia mamy

logaxr = r ? logax

To kończy dowód.



log516 = 4log52a)


431


Rozwiązanie

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi.

log81 = 4log3b)

log317 = − log37c)

log60,04 = − 2log65d)

log516 = log524 = 4log52a)

log81 = log34 = 4log3b)

log317 = log37−1 = − 1 ? log37 = − log37c)

log60,04 = log64

100 = log61

25 = log65−2 = − 2log65d)


432

5.3.2. Zadania

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.1-5


Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.6Dane są liczby a = log82, b = log832, c = log84. Rozstrzygnij, czy równość jest prawdziwa, czy fał-

szywa.

a) a + b + c = 3

b) b − c = 1

c) a + c = 1

d) a + b = 2

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.7Która z podanych niżej liczb jest całkowita?

a) D = log16

4 − (log16

5 − log16

45)b) C = log(0,25) + log(0,008) + log(0,5)

c) B = log122 + log123 + log1224

d) A = log93 − log9243

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.8Funkcja wykładnicza określona jest wzorem f(x) = 3x. Wówczas

a) f(x) =2732 dla x = 3 − 5log32

b) f(x) =109 dla x = log310 − 2

c) f(x) = 625 dla x = 4log35

Zadania

433

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iY0d2qW92Y#iY0d2qW92Y_d5e104WOMI

d) f(x) = 6 dla x = 1 + log32

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.9Które z podanych niżej stwierdzeń są prawdziwe?

a) Liczba log220 jest o 2 większa od liczby log25.

b) Liczba log32 jest o 27 mniejsza od liczby log354.

c) Różnica log520 − log5100 jest równa – 1.

d) Suma log213 + log217 jest równa 1.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.10Przyjmijmy log23 = a i log25 = b. Wówczas

a) log2(16,2) = 4a − b

b) log2675 = 3a + 2b

c) log253 = a − b

d) log215 = a + b

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.11Wskaż liczbę, która spełnia równanie 5x = 23.

a) x = 2log53

b) x = 2log35

c) x = 3log25

d) x = 3log52

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

434

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.12Suma log48 + log48 jest równa

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.13Suma log1525 + log159 jest równa

a) 1

b) 2

c) log3034

d) log1534

(Pokaż odpowiedź)


Wartość wyrażenia log354 − log323 to

a) 4

b) 2

c) log627

d) log35313

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.15Wskaż liczbę, która jest równa 7.

a) 2log93 + 5log322

b) 5log42 + 9log255

Zadania

435

c) 7log71 + log77

d) log1 + log2 + log4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.16Liczba log21 jest równa

a) log3 ? log7

b) log20 + log1

c) log7 + log3

d) log25 − log4

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.17Liczba log25 jest równa

a) 2log5

b) log10 + log15

c) log100 − log75

d)12 log50

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.18Liczba 6log816 jest równa

a) 8

b) 12

c) 16

d) 48

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

436

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.19Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)


(Pokaż odpowiedź)

log2 + log5a)

log219 + log2149b)

log1545 + log1575c)

log63 + log64 + log618d)

log240 − log25a)

log390 − log310b)

log560 − log512c)

log721 − (log724 − log78)d)

10log42a)

9log273b)

12log25√5c)

8log12(2√3)d)

Zadania

437

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.22Wykaż, że

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.23Wykaż, że podana liczba jest całkowita.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że log15 + log1250 − log3

16 = 5.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.25Wykaż, że 3log54 + 2log57 = log53136.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.26Wykaż, że log2405 − 4log23 = log25.

(Pokaż odpowiedź)

funkcja wykładnicza g(x) = 3x dla argumentu x = log32 + log35 przyjmuje wartość 10.a)

funkcja wykładnicza h(x) = 4x dla argumentu x = log455 − log45 przyjmuje wartość 11.b)

funkcja wykładnicza f(x) = 7x dla argumentu x = 6log72 przyjmuje wartość 64.c)

log56 − log530a)

log27 − log256b)

log37 − log363c)

log143 − (log26 + log55)d)

Zadania

438

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.27Wykaż, że liczby log9, log21, log49 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

(Pokaż odpowiedź)


Przyjmijmy log53 = a. Wykaż, że log5(27√5) =6a + 1

2 .

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.3.2.29Przyjmijmy log125 = a i log4 = b. Wykaż, że 2a + 3b = 6.

(Pokaż odpowiedź)


Wykaż, że (log62)2

+ log63 ? log612 = 1.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.31Funkcja f każdej dodatniej liczbie x przyporządkowuje wykładnik potęgi, do której należy pod-

nieść liczbę 2, aby otrzymać x. Wykaż, że 2 ? f(5) + f(0,1) + 1 = f(40) + f(18 ).

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: BZadanie 5.3.2.32

Dane są takie liczby dodatnie x i y, że log2x + log3y2 =32 i log2x4 + log3y3 =

72 . Wykaż, że

2log6(x ? y) = 1.

(Pokaż odpowiedź)

Zadania

439

5.4. Zastosowanie funkcji wykładniczejZa pomocą funkcji wykładniczej można opisać wiele zjawisk z życia codziennego. Funkcję tę sto-

sujemy do opisu wielkości, które w stałym tempie się zmieniają, czyli w kolejnych odcinkach czasu

tyle samo razy lub o ten sam procent się zwiększają lub zmniejszają. Wielkości takie mają tę wła-

sność, że ich przyrost od pewnego momentu jest dużo szybszy niż wzrost liniowy. Za to spadek w

tempie wykładniczym jest wolniejszy niż spadek w tempie liniowym. Z wzrostem i spadkiem wy-

kładniczym mamy do czynienia w biologii, chemii, demografii, gospodarce. Podamy poniżej kilka

zastosowań funkcji wykładniczej.

Przykład 1.Żeby określić liczebność pewnej populacji osobników, można skorzystać ze wzoru

L(t) = L(0) ? at

gdzie

L(0) jest początkową liczbą osobników w populacji,

a pewną stałą większą od zera, charakterystyczną dla tej populacji.

Populacja osobników w tempie wykładniczym rozmnaża się najczęściej przez pewien czas,

po którym następuje czas względnej równowagi pomiędzy ilością osobników tworzących się

i obumierających.

Przyrost populacji, przebieg epidemii czy zasięg sieci społecznościowych w internecie nie

mogą wzrastać w nieskończoność, gdyż istnieją ograniczenia środowiska czy przestrzeni, w

której dane zjawiska występują.

Pewna kolonia bakterii liczy na początku obserwacji 500 osobników. Co godzina ich liczba

wzrasta o 10%. Oblicz, ile bakterii będzie w tej kolonii po 3 godzinach, ile po 5 godzinach, a

ile po 10 godzinach.

Liczbę osobników tej kolonii obliczymy ze wzoru L(t) = 500 ? 1,1t.

Zatem

L(3) = 500 ? 1,13 = 665,5

L(5) = 500 ? 1,15 = 805,255

L(10) = 500 ? 1,110 = 1296,87

Przykład 2.W pewnym mieście odnotowano w kolejnych latach podaną w tabeli liczbę mieszkańców.

Zastosowanie funkcji wykładniczej

440

rok Liczba ludności (w tysiącach) Przyrost ludności (w tysiącach)

2009 30,30

2010 31,00 0,7

2011 31,71 0,71

2012 32,44 0,73

2013 33,19 0,75

2014 33,95 0,76

Zauważmy, że liczba mieszkańców nie przyrasta w sposób liniowy, ponieważ w kolejnych la-

tach przyrost jest coraz większy. Obliczmy stosunek liczby mieszkańców w danym roku do

liczby mieszkańców w poprzednim roku.

liczba mieszkańców w 2014liczba mieszkańców w 2013 =

33,9533,19 = 1,023


33,1932,44 = 1,023


32,4431,71 = 1,023


31,7131 = 1,023


3130,3 = 1,023

Ponieważ otrzymane ilorazy są równe, wynika stąd, że liczba mieszkańców rośnie każdego

roku o około 2,3%. Liczbę ludności w tym mieście po t latach od 2009 roku możemy opisać

wzorem

X(t) = 30,3 ? (1,023)t

Zatem przyrost ludności w tym mieście ma charakter wykładniczy. Jeżeli w kolejnych latach

przyrost ludności zachowa ten charakter, ile osób będzie mieszkało w tym mieście w latach

2016, 2020?

W roku 2016 będzie 33,95 ? (1,023)2

= 35,53, czyli 35,53.

Liczba mieszkańców w 2020 roku to

X(11) = 30,3 ? (1,023)11

= 38,91,

czyli 38,91 tysięcy.


441

Przykład 3.Pierwiastki promieniotwórcze samoistnie rozpadają się. Czasem połowicznego rozpadu na-

zywamy czas, po którym masa próbki takiego pierwiastka zmniejszy się o połowę. Masę

próbki po upływie czasu t możemy obliczyć ze wzoru

m(t) = m(0) ? (12 )

tT

gdzie

m(0) − jest masą próbki na początku,

T to okres połowicznego rozpadu.

Izotop jodu ma czas połowicznego rozpadu 8 dni. Ile miligramów jodu zostanie z 20 mg prób-

ki po upływie 32 dni? Jaki procent izotopu ulegnie rozpadowi w tym czasie?

32 dni to 4 okresy połowicznego rozpadu izotopu jodu, botT =

328 = 4. Mamy więc

m(32) = 20 ? (12 )

4=

2016 =

54 = 1,25

Zatem z próbki złożonej z 20 mg pozostanie po 32 dniach 1,25 mg. Rozpadowi ulegnie więc

18,75 mg z 20 mg. Układamy proporcję

100%

x

−

−

20 mg

18,75 mg

Stąd

x =18,75 ? 100%

20 = 93,75%

Przykład 4.W naturze występują trzy izotopy węgla C − 12, C − 13 i C − 14, różniące się między sobą licz-

bą protonów i neutronów w jądrze. Węgiel C − 14 jest radioaktywny i jego czas połowicznego

rozpadu jest równy 5730 lat. Powstaje on w górnych warstwach atmosfery w wyniku bom-

bardowania atomów azotu neutronami o wysokiej energii z promieniowania kosmicznego.

Izotopu C − 14 jest bardzo mało w zawartym w powietrzu dwutlenku węgla, jeden atom przy-

pada na około 1012atomów węgla C − 12. Wszystkie rośliny pobierają z atmosfery oba rodza-

je węgla. Także zwierzęta, jedząc rośliny, pobierają oba rodzaje węgla. Okazuje się, że zawar-

tość węgla C − 14 w organizmach jest podobna do jego zawartości w atmosferze. Po śmierci

kończy się dopływ węgla z zewnątrz i wtedy węgiel C − 12 pozostaje w komórkach, a węgiel

C − 14 ulega rozpadowi.

Liczbę atomów węgla C − 14 w próbce po czasie t obliczymy ze wzoru

N(t) = N(0) ? (12 )

t5730


442

Ponieważ w atmosferze na 1 atom węgla C − 14 przypada 1012atomów zwykłego węgla, więc

ilość węgla zmniejszyła się czterokrotnie. Po pierwszym okresie, czyli łącznie po 5730 latach,

ilość węgla zmniejszyła się o połowę i po kolejnym okresie, czyli po 11 460 latach, ilość węgla

zmniejszyła się czterokrotnie. Zatem zwierzę żyło około 11 500 lat temu.

Przykład 5.Po podaniu pewnego leku do organizmu substancja czynna tego leku przenika do krwiobie-

gu. Następnie z każdą godziną ilość tej substancji maleje o około 40%. Jeżeli podana dawka

leku zawierała 250 mg substancji, to po ilu godzinach zostanie w krwiobiegu pacjenta mniej

niż 32,4 mg substancji?

• sposób I

Jeżeli z każdą następną godziną ilość substancji w krwiobiegu maleje o 40%, to znaczy,

że po każdej godzinie pozostanie 0,6 ilości substancji obecnej w poprzedniej godzinie.

Zatem X(t) = 250 ? (0,6)t, gdzie t oznacza ilość czasu w godzinach, jaki upłynął od poda-

nia leku, a X(t) to ilość leku w organizmie po t godzinach.

Mamy więc 250 ? (0,6)t

< 32,4. Stąd (0,6)t

< 0,1296. Ponieważ 0,1296 = (0,6)4, więc nie-

równość ma postać (0,6)t

< (0,6)4. Funkcja y = (0,6)

xjest funkcją malejącą, więc dla więk-

szych argumentów przyjmuje mniejsze wartości. Stąd wynika, że t > 4.

• sposób II

W kolejnych godzinach mamy:

X(1) = 250 ? 0,6 = 150

X(2) = 150 ? 0,6 = 90

Ile lat temu zginął człowiek, jeżeli w jego szczątkach znajduje się tylko 6,25% ilości wę-

gla, jaka jest w żywym organizmie?

Zbadajmy, jaka ilość węgla C − 14 pozostanie po kolejnych okresach.

Okres, jaki upłynął Ilość węgla C − 14, jaka pozostanie

5730 50%

11 460 25%

17 190 12,5%

22 920 6,25%

Zatem człowiek ten żył około 22 920 lat temu.

a)

Znaleziono kość pewnego zwierzęcia, w której 1 atom węgla C − 14 przypada na

4 ? 1012atomów zwykłego węgla. Jaki czas upłynął od śmierci tego zwierzęcia?

b)


443

X(3) = 90 ? 0,6 = 54

X(4) = 54 ? 0,6 = 32,4

Funkcja opisująca ilość leku we krwi jest funkcją malejącą oraz dla argumentu 4 przyjmuje

dokładnie wartość 32,4, zatem dla argumentów większych przyjmuje wartości mniejsze.

Po czasie dłuższym niż 4 godziny w organizmie pacjenta pozostanie mniej niż 32,4 g leku.

Przykład 6.Jeżeli umieścimy przedmiot w stałej temperaturze otoczenia, niższej od jego temperatury, to

przedmiot ten będzie stygł aż do osiągnięcia temperatury otoczenia. Temperaturę po okre-

ślonym czasie obliczymy za pomocą wzoru

T(t) = TO + (TP − TO)a−t

TO to temperatura otoczenia, TP to temperatura początkowa przedmiotu, a jest stałą charak-

terystyczną dla danego przedmiotu.


444

Zagotowaliśmy wodę do temperatury 100 ° C, a następnie umieściliśmy w pomieszczeniu o

temperaturze 25 ° C. Po 10 minutach zmierzyliśmy temperaturę wody i okazało się, że wyno-

si ona 70 ° C. Jaką temperaturę będzie miała woda po następnych 10 minutach?

Temperaturę wody po 10 minutach opisuje wzór

T(10) = 25 ° + (100 ° − 25 ° ) ? a−10 = 70 °

stąd

75 ° ? a−10 = 45 °

Otrzymujemy więc a−10 = 0,6. Stąd a10 =1

0,6 = 1,67, a więc a =10√1,67 ≈ 1,053.

Po następnych 10 minutach, czyli po 20 minutach od zagotowania wody jej temperatura bę-

dzie równa

T(20) = 25 ° + 75 ° ? 1,053−20 = 25 ° + 75 ° ? 0,356 = 25 ° + 27 ° = 52 °

Przykład 7.Przykładem zastosowania funkcji wykładniczej w medycynie jest zanik monochromatycznej

wiązki promieniowania rentgenowskiego przy przechodzeniu przez materię. W tym przypad-

ku natężenie promieniowania I przy przejściu przez ciało grubości x dane jest wzorem:

I(x) = I0e−kx

gdzie

I0 – natężenie wychodzące z lampy rentgenowskiej,

k – liniowy współczynnik pochłaniania promieniowania w materii,

x – grubość warstwy pochłaniającej.


445

e – liczba niewymierna, e ≈ 2,718

Jednostką liniowego współczynnika pochłaniania (absorpcji) jest [1 / m].

Poziom trudności: AZadanie 5.4.1Kolonia bakterii składała się z 500 organizmów. Po każdej godzinie liczba bakterii rośnie o 20%

. Ile bakterii będzie po 3 godzinach?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.2Na początku obserwacji kolonia liczyła 500, a na końcu 845 bakterii. O ile procent przyrastała

liczba bakterii w ciągu godziny, jeżeli liczba bakterii przyrasta w tempie wykładniczym, czyli we-

dług wzoru L(t) = L(0) ? at, a eksperyment trwał 2 godziny?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.3Na początku obserwacji kolonia liczyła 1000 bakterii. Po 5 godzinach liczba ta wzrosła do 1800

. Ile osobników będzie liczyła kolonia po 20 godzinach?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.4W pewnej kolonii liczba bakterii zwiększa się co godzinę o 25%. Po ilu godzinach liczba ta uległa

podwojeniu?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.5W pewnej miejscowości mieszkało 1400 osób. Miejscowość rozwija się prężnie, tak że każdego

roku liczba ta zwiększa się o 10%. Po ilu latach liczba mieszkańców przekroczy 2000?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.6W pewnej kolonii bakterii po 4 godzinach od rozpoczęcia doświadczenia liczba organizmów by-

ła równa 7500, a po 6 godzinach była już równa 37 500. Wiedząc, że liczba bakterii przyrastała


446

w sposób wykładniczy oblicz, ile bakterii było na początku doświadczenia oraz ile po 12 godzi-

nach.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.7Dla uranu 235 czas połowicznego rozpadu wynosi 713 milionów lat. Ile lat potrzeba, żeby z 1 g

pierwiastka pozostało nie więcej niż 0,125 g?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.8Po upływie 15 dni z początkowej próbki o masie 2 g pozostanie 0,25 g bizmutu 210. Jaki jest

czas połowicznego rozpadu tego pierwiastka?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.9W próbce znajduje się 0,05 g izotopu wapnia. Jaka masa izotopu była 3 lata wcześniej, jeżeli

okres połowicznego rozpadu dla wapnia wynosi 6 miesięcy?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.10Ile wynosi okres połowicznego rozpadu kobaltu, jeżeli wiadomo, że podczas doświadczenia,

które trwało 20 lat, z próbki ważącej 40 g pozostało 2,5 g tego pierwiastka?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.11W pewnej kości zawartość węgla C − 14 jest mniejsza o 75% od zawartości w atmosferze. Oblicz

wiek znaleziska.

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.12Określ wiek znaleziska archeologicznego, wiedząc, że jeden atom węgla C − 14 przypada na

16 ? 1012 atomów węgla C − 12.

(Pokaż odpowiedź)


447

Poziom trudności: AZadanie 5.4.13Jaki procent węgla C − 14 pozostał w znalezisku archeologicznym, które ma 15 000 lat?

(Pokaż odpowiedź)

Poziom trudności: AZadanie 5.4.14Pewien płyn podgrzano do temperatury 80 ° C , a następnie odstawiono, żeby wystygł. Po 15

minutach temperatura płynu wynosiła 60 ° C. Jaką temperaturę miał płyn po godzinie od pod-

grzania?

(Pokaż odpowiedź)


448

Rozdział 6. Wykresy funkcjispecjalnych i ich własności

Wykresy funkcji specjalnych i ich własności

449

Wykresy funkcji specjalnych


450

Wykresy funkcji specjalnych




451

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQgAw2U76v#iQgAw2U76v_d33d4e845WOMI





452






453






454



SłowniczekDefinicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej 3 wyrazy i każdy jego wy-

raz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej licz-

by. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją r.

Jeśli więc ciąg jest skończony i ma k ≥ 3 wyrazów, to an + 1 = an + r dla dowolnej liczby

całkowitej 1 ≤ n ≤ k − 1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to an + 1 = an + r dla

dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1.

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg (an) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej 3 wyrazy, jego

pierwszy wyraz jest różny od 0, a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzednie-

go wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycz-

nego i oznaczamy przez q.

Definicja: Ciągi monotoniczne

• Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,

jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla do-

wolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an + 1 > an

• Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,

jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla


an + 1 < an

• Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a

więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość

an + 1 = an

• Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugie-

go, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeże-

li dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an + 1 ≥ an

Słowniczek

455

• Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego,

jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla


an + 1 ≤ an

Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że

ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Definicja: Definicja ciągu

• Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich.

Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

• Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całko-

witych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1,2 , ..., n}, gdzie n jest ustalo-

ną dodatnią liczbą całkowitą.

• Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. po-

dając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płasz-

czyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane (1, 3) i (3, 1) są różne.

• Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ w kolejce stoi 5

osób, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór

{1, 2, 3, 4, 5}.• Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych

elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.

W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, któ-

rych wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (an ) , (bn ), (cn ), itd. Natomiast

an oznacza n-ty wyraz ciągu (an), na przykład drugi wyraz ciągu (an) to a2.

Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu 1 oznaczymy (an), to a1 = Tomek, a2 = Małgo-

sia, a3 = Julka, a4 = Franek, a5 = Jurek.

Twierdzenie: Funkcja kwadratowa w postacikanonicznej i ogólnej

Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej f(x) = ax2 + bx + c lub w równo-

ważnej postaci kanonicznej f(x) = a(x − p)2

+ q, gdzie p =−b2a i q = −Δ

4a .

Słowniczek

456

Symbolem ∆ (delta) oznaczyliśmy liczbę Δ = b2 − 4ac, którą nazywamy wyróżnikiem funkcji

kwadratowej f.

Dowód

Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia (x − p)2, postać kanoniczną funkcji f możemy zapisać

jako

f(x) = a(x2 − 2px + p2) + q,

stąd

f(x) = ax2 − 2apx + ap2 + q.

Aby dla każdego x zachodziła równość

ax2 − 2apx + ap2 + q = ax2 + bx + c

potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x.

Zatem

−2ap = b oraz ap2 + q = c, stąd p =−b2a i q = c − a(−b

2a )2

= c − ab2

4a2 = c − b2

4a =4ac − b2

4a . Przyjmując

oznaczenie Δ = b2 − 4ac, otrzymujemy q = −Δ4a .

Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do ka-

nonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kil-

ku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu

f(x) = ax2 + bx + c = a(x2 +ba x) + c = a((x +

b2a )

2− b2

4a2 ) + c =

= a(x +b2a )

2− b2

4a + c = a(x +b2a )

2− b2 − 4a2

4a = a(x +b2a )

2− Δ

4a .

Definicja: Funkcja kwadratowa zmiennej x

Funkcją kwadratową zmiennej x nazywamy funkcję określoną wzorem

f(x) = ax2 + bx + c,

gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera.

Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.

Słowniczek

457

• Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej

f(x) = a(x − p)2

+ q,

gdzie a, p oraz q to liczby rzeczywiste i a ≠ 0.

Definicja: Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x

wzorem f(x) = ax, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od 1.

Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcjikwadratowej

Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0)• ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste x1 i x2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik

∆ jest dodatni.

Wówczas wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x1)(x − x2),gdzie x1 =

−b + √Δ2a oraz x2 =

−b − √Δ2a .

• ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0. W tym przypad-

ku wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x0)2, gdzie x0 = − b

2a .

• nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ < 0. Wtedy wzoru funkcji

f nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równaniakwadratowego


ax2 + bx + c = 0

• nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ < 0,

• ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste x0 = − b2a wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0,

Słowniczek

458

• ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste x1 =−b − √Δ

2a oraz x2 =−b + √Δ

2a wtedy i tylko wte-

dy, gdy ∆ > 0.

Definicja: Logarytm

Logarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazy-

wamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c.

logac = b wtedy i tylko wtedy, gdy ab = c.

Twierdzenie: Logarytm iloczynu

Jeżeli liczba a jest dodatnia i różna od 1, to dla dowolnych liczb dodatnich x i y


Dowód


ad = y. Zatem

loga(x ? y) = loga(ac ? ad) = logaac + d = c + d

Stosując przyjęte oznaczenia, mamy


To kończy dowód.

Twierdzenie: Logarytm ilorazu

Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnych liczb x > 0 i y > 0 prawdziwa jest rów-

ność


Słowniczek

459

Dowód


ad = y. Zatem

logaxy = loga

ac

ad = logaac − d = c − d



To kończy dowód.

Twierdzenie: Logarytm potęgi

Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnej liczby x > 0 prawdziwa jest równość

logaxr = r ? logax

Dowód

Oznaczmy c = logax. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac = x. Zatem

logaxr = loga1 children in msup = logaar ? c = r ? c

Stosując przyjęte oznaczenia mamy

logaxr = r ? logax

To kończy dowód.

Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu

arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego

jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe a1.

Słowniczek

460

Twierdzenie: O sumie wyrazów ciąguarytmetycznego

Suma Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa

Sn =2a1 + (n − 1)r

2 ∙ n =a1 + an

2 ∙ n.

Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa

f(x) = ax2 + bx + c

ma dwa miejsca zerowe x1 i x2, to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f ma rów-

nanie

x =x1 + x2

2

Dowód

Jak zauważyliśmy, oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, to jednocześnie syme-

tralna odcinka o końcach w punktach (x1, 0) i (x2, 0). Korzystając ze wzoru na współrzęd-


(x1 + x2

2 , 0). Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że

x1 + x22 = p.

Ponieważ

x1 + x2 =−b − √Δ + (−b + √Δ)

2a =−ba ,

więc

x1 + x22 =

−b2a = p.

Słowniczek

461

Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Funkcja f opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjo-

nalnymi x i y nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn x ∙ y = a nazywa-

ny jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Z faktu, że liczby x i y są dodatnie, wynika, że współczynnik a także jest dodatni.

Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi x i y możemy zapisać

również w postaci y =ax .

Twierdzenie: Proste prostopadłe

Proste o równaniach m : y = a1x + b1 oraz k : y = a2x + b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy,

gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

a1 ∙ a2 = − 1

Twierdzenie: Proste równoległe

Proste o równaniach

• m : y = a1x + b1

• k : y = a2x + b2

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

a1 = a2

Twierdzenie: Rozwiązanie równania xn = a

Dla liczby naturalnej dodatniej n, większej od 1, oraz liczby rzeczywistej a ≠ 0 równanie xn = a

ma

• jedno rozwiązanie równe x =n√a, gdy n jest liczbą nieparzystą,

• dwa rozwiązania równe x =n√a oraz x = − n√a, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą

dodatnią,

Słowniczek

462

• zero rozwiązań, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą ujemną.

Definicja: Równanie ogólne prostej

Równanie Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C są liczbami rzeczywistymi oraz A i B nie są

jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.

Twierdzenie: Twierdzenie o sumie n początkowychwyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma Sn jego n początkowych wyrazów

jest równa

Sn = a11 − qn

1 − q dla q ≠ 1 albo Sn = na1 dla q = 1.

Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciąguarytmetycznego

Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego n > 1 oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej

k < n mamy

an =an − k + an + k

2

Zauważmy, że wyrazy an − k, an, an + k są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o

różnicy kr. Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema

kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Mówimy, że dwie dodatnie wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko

wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.

Słowniczek

463

Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej x stopnia n (n − liczba naturalna dodatnia) nazywamy funk-

cję określoną wzorem

W(x) = anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0

gdzie x ? R, an ≠ 0 oraz an − 1, an − 2, … , a1, a0 są liczbami rzeczywistymi. Liczby

an, an − 1, an − 2, … , a1, a0nazywamy współczynnikami wielomianu.

• Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała W(x) = a0 , gdzie a0 ≠ 0, jest wie-

lomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową W(x) = 0 nazywamy

wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.

• Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa f(x) = ax + b jest wielomianem stopnia

pierwszego, gdy a ≠ 0, a funkcja kwadratowa

g(x) = ax2 + bx + c

jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście a ≠ 0, gdyż inaczej nie byłaby to

funkcja kwadratowa.

Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciąg (an) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierw-

szym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich

an =an + 1 + an − 1

2 dla n > 1

Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci

2an = an + 1 + an − 1

Własność: Własność ciągu geometrycznego

Ciąg (an) o wyrazach różnych od 0 jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnej liczby całkowitej n > 1 (1 < n < k, ciąg (an) jest k − wyrazowy) prawdziwa jest równo-

ść

Słowniczek

464

an2 = an + 1 ∙ an − 1

Jeżeli wyrazy ciągu (an) są liczbami dodatnimi, to równość an2 = an + 1 ∙ an − 1 możemy zapisać

w postaci an = √an + 1 ∙ an − 1.

Oznacza to, że wyraz an jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (an) o różnicy r jest równy an = a1 + (n − 1)r.

Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość

an + 1 = an + r możemy też zapisać w postaci równoważnej an + 1 − an = r.

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli a1 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (an) i q jest ilorazem tego ciągu, to

dla dowolnej liczby całkowitej n > 1 mamy an = a1qn − 1 .

Słowniczek

465

Rozdział 7. Odpowiedzi

Geometria analityczna / Równanieprostej w postaci ogólnej oraz w postacikierunkowejZadanie 1.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Prosta przechodząca przez punkty A = ( − 4, − 2) i B = ( − 3, − 1) ma równanie y = x + 2.

Punkty A = (3, 6) i B = ( − 3, 6) leżą na prostej o równaniu y = 6.

Zadanie 1.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Zadanie 1.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = − 3x − 1


przecina oś Ox w punkcie ( − 5, 0)

przecina oś Oy w punkcie (0, 2)

Zadanie 1.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź6

Zadanie 1.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = √2


y =12x +

32

Fa)

Ab)

Cc)

Bd)

Ee)

Df)

Odpowiedzi

466

Zadanie 1.2.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźB = − 2

Zadanie 1.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 7

Zadanie 1.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź−8x + 12y + 24 = 0


S = ( − 1,4)


B = (2,2)

Zadanie 1.2.17 (Wróć do zadania)OdpowiedźAC : y = x, BC : y = − 2x + 150

Zadanie 1.2.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźAC : x + 1 = 0, BD : y − 4 = 0




x + 4y = 0a)

−7x + 4y − 2 = 0b)

x + 5 = 0c)

−12x + 31y = 0d)

x − 4y + 11√3 = 0e)

M = ( − 1,2)a)

M = (5,3)b)

M = (0,2)c)

M = ( − 3, − 5)d)

A = (4, − 4), B = ( − 4, − 4), C = (1,1)a)

A = (1, − 3), B = ( − 4,2), C = (5,3)b)

Odpowiedzi

467

Zadanie 1.2.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźrównania przekątnych: AC : x − 2y = 0, BD : 9x + 7y − 10 = 0

punkt przecięcia przekątnych: S = (45 ,

25 )


Zadanie 1.2.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźGdyby była taka wartość m, dla której prosta byłaby prostopadła do osi Ox, to wówczas jej współ-

czynnik przy y byłby równy 0, a więc m − 3 = 0, czyli m = 3. Wtedy jednak współczynnik przy x też

byłby równy 0, co jest niemożliwe, gdyż oba te współczynniki nie mogą być jednocześnie równe 0.

A = (4,7), B = ( − 4,3), C = (4,3)c)

m = − 2a)

m = − 4b)

m = − 5 lub m = 5c)

Odpowiedzi

468

Geometria analityczna / Prosterównoległe, proste prostopadłeZadanie 1.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Uwaga.

Aby wykazać, że dwie proste, opisane równaniami kierunkowymi są równoległe, wystarczy wyka-

zać, że ich współczynniki kierunkowe są równe.

Zadanie 1.3.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźBok AD leży na prostej y = − 2x + 9, a bok CD na prostej y = 3.

Rozwiązanie

Z własności równoległoboku wynika, że bok AD leży na prostej równoległej do BC przechodzącej

przez wierzchołek D.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, zatem równanie prostej AD możemy

zapisać w postaci y = − 2x + b. Współczynnik b obliczymy po podstawieniu do tego równania

współrzędnych punktu D.

3 = − 2 ∙ 3 + b

y =23x + 7a)

y = 3x − 5b)

Prosta zawierająca bok AB ma równanie y =12x − 3, a prosta zawierająca bok CD ma równa-

nie y =12x +

12 . Obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy a =

12 , więc AB ? CD. Wy-

nika z tego, że ABCD jest trapezem.

c)

Odpowiedzi

469

b = 9

Wynika z tego, że bok AD leży na prostej o równaniu y = − 2x + 9.

Bok CD leży na prostej równoległej do AB i przechodzącej przez punkt D. Prosta CD jest również

równoległa do osi Ox i opisuje ją równanie y = 3.



y =14x

Zadanie 1.3.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź−2

Zadanie 1.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = 3x + 3


y = − 12x + 4

Zadanie 1.3.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzecinają się pod kątem innym niż kąt prosty

Zadanie 1.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 4

Zadanie 1.3.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź2√2 − 2


y = − 53x + 6a)

y = − 2x + 1b)

Prosta zawierająca bok AB ma równanie y = − 12x − 1

2 , a prosta zawierająca bok AC ma rów-

nanie y = 2x − 3. Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy

− 12 ∙ 2 = − 1 , zatem AB ? AC. Wynika z tego, że trójkąt ABC jest prostokątny.

c)

y = 5x + 8a)

y = 5xb)

y = 5x − 20c)

Odpowiedzi

470


y =12x − 2


y = − 59x +

73

Zadanie 1.3.21 (Wróć do zadania)OdpowiedźBoki AB i DC czworokąta leżą na prostych o równaniach x = 2 i x = − 2. Wynika z tego, że są do

siebie równoległe.

