analitiqka mehanika i simplektiqka geometrija - pmf.ni.ac.rs · univerzitet u nixu...

Univerzitet u NixuPrirodno-matematiqki fakultet

Departman za matematiku

Analitiqka mehanika isimplektiqka geometrija

Master rad

Mentor:Prof. Dr Mia Stankovi

Student:Vladan Jovanqi

Nix, 2015.

PREDGOVOR

Razvijaǌe matematiqkih disciplina i ǌihovo izuqavaǌe qesto je inspi-risano problemima koji su se prvenstveno javili u drugim nauqnim oblas-tima. U ovom radu obrauju se teme koje su veoma korisne u fizici kao iu mehanici. Italijansko-francuski matematiqar i astronom Lagran, kojije dao vaan doprinos na svim poǉima analize, teorije brojeva i klasiqnemehanike, rekao je jox davne 1788. godine: ’Svi oni koji vole analizu sazadovoǉstvom uviaju da je mehanika postala jedna od ǌenih oblasti...’

Ovaj master rad sastoji se iz dva dela. Jedan od vanih objediǌujuih po-jmova savremene matematike je pojam mnogostrukosti. To je razlog za pisaǌeuvodne glave koja qini prvi deo rada. U ǌemu su uvedeni i opisani pojmovikoji imaju za ciǉ da olakxaju razumevaǌe materijala iz drugog dela.

Drugi deo rada predstavǉa centralni deo ovog rada i posveen je na-jpre Analitiqkoj mehanici, u kome se problemi klasiqne mehanike prevode uzadatke matematiqke analize na mnogostrukostima. Zatim se uvode pojmovisimplektiqke geometrije koja se moe smatrati posebnom granom diferenci-jalne geometrije.

Okosnica ovog rada je kǌiga Analiza na mnogostrukostima autora Vladi-mira Dragovia i Darka Milinkovia koja je navedena u literaturi.

Za pomo u izboru literature, pomo u razumevaǌu sadraja i generalnokorisne sugestije zahvaǉujem se svom mentoru prof. dr Mii Stankoviu.

SADRAJ

1 Uvodna glava 71.1 Mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Koordinatne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Tangentni prostor mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Formalna definicija mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Analitiqka mehanika 152.1 Analitiqka mehanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Osnovni principi mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Pojam veze. Dalamberov princip . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Ojler-Lagranove jednaqine i Hamiltonov princip . . . . . 202.2.3 Varijacioni principi mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Leandrova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Simplektiqke i kontaktne mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 Simplektiqka linearna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 Simplektiqke forme i simplektiqke mnogostrukosti . . . . . 262.3.3 Primeri simplektiqkih podmnogostrukosti . . . . . . . . . . 272.3.4 Proizvod simplektiqkih mnogostrukosti . . . . . . . . . . . 282.3.5 Simplektomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.6 Mozerov metod deformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.7 Kontaktne mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Zakoni oquvaǌa i funkcional dejstva . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.1 Zakoni oquvaǌa energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.2 Funkcional dejstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.3 Liuvilova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.4 Poenkare-Kartanova integralna invarijanta . . . . . . . . . 38

2.5 Skoro kompleksne i kompleksne strukture. Rimanova povrx . . . . . 392.5.1 Skoro kompleksne strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.2 Rimanove povrxi i algebarske krive . . . . . . . . . . . . . 422.5.3 Holomorfne i meromorfne funkcije . . . . . . . . . . . . . . 442.5.4 Holomorfni i meromorfni diferencijali . . . . . . . . . . 48

2.6 Hamilton-Jakobijeve jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5

6 SADRAJ

2.6.1 Razdvajaǌe promenǉivih u Hamilton-Jakobijevoj jednaqini . 512.7 Puasonove mnogostrukosti. Potpuno integrabilni sistemi . . . . . . 542.8 Lagranove i Leandrove podmnogostrukosti . . . . . . . . . . . . 61

Deo 1

Uvodna glava

U uvodnom delu ovog rada uvexemo neke pojmove koji e se u ǌemu spom-iǌati i koristiti. Teme o kojima e biti reqi nemogue je razumeti bezodgovarajuih predznaǌa i poznavaǌa terminologije. Ciǉ ove glave je dauqini jasnijim kasniji materijal i da olakxa ǌegovo razumevaǌe. Ipaknemogue je definisati sve pojmove koji e se koristiti pa se preporuqujekorixeǌe dodatne literature, posebno one koja je i u ovom radu navedena.Takoe, nisu dokazana sva tvreǌa koja se spomiǌu ali se ǌihovi dokazinalaze u spomenutoj literaturi. U ovoj glavi najpre emo se posvetiti mno-gostrukostima u opxtijem smislu. One predstavǉaju jedan od osnovnihpojmova koji nas interesuju. Kasnije e biti predstavǉena ǌihova for-malna definicija za potrebe naxe konkretne teme vezane za analizu na mno-gostrukostima.

1.1 Mnogostrukosti

U najopxtijem smislu, mnogostrukosti predstavǉaju skup taqaka koji mo-e biti neprekidno parametrizovan. Broj nezavisnih parametara, potrebnihda se opixe (odredi) svaka taqka tog skupa jednoznaqno, predstavǉa dimenz-iju mnogostrukosti, a parametri se nazivaju koordinatama mnogostrukosti.Tako, na primer, fazni prostor qestice u klasiqnoj mehanici moe da separametrizuje trima koordinatama (q1, q2, q3) i pripadajuim impulsima sakoordinatama (p1, p2, p3), tako da skup koordinata u faznom prostoru formira6-dimenzionalnu mnogostrukost.

Veina mnogostrukosti koje se koriste u fizici su diferencijabilne mno-gostrukosti , koje su neprekidne i diferencijabilne u sledeem smislu. Mno-gostrukost M je neprekidna ako u okolini svake taqke p postoje druge taqkete mnogostrukosti qije su koordinate na infinitezimalnom rastojaǌu od ko-ordinata taqke p. Mnogostrukosti su diferencijabilne ako se moe defin-

7

8 1. Uvodna glava

isati skalarno poǉe u svakoj taqki mnogostrukosti koje je diferencijabilnosvuda. Skup koordinata u faznom prostoru je primer mnogostrukosti koja jeneprekidna i diferencijabilna.

Da bi se zam-dimenzionalnu mnogostrukostM mogla u potpunosti opisatisvaka taqka potrebno je m nezavisnih realnih koordinata (x1, x2, ..., xm) iliskraeno xa gde je a = 1, 2, ...,m. U opxtem sluqaju, nije mogue pokriti celumnogostrukost samo jednim nedegenerisanim koordinatnim sistemom koji bisvakoj ǌenoj taqki pridruivao jedinstven skup koordinata, tako da izmeutaqaka i koordinata postoji 1-1 preslikavaǌe. Tako taqke ravni qine 2-dimenzionalnu mnogostrukost. Primer koordinatnog sistema na toj mno-gostrukosti su polarne koordinate (r, φ), koje imaju degenerisanost u koordi-natnom poqetku jer se u ǌemu ne moe konkretno odrediti druga koordinatatj. φ je neodreeno. U sluqaju te mnogostrukosti, postojaǌe degeneracijemoe se izbei korixeǌem, na primer, Dekartovih koordinata. Meutim,u opxtem sluqaju ne mogu se sve mnogostrukosti pokriti jednim koordinatnimsistemom bez degeneracije. Qesto se radi sa mnogostrukostima i sa koordi-natnim sistemima koji pokrivaju samo deo mnogostrukosti. Ovakvi koordi-natni sistemi se nazivaju kartama. Na primer, skup taqaka sfere, koja seobeleava sa S2, qini 2-dimenzionalnu mnogostrukost. Ova mnogostrukost senajqexe parametrizuje uglovima u sfernim koordinatama θ i φ, pri qemuje koordinata θ degenerisana na polovima. U tom sluqaju ne postoji koordi-natni sistem koji bi prekrio celu povrx (sferu) bez degeneracije. Najmaǌibroj karata u ovom sluqaju je 2. Skup karata koji prekrivaju celu povrx sezove atlas. O ovim pojmovima bie vixe reqi kasnije, oni e biti formalnodefinisani, a pre toga navexemo jox neke osnovne stvari koje se prirodnojavǉaju.

Svaka kriva, na primer, ima jedan stepen slobode i moe biti zadata uobliku

xa = xa(σ), a = 1, 2, ...,m,

gde je σ neki parametar.Na sliqan naqin, podmnogostrukost ili n-dimenzionalna povrx (n < m)

ima n stepena slobode i moe da se zada preko m parametarskih jednaqnina

xa = xa(σ1, ..., σn), a = 1, 2, ...,m.

Ukoliko je n = m − 1, tada se podmnogostrukost naziva hiperpovrx . U tomsluqaju je mogue, m− 1 parametara eliminisati iz navedenih m jednaqinatako da se dobije jedna jednaqina koja povezuje koordinate

f(x1, x2, ..., xm) = 0.

1.2. Koordinatne transformacije 9

1.2 Koordinatne transformacije

Da bi odredili poloaj taqke na m-dimenzionalnoj mnogosrukosti ko-ristimo sistem od m koordinata xa qiji je izbor proizvoǉan. Sa ovihkoordinata se prelazak na nove x′a ostvaruje koordinatnom transformaci-jom xa → x′a koja je, u opxtem sluqaju, prikazana jednaqinama

x′a = x′a(x1, x2, ..., xm), (1.1)

koje daju vezu svake nove koordinate sa starim koordinatama.Funkcije u izrazu (1.1) smatraemo jednoznaqnim, neprekidnim i difer-

encijabilnim. Ukoliko diferenciramo svaku jednaqinu ovog izraza u odnosu

na svaku od poqetnih koordinata xb, dobiemo m×m parcijalnih izvoda∂x′a

∂xbkoji se mogu predstaviti u obliku matrice

[∂x′a

∂xb

]=

∂x′1

∂x1∂x′1

∂x2· · · ∂x′1

∂xm∂x′2

∂x1∂x′2

∂x2· · · ∂x′2

∂xm

· · · · · · · · · · · ·∂x′m

∂x1∂x′m

∂x2· · · ∂x′m

∂xm

. (1.2)

Elementi dobijene matrice transformacije su, u principu, funkcije koor-dinata pa se tako ǌihove numeriqke vrednosti razlikuju za razliqiti izbortaqaka mnogostrukosti. Determinanta matrice transformacije, koja se javǉau (1.2), naziva se Jakobijan transformacije,

J = det

[∂x′a

∂xb

],

i ǌene vrednosti takoe variraju od taqke do taqke mnogostrukosti.Ukoliko je J = 0 u nekoj oblasti koordinata xb, tada sledi da, u toj

oblasti mogu da se rexe jednaqine (1.1) za ’stare’ koordinate xb i da sedobije inverzna transformacija

xa = xa(x′1, x′2, ..., x′m).

Analognim postupkom se onda definixe i matrica inverzne transformacije

[∂xa

∂x′b] qiji je Jakobijan J ′ = det[

∂xa

∂x′b]. Lako se proverava da su ove dve matrice

inverzne jedna drugoj. Na osnovu toga sledi da je J ′ =1

J.

Rastojaǌe dveju infinitezimalno bliskih taqaka mnogostrukosti p i q,qije su koordinate xa i xa + dxa, respektivno, u novim koordinatama je datoizrazom

dx′a =∂x′a

∂x1dx1 + ...+

∂x′a

∂xmdxm =

m∑b=1

∂x′a

∂xbdxb,

10 1. Uvodna glava

u kome su svi parcijalni izvodi uzeti u taqki p.Lokalna geometrija mnogostrukosti M dimenzije m, u taqki p, odreena

je definisaǌem invarijantnog rastojaǌa ili intervala izmeu taqke p i nekedruge, ǌoj beskonaqno bliske taqke q sa mnogostrukosti. Ukoliko su koor-dinate ovih taqaka xa i xa + dxa, a = 1, 2, ...,m, respektivno, uopxteno gov-orei ova veliqina se moe uvesti preko neke funkcije koordinata i ǌihovihdiferencijala oblika

ds2 = f(xa, dxa).

Iz definicije sledi da e funkcija f(xa, dxa) sadrati i informaciju olokalnoj geometriji mnogostrukosti u taqki p i o izboru koordinatnog sis-tema. Jedan interesantan primer funkcije koja zadaje lokalnu geometrijuje

ds2 = (dξ4 + dζ4)12 ,

gde su ξ i ζ koordinate na 2-dimenzionalnoj mnogostrukosti. Ova geometrijanaziva se Finslerova geometrija.

1.3 Tangentni prostor mnogostrukosti

Razmotrimo jednostavan primer 2-dimenzionalne Rimanove mnogostruko-sti, koju moemo da zamislimo kao neku sasvim opxtu povrx umetnutu utrodimenzionalni euklidski prostor. U proizvoǉnoj taqki p ove mnogostru-kosti moemo da definixemo koordinate x i y tako da u ǌenoj okolini vai

ds2 = dx2 + dy2.

To znaqi da se euklidski 2-dimenzionalni prostor (ravan) poklapa lokalnosa mnogostrukoxu u taqki p. Taj euklidski prostor se naziva tangentniprostor Tp mnogostrukosti u taqki p. Drugim reqima, u prostor u koji jeumetnuta mnogostrukost, u svakoj taqki mnogostrukosti moemo da nacrtamoravan koja je lokalno tangentna na mnogostrukost (u ovom sluqaju dvodimen-zionalna povrx).

Pojam tangentne ravni se lako generalizuje na m-dimenzionalne rimanovemnogostrukosti. U proizvoǉnoj taqki p takve mnogostrukosti, uvek se mogupronai takve koordinate da je u okolini posmatrane taqke, metrika euk-lidska. To znaqi da se m-dimenzionalni euklidski prostor poklapa sa mno-gostrukoxu lokalno, tj. u posmatranoj taqki p. Kao xto svaka taqka p2-dimenzionalne mnogostrukosti ima tangentnu ravan koja je dodiruje u p,tako i svaka taqka p na proizvoǉnoj mnogostrukosti ima tangentni prostorTp koji je dodiruje. Opxtije o tangentnim prostorima bie reqi kasnije uradu.

1.4. Formalna definicija mnogostrukosti 11

1.4 Formalna definicija mnogostrukosti

Daemo sada i formalnu definiciju mnogostrukosti. Da bi ona bilarazumǉiva zgodno je najpre posmatrati neke jednostavnije primere mnogostru-kosti. Posmatrajmo klatno u prostoru, taqnije sferno matematiqko klatno.U tom sluqaju, skup poloaja tog klatna (ili kako se u mehanici drugaqijenaziva konfiguracioni prostor), jeste sfera S2. Ako bi posmatrali klatno uravni onda bi komfiguracioni prostor bio krunica S1, a u sluqaju dvostru-kog klatna konfiguracioni prosor je torus T2 = S2 × S2.

Zajedniqka osobina pomenutih geometrijskih objekata je da svaka ǌihovataqka ima okolinu koja je homeomorfna nekom fiksiranom euklidskom pros-toru En. Razmatraǌem sloenijih mehanizama od matematiqkog klatna moglibi doi do geometrijskih objekata sa ovom osobinom kojima bi odgovarao ve-liki broj za n, pa qak i proizvoǉan, za koje bi vizuelizacija bila znatnokomplikovanija. Jednim imenom ovakvi objekti nazivaju se mnogostrukosti,i oni e biti uskoro definicijom precizno odreeni.

U topologiji se uvode i izuqavaju topoloxke mnogostrukosti, ali za mnogepotrebe, ukǉuqujui i primene u mehanici, fizici i drugim oblastima,potrebno je uvesti i bogatije strukture na mnogostrukostima, koje bi omo-guile da se i u tim sluqajevima koristi ogromni aparat Analize, koji jerazvijen prvobitno za euklidske prostore.

Da bismo pribliili naqin na koji se ta dodatna struktura uvodi, uo-qimo da je povrxina zemǉe homeomorfna sferi. Zamislimo moreplovca kojitreba da pree put od taqke p do taqke q. Tada je ǌemu neophodan atlas A,koji predstavǉa zapravo uniju karata Ui takvih da je zadovoǉeno:

1) Unija karti Ui iz atlasa A mora da sadri ceo put od taqke p do taqkeq.

2) Karte moraju da budu meusobno saglasne, xto znaqi da mora da vaisledee. Dok je moreplovac na delu puta koji je prikazan na karti Ui i nasledeoj karti Ui+1, on je u staǌu da preraquna svoj poloaj sa stare na novukartu. Drugim reqima, on mora da zna funkcije prelaska sa karte Ui na kartuUi+1 .

Oznaqimo sa X proizvoǉan skup. Tada se na X karta definixe na sledeinaqin.

Definicija 1.4.1. Karta na X je par (U, h), gde je U ⊂ X i h : U → U ′ bijekcijana otvoreni podskup U ′ ⊂ Rn. Skup U je nosaq karte, a funkcija h se nazivapreslikavaǌe karte.

Ako je u Rn fiksirana neka baza, onda svakoj taqki p nosaqa U odgovara nrealnih brojeva, koordinate taqke h(p) u odnosu na fiksiranu bazu u Rn su

x1(h(p)), ..., xn(h(p)).

12 1. Uvodna glava

Na ovaj naqin je odreeno n realnih funkcija na U

x1, ..., xn : U → R, xi : p 7→ xi(h(p)).

Treba pomenuti, da ne bi doxlo do zabune, da su razliqita preslikavaǌaobeleena istim oznakama (oznaka xi se koristi i za funkcije sa domenomU i za funkcije sa domenom U ′). Funkcije x1, ..., xn nazivamo lokalnim ko-ordinatama karte (U, h). Preslikavaǌe h jednoznaqno je odreeno ovakvimfunkcijama, pa se ponekad umesto sa (U, h) karta zapisuje i ovako (U, x1, ..., xn),a h se naziva i koordinatnim preslikavaǌem.

Simbolom φ(x1, ..., xn), gde je φ funkcija na h(U) oznaqavamo qesto funkciju

φ h : p 7→ φ(x1(p), ..., xn(p)),

koja je definisana na skupu U .Neka su date dve karte (U, h) i (W,k) na skupu X , gde su h(U) = U ′ i

k(W ) = W ′ otvoreni podskupovi u Rn. Kaemo da se karte preklapaju ako jeU∩W = Y = ∅. Ako se karte preklapaju, tada je definisano jedno preslika-

vaǌe iz h(Y ) ⊂ Rn na k(Y ) ⊂ Rn

(k|Y ) (h|Y )−1 : h(Y ) → k(Y ).

Ovo preslikavaǌe se oznaqava sa k h−1.

Definicija 1.4.2. Dve karte (U, h) i (W,k) su saglasne ukoliko se ne preklapaju,tj. U

∩W = ∅ ili ako vai :

1) skupovi h(Y ) i k(Y ) su otvoreni u Rn, gde je Y = U∩W ;

2) preslikavaǌe(k|Y ) (h|Y )−1 : h(Y ) → k(Y )

je difeomorfizam klase C(r) (ili homeomorfizam ako je r = 0).

