matematika ii - diferensial, integral, persamaan diferensial · fungsi turunan ini dapat diturunkan...
TRANSCRIPT
8/3/2013
1
MatematikaMatematikaMatematikaMatematika IIIIIIII
Sudaryatno Sudirham
1 2
ISITurunan Fungsi-Fungsi:
• Fungsi Polinom
• Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi
Rasional, Fungsi Implisit
• Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi,
Logaritmik, Eksponensial
Integral:
• Integral Tak-Tentu
• Integral Tentu
Persamaan Diferensial
• Persamaan Diferensial Orde-1
• Persamaan Diferensial Orde-2
TurunanTurunanTurunanTurunan FungsiFungsiFungsiFungsi----FungsiFungsiFungsiFungsi
3
Kita telah melihat bahwakemiringan garis lurus adalah
)(
)(
12
12
xx
yy
x
ym
−−=
∆∆=
Bagaimanakah dengan garis lengkung?
∆x∆y
0
1
2
-1
0 1 2 3 4 x
y
4
Pengertian-Pengertian
P1
∆y
∆x
x
yP2
y = f(x)
Jarak kedua titik potong semakin keciljika ∆x di perkecil menjadi ∆x*
Pada kondisi ∆x mendekati nol, kita peroleh
)()()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
y
xx′=
∆−∆+=
∆∆
→∆→∆
Ini merupakan fungsi turunan dari
)(xf di titik P
Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
P1∆y*
∆x*
x
y y = f(x)
∗2P
Garis Lengkung
Garis lurus dengan kemiringan ∆y/∆xmemotong garis lengkung di dua titik
5
(x1,y1)
(x2,y2)
x
y
f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),
f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)
),(xfy =Pada suatu garis lengkungkita dapat memperoleh turunannya di berbagaititik pada garis lengkung tersebut
6
8/3/2013
2
maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”
x
y
x ∆∆
→∆ 0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada
Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
x
yy
dx
d
dx
dy
x ∆∆==
→∆ 0lim)(
Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasidi semua x dalam dalam domain tersebut
kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.
kita baca “turunan fungsi y terhadap x”
7
kxfy == )(0
00)()(
lim0
0 =∆
=∆
−∆+=′→∆ xx
xfxxfy
x
Contoh:
xxfy 2)(11 ==
222)(2
lim)(0
1 =∆∆=
∆−∆+=′
→∆ x
x
x
xxxxf
x
Contoh:
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5x
yxy 21 =
2)(1 =′ xf
Fungsi ramp
Fungsi tetapan
8
Mononom
222 2)( xxfy ==
xxxx
xxxxx
x
xxxxf
x
xx
4)222(lim
2)2(2lim
2)(2lim)(
0
222
0
22
02
=∆+×=∆
−∆+∆+=∆
−∆+=′
→∆
→∆→∆
Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononompangkat 1 (kurva garis lurus)
Contoh:
333 2)( xxfy ==
2222
0
33323
0
33
03
623232lim
2)33(2lim
2)(2lim)(
xxxxx
x
xxxxxxx
x
xxxxf
x
x
x
=∆+∆×+×=∆
−∆+∆+∆+=
∆−∆+=′
→∆
→∆
→∆
Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononompangkat 2 (kurva parabola)
Contoh:
9
nmxxfy == )(
)1()( −×=′ nxnmy
Secara umum, turunan fungsi mononom
adalah
kxfy =′=′ )(
Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus
dan turunannya berupa nilai konstan,
nmxy =
)(xfy ′=′Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,
nmxy =
Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi
)(xfy ′′=′′ turunan dari )(xfy ′=′
)(xfy ′′′=′′′ turunan dari )(xfy ′′=′′*) Untuk n berupa
bilangan tak bulat akandibahas kemudian
*)
10
dx
dyxfy =′=′ )( disebut turunan pertama,
2
2)(
dx
ydxfy =′′=′′ turunan kedua,
3
3)(
dx
ydxfy =′′′=′′′ turunan ke-tiga, dst.
344 2)( xxfy ==
12
;12)2(6
;6)3(2
4
)12(4
2)13(4
=′′′==′′
==′−
−
y
xxy
xxy
Contoh:
11
nmxxfy == )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan
akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.
