matematika iiibarta/fsv/mat3_zs09/m3_prezentace.… · matematika iii viii. primitivní funkce a...
TRANSCRIPT
-
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannův integrálLineární algebraTaylorův polynomExtrémy funkcí více proměnných
Matematika III Program
-
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannův integrál
Lineární algebraTaylorův polynomExtrémy funkcí více proměnných
Matematika III Program
-
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannův integrálLineární algebra
Taylorův polynomExtrémy funkcí více proměnných
Matematika III Program
-
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannův integrálLineární algebraTaylorův polynom
Extrémy funkcí více proměnných
Matematika III Program
-
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannův integrálLineární algebraTaylorův polynomExtrémy funkcí více proměnných
Matematika III Program
-
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
2.56
1.34
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1)
S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
2.56 1.34
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
2.15 1.84
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
2.08 1.92
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
2.08 1.92
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
inf S(f ,D) ?= sup S(f ,D)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
2.08 1.92
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
∫ ba
f (x) dx := inf S(f ,D) = sup S(f ,D)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.2. Riemannův integrál – opakování
VětaNecht’ f je spojitá funkce na intervalu 〈a,b〉 a necht’
c ∈ 〈a,b〉. Označíme-li F (x) =∫ x
cf (t) dt pro x ∈ (a,b),
pak F ′(x) = f (x) pro každé x ∈ (a,b).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
VIII.3. Primitivní funkce
DefiniceNecht’ funkce f je definována na neprázdném otevřenémintervalu I. Řekneme, že funkce F : I → R je primitivnífunkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x ∈ I existujeF ′(x) a platí F ′(x) = f (x).
Věta 7 (jednoznačnost primitivní funkce)Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f naotevřeném intervalu I. Pak existuje c ∈ R tak, žeF (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
VIII.3. Primitivní funkce
DefiniceNecht’ funkce f je definována na neprázdném otevřenémintervalu I. Řekneme, že funkce F : I → R je primitivnífunkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x ∈ I existujeF ′(x) a platí F ′(x) = f (x).
Věta 7 (jednoznačnost primitivní funkce)Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f naotevřeném intervalu I. Pak existuje c ∈ R tak, žeF (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
VIII.3. Primitivní funkce
DefiniceNecht’ funkce f je definována na neprázdném otevřenémintervalu I. Řekneme, že funkce F : I → R je primitivnífunkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x ∈ I existujeF ′(x) a platí F ′(x) = f (x).
Věta 7 (jednoznačnost primitivní funkce)Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f naotevřeném intervalu I. Pak existuje c ∈ R tak, žeF (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
PoznámkaMnožinu všech primitivních funkcí k funkci f značímesymbolem ∫
f (x) dx .
Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme∫f (x) dx c= F (x), x ∈ I.
Věta 8 (o existenci primitivní funkce)Necht’ f je spojitá funkce na neprázdném otevřenémintervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
PoznámkaMnožinu všech primitivních funkcí k funkci f značímesymbolem ∫
f (x) dx .
Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme∫f (x) dx c= F (x), x ∈ I.
Věta 8 (o existenci primitivní funkce)Necht’ f je spojitá funkce na neprázdném otevřenémintervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
PoznámkaMnožinu všech primitivních funkcí k funkci f značímesymbolem ∫
f (x) dx .
Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme∫f (x) dx c= F (x), x ∈ I.
Věta 8 (o existenci primitivní funkce)Necht’ f je spojitá funkce na neprázdném otevřenémintervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 9 (linearita neurčitého integrálu)Necht’ funkce f má na otevřeném intervalu I primitivnífunkci F , funkce g má na I primitivní funkci G a α, β ∈ R.Potom funkce αF + βG je primitivní funkcí k αf + βg na I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Primitivní funkce k některým důležitým funkcím
∫xn dx c=
xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c=
xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),∫1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Primitivní funkce k některým důležitým funkcím∫xn dx c=
xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,
∫xα dx c=
xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),∫1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Primitivní funkce k některým důležitým funkcím∫xn dx c=
xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c=
xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},
∫1x
dx c= log x na (0,+∞),∫1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Primitivní funkce k některým důležitým funkcím∫xn dx c=
xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c=
xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),
∫1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Primitivní funkce k některým důležitým funkcím∫xn dx c=
xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c=
xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),∫1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),
∫ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Primitivní funkce k některým důležitým funkcím∫xn dx c=
xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c=
xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),∫1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,
∫cos x dx c= sin x na R,∫
1cos2 x
dx c= tg x na každém z intervalů
(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalů(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫
11 + x2
dx c= arctg x na R,∫1√
1− x2dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,∫cos x dx c= sin x na R,
∫1
cos2 xdx c= tg x na každém z intervalů
(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalů(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫
11 + x2
dx c= arctg x na R,∫1√
1− x2dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,∫cos x dx c= sin x na R,∫
1cos2 x
dx c= tg x na každém z intervalů
(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,
∫1
sin2 xdx c= − cotg x na každém z intervalů
(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1
1 + x2dx c= arctg x na R,∫
1√1− x2
dx c= arcsin x na (−1,1),∫− 1√
1− x2dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,∫cos x dx c= sin x na R,∫
1cos2 x
dx c= tg x na každém z intervalů
(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalů(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,
∫1
1 + x2dx c= arctg x na R,∫
1√1− x2
dx c= arcsin x na (−1,1),∫− 1√
1− x2dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,∫cos x dx c= sin x na R,∫
1cos2 x
dx c= tg x na každém z intervalů
(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalů(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫
11 + x2
dx c= arctg x na R,
∫1√
1− x2dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,∫cos x dx c= sin x na R,∫
1cos2 x
dx c= tg x na každém z intervalů
(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalů(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫
11 + x2
dx c= arctg x na R,∫1√
1− x2dx c= arcsin x na (−1,1),
∫− 1√
1− x2dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,∫cos x dx c= sin x na R,∫
1cos2 x
dx c= tg x na každém z intervalů
(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalů(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫
11 + x2
dx c= arctg x na R,∫1√
1− x2dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 10 (o substituci)(i) Necht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Necht’ je ϕ
funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu(a,b), která má v každém bodě t ∈ (α, β) vlastníderivaci. Pak∫
f(ϕ(t)
)ϕ′(t) dt c= F
(ϕ(t)
)na (α, β).
