matematika teknik tpe 214 / ( 3 + 0 )...
TRANSCRIPT
Matematika Teknik TPE 214 / ( 3 + 0 ) SKS
Dr. Andasuryani, STP,MSi
Putri Wulandari Zainal, STP, MSi.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 1
KONTRAK PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah : Matematika Teknik
Kode Mata Kuliah : TPE 214
Pengajar : Dr. Andasuryani, STP,MSi
: Putri Wulandari Z, STP,MSi
Semester : III
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 2
Mata Kuliah Matematika Teknik merupakan kelompok mata kuliah
Ipteks Pendukung yang wajib diambil oleh mahasiswa. Mata kuliah
ini ditawarkan dengan bobot 3 (3+0) sks untuk membantu
mahasiswa mempelajari karakteristik dan jenis persamaan
diferensial, metoda pemecahan persamaan diferensial dan sistem
persamaan diferensial serta contoh aplikasinya pada bidang teknik.
Mata kuliah ini dilaksanakan secara Team Teaching (diampu beberapa
dosen).
Latar Belakang
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 3
Deskripsi Mata Kuliah: Nama Mata Kuliah : Matematika Teknik
Kode Mata Kuliah/ SKS : TPE 214 /3 (3+0)
Pelaksanaan : Semester (Ganjil)
Prasyarat : Kalkulus
Status Mata Kuliah : Wajib
No. Pokok Bahasan
1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial
2 Persamaan diferensial biasa (PDB) orde satu
3 Aplikasi persamaan diferensial biasa orde satu
4 Persamaan diferensial biasa orde tinggi
5 Integral lipat dan aplikasinya
6 Matrik dan matrik eksponensial
7 Pemecahan PDL dengan matrik
8 Operator polinomial
9 Pemecahan PDL dengan operator polinomial Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 4
Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti mata kuliah ini diharapkan mahasiswa
mampu menyelesaikan persoalan-persoalan
persamaan diferensial dan sistem persamaan
diferensial serta contoh aplikasinya pada bidang
teknik khususnya teknik pertanian.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 5
Self-Directed Learning (SDL): untuk merumuskan sistem
perkuliahan dan silabus MK
Contextual Teaching and Learning (CTL): dengan memberikan
contoh kasus dalam kehidupan sehari – hari
Small Grup Discussion dan Cooperative Learning (CL): membagi
mahasiswa menjadi kelompok – kelompok untuk berdiskusi tentang
pokok bahasan
Student Centered Learning (SCL).
Metode Pembelajaran:
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 6
Referensi
RK Jain & SRK Iyengar. 2002. Advanced Engineering
Matehmatics. Alpha Science International Ltd. Pangbourne
England.
Zill, Dennis G. 1982. A first course in differential equation with
applications. Prindle, Weber &Schmidt. Boston.
Bronson R. 2003. Theory and Problems of Differential
Equations. Schaum’s Outline Series, Mc Graw Hill.
John, Bird. 2007.Engineering Mathematics. Elsevier Ltd. USA
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 7
Setiap mahasiswa diwajibkan mengikuti latihan dan penyelesaian
tugas yang diberikan oleh dosen.
Setiap mahasiswa diwajibkan menyerahkan tugas-tugas yang
diberikan sesuai dengan jangka waktu yang ditetapkan.
UTS akan diadakan pada minggu ke-8 sedangkan UAS pada minggu
ke-16
Tugas
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 8
Norma Akademik
Akan mengikuti perkuliahan dengan sungguh-sungguh.
Akan menjujung tinggi aspek kejujuran dan tidak akan
membuat kecurangan, mengganggu proses belajar
mengajar, dan plagiatisme.
Kecurangan dalam ujian, nilai mata kuliah yang
bersangkutan nol.
Kehadiran perkuliahan mahasiswa minimal 80% dari total
pertemuan kuliah yang terlaksana.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 9
Norma Akademik Kegiatan pembelajaran sesuai dengan jadwal resmi dan jika
terjadi perubahan ditetapkan bersama antara dosen dan
mahasiswa.
Baik dosen maupun mahasiswa bersedia untuk menghadiri kelas
tepat pada waktunya.
Jika keterlambatan terjadi 15 menit setelah waktu yang
ditentukan (tanpa ada konfirmasi sebelumnya kepada penanggung
jawab kelas/dosen) maka orang/dosen tersebut bersedia untuk
tidak masuk kelas (Absen).
Jika tidak bisa menghadiri kelas karena izin / sakit maka disertai
dengan Surat Pengantar/Surat Dokter.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 10
Norma Akademik
Tidak menggunakan fasilitas telekomunikasi selama
berlangsungnya perkuliahan.
