Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Tredje forelæsning: Differential- ogintegralregningen

Klaus Frovin Jørgensen

27. september, 2010

1 / 33

Fra den græske traditionmod et nyt paradigme

• Centrale matematiske spørgsmål:— Arealer og volumner— Tangenter

• Nye metoder

• Nye objekter

2 / 33

Det følgende er primært baseret på:

“Træk af den matematiske analyses udvikling i 1600-tallet” afKirsti Møller Pedersen, Aarhus Universitet, 1975.

3 / 33

Tangentmetoder

4 / 33

Giles Personne de Roberval (1602–75)

• Samtidig med Descartes (1596–1650).Sidstnævnte udviklede en såkaldtnormalmetode.

• R. udviklede ‘indivisibel-metode’samtidigt med, men uafhængigt af,Cavalieri (1598–1647).

• R. udvikledede også tagentmetodersamtidigt med Toricelli (1608–1647).Begge var kinematisk baserede.

5 / 33

Tangenter til den almindelige cykloide

To kinematiske komponenter

a) Jævn bevægelse fra A tilC .

b) En rotation medkonstant vinkelhastighed.

Tangentbestemmelse i E . Tegn EF , som skærer cirkel OG i F . Tegn FH.

Forholdet mellem de to bevægelser er forholdet imellem deres tilbagelagtevej. Det forhold er 1, da det er forholdet imellem omkedsen af cirklen ogAC .

EH er kombinationen af de to lige lange veje EF og FH.

6 / 33

Pierre de Fermat (1601–65)

• Alle betydningsfulde matematikere fraperiode 1630-80 havde deres egentangentmetode.

• Fermats var baseret på infinitisimaler.

7 / 33

Fermats metode:Tangentbestemmelse til en parabel (1/3)

DB er en parabelbue; bestemsubtangenten EC .

Lad P være nabopunkt til B ogtegn OI gennem P parallel medBC .

Vi har OI > PI, samt (af parabelegenskaben) DC : DI = BC2 : IP2.

DC : DI > BC2 : IO2 (1)

Se på de ensvinklede trekanter EIO og ECB:

BC2 : IO2 = EC2 : EI2 (2)

8 / 33

Fermats metode:Tangentbestemmelse til en parabel (2/3)

Af (1) og (2) følger der at:

DC : DI > EC2 : EI2 (3)

Af algebraiske hensyn sætter vinu EC = a, DC = d og IC = e.

dd − e >

a2

(a − e)2 =⇒ d(a2 + e2 − 2ac) > a2d − a2e

9 / 33

Fermats metode:Tangentbestemmelse til en parabel (3/3)

Vi får:

da2 + de2 − 2dac > a2d − a2e.

Træk nu da2 fra og kald det en‘pseudo-lighed’:

de2 − 2dae ∼ −a2e

Vi får de2 + a2e ∼ 2dae, og vi dividerer med e og får så

de + a2 ∼ 2da.

Vi ‘smider’ nu alt med e væk (en infinitisimal) og dividerer med a.Således får vi a = 2d , det vil sige: EC = 2DC .

10 / 33

Kvadraturmetoder

11 / 33

Johannes Kepler (1571–1630)

Spørgsmålet var, om det altid gik godtmed ’indivisiblerne’?

Ved hjælp af ‘forvredne’ pyramider kunne Kepler også give volumen af ensfære ud fra dens overflade.

