fungsi analitik (matematika teknik)
DESCRIPTION
matematika teknik, teknik elektro, fungsi analitikTRANSCRIPT
35
BAB II
FUNGSI ANALITIK
Sekarang kita akan mempelajari fungsi dari variabel kompleks dan pengembangannya
dalam teori differensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari fungsi analitik, yang
mana sangat berperan dalam analisis kompleks.
9. FUNGSI DARI SUATU VARIABEL KOMPLEKS
Misalkan S suatu himpunan bilangan kompleks. Suatu fungsi f yang didefinisikan pada S
adalah suatu aturan pengaitan setiap z di S dengan tepat satu bilangan kompleks w .
Bilangan w disebut nilai dari f di z dan dinotasikan dengan f (z); yaitu w = f(z). Himpunan
S disebut daerah definisi dari f.
Tidak selalu tepat untuk menggunakan notasi yang berbeda diantara suatu fungsi
yang diberikan dan nilainya. Sebagai contoh, jika f didefinisikan pada setengah bidang
Re z>0 yang berarti bahwa persamaan w=z
1, berhubungan dengan fungsi w=
z
1, atau
secara sederhana fungsiz
1, dimana Re z > 0.
Akan ditegaskan bahwa daerah definisi dan suatu aturan yang dibutuhkan dalam
urutan untuk fungsi terdefinisi. Jika daerah definisi tidak disebutkan secara khusus maka
kita mengambil himpunan yang paling besar sehingga fungsi tersebut tedefinisi dengan
baik. Selanjutnya, jika kita hanya mengatakan dari fungsiz
1maka daerah definisinya
adalah himpunan dari semua titik yang tidak nol dalam bidang.
Misalkan bahwa w=u+iv adalah nilai dari suatu fungsi f di z= x+iy , sehingga u+iv
= f(x+iy). Setiap bilangan real u dan v tergantung pada variabel real x dan y, dan dari sini
bahwa f(z) dapat diekspresikan dalam bentuk suatu pasangan dari fungsi bernilai real dari
variabel x dan y :
(1) f(z)=u(x,y)+iv(x,y).
36
Jika koordinat polar r dan , sebagai pengganti dari x dan y untuk digunakan , maka
u+iv = f(rei ),
dimana w =u+iv dan z = (rei). Dalam kasus ini , kita tulis
(2) f(z)=u (r,)+iv(r,).
Contoh : Jika f(z)= z2 , maka f(x+iy)=(x+iy)2 = x2 –y2 +i2xy.
Jadi u (x,y)=x2 –y2 dan v(x,y)= 2xy.
Jika kita menggunakan koordinat polar, f(rei )= (rei)2=r2 ei2=r2cos 2+ir2sin 2.
Akibatnya ,
u(r,) =r2cos2 dan v(r,)=r2sin 2.
Jika, dalam persamaan (1) atau (2), fungsi v adalah selalu sama dengan nol, maka bilangan
f(z) adalah selalu real. Sebagai contoh suatu fungsi yang bernilai real dari variabel
kompleks adalah
f(z)= 0222iyxz .
Jika n = 0 atau suatu bilangan bulat positif dan jika a0, a1, a2, …., an adalah
konstanta kompleks dengan an0, maka fungsi
P(z)=a0+a1z+ a2z2+…+anz
n
adalah suatu polinom yang berderajat n. Perlu dicatat bahwa penjumlahan dari sejumlah
hingga suku-suku di atas daerah definisinya adalah seluruh bidang z. Pembagian P(z)/Q(z)
dari polinom adalah disebut fungsi rasional disetiap titik z dengan Q(z) 0. Polinom dan
fungsi rasional merupakan fungsi elementer, tetapi sangat penting dalam kelas fungsi dari
suatu variabel kompleks.
Perumuman dari konsep fungsi adalah aturan pengaitan paling banyak satu nilai dari
setiap titik z didaerah definisinya. Fungsi bernilai banyak terjadi dalam teori fungsi dari
variabel kompleks, demikian juga dalam kasus variabel real. Jika fungsi bernilai banyak
dipelajari, harus selalu satu dari nilai yang mungkin setiap titik yang diambil, dalam
kesimetrian, dan suatu fungsi (bernilai tunggal) adalah dikonstruksi dari fungsi bernilai
banyak. Sebagai contoh, misalkan bahwa z adalah suatu bilangan kompleks tak nol z = rei.
37
Kita ketahui dari bahagian 7 bahwa z1/2 mempunyai dua nilai yaitu 221
i
erz , dimana
adalah nilai utama (-<) dari arg z. Tetapi, jika kita hanya memilih nilai positif dari
r dan ditulis 2
i
erzf (r>0, -<<), terlihat bahwa ini merupakan fungsi (bernilai
tunggal) f adalah terdefinisi dengan baik pada daerah yang diberikan. Dimana nol adalah
hanya mempunyai akar kuadrat nol, kita juga menulis f(0) = 0. Fungsi f adalah terdefinisi
dengan baik pada daerah yang terdiri dari seluruh bidang kompleks kecuali sepanjang =
, yakni pada sumbu real negatif.
10. PEMETAAN.
Sifat dari fungsi bernilai real dari variabel real adalah fungsinya selalu dapat digambarkan
dengan grafik. Tetapi jika w =f(z), dimana z dan w adalah bilangan kompleks, tidak selalu
sederhan digambarkan dengan grafik sebab setiap bilangan z dan w berada dalam bidang
yang lebih besar dari pada garis. Salah satu cara bagaimana menggambarkannya adalah
dengan mengindikasi setiap pasang titik z = (x,y) yang berhubungan dengan titik w = (u,v).
Disini pada umumnya kita menggambarkan bidang z dan w secara terpisah.
Jika fungsi f dilakukan dengan cara ini, maka selalu dihubungkan dengan pemetaan,
atau transformasi. Bayangan dari titik z dalam daerah definisi S adalah titik w = f(z), dan
himpunan semua bayangan dari semua titik dalam himpunan T yang termuat dalam S
disebut bayangan dari T. Bayangan dari seluruh daerah definisi dari S disebut range dari f.
Bayangan invers dari suatu titik w adalah himpunan semua titik z dalam daerah definisi
dari f yang mempunyai pasangan bayangan w. Bayangan invers suatu titik boleh memuat
hanya satu titik, beberapa titik, atau tidak sama sekali. Kasus ini terjadi jika w bukan
merupakan range dari f.
Bentuk translasi, rotasi, dan pencerminan adalah digunakan untuk menyampaikan
karateristik geometri dari pemetaan tertentu. Dalam kasus ini, kadang-kadang tepat untuk
digambarkan z dan w dalam bidang yang sama. Sebagai contoh, pemetaan
w = z + 1 = (x+1) + iy,
38
Dimana z = x + iy, dapat ditentukan melalui suatu translasi dari setiap titik z satu satuan
kekanan. Karena i = ei/2, maka pemetaan
w = iz =
2exp
ir ,
dimana z = rei, rotasi pada jari-jari vektor untuk setiap bilangan kompleks tak nol terus
kekanan sudut titik asal yang berlawanan dengan arah jarum jam; dan pemetaan
w = z =x – iy
adalah transformasi setiap titik z = x + iy kedalam pencermianan terhadap sumbu x.
Informasi umum yang digunakan dalam menggambar bayangan dari suatu kurva
dan daerah yang lebih sederhana adalah mengindikasi bayangan titiknya satu persatu.
Dalam contoh berikut, kita ilustrasikan ini dengan transformasi w = z2.
Contoh 1. Dari contoh dalam bagian 9, pemetaan w = z2 dapat dijelaskan melalui
transformasi:
(1) u = x2 – y2, v = 2xy
dari bidang xy kebidang uv. Bentuk pemetaan ini yang akan digunakan dalam menemukan
bayangan dari hyperbola tertentu.
Mudah ditunjukkan bahwa, setiap cabang dari hyperbola x2 – y2 = c1 (c1 > 0) adalah
pemetaan satu-satu dan pada kegaris vertikal u = c1. Kita mulai dengan mencatat persamaan
(1) bagian yang pertama bahwa u = c1 jika (x,y) adalah suatu titik yang terletak pada salah
satu cabang. Khususnya, jika terletak pada cabang bagian kanan, bagian kedua dari
persamaan (1) dapat diketahui bahwa v = 2 12 cyy . Jadi bayangan dari cabang
bahagian kanan dapat dinyatakan dalam bentuk parameter melalui
u = c1, v = y-2 12 cyy ;
dan jelas bahwa bayangan dari titik (x,y) pada cabang dipindahkan keseluruh garis melalui
jejak (x,y) dengan arah ke atas (lihat gambar 14). Demikian juga, dimana pasangan dari
persamaan
39
u = c1, v = y-2 12 cyy ;
melengkapi persamaan parameter untuk bayangan dari cabang bahagian kiri dari hyperbola,
bayangan dari titik bergerak turun sepanjang seluruh cabang bahagian kiri adalah terlihat
dipindahkan ke atas pada seluruh garis u = c1.
Sebagai latihan, tunjukkan bahwa setiap cabang dari hyperbola 2xy = c2 (c2 > 0)
adalah ditransformasi kedalam garis v = c2, melalui indikasi dalam gambar 14. Kasus
dimana c1 dan c2 adalah negatif juga disajikan dalam latihan.
Contoh 2. Misalkan kita menggunakan persamaan (1) untuk menunjukkan bahwa
bayangan dari sebagian bidang vertikal 0x1, y0, yang ditunjukkan dalam gambar 15,
adalah daerah semi parabola tertutup .
