matematika - alapterv - lovassymatematikából középfokú érettségire készülnek. emelt szint...
TRANSCRIPT
� Matematika
� Matematika 9-12. (10-13.)- � középszint (K) - PÁLMAT1-12 - � Kidolgozandó � B
�vített
Ez a tanterv az Országos Közoktatási Intézet tantervi adatbankjában az
OKI96PÁLMAT1-12 változat alatt szerepl� min� sített tanterv 9-12. osztályokra lebontott része. E min� sítéssel az Országos Közoktatási Intézet szakmai felel� sséget vállal azért, hogy ez a tanterv az általa megjelölt NAT követelményeknek megfelel. Ez a kiadvány az adatbankban tárolt tantervek összefésülésével készült a 3 órás és a 4 órás változatból az érettségi általános követelményeinek ismeretében. Átdolgozva a kerettantervi rendelet és az új iskolai ped. program alapján 2001. májusában illetve 2004.júniusában Alkalmazható a négyosztályos gimnázium 9-12. illetve az ötosztályos gimnázium (HHT-AJTP, informatika, német nemzetiségi és angol nyelvi) specializációinak 10-13. évfolyamain a középszint érettségire el készít csoportokban. (lásd Matematika Tantárgyi Program 2004 K jel tanterve)
Matematika 9-12. illetve 10-13.középszint 9(10).K
Részei Matematika 9(10) 3. oldal Matematika 10(11) 12. oldal Matematika 11(12) 21. oldal Matematika 12(13) 21. oldal
Óraszám Iskolai: 480 óra
Megjegyzés A tanterv készít
�i Lajos Józsefné f
�munkatárs OKSZI, Pálmay Lóránt vezet
�-szaktanácsadó FPI.
Átdolgozták 1998-ban veszprémi Lovassy László Gimnázium tanárai: Dr. Molnár Attiláné, Báder Anikó és Békefi Zsuzsa.
Kerettantervhez igazította 2001-ben és 2004-ben: Békefi Zsuzsa a veszprémi Lovassy László Gimnázium matematika munkaközösségének vezet
�je
A 9-12. (10-13.) évfolyamon heti 3,5+ 3 + 3 + 4 órára készült a tanterv.
A 9-12. (10-13.) évfolyam figyelembe veszi a kerettanterv valamennyi követelményét. F� témái a
kerettantervben megfogalmazott témák (Gondolkodási módszerek; Számtan-algebra; Függvények-sorozatok; Geometria; Valószín� ség-statisztika). Ezen témákat bontottuk altémákra.
A tanterv spirális felépítés� . Az éves összóraszámot egyetlen évfolyamon sem osztottuk szét teljesen az öt témakörnek. Mindenütt id
�t biztosítottunk az ismétlésre, a pedagógus által fontosnak tartott, a tanulócsoport
igényeihez igazodó foglalkozásra (gyakorlásra, az anyag elmélyítésére vagy b�vítésére), a munkaközösség által
jóváhagyott közös témazáró dolgozatok iratására, azok eredményeinek és hibáinak megbeszélésére.
A tanterv minden évfolyamon azzal indul, hogy meghatározza az évfolyamra vonatkozólag a tanítás célját, követelményeit, az el
�zményeket, a tartalmat, az értékelést, s a feltételeket. Az egyes témáknál (altémáknál)
ezekre történnek visszautalások, illetve els�sorban a cél, a követelmény és a tartalom esetében részletes
kifejtések. Egyaránt fontosnak tartjuk a számfogalom, m� veletfogalom fejlesztését és a logikus, rugalmas gondolkodásra nevelést.
A tantervben szerepet kap a tapasztalatokra épül� matematika oktatás, az irányított felfedeztetés, az induktív
módszer. Ugyanakkor fontos a tapasztalatok által megszerzett ismereteknek az életkornak megfelel�
pontossággal történ� megfogalmazása, tudása, s a matematikán belül, illetve más tantárgyakban való
alkalmazási készsége.
A 9.(10.) évfolyamtól az induktív módszerek, a tevékenykedtet� ismeretszerzés mellett folytatódik a deduktív
módszerek alkalmazása és az elvont bizonyításokra való felkészítés. Ez hosszú folyamat, s természetesen a tanulók képességei és érdekl
�dése is meghatározza az elérhet
� szintet, de az érettségiig megfelel
� szintre el kell
juttatni a tanulókat.
Fontosnak tartjuk a kerettantervben is leírt rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelést, a megfelel� szint�
problémamegoldást. Azt gondoljuk, hogy a kisebb de, megértett és begyakorolt ismeretanyag, a megfelel�en
fejlesztett gondolkodási képesség többet ér, mint a nagy, de kell�en meg nem értett tananyag.
A 11-12. (12-13.) évfolyam tananyagának összeállításakor figyelembe vettük a középszint� érettségi általános követelményeit. Kell
� id
�t biztosítottunk a rendszerezésre.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 2 - 2004.június
Ajánlás A tanterv azon tanulók számára készült, akik a matematika iránt különösebben nem érdekl
�dnek,
matematikából középfokú érettségire készülnek. Emelt szint� érettségi vizsgára az ezen tanterv alapján tanuló diák nincs felkészítve, hiszen annak a vizsgának több el
�írt anyagát nem dolgozza fel ez a tanterv ( pl.
analízis).
Óraszámok
évfolyamok 9.(10) 10.(11.) 11.(12.) 12.(13.)
óra/hét 3,5 3 3 4
összóraszám 130 111 111 128
Cél
• A tanterv a kerettantervben megjelölt id�szakaszokig a követelmények mindegyikét teljesíti.
• A két utolsó évfolyamra írt tantervekben követelmény az ismeretek pontosítása, rendszerezése, összefoglalása s kell
� szint� feladatmegoldással a középszint� érettségi eredményes letételére való
felkészítés. • A minimális teljesítmény a kerettantervben foglaltaknál kevesebb nem lehet. A tantervet használó
pedagógus tudja eldönteni a többlet-követelményt. Ezt a tanulóknak ismerniük kell.
Értékelés Az értékelés módját évfolyamonként adjuk meg a munkaközösségi ajánlások elvrendszerét figyelembevéve.
Feltételek
• A tantervek tanításához a szükséges képesítést a Közoktatási Törvény el�írja. (KT 17.§)
• A tanterv teljesítéséhez szükséges, hogy a szaktanár a valószín� ségszámítás és statisztika c. alfejezet tanítását megel
�z
�en továbbképzésen vegyen részt.
• Szükséges, hogy a szaktanárnak legyenek alapfokú számítástechnikai - felhasználói ismeretei. • A javasolt taneszközöket évfolyamonként meghatározzuk. • A matematikában használt demonstrációs és tanulói eszközök az iskolánkban nagyrészt megvannak.
B�víteni kell a tanári felkészülésben és az órai demonstrációban használható személyi számítógépeket és
teljesítményüket. A tankönyvi segédletek tárát állandóan modernizálni kell. Ezeket a könyveket kiegészíthetik a CD-ROMok.
• Az érdekl�d
� tanulóknak szorgalmi feladatként adhatók általános iskolai szakköri ill. versenyfeladatok.
Példásul a Zrínyi verseny feladatai. Tesztes versenybe, a nemzetközi KENGURU versenybe is beneveztethet
�k ezek a tanulók.
• A matematikatörténeti részek feldolgozását önálló otthoni feladat keretében is végzik a tanulók beszámolási kötelezettséggel: kisel
�adások tartásával.
• A térgeometriai ismeretek megalapozását a tanulók által elkészített modellek jobban szolgálják, mint a demonstrációs céllal tanórára bevitt testek, a függvényfogalom elmélyítését is jobban szolgálják a tanulók által készített sablonok, mint a túl korán használt gépi grafika.
• A kerettantervben foglaltaknak megfelel�en sokfüggvényes zsebszámológépre szüksége van minden
tanulónak. • Fontosnak tartjuk a jól megválasztott tankönyvek, a gyakorlást és az egyszer� bb alkalmazásokat tartalmazó
feladatgy� jtemények használatát.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 3 - 2004.június
Matematika 9(10) 9.(10.) K
Részei Halmazok, logika, kombinatorika 5. oldal Valós számkör, m� veletek, algebra, számelmélet 6. oldal Egyenletek, egyenl� tlenségek 7. oldal Függvények, függvénytranszformációk 7. oldal Alakzatok, geometriai mértékek 8. oldal Szerkesztések, bizonyítások 9. oldal Geometriai transzformációk 10. oldal Valószín� ség, statisztika 11. oldal
Óraszám Iskolai: 130 óra (37 hét)
Tanítási ciklus: 3,5 óra / 1 hét
Cél
• Az els� nyolc év tananyagának rendszerezett áttekintése, a tanultak gyakorlati alkalmazásának megmutatása
jól választott feladatokkal. • Az ismétlés során jól választott feladatokkal mutassuk meg a matematika különböz
� területeinek
összekapcsolódását. • Az év során igyekezzünk az ismétlésb
�l kiindulva tanítani és megértetni az új témákat.
• A folyamatos fejlesztés feltételezi, hogy a − számkörb
�vítés során szemléletes alapon jussunk el a valós számok halmazának ismeretéhez, a
szemléletes fogalomalkotáshoz; − kapjon hangsúlyt a halmazszemlélet er
�sítése a tanult alakzatok rendszerez
� áttekintésében;
− a szemléletes fogalomalkotással kiérleljük a definiált fogalmak megjelenését; − a függvényszemléletet er
�síti az egyenletek, egyenl
�tlenségek megoldása (pl. grafikus megoldás), a
geometriai transzformációk áttekintése. • A tanulók érdekl
�dését a tantárgy iránt a célszer� alkalmazások, (kapcsolat más m� veltségterületekkel,
illetve a gyakorlati élettel) ötletes megoldások és matematikatörténeti érdekességek tehetik folyamatossá. • Felkészítjük a tanulókat az intézményi bels
� vizsgára. A bels
� vizsgának fontos szerepe van a
pályaorientálásban. Az emelt szint� érettségi felé törekv� tanulókat a 10.(11.) osztálytól a szakkörökbe,
11.(12.) évfolyamtól fakultációra irányítjuk.
Követelmény
• Ismerje a valós számkört, tudjon benne m� veleteket végezni helyes sorrendben. • Legyen képes egyszer� m� veletek elvégzésére halmazokkal. • Tudja az algebrai kifejezéseket célszer� formára alakítani, s azokkal m� veleteket végezni. • Ismerje és alkalmazza a nevezetes szorzatokat. • Értse az egész kitev
�j � hatvány fogalmát, tudja az azonosságokat.
• Tudja felírni a számokat normálalakban. • Értse a függvény fogalmát, tudja a megadásának módjait, a tanult függvények tulajdonságait, egyszer� bb
transzformcióit. • Ismerje a nevezetes egyenl
�tlenségeket, tudja alkalmazni feladatok megoldásában.
