DIKTAT BAHAN KULIAH MATEMATIKA II MAT 117 BOBOT 3(3-0) SEMESTER II OLEHYOHANNES NIP. 195204071986031001 JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG 2012 DAFTAR ISI Halaman BAB IFUNGSI TRANSEDEN ................. ............1 1.1Pendahuluan.........................1 1.2Fungsi Logaritma Natural ...................... 1 a.Menentukan Turunan Fungsi Logaritma Natural ..... 1 b.Diferensiasi Menggunakan Logaritma Natural..... 2 c.Diferensiasi Fungsi y = alog x ...... 3 d.Menentukan integrasi dxx1 dan duu1 ........ 3 1.3Fungsi Eksponen .........................4 a.Turunan dan Integrasi fungsi y = ex ......4 b.Turunan dan Integrasi fungsi y = ax ......5 c.Turunan fungsiy = xx dan f(x) = g(x)h(x) ......5 1.4Fungsi Inversi Trigonometri ........................ 7 a.Turunan Fungsi y = arc sin x.............. 7 b.Turunan Fungsi y = arc cos x.............. 7 c.Turunan Fungsi y = arc tan x.............. 7 d.Turunan Fungsi y = arc cot x.............. 8 e.Turunan Fungsi y = arc sec x.............. 8 f. Turunan Fungsi y = arc csc x.............. 8 1.5Fungsi Hiperbolik....................9 1.5.1Pengertian...................9 1.5.2Turunan Fungsi Hiperbolik ............. 10 1.5.3Integrasi Fungsi Hiperbolik ............. 11 1.6Fungsi Inversi Hiperboik dan Turunannya ..... 11 BAB IISISTEM KOORDINAT KUTUB.......................... 13 2.1Fungsi dalam Bentuk Parameter.....13 2.2Sistem Koordinat Kutub dan Kartesian ...13 2.3Korelasi Koordinat Kutub dan Kartesian...13 2.4Melukis Sketsa Grafik Fungsi dalam Parameter14 2.5Melukis Sketsa Grafik Fungsi dalam Koordinat Kutub15 a.Melukiskan Kedudukan Titik........................15 b.Melukiskan Grafik Fungsi........................15 2.6Perpotongan Grafik Fungsi........................16 2.7Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva Fungsi...........17 2.8Menentukan Luas dalam Koordinat Kutub.......................18 2.9Sudut Perpotongan antara Dua Garis Singgung Kurva.........19 2.10Turunan Panjang Busur........................19 BAB III KALKULUS FUNGSI DENGAN BEBERAPA VARIABEL...20 3.1Fungsi Dua Variabel .20 3.2Arti Geometri Fungsi Dua Variabel dalam Ruang 3 Dimensi..20 3.3Turunan Parsial Fungsi Dua Variabel..22 3.4Turunan Parsial Tingkat Dua atau Lebih..23 3.5Bidang Singgung dan Garis Normal...23 3.6Menentukan Jenis Titik Ekstrim denganTurnanan Parsial Tingkat Dua .....................24 3.7Turunan Parsial Fungsi Parameter .25 3.8Diferensial Total..................25 Sumber Pustaka .......................26 BAB I FUNGSI TRANSEDEN 1.1PENDAHULUAN Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transeden. Fungsi transeden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik 1.2FUNGSI LOGARITMA NATURAL Bila diberikan suatu fungsi f(x) = xn, maka perhitungan integral dari fungsi tersebut secara umum adalah: +=+1 n nx1 n1dx x + Cuntuk n 1 Namun integrasi tersebut tidak berlaku untuk n = 1.Artinya, x1 tidak dapat diintegrasikan dengan rumus seperti di atas.Perhatikan bentuk logaritma natural :ln x= x loge dimana :e = k / 10 knn) k 1 ( lim )n11 ( lim + = + = 2,7182818284589. bilangan e adalah irasional dan tak terukur a. Menentukan turunan fungsi logaritma natural Untuk mencari turunan fungsi logaritma naturaly = ln x dapat dilakukan sebagai berikut: xx ln ) x x ( lnlimdxdy0 x += )xx x( lnx1lim0 x += )xx1 ( lnx1lim0 x+= )xx1 ( lnxxx1lim0 x+= x / x0 x)xx1 ( lnx1lim + =x / x0 x)xx1 ( ln limx1 + =misalkankxx= sehinggak1xx=dan x / x)xx1 (+= k / 1) k 1 ( +dan untuk x 0 maka k 0, sehinggax / x0 x)xx1 ( lim + =k / 10 k) k 1 ( lim + = eDengan demikian dxdy x / x0 x)xx1 ( ln limx1 + == x1 ln e = x1 Jadi:jika y = ln xmaka turunannya dxdy = x1 Secara umum, jika y = ln umaka turunannya dxdy = dxduu1 Aturan dalam logaritma natural mirip logaritma biasa, yaitu: a.ln (ab) = ln a + ln bc.ln ab = b ln a b.ln ba= ln a ln bd.ln e=1 Contoh soal: Tentukan turunan dari1. y = ln (x2 1)3.y = ln (x 1)2 2. y = ln {2x2 (4x 1)}4.y = ln 1 xx+ Jawab: 1.y = ln (x2 1)misalu = x2 1, maka dxdu = 2x y = ln u, maka dxdy = dxduu1 =x 21 x12 = 1 xx 22 2. y = ln {2x2 (4x 1)} misal u = 2x2 (4x 1), maka dxdu = 4x(4x 1) + 2x2 . 4= 24 x2 4x Jadi dxdy =) x 4 x 24 () 1 x 4 ( x 2122 = ) 1 x 4 ( x) 1 x 6 ( 2 Tujuan Instruksional Khusus:Mahasiswamemahamifungsitranseden,yaitufungsilogarimanatural,fungsieksponen,fungsiinversi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan fungsi inversi hiperbolik, serta cara mendiferensialkan dan mengintegralkan fungsi tersebut agar mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut 3.y = ln (x 1)2 = 2 ln (x 1) Jadi dxdy = 1 x2 4. y = ln 1 xx+ misalu = 1 xx+makadxdu = 2 2) 1 x (1) 1 x (x ) 1 x (+=+ + Jadi dxdy = 2) 1 x (1x1 x++ = ) 1 x ( x1+ Tugas: Tentukan turunan dari: 1.y = ln {(4x2 + 3) (2x 1)}6.y = ln cos2x 2.y = ln (x3 + 2) (x2 + 3)7.y = (x2 2) ln sin x 3.y = ln24) 4 x 3 (x8.xy + y ln x ln y = 0 4.y = {ln (x3 4)2}39.xy (ln y + ln x) = 1 5.y = ln ) 3 x ( x3+ 10.y = 2x 2) x (ln b.Diferensiasi menggunakan logaritma natural Jika diketahui suatu fungsi y = f(x), maka diferensiasi secara logaritmik adalah dengan membuat kedua ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga menjadi ln y = ln f(x). Kedua ruas lalu diturunkan menjadi: ) x ( ' f) x ( f1dxdyy1= diperoleh) x ( f) x ( ' fydxdy=Contoh soal: Tentukan turunan dari1.y = (x3 + 1)7 (2 x2)32.y = 3 22) 1 x (x 1+ Jawab: 1.y = (x3 + 1)7 (2 x2)3kedua ruas dijadikan fungsi logaritma naturalln y = ln 3 2 7 3) x 2 ( ) 1 x ( +ln y = 7 ln (x3 + 1) + 3 ln (2 x2)kedua ruas diturunkan, diperolehdxdyy1 = 1 x) x 3 ( 732+ +2x 2) x 2 ( 3 sehingga dxdy = y (1 x) x 3 ( 732+ + 2x 2) x 2 ( 3) =3 2 7 3) x 2 ( ) 1 x ( + {1 xx 2132+ + 2x 2x 6} = 3 2 7 3) x 2 ( ) 1 x ( + {) x 2 ( ) 1 x (x 6 x 6 x 21 x 422 34 4 2 + }=2 2 6 3) x 2 ( ) 1 x ( +3x ( 9x3 + 14x 2) 2.y = 3 22) 1 x (x 1+kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y =) 1 x ( ln32) x 1 ( ln212+ kedua ruas dikalikan 6,menjadi 6 ln y =) 1 x ( ln 4 ) x 1 ( ln 32+ lalu kedua ruas diturunkan dxdyy6 = 1 x4x 1) x 2 ( 32+ dxdy = 6y(1 x4x 1) x 2 ( 32+) dxdy = 613 22) 1 x (x 1+() 1 x ( ) x 1 (x 4 4 x 6 x 622 2+ + ) = 613 22) 1 x (x 1+() 1 x ( ) x 1 (4 x 6 x 222+ ) dxdy = 313 22) 1 x (x 1+() 1 x ( ) x 1 () 1 x )( 2 x (2+ + + ) = 232x 1 ) 1 x ( 3) 2 x ( ++ Tugas:Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut 1.1 x1 xy22+= 3.322 2 25 x 3 x) 3 x ( xy+ =2.4 x1 xy332+= 4.y = 22 2x 1) x 1 ( x+ c.Diferensiasi Fungsi y = alog x Fungsiy = alog xsama dengan ay= x, jika diubah menjadi fungsi ln maka menjadi ln ay= ln xy ln a = ln xy = a lnx ln dimana ln a = konstan Untuk y = a lnx lnmakadxdy = a ln x1 Jadi untuk fungsiy = alog x, turunannya dxdy = a ln x1 Atau secara umum, Untuk fungsiy = alog u, turunannya dxdy = dxdua ln u1 Contoh soal:Tentukan turunan dari 1.y= 2 log (x2 1)2.y =log (x4 + 3x2) Jawab: 1.y=2 log (x2 1)dxdy = 2 ln ) 1 x (x 22 2.y = log (x4 + 3x2)dxdy =10 ln ) x 3 x (x 6 x 42 43++ Tugas: Tentukan turunan dari1.y =alog (3x2 5)4.y = log (ln x) 2.y =32) 5 x 2 ( log + 5.y = ln (log x)3 3.y =5 log sin2 x d.Menentukan integrasi dxx1 dan duu1 Sebagaimana dijelaskan di muka bahwa untuk fungsi y = ln x, turunannya x1dxdy= dan untuk fungsi y = ln u, turunannya dxduu1dxdy= , maka untuk integrasinya adalah kebalikannya, yaitu: + = C x ln dxx1atau secara umum + = C u ln duu1 Contoh soal: Tentukan integrasi dari 1. dx1 x 21+ 2. dx1 x 3 x3 x 22+ ++ Jawab: 1. dx1 x 21+misalu = 2x + 1maka du = 2 dxatau dx = 21 du, sehingga dx1 x 21+ = du21u1 = 21duu1 = 21ln u + C = 21 ln (2x + 1) + C 2.dx1 x 3 x3 x 22+ ++, misal u = x2 + 3x + 1, maka du = (2x + 3) dx, sehingga dx1 x 3 x3 x 22+ ++ = udu = ln u + C=ln (x2 + 3x + 1) + C Tugas : Tentukan integrasi dari: 1. dx x tan 4.dx x cot2. + ) 3 x ( ) 2 x (dx5.+ + x 6 x 5 xdx2 3 3. ++dx7 x 4 x 33 x 226.++dx2 x3 x 1.3FUNGSI EKSPONEN Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, yang didefinisikan sebagai: y = exjika dan hanya jikax = ln y Grafik y = ex dan y = ln x simetris terhadap y = x Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural,dan sebaliknya. Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku: ea + b=ea . eb ea b =ea / eb eab=(ea)b =(eb)a Jika a sebarang bilangan real positip dan x adalah bilangan real maka: ax = ex ln asehinggaln ax = x ln a Fungsi eksponen ada 2 jenis, yaitu: 1.y = exatauy = eu 2.y = axatauy = au Catatane adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler.Bilangan ini adalah bilangan transeden, artinya tidak bisa dinyatakan sebagai akar dari suatu polinomial dengan koefisien polinomial berupa bilangan bulat. a.Turunan dan integrasi fungsi y = ex Fungsi y = ex diubah menjadi fungsi logaritma natural yaituln y = ln exln y = x ln eln y = x.Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat, 1dxdyy1= atau =dxdy y= ex