Pengumpulan tugas ditetapkan sesuai jadwal.
Berpakaian sopan dan bersepatu dalam perkuliahan.
Pakai baju/ kemeja putih dan celana hitam untuk pria dan
rok hitam bagi perempuan pada saat UTS dan UAS
Mematuhi norma akademik lainnya.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 11
Penilaian
Ujian MID Ujian UAS KuisTugas dan
PRKehadiran
Keaktifan di
kelasEtika
Persentase (%) 25 25 15 10 10 10 5
Pers
enta
se N
ilai (
%)
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 12
Pelaksanaan Mata Kuliah: No. Pokok Bahasan
1 Pendahuluan: Penyampaian RPS
2 Konsep Dasar Persamaan Diferensial
3 Persamaan diferensial biasa (PDB) orde satu
4 Aplikasi persamaan diferensial biasa orde satu
5 Persamaan diferensial biasa orde tinggi
6 Integral lipat dan aplikasinya
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 13
Dosen Pengampu:
Dr. Andasuryani, S.TP, M.Si
Putri Wulandari Z, STP,MSi
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 14
Apa yang saudara ketahui dari istilah berikut dan berikan
contoh:
1) Orde
2) Derajat
3) Syarat awal
4) Syarat batas
5) Persamaan diferensial implisit
6) Persamaan diferensial eksplisit
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 15
Sebutkan jenis persamaan diferensial berikut:
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
062
22
dx
dyx
xd
ydx0
2
2
2
2
y
v
x
v
dxxxdy )563( 2
)1(
122
3
xxy
y
dx
dy
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 16
Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)
Konsep Dasar Persamaan Diferensial
Kuliah ke : 2
Dr. Andasuryani, STP, MSi
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 17
OUTLINE
Konsep Dasar Persamaan Diferensial
PENGERTIAN/ DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL
KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL
BENTUK SOLUSI (PENYELESAIAN) PDB
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 18
TUJUAN
Mempelajari definisi persamaan diferensial.
Mempelajari klasifikasi persamaan diferensial
Mempelajari bentuk-bentuk solusi persamaan diferensial
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 19
Persamaan diferensial sangat penting di dalam matematika
untuk merekayasa sebab banyak hukum dan hubungan fisika
muncul secara matematis dalam bentuk persamaan
diferensial.
Persamaan diferensial dalam bidang teknik umumnya
digunakan untuk memodelkan sistem dinamis, yaitu sistem
yang berubah menurut waktu.
Contoh: Rangkaian linstrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu
Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran dll selalu berubah terhadap
waktu
Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah
Hubungan antara masukan dan keluaran pada sistem yang bersifat dinamis –
sistem kontrol
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 20
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 21
Beberapa
aplikasi
persamaan
diferensial
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 22
a) Definisi
Persamaan diferensial (PD):
Persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan
derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas.
Contoh:
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 23
b) Klasifikasi PD
Klasifikasi PD
Berdasarkan tipe
PD Biasa (PDB)
PD Parsil (PDP)
Berdasarkan orde
Orde 1
Orde 2, dst
Berdasarkan derajat (degree)
Derajat 1
Derajat 2, dst
Berdasarkan nilai variabel
bebas
Syarat awal (IC)
Syarat Batas (BC)
Berdasarkan liniearitas
Linear
Non linear
Berdasarkan homogenitas
Homogen
Non Homogen
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 24
Berdasarkan Tipe
Persamaan diferensial biasa (PDB)
Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent
Persamaan diferensial parsial (PDP)
Persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel
independent
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 25
Berdasarkan Tipe
02
2
2
2
y
v
x
v
062
22
dx
dy
dx
ydx 0sin' xey x
41032
2
Qdt
dQx
dt
Qd
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 26
Persamaan diferensial orde 1 ditulis secara matematis sebagai
berikut:
Persamaan diferensial orde 2 ditulis secara matematis sebagai
berikut:
),( yxfdx
dy
),,(2
2
dx
dyyxf
dx
yd
Berdasarkan Orde
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 27
Berdasarkan Orde
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 28
Berdasarkan Derajat
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 29
Berdasarkan Nilai Variabel Bebas
Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi
tambahan dengan sebuah nilai yang sama pada variabel
independent-nya (baik fungsi maupun turunannya), maka
dikatakan persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai
awal (intial-value problem).
Jika kondisi tambahan yang diberikan merupakan nilai yang
berbeda pada variabel independent-nya, maka dikatakan
sebagai masalah nilai-nilai batas (boundary-value problem)
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 30
Contoh:
merupakan bentuk initial-value problem, karena terdapat dua kondisi
tambahan yaitu pada x=π dengan y(π)=1 dan y’(π)=2
merupakan bentuk boundary – value problem, karena dua kondisi
tambahan diberikan pada nilai x yang berbeda yaitu pada x=0 dan x =
1.