Bok CB leży na prostej o równaniu y =34x − 1

2 , a bok AD na prostej o równaniu y =34x + 4

12 . Te pro-

ste są do siebie równoległe.

Wynika z tego, że czworokąt ABCD ma dwie pary boków równoległych , czyli jest równoległobo-

kiem.


Zadanie 1.3.23 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 7


Bok AC leży na prostej o równaniu y =12x + 2, a bok CB na prostej y = − 2x + 7.

12 ∙ (−2) = − 1, zatem boki AC i CB są do siebie prostopadłe, czyli trójkąt ABC jest prostokątny.

Zadanie 1.3.25 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = − 3x − 2


y = − x, y = − x + 6, y = 2x − 3, y = 2x + 6, D = ( − 2,2)

y = 5x + 5d)

Odpowiedzi

471

Geometria analityczna / Długość odcinka.Środek odcinkaZadanie 1.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź


Rozwiązanie


(−√2, 4√2)a)

(−2, 3√3)b)

(−4√2, 0)c)

(1, − 3)d)

| AB | = 5√2, | AC | = 10, | BC | = 5√2. Obwód L = 10 + 10√2.a)

| AB | = 5, | AC | = √97, | BC | = 10. Obwód L = 15 + √97.b)

| AB | = √2, | AC | = 3√2 , | BC | = 2√2. Obwód L = 6√2.c)

| AB | = √(1 + 4)2

+ (6 − 1)2

= √50 = 5√2, | AC | = √(1 − 1)2

+ (6 + 4)2

= √100 = 10 ,

| BC | = √(−4 − 1)2

+ (1 + 4)2

= √50 = 5√2.

Obwód L = 10 + 10√2.

a)

| AB | = √(2 + 2)2

+ (8 − 5)2

= √25 = 5, | AC | = √(2 − 6)2

+ (8 + 1)2

= √97 ,

| BC | = √(−2 − 6)2

+ (5 + 1)2

= √100 = 10.

Obwód L = 15 + √97.

b)

| AB | = √(1 − √3 − 2 + √3)2

+ (1 + 2√3 − 2 − 2√3)2

= √(−1)2

+ (−1)2

= √2,

| AC | = √(1 − √3 − 4 + √3)2

+ (1 + 2√3 − 4 − 2√3)2

= √(−3)2

+ (−3)2

= 3√2 ,

| BC | = √(2 − √3 − 4 + √3)2

+ (2 + 2√3 − 4 − 2√3)2

= √(−2)2

+ (−2)2

= 2√2 .

Obwód L = 6√2.

c)

Równanie prostej zawierającej środkową: x = 2a)

Równanie prostej zawierającej środkową: y = 4b)

Równanie prostej zawierającej środkową: y =23xc)

Równanie prostej zawierającej środkową: y =35x + 2

15

d)

Odpowiedzi

472

Rozwiązanie


Rozwiązanie


Środek odcinka BC: S = (2,2). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty A = (2,8)i S = (2,2) . Równanie tej prostej ma postać x = 2.

a)

Środek odcinka BC: S = (5,4). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty

A = ( − 3,4) i S = (5,4). Równanie tej prostej ma postać y = 4.

b)

Środek odcinka BC: S = (3,2). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty A = (0,0)i S = (3,2). Równanie tej prostej ma postać y =

23x.

c)

Środek odcinka BC: S = (3,4). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty

A = ( − 2,1) i S = (3,4). Równanie tej prostej ma postać y =35x + 2

15 .

d)

Przekątna | AC | = 5√2. Współrzędne wierzchołka D = (2, − 1).a)

Przekątna | AC | = √65. Współrzędne wierzchołka D = (5,2).b)

Przekątna | AC | = 15. Współrzędne wierzchołka D = (6, − 9).c)

Przekątna | AC | = √(−2 − 7)2

+ (3 − 2)2

= √50 = 5√2 . Środek przekątnych prostokąta ma

współrzędne S = (−2 + 52 ,

3 + 22 ) = (3

2 ,52 ) . Zatem (3

2 ,52 ) = (

1 + xD2 ,

6 + yD2 ). Z tego wynika, że xD = 2

i yD = − 1.

a)

Przekątna | AC | = √(2 − 1)2

+ (−8)2

= √65 . Środek przekątnych prostokąta ma współrzęd-

ne S = (2 + 12 ,

82 ) = (3

2 , 4) . Zatem (32 , 4) = (

−2 + xD2 ,

6 + yD2 ). Z tego wynika, że xD = 5 i yD = 2.

b)

Zauważ, że punkty A i C mają pierwszą współrzędną równą 0, zatem leżą na osi Oy. Długość

przekątnej AC jest równa | yA − yC | = | 3 + 12 | = 15. Środek przekątnych również leży

na osi Oy i ma współrzędne S = (0,3 − 12

2 ) = (0, − 92 ). Zatem (0, − 9

2 ) = (−6 + xD

2 ,yD2 ). Z tego wy-

nika, że xD = 6 i yD = − 9.

c)

| AB | = | AC | = √65. Trójkąt jest równoramienny.a)

| AB | = √85 , | AC | = √85 .Trójkąt jest równoramienny.b)

| AB | = √50, | AC | = √106 , | BC | = √104 .Trójkąt nie jest równoramienny.c)

Odpowiedzi

473

Rozwiązanie


RozwiązaniePunkt S jest środkiem każdej przekątnej równoległoboku.

| AB | = √(2 + 5)2

+ (−7 + 3)2

= √65 , | AC | = √(2 − 6)2

+ (−7)2

= √65 . Trójkąt jest równora-

mienny.

a)

| AB | = √(1 + 5)2

+ (−6 − 1)2

= √85 , | AC | = √(1 − 7)2

+ (−6 − 1)2

= √85 . Trójkąt jest rów-

noramienny.

b)

| AB | = √(1 − 8)2

+ (−5 + 6)2

= √50, | AC | = √(1 − 6)2

+ (−5 − 4)2

= √106 ,

| BC | = √(8 − 6)2

+ (−6 − 4)2

= √104 . Trójkąt nie jest równoramienny.

c)

C = (6,4), D = ( − 1,5)a)

C = ( − 5, − 5), D = (3,3)b)

C = ( − 7, − 2), D = (0,2)c)

C = (4, − 3), D = (9,0)d)

Przekątna AC: S = (3,0) = (0 + xC

2 ,−4 + yC

2 ). Z tego wynika, że xC = 6 i yC = 4.

Przekątna BD: S = (3,0) = (7 + xD

2 ,−5 + yD

2 ). Z tego wynika, że xD = − 1 i yD = 5.

a)

Przekątna AC: S = (2, − 2) = (9 + xC

2 ,1 + yC

2 ). Z tego wynika, że xC = − 5 i yC = − 5.

Przekątna BD: S = (2, − 2) = (1 + xD

2 ,−7 + yD

2 ). Z tego wynika, że xD = 3 i yD = 3.

b)

Przekątna AC: S = (0, − 1) = (7 + xC

2 ,yC2 ). Z tego wynika, że xC = − 7 i yC = − 2.

Przekątna BD: S = (0, − 1) = (xD2 ,

−4 + yD2 ). Z tego wynika, że xD = 0 i yD = 2.

c)

Przekątna AC: S = (7, − 72 ) = (

10 + xC2 ,

−4 + yC2 ). Z tego wynika, że xC = 4 i yC = − 3.

Przekątna BD: S = (7, − 72 ) = (

5 + xD2 ,

−7 + yD2 ). Z tego wynika, że xD = 9 i yD = 0.

d)

Odpowiedzi

474


prosta AS1 : y =12x − 1

prosta BS2 : y = − 112 x + 7

prosta CS3 : y = − 710x +

35

RozwiązanieIlustracja 1. Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_rys_rozw_zad4

• Prosta zawierająca środkową AS1 przechodzi przez wierzchołek A i punkt S1 – środek boku

CB.

S1 = (2 − 22 ,

−4 + 22 ) = (0, − 1)

Równanie prostej AS1 ma postać y =12x − 1

• Prosta zawierająca środkową BS2 przechodzi przez wierzchołek B i punkt S2 – środek boku

AC.

S2 = (4 − 22 ,

1 + 22 ) = (1, − 3

2 )

Równanie prostej BS2 ma postać y = − 112 x + 7

• Prosta zawierająca środkową CS3 przechodzi przez wierzchołek C i punkt S3 – środek boku

AB.

S3 = (4 + 22 ,

1 − 42 ) = (3, − 3

2 )

Równanie prostej CS3 ma postać y = − 710x +

35 .

Odpowiedzi

475

Zadanie 1.4.15 (Wróć do zadania)OdpowiedźTrójkąty ABC i A1B1C1 są podobne.

Rozwiązanie

Długości boków trójkąta ABC: | AB | = √10, | AC | = √10, | BC | = 2√5.

Długości boków trójkąta A1B1C1: | A1B1 | = 2√10, | A1C1 | = 2√10, | B1C1 | = 4√5.

Odpowiednie boki trójkątów są proporcjonalne, ponieważ| AB |

| A1B1 |= √10

2√10 =12 ,

| AC |

| A1C1 |= √10

2√10 =12 oraz

| BC |

| B1C1 |=

2√54√5 =

12 . Wynika z tego, że trójkąty ABC i A1B1C1 są podob-

ne.


RozwiązaniePunkt S jest środkiem odcinka AB, zatem

(412 , − 1

2 ) = (3m + 32 ,

2m − 52 )

412 =

3m + 32 , − 1

2 =2m − 5

2

Oba równania są prawdziwe dla m = 2 .


m = 5 lub m = 415

RozwiązanieDługość odcinka AB możemy zapisać

| AB | = √(m − 7)2

+ (−2m + 8)2

= 2√2

Zatem otrzymamy równanie

√(m − 7)2

+ (−2m + 8)2

= √8

Ponieważ liczby pod pierwiastkiem są nieujemne, to równanie można zapisać w postaci

(m − 7)2

+ (−2m + 8)2

= 8

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia i uporządkowaniu wyrażeń otrzymamy równanie

kwadratowe

5m2 − 46m + 105 = 0

Odpowiedzi

476

Rozwiązaniami tego równania są liczby m = 5 lub m = 415 .

Odpowiedzi

477

Geometria analityczna / Zastosowaniarównania prostej: wysokości, środkowe,symetralne boków trójkątaZadanie 1.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź



Współczynnik kierunkowy prostej AB: a1 = − 15 , współczynnik kierunkowy prostej AC: a2 = 5. Wy-

nika z tego, że bok AB jest prostopadły do boku AC. Zatem trójkąt ABC jest prostokątny.

Trójkąt jest równoramienny, gdyż | AB | = √26, | AC | = √26, czyli | AB | = | AC | .


Przekątna AC leży na prostej y = − 32x + 5, a przekątna BC na prostej y =

23x +

23 . Z tego, że

− 32 ∙ 2

3 = − 1 wynika, że przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.

Punkt S = (2,2) jest środkiem przekątnej AC i jednocześnie środkiem przekątnej BD. Wynika z tego,

że punkt przecięcia się prostopadłych do siebie przekątnych dzieli każdą z nich na połowy. Zatem

czworokąt ABCD jest rombem.


E = (72 ,

32 ), prosta y = − 1

3x + 223

y = 212x + 1

34

a)

y = − 2x − 2b)

y = − xc)

y = 4x − 4d)

y = − x + 3e)

y =14xf)

Równanie środkowej AD: y = − 23x + 1

23

a)

Równanie środkowej AD: y = − 12x +

32

b)

Równanie środkowej AD: y =12x − 2c)

Równanie środkowej AD: y = 2d)

Odpowiedzi

478


AC : y =14x + 1



Równanie wysokości y = x + 2, | CD | = 5√2


Długość boku | CB | = √17 , długość wysokości opuszczonej na bok jest równa CB h = 2√17.

Pole równoległoboku jest równe P = 34.


A = (−2,5), B = ( − 4, − 1), C = (2, − 3), D = (4,3)

PABC = 12a)

PABC = 15b)

Odpowiedzi

479

Funkcja kwadratowa / Jednomiankwadratowy i jego własności.Przesunięcie wykresu jednomianukwadratowego wzdłuż osi układuwspółrzędnychZadanie 2.1.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1

0

Zadanie 2.1.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź−√3 + 2

Zadanie 2.1.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = − 1


odbić parabolę o równaniu y = 2x2 symetrycznie względem osi Ox


? −1, + ∞)


f( – 50) = f(52)


f(x) = (x − 2)2


g(x) = − x2 + 3

Zadanie 2.1.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 0

Odpowiedzi

480


a)

b)

c)

Odpowiedzi

481


a)

b)

c)

Odpowiedzi

482




d)

? 1, + ∞)a)

? 0, + ∞)b)

? −3, + ∞)c)

? 0, + ∞)d)

(−∞, 0 ?a)

(−∞, −4 ?b)

(−∞, 2 ?c)

(−∞, 0 ?d)

(−∞, 0 ?a)

? −2, + ∞)b)

(−∞, 1 ?c)

? 0, + ∞)d)

Odpowiedzi

483


0 rozwiązańa)

1 rozwiązanieb)

2 rozwiązaniac)

Odpowiedzi

484


2 rozwiązaniad)

0a)

1b)

Odpowiedzi

485


Zadanie 2.1.19 (Wróć do zadania)Odpowiedźk < m < n < l

2c)

2d)

W = (0, − 2), f(x) = x2 − 2

W = (0, – 2), zatem funkcja jest określona wzoremf(x) = ax2 − 2. Ponieważ do wykresu tej

funkcji należy punkt (1, − 1), więc f(1) = − 1, skąd a = 1.

a)

W = (3, 0), g(x) =13 (x − 3)

2

W = (3, 0), zatem funkcja jest określona wzorem g(x) = a(x − 3)2. Ponieważ do wykresu tej

funkcji należy punkt (0, 3), więc g(0) = 3, skąd a =13 .

b)

W = (−1, 0), k(x) = − (x + 1)2

W = (−1, 0), zatem funkcja jest określona wzorem k(x) = a(x + 1)2. Ponieważ do wykresu tej

funkcji należy punkt (−1, 0), więc k(2) = − 1, skąd a = − 1.

c)

Odpowiedzi

486


Obliczamy f(n) − f(n − 1) = 3(n + 2)2

− 3(n + 1)2

= 3(n2 − (n2 − 2n + 1)) = 3(2n − 1). Zatem dla dowol-

nej liczby całkowitej n różnica f(n) − f(n − 1) jest iloczynem dwóch liczb nieparzystych, więc jest nie-

parzysta. Koniec dowodu.

Odpowiedzi

487

Funkcja kwadratowa / Wykres funkcjikwadratowej zapisanej wzorem w postacikanonicznej. Wykres funkcji kwadratowejzapisanej wzorem w postaci ogólnejZadanie 2.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźprzecina oś Oy

ma dwa punkty wspólne z prostą y = 5


Najmniejsza wartość funkcji g(x) = (x – 2)2

– 3 to – 3.

Największa wartość funkcji h(x) = – 2x2 + 3 to 3.



? – 1, + ∞)a)

( – ∞, 3 ?b)

( – ∞, 4 ?c)

? 2, + ∞)d)

a)

Odpowiedzi

488

b)

c)

d)

Odpowiedzi

489


a)

b)

c)

Odpowiedzi

490




d)

maksymalny przedział, w którym f rośnie to ? −1, +∞, maksymalny przedział, w którym f

maleje, to (−∞, −1 ? .

a)

maksymalny przedział, w którym f rośnie, to (−∞, 4 ? , maksymalny przedział, w którym f

maleje, to ? 4, +∞.

b)

maksymalny przedział, w którym f rośnie, to ? 5, +∞, maksymalny przedział, w którym f

maleje, to (−∞, 5 ? .

c)

maksymalny przedział, w którym f rośnie, to (−∞, −6 ? , maksymalny przedział, w którym f

maleje, to ? −6, ∞.

d)

f(x) = (x − 1)2

+ 6; zbiór wartości tej funkcji to przedział ? 6, +∞a)

g(x) = (x + 5)2

− 25; zbiór wartości tej funkcji to przedział ? −25, +∞b)

h(x) = (x − 6)2

− 16; zbiór wartości tej funkcji to przedział ? −16, +∞c)

t(x) = (x + 2)2

+ 5; zbiór wartości tej funkcji to przedział ? 5, +∞d)

f(x) = − (x − 3)2

+ 10; zbiór wartości tej funkcji to przedział (−∞, 10 ?a)

g(x) = − (x − 1)2

− 3; zbiór wartości tej funkcji to przedział (−∞, −3 ?b)

h(x) = − (x + 4)2

+ 30; zbiór wartości tej funkcji to przedział (−∞, 30 ?c)

t(x) = − (x +52 )

2+

254 ; zbiór wartości tej funkcji to przedział (−∞,

254 ?

d)

Odpowiedzi

491



f(x) = 2(x − 32 )

2− 3

2 ; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x =32

a)

g(x) =12 (x − 5)

2− 1

2 ; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x = 5b)

h(x) = − 3(x +52 )

2+

754 ; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x = − 5

2c)

t(x) = − 14 (x − 7)

2+

494 ; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x = 7d)

f(x) =12 (x − 4)

2− 3, f(x) =

12x2 − 4x + 5a)

f(x) = (x + 3)2

+ 2, f(x) = x2 + 6x + 11b)

f(x) = − 2(x + 1)2

+ 5, f(x) = − 2x2 − 4x + 3c)

f(x) = − 13 (x − 2)

2+ 2, f(x) = − 1

3x2 +43x +

23

d)

Odpowiedzi

492

Funkcja kwadratowa / Współrzędnewierzchołka paraboli / Współrzędnewierzchołka paraboliZadanie 2.3.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźwykres f – rys. D

wykres g – rys. A

wykres h – rys. B

Zadanie 2.3.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźwierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu x = − 4

Zadanie 2.3.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź

z wykresem funkcji f1(x) = x2 + 2x − 2

z wykresem funkcji f2(x) = x2 − 2x − 2

z wykresem funkcji f3(x) = − x2 − 2x − 4

Zadanie 2.3.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźDla p = 3 współczynnik b jest równy 6.

Jeżeli b = p, to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (0, 2).



Jeżeli a = − 1 i b = 6, to W = (3, 9).

Jeżeli W = (1, 1), to a = − 1 i b = 2.

Jeżeli W = ( − 3, − 27), to a = 3 i b = 18.


f(−10) = f(0)

f(−20) > 30

b = 0, c = 2a)

b = − 4, c = 4b)

b = − 2, c = 2c)

b = 2, c = 3d)

Odpowiedzi

493

f(−7) + f(−9) > f(−4) + f(−2)

Zadanie 2.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 1

Zadanie 2.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźy = 9


y = x2 − 10x + 30


? 4, +∞)

Zadanie 2.3.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest równa 18


y = (x + 2)2

− 2



f(0) = f(6)

Zadanie 2.3.2.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 4, c = 7

Odpowiedzi

494


? 3, + ∞)





f(x) = 2x2 − 5a)

f(x) = − 3x2 + 4b)

f(x) = (x +12 )

2c)

f(x) = − 2(x − 54 )

2d)

f(x) = 5(x + 3)2

− 14a)

f(x) = 2(x − 1)2

− 3b)

f(x) = − 3(x +16 )

2+ 6

112

c)

f(x) = − 4(x − 74 )

2+ 5

14

d)

f(x) =54 (x − 2)

2a)

f(x) = − 3(x + 1)2

+ 1b)

f(x) = (x + 2)2

− 3c)

f(x) = − 12 (x − 4)

2+ 6d)

f(x) = (x − 2)2

− 1a)

f(x) = 2(x + 1)2

− 2b)

f(x) =13 (x − 1)

2− 3c)

f(x) = − (x + 2)2

+ 2d)

f(x) = − 3(x − 1)2

+ 3e)

f(x) = − 14 (x + 1)

2+ 2f)

Odpowiedzi

495






Zadanie 2.3.2.29 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = 2

Zadanie 2.3.2.30 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = − 14

f(x) = 2x2 + 1a)

f(x) = − (x + 3)2

+ 4b)

? 2, +∞)a)

(−∞, 5 ?b)

? −9, +∞)c)

(−∞, 7 ?d)

? −36, +∞)a)

? 2, +∞)b)

(−∞, −4 ?c)

(−∞, 5 ?d)

(−∞, 2 ?a)

? 1, +∞)b)

? 3, +∞)c)

(−∞, −5 ?d)

(−∞, 212 ?a)

(−∞, − 34 ?b)

? −2, +∞)c)

? 113 , +∞)d)

Odpowiedzi

496


k = 1, W = (−3, − 12)

Zadanie 2.3.2.32 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = 1

Odpowiedzi

497

Funkcja kwadratowa / Miejsca zerowefunkcji kwadratowej. Postać iloczynowafunkcji kwadratowejZadanie 2.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźfunkcje f i g mają wspólne miejsce zerowe

Zadanie 2.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźwykres f – rys. B

wykres g – rys. C

wykres h – rys. A


Funkcję kwadratową określoną wzorem y = x2 − 7x + 6 można zapisać w postaci iloczynowej wzo-

rem y = (x − 1)(x − 6).

Funkcję kwadratową określoną wzorem y = − x2 + 3x + 10 można zapisać w postaci iloczynowej

wzorem y = − (x + 2)(x − 5).


wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku c)żaden z tych rysunków nie przedstawia wykresu funkcji h

na jednym z tych rysunków przedstawiony jest wykres funkcji k


Funkcja kwadratowa y = x2 − 10 ma dwa różne miejsca zerowe.

Funkcja kwadratowa y = x2 − 6x + 9 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Zadanie 2.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźdla c = 0 funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe

jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest – 1, to c = 3


Funkcja kwadratowa y = x2 − 12x + 11 ma dwa różne miejsca zerowe, które są liczbami całkowity-

mi.

Iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = 3x2 − 11x + 3 jest równy 1.

Odpowiedzi

498

Zadanie 2.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1 = − 3, x2 = 5


f(x) = − (x − 2)(x + 1)


y = − 4(x + 1)(x − 1)


Zadanie 2.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1 = − 1, x2 = − 5


y = 2x2 + 3x − 2


(−1, 0)


Zadanie 2.4.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźc < − 4

Odpowiedzi

499






0 oraz – 2a)

7 oraz – 11b)

− 83 oraz

14

c)

3 oraz − 58

d)

y = 2x(x − 11)a)

y = − 3(x − 4)(x + 4)b)

y = 9(x − 73 )(x +

73 )c)

y = 25x(x +35 )d)

y = (x + 2)2, x0 = − 2a)

y = − (x − 1)2, x0 = 1b)

y = 3(x + 5)2, x0 = − 5c)

y = − 2(x − 3)2, x0 = 3d)

y = (x − 2)(x + 1)a)

y = − (x − 1)(x + 3)b)

y =13 (x − 1)(x + 3)c)

y =12 (x − 3)(x + 1)d)

Δ = − 7 < 0a)

Δ = − 3 < 0b)

Δ = − 39 < 0c)

Δ = − 7 < 0d)

Odpowiedzi

500



Miejscami zerowymi są liczby13 oraz − 1

2 . Żadna z tych liczb nie jest całkowita.

Zadanie 2.4.26 (Wróć do zadania)Odpowiedź4x1 + 6x2 = 2



x1 + x2 = − 2, x1x2 = − 72 (nauczyciel może wspomnieć o wzorach Viete’a)


Można obliczyć pierwiastki: x1 = 1 − 2√33 oraz x2 = 1 +

2√33 i pokazać odpowiednie oszacowania (czy

też rozwinięcie dziesiętne z kalkulatora), albo zauważyć, że p = 1 ? (−1, 3) oraz f(−1) > 0 i f(3) > 0.


Zauważmy, że – 1 jest jedynym miejscem zerowym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = (x + 1)2

, a więc f(x) = x2 + 2x + 1. Stąd b = 2.


b = − 3, drugie miejsce zerowe to15

Zadanie 2.4.32 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = − 2, c = 24

1 oraz −212

a)

– 1 oraz 434

b)

– 4 oraz − 23

c)

15 oraz 2d)

2 − √10 oraz 2 + √10a)

−1 − √6 oraz −1 + √6b)

3 − 2√5 oraz 3 + 2√5c)

−4 + √23 oraz −4 − √23d)

Odpowiedzi

501

Zadanie 2.4.33 (Wróć do zadania)OdpowiedźPonieważ wyróżnik Δ = 36 − 4c, więc f: ma dwa różne miejsca zerowe dla c < 9, ma dokładnie jed-

no miejsce zerowe dla c = 9, nie ma miejsc zerowych dla c > 9. Można też zapisać funkcję w posta-

ci kanonicznej

f(x) = (x + 3)2

+ c − 9 i komentować znak wyrażenia c − 9.

Odpowiedzi

502

Funkcja kwadratowa / Wyznaczaniewzoru funkcji kwadratowej na podstawiepewnych informacji o tej funkcji lub o jejwykresieZadanie 2.5.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

W = (−1, 9)


Funkcja f dana jest wzorem f(x) = x + (x + 2)2, stąd f(x) = x2 + 5x + 4. Zbiór wartości tej funkcji to

? −214 , +∞), a jej miejscami zerowymi są liczby −4 i −1.

Zadanie 2.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = 6

Zadanie 2.5.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = − 8

Zadanie 2.5.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = − 4

Zadanie 2.5.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 6, c = 9

Zadanie 2.5.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = − 10, c = − 8

Zadanie 2.5.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 2, c = 8.

Zadanie 2.5.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 12, c = − 1


a = 1, b = − 2, c = 1a)

a = − 1, b = − 6, c = − 9b)

Odpowiedzi

503



a =14 , b = − 1 , c = − 15

Zadanie 2.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 4, b = 8 , c = 5


a =13 , b = − 2, c = − 2

Zadanie 2.5.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 25, b = − 90 , c = − 40

Zadanie 2.5.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = − 2, b = − 12 , c = − 13

Zadanie 2.5.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 2, b = − 4 , c = − 1


a = − 12 , b = − 3 , c = − 7

2

a =12 , b = 1, c =

12

c)

a = − 12 , b = − 2, c = 0d)

a =13 , b = − 4

3 , c =13

e)

a = − 14 , b = − 1

2 , c =114

f)

a = 1, b = − 1, c = − 2a)

a = − 1, b = 3, c = 0b)

a =12 , b = − 1

2 , c = 0c)

a = − 32 , b = − 3

2 , c = 3d)

a =12 , b = 2, c =

32

e)

a = − 13 , b = − 1

3 , c = 2f)

Odpowiedzi

504

Zadanie 2.5.19 (Wróć do zadania)OdpowiedźZałóżmy wbrew tezie, że każdy z punktów A, B i C leży na wykresie funkcji f. Wówczas

f(−3) = 5, f(−1) = 1, f(1) = − 3, więc współczynniki a, b, c spełniają układ równań

{9a − 3b + c = 5

a − b + c = 1

a + b + c = − 3

Odejmując drugie równanie tego układu od trzeciego, otrzymujemy 2b = − 4, stąd b = − 2. Wobec

tego

{b = − 2

9a + c = − 1

a + c = − 1

Odejmując trzecie równanie powyższego układu od drugiego, otrzymujemy 8a = 0, stąd a = 0 i

c = − 1.

Funkcja f ma więc wzór f(x) = 0 ? x2 − 2x − 1. Jednak wtedy funkcja f nie jest funkcją kwadratową.

Wobec otrzymanej sprzeczności stwierdzamy, że punkt C = (1, − 3) nie leży na wykresie funkcji f.


{a = − 1

b = − 4

c = − 4

lub {a = − 1

4

b = − 212

c = − 614

Zadanie 2.5.21 (Wróć do zadania)Odpowiedźb = 5 lub b = − 5

Zadanie 2.5.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = − 1 lub c = 2

Odpowiedzi

505

Funkcja kwadratowa / RównaniekwadratoweZadanie 2.6.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

Równanie (x − 2)(x + 3) = 0 ma dwa rozwiązania 2 oraz −3.

Równanie x(x − 1) = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 2.6.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1x2 = − 14

1x1

+1

x2= − 5

14

Zadanie 2.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedźx2 = 2

2x1 + 3x2 = 1


Równanie (2x + 5)2

+ 3 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Równanie 4x2 = x ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 2.6.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1 + x2 = 8

x1x2 = 5

x2 > 7


Każde z rozwiązań równania 6x2 − 5x + 1 = 0 należy do przedziału (0, 1).

Jedno z rozwiązań równania x2 + 2x − 5 = 0 należy do przedziału (−4, − 3).

Jednym z rozwiązań równania 2x2 − x − 10 = 0 jest liczba całkowita.

Zadanie 2.6.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź– 1


Odpowiedzi

506

Zadanie 2.6.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie ma rozwiązań

Zadanie 2.6.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź5 oraz – 3



x2 − 2x + 5 = 0






x = − 5 lub x = 6a)

x =32 lub x = − 7

3b)

x =14 lub x = 2c)

x = 4 lub x = − 119

d)

x = − 6 lub x = 6a)

równanie nie ma rozwiązań rzeczywistychb)

x =72 lub x = − 7

2c)

równanie nie ma rozwiązań rzeczywistychd)

x = 2a)

x = 0 lub x = 4b)

x = − 23

c)

x = 0 lub x =43

d)

Odpowiedzi

507






Zadanie 2.6.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźTe liczby to – 12 oraz – 7.

Zadanie 2.6.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźTe liczby to 8, 9 oraz 10.


(1, 3) oraz (−1, 1)


(1, − 2) oraz (−4, 28)

x = − 7 lub x = 5a)

równanie nie ma rozwiązań rzeczywistychb)

x = − 1 lub x =154

c)

x = − 4 lub x =73

d)

równanie nie ma rozwiązań rzeczywistycha)

x = 3 − 2√2 lub x = 3 + 2√2b)

x = 4 + √7 lub x = 4 − √7c)

x = − √5 + √2 lub x = − √5 − √2d)

x = 1 lub x = − 172

a)

x = 10 lub x = − 373

b)

x = 5 lub x = 8c)

x =72 lub x =

32

d)

Odpowiedzi

508

Zadanie 2.6.27 (Wróć do zadania)OdpowiedźProstokąt ma wymiary 3 i 6.

Zadanie 2.6.28 (Wróć do zadania)Odpowiedź8 oraz 15

Zadanie 2.6.29 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy prostokąt ma wymiary 15 i 20, a drugi – 7 i 24.

RozwiązanieOznaczmy: x – długość krótszego boku pierwszego prostokąta, y – długość dłuższego boku pierw-

szego prostokąta. Wtedy boki drugiego prostokąta mają długości x − 8 oraz y + 4.

Ponieważ w każdym z tych prostokątów przekątna ma długość 25, to

x2 + y2 = 252 i (x − 8)2

+ (y + 4)2

= 252.

Przekształcamy drugie równanie do postaci x2 − 16x + 64 + y2 + 8y + 16 = 252. Ponieważ

x2 + y2 = 252, więc −16x + 8y + 80 = 0, stąd y = 2x − 10. Zatem x2 + (2x − 10)2

= 252.

Rozwiązujemy otrzymane równanie

x2 + 4x2 − 40x + 100 = 625

5x2 − 40x − 525 = 0

x2 − 8x − 105 = 0

Obliczamy wyróżnik trójmianu x2 − 8x − 105: Δ = (−8)2

− 4 ? 1 ? (−105) = 484 > 0. Wobec tego

otrzymane równanie ma dwa rozwiązania

x1 =8 − √484

2 = − 7 oraz x2 =8 + √484

2 = 15.

Zauważamy, że x1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Gdy x = 15, to y = 2 ? 15 − 10 = 20. Wtedy

długości boków drugiego prostokąta to x − 8 = 7 oraz y + 4 = 24.


Dla b = 5. Wtedy otrzymujemy równanie x2 − 7x + 10 = 0, którego rozwiązaniami są 2 oraz 5.


Dla c = 7 (wtedy otrzymujemy równanie x2 − 10x + 21 = 0, którego rozwiązaniami są 3 oraz 7) lub

c = 0(wówczas otrzymujemy równanie x2 − 10x = 0, którego rozwiązaniami są 0 oraz 10).