-100
0
100
200
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4xy =
34xy =′
212xy =′′ xy 24=′′′
24=′′′′y
212xy =′′34xy =′
Contoh:34xy =′ 212xy =′′ xy 24=′′′ 24=′′′′y
4xy = dan turunan-turunannya Fungsi
12
8/3/2013
3
Contoh: 24)(11 +== xxfy
{ } { }4
242)(4lim)(1 =
∆+−+∆+=′
→∆ x
xxxxf
xx
f1(x) = 4x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x
y
4)('1 =xf Turunan fungsi inisama dengan
turunan f(x)=4x karena turunan daritetapan 2 adalah 0.
Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)
13
Polinom
)2(4)(22 −== xxfy 84)(2 −= xxf
4)(2 =′ xf
)2(4)(2 −−−−==== xxf
4)(2 ====′′′′ xf
-15
-10
-5
0
5
10
-1 0 1 2 3 4x
y
Contoh:
14
Contoh: 524)( 233 −+== xxxfy
{ } { }28224
5245)(2)(4lim
22
03
+=+×=∆
−+−−∆++∆+=′
→∆xx
x
xxxxxxy
x
5245)( 2344 −++== xxxxfy
{ } { }281522435
5245 5)(2)(4)(5lim
22
2323
04
++=+×+×=∆
−++−−∆++∆++∆+=′
→∆
xxxx
x
xxxxxxxxxy
x
Contoh:
Secara Umum:
Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu
memang memiliki turunan.
15
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
dx
dy +== )(
)(
))(()(
vwvwwvvw
wwvvyy
∆∆+∆+∆+=∆+∆+=∆+
x
wv
x
vw
x
wv
x
vwvwvwwvwv
x
yyy
x
y
∆∆∆+
∆∆+
∆∆=
∆−∆∆+∆+∆+
=∆
−∆+=
∆∆
)()(
vwy =Jika
maka
16
Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
Contoh:
44422323
3018126362)32(
xxxxxxxdx
xxdy =+=×+×=
×=′
56xy = 430xy =′Turunan adalah
Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi
dx
duvw
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
duv
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
uvdw
dx
dwuv
dx
wuvd
dx
uvwd
)()()(
)( )(
)())(()(
++=
++=+==
Jika uvwy =
56xy =
44442
222
3012126)4)((3x
)6)(2()1)(32()(
xxxxxx
xxxxxdx
uvwd
dx
dy
=++=×+
×+×==
Contoh:Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
17
vvvvy ××== 2361Contoh:
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dy
5
4555
22345
32
23231
6
2
)()()(
=
++++=
++
++=
++=
dx
dvv
dx
dv
dv
dv
dx
dv 566
6==
dx
dvnv
dx
dv nn
1−=
Contoh ini menunjukkan bahwa
Secara Umum:
18
Fungsi Yang Merupakan Pangkatdari suatu Fungsi
8/3/2013
4
Contoh: 2332 )1()1( −+= xxy
)12()1)(1(6
)1()1(6)1()1(6
2)1(3)1()3)(1(2)1(
)1()1(
)1()1(
3223
22233322
22232332
3223
2332
−++−=
+−+−+=
+−+−+=
+−+−+=
xxxxx
xxxxxx
xxxxxx
dx
xdx
dx
xdx
dx
dy
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
19
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
w
vy = 1−= vwy
−=
+−=+−=
+==
=
−−
−−−
dx
dwv
dx
dvw
w
dx
dv
wdx
dv
w
v
dx
dvw
dx
dvvw
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
w
v
dx
d
dx
dy
2
212
111
1
1
)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
w
v
dx
d
−=
atau
Jadi:
20
Fungsi Rasional
3
2 3
x
xy
−=
4
2
6
244
6
223
9)93(2
)3)(3()2(
x
x
x
xxx
x
xxxx
dx
dy
+−=−−=
−−=
Contoh:
22 1
xxy +=
3
2 22
4
2102
xx
xxx
dx
dy −=×−×+=
Contoh:
1dengan ;1
1 22
2≠
−+= x
x
xy
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
2)1(2)1(
−−=
−−−−=
−+−−=
x
x
x
xxxx
x
xxxx
dx
dy
(agar penyebut tidak nol)Contoh:
21
(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)
q
pn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0Bilangan tidak bulat
dx
dvpv
dx
dyqy pq 11 −− =
Jika y ≠ 0, kita dapatkandx
dv
qy
pv
dx
vd
dx
dyq
pqp
1
1/ )(−
−==
( ) )/(1/1 qppqqpq vvy −−− ==
dx
dvv
q
p
dx
dvv
q
p
dx
dv
qv
pv
dx
vd
dx
dy
qp
qpppqpp
pqp
1)/(
)/()1()/(
1/
)(
−
+−−−
−
=
===
sehingga
qpn vvy /== pq vy =
Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
22
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Kaidah rantai
)(tfx = dapat diturunkan terhadap t,
)(xFy = dapat diturunkan terhadap x dan Jika
( ) )()( tgtfFy == dapat diturunkan terhadap t menjadimaka
dt
dx
dx
dy
dt
dy =
Apabila kita mempunyai persamaan
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk
)(dan )( tfytfx ==
)(xFy =
23
Fungsi Parametrik danKaidah Rantai
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisitnamun sebagian yang lain tidak.
Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunanfungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di
atas.
Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalambentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi
implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapatdidiferensiasi terhadap x.
24
Fungsi Implisit
8/3/2013
5
Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh
822 =++ yxyxContoh:
yxdx
dyyx
dx
dyy
dx
dxy
dx
dyxx
−−=+
=+++
2)2(
022
yx
yx
dx
dy
2
2
++−=
0)2( ≠+ yx kita peroleh turunanJika
25
434 434 =−+ yxyx
0124)3(44
0)3()4(
44
3323
43
33
=−++
=−++
dx
dyyy
dx
dyyxx
dx
yd
dx
xdy
dx
dyxx
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh
Contoh:
)(3
)(32
33
yxy
yx
dx
dy
−+−=
0)( 32 ≠− yxy kita dapat memperoleh turunanUntuk
26
x
xxxxxx
xxx
dx
xd
dx
dy
∆−∆+∆=
∆−∆+==
sinsincoscossin
sin)sin(sin
xy sin= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
xdx
xdcos
sin =
27
Turunan Fungsi Trigonometri
x
xxxxxx
xxx
dx
xd
dx
dy
∆−∆−∆=
∆−∆+==
cossinsincoscos
cos)cos(cos
xy cos= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
xdx
xdsin
cos −=
28
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 222
2sec
cos
1
cos
)sin(sincos
cos
sintan ==−−=
=
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 222
2csc
sin
1
sin
)(coscossin
sin
coscot −=−=−−=
=
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdtansec
cos
sin
cos
)sin(0
cos
1sec22
==−−=
=
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdcotcsc
sin
cos
sin
)(cos0
sin
1csc22
−=−=−=
=
29
Contoh:
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
dt
dvCi C
C =
( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt
d
dt
dvCi C
C =××==
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
vC iC
vC
iC
t [detik]
30
8/3/2013
6
Contoh:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = −0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
dt
diLv L
L =
( ) tttdt
d
dt
diLv L
L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 =×××=−×==
vL
iL
vL iL
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]
31
xy 1sin−= yx sin= ydydx cos=
ydx
dy
cos
1=21
1
xdx
dy
−=x
1
21 x−
y
ydx
dy
sin
1−= 21
1
xdx
dy
−
−=
x
1 21 x−y
xy 1cos−= yx cos= ydydx sin−=
32
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
xy 1tan−= yx tan= dyy
dx2cos
1=
ydx
dy 2cos=21
1
xdx
dy
+=x
1
21 x+y
xy 1cot−= yx cot= dyy
dx2sin
1−=
ydx
dy 2sin−= 21
1
xdx
dy
+−=
x
1
21 x+y
33
xy 1sec−=y
yxcos
1sec == dy
y
xdx
2cos
)sin(0 −−=
1
1
1
1
sin
cos
2
22
2
−=
−×==
xx
x
x
xy
y
dx
dy
1
x12 −xy
xy 1csc−=y
yxsin
1csc == dy
y
xdx
2sin
)(cos0−=
1
1
1
1
cos
sin
2
22
2
−
−=
−×−=
−=
xx
x
x
xy
y
dx
dy1
x
12 −x
y
34
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdcos
)(sin)(sin ==
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdsin
)(cos)(cos −==
Jika v = f(x), maka
dx
dvv
dx
dv
x
xx
v
v
dx
d
dx
vd 22
22sec
cos
sincos
cos
sin)(tan =+=
=
dx
dvv
v
v
dx
d
dx
vd 2cscsin
cos)(cot −=
=
dx
dvvv
dx
dv
v
v
vdx
d
dx
vdtansec
cos
sin0
cos
1)(sec2
=+=
=
dx
dvvv
vdx
d
dx
vdcotcsc
sin
1)(csc −=
=
35
Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(sin
−=
−
