bab 2. turunan parsial - relifline.files.wordpress.com · - menentukan diferensial total fungsi dua...
TRANSCRIPT
��������������� ���
�
�
15
�
BAB 2. TURUNAN PARSIAL
1.1 PENDAHULUAN
Pada bagian ini akan dipelajari perluasan konsep turunan fungsi satu
peubah ke turunan fungsi dua peubah atau lebih.
Setelah mempelajari bab ini, anda akan dapat:
- Menentukan turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih
- Menentukan diferensial total fungsi dua peubah atau lebih
- Menemukan hampiran linier, persamaaan garis normal dan bidang
singgung kurva
- Menemukan turunan berarah
- Menggunakan jacobian untuk menentukan turunan fungsi.
2.2 TURUNAN
Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel x , maka
turunan pertama fungsi f hanya terhadap x , dinotasikan sebagai:
( )x
fxff
∂
∂== ''
Bila kita mempunyai fungsi f dari dua variabel, maka turunan pertama
fungsi f dapat kita cari untuk kedua variabel tersebut. Masing-masing
disebut sebagai turunan parsial.
Definisi 2.1 : Jika f fungsi dua peubah, x dan y, maka:
(i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan x
yxf
∂
∂ ),( atau fx(x,y),
didefinisikan sebagai
��������������� ���
�
�
16
�
x
yxf
∂
∂ ),( =
x
yxfyxxf
x ∆
−∆+
→∆
),(),(lim
0
(ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan y
yxf
∂
∂ ),( atau fy(x,y),
didefinisikan sebagai
y
yxf
∂
∂ ),( =
y
yxfyyxf
y ∆
−∆+
→∆
),(),(lim
0
Contoh 2.1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial
terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = x2y + x + y + 1.
Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f
terhadap y di titik (1,2)
Penyelesaian:
x
yxf
∂
∂ ),( =
x
yxfyxxf
x ∆
−∆+
→∆
),(),(lim
0
= x
yxyxyxxyxx
x ∆
+++−++∆++∆+
→∆
)1(1)()(lim
22
0
= x
yxyxyxxyxyxxyx
x ∆
+++−++∆++∆+∆+
→∆
)1(1)(..2lim
222
0
= x
xyxyxx
x ∆
∆+∆+∆
→∆
2
0
)(..2lim
= 2xy + 1
y
yxf
∂
∂ ),( =
y
yxfyyxf
y ∆
−∆+
→∆
),(),(lim
0
= y
yxyxyyxyyx
y ∆
+++−+∆+++∆+
→∆
)1(1)(lim
22
0
��������������� ���
�
�
17
�
= y
yyx
y ∆
∆+∆
→∆
2
0lim
= x2 + 1
Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (1,2) adalah
x
f
∂
∂ )2,1( = 2(1)(2) + 1 = 5 .
dan turunan parsial f terhadap y di titik (1,2) adalah
y
f
∂
∂ )2,1( = 2
2 +1= 5.
Untuk selanjutnya, dalam menentukan turunan parsial dari fungsi dua
peubah f(x,y)maka dapat dilakukan hal berikut.
- Jika f diturunkan terhadap peubah x maka y dianggap
tetap/konstanta
- Jika f diturunkan terhadap peubah y maka x dianggap
tetap/konstanta.
Contoh 2.2:
Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi
yang dirumuskan dengan f(x,y) = 3x4y
2 + xy
2 + 4y.
Penyelesaian:
x
yxf
∂
∂ ),( = 12x
3y
2 + y
2
y
yxf
∂
∂ ),( = 6x
4y + 2xy + 4.
��������������� ���
�
�
18
�
Turunan Parsial tingkat tinggi
Turunan fungsi biasanya masih berupa fungsi yang dapat diturunkan lagi.
Jadi dari suatu fungsi kita dapat mencari turunan tingkat satu, turunan
tingkat dua dan seterusnya.
Turunan tingkat dua dinotasikan sebagai berikut:
.)(y
)(x
)(y
)(x
2
2
2
2
2
2
y
f
y
f
yff
yx
f
y
f
xff
xy
f
x
f
yff
x
f
x
f
xff
f
yyy
yxy
xyx
xxx
∂
∂=
∂
∂
∂
∂==
∂
∂
∂∂
∂=
∂
∂
∂
∂==
∂
∂
∂∂
∂=
∂
∂
∂
∂==
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂==
∂
∂
Contoh 2.3:
Tentukan semua turunan parsial order dua dari .yxyxw523 −=
Penyelesaian:
,523 43522yxyx
y
w,yyx
x
w−=
∂
∂−=
∂
∂
,yxx
w
xx
w 2
2
2
6=���
����
�
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
,202 33
2
2
yxxy
w
yy
w−=��
�
����
�
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
��������������� ���
�
�
19
�
,56 422
yyxy
w
xyx
w−=��
�
����
�
∂
∂
∂
∂=
∂∂
∂
.56 422
yyxx
w
yxy
w−=��
�
����
�
∂
∂
∂
∂=
∂∂
∂
Contoh 2.4:
Diketahui fungsi 322 2),( yxyxyxf −+= . Carilah
xy
f
yx
f
y
f
x
f
y
f
x
f
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ 22
2
2
2
2
,,,,,
Penyelesaian:
222 yxx
f+=
∂
∂ , 2
2
2
=∂
∂
x
f, y
xy
f4
2
=∂∂
∂
234 yxyy
f−=
∂
∂ , yy
y
f64
2
2
−=∂
∂, yf
yx
fyx 4
2
==∂∂
∂
LATIHAN 2.2 :
Tentukan turunan parsial pertama dari
1. f(x,y) = 2x2y
3 – x
3y - y
2. f(x,y) = 3x2 – xy + cos (x
2 + y
2)
3. f(x,y) = 2xy2 – e
2xy + ln (x
2 + 2y)
4. ( , ) sin ,1
xf x y
y
� �= � �
+� �
5. ( )( , ) arctan ,f x t x t=
��������������� ���
�
�
20
�
6. ln( 2 3 ),w x y z= + +
Tentukan semua turunan kedua dari
7. ( ) 3 2 3 2, 2 .f x y x x y y= + −
8. z = x cos y – y cos x.
