matematiikkalehti 3/2005 .ﬂ/taa hakusanan ’solmu’, niin ensimm˜ainen linkki joh-taa...

Matematiikkalehti32005

httpsolmumathhelsinkifi

2 Solmu

Solmu 32005

ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)ISSN 1459-0395 (Painettu)

Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hallstromin katu 2b)00014 Helsingin yliopisto


PaatoimittajaPekka Alestalo dosentti Matematiikan laitos Teknillinen korkeakoulu

ToimitussihteeritMika Koskenoja tohtoriassistentti Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopistoAntti Rasila tutkija Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Sahkoposti toimitussolmumathhelsinkifi

ToimituskuntaHeikki Apiola dosentti Matematiikan laitos Teknillinen korkeakouluAapo Halko FT Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopistoAri Koistinen FM Helsingin ammattikorkeakoulu StadiaMatti Lehtinen dosentti MaanpuolustuskorkeakouluMarjatta Naatanen dosentti Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopistoTommi Sottinen yliopistonlehtori Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Graafinen avustaja Marjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilotVirpi Kauko yliopistonopettaja virpikmathsjyufi

Jyvaskylan Avoin yliopistoJorma K Mattila professori jormamattilalutfi

Sovelletun matematiikan laitos Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski professori jormamerikoskiutafi

Matematiikan tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopistoKalle Ranto assistentti kallerantoutufi

Matematiikan laitos Turun yliopistoTiina Rintala opiskelija tirintalpajuoulufi

Oulun yliopistoTimo Tossavainen lehtori timotossavainenjoensuufi

Savonlinnan opettajankoulutuslaitos Joensuun yliopisto

Numeroon 12006 tarkoitetut kirjoitukset pyydamme lahettamaan vuoden 2005 loppuun mennessa

Kiitamme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa seka Suomen Kulttuurirahastoa (sanakirja-projekti)

Huom Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin jotka ovat sita erikseen pyytaneet SolmunInternet-sivuilta saatava paperiversio on mahdollista tulostaa omalla kirjoittimella Toivomme etta lehtea ko-pioidaan kouluissa kaikille halukkaille

Solmu 3

Sisallys

Paakirjoitus Suuria yhtaloita (Pekka Alestalo) 4

Toimitussihteerin palsta Summamutikka-keskus aloittaa toimintansa (Antti Rasila) 5

Jongleerauksesta (Harri Varpanen) 6

Kerhomatematiikkaa (Emilia Manninen ja Tiina Rintala) 11

Joukkojen mahtavuudesta (Ari Koistinen) 15

Calkinin-Wilfin jono (Markku Halmetoja) 18

Toiminnallista matematiikkaa Fraktaaliaskartelua (Saara Lehto) 21

Lottorivin numeroiden summa (Pentti Haukkanen) 25

Presidentti-gallup (Pekka Alestalo) 27

4 Solmu

Suuria yhtaloita

Teknillisen korkeakoulun matematiikan laitoksen kir-jastossa tehtiin suursiivous uusille kirjoille taytyi saadalisaa tilaa joten aikansa elaneita kirjoja siirrettiin va-raston puolelle Olin itsekin mukana tassa operaatios-sa ja eras ensimmaisista varastoon tuomitsemistani oliyhden kokonaisen hyllymetrin vienyt 26-osainen sarjardquoProgress in Computersrdquo Sarjaa oli alettu julkaista v1960 ja viimeinen numero oli vuodelta 1985 Loppui-ko siis tietokoneiden kehitys 1980-luvun puolivalissaEi tietenkaan Sarjan paattymisen syyna oli todenna-koisesti se etta joko matematiikan laitoksella todettiinalan kehityksen seuraamisen kuuluuvan jollekin muulletaholle tai sitten julkaisijat totesivat ettei sarjaa oleenaa tarkoituksenmukaista julkaista vuosikirjan muo-dossa

Joka tapauksessa kehitys viimeisten 20 vuoden aikanaon ollut huimaavaa silla esimerkikiksi NASAn 1980-luvun supertietokoneilla tekemat satelliittien ratalas-kut voi nykyisin tehda tavallisella kotitietokoneella ai-nakin laskentatehon puolesta Matemaatikoiden ja so-vellusalojen tutkijoiden kannalta laskentatehon kasvuon muuttanut seka ajattelu- ja toimintatapoja ettatutkimuskohteita Erityisen hyvin tama kehitys nakyysuurten yhtaloryhmien ratkaisemisen kohdalla Tekni-seen yleissivistykseen kuuluu esimerkiksi tietaa etteilentokoneiden aerodynamiikkaa suinkaan tutkita val-mistamalla erilaisia malleja vaan lahinna tietokonea-

vusteisen suunnittelun kautta Testattavan virtuaalisenkoneen pinta jaetaan pieniin kolmioihin ja virtauksetrungon ymparilla selviavat kun ratkaistaan yhtaloryh-ma jossa on pari miljoonaa tuntematonta ja saman ver-ran yhtaloita Samanlaista numeerista aerodynamiik-kaa on hyodyntanyt myos eras tunnettu perunalastujenvalmistaja jonka ongelmana olivat valmistusprosessinaikana linjoilta hypahtelevat lastut Lopulta peruna-lastujen muoto saatiin optimoitua valmistusprosessiinsopivaksi ndash ratkaisemalla supertietokoneen avulla las-tun aerodynamiikkaa hallitsevat yhtalot Siis samaantapaan kuin jumbo-jetin tapauksessa

Ja lopuksi ei sovi unohtaa internetin tunnetuinta ha-kuohjelmaa joka perustuu yhtaloryhmien teoriaanVerkkosivujen hierarkia voidaan nimittain sisallyttaataulukkoon jossa kullakin verkkosivulla on oma paik-kansa seka pysty- etta vaakasuunnassa Sivulta A si-vulle B johtava linkki ilmaistaan taulukon Ata vas-taavan rivin ja Bta vastaavan sarakkeen leikkausruu-tuun asetetulla luvulla 1 Kun sitten kayttaja kirjoit-taa hakusanan rsquoSolmursquo niin ensimmainen linkki joh-taa Solmu-lehteen tahan tulokseen hakupalvelun ylla-pitajat ovat paatyneet ratkaisemalla muutamaa viikkoaaikaisemmin taulukkoon liittyvan yhtaloryhman jos-sa yhtaloita ja tuntemattomia on samaa kertaluokkaakuin verkkosivuja maailmassa ts yli 4 miljardia1

Pekka Alestalo

Paakirjoitus

1Julkisia verkkosivuja oli tammikuussa 2005 n 115 miljardia mutta kaikkia niita ei ole ym taulukossa

Solmu 5

Summamutikka-keskus aloittaatoimintansa

Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen lai-tokselle perustetaan tana syksyna LUMA-keskuksen al-la toimiva Summamutikka-keskus Keskus palvelee ma-tematiikan opetusta ja opettajia ja sen painopisteenaon toiminnallinen matematiikka Keskus on jatkoa ai-kaisemmalle matematiikkakerhotoiminnalle ja sen ava-jaiset pidetaan 7112005 Avajaisiin odotetaan noin150 vierasta joista suuri osa on opettajia ja tamanSolmun numeron ilmestyminen on ajoitettu keskuksenavajaisiin

Teeman mukaisesti tahan numeroon on saatu toi-minnalliseen matematiikkaan liittyvia kirjoituksia mmfraktaaleista Lisatietoja Summamutikka-toiminnastaloytyy sivulta

httpwwwhelsinkifisummamutikka

LUMA-keskus on Helsingin yliopiston matemaattis-luonnontieteellisen tiedekunnan koordinoimasateenvarjo-organisaatio joka tekee yhteistyota kou-lujen yliopistojen ja elinkeinoelaman kanssa LUMA-keskuksen tavoitteena on luonnontieteiden matema-tiikan tietotekniikan ja teknologian oppimisen edista-minen Keskuksen koordinoimaan toimintaan kuuluvatesimerkiksi lapsille jarjestettavat tiedekerhot Tietoamuusta LUMA-keskuksen toiminnasta loytyy keskuk-sen www-sivulta httpwwwhelsinkifiluma

Antti Rasila

Toimitussihteerin palsta

6 Solmu

Jongleerauksesta

Harri VarpanenJyvaskylan yliopistohavarpanmathsjyufi

Johdanto

Jongleeraaminen on erinomaista vastapainoa matema-tiikan harrastamiselle Pitkallisen matematiikkasessionjalkeen hartiat ja aivot tapaavat olla jumissa jolloin vii-denkin minuutin heittely (ja pudonneiden pallojen nos-telu) rentouttaa huomattavasti seka kehoa etta mieltaAlkuun on helppo paasta kunhan loytaa sopivat pal-lot Esimerkiksi ilmapallolla paallystetyt hiekalla tay-tetyt tennispallot ovat varsin mainiot (Pelkat tennis-pallot ovat liian kevyita ja pudottuaan pomppivat sekavierivat turhan kauas) Jongleeraaminen on kuitenkin

myos matemaattisesti mielenkiintoista kuten tulemmenakemaan

Jongleerauksessa erilaiset rytmit ja heittojen korkeu-det saavat aikaan kuvioita joita voi muodostaa myosuseamman ihmisen voimin Tassa mielessa jongleeraa-minen muistuttaa soittimen soittamista ja savelkuvioi-den tapaan myos jongleerauskuvioilla on oma teorian-sa Teoria on yksinkertainen luonnollinen ja se istuuyllattavan natisti matematiikan kielelle Se keksittiinvasta 1980-luvun lopussa mika on hammastyttavaasilla jongleerauksesta loytyy todisteita jo 4000 vuodentakaa (kuva 1)

Kuva 1 Pala egyptilaisesta seinamaalauksesta Samassa maalauksessa esiintyy myos tanssijoita ja akrobaatteja Maalaus

on kuningas Beni Hassanin haudasta noin vuodelta 2000 eKr

Solmu 7

Teorian myota kuvioiden ymmartaminen ja kommuni-koiminen on helpottunut huomattavasti Nykyaan ku-viot osataan merkita yksiselitteisesti ja tiedetaan mi-ten monimutkaiset kuviot rakentuvat yksinkertaisem-mista Kuvioita voi myos katsella tietokoneen ruudultaellei elavaa jonglooria ole saatavilla mallia nayttamaan

Tama teksti toimii lyhyena esimerkkipainotteisenajohdantona jongleerauskuvioiden matemaattiseen teo-riaan Teksti nojaa vahvasti internet-simulaattoriin jo-ten sen tayspainoinen lukeminen on mahdollista vaininternet-yhteyden ja Javalla varustetun verkkoselaimenaaressa Laajempi johdanto aiheeseen on lukuvuon-na 2003-2004 kirjoittamani opinnaytetyo joka loytyyosoitteesta

wwwmathsjyufi˜havarpanjongpdf

Opinnaytetyon ensimmainen luku on kirjoitettu kasillaolevaa tekstia perusteellisemmin ja tasmallisemmin seei sisalla vaikeaa matematiikkaa eika se nojaa interne-

tiin joten sen lukeminen on joka tapauksessa suositel-tavaa

Jongleerauksesta yleisemmassa mielessa loytyy lisatie-toja mm seuraavista osoitteista

wwwjugglingorghelp(sivuston paivittaminen lopetettu 2001)wwwjugglingdbcomwwwpassingdbcom

Simulaattori

Esimerkkien havainnollistamiseksi kaytamme mainiotaJugglingLab-nimista www-simulaattoria joka on hel-pokayttoinen haluttu kuvio kirjoitetaan selaimen osoi-teriville perusosoitteen jatkoksi Seuraavassa esimerk-keja simulaattorin kaytosta ja samalla erilaisista ku-viotyypeista2

httpjugglinglabsourceforgenetsiteswapphp450httpjugglinglabsourceforgenetsiteswapphp(4x2x)httpjugglinglabsourceforgenetsiteswapphp[54]24httpjugglinglabsourceforgenetsiteswapphp([44x]2)(2[44x])httpjugglinglabsourceforgenetsiteswapphplt5p 3p 4 | 4p 2 3pgthttpjugglinglabsourceforgenetsiteswapphplt(4x4xp)|(4x4xp)gt

(Sivustosta wwwpassingdbcom loytyy omalle koneelle asennettavaksi simulaattoreita joilla useamman jongloo-rin samanaikainen simuloiminen on katevampaa)