Dla b = 1. Wtedy otrzymujemy równanie x2 + 2x + 1 = 0, którego jedynym rozwiązaniem jest – 1.

Odpowiedzi

509


Wyróżnik trójmianu x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) jest równy Δ = (−(m + 3))2

− 4 ? 1 ? 2(m + 1), skąd

Δ = m2 − 2m + 1, a zatem Δ = (m − 1)2. Wobec tego dla każdej wartości m wyróżnik ten jest nie-

ujemny, więc równanie x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

To spostrzeżenie kończy dowód.

Uwaga. Można również zauważyć, że dla każdej wartości m rozwiązaniem równania

x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = 0jest 2: 22 − (m + 3) ? 2 + 2(m + 1) = 4 − 2m − 6 + 2m + 2 = 0. Stąd dla każ-

dej wartości m równanie x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywi-

ste.


• sposób I

Wyróżnik trójmianu x2 − 7kx + 10k2 jest równy Δ = (−7k)2

− 4 ? 1 ? 10k2 = 9k2. Ponieważ k jest do-

datnią liczbą całkowitą, więc Δ > 0 i równanie ma dwa rozwiązania

x1 =7k − √9k2

2 =7k − 3k

2 = 2k oraz x2 =7k + √9k2

2 =7k + 3k

2 = 5k.

Każde z nich jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.

• sposób II

Przekształcamy dane równanie

x2 − 5kx − 2kx + 10k2 = 0

x(x − 5k) − 2k(x − 5k) = 0

(x − 5k)(x − 2k) = 0,

stąd x = 2k lub x = 5k. Ponieważ k jest dodatnią liczbą całkowitą, więc liczby 2k i 5k są całkowite i

różne.

To spostrzeżenie kończy dowód.

Odpowiedzi

510

Funkcja kwadratowa / NierównośćkwadratowaZadanie 2.7.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

x2 > − 2

−2x2 < 1


−√2


Zbiorem rozwiązań nierówności (x + 2)(4 − x) > 0 są liczby należące do przedziału (−2, 4).

Zbiorem rozwiązań nierówności x2 < x są liczby należące do przedziału (0, 1).

Zadanie 2.7.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźjest liczba 0


x2 + 4x − 21 < 0

x2 − 9x + 20 ≤ 0

6x2 − 13x − 8 ≤ 0


x2 − 36 < 0

x2 − 25 < 0



Zadanie 2.7.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźk = − 4

Odpowiedzi

511


(0, 9)



(−∞, − 4) ? ( 4, + ∞)



f(x) > g(x)





x ? (−1, 2)a)

x ? (−∞, −234 ? ? ? 5, + ∞)b)

x ? (−∞, 2) ? (2, + ∞)c)

x ? ? − 12 , 3 ?d)

x ? ? −5, 5 ?a)

x ? (−∞, 0) ? (8, + ∞)b)

x ? (−∞, − 32 ? ? ? 0, + ∞)c)

x ? (−√3, √3)d)

x ? (−∞, 9) ? (9, + ∞)a)

x = 3b)

nierówność nie ma rozwiązań rzeczywistychc)

każda liczba rzeczywista x spełnia tę nierównośćd)

x ? (−6, 4)a)

Odpowiedzi

512




x ? ? −1,53 ? . Liczby całkowite, które spełniają daną nierówność to – 1, 0 oraz 1.


x ? (−∞, −3 ? ? ? 135 , 2)

Zadanie 2.7.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzekształcamy nierówność w sposób równoważny.

25x2 + 36 ≥ 60x

25x2 − 60x + 36 ≥ 0

(5x − 6)2

≥ 0


≥ 0, gdyż kwadrat każdej liczby

rzeczywistej jest nieujemny.

x ? (−∞, − 3) ? (8, + ∞)b)

x ? ? −4, 8 ?c)

x ? (−∞, −9 ? ? ? 2, + ∞)d)

x ? ? −4,12 ?a)

x ? (−2, − 113 )b)

x ? (−∞, − 412 ) ? (−3, + ∞)c)

x ? (−∞, −8 ? ? ?13 , + ∞)d)

x ? (−∞, − 212 ) ? (41

2 , + ∞)a)

x ? (−∞, − 23 ? ? ?

15 , + ∞)b)

x ? (−∞,14 ) ? (6, + ∞)c)

x ? ? − 56 , 2 ?d)

Odpowiedzi

513


3x2

10 +56 ≥ x

9x2 + 25 ≥ 30x

9x2 − 30x + 25 ≥ 0

(3x − 5)2

≥ 0


≥ 0.


Przekształcamy nierówność w sposób równoważny do postaci 2x2 − 9x + 11 > 0.

Wystarczy więc pokazać, że trójmian kwadratowy y = 2x2 − 9x + 11 przyjmuje wyłącznie wartości

dodatnie.

Ponieważ współczynnik przy x2 tego trójmianu jest dodatni, więc wykresem tego trójmianu jest

parabola o ramionach skierowanych do góry .

Obliczamy wyróżnik trójmianu

Δ = (−9)2

− 4 ? 2 ? 11 = 81 − 88 = − 7 < 0.

Zatem trójmian nie ma miejsc zerowych. Trójmian kwadratowy y = 2x2 − 9x + 11 przyjmuje tylko

dodatnie wartości.

Wobec tego dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 2x2 − 9x + 11 > 0. To koń-

czy dowód.


5x2 + 10 > 14x

5x2 − 14x + 10 > 0

25x2 − 70x + 50 > 0

(5x − 7)2

+ 1 > 0

Odpowiedzi

514


≥ 0, więc suma (5x − 7)2

+ 1

jest liczbą dodatnią.


49x2 − 42xy + 9y2 ≥ 0

(7x − 3y)2

≥ 0

Otrzymana nierówność jest prawdziwa, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.


2x2 + y2 + 8x + 16 − 2xy ≥ 0

x2 + 8x + 16 + y2 − 2xy + x2 ≥ 0

(x + 4)2

+ (y − x)2

≥ 0

Jeżeli liczby x i y są rzeczywiste, to prawdziwa jest każda z nierówności (x + 4)2

≥ 0 oraz (y − x)2

≥ 0,

a zatem również prawdziwa jest nierówność (x + 4)2

+ (y − x)2

≥ 0. To kończy dowód.


x2 + 10y2 + 6xy ≥ 10y − 25

x2 + 10y2 + 6xy − 10y + 25 ≥ 0

x2 + 6xy + 9y2 + y2 − 10y + 25 ≥ 0

(x + 3y)2

+ (y − 5)2

≥ 0

Jeżeli liczby x i y są rzeczywiste, to prawdziwa jest każda z nierówności (x + 3y)2

≥ 0 oraz (y − 5)2

≥ 0

, a zatem również prawdziwa jest nierówność (x + 3y)2

+ (y − 5)2

≥ 0. To kończy dowód.

Odpowiedzi

515

Zadanie 2.7.30 (Wróć do zadania)OdpowiedźW przypadku, gdy a < 0 i b < 0, prawa strona nierówności jest ujemna, lewa dodatnia – zatem nie-

równość jest spełniona.

Podobnie, gdy b > a.

Dla a>b obie strony nierówności są dodatnie. Po podniesieniu obu stron nierówności do kwadratu

i przekształceniach otrzymujemy:

a2 + b2

2 ?a2 + b2 + 2ab

4 ,

co po przekształceniach prowadzi do nierówności zawsze prawdziwej

(a + b)2 ? 0.

Odpowiedzi

516

Funkcja kwadratowa / Wartośćnajmniejsza oraz wartość największafunkcji kwadratowej w przedzialedomkniętymZadanie 2.8.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź3




– 23

Zadanie 2.8.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźc = 5




wartość największa 6 dla x = − 1, wartość najmniejsza – 2 dla x = 1a)

wartość największa 1 dla x = 0, wartość najmniejsza – 3 dla x = 2b)

wartość największa 6 dla x = 5, wartość najmniejsza 1 dla x = 4c)

wartość największa 3 dla x = − 4, wartość najmniejsza −5 dla x = − 6a)

wartość największa 4 dla x = − 3, wartość najmniejsza 0 dla x = − 5b)

wartość największa 0 dla x = − 1, wartość najmniejsza −5 dla x = 0c)


wartość największa −1 dla x = − 3, wartość najmniejsza −5 dla x = − 1b)

wartość największa 31 dla x = 5, wartość najmniejsza 4 dla x = 2c)

Odpowiedzi

517




Zadanie 2.8.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźWartość najmniejsza −10 dla x = 0.

Zadanie 2.8.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 x = 1

Zadanie 2.8.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźwartość największa 4 dla x = 1

wartość najmniejsza − 498 dla x = − 5

4

Zadanie 2.8.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźwartość największa 10 dla x = 0

wartość najmniejsza 7 dla x = − 1


Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x2 + x dla x ? ? −2, 3 ? .


wartość największa −17 dla x = 0, wartość najmniejsza −31 dla x = − 1a)

wartość największa 1 dla x = 3, wartość najmniejsza −7 dla x = 1b)

wartość największa −7 dla x = 5, wartość najmniejsza −17 dla x = 6c)

wartość największa 18 dla x = − 1, wartość najmniejsza −14 dla x = 3a)

wartość największa −17 dla x = 4 oraz dla x = 6, wartość najmniejsza −18 dla x = 5b)

wartość największa 7 dla x = 10, wartość najmniejsza −14 dla x = 7c)


wartość największa 6 dla x = − 1, wartość najmniejsza 5 dla x = − 2 oraz x = 0b)

wartość największa 2 dla x = 1, wartość najmniejsza −19 dla x = 4c)

wartość największa 12 dla x = 3a)

wartość najmniejsza − 14 dla x = − 1

2b)

Odpowiedzi

518

RozwiązanieOznaczmy pierwszą z tych liczb przez x, a drugą przez y.

Wiadomo, że x + 2y = 5, skąd x = 5 − 2y. Sumę S = x2 + y2 kwadratów tych dwóch liczb zapisujemy

w zależności od zmiennej y : S(y) = (5 − 2y)2

+ y2. Funkcja S zapisana w postaci kanonicznej ma

wzór: S(y) = 5(y − 2)2

+ 5. Najmniejsza wartość funkcji S jest równa 5 i jest przyjmowana dla y = 2.

Oznacza to, że gdy y = 2 i x = 1, to suma kwadratów tych liczb jest najmniejsza i równa 5.

Zadanie 2.8.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźNajwiększy iloczyn 56, gdy pierwsza z liczb jest równa 14, a druga jest równa 4.

RozwiązanieOznaczmy pierwszą z tych liczb przez x, a drugą przez y.

Wiadomo, że 2x + 7y = 56, skąd x =56 − 7y

2 . Iloczyn I = xy tych dwóch liczb zapisujemy w zależności

od zmiennej y: I(y) =56 − 7y

2 ∙ y = − 72 ∙ y ∙ (y − 8). Najmniejsza wartość funkcji I jest przyjmowana dla

y = 4 i jest równa I(4) = − 72 ∙ 4 ∙ (−4) = 56. Oznacza to, że gdy y = 4 i x = 14, to iloczyn tych liczb jest

największy i równa 56.


RozwiązanieOznaczmy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu przez x, długość krawędzi bocznej

przez y. Suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa 12, więc 8x + 4y = 12, skąd y = 3 − 2x

. Pole P = 2x2 + 4xy powierzchni całkowitej prostopadłościanu zapisujemy w zależności od zmien-

nej x

P(x) = 2x2 + 4x(3 − 2x) = − 6x(x − 2),

gdzie x ? (0,32 ). Największa wartość funkcji P jest przyjmowana dla x = 1 i jest równa P(1) = 6. Za-

tem największe pole powierzchni całkowitej ma ten prostopadłościan, którego krawędź podstawy

ma długość 1 (ten prostopadłościan jest wtedy sześcianem, którego pole powierzchni całkowitej

jest równe 6).


Największe możliwe pole klombu kwiatowego jest równe 576 m2, gdy wymiary działki będą wyno-

siły: 24 m i 25 m.

RozwiązanieRozwiązanie. Oznaczmy:przez x – długość boku działki, do którego przylega ścieżka,

przez y – długość drugiego boku.

Obwód ogrodzonej ma być równy 98 m, czyli 2x + 2y = 98, skąd y = 49 − x. Pole P = (y − 1) ∙ x pole

powierzchni klombu zapisujemy w zależności od zmiennej x. P(x) = (48 − x) ∙ x, gdzie x ? (0,48).P(x) przyjmuje wartość największą dla x = 24 i wynosi 576. Oznacza to, że największe możliwe pole

powierzchni klombu kwiatowego jest równe 576 m2, gdy cała działka będzie miała wymiary: 24 m

i 25 m, przy czym ścieżka przylega do krótszego boku.

Odpowiedzi

519

Zadanie 2.8.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź1 zł 80 gr

RozwiązaniePrzyjmijmy, że cenę bochenka chleba obniżano x razy o 5 groszy. Wtedy cena sprzedaży jednego

bochenka to (2 − 0,05x) zł, co oznacza, że zysk właściciela sklepu to (0,7 − 0,05x) zł. Z obserwacji

wynika, że przy tak ustalonej cenie dziennie zostanie sprzedanych (60 + 10x) bochenków chleba.

Zatem dzienny zysk, w złotych, właściciela sklepu jest równy ( 0,7 − 0,05x)(10x + 60), gdzie x jest

dodatnią liczbą całkowitą.

Rozpatrzmy funkcję f określoną wzorem f(x) = (0,7 = 0,05x)(10x + 60) = − 12 (x + 6)(x − 14).

Dla x = 4 funkcja f osiąga wartość największą, równą f(4) = 50. Dla tej wartości x spełnione są wa-

runki zadania. Wynika z tego, że sprzedawca osiągnie największy dzienny zysk równy 50 zł, kiedy

ustali, że cena sprzedaży jednego bochenka chleba będzie równa 1zł 80 gr.

Zadanie 2.8.22 (Wróć do zadania)OdpowiedźZ zależności a + b = 10 wyznaczamy b = 10 − a. Zapisujemy iloczyn I liczb a i b jako funkcję zmien-

nej a: I(a) = a ∙ (10 − a) = − a ∙ (a − 10), gdzie a ? (0,10).Dla a = 5 funkcja I przyjmuje wartość największą równą 25.

Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 10, to ab ≤ 25.

Zadanie 2.8.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźZ zależności 2a + b = 6 wyznaczamy b = 6 − 2a. Zapisujemy iloczyn I liczb a i b jako funkcję zmien-

nej a

I(a) = a ∙ (6 − 2a) = − 2a ∙ (a − 3),

gdzie a ? (0, 3).Dla a =

32 funkcja I przyjmuje wartość największą równą

92 .

Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 2a + b = 6, to ab ≤ 92 .

Zadanie 2.8.24 (Wróć do zadania)Rozwiązanie

Z zależności 3a + 5b = 30 wyznaczamy b =30 − 3a

5 . Zapisujemy iloczyn I liczb a i b jako funkcję

zmiennej a

I(a) = a ∙ 30 − 3a5 = − 3

5a ∙ (a − 10),

gdzie a ? (0, 10).Dla a = 5 funkcja I przyjmuje wartość największą równą 15.

Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 3a + 5b = 30, to ab ≤ 15.

Zadanie 2.8.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźZ zależności a + b = 8 wyznaczamy b = 8 − a. Zapisujemy sumę kwadratów S liczb a i b jako funkcję

zmiennej a

Odpowiedzi

520

S(a) = a2 + 8(8 − a)2

= 2(a − 4)2

+ 32

gdzie a ? (0, 8).Dla a = 4 funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą równą 32.

Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 8, to a2 + b2 ≥ 32.

Zadanie 2.8.26 (Wróć do zadania)OdpowiedźZ zależności a + 3b = 20 wyznaczamy a = 20 − 3b. Zapisujemy sumę kwadratów S liczb a i b jako

funkcję zmiennej b S(b) = (20 − 3b)2

+ b2 = 10(b − 6)2

+ 40,

gdzie b ? (0, 623 ).

Dla b = 6 funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą równą 40.

Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + 3b = 20, to a2 + b2 ≥ 40.


Z zależności 5a + 2b = 58 wyznaczamy a =58 − 2b

5 . Zapisujemy sumę kwadratów S liczb a i b jako

funkcję zmiennej b S(b) = (58 − 2b5 )

2+ b2 =

2925 (b − 4)

2+ 116, gdzie b ? (0, 29).

Dla b = 4 funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą równą 116.

Oznacza to, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz 5a + 2b = 58, to a2 + b2 ≥ 116.

Odpowiedzi

521

Funkcja kwadratowa / Zastosowaniafunkcji kwadratowej / Zadania tekstoweprowadzące do równań kwadratowych –prędkość, droga, czasZadanie 2.9.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź18 i 19 oraz – 19 i – 18

Szkic rozwiązania. Oznaczamy mniejszą z tych liczb przez x, stąd druga to x + 1. Otrzymujemy rów-

nanie x2 + (x + 1)2

= 685, które ma dwa rozwiązania x1 = 18 i x2 = − 19.

Zadanie 2.9.2.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź21 boków

Szkic rozwiązania. Oznaczamy liczbę boków wielokąta przez n. Wtedy liczba jego przekątnych ton(n − 3)

2 .

Otrzymujemy równanie n +n(n − 3)

2 = 210, które ma dwa rozwiązania n1 = 21 i n2 = − 20. Drugie z

tych rozwiązań odrzucamy.

Zadanie 2.9.2.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźP = 240

Szkic rozwiązania. Oznaczamy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu przez x. Wtedy kra-

wędź boczna ma długość 4x − 1.

Otrzymujemy równanie 2x2 + 4x(4x − 1) = 272, które ma dwa rozwiązania x1 = 4 oraz x2 = − 349 .

Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Zadanie 2.9.2.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź1,50 zł

Szkic rozwiązania. Oznaczamy liczbę zakupionych teczek przez x, a cenę jednej teczki przez y (w

złotych).

Otrzymujemy równania xy = 435 oraz (x + 10)(y − 0,05) = 435, stąd xy + 10y − 120x − 1

2 = 435.

Uwzględniając xy = 435, otrzymujemy y =1

200x +1

20 , stąd x ? ( 1200x +

120 ) = 435, a więc

x2 + 10x − 87 000 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania x1 = 290 i x2 = − 300. Drugie z tych rozwi-

ązań odrzucamy.

Zadanie 2.9.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź3 godziny

Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x – liczbę kopert produkowanych w ciągu minuty przez

Odpowiedzi

522

ten automat, a przez y – czas pracy (w minutach). Otrzymujemy równania xy = 7200 oraz

(x + 8)(y − 30) = 7200, stąd xy − 30x + 8y − 240 = 7200. Uwzględniając xy = 7200, otrzymujemy

y =154 x + 30, stąd x ? (15

4 x + 30) = 7200. Zatem x2 + 8x − 1920 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania

x1 = 40 i x2 = − 48. Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.


48 km / h

Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x – średnią prędkość samochodu, przez y – czas, w którym

samochód pokonał 240 km. Otrzymujemy równania xy = 240 oraz (x + 12)(y − 1) = 240, stąd

xy + 12y − x − 12 = 240. Uwzględniając xy = 240, otrzymujemy x = 12y − 12. Zatem

(12y − 12) ? y = 240, co oznacza, że y2 − y − 20 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania y1 = 5 i

y2 = − 4. Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.


50 km / h

Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x – średnią prędkość samochodu, przez y – czas, w którym

samochód pokonał 210 km. Otrzymujemy równania xy = 210 oraz (x + 10)(y − 4260 ) = 210, stąd

xy + 10y − 710x − 7 = 210. Uwzględniając xy = 210, otrzymujemy y =

7100x +

710 . Zatem

( 7100x − 7

10 ) ? x = 210, co oznacza, że x2 − 10x − 3000 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania

x1 = − 60 i x2 = 50. Pierwsze z tych rozwiązań odrzucamy.


24 km / h

Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x – średnią prędkość rowerzysty, przez y – czas, w którym

rowerzysta pokonał 72 km. Otrzymujemy równania xy = 72 oraz (x + 6)(y − 3660 ) = 72, skąd

xy + 6y − 35x − 18

5 = 72. Uwzględniając xy = 72, otrzymujemy y =1

10x +35 . Zatem x ? ( 1

10x +35 ) = 72, co

oznacza, że x2 + 6x − 720 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania x1 = 24 oraz x2 = − 30. Drugie z

tych rozwiązań odrzucamy.


24 km / h

Oznaczamy przez x – planowaną średnią prędkość rowerzysty, przez y – czas, w którym pokonał

on pierwsze 60 km. Otrzymujemy równania xy = 60 oraz (x + 6)(4,5 − y) = 60, stąd

4,5x − 6y + 27 − xy = 60. Uwzględniając xy = 60, otrzymujemy 4,5x − 6y − 93 = 0, stąd x =43y +

623

. Zatem (43y +

623 ) ? y = 60, co oznacza, że 2y2 + 31y − 90 = 0. To równanie ma dwa rozwiązania

y1 = 2,5 i y2 = − 18. Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Odpowiedzi

523

Zadanie 2.9.2.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy plac: 68 m, 51 m, drugi plac: 75 m, 40 m.

Szkic rozwiązania. Oznaczamy przez x i y odpowiednio długość i szerokość pierwszego placu za-

baw.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równania x2 + y2 = 852 oraz

(x + 7)2

+ (y − 11)2

= 852, stąd x2 + 14x + 49 + y2 − 22y + 121 = 852. Uwzględniając x2 + y2 = 852,

otrzymujemy y =7

11x +8511 . Zatem x2 + ( 7

11x +8511 )

2= 852, co oznacza, że x2 + 7x − 5100 = 0. To rów-

nanie ma dwa rozwiązania x1 = 68 i x2 = − 75. Drugie z tych rozwiązań odrzucamy.

Odpowiedzi

524

Wielomiany. Funkcje wymierne /Pierwiastki równańZadanie 3.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź

x3 + 2x2 − 2x + 2



W(x) = x4 + 2x3


a = − 377


W(100) = W( − 100)Zadanie 3.1.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź

W(x) = − x4

− x2 − 2


Q(x) = − x4 + 2x3 − 8x2


16 − 81x4


W(x) − V(x) = x7 + 5x3

W(x) + V(x) = 5x7 + 2x3 − 3x5


Funkcja P(x) = 7x jest wielomianem stopnia 1.


−4x7 + 10x6 − 3x5 − 2x4

Odpowiedzi

525

Rozwiązanie

W(x) ? V(x) = (−4x5 + 2x4 + x3)(x2 − 2x) =

−4x5 ? x2 − 4x5 ? (−2x) + 2x4 ? x2 + 2x4 ? (−2x) + x3 ? x2 + x3 ? (−2x) =

−4x7 + 8x6 + 2x6 − 4x5 + x5 − 2x4 = − 4x7 + 10x6 − 3x5 − 2x4.


Rozwiązanie


Rozwiązanie

W(x) − 3V(x) + 2P(x) = (3x5 − x4 + 6x2) − 3(x5 + x4 + 2x) + 2(3x4 − 3x + 7) =

3x5 − x4 + 6x2 − 3x5 − 3x4 − 6x + 6x4 − 6x + 14 = 3x5 − x4 + 6x2 − 3x5 − 3x4 − 6x + 6x4 − 6x + 14 =

2x4 + 6x2 − 12x + 14

Podstawiając w miejsce x liczbę −1, otrzymujemy

2 ? (−1)4

+ 6 ? (−1)2

− 12 ? (−1) + 14 = 2 + 6 + 12 + 14 = 34

−x3 + 7a)

−5x3 − 6x2 + 7b)

−12x3 − 15x2 + 14c)

−6x6 − 15x5 − 9x4 + 14x3 + 21x2d)

P(x) + Q(x) = − 3x3 − 3x2 + 7 + 2x3 + 3x2 = 7 − x3a)

P(x) − Q(x) = (−3x3 − 3x2 + 7) − (2x3 + 3x2) = −3x3 − 3x2 + 7 − 2x3 − 3x2 = − 5x3 − 6x2 + 7b)

2P(x) − 3Q(x) = 2(−3x3 − 3x2 + 7) − 3(2x3 + 3x2) = −6x3 − 6x2 + 14 − 6x3 − 9x2 =

= − 12x3 − 15x2 + 14

c)

P(x) ? Q(x) = (−3x3 − 3x2 + 7)(2x3 + 3x2) =d)

−6x6 − 6x5 + 14x3 − 9x5 − 9x4 + 21x2 = = − 6x6 − 15x5 − 9x4 + 14x3 + 21x2e)

Odpowiedzi

526


W(x) = V(x) ? P(x) − 2Q(x) = (2x − 3) ? (x2 + 3) − 2(x3 − 3x2 − 7) =

= 2x3 − 3x2 + 6x − 9 − 2x3 + 6x2 + 14 = 3x2 + 6x + 5. Jest to wielomian drugiego stopnia, ponieważ

najwyższą potęgą w jakiej występuje x, jest 2.

Zadanie 3.1.15 (Wróć do zadania)Odpowiedźa oraz b

Rozwiązanie

Podstawiamy w miejsce x liczbę a = 0 i otrzymujemy W(0) = 03 − 7 ? 02 = 0. Zatem liczba 0 jest

pierwiastkiem wielomianu W(x).Podstawiamy w miejsce x liczbę b = 7 i otrzymujemy W(7) = 73 − 7 ? 72 = 0. Liczba 7 jest pierwiast-

kiem wielomianu W(x).Podstawiamy w miejsce x liczbę c = 4 i otrzymujemy W(4) = 43 − 7 ? 42 = 64 − 112 = − 48, więc licz-

ba 4 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Zadanie 3.1.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 3 lub a = − 3

Rozwiązanie

Wartość wielomianu dla argumentu x = 2 jest równa 1, czyli 25 − 5 ? 23 + (a2 − 1)2 − 7 = 1. Zatem

32 − 5 ? 8 + 2a2 − 2 − 7 = 1. Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie 2a2 = 18, stąd a2 = 9. Osta-

tecznie a = 3 lub a = − 3.

Zadanie 3.1.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = √3 lub a = − √3

Rozwiązanie

Wartość wielomianu P(x) dla argumentu −1 jest równa

P(−1) = 5 ? (−1)4

+ 7 ? (−1) = 5 − 7 = − 2

Zatem szukamy wartości parametru a, dla której W(−1) = − 2. Wstawiając w miejsce x argument

−1, otrzymujemy

W(−1) = a ? ( − 1)3

− (5 − a) ? ( − 1)2

− a2 ? (−1) = − 2

Przekształcając to równanie równoważnie, mamy −a − 5 + a + a2 + 2 = 0, czyli a2 − 3 = 0. Korzysta-

jąc ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy (a − √3)(a + √3) = 0, stąd ostatecznie odczytuje-

my dwa rozwiązania a = √3 lub a = − √3.


• sposób I

Odpowiedzi

527

Zapiszmy oba wielomiany w postaci sumy

P(x) = (x2 − 9)(x2 − 16) = x4 − 9x2 − 16x2 + 144 = x4 − 25x2 + 144 oraz

Q(x) = (x2 − x − 12)(x2 + x − 12) = x4 − x3 − 12x2 + x3 − x2 − 12x − 12x2 + 12x + 144 = x4 − 25x2 + 144.

Zauważmy, że P(x) oraz Q(x) opisane są tym samym wzorem. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x

przyjmują więc tę samą wartość.

• sposób II

Zapiszmy oba wielomiany w postaci iloczynu czynników liniowych. Korzystając ze wzoru na róż-

nicę kwadratów, mamy P(x) = (x − 3)(x + 3)(x − 4)(x + 4). Wielomian Q(x) jest iloczynem dwóch trój-

mianów kwadratowych. Każdy z nich przedstawimy w postaci iloczynowej. Wyróżnik trójmianu

W(x) = x2 − x − 12 jest równy ∆ = 1 − 4 ? (−12) = 49, czyli trójmian ten ma dwa miejsca zerowe

x =1 − 7

2 = − 3 oraz x =1 + 7

2 = 4. Wyróżnik trójmianu x2 − x − 12 jest równy ∆ = 1 − 4 ? (−12) = 49,

czyli trójmian ten ma również dwa miejsca zerowe x =−1 − 7

2 = − 4 oraz x =−1 + 7

2 = 3. Ostatecznie

więc wielomian Q(x) możemy zapisać w postaci

Q(x) = (x + 3)(x − 4)(x + 4)(x − 3) = (x − 3)(x + 3)(x − 4)(x + 4)

Zauważmy, że P(x) oraz Q(x) opisane są tym samym wzorem, przyjmują więc tę samą wartość dla

dowolnej liczby rzeczywistej x.


W(x) = − x4 + 6x2 − 9 = − (x4 − 10x2 + 25) = − (x2 − 5)2

≤ 0


W(x) = − x4 + 6x2 − 9 = − (x4 − 6x2 + 9) = − (x2 − 3)2

≤ 0. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy

x2 − 3 = 0. Równanie to jest równoważne równaniu x2 = 3, które ma dwa rozwiązania x1 = √3 oraz

x2 = − √3. Zauważmy, że dla obu rozwiązań | x | = √3. Zatem, gdy | x | ≠ √3 wartość jest licz-

bą ujemną.

Odpowiedzi

528

Wielomiany. Funkcje wymierne /Równania stopnia trzeciego w postaciiloczynuZadanie 3.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź3 rozwiązania

Zadanie 3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźx1 = x2 + x3


x(x − 3)(2x + 1) = 0


(x2 − 2x − 3)(x − 3) = 0

Zadanie 3.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźtrzy rozwiązania x = − 3, x = − 1, x = 3


W(x) = (x − 3)(x2 − x + 1)Zadanie 3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź

(√3x − 1)(√3x + 1)x2 = 0


−2x2(2x − 3)(x + 3) = 0

Zadanie 3.2.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźtrzy


x = 6a)

x = − 4b)

Odpowiedzi

529

Rozwiązanie


Rozwiązanie


Rozwiązanie

2x3 − 432 = 0

Przekształcając równanie równoważnie, otrzymujemy

2x3 = 432 x3 = 216 Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest liczba x =3√216 = 6.

a)

5x3

2 + 160 = 0

5x3 + 320 = 0 x3 = − 64 Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest x =3√−64 = − 4.

b)

x = 2 oraz x = − 2a)

x1 = √3 lub x2 = − √3b)

brak rozwiązańc)

Równanie możemy zapisać w postaci 3x4 = 48 x4 = 16 To równanie ma dwa rozwiązania

x1 =4√16 = 2 oraz x2 = − 4√16 = − 2.

a)

x6 − 27 = 0

x6 = 27

Istnieją dwie liczby spełniające to równanie x2 =6√27 =

6√33 = √3 oraz x2 = − √3.

b)

Przekształcamy równanie 5x8 + 20 = 0 kolejno do postaci

5x8 = − 20 x8 = − 4 Równanie to jest sprzeczne.

c)

x1 = 0, x2 = − 3, x3 =13

a)

x = − 12

b)

x1 =34 , x2 = − 3

4 , x3 = √55 , x4 = − √5

5c)

Ponieważ lewa strona tego równania jest iloczynem trzech czynników, a prawa jest równa

zero, to przynajmniej jeden z czynników tego wielomianu jest równy zero. Mamy więc

x2 = 0 lub (x + 3)2

= 0 lub 3x − 1 = 0. Zatem kolejno otrzymujemy x = 0, x = − 3 lub x =13 .

a)

Ponownie lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero.

Ponieważ przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero, więc 4x2 + 4x + 1 = 0 lub

x2 + 10 = 0. Pierwsze z tych równań możemy zapisać za pomocą wzoru na kwadrat sumy w

postaci (2x + 1)2

= 0, stąd otrzymujemy 2x + 1 = 0 i ostatecznie x = − 12 . Drugie równanie

b)

Odpowiedzi

530

Zadanie 3.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedźm = − 9

RozwiązanieLewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników stopnia pierwszego, a prawa jest równa

zero. Żeby iloczyn równał się zero, to x − 3 = 0 lub 3x + m = 0. Zatem x = 3 lub x = − m3 . Ponieważ

równanie ma mieć tylko jedno rozwiązanie, więc − m3 = 3, stąd m = − 9.


Rozwiązanie

Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero, więc x4 − 16 = 0

lub x2 + 3x − 10 = 0. Pierwsze równanie zapisujemy w postaci x4 = 16. To równanie ma dwa

rozwiązania x =4√16 = 2 oraz x = − 2. Drugie równanie jest równaniem kwadratowym, którego

∆ = 9 + 4 ? 10 = 49 > 0. Zatem równanie to ma dwa rozwiązania x =−3 − 7

2 = − 5 lub x =−3 + 7

2 = 2.

