DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE

PODRU�NICA MATEMATIQARA VA�EVO

MATEMATIQKI TURNIR

LET�E XKOLE MLADIH MATEMATIQARA

”DIVQIBARE 2017"

VA�EVO, 2017.

O TURNIRU

Matematiqki turnir Let�e xkole je dobrovono takmiqe�e polaznika xko-

le. Cievi uspostava�a ovakvog turnira od Let�e xkole mladih matema-

tiqara”Iva�ica 2016"su popularizacija matematike kroz rexava�e lepih

problema, podstica�e razvoja zdravog takmiqarskog duha i nagra�iva�e us-

pexnih polaznika.

Format turnira

Turnir se organizuje u tri kategorije: 3. i 4. razred, 5. i 6. razred, 7. i 8.

razred. U svakoj kategoriji rexava se po 10 zadataka.

U kategoriji 3. i 4. razred, svi zadaci su sa vixestrukim izborom sa pet

ponu�enih odgovora od kojih je samo jedan taqan. Svaki taqan odgovor u

zadacima 1{5 vredi po 8 poena, a u zadacima 6{10 po 12 poena. Na testu se

mo�e osvojiti najvixe 100 poena. Vreme za izradu zadataka je 60 minuta.

U kategorijama 5. i 6. razred, 7. i 8. razred, zadaci 1{8 su sa vixestrukim

izborom sa po pet ponu�enih odgovora od kojih je samo jedan taqan. Taqan

odgovor u zadacima 1{4 vredi po 6 poena, a u zadacima 5{8 po 9 poena. U

zadacima 9 i 10 nisu ponu�eni odgovori i potrebno ih je detano rexiti.

Rexe�e svakog od ova dva zadataka vredi po 20 poena. Na testu se mo�e

osvojiti najvixe 100 poena. Vreme za izradu zadataka je 90 minuta.

1

ZADACI

Tre�i i qetvrti razred

1. Koju vrednost ima izraz: 11 hiada + 11 stotina + 11 desetki + 11

jedinica?

(A) 11111 (B) 11222 (V) 12220 (G) 12221 (D) 22222 (N) Ne znam

2. Meda ima 10 porodica pqela. Svaka porodica je pokupila 26 kg meda. Odcelokupne koliqine meda Meda je dao na poklon 23 kg, a ostalo quva u

teglama od po 10 kg. Koliko mu je najma�e potrebno tegli?

(A) 23 (B) 24 (V) 25 (G) 29 (D) 30 (N) Ne znam

3. Koliko puta se okrene toqak bicikla na putu o 1200 metara, ako se u jednoj

sekundi okrene pet puta i za 5 sekundi pre�e 50 metara?

(A) 24 (B) 120 (V) 240 (G) 600 (D) 1250 (N) Ne znam

4. U jednoj porodici �ive qetiri brata koji su ro�eni kao qetvroke i tri

sestre koje su ro�ene kao trojke. Ako se zna da su bra�a ro�ena 2 godine

posle sestara, a da je sada zbir godina bra�e jednak zbiru godina sestara,

koliko �e godina imati bra�a za 5 godina?

(A) 8 (B) 9 (V) 11 (G) 15 (D) 18 (N) Ne znam

5. Lopovi su ukrali tricikle i be�e na �ima. Policajci ih jure na bici-

klama. Ako se kotraju na ukupno 10 toqkova, koliko tricikla je ukra-

deno? (Tricikl ima tri toqka.)

(A) 1 (B) 2 (V) 3 (G) 4 (D) Ne mo�e se jednoznaqno odrediti (N) Ne znam

6. Koliko ima kvadarata na slici?

(A) 36 (B) 37 (V) 38 (G) 39 (D) 40 (N) Ne znam

7. Pravougaonik je sa dve du�i podeen na tri kvadrata. Ako je zbir obima

ta tri kvadrata za 60 cm ve� od obima pravougaonika, onda je povrxina

pravougaonika jednaka:

(A) 150 cm2 (B) 300 cm2 (V) 450 cm2 (G) 600 cm2 (D) 750 cm2 (N) Ne znam

2

8. Za koliko �e minuta 12 maca popiti 12 decilitara mleka, ako 4 mace za

5 minuta popiju 4 decilitra mleka?

(A) 5 (B) 12 (V) 15 (G) 20 (D) 25 (N) Ne znam

9. Kvadrat je sa tri prave podeen na najve�i mogu�i broj delova. Koliko

je dobijeno delova?

(A) 3 (B) 4 (V) 6 (G) 7 (D) 8 (N) Ne znam

10. Do pre tri i po sata qasovnik je pokazivao taqno vreme, ali se onda

pokvario i sporije meri vreme, tako da za sat vremena izmeri 4 minuta

ma�e. Ako je sada taqno podne, za koliko minuta �e pokvareni qasivnik

pokazivati 12 sati?