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(cos
−−=
−
dx
dw
wdx
wd2
1
1
1)(tan
+=
−
dx
dw
wdx
wd2
1
1
1)(cot
+−=
−
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(sec
2
1
−=
−
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(csc
2
1
−−=
−
Jika w = f(x), maka
36
8/3/2013
7
Turunan Fungsi Logaritmik
)0( 1
ln)(1
>== ∫ xdtt
xxfx
xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integralFungsi logaritmik
luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x
x t
1/x
1/t
x +∆x 1/(x+∆x)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
y
∫=x
dtt
x1
1
ln
∆=
∆−∆+= ∫
∆+ xx
xdt
txx
xxx
dx
xd 11)ln()ln(ln
Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx × 1/x). Namun jika Δx
makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx × 1/x); dan jika Δx
mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx × 1/x).
xdx
xd 1ln =
ln(x+∆x)−lnx
Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut
37
Turunan Fungsi Eksponensial
xey = xexy == lnln
penurunan secara implisit di kedua sisi
11ln ==
dx
dy
ydx
yd
xeydx
dy ==atau
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
xey =′ xey =′′ xey =′′′ dst.
.
dx
dve
dx
dv
dv
de
dx
de vvv
==)(xvv =Jika
xey1tan−
=2
tan1tan
1
tan1
1
x
e
dx
xde
dx
dy xx
+==
−− −
38
dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:
Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi
)(lim0
xfx
y
dx
dy
x′=
∆∆
=→∆
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi yterhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: )(xFy =
dxxFdy )('=2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dxyang dinyatakan dengan
1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;
39
Diferensial dx dan dyPenjelasan secara grafis
Pdx
dy
θ
y
x
Ini adalahpeubah bebas
Ini adalah fungsi(peubah tak bebas)
dxxFdy )('= Pdx
dy
θ
y
x
Jika dx berubah, maka dyberubah sedemikian rupasehingga dy/dx samadengan kemiringan garissinggung pada kurva
θ= tandx
dy dxdy )(tanθ= adalah besar perubahan nilai ysepanjang garis singgung di
titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx
adalah laju perubahan yterhadap perubahan x.
40
Pdx
dyθ
x
y
Pdx
dy
θ
x
y
Pdx
dy
θ
x
y
Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.
Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.
Dalam tabel ini v adalah fungsi x.
konstan ;0 == cdx
dc
dx
dvc
dx
dcv =
dx
dw
dx
dv
dx
wvd +=+ )(
cdvdcv =
konstan ;0 == cdc
dwdvwvd +=+ )(
dx
dvw
dx
dwv
dx
dvw += wdvvdwvwd +=)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
dx
w
vd −
=
2w
vdwwdv
w
vd
−=
dx
dvnv
dx
dv nn
1−= dvnvdv nn 1−=
1−= nn
cnxdx
dcx dxcnxcxd nn 1)( −=
DiferensialTurunan Fungsi
41
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.
2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)
Contoh: 653 23 −+−= xxxy
563 2 +−=′ xxy
dxxxdy )563( 2 +−=sehingga
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas
dxxx
dxxdxdxxdxdxdxddy
)563(
563 )6()5()3()(2
223
+−=
+−=−++−+=
42
8/3/2013
8
Integral
43
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
)(xfdx
dy =
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti inidisebut persamaan diferensial.