9. u = log (ax + by)
2.3 ATURAN RANTAI
Aturan rantai pada fungsi dua peubah merupakan peluasan dari aturan
rantai pada fungsi satu peubah.
Misalkan ),( u,vfz = dimana )( x,ygu = dan )(x,yhv =
maka
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
,
Contoh 2.5:
Jika z = f(u,v) =3u2 – v
2 dengan u = 2x + 7y dan v = 5xy
Carilah x
z
∂
∂ dan
y
z
∂
∂
Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua
peubah u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan
parsial pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:
��������������� ���
�
�
21
�
x
w
w
F
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ dan
y
w
w
F
y
v
v
F
y
u
u
F
y
F
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
Contoh 2.6 :
Jika u = f (x, y) dan x = r cos θ, y = r sin θ, tunjukkan bahwa
2
2
2221
��
���
�
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂=��
�
����
�
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂
�
u
rr
u
y
u
x
u.
Penyelesaian
x = r cos θ, y = r sin θ
�.r�
y�,
r
y�,r
�
x�,
r
xcossinsincos =
∂
∂=
∂
∂−=
∂
∂=
∂
∂�
diperoleh
�y
u�
x
u
r
y
y
u
r
x
x
u
r
usincos
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
t
u�
x
u�
∂
∂+
∂
∂= sincos
Secara sama,
�)(ry
u�)r(
x
u
�
y
y
u
�
x
x
u
�
ucossin
∂
∂+−
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
y
u�r
x
u�r
∂
∂+
∂
∂−= cossin
Dengan demikian terbukti bahwa
222
2
21
���
����
�
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂=�
�
���
�
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂
y
u
x
u
�
u
rr
u
��������������� ���
�
�
22
�
Latihan 2.3
1. Jika G(u,v,w) =u3 + 2uvw + uw
2 dengan u = xy, v = x – y, dan w = x/y,
Carilah x
G
∂
∂ dan
y
G
∂
∂.
2. Jika 2 43 ,z x y xy= + dengan sin 2x t= dan cosy t= , Tentukan dz
dt
ketika 0.t =
3. Jika cos( 4 )z x y= + 45 ,x t= dan1
yt
= , Tentukandz
dt.
4. Jika 2 ,w xy yz= + t
x e= , sinty e t= , dan cos ,t
z e t= Tentukan .dw
dt
5. Jika 4 2 3,u x y y z= + dengan ,tx rse= 2 t
y rs e−= , dan 2 sin ,z r s t=
Tentukan u
s
∂
∂ ketika 2,r = 1,s = dan 0.t =
6. Jika ( ) ( )2 2 2 2, , ,g s t f s t t s= − − dan f terdiferensial, tunjukkan bahwa
0.g g
t ss t
∂ ∂+ =
∂ ∂
7. Jika 2 2u r s= + dengan cosr y x t= + dan sins x y t= + , Tentukan
,u
x
∂
∂
u
y
∂
∂,
danu
t
∂
∂ .
8. Jika u = f (x, y) dan ,x
zt,
z
ys,
y
xr === tunjukkan bahwa
.0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
uz
y
uy
x
ux
��������������� ���
�
�
23
�
9. Jika ,z
y,
z
xfv �
�
���
�= tunjukkan
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
vz
y
vy
x
vx
2.4. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Selain fungsi eksplisit, kita juga mengenal bentuk fungsi implisit. Fungsi
implisit dua variabel, dilambangkan dengan ( )zyxF ,, . Dalam mencari
turunan parsial terhadap x ataupun terhadap y dari fungsi implicit ini,
dikenal dua metode, yaitu:
a. Cara langsung
Turunan parsial terhadap x , x
z
∂
∂ .
Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap x dan z ,
dengan mengganggap variabel y sebagai konstanta. Khusus ketika
diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan denganx
z
∂
∂.
