Matematinė analizė ir tiesinė algebra

5-7 paskaitos.

2

• Funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija vadinama funkcija y=F(x), su kuria galioja lygybė F’(x)=f(x) .

• Jei funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija yra y=F(x) , tai bet kuri kita funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija y=G(x) išreiškiama formule G(x)=F(x)+C, kur C – laisvoji konstanta.

• Funkcijos y=f(x) neapibrėžtiniu integralu vadinama funkcijos y=f(x) pirmykščių funkcijų F(x)+C aibė:

čia f(x) vadinama pointegraline funkcija, o sandauga f(x)dx – pointegralinių reiškiniu.

•Iš integralo apibrėžimo aišku, kad

Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas

;)()( CxFdxxf

)())(()( xfCxFdxxf

3

Pagrindinių integralų lentelė

;10 ,ln

, aaCa

adxa

xx

;||ln Cxx

dx

; tgcos2

Cxx

dx ; ctg

sin 2Cx

x

dx

;1 ,1

aCa

xdxx

aa

;sincos Cxxdx

;Cedxe xx

.arcsin1 2

Cxx

dx

; arctg1 2

Cxx

dx

;cossin Cxxdx

4

Pagrindinių integralų lentelė

;arcsin22

22222 C

a

xaxa

xdxxa

.

24tgln

cosC

x

x

dx

;ln 22

22Caxx

ax

dx

;2

tglnsin

Cx

x

dx

;ln2

122

Cax

ax

aax

dx

;ln22

222

2222 Caxxa

axx

dxax

5

• Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą

•Funkcijų sumos integralas lygus šių funkcijų integralų sumai

•Tada bet kuriam dėmenų skaičiui n

•Skaičiuojant funkcijų sumos integralą, rašoma viena laisvoji konstanta

Neapibrėžtinio integralo savybės

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxfkdxxkf )()(

n

kk

n

kk dxxfdxxf

11

)()(

CxGxFdxxgxf )()()()(

6

Pagrindinės integravimo taisyklės

;)(1

)()(1

)( CbkxFk

bkxdbkxfk

dxbkxf

;)()( tai),(ir )()(Jeigu CuFdxufxguCxFdxxf

;|)(|ln)(

)(Cxfdx

xf

xf

7

• Integravimas keičiant kintamąjį. Jeigu x=g(t) diferencijuojama funkcija, o t – naujasis integravimo kintamasis, tai

Suintegravus, reikia grįžti prie seni kintamojo x

• Integravimas dalimis. Jei u ir v diferencijuojamos funkcijos, tai

Integravimo metodai

;vduuvudv

.)())(()( dttgtgfdxxf

8

• Šiuo metodu patogu integruoti racionaliąsias funkcijas:

• Racionaliosios funkcijos

integravimas.

•Kai n≥k, daugianarį P(x) padaliję iš (x-c)k gauname kokį nors daugianarį Q(x) ir liekaną R(x), kurio laipsnis yra mažesnis už k:

•Šią lygybę dalijame iš (x-c)k :

Neapibrėžtųjų koeficientų metodas

k

nn

nn

k cx

axaxaxa

cx

xP

)(

...

)(

)( 011

1

011

1

011

1

...

...

)(

)(

bxbxbxb

axaxaxa

xQ

xPm

mm

m

nn

nn

)())(()( xRcxxQxP k

kk cx

xRxQ

cx

xP

)(

)()(

)(

)(

9

•Integruodami gauname:

• Teorema. Tarkime, R(x) yra m-jo yra laipsnio daugianaris ir m<k. Tuomet egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ak su kuriais R(x) išreiškiamas formule

•Šia tapatybę dalijame iš (x-c)k:

•Koeficientai A1, A2, ..., Ak randami tapatybės dešiniojoje pusėje atlikus veiksmus ir sulyginus abiejų pusių koeficientus prie vienodų kintamojo x laipsnių.

Neapibrėžtųjų koeficientų metodas

kkkk AcxAcxAcxAxR )(...)()()( 1

22

11

kk

kk

k cx

A

cx

A

cx

A

cx

A

cx

xR

)()(...