Ako se ne naglasi drugaqije, termin glatko oznaqava glatkost klase C(∞),odnosno beskonaqnu diferencijabilnost.

Preslikavaǌe (k|Y ) (h|Y )−1 odreuje funkcije φ1, ..., φn za koje vai:

v1|Y = φ1(u1|Y , ..., un|Y )

· · ·

vn|Y = φn(u1|Y , ..., un|Y ),

gde su sa u1, ..., un i v1, ..., vn obeleene koordinate u U ′ i W ′ redom. Funkcijeφ1, ..., φn se nazivaju funkcije prelaska na skupu Y sa koordinata u1, ..., un nakoordinate v1, ..., vn. Prethodno opisane formule se nazivaju formule trans-formacije koordinata. Ponekad se skraeno zapisuje u = φ(v).

1.4. Formalna definicija mnogostrukosti 13

Definicija 1.4.3. Atlas A je skup karti (Uα, hα) na skupu X ako ima sledeasvojstva:

1) svake dve karte su meusobno saglasne;2) unija svih karata iz atlasa A je ceo skup X , odnosno vai∪

α

Uα = X .

Za dati atlas A skup svih karti, koje su saglasne sa svakom kartom iz A,oznaqavamo sa Amax. Jasno je da je tada i Amax takoe atlas. On se nazivaMaksimalnim atlasom atlasa A.

Navexemo sada neka osnovna svojstva ovako definisanih atlasa.

Teorema 1.4.1. Neka su A i A∗ dva atlasa definisana na istom skupu X . ǋi-hovi pridrueni maksimalni atlasi Amax i A∗

max imaju sledea svojstva:1) ako je A ⊂ A∗ onda je i A∗

max ⊂ Amax;2) vai (Amax)max ⊂ Amax, pa je samim tim (Amax)max = Amax;3) ako je Amax ⊂ A∗, onda je

A∗max ⊂ (Amax)max = Amax

odnosno A∗ = Amax;4) svaki atlas je sadran u jedinstvenom maksimalnom atlasu.

Dokaz: 1) Neka je A ⊂ A∗ i posmatrajmo proizvoǉnu kartu (U, h) iz skupaA∗max. Kako je (U, h) ∈ A∗

max, to znaqi da je (U, h) saglasno sa svim kartama izatlasa A∗. Kako je A ⊂ A∗ to je (U, h) saglasno i sa svim kartama iz atlasaA pa dakle (U, h) ∈ Amax. Ovo znaqi da vai A∗

max ⊂ Amax.2) Atlas definixemo kao skup karti koje su, izmeu ostalog, sve meu-

sobno saglasne, tj. proizvoǉna karta (U, h) ∈ A saglasna je sa svakom kartomiz A pa je zato (U, h) ∈ Amax. Drugim reqima, vai A ⊂ Amax. Ovo vai zasvaki atlas. Sada na osnovu dela 1) sledi (Amax)max ⊂ Amax. Kako A ⊂ Amaxvai za svaki atlas zakǉuqujemo da mora da vai i Amax ⊂ (Amax)max pa jezato ispuǌeno (Amax)max = Amax.

3) Neka je Amax ⊂ A∗, tada koristei 1) dobijamo A∗max ⊂ (Amax)max, a iz

2) imamo (Amax)max = Amax. Dakle vai A∗max ⊂ Amax, a kako je Amax ⊂ A∗ ⊂

A∗max, sledi da je A∗ = Amax. Ovim je deo 3) dokazan, ipak primetimo jox i

to da je pod ovim uslovima zadovoǉeno i A∗ = A∗max kao i A∗

max = Amax.4) U delu dva pokazali smo da je svaki atlas sadran u svom maksimalnom

atlasu. Da je maksimalni atlas jedinstven sledi direktno iz razmatraǌa udelu 3).

Sada smo obezbedili dovoǉno materijala za uvoeǌe formalne definicijediferencijabilne mnogostrukosti.

14 1. Uvodna glava

Definicija 1.4.4. Maksimalni atlas Amax na skupu X se naziva glatka struk-tura na X . Skup X sa Amax glatkom strukturom se zove glatka ili diferencija-bilna mnogostrukost. Karte iz atlasaAmax nazivaju se karte mnogostrukosti X .

Napomena 1. Dve diferencijabilne strukture (X , Amax) i (Y , A∗max) su

jednake, po definiciji, ako je X = Y i Amax = A∗max.

Napomena 2. Za dva atlasa kaemo da su ekvivalentna, u oznaci A ∼ A∗,ako su odgovarajui maksimalni atlasi jednaki, tj. Amax = A∗

max.Moe se pokazati da su dva atlasa A i A∗ ekvivalentni ako i samo ako je

ǌihova unija A∪A∗ takoe atlas na X . Da bi se zadala glatka struktura

Amax, dovoǉno je da se zada jedan atlas B za koji je Bmax = Amax. Atlasi B iB∗ e odreivati istu strukturu ako i samo ako je B ∼ B∗, tj ako je B

∪B∗

takoe atlas.Prilikom definisaǌa karte pomiǌali smo nenegativan ceo broj n u za-

htevu da h(U) bude otvoren skup u Rn. Ovaj broj, kao i broj r, pomenut udefiniciji saglasnosti dve karte, ima svoj poseban znaqaj.

Definicija 1.4.5. Upravo opisan nenegativan ceo broj n naziva se dimenzija mno-gostrukosti.

Definicija 1.4.6. Ceo broj r koji oznaqava stepen glatkosti funkcija prelaskanaziva se klasa glatkosti mnogostrukosti. Kaemo jox i Cr- mnogostrukost.

Deo 2

Analitiqka mehanika

2.1 Analitiqka mehanika

Analitiqka mehanika je nauqna disciplina koja probleme klasiqne mehani-ke prevodi u probleme matematiqke analize na mnogostrukostima. Zasno-vao je Lagran koji u svom delu ’Analitiqka mehanika’ o dinamici pixena sledei naqin: ’Dinamika - to je nauka o silama ubrzaǌa i usporeǌa i opromenǉivim kretaǌima koje one izazivaju. Ova nauka duguje svoj razvoj savre-menim nauqnicima, a Galilej je onaj koji je zaloio prve ǌene osnove...’ .

U narednom primeru definisaemo grupu G(1, 1).

Primer 2.1.1. Posmatrajmo geometriju u ravni, qije su transformacije zadategrupom

G(1, 1) = gA;v;a;b| a, b, v ∈ R, A = 1 ∨ A = −1gde se preslikavaǌa gA;v;a;b : R2 → R2 definixu formulama

x1 = x+ a, y1 = vx+ Ay + b. (2.1)

Grupa G(1, 1) se naziva Galilejeva (1 + 1) grupa, a invarijante dejstva ovegrupe prirodno qine sadraj jedne geometrije, koja se naziva Galilejeva geo-metrija.

Dokazaemo da Galilejeve transformacije (2.1) preslikavaju prave linijeu prave linije. Zaista, neka je sa y = kx+n pri qemu su k, n ∈ R, zadata pravau ravni i neka su v, a, b ∈ R i x1 i y1 dobijeni Galilejevim transformacijama(2.1). Tada je

y1 = vx+A(kx+n)+b = vx+Akx+An+b = (v+Ak)(x+a)−(v+Ak)a+An+b

Ako obeleimo sa k1 = (v+Ak) i n1 = −(v+Ak)a+An+b tada je y1 = k1x1+n1

pri qemu su k1, n1 ∈ R. Dakle zaista se prave linije preslikavaju u pravelinije.

15

16 2. Analitiqka mehanika

Takoe se moe dokazati da Galilejeve transformacije preslikavaju:(1) Paralelne prave u paralelne prave;(2) Prave paralelne y−osi u prave paralelne y−osi;(3) Dve dui AB i CD sa jedne prave u dui A1B1 i C1D1 druge prave

tako da odnos duina ostaje nepromeǌen, odnosno

C1D1

A1B1

=CD

AB;

(4) Figuru F u figuru F1 sa istom povrxinom.Moemo izvui zakǉuqak da pojmovi prava, paralelnost, povrxina, prave

paralelne y−osi i odnos duina kolinearnih dui imaju invarijantan smisaou Galilejevoj geometriji.

Vano je primetiti i to da Galilejeve transformacije (2.1) ne slikaju:(1) Ortogonalne prave u ortogonalne prave;(2) Prave paralelne x−osi u prave paralelne x−osi;(3) Du u du iste euklidske duine.Prave paralelne y−osi nazivamo specijalne prave.Kako se u Galilejevoj geometriji dui ne slikaju u dui iste euklidske

duine to euklidsko rastojaǌe u ovom sluqaju nema smisla. Zato se sledeomformulom uvodi Galilejevo rastojaǌe:

gd(A(x, y), A1(x1, y1)) = x− x1.

Ovo rastojaǌe predsavǉa zapravo rastojaǌe izmeu dve specijalne pravekoje odgovaraju datim taqkama. U sluqaju da je gd(A,A1) = 0 xto bi znaqiloda taqke A i A1 pripadaju istoj specijalnoj pravi, uvodi se i specijalnorastojaǌe:

sd(A(x, y), A1(x1, y1)) = y − y1.

Primetimo da u Galilejevoj geometriji krunica sa centrom u taqki O ipolupreqnikom r

K(O, r) = M | gd2(O,M) = r2

predstavǉa zapravo uniju dve specijalne prave.Ugao izmeu dve prave p i q koje imaju zajedniqku taqku Q sada moemo

da definixemo kao specijalnu duinu dui MN koju prave p i q odsecaju najediniqnoj krunici sa centrom u taqki Q. Dakle:

∠pq = sd(M,N).

Na svakoj od specijalnih prava koje qine pomenutu jediniqnu krunicupostoje odseqci, ali lako se vidi da su ti odseqci meusobno jednaki, ǌi-hova duina predstavǉa veliqinu ugla izmeu prava p i q u Galilejevoj

2.1. Analitiqka mehanika 17

geometriji. Lako je zakǉuqiti da veem uglu u euklidskom smislu u inter-valu [0, π] odgovara vei odseqak na specijalnim pravama, odnosno odgovaravei ugao u Galilejevom smislu.

Mehaniqka interpretacija pojmova Galilejeve geometrije

Posmatrajmo sada jednodimenzionalni realni prostor R i dogaaj (t, x)koji moemo razumeti kao ’dogaaj u momentu t kada se objekat koji posma-tramo nae u taqki x’. Dakle dogaaj koji je opisan sa dve koordinate, prvomvremenskom i drugom prostornom. Ovakvoj taqki (t, x) moemo pridruititaqku M(t, x) Galilejeve geometrije. Tada je Galilejevo rastojaǌe izmeudve taqke vremenski interval izmeu dva dogaaja. Taqke kojima odgovarajuiste specijalne prave predstavǉaju istovremene dogaaje i ǌihovo Galile-jevo rastojaǌe je 0. Samo za ovakve taqke ima smisla raqunati specijalnorastojaǌe koje predstavǉa prostorno rastojaǌe istovremenih dogaaja.

Moe se pokazati da ako su date dve prave p : y = kx+ n i q : y = k1x+ n1

tada je:∠pq = k1 − k.

Proizvoǉna nespecijalna prava p predstavǉa ravnomerno kretaǌe taqke,dok ugao izmeu dve prave ∠pq = k1 − k predstavǉa relativnu brzinu drugetaqke koja se ravnomerno kree u odnosu na prvu taqku. Drugim reqima, toje brzina druge taqke u referentnom sistemu u kome prva taqka miruje. Priprethodnom razmatraǌu taqke se posmatraju na jednodimenzionalnom realnomprostoru dok se o uglu govori u Galilejevom smislu.

Nadaǉe emo postulirati osnovna polazixta klasiqne mehanike. Po-dsetimo se da su inercijalni sistemi oni sistemi koji se jedan u odnosu nadrugi kreu ravnomerno pravolinijski.

1: Galilejev princip relativnosti postulira postojaǌe inercijalnihsistema koordinata tako da su:

1)Svi zakoni mehanike jednaki u svim inercijalnim sistemima i u svakomvremenskom intervalu;

2)Svaki sistem koji se ravnomerno pravolinijski kree u odnosu na inerci-jalni sistem jeste i sam inercijalni sistem.

Polazei od toga da je nax prostor trodimenzioni euklidski, imajui uvidu gore reqeno moemo matematiqki preformulisati Galilejev princip.

Posmatrajmo qetvorodimenzionalni afini prostor, qiji su elementi do-gaaji. Vreme se moe interpretirati kao linearno preslikavaǌe t : R4 → R,qije je jezgro direktrisa istovremenih dogaaja koji qine trodimenzionalneafine prostore. Fiksirani skalarni proizvod u tom jezgru snabdeva svakiod prostora istovremenih dogaaja euklidskom strukturom, tako da je mogue


meriti euklidsko rastojaǌe izmeu istovremenih dogaaja ali ne i izmeuneistovremenih.

Galilejeva 3 + 1 grupa je skup svih transformacija saglasnih sa ovomstrukturom:

G(1, 3) = gA;v;a;b| a, v ∈ R, b ∈ R3, A ∈ O(3)gde se preslikavaǌa gA;v;a;b : A4 → A4 definixu formulama

x1 = x+ a, y1 = vx+ Ay + b.

Moemo da kaemo da klasiqna mehanika izuqava invarijante Galilejeve3 + 1 grupe. Osnovni princip, koji sledi, dodatno precizira i definixepredmet klasiqne mehanike.

2: ǋutnov princip determinisanosti tvrdi da je staǌe mehaniqkogsistema u bilo kom trenutku odreeno staǌem tog sistema u proizvoǉnomtrenutku. Staǌe mehaniqkog sistema predstavǉa ǌegov poloaj i brzinu.

ǋutnov princip determinisanosti se iskazuje jednaqinom

mr = F(r, r)

koja se naziva ǋutnova jednaqina, imajui u vidu mehaniqki sistem odjedne materijalne taqke mase m. Iz ove jednaqine se moe zakǉuqiti da jepromena impulsa p = mv,v = r srazmerna sili F koja deluje. Moemo reida je matematiqka suxtina ǋutnovog principa u tome xto aksiomatizujeubrzaǌe, tj. drugi izvod, kao funkciju poloaja i prvog izvoda. Drugimreqima, matematiqki sadraj ǋutnovog principa je ograniqavaǌe predmetana izuqavaǌe diferencijalnih jednaqina drugog reda

x = F (x, x, t).

Primetimo sada da Galilejev princip podrazumeva jaka ograniqeǌa naoblik funkcije u prethodnoj relaciji. Moe da se pokae da invarijant-nost u odnosu na translacije vremena implicira da funkcija F ne zavisieksplicitno od t, dakle

x = F (x, x).

Osnovni zadatak u ovom radu je da izdvojimo i izuqimo matematiqke struk-ture koje nam pomau u rexavaǌu problema klasiqne mehanike. pomenimoterminologiju sa kojom emo se nadaǉe sluiti. Prouqavaju se sistemi kojimogu imati konaqno ili beskonaqno mnogo qestica. Idealizacija qestice jematerijalna taqka , koja predstavǉa par (poloaj, masa). Ako ukupno imamoN materijalnih taqaka masa mi, i = 1, ..., N , funkcija

K(r, r) =1

2

N∑i=1

mi∥ri∥2

2.2. Osnovni principi mehanike 19

predstavǉa kinetiqku energiju sistema, gde su sa ri oznaqeni radijus-vektorii−te taqke.

Poǉe F sile koja deluje na qestice naziva se potencijalnim ako vaiF = −V za neku funkciju V : R3N → R, gde je V funkcija koja se nazivapotencijalnom energijom sistema. Skup poloaja qestica sistema se nazivakonfiguracionim prostorom, a ǌegova dimenzija se naziva brojem stepeni slo-bode. Skup staǌa sistema, odnosno poloaja i brzina svih qestica, naziva sefaznim prostorom.

2.2 Osnovni principi mehanike

2.2.1 Pojam veze. Dalamberov princip

Nadaǉe emo izuqavati kretaǌa koja su ograniqena nekim vezama. Pos-matrajmo ambijentni prostor koji ima n stepeni slobode. Pretpostavimo ida su nam zadate nezavisne relacije

n∑i=1

aridxi + ardt = 0, r = 1, ...,m (2.2)

gde su ari, r ∈ 1, 2, ..,m i i ∈ 1, 2, .., n dati koeficijenti.Posmatramo sada samo ona kretaǌa koja su saglasna sa ovim nezavisnim

vezama. Ove veze mogu biti reonomne, ukoliko koeficijenti ari ne zaviseeksplicitno od vremena, odnosno skleronomne ukoliko to nije sluqaj. Zapomenute veze kaemo da su holonomne ako postoje funkcije hr = hr(x1, ..., xn),r = 1, ...,m, tako da je sistem (2.2) ekvivalentan sistemu

dhr = 0, r = 1, ...,m.

U tom sluqaju kretaǌe se odvija po nekoj od mnogostrukosti. Za veze za kojene postoje funkcije koje obezbeuju ekvivalentnost pomenutih sistema kaemoda su neholonomne.

Mi emo se sada baviti holonomnim vezama. Kod ǌih se kretaǌe odvija ponekoj mnogostrukosti M, a ona se u ambijentnom konfiguracijonom prostoruzadaje jednaqinama

hr = 0, r = 1, ...,m.

Ovaj uslov moe da se razume kao postojaǌe dodatnih sila F ′, koje se nazivajureakcija veza i koje su uzrok ostajaǌa tela na mnogostrukosti M , tj. da suzadovoǉeni uslovi (2.2). Pod virtuelnim pomeraǌima δx = (δx1, ..., δxn) po-drazumevaju se pomeraji koji su saglasni sa vezama u fiksiranom vremenskomtrenutku, odnosno veliqine koje zadovoǉavaju zamrznute relacije veza:


n∑i=1

ariδxi = 0, r = 1, ...,m. (2.3)

Dalamberov princip, osnovnu aksiomu dinamike sa vezama, moemo for-mulisati formulom

n∑i=1

F ′iδxi = 0, r = 1, ...,m. (2.4)

Ovo bi mogli reqima da opixemo na sledei naqin: reakcija veza ne vrxi radna virtuelnim pomeraǌima.

Na osnovu (2.3) i (2.4) dobijamo da reakcije veza F ′i moemo da izrazimo

preko samih veza koristei skalare λr na sledei naqin:

F ′i =

m∑r=1

ariλr, i = 1, ..., n.

Ako dobijene relacije primenimo na ǋutnove jednaqine kretaǌa dobijamo

mrxr = Fr + F ′i , r = 1, ...,m

tako dolazimo do fundamentalne jednaqine u kojoj se ne javǉaju sile reak-cije veza

n∑r=1

(mrxr − Fr)δxr = 0. (2.5)

Dalamberov princip je fundamentalan i u neholonomnoj mehanici.