Turunan parsial terhadap y , y
z
∂
∂
Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap y dan z ,
dengan mengganggap variabel x sebagai konstanta. Khusus ketika
diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengany
z
∂
∂.
��������������� ���
�
�
24
�
b. Cara tidak langsung
Dalam cara tidak langsung, pertama-tama persamaan diturunkan
terhadap x diperoleh x
F
∂
∂, kemudian diturunkan terhadap y diperoleh
y
F
∂
∂,
dan terakhir diturunkan terhadap z diperoleh z
F
∂
∂.
Selanjutnya dihitung:
z
Fx
F
x
z
∂
∂∂
∂
−=∂
∂ dan
z
F
y
F
y
z
∂
∂
∂
∂
−=∂
∂
Contoh 2.7:
Misal dipunyai fungsi implisit )sin(xzxyz = . Carilah turunan parsial
pertama terhadap x dan y
Penyelesaian:
a. Cara langsung
Untuk fungsi diatas, diperoleh:
( )x
zxzxxzz
x
zxyyz
∂
∂+=
∂
∂+ )cos(cos
( ) yzxzzx
zxzx
x
zxy −=
∂
∂−
∂
∂cos)cos(
( ))cos(
cos
xzxxy
yzxzz
x
z
−
−=
∂
∂
Dengan cara yang sama diperoleh: )sin(xzxyz =
y
zxzx
y
zxyxz
∂
∂=
∂
∂+ )cos( .
��������������� ���
�
�
25
�
xzy
zxzx
y
zxy −=
∂
∂−
∂
∂)cos( .
)cos(xzxxy
xz
y
z
−−=
∂
∂
a. Cara Tidak Langsung
)cos(xzzyzx
F−=
∂
∂, xz
y
F=
∂
∂, dan xzxxy
z
Fcos−=
∂
∂. Diperoleh:
)cos(
)cos(
xzxxy
xzzyz
z
Fx
F
x
z
−
−−=
∂
∂∂
∂
−=∂
∂ dan
)cos(xzxxy
xz
z
F
y
F
y
z
−−=
∂
∂
∂
∂
−=∂
∂
LATIHAN 2.4 :
Carilah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini:
1. 0104423 222 =−−+−+− yzzxzyxyx
2. 0432 =−+− xyyzxzxyz
3. )cos(yzxyz =
4. yxyz =
5. )cos()sin(2yzxzxyz +=
6. xyxz =
7. sin( ) 2 3 .xyz x y z= + +
2.5 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN LINIER
��������������� ���
�
�
26
�
Bidang Singgung
Misalkan suatu permukaan mempunyai persamaan ( , )z f x y= dan f
mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu, maka persamaan bidang
singung pada permukaan ( , )z f x y= di titik 0 0 0( , , )P x y z dinyatakan oleh:
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y− = − + − .
Persamaan bidang singgung ini adalah linierisasi dari sautu permukaan.
Contoh 2.8 :
Tentukan persamaan bidang singgung terhadap paraboloid eliptik 2 22z x y= + di titik (1,1,3).
Penyelesaian :
Dalam hal ini f (x,y) = 2 22z x y= + , sehingga
4)11( ; 4)( == ,fxx,yf xx
2)1(1 ; 2)( == ,fyx,yf yy
Maka persamaan bidang singgung di titik ( 1,1,3) adalah
.324
atau
)1(2)1(43
−+=
−+−=−
yxz
yxz
Hampiran Linier
Perhatikan bahwa pesamaan bidang singgung pada suatu permukaan di titik
����� ��� ��� dinyatakan oleh
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y− = − + −
Dengan memperhatikan bahwa �� ���� ��� diperoleh
� ���� ��� � ����� ����� ��� � ����� ����� ���
��������������� ���
�
�
27
�
yang merupakan linierisasai permukaan � ��� �� di titik ���� ��� ��� .
Fungsi di ruas kanan persamaan ini merupakan linierisasi dari ��� �� di
titik ���� ���, dan biasa ditulis dengan
���� �� ���� ��� � ����� ����� ��� � ����� ����� ���� Dalam hal ini fungsi f merupakan fungsi yang terdiferensial di ���� ���, yaitu fungsi yang turunan parsialnya, �� dan ��� ada di sekitar ���� ��� dan
kontinu di ���� ���.
Contoh 2.9 :
Tunjukkan bahwa fungsi ��� �� ��� terdiferensial di titik (1,4) dan
carilah hampiran liniernya di titik tersebut, kemudian gunakan hasilnya
untuk mendekati nilai������ �����. Penyelesaian:
Turunan parsialnya adalah
���� �� �������� ������� �
���� �� ��������� � �������
��
Jelas bahwa �� dan ��� ada di sekitar ����� dan kontinu di �����, jadi
f terdiferensial di (1,4). Linierisasinya adalah
���� �� ����� � �������� �� � �������� �� � � ��� �� � �
� �� �� �� � ��� ��
Jadi ��� � �� � ��� �, sehingga ������ ����� � ������� �
�������������� ������ � ���
Bandingkan ini dengan nilai sebenarnya,����������� ���������������������� �������
��������������� ���
�
�
28
�
Untuk fungsi tiga peubah ��� �� �� , maka pendekatan linier di titik
0 0 0( , , )P x y z dinyatakan dengan:
( ) ( )
( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , )
x y
z
L x y z f x y z f x y z x x f x y z y y
f x y z z z
= + − + − +
−
Diferensial
Ingat kembali untuk fungsi satu peubah, ( ),y f x= differensial dari y
didefinisikan dengan '( ) dy f x dx= . Perbedaan antara dy dan �y dapat
dilihat pada ilustrasi gambar berikut.