)()(

)(1

12

21

dx

cx

xRdxxQdx

cx

xPkk )(

)()(

)(

)(

10

• Neapibrėžtųjų koeficientų metodas taikomas ir sudėtingesnėms racionaliosioms funkcijoms integruoti,

• Teorema. Tarkime, P(x) ir Q(x) yra n-jo ir m-jo laipsnio daugianariai ir n<m. Tuomet jei Q(x) yra išreikštas kaip

tai egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ap , B1, B2, ..., Bq, ..., M1, M2, ..., Mr, N1, N2, ..., Ns, ... su kuriais

Neapibrėžtųjų koeficientų metodas

...,)()...()()()( 22 qrqpm zwxxvuxxxxaxQ

...)(

...)()(

...)()(

)(2

212

21

q

q

p

p

x

B

x

B

x

B

x

A

x

A

x

A

xQ

xP

...)(

...)(

...222

222

11

rrr

vuxx

NxM

vuxx

NxM

vuxx

NxM

11

1. Jeigu racionalioji trupmena netaisyklingoji, tai išskyrę sveikąją dalį (padaliję skaitiklį iš vardiklio), gauname taisyklingąją racionaliąją trupmeną.

2. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos vardiklį išskaidome daugikliais. Jų gali būti 2 tipų: (x-α)p ir (x2+ux+x)r, čia α – realioji vardiklio šaknis, o kvadratinių trinarių diskriminantai neigiami.

3. Priklausomai nuo vardiklyje gauto skaidinio, nagrinėjamą taisyklingąją racionaliąją trupmeną išreiškiame paprasčiausių racionaliųjų trupmenų suma. Jų gali būti 2 tipų:

čia α, u, v, A, M, N – realieji skaičiai, k, l – natūralieji skaičiai, D=u2-4v<0 .

4. Randame neapibrėžtuosius koeficientus ir integruojame gautas paprasčiausias racionaliąsias trupmenas

Racionaliųjų trupmenų integravimo algoritmas

.)(

ir )(

2 lvuxx

NMx

x

Ak

12

1. Universalusis keitinys skaičiuojant trigonometrinės funkcijos R(x) integralą yra tg(x/2)=t, tada

2. Jeigu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) (t.y. pointegralinė funkcija nelyginė sinx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys cosx=t, tada

3. Jeigu R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) (t.y. pointegralinė funkcija nelyginė cosx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys sinx=t, tada

Trigonometrinių reiškinių integravimas

.1

2 tg,

1

1 cos ,

1

2sin ,

1

2 , arctg2

22

2

22 t

tx

t

tx

t

tx

t

dtdxtx

.1sin ,1

, arccos 2

2tx

t

dtdxtx

.1 cos ,1

,arcsin 2

2tx

t

dtdxtx

13

4. Jeigu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), tai rekomenduojamas keitinys tgx=t, tada

5. Integralams ∫sin2nxdx ir ∫cos2nxdx skaičiuoti naudojamos formulės

6.

Trigonometrinių reiškinių integravimas

.1

1 cos ,

1sin ,

1 , arctg

222t

xt

tx

t

dtdxtx

.2

2cos1sin ,

2

2cos1cos 22 x

xx

x

,)cos()cos(2

1coscos dxxnmxnmnxdxmx

,)sin()sin(2

1cossin dxxnmxnmnxdxmx

.)cos()cos(2

1sinsin dxxnmxnmnxdxmx

14

Integralas

pakeičiamas trupmenos integralu, naudojant keitinį

kur k lygus trupmenų m/n, ... , r/s bendrajam vardikliui.

Atskiru atveju, vietoje gali būti ax+b arba x.

Iracionaliųjų funkcijų integravimas

dxdcx

bax

dcx

baxxR

s

r

n

m

,...,,

,

1

tdcx

bax k

dcx

bax

15

čia p = b/a, q = c/a.

• Visais atvejais gautajame kvadratiniame trinaryje x2+px+q išskiriame pilną kvadratą ir tą dalį, kuri yra pakelta kvadratu, pažymime nauju kintamuoju t.