Perusidea ja siteswap-kuviot

Miten kuvailla tasmallisesti esimerkiksi kolmen pallonperuskuviota

httpjugglinglabsourceforgenetsiteswapphp3

Erilaisia sanallisia selityksia voi yrittaa mutta etenkinmonimutkaisten kuvioiden tapauksessa ne ovat useinmahdottomia ymmartaa Siispa on yritettava erotellakuviosta olennaisia elementteja ja katsoa mita niistasaa aikaan

Havaitkaamme ensin etta kuvion taustalla on tahtipallot otetaan kiinni tasavalisilla tahdinlyonneilla jot-ka samaistuvat mukavasti kokonaislukujen joukkoon minus2minus1 0 1 2 (Emme tassa kiinnita huomio-ta kuvion aloittamiseen tai lopettamiseen vaan oletam-me sen jatkuvan ikuisesti)

Havaitkaamme seuraavaksi etta pallon pitaminen ka-dessa ei ole kovinkaan olennaista kuvion rakenteen kan-nalta

pattern=3hands=(10)(30)(20)dwell=01

(Perusosoitehttpjugglinglabsourceforgenetsiteswapphp ja-tetty pois) Emme siis meneta paljoakaan olettamallaetta pallon kiinniotto ja sita seuraava heitto tapahtuvattasmalleen samanaikaisesti Toki tama on kaytannossamahdotonta pallot osuisivat yhteen eika kukaan omaamoista rajatonta heittonopeutta Me olemme kuiten-kin kiinnostuneita kuvioiden teoriasta jolloin tallainenoletus on pelkastaan hyodyksi

Voimme nyt kuvata yhden heiton korkeutta sen ajal-lisella etaisyydella seuraavasti jos pallo heitetaan (eliotetaan kiinni) vaikkapa tahdilla 1 ja otetaan kiinni (eliheitetaan uudelleen) seuraavan kerran tahdilla 4 niintahdilla 1 tapahtuvan heiton etaisyys eli heittoluku on4 minus 1 = 3 Esimerkkimme peruskuviossa jokaisen hei-ton etaisyys on kolme mika on helpoiten nahtavissaerivarisilla palloilla

pattern=3hands=(10)(30)(20)dwell=01colors=mixed

tai ndash palataksemme normaaliin heittonopeuteen ndash

pattern=3colors=mixed

2Simulaattori on Java-sovellus joten selaimen on tuettava Javaa Ensimmaista kertaa kaytettaessa simulaattorin lataaminenkestaa hetken Kiitokset Jack Boycelle ja kumppaneille simulaattorin kehittamisesta

8 Solmu

Kukin pallo siis otetaan kiinni (ja heitetaan) joka kol-mannella tahdilla3

Olemme nyt kuvailleet kolmen pallon peruskuvion seu-raavasti jokaisella tahdilla tapahtuu heitto jonka etai-syys on kolme Kuviomme voidaan nain ollen ilmoittaajonona jossa tahdinlyonnit eli kokonaislukujen jouk-ko on korvattu tahdinlyonneilla tapahtuvien heittojenheittoluvuilla

3 3 3

Koska tama jono on jaksollinen (luku kolme toistaa it-seaan) riittaa ilmoittaa vain yksi jakso jolloin kuviom-me saa lopullisen muodon 3

Miksi muka tama muoto on lopullinen Miksi on pakkoheittaa pallo kadesta toiseen Luku kolme ei sinallaansano mitaan siita heitetaanko pallo samaan vai eri ka-teen Olemme kuitenkin kaikessa hiljaisuudessa oletta-neet etta kaksi katta heittelevat palloja vuorotahdeinNain pariton heitto (heitto jonka heittoluku on pari-ton) heitetaan eri kateen ja parillinen samaan kateen

Olemme itse asiassa hiljaisesti olettaneet myos sen ettaainoastaan yhden pallon heittaminen on sallittua kulla-kin tahdilla Ilman tata rajoitusta yhdella tahdinlyon-nilla tarvittaisiin kullekin pallolle oma heittolukunsa jaasiasta tulisi hieman monimutkaisempi Tahan tapauk-seen palaamme myohemmin

Jos nyt annettuna on kuvio jota heitetaan edellamai-nituin rajoituksin voidaan se ilmoittaa yksiselitteisestiheittolukujensa jonona Jos kuvio (eli heittolukujen jo-no) on jaksollinen riittaa ilmoittaa jonosta yksi jaksojonka pituus on kuvion jaksonpituus4

Tassa idean sulattelemiseksi muutama kuvio lisaa elikuviot 4 5 1 ja 441

pattern=4colors=mixedpattern=5colors=mixedpattern=1colors=mixedpattern=441colors=mixedhands=(10)(30)(20)dwell=01

(Viimeisen kuvion jaksonpituus on kolme muiden yksiAnimaattori heittaa normaalisti rdquoykkosetrdquo hieman tah-dittomasti siksi viimeisessa kuviossa kiinnipitoaika onlaitettu vahaiseksi)

Numerot nolla ja kaksi ovat hieman poikkeavia ja vaati-vat erillisen selityksen Kuvitelkaamme ensin etta kol-men pallon peruskuviosta 3 jatetaan yksi pallo poistalloin syntyy kuvio 330

pattern=330colors=mixedhands=(10)(20)dwell=005

Nolla on siis rdquotyhjardquo heitto Hetki sitten sovimme ettakullakin tahdilla heitetaan vain yksi pallo eli tarkalleenottaen kullakin tahdilla heitetaan enintaan yksi pallo

Olettakaamme sitten etta heiton etaisyys on kaksiPallo siis heitetaan samaan kateen eika kasi siina valis-sa tee mitaan silla valissa olevalla tahdinlyonnilla heit-tovuoro (= kiinniottovuoro) on toisella kadella Nainollen palloa voi yhta hyvin pitaa vain kadessa paikal-laan yhden tahdin yli ja nain myos useimmiten teh-daan Esimerkiksi sopii kuvio 423

pattern=423colors=mixedhands=(10)(30)(20)dwell=01

tai normaalilla kiinnipitoajalla

423

(Sopii myos kokeilla pelkastaan kuviota 2)

Voimme nyt esittaa lukujonona jokaisen kuvion jokatayttaa kaksi rajoitusta

- kullakin tahdilla heitetaan enintaan yksi pallo- yksi jongloori heittaa vuorotahdein oikealla ja vasem-malla kadella

Jalkimmainen naista on itse asiassa ainoastaan sopi-mus joka vaikuttaa vain kuvion ulkonakoon Koskakullakin tahdilla heitetaan vain yksi pallo voi tuon pal-lon heittaa koko ajan myos yksi ja sama kasi tai vaikka-pa seitseman eri katta vuorotellen Teoreettisesti kuviopysyisi kuitenkin samana

Naita rdquoenintaan yksi pallo per tahtirdquo -kuvioita sanotaansiteswap-kuvioiksi (Nimen syysta lisaa opinnaytetyonkohdassa 211 sivu 19)

Siteswap-kuvioiden ominaisuuk-sia

Millaiset lukujonot esittavat siteswap-kuvioita Kai-kenlaiset jonot eivat nimittain kelpaa kelvoton jono onesimerkiksi 431 Kelvottomuus johtuu siita etta heittoa4 seuraisi heitto 3 ja nama kaksi palloa rdquolaskeutuisivatrdquosamalla tahdinlyonnilla

Voidaan osoittaa etta kuvion kelvollisuus voidaan tes-tata seuraavasti esimerkkina kelvollinen kuvio 450

3Kiinniotoista muodostuva tahti on hieman helpompi erottaa kuviosta kuin heitoista muodostuva tahti Kaytannossa tahdinlyontimyos syntyy kiinnioton aiheuttamasta aanesta Luonnollisempaa on kuitenkin ajatella niin etta tahdinlyonnilla heitetaan

4Jaksottomia kuvioita ei olennaisesti ole olemassa ks opinnaytetyon luku 5

Solmu 9

Kirjoitetaan kuvio 450 ja heittolukujen alle numerot nollasta alkaen 012Lasketaan nama luvut yhteen 462 ja otetaan jakojaannokset jaksonpituudella jaettuna 102

Kuvion 450 jaksonpituus on kolme joten viimeises-sa vaiheessa nelja jaettuna kolmella on yksi jaa yk-si kuusi jaettuna kolmella on kaksi jaa nolla ja kaksijaettuna kolmella on nolla jaa kaksi

Koska saadut luvut 1 0 2 ovat tasmalleen toiselle rivil-le kirjoitetut luvut 0 1 2 (eri jarjestyksessa) on kuviokelvollinen

Sen sijaan jono 1203 (jaksonpituus nelja) ei ole kelvol-linen koska heitot 3 ja 0 rdquoosuvat toisiinsardquo

1203012313261322

Nyt kakkonen esiintyy viimeisessa rivissa kaksi kertaanolla ei kertaakaan

Lisaksi voidaan osoittaa etta kelvollisen kuvion pallo-jen lukumaara saadaan heittolukujen keskiarvona nainollen esimerkiksi kuviossa 450 on (4 + 5 + 0)3 = 3 pal-loa Tama ei kuitenkaan riita kelvollisuustestiksi esi-merkiksi lukujen 435 keskiarvo on 4 mutta 435 ei olekelvollinen kuvio

Monimutkaisempia kuvioita

Enta jos luovumme rajoituksestamme ja sallimmeuseamman pallon heittamisen samalla tahdilla Jos ole-tamme edelleen etta palloja heitetaan vain yhdesta ka-desta kerrallaan ei suurta muutosta aikaisempaan tar-vitse tehda jos useampi pallo heitetaan samalla tahdil-la ilmoitetaan kullekin pallolle oma heittonumeronsaEsimerkiksi kuviossa [45]24 heitetaan joka kolmannellatahdilla kaksi palloa samanaikaisesti toinen neljan jatoinen viiden tahdin paahan (heittoluvut hakasulkeensisalla) Tallaisia kuvioita sanotaan multiplex-kuvioiksi

Jaksonpituuden kasite vaatii tassa tapauksessa hiemantarkennusta Vaikka yllaolevassa kuviossa [45]24 on nel-ja heittolukua niin sen jaksonpituus on kolme silla lu-vut 4 ja 5 kuuluvat samaan tahtiin Kuvion jaksonpi-tuus on siis niiden tahtien lukumaara joiden jalkeenkuvio (eli kuvion heittoluvut) toistavat itseaan

Kelvollisen kuvion pallojen lukumaara on jalleen jononkaikkien lukujen summa jaettuna jaksonpituudella esi-merkkitapauksessamme siis 153 = 5

Kuvion kelvollisuuden testaaminenkin tapahtuu lahessamoin kuin ennen

Kirjoitetaan kuvio [45]24 ja alle numerot (saman tahdin luvuille sama numero) [00]12Lasketaan nama yhteen [45]36 ja otetaan jakojaannokset jaksonpituudella jaettuna [12]00

Tassa ovat tasmalleen samat luvut kuin toisella rivilla(hakasulkeista ei enaa tarvitse valittaa) joten kuvio onkelvollinen

Enta jos sallimme pallojen heittamisen useasta kadestasamanaikaisesti Talloin homma monimutkaistuu sil-la kullekin kadelle tarvitaan oma lukujononsa ja hei-ton korkeuden lisaksi tulee tietaa se mihin kateen heit-to suuntautuu Yhden jongloorin eli kahden kaden ta-pauksessa kuviot ovat viela kutakuinkin ymmarretta-vissa numeron peraan lisataan x jos heitto heitetaankadesta toiseen Tassa muutamia esimerkkeja (yksi sul-kupari kuvaa yhta tahtia sulkujen sisalla kummankinkaden heittoluvut)

(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)

Ensimmaisen toisen ja kolmannen kuvion jaksonpituuson yksi neljannen kuvion jaksonpituus on kaksi ja vii-meisen kuvion jaksonpituus on nelja

Kaytannon syista naissa synchro-kuvioissa oletetaanaina yksi valitahti esimerkiksi siteswap-kuviossa 4on nopeudeltaan kaksinkertainen tahti verrattunasynchro-kuvioon (44) Silti synchro-kuvio ilmoitetaanmuodossa (44) eika muodossa (22) vaikka jalkimmai-nen tapa olisi matemaattisesti korrektimpi Silloin heit-tonumeroiden tulkinta kuitenkin olisi taysin erilainensynchro- ja siteswap-tapauksissa mika hankaloittaisielamaa monin tavoin Vakiintunut kaytanto on olet-taa synchro-kuvioihin valitahti (ts heitot tapahtuvatvain joka toisella tahdilla eli parittomia heittonume-roita ei esiinny lainkaan) jolloin heittonumeroiden tul-kinnat vastaavat toisiaan Ainoa poikkeus on synchro-heitto 2x joka vastaa siteswap-heittoa 1 Seuraavienkuvioiden vertaaminen keskenaan selventanee asiaa