Jika 0 < x1<1, titik (x1, y) digerakan ke atas suatu penggal garis vertikal, yang diberi
nama L1 dalam gambar 15, melalui y naik dari y = 0. Bayangan di luar jejak bidang uv
menurut persamaan (1), yang dinyatakan dalam bentuk parameter
(2) u = 221 yx , v = 2x1y (0y< ).
v=c2>0
x0
y v
u
u=c1>0
0
Gambar 14. w =z2
40
Gunakan persamaan yang kedua untuk mensubtitusi y kedalam yang pertama, terlihat
bahwa bayangan titik-titik (u,v) harus terletak pada parabola
(3) 21
21
2 4 xuxv ;
dengan puncak di 0,21x dan fokusnya dititik asal. Dimana v adalah naik dengan y melalui
v =0, menurut persamaan (2) bagian kedua, terlihat bahwa melalui titik (x1,y) digerakan ke
atas melalui L1 dari sumbu x, bayangannya adalah digerakan ke atas melalui sebagian
parabola L1’ dari sumbu u. Selanjutnya, jika suatu bilangan x2 lebih besar dari x1, tetapi
lebih kecil dari 1, adalah ditentukan, penggal garis L2 mempunyai bayangan L2’ yaitu
sebagian parabola dikanan L1’, melalui indikasi dalam gambar 15. Perlu dicatat bahwa
bayangan dari penggal garis BA didalam gambar adalah setengah parabola v2 = -4(u-1)
yang paling atas dan diberi nama dengan B’A’.
Bayangan dari penggal garis CD yang diperoleh dari persamaan (1) bahwa titik
(0,y), dimana y0, pada CD ditransformasi kedalam titik (-y2,0) dalam bidang uv. Juga,
melalui titik yang digerakan ke atas dari titik asal sepanjang CD, bayangannya digerakan
kekiri dari titik asal sepanjang sumbu u. Jadi jelas bahwa penggal garis vertikal di bidang
xy, bayangannya adalah parabola dibidang uv yang turun sampai pada penggal garis C’D’.
y
D’ C’ 1 u
A’
L2’
L1’
v
C 1 x
D L1 L2 A
B
Gambar 15. w = z2
41
Sekarang jelas bahwa bayangan dari semua penggal garis dintara dan didalam CD
dan BA adalah merupakan daerah semiparabola tertutup yang dibatasi oleh A’B’C’D’. Juga
setiap titik dalam daerah tersebut mempunyai bayangan hanya satu titik didalam bagian
tertutup yang dibatasi oleh ABCD. Juga daerah semiparabola adalah merupakan bayangan
dari bagian tadi dan merupakan pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada antara titik
dalam daerah tertutup.
Contoh 3. Kita kembali pada contoh di bagian 9 bahwa
w = z2 = r2ei2
dimana z = rei. Jika w = ie , kita mempunyai ie = r2ei2; dan akibatnya
,2r =2 + 2n (n = 0, 1, 2, …).
Jelas, bayangan dari setiap titik tak nol z adalah diperoleh dengan mengkuadratkan
modulus dari z dan menggandakan nilai dari arg z.
Selidiki bahwa titik z = r0ei pada lingkaran r = r0 adalah ditransformasikan kedalam
titik w = 220
ier pada lingkaran 20r . Melalui titik pada lingkaran pertama digerakan
berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu real positif ke sumbu imajiner positif,
bayangannya pada lingkaran kedua dipindahkan berlawanan dengan jarum jam dari sumbu
real positif ke sumbu real negatif (lihat gambar 16). Juga, semua nilai positif yang
mungkin dari r0 yang dipilih, berhubungan dengan sudut dalam z dan w berada dikuadran
pertama dan di atas bidang masing-masing. Transformasi w = z2 adalah pemetaan satu-satu
dan pada dari kuadran pertama r0, 0/2 dalam bidang z pada setengah bidang
0,0 dari bidang w, melalui indikasi dalam gambar 16. Titik z = 0 adalah jelas
dipetakan pada w = 0.
Transformasi w = z2 juga memetakan sebagian bidang atas r0, 0/2 pada
seluruh bidang w. Bagaimanapun, dalam kasus ini, transformasi adalah bukan satu-satu
karena kedua sumbu real negatif dan positif dalam bidang z adalah dipetakan pada sumbu
real positif dalam bidang w.
42
Jika n suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 2, sifat pemetaan dari
transformasi w = zn, atau inni ere adalah serupa dengan w = z2. Sehingga peta
transformasi dari seluruh bidang z pada seluruh bidang w dimana setiap titik taknol dalam
bidang w adalah bayangan dari n titik-titik yang berbeda dalam bidang z. Lingkaran r = r0
adalah dipetakan pada lingkaran nr0 ; dan sektor rr0, 02/n adalah dipetakan pada
cakram nr0 , tetapi bukan satu-satu.
Latihan
1. Untuk setiap fungsi di bawah ini, tentukan daerah definisinya:
(a). 22
1
1(d).;(c).;
1(b).;
1
1
zzf
zz
zzf
zArgzf
zzf
2. Tuliskan fungsi f(z) = z3 + z + 1 dalam bentuk f(z) = u(x,y) + iv(x,y).
3. Misalkan f(z) = x2 – y2 – 2y + i(2x – 2xy), dimana z = x + iy. Gunakan2
zzx
dan
2
zzy
untuk mengexpresikan f(z) dalam suku-suku dari z, dan berikan jawaban
yang paling sederhana.
4. Tuliskan fungsi 0,1
zz
zzf dalam bentuk f(z) = u(r,) + iv(r,).
0 r0 x
y v
0 20r u
Gambar 16. w = z2
43
5. Tunjukkan bahwa setiap cabang dari hyperbola 2xy = c2 (c2>0) adalah pemetaan pada
garis v = c2 dengan transformasi w = z2, melalui indikasi dalam gambar 14.
6. Domain x > 0, y > 0, xy < 1 terdiri dari semua titik pada cabang atas hyperbola dari
keluarga xy = c, dimana 0 < c < 1. Gunakan hasil pada soal nomor 5 untuk
menunjukkan bahwa bayangan dari domain ini di bawah transformasi w = z2 adalah
sebagian dari bidang horizontal 0 < v <2.
7. Berdasarkan contoh 1 bagian 10, dan soal no. 5 carilah suatu domain dalam bidang z
yang mempunyai bayangan di bawah transformasi w = z2 adalah domain kuadrat dalam
bidang w yang dibatasi oleh garis u = 1, u = 2, v = 1 dan v = 2.
8. Cari dan gambarkan, serta tunjukkan hubungan orientasi, bayangan dari hyperbola x2 –
y2 = c1 (c1 < 0) dan 2xy = c2 (c2 < 0) dibawah transformasi w = z2.
9. Tunjukkan, dengan mengindikasi orientasi hubungan, pemetaan w = z2 transformasi y =
c2 ( c2 > 0) kedalam parabola 22
22
2 4 cucv yang semua titik apinya di w =0.
10. Gunakan hasil dalam soal no. 9 untuk menunjukkan bahwa transformasi w = z2 adalah
pemetaan satu-satu dari bidang ayb di atas sumbu x pada daerah tertutup diantara dua
parabola v2 = 4u2(u+a2) dan v2 = 4u2(u+b2).
11. Bagaimana merubah bentuk dalam contoh 2, bagian 10, bahwa transformasi w = z2
memetakan suatu bidang vertikal 0xc, y0 dari sembarang luas pada suatu daerah
semi parabola tertutup, melalui gambar 16.b.
44
12. Modifikasi contoh 2 bahagian 10, untuk menunjukkan bahwa jika w = z2, bayangan dari
daerah segitiga tertutup dengan garis y = x dan x = 1 adalah daerah parabola tertutup
yang dibatasi pada bahagian kiri dengan -2v2 dari sumbu v dan bahagian kanan
dibatasi oleh parabola v2 = -4(u-1). Selidiki hubungan titik-titik pada kedua daerah
tertutup dan terbatas tersebut melalui gambar 17.
13. Gambar daerah pada sektor r1, 0 /4 yang dipetakan oleh transformasi
(a). w = z2 ; (b). w = z3; (c). w = z4.
14. Interprestasi lain dari fungsi w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah suatu lapangan vektor
dalam daerah definisi f . Fungsi yang mengaitkan suatu vektor w, dengan komponen-
komponen u(x,y) dan v(x,y), kesetiap titik yang didefinisikan. Indikasikan grafik yang
dinyatakan dengan lapangan vektor (a). w =iz; (b).z
z.
11. LIMIT
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi disemua titik z dalam lingkungan penghilangan
dari z0. Pernyataan bahwa limit dari f(z) melalui z yang didekati dengan z0 adalah suatu
bilangan w0, atau
45
(1) 00
lim wzfzz
mempunyai arti bahwa titik w = f(z) dapat dibuat sembarang dekat dengan w0 jika kita
memilih z yang cukup dekat dengan z0 tetapi berbeda dengan z0. Kita sekarang
mengekspresikan definisi dari limit dalam bentuk yang tepat digunakan.
Pernyataan (1) mempunyai arti bahwa, untuk setiap bilangan >0, terdapat suatu
bilangan positif sedemikian sehingga
(2) 00 z-z0asalkanwzf .
Secara geometri definisi ini mengatakan bahwa, untuk setiap lingkungan- 0ww dari
w0, terdapat suatu lingkungan penghilangan- dari z0, 00 zz sedemikian sehingga
untuk setiap z dalam lingkungan tersebut mempunyai suatu bayangan w dalam lingkungan
(lihat gambar 18). Perlu dicatat bahwa, meskipun semua titik dalam lingkungan
penghilangan 0z-z0 tidak perlu semua bayangannya keseluruh lingkungan
0ww . Jika f suatu fungsi konstan yang bernilai w0, maka bayangan dari z selalu
merupakan pusat dari lingkungan. Sebagai catatan, sekali kita mendapatkan suatu , maka
kita dapat mengganti dengan dengan setiap bilangan positif yang lebih kecil dari ,
misalnya /2.