Selanjutnya perhatikan fungsi dua peubah ( , ).z f x y= Diferensial dari z,
ditulis dz , didefinisikan dengan
z zdz dx dy
x y
∂ ∂= +
∂ ∂.
Diferensial dari z sering dinotasikan dengan df , sering disebut juga
dengan Diferensial Total.
�� ��� �����
��������������� ���
�
�
29
�
Contoh 2.10: Jika z = xy , tentukan diferensial dz dan gunakan untuk
memperkirakan perubahan z jika ( , )x y berubah dari (2,3) ke (2.05,2.96).
Bandingkan dz dengan �z.
Penyelesaian :
0.072.(-0,04)(0,05) . 3 =+=
+=∂
∂+
∂
∂= y�xx�ydy
y
zdx
x
zdz
Disisi lain yxy�yx�xz� −++= )()(
y�x�x�yy�x ++=
= 2 (-0,04) + 3 (0,05) + (0,05)(-0,04)
= 0,068.
Perhatikan bahwa perubahan z adalah 0,068. Sedangkan perkiraannya
perubahan tersebut menggunakan diferensial adalah 0,07. Dengan
� ������ �����
�
�
��������������� ���
�
�
30
�
demikian terdapat kesalahan (error) sebesar 002,0−==− y�x�dzz�
.
Contoh 2.11 :
Gunakan diferensial untuk memperkirakan nilai 3 102127 .
Penyelesaian:
Yang kita tahu adalah
.101000,525 3 ==
Kita bentuk fungsi
3121 //yxy)(x,f =
Akan dilihat kenaikan jika terjadi perubahn dari x = 25, y = 1000
ke x = 27, y = 1021.
Diferensial f adalah
dyy
fdx
x
fdf
∂
∂+
∂
∂=
diperoleh dyyxdxyxdf//// 32213121
3
1
2
1 −− +=
dengan memasukkan x = 25, y = 1000, dx = 2, dy = 21,
maka
35,2)21()1000()25(3
1)2()1000()25(
2
1 32213121 =+= −− ////df
Dengan demikian diperoleh
.35.5235.2100025100027 33 =+≈
��������������� ���
�
�
31
�
LATIHAN 2.5
1. Tunjukkan bahwa ��� �� ����� terdiferensial di ����� dan
temukan pendekatan linier di titik tersebut. Selanjutnya gunakan
untuk mendekati nilai � ��������. 2. Tentukan pendekatan linier dari ��� �� �� �� � � � � di
(3,4,2) , kemudian gunakan untuk mendekati nilai
��!���� � �!��"� � ������ .
3. Gunakan diferensial untuk menghampiri nilai .15125 4
4. Tentukan perubahan volume yang terjadi jika ukuran tinggi tabung
berubah dari 12 cm menjadi 12.1 cm dan jari-jarinya turun dari 6 cm
menjadi 5.8 cm.
2.6. TURUNAN BERARAH (The Directional Derivative)
Ingat kembali bahwa
arah dalam ),( titik di ),(perubahan Laju ),(),(
xbayxfx
zbaf
ba
x =∂
∂=
arah dalam ),( titik di ),(perubahan Laju ),(
),(
ybayxfy
zbaf
ba
y =∂
∂=
Selanjutnya akan ditentukan laju perubahan dalam arah
sembarang
Misalkan u = < a, b > adalah vektor satuan (unit vektor , yaitu vektor
dengan panjang satu) pada bidang x-y, yang menunjukkan arah perubahan.
Maka didefinisikan turunan berarah:
Definisi : Turunan berarah
Turunan berarah dari fungsi z = f (x, y) dalam arah vektor satuan u = <
a, b >, dinyatakan dengan ),(u yxfD , didefinisikan sebagai berikut:
�
��
��������������� ���
�
�
32
�
byxfayxfyxfD yx ),(),(),(u +=
θ
Dalam definisi ini :
1. Secara Geometri, turunan berarah digunakan untuk menghitung
gradient dari permukaan z = f (x, y), yaitu untuk menghitung gradient
permukaan di titik ),,( 000 zyx , dengan ),( 000 yxfz = , Dengan
demikian :
Gradien dari permukaan di titik ),,( 000 zyx dalam arah vektor satuan
# $ %� & '�adalah
byxfayxfyxfD yx ),(),(),( 000000u +=
2. Vektor u = < a, b > harus merupakan vektor satuan. Jika akan
ditentukan turunan berarah dari suatu fungsi dalam arah vektor v dan
v bukan vektor satuan, maka dicari vektor satuan yang searah
dengan vektor v, yaitu
��
�
)0,,( 00 yx �
0x �
0y �
),( yxfz ==== �
),,( 000 zyx �
arah
dalamperubahan Laju ),( 00
x
yxf x =�
��������������� arah dalam
perubahan Laju )0,0(
y
yxyf =�
arah dalam
perubahanLaju ),( 00
u
yxDu =�
, >>>>=<=<=<=< bau �
��������
��������������� ���
�
�
33
�
vv|v|
vu
||
1======== .