• Legyen képes lineáris egyenletek, egyenl�tlenségek, egylenletrendszerek egyszer� paraméteres egyenletek
megoldására. • Ismerje a legfontosabb síkbeli és térbeli alakzatokat, azok tulajdonságait, mértékeit. • Tudja a háromszögek oldalai, szögei közötti összefüggéseket és nevezetes vonalaikkal kapcsolatos tételeket. • Tudja a vektor fogalmát, jelölését. • Tudja két vektor összegét, különbségét, számmal való szorzatát, összetev
�kre bontását megszerkeszteni,
végrehajtani. Ismerje a helyvektor fogalmát.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 4 - 2004.június
• Tudja a kör középponti szögéhez tartozó körív hosszát, a körcikk területét. • Értse a geometriai transzformáció, mint függvény fogalmát, tudja az egybevágósági transzformációkról és a
hasonlóságról tanultakat. Ismerje fel a szimmetriákat különböz� alakzatokon.
• Tudjon néhány bizonyítást (pl. Thalész, Pitagorasz), ismerjen nevezetes ponthalmazokat.
El � zmény
• Az els� nyolc év tananyagának megfelel
� szint� elsajátítása; a korosztálynak megfelel
� szint� írásbeli és
szóbeli kommunikációs készség, az ért�-elemz
� olvasási készség megléte, birtoklása.
• Nyitottság, érdekl�dés, szorgalom.
Tartalom
Tananyagegységek: I. Gondolkodási módszerek: 8 óra + folyamatos
1. Halmazok, logika, kombinatorika (10 óra) II. Számtan, algebra: 44 óra
1. Valós számkör, m� veletek, algebra, egész kitev
�j � hatványok, számelmélet (24 óra)
2. Egyenletek, egyenl�tlenségek (20 óra)
III. Függvények, függvénytranszformáció: 18 óra IV. Geometria: 34 óra
1. Alakzatok, geometriai mértékek (14 óra) 2. Szerkesztések, bizonyítások (12 óra) 3. Geometriai transzformációk ( 8 óra)
V. Valószín� ség, statisztika: 10 óra VI. Rendszerezés, ismétlés, összefoglalás: 8 óra
VII. Témazáró dolgozat írása és értékelése: 8 óra.
A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követ
�en egy-egy dolgozatjavító, értékel
� órát iktatunk be.
A tanév anyagának felsorolása nem jelent feltétlenül feldolgozási sorrendet, a tanár felcserélheti és apróbb egységekre is felbonthatja az év matematika anyagát.
Értékelés
• A tanuló munkájának értékelésekor megfelel� arányban kapjon szerepet a szóbeliség is. Figyelemmel
kísérjük az órai munkát, a tanulói aktivitást, rendszeresen ellen�rizzük a házi feladatok elkészítését.
• A szóbeli feleletek és a rövid felmérések (röpdolgozatok) mellett négy egész órás témazáró felmérést iratunk, de ezen kívül fontosnak tartjuk - különösen több iskolából jött tanulók esetén - az év eleji diagnosztizáló felmérés írását, hogy tájékozódhassunk az osztály matematikai ismereteir
�l és azok
alkalmazásának színvonaláról, a gondolkodás fejlettségér�l.
• A tanmenetben meghatározott témából intézményi bels� vizsgát szervezünk, amelyik lehet például az utolsó
témazáró dolgozat is. A bels� vizsgák követelményét részint teljesítette az a tanuló, aki eredményesen és
rendszeresen old meg versenyel�készít
� feladatokat, eredménnyel vesz részt az országos versenyek els
�
fordulóján, színvonalas matematikatörténeti kisel�adást tart, feladatok megoldásához használ személyi
számítógépet. • A bels
� vizsga egyik célja, hogy segítsen a pályairány eldöntésében. Szaktárgyunk esetében annak
eldöntésére van szükség, hogy a tanuló középszint� vagy emelt szint� érettségi vizsgát készül-e tenni. Amennyiben az emelt szint� érettségi vizsgára készül, 10.(11.) osztálytól már ajánlatos szakkörre járnia, hogy a 11.(12.) évfolyamon fakultáción tanulhassa a matematikát.
Feltételek
• Egyetemet végzett matematika tanár, aki a valószín� ségszámítás és statisztika témakör tanításából továbbképzésen vett részt.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 5 - 2004.június
• Megfelel�en felszerelt matematika "szertár".
• A tanulóknak: tankönyv, melyet a matematika munkaközösség választ. Matematikai, geometriai feladatgy� jtemény. Füzetek, körz
�, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, a
matematika iránt nagyobb érdekl�dést mutatók számára a KÖMAL cím� folyóirat.
• A tanároknak: a tanulóknál felsoroltakon túl: kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, , színes kréta, írásvetít
� fóliákkal, személyi számítógép használati lehet
�ség, oktatóprogramok (szoftverek),
matematikai témájú videokazetták, lehet�ség sokszorosításra.
Halmazok, logika, kombinatorika 9.(10.)K
Óraszám Iskolai: 8 óra
Cél
• Halmazszemlélet fejlesztése. Halmazm� veletek megismerése. • A szaknyelv és a fokozatosan b
�vül
� jelölésrendszer helyes alkalmazása.
• A kommunikációs készség továbbfejlesztése érvelésekben, vitákban, bizonyításokban. • Definiciók és tételek megkülönböztetése. • Többféle megoldás keresése. • Kombinatorikus gondolkodás továbbfejlesztése.
Követelmény
• Gyakorlottság az összes eset rendszerezett felsorolásában kis elemszám esetén. • Ismerkedjen a matematikai jelölésekkel. • Legyen képes egyszer� bb matematikai szövegek ért
� elemzésére, tudja használni a szaklexikont.
• Ismerje és értse a legalapvet�bb m� veleteket, halmazokkal, tudja alkalmazni konkrét példák esetében.
Legyen képes egyszer� példák kapcsán fadiagram, útdiagram, táblázatok készítésére, az "összeadási szabály" és a "szorzási szabály" alkalmazására.
El � zmény A témához kapcsolódó követelmények teljesítése 8. osztállyal bezárólag.
Tartalom
• Számhalmazok, kapcsolatuk. Jelöléstípusok használata. • Unióképzés, metszetképzés, különbségképzés, komplementerhalmaz képzése. • Venn-diagram használata feladatok megoldásában. • Alaphalmaz, megoldáshalmaz. • Definició, tétel, bizonyítás. Ellenpélda. • Példák a skatulyaelv alkalmazására. • Változatos kombinatorikai feladatok kapcsán az összes eset megkeresése, az "összeadási szabály" és a
"szorzási szabály" alkalmazásával is.
Értékelés
• A házi feladatok rendszeres megbeszélése. • Szóbeli és rövid, egyszer� feladatokat tartalmazó írásbeli felmérés.
Feltételek Írásvetít
� fóliák, színes tollak, szemléltet
� eszköz
�k.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 6 - 2004.június
Valós számkör, m veletek, algebra, számelmélet 9.(10)K
Óraszám Iskolai: 24 óra
Cél
• A számfogalom fejlesztése.A m� veletek kiterjesztése algebrai egész és törtkifejezések esetében. A m� veleti tulajdonságok áttekintése. Helyes m� veleti sorrend biztos alkalmazása.
• A matematikai szimbólumok elmélyítése, alkalmazása különböz� problémák lejegyzésére.
• Nevezetes összefüggések, azonosságok megismerése és alkalmazása. • A hatványozás értelmezésének kiterjesztése egész kitev
�kre.
• A tanult számelméleti ismeretek áttekintése, alkalmazása algebrai kifejezéseket tartalmazó feladatokban. • A bizonyítási igény fejlesztése.
Követelmény
• Ismerje a számírás alapelveit. Legyen tisztában a tízes számrendszerrel, a helyiérték fogalmával. • Tudja és értse a tanuló az algebrai egész és törtkifejezés fogalmát, tudja azok célszer� átalakítását
elvégezni, helyettesítési értéküket kiszámítani. • Ismerje a nevezetes azonosságokat és a nevezetes közepeket, és legyen képes alkalmazni egyszer� bb
feladatok megoldásában. • Tudja az egész kitev
�j � hatvány fogalmát, értse és igazolja a hatványozás azonosságait.
• Az oszthatósági alapismeretek: prímtényez�s felbontás, osztó, többszörös, legnagyobb közös osztó,
legkisebb közös többszörös egyszer� feladatokban történ� alkalmazása.
• Tudja alkalmazni a tanult számelméleti ismereteket, a m� veleti és algebrai azonosságokat, valamint a hatványozás azonosságait algebrai kifejezést tartalmazó oszthatósági feladatok megoldása esetén.
El � zmény
• Az el�z
� nyolc év e témákhoz kapcsolódó követelményeinek teljesítése.
Tartalom
• Valós számkör. Számhalmazok kapcsolata.M� veletek: alapm� veletek a valós számok körében, bet� s kifejezések körében, halmazok körében (unió, metszet, különbség, kiegészít
� halmaz).
• Algebrai egész és törtkifejezések átalakításai (kiemelés, beszorzás). Helyettesítési érték. • Nevezetes azonosságok: kéttagú bet� kifejezések 2. és 3. hatványa, háromtagú kifejezés négyzete. • Egész kitev
�j � hatványok (0 és negatív kitev
�).
• A hatványozás azonosságai és igazolásuk. • A számok normálalakja. • Gyakorlati alkalmazások. Kerekítés. Közelít
� érték.
• Nevezetes egyenl�tlenségek, számtani- és mértani közép fogalma, kapcsolata.
Értékelés
• Házi feladatok rendszeres megbeszélése, ellen�rzése.
• Rövid szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a halmazok
és valós számkör, m� veletek, algebra és számelmélet témakörökb�l.
Feltételek Feladatgy� jtemények. Írásvetít
� és fóliák, tollak. Prímszámtáblázatok. Sokfüggvényes zsebkalkulátor.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 7 - 2004.június
Egyenletek, egyenl tlenségek 9.(10.)K
Óraszám Iskolai: 20 óra
Cél
• Ért�-elemz
� olvasás fejlesztése.
• Különböz� problémák matematikai modelljének felírása.
• Ellen�rzés igényének fejlesztése.
Követelmény
• Tudjon els�fokú- és els
�fokúra vezet
� törtes egyenleteket és egyenl
�tlenségeket megoldani.
• Tudjon els�fokú kétismeretlenes egyenletrendszereket megoldani.
• Legyen képes százalékszámítási és kamatszámítási feladatok önálló megoldására.
El � zmény A témához kapcsolódó el
�z
� évi követelmények teljesítése.
Tartalom
• Törtes egyenletek, egyenl�tlenségek algebrai megoldása és ellen
�rzése. Alaphalmaz, igazsághalmaz.
• Egyenletek ekvivalenciája. Hamis gyök. • Egyszer� bb paraméteres els
�fokú egyenletek megoldása diszkusszióval.
• Fizikai és kémiai képletekb�l a különböz
� mennyiségek kifejezése a kémia és fizika tankönyvek
felhasználásával. • Egyszer� bb abszolutértéket tartalmazó egyenletek. • Els
�fokú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megoldásuk algebrai (behelyettesít
� módszer, egyenl
�
együtthatók módszere) és grafikus úton. • Százalék- és kamat számítási feladatok. Példák a gazdasági élet területér
�l is a történelem és földrajz
tankönyv felhasználásával. • Szöveges feladatok megoldása. Ellen
�rzés a szöveg alapján.
Értékelés
• A házi feladatok rendszeres ellen�rzése.
• Rövid írásbeli és szóbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a függvények
témakörrel együtt.
Feltételek Feladatgy� jtemény. Írásvetít
� a grafikus megoldások kivetítésére, együttes ellen
�rzésére.
Függvények, függvénytranszformációk 9.(10.)K
Óraszám Iskolai: 18 óra
Cél
• Függvényszemlélet fejlesztése. • A matematika különböz
� területeinek összekapcsolása (pl. függvénytranszformációk és geometriai
transzformációk). • A különböz
� gyakorlati alkalmazások megmutatása.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 8 - 2004.június
Követelmény
• Ismerje és tudja jellemezni a tanult alapfüggvényeket, legyen képes azok legegyszer� bb transzformációit végrehajtani.
• Tudjon saját készítés� sablon alapján rendezett ábrát készíteni a vizsgált függvényekr�l.
• Legyen képes a függvényekr�l tanultakat alkalmazni egyenletek, lineáris kétismeretlenes
egyenletrendszerek és egyenl�tlenségek megoldásában, természet- és társadalomtudományos jelenségek,
folyamatok leírásában.
El � zmény Az el
�z
� évek megfelel
� témája követelményeinek teljesítése.
Tartalom
• Az egyenes arányosság, a fordított arányosság fogalma, a függvény jellemz�i, ábrázolása.
• Lineáris függvények, négyzetgyökfüggvény, els�fokú törtfüggvény.
• Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. • Abszolútérték függvény • A másodfokú függvény és transzformációi. • Egészrész- és törtrész függvény, szignum függvény fogalma, ábrázolása. • Függvénytani alapfogalmak: hozzárendelés fajtái, az egyértelm� hozzárendelés, értelmezési tartomány,
értékkészlet, zérushely, növekedési viszonyok, széls�érték szemléletes fogalma, paritás.
• Konkrét függvények konkrét transzformációi.
Értékelés
• Házi feladatok gyakori ellen�rzése.
• A megoldások leírásának külalakjának, rendezettségének értékelése. • A megoldás ellen
�rzésének értékelése.
• Rövid szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az
egyenletek, egyenl�tlenségek témakörrel együtt.
Feltételek Feladatgy� jtemények. Írásvetít
�.
Alakzatok, geometriai mértékek 9.(10.)K
Óraszám Iskolai: 14 óra
Cél
• A már tanult síkbeli és térbeli alakzatok ismétlése és újabb alakzatok megismerése. • Az alakzatok jellemz
�inek, tulajdonságainak mértékeinek rendszerez
� áttekintése, kapcsolatok, össze-
függések felfedezése, rögzítése.
Követelmény
• A tanuló tudja a háromszög megadási módjait; szerkesztésének feltételeit. • Ismerje a háromszög szögei és oldalai közötti összefüggéseket. • Ismerje a háromszög nevezetes vonalait, pontjait, köreit, tudja megszerkeszteni azokat. • Tudja a sokszög szögösszegének, átlói számának meghatározását. • Tudjon szöget mérni fokban, radiánban. • Legyen képes adott kör középponti szögét, körívének hosszát, a körcikk területét kiszámítani. • Értse a háromszög, négyszög középvonalának fogalmát, ismerje a középvonalak tulajdonságait.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 9 - 2004.június
El � zmény A téma 8. osztály végi követelményeinek teljesítése.
Tartalom
• Háromszögek jellemz�i, csoportosításuk.
• Összefüggések a háromszög szögei között, oldalai között, a derékszög� háromszög oldalai között. • A háromszögekben egyenl
� oldalakkal szemben egyenl
� szög, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.
• Sokszögek, szabályos sokszögek. Alaptulajdonságaik. • Konvex sokszög bels
� szögeinek összege, átlóinak száma.
• Háromszögek nevezetes vonalai: oldalfelez� mer
�legesek, szögfelez
�k, magasságvonalak.
• Beírt kör középpontja, köré írt kör középpontja, magasságpont. • A háromszög beírt köre, köréírt köre. • Háromszögek, négyszögek középvonalai. • A kör középponti szöge, körív hossza, körcikk területe. • Szögek mérése fokban, radiánban.
Értékelés
• Házi feladatok gyakori ellen�rzése.
• Rövid írásbeli és szóbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szerkesz-
tések, bizonyítások témakörrel együtt.
Feltételek Mér
�eszközök, síkbeli modellek.
Szerkesztések, bizonyítások 9.(10.)K
Óraszám Iskolai: 12 óra
Cél
• A bizonyítás, cáfolás, ellenpélda lényegének megmutatása. • A definició fogalmának mélyítése. • Pontos munkára nevelés szerkesztések kapcsán. • Esztétikus külalak igényének kialakítása. • Vázlat, megoldási terv szerepének megmutatása.
Követelmény
• Igényes kivitel� szerkesztés, törekvés a diszkusszióra. • Pitagorasz- és Thalész-tétel, valamint bizonyításuk és megfordításuk ismerete. • A háromszöggel kapcsolatos tételek biztos ismerete és a bizonyításokban való jártasság.
El � zmény A téma 8. osztályig megfogalmazott követelményeinek teljesítése és az el
�z
� téma követelményeinek
teljesítése.
Tartalom
• A definíció, a tétel, a tétel megfordítása. • Thalesz- és Pitagorasz- tételek , bizonyításuk. • Thalesz-tétel, Pitagorasz-tétel megfordítása, bizonyítás. • Érint
�szerkesztési feladatok.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 10 - 2004.június
• Vázlat, megoldási terv készítése. • Thalesz-tétel felhasználása egyszer� bb bizonyításos feladatokban. • A háromszög oldalfelez
� mer
�legesei egy pontban metszik egymást.
• A háromszög köré írt kör és tulajdonságai. • A háromszög bels
� szögfelez
�i egy pontban metszik egymást.
• A háromszög beírt köre és tulajdonságai. A háromszöghöz hozzáírt körök szerkesztése. • A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Magasságpont. • A háromszög középvonalaira vonatkozó tétel. • A négyszögek középvonalai. • A fentiek felhasználása egyszer� bb szerkesztéses és bizonyításos feladatokban.
Értékelés
• Házi feladatok ellen�rzése.
• Rövid szóbeli és írásbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az alakzatok,
geometriai mértékek témakörrel együtt.
Feltételek Tanulói szerkesztési eszközök, színes kréták, színes ceruzák.
Geometriai transzformációk 9.(10.)K
Óraszám Iskolai: 8 óra
Cél
• Függvényszemlélet fejlesztése. • A transzformációs szemlélet fejlesztése. • Egybevágósági transzformációk ismétl
� összefoglalása után újabb tulajdonságok, definíciók megismerése.
Követelmény
• Legyen képes a szerkesztések pontos kivitelezésére, vázlat készítésére. • Legyen képes a tanult geometriai transzformációk rendszerez
� áttekintésére, összefoglalására.
• Tudja az alakzatok egybevágóságának feltételeit. • Vegye észre adott esetben a különböz
� alakzatok szimmetriáit.
El � zmény A témában nyolcadik osztályig tanultak követelményeinek ismerete.
Tartalom
• Példák különböz� geometriai transzformációkra.
• A geometriai transzformáció fogalma. • Fixpontok, invariáns alakzatok. • Egybevágósági transzformációk (tengelyes és középpontos tükrözés, eltolás és a pont körüli elforgatás) síkban és térben. • Alakzatok (háromszögek, sokszögek, kör) egybevágóságának feltételei. • Szimmetrikus alakzatok. • Példák nem egybevágósági transzformációkra. • Szerkesztési feladatok transzformációkkal (diszkusszió).
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 11 - 2004.június
Értékelés
• Házi feladatok ellen�rzése.
• Szerkesztések pontos kivitelezésének ellen�rzése.
• Szóbeli és írásbeli feleletek. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a
valószín� ség, statisztika témakörrel együtt.
Feltételek Írásvetít
�, fóliák, tollak, tanulói rajzeszközök, színes kréták, színes ceruzák.
Valószín ség, statisztika 9.(10.)K
Óraszám Iskolai: 10 óra
Cél
• A valószín� ség fogalmának alakítása. • Statisztikai adatok helyes értelmezés, értékelés, ábrázolása, jellemz
�k leolvasásának megtanítása.
Követelmény
• Valószín� ségi kísérletek kimenetelére becslés adása. • Tudja a statisztikai adatokat táblázatba gy� jteni, ábrázolni. • Tudjon helyesen értelmezni különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatokat.
El � zmény
• A 8. osztály végéig tanultak ismerete.
Tartalom
• Kísérletek végzése, a kimenetel vizsgálata. • Gyakoriság, relatív gyakoriság kiszámítása konkrét példák kapcsán. • Gy� jtött adatok rendszerezése, ábrázolása ( kördiagram, oszlopdiagram) • Statisztikai jellemz
�k (számtani közép, módusz, medián) keresése, megfogalmazása.
• Különféle grafikonon megjelenített statisztikai adatok értelmezése a történelem és földrajz tankönyvekb�l
vett példák alapján is. • Szerkesztóprogramok ismertetése, a zsebkalkulátorok statisztikus üzemmódja.
Értékelés
• Szóbeli számonkérés, órai munka értékelése. • Egy egész órás témazáró felmérés írása a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a geometriai
transzformációk témakörrel együtt.
Feltételek Statisztikai adatok, kockák, pénzérmék, kártyák a kísérletekhez.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 12 - 2004.június
Matematika 10(11) 10.(11.)K Halmazok,logika 14. oldal Kombinatorika 14. oldal Számkörök, m� veletek. Algebra. 15. oldal Egyenletek, egyenl� tlenségek 16. oldal Másodfokú függvények, szögfüggvények 17. oldal Geometriai alakzatok, mértékek 18. oldal Geometriai bizonyítások 19. oldal Geometriai transzformációk 19. oldal Valószín� ség, statisztika 20. oldal Rendszerez� összefoglalás 21. oldal
Óraszám Iskolai: 111 óra
Tanítási ciklus: 3 óra / 1 hét
Cél
• A valós számkörben végzett m� veletek hibátlan elvégzése. • A tanult témák rendszerez
� áttekintése, egymással és a gyakorlati élettel való kapcsolatának megmutatása.
• A tanult fogalmak, tételek, bizonyítások öszefoglalása. • Eljárások, algoritmusok er
�sítése gyakorlati feladatok megoldása.
• A függvény- és geometriai transzformációk kapcsolatának bemutatása koordinátarendszerben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. • A valószín� ség szemléletes fogalmának kialakítása. • Az alapvizsgára készül
� tanulók felkészítése.
Követelmény
• A valós számkör fogalmának és a benne végzett m� veleteknek a biztos tudása. • Jártasság az algebrai kifejezésekkel, a halmazokkal, a vektorokkal való m� veletek elvégzésében. • Tudja a hatványozás, a négyzetgyök és az n-edik gyök fogalmát, azonosságait, legyen járatos
alkalmazásaban egyszer� esetekben. • Egyszer� egyenletek, egyenl
�tlenségek, lineáris kétismeretlenes egyenletrendszerek és lineáris
kétismeretlenes egyenl�tlenségrendszerek készségszint� megoldása, a megoldás ellen
�rzése.
• Jártasság egyszer� szöveges feladatok megoldásában. • A tanult függvények fogalmának ismerete, ábrázolásuk derékszög� koordinátarendszerben, tulajdonságaik
leolvasása, egyszer� transzformáltjaik megrajzolása. • A tanult alakzatok - definiciójának - jellemz
�inek, mértékeinek biztos tudása.
• A geometriai transzformációk és jellemz�ik biztos ismerete, alkalmazásuk szerkesztési, bizonyítási
feladatokban. • A tanult tételek biztos tudása, jártasság ezek bizonyításában és alkalmazásaikban. • A halmaz- és függvényszemlélet fejlesztés a rendszerezés alapján is. • Szögfüggvények fogalma, alkalmazása derékszög� háromszögben. • A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése, a valószín� ségi szemlélet fejlesztése.
El � zmény Az els
� 9 év követelményeinek megfelel
� szint� teljesítése.
Tartalom Az els
� 9.(10.) év tananyagának folyamatos ismétlése mellett,
• a négyzetgyök azonosságai
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 13 - 2004.június
• az n-edik gyök fogalma és azonosságai, • másodfokú egyenletek egyenl
�tlenségek és megoldásuk,
• középpontos hasonlóság, hasonló alakzatok és ezek kerülete, területe, • párhuzamos szel
�k tétele,
• háromszögekre vonatkozó tételek, • háromszögek területének kiszámítási módjai, • sokszögekre vonatkozó ismeretek, • körrel kapcsolatos ismeretek, • térgeometriai ismeretek, • trigonometriai alapismeretek, • kombinatorikai feladatok, módszerek • valószín� ségi és statisztikai alapfogalmak el
�készítése.
Tananyagbeosztás:
I. Gondolkodási módszerek: 7 óra 1.Halmazok,logika (3 óra) 2.Kombinatorika (4 óra)
II. Számtan, algebra: 32 óra 1.Számkörök, m� veletek. Algebra (14 óra) 2.Egyenletek, egyenl
�tlenségek (18 óra)
III. Függvények: 19 óra 1.Másodfokú függvények, szögfüggvények (19 óra)
IV. Geometria: 33 óra 1.Geometriai alakzatok, mértékek (12 óra) 2.Geometriai bizonyítások (12 óra) 3.Geometriai transzformációk (9 óra)
V. Valószín� ség, statisztika: 6 óra VI.Rendszerez� összefoglalás: 6 óra
VII.Témazáró dolgozatok írása és értékelése: 8 óra
A tanév folyamán négy egész órás témazáró felmérést iratunk a tanárok által közösen összeállított feladatsor alapján. Ezt követ
�en egy-egy dolgozatjavító, értékel
� órát iktatunk be.
Az utolsó témazáró dolgozat lehet 60 perces, els�sorban azokra a tanulókra gondolva, akik fakultációt
választottak.
Értékelés
• Házi feladatok alapján. • Szóbeli feleletek, rövid írásbeli dolgozatok alapján. • Házi dolgozatok (kutatási feladatok kapcsán) értékelése. • Választott és önállóan feldolgozott versenyfeladatok vagy matematikatörténeti érdekességekb
�l tartott
kisel�adások alapján.
• A három egy órás és egy két órás témazáró felmérés alapján.
Feltételek
• Érettségit adó iskolatípus esetén egyetemet végzett matematika tanár. • Megfelel
�en felszerelt matematika "szertár".
• A tanulóknak: tankönyv, melyet a szaktanár vagy a matematika munkaközösség választ. Matematikai, geometriai feladatgy� jtemény. Füzetek, körz
�, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszá-
mológép, a matematika iránt nagyobb érdekl�dést mutatók számára a KÖMAL folyóirat, KENGURU
verseny el�készít
� tesztjei.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 14 - 2004.június
• A tanároknak: a tanulóknál felsoroltakon túl: kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréta, írásvetít
� fóliákkal, oktatóprogramok (szoftverek), matematikai témájú videokazetták, lehet
�ség
sokszorosításra.
Halmazok,logika 10.(11.) K
Óraszám Iskolai: 3 óra
Cél
• Halmazokról tanultak alkalmazása az els� tíz év anyagának rendszerez
� áttekintésére.
• A logika elemeinek, nyelvének helyes és pontos használata. • Újabb bizonyítási módszerekkel való ismerkedés.
Követelmény
• A legegyszer� bb halmazm� veletek ismerete és konkrét feladatok megoldásában való felhasználása. • Tájékozottság a "skatulyaelv", a teljes indukció és a szitamódszer (logikai szita) legfontosabb jellemz
�ir
�l.
El � zmény E témában a 9. osztály végéig tanultak követelményeinek teljesítése.
Tartalom
• A halmazokról, halmazm� veletekr�l tanultak alkalmazása más tananyagegységekben.
• A nyelv logikai elemeinek helyes használata. • A skatulyaelv, a teljes indukció, a logikai szita, mint bizonyítási módszer bemutatása konkrét egyszer� bb
feladatok kapcsán. • Az indirekt bizonyítás
Értékelés
• Konkrét - más témákhoz kapcsolódó - feladatok megoldása során történik az értékelés. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a
számtan, algabra, logika, kombinatorika, halmazok, valószín� ség, statisztika témakörökb�l.
Feltételek Az általános részben megfogalmazott feltételek szükségesek.
Kombinatorika 10.(11.)K
Óraszám Iskolai: 4 óra
Cél
• Legyen képes a tanuló módszeresen megkeresni adott (kevés) elemszám esetén az összes lehetséges sorrendet. (Permutációk)
• Legyen képes néhány elem� halmaz összes lehetséges részhalmazát felsorolni, a részhalmazok számát felsorolás nélkül is megadni (Kombinációk).
Követelmény
• A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 15 - 2004.június
• Az összes megoldás megkeresésével kapcsolatos igény fejlesztése. • A matematika szépségének bemutatása.
El � zmény Az els
� 9(10) év során összegy� jtött tapasztalatok, módszerek ismerete, a követelmények teljesítése.
Tartalom
• Egyszer� kombinatorikus feladatok. • Ismerkedés a Pascal-háromszöggel kis n-ek esetén, a Pascal-háromszög elemeinek tulajdonságai. • Adott kis elemszám esetén a sorrendek összeszámolása. • Adott kis elemszám esetén részhalmazok kiválasztása az összes lehetséges módon. • Kiválasztási és sorrendi kérdéseket tartalmazó érdekes feladatok megoldása.
Értékelés
• A házi feladatok részletes megbeszélése. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a
számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószín� ség, statisztika témakörökb�l.
Feltételek Az évfolyamra megfogalmazott feltételek teljesítése.
Számkörök, m veletek. Algebra. 10.(11.)K
Óraszám Iskolai: 14 óra
Cél
• Számolási készség fejlesztése a valós számkörben. • Az algebrai kifejezésekkel végzett m� veletek ért
� elvégzése.
• Nevezetes összefüggések alkalmazása gyakorlati példákban.
Követelmény
• Értse a valós szám fogalmát. Tudja igazolni, hogy négyzetgyök 2 irracionális szám. • Tudja elvégezni helyes sorrendben a tanult m� veleteket a valós számok körében: alapm� veletek,
négyzetgyökvonás, hatványozás. Legyen tisztában a zárójel használatával. • Legyen járatos az egyszer� algebrai kifejezésekkel végzett alapm� veletekben. • Tudja kiszámítani egy adott algebrai kifejezés helyettesítési értékét. • Tudja meghatározni egyszer� esetekben az algebrai kifejezés értelmezési tartományát. • Tudja a tanult azonosságokat felhasználni algebrai kifejezések egyszer� bbé tételében. • Tudja kifejezni adott egyszer� képletek esetén a bennük szerepl
� változót.
El � zmény Az el
�z
� 9(10) év során e témában tanultak megfelel
� szint� ismerete, a témához kapcsolódó követelmények
teljesítése.
Tartalom
• Példák irracionális számokra. • A négyzetgyök 2 irracionális szám. • Négyzetgyökvonás, hatványozás, n-edik gyök, valamint ezek azonosságainak • Táblázatok és a zsebszámológép célszer� használata a számítások gyorsítására. • Kerekítés, becslés.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 16 - 2004.június
• Algebrai egész és törtkifejezések, és ezek célszer� átalakításai a m� veleti tulajdonságok és a tanult azonosságok felhasználásával.
• Algebrai kifejezések helyettesítési értéke, értelmezési tartománya. • A 10 év során tanultak rendszerez
� áttekintése.
Értékelés
• Házi feladatok ellen�rzése.
• Alapm� veletek helyes és gyors végzésének ellen�rzése tesztlapokkal, szoftverekkel.
• Rövid írásbeli és szóbeli számonkérés • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a
számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószín� ség, statisztika témakörökb�l.
Feltételek Táblázatok és zsebszámológép.
Egyenletek, egyenl tlenségek 10.(11.)K
Óraszám Iskolai: 18 óra
Cél
• Egyenletek, egyenl�tlenségek megoldása során a mérlegelv mellett a tanult azonosságok alkalmazása.
• Az alaphalmaz és a megoldáshalmaz, igazsághalmaz vizsgálata. • A másodfokú egyenletek, egyenl
�tlenségek megoldási módjainak megismerése.
• Másodfokú összefüggésekre vezet� feladatok a természet- és társadalomtudományok és a gazdasági
számítások köréb�l.
• Széls�érték problémák megoldásával való ismerkedés.
Követelmény
• Tudjon megoldani els�fokú egyenleteket, egyenl
�tlenségeket és els
�fokú legfeljebb kétismeretlenes
egyenletrendszereket, egyenl�tlenségrendszereket.
• Tudja alkalmazni a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Értse a diszkrimináns szerepét. • Ismerje a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. • Tudjon megoldani egyszer� másodfokú egyenletre - , egyenl
�tlenségre vezet
� feladatokat.
• Tudja a szöveges feladatokat megfogalmazni a matematika nyelvén. • Alakuljon ki az önellen
�rzés igénye.
El � zmény
• Lineáris egyenletek, egyenl�tlenségek és törtes egyenletek megoldása. Szöveges feladatok megoldása.
• A témához kapcsolódó els� 9 év követelményeinek teljesítése.
Tartalom
• Ismétlés szinten a lineáris egyenletek, egyenl�tlenségek, egyenletrendszerek megoldása.
• Nevezetes szorzatok. Másodfokú egyenletek szorzat alakja teljes négyzetté alakítással. • Másodfokú egyenletek megoldása, megoldóképlet. • Másodfokú egyenletek gyöktényez
�s alakja, Viéte-formulák.
• Egyszer� bb másodfokú egyenl�tlenségek.
• Másodfokúra visszavezethet� egyszer� bb egyenletek.
• Szöveges feladatok. • Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között • Grafikus megoldások • Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 17 - 2004.június
• Az ellen�rzés szerepének kiemelése.
Értékelés
• Házi feladatok ellen�rzése.
• Több rövid írásbeli ellen�rzés.
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek, egyenl
�tlenségek és a másodfokú függvények témakörb
�l.
Feltételek Az általános részben megfogalmazottakon túl írásvetít
� és fóliák, színes tollak.
Másodfokú függvények, szögfüggvények 10.(11.)K
Óraszám Iskolai: 19 óra
Cél
• A függvényszemlélet er�sítése.
• Szövegek lefordítása a matematika nyelvére, a talált összefüggések ábrázolása derékszög� koordináta-rendszerben.
• A hegyesszög szögfüggvényeinek megismerése.
Követelmény
• Tudja ábrázolni a másodfokú függvényt, legyen képes szemléltetni tulajdonságait, jellemz�it.
• Legyen képes a másodfokú függvény egyszer� transzformációit elvégezni. • Értse és tudja a szögfüggvények definícióját hegyesszögre.
El � zmény A függvényekr
�l az els
� 9(10) év során tanultak ismerete, a hozzájuk kapcsolódó követelmények teljesítése.
Tartalom
• Másodfokú függvények és vizsgálatuk (ismétlésként). • Széls
�érték számítások.
• Hegyeszögek szögfüggvényei (definíciók) és összefüggéseik. • Pótszögek szögfüggvényei. • Néhány hegyesszög pontos szögfüggvényértéke. • Derékszög� háromszög adatainak számítása. • A fizika tantárgyban el
�forduló egyszer� bb problémák matematikai modellje is.
Értékelés
• Házi feladatok megbeszélése. • Több rövid írásbeli és szóbeli beszámoló. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján az egyenletek,
egyenl�tlenségek és a másodfokú függvények témakörb
�l.
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szögfüggvényekb
�l a geometriai alakzatok, mértékek témakörrel együtt.
Feltételek Az általános részben megfogalmazottakon túl írásvetít
� és fóliák, színes tollak.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 18 - 2004.június
Geometriai alakzatok, mértékek 10.(11.)K
Óraszám Iskolai: 12 óra
Cél A témában eddig tanultak rendszerez
� összefoglalása és kiegészítése.
Követelmény
• Tudja a háromszögek, négyszögek, sokszögek definícióját, jellemz�it, kerület- és terület számítási módjait,
az átlók számát, a bels� és küls
� szögek mértékeit, összefüggéseit.
• Ismerje és alkalmazza szerkesztési és bizonyításos feladatokban a háromszög nevezetes vonalairól, pontjairól tanultakat.
• Tudja kiszámítani ismert alakzatok kerületét, területét, térfogatát. • Tudjon kocka-, téglatest-, tetraéder-, gúla modellt készíteni, és tudja ezen testek rendezett "beszédes "
ábráit a füzetében megjeleníteni. • Tudjon területet, térfogatot számolni a hasonlóság segítségével is. • Tudja meghatározni ismert és tanult geometriai alakzatok kölcsönös helyzetét, kiszámítani hajlásszögüket,
távolságukat.
El � zmény A 9. évfolyam végéig e témában tanultak követelményeinek teljesítése.
Tartalom
• Háromszögekr�l, négyszögekr
�l, sokszögekr
�l tanult ismeretek áttekintése.
• A körr�l tanultak áttekintése.
• Pitagorasz tétele és a szögfüggvények kapcsolata, számításos feladatok megoldása. • Hasonló alakzatok kerület-, terület- és térfogataránya. • Két kitér
� egyenes hajlásszöge és távolsága.
• Egyenes és sík hajlásszöge, két sík hajlásszöge. • Síkra mer
�leges egyenes.
• Pont távolsága síktól. • Egyszer� bb testek méretes vonatkozásai, térelemek távolsága és szöge a kocka, téglatest, tetraéder,
szabályos gúlák esetében . • A tanultak rendszerez
� összefoglalása.
Értékelés
• Házi feladatok rendszeres ellen�rzése.
• Rövid írásbeli felmérések. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a szögfüggvények
és ezen téma geometriai számításos részéb�l.
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéb
�l a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció
témakörrel együtt.
Feltételek
• Geometriai alakzatok modelljei, melyekkel a tartalomban leírtakat szemléltethetjük. • Rajzeszközök, színes kréták és ceruzák.A POLYDRON testépít
� készlet.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 19 - 2004.június
Geometriai bizonyítások 10.(11.)K
Óraszám Iskolai: 12 óra
Cél
• A tanulók bizonyítási igényének fejlesztése. • A pontos, logikus következtetések egymásra épülése a bizonyítás során. • A gondolkodás szépségének, eredményességének megmutatása.
Követelmény
• Tudja a párhuzamos szel�k tételét ( ismerje bizonyítását ).
• Tudja a háromszögek súlyvonalára és súlypontjára vonatkozó tételt és annak bizonyítását. • Tudja a szögfelez
� osztásarányát, ismerje a bizonyítást.
• Ismerje a derékszög� háromszögben a befogótételt, ismerje a bizonyítást.
El � zmény Az el
�z
� kilenc év megfelel
� követelményeinek teljesítése.
Tartalom
• A háromszög különböz� területképletei.
• Párhuzamos szel�k tétele és a tétel megfordítása.
• A háromszög súlyvonalai és súlypontja. • Szögfelez
� osztásaránya.
• Befogótétel. Magasságtétel. • Irracionális mér
�számú szakaszok szerkesztése.
• A tételek alkalmazása feladatokban.
Értékelés
• Házi feladatok ellen�rzése.
• Több rövid felmérés írása. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi
geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéb�l a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció
témakörrel együtt.
Feltételek Tanulói rajzeszközök. Írásvetít
� és fóliák, színes tollak.
Geometriai transzformációk 10.( 11.)K
Óraszám Iskolai: 9 óra
Cél
• Az egybevágósági transzformációk áttekintése. • A hasonlósági transzformáció fogalmának és tulajdonságainak, a hasonló alakzatoknak a megismerése.
Követelmény
• Tudja az egybevágósági és a középpontos hasonlósági transzformáció fogalmát, tulajdonságait.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 20 - 2004.június
• Tudja a geometriai transzformációkról tanultakat alkalmazni szerkesztési, bizonyításos és számítási feladatok megoldása során.
• Ismerje meg a vektor számmal szorzását , a vektorok felbontását a síkban
El � zmény A témában a 9.(10.) osztály végéig tanultak ismerete, és a követelmények teljesítése.
Tartalom
• Egybevágósági transzformációk átismétlése konkrét feladatok kapcsán. • Középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. • A hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai. • Hasonló alazatok. • A vektor szorzása számmal, vektor felbontása a síkban • Feladatok a gyakorlati életb
�l, a természetb
�l, a természettudományos tárgyakból a hasonlóságra,
vektorokra.
Értékelés
• Házi feladatok ellen�rzése.
• Szóbeli feleletek. • Több rövid írásbeli felmérés. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján ezen téma elemi
geometriával, hasonlósággal kapcsolatos részéb�l a geometriai bizonyítások és a geometriai transzfor-máció
témakörrel együtt.
Feltételek
• Feladatgy� jtemény. • Tanulói szerkesztési eszközök. Írásvetít
�.
Valószín ség, statisztika 10.(11.)K
Óraszám Iskolai: 6 óra
Cél
• A valószín� ség szemléletes fogalmának kialakítása. • A valószín� ség becslése és kiszámítása egyszer� esetekeben. • Statisztikai adatok rendezése, jellemzése, ábrázolása. • Statisztikai témákhoz kapcsolódó ábrák értelmezése.
Követelmény
• Tudja a gyakoriság, a relatív gyakoriság fogalmát, legyen képes kiszámítani egyszer� esetekben. • Találkozzon konkrét feladatok kapcsán a kombinatorikus valószín� ségi modellel és a geometriai mértékkel
jellemezhet� valószín� ségi modellel (pl. lottó, totó).
El � zmény A témával kapcsolatos tapasztalatok és ismeretek az el
�z
� 9 évben, és az ezekhez kapcsolódó követelmények
teljesítése.
Tartalom
• Gyakoriság vizsgálata kisérletekkel. • Relatív gyakoriság fogalma.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 21 - 2004.június
• A valószín� ség személetes fogalma • Egyszerü problémák megoldása a klasszikus valószín� ségi modell alapján. • Találati valószín� ség szerencsejátékok esetében (pl. lottó, totó).
Értékelés
• Házi feladatok megbeszélése. • Az órai problémák els
�sorban frontális, közös megbeszélése.
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a tanév végén a számtan, algebra, logika, kombinatorika, halmazok, valószín� ség, statisztika témakörökb
�l.
Feltételek Az évfolyamra megfogalmazott feltételeken túl néhány el
�re megrajzolt, elkészített pörgetty� (színezve,
számokkal). Kockák, kártyák, pénzérmék a valószín� ségi kísérletekhez.
Rendszerez összefoglalás 10.(11.)K
Óraszám Iskolai: 6 óra
Cél
• Az els� tíz évben tanult ismeretek, fogalmak, összefüggések, eljárások, algoritmusok, tételek, bizonyítások
rendszerezett áttekintése, átismétlése. • Különböz
� matematikai témakörök kapcsolatának bemutatása konkrét feladatokon keresztül.
• Feladatok a való életb�l a matematika hasznosságának igazolására.
• Az alapm� veltségi vizsgára jelentkezett tanulók felkészítésének segítése. • Segítségnyújtás a pályairány megválasztásához.
Követelmény
• Az els� tíz évben megfogalmazott tananyag ismeretéhez kapcsolódó követelmények teljesítése, a rugalmas,
fegyelmezett gondolkodás kialakulása. • Az életkornak megfelel
� szóbeli és írásbeli kommunikációs készség kialakulása.
• Problémahelyzetekben törekvés a helyes megoldás keresésére.
El � zmény A matematika m� veltség területén az els
� 10 (11) évre megfogalmazottak teljesítése.
Tartalom Az els
� tíz(tizenegy) évben tanultak legfontosabb, legalapvet
�bb részeinek kiemelése, a témakörök közötti
kapcsolatok megmutatása sokszín� , érdekes gyakorlati és matematikai alkalmazásokon keresztül.
Matematika 11(12) 11.(12.)K
Részei Halmazok, matematikai logika elemei 23. oldal Kombinatorika 24. oldal Egyenletek, egyenl� tlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek 25. oldal Függvények 26. oldal Vektorok, trigonometria 27. oldal Koordináta-geometria 27. oldal Valószín� ségszámítás 28. oldal Ismétlés, a felhasználható további órakeret 29. oldal
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 22 - 2004.június
Óraszám Iskolai: 111 óra
Tanítási ciklus 3 óra / 1 hét
Cél
• Logikus gondolkodásra, elemi következtetésekre, szöveges indoklásokra (okfejtésre) azoknak a tanulóknak is szükségük van, akik fels
�fokú tanulmányaik során nem matematika igényes stúdiumokon vesznek részt,
s�t azoknak is, akik a középszint� érettségivel lezárják tanulmányaikat. A z e m e l t s z i n t�
é r e t t s é g i r e n e m k é s z í t i f e l i s k o l á n k a z e z e n ( K ) t an t e r v s z e r i n t t a n u l ó k a t !
• Aki ezen (K) tanterv szerint tanult, és emelt szint� érettségire lesz szüksége, a tizenharmadik/tizennegyedik évben szintemel
� foglalkozásokra járhat iskolánkban. A 13. ill 14. évfolyamon fogja megtanulni pl. az
analízis elemeit, és a valószín� ségi változókról szóló mélyebb ismereteket. A középszint� és emelt szint� érettségire felkészít
� két utolsó évfolyam matematika tananyagában kb. 130 tanórányi különbség van.
• A helyes gondolkodás fejlesztéséhez ismeretekre van szükség. Az ismeretek az évek múltával elhalványulhatnak, de a tanulásuk során, az ismeretekhez kapcsolódó feladatok, problémák megoldása során a tanuló látásmódja fejl
�dik. A természettudományos, a technikai s
�t a humán területek tanulmányozásához
komoly segítséget nyújt a matematika, s annak nyelve. • Azon tanulók számára, akik a kés
�bbiekben humán területeken dolgoznak majd, komoly pozitív motivációt
jelenthet, ha megmutatjuk a matematika és humán m� veltség kapcsolatát, matematikatörténeti ismeretekkel f � szerezzük tanításunkat. Erre mód van a szöveges feladatok tanításakor, a trigonometria és az analitikus geometria tanításában is. Ehhez használjuk fel az iskolai könyvtárban megtalálható megfelel
�
enciklopédiákat lexikonokat, folyóiratokat, könyveket. a tanulók böngészhetnek az INTERNET-en is matematikatörténeti vonatkozásokat, életrajzi adatokat keresve.
• Ezen területek ugyanakkor alkalmat nyújtanak a matematika gyakorlati használhatóságának bemutatására is.
• A 11. ill. 12. évfolyamon elkezd�dhet a különböz
� anyagrészek rendszerezése, folytatódhat az egyes tanult
anyagrészek összekapcsolása (például az analitikus geometriában az algebra és a geometria összefésülése).
Követelmény
• A tanulók ismerjék a permutáció, a variáció, a kombináció fogalmát, tudjanak egyszer� bb kombinatorikai feladatokat megoldani.
• Tudjanak másodfokúra visszavezethet�, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenleteket,
egyenl�tlenségeket megoldani, egyszer� azonosságokat igazolni. Tudják, hogy a megoldás során mikor
végeznek ekvivalens lépéseket, s miként lehet a fellép� hamis gyököket kisz� rni. Tudjanak egyszer�
kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert megoldani. Ismerjék, hogy szöveges feladatokat hogyan lehet lefordítani a matematika nyelvére. Tudják, hogy a megoldásokat ellen
�rizni kell.
• Ismerjék, hogy a hatványozás általánosításakor a permanencia elvét alkalmazzuk. Ismerjék az exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények definícióját, elemi tulajdonságait és ábráit.
• Zsebszámológép célszer� felhasználásával legyenek képesek megfelel� pontosságú számításokat végezni.
• Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait. Tudják alkalmazni a trigonometriában és a koordináta-geometriában. Ismerjék a sinus- és cosinustételt, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni.
• Tudják az egyenes, a kör s a parabola tanult egyenleteit. Tudjanak metszési, érintési s egyszer� ponthalmaz keresési feladatokat koordináta-geometriai módszerekkel megoldani.
• Ismerjék a statisztikai alapfogalmakat, az átlag, modus, medián, szórás fogalmát, és tudják ezeket kiszámítani konkrét számsokaság esetén
• Tudjanak klasszikus valószín� ségi feladatokat megoldani.
El � zmény A tanterv 10.(11.) osztály végéig el
�írt követelményeiben megfogalmazott, s a 11.(12.) osztály tanításakor
szükséges ismeretek és módszerek. (Ezek folyamatos ismétlésére az új anyagrészek bevezetésekor célszer� sort keríteni.)
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 23 - 2004.június
Tartalom I. Gondolkodási módszerek: 12 óra
1.Halmazok, matematikai logika elemei (4 óra) 2.Kombinatorika (8 óra)
II. Számtan-algebra: 25 óra 1.Egyenletek, egyenl
�tlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek (25 óra)
III. Függvények: 20 óra IV. Geometria: 32 óra
1. Vektorok, trigonometra (12 óra) 2. Koordináta-geometria (20 óra)
V. Valószín� ségszámítás: 8 óra VI. Ismétlés, rendszerezés, összefoglalás 8 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 6 óra
Megjegyzés: A Tartalomban leírtak nem jelentenek tanítási sorrendet.
Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellen
�rzése.
b) Az írásbeli ellen�rzés formái:
1. rövid dolgozat 2. az év során három teljes órás felmérés, s ezeknek teljes órában történ
� értékelése.
c) Tanév elején tanárváltozás esetén a tanár által összeállított diagnosztikus mérés a korábban tanult anyag-részek azon súlyponti témáiból, melyekre a tanévben támaszkodni fogunk.
Feltételek
• Középiskolai matematika szakos tanár. Személyi számítógép. • A tanulóknak: Tankönyv (az iskolai munkaközösség választja). Matematikai és Geometriai feladatgy� j-
temények. Füzetek, körz�, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép.
• A tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, színes kréták, írásvetít
� fóliák, (matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, videokazetták),
fénymásolási lehet�ség feladatlapok sokszorosításához.
Halmazok, matematikai logika elemei 11.(12.)K
Óraszám Iskolai: 4 óra
Cél
• A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböz� területein: egyenleteknél,
függvényeknél, ponthalmazoknál. • A feltételek, a következtetések, bizonyítási módszereknél a matematikai logika elemeinek alkalmazása. Az
ekvivalencia, az implikáció, a konjukció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenl
�tlenségek megoldásakor.
Követelmény
• A tanulók az egyszer� bizonyításokban az indukciós eljárások mellett értsék meg a deduktív következtetési módszert.
• Egyszer� bizonyításokat tudjanak reprodukálni. • Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszereket, s tudják, hogy ha erre nincs lehet
�ség,
akkor ellen�rzéssel igazolható, hogy egy gyök megoldás, ill. ellen
�rzéssel sz� rhet
� ki a hamis gyök.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 24 - 2004.június
El � zmény Az el
�z
� tanévekben szerepl
� halmazelmélet és matematikai logika elemeinek ismerete.
Tartalom
• Negáció, konjunkció, diszjunkció és jelöléseik. • Implikáció, ekvivalencia és jelölésük. • Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. • Tétel és megfordítása.
Megjegyzés: Az altémára szánt 4 órát a tanév során a különböz� anyagrészekbe építve célszer� felhasználni.
Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot.
Kombinatorika 11.(12.)K
Óraszám Iskolai: 8 óra
Cél
• A kombinatorika egyszer� feladataival, módszereivel a problémafelismer� és megoldó képesség fejlesztése.
A feladatokkal a matematika érdekes voltának, gyakorlati használhatóságának megmutatása. Az ismeretek, a feladatok megértésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra és pontosságra nevelés.
• Az ismétléses és ismétlés nélküli permutáció, variáció, kombináció fogalmainak megkülönböztetése, alkalmazásuk egyszer� feladatokban.
• A gráfokkal kapcsolatos elemi ismeretek, s azok felhasználása a matematika különböz� területein modell
alkotásra. • Annak ismerete, hogy a kombinatorika és gráfelmélet területén sok világhír� magyar matematikus
tevékenykedett.
Követelmény
• Ismerjék a permutáció, variáció, kombináció, ismétlés nélküli és ismétléses esetekben. Egyszer� feladatokban tudják ezeket alkalmazni.
• Ismerjék a binomiális együtthatók fogalmát • Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszer� bb feladatokat tudjanak
megoldani. • Ismerjék néhány magyar származású matematikus munkásságának lényegét, akik ezen a területen alkottak
El � zmény Kombinatorikából a korábban szerepl
� módszerek ismerete (sorbarendezés, kiválasztás, fadiagram
alkalmazása, „szorzási és összeadási szabály”).
Tartalom
• Permutáció, variáció, kombináció (ismétlés nélküli és általános esetben is). • A binomiális együtthatók és egyszerübb tulajdonságaik. • Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, egyszer� gráf, összefügg
� gráf, fagráf).
• Matematikatörténeti vonatkozások. A kombinatorika "magyar m� helye" : K�nig Dezs
� és K
�nig Dénes,
Erd�s Pál, Lovász László munkássága.
Értékelés
• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 25 - 2004.június
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a valószín� ség, statisztika témakörrel együtt.
Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.
Egyenletek, egyenl tlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek 11.(12.)K
Óraszám Iskolai: 25 óra
Cél
• Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek b�vítése.
• Másodfokúra visszavezethet� egyenletek, egyenl
�tlenségek, egyenletrendszerek megoldási lehet
�ségeinek
megismerése. Ilyenekre vezet� szöveges feladatok megoldása.
• Egyszer� els�- ill. másodfokúra visszavezethet
� exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenletek
megoldása. • Periodikus függvényt szerepeltet
� egyenletekben a végtelen sok gyök ellen
�rzési módjának megismerése.
Követelmény
• Ismerjék meg, hogy miként lehet felismerni, hogy egy egyenlet vagy egyenletrendszer másodfokúra visszavezethet
�, s biztonsággal tudják e visszavezetést megtenni.
• Tudjanak egyszer� exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenleteket megoldani. • Tudják, hogy ezen egyenletekben szerepl
� függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen
szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor (pl. kett� hatványaként kapott negatív érték nem lehet
megoldása az eredeti egyenletnek). • Ismerjék fel, hogy az egyenlet megoldása során mikor végzünk ekvivalens átalakítást. • Tudják, hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, s tudják, hogy ilyen esetekben
hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta. • Másodfokú egyenletekre visszavezethet
� egyszer� szöveges egyenleteket tudjanak megoldani.
• Ismerjék a hatványozás kiterjesztését racionális kitev�kre.
• Tudjanak egyszer� azonosságokat bizonyítani, ismerjék a tanult azonosságokat.
El � zmény Az egyenletek, egyenl
�tlenségek, egyenletrendszerek megoldásának korábban tanult eljárásainak, tanult
azonosságoknak ismerete. A tanult hatványfogalom biztos ismerete.
Tartalom
• Másodfokúra visszavezethet� magasabbfokú ill. négyzetgyökös egyenletek.
• Els�fokúra ill. másodfokú visszavezethet
� exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.
• A hatványozás kiterjesztése racionális kitev�kre.
• A hatványozás és a logaritmus azonsságai. • Egyszer� trigonometrikus azonossságok (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosságok, négyzetes
összefüggés, áttérés egyik szögfüggvényr�l a másikra).
• Egyszer� bb egyenl�tlenségek megoldása grafikus módszerrel is.
Értékelés
• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a hatvány, gyök,
logaritmus altémakörb�l a függvények témakörrel együtt.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 26 - 2004.június
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt.
Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.
Függvények 11.(12.)K
Óraszám Iskolai: 20 óra
Cél
• Újabb alapvet� függvények (exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus) megismerésével a
függvényfogalom fejlesztése. Ezen függvények grafikonjainak ismerete. • Újabb függvény tulajdonságok megismerése (párosság, páratlanság, periodikusság, korlátosság), a régebbi
fogalmak tartalmának pontosítása és ezzel az elemi függvényvizsgálat b�vítése.
Követelmény
• Ismerjék a különböz� alapú exponenciális és logaritmus függvények grafikonjait, elemi tulajdonságait.
• Ismerjék a trigonometrikus függvények általános értelmezését, grafikonjait, tulajdonságait. • Tudjanak saját készítés� sablonokkal trigonometrikus függvényeket ábrázolni. • Legyen gyakorlatuk ezen függvények egyszer� transzformációiban, abban, hogy a transzformációk hogyan
jelentkeznek a függvények ábráin ill. miként módosulnak a függvények tulajdonságai. • Tudják a függvények grafikonjait egyszer� bb egyenletek és egyenl
�tlenségek megoldásában felhasználni.
El � zmény Az el
�z
� tanévekben megismert függvények értelmezésének, tulajdonságainak és ábráinak ismerete.
Tartalom
• Az exponenciális, a logaritmus függvény és tulajdonságai. • A függvény inverze. Az inverz függvénypárok grafikonja a koordináta-rendszerben • A folytonosság szemléletes fogalma. • A logaritmus és exponenciális függvény grafikonjai különböz
� alap esetén.
• A trigonometrikus függvények általános értelmezése, ábrázolása, alapvet� tulajdonságai (zérushelyek,
széls�értékek, párosság, páratlanság, periodicitás, korlátosság).
• A függvénytranszformációk átismétlése és alkalmazásuk általános esetben: f(x) + c, f(x + c), c f(x), f(cx). • A trigonometrikus függvények egyszer� transzformációi.
Értékelés
• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. Célszer� a tanult függvényekre vonatkozó feladat szerepeltetése a teljes órás dolgozatban is.
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a hatvány, gyök, logaritmus témakörb
�l az algebrai résszel együtt.
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt.
Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 27 - 2004.június
Vektorok, trigonometria 11.(12.)K
Óraszám Iskolai: 13 óra
Cél
• A vektorok skaláris szorzatának ismerete és a matematikán belül a trigonometriában és a koordináta-geometriában való alkalmazása. A fizikával való kapcsolat (a munka értelmezése) megmutatása.
• A sinus- és a cosinustétel alkalmazása háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számításos feladatok során, távolság-, magasság- és szög- meghatározási feladatok megoldása a gyakorlatban.
• A zsebszámológép célszer� használata, a gyakorlati feladatokban megfelel� pontosságú értékek
meghatározása.
Követelmény
• Ismerjék a skaláris szorzatot, tulajdonságait, koordinátákkal való kiszámítási módját; tudják alkalmazni a cosinustétel levezetésében és trigonometriai feladatokban.
• Ismerjék a sinus- és cosinustételt, és tudják alkalmazni a háromszög hiányzó részeinek meghatározásában.
El � zmény
• Az elemi geometriában tanult anyag. A vektorokról és a trigonometriából korábban tanultak. • Táblázat és zsebszámológép használata.
Tartalom
• A skaláris szorzat fogalma és tulajdonságai. • A skaláris szorzat felhasználása egyszer� bb feladatokban. • A sinus- és cosinustétel és levezetésük. • A sinus- és cosinustétel alkalmazása összetettebb síkbeli és térbeli feladatok megoldásában.
Értékelés
• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a trigonometrikus
függvények altémából a trigonometrikus egyenletek és a vektorok, trigonometria témakörrel együtt.
Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.
Koordináta-geometria 11.(12.)K
Óraszám Iskolai: 20 óra
Cél
• Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenl�tlenségek
segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.)
• Az egyenes, a kör, a parabola egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jelleg� feladatokban. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben.
Követelmény
• Ismerjék az egyenes néhány egyenletét, kör középpontos és általános egyenletét, a parabola definícióját és tengelyponti egyenletét.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 28 - 2004.június
• Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni.
El � zmény
• A tizedik évfolyamig bezárólag ezen tanterv geometriai anyagának ismerete. • Egyenletek, egyenletrendszerek biztos megoldása. • Ponthalmazok megadása, nevezetes mértani helyek ismerete. • A koordináta-rendszerben adott pont és egyenes ábrázolásának biztos ismerete. Vektorm� veletek
koordinátákkal.
Tartalom
• Az egyenes irányvektoros, normálvektoros és általános egyenlete. • Adott ponton átmen
�, adott iránytangens� egyenes egyenlete.
• A párhuzamosság és mer�legesség feltétele.
• A kör középpontos és általános egyenlete. • A parabola definíciója, szimmetriatulajdonságai, pontjainak szerkesztése. • A parabola tengelypontos egyenlete. • A kör érint
�jének fogalma. Az érint
� egyenlete konkrét esetekben.
• Az egyenes, a kör és a parabola egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. • Távolsággal kapcsolatos feladatok.
Értékelés
• Lásd az általános részben megfogalmazott a) és b) pontot. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.
Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.
Valószín ségszámítás, statisztika 11.(12.)K
Óraszám Iskolai: 8 óra
Cél
• Statisztikai adatok rendszerezése, matematikai jellemzésük. • A valószín� ség kombinatorikus fogalmának megismerése.
Követelmény
• Ismerjék a statisztikai adatok rendszerezésének módszereit. • Ismerjék a különböz
� ábrázolási módokat: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram.
• Ismerjék a statisztikai adatok néhány jellemz�jét: átlag, modus, medián, szórás.
• Ismerjék, hogy ha egy valószín� ségi kisérletben véges sok elemi esemény lehetséges s azok egyenl�en
valószín� ek, akkor egy esemény valószín� sége kombinatorikus úton határozható meg. • Tudjanak egyszer� valószín� ségi feladatokat (pl. kocka dobásával kapcsolatos feladatok) megoldani.
El � zmény A tanult kombinatorikai ismeretek és a valószín� ség elemi ismeretei.
Tartalom
• Statisztikai adatok gy� jtése, rendszerezése. • Statisztikai adatok különböz
� ábrázolása: kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram.
• A statisztikai sokaság átlaga, modusa, mediánja.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 29 - 2004.június
• A gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma. • A relatív gyakoriság változásának ábrázolása növekv
� elemszám függvényében.
• A valószín� ség szemléletes fogalma. • A valószín� ség kombinatorikus meghatározási módja: kedvez
� esetek száma/összes lehetséges eset száma.
• Egyszer� bb feladatok megoldása.
Értékelés
• Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján a kombinatorika, témakörrel együtt.
Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.
Ismétlés, a felhasználható további órakeret 11.(1 2.)K
Óraszám Iskolai: 8 óra
Cél
• A tanult ismeretek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböz� témakörök
közötti kapcsolat megmutatása. Feladatok megoldása. • Ha az id
� engedi, akkor a tanár által választott, az osztály (csoport) érdekl
�désének megfelel
� kiegészít
�
anyag vagy gyakorló ill. nehezebb feladatok szerepeltetése a rendelkezésre álló id�ben.
Követelmény A 11. évfolyam tantervének altémáiban megfogalmazott követelmények.
El � zmény A tanév végén: az év során tanított anyag ismerete, a legfontosabb anyagrészek egyszer� feladatokon való alkalmazása.
Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböz
� anyagrészek
közötti kapcsolatok kimutatása.
Értékelés A tanulóknak az ismétlés idején nyújtott teljesítményét s az egész tanévi munkáját a végs
� értékelésnél
együttesen vegyük figyelembe.
Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 30 - 2004.június
Matematika 12(13) 12.(13.)K
Részei A matematikai logika elemei 31. oldal Sorozatok 32. oldal Kerület, terület, felszín, térfogat számítás 33. oldal Valószín� ségszámítás, statisztika 33. oldal Rendszerez� összefoglalás 34. oldal
Óraszám Iskolai: 128 óra
Tanítási ciklus: 4 óra / 1 hét
Cél
• A tanév f� feladata e tanulócsoportnak a középszint� iskolai érettségire való eredményes felkészítése.
• Ennek érdekében e tanévben a tanult matematikai anyag igen alapos rendszerez� összefoglalására van
szükség. Kell� id
�t kell fordítani az anyag egyszer� feladatokon való begyakorlására.
• A tanév során tanítandó új anyagrészek feladatainak kiválasztásában fontos, hogy szerepeltessünk érdekes matematikatörténeti feladatokat, továbbá a matematika gyakorlatban való felhasználhatóságát megmutatható feladatokat is.
• Aki ezen tanterv szerint tanult, és emelt szint� érettségire lesz szüksége, a tizenharmadik évben szintemel� foglalkozásokra járhat iskolánkban. A 13.(14.) évfolyamon fogja megtanulni pl. az analízis elemeit, és a valószín� ségi változókról szóló ismereteket. A középszint� és emelt szint� érettségire felkészít
� két utolsó
évfolyam matematika tananyagában kb. 130 tanórányi különbség van.
Követelmény
• A tanulók ismerjék, hogy a matematikában a szerepl� állítások igaz vagy hamis voltáról döntünk. Korábban
a tapasztalatok, a szemlélet segítségével, majd kés�bb alapfogalmak, axiómák, definiált fogalmak s már
bizonyított tételek felhasználásával. A logikai következtetéseknél komoly szerepe van a negációnak, a konjukciónak és a diszjunkciónak.
• Ismerjék a számtani és a mértani sorozat fogalmát, az n-edik tag és az összeg meghatározási módját, s ezekre vonatkozó képleteket tudják alkalmazni a feladatok megoldásában.Tudják a kamatos kamatszámításokat gyakorlati feladatokban is.
• Ismerjék a korábban tanult síkidomokat és testeket, ezek lényeges jellemz�it, s szemléletesen (egyszer� bb
esetekben bizonyítással) tisztázzuk a kerület, terület, felszín és térfogat fogalmát. Legyenek képesek ezekre vonatkozó képletek alkalmazására geometriai és fizikai feladatokban. (Háromszög, speciális négyszögek, sokszögek, csonkagúla, forgáshengerb
�l nyert csonkakúp, gömb).
• Ismerjék a statisztika és a matematikai statisztika néhány alapfogalmát. • Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószín� ségét is meg tudják határozni,
melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. (Például célbalövésnél a 10-es körbe való beletalálás valószín� sége, ha tudjuk, hogy a lövés a céltábla minden pontját egyenl
� valószín� séggel találjuk el.)
• Az középszint� érettségire való felkészülés érdekében a rendszerez� ismétlés segítségével meg kell, hogy
er�södjenek a tanulókban a különböz
� témakörökben (a halmazok és matematikai logika, kombinatorika,
számfogalom, m� veletek, számolási eljárások, egyenletek, függvények, sorozatok, geometriai alakzatok, geometriai transzformációk, geometriai mértékek, vektorok, trigonometria, koordináta-geometria, statisztika, valószín� ségszámítás) tanult fogalmak, összefüggések, eljárások. Ezeket feladatok megoldásakor alkalmazni is tudják.
El � zmény
• Az új anyag tanításához szükséges a korábbi években tanult logikai, sorozatokra vonatkozó s geometriai alakzatokra és mértékekre vonatkozó ismeretek.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 31 - 2004.június
• A rendszerez� összefoglalást segíti, ha a tanult matematika anyag súlypontjai már a korábbi évek évvégi
ismétléseikor kiemeltük, s a különböz� témák közötti összefüggésekre rámutattunk.
Tartalom A matematika logika elemei: 4 óra Sorozatok: 19 óra Kerület, terület, felszín, térfogatszámítás: 28 óra Valószín� ségszámítás: 17 óra Rendszerez� összefoglalás (részletezés kés� bb): 46 óra Témazáró dolgozatok és javítások 14 óra
Értékelés a) Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellen
�rzése.
b) Az írásbeli ellen�rzés formái:
1. rövid dolgozatok 2. az új anyagból két teljes órás felmérés és ezeknek teljes órában történ
� értékelése
3. a rendszerez� összefoglalásból két 90 perces összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történ
�
értékelése 4. április végén egy délutáni id
�pontban 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi
anyagból.
Feltételek
• Középiskolai matematika szakos tanár.Személyi számítógép.A POLYDRON testmodellkészlet. • A tanulóknak: Tankönyv (az iskolai munkaközösség választja). Matematikai és Geometriai
feladatgy� jtemények. Füzetek, körz�, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, testmo-
dellek. • A tanároknak: A tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok,
színes kréták, írásvetít� fóliák, (matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, videokezetták,)
demonstrációs testmodellek, fénymásolási lehet�ség feladatlapok sokszorosításához.
A matematikai logika elemei 12.(13.)K
Óraszám Iskolai: 4 óra
Cél
• A matematika iránt kevésbé érdekl�d
�, de érettségire készül
� tanulóknál is cél a bizonyítások lényegének
megértése, a definíció, a sejtés és a tétel megkülönböztetése, az axiómák jelent�ségének ismerete. A feltétel
és az állítás szerepére, bizonyos esetekben felcserélhet�ségére példák bemutatása.
• Egyszer� állítások logikai értékének megállapítása. A bizonyításokban az ÉS , a VAGY, a NEM szavak helyes alkalmazása. Egyszer� példákon a teljes indukciónak, mint bizonyítási módszernek a megértése.
Követelmény
• Tudják, hogy az állításoknak kétféle logikai értéke lehet. • Tudják, hogy mi a negáció, konjukció, diszjunkció. • A tanult anyagban szerepl
� bizonyítási módszereket (pl. teljes indukciót) reprodukció szinten ismerjék.
El � zmény A korábbi tanévekben szerepl
� matematikai logika elemeinek, s bizonyítási módszereknek ismerete.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 32 - 2004.június
Tartalom
• Állítások logikai értéke. • Negáció, konjukció, diszjunkció. • Néhány példa a teljes indukció megismerésére.
Értékelés
• Szóbeli számonkérés, házi feladat ellen�rzés.
Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.
Sorozatok 12.(13.)K
Óraszám Iskolai: 19 óra
Cél
• A sorozatokkal kapcsolatos fogalmak b�vítése, a sorozat általános fogalmának tisztázása.
• A számtani és a mértani sorozat n-edik tagjára és az els� n tag összegére vonatkozó képlet igazolása,
alkalmazása matematikai, gyakorlati és matematikatörténeti feladatok (pl. a sakk feltalálójának jutalma) megoldására.
Követelmény
• A tanulók tudják, hogy a sorozat speciális függvény. • Ismerjék a számtani és a mértani sorozat általános tagjának és összegének képletét, tudják ezeket
feladatokban alkalmazni. • Ismerjenek néhány példát egyéb sorozatokra is, rekurzióval megadható sorozatokra. • Tudják kamatos kamatot számolni.
El � zmény A témáról korábban tanultak ismerete.
Tartalom
• A sorozat fogalma. Különböz� megadási módok. A sorozatok elemi tulajdonságai.
• A számtani és mértani sorozat fogalma. • A számtani és a mértani sorozat n-edik tagja és els
� n tagjának az összege.
• Kamatos-kamat számítása gyakorlati feladatokban.
Értékelés
• Lásd az általános rész a) és b) pontját. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.
Feltételek Lásd az általános részben leírtakat.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 33 - 2004.június
Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás 12. (13.)K
Óraszám Iskolai: 28 óra
Cél
• A geometria tanítás egyik fontos feladata a gyakorlati életben el�forduló egyszer� síkidomok definícióinak,
testek származtatási módjának megismertetése. • A tanult síkbeli és térbeli alakzatok kerületére, területére, felszínére, térfogatára vonatkozó képletek elemi
meggondolásokkal történ� megmutatása és átismétlése.
Követelmény
• Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszögek, a kör értelmezését és tulajdonságait. • Ismerjék a hasáb, forgáshenger, gúla, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp, gömb származtatását. • Tudjon egyszer� bb testekr
�l és bizonyos metszeteikr
�l rendezett, "beszédes" ábrát készíteni.
• Ismerjék a felsoroltak kerületének, területének, felszínének, térfogatának képletét, s ezeket tudják matematikai, fizikai, technikai feladatokban alkalmazni.
El � zmény A geometriai alakzatokkal és mértékekkel kapcsolatos korábbi ismeretek tudása.
Tartalom
• Az elemi geometriai anyag ismétlése. • Síkidomok területének szemléletes fogalma. • Terület meghatározása különböz
� módon: átdarabolások, számításos módszerek.
• Térgeometriai ismeretek átismétlése. • Térelemek távolsága és szöge. Ezek számítása egyszer � bb testeknél. • A kocka, téglatest, paralelepipedon, hasáb, gúla, csonkagúla, henger, kúp, csonkakúp, gömb származ-tatása,
tulajdonságai, modelljeik elkészítése. • A térfogat és felszín szemléletes fogalma. • Térfogat- és felszínszámítási feladatok.
Értékelés
• Lásd az általános rész a) és b) pontját. • Egy egész órás témazáró felmérés a tanárok által közösen összeállított feladatok alapján.
Feltételek
• Lásd az általános részben megfogalmazottakat. • POLYDRON testkészlet.
Valószín ségszámítás, statisztika 12.(13.)K
Óraszám Iskolai: 17 óra
Cél
• A valószín� ségi szemlélet fejlesztése. Olyan események megmutatása, melyeknek végtelen sok kimenetele lehet.
• Van nulla valószín� ség� , de nem lehetetlen esemény.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 34 - 2004.június
• Annak beláttatása, hogy a valószín� ség meghatározása geometriai mérték segítségével történhet (hosszúság, terület, térfogat).
• A nagy számok törvényének szemléletes megismerése. • A matematikai statisztika alapfogalmainak megismerése.
Követelmény
• Ismerjék a közvéleménykutatás elemeit. • Ismerjék meg a mintavételi eljárásokat. • Ismerjék, s egyszer� esetekben alkalmazni is tudják a geometriai valószín� ség fogalmát. (Pl. annak
megállapítása, hogy adott méret� négyzethálózatra dobott pénzérme milyen valószín� séggel esik valamelyik négyzet belsejébe.)
El � zmény
• A kombinatorikai, statisztikai fogalmak, alapeljárások ismerete.
• A valószín� ségr�l, valószín� ségi kísérletekr
�l, mértékekr
�l korábban tanultak ismerete.
Tartalom
• A mintavételi eljárások: visszatevéses és visszatevés nélküli esetek. Urnás modellek. • A mintavételi eljárások során definiált események kombinatorikus kiszámolása visszatevéses és visszatevés
nélküli esetben (binomiális és hipergeometrikus eloszlás konkrét adatokkal). • Az átlag és szórás kapcsolata. • Egyszer� feladatok a geometriai valószín� ség meghatározására. • A közvéleménykutatás elemei. • A matematikai statisztika alapfogalmai.
Értékelés Lásd az általános rész a) és b) pontját.
Feltételek Lásd az általános részben leírtakat.
Rendszerez összefoglalás 12.(13.)k
Óraszám Iskolai: 46 óra
Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésével, a tanult témakörök lényeges fogalmainak, összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek, m� veltségi területek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával a középszint� érettségi vizsgára való felkészítés.
Követelmény Tudják a tanult fogalmak definícióját, tételeket (az egyszer� bbek bizonyítását reprodukálni is), a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböz
� területei közötti kapcsolatokat, a matematika s az
egyéb tudományok és m� veltségi területek közötti összefüggéseket. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat feladatok megoldásában alkalmazni.
El � zmény A tanterv korábbi évfolyamain s a 12.(13.) évfolyam új témáiban el
�írt követelmények teljesítése.
matematika középszint � tanterv 9-12. ill. 10-13. évfolyamokra
Lovassy Gimnázium - 35 - 2004.június
Tartalom GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK: a) Halmazok, matematikai logika: 4 óra
Halmazok megadási módjai, részhalmaz, kiegészít� halmaz. Halmazok közötti m� veletek. Venn-diagramos
ábrázolás. Állítások, logikai értékük. Negáció, konjukció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. b) Kombinatorika: 5 óra
Permutáció, variáció, kombináció, gráfok.
SZÁMTAN, ALGEBRA: a) Számfogalom, m� velet fogalom, számolási eljárások: 4 óra
A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. Számok normálalakja, az abszolút érték fogalma. Az alapm� veletek és tulajdonságai. Közelít
� értékek, kerekítések. Számelméleti alapfogalmak:
legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, számok prímtényez�s felbontása. Egyszer�
oszthatósági feladatok. Helyiértékes írásmód alapelvei. b) Egyenletek, egyenl� tlenségek: 8 óra
Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai. Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások. Az ellen
�rzés szerepe. Azonosságok. A
hatványozás, gyökvonás és logaritmus azonosságai. Egyszerübb trigonometrikus azonosságok. Egyenletrendszerek.
FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK: 6 óra A függvény és a sorozat fogalma. Speciális függvények és sorozatok: konstans, lineáris, másodfokú, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények, számtani és mértani sorozat. A függvények grafikonjai és elemi tulajdonságai: zérushely, növekedés, fogyás, korlátosság, széls
�érték szemléletes
fogalma, periodicitás, paritás. Függvénytranszformációk.Számítógépes függvényábrázolási módszer.
GEOMETRIA: a) Geometriai alakzatok, bizonyítások: 5 óra
Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. Elemi sík- és térgeometriai tételek. b) Geometriai transzformációk: 3 óra
Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben. Mer
�leges vetítés.
c) Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria: 7 óra A vektor fogalma, m� veletek a vektorok körében. Vektorok koordinátái. Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinustétel. A háromszög hiányzó adatainak trigonometriával való meghatározása. Az egyenes, a kör, a parabola egyenlete.
VALÓSZÍN � SÉGSZÁMÍTÁS, STATISZTIKA: 4 óra Statisztikai adatok gy� jtése, rendszerezése, különböz
� ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram,
hisztogram). Gyakoriság, relatív gyakoriság. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, medián, modus. Szórás. Számítógépes feldolgozási módszerek. Mintavételi eljárások - visszatevéses mintavétel. Valószín� ség, relatív gyakoriság, a nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Sokaság, paraméter. Minta, relatív gyakoriság. A közvéleménykutatás elemei.
Értékelés
• Lásd az általános rész a) és b) 1., 3. pontját. • A rendszerez
� összefoglalásból két 90 perces összefoglaló dolgozat s annak teljes órában történ
� értékelése.
− Az els� ismétl
� dolgozat témái: halmazok, algebra.
− A második ismétl� dolgozat témái: kombinatorika, valószín� ség, statisztika, függvények, geometria.
• Április végén egy délutáni id�pontban 180 perces "próbaérettségi" dolgozat írása a teljes érettségi anyagból.