Jadi y = exturunannya adalah=dxdy ex y = euturunannya adalah=dxdy eu dxdu dx ex = ex+C ataudu eu = eu+C Contoh Soal : 1.Tentukan turunan dari2x1e y =Jawab:misalu = 2x1maka 3x2dxdu ==dxdy eu dxdu = 2x1e . (3x2 )=3xe 22x12. Hitung dxxex Jawab:misalu =x makadu = x 21 dxatau dx = 2 xdu = 2 u du dxxex = ueu 2u du = 2 du eu = 2 eu + C=2 xe+ C Tugas:Tentukan turunan dari fungsi berikut 1.y = 2xe 4.y = xesin 2x 2.y = x ln x2e 5.y = xe ln x 3.y = x xx xe ee e+6.y = ax axax axe ee e+ y = ln x y = ex y = x b.Turunan dan integrasi fungsi y = ax Fungsi y = ax diubah menjadi fungsi logaritma natural yaituln y = ln axln y = x ln a. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat, =dxdyy1 ln aatau =dxdy y ln a = ax ln a Jadi y = axturunannya adalah=dxdy ax ln a y = auturunannya adalah=dxdy au ln adxdu dx ax = a lnax+C ataudu au = a lnau+C Contoh soal:1. Tentukan turunan dari y = 1 x 42 2.Hitung dx 10x 3 Jawab: 1.y = 1 x 42 maka turunannya=dxdy 1 x 42 ln 2 . 4 = 1 x 42+ ln 2 2.dx 10x 3=dx 102 / x 3,misalu = 2x 3 maka 23dxdu= ataudx = 32du, maka dx 10x 3=du 1032u = 10 ln1032u+ C = 10 ln10322x 3+ C = 10 ln 310 2x 3 + C Tugas: Tentukan turunan dari 1.y = x5 3.y = 1 21 2xx+ 2.y = x2 3x 4.Y = 2x 23 ) x 3 x 4 ( c.Turunan fungsiy = xx dan f(x) = g(x)h(x) Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu: Fungsi pangkat :y = xaatauy = ua dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap Fungsi eksponen : y = exatauy = eu dany = axatauy = au dimana bilangan pokok e atau a tetap danbilangan pangkat x atau u adalah variabel Namun, fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x) bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel.Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural. Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut 1.y = xx

Jawab:Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan xxx lndxdyy1+ == ln x + 1Jadi ) 1 x (ln x ) 1 x (ln ydxdyx+ = + =2. y = x 2 x2x ln y = (x2 2x) ln xditurunkan x1) x 2 x ( x ln ) 2 x 2 (dxdyy12 + ==dxdy x 2 x2x (2x ln x 2 ln x + x 2) Tugas: Tentukan turunan dari1.y = x sin 2) 1 x ( + 4.y = x3 7.y = 4 x 3510.y = x ee x +2.y = 2xex5.y = 1 x 2) 3 x (+ 8.y = x lnx3.y = 4 x2) 1 x 2 (+ 6.y = 3 x 2 2) x (ln+9.y = 1 x 10 2210 ) 1 x (++ + Contoh soal esai: 1.Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri.Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000? Jawab: Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan dtdA = laju pertumbuhan bakteri,maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagaidtdA = k.A atau AdA = k dt. Kedua ruas diintegralkan menjadi: =dt kAdA menghasilkan ln A = kt + C1atau A = 1C kte+ = 1C kte eJika 1Ce= C, didapat persamaanA = C kteUntuk t = 0 dan A = 1000, maka1000 = C.e0,didapat C = 1000 Untuk t = 12,A = 2000, dan C = 1000, maka 2000 = 1000.e12 ksehinggae12 k=212k = ln 2k = 122 ln = 0,05776 Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776, 1.000.000 = 1.000 t 05776 , 0et 05776 , 0e =10000,05776 t= ln 1000 t = 05776 , 01000 ln=119, 6.Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit 2.Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e0,0001t. Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 00 menjadi 250. Jawab: L = 60 e0,0001t turunannya adalahdtdL = 60 e0,0001t. 0,0001 Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e0,0001t dt Diketahuit1 = 00 , t2 = 250, maka dt = 250 00 = 250, maka dL = 0,006 e0,0001x025 = 0,150 meter Tugas: Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000? 1.4FUNGSI INVERSI TRIGONOMETRI Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut: a.y = arc sin x jika dan hanya jika x = sin y untuk /2 y /2 b.y = arc cos xjika dan hanya jika x = cos y untuk0 y c.y = arc tan xjika dan hanya jika x = tan y untuk /2 < y < /2 d.y = arc cot xjika dan hanya jika x = cot y untuk0 < y < e.y = arc sec xjika dan hanya jika x = sec y untuk y /2, 0 y < /2 f.y = arc csc xjika dan hanya jika x = csc y untuk y /2, 0 < y /2 Catatan: arc cot x= 1/2 arc tan xuntukx = bilangan real arc sec x=arc cos (1/ x)untuk | x | 1 arc csc x=arc sin (1/ x) untuk | x | 1 Contoh soal: Buktikanarc cos x=1/2 arc sin xuntuk | x| 1 Jawab:misalw = 1/2 arc sin xmakaarc sin x = 1/2 w sin ( arc sin x)=sin (1/2 w)x=cos ww = arc cos xterbukti a.Turunan Fungsi y = arc sin x Bentuk y = arc sin x diubah menjadi x = sin y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = cos y dyatauy cos1dxdy=Menurut rumus sin2y + cos2 y = 1ataucos2y = 1 sin2y. x = sin ymakacos2y = 1 sin2y = 1 x2 dancos y = 2x 1maka,y cos1dxdy== 2x 11 Jadi:y = arc sin xturunannya adalah=dxdy 2x 11 Secara umum y = arc sin uturunannya adalah=dxdy dxduu 112 b.Turunan Fungsi y = arc cos x Karenaarc cos x=1/2 arc sin x, maka bentuk y = arc cos x dapat diubah menjadiy =1/2 arc sin x, lalu kedua ruas diturunkan menjadi =dxdy 2x 11 Jadi:y = arc cos xturunannya adalah=dxdy 2x 11 Secara umum y = arc cos uturunannya adalah=dxdy dxduu 112 c.Turunan Fungsi y = arc tan x Bentuk y = arc tan x diubah menjadi x = tan y, kedua ruas diturunkan menjadidx = sec2 y dyatau y sec1dxdy2= Menurut rumus sec2y = 1 + tan2 y = 1 + x2 , sehingga y sec1dxdy2== 2x 11+ Jadi:y = arc tan xturunannya adalah=dxdy 2x 11+ Secara umum y = arc tan uturunannya adalah=dxdy dxduu 112+ d.Turunan Fungsi y = arc cot x Bentuk y = arc cot x diubah menjadi x = cot y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = y sin12 dyatau y sindxdy2 =Perhatikan segitiga di sampingx = cot yatau cot y = 1x makasin y = 1 x12+atau1 x1y sin22+=Jadi:y = arc cot xturunannya adalah=dxdy 1 x12+ Secara umum y = arc cot uturunannya adalah=dxdy dxdu1 u12+ e.Turunan Fungsi y = arc sec x Bentuk y = arc sec x diubah menjadi x = sec y = cos-1y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = cos-2y ( sin y) dyatauy siny cosdxdy2=Perhatikan segitiga di sampingsin y = x1 x2 yx 1 1 x2+y x 1 1 x2dan cos y = x1 makay siny cos2 = 2x1 1 xx2 = 1 x x12 Jadi:y = arc sec xturunannya adalah=dxdy 1 x x12 Secara umum y = arc sec uturunannya adalah=dxdy 1 u u12dxdu f.Turunan Fungsi y = arc csc x Bentuk y = arc csc x diubah menjadi x = csc y = sin-1y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = sin-2y (cos y) dyatauy cosy sindxdy2 =Perhatikan segitiga di sampingsin y = x1 dan cos y = x1 x2 makay cosy sin2 = 2x1 1 xx2 = 1 x x12 Jadi:y = arc csc xturunannya adalah=dxdy 1 x x12 Secara umum y = arc csc uturunannya adalah=dxdy 1 u u12dxdu Contoh soal: Tentukan turunan dari 1.y = arc cot||