12 / 33

Toricellis paradoksGruppeprojekt, Hist1, Gruppe B4

Figur 8: Torricellis paradoks

ses ved det, at integrationsintervaller ikke kan vælges vilkårligt. Eksempelvis er

Robervals argument afhængigt, at der integreres over hele halvcykloiden. I mod-

sætning hertil vælges intervallet hos Pascal ganske arbitrært. Hvis en situation

opfylder betingelserne for Cavalieris princip kan et kvadraturproblem i øvrigt og-

så løses ved in�nitesimalmetoden, da man som Andersen påpeger i givet fald har

følgende lighed for forholdet mellem to �gurer F og G34:

F : G =

(∑

F

`∆

):

(∑

G

`∆

)=

(∑

F

`

):

(∑

G

`

),

Hvor ` betegner liniestykker, og ∆ betegner uendelig små bredder. I forlængelse

heraf taler Fauvel og Gray om, at det er mere relevant at skelne mellem mere

geometriske over for mere algebraiske metoder samt mellem partikulære resultater

over for generaliserede resultater, end det er at sætte indivisibelmetoden op imod

in�nitesimalmetoden.35 I denne på sin vis fornuftige optik skulle opdelingen altså

have været mellem Roberval på den ene side og de tre øvrige på den anden, hvilket

dog er for sent nu.36

At de forskellige metoders gyldighed og anvendelighed har været diskuteret i

samtiden, ses også af Pascals brev til Pierre de Carcavy.37 Her argumenterer han

34Se Andersen, [1], s. 300.35Jf. Fauvel og Gray, [3], s. 376.36Idet alle på nær Roberval opererer med en vis grad af generalitet, og Wallis tillige benytter

sig af en algebraisk fremgangsmåde.37Lützen og Ramskov, [10], s. 83.

Side 19 / 25

En simpel anvendelse af Cavalieris princip gik ikke godt:

Linjestykkerne FE vil forholde sig til linjestykkerne EG som DCforholder sig til AD. Således vil arealet over diagonalen stå i detsamme forhold til arealet under diagonalen.

13 / 33

Roberval og Fermatom kvadraturer af parabler og hyperbler

(1/2)Lad en parabel være givet. Af parabelegenskaben følger:

aian

=i2n2

Heraf følger

ai =i2ann2

ABCABCD =

a1 + a2 + · · ·+ annan

=12an + 22an + · · ·+ n2an

n2nan

=12 + 22 + · · ·+ n2

n3 (4)14 / 33

Roberval og Fermat omkvadraturer af parabler og hyperbler (2/2)

Samtidig har vi:

12+22+· · ·+n2 =13n

3+12n

2+16n

Sætter vi dette ind i

ABCABCD =

12 + 22 + · · ·+ n2

n3

og lader vi n være uendelig stor får vi 1/3.

Vi har med andre ord, at arealet under parabelbuen er 2/3 af detomskrevne rektangel.

15 / 33

Sir Isaac Newton (1643–1727)

• Matematiker, fysiker,naturfilosof, astronom,alkymist, . . .

• Principia Mathematica, 1687.

16 / 33

Newtons matematiske arbejder

• Intet af Newtonsmatematiske arbejde udkommens det var aktuelt.

• De Quadratura Curvarumudkom 1704. Fyrre år efterdet egentlige arbejde.

• Oktober 1666-Traktaten.Trykt posthumt i engelskoversættelse i 1737.

• Mathematical Papers udkom1967.

17 / 33

Mod Newtons forening:En observation

Lad os bemærke, at tilvæksten fra x til x + o for et algebraiskudtryk, lad os sige

f (x) = 2x3 − 4x

kan skrives som det oprindelige udtryk 2x3 − 4x , hvortil et produktaf o, et produkt af o2 og et produkt af o3 adderes. Altså:

f (x + o) = f (x) +(2x2 + 4x − 4

)o + 6o2 + 2o3.

Dette kan generaliseres til udtryk i flere variable, for eksempel x ogy .