3. Arah vektor satuan u dapat dinyatakan dalam bentuk sudut θ , sudut
antaravektor u dan sumbu x. Dalam hal ini, >=< ��,u sincos (
perhatikan bahwa u adalah vektor satuan, karena
11sincos 22 ==+= ��|u| ) dan turunan berarah dapat dinyatakan
dengan
θθ sin),(cos),(),(u yxfyxfyxfD yx += .
4. Turunan berarah menyatakan laju perubahan fungsi f dalam arah
vektor satuan u.
Contoh 2.12: Tentukan turunan berarah dari xxyyyxf 643),( +−= di
titik (1, 2) dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut 3
πθ ==== .
Penyelesaian:
Contoh 2.13: Tentukan turunan berarah dari fungsi xxyyyxf 643),( +−= di
titik (-3, -4) dalam arah vektor j3i2v +−= .
Penyelesaian:
Turunan parsial f adalah
64),( +−= yyxfx ; xyxf y 43),( −=
Vektor v bukan vektor satuan dan vektor satuan yang searah dengan vektor v
adalah
)32(13
1)32(
94
11ji -ji - v
|v| u +=+
+==
Jadi turunan berarah f dalam arah vektor satuan u adalah
��������������� ���
�
�
34
�
)13
3)(43()
13
2)(64(),( xyyxfu −+
−+−=
Turunan berarah di titik ( -3, - 4) adalah
.13
1)
13
3))(3(43()
13
2)(6)4(4()4,3( =−−+
−+−−=−−uf
Gradien Fungsi
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y), vektor gradien, dinyatakan dengan
),( yxf∇ , adalah vektor di bidang x-y yang dinyatakan dengan
j ),(i ),(),( yxfyxfyxf yx +=∇
Catatan
1. Turunan berarah fungsi z = f (x, y) dalam arah vektor satuan u = < a, b >
dapat dituliskan dalam bentuk dot product, yaitu,
byxfayxf
bayxfyxf
bayxfyxf
yxfyxfD
yx
yx
yx
),(),(
,),(),,(
)ji(j) ),(i ),((
u),(),(u
+=
><⋅>=<
+⋅+=
⋅∇=
2. Vektor gradien ),( yxf∇ menunjukkan arah perubahan maksimum dari
permukaan z = f (x, y). Panjang vektor gradien adalah nilai maksimum dari
turunan berarah, yaitu laju perubahan maksimum dari f. Jadi Nilai
maksimum turunan berarah f adalah |),(| yxf∇
3. Sedangkan ),( yxf∇− adalah nilai minimum turunan berarah f
Contoh 2.14: Diberikan fungsi )cos(),( yxyyxf −= .
a. Tentukan gradient f
��������������� ���
�
�
35
�
b. Tentukan gradien di titik P )0,3
(π
.
c. Gunakan gradient untuk menentukan turunan berarah f dalam arah vektor
>−=<5
4,
5
3u , kemudian tentukan laju perubahan f di P dalam arah
vektor u.
d. Tentukan laju perubahan maksimumnya di P dan dalam arah manakah saat
perubahan itu terjadi.
Turunan berarah dan gradien untuk fungsi 3 peubah
Turunan berarah fungsi 3 peubah f (x, y, z) dalam arah vektor satuan
u = < a, b, c >, dinyatakan dengan ),,( zyxfDu , didefinisikan dengan:
czyxfbzyxfazyxfzyxfD zyx ),,(),,(),,(),,(u ++=
Vektor gradient, ),,( zyxf∇∇∇∇ , dinyatakan sebagai
k ),,(j ),,(i ),,(),,( zyxfzyxfzyxfzyxf zyx ++=∇
Contoh 2.15: Tentukan gradien dan turunan berarah dari
xyzxyxzyxf +−= 35),,( 2 di P(1, 2, 4) dalam arah dari titik P ke titik Q(-
3, 1, 2).
Penyelesaian:
Terlebih dahulu dicari turunan parsial terhadap x, y, and z, yaitu
yzyxyzyxzyxfx +−=+−= 310)1()1(310),,(
xzxxzxzyxf y +−=+−= 3)1()1(30),,(
xyxyzyxfz =+−= )1(00),,( .
Diperoleh gradien:
��������������� ���
�
�
36
�
k j )3(i )310(
k ),,(j ),,(i ),,(),,(
xyxzxyzyx
zyxfzyxfzyxfzyxf zyx
++−++−=
++=∇
Sehingga gradient di titik P(1, 2, 4) adalah
>=<++=
++−++−=∇
2 1 12k 2ji 12
k )2)(1(j ))4)(1()1(3(i ))4)(2()2(3)1(10()4,2,1(
,,
f
Selanjutnya untuk mencari turunan berarah, pertama ditentukan vektor
satuan u , yang searah dengan vektor dari titik P(1, 2, 4) ke titik Q(-3, 1,
2).