Ostatecznie równanie zapisane w zadaniu ma trzy rozwiązania x = 2, x = − 2 lub x = − 5.


Rozwiązanie

przekształcamy do równania x2 = − 10 i zauważamy, że jest to równanie sprzeczne. Osta-

tecznie jedynym rozwiązaniem jest liczba x = − 12 .

(16x2 − 9)(25x4 − 1) = 0, czyli 16x2 − 9 = 0 lub 25x4 − 1 = 0. Pierwsze równanie przekształca-

my do równania x2 =9

16 , które ma dwa rozwiązania x = √ 916 =

34 lub x = − 3

4 . Drugie równa-

nie przekształcamy do równania x4 =1

25 , które ma dwa rozwiązania x =4√ 1

25 =4√ 1

52 =1

√5 = √55

lub x = − √55 .

c)

x = 0 lub x = 4a)

x = 0, x = 1 lub x = − 12

b)

x = 0c)

Wyłączamy przed nawias wyrażenie x2 i otrzymujemy x2(x2 − 8x + 16) = 0. Ponieważ lewa

strona równania jest zapisana w postaci iloczynu, a prawa jest równa zero, równanie może-

my zapisać w postaci dwóch warunków x2 = 0 lub x2 − 8x + 16 = 0. Pierwszy warunek jest

spełniony dla x = 0, drugi możemy zapisać w postaci równoważnej, korzystając ze wzoru na

kwadrat różnicy (x − 4)2

= 0, co z kolei jest równoważne postaci x − 4 = 0, stąd x = 4. Równa-

nie ma więc dwa rozwiązania x1 = 0 oraz x2 = 4.

a)

Odpowiedzi

531

∆ = (−5)2

− 4 ? 7 = 25 − 28 < − 0

Ponieważ ∆ < 0 równanie nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.


Rozwiązanie

W równaniu 2x3 − x2 − x = 0 wyłączamy przed nawias x i otrzymujemy x(2x2 − x − 1) = 0, co

możemy zapisać w postaci dwóch warunków x = 0 lub 2x2 − x − 1 = 0. Dla drugiego równa-

nia obliczamy ∆ = 1 − 4 ? 2 ? (−1) = 9. Ponieważ delta jest większa od zera, to równanie

kwadratowe ma dwa rozwiązania x =1 − 3

4 = − 12 oraz x =

1 + 34 = 1. Równanie ma więc trzy

rozwiązania x = 0, x = − 12 lub x = 1.

b)

W równaniu x4 − 5x3 + 7x2 = 0 wyłączamy przed nawias x2 i otrzymujemy x2(x2 − 5x + 7) = 0.

Ponieważ lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero,

to równanie jest równoważne dwóm równaniom x2 = 0 lub x2 − 5x + 7 = 0. Z pierwszego

mamy x = 0, zaś drugie jest równaniem kwadratowym, które rozwiązujemy, obliczając

c)

x = − 2, x = 1 lub x = − 1a)

x = − 6 lub x = 0b)

x = − 43 , x = √2 lub x = − √2c)

x = 3, x = 2 lub x = − 2d)

Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias x2, a z dwóch ostatnich −1 i otrzy-

mujemy równanie x2(x + 2) − (x + 2) = 0. W obu składnikach występuje wyrażenie x + 2, mo-

żemy więc wyłączyć je przed nawias (x + 2)(x2 − 1) = 0. Wyrażenie x2 − 1 zapisujemy w posta-

ci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów (x + 2)(x − 1)(x + 1) = 0. Ponieważ

równanie to jest zapisane w postaci iloczynu, który jest równy zero, więc możemy je zapisać

równoważnie jako trzy równania x + 2 = 0 lub x − 1 = 0 lub x + 1 = 0. Ostatecznie otrzymali-

śmy trzy rozwiązania x = − 2, x = 1 lub x = − 1.

a)

Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias x3, a z dwóch następnych x i

otrzymujemy równanie x3(x + 6) + x(x + 6) = 0. W obu składnikach występuje czynnik x + 6,

wyłączamy go przed nawias i otrzymujemy iloczyn równy zero (x + 6)(x3 + x) = 0. Po wyłącze-

niu z drugiego czynnika x mamy (x + 6)x(x2 + 1) = 0, stąd x + 6 = 0 lub x = 0 lub x2 + 1 = 0.

Pierwsze równanie ma rozwiązanie x = − 6, trzecie jest równaniem sprzecznym. Ostatecz-

nie wyjściowe równanie ma dwa rozwiązania x = − 6 lub x = 0.

b)

Odpowiedzi

532


Wyłączamy przed nawias z dwóch pierwszych składników sumy wyrażenie x2, natomiast z dwóch

ostatnich −9. Otrzymujemy równanie x2(x + 2) − 9(x + 2) = 0. W obu iloczynach występuje czynnik

x + 2, wyłączamy go przed nawias i równanie zapisujemy w postaci (x + 2)(x2 − 9) = 0. Korzystając

ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, przekształcamy je do postaci

(x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0. Skoro iloczyn jest równy zero, więc przynajmniej jeden z czynników jest ze-

rem, zatem x + 2 = 0 lub x − 3 = 0 lub x + 3 = 0. Rozwiązaniem równania są więc liczby x = − 2 ,

x = 3 oraz x = − 3. Dwa obliczone pierwiastki są ujemne i jeden dodatni, czyli ich iloczyn jest liczbą

dodatnią.


Równanie jest równoważne równaniu x50 + x2 − 50x48 − 50 = 0. Z pierwszych dwóch składników

wyłączamy przed nawias x2, a z dwóch kolejnych −50 i otrzymujemy x2(x48 + 1) − 50(x48 + 1) = 0. Po

wyłączeniu wyrażenia x48 + 1 otrzymujemy równanie, którego lewa strona jest iloczynem dwóch

składników, a prawa strona jest równa zero (x48 + 1)(x2 − 50) = 0, stąd x48 + 1 = 0 lub x2 − 50 = 0

. Pierwsze równanie jest sprzeczne, ponieważ x48 ≥ 0, czyli x48 ≠ − 1. Drugie równanie ma dwa

rozwiązania x = √50 = √2 ? 25 = 5√2 lub x = − 5√2. Zatem suma rozwiązań równania wynosi

5√2 + (−5√2) = 0, jest więc liczbą całkowitą.


P(x) = x3 − 2

Rozwiązanie

Zapiszmy wielomian V(x) w postaci iloczynu. W tym celu z pierwszych dwóch składników wyłącza-

my przed nawias x3, a z dwóch kolejnych −2 . Otrzymujemy wówczas

Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias x2, a z dwóch kolejnych −2 i otrzy-

mujemy równanie x2(3x + 4) − 2(3x + 4) = 0. Wspólnym czynnikiem jest 3x + 4, zatem

(3x + 4)(x2 − 2) = 0. Wyrażenie w drugim nawiasie zapisujemy, korzystając ze wzoru na różni-

cę kwadratów (3x + 4)(x − √2)(x + √2) = 0, stąd 3x + 4 = 0 lub x − √2 = 0 lub x + √2 = 0. Otrzy-

maliśmy trzy rozwiązania x = − 43 , x = √2 lub x = − √2.

c)

Z dwóch pierwszych składników wyłączamy x2, a z dwóch następnych −4 i otrzymujemy

równanie x2(x − 3) − 4(x − 3) = 0. Po wyłączeniu wspólnego czynnika x − 3 mamy

(x − 3)(x2 − 4) = 0. Drugi czynnik zapisujemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na róż-

nicę kwadratów (x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0 i otrzymujemy trzy rozwiązania równania x = 3, x = 2

lub x = − 2.

d)

Odpowiedzi

533

V(x) = x5 − 4x3 − 2x2 + 8 = x3(x2 − 4) − 2(x2 − 4)Wspólnym czynnikiem jest x2 − 4, który wyłączamy przed nawias i wówczas mamy

V(x) = (x2 − 4)(x3 − 2) = W(x) ? (x3 − 2)

Zatem wielomian W(x) trzeba pomnożyć przez wielomian P(x) = x3 − 2.

Zadanie 3.2.24 (Wróć do zadania)OdpowiedźSkoro liczba 2 jest rozwiązaniem tego równania, więc

(2 − 2)2(2 + 7) − 2(22 − 2a + a) = 0

Pierwszy składnik sumy jest równy 0, więc równanie sprowadza się do postaci 4 − a = 0, stąd a = 4

.

Równanie ma więc postać (x − 2)2(x + 7) − x(x2 − 4x + 4) = 0. Korzystając ze wzoru skróconego mno-

żenia, przekształcamy je do postaci (x − 2)2(x + 7) − x(x − 2)

2= 0, a następnie wyłączamy wspólny

czynnik (x − 2)2

przed nawias i otrzymujemy (x − 2)2(x + 7 − x) = 0, a ostatecznie 7(x − 2)

2= 0. Jest

to równanie, którego jedynym rozwiązaniem jest liczba 2.

Odpowiedzi

534

Wielomiany. Funkcje wymierne /Wyrażenia wymierne. RównaniawymierneZadanie 3.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź

2x + 3

(x + 1)(x + 2)


Zadanie 3.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźma dokładnie jedno rozwiązanie



x =3yz2 − z



Zadanie 3.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie ma rozwiązań


x = − 33a)

x = − 172

b)

x = 2c)

x = 13d)

Odpowiedzi

535

Rozwiązanie


Rozwiązanie

Przekształcamy równanie: x(x + 3) = (x − 1)(x + 1), stąd x2 + 3x = x2 − 1, a więc x = − 13 . Dla tej war-

tości x obie strony równania są określone.

Przekształcamy równanie: (8x + 9)(x + 3) = (11 − 4x)(7 − 2x), stąd 8x2 + 33x + 27 = 8x2 − 50x + 77, a

więc x =5083 . Dla tej wartości x obie strony równania są określone.

Przekształcamy równanie: (3x − 4)(2x + 5) = (7 − 6x)(2 − x), stąd 6x2 + 7x − 20 = 6x2 − 19x + 14, a

więc x =1713 . Dla tej wartości x obie strony równania są określone.




Przekształcamy równanie: 7(x + 3) = 6(x − 2), stąd x = − 33. Dla tej wartości x obie strony

równania są określone.

a)

Przekształcamy równanie: 3(x + 4) = x − 5, stąd x = − 172 . Dla tej wartości x obie strony rów-

nania są określone.

b)

Przekształcamy równanie: 12(3x + 4) = 5(7x + 10), stąd x = 2. Dla tej wartości x obie strony


c)

Przekształcamy równanie: 7(1 − 2x) = 5(4 − 3x), stąd x = 13. Dla tej wartości x obie strony


d)

x = − 13

a)

x =5083

b)

x =1713

c)

x =3y − 5y + 2 , dla y ≠ − 2a)

y =−2x − 5

x − 3 , dla x ≠ 3b)

b =2c + aca − 1 , dla a ≠ 1a)

c =b(a − 1)

a + 2 , dla a ≠ − 2b)

x = − 2a)

x =32 lub x = 6b)

Odpowiedzi

536

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie: x = (x + 1)(x + 4), stąd x2 + 4x + 4 = 0, a więc x = − 2. Dla tej wartości x

obie strony równania są określone.

Przekształcamy równanie: 3x − 1 = (x − 5)(4x − 7), stąd 2x2 − 15x + 18 = 0, a więc x =32 lub x = 6. Dla

każdej z tych wartości x obie strony równania są określone.


Rozwiązanie


Rozwiązanie


x = 4 lub x = 7a)

x = − 9 lub x = − 2b)

x = 5 lub x = 7c)

Przekształcamy równanie: (2x − 5)(x + 5) = (3x − 3)(x − 1), stąd x2 − 11x + 28 = 0, a więc x = 4

lub x = 7. Dla każdej z tych wartości x obie strony równania są określone.

a)

Przekształcamy równanie:(2x + 5)(3x − 6) = (x − 4)(5x + 12), stąd x2 + 11x + 18 = 0, a więc

x = − 2 lub x = − 9. Dla każdej z tych wartości x obie strony równania są określone.

b)

Przekształcamy równanie: (3x + 1)(4x − 11) = (x + 4)(9x − 29), stąd x2 − 12x + 35 = 0, a więc

x = 5 lub x = 7. Dla każdej z tych wartości x obie strony równania są określone.

c)

x = 1a)

równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od 2 i różną od – 2b)

równanie nie ma rozwiązańc)

Przekształcamy równanie: 4(x − 3) + 6(x + 3) = 5x + 11, stąd x = 1. Dla tej wartości x obie

strony równania są określone.

a)

Przekształcamy równanie:3(x − 2) + 4(x + 2) = 7x + 2, stąd 7x + 2 = 7x + 2. Otrzymane równa-

nie jest spełnione przez każdą liczbę różną od 2 i różną od – 2.

b)

Przekształcamy równanie: 5(x − 1) − 2(x + 1) = 3x − 4, stąd 3x − 7 = 3x − 4. Otrzymane rów-

nanie jest sprzeczne, zatem dane równanie nie ma rozwiązań.

c)

Równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od −2 i różną od 2.a)

x = − 52

b)

równanie nie ma rozwiązańc)

Odpowiedzi

537

Rozwiązanie


Dowód. Wyrażenie2x

3x − 2 jest określone, gdy x ≠ 2.3

Przekształcamy równanie: 2x = (3x − 2)(4x + 3), stąd 12x2 − x − 6 = 0, więc x = − 23 lub x =

34 .

Żadna z tych liczb nie jest całkowita, co oznacza, że równanie2x

3x − 2 = 4x + 3 nie ma rozwiązań w

zbiorze liczb całkowitych.


Dowód. Wyrażeniex

x + 1 jest określone, gdy x ≠ − 1.

Przekształcamy równanie: x = (x + 1)(3x − 2), stąd 3x2 − 2 = 0, czyli x2 =23 . Nie ma takiej liczby cał-

kowitej, której kwadrat jest równy23 (równanie x2 =

23 ma dwa rozwiązania niewymierne: x = − √6

3

lub x = √63 ), zatem równanie

xx + 1 = 3x − 2 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.


Rozwiązanie


Przekształcamy równanie: 4(x − 2) + 7(x + 2) = 11x + 6, stąd 11x + 6 = 11x + 6. Otrzymane

równanie jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą różną od −2 i różną od 2.

a)

Przekształcamy równanie: x(x − 2) + (x − 4)(x + 2) = 2 − 5x, stąd 2x2 + x − 10 = 0, a więc x = 2

lub x = − 52 . Tylko dla x = − 5

2 obie strony równania są określone.

b)

Przekształcamy równanie:(x + 1)(x − 2) − (x − 2)(x + 3) = 2x − 12, stąd −5x = − 15, a więc

x = 3. Dla tej wartości x nie są określone wyrażeniax − 2x − 3 oraz

2x − 12

x2 − 9, zatem dane równanie

nie ma rozwiązań.

c)

x = − 1a)

x = − 6b)

Przekształcamy równanie: 2x − 5(x + 3) = (x + 4)(x − 3), stąd x2 + 4x + 3 = 0, a więc x = − 1

lubx = − 3. Tylko dla x = − 1 obie strony równania są określone.

a)

Przekształcamy równanie: 7x − (x − 4)(x + 5) = 4(x − 2), stąd x2 + 4x − 12 = 0, a więc x = − 6

lubx = 2. Tylko dla x = − 6 obie strony równania są określone.

b)

x = − 52 , x =

−5 + √52 , x =

−5 − √52

a)

x = − 12 , x =

−1 + 2√52 , x =

−1 + 2√52

b)

Odpowiedzi

538

Rozwiązanie

Zadanie 3.3.22 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = − 6, x = 1

RozwiązanieWyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy x ≠ − 1, x ≠ − 2,

x ≠ − 3, x ≠ − 4.

Przekształcamy równanie:

(x + 2) − (x + 1)(x + 1)(x + 2)

+(x + 3) − (x + 2)(x + 2)(x + 3)

+(x + 4) − (x + 3)(x + 3)(x + 4)

=3

10

1x + 1 − 1

x + 2 +1

x + 2 − 1x + 3 +

1x + 3 − 1

x + 4 =3

10

1x + 1 − 1

x + 4 =3

10

10(x + 4) − 10(x + 1) = 3(x + 4)(x + 1)

x2 + 5x − 6 = 0

Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 1 oraz x2 = − 6.



x ≠ − 1, x ≠ − 2, x ≠ − 3, x ≠ − 4.

Przekształcamy równanie:1

x + 1 +1

x + 4 = − ( 1x + 2 +

1x + 3 ), stąd

2x + 5

(x + 1)(x + 4)= − 2x + 5

(x + 2)(x + 3). Zatem

x = − 52 lub (x + 1)(x + 4) = − (x + 2)(x + 3). To drugie równanie ma dwa rozwiązania:

x1 =−5 + √5

2 oraz x2 =−5 − √5

2 .

a)


x ≠ 52 , x ≠ 1

2 , x ≠ − 32 , x ≠ − 7

2 .

Przekształcamy równanie:1

2x − 5 +1

2x + 7 = − ( 12x − 1 +

12x + 3 ), stąd

4x + 2

(2x − 5)(2x + 7)= − 4x + 2

(2x − 1)(2x + 3).

Zatem x = − 12 lub (2x − 5)(2x + 7) = − (2x − 1)(2x + 3). To drugie równanie ma dwa rozwiąza-

nia: x1 =−1 + 2√5

2 oraz x2 =−1 − √5

2 .

b)

Równanie nie ma rozwiązańa)

Równanie nie ma rozwiązańb)

Odpowiedzi

539

RozwiązanieWyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy

x ≠ − 3, x ≠ − 1, x ≠ 1, x ≠ 3, x ≠ 5.

Przekształcamy równanie:

x − 1 + x − 5

(x − 5)(x − 3)(x − 1)+

x + 3 + x − 1

(x − 1)(x + 1)(x + 3)= − 1

3

2

(x − 5)(x − 1)+

2

(x − 1)(x + 3)= − 1

3

2x + 6 + 2x − 10

(x − 5)(x − 1)(x + 3)= − 1

3

4

(x − 5)(x + 3)= − 1

3

(x − 5)(x + 3) = − 12

x2 − 2x − 3 = 0

Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1 = − 1 oraz x2 = 3 . Żadna z tych liczb nie jest rozwi-

ązaniem danego równania.


≠ − 3, x ≠ − 1, x ≠ 1, x ≠ 3, x ≠ 5.

Postępując podobnie, jak w poprzednim podpunkcie, przekształcamy równanie do postaci4

(x − 5)(x + 3)=

15 ,

stąd (x − 5)(x + 3) = 20, czyli x2 − 2x − 35 = 0. Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1 = − 5

oraz x2 = 7, oba są pierwiastkami danego równania.

Odpowiedzi

540

Wielomiany. Funkcje wymierne /Zastosowanie równań wymiernych dointerpretacji zagadnień praktycznychZadanie 3.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź6 dni

Rozwiązanie

W ciągu jednego dnia wszystkie trzy zespoły wykonają razem1

12 +1

15 +1

60 =16 pracy. Zatem cała

praca zostanie wykonana w ciągu 6 dni.

Zadanie 3.4.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy automat – 24 minuty, drugi – pół godziny.

Rozwiązanie

W ciągu 2 godzin automaty, pracując razem, wykonują 2 ? (14 +

15 ) =

910 całej pracy, więc do wykona-

nia pozostaje jeszcze1

10 tej pracy. Zatem pierwszy automat samodzielnie dokończy pracę w ciągu

4 ?1

10 =25 godziny, a drugi – w ciągu 5 ?

110 =

12 godziny.

Zadanie 3.4.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź9 godzin

Rozwiązanie

W ciągu początkowych 2 godzin pierwszy automat wykonał 2 ?1

16 =18 całego zlecenia, a następnie

drugi wykonał 5 ?1

10 =12 tej pracy. Zatem trzeci miał do wykonania 1 − (1

8 +12 ) =

38 wszystkich deta-

li. Skoro w ciągu 24 godzin wykonałby on wszystkie zlecone detale, to dokończy zlecenie w ciągu38 ? 24 = 9 godzin.

Zadanie 3.4.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy automat – w ciągu 20 godzin, drugi – w ciągu 5 godzin.

Rozwiązanie

W ciągu godziny, pracując razem, automaty te wykonują14 całej pracy, więc w ciągu 3 godzin

34 ca-

łej pracy. Zatem pierwszy automat w ciągu 5 godzin ma do wykonania14 całej pracy, co oznacza,

że wykona całą pracę w ciągu 20 godzin. Wobec tego drugi automat w ciągu godziny wykonuje14 − 1

20 =15 całej pracy, czyli całą pracę wykona w ciągu 5 godzin.

Zadanie 3.4.5 (Wróć do zadania)OdpowiedźZespół A – w ciągu 28 dni, zespół B – w ciągu 21 dni.

Odpowiedzi

541

Rozwiązanie

W ciągu 3 dni wspólnej pracy zespoły wykonały 3 ?1

12 =14 całej pracy. Zatem zespół A sam wykonał

34 całej pracy w ciągu 21 dni, więc w ciągu jednego dnia wykonywał

34 ?

121 =

128 całej pracy, czyli

całe zamówienie wykonałby samodzielnie w ciągu 28 dni. Oznacza to, że zespół B wykonywał w

ciągu jednego dnia1

12 − 128 =

121 całej pracy, czyli całą tę pracę wykonałby samodzielnie w ciągu 21

dni.

Zadanie 3.4.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy automat – w ciągu 6 godzin, drugi automat – w ciągu 30 godzin.

Rozwiązanie

• sposób I

W ciągu godziny oba automaty wykonują razem15 całej pracy, zatem po 3 godzinach pracy

pierwszego automatu i 3 godzinach pracy drugiego z nich wykonane będzie35 całej pracy. Po

kolejnych 3 godzinach pracy drugiego automatu wykonane zostanie7

10 całej pracy, co ozna-

cza, że w ciągu 3 godzin wykonuje on7

10 − 35 =

110 całej pracy. Wobec tego drugi automat wy-

konuje całą pracę w ciągu 30 godzin, a więc pierwszy w ciągu godziny wykonuje15 − 1

30 =16

całej pracy, czyli całą pracę wykona w ciągu 6 godzin.

• sposób II

Oznaczamy: przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko

pierwszy automat, przez y – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował

tylko drugi automat. Ponieważ w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x całej pracy,

drugi –1y całej pracy, a razem wykonują całą pracę w ciągu 5 godzin, to

1x +

1y =

15 , stąd

1y =

15 − 1

x . Po 3 godzinach samodzielnej pracy pierwszego automatu i po 6 godzinach samo-

dzielnej pracy drugiego automatu wykonane zostanie 70% całej pracy, zatem3x +

6y =

710 .

Oznacza to, że3x + 6(1

5 − 1x ) =

710 . Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie

3x =

12 , stąd x = 6

. Wobec tego1y =

15 − 1

6 =1

30 , czyli y = 30.

Zadanie 3.4.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy zespół: 14 godzin, drugi zespół: 35 godzin.

RozwiązanieOznaczamy przez x – czas (w godzinach), w którym oba zespoły razem wykonały pracę. Wtedy licz-

ba godzin potrzebna pierwszemu zespołowi oraz drugiemu na wykonanie tej pracy to odpowied-

nio x + 4 oraz 3,5x. Zatem w ciągu godziny: razem wykonają1x całej pracy, pierwszy wykona

1x + 4

całej pracy, a drugi wykona1

3,5x całej pracy. Otrzymujemy równanie1

x + 4 +2

7x =1x , stąd

57x =

1x + 4 , a

więc x = 10. Stąd x + 4 = 14 i 3,5x = 35.

Zadanie 3.4.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźJeden z automatów – w ciągu 8 godzin, drugi – w ciągu 24 godzin.

Odpowiedzi

542

RozwiązanieZ treści zadania wynika, że suma godzin, w ciągu których każdy z automatów wykonuje całą pracę,

jest równa 32. Oznaczamy przez x liczbę godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykona-

nie całej pracy, wtedy liczba godzin potrzebnych drugiemu automatowi na wykonanie całej pracy

to 32 − x. Zatem pierwszy automat wykonuje1x całej pracy w ciągu godziny, a drugi

132 − x . Otrzy-

mujemy więc równanie1x +

132 − x =

16 , stąd 6 ? (32 − x) + 6 ? x = x ? (32 − x), a więc x2 − 32x + 192 = 0

. Równanie to ma dwa rozwiązania: x = 8 lub x = 24. Każde z rozwiązań spełnia warunki zadania.

Zadanie 3.4.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźW ciągu 13 godzin i 20 minut.

RozwiązanieOznaczamy przez x czas, w jakim zbiornik zostanie napełniony, gdy woda będzie doprowadzana

tylko pierwszą rurą. Wtedy x + 6 to czas napełniania pustego zbiornika, gdy wodę doprowadza tyl-

ko druga rura. Pierwsza rura w ciągu godziny dostarcza do zbiornika840

x m3 wody, a więc druga

dostarcza w ciągu godziny (840x − 7) m3 wody. Otrzymujemy więc równanie (x + 6)(840

x − 7) = 840.

Stąd5040

x − 7x − 42 = 0, a więc x2 + 6x − 720 = 0. Równanie to ma dwa rozwiązania: x1 = − 30 oraz

x2 = 24. Tylko drugie z nich spełnia warunki zadania. Wynika z tego, że pierwsza rura napełnia

zbiornik wodą w ciągu 24 godzin, czyli w ciągu godziny doprowadza do zbiornika84024 = 35 m3 wo-

dy. Zatem druga rura w ciągu godziny doprowadza do zbiornika 35 − 7 = 28 m3 wody, więc razem

doprowadzają w tym czasie 63 m3 wody. Oznacza to, że jeśli woda będzie doprowadzana przez

obie rury jednocześnie, to pusty zbiornik zostanie napełniony w ciągu84063 =

403 = 13

13 godziny.

Zadanie 3.4.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźW ciągu 24 godzin.

RozwiązanieOznaczamy przez x czas, w jakim zbiornik zostanie napełniony, gdy woda będzie doprowadzana

tylko pierwszą rurą. Wtedy x − 20 to czas napełniania pustego zbiornika, gdy wodę doprowadza

tylko druga rura. Pierwsza rura w ciągu godziny dostarcza do zbiornika900

x m3 wody, a więc

druga dostarcza w ciągu godziny (900x + 7,5) m3 wody. Otrzymujemy więc równanie

(x − 20)(900x +

152 ) = 900. Stąd

152 x − 1800

x − 150 = 0, a więc x2 − 20x − 2400 = 0. Równanie to ma dwa

rozwiązania: x1 = − 40 oraz x2 = 60. Tylko drugie z nich spełnia warunki zadania. Wynika z tego,

że pierwsza rura napełnia zbiornik wodą w ciągu 60 godzin, czyli w ciągu godziny doprowadza

do zbiornika90060 = 15 m3 wody. Zatem druga rura w ciągu godziny doprowadza do zbiornika

15 + 7,5 = 22,5m3 wody, więc razem doprowadzają w tym czasie 37,5 m3 wody. Oznacza to, że jeśli

woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie, to pusty zbiornik zostanie napełniony

w ciągu90037,5 = 24 godzin.

Zadanie 3.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź− 3 6

Odpowiedzi

543

Rozwiązanie

x x + 31x

1x + 3

1x +

1x + 3 =

12 x2 − x − 6 = 0 x = − 2 x = 3 3 − 6

Zadanie 3.4.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy: w ciągu 14 godzin, drugi: w ciągu 11 godzin.

RozwiązanieOznaczmy przez x liczbę godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykonanie całej pracy.

Wtedy liczba godzin potrzebnych drugiemu na wykonanie całej pracy to x − 3.1x

1x − 3

32 ∙ 1

x +112 ∙ (1

x +1

x − 3 ) = 1 2x2 − 31x + 42 = 0 x =32 x = 14 14 − 11

Zadanie 3.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź12 godzin i 10 godzin

RozwiązanieOznaczmy przez x liczbę godzin potrzebnych drugiemu automatowi na wykonanie wszystkich de-

tali. Z treści zadania wynika, że na wykonanie połowy detali pierwszy automat potrzebuje o go-

dzinę więcej niż drugi. Zatem liczba godzin potrzebnych pierwszemu automatowi na wykonanie

całej pracy to x + 2.1

x + 21x

3x + 2 +

2x =

920 9x2 − 82x + 80 = 0 x = − 8

9 x = 10 12 − 10

Zadanie 3.4.14 (Wróć do zadania)OdpowiedźPierwszy automat – w ciągu 20 godzin, drugi w ciągu 12 godzin.

RozwiązanieOznaczmy:przez x – czas ( w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował

tylko I automat.

przez x – czas ( w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko II au-

tomat.

Zatem w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje1x

1y Z treści zadania wynika, że y =

35x

56y ∙ 1

x =56 ∙ 3

5x ∙ 1x =

12

12y

56y +

12y =

43y (4

3y − 172 )( 3

5y +1y ) = 1 y = 12 x = 20 12 − 20

Odpowiedzi

544

Wielomiany. Funkcje wymierne /Proporcjonalność odwrotna /Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układuwspółrzędnychZadanie 3.5.3.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźPunkt A należy do wykresu funkcji, punkty B i C nie należą do tego wykresu.



Funkcja przyjmuje wartości nieujemne dla argumentów z przedziału < − 4, − 3).


D = (−∞, 0) ? (0, + ∞)ZW = (−∞, 3) ? (3, + ∞)f(x) < 6 dla x ? (−∞, 0) ? (2, + ∞)


Zadanie 3.5.3.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźFunkcja f nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu y = m dla m = 54.

a = − 8a)

a = − 32

b)

a =29

c)

a =14

d)

a = − 3e)

D = (−∞, − 12) ? (−12, + ∞), ZW = (−∞, − 1) ? (−1, + ∞)a)

D = (−∞, 5) ? (5, + ∞), ZW = (−∞, 23) ? (23, + ∞)b)

D = (−∞, 8) ? (8, + ∞), ZW = (−∞, − 15) ? (−15, + ∞)c)

D = (−∞, − 2) ? (−2, + ∞), ZW = (−∞, 18) ? (18, + ∞)d)

D = (−∞, √2) ? (√2, + ∞), ZW = (−∞, − √5) ? (−√5, + ∞)e)

Odpowiedzi

545

Zadanie 3.5.3.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźp = √5 lub p = − √5

Odpowiedzi

546

Wielomiany. Funkcje wymierne /Zastosowania funkcji wymiernych dointerpretacji zagadnień praktycznychZadanie 3.6.1 (Wróć do zadania)OdpowiedźI automat 20 godzin

II automat 5 godzin

Rozwiązanie

5 ?1x + 3 ?

14 = 1 skąd x = 20 i

1y =

14 − 1

20 , więc y = 5

Zadanie 3.6.2 (Wróć do zadania)OdpowiedźI automat 8 godzin

II automat 24 godziny

Rozwiązanie1x +

132 − x =

16 stąd x = 8 lub x = 24

Zadanie 3.6.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 godziny i 12 godzin

Rozwiązanie1x +

116 − x =

13 , stąd x2 − 16x + 48 = 0

Zadanie 3.6.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź12 godzin i 10 godzin

Rozwiązanie3

x + 2 +2x =

920 , stąd 9x2 − 82x + 80 = 0, x = 10 (x = − 8

9 nie spełnia)

Zadanie 3.6.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźI automat – 4 godziny

II automat – 20 godzin

III automat – 30 godzin

Rozwiązanie1

x + 1 +1

x + 17 +1

x + 27 =1x , stąd 2x3 + 45x2 − 459 = 0, x = 3




Odpowiedzi

547

Rozwiązanie1

x + 2 +1

x + 4 +1

x + 10 =1x , stąd x3 + 8x2 − 40 = 0, x = 2 (pozostałe rozwiązania są ujemne)




Rozwiązanie1

x + 1 +1

x + 7 +1

x + 16 =1x , stąd x3 + 12x2 − 56 = 0, x = 2 (pozostałe rozwiązania są ujemne)

Odpowiedzi

548

Ciągi / Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcjazmiennej naturalnejZadanie 4.1.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź


RozwiązanieZbadajmy, dla jakich n prawdziwa jest nierówność an < 0. Ponieważ 2n + 5 > 0, bo n ≥ 1, więc

(n − 20)(2n + 5) < 0, gdy n − 20 < 0, czyli gdy n < 20. To oznacza, że ujemne są wyrazy od a1 do a19.

Jest więc 19 takich wyrazów.

Zadanie 4.1.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźSiódmy wyraz tego ciągu jest równy 15.