18 / 33

Lidt moderne notation

Enkelt-rækker:n∑

i=0aix i = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn

Dobbelt-rækker:n,m∑

i=0,j=0aijx iy j =

n∑i=0

m∑j=0

aijx ix j

Når sådan en dobbelt-række skrives ud, er det:

a00 + a10x + a01y + a11xy + a20x2 + a21x2y + · · ·+ anmxnym

19 / 33

Sætning 7 i 1666-Traktaten

(Newton, Mathematical Papers)

20 / 33

Sætning 7 i moderne notation

Lad partiklerne A og B i samme tid beskrive linjestykkerne x og y .Antag, at disse opfylder den algebraiske ligning

f (x , y) =∑

aijx iy j = 0. (5)

Så bestemmes forholdet mellem hastigheden p af A og hastighed qaf B ved: ∑ pi

x aijx iy j +∑ qj

y aijx iy j = 0.

21 / 33

Bevis af sætning 7 (1/2)

Lad bevægelserne til partiklerne A ogB være jævne og lad x = ac ogy = bg være beskrivelser heraf.

Lad p og q være de momentane hastigheder til A og B og lad o være etlille tidsrum. Således svarer

cd til po og gh til qo.

Indsæt x + po og y + qo i den bestemmende algebraiske ligning (5) forAs og Bs bevægelse.

22 / 33

Bevis af sætning 7 (2/2)

Når vi udvikler ∑aij(x + po)i(y + qo)j = 0,

får vi ∑aijx iy j +

∑aij(pix1−1y j + qjx iy j−1)o

+∑

aij(· · ·)o2 + · · · = 0.

Fra vores oprindelige antagelse (5) ved vi, at første led er 0. Sådividerer vi med o og ‘smider’ resten væk (produkter af o). Vi fårdet ønskede resultat:∑ pi

x aijx iy j +∑ qj

y aijx iy j = 0.

23 / 33

Den oprindelige tekst tilbevis af sætning 7

(Newton, Mathematical Papers)

24 / 33

Newtons sætning 7 generaliserer og forenereksisterende tangentmetoder

25 / 33

26 / 33

Newtons Example 1En generalisation af Robervals og Fermats tangentmetoder:

Lad en kurve være bestemt af etalgebraisk udtryk f (x , y) = 0. Ladab = x og ad = y . Vi forstår kurvensom frembragt af punktet c, når c’shastighed i retning x (dvs. p) og c’shastighed i retning y (dvs. q) sættessammen. Hastighedens retning ertangentens retning.

Vi ønsker at finde subtangenten t = hb.

pq =

cecg =

hbbc =

ty .

Det vil sige, t = pq · y og p

q findes ved hjælp af sætning 7.27 / 33

Newtons sætning 7 er ogsåen kvadraturmetode

28 / 33

Arealbestemmelse gribes omvendt an

29 / 33

The prime and the ultimate ratio

“I do not here consider Matehamtical Quantities as composed of Partsextreamly small, but as generated by a continual motion. Lines aredescribed, and by describing are generated, not by any apposition ofParts, but by a continual motion of Points” (Mathematical Works, p.141)

Hastighederne for de frembringende bevægelser kaldes fluxioner.Bevægelsen selv kaldes fluent. Newton skriver de tidsafledede op, sådansom vi også skriver dem i dag:

x x x ...x

“Fluxions are very nearly as the Augments of the Fluents, generated inequal but infinitely small parts of time, and to speak exactly are in thePrime Ratio of the nascent Augments” (Mathematical Works, p. 141)

30 / 33

Var Newton enestående? (1/2)

• Tangentmetoder— Descartes, Hudde, Roberval, Toricelli, Fermat, Mersenne, . . .

• Areal- og volumen-metoder— Cavalieri, Kepler, Toricelli, Roberval, Fermat, . . .

• Newton forenede, generaliserede og placerede det hele i enteori.

31 / 33

Var Newton enestående? (2/2)

• James Gregory (1638–75)— Elev af Toricelli.— Ved Sct. Andrews og University of Edinburgh.

• Isaac Barrow (1630-77)— Newton var elev af Barrow.

• G. Leibniz (1646–1716)— Uafhængig af Newton.— Publicerede de matematiske resultater lang tid før Newton.

32 / 33

George Berkeley(1685–1753)

The Analyst, 1734.

33 / 33