2.2.2 Ojler-Lagranove jednaqine i Hamiltonov princip

U daǉem tekstu baviemo se samo holonomnim vezama. Kako veliqine δxinisu nezavisne iz relacije (2.5) ne moemo zakǉuqiti da jemrxr−Fi = 0. Zatoje Lagra doxao na ideju da relaciju (2.5) izrazi u lokalnim koordinatamamnogostrukosti M. Dimenzija mnogostrukosti M je k = n −m, u sluqaju dasu veze (2.2) nezavisne. Predpostavimo da su koordinate xj izraene prekolokalnih koordinata (q1, ..., qk) :

xj = xj(q1, ..., qk, t, ), j = 1, ..., n.

Dobijamo da su brzine odreene izrazima:


vj = xj =k∑s=1

∂xj∂qs

qs +∂xj∂t

, j = 1, ..., n. (2.6)

Iz (2.6) sledi da je

∂vj∂qs

=∂xj∂qs

. (2.7)

Primetimo da nema varijacije vremena jer se virtuelna pomeraǌa odvi-jaju pri fiksiranom vremenu, jer to je uslov iz ǌihove definicije. Zato sevarijacija starih koordinata izraava preko varijacija novih relacijama

δxj =k∑s=1

∂xj∂qs

δqs. (2.8)

Posmatrajmo sada fundamentalnu jednaqinu∑n

r=1(mrxr − Fr)δxr = 0. Ko-ristei (2.8) moemo da transformixemo drugi sabirak koji se javǉa u sumi

n∑j=1

Fjδxj =n∑j=1

Fj

k∑s=1

∂xj∂qs

δqs =k∑s=1

δqs

n∑j=1

Fj∂xj∂qs

=k∑s=1

Qsδqs (2.9)

pri qemu smo oznaqili sa

Qs =n∑j=1

Fj∂xj∂qs

.

Posledǌa formula se naziva formula generalisane sile.Koristei komutativnost izvoda po t i po qs, relaciju (2.7) i jednakost

ddt(mjxj

∂xj∂qs

) = mj∂xj∂qs

xj + mjxjd

dt

∂xj∂qs

prvi sabirak koji se javǉa u sumi iz

fundamentalne jednaqine moemo izraziti u ekvivalentnom obliku

n∑j=1

mjxj∂xj∂qs

=n∑j=1

[d

dt(mjxj

∂xj∂qs

)−mjxjd

dt

∂xj∂qs

],

n∑j=1

mjxj∂xj∂qs

=n∑j=1

[d

dt(mjvj

∂vj∂qs

)−mjvj∂vj∂qs

]. (2.10)

Iz (2.9) i (2.10) dobijamo drugi oblik fundamentalne jednaqine (2.5)

k∑s=1

[ ddt(∂K

∂qs)− ∂K

∂qs]−Qsδqs = 0, (2.11)


gde smo sa K :=∑n

j=1mjv2j oznaqili izraz za kinetiqku energiju. Relacije

(2.5) i (2.11) razlikuju se u nezavisnosti δqs. Iz nezavisnosti δqs koristei

(2.11) sledi [d

dt(∂K

∂qs)− ∂K

∂qs]−Qs = 0 pa je zato

[d

dt(∂K

∂qs)− ∂K

∂qs] = Qs, s = 1, ..., k. (2.12)

Relacije (2.12) nazivaju se Lagranove jednaqine, a sam Lagran ih jenazivao diferencijalnim jednaqinama kojima se rexavaju svi problemi mehanike.

2.2.3 Varijacioni principi mehanike

Moe se pokazati da su Lagranove jednaqine ekvivalentne sledeemprincipu koji se naziva Hamiltonov varijacioni princip. Sistem seizmeu dva trenutka t0 i t1 kree po trajektoriji koja je specijalna vred-nost integrala akcije

I =

∫ t1

t0

Ldt = 0,

gde je Lagranijan odreen kao razlika kinetiqke i potencijalne energijeL = K − V.

Drugim reqima, za trajektoriju sistema vai

δ

∫ t1

t0

Ldt = 0.

Kada posmatramo holonomne veze, odnosno kada se kretaǌe odvija po mno-gostrukosti variraǌem krive putem virtuenih pomeraǌa opet se dobijaju ge-ometrijski dopustive krive, tj. krive saglasne sa vezama. To nije sluqaj kadase radi o neholonomnim vezama, tada se virtuelnim pomeraǌima mogu dobitii krive koje nisu saglasne sa vezama. Zato varijacioni principi ne vae uneholonomnoj mehanici. I sam nazim holonomni jeste sloenica nastla oddve grqke reqi koje znaqe svi i zakoni pa su tako holonomni oni sistemi zakoje vae svi zakoni a neholonomni sistemi su oni u kojima to nije sluqaj.

Kada se bavimo holonomnom mehanikom u sluqaju proizvoǉnog Lagrani-jana, tj. preslikavaǌa L : TM → R gde je M mnogostrukost, varijacioniprincip se moe posmatrati kao definicioni. Ovaj deo mehanike naziva seLagranova mehanika.


2.2.4 Leandrova transformacija

Neka je M proizvoǉna glatka mnogostrukost dimenzije n. Skup svih tan-gentnih vektora u taqki P oznaqava se sa TPM . Za proizvoǉna dva vektoraµ, ν ∈ TPM ǌihov zbir µ+ν je takoe element skupa TPM qije su koordinateodreene jednakoxu

((µ+ ν)1, ..., (µ+ ν)n) = (µ1 + ν1, ..., µn + νn),

gde su sa µ1, ..., µn i ν1, ..., νn obeleene koordinate vektora µ i ν respektivno.Ukoliko je λ ∈ R proizvoǉni skalar tada je i λµ takoe iz skupa TPM iǌegove koordinate su odreene jednakoxu

((λµ)1, ..., (λµ)n) = (λµ1, ..., λµ1).

Skup TPM sa ovako definisanim sabiraǌem i mnoeǌem skalarom naziva setangentnim prostorom mnogostrukosti M u taqki P . Skup

∪P∈M(P, µ)| µ ∈ TPM

se naziva tangentno raslojeǌe mnogostrukosti M. Ovako definisano tangentnoraslojeǌe nije linearan prostor ali ima strukturu glatke mnogostrukosti.

Vaan korak u izuqavaǌu mehanike koji emo sada napraviti je prelazaksa tangentnog na kotangentno raslojeǌe. Za taj postupak bie nam potrebnasledea transformacija

Definicija 2.2.1. Neka je F : Rk → R konveksna funkcija, odnosno neka ima pozi-tivno definitnu matricu drugog izvoda. Leandrovom transformacijom funkcijeF naziva se funkcija

G(p) = p · x− F (x),

gde je p := ∂F∂x

.

Uslov konveksnosti u definiciji 2.2.1. garantuje da se moe jednoznaqnoizraziti x preko p, xto se i podrazumeva da je uraeno u izrazu za G.

Pogledajmo kako se raquna Leandrova transformacija najpre na jednos-tavnom primeru.

Primer 2.2.1. Neka je F : R → R kvadratna funkcija oblika F (x) =mx2

2gde je

m ∈ R realan broj. Izraqunajmo Leandrovu transformaciju za ovakvu funkciju

F . Vai p =∂(mx2

2)

∂x= mx, tj. x =

p

mpa je

G(p) = p · x− F (x) =p2

m− F (

p

m) =

p2

m−m( p

m)2

2=p2

m− p2

2m=

p2

2m.


Izraqunajmo sada Leandrovu transformaciju ove funkcije, odnosno kvadrat Lean-drove transformacije polazne funkcije F . Primenom Leandrove transformacije

na funkciju G =p2

2mimajui u vidu da tada vai t =

∂G

∂p=

p

mdobijamo

R(t) = tp−G(p) =p2

m− p2

2m=

p2

2m=m

2· ( pm)2 =

mt2

2.

Dobili smo da je R(t) =mt2

2xto je zapravo funkcija F od koje smo krenuli.

U prethodnom primeru bavili smo se funkcijom koja se dvostrukom pri-menom Leandrove transformacije slika u samu sebe. Da ova osobina zakvadrat Leandrove transformacije vai u mnogo opxtijem sluqaju tvrdinaredna teorema.

Teorema 2.2.1. Kvadrat Leandrove transformacije je identiqko preslika-vaǌe, tj. ona je involutivna.

Dokaz: Neka je funkcija G Leandrova transformacija funkcije F . Tada jeiz G(p) = p · x− F (x) sledi

∂G

∂p=

∂

∂p(p · x− F (x)) = x+ p · ∂x

∂p− ∂F

∂x

∂x

∂p= x+ p · ∂x

∂p− p · ∂x

∂p,

dakle dobijamo da je ∂G∂p

= x, pa je Leandrova transformacija funkcijep→ G(p) funkcija

x→ x · p−G(p) = x · p− (p · x− F (x)) = F (x),

xto dokazuje da je kvadrat Leandrove transformacije identiqko preslika-vaǌe.

Posledica 2.2.1 Leandrova transformacija je sama sebi inverz.

Definicija 2.2.2. Neka je Lagranijanom L : Rn × Rn × R → R, konveksnim podrugoj promenǉivoj zadat sistem. Neka je H Leandrova transformacija funkcijeL po drugoj promenǉivoj. Tada je :

H(q, p, t) := p · q − L(q, q, t), p :=∂L

∂q.

Funkcija H se naziva Hamiltonijanom ili Hamiltonovom funkcijom, koja odgo-vara Lagranijanu L.

2.3. Simplektiqke i kontaktne mnogostrukosti 25

Definicija 2.2.3. Sistem jednaqina

q =∂H

∂p, p = −∂H

∂q(2.13)

se naziva Hamiltonov sistem sa Hamiltonijanom H.

Rezultati Ojlera, Lagrana, Hamiltona, Galileja, Leandra i drugihznaqajno su doprineli razvoju fizike, tehnike i mehanike. Hamiltonov for-malizam je postao osnova kvantne mehanike, dok je Lagranov formalizamposluio kao osnova teorije relativnosti, qiji je znaqaj neosporan. Hamilto-nov formalizam se danas veoma uspexno koristi u ineǌerskoj praksi kojase bazira na simplektiqkim metodama o kojima e biti reqi u daǉem radu.

2.3 Simplektiqke i kontaktne mnogostrukosti

Simplektiqka struktura omoguava da se zakoni mehanike na mnogostruko-sti definixu invarijantno, odnosno nezavisno od koordinata. Pre nego xtose bavimo razmatraǌem na mnogostrukostima, uvexemo odgovarajuu struk-turu u vektorskom prostoru.

2.3.1 Simplektiqka linearna algebra

Definicija 2.3.1. Bilinearna forma ω : V × V → R na vektorskom prostoru Vse naziva simplektiqka bilinearna forma ako ispuǌava sledea dva uslova:

1) (∀u, v ∈ V ) ω(u, v) = −ω(v, u);2) (∀u ∈ V )(∃v ∈ V ) ω(u, v) = 0.

Prvi uslov iz prethodne definicije je uslov antisimetriqnosti, dok je drugiuslov koji se javǉa u ǌoj uslov nedegenerisanosti.

Primer 2.3.1. R2n je simplektiqki vektorski prostor sa simplektiqkom formomω(u, v) = uTJ0v, gde smo sa J0 oznaqili matricu

J0 =

[0 −IdId 0

],

pri qemu Id oznaqava jediniqnu matricu dimenzije n. Ova simplektiqka forma ukoordinatama izgleda ovako

ω(u, v) = u1vn+1 + u2vn+2 + ...+ unv2n − un+1v1 − un+2v2 − ...− u2nvn.

U sluqaju identifikacije prostora R2n ∼= Cn mnoeǌu operatorom J0 odgovaramnoeǌe sa i =

√−1.


Simplektiqka forma na konaqnodimenzionom simplektiqkom vektroskomprostoru V moe da se napixe kao

ω(ϵ, η) = ϵTAη,

gde je A kososimetriqna matrica. Za ovu matricu vai A = −AT xto jeposledica antisimetriqnosti, dok je det(A) = 0 posledica nedegenerisanostiforme. Kako je det(A) = det(AT ) moemo zakǉuqiti da vai

det(A) = (−1)dim(V )det(AT ) = (−1)dim(V )det(A),

pa je dim(V ) = 2n. Konaqno moemo izvui zakǉuqak da je dim(V ) = 2n ilidim(V ) = ∞.

Definicija 2.3.2. Grupa matrica koje quvaju simlektiqku formu prostora R2n

definisanu u prethodnom primeru oznaqava se sa Sp(2n). Ove matrice nazivamosimplektiqkim matricama.

Kako je det(J0) = 1 da bi bilo A ∈ Sp(2n) mora da vai det(A) = 1. Ako jeATJ0A = J0 onda je A = J−1

0 (AT )−1J0, pa se iz definicije matrice J0 vidi daje A = −AT , a to zajedno sa det(A) = 0 znaqi da je A ∈ Sp(2n). Lako se vidi davai i obrat pa zakǉuqujemo da je A ∈ Sp(2n) akko vai ATJ0A = J0. Kako jeJ−10 = −J0 to dobijamo da vai A = −J0(AT )−1J0. Zbog toga karakteristiqni

polinom matrice A ∈ Sp(2n) zadovoǉava

det(A− λId) = det(−J0(AT )−1J0 + λJ20 ) = det(−(AT )−1 + λId) =

= det(−Id+ λAT ) = det(−Id+ λA) = λ2ndet(A− 1

λId).

Koristili smo J20 = −Id. Upravo smo dokazali sledeu teoremu

Teorema 2.3.1. Sopstvene vrednosti simplektiqke matrice rasporeene su si-metriqno u odnosu na jediniqnu krunicu S1 ⊆ C, odnosno jvǉaju se u parovimaλ, 1

λ∈ R, parovima λ, λ ∈ S1, ili qetvorkama λ, 1

λ, λ, 1

λ∈ C.

2.3.2 Simplektiqke forme i simplektiqke mnogostrukosti

Definicija 2.3.3. Simplektiqka forma na glatkoj mnogostrukosti M je difer-encijalna 2-forma ω koja je

1. nedegerisana, xto znaqi da za svako Xp ∈ TpM postoji Yp ∈ TpM takvo da jeω(Xp, Yp) = 0 i

2. zatvorena, xto znaqi da je dω = 0.


Simplektiqkom mnogostrukoxu nazivamo mnogostrukost na kojoj je defin-isana simplektiqka forma. Iz prethodnog razmatraǌa zakǉuqujemo da je di-menzija simplektiqke mnogostrukosti paran broj. Moe se pokazati da pos-toje mnogostrukosti parne dimenzije koje ne dopuxtaju simplektiqku struk-turu.

2.3.3 Primeri simplektiqkih podmnogostrukosti

Navexemo nekoliko primera simplektiqkih podmnogostrukosti.1. Dva-forma ω0 =

∑Ni=1 dpi ∧ dqi na Cn = R2n je simplektiqka. Ova

forma je nedegenerisana na kompleksnim ravnima: ω0(X,√−1X) > 0 za X = 0.

Kaemo da je ω0 saglasna sa kompleksnom strukturom i =√−1.

2. kompeksne podmnogostrukosti u Cn. Neka je M skup konaqnog brojaholomorfnih funkcija n promenǉivih u Cn koje su meusobno nezavisne (ǌi-hovi diferencijali su linearno nezavisni). Dakle

M = z = (z1, ..., zn) ∈ Cn| f1(z) = 0, ..., fk(z).

Tada je TpM =∩kj=1Ker(dfj(p)). Poxto su funkcije f1, ..., fk holomorfne,

TpM je kompleksni vektorski prostor, tj. Xp ∈ TpM ⇒√−1X ∈ TpM .

Odatle na osnovu prethodnog primera sledi da je restrikcija forme ω0 naTpM nedegenerisana. Poxto restrikcija na podmnogostrukosti komutira sadiferencijalom, ω0 je i zatvorena forma, pa po definiciji 2.3.3. definixesimplektiqku strukturu na M .

Sledei primer je najznaqajniji sa stanovixta mehanike.

3. Kotangentna raslojeǌa kao simpektiqke mnogostrukosti

Neka je M proizvoǉna mnogostrukost i funkcija π : T ∗M → M, ǌenokotangentno raslojeǌe. Tada

θ(Xp) := p(πXp)

definixe kanonsku 1-formu na T ∗M . Forma

ω := −dθ

je nedegenerisana taqna 2-forma, i definixe standardnu simplektiqku struk-turu na T ∗M .

Pri izuqavaǌu neke strukture, jedan od poqetnih problema sa kojim seprirodno sreemo je definisaǌe proizvoda struktura, a takoe i odgovaraju-ih morfizama.


2.3.4 Proizvod simplektiqkih mnogostrukosti

Definicija 2.3.4. Proizvod dve simplektiqke mnogostrukosti (M1, ω1) i (M2, ω2)je mnogostrukost M1 ×M2 sa formom π∗

1ω1 − π∗2ω2.

Pokaimo sada da je proizvod simplektiqkih mnogostrukosti takoe sim-plektiqka. Zaista ako je

(Xp, Xq) ∈ T(p,q)(M1 ×M2) ∼= TpM1 ⊕ TqM2,

tada postoji vektor Yp ∈ TpM1 za koji je ω1(Xp, Yp) = 0, te je zato

(π∗1ω1 − π∗

2ω2)(Xp, Xq, Yp, Xq) = ω1(Xp, Yp)− ω2(Xq, Xq) = ω1(Xp, Yp) = 0,

odavde sledi nedegenerisanost forme π∗1ω1−π∗

2ω2. Poxto diferencijal d komu-tira sa π∗

1 i π∗2 sledi da je forma π∗

1ω1−π∗2ω2 zatvorena. Odavde zakǉuqujemo

da je i proizvod simplektiqkih formi takoe simplektiqka forma.Moe se dokazati, ako mnogostrukost M1 ×M2 iz prethodne definicije

posmatramo sa formom π∗1ω1 + π∗

2ω2 da ona i tada predstavǉa simplektiqkumnogostrukost. Dokaz je analogan prethodnom s tim xto se u ǌemu umestoznaka − na odgovarajuim mestima javǉa znak +. Pokazuje se ipak da jeprirodnije i operativnije da u definiciji izaberemo znak −.

2.3.5 Simplektomorfizmi

Pod morfizmima u nekoj strukturi podrazumevamo preslikavaǌa koja susaglasna sa tom strukturom.

Definicija 2.3.5. Pod simplektomorfizmom ili simplektiqkim difeomor-fizmom f simplektiqkih mnogostrukosti (M1, ω1) i (M2, ω2) podrazumevamo difeo-morfizam f :M1 →M2 za koje vai f∗ω2 = ω1.

Navexemo bez dokaza rezultate o Kartanovim formulama koji e nam bitinadaǉe od koristi. Dokazi ovih teorema mogu se nai u [1].

Teorema 2.3.2. Neka je X vektorsko poǉe. Tada za Lijev izvod vai Kartanovaformula:

LX = i(X) d+ d i(X).

Teorema 2.3.3. Opxti oblik Kartanove formule. Neka je α k-forma na M ,ϕt : M → M glatka familija glatkih preslikavaǌa i X(ϕt(x)) =

ddtϕt(x). Tada

jed

dtϕ∗tα = ϕ∗

t (d(i(X)α) + i(X)dα).