\|+x 1x 12.y = axsin arc a x a x2 2 2+ Jawab: 1.Menurut rumus jika y = arc cot u maka=dxdy dxdu1 u12+ Misal u = x 1x 1+ maka dxdu = 2x x 2 12+ dan 1 u12+ = 1x 1x 112+ ||

\|+ = ) x 1 ( 2x x 2 122++ =dxdy ) x 1 ( 2x x 2 122++ 2x x 2 12+ = 2x 11+2. =dxdy 2 2x a + x) x 2 ( ) x a (212 / 1 2 2 + a1)ax( 11a22 =2 2x a 2 22x ax + 2 22x aa = 2 22 2x a) x a ( 2 = 2 2x a 2 Tugas : Tentukan turunan dari 1.y2 sin x + y = arc tan x5.y = ln ln sec 2x9.y = arc sin ex 2.y = 2 2x ax arc sin ax 6.y = 22x4 x + 2xsec arc2110.y = arc sinx3.y = x2 arccosx2 7.y = xsin x11.ln (x+y) = arc tan yx 4.y = arc tan x38.y = arc sin (x-1) y x 1 1 x21.5FUNGSI HIPERBOLIK 1.5.1Definisi fungsi hiperbolik 1.Sinus hiperbolik :sinh x=2e ex x 2.Cosinus hiperbolik : cosh x=2e ex x + 3.Tangent hiperbolik :tanh x=x coshx sinh=x xx xe ee e+ 4.Cotangent hiperbolik :coth x=x sinhx cosh=x xx xe ee e+ 5.Secant hiperbolik : sech x=x cosh1=x xe e2+ 6.Cosecant hiperbolik : csch x=x sinh1=x xe e2 Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa: Fungsi HiperbolikFungsi Trigonometri a.tanh x = x coth1tan x = x cot1 b.cosh2 xsinh2 x=1cos2 x+sin2 x=1 c.1 tanh2 x=sech2 x1 +tan2 x=sec2 x d.1 coth2 x=csch2 x1 +cot2 x=csc2 x Tugas :Buktikan 1.cosh x + sinh x = ex6. cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x 2.cosh x sinh x = e-x 7. sinh 2x= 2 sinh xcosh x 3. 21 x coshx21sinh2= 8. sinh (x + y)=sinh xcosh y+cosh xsinh y 4.tanh 2x = x tanh 1x tanh 22+9.cosh (x + y)=cosh xcosh y+sinh xsinh y 5. 21 x coshx21cosh2+= 1.5.2Turunan Fungsi Hiperbolik a.Fungsiy = sinh x = 2e ex x , turunannya dxdy = 2e ex x += cosh x b.Fungsiy = cosh x=2e ex x +, turunannya dxdy =2e ex x =sinh x c.Fungsi y = tanh x= x xx xe ee e+,turunannya dxdy =2x xe e2|||

\|+=sech2 x d.Fungsi y = coth x= x xx xe ee e+,turunannyadxdy =2x xe e2|||

\|=csch2 x e.Fungsi y = sech x= x xe e2+, turunannyadxdy = x xe e2+x xx xe ee e+ = sech x tanh x f.Fungsi y = csch x= x xe e2, turunannyadxdy = 2 x xx x) e e () e e ( 2+ = csch x coth x 2 0 2 X Y y = sinh x 0 X Y y = cosh x 10 1 X Y y = tanh x Grafik fungsi y = sinh x, y = cosh x, dan y = tanh x Secara umum: a.y = sinh u , turunannya dxdy = cosh u dxdu b.y = cosh u, turunannya dxdy =sinh u dxdu c.y = tanh u,turunannya dxdy =sech2 u dxdu d.y = coth u,turunannya dxdy =csch2 u dxdu e.y = sech u, turunannyadxdy = sech u tanh u dxdu f.y = csch u, turunannyadxdy = csch u coth u dxdu Contoh soal:Tentukan turunan dari 1.y = tanh (1 x2)Jawab :dxdy = 2x sech2(1 x2) 2.y = ln (sinh x)Jawab :dxdy = x sinhx cosh = coth x 3.y = tanh (51 x 4 +)Jawab :dxdy =)51 x 4( h sec542+ Tugas :Tentukan turunan dari 1.y = x sech x24. y = csch2 (x2 + 1) 2.y = ln cosh x5. y = a cosh ax 3.y = 1 x tanh1+ 1.5.3Integrasi Fungsi Hiperbolik Rumus-rumus pokok integrasi fungsi hiperbolik a. sinh u du=cosh u + C b. cosh u du =sinh u + C c. tanh u du=ln | cosh u | + Cd. coth u du = ln | sinh u | + C e. sech2u du = tanh u + C f. csch2u du = coth u + C g. sech u tanh u du = sech u + C h. csch u coth u du= csch u + C Contoh soal : Hitung integral berikut 1. dx x h sec= x coshdx =x coshdx x cosh2 = + x sinh 1dx x cosh2 misalu = sinh x maka du = cosh x dx, sehingga =+2u 1du =arc tan u + C=arc tan (sinh x) + C 2. dx x cosh ex =dx )2e e( ex xx+ = + dx ) 1 e (21x 2 = 21e41x 2++ C Tugas :Hitung integral berikut 1. dx x21cosh34. dx x sinh x2 2. dx x h sec45. dx x sinh ex 3. dx x sinh x 6. dx x cosh x sinh2 3 1.6FUNGSI INVERSI HIPERBOLIK1.Jika y = arc sinh u maka turunannya dxdu1 u1dxdy2+=2.Jika y = arc cosh u maka turunannya dxdu1 u1dxdy2=3.Jika y = arc tanh u maka turunannya dxduu 11dxdy2= dimana u2 < 1 4.Jika y = arc coth u maka turunannya dxduu 11dxdy2= dimana u2 > 1 5.Jika y = arc sech u maka turunannya dxduu 1 u1dxdy2=dimana 0 < u < 1 6.Jika y = arc csch u maka turunannya dxduu 1 u1dxdy2+=dimanau 0 Integrasi yang berkaitan dengan fungsi hiperbolik inversi 7. +2 2a udu = arc sinh au + C 8. 2 2a udu = arc cosh au + Cdimana 0 < a < u 9. 2 2u adu = a1 arc tanh au + Cdimanau2 < a2 10. 2 2a udu = a1 arc coth au + Cdimanau2 > a2 Contoh soal : 1.Buktikan jika y = arc sinh u, turunannya dxdu1 u1dxdy2+=Bukti: Misal u = sinh y, maka dxdyy coshdxdu=atau dxduy cosh1dxdy=cosh2y = 1 + sinh2y = 1 + u2 makacosh y = 2u 1+=1 u2+Jadidxdu1 u1dxdy2+= terbukti 2.Buktikan+2 2a udu = arc sinh au + C Bukti : misalu = a sinh pmaka du = a cosh p dpdan2 2a u += 2 2 2a p sinh a += a cosh p +2 2a udu = p cosh adp p cosh a = dp= p + C = arc sinh au + Cterbukti Tugas : 1.Buktikan turunan fungsi inversi hiperbolik no 2 6 di atas.2.Buktikan persamaan 8 105.Hitung2x 1 xdx 3.Hitung 25 x 9dx26.Hitung + 9 xdx2 4.Hitungdx 4 x2+ 7.Hitung x 9 4dx BAB II SISTEM KOORDINAT KUTUB 2.1FUNGSI DALAM BENTUK PARAMETER Suatufungsiy=f(x)yangdinyatakandalambentukkartesianseringkalidiubahmenjadibentuk parameter. Parameter adalah variabel perantara yang menghubungkan variabel y dan variabel x. Jika sebagai parameter digunakan variabel t maka fungsi y = f(x) dapat diubah menjadi x = f1(t) dan y = f2(t) yangdisebutsebagaipersamaandalambentukparameter.Dalamhalini,t=variabelbebas, sedangkan x dan y menjadi variabel tidak bebas. Contoh:Persamaanlingkaranberjari-jariadalamsistemkartesianberbentukx2+y2=a2.Jikadiubahkedalam bentuk parameter t, persamaan tersebut menjadi x = a cos t y = a sin t parameter t menyatakan sudutyang diapit oleh sumbu x positip dan jari-jari OP Sebaliknya,bentukparameterpundapatdiubahkedalambentukkartesiandenganmengeliminir parameternya.Misal: persamaan parameter x = a cos t dan y = b sin t dimana 0 t 2 akan diubah menjadipersamaankartesian,makapersamaanitudiubahmenjadicost= axdansint= by.lalu dimasukkan ke dalam persamaan cos2 t + sin2 t = 1, sehingga diperoleh 1byax2 2= + , pers. elips dengan sumbu panjang 2a dan sumbu pendek 2b dan berpusatdi (0, 0) Namun,terkadangbentukparametersulitdiubahkarenaparameternyatidakdapatdieksplisitkan. Misalnyax = t2 + t + 1 y = 3 t3 + t2 4 Turunan untuk fungsi parameter adalahdxdy = dtdydxdt 2.2SISTEM KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIAN Untuk menyatakan kedudukan suatu titik P pada bidang dapat dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian, dimana kedudukan dinyatakan dengan absis yaitu jarak dari P ke sumbu y dan ordinat yaitu jarak P ke sumbu x.Namun, kedudukan titik P pun dapat dinyatakan dengan sistem koordinat kutub (polar) berdasarkan jarak r dan sudut , dimana r = jarak dari P ke O dan = sudut dari OX ke OP. Untuk > 0 berlawanan arah jarum jam, sedangkan untuk < 0 searah jarum jam. 2.3KORELASI KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIAN Korelasi antara sistem koordinat kartesian dan koordinat kutub dinyatakan sebagai berikut: Berdasarkan gambar di samping diperoleh: x = r cos atau r = 2 2y x +y = r sin tan = xy r dalam satuan panjang dan dalam satuan radian Catatan:2 radian = 3600

