2.1. Vektoriy Za veliine koje definiemo (odreujemo) samo brojnom vrijednou kaemo da su skalarne veliine ili krae skalari. Prema tome, svaki bioj se moe smatrati skalarom. Veliine koje se tako odreuju su npr. dobit odreenog preduzea u odreenom periodu, povrina ili zapremina poslovnog ili drugog prostora, i dr.y Za veliine koje odreujemo brojnom vrijednou, pravcem i smjerom kaemo da su vektorske veliine ili krae vektori. Vektore moemo predoiti u geometrijski i analitiki (numeriki). Za izuavanje ekonomije je znaajnije analitiko predstavljanje vektora, ali ih je za njihovo dobro razumjevanje potrebnogeometrijski objasniti.y U geometriji se vektor definie kao orijentisana (usmjerena)du, sa slijedeim elementima:1) Duina, intenzitet, modul ili apsolutnavrijednost, tj. rastojanjeizmeu krajnjei poetne take, odreene brojnom vrijednou:SLIKA; 2-12) Pravac vektora, tj. prava - nosa kojoj vektor pripada (vidi sl. 2-1).3) Smjer vektora, tj.orijentacija dui od poetne prema krajnjoj taki.y Razlikujemo: vektore vezane za taku, vektore vezane za pravu i slobodne vektore.Vektori vezani za taku imaju istu poetnu taku, a jednaki su ako su im moduli isti, nosai isu i smjerovi isti.Vektori vezani za pravu se ne mogu odvojiti od prave - nosaa, a jednaki su ako imaju iste module i iste smjerove.Slobodni vektori su jednaki ako imaju iste module i smjerove, a lee na istoj ili paralelnim pravama. Zbog mogunosti translatornog kretanja u analitikoj (koordinarnoj) geometriji se koriste slobodni vektori; pa e dalje biti rijei o slobodnim vektorima. Inae smjer i duina vektora koji se translira ostaju nepromjenjeni.Vektor kod koga se poklapaju poetna i krajnja taka i iji smjer nije odreen, naziva se nula vektor, u oznaci . Intenzitet nula-vektora se izraava brojem nula (0).Zbir konanog broja vektora je vektor iji se poetak nalazi u poetnoj taki prvog, a kraj u krajnjoj taki posljednjeg vektora, pod uslovom da su dati vektori datim redom nadovezani jedan na drugi tako da se poetna taka svakog vektora poklapa sa krajnjom takom prethodnog (sl. 2-2.).AA O !)))& )&1 2, ,...,na a a))&))& ))&a&Ova definicija sabiranja vektora senaziva pravilo poligona.Ako se pri sabiranju vektora krajnja takaposljednjeg vektora-sabirka poklopi sapoetnom takom prvog, onda je zbir datihvektora jednak nula-vektoru.Ako se radi o sabiranju dva vektora, onda je re o tzv. pravilu trougla (sl. 2-3). SLIKA; 2-2Za sabiranje dva vektora vai:SLIKA; 2-3Ako se radi o sabiranju tri vektora, onda je rije o tzv. pravilu ervorougla. (sl. 2-4).SLIKA; 2-41.)2.)3.)c a ba b cc b aa b a ba b b a ! ! ! e ! & & && & && & && & & && & & &y Za sabiranje tri vektora vai:y S obzirom na mogunost translacije, sabiranje dva vektora se moe definisati ; kao pravili paralelograma (sl. 2-5-A.), a sabiranje tri vektora kao pravilo paralelopipeda (sl. 2-5-B.).SLIKA; 2-5ASLIKA; 2-5BDva vektora koji imaju iste module, iste nosae i suprotnu orijentaciju nazivamo suprotnim vektorima (si. 2-6-A.). Zbir suprotnih vektora je nula-vektor, tj.(sl. 2-6-B)SLIKA; 2-6 1.)2.)a b c a b ca b c a b ce!& & & & & && & & & & & a a o !& & &y Vektori su kolinearni ako, dovedeni u zajednki poetak, lee na istoj pravoj. Ako je icdan od dva vektora nula-vektor, onda su oni kolinearni.y Vektori su komplanarni ako, dovedeni u zajedniki poetak, lee u istoj ravni.Ako je barem jedan od tri vektora nula-vektor, onda su oni komplanarni.y Proizvod ma kojeg skalarai ma kojeg vektora je vektorkoji ima:1) i isti pravac kao 2) modul 3) smjer vektora ako je >0, a suprotan smjer vektora a ako je