Berdasarkan Nilai Variabel Bebas
2)(',1)(
'2"
yy
eyy x
1)1(',1)0(
'2"
yy
eyy x
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 31
Berdasarkan Nilai Variabel Bebas
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 32
Persamaan diferensial dikatakan linear jika:
Variabel dependent dan turunannya berpangkat satu
Tidak ada perkalian antara variabel dependent dan turunannya
Variabel depedent tidak berbentuk fungsi non-linear, seperti fungsi
sinus, cosinus, eksponensial
Berdasarkan Linearitas dan Homogenitas
linearnondt
dx
2
linearnondt
xdx
2
2
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 33
),( yxfdx
dy
),,(2
2
dx
dyyxf
dx
yd
)()()()(2
2
xfyxrdx
dyxg
dx
ydxp
Jika f(x) = 0homogen
Jika f(x) ≠ 0tidak homogen
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 34
tdt
dx4 t
dt
xd4
2
2
032
2
t
x
dt
dx
dt
xdt03
2
2
2
t
x
dt
dx
dt
xdt
02
2
2
ydx
yd 0cos ydx
dy
Contoh: Tentukan apakah persamaan berikut linear atau tidak linear
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 35
Contoh: Tentukan apakah persamaan berikut homogen atau tidak homogen
)()()()(2
2
xfyxrdx
dyxg
dx
ydxp
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 36
Solusi eksplisit :
Solusi PD dengan variabel bebas dan tak bebas dapat dibedakan
dengan jelas
Contoh: y=x2+ 5x +4
Solusi implisit:
Solusi PD dengan variabel bebas dan tak bebas tidak dapat dibedakan
dengan jelas
Contoh: x2+ y2 = 25 atau x2+ y2 -25 =0
BENTUK SOLUSI (PENYELESAIAN) PDB
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 37
Matematika Teknik (TPE 214 / 3+0 SKS)
Persamaan Diferensial Biasa Orde 1
Kuliah ke : 3
Dr. Andasuryani, STP,MSi.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 38
OUTLINE Persamaan Diferensial Orde 1
PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG
PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL
PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI
PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK
PENYELESAIAN PERSAMAAN BERNOULLI
PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK
QPydx
dy
nQyPydx
dy
xvY .
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 39
TUJUAN
Mampu memahami dan menyelesaikan PD orde 1 dengan integral langsung
dan pemisahan variabel
Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan homogen dengan subsitusi
y =v. x
Mampu memahami dan menyelesaikan PD linear dalam bentuk
Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Bernoulli
Mampu memahami dan menyelesaikan PD Eksak dan Tak Eksak
QPydx
dy
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 40
a). Penyelesaian PDB dengan Integral Langsung
Persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk
Solusinya dapat diselesaikan dengan integral sbb:
),( yxgdx
dy
cdxyxgy
dxyxgdy
dxyxgdy
yxgdx
dy
),(
),(
),(
),(
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 41
Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c :
SOLUSI UMUM/ PRIMITIF
Nilai c dihitung :SOLUSI KHUSUS
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 42
Contoh
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
Tentukan solusi khusus dari persamaan
563 2 xxdx
dy
45 3 xdx
dyx
xSindx
dy
xedx
dy 21
4dx
dyex
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 43
Tugas Tentukan PDB dari persamaan berikut:
Tentukan solusi PD dengan nilai awal yang diketahui:
xCosxxSindx
dy
xedx
dy
xxdx
dy
x
).3
3).2
).1
3
2
1)0(;cos).2
1)0(;).1 2
yxxdx
dy
yxdx
dy
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 44
b). Penyelesaian PDB dengan Pemisahan Variabel
Persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk
Solusinya dapat diselesaikan dengan integral sbb:
)(
)(
yh
xg
dx
dy
dxxgdyyh
yh
xg
dx
dy
)()(
)(
)(
cdxxgdyyh
ccdxxgdyyh
cdxxgcdyyh
dxxgdyyh
)()(
12)()(
2)(1)(
)()(
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 45
Contoh 1-PDB dengan pemisahan variabel
)1)(1( yxdx
dy
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 46
Contoh 2- PDB dengan pemisahan variabel
049 xdx
dyy
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 47
Tugas PDB dengan pemisahan variabel
Tentukan PDB dari persamaan berikut:
x
yx
dx
dy
dyeydxxy
dxydyx
x
2
2.).3
0)2().2
)1().1
324
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 48
c). Persamaan homogen dengan subsitusi y = vx
Bila persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan maka
penyelesaiannnya dapat dilakukan dengan subsitusi y =
v.x, dengan v adalah fungsi x dari y = v. x.