Definisi (2) menyatakan bahwa f terdefinisi disemua titik dalam suatu lingkungan
penghilangan z0. Sehingga lingkungan penghilangan selalu ada jika z0 adalah suatu titik
interior dari suatu daerah dimana f terdefinisi. Kita dapat memperluas definisi dari limit
w0
w
0 u
vy
x0
z0 z
Gamabar 18
46
dalam kasus dimana z0 adalah titik batas dari daerah yang memungkin bahwa persamaan
(2) yang pertama dipenuhi dengan hanya titik z terletak dikedua daerah dan domain
00 zz .
Contoh 1. Tunjukkan bahwa jika f(z) = iz/2 dalam cakram buka 1z , maka 21
lim i
zzf
.
Titik z = 1 terletak pada batas dari daerah definisi f. Akan diselidiki bahwa jika z dalam
daerah 1z ,
2
1
222
ziizizf .
Juga, untuk setiap z dan suatu bilangan positif ,
21-z0asalakan2 izf .
Jadi syarat persamaan (2) dipenuhi oleh titik-titik dalam daerah 1z jika sama dengan
2 atau bilangan positif yang lebih kecil (lihat gambar 19).
Dalam pendahuluan konsep tentang limit pada paragraph pertama bagian ini, kita
dapatkan suatu sifat bahwa, jika suatu limit dari suatu fungsi f(z) ada disuatu titik z0, maka
limitnya itu adalah tunggal. Untuk membuktikan sufat ini, kita memisalkan bahwa
.limdanlim 1000
wzfwzfzzzz
Maka, untuk setiap bilangan positif,
terdapat bilangan positif 0 dan 1 sehingga
000 z-z0asalkan wzf
47
dan
101 z-z0asalkan wzf .
Jadi, jika 00 zz , dimana menyatakan bilangan yang paling kecil antara 0 dan
1, maka
21010 wzfwzfwzfwzf
Hal ini menunjukkan bahwa, 0101 Tetapi.2 wwww adalah suatu konstanta non
negatif , dan dapat dipilih sembarang yang paling kecil. Jadi w1-w0 = 0, atau w1 = w0.
Jika z0 adalah suatu titik interior dari daerah definisi f, dan limit dari persamaan (1)
ada, persamaan (2) yang pertama harus berlaku untuk setiap titik dalam lingkungan
penghilangan 0z-z0 . Jadi simbol 0zz mengakibatkan bahwa z adalah dapat
mendekati z0 dalam sembarang arah, tanpa dari suatu arah yang khusus. Contoh berikut
menggunakan cara ini.
Contoh 2. Jika z
zzf , maka
(4) zfz 0lim
tidak ada. Jika limitnya ada, maka kita dapat menemukan limitnya dengan memisalkan titik
z = (x,y) mendekati titik asal dari berbagai arah. Tetapi jika z = (x,0) adalah titik tak nol
pada sumbu real,
10
0
ix
ixzf ;
dan jika z = (0,y) adalah titik tak nol pada sumbu imajiner,
10
0
iy
iyzf .
Jadi, dengan memisalkan z mendekati titik asal sepanjang sumbu real, kita peroleh limitnya
adalah 1. Pada hal lain, didekati sepanjang sumbu imajiner diperoleh limitnya sama dengan
–1. Dari ketunggalan limit, kita simpulkan bahwa limit pada persamaan (4.1) tidak ada.
48
12. TEOREMA-TEOREMA PADA LIMIT
Teorema 1. Misalkan bahwa f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0, dan w0 = u0 + iv0. Maka
(1) 00
lim wzfz
jika dan hanya jika
(2)
0,,
,lim00
uyxuyxyx
dan
0,,
,lim00
vyxvyxyx
.
Untuk membuktikan teorema di atas, kita asumsikan bahwa limit pada (2) benar dan
akan dibuktikan limit pada (1). Limit pada persamaan (2) bagian 11 diketahui bahwa, untuk
setiap positif terdapat bilangan positif 1 dan 2 sehingga
(3) 1
2
0
2
020 0asalkan yyx-xuu
dan
(4) 2
2
0
2
020 0asalkan yyx-xvv .
Misalkan menyatakan bilangan yang paling kecil antara 1 dan 2. Karena
000000 vvuuvviuuivuivu
dan
0000
2
0
2
0 iyxiyxyyixxyyx-x .
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh
2200 ivuivu
asalkan
000 iyxiyx .
Jadi, limit pada (1) benar.
Misalkan sekarang mulai mengasumsikan bahwa limit (1) benar. Dengan asumsi ini
kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif sehingga
(5) 00 ivuivu asalkan
(6) 000 iyxiyx .
49
Tetapi
00000 ivuivuvviuuuu
00000 ivuivuvviuuvv .
dan
2
0
2
00000 yyx-xyyixxiyxiyx .
Jadi dari sini persamaan (5) dan (6) memberikan bahwa
00 dan vvuu
asalkan
000 iyxiyx .
Ini menunjukkan bahwa limit (2) telah dibuktikan, dan bukti teorema telah lengkap.
Teorema 2. Misalkan bahwa
(7) ozz
ozz
WzFwzf 00
limdanlim
maka
(8) oozz
WwzFzf lim
0
,
(9) oozz
WwzFzflim0
dan, jika W0 0, maka
(10)
lim0
o
o
zz W
w
zF
zf
.
Teorema ini dapat dibuktikan secara langsung dengan menggunakan definisi limit dari
fungsi bernilai kompleks. Tetapi dengan teorema 1, pembuktian lebih mudah.
Sebagai contoh, kita buktikan (9), dan kita tulis
,,,,, yxiVyxUzFyxivyxuzf ,
z0 = x0 + iy0, w0 = u0 + iv0, W0 = U0 + iV0.
Maka dari hipotesis persamaan (7) limit (x,y) mendekati (x0,y0) dari fungsi u, v, U, dan V
ada dan mempunyai limit u0, v0, U0, dan V0 masing-masing. Jadi komponen real dan
50
imajinernya dari perkalian f(z)F(z) = (uU – vV) + i(vU + uV) mempunyai limit u0U0 –
v0V0 dan v0U0 + u0V0, masing-masing, dengan (x,y) mendekati (x0,y0). Jadi dengan
menggunakan teorema 1, f(z)F(z) mempunyai limit (u0U0 – v0V0) + i( v0U0 + u0V0) dengan
z mendekati z0; dan ini sama dengan w0W0. Sifat (9) buktinya telah diberikan, dan untuk
sifat (8) dan (10) dapat dibuktikan dengan cara serupa.
Sebagai akibat dari teorema 1 adalah
cczz
0
lim
untuk setiap konstanta kompleks c = a + bi dan setiap z0. Juga,
00
lim zzzz
;
dan dari sifat (9) dan induksi matematika, bahwa
nn
zzzz 0
0
lim
(n = 1, 2, …).
Juga, dalam sifat (8) dan (9), limit dari suatu polinom
P(z) = a0 + a1 z + a2 z2 + …+ an zn
Dengan z mendekati z0 adalah nilai dari polinom dititik z0, yakni :
(11) 00
lim zPzPzz
.
Selain itu sifat dari limit adalah
(12) Jika 0000
limmaka,lim wzfwzfzzzz
.
Sifat ini mudah dibuktikan dengan menggunakan definisi dari limit dan kenyataan bahwa
(lihat bagian 4)
00 wzfwzf
13. LIMIT DITITIK TAK HINGGA
Terkadang cukup baik untuk memasukkan titik di ketakhinggaan dalam bidang
kompleks, yang dinotasikan dengan , dan menggunakan limit yang memuatnya. Bidang
kompleks bersama-sama dengan titik takhingga ini disebut bidang kompleks perluasan.
Untuk memvisualisasi titik diketakhinggaan, salah satu yang dapat dipikirkan dari bidang
51
kompleks misalnya perputaran suatu titik mengelilingi suatu permukaan bola menurut garis
katulistiwa dengan pusat titik z = 0 (gambar 20). Setiap titik z di bidang mempunyai
hubungan dengan tepat satu titik P pada permukaan bola. Titik P ditentukan oleh garis yang
melalui titik z dan kutub utara N dari bola dengan permukaannya. Dengan cara demikian,
setiap titik P pada permukaan bola, yang lainnya pada kutub utara N, terdapat hubungan
dengan tepat satu titik z di bidang. Dengan memisalkan titik N dari bola yang berhubungan
dengan titik tak hingga, diperoleh korespondensi satu-satu antara titik-titik pada bola dan
titik-titik pada bidang kompleks perluasan. Bola tersebut dikenal sebagai bola Riemann,
dan hubungannya disebut proyeksi stereografik.
Perhatikan bagian luar dari lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal bidang
kompleks yang berhubungan dengan belahan bumi bagian atas di mana katulistiwa dan titik
N dihilangkan. Selanjutnya, untuk setiap bilangan positif kecil , titik-titik tersebut di
bidang kompleks di luar lingkaran |z| = 1/ berhubungan dengan titik-titik pada bola dekat
ke N. Kita sebut himpunan ini |z| > 1/ suatu lingkungan , atau lingkungan dari .
Perlu disepakati bahwa, berkenaan dengan titik z, kita artikan suatu titik di bidang
hingga. Selanjutnya, jika titik diketakhinggaan dipertimbangkan, maka akan dijelaskan
secara khusus.
Artinya sekarang kita siap memberikan pernyataan
0
Pz
N
Gambar 20
52
0)(lim0
wzfzz
jika salah satu z0 atau w0, atau mungkin keduanya diganti dengan titik takhingga. Dalam
definisi limit pada bagian 11, kita mengganti lingkungan dari z0 dan w0 dengan lingkungan
dari .