Pierwszym wyrazem dodatnim tego ciągu jest a5.

Zadanie 4.1.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźWzory ogólne mogą mieć postać

a)

ciąg nie jest monotoniczny, ponieważ zachodzą jednocześnie dwie nierówności a1 < a2 oraz

a5 > a6

b)

an = 2n + 2 dla n = 1, 2, … , 7a)

bn = n2 + 1 dla n = 1, 2, … , 8b)

Odpowiedzi

549

Zadanie 4.1.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźa1, a2, a3, a6

Rozwiązanie

Zapiszmy wzór na n-ty wyraz ciągu w postaci an =n2 + 5n + 6

n =n2

n +5nn +

6n = n + 5 +

6n . Liczba n + 5

jest liczbą całkowitą, gdyż n jest liczbą całkowitą, więc wyraz ciągu jest liczbą całkowitą, gdy uła-

mek6n jest liczbą całkowitą. Wynika stąd, że n jest dzielnikiem liczby 6, zatem n ? {1, 2, 3, 6}.


Rozwiązanie

cn =(−1)

n

n dla n = 1, 2, … , 6c)

dn = √n + 11 dla n = 1, 2, … , 9d)

a7 = 12 , a10 = 45a)

a2 = − 3, a3 = − 4, a4 = − 3b)

a7 = 72 − 6 ∙ 7 + 5 = 12, a10 = 102 − 6 ∙ 10 + 5 = 45a)

an = n2 − 6n + 5 = (n − 1)(n − 5). Wykres ciągu (an) składa się z punktów leżących na paraboli,

która jest wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x) = (x − 1)(x − 5).

Zatem ujemnymi wyrazami tego ciągu są: a2 = − 3, a3 = − 4, a4 = − 3.

b)

Zauważmy, że parabola, w której zawarty jest wykres ciągu (an), jest zwrócona ramionami

do góry, a jej wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych (3, − 4). Wynika stąd, że −4 jest

najmniejszą wartością funkcji kwadratowej f. To oznacza, że a3 = − 4 jest najmniejszym wy-

c)

Odpowiedzi

550

Zadanie 4.1.7 (Wróć do zadania)Odpowiedźnie istnieje

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że an = 325 . Zatem

n + 127 = 3

25 , czyli

n + 127 =

175 . Stąd 5n + 60 = 119, czyli n = 11,8. Ta licz-

ba nie jest naturalna, więc nie istnieje wyraz ciągu, który jest równy 325 .

Zadanie 4.1.8 (Wróć do zadania)Odpowiedźwszystkie wyrazy od pierwszego do siódmego

Rozwiązanie

Rozwiążmy nierówność an >13 , czyli

n + 34n + 1 >

13 .

Ponieważ wyrażenie 4n + 1 > 0, więc obie strony nierówności możemy pomnożyć przez 3(4n + 1).Otrzymujemy kolejno

3(n + 3) > 4n + 1

8 > n

n < 8

Zatem mniejsze od13 są wszystkie wyrazy od pierwszego do siódmego.


RozwiązanieObliczmy kolejne wyrazy ciągu

a2 = (−1)1a1 + 1 = − 3 + 1 = − 2

a3 = (−1)2a2 + 2 = − 2 + 2 = 0

a4 = (−1)3a3 + 3 = 0 + 3 = 3

a5 = (−1)4a4 + 4 = 3 + 4 = 7


razem tego ciągu. Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n prawdziwa jest więc nierówno-

ść an ≥ − 4.

215

a)

Odpowiedzi

551

Rozwiązanie


Rozwiązanie

• sposób I

Rozwiążmy nierówność13 < an < 2, czyli

13 <

3n + 2 < 2.

Rozwiążmy najpierw nierówność13 <

3n + 2 . Ponieważ n + 2 jest liczbą dodatnią, więc możemy obie

strony tej nierówności pomnożyć przez 3(n + 2). Zatem n + 2 < 9, czyli n < 7.

Podobnie rozwiązujemy drugą nierówność3

n + 2 < 2. Mnożąc obie jej strony przez n + 2, otrzymu-

jemy 3 < 2n + 4, czyli n > − 12 , co jest prawdą dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1.

Istnieje więc 6 wyrazów ciągu należących do przedziału (13 , 2).

• sposób II

Wykres ciągu (an) składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu y =3

x + 2 . Jest ona wykre-

sem funkcji, która w przedziale (−2, + ∞) jest malejąca.

ciąg nie jest monotonicznyb)

Piąty i szósty wyraz ciągu obliczamy, korzystając z podanego wzoru: a5 =(−1)

5

5 = − 15 ,

a6 =(−1)

6

6 =16 . Zatem wartość szukanego wyrażenia jest równa

a5 + 2a6 = − 15 +

26 = − 3

15 +5

15 =2

15 .

a)

Ponieważ wyrazy o numerach parzystych są dodatnie, a wyrazy o numerach nieparzystych

są ujemne, więc ciąg nie jest monotoniczny.

b)

Odpowiedzi

552

Odczytujemy z wykresu, że wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od 2 i od pewnego momentu

wszystkie wyrazy są mniejsze od13 . Wyznaczmy taki argument funkcji f(x) =

3x + 2 , dla którego funk-

cja przyjmuje wartość13 .

f(x) =13 , gdy

3x + 2 =

13 , czyli x + 2 = 9, a więc x = 7. To oznacza, że do przedziału (1

3 , 2) należy począt-

kowych sześć wyrazów ciągu.


Wyznaczmy wyrazy ciągu (an): a1 = 1, gdyż liczba 1 ma tylko 1 dzielnik naturalny (jest nim 1).

a2 = 2, gdyż liczba 2 ma 2 dzielniki naturalne (są to 1 i 2).

Podobnie wyznaczamy następne wyrazy: a3 = 2, a4 = 3, a5 = 2, a6 = 4, a7 = 2.

Rozwiązanie

Największy wyraz tego ciągu to a6 = 4.


5a)

nie ma takiego wyrazub)

jestc)

a1oraz a2d)

niee)

n = 8f)

Odpowiedzi

553

Rozwiązanie

Zadanie 4.1.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźa6 = 34, a5 = 18, a4 = 10, a3 = 6, a2 = 4, a1 = 3

Rozwiązanie

Zależność między wyrazami ciągu możemy opisać wzorem an + 1 = 2(an − 1) dla dowolnej liczby cał-

kowitej n ≥ 1. Stąd an =12an + 1 + 1.

Obliczmy kolejno szukane wyrazy ciągu (an), zaczynając od wyrazu a6.

a6 =12a7 + 1 =

12 ∙ 66 + 1 = 34

a5 =12a6 + 1 =

12 ∙ 34 + 1 = 18

a4 =12a5 + 1 =

12 ∙ 18 + 1 = 10

a3 =12a4 + 1 =

12 ∙ 10 + 1 = 6

a2 =12a3 + 1 =

12 ∙ 6 + 1 = 4

a1 =12a2 + 1 =

12 ∙ 4 + 1 = 3

Ponieważ dn = an − bn, więc dn = n + 5 − 3n + 7 = 12 − 2n. Rozwiązujemy nierówność dn > 0,

czyli 12 − 2n > 0, stąd n < 6. Ciąg ma więc pięć wyrazów dodatnich.

a)

Ponieważ en = anbn, więc en = (n + 5) ∙ (3n − 7). Rozwiązujemy równanie en = 0, czyli

(n + 5) ∙ (3n − 7) = 0, stąd n = − 5 lub n =73 . Żadna z tych liczb nie może być numerem wyra-

zu ciągu, czyli żaden wyraz ciągu (en) nie jest równy zero.

b)

Ponieważ fn =anbn

, więc fn =n + 53n − 7 . Rozwiązujemy równanie fn = 1, czyli

n + 53n − 7 = 1, stąd

n + 5 = 3n − 7. Ostatecznie n = 6, czyli szósty wyraz ciągu (fn) jest równy 1.

c)

Ponieważ cn = an + bn, więc cn = n + 5 + 3n − 7 = 4n − 2. Rozwiązujemy nierówność cn < 10,

czyli 4n − 2 < 10, stąd n < 3. Zatem mniejsze od 10 są wyrazy a1oraz a2.

d)

Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. c), obliczamy f1 =6

−4 = − 32 , f2 =

7−1 = − 7,

f3 =82 = 4. Zauważmy, że f1 > f2 oraz f2 < f3, czyli ciąg (fn) nie jest monotoniczny.

e)

Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. b), obliczamy trzeci wyraz ciągu (en)e3 = (3 + 5) ∙ (9 − 7) = 16 = 42.

f)

Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. d), obliczamy cn + 4 = 4n + 14. Ciąg (en) okre-

ślony jest w sposób następujący en = an ∙ bn, więc cn − 4 = 3n2 − 16n − 19. Rozwiązujemy rów-

nanie

4n + 14 = 3n2 − 16n − 19 + 1stąd otrzymujemy n = − 43 lub n = 8. Pierwsza z otrzymanych

liczb nie jest liczbą całkowitą, więc rozwiązaniem jest liczba 8.

g)

Odpowiedzi

554

Ciągi / Ciąg arytmetycznyZadanie 4.2.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź458

RozwiązanieLiczby naturalne, które przy dzieleniu przez 6 dają resztę 2, to kolejne wyrazy ciągu arytmetyczne-

go o różnicy równej 6, gdyż co szósta liczba naturalna daje przy dzieleniu przez 6 resztę 2. Zatem

wyraz a70 jest równy a70 = a3 + 67r = 56 + 402 = 458.

Zadanie 4.2.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźCiąg cn = 2n − 3 jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.


a = 123

b = 213

c = 223

d = 313

Rozwiązanie

Niech r oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (a, 2, b, c, 3, d). Drugi wyraz tego ciągu jest równy

2, a piąty 3. Piąty i drugi wyraz ciągu arytmetycznego różnią się o 3r, więc r =13 . Teraz możemy

obliczyć kolejno: pierwszy, trzeci, czwarty i szósty wyraz tego ciągu.

a = 2 − 13 = 1

23

b = 2 +13 = 2

13

c = 2 + 2 ∙ 13 = 2

23

d = 3 +13 = 3

13

Zadanie 4.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź9, 12, 15, 18, 21, 24, 27

RozwiązaniePonieważ mamy wstawić siedem liczb, więc a1 = 6 oraz a9 = 30. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu

otrzymujemy a9 = a1 + 8r, czyli 30 = 6 + 8r, stąd r = 3. Zatem pierwsza z szukanych liczb jest równa

a2 = a1 + r = 6 + 3 = 9, druga to 9 + 3 = 12, trzecia to 15, czwarta to 18, piąta 21, szósta 24 i siódma

27.


y = (√2 + 1)x − 1

Odpowiedzi

555

Rozwiązanie

Współczynnik kierunkowy szukanej prostej jest równy różnicy ciągu (an), więc równanie prostej

możemy zapisać w postaci y = (√2 + 1)x + b. Ponieważ a10 = 10√2 + 9, więc na szukanej prostej

leży punkt o współrzędnych (10, 10√2 + 9) . Zatem 10√2 + 9 = (√2 + 1) ∙ 10 + b. Stąd

b = 10√2 + 9 − 10(√2 + 1) = − 1. Równanie szukanej prostej ma więc postać y = (√2 + 1)x − 1.

Zadanie 4.2.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźA, B i D

Zadanie 4.2.9 (Wróć do zadania)Odpowiedźa4 + a5 = a2 + a7

a6 + a8 = 2a7

Zadanie 4.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź−7n + 12


Zadanie 4.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźa6 + a12 = 48


Zadanie 4.2.14 (Wróć do zadania)Odpowiedź(A) nie (B) tak

(C) nie

Rozwiązanie

an + 1 − an =2n + 2n + 2 − 2n

n + 1 =(2n + 2)(n + 1) − 2n(n + 2)

(n + 1)(n + 2)=

2

(n + 1)(n + 2). Ponieważ różnica między kolejny-

mi wyrazami ciągu zależy od n, więc nie jest stała, zatem ciąg nie jest arytmetyczny.

a)

bn + 1 − bn = 3 − n + 35 − (3 − n + 2

5 ) = − 15 . Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami ciągu

jest stała, więc jest to ciąg arytmetyczny, a jego różnica jest równa r = − 15 .

b)

cn + 1 − cn = (n + 1)2

+ 5(n + 1) − (n2 + 5n) = n2 + 2n + 1 + 5n + 5 − n2 − 5n = 2n + 6. Ponieważ

różnica między kolejnymi wyrazami ciągu zależy od n, więc nie jest stała, zatem ten ciąg nie

jest arytmetyczny.

c)

Odpowiedzi

556


an =35n − 1

Rozwiązanie

Ponieważ a10 − a3 = 7r, więc 5 − 45 = 7r. Stąd 7r = 5 − 4

5 =215 , zatem r =

35 . Pierwszy wyraz ciągu

jest równy a1 = a3 − 2r =45 − 6

5 = − 25 . Zatem ogólny wzór ciągu arytmetycznego ma postać

an = − 25 + (n − 1) ∙ 3

5 =35n − 1.


Rozwiązanie

a8 = a1 + 7r, czyli 23 = a1 + 7 ∙ ( − 7), stąd a1 = 72


a = 414

b = 512

c = 634

d = 914

RozwiązanieZ treści zadania wiemy, że a1 = 3 oraz a5 = 8. Ponieważ a5 − a1 = 4r, więc 4r = 8 − 3 = 5, stąd

r =54 = 1

14 . Zatem a = 3 + 1

14 = 4

14 , b = 4

14 + 1

14 = 5

12 , c = 5

12 + 1

14 = 6

34 , d = 8 + 1

14 = 9

14 .

Zadanie 4.2.19 (Wróć do zadania)Odpowiedźa1 = 9

r = − 5

RozwiązanieZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy równania podane w treści zadania zapisać

w postaci a1 + r + a1 + 6r = − 17 oraz (a1 + 2r)(a1 + 4r) = 11. Z pierwszego z nich wyznaczmy

a1 = − 17 + 7r2 .

Wtedy drugie z równań możemy zapisać w postaci (− 17 + 7r2 + 2r)(− 17 + 7r

2 + 4r) = 11. Przekształcając

je, otrzymujemy kolejno

(−17 − 3r)(−17 + r) = 44

−3r2 + 34r + 245 = 0

Wyróżnik tego równania jest równy ∆ = 1156 + 2940 = 4096 > 0, więc równanie ma dwa rozwi-

ązania r1 = − 5 oraz r2 = 1613 . Ponieważ ciąg jest malejący, więc r = − 5. Pierwszy wyraz ciągu jest

zatem równy

Odpowiedzi

557

a1 = − 17 + 7r2 = − 17 − 35

2 = 9


(1,4, 7) lub (7,4, 1)RozwiązanieNiech x oznacza środkowy wyraz ciągu, a r różnicę tego ciągu. Wtedy pierwszy wyraz jest równy

x − r, natomiast trzeci jest równy x + r. Suma tych wyrazów jest wtedy równa x − r + x + x + r = 12

, czyli 3x = 12, zatem x = 4. Suma kwadratów wyrazów jest równa (x − r)2

+ x2+(x + r)2

= 66, czyli

(4 − r)2

+ 42+(4 + r)2

= 66. Stąd otrzymujemy kolejno 16 − 8r + r2 + 16 + 16 + 8r + r2 = 66, 2r2 = 18,

r2 = 9, r = − 3 lub r = 3. Gdy r = − 3 , to x − r = 4 − (−3) = 7 oraz x + r = 4 + (−3) = 1. Gdy r = 3, wów-

czas x − r = 4 − 3 = 1 oraz x + r = 4 + 3 = 7. Zatem dwa szukane ciągi to (1,4, 7) oraz (7,4, 1).

Zadanie 4.2.21 (Wróć do zadania)Odpowiedź95 ° , 85 ° , 75 °Rozwiązanie

Niech r będzie różnicą ciągu arytmetycznego (105 ° , α, β, γ) miar kątów czworokąta. Wtedy

α = 105 ° + r, β = 105 ° + 2r, γ = 105 ° + 3r. Suma miar wszystkich kątów czworokąta jest równa

360 ° , więc otrzymujemy równanie 105 ° + 105 ° + r + 105 ° + 2r + 105 ° + 3r = 360 ° . Zatem

6r = − 60 ° , stąd r = − 10 ° . Wtedy α = 105 ° − 10 ° = 95 ° , β = 105 ° − 20 ° = 85 ° oraz

γ = 105 ° − 30 ° = 75 ° . Szukane kąty mają miary 95 ° , 85 ° , 75 ° .


Niech (an) będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy r, gdzie an oznacza długość boku trójkąta rów-

nobocznego o numerze n.

Zadanie 4.2.23 (Wróć do zadania)OdpowiedźNiech a1 oznacza najmniejszą z cyfr liczby. Wtedy dwie pozostałe cyfry to a1 + r, a1 + 2r. Liczby a1 i

r są całkowite. Suma wszystkich cyfr liczby jest równa a1 + a1 + r+a1 + 2r = 3a1 + 3r = 3(a1 + r). Licz-

ba a1 + r jest całkowita, więc suma cyfr jest podzielna przez 3. To z kolei oznacza, że liczba jest

podzielna przez 3. To kończy dowód.

Obwód n − tego trójkąta Ln = 3 ∙ an. Ze wzoru na n − ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzy-

mujemy Ln = 3(an + (n − 1)r) = 3a1 + 3(n − 1)r, czyli Ln = L1 + (n − 1)r. To oznacza, że ciąg (Ln)obwodów kolejnych trójkątów równobocznych jest arytmetyczny, a jego różnica jest równa

3r.

a)

Wykażemy, że ciąg (Pn) kolejnych trójkątów nie jest arytmetyczny. Wystarczy rozpatrzyć trój-

kąty, których długości boków są kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Pola trzech

pierwszych trójkątów są równe: P1 = √34 , P2 = √3, P3 =

9√34 . Ponieważ P2 − P1 = √3 − √3

4 =3√3

4

oraz P3 − P2 =9√3

4 − √3 =5√3

4 , a więc P2 − P1 ≠ P3 − P2, zatem ciąg (Pn) nie jest arytmetyczny.

b)

Odpowiedzi

558


Rozwiązanie

Niech (an) będzie ciągiem arytmetycznym, którego wyrazy spełniają warunki podane w treści za-

dania. Warunki te możemy zapisać w postaci a1 + a2 = 23, an + an − 1 = 119 oraz a11 = 40. Równa-

nia te możemy zapisać, korzystając ze wzoru na n − ty wyraz ciągu arytmetycznego w postaci

a1 + (a1 + r) = 23, a1 + (n − 1)r + a1 + (n − 2)r = 119 oraz a1 + 10r = 40. Z pierwszego równania otrzy-

mujemy r = 23 − 2a1. Stąd z trzeciego równania mamy: a1 + 10(23 − 2a1) = 40, 19a1 = 230 − 40,

19a1 = 190, a1 = 10. Zatem r = 23 − 2 ∙ 10 = 3.

Drugie z równań możemy więc zapisać w postaci 10 + (n − 1) ∙ 3 + 10 + (n − 2) ∙ 3 = 119, stąd

6n = 108, czyli n = 18.

Zadanie 4.2.25 (Wróć do zadania)OdpowiedźZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego równości an = m oraz am = n możemy zapisać w po-

staci

a1 + (n − 1)r = m oraz a1 + (m − 1)r = n.

Odejmując te równania stronami, otrzymujemy (n − 1)r − (m − 1)r = m − n. Stąd

(n − m)r = − (n − m). Ponieważ n ≠ m, więc n − m ≠ 0. Możemy zatem podzielić obie strony otrzy-

manego równania przez n − m i wtedy mamy r = − 1.

Odpowiedzi

559

Ciągi / Ciągi – własności ciągówarytmetycznychZadanie 4.3.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź13,5

a2 =7 + 20

2 = 13,5

Zadanie 4.3.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 10, b = 16

Rozwiązanie

Ponieważ ciąg jest arytmetyczny, to b =a + 22

2 . Otrzymujemy więc układ równań

{ a + b = 26

−a + 2b = 22

Stąd 3b = 48, stąd b = 16 oraz a = 26 − 16 = 10.

Zadanie 4.3.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź6 lub 11

RozwiązanieZ twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy

x2 + 3x =5x − 3 + 3x2 − 3

2

2x2 + 6x − 5x − 3x2 + 6 = 0

−x2 + x + 6 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania x1 = 3, x2 = − 2, czyli trzy pierwsze wyrazy ciągu są równe

12, 18, 24 lub −13, − 2, 9. Różnica pierwszego z tych ciągów jest równa 6, a drugiego 11.

Zadanie 4.3.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 3, y = 5, a5 = 7

RozwiązaniePonieważ x + 4y, 3x + 2y, x + 2y + 2 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to ma-

my zależność

2(3x + 2y) = x + 4y + x + 2y + 2,

Odpowiedzi

560

która po przekształceniu ma postać 2x − y = 1.

Ponieważ

3x + 2y, x + 2y + 2, 3x + y − 3

są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to mamy zależność

2(x + 2y + 2) = 3x + 2y + 3x + y − 3,

która po przekształceniu ma postać −4x + y = − 7. Otrzymaliśmy więc układ równań:

{ 2x − y = 1

−4x + y = − 7

skąd po dodaniu równań stronami mamy −2x = − 6, czyli x = 3 i y = 5.

Cztery pierwsze wyrazy rozważanego ciągu arytmetycznego są równe 23, 19, 15, 11, a więc róż-

nica tego ciągu jest równa r = − 4 , natomiast piąty wyraz to 7.


329

Rozwiązanie

Mamy a3 = 213 , a9 = 2

79 . Ponieważ ciąg (a3, a9, x) jest arytmetyczny, a9 =

a3 + x

2 , czyli 2 ∙ 279 = 2

13 + x

. Ostatecznie x = 329 .


Ciąg ten będzie arytmetyczny, jeżelim + 2

4 =

m + 46

+m + 1

32 , czyli

m + 22 =

m + 46 +

m + 13 , więc

3m + 6 = m + 4 + 2m + 2, co jest równoważne równaniu tożsamościowemu 0 = 0. Zatem dla do-

wolnej liczby rzeczywistej m ciąg jest arytmetyczny.


Zadanie 4.3.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź2√3 − 1

Rozwiązanie

a2 = √3 + 2 + 3√3 − 42 =

4√3 − 22 = 2√3 − 1

Zadanie 4.3.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx ? R

Odpowiedzi

561

Rozwiązanie

• sposób I

Ciąg (x + 7, 2x + 9, 3x + 11) jest arytmetyczny dla każdej liczby x, która spełnia równanie

2x + 9 =x + 7 + 3x + 11

2 , a więc gdy 4x + 18 = 4x + 18. To równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je

każda liczba rzeczywista x. Oznacza to, że dla każdej liczby x liczby x + 7, 2x + 9, 3x + 11 są kolej-

nymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

• sposób II

Zauważmy, że (2x + 9) − (x + 7) = x + 2 oraz (3x + 11) − (2x + 9) = x + 2, co oznacza, że dla każdej war-

tości x podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy x + 2 .

Zadanie 4.3.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź1,5 lub 7

RozwiązanieZ twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy

2x2 + 5x − 3 =6x2 + 8 + 7 − 7x

2

4x2 + 10x − 6 = 6x2 − 7x + 15

stąd otrzymujemy równanie kwadratowe 2x2 − 17x + 21 = 0 mające dwa rozwiązania x1 = 1,5 oraz

x2 = 7.


Rozwiązanie

Ciąg ( 1x + 1 ,

2x + 13x ,

x + 2x + 1 ) jest arytmetyczny, więc między jego wyrazami zachodzi zależność

2 ∙ 2x + 13x =

1x + 1 +

x + 2x + 1

Stąd otrzymujemy4x + 2

3x =x + 3x + 1 . Z własności proporcji możemy to równanie zapisać w postaci

(4x + 2)(x + 1) = 3x(x + 3),

stąd

4x2 + 4x + 2x + 2 = 3x2 + 9x,

więc x2 − 3x + 2 = 0. Jest to równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania x1 = 2 oraz x2 = 1.

Odpowiedzi

562

Zadanie 4.3.13 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 2, y = − 1, a20 = 52

RozwiązaniePonieważ x + 3y − 4, − x + y + 1, x + y są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc

mamy

2(−x + y + 1) = x + 3y − 4 + x + y,

co po przekształceniu daje równanie 2x + y = 3.

Ponieważ – x + y + 1, x + y, 3x + 2y są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, mamy

2(x + y) = − x + y + 1 + 3x + 2y,

co po przekształceniu daje równanie y = − 1.

Z pierwszego otrzymanego równania mamy zatem x = 2.

Pierwsze wyrazy rozważanego ciągu arytmetycznego są więc równe −5, − 2, 1, 4, stąd różnica

ciągu jest równa r = 3. Dwudziesty wyraz wyliczamy za pomocą wzoru

a20 = a1 + 19r = − 5 + 19 ∙ 3 = 52.


RozwiązanieOznaczmy cyfrę jedności szukanej liczby przez a oraz cyfrę dziesiątek przez b. Ponieważ a i b

są cyframi oraz x jest liczbą dwucyfrową, więc a ? {0,1, … , 9}, b ? {1,2, … , 9}. Mamy wtedy, że

x = 10b + a. Szukany ciąg ma zatem postać (10b + a, 2a, 2b). Z twierdzenia o trzech kolejnych wy-

razach ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie 4a = 10b + a + 2b, stąd a = 4b. Wypisane wy-

żej warunki dla liczb a i b spełniają tylko dwie pary rozwiązań tego równania { a = 4

b = 1oraz { a = 8

b = 2

. Oznacza to, że istnieją dwie liczby o danej własności 14 oraz 28.


Rozwiązanie

• sposób I

Zauważmy, że a9 =a9 − 5 + a9 + 5

2 =a4 + a14

2 , stąd a14 = 2a9 − a4 = 2 ∙ 17 − 1 = 33.

• sposób II

Ponieważ a9 − a4 = 5r, mamy r =165 . Ze wzoru na czwarty wyraz ciągu a4 = a1 + 3r, czyli

1 = a1 + 3 ∙ 165 . Stąd a1 = − 43

5 . Zatem a14 = a1 + 13r = − 435 + 13 ∙ 16

5 =165

5 = 33.

Odpowiedzi

563

Zadanie 4.3.16 (Wróć do zadania)Odpowiedź31,5

Rozwiązanie

• sposób I

Z własności ciągu arytmetycznego 2a3 = a2 + a4, stąd mamy a2 + a3 + a4 = 3a3. Ponieważ

a3 =a3 − 2 + a3 + 2

2 =a1 + a5

2 =4 + 17

2 =212 = 10,5. Ostatecznie mamy więc

a2 + a3 + a4 = 3 ∙ 212 =

632 = 31,5.

• sposób II

Ze wzoru na piąty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

a5 = a1 + 4r = 4 + 4r,

stąd 4 + 4r = 17, czyli r =134 . Suma

a2 + a3 + a4 = a1 + r + a1 + 2r + a1 + 3r = 3a1 + 6r = 3 ∙ 4 + 6 ∙ 134 = 31,5.


Pokażemy, że2

c + a =1

b + c +1

a + b .

Prawa strona jest równa

P =1

b + c +1

a + b =2b + a + c

(b + c)(a + b)=

(2b + a + c)(c + a)

(b + c)(a + b)(c + a)=

(2b + a + c)(c + a)

(b + c)(a + b)(c + a)=

a2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

(b + c)(a + b)(c + a)

Lewa strona jest równa

L =2

c + a =2(b + c)(a + b)

(b + c)(a + b)(c + a)=

2b2 + 2ab + 2bc + 2ac

(b + c)(a + b)(c + a)

Z założenia, że ciąg (a2, b2, c2) jest arytmetyczny, wiemy, że 2b2 = a2 + c2, co kończy dowód.

Odpowiedzi

564

Ciągi / Ciągi – suma wyrazów ciąguarytmetycznegoZadanie 4.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedź23, 24, ... 122

RozwiązanieKolejne liczby naturalne są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym różnica jest równa 1.

Oznaczmy pierwszą z szukanych liczb, a więc pierwszy wyraz tego ciągu przez a1. Suma 100 po-

czątkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S100 =2a1 + 99 ∙ 1

2 ∙ 100 = (2a1 + 99) ∙ 50

Z treści zadania wynika, że ta suma jest równa 7250. Otrzymujemy zatem równanie

(2a1 + 99) ∙ 50 = 7250

stąd a1 = 23. Kolejne wyrazy tego ciągu są równe a2 = 24, a3 = 25, … , a100 = 122.

Zadanie 4.4.3 (Wróć do zadania)OdpowiedźSuma n wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym an = 2n − 7 dla n ≥ 1 jest równa 352.

Ciąg składa się z 22 wyrazów.

Zadanie 4.4.4 (Wróć do zadania)Odpowiedź165 150

RozwiązanieMamy policzyć sumę 102 + 105 + 108 + ... + 999. Jest to suma ciągu arytmetycznego o różnicy r = 3

, pierwszym wyrazie a1 = 102 i ostatnim wyrazie an = 999. Wyznaczmy liczbę wyrazów ciągu. Po-

nieważ an = a1 + (n − 1)r, więc 999 = 102 + 3(n − 1), stąd n = 300. Poszukiwana suma jest równa

S300 =a1 + a300

2 ∙ 300 = (102 + 999) ∙ 150 = 165150


RozwiązanieNiech n oznacza liczbę boków wielokąta, którego boki, od najkrótszego do najdłuższego, mają dłu-

gości: a1, a2, a3, … , an. Różnica ciągu (an) jest równa r = 5 , ostatni wyraz jest równy an = 28, na-

tomiast suma wszystkich wyrazów, a więc obwód wielokąta, jest równa Sn = 93. Mamy więc układ

równań

Odpowiedzi

565

{a1 + {n − 1 ∙ 5 = 28

2a1 + {n − 1 ∙ 5

2 ∙ n = 93

{a1 = 33 − 5n

[2[33 − 5n] + 5n − 5]n = 186

{ a1 = 33 − 5n

−5n2 + 61n − 186 = 0

Równanie −5n2 + 61n − 186 = 0 ma dwa rozwiązania n1 = 6,2 oraz n2 = 6. Ponieważ liczba wyrazów

ciągu jest liczbą całkowitą dodatnią, więc n = 6.

Zadanie 4.4.6 (Wróć do zadania)OdpowiedźRóżnica tego ciągu jest równa 3


RozwiązanieZauważmy, że Sn + 2 − Sn = an + 1 + an + 2 = an + 1 + an + 1 + r = 2an + 1 + r

Z danych z zadania mamy

240 − 176 = 2an + 1 + 2

stąd an + 1 = 31, czyli a1 + nr = 31. Stąd a1 = 31 − 2n, gdyż r = 2. Ze wzoru na sumę n początkowych

wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy

Sn =2a1 + (n − 1)r

2 ∙ n =2(31 − 2n) + (n − 1) ∙ 2

2 ∙ n = (30 − n) ∙ n

Ponieważ Sn = 176 , więc otrzymujemy równanie (30 − n) ∙ n = 176, czyli n2 − 30n + 176 = 0. Rów-

nanie to ma dwa rozwiązania n1 = 8 oraz n2 = 22, które są liczbami całkowitymi dodatnimi.



Odpowiedzi

566

RozwiązanieMamy policzyć sumę 12 + 17 + 22 + ... + 97. Zauważmy, że jest to suma wyrazów ciągu arytmetycz-

nego o różnicy r = 5. Zacznijmy od wyznaczenia liczby wyrazów tego ciągu. Ponieważ an = 97, to ze

wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy a1 + (n − 1)r = 97, czyli 12 + (n − 1) ∙ 5 = 97

. Stąd 5n = 90, czyli n = 18. Suma 18 początkowych wyrazów tego ciągu jest zatem równa

S18 =12 + 97

2 ∙ 18 = 981.


RozwiązanieMamy obliczyć sumę następujących liczb: 100, 101, 102, … , 999. Jest to suma 900 początko-

wych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 100, ostatnim równym 999.

Zatem S =100 + 999

2 ∙ 900 = 494 550.


RozwiązanieSuma n początkowych wyrazów w danym ciągu arytmetycznym jest równa

Sn =2a1 + (n − 1)r

2 ∙ n =2 ∙ 3 + (n − 1) ∙ 4

2 ∙ n. Ponieważ Sn < 80, więc otrzymujemy nierówność4n + 2

2 ∙ n < 80, czyli 2n2 + n − 80 < 0. Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 2x2 + x − 80 jest para-

bola, której ramiona zwrócone są do góry. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby

x1 =1 − √641

4 ≈ − 6,2 oraz x2 =−1 + √641

4 ≈ 6,1. Zatem liczby całkowite dodatnie n, które spełniają tę

nierówność, to: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Największą liczbą n, dla której Sn < 80 jest 6.