036
652
222
2
2
=++
++=
yxdx
dyxy
dx
yd
xxdx
dy
Contoh persamaan diferensial
Pengertian-Pengertian
44
1. Integral Tak Tentu
)(xFy =Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
)()(
xfdx
xdF =
)(xfdx
dy =Tinjau persamaan diferensial
[ ]0
)()()(+=+=
+dx
xdF
dx
dK
dx
xdF
dx
KxFdKarena maka
KxFy += )(fungsi juga merupakan solusi
45
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
KxFdxxf +=∫ )()(
dxxfxdF )()( =
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak
tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
)()(
xfdx
xdF =
46
dapat dituliskan
45xdx
dy =
dxxdy 45=
dxxxd 45 5)( =
Kxxddxxy +=== ∫∫ 554 )(5
Cari solusi persamaan diferensial
ubah ke dalam bentuk diferensial
Kita tahu bahwa
Contoh:
oleh karena itu
47
Carilah solusi persamaan
yxdx
dy 2=
Contoh:
dxyxdy 2= kelompokkan peubah sehinggaruas kiri dan kanan mengandung
peubah berbedadxxdyy 22/1 =−
( ) dyyyd 2/12/12 −= dxxxd 23
3
1 =
( )
= 32/1
3
12 xdyd
Jika kedua ruas diintegrasi
23
12/1
3
12 KxKy +=+
KxKKxy +=−+= 312
32/1
3
1
3
12
48
8/3/2013
9
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini
dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
Kydy +=∫
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
∫∫ = dyaady
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
1 jika ,1
1−≠+
+=
+
∫ nKn
ydyy
nn
3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).
49
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang
dimiliki oleh K.
kurva 210xy =adalah kurva bernilai tunggal
50
100
-5 -3 -1 1 3 5x
y = 10x2
y
50
100
-5 -3 -1 1 3 5
K1
K2
K3
yi = 10x2+Ki
y
x
Kxdxx +=∫ 2
310
3
10kurva
adalah kurva bernilai banyak
50
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
30 =sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.
Contoh:
tatv 3==kecepatan percepatan waktu
dt
dsv =Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
dt
dva =Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
.
vdtds =
∫ +=+== KtKt
atdts 22
5,12
3
274 =ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K+= 03 3=KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 += ts
51
Luas Sebagai Suatu Integral
)(xfy =Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:y = f(x) =2
y
x0
2
p x x+∆x q
Apx ∆Apx
)(2 xfx
Apx ==∆
∆atau
2)(lim0
===∆
∆→∆
xfdx
dA
x
A pxpx
xKxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
Kp += 20 pK 2−=atau
xApx ∆=∆ 2
pxApx 22 −= )(222 pqpqApq −=−=
52
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp ≤≤
p x x+∆x q
y
x
y = f(x)
0
f(x)f(x+∆x )
Apx ∆Apx
∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x
xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0
x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x
Jika ∆x → 0: )(lim0
xfdx
dA
x
A pxpx
x==
∆
∆
→∆KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()(
] qppq xFpFqFA )()()( =−=
53
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep
dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas
segmen
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)×∆xk
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+∆x)×∆xk
Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
54
2. Integral Tentu
8/3/2013
10
kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0
k
n
kk
n
kkk
n
kkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑
=== 110
1
)()()(
Jika ∆xk → 0 ketiga jumlah ini mendekatisuatu nilai limit yang sama
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitungsebagai f(xk)×∆xk
Luas tiap segmen dihitungsebagai f(xk+∆x)×∆xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
Nilai limit itu merupakan integral tentu
55
∫=q
ppq dxxfA )(
] )()()()( pFqFxFdxxfA qp
q
ppq −=== ∫
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas bidang menjadi
56
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampaix, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi
dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Definisi
xxy 123 −=Luas antara dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3.
Contoh:
xxy 123 −=
-20
-10
0
10
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
75,33)5425,20(0
64
)12(
0
3
240
3
3
=−−−=
−=−=
−−∫ x
xdxxxAa
75,33)0(5425,20
64
)12(
3
0
243
0
3
−=−−=
−=−= ∫ x
xdxxxAb
5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA
57
Luas BidangContoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi
mengenai Apx, formulasi
( )))()( pFqFdxxfAq
p−== ∫
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x
p
q
y
xA4
A1
A2
A3
y = f(x)
( )))()( pFqFdxxfAq
ppq −== ∫
4321 AAAAApq +−+−=
58
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
)(11 xfy = )(22 xfy =berada di atas
p q
y
x0
y1
y2
x x+∆x
∆Apx
{ } xxfxfAA pxsegmen ∆−=∆= )()( 21
Rentang qxp ≤≤dibagi dalam n segmen
{ }∑∑∆−=
=∆−=
xqx
px
n
segmen xxfxfA )()( 211
jumlah semua segmen:
{ }∫∑ −==∞→ q
p
n
segmenpq dxxfxfAA )()(lim 211
Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit
59
{ } ] 30)12(186)2(4( 32
3
2=−−==−−= +
−+
−∫ xdxApq
41 =y 22 −=yJika dan
berapakah luas bidang antara y1 dan y2
dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.