10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)

(Kaksi viimeista kuviota nayttavat taysin samoiltaTarkoittaako tama sita etta ne ovat samoja)

Myos synchro-kuvioissa pallojen lukumaara saadaanheittolukujen keskiarvosta mutta valitahtisopimuksen

takia pitaa lopuksi viela jakaa kahdella Esimerkiksikuviossa (4x2x) jaksonpituus on yksi ja heittolukujensumma kuusi Heittolukujen summa jaksonpituudellajaettuna on siis kuusi joka lopuksi viela jaetaan kah-della Kuviossa on siis kolme palloa

Synchro-kuvioiden kelpoisuustesti toimii jalleen sa-maan tapaan kuin aikaisemmin esimerkkina kelvolli-nen kuvio (42x)(2x4) jaksonpituus kaksi

(42x)(2x4) Kirjoitetaan kuvio

(21x)(1x2) jaetaan luvut kahdella (valitahtisopimus)

0 0 1 1 numeroidaan tahdit (samalle tahdille sama numero)

(21x)(2x3) lasketaan yhteen

(01x)(0x1) ja lasketaan jakojaannokset jaksonpituudella jaettuna

Koska alimmalla rivilla esiintyvat kaikki mahdolliset lu-kujen 0 ja 1 yhdistelmat merkin x kanssa ja ilman (eli0 0x 1 ja 1x) niin kuvio on kelvollinen Kelvollinen eisen sijaan ole kuvio (4x4x)(24) silla silloin alimmal-le riville saadaan (0x0x)(11) jossa yhdistelmat 1 ja0x esiintyvat kahdesti ja yhdistelmia 0 ja 1x ei esiinnylainkaan

Yleistyksia ja avoimia kysymyksia

Edellisessa luvussa kuvaillut multiplex- ja synchro-kuviot voidaan tietenkin yhdistaa jolloin saadaan esi-merkiksi kuvio ([44x]2)(2[44x])

Lisaksi mukaan voidaan ottaa useampia jongloorejamutta talloin kasien eli sulkeiden sisaltamien sarak-keiden maara lisaantyy eika pelkka x-kirjain enaariita merkitsemaan eri kateen suuntautuvaa heittoaKaytannossa ainoastaan kahden vastakkain seisovanjongloorin tapaus on viela ihmisen luettavissa sil-loin merkitaan heittoluvun peraan p sen merkiksi et-ta heitto heitetaan toiselle suoraan (straight pass) jaxp sen merkiksi etta heitto heitetaan toiselle ristiin(cross pass) Kuvio merkitaan sulkeiden lt gt sisaanja pystyviivalla erotetaan kunkin jongloorin heittele-mat kuviot toisistaan Esimerkiksi tekstin alun ku-viossa lt5p 3p 4 | 4p 2 3pgt toinen jongloori heittaa(siteswap-)kuviota 5p 3p 4 ja toinen kuviota 4p 2 3p(vastaavilla tahdeilla ja katisyyksilla)

Useamman kuin kahden jongloorin tapauksessa ihmi-nen siirtyy suosiolla piirrettyihin diagrammeihin simu-laattori sen sijaan pysyttelee numeromerkinnoissa

Lopuksi muutama kysymys Ensimmainen kuvataantarkemmin opinnaytetyon luvussa viisi jos annettunaon pallojen lukumaara ja suurin sallittu heittoluku niinmontako erilaista (oikein tulkittuna) kuviota saadaanaikaan Tama on vaikea kombinatorinen ongelma jol-le ei edes siteswap-tapauksessa ole loydetty ratkaisuaKuviot pystytaan kylla luettelemaan tietokoneella kus-sakin tapauksessa erikseen mutta yleista kaavaa ei tie-deta

Toinen kysymys liittyy kasien liikkeisiin niihin emmeole toistaiseksi kiinnittaneet minkaanlaista huomiotaKaytannossa heiton voi heittaa monella tavalla esimer-kiksi selan takaa tai toisen kaden alta Nama on tapanailmoittaa erikseen esimerkiksi rdquo423 neloset olkapaanyli selan takaa eteenrdquo Nain myos simulaattoreissa mis-sa kasien liikkeet annetaan hankalasti suoraan avaruu-den koordinaatteina eri ajanhetkina Miten yleisimmatkasien liikkeet voisi viisaasti sisallyttaa teoriaan sitenetta tietokoneohjelma luettelisi (ja nayttaisi ruudulla)myos nama ilman erillista koordinaattien kanssa vei-vaamista Miten erilaiset kasien liikkeet voi yhdistaaUutta teoriaa ei valttamatta juurikaan tarvittaisi mut-ta kiertosuunnista ja symmetriaryhman kasitteesta voi-si olla hyotya

Vastaan mielellani aiheeseen liittyviin kysymyksiin

Solmu 11

Kerhomatematiikkaa

Emilia Manninen ja Tiina RintalaOulun yliopisto

Taustaa

Tuskin loytyy opiskelualaa tai tyopaikkaa missa ei tar-vitsisi matematiikkaa Kaksi kolmasosaa yliopistojen jakorkeakoulujen opiskelupaikoista vaatisi lukion laajanmatematiikan Kuitenkin abiturienteista laajan mate-matiikan kirjoittaa vain kolmannes ja vain 15 pakol-lisena Uskomme etta panostamalla matematiikan ope-tuksen ja oppimisen kehittamiseen peruskoulussa saa-taisiin oppilaat innostumaan matemaattisista aineistamyohemminkin

Tama vaatii tyota niin luokan- kuin aineenopettajiltaLuokanopettajien opintoihin kuuluu muutama opinto-viikko matematiikkaa mika voi vaikeuttaa matematii-kan monipuolista opettamista peruskoulun luokilla 0ndash6Toisaalta aineenopettajat omaavat hyvinkin teoreetti-sen matemaattisen taustan Tuoreen Turun yliopistossatarkastetun Eero K Niemen vaitoskirjan mukaan oppi-kirjalla on merkittava vaikutus matematiikan opetuk-sessa Tamakin kertoo osaltaan siita etta opetukseenolisi tarvetta saada lisaa ideoita oppikirjan ulkopuolel-ta

Syksylla 2002 ryhma Oulun yliopiston matemaattis-ten tieteiden laitoksen opiskelijoita aloitti lehtori Al-li Huovisen johdolla yhteistyossa kahdeksan oululai-sen luokkia 0ndash6 opettavan peruskoulun kanssa ma-

tematiikkakerhot Sittemmin toimintaan on tullut li-saa kouluja ja ohjaajia syksylla 2004 kerhoihin osal-listui satoja oululaislapsia Kesalla 2003 suosittu-jen matikkakerhojen pohjalta sama tyoryhma toteuttiMatikkaraketti-leireja neljalla Oulun koululla mennee-na kesana Matikkaraketti-leireja oli jo monta kymmen-ta

Kerhoissa pyritaan syventamaan tietamysta matema-tiikasta Tarkoituksena on huomata etta matematiikkaon loppujen lopuksi paljon muutakin kuin laskemistamatematiikkahan on useissa asioissa nakymaton vai-kuttaja Koska kaikilla kouluilla ei voi olla matema-tiikkakerhoja ja toisaalta kaikki lapsetkaan eivat loy-da kerhoja on myos matematiikan tuntien monipuo-lisuus tarkeaa Kerhoissa kaytetaankin useita ideoitajoita voitaisiin kayttaa myos perusopetuksessa kaikillaluokka-asteilla lukiossakin

Jyvaskylan yliopiston psykologian laitoksella tehty tut-kimus antaa viitteita siita etta matematiikan ensi- jaalkuopetuksessa on tarvetta uudelleen puntaroinnilleHelsingin Sanomissa 1992004 julkaistussa mielipide-jutussa tutkimuksen tekijat kirjoittavat etta kiinnos-tuneisuus matematiikkaa kohtaan naytti koulussa las-kevan erityisesti tytoilla ndash siitakin huolimatta etta ty-tot suoriutuvat matematiikassa yhta hyvin kuin pojat

12 Solmu

Kirjoittajien mukaan kasitteiden opettamisessa konkre-tisointi ei ole tarkeaa vain alkuopetuksessa vaan lapikoko peruskoulun

Tavoitteet

Kerhojen tarkoitus on antaa virikkeita innostavaan ma-tematiikan opiskeluun ja nain herattaa oppilaiden mo-tivaatiota Tulevaisuuden kannalta on erittain tarke-aa saada hyva pohja matematiikan perusasioista se-ka myonteinen asenne matematiikkaa kohtaan Toimin-ta on tarkeaa silla nain aineenopettajaksi opiskelevatpaasevat harjoittelemaan opettamista jo opiskeluaika-na seka saavat ideoita varsinaiseen tyohonsa Kerho-ja leiritoiminnan avulla aineenopettajaksi opiskelevatsaavat ainutlaatuisen tilaisuuden tutustua peruskoulunluokka-asteiden 0ndash6 matematiikkaan siihen perustaanmihin tulevien oppilaiden opiskelu pohjautuu

Kerhotoimintaa on tarkoitus kehittaa luokille 0ndash6 to-teutetuista kerhoista edelleen luokille 7ndash9 ja siita ylos-pain Tallaisen kerhoja leiritoiminnan kautta koulunja yliopiston yhteistyo tiivistyy

Suunnittelu

Suunniteltaessa kerhoa kannattaa hoitaa ensin kuntoonyleiset asiat kerhosta ilmoittelu kerhoaika ja -paikkakerhokerrat materiaali ja kerhomateriaalien sailytysti-la Kerhon pitoon vaikuttavat olennaisesti lasten luku-maara ja ikajakauma Vaikka asiat poikkeavat koulus-sa kasiteltavista asioista ei samaan ryhmaan kannataottaa kovin eri-ikaisia lapsia Keskittymiskyky ja teh-tavien suorittamiseen tarvittava aika vaihtelevat suu-resti luokittain Esimerkiksi jako luokkiin 1ndash3 ja 4ndash6on toimiva ratkaisu Myos lasten lukumaara kannattaapitaa kohtuullisena jotta jokainen kerhossa kavija saatarvittaessa yksilollista opastusta ja nain ollen viihtyykerhossa Kerhossa viihtymiseen vaikuttaa myos olen-naisesti hyva ilmapiiri kannattaakin heti aluksi miet-tia yhdessa kerholaisten kanssa kerholle saannot jotkaovat sopusoinnussa myos koulun omien saantojen kans-sa

On hyva suunnitella kerholle valmiiksi runko jossakiinnitetaan huomiota kerhoajan ja kerhokertojen lu-kumaaraan Ohjelmista kannattaa tehda vaihtelevianiin aiheiltaan kuin suoritustavoiltaan ja mielenkiin-non voi sailyttaa erilaisten kohokohtien avulla Sellai-sena voi toimia esimerkiksi seikkailu jossa on mahdol-lisesti jokin pieni palkinto Seikkailusta on esimerkkiohjelmissa

Hyvia ideoita matikkakerhoon loytyy esimerkiksi seu-raavista lahteistaBjorklund Jenni ym Sukkia ja muuta matematiikka

Oster Grigori Mieleton matikkaAivojumppaa ja alypahkinoita (Valitut Palat)Mensa alyjumppa (sarja)Jackson Paul ym Paperiaskartelun kasikirjaDahl Kristin Hauskaa matematiikkaaKarilas Yrjo Antero VipunenKoulujen matematiikan kirjatMiguel de Guzman Matemaattisia seikkailujaMatematiikkalehti Solmu Unkari

On tarkeaa etta yksittaiseen kerhokertaan sisaltyy on-nistumisen elamyksia jokaiselle Siksi tehtavissa tu-lee olla helppoja perustehtavia mutta myos haasteitataytyy loytya Koska on kuitenkin kyse lasten vapaa-ajasta kannattaa kerhossa valilla leikkiakin

Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra

Aloitus Naruun on kiinnitetty lammas joka syo hei-naa Minkalainen alue syntyy Toteutetaan tutkimallapahville kiinnitetyn narun ja kynan avulla Tutkitaanmista muualta kerhotilasta loytyy ympyroita

