matematika ii · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 príklad 3. vypočítajte obsah...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA II
Katedra aplikovanej matematiky a informatiky
SjF TU Košice
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Prednáška
Aplikácie určitéhointegrálu
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Obsah prednášky
Geometrické aplikácie určitého integrálu.Fyzikálne aplikácie určitého integrálu.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Geometrické aplikácie určitého integrálu
Geometrické aplikácie určitého integrálu:
Obsah časti roviny.Objem rotačného telesa.Dĺžka rovinnej krivky.Obsah rotačnej plochy.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Elementárna oblasť
Nech sú funkcie f a g spojité na 〈a, b〉 a nech na (a, b) jeg(x) < f (x). Množinu bodov [x , y ] roviny, pre ktoré platí
a ≤ x ≤ b,
g(x) ≤ y ≤ f (x)
nazývame elementárnou oblasťou určenou funkciami f , ga intervalom 〈a, b〉.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Obsah časti roviny
VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉. Potom pre plošný obsah PM tejto oblasti platí
PM =
b∫a
[f (x)− g(x)] dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Objem rotačného telesa
VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉 a nech je g(x) ≥ 0 na 〈a, b〉. Potom pre objem VM telesa,ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okolo osi ox platí
VxM = π
b∫a
[f 2(x)− g2(x)
]dx ,
a pre objem VM telesa, ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okoloosi oy , ak a ≥ 0, platí
VyM = 2π
b∫a
x [f (x)− g(x)] dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Dĺžka rovinnej krivky
VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre dĺžku lK krivky K platí
lK =
b∫a
√1 + [f ′(x)]2 dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Plošný obsah rotačnej plochy
VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre obsah PK rotačnej plochy,ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi ox platí
PK = 2π
b∫a
|f (x)|√
1 + [f ′(x)]2 dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9 + x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9 + x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9 + x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu:
Ťažisko hmotnej oblasti.Hmotnosť hmotnej oblasti.Statický moment hmotnej oblasti.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Ťažisko hmotnej oblastiMajme hmotnú rovinnú oblasť M, ktorej tvar je určenýelementárnou oblasťou a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x), pričom funkcief a g sú spojité na intervale 〈a, b〉. Nech plošná hustota oblasti Mje h = h(x).Statický moment hmotnej oblasti M vzhľadom k osi ox , resp.osi oy je
Sox =12
b∫a
h(x)[f 2(x)− g2(x)
]dx ,
resp.
Soy =
b∫a
h(x)x [f (x)− g(x)] dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Pre hmotnosť m hmotnej oblasti M platí
m =
b∫a
h(x) [f (x)− g (x)] dx
a pre ťažisko T = [xT , yT ] tejto oblasti
xT =Soym, yT =
Soxm.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Pre hmotnosť m hmotnej oblasti M platí
m =
b∫a
h(x) [f (x)− g (x)] dx
a pre ťažisko T = [xT , yT ] tejto oblasti
xT =Soym, yT =
Soxm.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
Ďakujem za pozornosť
KAMaI Aplikácie určitého integrálu