Dalam sistem koordinat kartesian, suatu titik dapat dinyatakan posisinya hanya dengan suatu pasangan (x, y), namun dalam sistem koordinat kutub, suatu titik dapat dinyatakan posisinya dengan tak berhingga Tujuan Instruksional Khusus:Mahasiswamemahamipengertianfungsidalambentukparameterdankonsepsistemkoordinat kutubdankartesian,mampumengubahfungsidarisatusistemkoordinatkesistemkoordinat lainnya, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut Y X P (x,y) O a t untuk0 t 2 P (x, y)x y X O Y r O Y P (r, ) Sistem Koordinat KartesianSistem Koordinat Kutub X P (x, y) x y X O Y r = P (r, ) banyaknya pasangan, sebab pasangan (r, + 2 n) dengan n = 0, 1, 2, menyatakan posisi titik yang sama.Demikian pula titik pusat O dapat dinyatakan dengan (0, ) untuk sebarang. Jika persamaan dalam sistem kartesian y = f(x) akan diubah dalam sistem koordinat kutub, substitusikan x = r cos dan y = r sin pada persamaan tersebut. Sebaliknya, jika dari sistem kutub y = f(x) akan diubah dalam sistem koordinat kartesian, substitusikan r = 2 2y x + dan tan = xy pada persamaan kutub tersebut Contoh : 1.Nyatakan persamaan x2 + y2 4x = 0 dalam sistem koordinat kutub Jawab: Substitusikan x = r cos dan y = r sin dalam persamaan di atas, lalu didapatkan(r cos )2 + (r sin )2 4(r cos ) = 0 r2 (cos2 + sin2 ) 4 r cos = 0 r2 4 r cos = 0ataur (r 4 cos ) = 0 Berlaku untuk r = 0 atau r 4 cos = 0 Persamaan r = 0 menyatakan titik 0 (titik dipol), sehingga tidak memenuhi persamaantersebut, sedangkan persamaan r 4 cos = 0 atau r = 4 cos , jika r = 0 maka = 2, 23 dan seterusnya.Artinya persamaan r = 4 cos melalui titik 0. Dengan demikian persamaan yang dicari adalah persamaan r = 4 cos ,tersebut 2.Nyatakan persamaan r2 = dalam sistem koordinat kartesian Jawab : Substitusikan r = 2 2y x + dan tan = xy pada persamaan kutub tersebut, didapat 2 2 2) y x ( += arc tanxy sehingga x2 + y2 = arc tanxy adalah persamaan yang dicari. Tugas: A.Nyatakan persamaan berikut dalam B. Nyatakan persamaan berikut dalam sistem koordinat kutubsistem koordinat kartesian 1.x2 y2 16 = 0 1. r2 cos 2 = 10 2.x3 = 4y22. r2 = 2 sin 2 3. 1 xx 2y2+=3. r = sin 3 26 4.x2 + y2= a2 untuk a > 04. r = 2 sin 3 5.x3 + y3 3axy = 0untuk a bilangan real5. r2 = cos 6.y2 = 4 (x + 1)6. r2 = 4 cos 2 7.(x2 + y2 )2=4 (x2 y2 )7.r = cos 2 34 8.2xy = a2 untuk a 0 2.4MELUKIS SKETSA GRAFIK FUNGSI DALAM PARAMETER Untuk melukiskan fungsi parameter x = f(t), y = g(t), masukkan nilai variabel bebas t ke dalam persamaan untukmendapatkannilaimasing-masingvariabeltidakbebasxdany.Plotkannilaixdanytersebutke dalam sistem koordinat XY, lalu hubungkan titik-titik hasil ploting tersebut. Hasilnya grafik yang dicari. Contoh: Gambarkan grafik fungsi x = 2t, y = 3 t2 + 1untuk < t < Jawab: Tabel hitungan parameter sebagai berikut 2.5MELUKIS SKETSA GRAFIK FUNGSI DALAM KOORDINAT KUTUB txy(x, y) 001(0, 1) 124(2, 4) 2413(4, 13) 1 24( 2, 4) 2 413( 4, 13) 04 4 (0, 1) (2, 4) (4, 13) (4, 13) (2, 4) grafik yang dicari a.Melukiskan kedudukan titik Untuk melukiskan kedudukan suatu titik dalam koordinat kutub, misalkan titik P (2, 3), lakukan langkah berikut: oBuat lingkaran dengan jari-jari 2 satuan. Pusatlingkaran merupakan titik noloUkurkan sudut sebesar 3 = 600 dari arah sumbu Xpositip berlawanan arah jarum jam. Jika sudutnya negatip, arahnya searah jarum jam. oTarik garis bersudut 600 tersebut memotong lingkaran di titik P. P adalah titik yang dimaksud. b.Melukis grafik fungsi Untuk melukisseperti sin , cos , dan lain-lain, sebaiknya disiapkan gambar seperti di samping. Perhatikan : Harga jarak r harus bernilai positip atau nol (r 0). Nilai r bertanda negatip tidak digambarkan. Langkahnya adalah: oBuatlah tabel hitungan dengan menghitung variabel r berdasarkan variabel (gunakan beberapa sudut istimewa, 0o, 30o, 45o, 60o, 90o, 120o, 360o).oBuatlah beberapa lingkaran dengan pusat sama berdasarkan jari-jari r hasil hitungan. oTarik garis sesuai dengan sudut-sudut istimewa, seperti gambar di atas. oPosisi titik yang sesuai dengan besar nilai koordinat (r, ) diberi tanda. oHubungkan titik-titik hasil plot tadi, diperoleh grafik yang dicari. Contoh : 1.Gambarkan grafik fungsi r = 1 2 cos Jawab: Tabel hitungan koordinat polar Catatan : sudut 0o, 30o, 330o, dan 360o tidak diplotkan karena r bernilai negatip 2.Gambarkan grafik fungsi r = untuk 0 Jawab: Tabel hitungan koordinat polar Tugas :Gambarkan grafik fungsi rr 0o 1210o 1 + 330o1 3 240o2 60o0270o1 90o1300o0 120o2330o1 3150o1 + 3 360o 1 180o3 rr 0o 0210o 7/6 = 3,67 30o/6 = 0,52240o4/3 = 4,19 60o/3 = 1,05270o3/2 = 4,71 90o/2 = 1,57300o5/3 = 5,24 120o2/3 = 2,09330o11/6 = 5,76 150o5/6 = 2,62360o2 = 6,28 180o = 3,14 P (2, 3) X Y O 60o 2 0 90o 180o 270o 30o 45o 60o 0o 60o 90o 120o 180o 270o 240o 300o 30o 330o 210o 150o Grafik yang dicari 1 2 1+ 33 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o Spiral Archimedes 1.r = a(1 sin ) untuk a > 08.r = 3 cos 2 2.r = 3 + 2 sin 9.r = 3 + 3 cos 3.r = 4 cos 210.r = 2 + 2 sin 4.r cos = 411.r = 4 4 cos 5.r = 2 sin 12.r2 = 4 cos 2 6.r = 2 sin 3 13.r2 = 9 sin 2 7.r = 114.r = 3 2 sin 2.6PERPOTONGAN GRAFIK FUNGSI Jika terdapat dua fungsi f = f() dan r = g() yang saling berpotongan, untuk mendapatkan titik perpotongannya dapat dilakukan dengan membuat persamaan: f() = g(), lalu tentukan harga dan r.Untuk mendapatkan harga , perlu diperhatikan rumus-rumus persamaan geometris berikut,dimana k =bilangan bulat 1.Jikasin xo = sin pomakax1 = po + k.360odanx2 = (180o po) + k.360o 2.Jikacos xo = cos pomakax = po + k.360o 3.Jikatan xo = tan pomakax = po + k.180o 4.Jikacot xo = cot pomakax = po + k.180o Contoh soal: 1.Jikasin 2x =221, tentukan harga x untuk0o x 360o