(ii) Necht’ funkce ϕ má v každém bodě intervalu (α, β)vlastní derivaci, která je bud’ všude kladná, nebovšude záporná, a ϕ
((α, β)
)= (a,b). Necht’ funkce f
je definovaná na intervalu (a,b) a platí∫f(ϕ(t)
)ϕ′(t) dt c= G(t) na (α, β).
Pak ∫f (x) dx c= G
(ϕ−1(x)
)na (a,b).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 10 (o substituci)(i) Necht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Necht’ je ϕ
funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu(a,b), která má v každém bodě t ∈ (α, β) vlastníderivaci. Pak∫
f(ϕ(t)
)ϕ′(t) dt c= F
(ϕ(t)
)na (α, β).
(ii) Necht’ funkce ϕ má v každém bodě intervalu (α, β)vlastní derivaci, která je bud’ všude kladná, nebovšude záporná, a ϕ
((α, β)
)= (a,b). Necht’ funkce f
je definovaná na intervalu (a,b) a platí∫f(ϕ(t)
)ϕ′(t) dt c= G(t) na (α, β).
Pak ∫f (x) dx c= G
(ϕ−1(x)
)na (a,b).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 11 (integrace per partes)Necht’ I je neprázdný otevřený interval, funkce f a g jsouspojité na I, F je primitivní funkce k f na I a G je primitivnífunkce ke g na I. Pak platí∫
g(x)F (x) dx = G(x)F (x)−∫
G(x)f (x) dx na I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Integrace racionálních funkcí
DefiniceRacionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů,kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule.
Věta („základní věta algebry“)Necht’ n ∈ N, a0, . . . ,an ∈ C, an 6= 0. Pak rovnice
anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0
má alespoň jedno řešení z ∈ C.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Integrace racionálních funkcí
DefiniceRacionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů,kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule.
Věta („základní věta algebry“)Necht’ n ∈ N, a0, . . . ,an ∈ C, an 6= 0. Pak rovnice
anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0
má alespoň jedno řešení z ∈ C.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Lemma 12 (o dělení polynomů)Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexnímikoeficienty), přičemž polynom Q není identicky rovennule. Pak existují jednoznačně určené polynomy R a Zsplňující:
Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší nežstupeň Q.P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x ∈ C.
Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálnékoeficienty.
DůsledekJe-li P polynom a λ ∈ C je jeho kořen (tj. P(λ) = 0), pakexistuje polynom R, pro který platí P(x) = (x − λ)R(x)pro x ∈ C.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Lemma 12 (o dělení polynomů)Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexnímikoeficienty), přičemž polynom Q není identicky rovennule. Pak existují jednoznačně určené polynomy R a Zsplňující:
Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší nežstupeň Q.P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x ∈ C.
Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálnékoeficienty.
DůsledekJe-li P polynom a λ ∈ C je jeho kořen (tj. P(λ) = 0), pakexistuje polynom R, pro který platí P(x) = (x − λ)R(x)pro x ∈ C.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupně n.Pak existují čísla x1, . . . , xn ∈ C taková, že
P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.
DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Řekneme, že λ jekořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splňuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C. (Tj. násobnost kořene λ je rovna počtu výskytůčísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z věty 13.)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupně n.Pak existují čísla x1, . . . , xn ∈ C taková, že
P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.
DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Řekneme, že λ jekořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splňuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C.
(Tj. násobnost kořene λ je rovna počtu výskytůčísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z věty 13.)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupně n.Pak existují čísla x1, . . . , xn ∈ C taková, že
P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.
DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Řekneme, že λ jekořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splňuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C. (Tj. násobnost kořene λ je rovna počtu výskytůčísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z věty 13.)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 14 (o kořenech polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P je polynom s reálnými koeficienty a z ∈ C jekořen P násobnosti k ∈ N. Pak i komplexně sdruženéčíslo z je kořenem P násobnosti k.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupně n sreálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x1, . . . , xk ,α1, . . . , αl , β1, . . . , βl a přirozená čísla p1, . . . ,pk , q1, . . . ,qltaková, že
P(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql ,
žádné dva z mnohočlenů x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají společnýkořen,mnohočleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný kořen.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupně n sreálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x1, . . . , xk ,α1, . . . , αl , β1, . . . , βl a přirozená čísla p1, . . . ,pk , q1, . . . ,qltaková, že
P(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql ,žádné dva z mnohočlenů x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají společnýkořen,
mnohočleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný kořen.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupně n sreálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x1, . . . , xk ,α1, . . . , αl , β1, . . . , βl a přirozená čísla p1, . . . ,pk , q1, . . . ,qltaková, že
P(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql ,žádné dva z mnohočlenů x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají společnýkořen,mnohočleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný kořen.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupeň P je ostře menší než stupeň Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z věty 15.Pak existují jednoznačně určená reálná číslaA11, . . . ,A
1p1 , . . . ,A
k1, . . . ,A
kpk ,
B11 ,C11 , . . . ,B
1q1 ,C
1q1 , . . . ,B
l1,C
l1, . . . ,B
lql ,C
lql taková, že platí
P(x)Q(x) =
A11(x−x1)
+ · · ·+ A1p1
(x−x1)p1+ · · ·+ A
k1
(x−xk )+ · · ·+ A
kpk
(x−xk )pk
+B11x+C
11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B
1q1
x+C1q1(x2+α1x+β1)q1
+ · · ·
+Bl1x+C
l1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B
lql
x+C lql(x2+αl x+βl )ql
.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupeň P je ostře menší než stupeň Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z věty 15.Pak existují jednoznačně určená reálná číslaA11, . . . ,A
1p1 , . . . ,A
k1, . . . ,A
kpk ,
B11 ,C11 , . . . ,B
1q1 ,C
1q1 , . . . ,B
l1,C
l1, . . . ,B
lql ,C
lql taková, že platí
P(x)Q(x) =
A11(x−x1)
+ · · ·+ A1p1
(x−x1)p1+
· · ·+ Ak1
(x−xk )+ · · ·+ A
kpk
(x−xk )pk
+B11x+C
11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B
1q1
x+C1q1(x2+α1x+β1)q1
+ · · ·
+Bl1x+C
l1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B
lql
x+C lql(x2+αl x+βl )ql
.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupeň P je ostře menší než stupeň Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z věty 15.Pak existují jednoznačně určená reálná číslaA11, . . . ,A
1p1 , . . . ,A
k1, . . . ,A
kpk ,
B11 ,C11 , . . . ,B
1q1 ,C
1q1 , . . . ,B
l1,C
l1, . . . ,B
lql ,C
lql taková, že platí
P(x)Q(x) =
A11(x−x1)
+ · · ·+ A1p1
(x−x1)p1+ · · ·+ A
k1
(x−xk )+ · · ·+ A
kpk
(x−xk )pk
+
B11x+C11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B
1q1
x+C1q1(x2+α1x+β1)q1
+ · · ·
+Bl1x+C
l1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B
lql
x+C lql(x2+αl x+βl )ql
.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupeň P je ostře menší než stupeň Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z věty 15.Pak existují jednoznačně určená reálná číslaA11, . . . ,A
1p1 , . . . ,A
k1, . . . ,A
kpk ,
B11 ,C11 , . . . ,B
1q1 ,C
1q1 , . . . ,B
l1,C
l1, . . . ,B
lql ,C
lql taková, že platí
P(x)Q(x) =
A11(x−x1)
+ · · ·+ A1p1
(x−x1)p1+ · · ·+ A
k1
(x−xk )+ · · ·+ A
kpk
(x−xk )pk
+B11x+C
11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B
1q1
x+C1q1(x2+α1x+β1)q1
+ · · ·
+
Bl1x+Cl1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B
lql
x+C lql(x2+αl x+βl )ql
.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.3. Primitivní funkce
Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupeň P je ostře menší než stupeň Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z věty 15.Pak existují jednoznačně určená reálná číslaA11, . . . ,A
1p1 , . . . ,A
k1, . . . ,A
kpk ,
B11 ,C11 , . . . ,B
1q1 ,C
1q1 , . . . ,B
l1,C
l1, . . . ,B
lql ,C
lql taková, že platí
P(x)Q(x) =
A11(x−x1)
+ · · ·+ A1p1
(x−x1)p1+ · · ·+ A
k1
(x−xk )+ · · ·+ A
kpk
(x−xk )pk
+B11x+C
11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B
1q1
x+C1q1(x2+α1x+β1)q1
+ · · ·
+Bl1x+C
l1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B
lql
x+C lql(x2+αl x+βl )ql
.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu
VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu
DefiniceNecht’ f je spojitá funkce na (a,b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞ anecht’ c ∈ (a,b). Nevlastním Riemannovým integrálem oda do b z funkce f rozumíme
limα→a+
∫ cα
f (x) dx + limβ→b−
∫ βc
f (x) dx ,
pokud limity existují a jejich součet má smysl.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu
VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu
DefiniceNecht’ f je spojitá funkce na (a,b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞ anecht’ c ∈ (a,b). Nevlastním Riemannovým integrálem oda do b z funkce f rozumíme
limα→a+
∫ cα
f (x) dx + limβ→b−
∫ βc
f (x) dx ,
pokud limity existují a jejich součet má smysl.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu
Věta 17 (Newtonův vzorec)Necht’ f je spojitá na intervalu (a,b), a < b, a necht’ F jeprimitivní funkce k f na (a,b).
1. Integrál∫ b
a f (x) dx existuje, právě když existují limitylimx→a+ F (x), limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl. Vtomto případě platí∫ b
af (x) dx = lim
x→b−F (x)− lim
x→a+F (x). (1)
2. Pokud a, b ∈ R a f je spojitá na (omezeném!)uzavřeném intervalu 〈a,b〉, pak existují vlastní limitylimx→a+ F (x), limx→b− F (x) a platí (1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu
Věta 17 (Newtonův vzorec)Necht’ f je spojitá na intervalu (a,b), a < b, a necht’ F jeprimitivní funkce k f na (a,b).