Contoh:
21 xy = 42 =yJika dan
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.
2 ,24 212
21 ==−==⇒=→= qxpxxyy
3
32
3
16
3
16
3
88
3
88
34)4(
2
2-
32
2
2
=−−=
−−−−
−
−=−= ∫−
xxdxxApq
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y2
y1y2
di atas y1
y
x
60
8/3/2013
11
221 +−= xy xy −=2Jika dan
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva
22
811 ;1
2
811
02atau 2
2
2
2
1
2221
=−
+−−==−=−
++−==
=++−−=+−→=
qxpx
xxxxyy
5,4 22
1
3
142
3
8
223
)2(
2
1
232
1
2
=
−+−
−−
++−=
++−=++−=
−−∫ x
xxdxxxApq
-4
-2
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y1 di atasy2
y1
y2
y
x
61
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka
yang memberikan dt
dwp = ∫= pdtw
[kWh]hour Watt kilo 8,0
[Wh]r Watt.hou800100 10080
8
0
8
0
=
==== ∫∫ tdtpdtw
Penerapan Integral
Contoh:
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah
62
dt
dqi = ∫= idtq
coulomb 625,02
25,1
2
05,005,0
5
0
5
0
25
0===== ∫∫ ttdtidtq
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5detik ?
sehingga
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
Contoh:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
63
Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.
Balok
∆x
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan
maka volume irisan ∆V adalah
xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(
Volume balok V adalah ∑ ∆=q
p
xxAV )(
luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).
Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: ∑ ∆≈
q
p
xxAV )(
Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka : ∫∑ =∆=
→∆
q
p
q
pox
dxxAxxAV )()(lim
64
Volume Sebagai Suatu Integral
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
y
x
∆x
O Q
P
A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.
[ ] ∫∫∫ π=π==hhh
dxxmdxxrdxxAV0
22
0
2
0)()(
m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.
3
3
PQ/OQ)(
32
3232
kerucuth
rhhm
V π=π=π=
Jika garis OP memotong sumbu-y makadiperoleh kerucut terpotong
65
Rotasi Bidang Sembarang
y
x
∆x
0 a b
f(x)
( ) ( )22 )()()( xfxrxA π=π=
( )∫ π=b
adxxfV 2)(
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping initerdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
y
x
∆x
0 a b
f2(x)f1(x)
f3(x)
66
8/3/2013
12
Persamaan Diferensial
67
Pengertian
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
xex
y
dx
yd
dx
yd =+
+
+
12
5
2
22
3
3
Contoh:
adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.
68
1. Persamaan Diferensial Orde-1
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
0=+− −− xx keke
xkey −= 0=+ ydt
dyadalah solusi dari persamaan
xkey −=xke
dt
dy −−=karena turunan adalah
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh
Contoh:
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.
69
Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaandiferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
0)()( =+ dxxgdyyf
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
∫∫ =+ Kdxxgdyyf ))()(
Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
70
Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan
yxedx
dy −=
0=− dxedye xy
y
x
e
e
dx
dy =Persamaan ini dapat kita tuliskan
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisah
Kee xy =− Kee xy +=sehingga atau
Contoh:
Kdxedye xy =− ∫∫Integrasi kedua ruas memberikan:
71
Contoh:xydx
dy 1=
0=−x
dxydy
Kx
dxydy =− ∫∫
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
Kxy =− ln2
2
Kxy ′+= 2lnatau
x
dxydy = atau
Integrasi kedua ruas:
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk
=x
yF
dx
dy
Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru
x
yv =
vxy =
dx
dvxv
dx
dy +=)(vFdx
dvxv =+
0)(
=−
+vFv
dv
x
dx
Pemisahan peubah:
yang akan memberikan
dan
vvFdx
dvx −= )(
x
dx
vvF
dv=
−)(
atau:
72
8/3/2013
13
Contoh: 02)( 22 =++ xydydxyx
02)1(2
22 =++ xydydx
x
yxUsahakan menjadi homogen
dyx
ydx
x
y2)1(
2
2−=+
)/()/(2
)/(1 2xyF
xy
xy
dx
dy =+−=
Peubah baru v = y/x
vxy =
dx
dvxv
dx
dy += v
v
dx
dvxv
2
1 2+−=+
v
v
v
vv
dx
dvx
2
31
2
1 22 +−=+−−=
x
dx
v
vdv −=+ 231
2 031
22
=+
+v
vdv
x
dxPeubah terpisah atau
)(2
1 2vF
v
v
dx
dy =+−=
73
Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.