Naredna teorema posledica je opxteg oblika Kartanove formule.

Teorema 2.3.4. Neka je (M,ω) simplektiqka mnogostrukost i ϕt : M → Mglatka familija difeomorfizama. Neka je

d

dtϕt(x) = Xt(ϕt(x)), ϕ0(x) = x. (2.14)

Tada je ϕ∗t (x)ω ≡ ω ako i samo ako je i(Xt)ω zatvorena forma.

Sada moemo da uvedemo nekoliko vanih pojmova.

Definicija 2.3.6. Ako je 1-forma i(X)ω zatvorena, tada vektorsko poǉe X :M → TM nazivamo Simplektiqkim vektorskim poǉem.

Ako je X Simplektiqko vektorsko poǉe iz Teoreme 2.3.4. sledi da je difeo-morfizam definisan jednaqinom (2.14) simplektomorfizam. Ua klasa difeo-morfizama i vektorskih poǉa uvodi se sledeim dvema definicijama.

Definicija 2.3.7. Ako je 1-forma i(X)ω taqna, tj.

i(X)ω = dH

za neku glatku funkciju H :M → R, onda X nazivamo Hamiltonovim vektorskimpoǉem i oznaqavamo sa XH . Funkciju H nazivamo Hamiltonovom funkcijom iliHamiltonijanom.

Teorema 2.3.5. Ako jeXH Hamiltonovo vektorsko poǉe generisano Hamiltoni-janom H, u koordinatama q = (q1, ..., qn), p = (p1, ..., pn) u kojima simplektiqkaforma ima zapis ω0 =

∑d pk ∧ dqk jednaqina (2.14) ima oblik Hamiltonovih

jednaqinadq

dt=∂H

∂p

dp

dt= −∂H

∂q.

Definicija 2.3.8. Ako je Xt familija Hamiltonovih vektorskih poǉa, difeomor-fizam definisan jednaqinom (2.14) nazivamo Hamiltonovim difeomorfizmom ioznaqavamo ga sa ϕH .

Za svaku funkciju H : [0, 1] ×M → R sa kompaktnim nosaqem jednaqina(2.14) definixe Hamiltonov difeomorfizam. Obrnuto, svaki Hamiltonovdifeomorfizam sa kompaktim nosaqem (takvim da je ϕ = id van nekog kompak-tnog skupa) definisan je jednaqinom (2.14) do na konstantu.


Simplektiqka geometrija nam omoguava da izuqavamo klasiqnu mehanikuna mnogostrukostima nezavisno od izbora koordinata. Klasiqni fazni pros-tor sistema na mnogostrukostiM je T ∗M . Ako su q = (q1, ..., qn) lokalne koor-dinate na M, odnosno kordinate poloaja, lokalne koordinate p = (p1, ..., pn)sloja raslojeǌa T ∗M su koordinate impulsa. Standardna simplektiqka for-ma na T ∗M ima lokalni zapis dp ∧ dq =

∑d pk ∧ dqk.

2.3.6 Mozerov metod deformacije

Teorema 2.3.6. Neka je ωt familija simplektiqkih formi na kompleksnoj mno-gostrukosti M , takvih da je [ωt] = const. ∈ H2

DR(M). Tada postoji familijadifeomorfizama ϕt, takva da je ϕ0 = id ∧ ϕ∗

tωt = ω0.

Dokaz: Konstruisaemo difeomorfizam ϕt kao rexeǌe jednaqine

d

dtϕt(x) = X(ϕt(x)), ϕ0(x) = x, (2.15)

gde je X vektorsko poǉe izabrano na sledei naqin. Diferencirajmo jed-naqinu ϕ∗

tωt = ω0 po t, koristei opxti oblik Kartanove formule dobijamo

d

dtϕ∗tωt = ϕ∗

t (d(i(X)ωt) + i(X)dωt) =dω0

dt.

Dobijamo da vektorsko poǉe X mora da zadovoǉava

ϕ∗t (i(X)dω + di(X)ω +

∂ω

∂t) = 0. (2.16)

Forma ω je simplektiqka, pa dakle i zatvorena i nedegenerisana. Iz zatvore-

nosti forme sledi dω = 0, kako je i∂ω

∂t= dσt, jednaqina (2.16) bie zadovo-

ǉena ako bude zadovoǉenai(X)ω + σt = 0. (2.17)

Iz nedegenerisanosti forme ω sledi da jednaqinu (2.17) moemo da reximopo X. Poxto je M kompaktna mnogostrukost, za tako dobijeno X moemo dareximo (2.15) po ϕ.

Uslov kompaktosti mnogostrukosti M u prethodnoj teoremi ne moe bitiizostavǉen. Zaista, neka je na primer D otvoreni jediniqni disk u C iωt = (t+1)dp∧dq za 0 ≤ t ≤ 1. Tada je uslov [ωt] = const. ∈ H2

DR(D) trivijalnoispuǌen, jer je H2

DR(D) = 0. Meutim ne postoji simplektomorfizam ϕt diskakoji zadovoǉava ϕ∗

tωt = ω0, jer ako bi postojao, kako simplektomorfizmi diskaquvaju povrxinu, odatle bi sledilo

2π =

∫D

ω0 =

∫D

ϕ∗tωt =

∫D

ωt = 2π(t+ 1)


za svako t ∈ [0, 1]. Doxli smo do kontradikcije koja potvruje vanost uslovakompaktnosti mnogostrukosti M .

Navedimo sada dve znaqajne Teoreme bez dokaza. Za dokaze videti [1].

Teorema 2.3.7. Neka je N kompaktna podmnogostrukost mnogostrukosti M iω1 i ω2 dve simplektiqke forme na M takve da vai ω1 = ω2 na TNM . Tadapostoji otvorena okolina U podmnogostrukosti N i difeomorfizam ϕ : U → Utakav da je ψ∗ω2 = ω1.

Teorema 2.3.8. Darbuova teorema. Svaka simplektiqka mnogostrukost jelokalno simplektomorfna mnogostrukosti (R2n,

∑dpk ∧ dqk).

Posledica 2.3.1 Ako je XH Hamiltonovo vektorsko poǉe generisano Hamil-tonijanom H, uvek lokalno postoje koordinate q = (q1, ..., qn), p = (p1, ..., pn) ukojima simplektiqka forma ima zapis ω0 =

∑dpk ∧ dqk i jednaqina (2.14) ima

oblik Hamiltonovih jednaqina

dq

dt=∂H

∂p

dp

dt= −∂H

∂q.

Iz Darbuove Teoreme sledi da simplektiqke mnogostrukosti nemaju loka-lne invarijante. Odatle sledi da simplektiqke mnogostrukosti mogu dase razlikuju samo kao globalni, tj. topoloxki objekti, za razliku od Ri-manovih mnogostrukosti koje se lokalno razlikuju. Na primer sfera i ravanse lokalno razlikuju kao Rimanove mnogostrukosti, jer sfera ima pozitivnukrivinu, dok je krivina ravni nula.

2.3.7 Kontaktne mnogostrukosti

Izuqavajui simplektiqke mnogostrukosti zakǉuqili smo da je ǌihovadimenzija paran broj. One su prirodan ambijent za izuqavaǌe dinamiqkihsistema, ali je u mnogim sluqajevima od koristi upoznavaǌe sa ǌihovimneparno dimenzionim podmnogostrukostima. Primetimo da tangentno raslo-jeǌe TS hiperpovrxi S ⊂M sadri istaknuto podraslojeǌe ranga jedan

LS := Xp ∈ TpS| ωp(Xp, Yp) = 0, ∀Yp ∈ TpS.

Ako je (M,ω) simplektiqka mnogostrukost hiperpovrx kontaktnog tipa jehiperpovrx jS : S →M ukoliko na ǌoj postoji 1-forma α, tako da je

j∗Sω = dα, ∀X ∈ LS \ 0 α(X) = 0.


Za xiroku klasu autonomnih Hamiltonijana hiperpovrxi po kojima se odvijakretaǌe zadovoǉen je ovaj uslov.

Neka je P podmnogostrukost neparne dimenzije 2n + 1. Kontaktna struk-tura na P je glatka familija ε ⊂ TP tangentnih hiperprostora (glatka 2n-distribucija) koja je maksimalno neintegrabilna, xto objaxǌava sledeadefinicija.

Definicija 2.3.9. Distribucija ε je maksimalno neintegrabilna ako je

α ∧ (dα)n = 0,

forma α koja zadovoǉava ovaj uslov zove se kontaktna forma.

Pod uslovima ove definicije 2-forma dα definixe linearnu simplek-tiqku strukturu, odnosno bilinearnu kososimetriqnu formu, na svakom odpotprostora distribucije ε.

Za datu kontaktnu formu α postoji jedinstveno vektorsko poǉe Xα koje jedefinisano sa

i(Y )dα = 0, α(Y ) = 1.

Ovo poǉe se naziva Ribovo vektorsko poǉe . Ribovo vektorsko poǉe ne zavisiiskǉuqivo od kontaktne strukture ε, ve i od izbora kontaktne forme α. Akoje h : M → R proizvoǉna funkcija, forme α i ehα definixu istu kontaktnustrukturu, dok se ǌihova Ribova vektorska poǉa razlikuju, jer su to dverazliqite kontakne forme.

Slede jednostavni primeri kontaktnih mnogostrukosti i ǌima odgovaraju-ih kontaktnih formi.

Primer 2.3.2. R2n+1 je kontaktna mnogostrukost sa kontaktnom formom

α = dz +n∑i=1

yidxi.

Primer 2.3.3. Prostor 1-struja: J1M = R× T ∗M je kontaktna mnogostrukost sakontaktnom formom dt− θ, gde je sa θ oznaqena kanonska 1-forma na T ∗M .

Kontaktomorfizam je difeomorfizam koji quva distribuciju ε. Pri tomne mora da bude ψ∗α = α, difeomorfizam ψ je kontaktomorfizam ako i samoako je ψ∗α = ehα za neku funkciju h : M → R . Kontaktno vektorsko poǉeje vektorsko poǉe koje generixe familiju kontaktomorfizama. Neka je ψtfamilija kontaktomorfizama i d

dtψt(x) = Xt(ψt(x)). Diferenciraǌem jed-

naqine ψ∗tα = ehtα dobijamo

d

dtψtα =

dhtdtehtα,


odakle sledi da je Xt kontaktno vektorsko poǉe ako i samo ako je LXtα = gtαza neku funkciju gt.

Sledea teorema je kontaktna analogija Hamiltonovih jednaqina.

Teorema 2.3.9. Neka je Y Ribovo vektorsko poǉe kontaktne forme α. Vek-torsko poǉe X je kontaktno vektorsko poǉe ako i samo ako postoji funkcijaH takva da je

i(X)α = −H, i(X)dα = dH − (dH(Y ))α.

Svaka funkcija H na ovaj naqin generixe jedinstveno kontaktno vektorskopoǉe.

Dokaz: Iz Kartanove formule i prethodnih jednaqina sledi LXα = gα zag = −dH(Y ). Obrnuto, ako je LXα = gα, tada definixemo H := −i(X)α. IzKartanove formule sledi

i(X)dα = LXα− d(i(X)α) = gα + dH.

Poxto je Y Ribovo vektorsko poǉe, odavde sledi

0 = i(X)dα(Y ) = gα(Y ) + dH(Y ) = g + dH(Y ),

pa jei(X)dα = (−dH(Y )) + α+ dH.

Neka je H proizvoǉna funkcija na M i V ∈ ξ jedinstveno vektorsko poǉekoje zadovoǉava dα(V,W ) = dh(W ) za svako W ∈ ξ. Tada je XH := V − HYtraeno kontaktno vektorsko poǉe.

Simplektizacija kontaktne mnogostrukosti P sa kontaktnom formom α jesimplektiqka mnogostrukost P ×R sa simplektiqkom formom ω := d(etα), gdeje t koordinata na R.

Izuqavajui simplektiqke mnogostrukosti pomenuli smo Darbuovu teo-remu koja tvrdi ǌihovu lokalnu izomorfnost. Sliqno vai i za kontaktnemnogostrukosti.

Teorema 2.3.10. Darbu. Svaka kontaktna mnogostrukost je lokalno izomorfnakontaktnoj mnogostrukosti R2n+1 sa koordinatnom formom α = dz+

∑ni=1 yidxi.


2.4 Zakoni oquvaǌa i funkcional dejstva

2.4.1 Zakoni oquvaǌa energije

Teorema 2.4.1. (Zakoni oquvaǌa energije). Ako Hamiltonijan H ne zavisieksplicitno od t, onda je H konstantno du trajektorija Hamiltonovog sis-tema

d

dtϕt(x) = Xt(ϕt(x)), ϕ0(x) = x

za svako fiksirano x ∈M .

Dokaz: Za Hamiltonijan H vai:

d

dtH(ϕt(x)) = dH(XH) = ω(XH , XH) = 0.

Neka je H Hamiltonijan i S := H−1(c). Posmatrajmo linijsko raslojeǌe

LS := Xp ∈ TpS| ωp(Xp, Yp) = 0 za svako Yp ∈ TpS.

Ono je definisano samo pomou S. Ako je XH Hamiltonovo vektorsko poǉedefinisano Hamiltonijanom H, onda iz ω(XH , Y ) = dH(Y ) = 0 za Y ∈ TSsledi XH ∈ LS te je nosaq trajektorija vektorskog poǉa XH odreen lini-jskim raslojeǌem LS. To znaqi da nosaq trajektorije autonomnog Hamiltono-vog sistema ne zavisi od H ve samo od S := H−1(c). Sledea teorema jeuopxteǌe prethodne Teoreme.

Teorema 2.4.2. Neka Hamiltonijan H : M → R ne zavisi od vremena. Tada jefunkcija F : M → R konstantna du Hamiltonijanovih puteva definisanihHamiltonijanom H ako i sako ako je H,F ≡ 0.

Dokaz: ddtF (ϕHt (x)) = dF (XH) = ω(XF , XH) = H,F.

Definicija 2.4.1. Tri definicije prvih integrala. Neka je sistem zadatHamiltonijanom H : M → R. Tada je funkcija F : M → R prvi integral togsistema ako i samo ako je ispuǌen jedan od tri uslova:

1) algebarski- funkcije F i H Puason-komutiraju: F,H = 0;2) analitiqki- funkcija F je konstantna du trajektorija x(t) Hamiltonovog

sistema: ddtF (x(t)) = 0;

3) geometrijski- Hamiltonovo vektorsko poǉe XH je tangentno na svaku hiper-povrx nivoa funkcije F , tj. XH(m) ∈ Tm(F

−1(c)), za svako m za koje je F (m) = c.

2.4. Zakoni oquvaǌa i funkcional dejstva 35

Uslovi koji se javǉaju u prethodnoj definiciji meusobno su ekviva-lentni pa dakle ako je ispuǌen jedan od ǌih onda su ispuǌena sva tri.

Teorema 2.4.3. (Puason.) Puasonova zagrada dva prva integrala je i sama prviintegral.

Dokaz: Sledi neposredno iz Jakobijevog identiteta i algebarske karakteri-zacije prvih integrala.

Iz Puasonove Teoreme vidimo na koji naqin moemo od dva postojea prvaintegrala da formiramo novi prvi integral. Meutim, ovako dobijeni prviintegrali najqexe su funkcionalno zavisni od prethodnih ili u specijal-nim sluqajevima nula-funkcije. Zato ovaj metod konstruisaǌa novih prvihintegrala nije naroqito efikasan.

Definicija 2.4.2. Za funkcije F i G koje zadovoǉavaju uslov G,F ≡ 0 kaemoda su u involuciji.

Neka je N data podmnogostrukost na simplektiqkoj mnogostrukosti (M,ω),takva da je kodimenzija od N jednaka 1. Tada je zbog nedegenerisanostii kososimetriqnosti forme ω na podmnogostrukosti N odreeno jedno vek-torsko poǉe, jedinstveno do na parametrizaciju

XN(p) ∈ TpN, p ∈ N,

koje se sastoji od generatora kosoortogonalnih dopuna potprostora TpN uTpM tj. XN(p) ∈ (TpN)⊥ω. Poǉe XN se naziva i poǉem karakteristika ilikarakteristiqnim poǉem podmnogostrukost N .

U teoriji obiqnih diferencijalnih jednaqina postojaǌe prvog integralaqesto dovodi do svoeǌa problema na prostor kodimenzije 1. U sluqajuHamiltonovih sistema (M2n, ω,H) postojaǌe prvog integrala F , nezavisnogodH dopuxta svoeǌe problema na skup kodimenzije 2. Skicirajmo to ukratko.

Neka je Mc = F−1(c) hiperpovrx nivoa c funkcije F . Posmatrajmo naǌoj Hamiltonove tokove y(τ) generisane Hamiltonijanom F . Tada tok XH

permutuje trajektorije toka XF i time, na skupu trajektorija sistema XF

definixe jedan dinamiqki sistem. Oznaqimo lokalno sa M0c povrx dimenzije

2n−2 koja parametrizuje trajektorije sistema XF . Funkcije z1(y), ..., z2n−2(y),nezavisne meu sobom i nezavisne od F , za koje vai zi, F = 0 za svakoi ∈ 1, 2, ..., 2n − 2, zadaju koordinate na M0

c , a zajedno sa F, τ odreujukoordinate u okolini M0

c . Dodatno moemo da modifikujemo z tako da vaizi, τ = 0.

Polazei odzi, zjred := zi, zj =: J ij,


definixemo redukovanu Puasonovu zagradu naM0c . Sada se polazni Hamilto-

nov sistem svodi na dobro definisanu restrikciju na M0c :

zi = H(z, c), zired, i = 1, ..., 2n− 2,

gde je H(z, F ) = H(y). Zavisnost τ od vremena se odreuje dodatnom inte-gracijom

τ = H(z, F ), τ =∂H(z, F )

∂F.

2.4.2 Funkcional dejstva

Neka je ω taqna simplektiqka forma na mnogostrukosti M , ω = −dθ.Tada je mnogostrukost M ili nekompaktna ili ima granicu.

Definicija 2.4.3. Oznaqimo sa P(M) := γ : [0, 1] → M prostor glatkihputeva u M . Tada funkcija AH : P → R definisana sa

AH(γ) :=

∫ 1

0

(γ∗θ −Ht(γ(t)))dt

predstavǉa funkcional dejstva.

Teorema 2.4.4. Princip najmaǌeg dejstva. Neka je P0 bilo koji potpros-tor prostora P na kome je θ(γ(1)) = θ(γ(0)). Kritiqne taqke restrikcijefunkcionala AH na P0 su Hamiltonovi putevi.