1. Integrál∫ b
a f (x) dx existuje, právě když existují limitylimx→a+ F (x), limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl. Vtomto případě platí∫ b
af (x) dx = lim
x→b−F (x)− lim
x→a+F (x). (1)
2. Pokud a, b ∈ R a f je spojitá na (omezeném!)uzavřeném intervalu 〈a,b〉, pak existují vlastní limitylimx→a+ F (x), limx→b− F (x) a platí (1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu
Důsledek 18 (linearita Riemannova Integrálu)Necht’ f , g jsou spojité na intervalu (a,b),−∞ ≤ a < b ≤ +∞ a mají nevlastní Riemannovyintegrály na tomto intervalu. Necht’ α, β ∈ R. Pak platí∫ b
aαf (x) + βg(x) dx = α
∫ ba
f (x) dx + β∫ b
ag(x) dx ,
pokud má výraz na pravé straně smysl.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
DefiniceŘekneme, že A ⊂ Rn je buňka, jestliže
A = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉,
přičemž −∞ < ai < bi < +∞, i = 1, . . . ,n.Objem buňky A budeme značit symbolem vol A adefinujeme jej jako
vol A =n∏
i=1
(bi − ai).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
DefiniceŘekneme, že A ⊂ Rn je buňka, jestliže
A = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉,
přičemž −∞ < ai < bi < +∞, i = 1, . . . ,n.
Objem buňky A budeme značit symbolem vol A adefinujeme jej jako
vol A =n∏
i=1
(bi − ai).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
DefiniceŘekneme, že A ⊂ Rn je buňka, jestliže
A = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉,
přičemž −∞ < ai < bi < +∞, i = 1, . . . ,n.Objem buňky A budeme značit symbolem vol A adefinujeme jej jako
vol A =n∏
i=1
(bi − ai).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
DefiniceNecht’ I = 〈a,b〉, a < b. Řekneme, že posloupnostintervalů {〈xj−1, xj〉}kj=1 je dělením intervalu I, jestližea = x0 < x1 < · · · < xk = b.
Necht’ A = I1 × I2 × · · · × In ⊂ Rn je buňka. Řekneme, žesystém D složený z buněk je dělením buňky A, jestliže
D = {J1 × · · · × Jn; J1 ∈ D1, . . . , Jn ∈ Dn},
kde Dj je dělením intervalu Ij , j = 1, . . . ,n.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
DefiniceNecht’ I = 〈a,b〉, a < b. Řekneme, že posloupnostintervalů {〈xj−1, xj〉}kj=1 je dělením intervalu I, jestližea = x0 < x1 < · · · < xk = b.Necht’ A = I1 × I2 × · · · × In ⊂ Rn je buňka. Řekneme, žesystém D složený z buněk je dělením buňky A, jestliže
D = {J1 × · · · × Jn; J1 ∈ D1, . . . , Jn ∈ Dn},
kde Dj je dělením intervalu Ij , j = 1, . . . ,n.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
DefiniceNecht’ A je buňka a D,D0 jsou dvě dělení buňky A.Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D0, jestližekaždá buňka dělení D je obsažena v nějaké buňce děleníD0.
Normou dělení D rozumíme číslo
ν(D) = maxD∈D{ sup
x ,y∈Dρ(x ,y)}.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
DefiniceNecht’ A je buňka a D,D0 jsou dvě dělení buňky A.Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D0, jestližekaždá buňka dělení D je obsažena v nějaké buňce děleníD0.Normou dělení D rozumíme číslo
ν(D) = maxD∈D{ sup
x ,y∈Dρ(x ,y)}.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Integrace funkce přes buňku
DefiniceNecht’ A ⊂ Rn je buňka a f je funkce definovaná alespoňna A, kde je omezená. Označme
S(f ,D) =∑D∈D
supD
f · vol D,
S(f ,D) =∑D∈D
infD
f · vol D,
∫Af = inf{S(f ,D); D je dělení A},∫
Af = sup{S(f ,D); D je dělení A}.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Integrace funkce přes buňku
DefiniceNecht’ A ⊂ Rn je buňka a f je funkce definovaná alespoňna A, kde je omezená. Označme
S(f ,D) =∑D∈D
supD
f · vol D,
S(f ,D) =∑D∈D
infD
f · vol D,
∫Af = inf{S(f ,D); D je dělení A},∫
Af = sup{S(f ,D); D je dělení A}.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
DefiniceV případě, že
∫Af =
∫Af , definujeme zobecněný
Riemannův integrál funkce f přes buňku A jako∫
A f =∫
Af .Někdy používáme také symbol
∫A f (x) dx , kde je
vyznačena proměnná funkce f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
PoznámkaPokud D1, D2 jsou dvě dělení buňky A a D je děleníbuňky A zjemňující D1 i D2, pak
S(f ,D1) ≤ S(f ,D) ≤ S(f ,D) ≤ S(f ,D2).
Odtud lze snadno odvodit∫
Af ≤∫
Af .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
PoznámkaPokud D1, D2 jsou dvě dělení buňky A a D je děleníbuňky A zjemňující D1 i D2, pak
S(f ,D1) ≤ S(f ,D) ≤ S(f ,D) ≤ S(f ,D2).
Odtud lze snadno odvodit∫
Af ≤∫
Af .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Lemma 19 (ekvivalentní definicevícerozměrného integrálu)Necht’ f je funkce omezená na buňce A ⊂ Rn.(a)
∫A f = I ∈ R právě tehdy, když ke každému ε ∈ R,ε > 0 existuje dělení D buňky A takové, že
I − ε < S(f ,D) ≤ S(f ,D) < I + ε.
(b) Funkce f má na buňce A zobecněný Riemannůvintegrál právě tehdy, když ke každému ε ∈ R, ε > 0existuje dělení D buňky A takové, že
S(f ,D)− S(f ,D) < ε.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Tvrzení 20 (integrál přes rozdělenou buňku)Necht’ f je funkce omezená na buňce A ⊂ Rn a necht’ Dje dělení buňky A. Jestliže pro každé D ∈ D existuje
∫D f ,
pak existuje i∫
A f a platí∫A
f =∑D∈D
∫D
f .