(A) 11 (B) 12 (V) 13 (G) 14 (D) 15 (N) Ne znam

Peti i xesti razred

1. Na slici je prikazan trougao u pravougaoniku. Razlomak koji izra�ava

deo pravougaonika koji zauzima trougao je:

(A)1

7(B)

1

6(V)

1

5(G)

1

4(D)

1

3(N) Ne znam

2. Za tri prosta broja va�i da je zbir dva ma�a jednak tre�em. Koji broj se

pojavuje u svakoj ovakoj trojci brojeva?

(A) 0 (B) 1 (V) 2 (G) 3 (D) 5 (N) Ne znam

3. Koji broj ne mo�e predstavati prosek ocena pismenog zadatka jednog

odee�a ako je pismeni radilo 32 uqenika?

(A) 2,75 (B) 3,25 (V) 3,5 (G) 4,15 (D) 5 (N) Ne znam

4. Koja cifra stoji u decimalnom zapisu broja1

7iza decimalnog zareza na

stotom mestu?

(A) 1 (B) 2 (V) 4 (G) 5 (D) 8 (N) Ne znam

5. U jednom broju je decimalni zarez pomeren za dva mesta ulevo, zatim je

tom broju dodato tri petine poqetnog broja i kao rezultat je dobijen broj

34 989,6. Koji je poqetni broj?

(A) 573,6 (B) 34 989 (V) 57 360 (G) 3 498 900 (D) 4 498 960 (N) Ne znam

3

6. Na takmiqe�u iz matematike uqestvovalo je 100 uqenika jedne xkole, na

takmiqe�u iz fizike 50, a iz informatike 48. Ako je poznato da je broj

uqenika koji su uqestvovali na samo jednom takmiqe�u duplo ve�i od broja

onih koji su uqestvovali na dva takmiqe�a i tri puta ve�i od broja onih

koji su uqestvovali na sva tri takmiqe�a, odrediti koliko uqenika ove

xkole se takmiqilo.

(A) 91 (B) 101 (V) 111 (G) 121 (D) 131 (N) Ne znam

7. Dvocifreni prirodan broj n pri dee�u sa 10 daje ostatak 3, a pri de-

e�u sa 11 daje ostatak 5. Koliki je ostatak pri dee�u broja n sa 12?

(A) 0 (B) 4 (V) 7 (G) 9 (D) 11 (N) Ne znam

8. Petocifren broj abcde je zapisan ciframa 2, 4, 5, 6, 7 (svaka cifra je upo-trebena jednom) tako da je trocifren broj abc deiv sa 12, trocifrenbroj bcd deiv sa 5 i trocifren broj cde deiv sa 3. Koju cifru predstavaslovo a ?

(A) 2 (B) 4 (V) 5 (G) 6 (D) 7 (N) Ne znam

9. Voz ima 5 vagona i u svakom od �ih je bar po jedan putnik. Dva putnika

su”susedi" ako su u istom vagonu ili ako su u susednim vagonima. Svaki

putnik ima ili taqno 5 ili taqno 10 suseda. Koliko ukupno putnika ima

u vozu?

10. Doka�i da je nemogu�e razliqitim slovima dodeliti razliqite cifre,

a istim slovima iste cifre, tako da jednakost AB · CD = EEFF bude

taqna.

Sedmi i osmi razred

1. Koliki je zbir cifara najve�eg trocifrenog broja koji pri dee�u sa 5,

6 i 8 daje ostatak 2?

(A) 16 (B) 17 (V) 19 (G) 20 (D) 27 (N) Ne znam

2. Trocifren broj je kvadrat nekog prirodnog broja i ujedno kub nekog drugog

prirodnog broja. Kolika je apsolutna vrednost razlike �egove prve i

posled�e cifre?

(A) 2 (B) 3 (V) 4 (G) 5 (D) 7 (N) Ne znam

3. Koji je od datih brojeva najma�i?

(A)10 + π

100(B) 0,15 (V)

√0,02 (G)

2

15(D) 0,53 (N) Ne znam

4

4. Koja trojka brojeva od ponu�enih predstava merne brojeve stranica tu-

pouglog trougla?

(A) 8, 6, 10 (B) 7, 11, 20 (V) 15, 15, 20 (G) 12, 5, 13 (D) 7, 12, 15 (N) Ne znam

5. Na koliko naqina se figura na slici mo�e obojiti tako da se tri kruga

oboje crvenom, dva zelenom i jedan plavom bojom? Dva boje�a od kojih se

jedno dobija rotacijom drugog se smatraju istim, kao i dva boje�a koja su

osno simetriqna.