Perhatikan bahwa vektor >>>>−−−−−−−−−−−−>=<>=<>=<>=<−−−−−−−−−−−−−−−−=<=<=<=<====→→→→
2,1,442,21,13PQv dan v
bukan vektor satuan. Vektor satuan yang searah dengan vektor v adalah
( )*+*
>−−−>=<−−−<=
>−−−<−+−+−
=
21
2
21
1
21
4214
21
1
214)2()1()4(
1
222
,,,
,,
Dengan demikian diperoleh turunan berarah di titik P(1,2,4) yang searah
dengan vektor sataun u
21
53
21
4
21
1
21
48
)21
2(2)
21
1)(1()
21
4)(12(
21
2,
21
1,
21
42 ,1 ,12
u)4,2,1()4,2,1(u
−=
−−−=
−+−+−=
>−−−<⋅>=<
⋅∇= ffD
��������������� ���
�
�
37
�
Contoh 2.16: Tentukan laju perubahan maksimum dari fungsi
xyzxyxzyxf +−= 35),,( 2 di titik (1, 2, 4) dan arah saat perubahan itu
terjadi.
Garis Normal terhadap Permukaan
Perhatikan kembali bahwa grafik fungsi z = f (x, y) akan berupa luasan
permukaan di ruang 3D .
Selanjutnya persamaan dapat kita tulis dalam bentuk
zyxfzyxF −= ),(),,( = 0.
Selanjutnya, misalkan titik ),,( 000 zyx pada permukaan, maka gradien F
di titik tersebut, yaitu
k ),,(j ),,(i ),,(),,( 000000000000 zyxFzyxFzyxFzyxF zyx ++=∇
merupakan vektor orthogonal (normal) terhadap permukaan ),( yxfz = .
��
��
�
��
),( yxfz ==== �
),,( 000 zyxF∇∇∇∇ �
),,( 000 zyx �
��������������� ���
�
�
38
�
Contoh 2.17 : Tentukan vektor normal satuan terhadap permukaan
422 =+ zxyx di titik (2, − 2, 3).
Penyelesaian :
Permukaan 422 =+ zxyx dapat dinyatakan sebagai
042),,( 2 =−+= zxyxzyxF .
Maka vektor normal terhadap permukaan tersebut adalah
)42()42( )42( 222 −+∂
∂+−+
∂
∂+−+
∂
∂=∇ zxyx
z
fkzxyx
yjzxyx
xiF
kxjxizyx 2)22( 2 +++=
Di (2, − 2, 3), F∇ (2, − 2, 3) kji 442 ++−=
616164|| )3,2,2( =++=∇ −F
Jadi vektor normal satuan terhadap permukaan F adalah
k.jikji3
2
3
2
3
1442(
6
1++−=++−= )
��������������� ���
�
�
39
�
Bidang Singgung
Menggunakan gradien, kita dapat menemukan persamaan bidang singgung
dan garis normal terhadap permukaan permukaan.
Untuk memperoleh persamaan bidang, diperlukan titik pada bidang tersebut
dan sebuah vektor normal. Karena
>=<∇ ),,(),,,(),,,(),,( 000000000000 zyxFzyxFzyxFzyxF zyx
menyatakan vektor normal terhadap permukaan (dan bidang singgung),
Komponen-komponennya dapat digunakan dalam menentukan persamaan
bidang singgung di titik ),,( 000 zyx . Persamaan bidang singgung dinyatakan
dalam:
0))(,,())(,,())(,,( 000000000000 =−+−+− zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx .
����),( yxfz ==== �
���),,( 000 zyxF∇∇∇∇ �
),,( 000 zyx �
��������������� ���
�
�
40
�
Persamaan parameter untuk garis normal di titik ),,( 000 zyx dinyatakan
dengan
tzyxFxx x ),,( 0000 += , tzyxFyy y ),,( 0000 += , tzyxFzz z ),,( 0000 +=
atau
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
−=
−=
−
Contoh 2.18: Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal
terhadap permukaan 22
),( yxeyxf
−−= di titik )1
,1,0(e
.
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa 22
),( yxeyxf
−−= dapat ditulis sebagai 22
yxez
−−=
atau
zezyxfzyxFyx −=−= −− 22
),(),,( .
Selanjutnya akan dicari vektor gradient di titik )1
,1,0(e
.