RozwiązanieObliczamy wyraz dziewiąty i czternasty ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Otrzymuje-

my równania a9 = a1 + 8r = 11 oraz a14 = a1 + 13r = 1. Odejmując stronami od drugiego równania

pierwsze, otrzymujemy 5r = − 10, stąd r = − 2. Stąd i z pierwszego równania a1 = 11 − 8 ∙ (−2) = 27

.

Szukana suma jest równa

S21 =2a1 + 20r

2 ∙ 21 = (27 − 20) ∙ 21 = 147


Rozwiązanie

Z podanego wzoru obliczamy wyraz pierwszy i piętnasty a1 =2 ∙ 1 − 1

5 =15 , a15 =

2 ∙ 15 − 15 =

295 . Szuka-

na suma jest zatem równa S15 =a1 + a15

2 ∙ 15 =

15

+295

2 ∙ 15 = 45.

Odpowiedzi

567


RozwiązanieZauważmy, że a16 = a1 + 15r, a17 = a2 + 15r, a18 = a3 + 15r, … , a30 = a15 + 15r. Zatem

a16 + a17 + … + a30 = a1 + a2 + … + a15 + 15 ∙ 15r = S15 + 225 ∙ 3 = 135 + 675 = 810


RozwiązaniePo wstawieniu n − 2 liczb otrzymujemy n – wyrazowy ciąg arytmetyczny, w którym a1 = − 13

, an = 8 oraz Sn = − 25. Ponieważ suma n wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem

Sn =a1 + an

2 ∙ n, otrzymujemy równanie−13 + 8

2 ∙ n = − 25, stąd n = 10. Należy więc wstawić osiem

wyrazów pomiędzy dane liczby.


a1 = − 32 , r =

13

RozwiązanieStosując dwukrotnie wzór na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy układ równań

{2a1 + 7r

2 ∙ 8 = − 83

2a1 + 12r

2 ∙ 13 =132

{ 6a1 + 21r = − 2

2a1 + 12r = 1

{ 6a1 + 21r = − 2

−6a1 − 36r = − 3

Po dodaniu stronami otrzymujemy −15r = − 5, czyli r =13 . Stąd mamy 2a1 = 1 − 4 = − 3, więc

a1 = − 32 .


Odpowiedzi

568

RozwiązanieKorzystając z własności iloczynu potęg o tej samej podstawie, zapisujemy lewą stronę rozważa-

nego równania w postaci 42 + 4 + 6 + … + 2n. Zauważmy, że 2 + 4 + 6 + … + 2n jest sumą n początko-

wych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zatem

2 + 4 + 6 + … + 2n =2 + 2n

2 ∙ n = (n + 1)n

Prawa strona równania jest równa 0,25−30 = (14 )

−30= 430. Otrzymaliśmy więc 4(n + 1)n = 430. Równa-

nie jest równoważne równaniu (n + 1)n = 30, czyli n2 + n − 30 = 0. Równanie to ma dwa rozwiąza-

nia n1 = − 6 oraz n2 = 5. Ponieważ liczba wyrazów ciągu jest dodatnią liczbą całkowitą, więc rozwi-

ązaniem równania jest n = 5.

Zadanie 4.4.19 (Wróć do zadania)OdpowiedźZauważmy, że suma po lewej stronie równania jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu arytmetycz-

nego, w którym a1 = n oraz an = n2. Zatem suma

Sn =a1 + an

2 ∙ n =n + n2

2 ∙ n =n2 + n3

2 =n2(n + 1)

2


RozwiązanieZauważmy, że trzynasty wyraz ciągu jest środkowym wyrazem sumy a1 + a2 + a3 + … + a25. Z wła-

sności ciągu arytmetycznego otrzymujemy

2a13 = a13 − 12 + a13 + 12 = a1 + a25

2a13 = a13 − 5 + a13 + 5 = a8 + a18

2a13 = a13 − 3 + a13 + 3 = a10 + a16

Stąd a1 + a25 = a8 + a18 = a10 + a16. Zatem 20 = (a8 + a18) + (a10 + a16) = 2(a1 + a25), stąd

a1 + a25 = 10

Szukana suma jest więc równa S25 =a1 + a25

2 ∙ 25 = 5 ∙ 25 = 125.


Rozwiązanie

Skorzystamy z własności ciągu arytmetycznego an =an + k + an − k

2 dla dowolnej dodatniej liczby cał-

kowitej k < n. Zatem a7 =a1 + a13

2 . Ponieważ siódmy wyraz jest równy zero, więc a1 + a13 = 0.

Odpowiedzi

569

Suma trzynastu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem

S13 =a1 + a13

2 ∙ 13 =02 ∙ 13 = 0.

Zadanie 4.4.22 (Wróć do zadania)OdpowiedźKorzystając pięćdziesiąt razy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, możemy lewą

stronę równości zapisać w postaci

1002 − 992 + 982 − 972 + 962 − 952 + … + 42 − 32 + 22 − 12 =

(100 − 99)(100 + 99) + (98 − 97)(98 + 97) + (96 − 95)(96 + 95) + … + (4 − 3)(4 + 3) + (2 − 1)(2 + 1) =

1 ∙ 199 + 1 ∙ 195 + 1 ∙ 191 + … + 1 ∙ 7 + 1 ∙ 3 =

199 + 195 + 191 + … + 7 + 3.

W ten sposób otrzymaliśmy sumę pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o

różnicy r = − 4. Zatem suma ta jest równa

S50 =a1 + a50

2 ∙ 50 = (199 + 3) ∙ 25 = 5050

Odpowiedzi

570

Ciągi / Ciąg geometrycznyZadanie 4.5.3 (Wróć do zadania)Odpowiedź


Rozwiązanie


q = 2 lub q = − 2


(4, 12, 36)

Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej n mamyan + 1

an=

(0,3)n + 1

(0,3)n = 0,3. Ponieważ iloraz

dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy 0,3, więc jest to ciąg geo-

metryczny o ilorazie 0,3.

a)

Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej n mamybn + 1

bn=

2n+1

7

2n

7

= 2. Ponieważ iloraz do-

wolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy 2, więc jest to ciąg geome-

tryczny o ilorazie 2.

b)

Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej n mamycn + 1

cn=

3n + 5

3n + 4 = 3. Ponieważ iloraz do-

wolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy 3, więc jest to ciąg geome-

tryczny o ilorazie 3.

c)

an = 10 ∙ (12 )

n − 1a)

an =1

50 ∙ 5n − 1b)

Ze wzoru na szósty wyraz ciągu geometrycznego a6 = a1 ∙ q5 , czyli5

16 = 10q5, stąd q5 =1

32 ,

czyli q =12 . Wzór na n − ty wyraz tego ciągu ma postać an = 10 ∙ (1

2 )n − 1

.

a)

Zauważmy, że a6 = a3 ∙ q3, więc125

2 =12q3, stąd q3 = 125. Zatem q = 5. Ze wzoru na trzeci

wyraz ciągu otrzymujemy a3 = a1q2, czyli12 = a1 ∙ 52. Stąd a1 =

150 . Wzór ogólny ciągu ma za-

tem postać an =1

50 ∙ 5n − 1 .

b)

Odpowiedzi

571

RozwiązanieLiczby x − 1, 2x + 2, 6x + 6 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc prawdziwa jest

równość (2x + 2)2

= (x − 1)(6x + 6), czyli 4x2 + 8x + 4 = 6x2 − 6x + 6x − 6. Otrzymaliśmy równanie

kwadratowe −x2 + 4x + 5 = 0, które ma dwa rozwiązania x1 = 5 oraz x2 = − 1. To oznacza, że mamy

dwa ciągi (4, 12, 36) oraz ( − 2, 0, 0). Rosnący jest tylko ciąg pierwszy.


q = − 3 oraz a1 = 1 lub q = − 13 oraz a1 = − 9

Rozwiązanie

Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego dane są wzorami a1, a1q, a1q2 oraz q ≠ 0. Iloczyn tych

trzech wyrazów jest równy a1 ∙ a1q ∙ a1q2 = 27, czyli (a1q)3

= 27. Stąd a1q = 3. Suma wyrazów ci-

ągu jest z kolei równa a1 + a1q + a1q2 = − 7, więc a1 + 3 + a1q2 = − 7, a dalej a1 + a1q2 = − 10. To

możemy zapisać w postaci a1 + a1q ∙ q = − 10, czyli a1 + 3 ∙ q = − 10. Stąd a1 = − 3q − 10. Podsta-

wiając w równaniu a1q = 3 w miejsce a1 wyrażenie −3q − 10, otrzymujemy równanie kwadratowe

z jedną niewiadomą q

(−3q − 10)q = 3

−3q2 − 10q = 3

3q2 + 10q + 3 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania q1 = − 3 oraz q2 = − 13 . To oznacza, że są dwa ciągi geome-

tryczne spełniające podane w zadaniu warunki. Iloraz jednego z tych ciągów jest równy q = − 3, a

pierwszy wyraz jest równy a1 = − 3 ∙ (−3) − 10 = − 1. Iloraz drugiego z ciągów jest równy q = − 13 , a

pierwszy wyraz a1 = − 3 ∙ (− 13 ) − 10 = − 9.


Ponieważ ciąg (an) jest geometryczny, więc mamy an + 1 = anq, an + 2 = anq2, an + 3 = anq3. Obliczmy

iloczyny anan + 3 = an ∙ anq3 = an2q3 oraz an + 1an + 2 = anq ∙ anq2 = an

2q3. Mamy więc

anan + 3 = an + 1an + 2, co było do udowodnienia.


a20 = 3 ∙ (13 )

19


Odpowiedzi

572

Zadanie 4.5.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź3 + √3

6 ,1 + √3

6 ,3 + √3

18


a1 ∙ a3 =9

16


Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na czwarty wyraz ciągu geometrycznego, mamy a4 = a1 ∙ q3, czyli 192 = 3q3,

i dalej q3 = 64. Stąd wynika, że q = 4.


Rozwiązanie

Znając dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, obliczamy iloraz tego ciągu q =a4a3

=

341 =

34

. Korzystając ze wzoru na n − ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy a3 = a1q2, czyli

1 = a1(34 )

2= a1

916 . Stąd a1 =

169 .


an =5 ∙ 6n − 1

384 lub an = −5 ∙ ( − 6)

n − 1

384

RozwiązanieZauważmy, że

q2 =a6a4

=

4054

4516

=405

4 ∙ 1645 = 9 ∙ 4 = 36,

stąd q = 6 lub q = − 6. Oznacza to, że są dwa ciągi geometryczne o podanych wyrazach. Czwarty

wyraz ciągu geometrycznego jest równy a4 = a1q3, stąd a1 =a4

q3 . Gdy q = 6 , to a1 =

4516

63 =5

384 , więc

wtedy ciąg (an) ma wzór ogólny postaci an =5 ∙ 6n − 1

384 , a gdy q = − 6, to wówczas

a1 =

4516

( − 6)3

= − 5384 ,

a wzór ogólny ma postać an = −5 ∙ ( − 6)

n − 1

384 .

Odpowiedzi

573

Zadanie 4.5.18 (Wróć do zadania)Odpowiedźszóstym

RozwiązanieKorzystając ze wzoru na n − ty wyraz ciągu geometrycznego, mamy

96 = an = a1qn − 1 = (−3)(−2)n − 1

, czyli (−2)n − 1

= − 32, stąd n − 1 = 5. Zatem n = 6.


−2 lub − 12

Rozwiązanie

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu otrzymujemy a2 = a1q oraz a3 = a1q2. Opisany w zadaniu stosunek

jest równya1 + a1q + a1q2

a1 + a1q2 =35 , czyli

1 + q + q2

1 + q2 =35 . Stąd, z własności proporcji, otrzymujemy równanie

5 + 5q + 5q2 = 3 + 3q2 . Otrzymane równanie kwadratowe 2q2 + 5q + 2 = 0 ma dwa rozwiązania

q = − 2 oraz q = − 12 .


Rozwiązanie

Mamy wyznaczyć taką liczbę x, dla której ciąg (−2 + x, 2 + x, 22 + x) jest geometryczny. Z własno-

ści ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie (2 + x)2

= (x − 2)(22 + x), które jest równoważne

równaniu 16x = 48. Stąd x = 3.


Ponieważ ciąg (an) jest geometryczny, więcan + 1

an= q, gdzie q jest ilorazem tego ciągu. Zbadajmy,

jak wygląda iloraz kolejnych dowolnych wyrazów ciągu bn i cn.

bn + 1bn

=

2an+1

2an

=2

an + 1∙

an2 =

anan + 1

=1q ,

a więc iloraz jest liczbą stałą, niezależną od n. Zatem ciąg (bn) jest geometryczny, a jego iloraz jest

równy1q

cn + 1cn

=a

3(n + 1)a3n

=a3n + 3

a3n=

a1q3n + 2

a1q3n − 1 = q3,

więc iloraz jest liczbą stałą, niezależną od n. Zatem ciąg (cn) jest geometryczny, a jego iloraz jest

równy q3.

Odpowiedzi

574


Rozwiązanie

sposób II

Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego q =a2a1

=1 + √32 + √3 =

(1 + √3)(2 − √3)(2 + √3)(2 − √3)

=2 + 2√3 − √3 − 3

4 − 3 = √3 − 1. Trzeci

wyraz ciągu jest więc równy x = a2q = (1 + √3)(√3 − 1) = √3 + 3 − 1 − √3 = 2.

Zadanie 4.5.24 (Wróć do zadania)Odpowiedźa = 360 oraz b = 300

RozwiązanieNiech q oznacza iloraz danego ciągu. Ponieważ 250 jest czwartym wyrazem ciągu geometrycz-

nego, więc 250 = a1q3 = 432q3, stąd q3 =250432 =

125216 , czyli q =

56 . Drugi wyraz tego ciągu jest zatem

równy a = a1q = 432 ∙ 56 = 360, a trzeci b = aq = 360 ∙ 5

6 = 300.

Zadanie 4.5.25 (Wróć do zadania)Odpowiedź4 lub −4

RozwiązanieSuma pierwszych sześciu wyrazów jest równa 1, czyli a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 1. To równanie

możemy zapisać w postaci a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + a1q5 = 1, czyli

a1(1 + q + q2 + q3 + q4 + q5) = 1.

Suma sześciu ostatnich wyrazów jest równa 16, a więc a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = 16. To równanie

możemy zapisać, podobnie jak poprzednie, w postaci

a1q2 + a1q3 + a1q4 + a1q5 + a1q6 + a1q7 = 16,

czyli

a1q2(1 + q + q2 + a13 + q4 + q5) = 16

x = 14 i q = 7 lub x = − 14 i q = − 7a)

x = 2 i q = √3 − 1b)

Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy warunek x2 = 2 ∙ 98 = 196, stąd x = 14 lub

x = − 14. Oznacza to, że są dwa takie ciągi geometryczne. Gdy x = 14 , to wtedy iloraz tego

ciągu jest równy q =142 = 7, a gdy x = − 14, to iloraz ciągu jest równy q =

−142 = − 7.

a)

sposób I

Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie (1 + √3)2

= (2 + √3)x, stąd

x =(1 + √3)

2

(2 + √3)=

1 + 2√3 + 32 + √3 =

4 + 2√32 + √3 =

2(2 + √3)2 + √3 = 2. Wtedy iloraz ciągu jest równy

q =2

1 + √3 =2(1 − √3)

(1 + √3)(1 − √3)=

2 − 2√31 − 3 = √3 − 1.

b)

Odpowiedzi

575

Z pierwszego równania wynika, że a1 ≠ 0 i 1 + q + q2 + … + q5 ≠ 0, gdyż w przeciwnym razie rów-

nanie a1(1 + q + q2 + q3 + q4 + q5) = 1 byłoby sprzeczne (lewa jego strona byłaby równa 0, a prawa

byłaby różna od 0). Możemy więc podzielić przez siebie lewe i prawe strony otrzymanych równań.

Stąd otrzymujemy q2 = 16, stąd q = 4 lub q = − 4.


q = 2 i a1 =1

42 lub q = − 2 i a1 = − 142

Rozwiązanie

Ze wzoru na n-ty wyraz mamy a1q3 + 17a1q = 1 oraz a1q + a1q3 + a1q5 = 1. Rozwiążmy układ rów-

nań

{ a1q{q2 + 17 = 1

a1q{1 + q2 + q4 = 1

Z pierwszego równania wynika, że a1 ≠ 0, q ≠ 0 oraz q2 + 17 ≠ 0, gdyż w przeciwnym razie równa-

nie byłoby sprzeczne (lewa jego strona byłaby równa 0, a prawa różna od 0). Dzieląc lewą stronę

drugiego równania przez lewą stronę pierwszego i prawą drugiego przez prawą pierwszego, otrzy-

mujemy

1 + q2 + q4

q2 + 17= 1

Stąd

1 + q2 + q4 = q2 + 17

q4 = 16

q = 2 lub q = − 2.

Gdy q = 2 , to a1 ∙ 2 ∙ (4 + 17) = 1, a więc a1 =1

42 . Gdy natomiast q = − 2, to a1 ∙ (−2) ∙ (4 + 17) = 1,

czyli a1 = − 142 .


Niech (a, b, c) będzie ciągiem geometrycznym, w którym wyrazy a, b i c to liczby całkowite różne

od zera. Z własności ciągu geometrycznego wynika, że b2 = ac. Suma kwadratów tych wyrazów

jest więc równa

a2 + b2 + c2 = a2 + ac + c2 = (a + c)2

− ac = (a + c)2

− b2 = (a + c + b)(a + c − b)

Odpowiedzi

576

czyli jest podzielna przez a + b + c, ponieważ a + c − b jest liczbą całkowitą.

Zadanie 4.5.28 (Wróć do zadania)OdpowiedźPrzypuśćmy, że liczby 5, 6 i 7 są pewnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego o ilorazie

q. Możemy przyjąć, że jest to ciąg rosnący. Zatem istnieją takie dodatnie liczby całkowite n, m

, że 6 = 5qn, 7 = 5qm oraz n < m. Podnosząc obie strony pierwszej równości do potęgi m oraz

obie strony drugiej równości do potęgi n, otrzymujemy 6m = 5mqm + n oraz 7n = 5nqm + n. Stąd

qm + n =6m

5m oraz qm + n =7n

5n . Porównując prawe strony otrzymanych równań, mamy6m

5m =7n

5n , stąd

5m − n =6m

7n . Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ 5m − n jest liczbą całkowitą, a liczba6m

7n nie jest

całkowita.

Odpowiedzi

577

Ciągi / Suma wyrazów ciągugeometrycznegoZadanie 4.6.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź37830

Rozwiązanie

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy a1 = 512 ∙ (32 )

1= 768, a iloraz jest równy q =

32 . Możemy teraz

obliczyć sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu

S8 = a11 − q8

1 − q = 768 ∙1 − (3

2 )8

1 −32

= 768 ∙ 2 ∙ ((32 )

8− 1) = 1536 ∙ (6561

256 − 1) = 1536 ∙ 6305256 = 37830.


Rozwiązanie

Ponieważ a6 = a3q3, więc 32 = − 4q3, stąd q3 = − 8, czyli q = − 2. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

−4, więc a3 = a1q2, stąd −4 = a1(−2)2. Zatem a1 = − 1. Możemy teraz obliczyć sumę dziesięciu po-

czątkowych wyrazów tego ciągu

S10 = a11 − q10

1 − q = − 1 ∙1 − (−2)

10

1 + 2 341


Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to wyrazy tego ciągu o

numerach parzystych także tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest a2 oraz

którego iloraz jest równy q2, gdyż a2n = a1q2n − 1 = a1q ∙ q2n − 2 = a2(q2)n − 1

. Zatem mamy obliczyć

sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (bn), w którym b1 = a2 = 3 ∙ 12 =

32

oraz iloraz qb = q2 = (12 )

2=

14 . Suma ta jest więc równa

S6 = b1

1 − qb6

1 − qb=

32 ∙

1 − (14 )

6

1 −14

=32 ∙ 4

3 ∙ (1 − 14096 ) =

40952048

Zadanie 4.6.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźz siedmiu

Odpowiedzi

578

RozwiązanieDługości odcinków łamanej są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, w którym a1 = 640 oraz

q =12 . Długość łamanej jest więc sumą n początkowych wyrazów tego ciągu. Ponieważ Sn = a1

1 − qn

1 − q

, więc otrzymujemy równanie 1270 = 640 ∙1 − (1

2 )n

1 −12

, stąd1270640 ∙ 1

2 = 1 − (12 )

n, czyli

127128 = 1 − (1

2 )n. Stąd

(12 )

n=

1128 = (1

2 )7. Zatem n = 7, czyli łamana składa się z siedmiu odcinków.


72

RozwiązanieSuma 7 pierwszych wyrazów ciągu jest równa

S7 = a11 − qn

1 − q =818 ∙

1 − (23 )

7

1 −23

=818 ∙

1 −128

218713

=243

8 ∙ 20592187 =

205972 .


Rozwiązanie

Przekształcając wzór na sumę pierwszych ośmiu wyrazów ciągu S8 = a11 − q8

1 − q , otrzymujemy

30 + 30√2 = a11 − (√2)

8

1 − √2 , stąd a1 =30(1 + √2)(1 − √2)

1 − 24 =30(1 − 2)

1 − 16 =3015 = 2.


a6 = − 14

Rozwiązanie

Przekształcając wzór na sumę pierwszych n wyrazów Sn = a11 − qn

1 − q , otrzymujemy

−1534 = − 8 ∙

1 − ( 12 )

n

1 −12

, skąd kolejno

634 = 16 ∙ (1 − ( 1

2 )n

)

6364 = 1 − ( 1

2 )n

( 12 )

n=

164 = ( 1

2 )6

Odpowiedzi

579

i ostatecznie n = 6.

Szósty wyraz rozważanego ciągu obliczamy ze wzoru

a6 = a1q5 = − 8 ∙ ( 12 )

5= − 1

4


Rozwiązanie

Przekształcając wzór ogólny ciągu, otrzymujemy an = (−2)n + 1

= (−2)2

∙ (−2)n − 1

= 4 ∙ (−2)n − 1

, stąd

możemy odczytać pierwszy wyraz tego ciągu a1 = 4 oraz iloraz q = − 2.

Sumę n pierwszych wyrazów ciągu obliczamy ze wzoru Sn = a11 − qn

1 − q , czyli −340 = 4 ∙1 − (−2)

n

1 − ( − 2), stąd

kolejno

−340 =43 (1 − (−2)

n)

−255 = 1 − (−2)n

(−2)n

= 256 = (−2)8

Ostatecznie n = 8. Po zsumowaniu pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu otrzymamy −340.


RozwiązaniePonieważ ciąg jest geometryczny, więc ma postać

(a1, a1q, a1q2, a1q3, a1q4, a1q5).

Wiemy, że suma wyrazów stojących na pozycjach nieparzystych wynosi

a1 + a1q2 + a1q4 = 63

oraz suma wyrazów stojących na pozycjach parzystych wynosi

a1q + a1q3 + a1q5 = 126

Drugie równanie przekształcamy do postaci q(a1 + a1q2 + a1q4) = 126 i wstawiając do niego warto-

ść z pierwszego równania, otrzymujemy q ∙ 63 = 126, stąd q = 2.

Wstawiając wyliczony iloraz do równania a1 + a1q2 + a1q4 = 63, mamy

a1 + 4a1 + 16a1 = 63,

Odpowiedzi

580

czyli 21a1 = 63 i ostatecznie a1 = 3.

Obliczamy szósty wyraz tego ciągu a6 = a1q5 = 3 ∙ 25 = 96.


RozwiązanieSuma, którą należy obliczyć, to a6 + a7 + a8 + a9 + a10. Obliczymy ją dwoma sposobami.

• sposób I

Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy S10 oraz S5 odpowiednio dziesięciu i pięciu początkowych

wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.

S10 = a11 − q10

1 − q = 5 ∙ 1 − 210

1 − 2 = 5 ∙ 210 − 11 = 5(1024 − 1) = 5115

S5 = a11 − q5

1 − q = 5 ∙ 1 − 25

1 − 2 = 5 ∙ 25 − 11 = 5(32 − 1) = 155.

Zatem

a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = S10 − S5 = 5115 − 155 = 4960

• sposób II

Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są a6, a7, a8, a9, a10, to pięciowyrazowy ciąg geo-

metryczny, którego pierwszym wyrazem jest szósty wyraz ciągu (an) oraz którego iloraz jest taki

sam, jak iloraz ciągu (an), czyli q = 2. Zatem

a6 + a7 + a8 + a9 + a10. = a6 ∙ 1 − q5

1 − q = a1q5 ∙ 1 − q5

1 − q = 5 ∙ 25 ∙ 1 — 25

1 − 2 = 5 ∙ 32 ∙ 31 = 4960


a5 = 3888 lub a5 =3888

49

RozwiązanieZauważmy, że sumę trzech pierwszych wyrazów możemy obliczyć jako sumę sumy dwóch pierw-

szych wyrazów i wyrazu trzeciego

S3 = S2 + a3 = S2 + a1q2 = 21 + a1q2,

stąd 129 = 21 + a1q2, czyli a1q2 = 108.

Sumę dwóch pierwszych wyrazów obliczamy jako

S2 = a1 + a1q = a1(1 + q),

czyli a1(1 + q) = 21. Zauważmy, że a1 ≠ 0 oraz 1 + q ≠ 0. Gdyby tak nie było, to ostatnie równanie

byłoby sprzeczne (po lewej stronie byłoby 0, a po prawej stronie 21). Dzieląc równanie a1q2 = 108

stronami przez równanie a1(1 + q) = 21, otrzymujemya1q2

a1(1 + q)=

10821 , czyli

q2

1 + q =367 . Korzystając z

Odpowiedzi

581

własności proporcji, otrzymujemy równanie kwadratowe 7q2 = 36 + 36q, które przekształcamy do

postaci 7q2 − 36q − 36 = 0. Równanie to ma dwa rozwiązania q = − 67 lub q = 6. Otrzymujemy więc

dwa ciągi, pierwszy o ilorazie q = − 67 i pierwszym wyrazie a1 =

108

q2 =108

(67 )

2 =108 ∙ 49

36 = 147 oraz drugi

o ilorazie q = 6 i pierwszym wyrazie a1 =108

q2 =10836 = 3. Piąty wyraz jest równy w pierwszym ciągu

a5 = a1q4 = 147 ∙ (− 67 )

4=

3 ∙ 129649 =

388849

w drugim ciągu

a5 = a1q4 = 3 ∙ 64 = 3888


RozwiązanieSześć pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego tworzy następujący ciąg

(a1, a3, a5, a7, a9, a11) = (a1, a1q2, a1q4, a1q6, a1q8, a1q10)

Zauważmy, że jest to też ciąg geometryczny (bn), o pierwszym wyrazie b1 = a1 = 7 oraz ilorazie

równym

Q = q2 = (− 12 )

2=

14

Obliczmy sumę tego ciągu

S6 = b1 + b2 + … + b6 = b11 − Q6

1 − Q = 7 ∙1 − (1

4 )6

1 −14

= 7 ∙1 −

1409634

= 7 ∙ 40954096 ∙ 4

3 =7 ∙ 1365

1024 =95551024


Wyznaczmy wzór na n-ty wyraz ciągu (an). Zauważmy, że n-ty wyraz ciągu, dla każdej liczby całko-

witej n > 1 , jest równy

an = Sn − Sn − 1 = (4n + 1 − 4) − (4n − 4) = 4n + 1 − 4n = 4n(4 − 1) = 3 ∙ 4n = 12 ∙ 4n − 1.

To oznacza, że (an) jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz a1 = 12 i ilorazie q = 4.

Zadanie 4.6.14 (Wróć do zadania)OdpowiedźZe wzoru na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego liczymy opisane sumy

Odpowiedzi

582

S10 = a11 − q10

1 − q , S5 = a11 − q5

1 − q

Ich stosunek jest równy

33 =a1

1 − q10

1 − q

a11 − q5

1 − q

=1 − q10

1 − q5 =(1 − q5)(1 + q5)

1 − q5 = 1 + q5,

stąd q5 = 32, czyli q = 2.

Zadanie 4.6.15 (Wróć do zadania)OdpowiedźZapisując podaną sumę w następujący sposób

(5 − 3) + (52 − 32) + (53 − 33) + … + (5n − 3n) = (5 + 52 + 53 + … + 5n) − (3 + 32 + 33 + … + 3n),

otrzymujemy różnicę sum pierwszych n wyrazów dwóch ciągów geometrycznych.

W pierwszym ciągu a1 = 5 oraz q = 5, czyli suma n wyrazów tego ciągu wynosi

5 + 52 + 53 + … + 5n = 5 ∙ 1 − 5n

1 − 5 .

W drugim ciągu a1 = 3 oraz q = 3, czyli suma n wyrazów tego ciągu wynosi

3 + 32 + 33 + … + 3n = 3 ∙ 1 − 3n

1 − 3 .

Szukana różnica jest więc równa

5 ∙ 1 − 5n

1 − 5 − 3 ∙ 1 − 3n

1 − 3 =5 − 5n + 1

−4 − 3 − 3n + 1

−2 =5n + 1 − 5

4 +6 − 2 ∙ 3n + 1

4 =5n + 1 − 2 ∙ 3n + 1 + 1

4


Chcemy obliczyć sumę 30 + 31 + 32 + … + 39. Zauważmy, że jest to suma dziesięciowyrazowego ci-

ągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy a1 = 1 oraz q = 3. Sumę tego ciągu ob-

liczamy ze wzoru

S10 = a11 − q10

1 − q = 1 ∙ 1 − 310

1 − 3 =310 − 1

2


Sna1 ∙ an

Rozwiązanie

Sn = a1 + a2 + … + an = a1 + a1q + a1q2 + … + a1qn − 1. Suma odwrotności wyrazów tego ciągu jest

równa

1a1

+1

a2+

1a3

+ … +1

an=

1a1

+1

a1q +1

a1q2 + … +1

a1qn − 1

Wspólnym mianownikiem wszystkich ułamków jest a1qn − 1 i suma ma postać

Odpowiedzi

583

qn − 1 + qn − 2 + … + q + 1

a1qn − 1 =qn − 1 + qn − 2 + … + q + 1

an

Mnożąc licznik i mianownik przez a1, otrzymujemySn

a1 ∙ an.

Zadanie 4.6.18 (Wróć do zadania)OdpowiedźLiczbę, w zapisie której występuje 2n jedynek, możemy zapisać jako sumę

102n − 1 + 102n − 2 + … + 102 + 10 + 1. Jest to suma ciągu geometrycznego składającego się z 2n wy-

razów, w którym pierwszy wyraz a1 = 1 oraz iloraz q = 10. Zapisując sumę takiego ciągu, otrzymu-

jemy

1 − q2n

1 − q =1 − 102n

1 − 10 =19 (102n − 1)

Drugą z liczb, w zapisie której występuje n dwójek, możemy zapisać jako sumę

2 ∙ 10n + 2 ∙ 10n − 1 + … + 2 ∙ 10 + 2. Jest to suma ciągu geometrycznego składającego się z n wyra-

zów, w którym pierwszy wyraz o a1 = 2 oraz iloraz q = 10. Zapisując sumę takiego ciągu, otrzymu-

jemy

a11 − qn

1 − q = 2 ∙ 1 − 10n

1 − 10 =29 (10n − 1)

11...1?

2n

− 22...2?n

=19 (102n − 1) − 2

9 (10n − 1) =19 (102n − 2 ∙ 10n + 1) =

(10n − 1)2

32 = (10n − 13 )

2

.

Liczba10n − 1

3 jest naturalna, ponieważ 10n − 1 = 99 … 9?

n − 1

, czyli dzieli się przez 3.


29 (10n + 1 − 10

9 − n)RozwiązanieZauważmy, że kolejne składniki występujące w sumie możemy zapisać następująco

22 = 2 ∙ 10 + 2

222 = 2 ∙ 102 + 2 ∙ 10 + 2

2222 = 2 ∙ 103 + 2 ∙ 102 + 2 ∙ 10 + 2

i tak dalej aż do ostatniego wyrazu

Odpowiedzi

584

22 … 2?n

= 2 ∙ 10n − 1 + 2 ∙ 10n − 2 + … + 2 ∙ 10 + 2.