Luokille 2 ja 3 Piirretaan suurehkojen purkkien avul-la paperille ympyroita (jokaiselle kerholaiselle yksi) jaleikataan ne irti Taitetaan ympyra kerran keskelta javahvistetaan jalki (halkaisija) Taitetaan toisen kerranja vahvistetaan puolet uudesta jaljesta (sade) erivaril-la Merkitaan leikkauskohta (keskipiste) Arvuutellaanympyran osien nimet kerholaisilta ja kirjoitetaan neympyraan Leikataan ympyran kehan mittainen lankaja leikataan siita halkaisijan pituisia patkia pois Ver-taillaan tuloksia Huomataan etta kaikki saavat tulok-seksi 3 halkaisijaa ja vahan yli (pii)

Luokille 4ndash6 Muuten sama ohjelma kuin edella muttapiirretaan ympyrat harpilla

Tarvitaan Paksua pahvia esim aaltopahvia haara-nasta lankaa ja kyna lampaaksi Suurehkoja purkkejaesim sailyketolkkeja erivarisia kynia harppeja pahviaja saksia

Ohjelma 2 Pentomino

Aloitus Piirretaan ruutupaperille viiden ruudun kokoi-sia kuvioita jotka eivat ole toistensa peilikuvia ja jois-sa ruudut koskettavat toisiaan ainakin yhdelta sivultaErilaisia vaihtoehtoja on 12 Jokainen kerholainen piir-taa ensin yksin jonka jalkeen vaihdetaan kaverin kanssakuvioita (Kuviot ovat pentomino-pohjissa)

Peli Varitetaan pentomino-palat ja liimataan ne kar-tongille josta ne leikataan irti Kootaan eri paloja kayt-taen erikokoisia nelioita ja suorakulmioita On myosmahdollista koota jokaisen palasen muotoinen kappa-le muita paloja kayttaen Varsinaista pelia pelataan 50

Solmu 13

ruudun kokoisella pohjalla kahden pelaajan palasillaKumpikin pelaaja asettaa alustalle vuorotellen valitse-mansa palan voittaja on se joka laittaa alustalle vii-meisen palan

Tarvikkeet Ruutupaperia varikynia pentomino-pohjat kartonkia liimaa ja saksia

Ohjelma 3 Koordinaatisto

Oppilaat ovat pareittain toinen heista on opas Op-pilaille jaetaan monisteet joista oppaalla on sellainenmissa ruudussa on kuvio ja hanen parillaan on tyhjaruudukko Oppaan tehtava on sanoin selittaa toiselleruudussa oleva kuvio

Opetetaan koordinaatisto ja mietitaan edellisen selitys-tehtavan avulla mita hyotya siita on ja miten sita voikayttaa Avuksi voi kayttaa esimerkiksi puhelinluette-lon karttoja

Pelataan koordinaatistobingoa 5 times 5 -ruudukolla jos-sa pienemmilla voi olla kirjaimet x-akselilla Jokainenvalitsee viisi pistetta ja merkitsee ne Nostetaan vuoro-tellen ohjaajalta koordinaatit bingo tulee kun jokaisenmerkityn pisteen koordinaatit on nostettu

Hyvia aiheeseen liittyvia peleja ovat esimerkiksi laivan-upotus seka erilaiset aarrekartat

Tarvikkeet Monisteet ruutupaperia kynia ja koordi-naatit lapuilla

Ohjelma 4 Sanan selitys piirtaen (Toimii hyvinkertaavana tehtavana)

Jaa kerholaiset joukkueisiin Jokainen kerholainen kayvuorollaan piirtamassa taululle saamansa sanan jotamuut arvaavat Pisteet jaetaan joukkueittain

Esimerkkisanoja Ympyra sade halkaisija keskipistekeha pii viivoitin laskin nelio suorakaide kolmiopentomino

Tarvikkeet Liitu ja sanat lapuilla

Ohjelma 5 Seikkailu

Yleiset ohjeet Ohjaaja kirjoittaa ennen seikkailua vih-jeet ja tehtavat erillisille lapuille tietenkin ilman vas-tauksia ja tehtavan 3 kirjaimet sanasta seitseman sa-moin erillisille lapuille Seikkailussa annetaan ensim-maiseksi lapsille vihje jonka avulla he loytavat ensim-maisen tehtavan ja uuden vihjeen Nain edetaan lop-puun asti Tehtavaa ja vihjetta ennen lukee suluissapaikka josta ne loytyvat Paikat ovat vain esimerkkejaja ne taytyy muuttaa seikkailun paikan mukaiseksi

Vihje 1 Nyt alkaa seikkailu Tehtavananne on selvit-taa saatavien vihjeiden ja niiden avulla loytyvien tehta-vien avulla piilotetun aarteen sijainti ja sen avaamiseenliittyva koodi Ei muuta kuin onnea matkaan Tassa

ensimmainen vihje Aarteen piilottajilla taisi olla janokun he suunnittelivat ensimmaista tehtavaa

(Tehtava 1 ja Vihje 2 loytyvat juoma-automaatin vie-ressa)

Tehtava 1 Etana on muurin alla joka on 23m korkeaEtana kiipeaa joka paiva 7m ylospain ja valuu yolla3m alaspain Monentenako paivana etana paasee muu-rin paalle (V Etana paasee muurin paalle viidentenapaivana koska neljan ensimmaisen vuorokauden aikanaetana nousee 16 metria ja viidentena paivana 7 metria)

Vihje 2 Seuraavaa tehtavaa suunniteltiin ikavan pi-laantuneen hajun hairitessa

(Tehtava 2 ja Vihje 3 loytyvat roskiksesta)

Tehtava 2 Luku loytyy kun vahennatte kolmestakym-menesta tehtavan numeron seka nelion kulmien luku-maaran ( V 30minus 2minus 4 = 24)

Vihje 3 Tamahan sujuu Seuraavaan tehtavaan liitty-vat luokasta loytyvat kirjaimet

(Tehtava 3 ja Vihje 4 loytyvat luokasta jostain naky-vasta paikasta)

Tehtava 3 (SEITSEMAN) Tehtavana on miettiamika numero muodostuu kun kaytatte kaikki kirjai-met yhteen kertaan ja vahennatte siita numeron yksi(V 6) Kun saatte sen selville niin lukekaa uusi vinkki

Vihje 4 Seuraavaa tehtavaa suunniteltiin heti kun olitultu kouluun ja vaatteet oli jatetty naulakkoon

(Tehtava 4 ja Vihje 5 loytyvat naulakosta)

Tehtava 4 Perheessa on 7 poikaa ja jokaisella heista onyksi sisko Kuinka monta tyttoa perheessa on aidin li-saksi (V Perheessa on yksi tytto aidin lisaksi han onkaikkien poikien sisko)

Vihje 5 Seuraavat tehtavat loytyvat luokasta paikastajosta nakee ulos

(Tehtavat 5 ja 6 seka Vihje 6 loytyvat luokasta ikkunanedesta)

Tehtava 5 Lisaa edellisen tehtavan vastaukseen kaksi(V 42)

Tehtava 6 Etsitty luku tulee kysymysmerkin kohdalleseuraavaan lukujonoon 5 1 10 1 15 1 20 1 (V 25)

Vihje 6 Viela viimeiset tehtavat niin seikkailu alkaa ol-la suoritettu Nama tehtavat loytyvat opettajan poy-dalta ja kumartuakin taytyy

(Tehtavat 7 ja 8 seka Vihje 7 loytyvat opettajan poy-dan alta)

14 Solmu

Tehtava 7 Kun vahennat tasta luvusta ensin 16 ja ker-rot sen sitten kolmella ja lisaat viela 2 saat tulokseksi32 Mika luku on kyseessa (V (32-2)3 +16 = 26)

Tehtava 8 Varita seuraavien koordinaat-tien osoittamat ruudut (piirra itse koordi-naatisto jossa on alhaalla x-akselilla kirjai-met AndashC ja pystyssa y-akselilla numerot 1ndash5)(A 1) (B 3) (A 5) (C 2) (C 3) (B 1) (C 1) (B 5)(C 4) (C 5) (V 3)

Vihje 7 Seuraavaksi tehtava 9 Se on kaytavalla muttapimeassa

(Tehtava 9 ja aarrearkku loytyvat kaytavalta jostainkaapista)

Tehtava 9 Paasitte aarteen luo Jarjesta saamasi vas-taukset pienimmista suurimpaan lukko aukeaa kun jo-no on oikea (V 1 3 5 6 24 25 26 42)

PISA-tutkimusPISA-tutkimus heratti paljon keskustelua matematiikan opetuksesta ja osaamistasosta naita kirjoituksia onkeratty osoitteeseen httpsolmumathhelsinkifi2005pisakeskusteluahtml

AurinkokeitinYK on nimennyt taman vuosikymmenen kestavan kehityksen kasvatuksen vuosikymmeneksi Kestavan kehityk-sen vuosikymmenen tavoitteet ovat seuraavat

1 Nostaa koulutus ja kasvatus keskeiseksi kestavan kehityksen tekijaksi

2 Edistaa verkostoitumista vuorovaikutusta ja yhteistyota eri osapuolten ja sidosryhmien valilla

3 Antaa tilaa ja tilaisuuksia uusintaa ja edelleen kehittaa kestavan kehityksen sisaltoa ja merkitysta kaikessakoulutuksessa ja yhteiskunnallisessa vuorovaikutuksessa

4 Vahvistaa korkealaatuista kestavaa kehitysta edistavaa opetusta ja oppimista

5 Kehittaa kestavaa kehitysta edistavan kasvatuksen ja koulutuksen strategioita kaikilla koulutustasoilla ja-aloilla

Tassa on suussasulava esimerkki uusiutuvien energioiden kaytosta Aurinkoenergian avulla voit grillata makkaraakatso ohjeethttpsoliswwnetfikoulutusMakkarakeitinDefaulthtm

Keitin perustuu parabelin polttopisteen ominaisuuksille

Matematiikan linkkilistaSuomalainen yritys Tieteen tietotekniikan keskus CSC on koonnut kansainvalisestikin merkittavan matemaattisenlinkkilistan osoitteeseen httpwwwcscfimath_topics

Solmu 15

Joukkojen mahtavuudesta

Ari KoistinenHelsingin ammattikorkeakoulu Stadia

Kaikki lienevat yhta mielta siita etta joukko 1 2 3on suurempi tai mahtavampi kuin joukko 1 2 Sa-moin on ilmeista etta aareton joukko on aina mah-tavampi kuin aarellinen joukko Sen sijaan kun kysy-taan kummassa on enemman alkioita reaalilukujen vailuonnollisten lukujen joukossa saattavat mielipiteet ja-kautua Joku ehka sanoo etta joukot ovat yhta mah-tavat koska molemmissa on aarettoman monta lukuaToisaalta voidaan vaittaa reaalilukujen joukon olevanselvasti suurempi silla pitaahan se sisallaan koko luon-nollisten lukujen joukon On todettu etta kumpikaannaista kriteereista ei sovellu hyvin taman ongelman tar-kasteluun

Jos joukko on aarellinen sen mahtavuudeksi maaritel-laan yksinkertaisesti sen alkioiden lukumaara Aaret-tomien joukkojen kohdalla asia ei ole nain yksinker-tainen mutta perustellusti voidaan sanoa etta on ole-massa eri kokoisia aarettomyyksia Tahan liittyva ma-temaattinen teoria on verrattain nuorta vaikka aaretonkasittena on tunnettu jossain muodossa tuhansia vuo-sia Runsaat sata vuotta sitten Georg Cantor (1845ndash1918) julkaisi kaanteentekevia ajatuksiaan aarettomis-ta joukoista Monet sen ajan johtavat matemaatikotvastustivat voimakkaasti Cantorin teorioita mutta ny-kyisin Cantorilla on kiistaton asema yhtena historianmerkittavimmista matemaatikoista

Ennen kuin esitamme tarkempia maaritelmia aaretto-mien joukkojen mahtavuuksille kertaamme tarkean bi-

jektiivisyyden kasitteen

Funktio f Ararr B on surjektio jos funktion arvojouk-ko on koko B ts jos jokaista joukon B alkiota y vastaajokin joukon A alkio x siten etta f(x) = y Funktio fon injektio jos se ei saa samaa arvoa kahdessa eri pis-teessa ts jos ehdosta f(x) = f(y) seuraa x = y Jos fon seka surjektio etta injektio niin se on bijektio