Důsledek 21Necht’ A,B ⊂ Rn jsou buňky, A ⊂ B. Necht’ f je funkcedefinovaná alespoň na B, pro kterou platí f (x) = 0 pokudx ∈ B \ A. Potom jestliže existuje
∫A f , pak existuje i
∫B f a
oba integrály se rovnají.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Tvrzení 20 (integrál přes rozdělenou buňku)Necht’ f je funkce omezená na buňce A ⊂ Rn a necht’ Dje dělení buňky A. Jestliže pro každé D ∈ D existuje
∫D f ,
pak existuje i∫
A f a platí∫A
f =∑D∈D
∫D
f .
Důsledek 21Necht’ A,B ⊂ Rn jsou buňky, A ⊂ B. Necht’ f je funkcedefinovaná alespoň na B, pro kterou platí f (x) = 0 pokudx ∈ B \ A. Potom jestliže existuje
∫A f , pak existuje i
∫B f a
oba integrály se rovnají.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Integrace funkce přes množinu
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a f je funkce n proměnných, která jedefinována alespoň na M a je na M omezená. Definujmefunkci f̃ : Rn → R takto:
f̃ (x) =
{f (x) x ∈ M,0 x ∈ Rn \M.
Zobecněný Riemannův integrál∫
M f definujeme jako∫M
f = limr→+∞
∫〈−r ,r〉n
f̃ ,
pokud uvedená limita existuje. (Především tedy musíexistovat
∫〈−r ,r〉n f̃ pro všechna r ∈ (0,+∞).)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Integrace funkce přes množinu
DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a f je funkce n proměnných, která jedefinována alespoň na M a je na M omezená. Definujmefunkci f̃ : Rn → R takto:
f̃ (x) =
{f (x) x ∈ M,0 x ∈ Rn \M.
Zobecněný Riemannův integrál∫
M f definujeme jako∫M
f = limr→+∞
∫〈−r ,r〉n
f̃ ,
pokud uvedená limita existuje. (Především tedy musíexistovat
∫〈−r ,r〉n f̃ pro všechna r ∈ (0,+∞).)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Pokud integrál funkce f přes množinu M ⊂ Rn existuje apřitom je konečný, pak říkáme, že
∫M f konverguje. Pokud
je roven +∞ nebo −∞, pak říkáme, že diverguje. Mámepak následující schéma:
∫M
f
existuje a je roven
reálnému číslu, tj. konverguje;
+∞, tj. diverguje;−∞, tj. diverguje;
neexistuje.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Věta 22 (linearita vícerozměrného integrálu)Necht’ M ⊂ Rn, α ∈ R \ {0} a f a g jsou funkce nproměnných takové, že integrály
∫M f a
∫M g existují.
Potom(i)∫
M(f + g) existuje a platí∫M
(f + g) =∫
Mf +
∫M
g,
pokud má výraz na pravé straně rovnosti smysl.(ii)
∫M αf existuje a platí∫
Mαf = α
∫M
f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Věta 23 (integrál přes sjednocení množin)Necht’ M,N ⊂ Rn, M ∩ N = ∅ a f je funkce n proměnnýchtaková, že integrály
∫M f a
∫N f existují. Potom existuje i
integrál∫
M∪N f a platí∫M∪N
f =∫
Mf +
∫N
f ,
pokud má výraz na pravé straně rovnosti smysl.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Věta 24 (integrál a uspořádání)Necht’ M ⊂ Rn a f a g jsou funkce n proměnných takové,že integrály
∫M f a
∫M g existují.
(i) Je-li f ≥ 0, potom i∫
M f ≥ 0.(ii) Je-li f ≤ g, potom i
∫M f ≤
∫M g.
(iii)∫
M |f | existuje a platí∣∣∣∣∫M
f∣∣∣∣ ≤ ∫
M|f | .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Věta 25 (o konvergenci a existenci integrálu)
(i) Necht’ K ⊂ Rn je omezená konvexní množina a f jeomezená funkce na K , která je spojitá ve všechbodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečněmnoha bodů z K . Potom
∫K f konverguje.
(ii) Necht’ K ⊂ Rn je konvexní množina a f je omezenánezáporná funkce na K , která je spojitá ve všechbodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečněmnoha bodů z K . Potom
∫K f existuje.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Věta 25 (o konvergenci a existenci integrálu)
(i) Necht’ K ⊂ Rn je omezená konvexní množina a f jeomezená funkce na K , která je spojitá ve všechbodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečněmnoha bodů z K . Potom
∫K f konverguje.
(ii) Necht’ K ⊂ Rn je konvexní množina a f je omezenánezáporná funkce na K , která je spojitá ve všechbodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečněmnoha bodů z K . Potom
∫K f existuje.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Věta 26 (Fubiniova věta)
(i) Necht’ M1 ⊂ Rm a M2 ⊂ Rn. Předpokládejme dále, žemnožiny M1 a M2 jsou buňky. Necht’ f je funkcedefinovaná alespoň na M1 ×M2 a necht’ existuje∫
M1×M2f . Pokud pro každé x ∈ M1 existuje
F (x) =∫
M2f (x ,y) dy ∈ R, potom platí∫
M1×M2f =
∫M1
F (x) dx .