Zauważmy, że każda z powyższych liczb jest sumą innej liczby wyrazów (kolejno 2, 3, 4, ...n) ci-

ągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 2 i iloraz jest równy q = 10. Sumę takie-

go ciągu obliczamy ze wzoru

Sn = a11 − qn

1 − q = 2 ∙ 1 − 10n

1 − 10 =29 (10n − 1),

czyli rozważane liczby są równe kolejno

22 =29 (102 − 1)

222 =29 (103 − 1)

2222 =29 (104 − 1)

i tak dalej aż do ostatniego wyrazu

22 … 2?n

=29 (10n − 1)

Zauważmy jeszcze, że

2 =29 (10 − 1)

Obliczmy teraz szukaną sumę

2 + 22 + 222 + … + 2 … 22?n

=29 (10 − 1) +

29 (102 − 1) +

29 (103 − 1)+

29 (104 − 1) + … +

29 (10n − 1) =

29 (10 + 102 + 103 + 104 + … + 10n) − 2

9n

Zapisana w nawiasie suma kolejnych potęg liczby 10 jest ciągiem geometrycznym składającym się

z n wyrazów, w którym pierwszy wyraz jest równy 10 i iloraz jest równy 10. Korzystając ze wzoru na

sumę takiego ciągu, otrzymujemy

Sn = a11 − qn

1 − q = 10 ∙ 1 − 10n

1 − 10 =109 (10n − 1)

Stąd

2 + 22 + 222 + … + 2 … 22?n

=29 ∙ 10

9 (10n − 1) − 29n =

29 (10n + 1 − 10

9 − n)

Odpowiedzi

585

Ciągi / Procent składanyZadanie 4.7.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź2654 zł

Rozwiązanie

Kp = 2500 zł

n = 2 ∙ 4 kwartały = 8 kwartałów

p% =3%4 = 0,75%

K8 = 2500 zł ∙ (1 +0,75100 )

8= 2500 zł ∙ (1,0075)

8= 2500 zł ∙ 1,0615988 … . ≈ 2654 zł.

Zauważmy, że na końcowy wynik ma wpływ to, z jaką dokładnością zaokrąglony zostanie wynik

potęgowania liczby 1,0075. Końcowa kwota może się różnić nawet o kilka złotych np.:

K8 = 2500 zł ∙ (1,0075)8

= 2500zł ∙ 1,0616 = 2654 zł

K8 = 2500 zł ∙ (1,0075)8

= 2500zł ∙ 1,062 = 2655 zł

K8 = 2500 zł ∙ (1,0075)8

= 2500zł ∙ 1,06 = 2650 zł

Warto pamiętać, że banki w obliczeniach stosują dokładne wyniki potęgowania, natomiast za-

okrąglane są ostateczne kwoty lokaty.


Odpowiedzi

586

liczba

lat

liczba okresów

kapitalizacji

sposób kapitali-

zacji lokaty

oprocentowanie w

skali roku

oprocentowanie w okre-

sie kapitalizacji

4 4 rocznie 8% 8%

3 12 kwartalnie 12% 3%

2 24 miesięcznie 6% 0,5%

5 10 półrocznie 3% 1,5%

6 6 rocznie 4% 4%

2 12 dwumiesięcznie 6% 1%


Tabela przedstawia stan lokaty w kolejnych miesiącach jej trwania. Zaznaczone są miesiące, po

których nastąpiła kapitalizacja odsetek.

Stan lokaty po upływie n miesięcyczas trwa-

nia lokaty

[miesiące] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

kapitalizacja

miesięczna 10050 10100,25 10150,75 10201,51 10252,51 10303,78 10355,29 10407,07 10459,11 10511,40 10563,96 10616,78

kapitalizacja

kwartalna 10000 10000 10150 10150 10150 10302,25 10302,25 10302,25 10456,78 10456,78 10456,78 10613,64

kapitalizacja

półroczna 10000 10000 10000 10000 10000 10300 10300 10300 10300 10300 10300 10609

kapitalizacja

roczna 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10600

Zauważmy, że największy zysk przyniesie jak najczęstsza kapitalizacja – w tym przypadku mie-

sięczna.

Te same zależności możemy zaobserwować na diagramie

10600 zła)

10609 złb)

10613,64 złc)

10616,78 złd)

Odpowiedzi

587

Ilustracja 1. Procent skladany_atrapa_rys_400

Zadanie 4.7.4 (Wróć do zadania)OdpowiedźPo 10 miesiącach.

Rozwiązanie

Kp = 1350 zł

p% =4,5%

12 = 0,375%

Kn > 1400 zł

Po wstawieniu do wzoru otrzymamy

Kn = 1350 zł ∙ (1 +0,375100 )

n= 1350 zł ∙ (1,00375)

n> 1400 zł

czyli

1350 ∙ (1,00375)n

> 1400

(1,00375)n

> 1, (037)

Używając kalkulatora, sprawdzimy, że (1,00375)9

≈ 1,034261 < 1, (037), ale

(1,00375)10

≈ 1,03814 > 1, (037).Z tego wynika, że kwota 1400 zł zostanie przekroczona po 10 miesiącach oszczędzania.

Zadanie 4.7.5 (Wróć do zadania)Odpowiedź6339,30 zł

Odpowiedzi

588

RozwiązaniePierwszej wpłaty Henryk dokonał w dniu narodzin wnuka, ostatniej w dniu jego 17 urodzin. Ostat-

nia, 18 kapitalizacja odsetek nastąpiła w dniu 18 urodzin. Wtedy stan konta lokaty był równy

s18 = 250 ∙ 1,035 + 250 ∙ (1,035)2

+ … + 250 ∙ (1,035)18

= 250 ∙ 1,035 ∙ 1 − 1,03518

1 − 0,035 ≈ 6339,295124 ≈ 6339,30 zł



kapitał początkowy(z

dokładnością do 1 zł)

oprocentowanie

roczne

okres kapi-

talizacji

czas trwa-

nia lokaty

kapitał końcowy(z do-

kładnością do 1 gr)

2500 zł 4% półroczna 3 lata 2815,41 zł

4500 zł 6% kwartalna 2 lata 5069,22 zł

1480 zł 3,5% roczna 6 lat 1819,30 zł

3600 zł 4% kwartalna 3,5 roku 4138,11 zł

7500 zł 6% miesięczna 1 rok 7962,58 zł

Zadanie 4.7.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźZnaczek będzie wart około 475,83 zł.

Zadanie 4.7.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźPo 6 latach komputer będzie wart około 1860 zł.

Zadanie 4.7.10 (Wróć do zadania)OdpowiedźKwota lokaty po 12 miesiącach to 1905,97 zł. Po opłaceniu kursu zostanie 105,97 zł.

Zadanie 4.7.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźpo 15 latach

Zadanie 4.7.12 (Wróć do zadania)OdpowiedźKwota tej lokaty po roku w banku X − 3893,76 zł, a w banku Y − 3896,76 zł. W banku Y Kuba zy-

ska więcej o 3 zł.

2323,98 zła)

2126,44 złb)

Odpowiedzi

589


Zadanie 4.7.14 (Wróć do zadania)OdpowiedźPo roku – 371,76 zł, a po dwóch latach – 757,34 zł.

Lokata 3 – miesięczna po dwóch latach − 1895 zła)

Lokata 6 – miesięczna po dwóch latach − 1912,90 złb)

Lokata 9 – miesięczna nie może być wybrana ze względu na zbyt niską kwotę kapitału po-

czątkowego

c)

Odpowiedzi

590

Ciągi / Ciąg arytmetyczny i geometrycznyzastosowanieZadanie 4.8.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 7 i y = 25

Rozwiązanie

Z własności ciągu arytmetycznego (x, 9, x + 4) otrzymamy 9 =2x + 4

2 , czyli x = 7.

Zatem ciąg geometryczny ma postać (8, 12, y − 7). Iloraz w tym ciągu jest równy q =128 =

32 . Ponie-

waż iloraz jest stały w całym ciągu, to otrzymamy równanie32 =

y − 712 . Z tego wynika, że y = 25.


Rozwiązanie

Boki trójkąta są równe 15 cm, 20 cm i 25 cm , a pole P = 150 cm2.a)

12 cm, 16 cm i 20 cmb)

Najkrótszy bok trójkąta oznaczmy a (a > 0 ). Pozostałe oznaczymy, wykorzystując własności

ciągu arytmetycznego.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy a2 + (a + 5)2

= (a + 10)2.Po uporządkowaniu otrzyma-

my równanie kwadratowe a2 − 10a − 75 = 0, które ma dwa rozwiązania a = − 5 lub a = 15.

Rozwiązanie ujemne odrzucamy, ponieważ nie spełnia założenia (a > 0 ). Zatem boki trój-

kąta mają długości: a = 15 , a + 5 = 20, a + 10 = 25.

Pole trójkąta prostokątnego:

P =12 ∙ 15 ∙ 20 = 150

a)

Najkrótszy bok trójkąta oznaczmy a (a > 0 ). Pozostałe boki oznaczymy, wykorzystując wła-

sności ciągu arytmetycznego.

b)

Odpowiedzi

591


RozwiązanieOznaczmy pierwszy wyraz ciągu długości boków trójkątów przez a1oraz różnicę ciągu przez r. Wte-

dy boki kolejnych trójkątów tworzą ciąg (a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, … ).Ciąg obwodów trójkątów równobocznych ma postać (3a1, 3a2, 3a3, … , 3an, … ). Wybierzmy

dowolny wyraz ciągu 3an oraz wyraz po nim następujący 3an + 1. Zauważmy, że różnica pomiędzy

tymi wyrazami jest równa 3an + 1 − 3an = 3(an + 1 − an) = 3r, czyli jest liczbą stałą. Oznacza to, że ci-

ąg obwodów jest arytmetyczny i jego różnica jest równa 3r.

Ciąg pól trójkątów równobocznych ma postać (a12√3

4 ,(a1 + r)

2√3

4 ,(a1 + 2r)

2√3

4 , … ).Przypuśćmy, że jest to ciąg arytmetyczny. Wtedy dla trzech pierwszych wyrazów zachodzi twier-

dzenie o zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli

2 ∙(a1 + r)

2√3

4 =a1

2√3

4 +(a1 + 2r)

2√3

4

2(a1 + r)2

= a12 + (a1 + 2r)

2

2a12 + 4a1r + 2r2 = 2a1

2 + 4a1r + 4r2

stąd 2r2 = 4r2, co jest spełnione tylko dla r = 0, a to jest sprzeczne z założeniem. Zatem ciąg pól

kolejnych trójkątów równobocznych nie jest arytmetyczny.

Zadanie 4.8.4 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 4 , y = 16

Rozwiązanie

Z własności ciągu arytmetycznego wynika, że 2x =3 + y − 3

2 , czyli x =14y .

Ciąg geometryczny ma postać (64, y,14y). Z własności ciągu geometrycznego wynika, że

Obwód trójkąta jest równy 48 cm, czyli a + a + r + a + 2r = 48 .Po uporządkowaniu otrzyma-

my a + r = 16.Pole trójkąta jest równe 96 cm2, czyli12a(a + r) = 96 . Po uporządkowaniu

a(a + r) = 192. Z wcześniejszych obliczeń wynika, że a + r = 16, zatem po podstawieniu otrzy-

mamy 16a = 192, czyli a = 12.

Z tego wynika, że kolejne boki trójkąta są równe a = 12 i a + r = 16 , czyli r = 4.Przeciwpro-

stokątna jest równa a + 2r = 20.

Taka)

Nieb)

Odpowiedzi

592

y2 = 64 ∙ 14y.

Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe y2 − 16y = 0, którego rozwiązaniem jest

y = 0 lub y = 16 . Rozwiązanie y = 0 odrzucamy, ponieważ żaden wyraz ciągu geometrycznego nie

może być równy 0. Zatem pozostaje y = 16. Z tego wynika, że x =14y = 4.

Zadanie 4.8.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 18 i y = 6 lub x = 12,5 i y = – 5

Zadanie 4.8.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź37, 57, 77, 97


Rozwiązanie

Zadanie 4.8.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź30 °

Zadanie 4.8.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź27 °

S30 = 1665a)

S45 = 2430b)

S11 = 616c)

S18 = 981d)

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 3 tworzą ciąg arytmetyczny, w którym r = 3. Pierwszą z

liczb dwucyfrowych tego ciągu jest a1 = 12, a ostatnią an = 99. Obliczymy liczbę wyrazów w

tym ciągu:

99 = 12 + (n − 1) ∙ 3, czyli n = 30. Obliczamy sumę S30 =12 + 99

2 ∙ 30 = 1665.

a)

Parzyste liczby dwucyfrowe tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 10 i r = 2. Ostatni wy-

raz tego ciągu an = 98. Obliczymy liczbę wyrazów tego ciągu: 98 = 10 + 2(n − 1), stąd otrzy-

mujemy n = 45. Obliczamy sumę S45 =10 + 98

2 ∙ 45 = 2430.

b)

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 8 tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 16 i r = 8.

Ostatni wyraz tego ciągu an = 96. Obliczymy liczbę wyrazów tego ciągu: 96 = 16 + 8(n − 1),skąd otrzymujemy n = 11. Obliczamy sumę S11 =

16 + 962 ∙ 11 = 616.

c)

Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 12 i r = 5. Ostatni wyraz tego ciągu

an = 97. Liczba wyrazów tego ciągu 97 = 12 + 5(n − 1), stąd otrzymujemy n = 18. Obliczamy

sumę S18 =12 + 97

2 ∙ 18 = 981.

d)

Odpowiedzi

593


Zadanie 4.8.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź16 cm i 8 cm

Rozwiązanie

Ponieważ długości boków a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, więc mamy b =a + c

2 . Pole prostokąta

jest równe P = (a + c) ∙ b = 128. Podstawiając a + c = 2b, otrzymujemy równanie z jedną niewiado-

mą b.

2b ∙ b = 128, skąd b = 8.

Z treści zadania wiemy, że P2 = 3P1, czyli bc = 3ab, stąd c = 3a. Wiemy również, że a + c = 2 ∙ 8 = 16.

Mamy więc 4a = 16, czyli a = 4 i c = 12. Szukane długości boków prostokąta wynoszą 16 cm i 8 cm

.

Zadanie 4.8.12 (Wróć do zadania)Odpowiedźprostokąt i kwadrat mają równe pola

Rozwiązanie

Skoro liczby (x, a, y) tworzą ciąg geometryczny, więc a2 = xy. Zatem pola obu figur są równe.

Zadanie 4.8.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź4, 4, 4

Rozwiązanie

Jeżeli długości krawędzi tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q, to są one równe: a1, a1q, a1q2,

gdzie a1 > 0 oraz q > 0. Objętość tego prostopadłościanu jest równa 64 = a1 ∙ a1q ∙ a1q2 = (a1q)3,

stąd a1q = 4. Mamy więc a1 =4q .

Suma długości krawędzi jest równa 12 = a1 + a1q + a1q2 =4q + 4 + 4q. Otrzymujemy równanie kwa-

dratowe q2 − 2q + 1 = 0, które ma jedno rozwiązanie q = 1, czyli a1 =4q = 4. Wszystkie krawędzie są

więc równej długości 4.


Rozwiązanie

585a)

8n − 17

b)

Zauważmy, że liczba kwadratów, które usuwamy w kolejnych krokach, tworzy ciąg geome-

tryczny. Za pierwszym razem usuwamy jeden kwadrat, czyli a1 = 1, a następnie w każdym

kroku usuwamy 8 razy więcej mniejszych kwadratów, bo wokół większego kwadratu mamy

8 mniejszych kwadratów. Zatem q = 8. Po 4 kroku mamy więc

S4 = a1 ∙ 1 − q4

1 − q = 1 ∙ 1 − 84

1 − 8 = 585 kwadratów.

a)

Odpowiedzi

594


RozwiązanieOznaczmy długości przyprostokątnych i przeciwprostokątnej trójkąta ABC literami, odpowiednio

a, b i c. Są to liczby dodatnie i największą z nich jest c. Możemy przyjąć, że a ≤ b . Wtedy ciąg aryt-

metyczny (a, b, c) jest rosnący.

Niech r oznacza różnicę tego ciągu. Zatem b = a + r oraz c = a + 2r . Z twierdzenia Pitagorasa otrzy-

mujemy a2 + (a + r)2

= (a + 2r)2, stąd po przekształceniu mamy kolejno

a2 + a2 + 2ar + r2 = a2 + 4ar + 4r2

a2 − 2ar − 3r2 = 0.

Potraktujmy to równanie jak równanie kwadratowe z niewiadomą a. Wtedy wyróżnik tego rów-

nania jest równy ∆ = (−2r)2

− 4 ∙ 1 ∙ (−3r2) = 16r2 > 0, więc równanie ma dwa rozwiązania

a =2r − 4r

2 = − r lub a =2r + 4r

2 = 3r.

Pierwsze z rozwiązań nie spełnia warunków zadania, gdyż a > 0, zaś – r < 0. Zatem a = 3r.

Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu długości przyprostokątnych, czyli 24 =12a(a + r).

Stąd i z otrzymanej wcześniej równości a = 3r mamy

24 =12 ∙ 3r(3r + r)

24 =12 ∙ 3r ∙ 4r

4 = r2.

Stąd r = 2, gdyż r > 0. Zatem a = 3r = 3 ∙ 2 = 6, b = a + r = 6 + 2 = 8 oraz c = b + r = 8 + 2 = 10. Ob-

wód trójkąta ABC jest zatem równy a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24.

Liczba usuniętych kwadratów po n krokach jest sumą n pierwszych wyrazów ciągu geome-

trycznego o a1 = 1 oraz q = 8, czyli Sn = a1 ∙ 1 − qn

1 − q =1 − 8n

1 − 8 =8n − 1

7 .

b)

Odpowiedzi

595

Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Funkcjawykładnicza i jej własności.Przekształcanie wykresu funkcjiwykładniczejFunkcja wykładnicza. Logarytmy / Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu

funkcji wykładniczej / Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcenia wykresu funkcji

wykładniczej. Zadania


( − 2, 9)


f(x) = (13 )

x


f(x) = (13 )

−x


?14 , 2?


f(x) = 3−x


a = √33


y = (23 )

x + 3


g(x) = (2√2)x

Odpowiedzi

596



(0, − 2)


(0,8)a)

(0,9)b)

Odpowiedzi

597

(0, − 2)c)

f(0) = (12 )

0 − 3= 8, czyli punktem przecięcia wykresu z osią Oy jest punkt (0,8). Wykres funkcji

f(x) = (12 )

x − 3powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji g(x) = (1

2 )xo 3 wzdłuż osi Ox.

a)

f(0) = 30 + 2 = 9, czyli wykres ten przecina oś Oy w punkcie (0, 9). Przesuwając wykres funk-

cji g(x) = 3x o −2 wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji f(x) = 3x + 2.

b)

Wykres funkcji g(x) = 4x przesuwamy o −3 wzdłuż osi Oy i otrzymujemy wykres funkcji

f(x) = 4x − 3. Punkt przecięcia tego wykresu z osią Oy przesunie się więc o 3 w dół z punktu

(0,1) do punktu (0, − 2).

c)

Odpowiedzi

598


Wykres funkcji f(x) = − 3x jest obrazem wykresu funkcji g(x) = 3x w symetrii osiowej wzglę-

dem osi Ox.

a)

Przekształcamy wykres funkcji g(x) = (23 )

xw symetrii osiowej względem osi Ox i otrzymujemy

wykres funkcji h(x) = − (23 )

x, który następnie przesuwamy o 1 wzdłuż osi Oy. W ten sposób

otrzymujemy wykres funkcji f(x) = − (23 )

x+ 1.

b)

Odpowiedzi

599


Wzór funkcji f przekształcamy do postaci f(x) =2x

8 =2x

23 = 2x − 3. Rysujemy wykres funkcji

g(x) = 2x i przesuwamy go o 3 wzdłuż osi Ox. Otrzymujemy wykres funkcji f.

a)

Przekształcamy wzór funkcji f i otrzymujemy f(x) = 3x + 3x + 3x = 3 ? 3x = 3x + 1. Rysujemy wy-

kres funkcji g(x) = 3x, a potem przesuwamy go o −1 wzdłuż osi Ox. Otrzymujemy wykres

funkcji f.

b)

Odpowiedzi

600


f(x) = 5x, rosnąca

Rozwiązanie

Ponieważ na wykresie funkcji f leży punkt A = (−3,1

125 ), więc dla argumentu x = − 3 funkcja przyj-

muje wartość f(−3) =1

125 . Otrzymujemy więc równanie1

125 = a−3, które jest równoważne równa-

niu 5−3 = a−3. Stąd a = 5, więc wzór funkcji f ma postać f(x) = 5x. Jest to funkcja rosnąca.

Zadanie 5.1.21 (Wróć do zadania)OdpowiedźTak

Rozwiązanie

Na wykresie funkcji f leży punkt A = ( − 2,9). Zatem 9 = a−2. Równanie to jest równoważne równa-

niu (13 )

−2= a−2. Stąd a =

13 . Rozważaną funkcją jest więc f(x) = (1

3 )x. Żeby sprawdzić, czy punkt B le-

ży na wykresie funkcji f, badamy, czy dla argumentu x =12 funkcja przyjmuje wartość √3

3 . Mamy

f(12 ) = (1

3 )12 =

1

√3 = √33 , a zatem punkt B również leży na wykresie funkcji f.


f(x) = (13 )

x

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu zaznaczonego na wykresie: ( − 1,3). Prawdziwa jest

zatem równość 3 = a−1, którą możemy zapisać w postaci (13 )

−1= a−1. Zatem a =

13 , więc f(x) = (1

3 )x.

f(x) = 2x + 4 + 2x + 6 − 48 ? 2x = 2x ? 24 + 2x ? 26 − 48 ? 2x = 16 ? 2x + 64 ? 2x − 48 ? 2x = 32 ? 2x = 25 ? 2x = 2x + 5

. Rysujemy wykres funkcji g(x) = 2x i przesuwamy go o −5 wzdłuż osi Ox. Otrzymujemy wy-

kres funkcji f.

c)

Odpowiedzi

601


Rozwiązanie

Zadanie 5.1.24 (Wróć do zadania)Odpowiedźa − 4, b − 3, c − 1, d − 6, e − 5, f − 2


najmniejsza to18 , największa 2

(7, + ∞)a)

(0, + ∞)b)

(−∞, − 3)c)

(13 , + ∞)d)


x+ 7 powstaje po przesunięciu wykresu funkcji g(x) = (1

7 )x

o 7 wzdłuż

osi Oy. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest zbiór (0, + ∞), więc zbiorem wartości funk-

cji f jest zbiór (7, + ∞).

a)

Wykres funkcji f(x) = (√3)−x

jest symetryczny do wykresu funkcji g(x) = (√3)x

względem osi Oy,

zatem funkcja f ma taki sam zbiór wartości jak funkcja g, a więc przedział (0, + ∞).

b)

Zauważmy, że aby narysować wykres funkcji f(x) = − (1,5)x

− 3, możemy najpierw narysować

wykres funkcji g(x) = (1,5)x, której zbiorem wartości jest przedział (0, + ∞). Teraz rysujemy

wykres symetryczny do wykresu funkcji g względem osi Ox. W ten sposób otrzymujemy wy-

kres funkcji h(x) = − (1,5)x, której zbiorem wartości jest przedział (−∞, 0). Teraz wystarczy

przesunąć wykres funkcji h o −3 wzdłuż osi Oy, żeby otrzymać wykres funkcji f. Zatem zbio-

rem wartości funkcji f jest przedział (−∞, 3).

c)

Najpierw przekształcamy wzór funkcji

f(x) = (13 )

x? √27

81 +13 = (1

3 )x

?3

32

34 +13 = (1

3 )x

? 3−

52 +

13 = (1

3 )x

? (13 )

52 +

13 = (1

3 )x +

52 +

13 . Wynika stąd,

że wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g(x) = (13 )

xo − 5

2 wzdłuż osi Ox.

Następnie otrzymany wykres funkcji h(x) = (13 )

x +52 przesuwamy o

13 wzdłuż osi Oy. W ten

sposób otrzymujemy wykres funkcji f. Funkcje g i h mają ten sam zbiór wartości (0, + ∞).

Zbiorem wartości funkcji f jest więc przedział (13 , + ∞).

d)

Odpowiedzi

602

Rozwiązanie

Funkcja f(x) = (14 )

xjest malejąca, zatem w przedziale ?− 1

2 ,32? najmniejszą wartość przyjmuje dla

największego argumentu, czyli dla x =32 , a największą dla najmniejszego, czyli dla x = − 1

2 . Mamy

więc wartość najmniejszą f(32 ) = (1

4 )32 = ((1

4 )12)

3

= (12 )

3=

18 oraz wartość największą

f(− 12 ) = (1

4 )−

12 = 4

12 = 2.

Zadanie 5.1.26 (Wróć do zadania)OdpowiedźWykres funkcji g

Rozwiązanie

Wykresy funkcji f, g, h przecinają oś Oy odpowiednio w punktach F = (0, √2 − 1), G = (0, − 32 )

, H = (0, 1 + √6). Odległości tych punktów od punktu O = (0,0) są równe odpowiednio

| OF | = √2 − 1 ≈ 1,4142, | OG | =32 = 1,5 , | OH | = 1 + √6 ≈ 3,4495. Zatem najdalej od

punktu O leży punkt H przecięcia wykresu funkcji h z osią Oy.


Rozwiązanie

Obliczamyf(x + 2)f(x − 2)

=(23 )

x + 2

(23 )

x − 2 = (23 )

x + 2 − (x − 2)= (2

3 )4

=1681 .


(0,9)10

< (0,9)3π

< (0,9)π

< (0,9)3

Rozwiązanie

Funkcja f(x) = (0,9)x

jest malejąca, ponieważ a = 0,9 ? (0, 1). Ustawiamy w kolejności malejącej wy-

kładniki potęg, a więc argumenty funkcji f: 10 > 3π > π > 3. Zatem wartości funkcji dla tych argu-

mentów będą w porządku przeciwnym, czyli (0,9)10

< (0,9)3π

< (0,9)π

< (0,9)3.


RozwiązaniePonieważ funkcja f jest różnowartościowa, więc taki argument będzie tylko jeden. Szukamy ta-

kiego argumentu x, dla którego f(x) =19 , czyli (√3)

x=

19 . Równanie to jest równoważne równaniu

(√3)x

= (√3)−4

. Stąd x = − 4.

Odpowiedzi

603


(−∞, 0)RozwiązanieNarysujmy wykresy obu funkcji.

Zauważmy, że funkcja f jest rosnąca, a funkcja g jest malejąca. Wykresy obu tych funkcji przecinają

oś Oy w tym samym punkcie (0,1). Wynika stąd, że dla każdego argumentu x < 0 wartość funkcji f

jest mniejsza od wartości funkcji g. Dla żadnego nieujemnego argumentu już tak nie jest.

Odpowiedzi

604

Funkcja wykładnicza. Logarytmy /Definicja logarytmu. Własności logarytmuZadanie 5.2.1 (Wróć do zadania)Odpowiedźb > c

a = b + c


Suma liczb log39 i log319 jest równa 0.

Liczby log21

16 i log12

16 są równe.

Liczba log1 000 000 jest 3 razy większa od liczby log100.


log2(3x − 1)

log12

(x + 2)


f(x) = 7 dla x = log57

Zadanie 5.2.5 (Wróć do zadania)Odpowiedźlog20,125

9log32

Zadanie 5.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = log412



2t = 6


Odpowiedzi

605

Zadanie 5.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźx < 3

Zadanie 5.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźc




Rozwiązanie


RozwiązanieKorzystamy z definicji logarytmu.


2a)

3b)

0c)

1d)

log636 = log662 = 2a)

log7343 = log773 = 3b)

log121 = log12120 = 0c)

log2727 = log27271 = 1d)

x = log25a)

x = log310b)

x = log72c)

x = log99d)

5a)

11b)

4c)

Odpowiedzi

606

RozwiązanieKorzystamy z definicji logarytmu.


Rozwiązanie


Rozwiązanie


7d)

– 1a)

– 3b)

– 5c)

– 7d)

log80,125 = log818 = log88−1 = − 1a)

log41

64 = log41

43 = log44−3 = − 3b)

log31

243 = log31

35 = log33−5 = − 5c)

log21

128 = log21

27 = log22−7 = − 7d)

– 1a)

– 2b)

10c)

– 1d)

Ponieważ (15 )

−1= 51 = 5, więc log1

5

5 = log15

(15 )

−1= − 1.

a)

Ponieważ (19 )

−2= 92 = 81, więc log1

9

81 = log19

(19 )

−2= − 2.

b)

Ponieważ (12 )

10=

11024 , więc log1

2

11024 = log1

2(1

2 )10

= 10.c)

Ponieważ (32 )

−1=

23 , więc log3

2

23 = log3

2(3

2 )−1

= − 1.d)

1a)

143b)

Odpowiedzi

607

Rozwiązanie


Rozwiązanie


Rozwiązanie


log4256 − log1000 = log444 − log103 = 4 − 3 = 1

a)

17log171

17 − 32log21

32 = 17log171

171 − 32log21

25 = 17log1717−1 − 32log22−5 = 17 ? (−1) − 32 ? (−5) = 143b)

64a)

121b)

9log38 = (32)log38

= (3log38)2

= 82 = 64a)

100log11 = (102)log 11

= (10log11)2

= 112 = 121b)

x < 134

a)

x > − 3b)

x ? (−∞, − 2) ? (2, + ∞)c)

x ? (0, 1) ? (1, 2).d)

Wyrażenie log(7 − 4x) jest określone tylko dla tych x, które spełniają warunek 7 − 4x > 0,

stąd x <74 = 1

34 .

a)

Wyrażenie log21

x + 3 jest określone tylko dla tych x, które spełniają warunek1

x + 3 > 0, stąd

x + 3 > 0, czyli x > − 3.

b)

Wyrażenie log3(x2 − 4) jest określone tylko dla tych x, które spełniają warunek x2 − 4 > 0.

Rozwiązujemy tę nierówność i otrzymujemy, że podane wyrażenie jest określone dla

x ? (−∞, − 2) ? (2, + ∞).

c)

Wyrażenie logx(2 − x) jest określone tylko dla tych x, które spełniają jednocześnie trzy wa-

runki: 2 − x > 0, x > 0 i x ≠ 1. Wobec tego x ? (0, 1) ? (1, 2).d)

Odpowiedzi

608

Rozwiązanie

Wyrażenie logxx − 310 jest określone tylko dla tych x, które spełniają jednocześnie trzy warunki:

x − 310 > 0, x > 0 i x ≠ 1, czyli dla x > 3. Załóżmy, że istnieje x > 3, dla którego logx

x − 310 = − 1. Wówczas

z definicji logarytmu otrzymujemy, że x jest rozwiązaniem równaniax − 310 = x−1, stąd

x − 310 =

1x ,

x(x − 3) = 10, a więc x2 − 3x − 10 = 0. Rozwiązaniami tego równania kwadratowego są liczby x = 5

oraz x = − 2. Tylko dla pierwszej z nich wyrażenie logxx − 310 jest określone, zatem logx

x − 310 = − 1

wtedy i tylko wtedy, gdy x = 5.


log164 = log161612 =

12 oraz log255 = log2525

12, zatem 5log164 + 7log255 =

52 +

72 = 6


41 + log25 = 41 ? 4log25 = 4 ? (22)log25

= 4 ? 22 ? log25 = 4 ? (2log25)2

= 4 ? 52 = 4 ? 25 = 100


Ponieważ log5√5 = log5512 =

12 , log6

3√6 = log6613 =

13 oraz log7

4√7 = log7714 =

14 , więc

log5√5 + log63√6 + log7

4√7 =12 +

13 +

14 =

6 + 4 + 312 =

1312 = 1

112 .


Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy a = 34, b = 54, c = 74. Zatem

√abc = √34 ? 54 ? 74 = √(3 ? 5 ? 7)4

= 1052 = 11 025. Koniec dowodu.


Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 2a = 3 oraz 4b = 9. Stąd (22)b

= 32, czyli (2b)2

= 32.

Liczba 2b jest dodatnia, zatem 2b = 3. Oznacza to, że liczba a i liczba b to rozwiązania równania

2x = 3. Ponieważ funkcja wykładnicza f określona wzorem f(x) = 2x osiąga wartość 3 tylko dla jed-

nego argumentu, więc a = b. To kończy dowód.


Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 5a = 7, 10b = 7 oraz 10c = 5. Stąd

10c ? a = (10c)a

= 5a = 7. Oznacza to, że liczba c ? a i liczba b to rozwiązania równania 10x = 7. Po-

nieważ funkcja wykładnicza f określona wzorem f(x) = 10x osiąga wartość 7 tylko dla jednego ar-

gumentu, więc c ? a = b. W ten sposób dowód został zakończony.