Diferensial dari persamaan y = v.x:
dx
dvxv
dx
dy
dx
dvx
dx
dxv
dx
xvd
dx
dy
xvy
.
..).(
.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 49
Contoh 1- PDB dengan subsitusi y = v. x
x
yx
dx
dy
2
3
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 50
Latihan
Selesaikan PD berikut
0)()( 222 dyxyxdxyx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 51
d). Persamaan diferensial dalam bentuk
Bila persamaan diferensial dalam bentuk
Dapat diselesaikan dengan mengalikan ke dua ruas
dengan faktor integrasi
QPydx
dy
QPydx
dy
dxxPe
)(
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 52
Contoh
xydx
dy
xydx
dy
P=-1
xdxdxxP
eee
faktor
1)(
:integrasi
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 53
Kedua ruas dikali dengan faktor integrasi tersebut.
dxxeye
dxxeye
xedx
yed
xeyedx
dye
xx
xx
xx
xxx
.
.
.)(
...
x
xx
xxx
e
cxy
cxeye
exeye
)1(
)1(
.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 54
Latihan
4)0(;3).2
3sin2).1
3
2
yxeydx
dy
x
xy
xdx
dy
x
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 55
Latihan subsitusi y= v x
Selesaikan PD berikut
0)()( 222 dyxyxdxyx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 56
Latihan
Selesaikan PD berikut
0)()( 222 dyxyxdxyx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 57
Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)
Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 (Lanjutan)
Kuliah ke : 4
Dr. Andasuryani, STP,MSi.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 58
OUTLINE Persamaan Diferensial Orde 1
PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG
PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL
PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI
PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK
PENYELESAIAN PERSAMAAN BERNOULLI
PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK
QPydx
dy
nQyPydx
dy
xvY .
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 59
TUJUAN
Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan homogen dengan subsitusi
Mampu memahami dan menyelesaikan PD linear dalam bentuk
Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Bernoulli
QPydx
dy
nQyPydx
dy
xvy .
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 60
c). Persamaan homogen dengan subsitusi y = vx
Bila persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan maka
penyelesaiannnya dapat dilakukan dengan subsitusi y =
v.x, dengan v adalah fungsi x dari y = v. x.
Diferensial dari persamaan y = v.x:
dx
dvxv
dx
dy
dx
dvx
dx
dxv
dx
xvd
dx
dy
xvy
.
..).(
.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 61
Contoh 1- PDB dengan subsitusi y = v. x
x
yx
dx
dy
2
3
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 62
Latihan
Selesaikan PD berikut
0)()( 222 dyxxydxyx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 63
d). Persamaan diferensial dalam bentuk
Bila persamaan diferensial dalam bentuk
Dapat diselesaikan dengan mengalikan ke dua ruas
dengan faktor integrasi
QPydx
dy
QPydx
dy
dxPe
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 64
Contoh 1
xydx
dy
xydx
dy
P=-1
xdxdxP
eee
faktor
1
:integrasi
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 65
Kedua ruas dikali dengan faktor integrasi tersebut.
dxxeyed
dxxeyed
xedx
yed
xeyedx
dye
xx
xx
xx
xxx
.)(
.)(
.)(
...
x
xx
xxx
xxx
ecxy
cxeye
ceexye
dxeexye
.)1(
)1(
.
.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 66
Latihan
4)0(;3).2
3sin2).1
3
2
yxeydx
dy
x
xy
xdx
dy
x
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 67
e). PDB Bernoulli
Persamaan diferensial dalam bentuk dengan P dan Q
merupakan fungsi x atau konstanta.
Solusinya dapat diselesaikan dengan cara
A). Membagi ke dua ruas dengan sehingga persamaan menjadi
B). Misalkan , sehingga
nQyPydx
dy
ny
QPydx
dyy nn 1
nyz 1
n
n
yndy
dz
dy
yd
dy
dz
)1(
)( 1
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 68
Supaya suku pertama dari persamaan dapat
digantikan dalam bentuk dalam bentuk maka persamaan
dikali dengan
sehingga didapat: dengan P1 dan Q1 fungsi x atau
konstanta
QPydx
dyy nn 1
dx
dz
QPydx
dyy nn 1 )1( n
QnyPndx
dyyn nn )1()1()1( 1
11. QzPdx
dz
dy
dz 1P z1Q
dx
dy
dx
dz
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 69
C). Persamaan didapat diselesaikan dengan faktor
integrasi
D). Setelah diperoleh penyelesaian untuk z, subsitusi untuk
mendapatkan
11. QzPdx
dz
nyz 1
y
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 70
Contoh PD Bernoulli
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
2.yx
x
y
dx
dy
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 71
Latihan PD Bernoulli
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
3
4
3
3
).1(2.4
..3
..2
..1
yxydx
dy
yeydx
dy
yxydx
dy
y
x
x
y
dx
dy
x
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 72
Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)
Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 (Lanjutan)
Kuliah ke : 5
Dr. Andasuryani, STP,MSi.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 73
OUTLINE Persamaan Diferensial Orde 1
PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG
PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL
PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI
PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK
PENYELESAIAN PERSAMAAN BERNOULLI
PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK
QPydx
dy
nQyPydx
dy
xvY .