Dengan mengingat vektor gradient di titik ),,( 000 zyx ,
k ),,(j ),,(i ),,(),,( 000000000000 zyxFzyxFzyxFzyxF zyx ++=∇ ,
pertama kita cari turunan parsialnya, yaitu
2222
202),,( yxyxx xexezyxF
−−−− −=−−=
2222
202),,( yxyxy yeyezyxF −−−− −=−−=
110),,( −=−=zyxFz
di titik )1
,1,0(),,( 000e
zyx = diperoleh
��������������� ���
�
�
41
�
0)0(2)1
,1,0(),,(22 )1()0(
000 =−== −−ee
FzyxF xx ,
eee
eFzyxF yy
22)1(2)
1,1,0(),,( 1)1()0(
000
22
−=−=−== −−− , dan
1)1
,1,0(),,( 000 −==e
FzyxFz ,
Sehingga vektor gradien F di titik )1
,1,0(e
adalah
k j k j i eee
F11
)1(0)1
,1,0( ++++====++++++++====∇∇∇∇
Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung
0))(,,())(,,())(,,( 000000000000 =−+−+− zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx
Di titik )1
,1,0(),,( 000e
zyx = , diperoleh
0)1
)(1
,1,0()1)(1
,1,0()0)(1
,1,0( =−+−+−e
ze
Fye
Fxe
F zyx
atau
0)1
)(1()1)(2
()0)(0( =−−+−−+−e
zye
x
atau
0)1
()1(2
=−−−−e
zye
atau
0122
=+−+−e
ze
ye
��������������� ���
�
�
42
�
Atau
032
=+−−e
zye
. (ini adalah bidang siggung)
Sedangkan persamaan garis normalnya
tzyxFxx x ),,( 0000 += , tzyxFyy y ),,( 0000 += , tzyxFzz z ),,( 0000 +=
dengan )1
,1,0(),,( 000e
zyx = , diperoleh
0)1
,1,0(),,( 000 ==e
FzyxF xx , ee
FzyxF yy
2)
1,1,0(),,( 000 −== , dan
1)1
,1,0(),,( 000 −==e
FzyxFz .
Jadi persamaan garis normalnya adalah
tx )0(0 += , te
y )2
(1 −+= , te
z )1(1
−+=
atau
0=x , te
y2
1−= , te
z −=1
Dengan menyelesaikan untuk t diperoleh persamaan garis normal
1
/1
/2
1
−
−=
−
− ez
e
y.
LATIHAN 2.6
1. Tentukan turunan berarah dari 2 3( , ) 4f x y x y y= − di titik (2, 1)
dalam arah vector v= < 2,5 >
��������������� ���
�
�
43
�
2. Jika ( , ) ,yf x y xe= tentukan laju perubahan f di titik (2,0)P dalam
arah dari P ke titik 1
,2 .2
Q� �� �� �
3. Misalkan suhu di titik ( , , )x y z dalam ruang diberikan oleh
2 2 2
80( , , )
1 2 3T x y z
x y z=
+ + +, dengan T diukur dalam derajar
Celsius dan , ,x y z dalam meter. Dalam arah manakah suhu naik
tercepat di titik (1, 1,2)?− Tentukan laju perubahan maksimumnya!
4. Tentukan vektor normal satuan terhadap permukaan
9222 =++ zyx di titik (2, 1, 2)
5. Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap
permukaan 4arctan( )x z yz− = di titik (1 , 1, 1).π+
6. Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap
permukaan 9222 ====++++++++ zyx di titik (2, 1, 2).
2.7. JACOBIANS
Pada bagian ini akan dibahas tentang Jacobian. Jacobian nantinya akan
sangat bermanfaat ketika kita berbicara mengenai integral lipat,
khususnya dalam penggantian variable
Jika x = g (u, v) dan y = h (u, v) terdiferensial, maka Jacobian x dan
y yang bersesuaian dengan (terhadap) u dan v, dinyatakan dengan
)(
)(
vu,
yx,
∂
∂, didefinisikan sebagai
��������������� ���
�
�
44
�
v
y
u
y
v
x
u
x
vu,
yx,
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=∂
∂
)(
)(
Jika )()()( wv,u,jz,wv,u,hy,wv,u,gx === terdiferensial,maka
Jacobian yang diperoleh dari transformasi dari daerah U di ruang u v
w ke daerah W dalam ruang x y z, didefinisikan sebagai
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
w)v, (u,
z)y, (x,
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂,
)(
)(
wv, u,
zy, x,
∂
∂ sering ditulis dengan .
wv, u,
zy, x, J ��
�
����
�
Sifat :
Jika ,),(
),(dan
),(
),(
vu
yxJ
yx
vuJ
∂
∂=
∂
∂= ∗
Maka 1.=∗JJ
Bukti :
MIsalkan )(dan)( yx,�vyx,�u == . Selanjutnya kita dapat
menyelesaikan x, y dalam u dan v sehingga diperoleh
).(dan)( 11 vu,�yvu,�u ==
diperoleh
dyy
udx
x
udu
∂
∂+
∂
∂=
dan dyy
vdx
x
vdv
∂
∂+
∂
∂= .