Odpowiedzi

609


Załóżmy, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite p i q, dla których log35 =pq . Wtedy 3

pq = 5, czyli

3p = 5q. Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest liczbą podzielną przez 3 (jako

iloczyn p trójek), a prawa przez 3 się nie dzieli, gdyż jest iloczynem q piątek.

Odpowiedzi

610

Funkcja wykładnicza. Logarytmy /Działania na logarytmach / ZadaniaZadanie 5.3.2.6 (Wróć do zadania)Odpowiedźa + b = 2

a + c = 1

b − c = 1

Zadanie 5.3.2.7 (Wróć do zadania)OdpowiedźA = log93 − log9243

B = log122 + log123 + log1224

C = log(0,25) + log(0,008) + log(0,5)

D = log16

4 − (log16

5 − log16

45)Zadanie 5.3.2.8 (Wróć do zadania)Odpowiedź

f(x) = 6 dla x = 1 + log32

f(x) = 625 dla x = 4log35

f(x) =109 dla x = log310 − 2

f(x) =2732 dla x = 3 − 5log32

Zadanie 5.3.2.9 (Wróć do zadania)OdpowiedźSuma log213 + log217 jest równa 1.

Różnica log520 − log5100 jest równa – 1.

Liczba log220 jest o 2 większa od liczby log25.

Zadanie 5.3.2.10 (Wróć do zadania)Odpowiedźlog215 = a + b

log2675 = 3a + 2b

log2(16,2) = 4a − b

Zadanie 5.3.2.11 (Wróć do zadania)Odpowiedźx = 3log52

Odpowiedzi

611

Zadanie 5.3.2.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź3



Zadanie 5.3.2.15 (Wróć do zadania)Odpowiedź5log42 + 9log255

Zadanie 5.3.2.16 (Wróć do zadania)Odpowiedźlog7 + log3

Zadanie 5.3.2.17 (Wróć do zadania)Odpowiedź2log5



Rozwiązanie


1a)

2b)

3c)

3d)

log2 + log5 = log(2 ? 5) = log10 = 1a)

log219 + log2149 = log21(9 ? 49) = log21441 = 2b)

log1545 + log1575 = log15(45 ? 75) = log153375 = 3c)

log63 + log64 + log618 = log6(3 ? 4) + log618 = log6(3 ? 4 ? 18) = log6216 = 3d)

3a)

2b)

1c)

1d)

Odpowiedzi

612

Rozwiązanie


Rozwiązanie



log240 − log25 = log2405 = log28 = 3a)

log390 − log310 = log39010 = log39 = 2b)

log560 − log512 = log56012 = log55 = 1c)

log721 − (log724 − log78) = log721 − log7248 = log721 − log73 = log7

213 = log77 = 1d)

5a)

3b)

3c)

4d)

10log42 = log4210 = log445 = 5a)

9log273 = log2739 = log27273 = 3b)

12log25√5 = log25(√5)12

= log2556 = log25253 = 3c)

8log12(2√3) = log12(2√3)8

= log12(√12)8

= log12124 = 4d)

g(log32 + log35) = g(log3(2 ? 5)) = g(log310) = 3log310 = 10a)

h(log455 − log45) = h(log4555 ) = h(log411) = 4log411 = 11

b)

f(6log72) = f(log726) = f(log764) = 7log764 = 64c)

log56 − log530 = log56

30 = log515 = − 1a)


56 = log218 = − 3b)


63 = log319 = − 2c)

log143 − (log26 + log55) = log143 − log(26 ? 55) = log143 − log1430 = log143

1430 = log1

10 = − 1d)

Odpowiedzi

613


log15 + log1250 − log3

16 = log(15 ? 1250) − log3

16 = log18750

316

= log18750 ? 16

3 = log100 000 = 5


3log54 + 2log57 = log543 + log572 = log5(43 ? 72) = log5(64 ? 49) = log53136


log2405 − 4log23 = log2405 − log234 = log2405 − log281 = log240581 = log25


Ponieważlog9 + log49

2 =log(9 ? 49)

2 =log441

2 =log212

2 =2 ? log21

2 = log21, więc ciąg (log9, log21, log49)jest arytmetyczny.


log5(27√5) = log527 + log5√5 = log533 + log5512 = 3log53 +

12 = 3a +

12 =

6a + 12


2a + 3b = 2log125 + 3log4 = 2log53 + 3log22 = 3 ? 2log5 + 2 ? 3log2 = 6(log2 + log5) = 6log(2 ? 5) = 6log10 = 6


(log62)2

+ log63 ? log612 = (log62)2

+ log63 ? log6(3 ? 4) = (log62)2

+ log63 ? (log63 + log64) =

= (log62)2

+ (log63)2

+ log64 ? log63 = (log62)2

+ (log63)2

+ log622 ? log63 =

= (log62)2

+ (log63)2

+ 2log62 ? log63 = (log62 + log63)2

= (log6(2 ? 3))2

= (log66)2

= 12 = 1


Z treści zadania wynika, że funkcja f jest określona wzorem f(x) = log2x. Wówczas

2f(5) + f(0,1) + 1 = 2log25 + log21

10 + log22 = log252 + log2( 110 ? 2) = log225 + log2

15 = log2(25 ?

15 ) = log25

oraz

f(40) + f(18 ) = log240 + log2

18 = log2(40 ?

18 ) = log25.

Zatem 2 ? f(5) + f(0,1) + 1 = f(40) + f(18 ).

Odpowiedzi

614


Oznaczmy:a = log2x

b = log3y Wtedy

{ a + 2b = 1,5

4a + 3b = 3,5, stąd a = 0,5 i b = 0,5.

Wynika stąd, że x = √2, y = √3.

2log6(xy) = log6(√2 ∙ √3)2

= log66 = 1

Odpowiedzi

615

Funkcja wykładnicza. Logarytmy /Zastosowanie funkcji wykładniczejZadanie 5.4.1 (Wróć do zadania)Odpowiedź864

RozwiązaniePo każdej godzinie liczba bakterii rośnie 1,2 raza, zatem

L(3) = 500 ? (1,2)3

= 864

Zadanie 5.4.2 (Wróć do zadania)Odpowiedźo 30%

Rozwiązanie

Liczbę bakterii po upływie 2 godzin policzymy za pomocą wzoru L(2) = L(0) ? a2, stąd po podsta-

wieniu danych otrzymujemy

845 = 500 ? a2

Zatem a2 = 1,69, stąd a = 1,3 lub a = − 1,3. Interesuje nas wartość dodatnia. Zatem w każdej go-

dzinie liczba bakterii w tej kolonii zwiększa się o 30%.


Rozwiązanie

Mamy L(5) = L(0) ? a5, czyli 1800 = 1000 ? a5, stąd a5 =18001000 = 1,8. Otrzymaliśmy wartość stałej

a =5√1,8 = 1,12.

Zatem L(20) = 1000 ? 1,1220 ≈ 1000 ? 9,65 = 9650.


Rozwiązanie

Mamy L(t) = L0 ? (1,25)t. Liczba bakterii ma się podwoić, czyli L0 ? (1,25)

t≥ 2L0. Stąd (1,25)

t≥ 2. Zba-

dajmy ciąg kolejnych potęg całkowitych dodatnich liczby 1,25 =54 . Ciąg ten jest ciągiem geome-

trycznym54 ,

2516 ,

12564 ,

625256 , … . Ciąg jest rosnący, jeżeli więc znajdziemy liczbę, dla której wyraz ciągu

będzie większy od 2, to wszystkie następne też będą większe od 2. Zauważmy, że czwarty wyraz

tego ciągu625256 jest już większy od 2, czyli po czwartej godzinie liczba bakterii podwoi się.


Odpowiedzi

616

Rozwiązanie

Mamy L(t) = 1400 ? (1,1)t

> 2000, stąd (1,1)t

>107 ≈ 1,43. Ciąg kolejnych naturalnych potęg liczby

1,1 jest ciągiem rosnącym, czyli szukamy tej liczby, dla której wyraz ciągu będzie większy od 1,43.

Rozważany ciąg wygląda następująco: 1,1; 1,21; 1,331; 1,4641 itd. Po czterech latach liczba lud-

ności w tej miejscowości przekroczy 2000.

Zadanie 5.4.6 (Wróć do zadania)Odpowiedź300, 4 687 500

RozwiązanieLiczbę bakterii po 4 godzinach od rozpoczęcia doświadczenia obliczymy ze wzoru

L(4) = L(0) ? a4 = 7500, a liczbę bakterii po 6 godzinach ze wzoru

L(6) = L(0) ? a6 = 37 500

Zauważmy, że iloraz

L(6)L(4)

= a2 =37 5007500 = 5

Stąd a = √5, gdyż a jest liczbą stałą większą od zera.

Mamy więc L(4) = L(0) ? (√5)4

= 7500, stąd

L(0) =7500

(√5)4 =

750025 = 300

Liczba bakterii po 12 godzinach jest równa

L(12) = 300 ? (√5)12

= 300 ? 56 = 4 687 500

Zadanie 5.4.7 (Wróć do zadania)Odpowiedź2139 milionów lat

Rozwiązanie

• sposób I

Uzupełniamy tabelę.

Okres (w milionach lat) 713 1426 2139

Ilość uranu (w gramach) 0,5 0,25 0,125

Po 2139 milionach lat pozostanie nie więcej niż 0,125 g uranu w tej próbce.

• sposób II

Rozwiązujemy nierówność m(t) = m(0) ? (12 )

tT = 1 ? (1

2 )t

713 ≤ 0,125, stąd (12 )

t713 ≤ (1

2 )3. Ponieważ

funkcja y = (12 )

xjest funkcją malejącą, to

t713 ≥ 3, stąd t ≥ 2139.

Odpowiedzi

617

Zadanie 5.4.8 (Wróć do zadania)OdpowiedźT = 5

RozwiązanieKorzystając ze wzoru na masę pierwiastka promieniotwórczego, jaki pozostał w próbce po czasie

t, mamy

m(15) = 2 ? (12 )

15T = 0,25

0,25 = 1 ? (12 )

15T , stąd otrzymujemy (1

2 )2

= 2 ? (12 )

15T . Po podzieleniu przez 2 mamy (1

2 )3

= (12 )

15T , a po-

nieważ podstawy są takie same, a funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc 3 =15T . Stąd

odczytujemy, że okres połowicznego rozpadu bizmutu 210 wynosi T = 5.

Zadanie 5.4.9 (Wróć do zadania)Odpowiedź3,2 g

RozwiązaniePonieważ okres połowicznego rozpadu podany jest w miesiącach, więc trzy lata zamieniamy

na miesiące i otrzymujemy T = 3 ? 12 = 36. Po tym okresie masa próbki jest równa

m(36) = m(0) ? (12 )

366 = 0,05. Stąd obliczamy, że początkowa masa próbki była równa

m(0) = 0,05 ? 26 =1

20 ? 64 = 3,2.

Zadanie 5.4.10 (Wróć do zadania)Odpowiedź5 lat

Rozwiązanie

Po 20 latach otrzymujemy masę równą m(20) = 40 ? (12 )

20T = 2,5 =

52 , stąd (1

2 )20T =

580 =

116 = (1

2 )4.

Funkcja wykładnicza dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości, zatem równanie to jest

równoważne równaniu20T = 4, stąd T = 5.

Zadanie 5.4.11 (Wróć do zadania)Odpowiedź11 460 lat

RozwiązanieJeżeli zawartość węgla C − 14 zmniejszyła się o 75%, to mamy 25% początkowej ilości węgla C − 14.

Po pierwszych 5730 latach pozostanie 50%, po następnych 5730 latach znów połowa ulegnie roz-

padowi, czyli zostanie 25% początkowej ilości. Minie więc więcej niż 11 460 lat.

Zadanie 5.4.12 (Wróć do zadania)Odpowiedź22 920 lat

Odpowiedzi

618

RozwiązanieZawartość węgla C − 14 jest szesnastokrotnie mniejsza niż w organizmach żywych. Ponieważ

116 = (1

2 )4, zatem nastąpiły 4 okresy połowicznego rozpadu izotopu węgla, co odpowiada 22 920 la-

tom.

Zadanie 5.4.13 (Wróć do zadania)Odpowiedź16%

RozwiązanieKorzystamy ze wzoru na ilość atomów węgla C − 14, która pozostanie po t latach

N(15000) = N(0) ? (12 )

150005730

Stąd stosunek ilości atomów dziś i 15 000 lat temu jest równy

N(15000)N(0)

≈ (12 )

2,62≈ 0,16

Zatem pozostanie około 16% pierwotnej ilości węgla C − 14.

Zadanie 5.4.14 (Wróć do zadania)Odpowiedźokoło 34 ° C

RozwiązanieTemperaturę płynu po 15 minutach opisuje wzór

T(15) = 25 ° C + (80 ° C − 25 ° C) ? a−15 = 60 ° C

Wynika z niego, że 55 ° C ? a−15 = 35 ° C, stąd a−15 =3555 =

711 . Mamy więc a15 =

117 ≈ 1,57, stąd

a ≈ 15√1,57 ≈ 1,03

Po godzinie od podgrzania płyn miał temperaturę

T(60) = 25 ° C + (80 ° C − 25 ° C) ? (1,03)−60

= 25 ° C + 55 ° C ? 0,1697 ≈ 25 ° + 9,33 ° C = 34,33 ° C

Odpowiedzi

619

Rozdział 8. O e-podręczniku

Cele kształcenia - wymagania ogólne:

Moduł: Geometria analityczna / Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych

Autor: Politechnika Łódzka

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iSebwrX2DD/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iSebwrX2DD

Hasła podstawy programowej:

E2-PODST-MAT-1.0-2.1: dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach,

takich jak np. 230 + 80 lub 4600 - 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od

dowolnej liczby naturalnej;

Informacje o licencjach osadzonych obiektów (w kolejności występowania w treści modułu):

Ilya Andreev: Okładka [Licencja: shutterstock]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_atrapa_animacji_2000 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Określanie położenia punktów na płaszczyźnie, wskazywanie punktu o danych

współrzędnych na płaszczyźnie [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Określanie położenia punktów na płaszczyźnie, odczytywanie współrzędnych

punktu na płaszczyźnie [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie rownolegloboku [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie wys trojkata [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie srodkowych [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie bokow srodki [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_trojkat o podanym polu [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wprowadzenie do geometrii_ustawianie ortocentrum [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

620

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/legalcode

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iSebwrX2DD/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iSebwrX2DD

Moduł: Geometria analityczna / Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej

Autor: Jacek Stańdo

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/im3YqbtoOZ/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/im3YqbtoOZ


E4-SRE-MAT-1.0-I-3: Równania i nierówności. Uczeń:


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_ggb_cw1 [Licencja: CC BY NC

3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_L2_atrapa_rys_04 [Licencja:

CC BY 3.0]


CC BY 3.0]


CC BY 3.0]


CC BY 3.0]


CC BY 3.0]


CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_przyklad1 [Licencja: CC BY

3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: atrapa:opis animacji [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_atrapa_animacji_6101

[Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_przyklad3ab [Licencja: CC BY

3.0]


CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Rownanie prostej. Proste rownolegle, proste prostop_przyklad4 [Licencja: CC BY

3.0]

O e-podręczniku

621


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/im3YqbtoOZ/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/im3YqbtoOZ

Moduł: Geometria analityczna / Proste równoległe, proste prostopadłe


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDvVAVc0GR/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDvVAVc0GR




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle_ustawianie prostej Geometria

analityczna [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_ustawianie

wspolczynnika [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_przyklad2




CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_proste

prostopadle [Licencja: CC BY NC 3.0]







O e-podręczniku

622


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDvVAVc0GR/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDvVAVc0GR

Moduł: Geometria analityczna / Długość odcinka. Środek odcinka


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_L2_rys_atrapa_40 [Licencja: CC BY 3.0]






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_ustawianie srodka [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_rys_przyklad5 [Licencja: CC BY 3.0]






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_cwiczenie1 [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

623


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQa4B0s9mq

Moduł: Geometria analityczna / Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDpzUxWz9D/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDpzUxWz9D






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w

trojkacie_przyklad1_s1 [Licencja: CC BY 3.0]


trojkacie_przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]


trojkacie_przyklad3s1 [Licencja: CC BY 3.0]


trojkacie_przyklad3s2 [Licencja: CC BY 3.0]





Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania rownania prostej, wysokości, srodkowe, symetralne w trojkacie_rys6



trojkacie_przyklad6rys3 [Licencja: CC BY 3.0]


trojkacie_przyklad6_rys4 [Licencja: CC BY 3.0]


trojkacie_przyklad6s2 [Licencja: CC BY NC 3.0]


trojkacie_cwiczenie1 [Licencja: CC BY 3.0]



O e-podręczniku

624


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDpzUxWz9D/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iDpzUxWz9D

Moduł: Funkcja kwadratowa / Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu

kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ik1JIubkZ2/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ik1JIubkZ2






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_ggb_parabola_1 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01 Przykład 7 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_4010 [Licencja: CC BY 3.0]



Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad9_1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad9_2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad10a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad10b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad10c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad10d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad11a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad11b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad11c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad11d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_zam6 [Licencja: CC BY 3.0]




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_8a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_8b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_8d [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

625


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ik1JIubkZ2/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ik1JIubkZ2

Moduł: Funkcja kwadratowa / Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji

kwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad1 [Licencja: CC BY 3.0]




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_APLET5 [Licencja: CC BY NC 3.0]






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad10a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad10b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad10c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_przyklad10d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte7a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte7b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte7c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte7d [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

626


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/inT4yVy8ED

Moduł: Funkcja kwadratowa / Współrzędne wierzchołka paraboli / Zależności między wartościami współczynników

występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i6DI3bt4cP/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i6DI3bt4cP






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postac iloczynowa funkcji_zamiana postaci

ogolnej na kanoniczna [Licencja: CC BY NC 3.0]

Moduł: Funkcja kwadratowa / Współrzędne wierzchołka paraboli / Współrzędne wierzchołka paraboli


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iHN7wgfWsq/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iHN7wgfWsq







Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z7d [Licencja: CC BY 3.0]




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4e [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4f [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

627


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i6DI3bt4cP/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i6DI3bt4cP


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iHN7wgfWsq/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iHN7wgfWsq

Moduł: Funkcja kwadratowa / Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wyznaczanie wzoru funkcji kw na podstawie pewnych inf o tej funkcji lub jej

wykresie_liczba miejsc zer paraboli [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Mnozenie ulamkow zwyklych_delta i miejsca zerowe [Licencja: CC BY 3.0]



Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5d [Licencja: CC BY 3.0]


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_cw5d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_zamkniete2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_zamkniete2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_z4a [Licencja: CC BY 3.0]






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4b [Licencja: CC BY 3.0]


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_o4d [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

628


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/igOAxoUD0e

Moduł: Funkcja kwadratowa / Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji

lub o jej wykresie


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iF2jXRqhtN/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iF2jXRqhtN






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_przyklad 1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_3087 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_kwadratowa symetria miejsc zerowych


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postac iloczynowa funkcji_symetria miejsc

zer [Licencja: CC BY NC 3.0]


wykresie Wyznaczanie wzoru funkcji kw na podstawie pewnych inf o tej funkcji lub jej wykresie_atrapa_rys_72 [Licencja:

CC BY 3.0]


wykresie_atrapa_rys_74 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja kwadratowa / Równanie kwadratowe


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/isA2lPIdwn/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/isA2lPIdwn





O e-podręczniku

629


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iF2jXRqhtN/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iF2jXRqhtN


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/isA2lPIdwn/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/isA2lPIdwn

Moduł: Funkcja kwadratowa / Nierówność kwadratowa


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iFwzWacLch/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iFwzWacLch






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad1 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_obrazki1_1 [Licencja: CC BY 3.0]



Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad2_os [Licencja: CC BY 3.0]


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad3b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad3b_drugi sposob [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad3c [Licencja: CC BY 3.0]


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad4b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad4c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_przyklad4d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10d [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

630


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iFwzWacLch/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iFwzWacLch

Moduł: Funkcja kwadratowa / Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale

domkniętym


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ipzjMCMVgH/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ipzjMCMVgH






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_przyklad 1


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_wartosc

min_max [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_przyklad 2


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Mnozenie ulamkow zwyklych_przyklad3 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz

dom_wartosci_min_max_dowolnej [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_zadanie

pudelko [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_rys_zad1


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_rys_zad2


Moduł: Funkcja kwadratowa / Zastosowania funkcji kwadratowej / Zadania wstępne


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTtrwRYti3/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTtrwRYti3








O e-podręczniku

631


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ipzjMCMVgH/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ipzjMCMVgH


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTtrwRYti3/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTtrwRYti3

Moduł: Funkcja kwadratowa / Zastosowania funkcji kwadratowej / Zadania tekstowe prowadzące do równań

kwadratowych – prędkość, droga, czas


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iMiy9p13AX/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iMiy9p13AX







Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Pierwiastki równań


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iV1ROpe61v/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iV1ROpe61v




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pierwiastki równań postaci x=a_wielomiany1 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Wykres proporcji prostej. Przesuwanie wykr proporcjonalnosci prostej wzdłuz osi

układu wsp_przyklad 9 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iJ9nWPn9aj/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iJ9nWPn9aj




O e-podręczniku

632


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iMiy9p13AX/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iMiy9p13AX


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iV1ROpe61v/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iV1ROpe61v


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iJ9nWPn9aj/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iJ9nWPn9aj

Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Wyrażenia wymierne. Równania wymierne


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iIEiNx2IIi/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iIEiNx2IIi


E4-SRE-MAT-1.0-I-5: Ciągi. Uczeń:


Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iYcmaHaJ3L/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iYcmaHaJ3L



Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Proporcjonalność odwrotna / Proporcjonalność odwrotna


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iCQnc1UXLj/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iCQnc1UXLj


E2-PODST-MAT-1.0-10.4: rysuje siatki prostopadłościanów.



Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_pole

prostokata [Licencja: CC BY NC 3.0]

O e-podręczniku

633


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iIEiNx2IIi/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iIEiNx2IIi


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iYcmaHaJ3L/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iYcmaHaJ3L


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iCQnc1UXLj/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iCQnc1UXLj

Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Proporcjonalność odwrotna / Wykres funkcji


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/itIav9LEIk/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/itIav9LEIk






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom

Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_rysowanie hiperboli [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_przyklad5



wersja2 [Licencja: CC BY NC 3.0]


wersja2 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_hiperbola

dowolna [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_cwiczenie2


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej w przedz dom_cwiczenie4


O e-podręczniku

634


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/itIav9LEIk/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/itIav9LEIk

Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Proporcjonalność odwrotna / Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu

współrzędnych


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iD72UsX2V7/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iD72UsX2V7






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Najmniejsza_najwieksza wartosc funkcji kwadratowej_przyklad1_przesuniecia

[Licencja: CC BY NC 3.0]


dom_przesuniecia_przyklad2 [Licencja: CC BY NC 3.0]


dom_przesuniecie_cwiczenie [Licencja: CC BY NC 3.0]

Moduł: Wielomiany. Funkcje wymierne / Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iezjqGA4u8/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iezjqGA4u8


E3-GIM-MAT-1.0-1.5: oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i

dziesiętne;

O e-podręczniku

635


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iD72UsX2V7/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iD72UsX2V7


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iezjqGA4u8/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iezjqGA4u8

Moduł: Ciągi / Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iZFjx378LV/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iZFjx378LV





Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_atrapa_animacja_6087


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_rys_451 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_wyrazy ciagu [Licencja: CC BY

NC 3.0]










Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_brakujacy wyraz ciagu


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_srednia arytmetyczna


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_trzeci wyraz ciagu arytm


O e-podręczniku

636


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iZFjx378LV/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iZFjx378LV

Moduł: Ciągi / Ciąg arytmetyczny


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_ciag_arytmetyczny_wzor [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_Brakujacy wyraz ciagu [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_Trzeci wyraz ciagu [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_ciag arytmetyczny_nutki [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_wzor ogolny arytmetyczny


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 02 Cwiczenie 7, 1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 21a_Ciag arytmetyczny_wzor ogolny arytmetyczny [Licencja: CC BY NC 3.0]

Moduł: Ciągi / Ciągi – własności ciągów arytmetycznych


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ikHgzbVvV3/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ikHgzbVvV3




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag arytmetyczny i jego własnosci_3084 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag arytmetyczny i jego własnosci_3085 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Pojęcie ciągu.Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej_srednia arytmetyczna ciag


O e-podręczniku

637


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iaKE2NFytN


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ikHgzbVvV3/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ikHgzbVvV3

Moduł: Ciągi / Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm





Moduł: Ciągi / Ciąg geometryczny


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTDlAqaSFo/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTDlAqaSFo





Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag geometryczny i jego własnosci_ciag_geometryczny2 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag geometryczny i jego własnosci_ciag_geometryczny [Licencja: CC BY NC 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Ciag geometryczny i jego własnosci_ciag geomeryczny [Licencja: CC BY NC 3.0]

Moduł: Ciągi / Suma wyrazów ciągu geometrycznego


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ilt8Dxv1rf/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ilt8Dxv1rf




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Suma wyrazow ciągu geometrycznego. Procent

składany_animacja_dowod_twierdzenia [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

638


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ia7BnhauDm


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTDlAqaSFo/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iTDlAqaSFo


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ilt8Dxv1rf/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ilt8Dxv1rf

Moduł: Ciągi / Procent składany


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ihw165xY1e/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ihw165xY1e



dziesiętne;



Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Powtorzenie i utrwalenie wiadomosci o ciagach_3080 [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Ciągi / Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i80wLmpN3X/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i80wLmpN3X




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Powtorzenie i utrwalenie wiadomosci o ciagach_3086 [Licencja: CC BY 3.0]


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 04 Ćwiczenie 3 [Licencja: CC BY 3.0]


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 06 Zadanie otwarte 8 [Licencja: CC BY 3.0]




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Powtorzenie i utrwalenie wiadomosci o ciagach_funkcja a ciag [Licencja: CC BY NC

3.0]

O e-podręczniku

639


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ihw165xY1e/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/ihw165xY1e


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i80wLmpN3X/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/i80wLmpN3X

Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji

wykładniczej


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM





O e-podręczniku

640


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iy3bhUU7QM


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Funkcja wykladnicza i jej własnsci.Przeksztalcenia wykresu funkcji

wykladniczej_przykład_2 [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_przyklad2 [Licencja: CC BY NC 3.0]




wykladniczej_wykladnicza_przeciwdziedzina [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_wykladnicza_symetria_Oy [Licencja: CC BY 3.0]



wykladniczej_1800 [Licencja: CC BY 3.0]







wykladniczej_przykład_4a [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_przykład_4b [Licencja: CC BY 3.0]




wykladniczej_przykład_4d [Licencja: CC BY 3.0]






wykladniczej_przykład_5c [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_przykład_5d [Licencja: CC BY 3.0]










O e-podręczniku

641


wykladniczej_przykład_7a [Licencja: CC BY 3.0]






wykladniczej_przykład_13c [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie_16 [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie_18a [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie_18b [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie_18c [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie_18d [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie_18e [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie_18f [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_wykres f_wykladniczej [Licencja: CC BY NC 3.0]


wykladniczej_Funkcja wykladnicza4 [Licencja: CC BY NC 3.0]

Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Definicja logarytmu. Własności logarytmu


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iUebUJTEGs/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iUebUJTEGs



dziesiętne;


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_atrapa_animacja_wprowadzenie do logarytmow_1891


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_6055_logarytm_definicja [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

642


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iUebUJTEGs/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iUebUJTEGs

Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Działania na logarytmach / Działania na logarytmach. Przykłady


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/il6ZbItQlA/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/il6ZbItQlA



dziesiętne;


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_atrapa_animacja_1888 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_atrapa_animacja_1889_odejmowanie [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_atrapa_animacja_1890_potegowanie [Licencja: CC BY 3.0]

Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Działania na logarytmach / Zadania


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iY0d2qW92Y/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iY0d2qW92Y



dziesiętne;


Moduł: Funkcja wykładnicza. Logarytmy / Zastosowanie funkcji wykładniczej


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iiQ3iMPWc5/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iiQ3iMPWc5




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania funkcji wykladniczej_zastosowania_funkcji_wyk_1 [Licencja: CC BY

3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Zastosowania funkcji wykladniczej_zastosowania_funkcji_wyk_2 [Licencja: CC BY

3.0]

O e-podręczniku

643


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/il6ZbItQlA/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/il6ZbItQlA


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iY0d2qW92Y/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iY0d2qW92Y


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iiQ3iMPWc5/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iiQ3iMPWc5

Moduł: Wykresy funkcji specjalnych i ich własności


Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQgAw2U76v/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQgAw2U76v






Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_6056_logarytm_przeciwdziedzina [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Definicja logarytmu_6057_logarytm_symOx [Licencja: CC BY 3.0]










Moduł: Słowniczek

Moduł wygenerowany przez platformę

Licencja: CC BY 3.0

Kontakt: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/129738_22_glossary/contact

Wersja WWW: http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/129738_22_glossary

O e-podręczniku

644


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQgAw2U76v/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/iQgAw2U76v


http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/129738_22_glossary/contact

http://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student-canon/m/129738_22_glossary

Informacje o licencjach osadzonych obiektów w odpowiedziach (w kolejności występowania w treści e-podręcznika)

O e-podręczniku

645

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 01b_Proste rownolegle i proste prostopadle Geometria analityczna_cwiczenie3


Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Srodek odcinka. Dlugosc odcinka_rys_rozw_zad4 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o1a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o1b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o1c [Licencja: CC BY 3.0]




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o2d [Licencja: CC BY 3.0]




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o6d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_7a [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_7b [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_7c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Jednomian kwadratowy i jego własnosci_zad_o_7d [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwrte1a [Licencja: CC BY 3.0]




Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac kanoniczna funkcji kwadratowej_zad_otwarte2a [Licencja: CC BY 3.0]








Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10c [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Postac ogolna funkcji kwadratowej_zadanie10c [Licencja: CC BY 3.0]





Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: Procent skladany_atrapa_rys_400 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 02 Ćwiczenie 2, 1 [Licencja: CC BY 3.0]

Zespół autorski Politechniki Łódzkiej: 03 Ćwiczenie 2, 2 [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie11a [Licencja: CC BY 3.0]


wykladniczej_zadanie+11b [Licencja: CC BY 3.0]



O e-podręczniku

646












wykladniczej_zadanie_24 [Licencja: CC BY 3.0]

O e-podręczniku

647

Lista licencji

E-podręczniki 1.0 http://www.epodreczniki.pl/licenses/e-podreczniki/1.0

domena publiczna http://www.epodreczniki.pl/licenses/domena-publiczna/1.0

tylko do użytku edukacyjnego http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego/1.0

tylko do użytku edukacyjnego na epodreczniki.pl http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego-na-

epodreczniki_pl/1.0

tylko do użytku niekomercyjnego http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-niekomercyjnego/1.0

CC 0 1.0 http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode

CC BY 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by/1.0/legalcode

CC BY 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/pl/legalcode

CC BY 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by/2.5/pl/legalcode

CC BY 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/legalcode

CC BY 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode

CC BY SA 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/1.0/legalcode

CC BY SA 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/pl/legalcode



CC BY SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode

CC BY ND 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/1.0/legalcode

CC BY ND 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.0/pl/legalcode



CC BY ND 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/legalcode

CC BY NC 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/1.0/legalcode

CC BY NC 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/pl/legalcode



CC BY NC 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode

CC BY NC ND 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/pl/legalcode



CC BY NC ND 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode

CC BY NC SA 1.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/legalcode

CC BY NC SA 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/pl/legalcode



CC BY NC SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/legalcode

PŁ - Politechnika Łódzka

O e-podręczniku

648

http://www.epodreczniki.pl/licenses/e-podreczniki/1.0

http://www.epodreczniki.pl/licenses/domena-publiczna/1.0

http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego/1.0

http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego-na-epodreczniki_pl/1.0

http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-edukacyjnego-na-epodreczniki_pl/1.0

http://www.epodreczniki.pl/licenses/tylko-do-uzytku-niekomercyjnego/1.0

http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by/1.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/pl/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by/2.5/pl/legalcode


https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/1.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/pl/legalcode



https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-nd/1.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.0/pl/legalcode



https://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-nc/1.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/pl/legalcode



https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/pl/legalcode



https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/legalcode

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/pl/legalcode



https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/legalcode

matematyka 2

Education