Jawab:Karenasin 2x = sin 45omaka a.2x = 45o + k.360oataux = 22,5o + k.180o sehingga untuk k = 0 didapat x = 22,5o, dan untuk k = 1 didapat x = 22,5o + 180o = 202,5o b.2x = (180o 45o) + k.360oatau 2x = 135 o + k.360oataux = 67,5o + k.180o sehingga untuk k = 0 didapat x = 67,5o dan untuk k = 1 didapatx = 67,5o + 180o = 247,5o Jadi himpunan harga x = { 22,5o, 67,5o, 202,5o, 247,5o} 2.Jika 21x cos = , tentukan xuntuk 0o x 360o Jawab:Karenacos x = cos 60o maka a.x = 60o + k.360osehingga untuk k = 0 didapat x = 60o b.x = 60o + k.360osehingga untuk k = 1 didapat x = 60o + 360o = 300o Jadi himpunan harga x = {60o, 300o} 3.Tentukan titik potong kurva r = 2 2 cos dan kurva r = 2 cos .Gambarkan kedua grafik tersebut. Jawab:2 2 cos = 2 cos atau 21cos = sehingga didapat = 60o dan = 300o Untuk = 60o didapat r = 1 dan untuk = 300o didapat r = 1 pula. Jadi titik potongnya terletak di(1, 60o)dan(1, 300o) r = 2 2 cos r = 2 cos Catatan : pada kurva r = 2 cos , nilai r untuk sudut 120o, 180o, dan 240otidak digunakankarena bertanda negatip Tugas : 1.Jikasin 2x = cos x, tentukan harga x untuk0o x 360o

2.Jika tan 2x = tan 30o, tentukan harga x untuk0o x 180o

3.Jikacos 3x = sin x, tentukan harga x untuk0o x 360o 4.Tentukan titik potong kurva r2 cos = 2dan kurva r2 = 4. 5.Tentukan titik potong kurva r = 2 sin 2 dan kurva r = 1. 6.Tentukan titik potong kurva r cos = 2 dan kurva r = 4 sin 7.Tentukan titik potong kurva r = a cos dan kurva r = a sin 2.7MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA FUNGSI rr 0o 00o 2 60o160o1 90o290o0 120o3120o 1 * 180o4180o 2 * 240o3240o 1 * 270o2270o0 300o 1300o 1 360o 0360o 2 Grafik kurvar = 2 2 cos Grafik kurvar = 2 cos 0o 60o 90o 120o 180o 240o 270o 300o (1, 60o) (1, 300o) Dalam fungsi y = f(x) pada sistem kartesian, gradien garis singgung di suatu titik P pada fungsi tersebut dinyatakan dengan hasil turunannya dxdy di P.Namun dalam sistem koordinat, tidak demikian, sebab turunan drd di P bukan menyatakan gradien garis singgung di titik P tersebut. Perhatikan gambar berikut. Titik P(r, ) dan R(r+r, +) terletak pada fungsi f = f() = sudut antara garis OP dan OR OR = r + r tan = gradien garis singgung di P Berdasarkan gambar didapat: = + Jaditan = tan ( + )atau + = tan tan 1tan tantanadalah rumus gradien garis singgung Berdasarkan gambar didapat persamaan: SRPStan = PS = r sin sedangkan SR = OR OS = r + r r cos = r (1 cos ) + r sehingga r ) cos 1 ( rsin rtan + = = r sin 2 rcos sin r 221 22121 + = + sinrtan rr21 Jika sangat kecil sehingga mendekati nol, maka PR akan mendekati garis singgung di P, demikian pula sudut akan mendekati besar sudut , sehingga tan = tan lim0 = + sinrtan rrlim21 0 = 1r0r + tan = ddrrOleh karena tan dapat dihitung, maka tan juga dapat ditentukan. Jika persamaan tersebut dimasukkan ke dalam rumus gradien garis singgung, didapat + = tan tan 1tan tantan= +cossin r1cossin rddrddr = + cossin r coscossin cos rddrddrddrddr tan = + + cos sin rsin cos rddrddr

Contoh soal : Tentukan gradien garis singgung fungsi kardiodar = 2 + 2 sin di titik (3, /6) Jawab: Fungsi kardiodar = 2 + 2 sin , maka turunannya ddr = 2 cos Di titik (3, /6) menjadi ddr= 2 cos (/6) =3Jaditan = ddrr =333= dan tan = tan (/6) =331 Dengan demikian gradien garis singgung + = tan tan 1tan tantan= 3 . 3 13 33131+ = 1 1334 = 0334 = atau = 90o atau dengan persamaan kedua (tanpa menghitung tan ) P(r, ) S r r + r r = f() R(r+r, +) O tan = + + cos sin rsin cos rddrddr = + + cos cos 2 sin rsin cos 2 cos runtuk (3, /6), didapat tan = 6 / cos 6 / cos 2 6 / sin 36 / sin 6 / cos 2 6 / cos 3 + + = 3 . 3 . 2 . 3. 3 . 2 3 . 3212121212121+ + = 232321233 3+ + tan = =03 2 atau = 90o(hasilnya sama) Tugas : tentukan gradien garis singgung 1.r = 1 cos di = /2 2.r = cos 3 di r = 0 2.8MENENTUKAN LUAS DALAM KOORDINAT KUTUB Jika terdapat fungsi r = f() dan r = g() dipotong dengan dua garis sudut = dan = , maka akan didapat luasan R seperti gambar di samping. Adapun luas R dapat dihitung menggunakan rumus integrasi berikut: Luas R= { } d ) ( g ) ( f2 221 Contoh soal : 1.Hitung luas daerah yang dibatasi grafikr = 3 + 2 sin Jawab:Grafik fungsi r = 3 + 2 sin adalah sebagai berikut Karena grafik tersebut simetris, maka cukup dihitung luas dengan batas = 90o dan = 270o, lalu setelah hasilnya dikalikan 2 didapat luas grafik total. Luas 21 R= { } d ) ( g ) ( f2 221 = +oo27090221d ) sin 2 3 (= + +2321d ) sin 4 sin 12 9 (221= + +2321d ) 2 cos 2 2 sin 12 9 (21 = 2 / 32 /21) 2 sin 2 cos 12 9 ( + =)} 0 0 ( ) 0260 {(222922721 + + =21) (211233 = 21222 =211 Luas R=2 x211 = 11 satuan luas 2.Hitung luas daerah yang terletak di dalam r = 3 sin dan di luar r = 2 sin rr 0o 3210o 2 30o4240o1,27 60o 4,73270o1 90o5300o 1,27 120o 4,73330o 2 150o4360o3 180o3 P r = g() r = f() O K L Q Luasan R = = 90o 0o 30o 150o 180o 210o 270o 330o Daerah yang akan dihitung luasnya 60o 120o 240o 300o r = 3 sin Daerah yang dicari luasnya 30o 60o 90o 120o 150o Jawab : r = 3 sin r = 2 sin

.

Catatan : untuk fungsi r = 3 sin , nilai r untuk sudut 210o s.d. 330o tidak digambar karena bertanda negatip Luas R= { } d ) ( g ) ( f2 221= 2. { } oo90302 221d ) sin 2 ( ) sin 3 ( = { } + 2161d sin sin 4 4 sin 92 2={ } + 2161d 4 sin 4 sin 82 = { } + 2161d 1 sin sin 2 42 ={ } + 2161d 1 sin 2 cos 1 4 = 4 (21 sin 2 cos 2 /6 /)=4 {(0 0) ( 341 321)=3 3satuan luas Tugas: Hitung luas daerah yang dibatasi kurva berikut, dan gambarkan grafiknya 1.r = 2 + 2 cos . 6.r = 2 + cos . 2.r = 2 sin . 7.didalam r = 1 + cos dan diluar r = 1 3.r = 2 + sin . 8.r = sin 2 di kuadran pertama 4.r2 = a2 cos 2. 9.irisan antara r = 3 cos dan r = 1 + cos 5.r = a cos 3. 10.di luar r = 2 + 2 cos dan di dalam r = 3 2.9Sudut Perpotongan antara Dua Garis Singgung Kurva Dua garis singgung kurva berpotongan di titik P (r, ) membentuk sudut . Besar sudut tsb dapat dihitung berdasarkan persamaan2 12 1tan tan 1tan tantan + = dimana 1 dan2 adalah sudut-sudut antara radius vektor OP dan garis singgung di titik P pada kurva bersangkutan. 2.10 Turunan Panjang Busur Turunan panjang busur diberikan oleh persamaan 2 2dds)ddr( r+ = dengan pengertiannya, bahwa jika bertambah maka s juga akan bertambah. Diperoleh: + = d )ddr( r ds2 2 rr 0o 00o 2 30o1,530o1,5 60o 2,660o1,13 90o390o 1 120o 2,6120o 1,13 150o1,5150o1,5 180o0180o2 210o -1,5210o 2,5 240o -2,6240o2,87 270o -3270o3 300o-2,6300o2,87 330o-1,5330o2,5 360o0360o2 Kurva K1 Kurva K2 P O X BAB III KALKULUS FUNGSI DENGAN BEBERAPA VARIABEL 3.1FUNGSI DUA VARIABEL Fungsi dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan : F(x, y, z) = 0disebut persamaan implisit, dan z = f(x, y) disebut persamaan eksplisit Definisi: Suatu variabel z dalam persamaan z = f(x, y) yang tergantung dari dua variabel x dan y dikatakan merupakan fungsi dua variabel jika untuk setiap pasangan (x, y) ada tepat satu nilai z sehingga memenuhi persamaan tersebut.z disebut variabel tidak bebas, sedangkan x dan y disebut variabelbebas. Contoh Selidiki apakah persamaan berikut merupakan fungsi dua variabel. a.x +z y3121+ 1 = 0 b.x2 + y2 + z2 4 = 0 Jawab a.Persamaan x +z y3121+ 1 = 0 dapat diubah menjadiz = 3 (1 x 21 y) Untuk setiap pasangan (x, y) hanya menghasilkan satu nilai z yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi, persamaan tersebut merupakan fungsi dua variabel. b.Persamaan x2 + y2 + z2 4 = 0 bila dieksplisitkan berubah menjadi z = 2 2y x 4 maka untuk setiap pasangan (x, y) terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Jadi, persamaan itu bukanlah fungsi dua variabel.Tetapi, persamaan z = 2 2y x 4 adalah fungsi dua variabel sebab setiap pasangan (x, y) hanya menghasilkan satu nilai z. 3.2ARTI GEOMETRI FUNGSI DUA VARIABEL DALAM RUANG 3 DIMENSI Persamaan z = f(x, y) atau F(x, y, z) = 0 bila dilukiskan pada ruang 3 dimensi dengan sistem koordinat XYZ, umumnya berbentuk permukaan. Untuk melukiskan suatu permukaan, perlu diperhatikan 4 hal, yaitu: 1.Daerah definisi dan rentang fungsi f tersebut. 2.Sifat simetri fungsi f tersebut. 3.Kurva perpotongan dengan bidang koordinat (XOY, XOZ, dan YOZ) dengan memasukkannilai z = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOY nilai y = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOZ nilai x = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang YOZ 4.Perpotongan dengan bidang lainnya, misalnya dengan bidang sejajar bidang XOY pada jarak z0 didapat dengan memasukkan z = z0, bidang sejajar bidang XOZ pada jarak y0 didapat dengan memasukkan y = y0, atau bidang sejajar bidang YOZ pada jarak x0