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 74
TUJUAN
Mampu memahami dan menyelesaikan PD Eksak
Mampu memahami dan menyelesaikan PD Tak Eksak
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 75
f). PDB Eksak
Persamaan diferensial dalam bentuk
dikatakan eksak jika terdapat fungsi Q(x,y) sehingga
atau
0),(),( dyyxNdxyxM
),( yxMx
Q
),( yxN
y
Q
x
N
y
M
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 76
1. Tulislah PD dalam bentuk diferensial
2. Lakukan uji eksak
3. Jika sudah eksak, integral M terhadap x atau N terhadap y.
Misalkan pilih M, maka
Misalkan pilih N, maka
0),(),( dyyxNdxyxM
)(),(),( ygdxyxMyxQ
x
N
y
M
Langkah-langkah untuk penyelesaian eksak
)(),(),( xgdyyxNyxQ
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 77
4. Turunkan Q terhadap y dan samakan hasilnya dengan N(x,y)
Turunkan Q terhadap x dan samakan hasilnya dengan M(x,y)
5. Integralkan g’(y) untuk mendapatkan g(y)
Integralkan g’(x) untuk mendapatkan g(x)
6. Tuliskan persamaan umum dalam bentuk implisit
7. Tentukan nilai c jika diberi kondisi awal
)('),(),( ygdxyxMy
yxN
cyxQ ),(
Langkah-langkah untuk penyelesaian eksak
)('),(),( xgdyyxNy
yxM
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 78
Contoh PD Eksak
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
3)0(,
)2(
)2(2
y
xy
yx
dx
dy
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 79
f). PDB Tak-Eksak
Persamaan diferensial dalam bentuk dikatakan
tidak eksak jika
Untuk mengubah PD tak eksak menjadi eksak, maka dikalikan
dengan faktor integral x.
0),(),( yxNyxM
x
N
y
M
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 80
1. Tulislah PD dalam bentuk diferensial
2. Lakukan uji eksak, jika tidak eksak kalikan dengan faktor
integral x,
3. Lakukan uji eksak lagi, jika sudah eksak maka langkah-
langkahnya sama dengan penyelesaian PD eksak.
0),(),( dyyxNdxyxM
Langkah-langkah untuk penyelesaian PD tak-eksak
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 81
Contoh PD Tak-Eksak
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
0).2( dxexydyx x
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 82
Latihan PD Eksak
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
)2(
)2(.4
.3
2
2
xy
yx
dx
dy
yySinx
yCos
dx
dy
3)0(,22
4.2
3)0(,22
43.1
2
2
2
2
yyx
xyx
dx
dy
yyx
xyx
dx
dy
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 83
Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)
Aplikasi Persamaan Diferensial Orde 1
Kuliah ke : 6
Dr. Andasuryani, STP,MSi.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 84
OUTLINE
Aplikasi Persamaan Diferensial Orde 1
PERTUMBUHAN DAN KERUSAKAN
PENDINGIAN
RANGKAIAN LISTRIK
CAMPURAN KIMIA
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 85
TUJUAN
Mampu memahami dan menyelesaikan beberapa persoalan dengan menggunakan persamaan diferensial orde 1.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 86
a). Pertumbuhan dan Kerusakan
Persamaan diferensial yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persoalan
pertumbuhan dan kerusakan adalah
konstant
)( 00
k
xtx
kxdt
dx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 87
Contoh
N0 adalah jumlah bakteri pada kondisi awal. Pada t=1 jam, jumlah bakteri yang terukur adalah 3/2 N0. Jika laju pertumbuhan bakteri adalah proporsional terhadap jumlah bakteri, maka
a). Tentukan jumlah bakteri sekarang
b). Tentukan waktu yang diperlukan bakteri menjadi 3
kali lipat.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 88
Diketahui:
t0 = N0
t1 = 3/2 N0
Ditanya:
N(t)
t pada saat N= 3N0
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 89
t Nt
1 1.50005
2 2.25016
2.71 3.00088
3 3.37535
4 5.06321
5 7.59507
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 90
b). Pendinginan
Hukum Newton tentang pendinginan menyatakan bahwa laju
perubahan suhu adalah sebanding dengan perbedaan suhu
antara benda dengan lingkungan
konstanta
lingkungansuhu
)(
0
0
k
T
TTkdt
dT
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 91
Contoh
Ketika sepotong irisan pinang dikeluarkan dari oven pengering, suhunya terukur 300 0F. Tiga menit kemudian suhunya menjadi 200 0F. Berapa lama irissan pinang tersebut akan menjadi dingin pada suhu ruang 70 0F.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 92
Diketahui:
t0 T= 300 0F. t3 T= 200 0F.