Pernyataan
zfzz 0
lim , mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan positif,
terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga
(1) 0z-z0asalkanzf 1 .
Jadi, titik w = f(z) terletak dalam lingkungan-
1w dari asalkan z terletak dalam
lingkungan penghilangan dari z0, 0z-z0 . Pernyataan pada persamaan (1) dapat
ditulis
0z-z0asalkan
zf0
1,
dari sini terlihat bahwa
(2)
zfzz 0
lim jika dan hanya jika
01
lim0
zfzz
.
Contoh 1.
03
1lim
1
3lim
11
iz
zkarena
z
iz
zz
Selanjutnya,
0lim wzfz
mempunyai arti bahwa, untuk setiap positif, terdapat suatu bilangan positif sedemikian
sehingga
(3)
10 zasalkanwzf .
Dengan mengganti z pada persamaan (3) dengan 1/z , maka diperoleh
53
0-zasalkanw
zf 0
1.
Ini berarti bahwa,
(4) 0lim wzfz
jika dan hanya jika 00
1lim w
zf
z
Contoh 2. Berdasarkan pernyataan pada persamaan (4),
21
2lim
1/1
/2lim2
1
2lim
z
iz
z
izkarena
z
iz
0z0zz.
Terakhir, pernyataan
zfzlim
mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif
sedemikian sehingga
(5)
11 zasalkanzf .
Jika z diganti dengan 1/z, pernyataan ini dapat ditulis dalam bentuk
0-z0asalkanf
z
01
1;
jadi,
(6)
zfzlim jika dan hanya jika 0
1lim
10
z
z f.
Contoh 3.
0
2lim
1
1lim,
1
12lim
3
3
02
1
02
3
3
2
z
zzkarena
z
z
zz
z
zz
14. KEKONTINUAN
Suatu fungsi f adalah kontinu di titik z0 jika memenuhi ketiga syarat berikut :
(1)0
limzz
f(z) ada
54
(2) f(z0) ada
(3)0
limzz
f(z) = f(z0)
Pernyataan pada persamaan (3) jelas memuat pernyataan pada persamaan (1) dan (2),
karena secara implisit keberadaan nilai dari setiap sisi adalah sama. Pernyataan pada
persamaan (3) mengatakan bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat suatu bilangan
positif sedemikian sehingga
(4) 00 zzasalkanzfzf .
Suatu fungsi dari variabel kompleks dikatakan kontinu dalam daerah R jika fungsi
tersebut kontinu disetiap titik dalam R.
Jika dua fungsi f, g adalah kontinu di suatu titik, maka f + g dan f.g juga kontinu di
suatu titik; demikian juga f/g kontinu di suatu titik asalkan g tidak nol. Hal ini merupakan
akibat dari teorema 2 bagian 12.
Berdasarkan definisi pada persamaan (4) diperoleh bahwa komposisi dari fungsi-
fungsi kontinu adalah kontinu. Untuk menunjukkan ini, kita misalkan w = f(z) adalah suatu
fungsi yang terdefinisi pada setiap z dalam lingkungan dari titik z0; dan misalkan pula g(w)
suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi memuat bayangan (lihat bagian 10) dari
lingkungan z0. Sekarang, anggaplah f kontinu di z0 dan g kontinu di titik w0 = f(z0). Dari
kekontinuan g di titik w0, kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat
bilangan positif sedemikian sehingga
zfzfasalkanzfgzfg 00 .
tetapi, berhubungan dengan , terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga
ketaksamaan kedua dipenuhi asalkan 0zz . Ini berarti, bahwa kekontinuan dari
g[f(z)] di z0 telah dibuktikan.
Berdasarkan definisi pada persamaan (4) dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
jika suatu fungsi f(z) adalah kontinu dan tidak nol disuatu z0, maka f(z) 0 untuk setiap z
55
dalam suatu lingkungan dari z0. Untuk itu, jika f(z0) 0 dan bilangan positif 2
0zf ,
maka berdasarkan ketaksamaan (4) terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga
0
zfz-zasalkanzfzf
200 .
Jika terdapat suatu titik z dalam lingkungan 0z-z sehingga f(z) = 0, maka kontradiksi
dengan 20
0zfzf .
Dari teorema 1, bagian 12, diperoleh bahwa suatu fungsi f dari variabel kompleks
adalah kontinu di titik z0 = (x0,y0) jika dan hanya jika fungsi komponen u dan v kontinu di
titik z0 = (x0,y0).
Contoh. Fungsi
xyyxixyyxzf 2sinhsin2coshcos 2222
adalah kontinu dimana-mana dalam bidang kompleks, karena komponen real dan imajiner
dari f adalah kontinu disetiap titik (x,y). Kekontinuan dari fungsi-fungsi komponen adalah
akibat dari kekontinuan dari polinom dalam x dan y melalui kekontinuan dari fungsi
trigonometri dan hiperbolik.
Berbagai sifat fungsi kontinu dari variabel kompleks dapat diturunkan melalui
hubungan dari fungsi kontinu bernilai real dengan dua peubah real. Sebagai contoh, fungsi
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) yang kontinu dalam daerah R adalah tertutup dan terbatas. Fungsi
22 ,, yxvyxu adalah kontinu di R dan mencapai nilai maksimum dimana-mana
dalam R. Jadi, f adalah terbatas pada R dan zf mencapai nilai maksimum dimana-mana
dalam R. Atau secara tepatnya f dikatakan terbatas dalam R, jika terdapat bilangan real non
negatif M sehingga
(5) RdalamzsetiapuntukMzf
Hasil lain yang dapat diturunkan dari hubungan fungsi bernilai real dari dua
variabel real, bahwa fungsi f yang kontinu dalam suatu daerah R yang tertutup dan terbatas
56
adalah kontinu seragam. Yaitu, suatu nilai dari , tidak tergantung dari z0, jadi dapat dipilih
sehingga syarat pada persamaan (14.4) adalah dipenuhi untuk setiap titik z0 dalam R.
LATIHAN
1. Misalkan a, b, c dan z0 menyatakan suatu konstanta kompleks. Gunakan definisi limit
pada persamaan (2) bagian 11 untuk membuktikan bahwa
(a). czczc;0abazbazb;cczzzzzz
20
20
000
lim.lim.lim
;zze;zzdzzzz
0000
lim.ReRelim.
.z
zg;iyxzi1y2xixf
zziz0lim.lim.
2
1 0
2. Misalkan n suatu bilangan bulat positif dan misalkan pula P(z) dan Q(z) adalah
polinom, dengan Q(z0) 0. Gunakan teorema 2 bagian 12, untuk menentukan limit
berikut ini
zQ
zPc
z
izb;z,a
zzizzzzn
00
lim.;1
1lim.0lim.
3
01
3. Gunakan sifat (9) bagian 12 dari limit dan induksi matematika untuk menunjukkan
bahwa nn
zzzz 0
0
lim
dimana n suatu bilangan bulat positif.
4. Tunjukkan bahwa2
0lim
z
z
ztidak ada. Kerjakan soal ini dengan memisalkan titik tak
nol z = (x,0) dan z = (x,x) mendekati nol.
5. Buktikan pernyataan pada persamaan (8) bagian 12 teorema 2, gunakan (a). Teorema 1
bagian 12, dan sifat limit fungsi bernilai real dari dua variabel real; (b). Definisi (2)
bagian 11 dari limit.
57
6. Misalkan 0zzz dan tunjukkan bahwa 00
lim wzfzz
jika dan hanya jika
000
lim wzzfz
7. Tunjukkan bahwa 0lim0lim00
zfjikazgzfzzzz
dan jika terdapat suatu
bilangan positif M sedemikian sehingga Mzg untuk setiap z dalam suatu
lingkungan dari z0.
8. Buktikan sifat (12) bagian 12 dari limit.
9. Dengan menggunakan sifat (2), (4) dan (6) bagian 13 dari limit, tunjukkan bahwa
1
1lim.
1
1lim.;4
1
4lim.
2
312
2
z
zc;
zb
z
za
zzz
10. Gunakan sifat (2), (4) dan (6) bagian 13 dari limit untuk menunjukkan bahwa jika
0bc-addcz
bazzT
, maka
(a).
zTz
lim jika c = 0. zTlimdanzTlim.bc
dzca
z
. jika c 0.
11. Gunakan definisi (1) dan (3) bagian 13 dari limit di ketakhinggaan untuk menunjukkan
bahwa 01
lim1
lim0
z
danz zz
12. Pandang suatu fungsi f yang didefinisikan pada bidang perluasaan dengan persamaan
zjika0
0zjika
0zjika
zf
z1
. Tunjukkan bahwa f kontinu dimana-mana dalam bidang
perluasan.
13. Tunjukkan bahwa limit di titik tak hingga adalah tunggal.
14. Tunjukkan bahwa himpunan S adalah tak terbatas (bagian 8) jika dan hanya jika setiap
lingkungan dari titik tak hingga memuat paling sedikit sati titik di S.
58
15. TURUNAN
Misalkan f suatu fungsi dengan daerah definisinya memuat lingkungan dari suatu titik z0.
Turunan dari f di z0, ditulis 0zf , adalah didefinisikan dengan
(1)
0
00
0
limzz
zfzfzf
zz
,
asalkan limitnya ada. Fungsi f dikatakan terdiferensiabel di z0 jika turunannya di z0 ada.
Dengan mengubah z pada persamaan (1) dalam bentuk variabel kompleks yang baru
z = z – z0, maka kita dapat menuliskan definisi di atas menjadi
(2) z
zfzzfzf
z
00
00 lim
Sebagai catatan, karena f terdefinisi pada suatu lingkungan dari z0, bilangan zzf 0
adalah selalu terdefinisi untuk z yang cukup kecil (lihat gambar 21).