didapat dengan memasukkan x = x0. Kurva perpotongan biasanya disebut level kurva dan proyeksinya pada bidang koordinatdisebut garis kontur. Contoh soal:Gambarkan permukaan, dimanaa, b, dan c positip, dan a = b a.4 x2 + y2=ze.z = y2 b. x2 + y2 + z2=r2f. 1axbycz222222= c. 1czbyax222222= + + g.222222czbyax= +d. 1czbyax222222= + Tujuan Instruksional Khusus:Mahasiswamemahamipengertiantentangfungsidenganbeberapavariabel,mampumenentukan turunannya,danmampumenghitungdiferensialtotal,sertamampumenyelesaikanpersoalanberkaitan dengan materi tersebut Jawab: a.4 x2 + y2=zatauz = 4 x2 + y2Dalam bentuk z = f(x, y), maka daerah definisi Df adalah bidang XOY.Berdasarkan persamaan tersebut, nilai z akan selalu positip sebab variabel x dan y dalam bentuk kuadrat. Dengan demikian rentang fungsi Rf adalah z 0. Level kurva didapat dari persamaan 4 x2 + y2=c dimana c bilangan riel > 0, persamaan ini adalah persamaan elips pada z = c. Untuk y = 0, didapat z = 4 x2 yaitu persamaan parabola pada bidang XOZ. Untuk x = 0, didapat z = y2 yaitu persamaan parabola pada bidang YOZ. Bentuk lukisannya adalah sebagai berikut: b.Persamaanx2 + y2 + z2=r2bukanlah fungsi dua variabel, sebab setiap pasangan (x, y) terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Namun, persamaan ini jika dilukiskan merupakan suatu bola dengan pusat di (0, 0, 0) dan jari-jari r. Untuk x = 0, persamaan tersebut memotong bidang YOZ menjadi y2 + z2=r2 berupa persamaan lingkaran, untuky = 0 memotong bidang XOZ menjadi x2 + z2=r2 berupa persamaan lingkaran, dan untuk z = 0memotong bidang XOY menjadi x2 + y2=r2 berupa persamaan lingkaran.Sedangkan (x a)2 + (y b)2 + (z c)2=r2 menyatakan persamaan bola dengan pusat di (a, b, c) dan jari-jari r. c.Persamaan1czbyax222222= + +bukan fungsi dua variabel. Perpotongannya dengan bidang koordinatXOY, dengan z = 0 adalah1byax2222= +a = b, membentuk persamaan lingkaran XOZ, dengan y = 0 adalah1czax2222= +YOZ, dengan x = 0 adalah1czby2222= +keduanyamembentukpersamaanelips.Dengandemikianpersamaantersebutdilukiskanberbentuk elipsoida (elips putaran) d.Perpotongan persamaan 1czbyax222222= +dengan bidang: XOY, dengan z = 0 adalah1byax2222= +untuk a = b, membentuk persamaan lingkaran XOZ, dengan y = 0 adalah1czax2222= YOZ, dengan x = 0 adalah1czby2222= keduanya membentuk persamaan hiperbola. Dengan demikian persamaan tersebutdilukiskan berbentuk hiperboloida berdaun satu. e.Persamaan z = y2 tidak memiliki variabel x, artinya nilai x dapat diambil sembarang. Perpotongan dengan bidang YOZ dengan x = 0 tetap adalah z = y2 yaitu berupa parabola. Permukaannya berbentuk silinder parabolik Y X Z Pada z = c, kurva berbentuk elips Pada y = 0, z = 4 x2,danx = 0, z = y2, kurvaberbentuk parabola Permukaan ini disebut paraboloida eliptik Z Y X(0, 0, 0) permukaan bola berpusat di (0, 0, 0) dengan jari-jari r Z Y X (0, 0, 0) permukaan elipsoida berpusat di (0, 0, 0) permukaan hiperboloida berdaun satu Z Y X permukaan silinder parabolik Z Y X f.Persamaan1axbycz222222= dengan a = b menghasilkan gambar sebagaimanatercantum di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya. g.Persamaan 222222czbyax= + menghasilkangambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya. 3.3TURUNAN PARSIAL FUNGSI DUA VARIABEL Turunan parsial dari fungsi z = f(x, y) adalah: Txz||

\| =turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(xt, yt, zt) dimana y dianggap konstan = h) y , x ( f ) y , h x ( flimo o o o0 h + Tyz|||

\| =turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(xt, yt, zt) dimana x dianggap konstan = h) y , x ( f ) h y , x ( flimo o o o0 h + Contoh: Tentukan turunan parsial dari: a.z = x2 + y2b. z = xy Jawab: a. xz = h) y x ( } y ) h x {(lim2 2 2 20 h+ + + = hy x y h xh 2 xlim2 2 2 2 20 h + + + = hh xh 2lim20 h+ =h x 2 lim0 h+ =2x . Dengan cara yang sama diperolehyz = 2y b. xz = hxy y ) h x (lim0 h + = hxy hy xylim0 h + =y Dengan cara yang sama diperolehyz = x Tugas: Tentukan turunan parsial untuk fungsi berikut: 1.z = x2 sin y4.z = x2 + 3xy + y27.z = x cos y y cos x 2.z = ln 2 2y x + 5.z = arctan xy8.z = xy 3.z = 2yx6.z = 2 2xyyx 9.Diketahui z = 2 2y x + ,buktikanzyzyxzx =+ 10.Diketahui z = ln2 2y x + ,buktikan1yzyxzx = Y permukaan hiperboloida berdaun dua Z X permukaaan kerucut eliptik Y Z X 3.4TURUNAN PARSIAL TINGKAT DUA ATAU LEBIH Turunan parsial tingkat dua fungsiz = f(x, y) terbagi atas 4 macam, yaitu: 1. 22xf =||

\|xfx3.y xf2 = |||

\|yfx 2. 22yf = |||

\|yfy4.x yf2 =||

\|xfycatatan : y xf2 = x yf2 Turunan parsial tingkat tiga fungsiz = f(x, y) terbagi atas 8 macam, yaitu: 1. 33xf = )`||

\|xfx x4.y xf23 = )`|||

\|yfx x7.y xf23 = )`|||

\|yfy x 2. 33yf = )`|||

\|yfy y5.x yf23 = )`||

\|xfy y8.x yf23 = )`||

\|xfx y 3. x y xf3 = )`||

\|xfy x6.y x yf3 = )`|||

\|yfx y Contoh Tentukan semua turunan parsial tingkat dua untuk fungsi: a. z = x sin2yb. z = sin (xy) Jawab: a.z = x sin2yTurunan parsial pertama xz = sin2ydanyz = 2 x sin y cos y = x sin 2y Turunan parsial kedua 22xz = 0,22yz = 2x cos 2y,y xz2 = 2 sin y cos y = sin 2y, danx yz2 =sin 2y b.z = sin (xy)Turunan parsial pertama xz = y cos (xy)danyz = x cos (xy) Turunan parsial kedua 22xz = y2 sin (xy), 22yz = x2 sin (xy), y xz2 = cos (xy) xy sin (xy),danx yz2 =cos (xy) xy sin (xy) Tugas: Tentukan turunan parsial tingkat dua dan tiga untuk semua soal1 8 di muka. 3.5BIDANG SINGGUNG DAN GARIS NORMAL Persamaan bidang yang menyinggung fungsi z = f(x, y) di titik T (x0, y0, z0) adalah: ) y y (yz) x x (xzz zoToTo|||

\|+ ||

\|= Sedangkan, persamaan garis normalnya adalah: X= N t ) z , y , x (o o o+dimana: X =vektor garis normal t =parameter N =(1, 0, Txz||

\|)X(0, 1, Tyz|||

\| X =perkalian cross (silang) vektor Contoh: Diketahui bidang permukaanz = x3 + x2y + y3 + y2x + 1.Tentukan : a.Persamaan bidang singgung melalui titik T (1, 1, 5) pada permukaan tersebut. b.Persamaan garis normal garis normal bidang singgunbidang permukaan z = f(x, y)T (x0, y0, z0) Jawab: a. xz = 3x2 + 2xy + y2maka Txz||

\| = 3 + 2 + 1 = 6 yz = x2 + 3y2 + 2xymaka Tyz|||

\| = 1 + 3 + 2 = 6 maka persamaan bidang singgung: ) y y (yz) x x (xzz zoToTo|||

\|+ ||

\|= z 5=6 (x 1) + 6 (y 1)maka z=6x + 6y 7b.Persamaan garis normal : X= N t ) z , y , x (o o o+N = (1, 0, Txz||

