matematika teknik - fungsi hip
DESCRIPTION
aaaTRANSCRIPT
MATEMATIKA TEKNIKMATEMATIKA TEKNIK
Disusun Oleh :Disusun Oleh :Andika Tri C.Andika Tri C.
108533411090108533411090
Putriana PrihadiPutriana Prihadi 108533411094108533411094
FAKULTAS TEKNIKFAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI MALANGUNIVERSITAS NEGERI MALANGPENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA 2008PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA 2008
FUNGSI HIPERBOLIK
FUNGSI HIPERBOLIKFUNGSI HIPERBOLIK
...!4!3!2
1
...!4!3!2
1
432
432
xxxxe
xxxxe
x
x
Fungsi dinyatakan deret pangkat x
Fungsi Hiperbolik Fungsi Hiperbolik TrigonometriTrigonometri
xx
xx
xx
xx
ee
eex
eex
eex
tanh
2cosh
2sinh
Untuk fungsi hiperbolik yan Untuk fungsi hiperbolik yan g lain : g lain :
Grafik Fungsi Grafik Fungsi HiperbolikHiperbolik
0
y=e-x y=ex
x
Y
y=ex dan y=e-x memotong sumbu y di titik y=1(e0=1)
ex dan e-x akan bernilai positif untuk semua nilai x
1
Untuk sinh x, cosh x dan tanh x, Untuk sinh x, cosh x dan tanh x, bentuk grafiknya adalah sebagai bentuk grafiknya adalah sebagai
berikut :berikut :
0
y=sinh x
y=cosh x
x
Y
1
y=tanh x
Kita lihat dari grafik y = cosh x Kita lihat dari grafik y = cosh x bahwa :bahwa :
a.) cosh 0 = 1a.) cosh 0 = 1b.) nilai cosh x tidak pernah lebih b.) nilai cosh x tidak pernah lebih kecil dari 0kecil dari 0c.) kurva ini simetrik terhadap sumbu c.) kurva ini simetrik terhadap sumbu y, yakni :y, yakni :
cosh(-x) = cosh xcosh(-x) = cosh xd.) untuk sembarang nilai cosh x yang d.) untuk sembarang nilai cosh x yang diketahui, terdapat dua nilai x yang diketahui, terdapat dua nilai x yang berjarak sama terhadap titik asal, berjarak sama terhadap titik asal, yakni x = yakni x = ±a±a
Kita lihat dari grafik y = sinh x Kita lihat dari grafik y = sinh x bahwa :bahwa :
a.) sinh 0 = 0a.) sinh 0 = 0
b.) sinh x dapat memiliki semua nilai x b.) sinh x dapat memiliki semua nilai x dari -~ke +~ c.) kurva ini simetri dari -~ke +~ c.) kurva ini simetri terhadap titik asal, yakni :terhadap titik asal, yakni :
sinh(-x) = -sinh xsinh(-x) = -sinh xd.) untuk nilai x yang diketahui, hanya d.) untuk nilai x yang diketahui, hanya terdapat satu nilai x real.terdapat satu nilai x real.
Kita lihat dari grafik y = tanh x Kita lihat dari grafik y = tanh x bahwa :bahwa :
a.) tanh 0 = 0a.) tanh 0 = 0b.) nilai tanh x selalu terletak di b.) nilai tanh x selalu terletak di antara y=-1 dan y=1antara y=-1 dan y=1c.) c.) tanh(-x) =- tanh xtanh(-x) =- tanh xd.) jika x=~, tanh x=1 dan jika d.) jika x=~, tanh x=1 dan jika x=-~, tanh x=-1x=-~, tanh x=-1
Menentukan Nilai Fungsi Menentukan Nilai Fungsi HiperbolikHiperbolik
Kita dapat menggunakan rumus-rumus Kita dapat menggunakan rumus-rumus di atas untuk menentukan suatu nilai di atas untuk menentukan suatu nilai fungsi hiperbolikfungsi hiperbolik
Contoh :Contoh :Tentukan nilai sinh 1,275!Tentukan nilai sinh 1,275!
65,1275,1sinh
65,1
2794,0579,32
1275,1sinh
2794,0579,3
2
1275,1sinh
2
1sinh
275,1275,1
275,1275,1
edane
ee
eex xx
Penyelesaian :Penyelesaian :
Berikut beberapa identitas yang berlaku Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik : pada fungsi hiperbolik :
Turunan dan Integral Fungsi H Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolikiperbolik
Misal y = sinh u. Maka Misal y = sinh u. Maka
Untuk fungsi hiperbolik yan Untuk fungsi hiperbolik yan g lain: g lain:
FUNGSI INVERS HIPERBO FUNGSI INVERS HIPERBOLIKLIK
Tidak semua fungsi hiperbolik pada d Tidak semua fungsi hiperbolik pada d -omainnya merupakan fungsi satu sat -omainnya merupakan fungsi satu sat
u sehingga tidak mempunyai invers. u sehingga tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, agar didapatkan fun Oleh karena itu, agar didapatkan fun
gsi invers hiperbolik maka kita batasi gsi invers hiperbolik maka kita batasi domain fungsinya. domain fungsinya.
Sedangkan untuk mencari turunan d Sedangkan untuk mencari turunan d ari fungsi invers hiperbolik dilakukan ari fungsi invers hiperbolik dilakukan
terlebih dahulu cara sebagai berikut. terlebih dahulu cara sebagai berikut.
Misal y = sinh Misal y = sinh-1-1 u. Maka u = sinh y u. Maka u = sinh y Jadi : Jadi :
Turunan Fungsi invers Hipe Turunan Fungsi invers Hiperbolikrbolik
Maka :
Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperbolik, didapatkan :
Dengan cara sama diperoleh turunan da Dengan cara sama diperoleh turunan da n integral fungsi invers hiperbolik, seba n integral fungsi invers hiperbolik, seba
gai berikut : gai berikut :
3.
4.
5.