��������������� ���
�
�
45
�
Dengan demikian didapatkan
0dan101 =∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
u
v
v
v,
v
u,
u
u
sehingga u
y
y
u
u
x
x
u
u
u
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂==
∂
∂1
v
y
y
u
v
x
x
u
v
u
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂==
∂
∂0
v
y
y
v
v
x
x
v
v
v
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂==
∂
∂1
u
y
y
v
u
x
x
v
u
v
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂==
∂
∂0
Diperoleh
v
y
u
y
v
x
u
x
y
v
x
v
y
u
x
u
JJ
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
×
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=∗
(Dengan mengingat ABBA = , diperoleh
∗
JJ
v
y
y
v
v
x
x
v
u
y
y
v
u
x
x
v
v
y
y
u
v
x
x
u
u
y
y
u
u
x
x
u
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
=
110
01==
Sifat
Jika # #�,� -� dan . .�,� -� dan , ,��� ����- -��� �� , maka
��������������� ���
�
�
46
�
),(
),(
),(
),(
),(
),(
yx
qp
qp
vu
yx
vu
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
Bukti
Karena u dan v fungsi dari p dan q,maka
dqq
udp
p
udu
∂
∂+
∂
∂=
dqq
vdp
p
vdv
∂
∂+
∂
∂=
dan
x
q
q
u
x
p
p
u
x
u
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
y
q
q
u
y
p
p
u
y
u
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
x
q
q
v
x
p
p
v
x
v
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
y
q
q
v
y
p
p
v
y
v
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
Dengan memperhatikan
y
q
x
q
y
p
x
p
q
v
p
v
q
u
p
u
yx,
qp,
qp,
vu,
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
×
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=∂
∂×
∂
∂
)(
)(
)(
)(
y
q
q
v
y
p
p
v
x
q
q
v
x
p
p
v
y
q
q
u
y
p
p
u
x
q
q
u
x
p
p
u
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
=
��������������� ���
�
�
47
�
)(
)(
yx,
vu,
y
v
x
v
y
u
x
u
∂
∂=
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
diperoleh
)(
)(
)(
)(
)(
)(
yx,
qp,
qp,
vu,
yx,
vu,
∂
∂×
∂
∂=
∂
∂
�
Sifat
Jika u dan v fungsi dari x dan y sedemikian sehingga
f (u, v) = 0, maka 0.),(
),(=
∂
∂
yx
vu
Bukti :
Karena f (u, v) = 0, maka
0=∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
x
v
v
f
x
u
u
f
dan .0=∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
y
v
v
f
y
u
u
f
Eliminasi v
f,
u
f
∂
∂
∂
∂ diperoleh
0=
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
y
v
y
ux
v
x
u
yaitu, .
y
v
x
v
y
u
x
u
0=
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
dengan pertukaran baris dan kolom dari determinan.
��������������� ���
�
�
48
�
Dengan demikian diperoleh, .yx,
vu,0
)(
)(=
∂
∂
Contoh 2.18 :
JIka x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, tentukan .(
(
z)�,r,
z)y,x,
∂
∂
Penyelesaian:
100
0cossin
0sincos
)(
)(�r�
�r�
z
z
�
z
r
zz
y
�
y
r
yz
x
�
x
r
x
z�,r,
zy,x,−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂
r)sin(cosr)sinr(cosr 2222 =+=−−= θθθθ
Turunan parsial menggunakan jacobian
Diberikan persamaan:
/��� �� #� .� �
0��� �� #� .� �
dengan memperhatikan u dan v sebagai fungsi dari x da y, maka:
1#1�
1�/� 0�1��� .�1�/� 0�1�#� .�
�����1#1� 1�/� 0�1��� .�1�/� 0�1�#� .�
1.1�
1�/� 0�1�#� ��1�/� 0�1�#� .�
�����1.1� 1�/� 0�1�#� ��1�/� 0�1�#� .�
�
Contoh:
��������������� ���
�
�
49
�
Jika
�# � � . �
�#� �. � �� �
Tentukan 232�,�242�.
Penyelesaian:
1#1�
1�/� 0�1��� .�1�/� 0�1�#� .�
5 # � . � � �55�#� ��� �5
# � . � � �#� � �� �
1.1�
1�/� 0�1�#� ��1�/� 0�1�#� .�
5�#� # �� . � �55�#� ��� �5
�#�. � "#� �# � �#� � �� �
LATIHAN 2.7 :
1. Jika x = r cos θ, y = r sin θ, Tentukan ),(
),(and
),(
),(
yx
r
r
yx
∂
θ∂
θ∂
∂ dan
tunjukkan bahwa .yx,
�r,.
�r,
yx,1
)(
)(
)(
)(=
∂
∂
∂
∂
2. Jika x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, tentukan
.��,r,
zy,x,
)(
)(
∂
∂
3. Jika ,3
213
2
132
1
321
x
xxy,
x
xxy,
x
xxy === Tentukan
)(
)(
321
321
x,x,x
y,y,y
∂
∂ dan
)(
)(
321
321
y,y,y
x,x,x
∂
∂.
��������������� ���
�
�
50
�
4. Jika w,vuzv,uzyz,yxu ==+++= tentukan )(
)(
wv,u,
zy,x,
∂
∂
dan .(
(
z)y,x,
w)v,u,
∂
∂
5. Tentukan 232� �
232� �
242� �
242� dari fungsi:
��# � �6 #. �
#. �. � �� ��