031
22
=+
+v
vdv
x
dx
dx
xd
x
)(ln1 =
)6(31
1
)31(
)31(
)31ln()31ln(2
2
2
22v
vdv
vd
vd
vd
dv
vd
+=+
++=+Kita coba hitung
KKvx ′==++ ln3
1)31ln(
3
1ln 2
0)31ln(
3
1 2=++ dv
dv
vd
x
dx
KKvx ′==++ ln)31ln(ln3 2
Kvx ′=+ )31( 23
( ) Kxyx ′=+ 23 )/(31 ( ) Kyxx ′=+ 22 3
Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubahbentuk persamaan menjadi
Integrasi ke-dua ruas:
74
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai
)(tfbydt
dya =+
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
QPydx
dy=+Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:
75
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
0=+ bydt
dya
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
76
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaanyang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,sebab
( )
0
)(
11
22
11
2121
++=+++=
+++
=+
bfdt
dfabf
dt
dfabf
dt
dfa
ffbdt
ffdaby
dt
dya
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.
77
Solusi Homogen
Persamaan homogen 0=+ bydt
dya
Jika ya adalah solusinya maka
0=+ dta
b
y
dy
a
a
Integrasi kedua ruas memberikan
Kta
bya =+ln
sehingga
Kta
bya +−=ln
taba
Kta
b
a eKey )/(−+−==
Inilah solusi homogen
78
8/3/2013
14
)(tfbydt
dya p
p =+
Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
tKtKytAtftAtf
KeyAetf
KyAtf
ytf
scp
tp
t
p
p
ω+ω=→ω=ω=
==→==
==→==
=→=
αα
sincos cos)(atau , sin)( Jika
aleksponensi al,eksponensi)( Jika
konstan konstan,)( Jika
00)( Jika
Jika solusi khusus adalah yp , maka
Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) inidapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalahThis image cannot currently be displayed.
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
79
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
01000 =+ vdt
dv
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Contoh:
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.
01000 =+ dtv
dv
Ktv +−= 1000ln
ta
Kt eKev 10001000 −+− ==
Penerapan kondisi awal: aK=12
Solusi total: V 12 1000tev −=
80
Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
1210 3 =+− vdt
dv
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
Solusi homogen: 010 3 =+−a
a vdt
dv0103 =+ dt
v
dv
a
a
taa eKv 1000−=
Solusi khusus: 12=pv karena f(t) = 12
Solusi total (dugaan):t
atotal eKv 100012 −+=
Penerapan kondisi awal: aK+= 120 12−=aK
Solusi total: V 1212 1000ttotal ev −−=
81
Contoh:
tvdt
dv10cos1005 =+
Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
menghasilkan persamaan
Carilah solusi total.
Solusi homogen: 05 =+ aa v
dt
dv05 =+ dt
v
dv
a
a
Ktva =+ 5ln taa eKv 5−=
Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos +=
ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 =+++−
ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 =+ 100510 =+ cs AA
010sin510sin10 =+− tAtA sc 0510 =+− sc AA
8=sA 4=cA
Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4 −++=
Penerapan kondisi awal: aK+= 40 4−=aK
Solusi total : tettv 5410sin810cos4 −−+=82
Untuk sementara ini mengenai persamaan
diferensial orde-2 silahkan dilihat Buku
Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2
83
Persamaan Diferensial Orde-2
MatematikaMatematikaMatematikaMatematika IIIIIIII
Sudaryatno Sudirham
84