\|)X(0, 1, Tyz|||

\| = (1, 0, 6)X(0, 1, 6) =6 1 06 0 1j j i = 6i 6j + k= ( 6, 6,1) JadiX= (1, 1, 5)+t ( 6, 6,1)dengan t = parameter Tugas: 1.Diketahui persamaan z = xy x + dan titik T (1, 1, 2) terletak pada permukaan tersebut.Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T. 2.Idem, persamaan z = x3 2xy + y2dan titik T (1, 1, 4) 3.Idem, persamaan z =2 2y x + dan titik T (4, 3, 5) 4.Idem, persamaan z = 2 2xyyx dan titik T (1, 1, 2) 5.Idem, persamaan z = 2yxdan titik T (2, 1, 2) 3.6MENENTUKAN JENIS TITIK EKSTRIM DENGANTURUNAN PARSIAL TINGKAT DUA Jika titik T (x0, y0, z0) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku Txz||

\| =0dan Tyz|||

\|=0 serta diskriminan fungsi f = , dimana =22xf 22yf 22y xf|||

\| maka berlaku ketentuan sebagai berikut: 1.Jika di T berlaku > 0, dan 22xf < 0atau 22yf < 0, maka T adalah titik maksimum 2.Jika di T berlaku > 0, dan 22xf > 0atau 22yf > 0, maka T adalah titik minimum 3.Jika di T berlaku < 0, maka T bukan titik ekstrim 4.Jika di T berlaku = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x2 + y2

Jawab:Hitung turunan parsialnya, yaitu: xz = 2x x yz2 = 0 22xz = 2 yz = 2y y xz2 = 0 22yz = 2 =22xf 22yf 22y xf|||

\| =2 . 20= 4 > 0 Titik stasioner didapat darixz = 0danyz = 0, diperoleh2x = 0ataux = 0 dan 2y = 0atau y = 0, sedangkan z = x2 + y2 = 0 + 0 = 0.Jadi titik stasioner (0, 0, 0). Tentukan jenis titik stasioner ini, maksimum atau minimum.Di titik (0, 0, 0) diperoleh = 4 > 0, 22xz = 2 > 0 maka sesuai ketentuan di atas, disimpulkan titik tersebut minimum. Tugas : 1.Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya (jika ada) untuk fungsi-fungsi berikut: a.z = x3 + x2y 2y3 + 3y2d.z = 2x2 y2 + 20x 11y b.z = x3 + y3 + x2 5y2 x + 3ye.z = 4xy2 2x2y x c.z = x2 + y2 + 3xy 2.Akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm3. Berapa ukuran kotak tersebut agar luas permukaannya minimum? 3.7TURUNAN PARSIAL FUNGSI PARAMETER Jika diketahui suatu fungsi z = f (x, y) dimana x = f(t) dan y = f(t) maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah: tz = xz . tx +yz .ty Tugas : 1.Tentukan tz jikaa.z = x2 + 3xy + 5y2, x = sin t,dany = cos t b.z = ln (x2 + y2),x = e-t,dan y = et 2.Jika pada suatu kerucut berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cm/detik, jari-jari bertambah dengan kecepatan 0,3 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume kerucut pada saat tingginya 15 cm dan jari-jari 10 cm. Petunjuk : Volume kerucutv =y x231 , dimana x = jari-jari lingkaran alas kerucutdan y = tinggi kerucut. Kecepatan berubahnya volume = tV = xV . tx +yV .ty 3.8DIFERENSIAL TOTAL Jika z = f (x, y) maka diferensial total dari fungsi tersebut adalahdz =dxxz+dyyz Artinya, jika pada x terjadi perubahan sebesar dx dan pada y terjadi perubahan sebesar dy maka pada z akan terjadi perubahan sebesar dz sebesar persamaan di atas. Contoh: 1.Di lapangan akan dibuat empat persegi panjang dengan panjang 421 meter dan lebar 314 meter, namun setelah dipatok dan diukur kembali, diperoleh data baru bahwa panjangnya berubah menjadi 421, 02 meter dan lebarnya menjadi 313,97 meter. Berapaperubahan (kesalahan) yang terjadi pada luasnya? 2.Tentukan nilai taksiran 1 , 1) 02 , 4 (sampai 3 desimal. Jawab: 1.Luas = panjang x lebar.Misal Luas = L, panjang = x, dan lebar = y, maka L = xy Turunan parsialxL= y = 314 meterdanyL = x = 421 meter Perubahanpanjang dx = 421,02 421 = 0,02 meter Perubahanlebar dy = 313,97 314 = 0,03 meter X Y Z volume 108 cm3 dL =dxxL+dyyL= 314 . 0,02+ 421 . ( 0,03)= 6,35 meter persegi 2.Dari soal ambillah, x = 4, dx = 0,02, y = 1, dan dy = 0,1maka dapat dibuat fungsiz = xy

turunan parsialnyaxz = 1 yx y= 1 . 40 = 1 danyz = xy ln x = 41 ln 4 = 4 ln 4sehingga dz = dxxz+dyyz= 1 yx y dx + xy ln x dy = 1. 0,02 + 4 ln 4. 0,1 0,575 Jadi1 , 1) 02 , 4 (= 41 + dz = 4 + 0,575 = 4,575 Check :4,021,1=4,620071092 Tugas: 1.Tentukan diferensial total dari a.z = x3 y + 2xy c.z = 2 2y xe b.z = arctan xyd.z = 21) y x ( x2 2+2.Akan dibuat segitiga siku-siku seperti gambar dengan x = 6 meter dan y = 8 meter.Pada pengukuran x terdapat kesalahan 0,25 cm dan pada pengukuran y terdapat kesalahan 0,125 cm. Berapa kesalahan pada z? 3.Dalam suatu pengukuran untuk menentukan luas segitiga ABC, diperoleh data sbb: x = 152 m dengan kesalahan dx = 2 cm y = 210 m dengan kesalahan dy = 2 cm = 60o dengan kesalahan d = 0,5o. Jika luasL = 21 x y sin , tentukan besar kesalahan luas dLdengan menggunakan perhitungan diferensial totaldL =dxxL+dyyL+ dL Catatan: besaran sudut harus diubah dalam bentuk radian x y z y x AB C BAB IV INTEGRAL LIPAT 3.9INTEGRAL LIPAT DUA Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2

seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n bagian garissejajarsumbuXdannbagiangarissejajarsumbuYsehingga terdapatbanyaksegiempatkecildenganpanjangsisixidanyi dimanaxi=xi xi-1 dan yj=yj yj-1 Jikaterdapatfungsiz=f(x,y)yangkontinudisemuatitikdidalam daerahtertutupSmakauntukpersubbagiansegiempatdiperoleh perkalianf(xi, yj) xi yj di titik (xi, yj) pada segiempat tersebut. mn Untuk seluruh daerah S diperoleh hasil penjumlahan sebagai berikut: f(xi, yj) xi yj j=1 i=1 mn Untuk n dan m diperoleh lim f(xi, yj) xi yj= f(x,y) dx dy n j=1 i=1S m disebut "integral lipat dua dari fungsi f(x, y) pada daerah tertutup S" Cara menghitung integral lipat dua a.Untuk f(x,y) dx dy = [ f(x,y) dx] dyartinya diintegralkan dulu terhadap x lalu terhadap y SSy Sx b.Untuk f(x,y) dy dx = [ f(x,y) dy] dxartinya diintegralkan dulu terhadap y lalu terhadap x SSx Sy Cara menentukan batas integrala.Untuk kurva seperti gambar berikutBatas integral untuk sumbu Xsebelah kiri x1 = f1 (y)dan sebelah kanan x2 = f2 (y) Batas integral untuk sumbu Ysebelah bawah y1 = cdan sebelah atas y2 = d df2(y) Bentuk integralnya f(x,y) dx dy= f(x,y) dx dy Scf1(y) b.Untuk kurva seperti gambar berikut Batas integral untuk sumbu Xsebelah kiri x1 = adan sebelah kanan x2 = bBatas integral untuk sumbu Ysebelah atas y2 = f2 (x)dan sebelah bawah y1 = f1 (x) bf2(x) Bentuk integralnya f(x,y) dy dx= f(x,y) dy dx Saf1(x) Contoh 2y22y22y22 1.Hitung (2x + 3y) dx dy Jawab: (2x + 3y) dx dy = [ x2 + 3yx ] dy = (y4 + 3y3 y2 3y2) dy 1 y1y1y1 = 21334 443 551y y y((

+=5487344351332532) ( ) 12 ( = + +Tujuan Instruksional Khusus:Mahasiswamemahamipengertiantentangintegrallipat,mampu menyelesaikanintegrallipatduadantiga, mampumenghitungluasdaerahtertutupdanvolumebendadenganmetodeintegrallipat,sertamampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut Y c d S X segi empat K1 K2

Y c d S X x2 = f2 (y) x1 = f1 (y) Y ab S X y2 = f2 (x) y1 = f1 (x) 2.Hitung x dx dypada daerah yang dibatasi parabola x = 6y y2 dan x = y2 2yJawab: Titik potong kedua parabola adalah 6y y2=y2 2y 2y2 8y = 0 2y(y 4)=0 untuk y = 0 maka x = 0danuntuk y = 4 maka x = 8 Jadi titik potongnya di (0, 0)dan(8, 4) Batas integral untuk X, seb. kiri x = y2 2ydan seb. kanan x = 6y y2 Batas integral untuk Y, seb. bawah y = 0dan seb. atas y = 4 Jadi x dx dy= 4022y y 6y 2 yx dx dy= 40y y 6y 2 y22122] x dy= 4021y 6 y2)2 (y2 2y)2 dy = 40221y 32 8y3) dy = 21[332y3 2y4]40 =3256