• Tuomet gauname vieną iš trijų reiškinių:

Iracionaliųjų funkcijų integravimas

0 kai,)(,

0 kai,,),(

2

2

2

adxqpxxaxR

adxqpxxaxRdxcbxaxxR

.2

ir 42

222 t

px

pq

pxqpxx

. .3 , .2 , .1 222222 trrtrt

16

• Iracionalumui atsikratyti galime taikyti keitinius:

Iracionaliųjų funkcijų integravimas

. ctg arba tg .1 22 urturtrt

.cos

arba sin

.2 22

u

rt

u

rtrt

. cos arba sin .3 22 urturttr

17

• Tegu funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b]. Taškais x1, x2, ...,xn-1 šį intervalą padalykime į n intervalų. Pažymėkime a=x0, b=xn. Tuomet intervalas [a; b] yra n dalinių intervalų sąjunga. Šių dalinių intervalų ilgiai yra atitinkamai Δx1= x1 – x0

, Δx2 = x2 - x1, Δxn= xn - xn-1. Kiekviename daliniame intervale [xn-1; xn] laisvai pasirinkę po vieną tašką ck , sudarykime sumą

kuri vadinama integraline suma.

Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], o

- šios funkcijos integralinė suma, w=max Δxk . Jei egzistuoja limw→0S , nepriklausanti nei nuo intervalo [a; b] skaidinio, nei nuo taškų ck pasirinkimo, tai ši riba vadinama funkcijos apibrėžtinių integralu intervale [a; b].

Apibrėžtinis integralas

,)()(...)()(1

2211

n

kkknn xcfxcfxcfxcfS

n

kkk xcfS

1

)(

18

• Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu

čia a ir b vadinami integravimo rėžiais: a – apatiniu, b – viršutiniu; f(x) – pointegralinė funkcija; f(x)dx – pointegraliniu reiškiniu.

• Jei intervale [a; b] egzistuoja funkcijos f(x) apibrėžtinis integralas, tai sakoma, kad funkcija f(x) yra integruojama intervale [a; b].

• Kiekviena tolydi uždarome intervale funkcija yra integruojama tame intervale.

•Apibrėžtinis integralas yra kreivinės trapecijos, apribotos Ox ašimi ir funkcijos y=f(x) grafiku, kai a ≤ x ≤ b, plotas (jei intervale [a; b] funkcijos reikšmės yra neneigiamos f(x) ≥ 0).

• Kai intervale [a; b] funkcijos f(x) reikšmės nėra teigiamos, t.y. f(x) ≤ 0, tai šios funkcijos apibrėžtinis integralas intervale [a; b] tenkina nelygybę

Apibrėžtinis integralas

b

a

dxxf .)(

.0)( b

a

dxxf

19

• Niutono – Leibnico formulė.

•Jei f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai funkcija F(t), išreikšta apibrėžtiniu integralu su kintamuoju viršutiniu rėžiu, t.y.

turi išvestinę F’(t)=f(t).

Apibrėžtinio integralo savybės

a

a

dxxf .0)( .)()( a

b

b

a

dxxfdxxf

).()()( aFbFdxxfb

a

t

a

batdxxftF ],,[ ,)()(

20

•Tarpinės reikšmės teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai yra toks skaičius c, a < c < b, kad galioja lygybė

•Skaičius f(c) vadinamas funkcijos y=f(x) tarpine reikšme intervale [a; b].

Apibrėžtinio integralo savybės

b

a

b

c

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

).)(()( abcfdxxfb

a

21

• Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; +∞). Funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu intervale [a; +∞) vadinama riba

• Tolydžios intervale (-∞; a] funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba

•Tolydžios intervale (-∞;∞) funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba

•Jei netiesioginį integralą apibrėžianti riba egzistuoja, tai sakoma, kad šis integralas konverguoja, priešingu atveju – diverguoja.

Netiesioginiai integralai

a

t

at

dxxfdxxf )()(lim

aa

tt

dxxfdxxf )()(lim

dxxfdxxft

tt

)()(lim

22

• Netiesioginiams integralams iš esmės galioja tokios pat savybės kaip ir apibrėžtiniam integralui, kurio rėžiai baigtiniai.

Netiesioginių integralų savybės

.)()(

a

a

dxxfdxxf

c

c

aa

dxxfdxxfdxxf )()()(

aa

dxxfkdxxkf )()(

aaa

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

23

• Niutono-Leibnico formulę apibrėžtiniam integralui skaičiuoti galima apibendrinti it taikyti skaičiuojant netiesioginius integralus.

•Kaip ir apibrėžtinio integralo, netiesioginio integralo geometrinė prasmė yra tokia pati – tam tikros figūros plotas. Ši figūra, būdama begalinė, gali turėti ir baigtinį plotą (jei integralas konverguoja). Pavyzdžiui,

Netiesioginių integralų savybės

).()(lim)()()()( aFtFaFFxFdxxfta

a

.22

arctg1

12

xdx

x