Ditanya:
T(t)
t pada saat T= 70 0F.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 93
t(menit) Tt
20.1317 75
21.305 74
22.8177 73
24.9497 72
28.5944 71
32.2391 70.5
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 94
c). Rangkaian seri L-R
Pada rangkaian seri yang terdiri dari resistor dan induktor,
Hukum Kirchoff ke dua menyatakan bahwa penjumlahan
tegangan yang melewati induktor (L(di/dt)) dan resistor (i
R) adalah sama dengan E(t) padan rangkaian.
sistem dari responsedengan disebut kadng-kadang i(t) Arus
konstanta,
Tegangan)(
)(
RL
tE
tERidt
diL E
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 95
Contoh
Sebuah baterai 12 volt dihubungkan secara seri dengan induktasni ½ Henry dan tahanan 10 ohm. Tentukan arus i jika arus awal sama dengan nol.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 96
Diketahui:
L= 0.5
R = 10
E = 12
i0 i= 0
Ditanya:
I(t)
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 97
d). Campuran kimia
keluar yangbahan laju
masuk yangbahan laju
2
1
21
R
R
RRdt
dA
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 98
Contoh
Pada saat awal, sebanyak 50 pounds garam dilarutkan dalam tangki dengan 300 gallon air. Larutan air garam dipompakan ke dalam tangki pada kecepatan 3 gallon per menit dan larutan yang teraduk dengan baik akan dipompakan keluar pada kecepatan yang sama. Jika konsentrasi larutan yang masuk adalah 2 pounds per gallon, tentukan jumlah garam di dalam tangki pada suatu waktu. Berapa banyak garam setelah 50 menit.
Jika larutan yang teraduk dengan baik dipompakan keluar dengan kecepatan 2 galloan per menit, berapa jumlah garam dalam tangki pada suatu waktu
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 99
Diketahui:
A0 = 50
vi = 3 gallon/ menit
vo = 3 gallon/ menit
ci = 2 pound/ gallon
Ditanya:
A(t) , A(50) pada kecepatan masuk bahan=keluar
A(t) pada kecepatan masuk bahan≠keluar
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 100
t At
0 50
50 266.408
100 397.666
150 477.278
200 525.566
250 554.853
300 572.617
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 101
Matematika Teknik
Integral Lipat dan Aplikasinya
Kuliah ke : 7
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 102
OUTLINE
Integral Lipat 2
Intehral Lipat 3
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 103
TUJUAN
Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan integral lipat 2 dan 3.
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 104
Tentukan penyelesaian dari persamaan integral lipat 2
berikut:
1
0 2
).1
x
x
dxdy
2). LipatIntegrala
2
12
2
2
).2
xx
xx
dxdyx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 105
Tentukan penyelesaian dari persamaan integral lipat 2
berikut:
4
1 0
2
).1
x
x
xy
dxdydz
3). LipatIntegralb
2
2 2
2
).2
x
x
y
y
dxdydz
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 106
Mencari luas bidang yang dibatasi grafik.
2LipatIntegralAplikasi
dy
dx
Y= g(x) Y= f(x)
x=a x=b
bx
ax
xg
xf
bx
ax
xg
xf
dxdyA
dAA
)(
)(
)(
)(
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 107
Pias vertikal
piasJenis
-10
-5
0
5
10
15
20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y=x^2
Y=2x+3dy
dx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 108
Pias horizontal
piasJenis
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y^2=4-4x
Y^2=4-x
dy dx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 109
Hitung luas kurva antara
32dan2 xyxy
vertikalPiasContoh
-10
-5
0
5
10
15
20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y=x^2
Y=2x+3dy
dx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 110
Hitung luas kurva antara
xyxy 44dan4 22
horizontalPiasContoh
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y^2=4-4x
Y^2=4-x
dy dx
Konsep Dasar Persamaan Diferensial-
Andasuryani 111
Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)
Matrik
Kuliah ke : 8-9
Putri Wulandari Zainal, STP, MSi
112
Matriks
Adalah set bilangan real atau bilangan
kompleks (elemen-elemen) yang disusun
dalam baris dan olom sehingga membentuk
jajaran persegi panjang (rectangular array)
113
o suatu matriks yang memiliki baris (m) dan
kolom (n) disebut sebagai matriks yang
memiliki orde m x n
= 2 x 3
Contoh soal :
1. = matriks berode ............