3.Hitung (x + y) dy dx pada daerah yang dibatasi parabola y = 6x x2 dan garis lurus y = x Jawab: Titik potong parabola dan garis tersebut: 6x x2 = xx2 5x = 0x(x 5) = 0 x = 0 dan x = 5 Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (5, 5) . Lihat gambar. Batas integral untuk X :kirix = 0dankananx = 5 Batas integral untuk Y :atasy = 6x x2danbawah y = x +Sdx dy ) y x (=+2x x 6x50dx dy ) y x ( =+ 50x x 6x221dx ] y xy [2 =+ + + 50221 2 4 3 221 3 2dx )} x x ( ) x x 12 x 36 ( x x 6 {== + 504625 2245 3 421dx ) x x 7 x (Tugas 1.Hitung Sxdy dx yepada daerah yang dibatasi sumbu x, sumbu y,x = 1 dan garis y = x 2.Hitung S2dx dy xypada daerah yang dibatasi parabola y = x2, garis lurus y = x, x = 1 dan x = 2 3.Hitung a.+x 2x231dx dy) y x (1e. y sin0 0dy dxb. 32y0yxdy dx cos f.+2x 102 210dx dy ) y x (c. 2x 102 210dx dy y x 1 g. 1y210dy dx x sind. cos 10 0d dr r h. 22x0xy1dx dy sin x = 6y y2 x = y2 2y -13589 1 2 3 4 5 y = 6x x2 0356 9 5 y = x 1 3.10 LUAS DAERAH TERTUTUP Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2

seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n bagian garissejajarsumbuXdannbagiangarissejajarsumbuYsehingga terdapatbanyaksegiempatkecildenganpanjangsisixidanyi dimanaxi=xi xi-1 dan yj=yj yj-1 Luas segiempat kecil tersebut = xi yj Luas pendekatan seluruh daerah S didapat dari hasil penjumlahan: = =n1 ij im1 jy xUntuk n dan m diperoleh = = n1 ij im1 jny x limm=Sdy dxTernyata luas suatu daerah tertutup adalah harga integral lipat dua dimana f(x, y) = 1 Jadi luas daerah tertutup S adalah L = Sdy dxContoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 2 x2 dan garis y = x Jawab: Titik potong parabola dan garis tersebut: 2 x2 = xx2 + x 2 = 0(x + 2)(x 1) = 0 x = 1 dan x = 2 Jadi titik potongnya di (1, 1) dan ( 2, 2) . Lihat gambar. Batas integral untuk X :kirix = 2dankananx = 1 Batas integral untuk Y :atasy = 2 x2danbawah y = x Sdx dy= 2x 2x12dx dy = 12x 2xdx ] y [2 = 122dx ) x x 2 (=627 satuan luas Tugas Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva di bawah ini menggunakan integral lipat dua 1.y = 4x x2dan y = x3.y2 = 4xdanx = 12 + 2y y25.y2 = 9 + xdany2 = 9 3x 2.y2 = 4xdan2x y = 44.y2 = 2xdanx2 + y2 = 4x 3.11 INTEGRAL LIPAT DUA DALAM KOORDINAT KUTUB Misal S daerah tertutup pada bidang datar yang dibatasi kurva K. Daerah subbagian Sk dibatasi lingkaran dengan jari-jari ri dan ri + ri dan dua garis j dan j + j. Luas Sk=luas DOC luas AOB=j2i21j2i i21r ) r r ( +=j2i21j i ir r r + Jika terdapat fungsi F(r, ) dalam S maka terbentuk: F(r, ) [ ri ri j + 21ri2 j ] Untuk n dan m diperolehF(ri, j) [ ri ri j + 21ri2 j ]= F(r, ) r dr d Bentuk F(r, ) r dr d disebut "integral lipat dua fungsi F(r, ) pada daerah S" Jika F(r, ) = 1maka luas daerah tertutup S adalah L= r dr d

Y c d S X segi empat K1 K2

y = 2 x2 (1,1) (-2, -2) y = x (0, 0) (0,2) (-1,1) kurva K Sk ri j O ri + ri ri j + j jA B C D m n lim n m S S S Contoh : 1. cos0 0d dr sin r = 0cos0221d ] sin r [ = 0221d sin cos =310361cos =((

2. cos 42320d dr r= 20cos 42441d ] r [ = 204d ) 4 cos 64 ( karena ) 1 2 (cos cos21 2+ = dan 241 4) 1 2 (cos cos + = =) 1 2 cos 2 2 (cos241+ + =) 1 2 cos 2 ) 1 4 (cos (2141+ + + maka= + + 20d ) 2 cos 32 20 4 cos 8 (= 10 3.Hitung luas daerah yang berada di luar lingkaranr = 2dan di dalam kardiodar=2(1 + cos ) Jawab: Titik potong kurva:2(1 + cos ) = 2cos = 0 = 2Luasan yang dicari, PQSRP,simetris terhadap sumbu X Jadi luas daerah PQSRP: L = + ) cos 1 ( 2220d dr r 2= + 20) cos 1 ( 222d ] r [ L = + 202d ) cos cos 2 ( 4=[ ] + = + + 8 2 sin sin 2 4204121satuan luas Tugas: Hitung luas dengan integral lipat dua untuk soal berikut: 1.Luas daerah di dalam lingkaranx = 3 cos dandi luar lingkaranr = cos 2.Luas daerah di dalam kardiodar = 1 + cos dandi luar parabolar (1 + cos ) = 1 3.Luas daerah yang dibatasi oleh lemniskatr2 = a2 cos 2 3.12 INTEGRAL LIPAT DUA PADA RUANG 3D a.Volume Benda Andaikanfungsif(x,y)kontinudanberhargatunggaluntukxdanydalamS maka S = f(x,y) menyatakan suatuluasan.Luasanini dipotong oleh silinder sejajar sumbu-Z dengan alas S dan atas S'. Ditarik garis-garis sejajar sumbu-Ydengan jarak x dan juga ditarik garis-garis sejajar sumbu-X dengan jarak y.Melaluigaris-garistersebutdibuatbidang-bidangdataryangmasing-masingsejajarbidangYOZdanXOZ.Terjadilahprisma-prismategakkecil, misalnya ABCD.PQRT yang mempunyai volume = f(x,y) x y Jumlah seluruh volume prisma kecil tersebut = f(x,y) x y yang merupakan pendekatan volume silinder. Jika diambil x 0 dan y 0 makadidapat: 0 y0 xlim f(x,y) x y = f(x,y) dx dy Jadi volume benda berbentuk silinder :V = Sf(x,y) dx dy Contoh: Hitung volume benda yang dibatasi silinder x2 + y2 = 4, bidang y + z = 4 dan bidang z = 0 Jawab: Volume yang akan dihitung terletak di bawah permukaan z = 4 y dan di atas bidang XOY sedangkan di kiri kanan dibatasi silinder x2 + y2 = 4 V= 22y 4y 422dy dx z= 22y 4y 422dy dx ) y 4 ( = 2y 4022dy dx ) y 4 ( 2V =dy x ) y 4 ( 22y 4022 =dy y 4 ) y 4 ( 2222 ORQ X Y P S Y S A B S' C D P Q RT X Z Y X Z Misal:y = 2 sin A, maka= 2y 4 =A sin 4 42 = 2 cos A dan dy = 2 cos A dA Batas y = 2 menjadi A = 2 dany = 2 menjadi A = 2. Sehingga volume menjadi V =dA A cos 2 A cos 2 ) A sin 2 4 ( 222 = dA A cos ) A sin 2 4 ( 8222 V =dA A cos 32222dA A cos A sin 16222 = dA ) 1 A 2 (cos 1622++A cos d A cos 16222 V = 22A A 2 sin 1621++ 223cos316 = 16(0+2 0 +2) + 316(0 0) = 16 Tugas 1.Hitung volume benda di depan bidang YOZ dan dibatasi oleh y2 + z2 = 4 dan y2 + z2 + 2x = 16 2.Hitung volume benda di bawah 4z = 16 4x2 y2 di atas z = 0 dan di dalam silinder x2 + y2 = 2x 3.Hitung volume benda di kuadran satu terletak di dalam y2 + z2 = 9 dan di luar y2 = 3x 3.13 INTEGRAL LIPAT TIGA Integral lipat 3 RdV ) z , y , x ( f dari suatu fungsi 3 variabel bebas terhadap daerah tertutup R,bervolume V, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan pengembangan dari integral tunggal dan lipat dua. Jika f(x, y, z) = 1, maka integral menjadi RdV adalah volume daerah R Dalam sistem koordinat kartesian, integral lipat tiga menjadi: RdV ) z , y , x ( f=dx dy dz ) z , y , x ( f) y , x ( z) y , x ( z) x ( y) x ( yba2121 Contoh : 1.Hitunglah dy dz dx xz ) x 16 (21222z 16040 0 Jawab:dy dz dx xz ) x 16 (21222z 16040 0 =dy zdz ) x 16 ( d ) x 16 (2 2z 16040 0212122 =dy zdz ) x 16 (2232z 16023240 021 =dy zdz } ) 4 ( ) z {(232322 240 031

=dy zdz ) 4 z (3 340 0312 =dy dz ) z 4 z (3 440 0312 =dy ) z z (40 0224 551312 3 =dy ) (2 5 50245431 =dy ) (2 50215134 =dy2 50104=[ ]2 50104y = 2 1045= 5256 Tugas 1.Hitunglah RdV ) x ( fdengan f(x) = x2 + y2 + z2 dan R adalah daerahyang dibatasi oleh x + y + z = 10, x = 0, y = 0, dan z = 02.Hitunglah volume dari R yang dibatasi oleh silinder z = 4 x2 danbidang-bidang x = 0, y = 0, y = 6, dan z = 0 3.Hitung integral lipat tiga dari f(x, y, z) = z terhadap daerah R yang terletak di kuadran pertamadan dibatasi oleh bidang-bidang x + y = 2 dan 2y + x = 6, dan silinder y2 + z2 = 4