Jika pada persamaan (2) dari definisi turunan, kita akan mengganti z0 dengan z dan
kita misalkan bilangan
zfzzfw
menyatakan perubahan nilai dari f yang berkaitan dengan perubahan z pada titik dimana f
dihitung. Maka, jika kita menulisdzdw untuk zf , persamaan (2) menjadi
0 x
y
z
z0
zz 0
Gambar 21
59
(3)z
w
dz
dw
z
0lim .
Contoh 1. Misalkan bahwa f(z) = z2. Disetiap titik z,
zzzz
zzz
z
w
zzz22limlimlim
0
22
00
,
karena zz 2 adalah suatu polinom dalam z . Jadi zzfatauzdz
dw22 .
Contoh 2. Pandang suatu fungsi 2zzf . Jadi,
z
zzzz
z
zzzzzz
z
zzz
z
w
22
.
Jika limit dariz
w
ada, maka kita memisalkan titik yxz , mendekati titik asal
dalam bidang z dalam berbagai arah. Khususnya, jika z mendekati titik asal sepanjang
horizontal melalui titik 0,x pada sumbu real (gambar 22), maka kita dapatkan zz .
Jadi jika limit dariz
w
ada, kita peroleh zz . Selanjutnya, jika z mendekati titik asal
sepanjang vertikal melalui titik-titik y,0 pada sumbu imajiner, juga diperoleh
zz , dan limitnya harus sama dengan zz asalkan limitnya ada. Karena limit suatu
fungsi adalah tunggal, maka diperoleh bahwa zz = zz , atau z = 0, asalkandz
dwada.
y
(0, y )
(0,0) 0,x x
Gambar 22
60
Jadidz
dwada hanya dititik z = 0.
Contoh 2 menunjukkan bahwa suatu fungsi dapat terdiferensialkan di suatu titik
tertentu tetapi tidak dalam lingkungan titik itu. Karena bagian real dan imajiner dari
2zzf adalah
(4) (x,y) = x2 + y2 dan v(x,y) = 0,
hal ini menunjukkan bahwa komponen real dan imajiner dari fungsi bernilai kompleks
adalah mempunyai turunan parsial yang kontinu dari setiap pasang titik, tetapi fungsi
tersebut tidak terdiferensial.
Fungsi 2zzf adalah kontinu disetiap titik dalam bidang karena komponen (4)
adalah kontinu disetiap titik. Jadi kekontinuan dari suatu fungsi di suatu titik tidak
mengakibatkan fungsi tersebut mempunyai turunan di titik itu. Tetapi keberadaan turunan
suatu fungsi di suatu titik mengakibatkan fungsi kontinu disuatu titik tersebut. Untuk
membuktikan pernyataan ini, kita asumsikan bahwa 0zf ada dan kita tulis
00.limlimlim 00
0
00
000
zfzz
zz
zfzfzfzf
zzzzzz
dari sini diperoleh bahwa
00
lim zfzfzz
Ini menunjukkan bahwa f kontinu di z0 (lihat bagian 14).
16. RUMUS DIFFERENSIAL
Definisi turunan dalam bagian 15 adalah serupa dengan turunan dari fungsi bernilai real
dari suatu variabel real. Kenyataan ini, dijadikan dasar untuk memberikan rumus
differensial yang diturunkan dari definisi, bersama-sama dengan teorema-teorema pada
limit, dengan cara yang sama digunakan dalam kalkulus. Dalam rumus ini, turunan dari
61
fungsi f di suatu titik z adalah dinotasikan dengan salah satu zfzfdz
d , tergantung
pada mana notasi ini digunakan.
Misalkan c suatu konstanta kompleks, dan f suatu fungsi yang mempunyai turunan
di suatu titik z. Maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
(1) zfczcfdz
dz
dz
dc
dz
d ,1,0 .
Juga, jika n bilangan bulat positif,
(2) 1 nn nzzdz
d.
Rumus ini juga benar untuk n suatu bilangan bulat negatif, asalkan z 0.
Jika turunan dari dua fungsi f dan F ada di suatu titik z
(3) zFzfzFzfdz
d
(4) zFzfzFzfzFzfdz
d ;
dan, jika F(z) 0,
(5)
2zF
zFzfzfzF
zF
zf
dz
d
Penurunan rumus (4) diperoleh dengan cara merubah f(z)F(z) menjadi
zzFzfzzfzFzzFzfzFzfzzFzzf
Jika kedua sisi dibagi dengan z dan kita misalkan z menuju nol, maka rumus di atas
menunjukkan turunan zFzf .
Terdapat juga aturan rantai untuk differensial fungsi komposisi. Misalkan bahwa f
mempunyai turunan di z0 dan g mempunyai turunan di f(z0). Maka fungsi F[z] = g[f(z)]
mempunyai turunan di z0, dan
(6) 000 zfzfgzF .
Jika kita tulis w = f(z) dan W = F(z), juga W = F(z), dari aturan rantai
62
dz
dw
dw
dW
dz
dW .
Contoh. Untuk mencari turunan dari (2z2 + i)5, kita tulis w = 2z2 + i dan W = w5. Maka
42452 220452 izzzwizdz
d .
Kita mulai membuktikan rumus (6), pilih titik z0 sehingga 0zf ada. Tulis w0 =
f(z0) dan juga asumsikan bahwa 0wg ada. Maka terdapat suatu lingkungan 0ww
dari w0 sehingga, untuk setiap titik w dalam lingkungan, kita mendefinisikan suatu fungsi
yang mempunyai nilai 0w =0 dan
(7)
0wwjikawgww
wgwgw
0
0
0 .
Sebagai catatan bahwa, dari definisi turunan
(8) 0lim0
www
.
Jadi adalah kontinu di w0.
Selanjutnya dari persamaan (7) diperoleh
(9) 0w-wwwwwgwgwg 000
adalah benar jika w = w0; karena 0zf ada maka f kontinu di z0. Kita dapat memilih
bilangan positif sedemikian sehingga titik f(z) terletak dalam lingkungan 0ww
dari w0 jika z terletak dalam lingkungan 0zz dari z0. Jadi dengan menggati
variabel w dalam (9) dengan f(z) jika z suatu titik dalam lingkungan 0zz . Dengan
substitusi w0 = f(z0), persamaan (9) diperoleh
(10)
0z-z0
zz
zfzfzfzfg
zz
zfgzfg
0
00
0
0 ,
dimana z z0.
63
LATIHAN
1. Gunakan hasil dalam bagian 16 untuk mencari zf jika : (a). f(z) = 3z2 – 2z + 4;
3241. zzfb ; 0zz
zzfdz
z
zzfc
2
21.;
2
1
12
1.
2. Gunakan hasil dalam bagian 16, untuk menunjukkan bahwa (a). suatu polinom
nn zazazaazP ...2
210 (an 0) yang berderajat n (n1) adalah
terdiferensialkan dimana-mana, dengan turunannya 121 ...2 n
n znazaazP
(b). koefisien dari polinom P(z) dalam bagian (a) dapat ditulis !1
0,0 10
PaPa
,
!
0,...,
!2
02
n
Pa
Pa
n
n
.
3. Gunakan definisi (3) bagian 15 dari turunan untuk memberikan bukti langsung bahwa
21
zzf jika 01 zzf z .
4. Misalkan bahwa f(z0) = g(z0) = 0 dan 00 zgdanzf ada, dimana 00 zg .
Gunakan definisi (1) bagian 15 dari turunan untuk menunjukkan bahwa
0
0
0
limzg
zf
zg
zf
zz
.
5. Buktikan rumus (3) bagian 16 untuk turunan dari jumlah dua fungsi.
6. Buktikan persamaan (2) bagian 16 untuk turunan zn jika n suatu bilangan bulat positif
dengan menggunakan : (a). Induksi matematika dan rumus (16.4), untuk turunan dari
perkalian dua buah fungsi. (b). definisi (3) bagian 15 dari turunan dan rumus Binomial
(soal 14 bagian 6).
7. Buktikan bahwa persamaan (2) bagian 16 untuk turunan zn adalah benar jika n adalah
suatu bilangan bulat negatif (n = -1, -2, …), jika z 0.
8. Gunakan metode dalam contoh 2 bagian 15, untuk menunjukkan bahwa zf tidak ada
disetiap titik z jika : zzf.a ; (b). f(z) = Re z; (c). f(z) = Im z.
64
9. Misalkan f menyatakan suatu fungsi dengan nilai
0zjika0
0zjikaz
zzf
2
. Tunjukkan
bahwa jika z = 0, maka 1
z
wuntuk setiap titik tak nol pada sumbu real dan imajiner
dalam bidang yx,atauz . Tunjukkan bahwa 1
z
wdisetiap titik tak nol
xx , pada garis xy dalam bidang z . Kesimpulan dari hasil penyelidikan
adalah 0f tidak ada.
17. PERSAMAAN CAUCHY-RIEMANN
Dalam bagian ini, kita memperoleh pasangan dari persamaan turunan parsial orde pertama
fungsi komponen u dan v dari fungsi
(1) yxivyxuzf ,,
harus memenuhi di suatu titik z0 = (x0 , y0) jika turunan dari f ada di titik z0 = (x0 , y0). Kita
juga tunjukkan bagaimana menulis 0zf dalam suku-suku dari turunan parsialnya.
Misalkan bahwa turunan
(2) z
zfzzfzf
z
00
00 lim
ada. Tulis z0 = x0 + iy0 dan yixz , maka dari teorema 1 bagian 12, kita mempunyai
(3)
z
zfzzfzf
yx
00
0,0,0 RelimRe
(4)
z
zfzzfzf
yx
00
0,0,0 ImlimIm
dimana
(5)
yix
yxvyyxxvi
yix
yxuyyxxu
z
zfzzf
0000000000 ,,,,
65
Persamaan ini sangat penting untuk memikirkan bahwa persamaan (3) dan (4) benar untuk
yx , menuju (0,0) dalam sembarang arah yang kita pilih.