Kasitetta tarvitaan seuraavassa maaritelmassa

Joukot A ja B ovat yhta mahtavat jos on olemassabijektio joukosta A joukkoon B

Yhta mahtavien joukkojen A ja B valille voidaan siisaina konstruoida yksi yhteen -vastaavuus Maaritelmaon sopusoinnussa arkijarjen mukaisen aarellisten jouk-kojen yhtamahtavuuden kasitteen kanssa kahden yhtamonta alkiota sisaltavan joukon

A = x1 x2 xn ja B = y1 y2 yn

valille voidaan maaritella esimerkiksi bijektio

f Ararr B f(xi) = yi

kaikilla kokonaisluvuilla 1 le i le n Jos jommassa kum-massa joukossa on yksi alkio enemman ei bijektiotaenaa voida konstruoida vaan joko maalijoukkoon jaardquoylimaarainenrdquoalkio jolloin f ei ole surjektio tai sittenmaarittelyjoukon kaksi alkiota joudutaan kuvaamaansamaksi alkioksi jolloin f ei ole injektio

16 Solmu

Sanotaankin etta joukko B on mahtavampi kuin A joson olemassa (ainakin yksi) injektio f A rarr B muttaei yhtaan surjektiota

Voimme nyt todeta etta esimerkiksi parillisten luku-jen joukon - merkitaan sita vaikkapa P lla - ja kaikkienluonnollisten lukujen joukon N mahtavuuksilla ei oleasettamamme maaritelman mukaan eroa silla funktio

f Nrarr P f(x) = 2x

kuvaa luonnolliset luvut bijektiivisesti parillisille luvuil-le Parillisia lukuja ndash tai vaikkapa miljoonalla jaollisialukuja ndash on siis saman verran kuin kaikkia luonnollisialukuja

Asetetaan seuraava maaritelma jos joukko A on kor-keintaan yhta mahtava kuin luonnollisten lukujen jouk-ko N niin A on numeroituva

Kaytannossa tama tarkoittaa sita etta numeroituvanjoukon A alkiot voidaan indeksoida luonnollisilla luvuil-la eli luetella vaikka luettelo saattaakin olla paattyma-ton On siis olemassa bijektio Nrarr A (jos A on aarelli-nen on lahtojoukkona jokin luonnollisten lukujen osa-joukko) Esimerkiksi N voidaan luetella 1 2 3 4 japarittomat luvut voidaan luetella 1 3 5 7

On ehka yllattavaa etta on olemassa lukujoukkoja joi-ta ei voi talla tavalla luetella ja joiden voi perustellustisanoa olevan paljon suurempia kuin joukko N Tallaisiajoukkoja kutsutaan ylinumeroituviksi Cantorin kuu-luisa diagonaaliargumentti osoittaa etta reaalilukujenjoukko on ylinumeroituva Paattely voidaan tehda seu-raavasti

Riittaa osoittaa ylinumeroituvaksi vali [0 1] silla josse on ylinumeroituva niin taytyy olla myos koko RnTodistettavan vaitteen antiteesi eli vastaoletus on ettavali [0 1] on numeroituva Jos taman voidaan osoittaajohtavan ristiriitaan niin taytyy antiteesi hylata ja va-lin on oltava ylinumeroituva

Mikali antiteesi on totta on olemassa valin [0 1] alkioi-den luettelo Olkoon se tassa 10-jarjestelman desimaali-lukuina ilmaistuna seuraavanlainen (luvut aij isin N ovatdesimaaleja)

0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33

On kuitenkin helppoa konstruoida luku joka ei ole luet-telossa mutta joka kuuluu valille [0 1] valitaan luvun

desimaalit niin etta poimitaan yllaolevan luettelon dia-gonaalilla olevat desimaalit a11 a22 a33 jne ja vaihde-taan ne Olkoon vaikkapa

bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1

Nyt desimaaliluku 0 b1b2b3 ei voi olla luettelossa

Voidaan myos helposti todistaa etta rationaalilukujenjoukko Q on rdquovainrdquo numeroituva Todistuksen loyta-minen vaatii tosin hieman kekseliaisyytta Ideana onkirjoittaa rationaaliluvut tietylla tavalla taulukoksi jakayda taulukkoa lapi tietyssa jarjestyksessa niin ettajokainen rationaaliluku tulee lueteltua

Toinen tapa osoittaa Q yhta mahtavaksi kuin N on to-deta ensin etta positiivisten rationaalilukujen joukkoon yhta mahtava luonnollisten lukujen muotoa (mn)olevien jarjestettyjen parien joukon eli avaruuden N2

kanssa silla kaikki positiiviset rationaaliluvuthan ovatmuotoa m

n missa nm isin N Joukko N2 taas on yhtamahtava kuin N koska esimerkiksi funktio

f N2 rarr N f(nm) = 2n middot 3m

on injektio Muotoa 2n middot 3m oleva lauseke on jonkinluonnollisen luvun alkulukuhajotelma eika samaa lu-kua voida jakaa alkulukutekijoihin kahdella eri tavallaKoska on olemassa injektio N2 rarr N on N2 korkein-taan yhta mahtava kuin N Toisaalta N ei tietenkaanvoi olla mahtavampi kuin N2 silla N voidaan samais-taa muotoa (n 0) olevien lukuparien eli avaruuden N2

osajoukon kanssa Positiivisten rationaalilukujen jouk-ko on siis numeroituva ja on helppoa paatella etta josmukaan otetaan negatiiviset rationaaliluvut ja nolla onjoukko edelleen numeroituva

Nyt tutuksi ovat tulleet siis seuraavat eriasteiset jouk-kojen mahtavuudet numeroituvat joukot jotka voi-daan jakaa aarellisiin ja numeroituvasti aarettomiinjoukkoihin seka ylinumeroituvat joukot kuten R

Seuraavaksi heraa kysymys voidaanko ylinumeroitu-via joukkoja jotenkin luokitella mahtavuuden perus-teella Onko olemassa joukkoa R mahtavampia jouk-koja ja millaisia ne joukot ovat Cantor osoitti vuo-sisadan vaihteessa myos etta tallainen joukko on Rnosajoukkojen joukko eli Rn potenssijoukko Edelleensiirtymalla potenssijoukon potenssijoukkoon paastaanaina vain mahtavampiin joukkoihin Voidaan osoittaaetta R ja luonnollisten lukujen joukon N potenssijoukkoovat yhta mahtavia

Luonnollisten lukujen joukon mahtavuutta jonka voi-daan sanoa olevan pienin mahdollinen aarettoman jou-kon koko merkitaan symbolilla alefsym0 (luetaan rdquoaalef nol-lardquo alefsym kuuluu heprealaisiin aakkosiin) Merkintatapa onperaisin Cantorilta On helppoa osoittaa etta n alkiotasisaltavalla (aarellisella) joukolla on 2n osajoukkoa jajos tama yleistetaan eriasteisiin aarettomyyksiin niin

Solmu 17

paadytaan siihen etta luonnollisten lukujen potenssi-joukon ja samalla asken todetun nojalla myos reaalilu-kujen joukon mahtavuus on 2alefsym0 reaalilukujen joukon

potenssijoukon mahtavuus on 22alefsym0jne

Symbolilla alefsym1 merkitaan pieninta mahdollista ylinume-roituvan joukon mahtavuutta Edelleen on ratkaisemat-ta kysymys onko alefsym1 sama kuin reaalilukujen joukonmahtavuus vai onko olemassa joukkoja joiden mah-tavuus on suurempi kuin luonnollisten lukujen joukonmahtavuus mutta pienempi kuin reaalilukujen joukonmahtavuus Kontinuumihypoteesina tunnettu vaitta-ma sanoo etta tallaisia joukkoja ei ole vaan etta2alefsym0 = alefsym1 On osoitettu etta kontinuumihypoteesintotuusarvo on riippumaton yleisessa kaytossa olevastajoukko-opin aksioomajarjestelmasta ZFC eli Zermelo-Fraenkelin aksioomista Talta kannalta katsoen konti-nuumihypoteesi on vaittama joka ei ole tosi eika epato-si Tallaisia vaittamia on loydetty paljon muitakin senjalkeen kun Kurt Godel vuonna 1931 julkaisi kuului-san epataydellisyyslauseensa jonka mukaan jokaisessa(1 kertaluvun) loogisessa teoriassa on mahdollista esit-taa lauseita joita ei voi osoittaa todeksi tai epatodeksi

On enemman filosofinen kuin matemaattinen kysymysvoiko kontinuumihypoteesin kaltaisella vaitteella ollakaytetysta aksioomajarjestelmasta ja valitusta mallistariippumaton totuusarvo Nykyisista loogikoista useim-mat lienevat silla kannalla etta vaitteiden totuudestatai epatotuudesta puhuminen on mieletonta ellei loo-gista viitekehysta ole maaritelty Platonistit ajattelevatkuitenkin toisin muun muassa suomalainen matemaa-tikko ja filosofi Uuno Saarnio (1896ndash1977) esitti 1960-luvulla ndash sittemmin virheelliseksi todetun ndash todistuk-sensa kontinuumihypoteesille

Voisi ajatella etta aarettomyyksien luokittelu on la-hinna kiinnostavaa teoretisointia jolla tuskin on muu-ta kuin viihteellista merkitysta Nain ei kuitenkaan ole

varsinkin ylinumeroituvuuden ja numeroituvuuden va-linen raja on monilla matematiikan aloilla hyvin tarkeaOn paljon perustavaa laatua olevia ominaisuuksia jot-ka ovat vain numeroituvilla joukoilla mutta eivat yli-numeroituvilla

Nailla kasitteilla on kayttoa myos tietojenkasittelytie-teessa Esimerkiksi laskettavuuden teorian keskeinenratkeamattomuustulos nojaa siihen etta laskennalli-sia ongelmia tai tasmallisemmmin sanottuna ns paa-tosongelmia on ylinumeroituva maara Minka hyvan-sa valitun ohjelmointikielen mahdollisia ohjelmia taason vain numeroituva maara koska kaikki ohjelmat ovataarellisen merkiston aarellismittaisia merkkijonoja joi-ta voidaan helposti osoittaa olevan saman verran kuinluonnollisia lukuja Nain ollen on olemassa paatoson-gelmia joita ei voida ratkaista kyseisella ohjelmointi-kielella Ratkeavia paatosongelmia on siis numeroituvamaara mutta kaikkia paatosongelmia ylinumeroituvamaara Talloin voidaan hieman epatasmallisesti sanoaetta paatosongelmista vain haviavan pieni osa on rat-keavia Ratkeamattomien ongelmien joukossa on myosmonia kaytannon kannalta mielenkiintoisia ongelmiatunnetuimpana naista pysahtymisongelma pysahtyykotietyn ohjelman suoritus jossain vaiheessa syotteella xndash vai jaako ohjelma rdquoikuiseen luuppiinrdquo

Herasiko kiinnostus aiheeseen Aarettomyydesta onkirjoitettu paljon matematiikkaa popularisoivassa kir-jallisuudessa Esimerkkina mainittakoon Rudy Rucke-rin Mieli ja aarettomyys (Art House 1998)

Lopuksi haluan kiittaa alefsym-merkintoihin liittyvan vaa-rinkasitykseni oikaisemisesta Aapo Halkoa joka onaiemmin kasitellyt joukkojen mahtavuutta Solmussa21998ndash1999 kirjoituksessaan rdquoJoukko-oppia reaalilu-vuillardquo Kiitan myos kaikkia muita arvokkaita kom-mentteja ja parannusehdotuksia antaneita

18 Solmu

Calkinin-Wilfin jono

Markku HalmetojaMantan lukio

Funktio f X rarr Y on bijektio jos silla on kaanteis-funktio fminus1 Y rarr X Joukko X on aarellinen jos seon tyhja tai jos on olemassa bijektio

f X rarr 1 2 3 n

Joukko X on numeroituva jos se on aarellinen tai joson olemassa bijektio f X rarr Z+ Numeroituvuuttakasitellaan esimerkiksi kirjassa [2]