(ii) Necht’ f : Rm × Rn → R je nezáporná funkce a necht’existuje
∫Rm×Rn f . Pokud pro každé x ∈ R
m existujeF (x) =
∫Rn f (x ,y) dy ∈ R a pokud existuje∫
Rm F (x) dx , pak platí∫Rm×Rn
f =∫
RmF (x) dx .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál
Věta 26 (Fubiniova věta)
(i) Necht’ M1 ⊂ Rm a M2 ⊂ Rn. Předpokládejme dále, žemnožiny M1 a M2 jsou buňky. Necht’ f je funkcedefinovaná alespoň na M1 ×M2 a necht’ existuje∫
M1×M2f . Pokud pro každé x ∈ M1 existuje
F (x) =∫
M2f (x ,y) dy ∈ R, potom platí∫
M1×M2f =
∫M1
F (x) dx .
(ii) Necht’ f : Rm × Rn → R je nezáporná funkce a necht’existuje
∫Rm×Rn f . Pokud pro každé x ∈ R
m existujeF (x) =
∫Rn f (x ,y) dy ∈ R a pokud existuje∫
Rm F (x) dx , pak platí∫Rm×Rn
f =∫
RmF (x) dx .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
-
IX.1. Vektorové prostory
IX.1. Vektorové prostory
Symbol K značí množinu R nebo C.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
IX.1. Vektorové prostory
Symbol K značí množinu R nebo C.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
Vektorovým prostorem nad K rozumíme trojici (V ,+, ·),kde V je neprázdná množina, + je operace z V × V doV a · je operace z K× V do V , přičemž tyto operace majínásledující vlastnosti:
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),
∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),
množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,
∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,
∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,
∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,
∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor nad K a U ⊂ V ,U 6= ∅. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoruV , jestliže∀u,v ∈ U : u + v ∈ U,
∀a ∈ K ∀u ∈ U : a · u ∈ U.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor nad K a U ⊂ V ,U 6= ∅. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoruV , jestliže∀u,v ∈ U : u + v ∈ U,∀a ∈ K ∀u ∈ U : a · u ∈ U.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, m ∈ N,u1, . . . ,um ∈ V a λ1, . . . , λm ∈ K. Výraz
λ1u1 + · · ·+ λmum
nazýváme lineární kombinací vektorů u1, . . . ,um.
Pokudalespoň jedno z čísel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačnémpřípadě jde o triviální lineární kombinaci. Lineárníkombinací prázdné množiny vektorů rozumíme nulovývektor.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, m ∈ N,u1, . . . ,um ∈ V a λ1, . . . , λm ∈ K. Výraz
λ1u1 + · · ·+ λmum
nazýváme lineární kombinací vektorů u1, . . . ,um. Pokudalespoň jedno z čísel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačnémpřípadě jde o triviální lineární kombinaci.
Lineárníkombinací prázdné množiny vektorů rozumíme nulovývektor.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, m ∈ N,u1, . . . ,um ∈ V a λ1, . . . , λm ∈ K. Výraz
λ1u1 + · · ·+ λmum
nazýváme lineární kombinací vektorů u1, . . . ,um. Pokudalespoň jedno z čísel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačnémpřípadě jde o triviální lineární kombinaci. Lineárníkombinací prázdné množiny vektorů rozumíme nulovývektor.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Řekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárně závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru.
Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé.Řekneme, že množina M ⊂ V je lineárně nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M jelineárně nezávislá.
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Řekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konečně mnoha vektorů z M.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Řekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárně závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé.
Řekneme, že množina M ⊂ V je lineárně nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M jelineárně nezávislá.
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Řekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konečně mnoha vektorů z M.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Řekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárně závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé.Řekneme, že množina M ⊂ V je lineárně nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M jelineárně nezávislá.
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Řekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konečně mnoha vektorů z M.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Řekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárně závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé.Řekneme, že množina M ⊂ V je lineárně nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M jelineárně nezávislá.
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Řekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konečně mnoha vektorů z M.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor a B ⊂ V . Řekneme,že B je báze prostoru V , jestliže množina B je lineárněnezávislá a generuje V .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Věta 1 (o bázi vektorového prostoru)
(i) Každou lineárně nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.
(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a
nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V).
DefiniceJe-li dim V < +∞, řekneme, že V je konečněrozměrný(konečnědimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonečněrozměrném (nekonečnědimenzionálním)vektorovém prostoru.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Věta 1 (o bázi vektorového prostoru)
(i) Každou lineárně nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.
(ii) Každý vektorový prostor má bázi.
(iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně anazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V).
DefiniceJe-li dim V < +∞, řekneme, že V je konečněrozměrný(konečnědimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonečněrozměrném (nekonečnědimenzionálním)vektorovém prostoru.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Věta 1 (o bázi vektorového prostoru)
(i) Každou lineárně nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.
(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a
nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V).
DefiniceJe-li dim V < +∞, řekneme, že V je konečněrozměrný(konečnědimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonečněrozměrném (nekonečnědimenzionálním)vektorovém prostoru.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Věta 1 (o bázi vektorového prostoru)
(i) Každou lineárně nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.
(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a
nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V).
DefiniceJe-li dim V < +∞, řekneme, že V je konečněrozměrný(konečnědimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonečněrozměrném (nekonečnědimenzionálním)vektorovém prostoru.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Tvrzení 2 (o bázi konečněrozměrného prostoru)Necht’ V je vektorový prostor dimenze n ∈ N nad K.
(i) Jsou-li v1, . . . ,vn lineárně nezávislé vektory vprostoru V , pak množina {v1, . . . ,vn} je bázíprostoru V .