Dokaz: Neka je γs varijacija puta γ, γ0 = γ i ξ = dds|s=0γs(t) ∈ TγP. Tada je

dAH(γ)ξ =

∫ 1

0

γ∗(d(i(ξ)θ) + i(ξ)dθ − dH(γ)ξ)dt

=

∫ 1

0

γ∗(−i(ξ)ω − dH(γ)ξ)dt+

∫ 1

0

γ∗(d(i(ξ)θ))dt

= −∫ 1

0

ω(ξ, γ −XH(γ))dt+ θ(γ(1))ξ − θ(γ(0))ξ.0

Na P0 vai θ(γ(1))ξ − θ(γ(0))ξ = 0, pa je dAH(γ)ξ = 0 ako i samo ako jeω(ξ, γ−XH(γ)) = 0. Kako ovo vai za svako ξ dobijamo Hamiltonove jednaqineγ −XH(γ) = 0.

Primer 2.4.1. Prostor zatvorenih puteva, tj. puteva γ : [0, 1] → M za koje jeγ(0) = γ(1), zadovoǉava uslove prostora P0 iz prethodne Teoreme. Kritiqne taqkefunkcionala dejstva na ǌemu su periodiqne orbite Hamiltonovog sistema.

2.4. Zakoni oquvaǌa i funkcional dejstva 37

Princip najmaǌeg dejstva i metod varijacije funkcionala dat sa

S(q(t)) =

∫ 1

0

L(q, q, t)dt

su dva varijaciona principa u klasiqnoj mehanici. Funkcionalu AH odgo-vara xira klasa puteva nego funkcionalu S, jer q i q nisu nezavisne prome-nǉive, dok su p i q u Hamiltonovim jednaqinama i u prethodnoj teoreminezavisne koordinate lokalnog karaktera. Meutim, putevi na T ∗M koji sukritiqne taqke prvog funkcionala projektuju se na puteve na M koji su kri-tiqne taqke drugog i jednoznaqno se podiu na T ∗M do kritiqnih taqaka pr-vog. Ova dva varijaciona principa odgovaraju dvema formulacijama klasiqnemehanike, Hamiltonovoj, na kotangentnim raslojeǌima, i Lagranovoj, natangentnim raslojeǌima. Leandrova transformacija ostvaruje prelaz sajednog jezika na drugi onda kada je to mogue, npr. u sluqaju konveksnihLagranijana.

Neka je zadat regularni Lagranijan L : TM → R sa regularnom vred-noxu e integrala energije H. Za zadate taqke q1, q2 ∈ M i dati interval[a, b] definixemo skup

Ω(q1, q2, [a, b], e) = (τ, c)|τ : [a, b] → R, τ ∈ C2[a, b], τ ′ > 0, c : [τ(a), τ(b)] →M,

c ∈ C2[τ(a), τ(b)], c(τi) = qi;H(c(τ(t)), c(τ(t))), t ∈ [a, b].Tangentni prostor na Ω u taqki (τ, c) sastoji se od preslikavaǌa C2 klaseα : [a, b] → R, v : [τ(a), τ(b)] → TM tako da vai:

1) v(t) ∈ Tc(t)M ,2) c(τ(a))α(a) + v(τ(a)) = 0,3) c(τ(b))α(b) + v(τ(b)) = 0,4) dH(c(τ(t)), c(τ(t)))(c(τ(t))α(t) + v(τ(t)), c(τ(t))α(t) + v(τ(t))).

Sledee dve Teoreme navodimo bez dokaza. Dokazi se mogu nai u [1].

Teorema 2.4.5. (Mopertjuov princip) Neka je c0(t) bazna integralna krivaHamiltonovog vektorskog poǉa XH sa krajevima q1 = c0(a) i q2 = cb(a) regu-larne vrednosti energije e i neka je

I : Ω(q1, q2, [a, b], e) → R, I(τ, c) =∫ τ(b)

τ(a)

(L+H)(c(t), c(t))dt.

Tada jedI(Id, c0) = 0, Id : [a, b] → R,

gde smo sa Id oznaqili identiqko preslikavaǌe. Obrnuto, ako je (Id, c0) kri-tiqna taqka funkcionala I za regularnu vrednost energije e, tada je c0 rexeǌeLagranove jednaqine.


Teorema 2.4.6. (Jakobi) Neka je (M, g) mnogostrukost sa Rimanovom metrikomg. Bazna integralna kriva Lagrangijana L(q, v) = g(v,v)

2− V (q) energije e je

geodezijska linija metrikege = (e− V )g,

do na parametrizaciju, sa energijom 1.

2.4.3 Liuvilova teorema

Teorema 2.4.7. (Liuvil.) Simplektiqki difeomorfizmi quvaju zapreminu de-finisanu sa ω∧n.

Dokaz: ϕ∗(ω ∧ ω ∧ ... ∧ ω) = ϕ∗ω ∧ ... ∧ ϕ∗ω = ω ∧ ... ∧ ω.

Teorema 2.4.8. (Poenkare) Neka jeM kompleksna simplektiqka mnogostruko-st, ϕ simplektiqki difeomorfizam i p bilo koja taqka iz M . Tada za svakuokolinu V , kojoj pripada taqka p, postoji prirodan broj k takav da je

ϕk(V )∩

V = 0, ϕk := (ϕ ... ϕ).

Dokaz: Iz kompaktnsti mnogotrukostiM sledi da je ǌena zapremina konaqna.ϕ je simplektiqki difeomorfizam pa na osnovu Teoreme Luivila on quva za-preminu. Skupovi V, ϕ(V ), ϕ(ϕ(V ))... ne mogu da budu svi meusobno disjunk-tni, zato postoje prirodni brojevi n i m takvi da je ϕn(V )

∩ϕm(V ) = 0, a

zbog toga ϕ|n−m|(V )∩V = 0. Traeni broj je k = |n−m|.

Poenkareova teorema pokazuje da se proizvoǉan sistem qestica koje sekreu u ograniqenom prostoru vraa proizvoǉno blizu polaznog rasporeda.

2.4.4 Poenkare-Kartanova integralna invarijanta

Teorema 2.4.9. Simplektomorfizam ψ : R2n → R2n quva vrednost funkcionala

A0 : Ω0 := γ : S1 → R2n → R, γ 7→∫γ

pdq.

Dokaz: Neka je γ = ∂D, tada je∫ψ(γ)

pdq =

∫ψ(D)

dp ∧ dq =

∫D

dp ∧ dq =

∫γ

pdq,

xto je i trebalo dokazati. Narednu teoremu navodimo bez dokaza. I u ovom sluqaju dokaz se moe

pronai u [1].

2.5. Skoro kompleksne i kompleksne strukture. Rimanova povrx 39

Teorema 2.4.10. Ako su γ0 i γ1 dve petǉe u R2n na kojima funkional A0 imaistu vrednost onda postoji simlektomorfizam ψ : R2n → R2n koji preslikavaγ0 u γ1.

Teorema 2.4.11. Neka su γ0 i γ1 dve zatvorene krive koje obuhvataju cilindarW Hamiltonovih trajektorija. Tada je∫

γ0

pdq−Hdt =

∫γ1

pdq−Hdt.

Dokaz: Svaka taqka krive γ1 je, po pretpostavci, kraj nekog Hamiltonovogputa koji polazi iz odgovarajue taqke krive γ0. Unija svih tih Hamiltonovihputeva je cilindar W . Neka je s ∈ [0, 1] parametar tih Hamiltonovih puteva,a t parametar na S1. Tada je W = γs(t)|0 < s, t ≤ 1. Ako oznaqimo saXs :=

ddsγs, onda je XH = a(s)Xs, pa je∫

γ0

pdq−Hdt−∫γ1

pdq−Hdt =

∫ 1

0

d

ds(

∫S1pdq−Hdt)ds

=

∫ 1

0

∫S1(dγ∗s i(Xs)pdq+ γ∗s i(Xs)ω − γ∗sdH(Xs))ds

=

∫ 1

0

[

∫S1dγ∗s (pdq(Xs) + da(s)H)]ds = 0,

jer je ∂S1 = ∅.

2.5 Skoro kompleksne i kompleksne strukture.Rimanova povrx

2.5.1 Skoro kompleksne strukture

Definicija 2.5.1. Glatka familija linearnih preslikavaǌa Jp : TpM → TpMtakvih da je J2

p = −Idp naziva se skoro kompleksna struktura na M . Kaemo daje J saglasna sa ω ako je ω(·, J ·) Rimanova metrika na M .

Posmatrajmo dve skoro kompleksne mnogostrukosti (M,JM) i (N, JN). Tadase preslikavaǌe u : M → N naziva holomorfnim (pseudoholomorfnim) akovai Du JM = JN Du. Ovo predstavǉa uopxteǌe obiqne holomorfnosti.Ako je skoro kompleksna mnogostrukost lokalno biholomorfna na Cn onda


se ona zove kompleksna mnogostrukost, dok se ǌena kompleksna strukturanaziva integrabilnom strukturom. Ekvivalentno, kompleksna mnogostrukostmoe da se definixe kao glatka mnogostrukost parne dimenzije 2n sa atlasom(Uλ,φλ

) za koji su sve funkcije φλ φ−1µ holomorfne na φµ(Uλ

∩Uµ) ⊂ Cn.

Broj n se naziva dimenzijom kompleksne mnogostrukosti ili ǌenom komplek-snom dimenzijuom.

Pojam holomorfnosti se pravolinijski uopxtava sa Cn na kompleksne mno-gostrukosti pomou koordinatnih karata, na isti naqin na koji se pojamdiferencijabilnosti uopxtava sa Rn na glatke mnogostrukosti.

Kompleksna podmnogostrukost u Cn se moe definisati kao skup nula kon-aqnog broja nezavisnih holomorfnih funkcija. Ove dve definicije su ekvi-valentne za podmnogostrukosti u Cn.

Xtajnovim mnogostrukostima nazivaju se kompleksne mnogostrukosti kojesu biholomorfne zatvorenim podmnogostrukostima u Rn. Zatvorenost se ovdejavǉa u topoloxkom smislu.

Navexemo bez dokaza teoremu koja predstavǉa kriterijum integrabil-nosti skoro kompleksne strukture. Dokaz se moe nai u [4].

Teorema 2.5.1. Skoro kompleksna struktura J je integrabilna ako i samo akoje

[JX, JY ]− J [JX, Y ]− J [X, JY ]− [X,Y ] = 0.

Izraz

NJ(X, Y ) := [JX, JY ]− J [JX, Y ]− J [X, JY ]− [X, Y ]

se naziva Nijenhuisov tenzor. U sluqaju da je dim(M) = 2, onda je

[JX, JY ]− J [JX, Y ]− J [X, JY ]− [X,Y ] = 0,

pa vai sledea posledica.

Posledica 2.5.1 Svaka skoro kompleksna struktura na dvodimenzionoj skorokompleksnoj mnogostrukosti je integrabilna.

Primer 2.5.1. Kompleksna struktura X → i ·X na C je rotacija tangentnih vek-tora za π

2; predstavǉajui tangentne vektore kao operatore pixemo

i∂

∂x=

∂

∂y, i

∂

∂y=

∂

∂x.

Treba praviti razliku izmeu mnoeǌa sa i u C i mnoeǌa sa i u TpC ∼= C jerse radi o operacijama u razliqitim prostorima. Taqnije, prethodne jednaqine neznaqe da je za funkciju f ∈ C∞(C)

i∂f

∂x=∂f

∂y, i∂f

∂y=∂f

∂x.


Primetimo da su ovo Koxi-Rimanove jednaqine koje vae za holomorfne funkcije,ali ne i za proizvoǉne f ∈ C∞(C). Drugim reqima, algebra holomorfnih funkcijaje prirodan algebarski objekat pridruen kompleksnoj mnogostrukosti.

Na svakoj simplektiqkoj mnogostrukosti (M,ω) postoji skoro kompleksnastruktura saglasna sa ω. Da obrnuto ne vai pokazuje sledei primer.

Primer 2.5.2. Sfera S6 nije simplektiqka, a ima skoro kompleksnu strukturu.skoro kompleksna struktura na S6 moe se konstruisati na sledei naqin. Alge-bra Kelijevih brojeva ili oktava je 8-dimenziona algebra nad R koja se moeposmatrati kao uopxteǌe kvaterniona, na isti naqin na koji su kvaternioni uop-xteǌe kompleksnih brojeva, a kompleksni realnih. Preciznije, znamo da je skupC skup svih linearnih kompibacija x + iy, gde su x, y ∈ R a i novi element kojizadovoǉava i2 = −1, algebra kvaterniona je 4-dimenziona algebra nad R koja jeskup svih linearnih kominacija z + j · ω, gde su z, ω ∈ C a j i · novi element imnoeǌe koji zadovoǉavaju j2 = −1, j · z = z · j i sve aksiome prstena. Svakikvaternion q moe da se napixe kao q = x1 + ix2 + jx3 + kx4, gde su i, j i k kvater-nioni koji se mnoe po istom pravilu po kome se operacijom standardnog vektorskogproizvoda u R3 mnoe i, j i k. Broj x1 ∈ R naziva se realnim delom, a kvaternionix2 · i+ x3 · j + x4 · k imaginarnim delom kvaterniona q. Koǌugat kvaterniona q jekvaternion q = x1 − x2 · i− x3 · j − x4 · k.

Algebra Kelijevih brojeva je algebra linearnih kombinacija α+ β ⋆ l, gde su αi β kvaternioni, a novi element l i mnoeǌe ⋆ zadovoǉavaju

α ⋆ (β ⋆ l) = (β · α) ⋆ l, (α ⋆ l) ⋆ β = (α · β) ⋆ l, (α ⋆ l) ⋆ (β ⋆ l) = −(β · α)

i sve aksiome prstena osim asocijativnosti. Dimenzija algebre oktava je 8, a jednaǌegova baza je [1, i, j, k, l, i ⋆ l, j ⋆ l, l ⋆ l]. Koeficijent uz jedinicu u ovoj bazi senaziva realnim delom Kelijevog broja, a ostatak ǌegovog zapisa u toj bazi se nazivaǌegovim imaginarnim delom.

Posmatrajmo R7 kao imaginarne Kelijeve brojeve. Definiximo vektorski proi-zvod u R7 kao

Im(a)× Im(b) = Im(a ⋆ b),

gde je ⋆ Kelijevo mnoeǌe. Za hiperpovrx Σ ∈ R7 skoro kompleksna struktura

Jp : TpΣ → TpΣ

je data saJpXp := v(x)×Xp,

gde je v : Σ → TΣ Gausovo preslikavaǌe, tj. jediniqno seqeǌe normalnog raslojeǌa.Primetimo da ono postoji ako i samo ako je mnogostrukost orijentabilna. Na istinaqin na svakoj orijentabilnoj povrxi u R3 konstruixe se kompleksna struktura, sakvaternionima umesto Kelijeve algebre. Ako se ⋆ zameni u prethodnoj definiciji samnoeǌem kvaterniona, onda je dobijena operacija × standardni vektorski proizvodu R3.


Zanimǉivo je da sliqno bilinearno mnoeǌe ne postoji u ostalim dimenzi-jama. Poznato je da na Rn postoji operacija bilinearnog mnoeǌa u odnosuna koje je svaki element, koji nije nula, invertibilan ako i samo ako jen ∈ 1, 2, 4, 6.

Iz postojaǌa simplektiqke strukture na orijentabilnim povrxima, pos-tojaǌa saglasne skoro kompleksne strukture i integrabilnosti svake skorokompleksne strukture u dimenziji 2 sledi posledica.

Posledica 2.5.2 Svaka dvodimenziona orijentabilna mnogostrukost ima kom-pleksnu strukturu.

Mnogostrukosti iz prethodne posledice nazivaju se Rimanovim povrxima.ǋima emo se nadaǉe baviti u ovom radu.

2.5.2 Rimanove povrxi i algebarske krive

Definisaemo sada Rimanove povrxi i navexemo neke najosnovnije primere.

Definicija 2.5.2. Neka je Σ povezana dvodimenziona realna mnogostrukost i Jkompleksna struktura na ǌoj. Par (Σ, J) predstavǉa Rimanovu povrx.

Primer 2.5.3. Najjednostavniji primer Rimanove povrxi je kompleksna prava Csa standardnom kompleksnom strukturom zadatom mnoeǌem sa

√−1. Svaki otvoren

podskup V ⊂ C je Rimanova povrx, sa nasleenom kompleksnom strukturom. OveRimanove povrxi pokrivene su jednom kartom.

Primer 2.5.4. Rimanova sfera CP 1 = C∪∞ ili kompleksna projektivna

prava je Rimanova povrx pokrivena sa dve karte, (U1 = C, φ1(z) = z) i (U2 =C∗ ∪∞, φ2(z) =

1z), gde je C∗ = C\0. preslikavaǌe φ2φ−1

1 : C∗ → C∗, z 7→ 1z

je biholomorfno.

Primer 2.5.5. Kompleksni torus. Neka su vektori η1, η2 ∈ C linearno nezavisninad R i Λ := Zη1+Zη2 = k1η1+k2η2| k1, k2 ∈ Z. Tada je (Λ,+) podgrupa Abelovegrupe (C,+); kaemo da je Λ rexetka razapeta vektorima η1 i η2. Kompleksnitorus je koliqniqki prostor T1 = C/Λ, sa koliqniqkom topologijom i atlasomdefinisanim na sledei naqin. Neka je V ⊂ C otvoren skup takav da je restrikcijakanonske projekcije π : C → T1 na V 1-1 preslikavaǌe. Po definiciji koliqniqketopologije, to znaqi da je π|V : V → U := π(V ) homeomorfizam. ǋegov inverzφ : U → V definixe jednu kartu na T1. Ako su φ1 i φ2 dve karte konstruisane naopisan naqin tada za preslikavaǌe φ2 φ−1

1 : φ1(U1

∩U2) → φ2(U1

∩U2) za svako

z ∈ φ1(U1

∩U2) vai π(φ2 φ−1

1 (z)) = π(z), pa je φ2 φ−11 (z) = z ∈ Λ. Skup

Λ je diskretan pa je zbog toga φ2 φ−11 (z) = const. na povezanim podskupovima u

φ1(U1

∩U2), xto znaqi da je φ2 φ−1

1 holomorfno preslikavaǌe.


Primer 2.5.6. Ravne algebarske krive, homogenizacija i dehomogenizacija, be-skonaqno daleke taqke. Posmatrajmo krivu C u kompleksnoj ravni C2 zadatu jed-naqinom P (x, y) = 0, gde je P polinom. Ako je regularna vrednost preslikavaǌa Pjednaka 0, onda je skup C kompleksna podmnogostrukost u C2. Naziv kriva opravdanje dimenzijom 1 ove mnogostrukosti.

Sada uvodimo smene x =ξ

ϖi y =

η

ϖi svodimo sabirke u jednaqini P ( ξ

ϖ, ηϖ) = 0

na zajedniqki imenilac. Ovaj se postupak naziva homogenizacijom. Tada jednaqinaP (x, y) = 0 postaje R(ξ, η,ϖ) = 0, gde je R homogeni polinom. Posledǌa jed-naqina definixe krivu u CP 2, koja se naziva projektivizacijom polazne krive C.Projektivizacija krive C moe se posmatrati kao ǌena kompaktifikacija beskon-aqno dalekim taqkama. Zaista, ako je ϖ = 0, iz definicije homogenih koordinata[ξ : η : ϖ] u CP 2 sledi da u jednaqinu R(ξ, η,ϖ) = 0 moemo da stavimo ϖ = 1,xto znaqi da je u karti ϖ = 0 kriva R(ξ, η,ϖ) = 0 zadata jednaqinom P (x, y) = 0.Ako je ϖ = 0, po definiciji homogenih koordinata sledi da je bar jedna od koor-dinata ξ, η razliqita od nule. Bez gubǉeǌa opxtosti predpostavimo da je to η, utom sluqaju moemo uzeti η = 1. Uvrstivxi ϖ = 0, η = 1 u homogenu jednaqinuR(ξ, η,ϖ) = 0 dobijamo ǌena rexeǌa ξi. Taqke [ξi : 0 : 1] su beskonaqko daleketaqke projektivizacije krive C.