Numeroituvan joukon alkiot voidaan siis numeroida an-tamalla jokaiselle joukon alkiolle x numero f(x) missaf on mainittu bijektio Kaytannossa tama merkitsee si-ta etta numeroituvan joukon alkiot voidaan asettaa jo-noon jarjestyksessa x1 x2 x3 Luonnollisten luku-jen joukko N on numeroituva silla N 3 n 7rarr n+1 isin Z+

on vaadittu bijektio Myos kokonaislukujen joukko Z onhelppo osoittaa numeroituvaksi mutta on ehka yllatta-vaa etta rationaalilukujen joukkokin on numeroituvaTyydymme tassa osoittamaan etta positiiviset ratio-naaliluvut voidaan asettaa jonoon Todistus perustuukaavioon

11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

josta nuolia seuraamalla saamme jonon

1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2

Jokainen positiivinen rationaaliluku esiintyy tassa jo-nossa aarettoman monta kertaa Jattamalla alusta lah-

Solmu 19

tien pois jokaisen jonossa jo esiintyneen luvun saammeuuden jonon

1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5

jossa jokainen positiivinen rationaaliluku esiintyy tas-malleen kerran

Edella esitetty herattaa kysymyksen onko mahdollistamuodostaa kaikki positiiviset rationaaliluvut kasittavajono turvautumatta mihinkaan jalkikateismanipulaa-tioihin Tama ongelma voidaan ratkaista monella eritavalla mutta ehka elegantein ratkaisu on Calkininja Wilfin [3] konstruoima binaarinen puu joka loytyymyos kirjasta [1]

11

12

21

13

32

23

31

Puu rakentuu kuvion osoittamalla tavalla siten etta jo-kaisella siina olevalla luvulla on alla olevassa kaaviossamaaritellyt vasemman- ja oikeanpuoleinen jalkelainenvj ja oj

pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1

Lukemalla puuta vaakariveittain vasemmalta oikeallesaamme Calkinin-Wilfin jonon

1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4

jossa jokainen positiivinen rationaaliluku esiintyy tas-malleen kerran Todistamme taman vaitteen Todis-tus koostuu kolmesta erillisesta induktioperiaatteen so-velluksesta Induktioperiaatetta kasitellaan esimerkiksikirjassa [2]

Lause 1 Calkinin-Wilfin jonon jokainen luku on supis-tetussa muodossa

Todistus Jonon ensimmainen luku toteuttaa vaaditunehdon Jos x = pq on jonossa ja syt(p q) = 1 niinsyt(p p + q) = syt(p + q q) = 1 joten myos xn jalke-laiset ovat supistetussa muodossa Induktioperiaatteenmukaan jonon kaikki luvut ovat supistetussa muodossa

Lause 2 Calkinin-Wilfin jono sisaltaa kaikki positiivi-set rationaaliluvut

Todistus Jonossa ovat kaikki rationaaliluvut pq joillesyt(p q) = 1 jap+ q = 2 nimittain luku 11 Olkoon k ge 3 kokonais-luku Teemme induktio-oletuksen jonka mukaan jo-nossa ovat kaikki positiiviset rationaaliluvut sr joillesyt(s r) = 1 ja s+ r lt k Olkoon nyt pq sellainen po-sitiivinen rationaaliluku etta syt(p q) = 1 ja p+q = kJos p lt q niin p

qminusp on induktio-oletuksen mukaan jo-

nossa silla syt(p qminusp) = 1 ja p+ qminusp = q lt k Tatenpq on p

qminusp n vjna jonossa Samalla tavalla naemme

etta jos p gt q niin pq on jonoon kuuluvan luvun pminusqq

oj ja on taten jonossa Induktioaskel on nain todistettuja induktioperiaatteesta seuraa etta jonossa ovat kaik-ki positiiviset rationaaliluvut pq joille syt(p q) = 1ja p+ q = k kaikilla k isin Z k ge 2 Tama kattaa kaikkipositiiviset rationaaliluvut

Lause 3 Calkinin-Wilfin jonossa ei ole kahta samaalukua

Todistus Luku 1 esiintyy jonossa vain kerran Jokai-nen muu jonon luku on joko vj (lt 1) tai oj (gt 1)joten riittaa etta todistetaan kaikki vjt ja vastavastikaikki ojt keskenaan erisuuriksi Jonon 7 ensimmais-ta lukua ovat keskenaan erisuuria ja niissa osoittajanja nimittajan summa on le 5 Olkoon k ge 5 kokonais-luku Teemme induktio-oletuksen jonka mukaan jononkaikki luvut pq joille p + q lt k ovat keskenaan eri-suuria Olkoot mn ja rs kaksi jonossa olevaa ehdotm+ n = k ja r + s = k toteuttavaa vjta Luvut

x =m

nminusm ja y =r

sminus r

ovat jonossa ja induktio-oletuksen mukaan erisuuretsilla

syt(mnminusm) = syt(mn) = 1 ja

syt(r sminus r) = syt(r s) = 1

seka m+nminusm = n lt k ja r+sminusr = s lt k Ehdostax 6= y eli

m

nminusm 6=r

sminus rseuraa valittomasti etta mn ja rs ovat erisuuretSamalla tavalla todistetaan etta kaikki ojt joidenosoittajan ja nimittajan summa on k ovat keskenaan

20 Solmu

erisuuria Jatamme lukijan pohdittavaksi miksi sa-manpuoleiset jalkelaiset ab ja cd ovat erisuuret josa + b 6= c + d Jos siis kaikki jonon luvut pq joillep + q lt k ovat keskenaan erisuuria niin myos kaik-ki jonon luvut uv joille u + v le k ovat keskenaanerisuuria kaikilla k isin Z k ge 2 Induktioaskel on naintodistettu ja induktioperiaatteen mukaan kaikki jononluvut ovat erisuuria

Johdamme lopuksi rekursiokaavan Calkinin-Wilfin jo-non lukujen laskemiseksi Siihen tarvitsemme jonon lu-vun x korkeamman kertaluvun jalkelaisia mitka maa-rittelemme ensin

Naimme edella etta jos x on jonon termi niin xn ojon x + 1 Luvun x toisen kertaluvun oj on xn ojn ojeli (x + 1) + 1 = x + 2 Nain jatkamalla saamme xllekertalukua k olevan ojn se on x + k Koska xn vjon x(1 + x) on xn toisen kertaluvun vj x(1 + 2x)ja yleisesti kertalukua k oleva xn vj on x(1 + kx)Sijoittamalla saatuihin kaavoihin k = 0 saamme xnnollannen kertaluvun jalkelaiset Kumpikin niista onluku x itse

Puun rakenteesta havaitsemme etta ensimmaista ter-mia 1 lukuunottamatta jonon mielivaltainen termi x oneraan jonossa aikaisemmin esiintyneen termin y vasem-manpuoleisen jalkelaisen knnen kertaluvun oj missak isin N Jos x ei ole puun minkaan vaakarivin oikeassareunassa niin xn oikealla puolella oleva luku luvun xseuraaja jonossa on puolestaan jo mainitun termin yoikeanpuoleisen jalkelaisen knnen kertaluvun vj Ku-vio havainnollistaa asiaa

y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y

1 + y+ k seuraaja on siis

1 + y

1 + k(1 + y)

Merkitsemme luvun x kokonaisosaa ja murto-osaa sym-boleilla [x] ja x Koska x = k + y

1+y on [x] = k ja

x = y1+y joten saamme xn seuraajan muotoon

1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x

Jatamme lukijan todennettavaksi etta johdettu kaavaantaa xn seuraajan myos silloin kun x on puun oi-keassa reunassa

Seuraajakaavan avulla saamme maariteltya Calkinin-Wilfin jonon (xn) rekursiivisesti

x1 = 1 ja xn+1 =1

[xn] + 1minus xnkaikilla n isin Z+

Kiitan professori Jorma Merikoskea kirjoitustani kos-keneista arvokkaista huomautuksista

Kirjallisuutta

1 M Aigner G Ziegler Proofs from THE BOOKThird edition Springer 2004

2 J Merikoski A Virtanen P KoivistoJohdatus diskreettiin matematiikkaan WSOY2004

3 N Calkin ja H Wilf Recounting the rationalsAmer Math Monthly 107 (2000) 360-363

4 The On-Line Encyklopedia of Integer Sequenceshttpwwwresearchattcomsim njassequences

Solmu 21

Toiminnallista matematiikkaaFraktaaliaskartelua

Saara LehtoMatematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh

oSarjassa Toiminnallista mate-matiikkaa esitellaan Summa-mutikka-matematiikkakerhois-sa hyviksi havaittuja tehtaviaSarjassa esitetaan tehtavat rat-kaisuineen annetaan neuvojatehtavien ohjaamiseen ja va-lotetaan niiden matemaattistataustaa Summamutikkakerho-ja jarjestavat LUMA-keskus jaHelsingin yliopiston matema-

tiikan ja tilastotieteen laitos paakaupunkiseudun ala-asteilla Lisatietoja Summamutikkakerhoista loytyy si-vuilta httpwwwhelsinkifisummamutikka

Vihrea mato asuu puunkolossa Eraana paivana sepaattaa mitata kotioksansa pituuden Se aloittaa oksanjuurelta ja lahtee rohkeasti mittaamaan oksaa ylospainMitattuaan kaksitoista matomitallista se kuitenkin lyopaansa johonkin kovaan

Mato katsoo ylospain ja huomaa etta oksasta erkaneetoinen oksa sen reitille Se miettii hetken ja paattaasitten mitata myos pienemman oksan pituuden Uusioksa ei ole juuri sen omaa ruumista paksumpi ja sen

pitaakin tasapainoilla pysyakseen reitilla Se ehtii mi-tata vain nelja matomitallista kun se jalleen huomaajotain edessaan

Oksasta tyontyy ulos jalleen uusi oksa mutta tama ok-sa on aivan pieni ja niin kapea ettei mato enaa mahdusille mittaamaan Mato arvioi ettei oksan pituuskaanole edes yhta matomitallista Kun mato tarkkailee ok-saa se huomaa liiketta oksan juurella Pienenpieni rus-kea mato kulkee oksalla Se kaantyy tuolle pienemmal-le oksalle ja lahtee mittaamaan sita ylospain Iso matolaskee etta se mittaa yksi kaksi ja kolme omaa mit-taansa

Sitten iso mato joutuu oikein siristamaan silmiaan Pie-nenpienen oksan varresta tyontyy ulos aivan pikkiriik-kinen oksa ja pieni ruskea mato jatkaa matkaansa sitapitkin Kun iso mato tutkii pienta oksaa tarkemmin sehuomaa etta se on taynna noita viela pienempia ok-sia Erasta toista sellaista mittailee toinen pieni ruskeamato

Mato tuntee yhteenkuuluvuutta noiden pienten ruskei-den matojen kanssa Nekin mittaavat kotioksiensa pi-tuuksia Se katselee kaikkia noita pienia oksia Mitenruskeat madot ikina saavat ne kaikki mitatuiksi se tuu-

22 Solmu

mii Akkia matoa alkaa huimata Se siristaa silmiaanvielakin sirkeammalle ja painaa nenansa aivan kiinnipienen oksan pintaan Onko pienenpienen oksan pikki-riikkisilla oksillakin oksanhaaroja

Se katselee ruskeita matoja jotka mittaavat pienia ok-sia joita se itse ei mahdu mittaamaan Katselevatkoruskeat madotkin toisia viela pienempia matoja ehka-pa punaisia jotka mittaavat oksia joita ruskeat ma-dot eivat enaa voi mitata Mato tuumii kuinka kauankaikkien niiden oksien mittaaminen kestaisi

Mato katselee ymparilleen ja havaitsee etta myos senoma oksa on taynna pienempia oksia Silla itsellaankinon siis edessaan aika kova mittaaminen Se kurkistaaoksansa juurelle ja siita tuntuu etta jokin huimaavatunne pyorii sen vatsanpohjassa

Tassa artikkelissa tutustutaan fraktaalikuvioihin Tari-nan mato asui fraktaalipuussa ja retkellaan se torma-si jo moneen fraktaalimaisen huimaavaan ajatukseenSeuraavaksi kasittelemme samankaltaisia ideoita ala-asteen ja miksei ylasteenkin oppilaille soveltuvalla ta-valla

Varillista paperia sakset ja liimaa

Aloitetaan askartelemalla kaksi kuuluisaa fraktaaliaSierpinskin kolmio ja Kochin lumihiutale Puuhaan tar-vitaan valkoisia ja varillisia A4-arkkeja sakset ja lii-maa Askarteluohjeet on piirretty kuviin 1 ja 2