Khususnya, misalkan yx , menuju (0,0) sepanjang horizontal melalui titik-titik
0,x , dengan indikasi pada gambar 22 (bagian 15). Ini berarti bahwa 0y dalam
persamaan (5), dan kita peroleh bahwa
x
yxuyxxuzf
x
0000
00
,,limRe
x
yxvyxxvzf
x
0000
00
,,limIm
Jadi,
(6) 00000 ,, yxivyxuzf x ,
dimana 0000 ,, yxvdanyxux menyatakan turunan parsial orde pertama dari variabel x
dari fungsi u dan v di 00 , yx .
Kita dapat memisalkan yx , meunju nol sepanjang garis vertikal y,0 . Dalam
hal ini, 0x dalam persamaan (5); dan diperoleh
(7) 00000 ,, yxiuyxvzf y
Ini menunjukkan bahwa 0zf dinyatakan dalam bentuk turunan parsial orde pertama dari
u dan v terhadap variabel y. Sebagai catatan bahwa persamaan (7) dapat juga ditulis
00000 ,, yxivyxuizf y
Persamaan (6) dan (7) tidak hanya memberikan 0zf dalam bentuk turunan
parsial dari fungsi komponen u dan v, tetapi juga merupakan syarat perlu untuk keberadaan
0zf . Pada persamaan bagian real dan imajiner pada bagian kanan persamaan di atas,
kita peroleh bahwa keberadaan dari 0zf memerlukan bahwa
(8) 00000000 ,,,, yxvyxudanyxvyxu xyyx
Persamaan (8) ini disebut Persamaan Cauchy-Riemann (C-R)
Sebagai ringkasan dari hasil di atas, kita nyatakan dalam teorema berikut ini
66
Teorema. Misalkan bahwa
yxivyxuzf ,,
dan 0zf ada di titik z0 = x0 + y0. Maka turunan parsial orde pertama dari u dan v harus
ada di titik (x0 , y0), dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann
(9) xyyx vudanvu
Juga 0zf dapat ditulis
(10) xx ivuzf 0
dimana turunan parsialnya dihitung pada (x0 , y0).
Contoh 1. Dalam contoh 1 bagian 15, terlihat bahwa fungsi
xyiyxzzf 2222
adalah terdiferensiabel dimana-mana dan zzf 2 . Akan diselidiki bahwa persamaan C-
R dipenuhi dimana-mana. Kita catat bahwa xyyx,vdanyxyxu 2, 22 . Jadi
xyyx vyuvxu 2,2 .
Selanjutnya, dari persamaan (10),
ziyxyixzf 2222 .
Karena persamaan C-R adalah merupakan syarat perlu untuk keberadaan dari
turunan suatu fungsi f di titik z0, maka persamaan C-R selalu dapat digunakan untuk
mengetahui dititik mana f tidak mempunyai turunan.
Contoh 2. Jika 2zzf , kita mempunyai 0, 22 yx,vdanyxyxu . Misalkan
persamaan C-R benar di suatu titik (x , y), dari sini bahwa 2x = 0 dan 2y = 0, atau x = y = 0.
Akibatnya, zf tidak ada disetiap titik tak nol, dan ini telah kita ketahui pada contoh 2
dalam bagian 15. Perlu dicatat bahwa teorema di atas tidak menjamin keberadaan dari
0f . Pada teorema dalam bagian berikut ini akan dibahas syarat cukup dari suatu fungsi
yang terdiferensiabel.
67
18. SYARAT CUKUP UNTUK KETERDIFFERENSIALAN
Syarat dari persamaan C-R dititik z0 = (x0 , y0) adalah tidak cukup untuk menjamin
keberadaan turunan dari suatu fungsi f(z) di titik z0 = (x0 , y0). (lihat latihan 6, bagian 19).
Tetapi, dengan syarat kekontinuan, sangat bermanfaat dan dinyatakan dalam teorema
berikut.
Teorema. Misalkan
yxivyxuzf ,,
terdefinisi pada suatu lingkungan dari suatu titik z0 = x0 + iy0 . Misalkan pula bahwa
turunan parsial orde pertama dari fungsi u dan v terhadap x dan y ada dimana-mana dalam
lingkungan tersebut dan kontinu di titik (x0 , yo). Jika turunan parsialnya memenuhi
persamaan C-R
xyyx vudanvu
di (x0 , yo), maka 0zf ada.
Kita mulai membuktikan, dengan menulis z0dimanayixz , , dan
00 zfzzfw . Jadi viuw , dimana
(1) ,,,
,,,
0000
0000
yxvyyxxvv
yxuyyxxuu
Sekarang, dari kekontinuan turunan parsial orde pertama u dan v di titik (x0 , y0),
(.2)
,,,
,,,
2220000
2210000
yxyyxvxyxvv
yxyyxuxyxuu
yx
yx
dimana 1 dan 2 menuju 0 melalui yx , mendekati (0,0) dalam bidang z . Jadi
(3)
.yxyyxvxyxvi
yxyyxuxyxuw
yx
yx
2220000
2210000
,,
,,
68
Keberadaan dari persamaan (2) untuk fungsi dua variabel real dengan kekontinuan turunan
parsial orde pertama dapat diperoleh pada kalkulus lanjut dan hubungannya dengan
differensial.
Dari asumsi bahwa persamaan C-R dipenuhi di (x0 , y0), kita dapat mengganti
00 , yxu y dengan 00 , yxvx dan 00 , yxv y dengan 00 , yxux dalam persamaan (3)
dan semuanya dibagi dengan z , untuk memperoleh
(4)
z
yxiyxivyxu
z
w1xx
22
20000 ,,
Tetapi
1,22
22
z
yxjugadanzyx .
Juga 1 + i2 menuju 0 asalkan yx , mendekati (0,0). Jadi bentuk terakhir bagian kanan
dari persamaan (4) menuju 0 melalui variabel yixz menuju 0. Ini berarti bahwa
limit dari bagian kiri persamaan (4) ada dan
(5) 00000 ,, yxivyxuzf xx .
Contoh 1. Misalkan bahwa
yiyezf x sincos ,
dimana y adalah menyatakan radian jika cos y dan sin y dihitung. Maka
yeyx,vdanyeyxu xx sincos, .
Dimana xyyx vudanvu dimana dan setiap turunannya adalah kontinu, maka syarat
dalam teorema adalah dipenuhi disemua titik dalam bidang kompleks. Jadi zf ada
dimana-mana, dan
yiyeivuzf xxx sincos
Sebagai catatan bahwa zf = f(z).
Contoh 2. Dari teorema di atas juga fungsi 2zzf , yang mempunyai komponen
0, 22 yx,vdanyxyxu mempunyai turunan di z = 0. Kenyataannya bahwa,
69
000 if (bandingkan dengan contoh 2, bagian 15). Kita ketahui dalam contoh 2,
bagian 17, fungsi ini tidak mempunyai turunan disetiap titik tak nol karena persamaan C-R
tidak dipenuhi.
19. KOORDINAT POLAR
Jika z0 0, teorema dalam bagian 18 adalah diberikan dalam koordinat polar dengan arti
bahwa transformasi koordinat (bagian 5)
(1) x = r cos , y = r sin
bergantung pada bagaimana kita menulis
z = x + iy atau z = rei ( z0 )
jika w = f(z), bagian real dan bagian imajiner dari w = u + iv adalah dinyatakan dalam
bentuk salah satu variabel x dan y atau r dan . Misalkan bahwa turunan parsial orde
pertama dari u dan v terhadap x dan y ada dimana-mana dalam suatu lingkungan titik tak
nol z0 yang diberikan dan kontinu dititik tersebut. Turunan parsial orde pertama terhadap r
dan juga mempunyai sifat yang sama, dan dengan aturan rantai untuk differensial fungsi
bernilai real dari dua variabel real dapat digunakan untuk mendapatkan suku-sukunya
terhadap variabel x dan y. Karena
x
y
ux
x
uu
r
x
y
u
r
x
x
u
r
u
, ,
dan dapat ditulis
(2) ruruuuuu yxyxr cossin,sincos ,
dengan cara serupa
(3) rvrvvvvv yxyxr cossin,sincos .
Jika turunan parsial terhadap x dan y juga memenuhi persamaan C-R
(4) xyyx vudanvu
di z0, persamaan (3) memberikan
(5) ruruvuuv xyxyr cossin,sincos
70
dititik z0. Hal ini jelas bahwa dari persamaan (2) dan (5)
(6) rr vur
1v
ru ,
1
dititik z0.
Jika, pada hal lain, persamaan (6) diketahui benar dititik z0, untuk selanjutnya
tunjukan (soal no. 7) bahwa persamaan (4) juga benar. Persamaan (6) adalah merupakan
suatu alternatif dari bentuk persamaan C-R pada (4).
Kita dapat mengulangi teorema dalam bagian 18 dengan menggunakan koordinat
polar.
Teorema. Misalkan fungsi
,, rivruzf
terdefinisi pada suatu lingkungan dari titik tak nol z0 = r0exp(i0). Misalkan pula bahwa
turunan parsial orde pertama dari fungsi u dan v terhadap r dan ada dimana-mana dalam
lingkungan tersebut dan kontinu dititik (r0 ,0). Jika turunan parsial pertama memenuhi
persamaan C-R dalam bentuk koordinat polar di (r0 ,0), maka turunan 0zf ada.
Turunan 0zf dapat ditulis (soal no. 8)
(7) rri ivuezf
0 ,
dimana sisi bagian kanan dihitung pada (r0 ,0).
Contoh. Pandang fungsi
irez
zf11
dimana
rrvdan
rru
sin,
cos, .