Primer 2.5.7. Kvadrike su algebarske krive u CP 2 zadate homogenom jednaqinomdrugog reda ax2 + by2 + cz2 + dxy+ eyz+ fzx = 0. Ako je polinom na levoj straninedegenerisan, kvadrika je 1-dimenziona kompleksna podmnogostrukost u CP 2 koja jebiholomorfna Rimanovoj sferi.

Primer 2.5.8. Taqka (0, 0) je singularna taqka krive

Σ := (x, y) ∈ C2| y2 = x3 + x2.

U okolini te taqke kriva Σ nije mnogostrukost. Uvodimo smenu y = tx. Tadajednaqina koja definixe krivu Σ postaje

t2 = x+ 1

i definixe krivu Σ1 bez singularnih taqaka. Primetimo da je ovom smenom defini-sano preslikavaǌe π : Σ1 → Σ koje je bijekcija izmeu Σ1 \ (0, 0) iΣ \ π−1(0, 0). Pri tome je π−1(0, 0) kriva t2 = 1. Ovo je primer kako seod singularne krive smenom moe doi do ǌoj pridruene krive koja je nesingu-larna. Ta kriva se naziva nesingularno pridrueǌe ili normalizacija polaznesingularne krive, dok se opisani postupak, koji je uvek izvodǉiv u konaqno mnogokoraka, naziva razrexavaǌe singulariteta ili sigma-proces.

Uopxte, ako je ravna algebarska kriva zadata u CP 2 jednaqinom

R(ξ, η,ϖ) = 0,


onda se singularna taqka p odreuje uslovom

∂R

∂ξ(p) =

∂R

∂η(p) =

∂R

∂ϖ(p) = 0.

Navexemo jox dva primera algebarskih kriva i ǌihovih normalizacija.

Primer 2.5.9. Eliptiqke krive se definixu kao normalizacije krivih koje suzadate jednaqinama

y2 = P3(x), y2 = P4(x)

pri qemu je u indeksu polinoma naveden ǌegov stepen.

Primer 2.5.10. hiperliptiqke krive se definixu kao normalizacije krivih kojesu zadate jednaqinama

y2 = P2g+1(x), y2 = P2g+2(x), g ≥ 2

pri qemu je u indeksu polinoma naveden ǌegov stepen.

2.5.3 Holomorfne i meromorfne funkcije

Iz kompleksne analize poznata je Koxijeva integralna formula

f(z) =1

2πi

∫γ

ξ

ξ − zdξ.

Iz pomenute formule sledi da svaka funkcija f koja je holomorfna u prstenur < |z − a| < R moe u ǌemu da se predstavi kao suma konvergentnog Lora-novog reda

f(z) =∞∑

n=−∞

cn(z − a)n,

gde je

cn =1

2π√−1

∫|z−a|=ρ

f(ξ)

(ξ − a)n+1dξ

za proizvoǉno ρ ∈ (r, R). Deo Loranovog reda

−1∑n=−∞

cn(z − a)n

sa negativnim stepenima naziva se ǌegovim glavnim delom.


Ako je, specijalno, r = 0, taqka a se naziva izolovanom singularnom taqkomili izolovanim singularitetom funkcije f . U tom sluqaju za taqku a postojesledee mogunosti u zavisnosti od vrednosti za limz→af(z) :

1) Taqku a zovemo otkloǌivim singularitetom ako je limz→af(z) = z0 ∈ C;2) Taqka a se naziva polom ako limz→af(z) = ∞;3) Taqka a se naziva esencijalnim singularitetom ako limz→af(z) ne pos-

toji.Iz teorije kompleksne analize poznato je da je taqka a otkloǌivi singu-

laritet ako i samo ako za Loranov red vai

f(z) =∞∑n=0

cn(z − a)n,

a je pol ako i samo ako vai

f(z) =∞∑

n=−k

cn(z − a)n,

gde je k > 0 i ck = 0 (ima konaqno mnogo koeficijenata sa negativnim indeksomrazliqitih od nule), i da je a esencijalni singularitet ako i samo ako je

f(z) =∞∑

n=−∞

cn(z − a)n,

gde je beskonaqno mnogo qlanova niza c−1, c−2, c−3... razliqito od nule. Uposledǌem sluqaju, za svako A ∈ C

∪∞ postoji niz zn koji konvergira ka

esencijalnom singularitetu a, takav da je limn→∞f(zn) = A. Odavde slediRimanova teorema o otkloǌivom singularitetu, tj. vai da se svaka holo-morfna i ograniqena funkcija u 0 < |z − a| < R moe holomorfno pro-duiti na |z − a| < R.

Glavni deo Loranovog reda holomorfne funkcije jednak je nuli. Zato seholomorfna funkcija moe razviti u Tejlorov red, funkcije za koje je tomogue nazivaju se analitiqkim funkcijama. U daǉem tekstu bie reqi oosobinama analitiqkih funkcija.

Teorema 2.5.2. Jedinstvenost. Ako su dve holomorfne funkcije f, g : Σ1 → Σ2

Rimanovih povrxi jednake na skupu koji ima bar jednu taqku nagomilavaǌa, ondaje f ≡ g.

Dokaz: Iz povezanosti povrxi Σ1 sledi da je dovoǉno da dokaemo tvreǌelokalno pa emo da pretpotavimo da su Σ1, Σ2 otvoreni podskupovi u C. Nekaje z0 taqka nagomilavaǌa skupa z| f(z) = g(z). Funkcija ψ(z) := f(z)− g(z)je analitqka funkcija, pa iz Tejlorovog razvoda dobijamo da je

ψ(z) := (z − z0)kφ(z)


gde je k nenegativan ceo broj, φ je analitiqka funkcija i φ(z0) = 0, xtoje u suprotnosti sa pretpostavkom da je z0 taqka nagomilavaǌa skupa nulafunkcije ψ.

Ekvivalentna formulacija ove teoreme je: Ako su dve holomorfne funkcijef, g : Σ1 → Σ2 Rimanovih povrxi jednake u taqkama nekog niza u Σ1, koji sadrikonvergentan podniz, onda je f ≡ g na celom skupu Σ1.

Teorema 2.5.3. (O otvorenom preslikavaǌu.) Neka je f : Σ1 → Σ2 holo-morfno preslikavaǌe Rimanovih povrxi koje nije konstantno. Tada je f otvore-no preslikavaǌe (preslikava otvorene skupove u otvorene skupove).

Dokaz: Tvreǌe je lokalno, pa je dovoǉno dokazati ga za Σ1 = Σ2 = C. Izanalitiqnosti funkcije f sledi da se u okolini proizvoǉne taqke z0 ona moenapisati kao f(z) = (h(z))k gde je k nenegativan ceo broj, a h holomorfnopreslikavaǌe takvo da je h′(z) = 0. Zaista, iz Tejlorovog razvoja sledi da jef(z) = (z − z0)

kg(z), gde je g holomorfno preslikavaǌe i g(z) = 0 u okolinitaqke z0, pa je h(z) = (z − z0)(g(z))

1k dobro definisana holomorfna funkcija.

Dokaz Teoreme sada sledi iz otvorenosti preslikavaǌa z 7→ zk i Teoreme oinverznoj funkciji.

Posledica 2.5.3 (Princip maksimuma modula.) Neka je Σ Rimanova povrxi f : Σ → C holomorfno preslikavaǌe. Ako |f(z)| dostie svoj maksimum naΣ, onda je f konstantno preslikavaǌe.

Dokaz: Pretpostavimo da vae uslovi iz teoreme i da je f nekonstantnopreslikavaǌe. Tada iz Teoreme o otvorenom preslikavaǌu sledi da je f(Σ)otvoren, pa mora da bude u unutraxǌosti skupa z ∈ C| |z| ≤ sup|f |. Ovoznaqi da |f(z)| ne dostie svoj maksimum na Σ. Dobijena kontradikcijadokazuje tvreǌe.

Posledica 2.5.4 Neka je f : Σ1 → Σ2 holomorfno i nekonstantno preslika-vaǌe Rimanovih povrxi i neka je povrx Σ1 kompaktna. Tada je i povrx Σ2

kompaktna, a funkcija f je surjektivna.

Dokaz: Skup Σ1 je otvoren pa je prema teoremi o otvorenom preslikavaǌui f(Σ1) otvoren podskup u Σ2. Takoe je f(Σ1) zatvoren podskup u Σ2 jer jef(Σ1) kompaktan. Iz istovremeno zatvorenosti i otvorenosti skupa f(Σ1)i povezanosti Rimanove povrxi Σ2 sledi kompaktnost Σ2 i surjektivnostfunkcije f .

Iz prve posledice sledi da je svaka holomorfna funkcija na kompaktnojRimanovoj povrxi konstantna, kao i da holomorfna funkcija na otvorenomskupu u C dostie maksimum modula na granici skupa.

Iz druge posledice i Rimanove teoreme o otkloǌivom singularitetu sledida je svaka ograniqena holomorfna funkcija f : C → C konstantna, xto je


tvreǌe Liuvilove teoreme. Zaista, iz ograniqenosti u C = CP 1 \ ∞sledi da se f holomorfno produuje do preslikavaǌa f : CP 1 → C, odaklena osnovu druge posledice sledi da je f konstantno.

Iz posledice 2.5.4 moemo izvui jox jedan dokaz Osnovne teoreme al-gebre, koja tvrdi da svaki kompleksni polinom ima nulu (samim tim svakikompleksni polinom stepena n ima taqno n nula). Zaista, polinom p : C → Cmoemo da posmatramo kao holomorfno preslikavaǌe p : CP 1 → CP 1, gde jep(∞) = ∞. Iz posledice 2.5.4 sledi da je p surjektivno, pa 0 ∈ p(C).

Meromorfnom funkcijom nazivamo funkciju definisanu na podskupu kom-pleksne ravni, koja nema drugih singulariteta osim polova. Funkcija jemeromorfna ako i samo ako je koliqnik dve holomorfne funkcije. Ovaj pojamuopxtava se na Rimanove povrxi sledeom definicijom.

Definicija 2.5.3. Taqka a ∈ Σ na Rimanovoj povrxi je pol kompleksne funkcijef ako je za neku otvorenu okolinu U , kojoj pripada taqka a, funkcija f holomorfnana U \ a i limp→af(p) = ∞. Kompleksna funkcija f naziva se meromorfnom naRimanovoj povrxi Σ ako je definisana i holomorfna na otvorenom podskupu V ⊂ Σqiji je komplement Σ \ V diskretan i sastoji se samo od ǌenih polova.

Primetimo da iz Loranovog razvoja meromorfne funkcije f sledi da svakataqka p Rimanove povrxi ima koordinatnu okolinu sa lokalnom koordinatomz takvu da je z(p) = 0 i f(z) = zνh(z) lokalni zapis funkcije f u koordi-natama, pri qemu je h holomorfna funkcija takva da je h(0) = 0. Ceo broj νnaziva se poretkom funkcije f u taqki p i oznaqava se sa νp(f). Jasno je daje νp(f) > 0 ako i samo ako je p nula funkcije f i νp(f) < 0 ako i samo akoje p pol funkcije f . Ako je p nula ili pol funkcije f , broj |νp(f)| naziva sevixestrukoxu nule, odnosno pola.

Primer 2.5.11. Elementarne kompleksne funkcije. Polinomi i racionalne fu-nkcije na C definixu meromorfne funkcije na CP 1. Eksponencijalna funkcija,z 7→ ez, je holomorfna na C, a nije meromorfna na CP 1, taqka ∞ je ǌen esencijalnisingularitet. Isto vai i za trigonometrijske funkcije sin z = 1

2i(eiz − e−iz) i

cos z = 12(eiz + e−iz). Trigonometrijske funkcije tan z = sin z

cos z, cot z = cos z

sin zsu

meromorfne funkcije na C sa beskonaqno mnogo polova, ni one se ne mogu produitido meromorfnih funkcija na CP 1.

Teorema 2.5.4. Meromorfne funkcije na CP 1 su racionalne.

Dokaz: Broj polova meromorfne funkcije f : CP 1 → C je konaqan, to sledi izkompaktnosti projektivne prave. Neka su f1, ..., fl glavni delovi Loranovihrazvoja u polovima. Tada je funkcija ψ := f −

∑li=1 fi holomorfna na CP 1.

Odavde sledi, na osnovu kompaknosti projektivne prave i principa maksi-muma modula, da je ψ = const. Kako su glavni delovi Loranovog reda mero-morfnih funkcija konaqni, f =

∑li=1 fi + const. je racionalna funkcija.


2.5.4 Holomorfni i meromorfni diferencijali

Svaka diferencijalna 1-forma na Rimanovoj povrxi ima lokalni zapisf(z)dz + g(z)dz, gde su f i g glatke funkcije.

Definicija 2.5.4. Diferencijalna 1-forma ω na Rimanovoj povrxi Σ naziva seholomorfnom formom ili holomorfnim diferencijalom ili Abelovim difer-encijalom prvog reda, ako ima lokalni zapis ω = f(z)dz, gde je f holomorfnafunkcija. Vektorski prostor holomorfnih diferencijala oznaqavamo sa Ω1(Σ).

Naredna teorema predstavǉa uopxteǌe Koxijeve teoreme za holomorfnefunkcije.

Teorema 2.5.5. Stoksova formula za holomorfne diferencijale. Neka jeΣ Rimanova povrx i V ⊂ Σ otvoren podskup sa kompaktnim zatoreǌem V ideo po deo kompaktnom granicom ∂V . Tada je

∫∂Vω = 0 za svaki holomorfni

diferencijal ω definisan u okolini V .

Dokaz: Po Stoksovoj formuli vai∫∂Vω =

∫Vdω. Iz lokalnog zapisa

ω = f(z)dz za holomorfnu funkciju f sledi dω = ∂f∂zdz ∧ dz + ∂f

∂zdz ∧ dz.

Prvi sabirak je jednak nuli zbog antikomutativnosti proizvoda ∧, a drugije jednak nuli zbog holomorfnosti funkcije f .

Primer 2.5.12. Na Rimanovoj sferi nema netrivijalnih holomorfnih diferen-cijala. Zaista, ako je ω holomorfni diferencijal na CP 1, iz holomorfnosti ω,Stoksove teoreme i π1(CP 1) = 0 sledi da je sa p 7→

∫ pp0

dobro definisana holo-

morfna funkcija na CP 1, koja mora da bude konstantna, tj. 0 = df(z)dz = ω.

Primer 2.5.13. Iako na kompaktnoj Rimanovoj povrxi nema holomorfnih funkcija,u ovom primeru emo videti da na ǌoj mogu postojati holomorfni diferencijali. Nakompleksnom torusu C/Λ postoji jedinstven holomorfni diferencijal do na mnoeǌekonstantom. Zaista, holomorfni diferencijal dz na C je invarijantan u odnosu natranslaciju, pa indukuje holomorfni diferencijal ω na C/Λ. Ako je sa ω1 dat drugi

holomorfni diferencijal na torusu, onda je sa f(z) =ω1

ωdefinisana holomorfna

funkcija na torusu koja je, zbog kompaktnosti, konstantna. Dakle je ω1 = λω, λ ∈ C.

Prethodni primeri sugerixu da holomorfni diferencijali predstavǉajusamo mali potprostor beskonaqnodimenzionog prostora svih 1-formi na kom-paktnoj Rimanovoj povrxi Σ. Zaista, iz dokaza Stoksove teoreme moemozakǉuqiti da je holomorfni diferencijal zatvorena forma, pa imamo dobrodefinisano preslikavaǌe Ω1(Σ) → H1

DR(Σ) ⊗ C. Ako je holomorfni difer-encijal ω taqna forma, tada je ω = df za neku holomorfnu funkciju koja je,zbog kompaktnosti, konstantna. Dakle u tom sluqaju je ω = df = 0. Drugim


reqima, preslikavaǌe Ω1(Σ) → H1DR(Σ) ⊗ C je injektivno. Poxto je H1

DR(Σ)konaqnodimenzioni vektorski prostor, sledi da je i prostor Ω1(Σ) konaqn-odimenzioni. Kompleksnu dimenziju ovog prostora nazivamo geometrijskimrodom kompaktne Rimanove povrxi. On je jednak ǌenom topoloxkom rodu.

Xiru klasu diferencijalnih formi izdvaja sledea definicija.

Definicija 2.5.5. Meromorfnom diferencijalnom formom ili meromorfnimdiferencijalom naziva se holomorfni diferencijal ω na otvorenom podskupuV ⊂ Σ takvom da je komplement Σ \ V diskretan i ω ima lokalni zapis ω = f(z)dzza meromorfnu funkciju f sa polovima u Σ \V . Poredak νp(ω) meromorfnog difer-encijala ω u taqki p u qijoj okolini imamo zapis ω = f(z)dz je poredak funkcije fu taqki p. Reziduum meromorfnog diferencijala ω u taqki p je broj

Resp(ω) =1

2π√−1

∫∂D

ω, (2.18)

gde je sa D oznaqen disk sa centrom u p, takav da u D \ p nema polova diferenci-jala ω.

Teorema 2.5.6. Neka je ω = f(z)dz lokalni zapis meromorfnog diferencijala uokolini taqke p i f(z) =

∑+∞n=−m0

cn(z − p)n Loranov red meromorfne funkcijef . Tada je Resp(ω) = c−1.

Dokaz: Teorema se dokazuje neposrednom integracijom jednakosti ω = f(z)dzkoristei f(z) =

∑+∞n=−m0

cn(z − p)n i jednakost (2.18).

Teorema 2.5.7. Teorema o reziduumu. Neka je ω meromorfni diferencijal nakompaktnoj Rimanovoj povrxi Σ. Tada je∑

p∈Σ

Resp(ω) = 0.

Dokaz: Zbog kompaktnosti diferencijal ω ima konaqno mnogo polova p1, ..., pn.Neka su D1, ..., Dn diskovi takvi da svaki sadri taqno jedan od polova iD = Σ \ (D1

∪...∪Dn). Iz holomorfnosti diferencijala ω u D i Stoksove

teoreme sledi∑p∈Σ

Resp(ω) =n∑k=1

Respk(ω) = (2π√−1)−1

n∑k=1

∫∂Dk

ω = (2π√−1)−1

∫∂D

ω = 0,

qime je teorema dokazana.