114
2. = matriks berode ............
3. = matriks berode ...........
115
Matriks Baris & Matriks Kolom
o Matriks baris adalah suatu matriks baris yang
terdiri dari satu baris saja
o Matriks kolom adalah suatu matriks kolom
yang terdiri dari satu kolom
116
Contoh Soal :
1. = matriks ............ Berode ..............
2. = matriks .........
Berode...............
3. = matriks..........
Berode...............
117
Penambahan & Pengurangan Matriks
1. + =
=
2. - =
3. - =
118
Perkalian Matriks
1. Perkalian Skalar
4 x =
2. Perkalian dua matriks
Jika A = (aij) =
b = (bij) =
119
Maka A.b = .
=
Contoh :
Jk A = (aij) = dan B = (bij) =
120
Maka A . B =
=
Matriks 3 x 2 dan 2 x4 menghasilkan matriks 3
x 4
121
Transpos
Jika baris dan kolom suatu matriks disaling
tukarkan :
Yaitu baris pertama menjadi kolom pertama
baris kedua menjadi kolom kedua
baris ketiga menjadi kolom ketiga
Maka matriks yang baru dibentuk disebut
transpos dari matriks aslinya
122
Jika A = , maka =
123
Determinan Suatu Matriks Bujur Sangkar
Determinan dari ialah
Det A = = - -
= 9
124
Quiz (45 menit)
1. A = , dan B = , maka A. B
=...........
dan = .................
125
Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)
Pemecahan DPL dengan Matrik
Kuliah ke : 10-12
Putri Wulandari Zainal, STP, MSi
126
ADJOIN SUATU MATRIKS BUJUR
SANGKAR
Langkah-langkah untuk adjoin matriks bujur-sangkar A adalah
1. Bentuk matriks C kofkator
2. Tulis transpos C, yakni
A =
det A =
Matriks baru C dari kofaktor-kofaktornya
C = dimana merupakan
kofaktor
merupakan
kofaktor
= + = +(0-24) = - 24
= - = -(0-6) = 6
= + = (16-1) = 15
= - = 20
= + = -5
= - = -5
= + = 13
= - = 8
= + = -10
Matriks kofaktor ialah
C =
transpos C, yakni =
INVERS SUATU MATRIKS BUJUR-
SANGKAR Jika setiap elemen adjoin A dibagi dengan nilai
determinan A (asalkan ≠ 0) maka matriks yang dihasilkan disebut invers A ( )
Langkah-langkah untuk membentuk invers:
1. Tentukan nilai determinan A
2. Bentuklah matriks C kofaktor dari elemen
3. Tulislah transpos C ( ) untuk memperoleh adjoin A
4. Bagilah setiap elemen dengan
5. Matriks yang dihasilkan ialah invers dari matriks asli A
Det A = =
= 2 (0-24) – 3 (0-6) + 5 (16-1)
= 45
Matriks kofaktor C =
Adjoin A yakni =
Invers A adalah
=
Hasil Kali Suatu Matriks Bujur-Sangkar
dan Inversnya Mis A =
= 1/28
Maka . A = 1/28
= 1/28
=
=
= I
Maka hasil kali dari matriks bujur sangkar dan
inversnyaialah matriks satuan dengan orde
matriks yang sama
Matriks satuan ialah suatu matriks diagonal
yang elemen-elemen pada diagonal utama
semuanya satu
Invers Suatu Matriks Bujur Sangkar
mengggunakan Vektor
Cara ini didasarkan atas suatu fakta bahwa
inverse suatu matriks A memenuhi syarat
sebagai berikut :
A = , cari
Misalkan
=
(1) =
(2) 2a + 3c = 1
(3) 2b + 3d = 0
(4) 3a + 5c = 0
(5) 3b + 5d = 1
a = 5, b = -3
= =
Subsitusi (1) & (2) 2a + 3c = 1 x3 6a + 9c = 3
3a + 5c = 0 x2 6a + 10c = 0
•C = -3
Subsitusi (2) & (3)
2b + 3d = 0 x3 6b + 9d = 0
3b + 5d = 1 x2 6b + 10d = 2
•d = 2
PENYELESAIAN SET PL
MENGGUNAKAN MATRIKS
Jika kita kalikan kedua sisi persamaan
matriks dengan invers A maka :
Contoh soal
Maka selesaikanlah persamaan tersebut :
Metode Eliminasi Gaus untuk
Menyelesaikan Set Persamaan Linear
Contoh Soal
1.