Syarat dalam teorema di atas adalah dipenuhi disetiap titik tak nol z = rei dalam bidang.
Juga turunan dari f ada disana, dan dari persamaan (7),
71
2222
11sincos
zreri
rezf
i
i
.
Latihan
1. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menunjukkan bahwa zf tidak ada disetiap
titik jika
(a). ;zzzfbzzf .; 22. ixyxzfc ; iyxeezfd . .
2. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menunjukkan bahwa zf dan turunan
zf ada dimana-mana, dan carilah zf jika:
2. izzfa ; iyxeezfb . ;
(c). f(z) = z3; (d). f(z) = cos x cosh y – isin x sinh y.
3. Dari hasil yang termuat dalam bagian 17 dan 18, tentukan dimana zf ada carilah
nilainya jika (a). z
zf1
; (b). f(z) = x2 + iy2; (c). f(z) = z Imz .
4. Gunakan teorema dalam bagian 19 untuk menunjukkan setiap fungsi berikut adalah
terdiferensial dalam daerah definisinya, dan gunakan persamaan (19.7) untuk mencari
zf :
(a). ;0z1
4
zzf
0,-rzf.b 2
i
er ;
20,0rrierezfc i lnsinlncos. .
5. Tunjukkan bahwa 33 1 yixzf mempunyai turunan 23xivuzf xx
hanya jika z = i.
6. Misalkan u dan v menyatakan komponen bagian real dan imajiner dari fungsi f yang
didefinisikan dengan persamaan
0zjika,0
0zjika,z
zzf
2
. Selidiki bahwa
persamaan C-R xyyx vudanvu adalah dipenuhi pada titik asal z = (0,0).
72
7. Selesaikan persamaan (2) bagian 19 untuk ux dan uy dan untuk menunjukkan bahwa
ruuu
ruuu ryrx
cossin,
sincos . Maka gunakan persamaan ini dan
cara serupa untuk vx dan vy untuk menunjukkan bahwa, dalam persamaan (4) bagian 19
adalah dipenuhi di suatu titik z0 jika persamaan (6) bagian 19 adalah dipenuhi.
Selengkapnya selidiki bahwa (6) bagian 19 adalah persamaan C-R dalam bentuk polar.
8. Misalkan bahwa suatu fungsi f(z) = u + iv adalah terdiferensiabel disuatu titik tak nol
z0 = r0 exp(i0). Gunakan ux dan vx dalam soal no. 7, bersama-sama dengan koordinat
polar (6) bagian 19 dari persamaan C-R, untuk menunjukkan bahwa 0zf dapat
ditulis rri ivuezf , dimana ur dan vr dihitung pada (r0 , 0).
9. (a). Dengan menggunakan bentuk polar (6) bagian 19, dari persamaan C-R, turunkan
bentuk
ivuz
izf
00 dari 0zf dalam soal no. 8.
(b). Gunakan bentuk 0zf yang didapatkan dalam bagian (a) untuk mrnunjukkan
bahwa turunan dari fungsi 0zz
zf 1
dalam contoh bagian 19 adalah
2
1
zzf .
10. (a). Ingat kembali (bagian 3) bahwa jika z = x + iy, maka2
zzx
dan
i
zzy
2
.
Dengan menggunakan rumus aturan rantai dalam kalkulus untuk fungsi F(x,y) dari
dua variabel, untuk menhitung
y
Fi
x
F
z
y
y
F
z
x
x
F
z
F
2
1.
(b). Definisikan operator
yi
xz 2
1, dengan menggunakan bagian (a), untuk
menunjukkan bahwa turunan parsial orde pertama bagian real dan imajiner dari
suatu fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) memenuhi persamaan C-R, maka
73
02
1
yxyx uvivu
z
f. Jadi penurunan bentuk kompleks 0
z
fdari
persamaan C-R.
20. FUNGSI ANALITIK
Pada bagian ini akan dipelajari pendahuluan dari suatu fungsi analitik. Suatu fungsi
f dari variabel kompleks z adalah analitik dalam suatu himpunan buka jika fungsi f
mempunyai turunan disetiap titik dalam himpunan tersebut. Jika suatu fungsi f adalah
analitik dalam suatu himpunan S yang tidak buka, maka f adalah analitik dalam suatu
himpunan buka yang memuat S. Khususnya, f adalah analitik di suatu titik z0 jika f itu
analitik dalam lingkungan z0.
Sebagai catatan, bahwa fungsi z
zf1
adalah analitik disetiap titik tak nol dalam
bidang hingga. Tetapi fungsi 2zzf adalah tidak analitik disetiap titik karena
turunannya hanya ada di z = 0 dan tidak pada seluruh lingkunganya. (lihat contoh 2. bagian
15).
Suatu fungsi dikatakan entire jika fungsi tersebut adalah analitik disetiap titik dalam
suluruh bidang hingga. Sebagai contoh turunan dari fungsi polinom ada dimana-mana,
maka setiap fungsi polinom adalah suatu fungsi entire.
Jika suatu fungsi f tidak analitik disuatu titik z0 tetapi analitik pada beberapa titik
pada setiap lingkungan dari z0, maka z0 maka z0 disebut titik singular atau singularitas dari
f. Titik z = 0 adalah jelas merupakan suatu titik singular dari fungsi z
zf1
. Fungsi
2zzf tidak mempunyai titik singular sebab tidak analitik dimana-mana.
Syarat perlu, tetapi bukan syarat cukup, suatu fungsi f analitik dalam suatu domain
D adalah kontinu pada seluruh D. Persamaan C-R adalah juga syarat perlu, tetapi bukan
syarat cukup. Syarat cukup untuk analitik dalam domain D adalah dijelaskan pada teorema
dalam bagian 18 dan 19.
74
Selanjutnya, kita akan selalu menggunakan syarat cukup dari rumus differensial
yang termuat dalam bagian 16. Turunan jumlah dan perkalian dua fungsi ada asalkan
turunan dari masing-masing fungsi tersebut ada. Jadi, jika dua fungsi analitik dalam
domain D, maka jumlah dan perkaliannya adalah analitik dalam domain D. Dengan hal
serupa, hasil baginya adalah analitik dalam domain D asalkan penyebutnya tidak bernilai
nol disetiap titik dalam D. Khususnya, hasil bagi zQ
zPdari dua polinom adalah analitik
dalam setiap domain 0zQ .
Dari aturan rantai untuk turunan dari suatu fungsi komposisi, kita peroleh bahwa
komposisi dari dua fungsi analitik adalah analitik. Sebagai bukti, misalkan bahwa suatu
fungsi f(z) adalah analitik dalam domain D dan bayangannya (bagian 10) dari D oleh
transformasi w = f(z) adalah termuat dalam daerah definisi fungsi g(w). Maka komposisi
g[f(z)] adalah analitik dalam D, dan turunannya
zfzfgzfgdz
d
Teorema. Jika 0 zf dimana-mana dalam suatu domain D, maka zf harus konstan
pada seluruh D.
Untuk membuktikan ini, kita tulis f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Karena 0 zf di D,
maka ux + ivx = 0; dan, dari persamaan C-R, vy - iuy = 0. Akibatnya,
ux = uy = vx = vy = 0
disetiap titik dalam D.
21. PRINSIP REFLEKSI
Dalam dua bagian terakhir dari bab ini, kita akan mengembangkan sifat yang
penting dari fungsi analitik, sebagai tambahan yang sangat berguna dalam aplikasi.
Teorema dalam bagian ini ditampilkan berdasarkan kenyataan dari beberapa fungsi
analitik yang mempunyai sifat bahwa zfzf untuk semua z dalam daerah tertentu dan
yang lainnya tidak. Sebagai contoh z + 1 dan z2 memenuhi sifat tersebut jika D adalah
75
seluruh bidang hingga; tetapi tidak benar untuk z + i dan iz2 . Teorema ini diketahui
melalui prinsip refleksi, yang ditentukan dengan jalan memprediksi fungsi f(z) dalam
sumbu real yang berhubungan dengan pencerminan dari z.
Theorema. Misalkan bahwa fungsi f adalah analitik dalam suatu domain D yang memuat
segmen sumbu x dan simetri terhadap sumbu x. Maka
(1) zfzf
untuk setiap titik z dalam domain jika dan hanya jika f(x) adalah real disetiap titik x pada
segmen.
Kita mulai membuktikan dengan asumsi bahwa f(x) adalah real disetiap titik x pada
segmen. Pertama-tama akan ditunjukan bahwa
(2) zfzF
adalah analitik di D, dengan menggunakan asumsi yang termuat dalam persamaan (21.1).
Untuk menyelidiki keanalitikan dari F(z), kita tulis
f(z) = u(x,y) + iv(x,y), F(z) = U(x,y) + iV(x,y)
dan dari persamaan (2) diperoleh
(3) yxivyxuzf ,, ,
sehingga komponen dari F(z) dan f(z) dihubungkan oleh persamaan
(4) U(x,y) = u(x,t) dan V(x,y) = -v(x,t),
dimana t = -y. Karena f(x + it) adalah suatu fungsi analitik dari x + it, turunan parsial orde
pertama dari fungsi u(x,t) dan v(x,t) adalah kontinu diseluruh D dan memenuhi persamaan
C-R
(5) ux = vt , ut = -vx.