Posledica 2.5.5 Za nekonstantnu meromorfnu funkciju f na kompaktnoj Ri-manovoj povrxi Σ vai

∑p∈Σ νp(f) = 0. Drugim reqima, broj nula funkcije f

jednak je broju ǌenih polova, raqunatih sa ǌihovom vixestrukoxu.


Dokaz: Diferencijalna forma ω = dff

holomorfna je svuda osim u polovima iu nulama funkcije f . U okolini pola ili nule f ima lokalni zapisf(z) = zνh(z), gde je h holomorfna funkcija koja je u nuli razliqita odnule, pa je ω = (νz1 + h′(z)

h(z))dz. Poxto je h′

hholomorfna funkcija, sledi

Resp(ω) = ν = νp(f). Dokaz sada sledi iz teoreme o reziduumu.

2.6 Hamilton-Jakobijeve jednaqine

U klasiqnoj mehanici simplektiqki difeomorfizmi qesto se nazivaju ikanonske transformacije. ǋima je odreena smena promenǉivih koja quva ob-lik Hamiltonovih jednaqina. Ako je dat Hamiltonijan H tada je Hamilton-Jakobijev metod rexavaǌa sistema zasnovan na izboru simplektomorfizmaψ za koji je funkcija ψ∗H jednostavnija od polazne funkcije H. Neka je ψlokalno zadato sa

ψ(q,p) = (Q(q,p),P(q,p)).

Poxto vaidq ∧ dp− dQ ∧ dP = 0,

jer je ψ∗ω = ω i ω = −d(pdq), forma pdq − PdQ je zatvorena. Kako jeHkDR(Rm) = 0 za k = 0, svaka zatvorena forma je lokalno taqna, pa postoji

lokalno definisana funkcija S(p,q) za koju je

pdq−PdQ = dS.

Ako se ove jednaqine mogu lokalno rexiti po p, tada se S moe posma-trati kao funkcija promenǉivih q i Q, pa iz posledǌe jednakosti sledi da je

p = ∂S∂q

, a odatle sledi H(q,p) = H(q,∂S

∂q). Predpostavimo da S zadovoǉava

parcijalnu jednaqinu

H(q,∂S

∂q) = K(Q). (2.19)

Definicija 2.6.1. Jednaqina (2.19) naziva se Hamilton-Jakobijeva jednaqina.

U ovom sluqaju se Hamiltonove jednaqine mogu eksplicitno rexiti, jerS definixe smenu promenǉivih ψ. U novim koordinatama Hamiltonijanse izrazava kao K(Q) pa vidimo da ne zavisi od P. Imajui to u vidu,Hamiltonove jednaqine postaju

Q = 0, P =∂K

∂Q

odakle se lako izdvajaju rexeǌa: Q(t) ≡ c1, P(t) = ∂K∂Qt + c2, gde su c1 i c1

proizvoǉne konstante.

2.6. Hamilton-Jakobijeve jednaqine 51

2.6.1 Razdvajaǌe promenǉivih u Hamilton-Jakobijevoj jednaqini

Ukoliko postoje koordinate u kojima se Hamilton-Jakobijeva jednaqina(2.19) svodi na

h(f1(x1,∂S

∂x1), ..., fn(xn,

∂S

∂xn), K) = 0, (2.20)

za neke funkcije fi, onda se Hamiltonov sistem naziva separabilnim ilisistemom koji razdvaja promenǉive u Hamilton-Jakobijevom smislu. Tada seopxte rexeǌe Hamilton-Jakobijeve jednaqine (2.19) moe nai u obliku

S =n∑i=1

Si(xi; ci),

pri qemu za funkcije Si vai

fi(xi,∂Si∂xi

) = ci, i = 1, ..., n.

Radi razdvajaǌa promenǉivih u Hamilton-Jakobijevom smislu mogu seuvoditi smene promenǉivih kako bi se doxlo do koordinata koje su od znaqaja.Sledeom definicijom uvodimo koordinate koje su veoma vane u rexavaǌutog problema.

Definicija 2.6.2. Za datu konfokalnu familiju kvadrika

q21a1 − λ

+q22

a2 − λ+ ...+

q2nan − λ

= 1,

(gde je ai = aj za i = j ) u En Jakobijeve eliptiqke koordinate taqke su vrednostiparametara λ kojima odgovaraju one kvadrike datog konfokalnog pramena koje sadretu taqku.

Radi boǉeg razumevaǌa ove definicije i ǌenog znaqaja posmatrajmo primerkonfokalne kvadrike u R3, dakle trodimenzioni sluqaj.

Primer 2.6.1. Konfokalne kvadrike u R3. Neka je familija zadata sa

x2

A− λ+

y2

B − λ+

z2

C − λ= 1, A > B > C > 0.

Posmatrajmo proizvoǉnu trojku dekartovih koordinata (x, y, z). ǋoj se moe pridru-iti jednoznaqno odreena trojka (λ1, λ2, λ3) tako da vai

x2

A− λi+

y2

B − λi+

z2

C − λi= 1, i = 1, 2, 3,

pri qemu je A ≥ λ3 > B ≥ λ2 > C ≥ λ1.Vrednosti λ = λ1, (na primer) odgovara elipsoid koji sadri taqku (x, y, z).


Primer 2.6.2. Neka je sledeom jednaqinom zadat elipsoid

x2

A+y2

B+z2

C= 1, A > B > C > 0,

kome odgovara jednaqina λ1 = 0 u eliptiqkim koordinatama. Hamiltonijan ma-terijalne taqke jediniqne mase koja se kree po inerciji po elipsoidu zadat je ueliptiqkim koordinatama formulom

H =2

λ3 − λ2((A− λ3)(λ3 −B)(λ3 − C)

λ3p21 +

(A− λ2)(B − λ2)(λ2 − C)

λ2p22).

Ovaj problem je separabilan u eliptiqkim koordinatama jer postoje odgovarajuefunkcije tako da se Hamilton-Jakobijeva jednaqina moe predstaviti u obliku (2.20).Zaista, rexeǌe Hamilton-Jakobijeve jednaqine dobija se u obliku

S(λ2, λ3; a,E) =

√E

2(

∫λ2 − a√R(λ2)

+

∫λ3 − a√R(λ3)

).

Ovaj zadatak rexio je Jakobi, a da bi to uradio morao je da uvede najpre elip-tiqke koordinate.

Teorema 2.6.1. Levi-Qivita. Sistem definisan Hamiltonijanom H(q, p) do-puxta razdvajaǌe promenǉivih u koordinatama (q, p) ako i samo ako je zadovoǉen

sistem od (n2−n)2

relacija

∂H

∂pj

∂H

∂pk

∂2H

∂qj∂qk− ∂H

∂pj

∂H

∂qk

∂2H

∂qj∂pk− ∂H

∂qj

∂H

∂pk

∂2H

∂pj∂qk+∂H

∂qj

∂H

∂qk

∂2H

∂pj∂pk= 0.

Dokaz: Pretpostavimo da se u Hamilton-Jakobijevoj jednaqini funkcijaS(q1, ..., qn) moe razloiti na sumu funkcija Sk(qk). Ako diferenciramoHamilton-Jakobijevu jednaqinu po qj dobijamo

∂pj∂qj

= −∂H∂qj

∂H∂pj

, (2.21)

pri qemu smo koristili da pj =∂Sj

∂qjzavisi samo od qj. Sada iz (2.21) sledi

da je

∂

∂qi

∂H∂qj

∂H∂pj

= 0.

Iz ovih relacija sledi tvreǌe teoreme. Za daǉe proxirivaǌe znaǌa o razdvajaǌu promenǉivih u Hamilton-Jako-

bijevoj jednaqini, upoznavaǌu sa perturbacijama separabilnih sistema i

2.6. Hamilton-Jakobijeve jednaqine 53

sistemima uopxte moe se koristiti [1]. Ovde e biti pomenuta jox samonajosnovnija znaǌa vezana za Luivilove sisteme i sisteme Xtekela.

Luivilovi sistemi

Francuski matematiqar Luivil je 1849. godine prouqavao sisteme kojisu po ǌemu dobili naziv. Ovi sistemi zadati su Hamiltonijanima oblika

H = K + U,

pri qemu je

K =1

2C

n∑i=1

aip2i , U =

1

C

n∑i=1

Ui, C =n∑i=1

nci,

gde funkcije sa indeksom i zavise samo od promenǉive qi.Posmatrajmo sledee veliqine

Ii =1

2aip

2i + Ui −Hci, i = 1, ..., n.

Funkcije Ii su zapravo prvi integrali sistema.Luivilove povrxi. Za povrx kaemo da je Luivilova ako postoje koordi-

nate (u, v) u kojima prva kvadratna forma ima oblik

ds2 = (U − V )(U1du2 + V1dv

2),

gde su U i U1 funkcije koje zavise samo od u, a V i V1 funkcije koje zavisesamo od v.

Xtekelovi sistemi

Xtekel je 1891. uveo sledee sisteme

H =n∑i=1

ai(q1, ..., qn)[p2i2

+ Ui(qi)]. (2.22)

On je takoe i dokazao sledeu teoremu

Teorema 2.6.2. (Xtekel). Sistemi oblika

H =n∑i=1

ai(q1, ..., qn)p2i2

+ V (q1, ..., qn)

dopuxtaju razdvajaǌe promenǉivih u Hamilton-Jakobijevoj jednaqini ako i samoako su oblika (2.22) i postoji nedegenerisana matrica B reda n, takva da ele-menti bij zavise samo od qj i

n∑j=1

bijaj = δi1

.


Uputstvo: Neka je A = B−1. Primetimo da je aj = aj1. Posmatrajmo veliqine

Ik =n∑i=1

aij(q1, ..., qn)[p2i2

+ Ui(qi)].

One predstavǉaju prve integrale polaznog sistema i u involuciji su.

2.7 Puasonove mnogostrukosti. Potpuno integrabilnisistemi

Posmatrajmo algebru glatkih funkcija C∞(M) na simplektiqkoj mno-gostrukosti (M,ω). Na ǌoj je zadata binarna operacija

f, g := ω(Xf , Xg),

gde su Xf i Xg Hamiltonova vektorska poǉa definisana pomou Hamiltoni-jana f , odnosno g. Tada vai:

1) ·, · je bilinearna operacija.2) f, g = −g, f - antisimetriqnost.3) f, g, h+ g, h, f+ h, fg = 0 - Jakobijev identitet.4) f, gh = f, gh+ gf, h - Lajbnicovo pravilo.Navedena svojstva dokazuju se lako direktno iz definicije za Puasonovu

zagradu f, g. Definicijom koja sledi izdvajaju se klase mnogostrukostikoje uopxtavaju simplektiqke.

Definicija 2.7.1. Puasonova algebra je komutativna algebra na kojoj je defin-isana antisimetriqna bilinearna operacija ·, · koja zadovoǉava Jakobijev iden-titet i Lajbnicovo pravilo. Mnogostrukost M sa strukturom Puasonove algebre·, · na C∞(M) naziva se Puasonova mnogostrukost.

Na osnovu ova qetiri svojstva Puasonove zagrade ona se moe zapisati iu sledeoj formi

F,G =∑i,j

J ijFxiGxi ,

pri qemu je J(2, 0) tenzor odreen baznim Puasonovim zagradama koordinat-nih funkcija J ij = xi, xj.

Skup Puasonovih mnogostrukosti je nadskup skupa simplektiqkih mno-gostrukosti. Dakle svaka simplektiqka mnogostrukost jeste Puasonova, aliobrat ne vai. To pokazuje sledei primer.

2.7. Puasonove mnogostrukosti. Potpuno integrabilni sistemi 55

Primer 2.7.1. Posmatrajmo Lijevu algebru ρ i ǌen dual ρ∗ definisan samo kaovektorski prostor, tj. kao dual vektorskog prostora ρ. Struktura Lijeve alge-bre na ρ ne definixe strukturu Lijeve algebre na ρ∗ pa nije oqigledno da li pos-toji jox neka dodatna struktura. Meutim, na ρ∗ postoji struktura Puasonove mno-gostrukosti, definisana na sledei naqin. Neka su date glatke funkcijef, g ∈ C∞(ρ∗). ǋihovi diferencijali su seqeǌa df, dg : ρ∗ → T ∗ρ∗ kotangentnograslojeǌa, qija vrednost za ξ ∈ ρ∗ pripada sloju T ∗

ξ ρ∗. Poxto je ρ∗ vektorski

prostor, dobijamo identifikaciju Tξρ∗ ∼= ρ∗, odnosno T ∗

ξ ρ∗ ∼= (ρ∗)∗ ∼= ρ, pa se

df(ξ), dg(ξ) mogu posmatrati kao elementi prostora ρ. Sada Puasonove zagradedefinixe Li-Puasonova formula

f, g(ξ) := ⟨ξ, [df(ξ), dg(ξ)]⟩,

gde je ⟨·, ·⟩ : ρ∗ × ρ→ R dualno sparivaǌe.

Iz definicije 2.7.1. sledi da za funkciju H na Puasonovoj mnogostrukostipreslikavaǌe

f 7→ H, fdefinixe linearni operator na algebri glatkih funkcija C∞(M), koji zado-voǉava Lajbnicovo pravilo. Odatle, na osnovu karakterizacije vektorskihpoǉa sledi da je H, · vektorsko poǉe. Ovo poǉe se oznaqava sa XH i nazivase Hamiltonovim vektorskim poǉem funkcije H. Samu funkciju H nazivamoHamiltonijanom vektorskog poǉa XH . Ova definicija ekvivalentna je saprethodnom u sluqaju simplektiqke mnogostrukosti.

Definicija 2.7.2. Ako je XH = 0, tj. ako je H, f = 0 za svaku glatku funkcijuf , funkcija H se naziva Kazimirovom funkcijom.

Kazimirove funkcije uoqio je pre ǌega Sofus Li koji ih je nazivao obe-leenim funkcijama. Mogu se sresti jox i termini centralne funkcije, an-ulatori, trivijalni integrali ili geometrijski integrali. Ove funkcije nasimplektiqkim mnogostrukostima su konstantne.

Definicija 2.7.3. Podmnogostrukost P0 Puasonove mnogostrukosti P naziva sePuasonovom podmnogostukoxu ako restrikcija f, g|P0 zavisi samo od restrikcijaf |P0 i g|P0 .

Iz ove definicije lako se moe zakǉuqiti da je podmnogostrukost P0

takoe Puasonova mnogostrukost. Ako je nekom simplektiqkom formom defin-isana Puasonova struktura na P0, onda se P0 naziva simplektiqkom podmno-gostrukoxu Puasonove mnogostrukosti P . Svaka Puasonova mnogostrukostdopuxta simplektiqko razlistavaǌe, tj. razlistavaǌe na maksimalne sim-plektiqke podmnogostrukosti, u opxtem sluqaju singularne. Dokaz ovog tvrd-jeǌa moe se nai u kǌizi [5].


Poznato je da za funkcije H i F kaemo da su u involuciji ako vaiF,H ≡ 0. Posmatrajmo sada simplektiqke mnogostrukosti sa indukovanomPuasonovom strukturom. Sledeu teoremu navodimo bez dokaza. Dokaz semoe nai u [1].

Teorema 2.7.1. Liuvil-Arnoǉd. Neka je na simplektiqkoj mnogostrukostiM dato n = 1

2dim(M) funkcija u involuciji

F1, ..., Fn :M → R.

Ako oznaqimo sa c := (c1, ..., cn) ∈ Rn i

Mc = x ∈M | Fk(x) = ck,

i pretpostavimo da su funkcije F1, ..., Fn nezavisne na Mc. Tada vai1)Mc je glatka mnogostrukost, invarijantna u odnosu na Hamiltonove difeo-

morfizme generisane funkcijama F1, ..., Fn.2) Ako je mnogostrukost Mc kompaktna i povezana, onda je ona difeomorfna

torusu Tn = (S1)n.3) Postoje koordinate (φ1, ..., φn) ∈ Tn tako da Hamiltonove jednaqine sa

Hamiltonijanom F1 imaju vid

dφkdt

= ϖk,c

odakle je φk(t) = φk(0) +ϖk,ct.

Torusi Mc iz prethodne teoreme nazivaju se invarijantnim ili Luiv-ilovim torusima Hamiltonovog sistema. Iz ove teoreme moemo zakǉuqitida, ako nam je poznato n nezavisnih prvih integrala, koji su u involuciji,onda sistem moemo da reximo eksplicitno u koordinatama (φ1, ..., φn) ∈ Tn.Koordinate (I1, ..., In, φ1, ..., φn) nazivaju se koordinate dejstvo-ugao.

Definicija 2.7.4. Sistem (M2n, ω,H) nazivamo potpuno integrabilnim sis-temom po Luivilu ako on ima n nezavisnih prvih integrala koji su meusobno uinvoluciji.

Iz definicije se vidi da Hamiltonovi sistemi sa jednim stepenom slobodejesu potpuno integrabilni po Luivilu. Ovakve sisteme nazivamo trivijal-nim. U sluqaju sistema sa vixe stepeni slobode situacija se znatno komp-likuje i ispitivaǌe nije jednostavno. Xtekelovi sistemi su primer potpunointegrabilnih sistema po Luivilu. Oni imaju veoma pravilnu dinamiku,ali veoma su retki. Moe se pokazati da su ovakvi sistemi mere nula uskupu Hamiltonovih sistema. Po teoremi Luivil-Arnoǉda postoje koordi-nate dejstvo-ugao u kojima bi se ovi sistemi eksplicitno integralili, ali se


iz te teoreme ne vidi eksplicitno naqin konstrukcije tih koordinata. Zatou teoriji potpuno integrabilnih sistema postoje dva osnovna i qesto veomakompleksna zadatka:

(1) Za zadati sistem pokazati da je potpuno integrabilan u Luivilovomsmislu, odnosno, konstruisati potpuno integrabilan sistem.

(2) Za zadati potpuno integrabilni sistem, izvrxiti eksplicitnu inte-graciju sistema.

Do posledǌe treine dvadesetog veka najefikasniji metod eksplicitne in-tegracije je metod razdvajaǌa promenǉivih u smislu Hamilton-Jakobijeve jed-naqine. Meutim proxirivaǌem znaǌa u ovim oblastima i otkriem besko-naqno-dimenzionih potpuno integrabilnih sistema, zadatim nelinearnim par-cijalnim jednaqinama, pojavile su se nove tehnike rexavaǌa ovih problema.Te tehnike se zasnivaju uglavnom na metodu obratnog zadatka i dodatnimanalitiqkim, algebarskim ili algebarsko-geometrijskim teorijama. Nadaǉeemo se upoznati sa osnovnim znaǌima vezanim za jednu od tih tehnika.

Metod Laksovog predstavǉaǌa

Parcijalna diferencijalna jednaqina

ut = 6uux − uxxx (2.23)

naziva se Korteveg-de Frizova jednaqina. Ona ima rexeǌe u = u(x, t) uobliku beeeg talasa:

u(x, t) = u(x− ct) = 2P(x− ct− x0)−c

6, (2.24)

gde je c brzina talasa, a x0 proizvoǉna faza. P. Laks, ameriqki matematiqar,pokazao je da je jednaqina (2.24) ekvivalentna jednaqini

Lt = [L,A], (2.25)

gde su L i A linearni diferencijalni opertori po x qiji koeficijenti zaviseod t kao od parametra:

L = −∂2x + u;

A = 4∂3x − 3(u∂x + ∂xu).