(A) 9 (B) 12 (V) 15 (G) 18 (D) 20 (N) Ne znam

6. Ako je zbir cifara prirodnog broja n jednak 2017, koji od ponu�enih bro-

jeva mo�e biti zbir cifara broja n+ 1?

(A) 1 (B) 18 (V) 678 (G) 758 (D) 2008 (N) Ne znam

7. Koliko ima dvocifrenih prirodnih brojeva takvih da kada im se doda

dvocifren broj dobijen permutacijom �egovih cifara, dobija se broj deiv

sa 7?

(A) 2 (B) 3 (V) 5 (G) 11 (D) 12 (N) Ne znam

8. Grad je podeen na qetiri opxtine. Gradsko ve�e je odluqilo da se iz-

gradi nova gradska skupxtina, nova xkola i novi bioskop. Jedino ogra-

niqe�e je da xkola i bioskop ne smeju biti izgra�eni u istoj opxtini.

Na koliko naqina se ove ustanove mogu rasporediti u opxtine?

(A) 4 (B) 16 (V) 24 (G) 48 (D) 64 (N) Ne znam

9. Doka�i da ako je n zbir kvadrata dva cela broja, onda je to i 2n.

10. Dat je konveksni qetvorougao ABCD. Neka je X proizvona taqka koja

pripada stranici AD. Ako je T taqka takva da je AT ‖ BX i DT ‖ CX,

doka�i da trougao BCT ima istu povrxinu kao qetvorugao ABCD.

5

REXE�A ZADATAKA

Tre�i i qetvrti razred

Broj zadatka 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Taqan odogovor G A G V B V G A G D

Peti i xesti razred

Broj zadatka 1 2 3 4 5 6 7 8

Taqan odogovor V V G D V G G A

Zadatak 9. Putniku iz prvog vagona susedi su svi putnici iz prvog i drugog

vagona sem �ega samog; zakuqujemo da u prva dva vagona ima ukupno 5+1 = 6ili 10 + 1 = 11 putnika. Ako bi ih bilo 11 to bi putnik iz drugog vagona

imao bar 10 + 1 = 11 suseda (10 suseda iz prvog i drugog vagona i bar jednog

iz tre�eg vagona), xto je nemogu�e; zakuqujemo da u prva dva vagona ima

taqno 6 putnika. Sliqno zakuqujemo da u posled�a dva vagona (qetvrtom

i petom) ima taqno 6 putnika. Ostalo je jox da zakuqimo koliko putnika

ima u tre�em vagonu. Putnik iz drugog vagona ima bar 5 + 1 = 6 suseda (5iz prva dva vagona i bar jednog u tre�em); zakuqujemo putnik iz drugog

vagona ima 10 suseda. Kako su �emu susedi svi putnici iz tre�eg vagona,

zakuqujemo da u tre�em vagonu ima taqno 10− 5 = 5 putnika. Dakle u vozuima 6 + 5 + 6 = 17 putnika. Primer jedne raspodele putnika po vagonima za

koju va�e uslovi zadatka je 3, 3, 5, 3, 3.

Zadatak 10. Kako su A i B razliqite cifre to dvocifren broj AB nije

deiv sa 11. Sliqno CD nije deiv sa 11, pa ni proizvod AB · BC nije

deiv sa 11. Sa druge strane oqigledno da je qetvorocifreni broj EEFFdeiv sa 11 (npr. EEFF : 11 = E0F xto dobijamo postupkom dee�a), pa

ne mogu AB · CD i EEFF biti jednaki.

6

Sedmi i osmi razred

Broj zadatka 1 2 3 4 5 6 7 8

Taqan odogovor B A D D B G G G

Zadatak 9. Ako je n = p2 + q2, onda je 2n jednako

2 · (p2+ q2) = p2+ q2+p2+ q2 = p2+2pq+ q2+p2−2pq+ q2 = (p+ q)2+(p− q)2

kako su p i q celi brojevi, to su i p+ q i p− q.Zadatak 10.

A B

C

D

X

T

Kako je

PABCD = PBCX + PBXA + PCXD , PBCT = PBCX + PBXT + PCXT

to je dovono dokazati da je PBXA = PBXT i PCXD = PCXT . Taqke A i Tpripadaju pravoj paralelnoj sa BX, pa je PBXA = PBXT (visine trouglova

BXA i BXT koje odgovaraju zajedniqkoj stranici BX su jednake). Sliqno

zakuqujemo da je PCXD = PCXT .

7

Izdavaq:

Podru�nica matematiqara Vaevo

www.dms-valjevo.org.rs

Za izdavaqa:

Veko �irovi�

Urednik:

Sava Maksimovi�

8