Selanjutnya, dari persamaan (4),
ttyxx vdy
dtvVuU , ;
dan dari sini dan persamaan (5) bagian yang pertama bahwa Ux = Vy . Dengan cara serupa,
xxtty vVudy
dtuU , ;
76
dan dari persamaan (5) yang kedua diperoleh bahwa Uy = -Vx . Sebab melalui turunan
parsial orde pertama dari U(x,y) dan V(x,y) memenuhi persamaan C-R dan turunannya
adalah kontinu, kita peroleh bahwa fungsi F(z) adalah analitik dalam D. Selanjutnya,
karena f(x) adalah real pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D, v(x,0) = 0 pada
segmen, dan dari persamaan (4), ini berarti bahwa
F(x) = U(x,0) + iV(x,0) = u(x,0) - iv(x,0) = u(x,0)
Jadi,
(6) F(z) = f(z)
Disetiap titik z = x pada segmen. Kita sekarang merujuk pada hasil yang termuat dalam Bab
6 (bagian. 58). Sebutlah, suatu fungsi bahwa analitik dalam domain D adalah tunggal yang
ditentukan dengan nilai sepanjang setiap segmen garis yang terletak dalam D. Jadi
persamaan (6) adalah benar untuk seluruh D. Sebab dari definisi (21.2) dari fungsi F(z),
maka,
(7) zfzf ;
adalah sama melalui persamaan (1).
Untuk membuktikan sebaliknya dari teorema di atas, kita asumsikan bahwa
persamaan (1) adalah benar, dan dari (3), (7) persamaan (1) dapat ditulis
u(x , -y) - iv(x , -y) = u(x , y) + iv(x , y)
Khususnya, jika (x,0) adalah titik pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D,
u(x , 0) - iv(x ,0) = u(x ,0) + iv(x , 0) ;
dan, dengan menyamakan bagian imajinernya, kita peroleh bahwa v(x , 0) = 0. Jadi f(x)
adalah real pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D.
Contoh. Dari pernyatan pada awal teorema di atas, kita catat bahwa 11 zz dan
22 zz untuk setiap z dalam bidang hingga. Dari teorema di atas, diketahui bahwa ini
benar, dimana x + 1 dan x2 adalah real jika x adalah real. Kita juga mencatat bahwa z + i
dan iz2 tidak memenuhi sifat refleksi pada seluruh bidang, dan kita ketahui bahwa x + i dan
ix2 adalah bukan real jika x adalah real.
77
22. FUNGSI HARMONIK
Suatu fungsi bernilai real H dari dua variabel real x dan y dikatakan harmonik dalam suatu
domain yang diberikan dari bidang xy jika turunan parsialnya orde pertama dan kedua
adalah kontinu dan memenuhi persamaan differensial parsial
(1) 0,, yxHyxH yyxx
persamaan (1) disebut persamaan Laplace
Fungsi harmonik adalah sangat penting dalam aplikasi matematika. Sebagai contoh,
fungsi temperatur T(x , y) dalam plat yang terletak dalam bidang xy adalah selalu harmonik.
Suatu fungsi V(x,y) adalah harmonik jika menyatakan suatu potensial listrik yang berubah-
ubah dengan x dan y dalam daerah ruang tiga dimensi adalah bebas.
Contoh 1. Mudah untuk ditunjukkan bahwa fungsi xeyxT y sin, adalah harmonik
pada setiap domain dari bidang xy dan khususnya, daerah 0 < x < , y > 0.
0,, yxTyxT yyxx
yT,yT 0,0,0
0yx,Tlim,xxTy
sin0,
Teorema 1. Jika suatu fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah analitik dalam domain D, maka
fungsi komponen u dan v adalah harmonik dalam domain D.
Txx + Tyy = 0 T = 0T = 0
0 T = sin x x
y
Gambar 23
78
Untuk membuktikan teorema ini kita membutuhkan suatu hasil bahwa, jika fungsi
dari suatu variabel kompleks adalah analitik di suatu titik, maka komponen bagian real dan
imajiner mempunyai turunan parsial yang kontinu pada sumua pasangan titik.
Asumsikan bahwa f analitik dalam D, kita mulai menghitung turunan parsial orde
pertama dari komponen fungsi harus memenuhi persamaan Cauchy-Riemann sepanjang D;
(2) ux = vy, uy =- vx
Differensialkan kedua ruas persamaan (22.2) terhadap x, kita mempunyai
(3) uxx = vyx, uyx =- vxx
Dengan cara serupa, differensialkan juga terhadap y dan diperoleh
(4) uxy = vyy, uyy =- vxy
Sekarang, berdasarkan teorema dalam kalkulus lanjut, kekontinuan dari turunan parsial dari
u dan v harus memenuhi uyx = uxy dan vxy = vyx. Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh
bahwa
uxx + uyy = 0 dan vxx + vyy = 0
Jadi u dan v harmonik dalam D.
Contoh 2. Fungsi f(z) = e-ysin x – ie-y cos x adalah entire (latihan 1(c)). Juga fungsi
temperatur T(x,y) = e-ysin x dalam contoh 1 harmonik dalam setiap domain dari bidang xy.
Contoh 3. Fungsi g(z) = z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 + i2xy adalah entire, juga perkalian fungsi
f(z)g(z), dengan f(z) adalah sama pada contoh (2). Fungsi
Re[f(z)g(z)] = e-y[(x2-y2) sin x + 2xycos x]
juga harmonik sepanjang bidang xy.
Jika diberikan fungsi u dan v harmonik dalam domain D dan turunan parsial orde
pertama memenuhi persamaan Cauchy-Riemann (22.2) sepanjang D, v disebut harmonik
conjugate dari u. Arti kata conjugate disini tidak sama dengan conjugate dalam bagian 3.
Teorema 2. Suatu fungsi f(z) = u(x,y) +iv(x,y) adalah analitik dalam domain D jika dan
hanya jika v merupakan harmonik conjugate dari u.
Contoh 4. Misalkan bahwa
u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy.
79
Merupakan komponen bagian real dan imajiner fungsi entire f(z) = z2, kita tahu bahwa v
adalah harmonik konjugate dari u seluruh bidang xy. Tetapi u bukan harmonik konjugate
dari v, hal ini dapat diselidiki dalam latihan 2(b), fungsi 2xy + i(x2-y2) tidak analitik
dimana-mana.
Kita dapat menunjukkan dalam latihan 11(b) bahwa jika dua fungsi u dan v saling
harmonik konjugate satu sama lain, maka kedua fungsi u dan v merupakan fungsi konstan.
Jika v harmonik konjugate dari u dalam domain D, maka –u adalah harmonik konjugate
dari v dalam D, dan sebaliknya. Perhatikan fungsi di bawah ini,
f(z) = u(x,y) + iv(x,y), -if(z) = v(x,y) - iu(x,y)
f(z) adalah analitik dalam D jika dan hanya jika –if(z) analitik dalam D.
Contoh 5. Kita akan ilustrasikan bagaimana mencari suatu harmonik konjugate dari suatu
fungsi harmonik yang diberikan. Fungsi
(5) u(x,y) = y3 – 3x2y
adalah harmonik sepanjang bidang xy. Akan dicari harmonik konjugate v(x,y). Turunan
parsial u terhadap x adalah
ux(x,y) = -6xy.
dan ux = vy, sehingga diperoleh
vy(x,y) = -6xy.
Karena x tetap, kita integralkan kedua ruas persamaan di atas terhadap y, dan diperoleh
(6) v(x,y) = -3xy2 + (x),
dimana fungsi sembarang dari x. Karena uy = -vx harus dipenuhi, maka dari persamaan
(5) dan (6)
3y2 – 3x2 = 3y2 + ’(x).
Juga ’(x) = 3x2; dan ini berarti (x) = x3 + c , dimana c suatu bilangan real. Juga fungsi
v(x,y) = x3 -3xy2 + c
adalah harmonik konjugate dari u(x,y).
Jadi fungsi analitik yang berkaitan adalah
(7) f(z) = (y3 – 3x2y) + i(x3 – 3xy2 + c).
80
Juga mudah ditunjukkan bahwa f(z) = i(z3 + c).
Jika y = 0, persamaan (7) menjadi
f(z) = i(x3 + c)
Latihan
1. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menyelidiki, apakah setiap fungsi di bawah
ini adalah entire:
(a). f(z) = 3x + y + i(3y – x) (b). f(z) = sin x cosh y + icos x sinh y
(c). f(z) = e-ysin x- ie-ycos x (d). f(z) = (z2 – 2)e-xe-iy
2. Dengan menggunakan teorema pada bagian 17, tunjukkan setiap fungsi berikut tidak
analitik dimana-mana :
a. f(z) = xy + iy b. f(z) = 2xy + i (x2 – y2) c. f(z) = eyeix
3. Keadaan bagaimana suatu komposisi dari dua fungsi entire adalah entire. Juga, keadaan
bagaimana suatu kombinasi linear c1f1(z) + c2f2(z) dari dua fungsi entire, dimana c1 dan
c2 konstanta kompleks adalah entire.
4. Dalam setiap kasus, tentukan titik singular setiap fungsi berikut dan pada saat kapan
fungsi tersebut analitik dimana-mana kecuali dititik singularnya.
a. 1
122
zz
zzf b.
232
3
zz
izzf c.
222
12
2
zzz
zzf
5. Berdasarkan latihan 4(b) bagian 19, fungsi 2
i
erzg , r>0, adalah
analitik dalam daerah definisinya, dengan turunan zg
zg2
1' . Tunjukkan bahwa
komposisi fungsi g(2z-2+i) adalah analitik dalam bidang x>1, dengan turunan
izg 22
1.
6. Gunakan hasil dalam bagian 19 untuk menyelidiki bahwa fungsi g(z) = ln r + i , r>0,
0<<2 adalah analitik dalam daerah definisinya, dengan turunan z
zg1
' . Maka
81
tunjukkan bahwa komposisi fungsi g(z2+1) adalah fungsi analitik dari z dalam kuadran
x>0, y>0, dengan turunan1
22 z
z.
7. Misalkan fungsi f(z) analitik dalam domain D. Buktikan bahwa f(z) harus konstan
dalam D jika
a. f(z) adalah bernilai real untuk semua z dalam D.
b. zf adalah analitik dalam D
c. zf adalah konstan dalam D