Definicija 2.7.5. Za zadatu jednaqinu, par operatora (L,A) za koji je relacija(2.25) ekvivalentna toj jednaqini, naziva se Laksova reprezentacija, Laksov parili L− A par te jednaqine.

Primer 2.7.2. Periodiqni Todin lanac. Posmatrajmo sistem od n qestica napravoj sa koordinatama x1, ..., xn qije kretaǌe se zadaje jednaqinama

xi = −Uxi .


Neka je jox i potencijal U zadat formulom

U =n∑j=1

e(xj−xj+1), xn+1 = x1,

tada se ovakav sistem naziva periodiqni Todin lanac. Moe se dokazati da jeperiodiqni Todin lanac potpuno integrabilan sistem, kao i da dopuxta Laksovopredstavǉaǌe.

U teoriji potpuno integrabilnih sistema od koristi je primeǌivaǌeLaplasove reprezentacije, a ta primena opravdana je sledeom teoremom.

Teorema 2.7.2. Sopstvene vrednosti operatora L su prvi integrali sistema

Lt = [L,A].

Dokaz: Za operator L vai

L(t+ s) = esAL(t)e−sA + o(s), s→ 0

odavde sledi

det(L(t+ s)− λE) = det(L(t)− λE) + o(s), s→ 0

Podsetimo se da je karakteristiqni polinom operatora L odreen sa

P (t) := det(L(t)− λE).

Poredei ovo sa dobijenim rezultatima zakǉuqujemo da karakteristiqni poli-nom P ne zavisi od t. To zapravo znaqi da sopstvene vrednosti operatora Lpredstavǉaju prve integrale sistema (2.25).

Zbog ove osobine sopstvenih vrednosti operatora metod Laksovih parovase qesto naziva i metod izospektralnih deformacija. Ovaj termin uveo jeMozer. Pozabaviemo se sada primerom koji je ǌegovo delo.

Primer 2.7.3. Mozerovi sistemi. Ponovo posmatramo sistem xi = −Uxi zadatpotencijalima oblika

U =∑k<l

u(xk − xl),

gde je u(x) = x−2, u(x) = sin2 x i u(x) = sinh2 x. Ovako definisani sisteminazivaju se Mozerovi sistemi.


Beskonaqno-dimenzione Hamiltonove strukture

Za zadati funkcional S[u] na nekom skupu Ω, u teoriji varijacionih za-dataka, definixe se varijacioni izvod δS kao jedinstvena n-torka

δS[u] = (δ1S[u], ..., δnS[u]),

za koju jed

dϵ|ϵ=0 S[f + ϵg] =

∫Ω

δS[f(x)] · g(x)dx,

za sve glatke funkcije f i g na Ω, pri qemu je g sa kompaktnim nosaqem.Koristi se i druga oznaka

δS[u]

δui:= δiS[u].

Nadaǉe emo obratiti paǌu na sluqaj funkcionala oblika

S[u] =

∫L[x, u, u′, ..., u(n)]dx,

kada je

δiS[u] =∑J

(−D)J∂L

∂uiJ[x, u, u′, ..., u(n)].

Napomenimo da je u prethodnoj formuli korixena oznaka (−D)J za proizvod(−Dj1)···(−Djk), pri qemu je J = (j1, ..., jk) i Dj oznaqava potpun diferencijalpo xj.

Nadaǉe emo ponovo izuqavati Puasonove strukture.

Primer 2.7.4. Gardner-Zaharov-Fadejevǉeva zagrada. U skupu funkcija jednepromenǉive definiximo zagradu

u(x), u(y) = δ′(x− y),

koja na skupu Funkcionala daje Puasonovu zagradu

F,G1 =∫

δF

δu(x)

∂

∂x

δG

δu(x)dx.

Moemo zakǉuqiti da se jednaqina (2.23) moe interpretirati kao beskon-aqno dimenzioni Hamiltonov sistem. Teorema Luivil-Arnoǉda vai za ko-naqno-dimenzione sisteme, meutim pokazuje se da jednaqina (2.23), kao i nekidrugi beskonaqno-dimenzioni sistemi, imaju veinu svojstava potpuno in-tegrabilnih sistema, meu kojima je najvanije postojaǌe beskonaqno mnogoprvih integrala koji su u involuciji.


Primer 2.7.5. Magrijeva zagrada. Na skupu funkcionala moe se definisatijox jedna Puasonova zagrada formulom

F,G2 =∫

δF

δu(x)A

δG

δu(x)dx,

gde je

A = − ∂3

∂x+ 2(u

∂

∂x+

∂

∂xu).

Korteveg-de Frizova jednaqina (2.23) je Hamiltonova u odnosu na Hamil-tonovu strukturu sa Hamiltonijanom

H2 = I0[u] =

∫u2

2dx,

odnosno

ut = AδH2

δu(x)= 6uux − uxxx.

Linearna kombinacija dve Puasonove zagrade najqexe nije Puasonovazagrada. Ipak, ispostavǉa se da linearna kombinacija Puasonovih zagrada·, ·1, ·, ·2 jeste Puasonova zagrada. To navodi na ideju da se uvede sledeadefinicija.

Definicija 2.7.6. Ako je linearna kombinacija dve Puasonove zagrade i samaPuasonova zagrada, onda za polazne zagrade kaemo da su saglasne, odnosno daformiraju pramen Puasonovih zagrada.

Vidimo, dakle da je jednaqina (2.23) Hamiltonova u odnosu na dve saglesneHamiltonove strukture. Jednaqine koje imaju ovo svojstvo nazivaju se bi-hamiltonove jednaqine.

Shoutenova zagrada definisana je relacijom

[A,B]ijk =∑s

(∂Aij

∂xsBsk +

∂Bij

∂xsAsk) + cikliqno po i, j, k.

Moe da se pokae da su dve Puasonove strukture, odreene antisimetriqnimmatricama A i B saglasne, ako je ǌihova Shoutenova zagrada identiqkijednaka nuli. U posledǌih trideset godina stvoreno je mnogo rezultatai proxireno je znaǌe o vezama izmeu bihamiltonovih sistema i sistemakoji razdvajaju promenǉive u Hamilton-Jakobijevom smislu. Bihamiltonovestrukture prirodno dovode i do drugih vanih geometrijskih objekata kaoxto su na primer Frobenijusove mnogostrukosti (ili Dubrovinove strukture),objekti vezani za topoloxku kvntnu teoriju poǉa. Detaǉnije o ovim temamamoe se nai u [1] i [3].

2.8. Lagranove i Leandrove podmnogostrukosti 61

2.8 Lagranove i Leandrove podmnogostrukosti

Neka je N podmnogostrukost simplektiqke mnogostrukosti M . Oznaqimosa (TN)⊥ω ⊂ TM podraslojeǌe tangentnih vektra u TN koji su ω -ortogonalnina TN . Ako za mnogostrukost N vai

⋄ TN ⊂ (TN)⊥ω - tada se ona naziva izotropnom;⋄ (TN)⊥ω ⊂ TN - tada se mnogostrukost N naziva koizotropnom.Za podmnogostrukost simplektiqke mnogostrukosti vai da je i sama sim-

plektiqka ukoliko je restrikcija simplektiqke forme na ǌoj nedegenerisana,odnosno ako vai TN ∩ (TN)⊥ω = 0. Potpuno suprotan sluqaj definixeLagranove podmnogostrukosti.

Definicija 2.8.1. Ako za podmnogostrukost L vai TL = (TL)⊥ω, onda se onanaziva Lagranova podmnogostrukost.

Ako vai TL = (TL)⊥ω, onda je dim(L) = 12dim(M). Ovo je jedan od

razloga zaxto se ovakvim podmnogostrukotima posveuje posebna paǌa.

Lagranove podmnogostrukosti

Neka je data simplektiqka mnogostrukost M i ω simplektiqka forma naǌoj. Podmnogostrukost L ⊂ M je Lagranova ako je dim(L) = 1

2dim(M) i

j∗L = 0 gde je j preslikavaǌe j : L → M . Lagranove podmnogostrukostijedan su od najznaqajnijih objekata u simplektiqkoj topologiji i simplek-tiqkoj geometriji. Teorema koja sledi ilustruje pomenutu vanost, ona dajenaqin na koji Lagranove podmnogostrukosti uopxtavaju simplektomorfizmei mogu da se posmatraju kao ’simplektiqke relacije’.

Teorema 2.8.1. Difeomorfizam ψ : M → M je simplektiqki ako i samo ako jeǌegov grafik Γ := (p, ψ(p))| p ∈ M Lagranova podmnogostrukost u M ×Msa simplektiqkom formom π∗

1ω − π∗2ω.

Dokaz: j∗1′(ω ⊕ (−ω)) = ω − ψ∗ω.

Posledica 2.8.1 Zadrimo oznake iz prethodne teoreme. Dijagonala∆ ⊂M ×M je Lagranova podmnogostukost.

Dokaz: Ovo je specijalan sluqaj prethodne teoreme. Navexemo sada nekoliko primera Lagranovih podmnogostrukosti.

Primer 2.8.1. 1. Rn je Lagranova podmnogostukost u Cn.2. Svaka kriva u C je Lagranova podmnogostukost.3. Torus Tn = S1 × ...× S1 je Lagranova pdmnogostukost u Cn. Ovo zajedno sa

Darbuovom teoremom za posledicu ima to da u svakoj simplektiqkoj mnogostrukostipostoje Lagranove pdmnogostukosti.


4. Neka je β :M → T ∗M 1-forma. Tada je β(M) Lagranova pdmnogostukost uT ∗M ako i samo ako je dβ = 0.

5. Konormalna raslojeǌa. Za podmnogostrukost N mnogostrukosti M konor-malno raslojeǌe dato sa

ν∗N := ξ ∈ T ∗NM | ξ(TN) = 0,

predstavǉa Lagranovu podmnogostrukost u T ∗M .6. RP n ⊂ CP n je Lagranova podmnogostrukost.7. Ako vai teorema Arnoǉd-Liuvila, onda su invarijantni torusi Mc La-

granove podmnogostrukosti.

Po Darbuovj teoremi svaka taqka simplektiqke mnogostrukosti ima svojukanonsku okolinu. Sledee tvreǌe pokazuje da nexto sliqno vai i za La-granove podmnogostrukosti.

Teorema 2.8.2. Darbu-Vajnxtajn. Neka je na mnogostrukosti M data kom-paktna Lagranova podmnogostrukost L. Tada postoji otvorena okolina U, zakoju je U ⊂ L i koja je simplektomorfna okolini nultog seqeǌa u T ∗L.

Skica dokaza: L je Lagranova podmnogostrukost, pa je ǌeno tangentnoraslojeǌe izomorfno normalnom raslojeǌu. Eksplicitno, taj izomorfizamzadat je sa

J : TL→ νL, Xp 7→ JpXp.

Odatle i iz teoreme o cevastoj okolini (detaǉnije videti u [1]) sledi dapostoji difeomorfizam ψ okoline podmnogostrukosti L u M na okolinu nul-tog seqeǌa u T ∗L. Na TL je ω = ψ∗ωT ∗L. Ova jednakost moe se proxiritina TLM modifikovaǌem difeomorfizma ψ ukoliko je to potrebno. Dokazsada sledi koristei Mozerov metod deformacije (detaǉnije proqitati u[9] i [10]).

Posmatrajmo sada podmnogostrukost j : L→ T ∗M . Ona je Lagranova akoje 1-forma j∗θ zatvorena. Ako je forma j∗θ taqna onda se L naziva taqnomLagranovom podmnogostrukoxu.

Ako je S glatka funkcija na M , onda je dS(M) taqna Lagranova podmno-gostrukost. Opxtije, za N ⊂M , i S : N → R mnogostrukost data sa

νNS := ξ ∈ T ∗NM | ξ(X) = dS(X)zaX ∈ TN

je taqna. Specijalno, dobijamo da je i ν∗N taqna.Primer taqnih Lagraovih podmnogostrukosti su Hamiltonove deforma-

cije nultog seqeǌa u T ∗M . Ukoliko je M kompaktna mnogostrukost, onda seone nazivaju kompaktne taqne Lagraove podmnogostrukosti. One su jedinepoznate mnogostrukoti sa takvim osobinama, a da li ih ima jox za sada jeotvoreno pitaǌe.

2.8. Lagranove i Leandrove podmnogostrukosti 63

Koristei Stoksovu teoremu moemo zakǉuqiti da ne postoji kompaktnataqna Lagranova podmnogostrukost utopǉena u C. M. Gromov je dokazao dane postoje kompaktne taqne Lagranove podmnogostrukosti u Cn. Ovaj i joxmnogi vani rezultati dobijeni su tehnikom holomorfnih krivih. O tome io mnogim drugim rezultatima povezanih sa ovim temama moe se qitati uliteraturi [1], [7], [8], [11] i [12]. Ovaj spisak naravno ni u kom sluqaju nijepotpun.

Leandrove podmnogostrukosti

Posmatrajmo kontaktnu mnogostrukost P . Iz uslova neintegrabilnostikontaktne strukture sledi da integralne mnogostrukosti distribucije ξ nemogu imati maksimalnu dimenziju. Precizne rezultate o tome daje sledeateorema.

Teorema 2.8.3. Neka je L ⊂ P integralna podmnogostrukost distribucije ξ ip ∈ L. Tada je TpL izotropan potprostor simplektiqkog vektorskog prostora(ξp, dα(p)).

Dokaz: Neka su sa X i Y obeleena vektorska poǉa u TL. Tada vai

i(X)α = i(Y )α = i([X,Y ])α = 0,

pa jedα(X,Y ) = Xα(Y )− Y α(X)− α([X,Y ]) = 0.

Moe se pokazati da je dimenzija podmnogostrukosti L iz prethodne teo-

reme uvek maǌa ili eventualno jednaka n. Sluqaj jednakosti je posebno vaanpa je uvedena sledea definicija.

Definicija 2.8.2. Ako vae oznake iz prethodne teoreme i pri tom je dim(L) = n,onda se L naziva Leandrovom podmnogostrukoxu.

Podmnogostrukost j : L→ T ∗M je taqna Lagranova imerzija ako i samoako se j podie do Leandrove imerzije j : L → J1M := T ∗M × R. Ako jej∗θ = dS, onda j(x) := (j(x), S(x)) definixe traenu imerziju. Podmno-gostrukosti j(L) i j(L) su tada potpuno odreene projekcijom π j : L →M × R. Skup

W := π j (L) ⊂M × R

zove se talasni front podmnogostrukosti L.

ZAKǈUQAK

Ciǉ ovog master rada je da ukae na metode svoeǌa problema klasiqnemehanike na matematiqke probleme, kao i upoznavaǌe simplektiqke geometrijekao specijalne grane diferencijalne geometrije. Iako su mnogi rezultati uradu stari vixe od jednog veka, veina tema aktivna je i danas dok se za mnogeprobleme i na mnoga pitaǌa na koja rad ukazuje i daǉe qeka odgovor. To namdaje za pravo da za teme iz rada moemo da kaemo da pripadaju savremenojmatematici.

U radu su date mnoge definicije i teoreme neophodne za objediǌavaǌei razumevaǌe materijala. Analitiqka mehanika i principi mehanike kojisu u radu izuqavani moan su aparat koji je osim matematiqarima jednakokoristan i fiziqarima i ineǌerima. Rezultati Hamiltona i Lagranapredstavǉaju osnove za razvijaǌe kvantne mehanike i teorije relativnosti.Razvoj simplektiqke geometrije i simplektiqkih struktura omoguava da za-kone mehanike na mnogostrukosti formulixemo invarijantno.U tom ciǉu se uradu uvode i prouqavaju simplektiqke forme, simplektiqke i kontaktne mno-gostrukosti, skoro kompleksne i kompleksne strukture, te na kraju navodimovanije primere simplektiqkih podmnogostrukosti.

Literatura

[1] V. Dragovi, D. Milinkovi, Analiza na mnogostrukostima, Prirodnomatematiqki fakultet, Beograd, 2003.

[2] T. P. Aneli, Tenzorski raqun, ”Nauqna kǌiga” Beograd, 1987.

[3] B. A. Dubrovin, Geometru of 2D topological field theries, in Integrable Sys-tems and Quantum Groups, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag,1996.

[4] S. Kobayashi, K. Nomizu, The foundations of differential geometry, Wiley,New York, 1963.

[5] T. Levi-Civita, Sulla integrazione della equazione di Hamilton-Jacobi per sep-arazione di variabili, Math. Ann., 1904.

[6] P. Libermann, C.-M. Marle, Symplectic geometry and analytic mechanics,Reidel, Boston, 1987.

[7] M. Audin, Spinning Tops,, Cambridge Studies in Advanced Mathematics,1996.

[8] M. Audin, Quelques remarques sur les surface lagrangiennes de Givental, J.Geom. Phys., 1990.

[9] M. Morse, Relation between the critical points of a real analytic function of nindependent variables, Trans. Amer. Math. Soc. 1925.

[10] M. Morse, The calculus of variations in the large, Amer. Math. Soc. Coll.Publ., 1934.

[11] M. Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds, Invent.Math. 1985

[12] M. Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds, Invent.Math. 1985

67

68 LITERATURA

[13] I. Ivanova-Karatopraklieva, Diferencialna geometrija, Sofijanskiuniversitet, 1989 (na bugarskom).

[14] ǈ. Nexi, Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti, Prirodno mate-matiqki fakultet, Nix, 2012.

[15] P. K. Raxevski, Rimanova geometrija i tenzorska analiza, Moskva, 1967,(na ruskom).

[16] N. S. Sinjukov, Geodezijska preslikavaǌa Rimanovih prostora, Moskva”Nauka”, 1979 (na ruskom).

[17] www.wikipedia.org

Biografija

Vladan Jovanqi je roen 24.5.1991. godine u Nixu. Osnovnu xkolu”Branko Miǉkovi” u Nixu zavrxio je 2006. godine kao nosilac diplome”Vuk Karai”. Gimnaziju ”Svetozar Markovi” u Nixu, specijalno ode-ǉeǌe za uqenike obdarene za matematiku, zavrxio je 2010. godine sa prose-qnom ocenom 5,00.

Osnovne akademske studije je upisao 2010. godine na departmanu za matem-atiku Prirodno-matematiqkog fakulteta u Nixu, koje je zavrxio 2013. go-dine sa proseqnom ocenom 9,80. Iste godine je upisao master akademskestudije na Prirodno-matematiqkom fakultetu u Nixu. Ukupni prosek kojije ostvario, ne raqunajui ocene za master rad, je 9,54. U oktobru 2015.godine je poloio sve ispite na master studijama i time stekao pravo zaodbranu master rada.

analitiqka mehanika i simplektiqka geometrija - pmf.ni.ac.rs · univerzitet u nixu...

Documents