2. Hitunglah x1, x2, x3, dan x4 dari Persamaan
Linear berikut
ATURAN CRAMER
Beberapa langkah langkah pemecahan
Sistem Persamaan Linear menggunakan
metode cramer antara lain :
1. Ubah persamaan linier menjadi matriks
2. Hitung nilai determinan A
3. Nilai variabel
a. Ganti kolom pertama dengan nilai ruas
kanan (h1, h2, h3)
b. Hitunglah nilai variabel dengan cara
:
3. Nilai variabel
a. Ganti kolom kedua dengan nilai ruas
kanan (h1, h2, h3)
b. Hitunglah nilai variabel dengan
cara :
Contoh Soal
1. Sistem Persamaan Linear berikut adalah:
Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)
Persamaan Lininer dan Persamaan Linier Simultan
Kuliah ke : 13-14
Putri Wulandari Zainal, STP, MSi
149
Penyelesaian persamaan sederhana
Pada dasaranya berupa penyederhanaan
pernyataan pada setiap sisi persamaan
tersebut untuk memperoleh suatu persamaan
yang berbentuk :
ax + b = cx + d
menghasilkan,
Ax – cx = d – b
Maka
contoh
KPK dari 2,3,4,&6 ialah 12
6(x+2) – 4(x+5) = 3(2x-5) + 2(x+3)
6x+12-4-20 = 6x-15+2x+6
x = 1/6
Persamaan linear simultan dengan dua anu
(Variabel)
Suatu PL dalam dua variabel meiliki sejumlah
penyelesaian yang tak terhingga. Contoh:
y – x = 3 y = x + 3
Penyelesaian PL dapat dilakukan dengan 2 cara
yaitu :
1. Penyelesaian subsitusi
2. Penyelesaian dengan menyamakan koefisien
Transpos
1. Penyelesaian dengan subsitusi
Untuk menyelessaikan sepasang persamaan :
5x + 2y = 14...........(1)
3x – 4y = 24...........(2)
Dari (1) : 5x + 2y = 14
y = 7 – 5x/2 ......(3)
Subsitusikan (3) pada (2), maka
3x – 4(7 – 5x/2) = 24 5(4) + 2y = 14
13x = 52 y = -3
x = 4
2. Penyelesaian dengan menyamakan
koefisien
Untuk menyelesaikan persamaan berikut :
3x + 2y – z = 19 .............(1)
4x – y + 2z = 10 .............(2)
2x + 4y – 5z = 32 .............(3)
(1) 3x + 2y – z = 19 x2 6x + 4y – 2z = 38
(2) 4x – y + 2z = 10 x1 4x – y + 2z = 4
10x + 3y = 42
....(4)
(1) 3x + 2y – z = 19 x5 15x + 10y – 5z = 95
(3) 4x – y + 2z = 10 x1 2x + 4y - 5z = 32
13x + 6y = 63.(5)
(4) 10x + 3y = 42 x2 20x + 6y = 84
(5) 13x + 6y = 63 x1 13x + 6y = 63
x = 3
(4) 10x + 3y = 42
y = 4
(2) 4x – y + 2z = 10
z = -2
Persamaan polinom
Persamaan kuadratik
1. Penyelesaian dengan faktor
2. Penyelesaian dengan melengkapi kuadrat
3. Penyelesaian dengan rumus
1. Penyelesaian dengan faktor
1.
(x+7)(x-2)=0 ; x = -7 , x = 2
2.
x = 3 , x = 6
3.
x = -4 , x = -7
4.
x = 7, x = -3
Contoh 1
a=3, b=14, c=8
Pengujian untuk faktor sederhana :
= 100 =
ac = 24 , faktor-faktor 24 yg mungkin ialah (1 , 24), (2 ,12), (3 , 8), dan (4 , 6).
C positif : faktor tersebut dijumlah menjadi b yaitu (2 , 12)
C positif : kedua faktor memiliki tanda yang sama seperti tanda b yaitu positif
=
= x(3x+2) + 4(3x+2) =0
= (3x + 2)(x+4) = 0
x = -4 , x = -2/3
2. Penyelesaian dengan melengkapi
kuadratnya
Syarat : jika persamaan kuadratik tidak dapat
difaktorisasi menjadi dua faktor sederhana.
Tambahkan 4 dikedua sisi
Tambahkan setengah dari koefesien
x pada kedua sisi
3. Penyelesaian dengan rumus
Kita dapat membuat suatu rumus untuk
menyelesaikan persamaan kuadratik umum
yang didasarkan pada metode
penyelesaian kuadratnya :
Bagi dengan koefesien x yaitu a
Kurangkan c/a dari kedua sisi
Tambahkan kedua sisi dari
setengah koefesien x
Contoh soal