(ii) Jestliže pro vektory v1, . . . ,vn ∈ V platílinK{v1, . . . ,vn} = V, je množina {v1, . . . ,vn} bázíprostoru V .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.1. Vektorové prostory
Tvrzení 2 (o bázi konečněrozměrného prostoru)Necht’ V je vektorový prostor dimenze n ∈ N nad K.
(i) Jsou-li v1, . . . ,vn lineárně nezávislé vektory vprostoru V , pak množina {v1, . . . ,vn} je bázíprostoru V .
(ii) Jestliže pro vektory v1, . . . ,vn ∈ V platílinK{v1, . . . ,vn} = V, je množina {v1, . . . ,vn} bázíprostoru V .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustavlineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:
∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustavlineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),
∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustavlineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazeníL nazveme množinu
Ker(L) = L−1({o}) = {u ∈ U : L(u) = o}.
Symbolem Im(L) značíme obor hodnot zobrazení L, tedy
Im L = L(U) = {v ∈ V ; ∃u ∈ U : L(u) = v}.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazeníL nazveme množinu
Ker(L) = L−1({o}) = {u ∈ U : L(u) = o}.
Symbolem Im(L) značíme obor hodnot zobrazení L, tedy
Im L = L(U) = {v ∈ V ; ∃u ∈ U : L(u) = v}.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu)Necht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Potom platí:
(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.
(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu)Necht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Potom platí:
(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.
(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu)Necht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Potom platí:
(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
Necht’ U, V jsou vektorové prostory, L : U → V je lineárnízobrazení a b ∈ V . Uvažujme rovnici
L(x) = b. (2)
Věta 4 (řešení nehomogenní rovnice)Necht’ x0 ∈ U je řešením rovnice (2). Potom množina
{x0 + w : w ∈ Ker(L)}
je množinou všech řešení rovnice (2).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
Necht’ U, V jsou vektorové prostory, L : U → V je lineárnízobrazení a b ∈ V . Uvažujme rovnici
L(x) = b. (2)
Věta 4 (řešení nehomogenní rovnice)Necht’ x0 ∈ U je řešením rovnice (2). Potom množina
{x0 + w : w ∈ Ker(L)}
je množinou všech řešení rovnice (2).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
Necht’ A ∈ M(m × n), b ∈ Rm. Uvažujme soustavu mrovnic o n neznámých
Ax = b. (3)
Důsledek 5Má-li soustava (3) řešení x0 ∈ Rn, pak množina všechřešení má tvar
{x0 + w : Aw = o}.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic
Necht’ A ∈ M(m × n), b ∈ Rm. Uvažujme soustavu mrovnic o n neznámých
Ax = b. (3)
Důsledek 5Má-li soustava (3) řešení x0 ∈ Rn, pak množina všechřešení má tvar
{x0 + w : Aw = o}.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),
(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),
(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),
(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Věta 6 (reprezentace bilineárních forem)Zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineární forma, právě kdyžexistuje matice A ∈ M(n × n) taková, že
∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = uT Av .
DefiniceMatice A ∈ M(n × n) z předchozí věty se nazýváreprezentující maticí formy B.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Věta 6 (reprezentace bilineárních forem)Zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineární forma, právě kdyžexistuje matice A ∈ M(n × n) taková, že
∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = uT Av .
DefiniceMatice A ∈ M(n × n) z předchozí věty se nazýváreprezentující maticí formy B.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že bilineární forma B : Rn × Rn → R jesymetrická, jestliže platí
∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = B(v ,u).
PoznámkaBilineární forma B je symetrická, právě když jejíreprezentující matice A je symetrická, tj. A = AT .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že bilineární forma B : Rn × Rn → R jesymetrická, jestliže platí
∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = B(v ,u).
PoznámkaBilineární forma B je symetrická, právě když jejíreprezentující matice A je symetrická, tj. A = AT .
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Řekneme, že B je
pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,
negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Řekneme, že B je
pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,
pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Řekneme, že B je
pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,
negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Řekneme, že B je
pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,
indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Řekneme, že B je
pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;
A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;
A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;
A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;
A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceŘekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
DefiniceSymetrickou elementární úpravou matice A ∈ M(n × n)budeme rozumět úpravu, kdy provedeme jistouelementární řádkovou úpravu matice A a vzniklou maticiupravíme odpovídající sloupcovou úpravou.Symetrickou transformací matice A budeme rozumětkonečnou posloupnost symetrických elementárních úprav.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Lemma 8 (o matici transformace)Necht’ T je transformace matic o m řádcích. Potomexistuje regulární matice B ∈ M(m ×m) taková, žekdykoli A′ ∈ M(m × n) vznikla z A ∈ M(m × n) pomocí T ,tak platí BA = A′.
Věta 9 (o matici symetrické transformace)Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n × n.Potom existuje regulární matice B ∈ M(n × n) taková, žekdykoli matice A′ ∈ M(n × n) vznikne z A ∈ M(n × n)pomocí T , tak platí BABT = A′.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Lemma 8 (o matici transformace)Necht’ T je transformace matic o m řádcích. Potomexistuje regulární matice B ∈ M(m ×m) taková, žekdykoli A′ ∈ M(m × n) vznikla z A ∈ M(m × n) pomocí T ,tak platí BA = A′.
Věta 9 (o matici symetrické transformace)Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n × n.Potom existuje regulární matice B ∈ M(n × n) taková, žekdykoli matice A′ ∈ M(n × n) vznikne z A ∈ M(n × n)pomocí T , tak platí BABT = A′.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Lemma 10 (o symetrické transformacisymetrické matice)
(i) Je-li A ∈ M(n × n) symetrická matice aC ∈ M(n × n), pak CACT je opět symetrická matice.
(ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice.
Věta 11 (symetrické transformace a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice a necht’B ∈ M(n × n) vznikla z A pomocí symetrickétransformace. Matice A je pozitivně definitní (negativnědefinitní, pozitivně semidefinitní, negativně semidefinitní,indefinitní), právě když B je pozitivně definitní (negativnědefinitní, . . . ).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Lemma 10 (o symetrické transformacisymetrické matice)
(i) Je-li A ∈ M(n × n) symetrická matice aC ∈ M(n × n), pak CACT je opět symetrická matice.
(ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice.
Věta 11 (symetrické transformace a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice a necht’B ∈ M(n × n) vznikla z A pomocí symetrickétransformace. Matice A je pozitivně definitní (negativnědefinitní, pozitivně semidefinitní, negativně semidefinitní,indefinitní), právě když B je pozitivně definitní (negativnědefinitní, . . . ).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Věta 12 (diagonalizace symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak ji lzesymetrickou transformací převést na diagonální matici.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Věta 13 (Sylvestrovo kritérium)Necht’ A = (aij) ∈ M(n×n) je symetrická matice. Pak A je
pozitivně definitní, právě když∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...
...ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,
negativně definitní, právě když
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...
...ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
Věta 13 (Sylvestrovo kritérium)Necht’ A = (aij) ∈ M(n×n) je symetrická matice. Pak A je
pozitivně definitní, právě když∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...
...ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,negativně definitní, právě když
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...
...ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
pozitivně semidefinitní, právě když pro každou k -ticipřirozených čísel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí ∣∣∣∣∣∣∣
ai1i1 . . . ai1ik...
...aik i1 . . . aik ik
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0,
negativně semidefinitní, právě když pro každou k -ticipřirozených čísel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣ai1i1 . . . ai1ik...
...aik i1 . . . aik ik
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.3. Bilineární formy
pozitivně semidefinitní, právě když pro každou k -ticipřirozených čísel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí ∣∣∣∣∣∣∣
ai1i1 . . . ai1ik...
...aik i1 . . . aik ik
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0,negativně semidefinitní, právě když pro každou k -ticipřirozených čísel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣ai1i1 . . . ai1ik...
...aik i1 . . . aik ik
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Řekneme, že λ ∈ C je vlastní číslomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A příslušným k vlastnímu číslu λ.
Věta 14Necht’ A ∈ M(n × n).
(i) Prvek λ ∈ C je vlastním číslem matice A, právě kdyždet(λI − A) = 0.
(ii) Matice A má nejvýše n různých vlastních čísel.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Řekneme, že λ ∈ C je vlastní číslomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A příslušným k vlastnímu číslu λ.
Věta 14Necht’ A ∈ M(n × n).
(i) Prvek λ ∈ C je vlastním číslem matice A, právě kdyždet(λI − A) = 0.
(ii) Matice A má nejvýše n různých vlastních čísel.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Řekneme, že λ ∈ C je vlastní číslomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A příslušným k vlastnímu číslu λ.
Věta 14Necht’ A ∈ M(n × n).
(i) Prvek λ ∈ C je vlastním číslem matice A, právě kdyždet(λI − A) = 0.
(ii) Matice A má nejvýše n různých vlastních čísel.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Řekneme, že λ ∈ C je vlastní číslomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A příslušným k vlastnímu číslu λ.
Věta 14Necht’ A ∈ M(n × n).
(i) Prvek λ ∈ C je vlastním číslem matice A, právě kdyždet(λI − A) = 0.
(ii) Matice A má nejvýše n různých vlastních čísel.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n× n). Polynom λ 7→ det(λI −A) se nazývácharakteristický polynom matice A. Vzhledem k tvrzení (i)předchozí věty definujeme násobnost vlastního číslamatice jako násobnost tohoto čísla jakožto kořenecharakteristického polynomu.
Věta 15 (vlastní čísla symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak jsouvšechna její vlastní čísla reálná.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n× n). Polynom λ 7→ det(λI −A) se nazývácharakteristický polynom matice A. Vzhledem k tvrzení (i)předchozí věty definujeme násobnost vlastního číslamatice jako násobnost tohoto čísla jakožto kořenecharakteristického polynomu.
Věta 15 (vlastní čísla symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak jsouvšechna její vlastní čísla reálná.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceŘekneme, že matice Q ∈ M(n × n) je ortogonální, jestližeplatí QT Q = QQT = I .
Věta 16 (spektrální rozklad matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak existujeortogonální matice Q ∈ M(n × n) taková, že
QAQT =
λ1 . . . 0... . . . ...0 . . . λn
,kde λ1, . . . , λn jsou vlastní čísla matice A.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceŘekneme, že matice Q ∈ M(n × n) je ortogonální, jestližeplatí QT Q = QQT = I .
Věta 16 (spektrální rozklad matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak existujeortogonální matice Q ∈ M(n × n) taková, že
QAQT =
λ1 . . . 0... . . . ...0 . . . λn
,kde λ1, . . . , λn jsou vlastní čísla matice A.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
Věta 17 (vlastní čísla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,
A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
Věta 17 (vlastní čísla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,
A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
Věta 17 (vlastní čísla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,
A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
Věta 17 (vlastní čísla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,
A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
Věta 17 (vlastní čísla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímečíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Věta 18 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímečíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Věta 18 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),
(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímečíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Věta 18 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),
(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra
-
IX.4. Vlastní čísla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímečíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Věta 18 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),
(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra