matematika 1 - e-studente-student.fpz.hr/predmeti/m/matematika_1/materijali/predavanja_2.pdf ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika 1
Bozidar Ivankovic
Zima, 2010
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 2: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/2.jpg)
Ukratko
Matematika 1 sadrzi odabrana poglavlja matematike:
Determinante
Vektori u ravnini i prostoru
Funkcije
Limesi
Derivacija i primjene
Integrali i primjene
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 3: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/3.jpg)
Literatura
Marusic: Matematika 1
Minorski: Zbirka zadataka iz vise matematike
Demidovic: Zbirka zadataka iz vise matematike s primjenomna tehnicke nauke
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 4: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/4.jpg)
Studentske obaveze
Redovita prisutnost
Obavezne domace zadace
Kolokviji
Pismeni dio ispita
Usmeni dio ispita
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 5: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/5.jpg)
VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 6: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/6.jpg)
VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.
Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 7: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/7.jpg)
VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:
Primjer:~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 8: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/8.jpg)
VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 9: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/9.jpg)
VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 10: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/10.jpg)
VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 11: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/11.jpg)
VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 12: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/12.jpg)
VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU
Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:
~m = (90, 60, 90).
Poredak je vazan!
(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).
Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..
Primjer
U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 13: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/13.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.
Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 14: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/14.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 15: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/15.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 16: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/16.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 17: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/17.jpg)
Zbrajanje i oduzimanje vektora
Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.
Zadatak
Odredite ~a + ~b, ako je
~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)
~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 18: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/18.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.
Tada jeλ~a = (λa1, λa2, λa3).
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 19: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/19.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3).
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 20: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/20.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3).
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 21: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/21.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3).
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 22: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/22.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3).
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 23: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/23.jpg)
Mnozenje vektora skalarom
Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je
λ~a = (λa1, λa2, λa3).
Zadatak
Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:
4~a
−3~a
−~a
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 24: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/24.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c
i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 25: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/25.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, ν
jest vektorλ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 26: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/26.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 27: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/27.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 28: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/28.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 29: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/29.jpg)
Linearna kombinacija vektora
Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, νjest vektor
λ~a + µ~b + ν~c .
Zadatak
Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.
Zadatak
Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.
Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 30: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/30.jpg)
Linearna nezavisnost vektora
Vektori ~a1,~a2, . . . ,~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:
λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Pitanje
Da li su vektori ~a = (1, 3),~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 31: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/31.jpg)
Linearna nezavisnost vektora
Vektori ~a1,~a2, . . . ,~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:
λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
Pitanje
Da li su vektori ~a = (1, 3),~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 32: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/32.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.
Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 33: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/33.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.
Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 34: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/34.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 35: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/35.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 36: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/36.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 37: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/37.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 38: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/38.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 39: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/39.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 40: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/40.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora.
Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 41: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/41.jpg)
Vektorski prostor
U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je
1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a
2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b
3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a
4 1 ·~a = ~a
5 0 ·~a = ~0
Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 42: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/42.jpg)
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X 0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 43: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/43.jpg)
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X 0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 44: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/44.jpg)
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X 0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 45: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/45.jpg)
Usmjerena duzina
Zadatak
U koordinatnom sustavu X 0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).
Definicija
Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:
~rA =−→OA = A.
Zadatak
Istaknite orijentirane duzine−→OA i
−→OB.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 46: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/46.jpg)
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X 0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 37.5%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 47: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/47.jpg)
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X 0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 37.5%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 48: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/48.jpg)
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X 0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 37.5%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 49: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/49.jpg)
Zbrajanje usmjerenih duzina
Zadatak
Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i
−→OB = (−2, 5). U
koordinatnom sustavu X 0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +
−→OB.
Zadatak
Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u
smjerovima vektora−→OA i
−→OB.
Rjesenje:−→OC = 3
16
−→OA + 9
16
−→OB ili
−→OC = 18.75%
−→OA + 37.5%
−→OB
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 50: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/50.jpg)
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 51: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/51.jpg)
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 52: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/52.jpg)
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 53: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/53.jpg)
Koordinatni sustavi
Definicija (Bazicni vektori)
Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:
~i = (1, 0)
~j = (0, 1)
Primjer
Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i
−→OC iz zadatka 5 kao linearne
kombinacije vektora ~i i ~j .
Napomena
U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 54: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/54.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 55: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/55.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 56: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/56.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 57: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/57.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 58: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/58.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 59: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/59.jpg)
Od tocke do tocke
Zadatak
Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).
Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.
Izracunajte−→OB −
−→OA.
Izrazite−→OB −
−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .
Teorem
Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli
−→AB =
−→OB −
−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 60: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/60.jpg)
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 61: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/61.jpg)
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 62: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/62.jpg)
Problem
Zadatak
Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje: D = (0,−2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 63: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/63.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 64: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/64.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 65: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/65.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 66: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/66.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 67: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/67.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 68: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/68.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 69: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/69.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 70: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/70.jpg)
Skalarni produkt vektora
Definicija
Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar
~a · ~b =n∑
k=1
akbk .
Zadatak
Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)
2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)
4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)
Rjesenja: 12, -5, -41, -1Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 71: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/71.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 72: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/72.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 73: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/73.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 74: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/74.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 75: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/75.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 76: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/76.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 77: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/77.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 78: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/78.jpg)
Skalarni kvadrat i duljina vektora
Zadatak
Izracunajte ~c2 ako je
1 ~c = (1, 3, 2)
2 ~c = (1,−2)
3 ~c = (−4, 1,−3, 2),
4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),
Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:
|~c | =√~c2.
Primjer
Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.
Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 79: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/79.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 80: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/80.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.
Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 81: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/81.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 82: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/82.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 83: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/83.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 84: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/84.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)
−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 85: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/85.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 86: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/86.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),
−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 87: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/87.jpg)
Jedinicni vektor
Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:
~c0 =1
|~c |· ~c .
Zadatak
Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:
~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).
Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 88: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/88.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 89: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/89.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 90: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/90.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 91: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/91.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 92: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/92.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 93: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/93.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 94: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/94.jpg)
Skalarna projekcija vektora
Definicija
Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar
a~b =~a · ~b|~b|
.
Zadatak
Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
a~b = 14√42
= 2.16
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→
AB
AC−→AB
= − 3√10
= −0.95Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 95: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/95.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 96: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/96.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 97: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/97.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 98: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/98.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 99: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/99.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 100: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/100.jpg)
Vektorska projekcija vektora
Definicija
Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor
~a~b =~a · ~b~b2· ~b.
Zadatak
Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).
~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1
3 ,53 ,
43 )
Zadatak
Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).
Odredite−→AC−→
AB
−→AC−→
AB= − 3
10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 101: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/101.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 102: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/102.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 103: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/103.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 104: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/104.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)
140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 105: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/105.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 106: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/106.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4).
980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 107: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/107.jpg)
Kut koji zatvaraju vektori
Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|
≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu
vektora ~a i ~b:
cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|
.
Zadatak
Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.
Zadatak
Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 108: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/108.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 109: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/109.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 110: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/110.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima.
Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 111: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/111.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 112: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/112.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~a
distributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 113: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/113.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~c
kvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 114: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/114.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b
~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 115: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/115.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 116: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/116.jpg)
Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta
Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:
komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2
~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 117: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/117.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 118: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/118.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 119: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/119.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 120: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/120.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja:
127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 121: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/121.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N,
210~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 122: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/122.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210
~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 123: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/123.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN,
µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 124: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/124.jpg)
Primjena skalarnog produkta
Zadatak
Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.
Zadatak
Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?
rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 125: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/125.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 126: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/126.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 127: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/127.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 128: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/128.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 129: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/129.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 130: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/130.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih
dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i
−→BD, pa pomocu
njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.
2 Zadani su vektori ~a = −2~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.
3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore~i , ~j i ~k .
4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).
5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 131: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/131.jpg)
Rjesenja
1−→AS =~i + 3~j , C = (4, 7), D = (1, 1).
2 ~c = −2~a + 3~b.
3 ~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1; ~i ·~j =~i · ~k =~j · ~k = 0.
4 Dvije su stranice po 3.3, jedna je 3.5 jedinicne duljine, kutevi: dva po58.5o , jedan od 63o .
5 ~R = 143 N, ϕ = 630.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 132: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/132.jpg)
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 133: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/133.jpg)
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 134: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/134.jpg)
DETERMINANTE
Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.
Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci
|a11| = a11
gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 135: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/135.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 136: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/136.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 137: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/137.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ .
rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 138: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/138.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 139: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/139.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 140: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/140.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ .
Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 141: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/141.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 142: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/142.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ;
b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 143: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/143.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ;
c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 144: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/144.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣
Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 145: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/145.jpg)
Determinante drugog reda
Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Zadatak
Izracunajte vrijednost determinante
∣∣∣∣ 3 45 6
∣∣∣∣ . rj. (−2).
Zadaci:
1 Izracunajte determinantu:
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ . Rjesenje: -2
2 Izracunajte vrijednost determinanti:
a)
∣∣∣∣ 3 28 5
∣∣∣∣ ; b)
∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1
∣∣∣∣ ; c)
∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1
∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 146: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/146.jpg)
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 147: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/147.jpg)
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 148: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/148.jpg)
...za odrasle...
Zadatak
Rijesite jednadzbu:
∣∣∣∣ sin x cos x−4 1
∣∣∣∣ = 3.
Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x
2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 ,
x12 = 0.50047 + kπ; x2
2 = −0.2612 + kπ.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 149: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/149.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f
h k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f
g k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 150: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/150.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f
h k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f
g k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣ .
1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 151: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/151.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f
h k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f
g k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣
Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 152: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/152.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f
h k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f
g k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 153: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/153.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f
h k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f
g k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣
Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 154: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/154.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f
h k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f
g k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 155: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/155.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f
h k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f
g k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .
Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 156: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/156.jpg)
Determinante treceg reda
Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h k
∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f
h k
∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f
g k
∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e
g h
∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:
∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5
∣∣∣∣∣∣ Rj: -38
2 Rijesite determinantu
∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2
∣∣∣∣∣∣ Rj: -3
3 Izracunati
∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z
∣∣∣∣∣∣ , gdje je
z = z1z2, z1 =
√3
6 −16 i , z2 = −
√3
6 −16 i .Rj: 3
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 157: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/157.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 158: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/158.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 159: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/159.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 160: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/160.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse
Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 161: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/161.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima.
Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 162: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/162.jpg)
Primjena determinanti
Primjer
Rijesite sustav
3x − 2y = 4
4x + 6y = 9
Primjer
Rijesite sustav
x + y + 2z = 9
2x + 3y − z = −4
3x − 2y − 3z = 1
Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 163: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/163.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite
komponente vektora ~c = ~a× ~b. (8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 164: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/164.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.
Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite
komponente vektora ~c = ~a× ~b. (8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 165: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/165.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.
Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite
komponente vektora ~c = ~a× ~b. (8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 166: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/166.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).
Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite
komponente vektora ~c = ~a× ~b. (8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 167: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/167.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .
Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite
komponente vektora ~c = ~a× ~b. (8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 168: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/168.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite
komponente vektora ~c = ~a× ~b.
(8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 169: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/169.jpg)
VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:
~a× ~b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ .Zadatak
Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite
komponente vektora ~c = ~a× ~b. (8, 12,−6)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 170: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/170.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c.
b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a,~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 171: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/171.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c.
b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a,~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 172: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/172.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c.
b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a,~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 173: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/173.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c.
b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.
d) Kut ϕ = ](~a,~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 174: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/174.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c.
b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a,~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 175: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/175.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c.
b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a,~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 176: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/176.jpg)
Geometrija vektorskog produkta
Primjer
Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite
a) Komponente vektora ~c.
b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).
c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a,~b).
e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.
f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 177: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/177.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 binarna je operacija
× : R3 × R3 → R3
definirana opisom vektora
~c = ~a× ~b
koji ima smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 178: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/178.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 binarna je operacija
× : R3 × R3 → R3
definirana opisom vektora
~c = ~a× ~b
koji ima
smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 179: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/179.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 binarna je operacija
× : R3 × R3 → R3
definirana opisom vektora
~c = ~a× ~b
koji ima smjer,
orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 180: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/180.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 binarna je operacija
× : R3 × R3 → R3
definirana opisom vektora
~c = ~a× ~b
koji ima smjer, orijentaciju
i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 181: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/181.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 binarna je operacija
× : R3 × R3 → R3
definirana opisom vektora
~c = ~a× ~b
koji ima smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 182: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/182.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 binarna je operacija
× : R3 × R3 → R3
definirana opisom vektora
~c = ~a× ~b
koji ima smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 183: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/183.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 binarna je operacija
× : R3 × R3 → R3
definirana opisom vektora
~c = ~a× ~b
koji ima smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 184: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/184.jpg)
Geometrijska definicija vektorskog produkta
Vektorski produkt u R3 binarna je operacija
× : R3 × R3 → R3
definirana opisom vektora
~c = ~a× ~b
koji ima smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:
1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b
2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu
3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 185: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/185.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 186: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/186.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a
2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 187: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/187.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c
3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 188: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/188.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b
4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 189: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/189.jpg)
Svojstva vektorskog produkta
Svojstva vektorskog produkta su
1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 190: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/190.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Nadite duljinu krace visine i povrsinu paralelograma razapetog
vektorima 2~b −~a i 3~a + 2~b, ako je |~a| = 5, |~b| = 4 i kut
∠(~a,~b) = π4 . P = 80
√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje je tablica:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 191: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/191.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Nadite duljinu krace visine i povrsinu paralelograma razapetog
vektorima 2~b −~a i 3~a + 2~b, ako je |~a| = 5, |~b| = 4 i kut
∠(~a,~b) = π4 .
P = 80√
2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje je tablica:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 192: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/192.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Nadite duljinu krace visine i povrsinu paralelograma razapetog
vektorima 2~b −~a i 3~a + 2~b, ako je |~a| = 5, |~b| = 4 i kut
∠(~a,~b) = π4 . P = 80
√2 ≈ 113.14;
v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje je tablica:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 193: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/193.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Nadite duljinu krace visine i povrsinu paralelograma razapetog
vektorima 2~b −~a i 3~a + 2~b, ako je |~a| = 5, |~b| = 4 i kut
∠(~a,~b) = π4 . P = 80
√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje je tablica:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 194: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/194.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Nadite duljinu krace visine i povrsinu paralelograma razapetog
vektorima 2~b −~a i 3~a + 2~b, ako je |~a| = 5, |~b| = 4 i kut
∠(~a,~b) = π4 . P = 80
√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje je tablica:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 195: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/195.jpg)
...da li razumijemo?
Zadatak
Nadite duljinu krace visine i povrsinu paralelograma razapetog
vektorima 2~b −~a i 3~a + 2~b, ako je |~a| = 5, |~b| = 4 i kut
∠(~a,~b) = π4 . P = 80
√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28
Zadatak
Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.
Rjesenje je tablica:
× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 196: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/196.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k. Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 197: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/197.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k.
Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 198: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/198.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k. Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 199: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/199.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k. Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2).
Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 200: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/200.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k. Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 201: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/201.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k. Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k.
Rjesenje: ~n0 = ± 1√11
(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 202: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/202.jpg)
... a koordinate?
Zadatak
Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k. Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.
Zadatak
Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica
Zadatak
Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√
11(−~i + 3~j − ~k)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 203: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/203.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a =~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d ×~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je|~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠(~m,~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 204: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/204.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a =~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d ×~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je|~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠(~m,~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 205: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/205.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a =~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d ×~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je|~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠(~m,~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 206: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/206.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a =~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d ×~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je|~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠(~m,~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 207: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/207.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a =~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d ×~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je|~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠(~m,~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 208: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/208.jpg)
Domaca zadaca
1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
3 Zadani su vektori ~a =~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d ×~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.
4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.
5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je|~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠(~m,~n) = π/3.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 209: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/209.jpg)
Rjesenja
1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).
2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).
4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90
5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√
3 ∼ 7, |~b| = 2√
13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20
√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 210: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/210.jpg)
Rjesenja
1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).
2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).
4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90
5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√
3 ∼ 7, |~b| = 2√
13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20
√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 211: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/211.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 212: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/212.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru.
Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 213: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/213.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 214: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/214.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣
Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 215: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/215.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 216: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/216.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 217: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/217.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 218: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/218.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 219: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/219.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 220: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/220.jpg)
Mjesoviti produkt
Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:
(~a× ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣Zadatak
Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:
1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)
2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)
3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)
4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)
5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 221: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/221.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 222: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/222.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 223: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/223.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 224: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/224.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.
Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 225: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/225.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 226: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/226.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 227: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/227.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 228: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/228.jpg)
Mjesoviti produkt, geometrijski
Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .
Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1
6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:
a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.
b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja
c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 229: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/229.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 230: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/230.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 231: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/231.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 232: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/232.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka?
(rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 233: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/233.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 234: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/234.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b.
(rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 235: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/235.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 236: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/236.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.
(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 237: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/237.jpg)
Domaca zadaca
1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima
~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k
.
(rj: V = 33, v = 4.4)
2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)
3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)
4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 238: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/238.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 239: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/239.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora.
Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 240: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/240.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 241: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/241.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?
Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 242: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/242.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 243: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/243.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2).
Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 244: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/244.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 245: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/245.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.
Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 246: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/246.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 247: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/247.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .
Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 248: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/248.jpg)
Ispitni zadaci
1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.
2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut
medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.
3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).
4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).
5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 249: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/249.jpg)
Prva obavezna domaca zadaca iz Matematike 1
1 Trokut je zadan tockama A(3, 1, 2), B(0,−1,−2) i C(−1,−2, 1).
Odredite vektore−→AB,−→BC i
−→AC . Izracunajte kut α. Koliki je opseg
trokuta? Koja je najdulja stranica trokuta? Koliki je najveci kut trokuta?
2 Poznati su vektori ~a i ~b. Kut izmedu vektora je 200, a iznosi vektora su|~a| = 1.2 i |~b| = 2.5. Izracunajte ~a · ~b, (~a + ~b)2, |~a + ~b| i konacno
|(~a · ~b)(~a + ~b)|.3 Zadani su vrhovi paralelograma A(1,−1, 0), B(1, 1, 2), C(−1,−2, 1) i
D(−1,−4,−1). Odredite vektore−→AB,−→BC ,−→DC i
−→AD. Odredite
−→AB ×
−→BC
i izracunajte |−→AB ×
−→BC |. Skicirajte paralelogram. Kolika je povrsina
paralelograma? Kolika je duljina najdulje stranice u paralelogramu?Koliko je dugacka najkraca visina u paralelogramu?
4 U prostoru su zadane tocke A(1, 1, 0),B(2, 1,−3),C(−1, 2, 1) i
D(−1, 4,−1). Odredite vektore−→AB,−→AC ,−→AD. Izracunajte
(−→AB ×
−→AC) ·
−→AD. Odredite
−→AB ×
−→AC i izracunajte |
−→AB ×
−→AC |. Koliki je
volumen tetraedra odredenog tockama A,B,C i D? Koliku povrsinu imatrokut ABC? Koliko je visoko tocka D iznad trokuta baze ABC?.
5 Zadane su tocke A(3,−5, 0) i B(2, 4, 6). Zadan je vektor ~c = 3~i −~j + ~k.
Izracunajte−→AB × (~c −
−→AB)× ~c.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 250: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/250.jpg)
Rjesenja prve obavezne domace zadace izMatematike 1
1 α = 370, O = 13.8, γ = 760.
2 ~a · ~b = 2.8, (~a + ~b)2 = 13.34, |~a + ~b| =3.65, |(~a · ~b)(~a + ~b)| = 10.28.
3−→AB×
−→BC = (4,−4, 4), |
−→AB×
−→BC | = 6.9, P = 6.9, vmin = 1.85
4 (−→AB ×
−→AC ) ·
−→AD = 8,
−→AB ×
−→AC = (3, 5, 1), |
−→AB ×
−→AC | =
5.9, V = 1.33, P∆ = 2.96, h = 1.35.
5 −7~i − 93~j − 72~k .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 251: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/251.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 252: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/252.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 253: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/253.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 254: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/254.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 255: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/255.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:
1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 256: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/256.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D
2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 257: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/257.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 258: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/258.jpg)
FUNKCIJE
Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:
Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.
Pravilo pridruzivanja:
f : D → K,
sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.
Zadatak
Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 259: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/259.jpg)
Graf funkcije
Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:
Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom
f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 260: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/260.jpg)
Graf funkcije
Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:
Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom
f (x) = log x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 261: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/261.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:
f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 262: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/262.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost:
za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 263: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/263.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost:
injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 264: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/264.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 265: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/265.jpg)
Osobine pridruzivanja
Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:
Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)
Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost
Pitanje
Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 266: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/266.jpg)
Inverz
Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija
g : K → D,
s pravilom preslikavanja:
∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .
Ouobicajena oznaka
x = f −1(y) = g(y).
Zadatak
Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 267: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/267.jpg)
Inverz
Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija
g : K → D,
s pravilom preslikavanja:
∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .
Ouobicajena oznaka
x = f −1(y) = g(y).
Zadatak
Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 268: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/268.jpg)
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.
Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 269: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/269.jpg)
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 270: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/270.jpg)
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 271: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/271.jpg)
Realne funkcije realne varijable
Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 272: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/272.jpg)
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Napomena
Vecina funkcija nije niti parna niti neparna, no svaka se funkcijamoze zapisati kao linearna kombinacija parne i neparne funkcije:
g(x) =g(x) + g(−x)
2+
g(x)− g(−x)
2.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 273: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/273.jpg)
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Napomena
Vecina funkcija nije niti parna niti neparna, no svaka se funkcijamoze zapisati kao linearna kombinacija parne i neparne funkcije:
g(x) =g(x) + g(−x)
2+
g(x)− g(−x)
2.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 274: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/274.jpg)
Parnost i neparnost funkcije
Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi
f (−x) = f (x).
Funkcija je neparna ako je
f (−x) = −f (x).
Zadatak
Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .
Napomena
Vecina funkcija nije niti parna niti neparna, no svaka se funkcijamoze zapisati kao linearna kombinacija parne i neparne funkcije:
g(x) =g(x) + g(−x)
2+
g(x)− g(−x)
2.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 275: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/275.jpg)
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x.
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 276: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/276.jpg)
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x.
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 277: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/277.jpg)
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x.
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 278: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/278.jpg)
Periodicnost funkcije
Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x.
Zadatak
Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 279: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/279.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 280: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/280.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).
Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 281: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/281.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 282: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/282.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).
Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 283: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/283.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 284: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/284.jpg)
Monotone funkcije i lokalni ekstremi
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 285: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/285.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x. Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 286: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/286.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).
Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x. Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 287: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/287.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).
Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x. Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 288: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/288.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x. Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 289: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/289.jpg)
Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije
Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.
Zadatak
Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x. Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 290: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/290.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 291: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/291.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 292: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/292.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 293: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/293.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 294: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/294.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 295: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/295.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.
2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12
x. Odredite domenu i
intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.
3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.
4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.
5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 296: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/296.jpg)
Kodomena i slika funkcije
Napomena
Treba razlikovati pojam kodomene K kao sireg skupa unutar kojegsu neki elementi pridruzeni elementima domene D i slike funkcijeR(f ) = f (D) = {y ∈ K, ∃x ∈ D, f (x) = y}
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 297: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/297.jpg)
Kodomena i slika funkcije
Napomena
Treba razlikovati pojam kodomene K kao sireg skupa unutar kojegsu neki elementi pridruzeni elementima domene D i slike funkcijeR(f ) = f (D) = {y ∈ K, ∃x ∈ D, f (x) = y}
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 298: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/298.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n
k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore
P(x) =n∑
k=0
akxk = an
m∏j=1
(x − xj)l∏
i=1
(x2 + pix + qi ),
gdje su x1, . . . , xm realne nultocke, dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 299: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/299.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n
k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.
Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore
P(x) =n∑
k=0
akxk = an
m∏j=1
(x − xj)l∏
i=1
(x2 + pix + qi ),
gdje su x1, . . . , xm realne nultocke, dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 300: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/300.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n
k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu.
Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore
P(x) =n∑
k=0
akxk = an
m∏j=1
(x − xj)l∏
i=1
(x2 + pix + qi ),
gdje su x1, . . . , xm realne nultocke, dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 301: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/301.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n
k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore
P(x) =n∑
k=0
akxk = an
m∏j=1
(x − xj)l∏
i=1
(x2 + pix + qi ),
gdje su x1, . . . , xm realne nultocke, dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 302: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/302.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n
k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore
P(x) =n∑
k=0
akxk = an
m∏j=1
(x − xj)l∏
i=1
(x2 + pix + qi ),
gdje su x1, . . . , xm realne nultocke, dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 303: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/303.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n
k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore
P(x) =n∑
k=0
akxk = an
m∏j=1
(x − xj)l∏
i=1
(x2 + pix + qi ),
gdje su x1, . . . , xm realne nultocke,
dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 304: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/304.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n
k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore
P(x) =n∑
k=0
akxk = an
m∏j=1
(x − xj)l∏
i=1
(x2 + pix + qi ),
gdje su x1, . . . , xm realne nultocke, dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 305: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/305.jpg)
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n
k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore
P(x) =n∑
k=0
akxk = an
m∏j=1
(x − xj)l∏
i=1
(x2 + pix + qi ),
gdje su x1, . . . , xm realne nultocke, dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.
Primjer
Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 306: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/306.jpg)
Racionalne funkcije
oblika R(x) =P(x)
Q(x)nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Primjer
Rastav na parcijalne razlomke racionalne funkcije
R(x) =x4 + 1
x3 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 307: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/307.jpg)
Racionalne funkcije
oblika R(x) =P(x)
Q(x)nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Primjer
Rastav na parcijalne razlomke racionalne funkcije
R(x) =x4 + 1
x3 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 308: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/308.jpg)
Racionalne funkcije
oblika R(x) =P(x)
Q(x)nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji.
Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Primjer
Rastav na parcijalne razlomke racionalne funkcije
R(x) =x4 + 1
x3 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 309: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/309.jpg)
Racionalne funkcije
oblika R(x) =P(x)
Q(x)nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Primjer
Rastav na parcijalne razlomke racionalne funkcije
R(x) =x4 + 1
x3 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 310: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/310.jpg)
Racionalne funkcije
oblika R(x) =P(x)
Q(x)nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.
Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.
Primjer
Rastav na parcijalne razlomke racionalne funkcije
R(x) =x4 + 1
x3 − 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 311: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/311.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 312: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/312.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 313: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/313.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 314: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/314.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 315: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/315.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 316: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/316.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 317: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/317.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 318: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/318.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 319: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/319.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 320: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/320.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 321: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/321.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 322: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/322.jpg)
Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke
Zadatak
Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2
x3+5x2+6x
Odredite rastave racionalnih funkcija:
1 2x+1x3+x
2 2(x−1)(x−2)(x−3) .
3 x2
(x−1)2(x+1).
4 4(x2−1)2 .
5 1x4−1
.
6 x2+1(x2+x+1)2 .
7 x4+1x3(x2+1)
.
8 8x4+4
.
Rastave provjerite algebarski.Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 323: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/323.jpg)
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 324: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/324.jpg)
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 325: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/325.jpg)
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 326: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/326.jpg)
Broj e.
Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.
Zadatak
Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?
Zadatak
Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p
12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?
Zadatak
Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360
ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 327: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/327.jpg)
Granicna vrijednost
Promatranjem tri prethodna zadatka naslucuje se postojanjegranicne vrijednosti za ukamacivanja koja bi se vrsila svakogtrenutka.
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 328: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/328.jpg)
Granicna vrijednost
Promatranjem tri prethodna zadatka naslucuje se postojanjegranicne vrijednosti za ukamacivanja koja bi se vrsila svakogtrenutka.
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 329: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/329.jpg)
Granicna vrijednost
Promatranjem tri prethodna zadatka naslucuje se postojanjegranicne vrijednosti za ukamacivanja koja bi se vrsila svakogtrenutka.
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 330: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/330.jpg)
Granicna vrijednost
Promatranjem tri prethodna zadatka naslucuje se postojanjegranicne vrijednosti za ukamacivanja koja bi se vrsila svakogtrenutka.
Zadatak
Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite
f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.
Napomena
Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.
Definicija
Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost
niza realnih brojeva 2,
(3
2
)2
,
(4
3
)3
,
(5
4
)4
. . . cija vrijednost
zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 331: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/331.jpg)
... a lova, di su nofci?
Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞
(1 +p
n)n = ep.
Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim
kamatnjakom p iznositi: limn→∞
C0 · (1 +p
n) = C0 · ep.
Zadatak
Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje? Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%
Potpitanje
Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27% 93.48%
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 332: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/332.jpg)
... a lova, di su nofci?
Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞
(1 +p
n)n = ep.
Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim
kamatnjakom p iznositi: limn→∞
C0 · (1 +p
n) = C0 · ep.
Zadatak
Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje? Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%
Potpitanje
Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27% 93.48%
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 333: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/333.jpg)
... a lova, di su nofci?
Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞
(1 +p
n)n = ep.
Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim
kamatnjakom p iznositi:
limn→∞
C0 · (1 +p
n) = C0 · ep.
Zadatak
Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje? Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%
Potpitanje
Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27% 93.48%
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 334: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/334.jpg)
... a lova, di su nofci?
Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞
(1 +p
n)n = ep.
Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim
kamatnjakom p iznositi: limn→∞
C0 · (1 +p
n) = C0 · ep.
Zadatak
Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje? Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%
Potpitanje
Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27% 93.48%
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 335: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/335.jpg)
... a lova, di su nofci?
Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞
(1 +p
n)n = ep.
Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim
kamatnjakom p iznositi: limn→∞
C0 · (1 +p
n) = C0 · ep.
Zadatak
Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje?
Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%
Potpitanje
Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27% 93.48%
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 336: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/336.jpg)
... a lova, di su nofci?
Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞
(1 +p
n)n = ep.
Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim
kamatnjakom p iznositi: limn→∞
C0 · (1 +p
n) = C0 · ep.
Zadatak
Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje? Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%
Potpitanje
Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja?
Rjesenje: 55.27% 93.48%
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 337: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/337.jpg)
... a lova, di su nofci?
Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞
(1 +p
n)n = ep.
Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim
kamatnjakom p iznositi: limn→∞
C0 · (1 +p
n) = C0 · ep.
Zadatak
Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje? Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%
Potpitanje
Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27%
93.48%
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 338: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/338.jpg)
... a lova, di su nofci?
Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞
(1 +p
n)n = ep.
Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim
kamatnjakom p iznositi: limn→∞
C0 · (1 +p
n) = C0 · ep.
Zadatak
Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje? Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%
Potpitanje
Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27% 93.48%
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 339: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/339.jpg)
Sto je ovdje fundamentalno,...
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 340: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/340.jpg)
Sto je ovdje fundamentalno,...
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 341: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/341.jpg)
...a sto nije.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane
formulom ch(x) =ex + e−x
2. Napisite formulu funkcije
ch−1(x) = Arch(x)
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane
formulom sh(x) =ex − e−x
2. Napisite formulu funkcije
sh−1(x) = Arsh(x)
Zadatak
Izracunajte ch2x − sh2x i ch2x + sh2x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 342: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/342.jpg)
...a sto nije.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane
formulom ch(x) =ex + e−x
2. Napisite formulu funkcije
ch−1(x) = Arch(x)
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane
formulom sh(x) =ex − e−x
2. Napisite formulu funkcije
sh−1(x) = Arsh(x)
Zadatak
Izracunajte ch2x − sh2x i ch2x + sh2x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 343: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/343.jpg)
...a sto nije.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane
formulom ch(x) =ex + e−x
2. Napisite formulu funkcije
ch−1(x) = Arch(x)
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane
formulom sh(x) =ex − e−x
2. Napisite formulu funkcije
sh−1(x) = Arsh(x)
Zadatak
Izracunajte ch2x − sh2x i ch2x + sh2x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 344: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/344.jpg)
...a sto nije.
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane
formulom ch(x) =ex + e−x
2. Napisite formulu funkcije
ch−1(x) = Arch(x)
Zadatak
Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane
formulom sh(x) =ex − e−x
2. Napisite formulu funkcije
sh−1(x) = Arsh(x)
Zadatak
Izracunajte ch2x − sh2x i ch2x + sh2x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 345: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/345.jpg)
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 346: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/346.jpg)
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 347: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/347.jpg)
Eksponencijalna funkcija
Definicija
Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.
Zapamtiti
Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .
Zadatak
Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 348: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/348.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x:
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevizbog uvjeta x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 349: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/349.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x:
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevizbog uvjeta x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 350: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/350.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x:
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevizbog uvjeta x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 351: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/351.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x:
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevizbog uvjeta x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 352: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/352.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x:
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevizbog uvjeta x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 353: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/353.jpg)
Logaritamska funkcija
Definicija
Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x:
logb x = y
x = by
Zapamtiti
Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevizbog uvjeta x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.
Zadatak
Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:
y = log0.5 x
y = ln |x |
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 354: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/354.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 355: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/355.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 356: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/356.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100?
rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 357: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/357.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 358: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/358.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut.
Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 359: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/359.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu.
Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 360: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/360.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 361: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/361.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.
Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 362: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/362.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z.
Domenu funkcije ctg x = cos xsin x
cine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 363: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/363.jpg)
Trigonometrijske funkcije
Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.
Zadatak
Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m
Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.
Zapamtiti
Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni
brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x
sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 364: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/364.jpg)
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 365: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/365.jpg)
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 366: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/366.jpg)
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 367: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/367.jpg)
Ciklometrijske funkcije
Definicija (Arkus sinus)
Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π
2 ,π2
]zadana je pravilom:
y = arcsin x ⇔ sin y = x
Definicija (Arkus kosinus)
Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x
Definicija (Arkus tangens)
Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π
2 ,π2
)zadana je
pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 368: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/368.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x2 y = arccos x
2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}
3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)
4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:
f (x) =x2 + 2
x3 + 5x2 + 6x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 369: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/369.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija
1 y = arctg x2 y = arccos x
2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}
3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)
4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:
f (x) =x2 + 2
x3 + 5x2 + 6x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 370: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/370.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x
2 y = arccos x
2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}
3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)
4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:
f (x) =x2 + 2
x3 + 5x2 + 6x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 371: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/371.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x2 y = arccos x
2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}
3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)
4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:
f (x) =x2 + 2
x3 + 5x2 + 6x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 372: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/372.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x2 y = arccos x
2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}
3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)
4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:
f (x) =x2 + 2
x3 + 5x2 + 6x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 373: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/373.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x2 y = arccos x
2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}
3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)
4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:
f (x) =x2 + 2
x3 + 5x2 + 6x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 374: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/374.jpg)
Domaca zadaca
1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x2 y = arccos x
2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}
3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)
4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:
f (x) =x2 + 2
x3 + 5x2 + 6x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 375: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/375.jpg)
Slaganje funkcija
Napomena
Slaganje funkcija f (x) i g(x) u oznaci
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
moguce je samo u slucaju ako je slika funkcije g(x) sadrzana udomeni funkcije f (x).
Zadatak
Ako je f (x) = cos x2 , g(x) = −πx, koliko je (f ◦ g)(−113)?
Zadatak
Odredite kompozicije f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f i g ◦ g za funkcije
1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3
2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2
3 x − 53
3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 376: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/376.jpg)
Slaganje funkcija
Napomena
Slaganje funkcija f (x) i g(x) u oznaci
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
moguce je samo u slucaju ako je slika funkcije g(x) sadrzana udomeni funkcije f (x).
Zadatak
Ako je f (x) = cos x2 , g(x) = −πx, koliko je (f ◦ g)(−113)?
Zadatak
Odredite kompozicije f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f i g ◦ g za funkcije
1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3
2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2
3 x − 53
3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 377: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/377.jpg)
Slaganje funkcija
Napomena
Slaganje funkcija f (x) i g(x) u oznaci
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
moguce je samo u slucaju ako je slika funkcije g(x) sadrzana udomeni funkcije f (x).
Zadatak
Ako je f (x) = cos x2 , g(x) = −πx, koliko je (f ◦ g)(−113)?
Zadatak
Odredite kompozicije f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f i g ◦ g za funkcije
1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3
2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2
3 x − 53
3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 378: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/378.jpg)
Dekompozicija funkcije
Zadatak
Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:
1 y = log2 x
2 y =3√
sin2 x
3 y = 5(3x+1)2
4 y = ln(2x2 − 3)
5 y = ln√
2x − 1
6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 379: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/379.jpg)
Dekompozicija funkcije
Zadatak
Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:
1 y = log2 x
2 y =3√
sin2 x
3 y = 5(3x+1)2
4 y = ln(2x2 − 3)
5 y = ln√
2x − 1
6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 380: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/380.jpg)
Dekompozicija funkcije
Zadatak
Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:
1 y = log2 x
2 y =3√
sin2 x
3 y = 5(3x+1)2
4 y = ln(2x2 − 3)
5 y = ln√
2x − 1
6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 381: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/381.jpg)
Dekompozicija funkcije
Zadatak
Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:
1 y = log2 x
2 y =3√
sin2 x
3 y = 5(3x+1)2
4 y = ln(2x2 − 3)
5 y = ln√
2x − 1
6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 382: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/382.jpg)
Dekompozicija funkcije
Zadatak
Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:
1 y = log2 x
2 y =3√
sin2 x
3 y = 5(3x+1)2
4 y = ln(2x2 − 3)
5 y = ln√
2x − 1
6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 383: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/383.jpg)
Dekompozicija funkcije
Zadatak
Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:
1 y = log2 x
2 y =3√
sin2 x
3 y = 5(3x+1)2
4 y = ln(2x2 − 3)
5 y = ln√
2x − 1
6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 384: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/384.jpg)
Dekompozicija funkcije
Zadatak
Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:
1 y = log2 x
2 y =3√
sin2 x
3 y = 5(3x+1)2
4 y = ln(2x2 − 3)
5 y = ln√
2x − 1
6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 385: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/385.jpg)
Dekompozicija funkcije
Zadatak
Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:
1 y = log2 x
2 y =3√
sin2 x
3 y = 5(3x+1)2
4 y = ln(2x2 − 3)
5 y = ln√
2x − 1
6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 386: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/386.jpg)
Domena slozene funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Nadite domenu funkcije y = ln(1 + e−x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 387: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/387.jpg)
Domena slozene funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Nadite domenu funkcije y = ln(1 + e−x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 388: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/388.jpg)
Domena slozene funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Nadite domenu funkcije y = ln(1 + e−x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 389: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/389.jpg)
Domena slozene funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Nadite domenu funkcije y = ln(1 + e−x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 390: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/390.jpg)
Domena slozene funkcije
Zadatak
Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom
f (x) =ln(1 + x)
x − 1.
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y =
√x2 − 5x + 6
x − 1
Zadatak
Nadite domenu funkcije f (x) =√
1− 2x + 3 arcsin3x − 1
2.
Zadatak
Nadite domenu funkcije y = ln(1 + e−x
).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 391: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/391.jpg)
Istrazivanje domena slozenih funkcija
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Zadatak
Treba istraziti podrucje u kojem je definirana funkcija
y =√
3− log2(x − 1).
Zadatak
Napisite domenu funkcije zadane formulom y = arcsin(ln x)
Zadatak
Ispitajte domenu definiranosti funkcije
y = ln sin(x − 3) +√
16− x2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 392: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/392.jpg)
Istrazivanje domena slozenih funkcija
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Zadatak
Treba istraziti podrucje u kojem je definirana funkcija
y =√
3− log2(x − 1).
Zadatak
Napisite domenu funkcije zadane formulom y = arcsin(ln x)
Zadatak
Ispitajte domenu definiranosti funkcije
y = ln sin(x − 3) +√
16− x2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 393: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/393.jpg)
Istrazivanje domena slozenih funkcija
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Zadatak
Treba istraziti podrucje u kojem je definirana funkcija
y =√
3− log2(x − 1).
Zadatak
Napisite domenu funkcije zadane formulom y = arcsin(ln x)
Zadatak
Ispitajte domenu definiranosti funkcije
y = ln sin(x − 3) +√
16− x2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 394: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/394.jpg)
Istrazivanje domena slozenih funkcija
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Zadatak
Treba istraziti podrucje u kojem je definirana funkcija
y =√
3− log2(x − 1).
Zadatak
Napisite domenu funkcije zadane formulom y = arcsin(ln x)
Zadatak
Ispitajte domenu definiranosti funkcije
y = ln sin(x − 3) +√
16− x2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 395: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/395.jpg)
Istrazivanje domena slozenih funkcija
Zadatak
Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija
f (x) = arccos
(3x − 2
4− x
).
Zadatak
Treba istraziti podrucje u kojem je definirana funkcija
y =√
3− log2(x − 1).
Zadatak
Napisite domenu funkcije zadane formulom y = arcsin(ln x)
Zadatak
Ispitajte domenu definiranosti funkcije
y = ln sin(x − 3) +√
16− x2
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 396: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/396.jpg)
Grafovi lakse slozenih funkcija
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = sin x nacrtati dijagram napona
izmjenicne struje u = 220V sin
(100πt +
3π
2
).
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = arcsin x nacrtajte graf funkcijuy = 3
2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).
Zadatak
Temeljem poznavanja grafa elementarne funkcije y = ln x skicirajtegraf funkcije y = −2 ln(2x + 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 397: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/397.jpg)
Grafovi lakse slozenih funkcija
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = sin x nacrtati dijagram napona
izmjenicne struje u = 220V sin
(100πt +
3π
2
).
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = arcsin x nacrtajte graf funkcijuy = 3
2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).
Zadatak
Temeljem poznavanja grafa elementarne funkcije y = ln x skicirajtegraf funkcije y = −2 ln(2x + 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 398: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/398.jpg)
Grafovi lakse slozenih funkcija
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = sin x nacrtati dijagram napona
izmjenicne struje u = 220V sin
(100πt +
3π
2
).
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = arcsin x nacrtajte graf funkcijuy = 3
2 arcsin x,
zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).
Zadatak
Temeljem poznavanja grafa elementarne funkcije y = ln x skicirajtegraf funkcije y = −2 ln(2x + 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 399: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/399.jpg)
Grafovi lakse slozenih funkcija
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = sin x nacrtati dijagram napona
izmjenicne struje u = 220V sin
(100πt +
3π
2
).
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = arcsin x nacrtajte graf funkcijuy = 3
2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x),
pa onda y = arcsin(x + 1).
Zadatak
Temeljem poznavanja grafa elementarne funkcije y = ln x skicirajtegraf funkcije y = −2 ln(2x + 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 400: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/400.jpg)
Grafovi lakse slozenih funkcija
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = sin x nacrtati dijagram napona
izmjenicne struje u = 220V sin
(100πt +
3π
2
).
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = arcsin x nacrtajte graf funkcijuy = 3
2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).
Zadatak
Temeljem poznavanja grafa elementarne funkcije y = ln x skicirajtegraf funkcije y = −2 ln(2x + 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 401: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/401.jpg)
Grafovi lakse slozenih funkcija
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = sin x nacrtati dijagram napona
izmjenicne struje u = 220V sin
(100πt +
3π
2
).
Zadatak
Na temelju grafa funkcije y = arcsin x nacrtajte graf funkcijuy = 3
2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).
Zadatak
Temeljem poznavanja grafa elementarne funkcije y = ln x skicirajtegraf funkcije y = −2 ln(2x + 4).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 402: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/402.jpg)
Formule inverznih funkcija
Zadatak
Odredite formulu funkcije inverzne funkciji y =x − 2
x + 1
Zadatak
Napisite formulu inverzne funkcije za
y =ecos x − 1
2 + ecos x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = 2 sin(
3x − π
3
)+ 1, odredite formulu
inverzne funkcije i prirodno podrucje definicije funkcije zadaneinverznom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 403: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/403.jpg)
Formule inverznih funkcija
Zadatak
Odredite formulu funkcije inverzne funkciji y =x − 2
x + 1
Zadatak
Napisite formulu inverzne funkcije za
y =ecos x − 1
2 + ecos x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = 2 sin(
3x − π
3
)+ 1, odredite formulu
inverzne funkcije i prirodno podrucje definicije funkcije zadaneinverznom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 404: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/404.jpg)
Formule inverznih funkcija
Zadatak
Odredite formulu funkcije inverzne funkciji y =x − 2
x + 1
Zadatak
Napisite formulu inverzne funkcije za
y =ecos x − 1
2 + ecos x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = 2 sin(
3x − π
3
)+ 1, odredite formulu
inverzne funkcije i prirodno podrucje definicije funkcije zadaneinverznom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 405: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/405.jpg)
Formule inverznih funkcija
Zadatak
Odredite formulu funkcije inverzne funkciji y =x − 2
x + 1
Zadatak
Napisite formulu inverzne funkcije za
y =ecos x − 1
2 + ecos x
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije y = 2 sin(
3x − π
3
)+ 1, odredite formulu
inverzne funkcije i prirodno podrucje definicije funkcije zadaneinverznom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 406: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/406.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 407: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/407.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize.
Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 408: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/408.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 409: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/409.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . .
x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 410: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/410.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 411: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/411.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . .
x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 412: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/412.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 413: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/413.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . .
x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 414: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/414.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 415: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/415.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 416: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/416.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 417: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/417.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 418: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/418.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 419: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/419.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞
x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 420: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/420.jpg)
LIMES
Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:
{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+
{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−
{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−
Zadatak
Konstruirajte nizove tako da
x → 2+
x → −3+
x → −3−
x →∞x → −∞
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 421: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/421.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:
limn→∞
an = L.
Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.
Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 422: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/422.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:
limn→∞
an = L.
Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.
Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 423: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/423.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.
Oznaka:limn→∞
an = L.
Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.
Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 424: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/424.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:
limn→∞
an = L.
Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.
Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 425: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/425.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:
limn→∞
an = L.
Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.
Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.
Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 426: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/426.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:
limn→∞
an = L.
Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.
Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 427: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/427.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:
limn→∞
an = L.
Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.
Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞,
ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 428: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/428.jpg)
Limes niza
Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.
Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:
limn→∞
an = L.
Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.
Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 429: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/429.jpg)
Konacni limes u konacnoj tocki
Problem
Konstruirajte niz x → 0+ i ispitajte ponasanje funkcije
f (x) =sin x
xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli. Ispitajte
ponasanje za x → 0−
Limes funkcije f (x) kada x tezi broju c je broj A u zapisu
limx→c
f (x) = A
ako za svaki niz (xn) svojstvo limn→∞
xn = c povlaci
limn→∞
f (xn) = A.
Rjesenje problema ima zapis limx→0
sin x
x= 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 430: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/430.jpg)
Konacni limes u konacnoj tocki
Problem
Konstruirajte niz x → 0+ i ispitajte ponasanje funkcije
f (x) =sin x
xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli.
Ispitajte
ponasanje za x → 0−
Limes funkcije f (x) kada x tezi broju c je broj A u zapisu
limx→c
f (x) = A
ako za svaki niz (xn) svojstvo limn→∞
xn = c povlaci
limn→∞
f (xn) = A.
Rjesenje problema ima zapis limx→0
sin x
x= 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 431: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/431.jpg)
Konacni limes u konacnoj tocki
Problem
Konstruirajte niz x → 0+ i ispitajte ponasanje funkcije
f (x) =sin x
xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli. Ispitajte
ponasanje za x → 0−
Limes funkcije f (x) kada x tezi broju c je broj A u zapisu
limx→c
f (x) = A
ako za svaki niz (xn) svojstvo limn→∞
xn = c povlaci
limn→∞
f (xn) = A.
Rjesenje problema ima zapis limx→0
sin x
x= 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 432: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/432.jpg)
Konacni limes u konacnoj tocki
Problem
Konstruirajte niz x → 0+ i ispitajte ponasanje funkcije
f (x) =sin x
xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli. Ispitajte
ponasanje za x → 0−
Limes funkcije f (x) kada x tezi broju c je broj A u zapisu
limx→c
f (x) = A
ako za svaki niz (xn) svojstvo limn→∞
xn = c povlaci
limn→∞
f (xn) = A.
Rjesenje problema ima zapis limx→0
sin x
x= 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 433: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/433.jpg)
Konacni limes u konacnoj tocki
Problem
Konstruirajte niz x → 0+ i ispitajte ponasanje funkcije
f (x) =sin x
xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli. Ispitajte
ponasanje za x → 0−
Limes funkcije f (x) kada x tezi broju c je broj A u zapisu
limx→c
f (x) = A
ako za svaki niz (xn) svojstvo limn→∞
xn = c povlaci
limn→∞
f (xn) = A.
Rjesenje problema ima zapis limx→0
sin x
x= 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 434: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/434.jpg)
Konacni limes u konacnoj tocki
Problem
Konstruirajte niz x → 0+ i ispitajte ponasanje funkcije
f (x) =sin x
xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli. Ispitajte
ponasanje za x → 0−
Limes funkcije f (x) kada x tezi broju c je broj A u zapisu
limx→c
f (x) = A
ako za svaki niz (xn) svojstvo limn→∞
xn = c povlaci
limn→∞
f (xn) = A.
Rjesenje problema ima zapis limx→0
sin x
x= 1.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 435: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/435.jpg)
Neki vazniji limesi. Neprekidnost funkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Problem
Dodefinirajte funkcijesin x
x;
ex − 1
x;
ln x
x − 1tako da budu
neprekidne.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 436: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/436.jpg)
Neki vazniji limesi. Neprekidnost funkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Problem
Dodefinirajte funkcijesin x
x;
ex − 1
x;
ln x
x − 1tako da budu
neprekidne.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 437: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/437.jpg)
Neki vazniji limesi. Neprekidnost funkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Problem
Dodefinirajte funkcijesin x
x;
ex − 1
x;
ln x
x − 1tako da budu
neprekidne.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 438: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/438.jpg)
Neki vazniji limesi. Neprekidnost funkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Problem
Dodefinirajte funkcijesin x
x;
ex − 1
x;
ln x
x − 1tako da budu
neprekidne.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 439: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/439.jpg)
Neki vazniji limesi. Neprekidnost funkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
ex − 1
x
2 limx→1
ln x
x − 1
Definicija
Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim
x→c+f (x) = lim
x→c−f (x).
Problem
Dodefinirajte funkcijesin x
x;
ex − 1
x;
ln x
x − 1tako da budu
neprekidne.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 440: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/440.jpg)
Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
1
x.
2 limx→2
4
(x − 2)2.
3 a) limx→0+
ln x . b) limx→π
ctg x .
Definicija
Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+
f (x) = limx→c−
f (x).
Napomena
Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 441: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/441.jpg)
Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
1
x.
2 limx→2
4
(x − 2)2.
3 a) limx→0+
ln x . b) limx→π
ctg x .
Definicija
Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+
f (x) = limx→c−
f (x).
Napomena
Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 442: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/442.jpg)
Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
1
x.
2 limx→2
4
(x − 2)2.
3 a) limx→0+
ln x . b) limx→π
ctg x .
Definicija
Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+
f (x) = limx→c−
f (x).
Napomena
Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 443: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/443.jpg)
Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
1
x.
2 limx→2
4
(x − 2)2.
3 a) limx→0+
ln x . b) limx→π
ctg x .
Definicija
Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+
f (x) = limx→c−
f (x).
Napomena
Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 444: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/444.jpg)
Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
1
x.
2 limx→2
4
(x − 2)2.
3 a) limx→0+
ln x .
b) limx→π
ctg x .
Definicija
Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+
f (x) = limx→c−
f (x).
Napomena
Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 445: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/445.jpg)
Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
1
x.
2 limx→2
4
(x − 2)2.
3 a) limx→0+
ln x . b) limx→π
ctg x .
Definicija
Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+
f (x) = limx→c−
f (x).
Napomena
Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 446: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/446.jpg)
Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
1
x.
2 limx→2
4
(x − 2)2.
3 a) limx→0+
ln x . b) limx→π
ctg x .
Definicija
Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+
f (x) = limx→c−
f (x).
Napomena
Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 447: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/447.jpg)
Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.
Zadatak
Ispitajte s obje strane slijedece limese:
1 limx→0
1
x.
2 limx→2
4
(x − 2)2.
3 a) limx→0+
ln x . b) limx→π
ctg x .
Definicija
Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+
f (x) = limx→c−
f (x).
Napomena
Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 448: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/448.jpg)
Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost
Zadatak
Odredite
1 limx→∞
1
x
2 limx→∞
3x3 − 4x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − x + 493 lim
x→−∞ex
4 a) limx→∞
arctg x limx→−∞
arctg x
Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 449: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/449.jpg)
Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost
Zadatak
Odredite
1 limx→∞
1
x
2 limx→∞
3x3 − 4x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − x + 493 lim
x→−∞ex
4 a) limx→∞
arctg x limx→−∞
arctg x
Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 450: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/450.jpg)
Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost
Zadatak
Odredite
1 limx→∞
1
x
2 limx→∞
3x3 − 4x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − x + 493 lim
x→−∞ex
4 a) limx→∞
arctg x limx→−∞
arctg x
Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 451: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/451.jpg)
Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost
Zadatak
Odredite
1 limx→∞
1
x
2 limx→∞
3x3 − 4x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − x + 49
3 limx→−∞
ex
4 a) limx→∞
arctg x limx→−∞
arctg x
Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 452: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/452.jpg)
Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost
Zadatak
Odredite
1 limx→∞
1
x
2 limx→∞
3x3 − 4x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − x + 493 lim
x→−∞ex
4 a) limx→∞
arctg x limx→−∞
arctg x
Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 453: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/453.jpg)
Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost
Zadatak
Odredite
1 limx→∞
1
x
2 limx→∞
3x3 − 4x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − x + 493 lim
x→−∞ex
4 a) limx→∞
arctg x limx→−∞
arctg x
Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 454: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/454.jpg)
Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost
Zadatak
Odredite
1 limx→∞
1
x
2 limx→∞
3x3 − 4x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − x + 493 lim
x→−∞ex
4 a) limx→∞
arctg x limx→−∞
arctg x
Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 455: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/455.jpg)
Beskonacan limes u beskonacnosti. Kosaasimptota
Zadatak
Odredite limx→∞
ln x.
Kosa asimptota grafa funkcije y = f (x) je pravac y = kx + l uslucaju da postoje konacne vrijednosti
k = limx→∞
f (x)
xl = lim
x→∞[f (x)− kx ]
Primjer
Nacrtati kosu asimptotu grafa funkcije y =x2
√x2 − 1
.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 456: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/456.jpg)
Beskonacan limes u beskonacnosti. Kosaasimptota
Zadatak
Odredite limx→∞
ln x.
Kosa asimptota grafa funkcije y = f (x) je pravac y = kx + l uslucaju da postoje konacne vrijednosti
k = limx→∞
f (x)
xl = lim
x→∞[f (x)− kx ]
Primjer
Nacrtati kosu asimptotu grafa funkcije y =x2
√x2 − 1
.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 457: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/457.jpg)
Beskonacan limes u beskonacnosti. Kosaasimptota
Zadatak
Odredite limx→∞
ln x.
Kosa asimptota grafa funkcije y = f (x) je pravac y = kx + l uslucaju da postoje konacne vrijednosti
k = limx→∞
f (x)
xl = lim
x→∞[f (x)− kx ]
Primjer
Nacrtati kosu asimptotu grafa funkcije y =x2
√x2 − 1
.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 458: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/458.jpg)
Beskonacan limes u beskonacnosti. Kosaasimptota
Zadatak
Odredite limx→∞
ln x.
Kosa asimptota grafa funkcije y = f (x) je pravac y = kx + l uslucaju da postoje konacne vrijednosti
k = limx→∞
f (x)
xl = lim
x→∞[f (x)− kx ]
Primjer
Nacrtati kosu asimptotu grafa funkcije y =x2
√x2 − 1
.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 459: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/459.jpg)
Beskonacan limes u beskonacnosti. Kosaasimptota
Zadatak
Odredite limx→∞
ln x.
Kosa asimptota grafa funkcije y = f (x) je pravac y = kx + l uslucaju da postoje konacne vrijednosti
k = limx→∞
f (x)
xl = lim
x→∞[f (x)− kx ]
Primjer
Nacrtati kosu asimptotu grafa funkcije y =x2
√x2 − 1
.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 460: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/460.jpg)
Svojstva limesa funkcije
1 limx→c
[f1(x) + f2(x)] = limx→c
f1(x) + limx→c
f2(x)
2 limx→c
[f1(x) · f2(x)] = limx→c
f1(x) · limx→c
f2(x)
3 limx→c
[f1(x)
f2(x)
]=
limx→c
f1(x)
limx→c
f2(x).
4 limx→c
[f (x)]g(x) = [ limx→c
f (x)]limx→c g(x).
5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je
limx→c
f (g(x)) = f(
limx→c
g(x))
Neodredeni oblici:0
0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .
Odredeni oblici:
A
0→∞, A
∞→ 0,
∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 461: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/461.jpg)
Svojstva limesa funkcije
1 limx→c
[f1(x) + f2(x)] = limx→c
f1(x) + limx→c
f2(x)
2 limx→c
[f1(x) · f2(x)] = limx→c
f1(x) · limx→c
f2(x)
3 limx→c
[f1(x)
f2(x)
]=
limx→c
f1(x)
limx→c
f2(x).
4 limx→c
[f (x)]g(x) = [ limx→c
f (x)]limx→c g(x).
5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je
limx→c
f (g(x)) = f(
limx→c
g(x))
Neodredeni oblici:0
0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .
Odredeni oblici:
A
0→∞, A
∞→ 0,
∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 462: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/462.jpg)
Svojstva limesa funkcije
1 limx→c
[f1(x) + f2(x)] = limx→c
f1(x) + limx→c
f2(x)
2 limx→c
[f1(x) · f2(x)] = limx→c
f1(x) · limx→c
f2(x)
3 limx→c
[f1(x)
f2(x)
]=
limx→c
f1(x)
limx→c
f2(x).
4 limx→c
[f (x)]g(x) = [ limx→c
f (x)]limx→c g(x).
5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je
limx→c
f (g(x)) = f(
limx→c
g(x))
Neodredeni oblici:0
0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .
Odredeni oblici:
A
0→∞, A
∞→ 0,
∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 463: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/463.jpg)
Svojstva limesa funkcije
1 limx→c
[f1(x) + f2(x)] = limx→c
f1(x) + limx→c
f2(x)
2 limx→c
[f1(x) · f2(x)] = limx→c
f1(x) · limx→c
f2(x)
3 limx→c
[f1(x)
f2(x)
]=
limx→c
f1(x)
limx→c
f2(x).
4 limx→c
[f (x)]g(x) = [ limx→c
f (x)]limx→c g(x).
5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je
limx→c
f (g(x)) = f(
limx→c
g(x))
Neodredeni oblici:0
0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .
Odredeni oblici:
A
0→∞, A
∞→ 0,
∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 464: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/464.jpg)
Svojstva limesa funkcije
1 limx→c
[f1(x) + f2(x)] = limx→c
f1(x) + limx→c
f2(x)
2 limx→c
[f1(x) · f2(x)] = limx→c
f1(x) · limx→c
f2(x)
3 limx→c
[f1(x)
f2(x)
]=
limx→c
f1(x)
limx→c
f2(x).
4 limx→c
[f (x)]g(x) = [ limx→c
f (x)]limx→c g(x).
5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je
limx→c
f (g(x)) = f(
limx→c
g(x))
Neodredeni oblici:0
0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .
Odredeni oblici:
A
0→∞, A
∞→ 0,
∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 465: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/465.jpg)
Svojstva limesa funkcije
1 limx→c
[f1(x) + f2(x)] = limx→c
f1(x) + limx→c
f2(x)
2 limx→c
[f1(x) · f2(x)] = limx→c
f1(x) · limx→c
f2(x)
3 limx→c
[f1(x)
f2(x)
]=
limx→c
f1(x)
limx→c
f2(x).
4 limx→c
[f (x)]g(x) = [ limx→c
f (x)]limx→c g(x).
5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je
limx→c
f (g(x)) = f(
limx→c
g(x))
Neodredeni oblici:0
0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .
Odredeni oblici:
A
0→∞, A
∞→ 0,
∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 466: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/466.jpg)
Svojstva limesa funkcije
1 limx→c
[f1(x) + f2(x)] = limx→c
f1(x) + limx→c
f2(x)
2 limx→c
[f1(x) · f2(x)] = limx→c
f1(x) · limx→c
f2(x)
3 limx→c
[f1(x)
f2(x)
]=
limx→c
f1(x)
limx→c
f2(x).
4 limx→c
[f (x)]g(x) = [ limx→c
f (x)]limx→c g(x).
5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je
limx→c
f (g(x)) = f(
limx→c
g(x))
Neodredeni oblici:0
0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .
Odredeni oblici:
A
0→∞, A
∞→ 0,
∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 467: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/467.jpg)
Svojstva limesa funkcije
1 limx→c
[f1(x) + f2(x)] = limx→c
f1(x) + limx→c
f2(x)
2 limx→c
[f1(x) · f2(x)] = limx→c
f1(x) · limx→c
f2(x)
3 limx→c
[f1(x)
f2(x)
]=
limx→c
f1(x)
limx→c
f2(x).
4 limx→c
[f (x)]g(x) = [ limx→c
f (x)]limx→c g(x).
5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je
limx→c
f (g(x)) = f(
limx→c
g(x))
Neodredeni oblici:0
0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .
Odredeni oblici:
A
0→∞, A
∞→ 0,
∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 468: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/468.jpg)
Domaca zadaca
1 limx→3
x3 − 27
x − 3
2 limx→9
√x − 3
x − 9
3 limx→5
ln x − ln 5
x − 5
4 limx→2
e4
x−2 s obje strane.
5 Nacrtajte kosu asimptotu grafa funkcije y =x2 − 1
2x − 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 469: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/469.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...
x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte omjer∆y
dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je
dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 470: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/470.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,
f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte omjer∆y
dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je
dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 471: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/471.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,
y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte omjer∆y
dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je
dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 472: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/472.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,
∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte omjer∆y
dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je
dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 473: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/473.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,
∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte omjer∆y
dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je
dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 474: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/474.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,
dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte omjer∆y
dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je
dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 475: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/475.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte omjer∆y
dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je
dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 476: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/476.jpg)
DERIVACIJA I PRIMJENE
Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .
Zadatak
Izracunajte omjer∆y
dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je
dy?
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 477: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/477.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno y ′ =
dy
dx.
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√
x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 478: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/478.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno
y ′ =dy
dx.
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√
x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 479: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/479.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno y ′ =
dy
dx.
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√
x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 480: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/480.jpg)
Definicija derivacije
Definicija
Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx, odnosno y ′ =
dy
dx.
Zadatak
Odredite formule prvih derivacija funkcija:
1 y = 12
2 y = x
3 y = 1x
4 y =√
x
5 y = sin x
6 y = cos x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 481: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/481.jpg)
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 482: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/482.jpg)
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 483: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/483.jpg)
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 484: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/484.jpg)
Derivacije elementarnih funkcija
Zadatak
Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko
limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0
ex − 1
x= 1.
Zadatak
Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x
koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1
ln(x)
x − 1= 1.
Zadatak
Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 485: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/485.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 486: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/486.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x).
Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 487: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/487.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:
y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 488: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/488.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x)
Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 489: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/489.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 490: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/490.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 491: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/491.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 492: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/492.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 493: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/493.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 494: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/494.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 495: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/495.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 496: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/496.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 497: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/497.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 498: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/498.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 499: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/499.jpg)
Osnovna pravila deriviranja
Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:
1 y = logb x
2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2
3 y = 2√
x − 3x2 + 2
x
4 y = 1x + 2
x2 + 3x3
5 y = 1x + 1
2√x
+ 13√x
6 y = sinx − cosx
7 y = x√
x
8 y =3√
x2 − 2√x
9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)
10 f (x) = x3 −
3√
x .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 500: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/500.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate derivacije funkcija f (x) i g(x), tada je mogucederivirati njihov umnozak:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 501: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/501.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate derivacije funkcija f (x) i g(x), tada je mogucederivirati njihov umnozak:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 502: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/502.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate derivacije funkcija f (x) i g(x), tada je mogucederivirati njihov umnozak:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 503: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/503.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate derivacije funkcija f (x) i g(x), tada je mogucederivirati njihov umnozak:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 504: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/504.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate derivacije funkcija f (x) i g(x), tada je mogucederivirati njihov umnozak:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 505: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/505.jpg)
Derivacija umnoska
Ako su poznate derivacije funkcija f (x) i g(x), tada je mogucederivirati njihov umnozak:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).
Zadatak
Derivirati slijedece umnoske
1 y = xlnx
2 y = x2ex
3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 506: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/506.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ukoliko je moguce derivirati formulu f (x) koja se nalazi u brojnikui g(x) iz nazivnika, tada je moguce odluciti se na derivaciju
kvocjenta tih dviju funkcija:y = f (x)g(x) ⇒ y ′ = f ′(x)·g(x)−f (x)·g ′(x)
(g(x))2
Odredite formule prvih derivacija slijedecih funkcija:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 507: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/507.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ukoliko je moguce derivirati formulu f (x) koja se nalazi u brojnikui g(x) iz nazivnika, tada je moguce odluciti se na derivaciju
kvocjenta tih dviju funkcija:
y = f (x)g(x) ⇒ y ′ = f ′(x)·g(x)−f (x)·g ′(x)
(g(x))2
Odredite formule prvih derivacija slijedecih funkcija:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 508: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/508.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ukoliko je moguce derivirati formulu f (x) koja se nalazi u brojnikui g(x) iz nazivnika, tada je moguce odluciti se na derivaciju
kvocjenta tih dviju funkcija:y = f (x)g(x) ⇒ y ′ = f ′(x)·g(x)−f (x)·g ′(x)
(g(x))2
Odredite formule prvih derivacija slijedecih funkcija:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 509: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/509.jpg)
Derivacija kvocijenta funkcija
Ukoliko je moguce derivirati formulu f (x) koja se nalazi u brojnikui g(x) iz nazivnika, tada je moguce odluciti se na derivaciju
kvocjenta tih dviju funkcija:y = f (x)g(x) ⇒ y ′ = f ′(x)·g(x)−f (x)·g ′(x)
(g(x))2
Odredite formule prvih derivacija slijedecih funkcija:
1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2
x4 − 3
2 a) y =x
lnxb) y =
ex
x2c) y =
√x
lnx
3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3
x2 + 3.
4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1
cos x − sin x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 510: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/510.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Ako jey = f (x)
formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti
funkcije y , onda je y ′ =dy
dx= f ′(x) Formula inverzne funkcije
izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x . Tada
je x ′ =dx
dy=(f −1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije glasi:(f −1(x)
)′= 1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 511: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/511.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Ako jey = f (x)
formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti
funkcije y , onda je y ′ =dy
dx= f ′(x)
Formula inverzne funkcije
izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x . Tada
je x ′ =dx
dy=(f −1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije glasi:(f −1(x)
)′= 1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 512: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/512.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Ako jey = f (x)
formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti
funkcije y , onda je y ′ =dy
dx= f ′(x) Formula inverzne funkcije
izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x .
Tada
je x ′ =dx
dy=(f −1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije glasi:(f −1(x)
)′= 1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 513: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/513.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Ako jey = f (x)
formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti
funkcije y , onda je y ′ =dy
dx= f ′(x) Formula inverzne funkcije
izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x . Tada
je x ′ =dx
dy=(f −1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)).
Formula derivacije
inverzne funkcije glasi:(f −1(x)
)′= 1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 514: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/514.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Ako jey = f (x)
formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti
funkcije y , onda je y ′ =dy
dx= f ′(x) Formula inverzne funkcije
izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x . Tada
je x ′ =dx
dy=(f −1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije glasi:(f −1(x)
)′= 1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 515: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/515.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Ako jey = f (x)
formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti
funkcije y , onda je y ′ =dy
dx= f ′(x) Formula inverzne funkcije
izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x . Tada
je x ′ =dx
dy=(f −1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije glasi:(f −1(x)
)′= 1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x
i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 516: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/516.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Ako jey = f (x)
formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti
funkcije y , onda je y ′ =dy
dx= f ′(x) Formula inverzne funkcije
izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x . Tada
je x ′ =dx
dy=(f −1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije glasi:(f −1(x)
)′= 1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 517: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/517.jpg)
Derivacija inverzne funkcije
Ako jey = f (x)
formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti
funkcije y , onda je y ′ =dy
dx= f ′(x) Formula inverzne funkcije
izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x . Tada
je x ′ =dx
dy=(f −1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
f ′(f −1(y)). Formula derivacije
inverzne funkcije glasi:(f −1(x)
)′= 1
f ′(f −1(x)).
Primjer
Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .
Zadatak
Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 518: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/518.jpg)
Derivacija kompozicije funkcija
Kompozicije funkcija su formule u kojoj jedna funkcija za argumentima cijelu formulu neke druge funkcije.Ukoliko je poznata derivacija funkcije-argumenta i funkcije kojoj jeona argument, moguce je derivirati:
y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 519: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/519.jpg)
Derivacija kompozicije funkcija
Kompozicije funkcija su formule u kojoj jedna funkcija za argumentima cijelu formulu neke druge funkcije.
Ukoliko je poznata derivacija funkcije-argumenta i funkcije kojoj jeona argument, moguce je derivirati:
y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 520: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/520.jpg)
Derivacija kompozicije funkcija
Kompozicije funkcija su formule u kojoj jedna funkcija za argumentima cijelu formulu neke druge funkcije.Ukoliko je poznata derivacija funkcije-argumenta i funkcije kojoj jeona argument, moguce je derivirati:
y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 521: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/521.jpg)
Derivacija kompozicije funkcija
Kompozicije funkcija su formule u kojoj jedna funkcija za argumentima cijelu formulu neke druge funkcije.Ukoliko je poznata derivacija funkcije-argumenta i funkcije kojoj jeona argument, moguce je derivirati:
y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 522: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/522.jpg)
Derivacija kompozicije funkcija
Kompozicije funkcija su formule u kojoj jedna funkcija za argumentima cijelu formulu neke druge funkcije.Ukoliko je poznata derivacija funkcije-argumenta i funkcije kojoj jeona argument, moguce je derivirati:
y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 523: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/523.jpg)
Derivacija kompozicije funkcija
Kompozicije funkcija su formule u kojoj jedna funkcija za argumentima cijelu formulu neke druge funkcije.Ukoliko je poznata derivacija funkcije-argumenta i funkcije kojoj jeona argument, moguce je derivirati:
y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).
Primjer
Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.
Zadatak
Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 524: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/524.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 525: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/525.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 526: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/526.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 527: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/527.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 528: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/528.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 529: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/529.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 530: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/530.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 531: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/531.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 532: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/532.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 533: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/533.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 534: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/534.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 535: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/535.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 536: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/536.jpg)
Odrediti prve derivacije:
Napisite formule prvih derivacija:
1 y =√
x2 + 1
2 y =√
2x3 − 1
3 y = sin2x
4 y = sin2x
5 y = ex2−x
6 y = ln x−23−2x
Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:
1 y =√
xex − x , za x = −1
2 y =3√
sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6
3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e
4 y = ln cos x−1x , za x = 1
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 537: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/537.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 538: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/538.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3
b) y = 34 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 539: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/539.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 540: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/540.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 541: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/541.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x
b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 542: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/542.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3
c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 543: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/543.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 544: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/544.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 545: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/545.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2)
b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 546: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/546.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 547: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/547.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 548: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/548.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 549: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/549.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 550: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/550.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3
b) y = ln tg 2x+14
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 551: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/551.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 552: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/552.jpg)
Derivacije viseg reda
Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:
1 a) y = 7x3 b) y = 3
4 x 3√
x
2 y = 27 x3√x − 4
11 x5√x + 215 x7√x
3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x
32x
4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√
1− 3x2
6 y = x arccos x2 −√
4− x2
7 y =√
x arcsin√
x +√
1− x
8 y = (sin x2 − cos x
2 )2
9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1
4
10 y = ln√
1+sin x1−sin x
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 553: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/553.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac koji se najboljepriljubljuje krivulji grafa: Γf = {(x , y), y = f (x)}.
Poznavanje triju velicina : apscise diralista x0, ordinate diralistay0 = f (x0) i vrijednosti prve derivacijey ′(x0) = f ′(x0) = k .
Jednadzba tangente je jednadzba pravca koji prolazi diralistem(x0, y0) i ima koeficijent smjera k = tgϕ = y ′(x0)gdje je ϕ kut koji pravac zatvara s pozitivnimsmjerom osi 0x : y − y0 = k(x − x0).
Normala je pravac koji okomito probada graf:y − y0 = − 1
k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u tocki
x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 554: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/554.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac koji se najboljepriljubljuje krivulji grafa: Γf = {(x , y), y = f (x)}.
Poznavanje triju velicina : apscise diralista x0, ordinate diralistay0 = f (x0) i vrijednosti prve derivacijey ′(x0) = f ′(x0) = k .
Jednadzba tangente je jednadzba pravca koji prolazi diralistem(x0, y0) i ima koeficijent smjera k = tgϕ = y ′(x0)gdje je ϕ kut koji pravac zatvara s pozitivnimsmjerom osi 0x : y − y0 = k(x − x0).
Normala je pravac koji okomito probada graf:y − y0 = − 1
k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u tocki
x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 555: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/555.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac koji se najboljepriljubljuje krivulji grafa: Γf = {(x , y), y = f (x)}.
Poznavanje triju velicina : apscise diralista x0, ordinate diralistay0 = f (x0) i vrijednosti prve derivacijey ′(x0) = f ′(x0) = k .
Jednadzba tangente je jednadzba pravca koji prolazi diralistem(x0, y0) i ima koeficijent smjera k = tgϕ = y ′(x0)gdje je ϕ kut koji pravac zatvara s pozitivnimsmjerom osi 0x : y − y0 = k(x − x0).
Normala je pravac koji okomito probada graf:y − y0 = − 1
k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u tocki
x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 556: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/556.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac koji se najboljepriljubljuje krivulji grafa: Γf = {(x , y), y = f (x)}.
Poznavanje triju velicina : apscise diralista x0, ordinate diralistay0 = f (x0) i vrijednosti prve derivacijey ′(x0) = f ′(x0) = k .
Jednadzba tangente je jednadzba pravca koji prolazi diralistem(x0, y0) i ima koeficijent smjera k = tgϕ = y ′(x0)gdje je ϕ kut koji pravac zatvara s pozitivnimsmjerom osi 0x : y − y0 = k(x − x0).
Normala je pravac koji okomito probada graf:y − y0 = − 1
k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u tocki
x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 557: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/557.jpg)
Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)
Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac koji se najboljepriljubljuje krivulji grafa: Γf = {(x , y), y = f (x)}.
Poznavanje triju velicina : apscise diralista x0, ordinate diralistay0 = f (x0) i vrijednosti prve derivacijey ′(x0) = f ′(x0) = k .
Jednadzba tangente je jednadzba pravca koji prolazi diralistem(x0, y0) i ima koeficijent smjera k = tgϕ = y ′(x0)gdje je ϕ kut koji pravac zatvara s pozitivnimsmjerom osi 0x : y − y0 = k(x − x0).
Normala je pravac koji okomito probada graf:y − y0 = − 1
k (x − x0).
Primjer
Nacrtajte tangentu na graf funkcije f (x) = ln1− x2
x2u tocki
x0 = 12 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 558: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/558.jpg)
Zadaci
1 Nacrtajte grafove slijedecih funkcije i napisite jednadzbetangenata na grafove u tockama koje su zadane slijedecimpodacima:
1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12
2 krivulja y = 12x u tocki x = 4
3 funkcija y =√
x , u tocki y = 3
2 Nadite jedndzbu tangente i normale1 na krivulju y = 3
√x − 1 u tocki (1, 0).
2 na krivulju y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.
3 na krivulju y = e1−x2
u sjecistima s pravcem y = 1.
3 Formula glasi
y = lnx +√
1− x2
x.
Koliko je y ′(1)? Napisite jednadzbu tangente i jednadzbunormale na graf funkcije zadane formulom.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 559: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/559.jpg)
Rjesenja zadataka
1 a)4x − 4y + 1 = 0; b)y = −34 x + 6; c)y = 1
6 x + 32
2 Tangenta i normala redom: a)x = 1, y = 0;b)x − 2y − 1 = 0, 2x + y − 2 = 0;c)2x + y − 3 = 0, x − 2y + 1 = 0 za (1, 1);2x − y + 3 = 0, x + 2y − 1 = 0 za (−1, 1).
3 Iz y ′ = 1x+√
1−x2· −1−x2
x√
1−x2ocito je y ′(1)→∞, sto daje za
tangentu vertikalu x = 1, a za normalu y = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 560: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/560.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Uz odredene uvjete jednadzba
F (x , y) = 0
implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy
dx sada je funkcija dviju varijabli.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 561: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/561.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Uz odredene uvjete jednadzba
F (x , y) = 0
implicitno definira y kao funkciju od x .
Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy
dx sada je funkcija dviju varijabli.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 562: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/562.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Uz odredene uvjete jednadzba
F (x , y) = 0
implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25,
y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy
dx sada je funkcija dviju varijabli.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 563: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/563.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Uz odredene uvjete jednadzba
F (x , y) = 0
implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x ,
4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy
dx sada je funkcija dviju varijabli.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 564: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/564.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Uz odredene uvjete jednadzba
F (x , y) = 0
implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36
i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy
dx sada je funkcija dviju varijabli.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 565: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/565.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Uz odredene uvjete jednadzba
F (x , y) = 0
implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.
Prva derivacija y ′ = dydx sada je funkcija dviju varijabli.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 566: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/566.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Uz odredene uvjete jednadzba
F (x , y) = 0
implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy
dx sada je funkcija dviju varijabli.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 567: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/567.jpg)
Derivacija implicitno zadane funkcije
Uz odredene uvjete jednadzba
F (x , y) = 0
implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy
dx sada je funkcija dviju varijabli.
Primjer
Formule prvih derivacija navedenih funkcija.
Zadatak
Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 568: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/568.jpg)
Rijesite slijedece zadatke
1 Nadite y ′ ako je y zadana formulom
y 3 =x − y
x + y.
2 Funkcija y zadana je implicitno formulom
ey = x + y .
Napisati formulu za y ′.3 Naci formulu y ′ iz formule
3√
x2 + 3√
y 2 =3√
a2,
gdje je a proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
2 y ′ = 1ey−1
3 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 569: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/569.jpg)
Rijesite slijedece zadatke
1 Nadite y ′ ako je y zadana formulom
y 3 =x − y
x + y.
2 Funkcija y zadana je implicitno formulom
ey = x + y .
Napisati formulu za y ′.3 Naci formulu y ′ iz formule
3√
x2 + 3√
y 2 =3√
a2,
gdje je a proizvoljna konstanta.
Rjesenja:
1 y ′ = 2y2
3(x2−y2)+2xy
2 y ′ = 1ey−1
3 y ′ = − 3√
yx.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 570: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/570.jpg)
Logaritamsko deriviranje
Primjer
Napisite formulu prve derivacije
1 y = xx .
2 y = (sin x)x .
3 y = xxx .
Zadatak
Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x . y ′ = 1
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3
√(x−2)2(x+1)
(x−1)5 . Napisite
jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.P = 25 35
52 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 571: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/571.jpg)
Logaritamsko deriviranje
Primjer
Napisite formulu prve derivacije
1 y = xx .
2 y = (sin x)x .
3 y = xxx .
Zadatak
Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x . y ′ = 1
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3
√(x−2)2(x+1)
(x−1)5 . Napisite
jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.P = 25 35
52 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 572: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/572.jpg)
Logaritamsko deriviranje
Primjer
Napisite formulu prve derivacije
1 y = xx .
2 y = (sin x)x .
3 y = xxx .
Zadatak
Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x . y ′ = 1
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3
√(x−2)2(x+1)
(x−1)5 . Napisite
jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.P = 25 35
52 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 573: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/573.jpg)
Logaritamsko deriviranje
Primjer
Napisite formulu prve derivacije
1 y = xx .
2 y = (sin x)x .
3 y = xxx .
Zadatak
Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x .
y ′ = 1
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3
√(x−2)2(x+1)
(x−1)5 . Napisite
jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.P = 25 35
52 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 574: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/574.jpg)
Logaritamsko deriviranje
Primjer
Napisite formulu prve derivacije
1 y = xx .
2 y = (sin x)x .
3 y = xxx .
Zadatak
Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x . y ′ = 1
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3
√(x−2)2(x+1)
(x−1)5 . Napisite
jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.P = 25 35
52 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 575: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/575.jpg)
Logaritamsko deriviranje
Primjer
Napisite formulu prve derivacije
1 y = xx .
2 y = (sin x)x .
3 y = xxx .
Zadatak
Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x . y ′ = 1
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3
√(x−2)2(x+1)
(x−1)5 . Napisite
jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.
P = 25 3552 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 576: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/576.jpg)
Logaritamsko deriviranje
Primjer
Napisite formulu prve derivacije
1 y = xx .
2 y = (sin x)x .
3 y = xxx .
Zadatak
Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x . y ′ = 1
Zadatak
Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3
√(x−2)2(x+1)
(x−1)5 . Napisite
jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.P = 25 35
52 .
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 577: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/577.jpg)
Parametarsko zadavanje krivulja
Tocke svake prostorne krivulje zadane su vektorom~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) koje generira parametar t, obicno t > 0.Primjer: y = x2 generira se parametrom kao (t, t2). Ako separametar tumaci kao vremenski trenutak, tada krivulja predstavljatrajektoriju gibanja zadanog jednadzbama x = t, y = t2.
Primjer
Krivulja koju bi opisivala svjetiljka zalijepljena na rub kotaca biciklapolumjera a dok se vozi po ravnoj cesti je cikloida, a koordinatetocaka cikloide racunaju se po formulama
x = a(t − sin t)
y = a(1− cos t)
Tocka cikloide dobiva se uvrstavanjem parametra t u formule kojedaju njene koordinate.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 578: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/578.jpg)
Parametarsko zadavanje krivulja
Tocke svake prostorne krivulje zadane su vektorom~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) koje generira parametar t, obicno t > 0.
Primjer: y = x2 generira se parametrom kao (t, t2). Ako separametar tumaci kao vremenski trenutak, tada krivulja predstavljatrajektoriju gibanja zadanog jednadzbama x = t, y = t2.
Primjer
Krivulja koju bi opisivala svjetiljka zalijepljena na rub kotaca biciklapolumjera a dok se vozi po ravnoj cesti je cikloida, a koordinatetocaka cikloide racunaju se po formulama
x = a(t − sin t)
y = a(1− cos t)
Tocka cikloide dobiva se uvrstavanjem parametra t u formule kojedaju njene koordinate.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 579: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/579.jpg)
Parametarsko zadavanje krivulja
Tocke svake prostorne krivulje zadane su vektorom~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) koje generira parametar t, obicno t > 0.Primjer: y = x2 generira se parametrom kao (t, t2).
Ako separametar tumaci kao vremenski trenutak, tada krivulja predstavljatrajektoriju gibanja zadanog jednadzbama x = t, y = t2.
Primjer
Krivulja koju bi opisivala svjetiljka zalijepljena na rub kotaca biciklapolumjera a dok se vozi po ravnoj cesti je cikloida, a koordinatetocaka cikloide racunaju se po formulama
x = a(t − sin t)
y = a(1− cos t)
Tocka cikloide dobiva se uvrstavanjem parametra t u formule kojedaju njene koordinate.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 580: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/580.jpg)
Parametarsko zadavanje krivulja
Tocke svake prostorne krivulje zadane su vektorom~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) koje generira parametar t, obicno t > 0.Primjer: y = x2 generira se parametrom kao (t, t2). Ako separametar tumaci kao vremenski trenutak, tada krivulja predstavljatrajektoriju gibanja zadanog jednadzbama x = t, y = t2.
Primjer
Krivulja koju bi opisivala svjetiljka zalijepljena na rub kotaca biciklapolumjera a dok se vozi po ravnoj cesti je cikloida, a koordinatetocaka cikloide racunaju se po formulama
x = a(t − sin t)
y = a(1− cos t)
Tocka cikloide dobiva se uvrstavanjem parametra t u formule kojedaju njene koordinate.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 581: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/581.jpg)
Parametarsko zadavanje krivulja
Tocke svake prostorne krivulje zadane su vektorom~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) koje generira parametar t, obicno t > 0.Primjer: y = x2 generira se parametrom kao (t, t2). Ako separametar tumaci kao vremenski trenutak, tada krivulja predstavljatrajektoriju gibanja zadanog jednadzbama x = t, y = t2.
Primjer
Krivulja koju bi opisivala svjetiljka zalijepljena na rub kotaca biciklapolumjera a dok se vozi po ravnoj cesti je cikloida, a koordinatetocaka cikloide racunaju se po formulama
x = a(t − sin t)
y = a(1− cos t)
Tocka cikloide dobiva se uvrstavanjem parametra t u formule kojedaju njene koordinate.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 582: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/582.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih krivulja
Brzina u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)prva derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Akceleracija u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)druga derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Tangencijalna akceleracija je vektorska projekcija akceleracije ~r(t)na smjer brzine ~r(t).
Radijalna akceleracija ili centripetalna akceleracija je vektor~acp = ~r(t)− ~r(t).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 583: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/583.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih krivulja
Brzina u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)prva derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Akceleracija u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)druga derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Tangencijalna akceleracija je vektorska projekcija akceleracije ~r(t)na smjer brzine ~r(t).
Radijalna akceleracija ili centripetalna akceleracija je vektor~acp = ~r(t)− ~r(t).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 584: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/584.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih krivulja
Brzina u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)prva derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Akceleracija u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)druga derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Tangencijalna akceleracija je vektorska projekcija akceleracije ~r(t)na smjer brzine ~r(t).
Radijalna akceleracija ili centripetalna akceleracija je vektor~acp = ~r(t)− ~r(t).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 585: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/585.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih krivulja
Brzina u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)prva derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Akceleracija u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)druga derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Tangencijalna akceleracija je vektorska projekcija akceleracije ~r(t)na smjer brzine ~r(t).
Radijalna akceleracija ili centripetalna akceleracija je vektor~acp = ~r(t)− ~r(t).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 586: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/586.jpg)
Deriviranje parametarski zadanih krivulja
Brzina u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)prva derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Akceleracija u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)druga derivacija funkcije x(t) po varijabli t.
Tangencijalna akceleracija je vektorska projekcija akceleracije ~r(t)na smjer brzine ~r(t).
Radijalna akceleracija ili centripetalna akceleracija je vektor~acp = ~r(t)− ~r(t).
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 587: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/587.jpg)
Primjeri i zadaci
Primjer
Odredite brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu akceleracijucikloide na polumjeru a = 10 u trenutku 2s nakon pocetka gibanja.Koliki je radijus zakrivljenosti putanje?
rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.
Zadatak
Parametarski je zadana krivulja ~r(t) =(e−t , y = e2t
). Odredite
brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu komponentuakceleracije, iznos brzine i centripetalne akceleracije, pa i radijuszakrivljenosti u tocki odredenoj parametrom t = 0.
rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866
Teorem
Koeficijent smjera tangente na parametarski zadanu krivulju
(x(t), y(t)) racuna se po formuli y ′ =dy
dx=
y
x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 588: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/588.jpg)
Primjeri i zadaci
Primjer
Odredite brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu akceleracijucikloide na polumjeru a = 10 u trenutku 2s nakon pocetka gibanja.Koliki je radijus zakrivljenosti putanje?
rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.
Zadatak
Parametarski je zadana krivulja ~r(t) =(e−t , y = e2t
). Odredite
brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu komponentuakceleracije, iznos brzine i centripetalne akceleracije, pa i radijuszakrivljenosti u tocki odredenoj parametrom t = 0.
rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866
Teorem
Koeficijent smjera tangente na parametarski zadanu krivulju
(x(t), y(t)) racuna se po formuli y ′ =dy
dx=
y
x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 589: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/589.jpg)
Primjeri i zadaci
Primjer
Odredite brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu akceleracijucikloide na polumjeru a = 10 u trenutku 2s nakon pocetka gibanja.Koliki je radijus zakrivljenosti putanje?
rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.
Zadatak
Parametarski je zadana krivulja ~r(t) =(e−t , y = e2t
). Odredite
brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu komponentuakceleracije, iznos brzine i centripetalne akceleracije, pa i radijuszakrivljenosti u tocki odredenoj parametrom t = 0.
rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866
Teorem
Koeficijent smjera tangente na parametarski zadanu krivulju
(x(t), y(t)) racuna se po formuli y ′ =dy
dx=
y
x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 590: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/590.jpg)
Primjeri i zadaci
Primjer
Odredite brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu akceleracijucikloide na polumjeru a = 10 u trenutku 2s nakon pocetka gibanja.Koliki je radijus zakrivljenosti putanje?
rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.
Zadatak
Parametarski je zadana krivulja ~r(t) =(e−t , y = e2t
). Odredite
brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu komponentuakceleracije, iznos brzine i centripetalne akceleracije, pa i radijuszakrivljenosti u tocki odredenoj parametrom t = 0.
rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866
Teorem
Koeficijent smjera tangente na parametarski zadanu krivulju
(x(t), y(t)) racuna se po formuli y ′ =dy
dx=
y
x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 591: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/591.jpg)
Primjeri i zadaci
Primjer
Odredite brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu akceleracijucikloide na polumjeru a = 10 u trenutku 2s nakon pocetka gibanja.Koliki je radijus zakrivljenosti putanje?
rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.
Zadatak
Parametarski je zadana krivulja ~r(t) =(e−t , y = e2t
). Odredite
brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu komponentuakceleracije, iznos brzine i centripetalne akceleracije, pa i radijuszakrivljenosti u tocki odredenoj parametrom t = 0.
rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866
Teorem
Koeficijent smjera tangente na parametarski zadanu krivulju
(x(t), y(t)) racuna se po formuli y ′ =dy
dx=
y
x.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 592: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/592.jpg)
Da li je jasno?
1 Krivulja je zadana parametarski: x = 2at1+t2 , y = a(1−t2)
1+t2 , gdjeje a ∈ R. Odredite jednadzbu tangente na krivulju u tockizadanoj parametrom t = 3. Izrazite povrsinu koju skoordinatnim osima odsjeca tangenta u ovisnosti o parametrua.
2 Gibanje je zadano parametarski: (2t + 3t2, t2 + 2t3).Izracunajte brzinu, centripetalnu akceleraciju i radijuszakrivljenost putanje na pocetku 4. sekunde.
Bozidar Ivankovic Matematika 1
![Page 593: Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020713/5a7675cb7f8b9a9c548d4b72/html5/thumbnails/593.jpg)
Prva priprema prvog kolokvija
1 Zadani su vektori ~a = 2~i − 3~j + ~k , ~b = 6~j − 8~k i ~c = −3~k.
Izracunajte~c
|~c |× ((~a− ~b)× (~a + ~b)).
2 Vektori ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 3~n odreduju paralelograma.Odredite povrsinu i opseg paralelograma, ako je |~m| = 1,|~n| = 2, a kut izmedu njih ima 600.
3 Odredite domenu i nacrtajte tangentu na graf funkcije
y =
√6− x
x − 3. u tocki s apscisom x0 = 4. Izracunajte duljinu
odsjecka kojeg na tangenti zatvara odreduju koordinatne osi.Rezultate zaokruzite na stotinku.
4 Nacrtajte graf sinusoide zadane formulomy = −2 cos
(x3 + π
9
). Odredite formulu inverzne funkcije i
prirodno podrucje definicije inverzne funkcije.5 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju yey = ex+1
u tocki T (0, 1) zadane krivulje. Koliku povrsinu zatvarajutangenta i normala s osi apscisa?
Bozidar Ivankovic Matematika 1