matematik eksamen a 2013

058 MARIE KRUSES GYMNASIUM - 3520 FARUMPrøve/Eksamen: Skriftlig Eksamen Fag/niveau: Matematik A Dato: 17-04-23Elevens navn: Noah Reinert Sturis Klasse/hold: 3.mArk nr.: 1 Antal ark i alt excl. omslag: 4 Husk at underskrive forsideerklæringen.

Delprøve med hjælpemidler

Opgave 7

Opgave 8

a)Opgaven er løst ved hjælp af TI-nSpire. Vi indsætter tallene i et Lister og Regneark og får TI-nSpire til at udregne regression:

Som det fremgår af billedet er a=0,2933 og b=1,1794. Det skal bemærkes at TI-nSpire har konstanterne omvendt i forhold til opgaven.

b)For at udregne skibets fart ved en motoreffekt på 8000, finder jeg f(8000):

f (8000 )=1,1794 ∙80000,2933=16,46Altså, er skibets fart 16,46 knob.


c)

Opgave 9

a)Graften for f er tegnet i TI-nSpire:

For at bestemme nulpunkterne, bruger jeg TI-nSpire’s ”solve”-funktion:

solve (0=x3+6 x2+9 x , x )⇓x=−3∨ x=0

b)For at bestemme monotoniforholdende for f, differentierer jeg først funktionen:

f ' ( x )= ddx

(x3+6 x2+9 x )=3 x2+12 x+9

Dernæst skal jeg finde f ' ( x )=0, da det er funktionens toppunkter. Det gøres igen med ”solve”-funktionen:

solve (0=3 x2+12x+9 , x )⇓x=−3∨ x=−1Så skal jeg indsætte x-værdier, der er højere og lavere end toppunkterne:

f ' (−4 )=3∙ (−4 )2+12∙ (−4 )+9=9 f ' (−2 )=3∙ (−2 )2+12 ∙ (−2 )+9=−3f ' (0 )=3 ∙02+12 ∙0+9=9Som det fremgår af de resultater, kan jeg konkludere følgende:


f ( x ) er voksende i intervallet ¿−∞ ,−3¿f ( x ) er aftagende i intervallet [−3 ,−1 ]f ( x ) er voksende i intervallet ¿

c)For at bestemme en ligning for tangenten t , bestemmer jeg først f (1 ):

f (1 )=13+6 ∙12+9 ∙1=16Jeg kender allerede f ' (x) fra forrige opgave, så jeg finder f ' (1 ) :

f ' (1 )=3 ∙12+12∙1+9=24Nu ved jeg at hældningen på tangenten er 24. Jeg kender således a men ikke b i en lineær funktion. Jeg indsætter punktet P(1,16) og finder b:

16=24 ∙1+b⇕b=−8Ligningen for tangenten er derfor:

y=24 x−8Nu skal jeg bestemme konstanterne b og c i funktionen:

g ( x )=−x2+bx+cDet gør jeg ved først at finde g' (x ):

g' (x )=−2x+bDa jeg ved at de to funktioner f (x) og g(x ) deler en tangent i P(1,16), ved jeg også at de deler hældning, som er 24, i samme sted. Jeg finder så b således:

24=−2 ∙1+b⇕b=26Dernæst finder jeg c, ved at indsætte punktet P og nu også b ind i funktionen g(x ):

16=−12+26 ∙1+c⇕c=−9Forskriften for funktionen g(x ) er derfor:

g ( x )=−x2+26 x−9

Opgave 10For at bestemme den temperatur, hvor væksthastigheden er størst, differentierer jeg først funktionen r ( t ) :

ddt

¿

0,001436 ∙ ( t−0,93 )−0,000333∙ (t−0,93 ) ∙ ( t+3,38034 ) ∙ (1 ,01873 )25∙ t−1174

Dernæst skal jeg bestemme toppunktet, da det er der væksthastigheden er størst. Det gøres med ”solve”-funktionen:

solve (0=0,001436 ∙ ( t−0,93 )−0,000333 ∙ ( t−0,93 ) ∙ ( t+3,38034 ) ∙ (1 ,01873 )25 ∙t−1174 ,t )⇓t=0,93∨t=41,89

Jeg får to punkter, sandsynligvis et minimum og et maksimum. Det kan jeg afprøve, ved at indsætte dem ind i den oprindelige funktion r ( t ):

r (0,93 )=0r (41,89 )=1,09Det vil sige at den temperatur, hvor væksthastigheden for salmonellabakterier er størst er ved 41,89 grader celsius.


Opgave 11Først skal afstanden til den nærmeste mølle bestemmes. Det gøres ved hjælp af trigonometri. Da jeg ikke ved hvilket sigtepunkt fra land, jeg skal bestemme afstanden fra, går jeg ud fra at det er den der er nærmest møllen, altså C:

|BC|=2300 ∙ tan (46,2 )=2398,42Altså er afstanden fra land til den nærmeste mølle 2398,42 meter.

Dernæst skal møllernes indbyrdes afstand findes. Det gøres ved først at finde afstanden fra C til den mølle, der er længest væk:

|BD|=2300 ∙ tan (46,2+11)=3568,9Dernæst skal afstanden mellem de to ”ydre”-møller bestemmes:

3568,9−2398,42=1170 , 48Da der er ti møller, er der 9 stykker i mellem dem. Jeg dividerer derfor med 9:

1170 ,489

=130,05

Altså, der er ca. 130 meter imellem hver mølle.

Opgave 12

matematik eksamen a 2013

Documents