+ =

minusminusgt minusminusgt minusminusgtSierpinskin

kolmio

Kuva 1 Leikkaa ja liimaa varillinen kolmio valkoisellepaperille Leikkaa sitten lisaa pienempia valkoisia kol-mioita ja liimaa kuten kuvassa Kun kuviota jatketaanloputtomiin saadaan Sierpinskin kolmio

minusminusminusgt minusminusminusgt lumihiutaleKochin

+ + =

Kuva 2 Leikkaa ja liimaa varilliselle paperille kak-si valkoista kolmiota Daavidin tahdeksi Leikkaa sit-ten lisaa pienempia valkoisia kolmioita ja liimaa kutenkuvassa Kun kuviota jatketaan loputtomiin saadaanKochin lumihiutale

Molemmat kuviot syntyvat erikokoisista tasasivuisistakolmioista Kolmiot voi leikata vapaalla kadella pyr-kien kohti tasasivuista muotoa Nain syntyy ihan mu-kavia kuvia Jos aloituskolmiot eivat ole ihan tasasi-vuisia kannattaa pienemmat kolmiot sovittaa kuvanavulla Tarkeinta on etta fraktaalikuvio sailyy

Kolmioita leikatessa voidaan pohtia sita miten taydel-lisen tasasivuisen kolmion helpoiten saisi aikaan Aikahyvia kolmioita saa aikaan ihan kokeilemalla Jos kan-tasivu on tietyn pituinen halutaan kahdesta muustasivusta viela saman pituiset Jos laittaa ensimmaisensivun nain ja toisen noin kuinka pitka kolmannesta si-vusta tulee Onko se oikean pituinen Mihin eri asen-toihin toisen sivun voi laittaa Voisiko toista ja kolmat-ta sivua sovittaa jotenkin yhta aikaa5

Voidaan myos miettia miten pienemmat kolmiot suh-tautuvat isompiin Miten niista saa saman muotoisiaja mista tietaa minka kokoisia niiden pitaa olla Tas-sa kannattaa kiinnittaa huomiota siihen kuinka mon-ta pienempaa kolmiota isompaan mahtuu Kun kuvio-ta askarrellaan eteenpain millaisia uusia kolmioita ku-vioon syntyy

Sierpinskin kolmiota tehtaessa kannattaa katsoa mi-ten varillinen kolmio jakautuu kun sen paalle liima-taan valkoinen kolmio Minka muotoisia jaljelle jaavatvarilliset osat ovat Miten isosta kolmiosta saisi montaoikean kokoista pienempaa kolmiota

Kochin lumihiutaletta askarrellessa syntyy hiutaleenreunalle aina uusia pienia kolmioita Minka kokoisiakolmioita niiden paalle liimataan Kuinka monta sel-laista mahtuu isompaan kolmioon

5Tasasivuinen kolmio syntyy katevasti harpin avulla Piirretaan ensin kolmion kantasivu otetaan sivun pituus harpille ja piirre-taan ympyrankaaret sivun ylapuolelle kun harpin karki on vuorollaan sivun molemmissa paissa Kolmion kolmas karki on kaarienleikkauspisteessa

Solmu 23

Kuvioiden askartelua voisi periaatteessa jatkaa loputto-miin Sierpinskin kolmiossa syntyy aina uusia varillisiakolmioita joiden paalle voi liimata valkoisia kolmioi-ta Kochin lumihiutaleessa voi taas reunalle syntyvienkolmioiden paalle aina liimata uusia pienia kolmioita

Varien yhteenlasku ja Sierpinskinkolmio

Tassa tehtavassa lasketaan lukujen sijaan vareilla Va-litaan tarkasteluun kaksi varia vaikkapa sininen (tum-mempi) ja punainen (vaaleampi) Aloitetaan maaritte-lemalla varien laskusaannot kuten kuvassa 3

Vareilla lasketaan ruutupaperille Varitetaan yhteen-laskettavat ruutuihin niin etta niiden valiin jaa yksityhja ruutu Laskun tulos kirjataan sitten viistosti ala-puolelle niiden valiin

+ =

+ =

+ =

+ =

Kuva 3 Varien laskusaannot 6

Aloitetaan kuvion laskeminen varittamalla ruutupape-rin ylareunan keskelle sininen ruutu Koska kuviostatulee levea voi olla hyva kaantaa ruutupaperi vaa-katasoon Sinisen ruudun alapuolelle varitetaan toisetsiniset ruudut viistosti alavasemmalle ja alaoikealleNyt edessa on ensimmainen laskutoimitus tarkistetaansaannoista etta sininen + sininen = punainen ja merki-taan tulos sinisten ruutujen alapuolelle Reunoille tuleetaas siniset ruudut

Jatketaan kuviota laskemalla laskusaantojen mukaanReunoille varitetaan aina siniset ruudut Tama voidaanottaa joko annettuna saantona tai sitten voidaan ajatel-la etta siniset ruudut syntyvat kun lasketaan ylhaallavasemmalla tai oikealla oleva sininen ruutu ja toisellapuolella oleva tyhja ruutu yhteen

Kuvassa on laskettu kolmion kahdeksan ensimmaistarivia Onko kuviossa jotain samaa kuin aiemmin askar-relluissa fraktaleissa Silmien siristaminen tai kauem-paa katsominen voi auttaa kuvion hahmottamisessa

Kuva 4 Kuvan 3 laskusaannoilla lasketun kolmionkahdeksan ensimmaista rivia

Jos kuviota jatkettaisiin yhdeksanteen riviin tulisi taassiniset ruudut reunoille ja keskelle seitseman punaistaruutua Taman jalkeen punaisista ruuduista muodos-tuisi iso karjellaan seisova kolmio ja sen reunoille al-kuosan mukaiset kuviot Kolmiosta saadaan siis Sier-pinskin kolmio

Kuvion varittaminen vaatii periaatteessa tarkkaavai-suutta silla yksikin virhe saattaa muuttaa kuvion ko-konaan Toisaalta kuvion tietty saannonmukaisuus pal-jastuu kaytannossa pienista virheista huolimatta Pie-net virheet saattavat itse asiassa tehda kuvista mielen-kiintoisia

Kolmioita voi olla helpompaa varittaa valmiiseen kol-miopohjaan jossa ovat vapaina vain kaytettavat ruu-dut Tallaisen voi tehda esimerkiksi varittamalla vali-ruudut mustaksi ruutupaperilta ja kopioimalla valmiitakolmioita Talloin riveja kannattaa varata joko kahdek-san tai kuusitoista

Koko luokan varittamat pienet kolmiot voi koota luo-kan seinalle isoksi Sierpinskin kolmioksi Talloin pie-nia kolmioita kiinnitetaan seinalle varien yhteenlaskunmukaisesti Sinisten ruutujen kohdille kiinnitetaan pie-ni kolmio Punaisten ruutujen kohdat jatetaan tyhjiksiKuviosta tulee hauska vaikka eri kolmiot olisi varitettyeri varipareilla

Varien yhteenlasku ja Pascalinkolmio

Kun varien yhteenlasku on hallussa voidaan koettaamita tavallisella yhteenlaskulla saadaan aikaan Kirjoi-tetaan ensimmaiseen ruutuun ja reunoille aina luku yk-si ja alapuolelle lasketaan ylla olevat luvut yhteen Nainsaadaan Pascalin kolmio kuva 5

6Varit erottuvat paremmin verkkolehdessa

24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21

Kuva 5 Pascalin kolmion kahdeksan ensimmaista ri-via Varita kaikki parittomat luvut

Kun Pascalin kolmiota on jaksettu laskea ruutupaperil-le kahdeksan tai kuusitoistakin rivia varitetaan kuvios-ta kaikki parilliset (tai parittomat) ruudut Ylla olevas-ta kolmiosta katsomalla voi jo arvata etta tastakin ku-viosta tulee Sierpinskin kolmio

Miksi Pascalin kolmion parilliset luvut tuottavat samankuvion kuin vareilla laskettaessa Mita samaa on va-rien yhteenlaskussa ja parillisten ja parittomien lukujenyhteenlaskussa

Lumihiutaleita ikkunalle

Kochin lumihiutaleita voidaan toki myos piirtaa As-kartelussa nakyi vain kuvion reuna mutta piirtamallanahdaan kuvion kulku myos tahden sisapuolella Piir-retaan kuten kuvassa 6 Kannattaa aloittaa valmiik-si monistetusta Daavidin tahdesta silloin kuvio pysyyhelpommin pidempaan kasassa Perusideana on ettakuvaan syntyneiden kolmioiden paalle piirretaan ainauusia kolmioita

Kuva 6Kochin lumihiutaleen piirtaminen

Kun kasi vasyy kolmioiden piirtamiseen voidaan ku-viota tutkia tarkemmin Kuinka monta kolmiota ku-vassa on Kuinka monta pienimman kolmion kokoistakolmiota kuvassa on

Jos sisua riittaa valmiit kolmiot voidaan myos leikatareunojaan myoten irti paperista ja kiinnittaa vaikka ik-kunaan Kuinka pitka matka joudutaan leikkaamaanKuinka pitka matka jouduttaisiin leikkaamaan jos pie-nempia kolmioita olisi piirretty vielakin enemman

Lopuksi loputtomuuksia

Seka Kochin lumihiutale etta Sierpinskin kolmio ovatitsesimilaareja fraktaaleja Itsesimilaarisuudella tarkoi-

tetaan sita etta kuvion osa nayttaa samanlaiselta kuinkoko kuvio Jos kuvitellaan etta Kochin lumihiutalet-ta oltaisiin piirretty aarettomyyksiin ja katsotaan senyhta sakaraa havaitaan etta se on samanmuotoinenkuin koko hiutale Samoin Sierpinskin kolmiossa kaikkipienet kolmiot ovat samanmuotoisia kuin iso kolmio

Kun askartelut laskut tai piirrokset ovat valmiita voi-daan yhdessa pohtia kuvioiden geometriaa Kuinka pit-kalle piirtamista voitaisiin jatkaa Millaisilta kuviotnayttasivat suurennuslasin lapi Kuinka pitkalle varienyhteenlaskua voitaisiin jatkaa jos ruutupaperia vainriittaisi Milta iso kuvio nayttaisi lentokoneesta

Enta kuinka pitka on piirretyn Kochin lumihiutaleenreuna Kuinka pitka se olisi jos pienempia kolmioitaolisi piirretty viela enemman Kuinka pitka olisi aaret-tomyyksiin jatketun kuvion reuna Kochin lumihiuta-leen reuna on itse asiassa aarettoman pitka Aaretto-man pitka viivakin saadaan siis mahtumaan ihan taval-liselle paperiarkille

Eras fraktaalien jannittava ominaisuus on se etta nii-den dimensio ei ole valttamatta kokonaisluku Esimer-kiksi Kochin lumihiutaleen reunan dimensio on noin1261 Tata voi ajatella esimerkiksi niin etta reuna onniin ryppyinen ettei se ole enaa viiva mutta ei kuiten-kaan ihan tasokappalekaan

Pohdintojen apuna kannattaa kayttaa omia fraktaa-liaskarteluja ja tietokoneella piirrettya kuvaa fraktaa-leista esimerkiksi piirtoheittimella Hienoja kuvia nai-den tehtavien fraktaaleista loytyy verkosta hakusanoil-la Sierpinski triangle tai Sierpinsky triangle ja Kochsnowflake

Madon perspektiivi

Palataan viela hetkeksi alussa kerrottuun madon tari-naan Mato huomasi etta sen puussa on jotain itse-similaarista sen oma oksa muistutti pienempaa oksaaMato myos melkein huomasi etta sen oma oksa saattoihyvinkin muistuttaa jotain isompaa oksaa tai perati ko-ko puuta Onko tuollaisia fraktaalipuita sitten oikeastiolemassa

Fraktaalimuotoja loytyy itse asiassa luonnosta paljonVehreaan aikaan kannatta etsia ulkoa saniaisia ja tal-vella voi vaikka kayda kukkakaupassa ja pyytaa muuta-man leikkovihrean Hyvan fraktaaliesimerkin saa nah-kalehdesta Ruokakaupasta taas voi hakea tarkasteluunkukkakaalin

Fraktaalien avulla voidaan laatia hienoja kuvia saniai-sista lehdista ja vaikkapa vuorijonoista Niista kuulem-me ehka tarkemmin jossain toisessa kirjoituksessa

Solmu 25

Lottorivin numeroiden summa

Pentti HaukkanenMatematiikan tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopistopenttihaukkanenutafi

Jarjestellessani asken vanhoja Mathematica-kansioitani tormasin tiedostoon jossa ratkaistaan pienilottotehtava Muutama vuosi sitten nimittain keskus-teleltiin julkisuudessa (tosin aivan vahaisessa maarin)siita voiko lottorivien numeroiden summien avulla en-nustaa arvottavaa lottorivia Lottorivin numerot tar-koittavat lottorivin seitsemaa kokonaislukua valilta[1 39] jotka ilmoitetaan suuruusjarjestyksessa Jotkutolivat huomanneet etta kaikki lottorivin numeroidensummat eivat ole yhta todennakoisia Esimerkiksi vainyhden lottorivin (rivin 1 2 3 4 5 6 7) numeroidensumma on 28 kun taas summa 30 saadaan kahdestalottorivista (1 2 3 4 5 6 9 ja 1 2 3 4 5 7 8) Jotkutmaallikot tekivat tasta johtopaatoksen etta kannattaaesimerkiksi ennemmin lotota rivia jonka numeroidensumma on 30 kuin rivia jonka numeroiden summa on28 Todennakoisyyslaskennan alkeet ymmartava tietaaetta kaikki rivit ovat yhta todennakoisia siis esimer-kiksi rivi 1 2 3 4 5 6 7 on yhta todennakoinen kuinrivi 1 2 3 4 5 6 9 Toki on todennakoisempaa ettalottorivin numeroiden summa on 30 kuin etta se on 28mutta lotossa ei veikatakaan numeroiden summaa vaanitse numeroita (Huomattakoon etta tarkka lottoaja eikuitenkaan veikkaa rivia 1 2 3 4 5 6 7 koska sitaveikkaa niin moni etta osuessaan kohdalle se tuottaisiyhdelle voittajalle ilmeisesti tavanomaista pienemman

potin mutta tama onkin jo eri asia)

Laskin silloin muutama vuosi sitten jollekulle asiaapohtineelle miten lottorivien numeroiden summat ja-kautuvat Tein laskutehtavan generoivilla funktioillaseuraavalla tavalla Tarkastellaan generoivaa funktiota

g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)

joka laskee joukon 1 2 M osajoukkoja niin ettasymbolin u potenssi kertoo kuinka monta alkiota osa-joukossa on ja symbolin t potenssi kertoo naiden al-kioiden summan Kirjoitetaan g(u tM) nyt muotoon

g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn

jolloin siis kerroin amn ilmaisee kuinka monta kap-paletta on sellaisia m-alkioisia joukon 1 2 Mosajoukkoja joiden alkioiden summa on n (Tassas(mM) on suurin mahdollinen summan arvo tss(mM) = [M minus (mminus 1)] + [M minus (mminus 2)] + middot middot middot+ [M minus1] + M ) Koska lottorivissa valitaan 7 alkiota joukos-ta 1 2 39 niin generoivassa funktiossa g(u t 39)kerroin a7n ilmaisee kuinka monta kappaletta on sel-laisia lottoriveja joiden numeroiden summa on n Ge-

26 Solmu

neroivien funktioiden laskenta on helppoa Mathema-ticalla Kuvassa 1 on lottorivien numeroiden summanjakauma Yleisin summan arvo on 140 joka on 219 489eri rivin numeroiden summa Kaikkiaan erilaisia lotto-riveja on

(397

)eli 15 380 937 kappaletta Lottorivin nu-

meroiden summa on 140 todennakoisyydella 00142702siis todennakoisyys on selvasti yli prosentin Summanarvo on esimerkiksi valilla 137 143 noin 10 prosen-tin todennakoisyydella Voisi ehka sanoa etta keskim-maiset arvot ovat rdquoyllattavanrdquo todennakoisia

28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm

Kuva 1 Lottorivien numeroiden summan jakauma

Lotto alkoi vuonna 1970 ja ensimmainen rivi arvot-tiin 311971 Kaikki arvotut rivit loytyvat Veikkauksennettisivuilta Kiinnostunut lukija voi testata mitenkalottorivien numeroiden summat ovat jakautuneet tahanmennessa

Generoivat funktiot kuuluvat lahinna kombinatoriikanalaan Esimerkkeina alan oppikirjoista mainittakoot[1 3] Myos diskreetin matematiikan yleisteoksissa esi-tellaan usein generoivat funktiot ks esim [2]

Viitteet

[1] R A Brualdi Introductory CombinatoricsSecond edition North-Holland Publishing CoNew York 1992

[2] R P Grimaldi Discrete and Combinatorial Mat-hematics Fourth edition Addison Wesley Publis-hing Co 1998

[3] A Tucker Applied Combinatorics Third editionJohn Wiley amp Sons Inc New York 1995

Solmu 27

Presidentti-gallup

Pekka AlestaloMatematiikan laitos Teknillinen korkeakoulu

Gallup-uutinen

Presidentinvaalit lahestyvat Vaalikampanjoinnin lisak-si kiihtyy myos tiedotusvalineiden gallup-huuma kuntv radio ja lehdisto kyllastavat meidat uutisilla joidenyleinen kaava on seuraava

rdquoEhdokas X johtaa kilpaa x kannatuksella toisena onehdokas Y jota kannattaa y haastatelluista ja ehdo-kas Z nayttaa putoavan z kannatuksellaan vaalin toi-selta kierrokselta Kyselya varten haastateltiin n 2 000aanioikeutettua ja tulosten virhe on plusmn2 -yksikkoardquo

Uutinen on niin tavallinen aikaisemmista vaaleista et-tei ehka heti tule kiinnittaneeksi huomiota sen esitta-man vaitteen mahdottomuuteen Koska aanioikeutet-tuja on Suomessa n 4 miljoonaa on kyselyyn osallis-tuneiden osuus kaikista mahdollisista aanestajista vain005 ei kai nain pienen osuuden perusteella voi paa-tella mitaan todellisista kannatusluvuista Vai voiko

Pieni ajatusleikki lienee paikallaan Pahimmassa ta-pauksessa ehdokkaalla X on koko maassa vain 2 000kannattajaa mutta juuri he sattuivat tulemaan vali-tuiksi gallupiin Haastattelijalta on esimerkiksi voinutmenna puhelinluettelo ja eraan puolueen jasenrekisterisekaisin Mutta vaikka haastateltujen valinta tehtaisiinkuinka huolellisesti ja rdquosatunnaisestirdquo tahansa on tal-

lainen tulos kuitenkin periaatteessa mahdollinen Tas-ta seuraa heti ettei uutisen vaite voi kirjaimellisestiottaen pitaa paikkansa

Tarkkaavainen lukija on tietysti jo tassa vaiheessa huo-mannut ettei ylla kuvattu tilanne ole kuitenkaan ko-vin todennakoinen Itse asiassa kyseiselle todennakoi-syydelle saadaan arvio

2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1

3 998 001asymp 4middot10minus7469

Kaytannossa se on siis jotakuinkin mahdotonta Rat-kaisu uutisen sisaltamaan ristiriitaan piileekin siina et-ta vaitteesta on jatetty pois tama todennakoisyyksiakoskeva osuus jonka voisi arkikielella ilmaista esimer-kiksi muodossa rdquo2 virheraja on tosi 95 todenna-koisyydellardquo Tasmallisemmassa kielessa sanotaan mie-luummin etta vaite on tosi 95 luottamustasolla

Seuraavassa on tarkoitus lyhyesti selvittaa sita mitenluvut 2 000 plusmn2 ja 95 liittyvat toisiinsa

Otanta

Gallupissa haastateltavien henkiloiden valinta on esi-merkki otannasta Jatkossa ei kiinniteta huomiota sii-hen milla tavalla nama henkilot pitaisi valita jotta tu-

28 Solmu

los olisi jossakin mielessa satunnainen Oletamme esi-merkiksi etta haastateltavat valitaan selaamalla puhe-linluetteloita (Mieti mita ongelmia tahan liittyy)

Seuraavaksi yksinkertaistamme tilannetta olettamallaetta ehdokkaita on vain kaksi (tai etta tutkitaan vainyhden ehdokkaan kannatusta suhteessa muihin) Voim-me unohtaa vaaliteeman ja tarkastella otantaa jossa si-nisia ja punaisia palloja sisaltavasta laatikosta otetaanyksi pallo kerrallaan ja kirjataan sen vari Tilanteenmatemaattinen kasittely yksinkertaistuu jos jokainenkirjattu pallo palautetaan laatikkoon koska talloin eri-varisten pallojen suhteellinen osuus on jokaisessa tois-tossa sama Jos palloja on yhteensa 4 000 000 ja niistavalitaan 2 000 ei talla erolla ole mitaan kaytannon mer-kitysta (Kaytamme siis rdquootanta ilman takaisinpanoardquo-menetelman sijasta rdquootantaa takaisinpanollardquo)

Tarkastellaan tilannetta jossa laatikossa on N palloajoista P kpl punaisia ja S kpl sinisia talloin P+S = N Olkoon p = PN = laatikon punaisten pallojen suhteel-linen osuus 0 le p le 1 ja vastaavasti s = SN = 1minus p= sinisten pallojen suhteellinen osuus Ongelmana onse etta kaikki luvut P S p s ovat meille etukateen tun-temattomia mutta yritamme saada niista tietoa valit-semalla laatikosta pallon n kertaa ja palauttamalla senvarin kirjaamisen jalkeen takaisin laatikkoon Talloin ntoiston jalkeen punaisia palloja on todennakoisimminsaatu n np ja sinisia palloja n ns kappaletta tasmal-lisemmin sanottuna nama luvut kuvaavat punaisten jasinisten pallojen havaintokertojen odotusarvoja kysei-sessa otannassa

P (1 pun pallo) middot 1 + P (2 pun palloa) middot 2+ middot middot middot+ P (n pun palloa) middot n = np

Havaittujen punaisten pallojen lukumaaran varianssivoidaan laskea kaavalla

P (1 pun pallo) middot (1minus np)2 + P (2 pun palloa)

middot (2minusnp)2 + middot middot middot+P (n pun palloa) middot (nminusnp)2 = nps

Todennakoisyyksien P laskeminen ja tulosten tarkista-minen jaakoon lukijalle mutta asia loytyy myos joista-kin lukiokirjoista binomijakauman kohdalta

Selitys

Mutta miten naiden tietojen perusteella saadaan haet-tu yhteys Tulemme nyt taman kirjoitukseen vai-keimpaan kohtaan joka tunnetaan todennakoisyyslas-kennassa nimella rdquoKeskeinen raja-arvolauserdquo Sen mu-kaan esimerkiksi otantaan liittyvia todennakoisyyksiavoidaan laskea sopivasti skaalatun normaalijakaumanavulla Kun n on kohtuullisen suuri mutta selvastipienempi kuin N noudattaa esim punaisten pallo-jen havaittu lukumaara likimaarin sellaista normaali-jakaumaa jonka odotusarvo on micro = np ja keskihajonta

σ =radicnps En kasittele raja-arvolausetta sen tarkem-

min kuin mainitsemalla etta idealisoidussa tapaukses-sa N =infin rajatapaus nrarrinfin antaa tasmalleen oikeantuloksen kaikkiin tilannetta koskeviin todennakoisyyk-siin

Huomautettakoon etta tietokoneiden aikakaudellanormaalijakauma-approksimaation kayttaminen ei olevalttamatonta silla laskun lopputulos saadaan myosnumeerisesti suoraan binomijakaumasta Talloin kaa-van (1) antama riippuvuus jaa kuitenkin epaselvaksi

Olkoon siis X = punaisten pallojen havaittu lukumaa-ra Ylla mainittu skaalaaminen tarkoittaa sita ettalauseke (= satunnaismuuttuja)

Y =X minus npradicnps

on normaalijakautunut odotusarvolla micro = 0 ja kes-kihajonnalla σ = 1 sen arvoja voidaan siis tutkiaesim MAOL-taulukon avulla Haluaisimme paatellaetta otannan perusteella p asymp Xn on havaittujen pu-naisten pallojen suhteellinen frekvenssi mutta normaa-lijakaumaa kayttamalla voimme arvioida kuinka luo-tettava nain saatu tulos on Yleisesti kaytetty rdquoluotetta-vuudenrdquo kriteeri on 95 luottamustaso vaaditun nor-maalijakauman osan pitaisi kattaa 95 kaikista mah-dollisuuksista Jos siis haluamme vaittaa etta otannantulos poikkeaa luvusta p korkeintaan a -yksikkoa 95 luottamustasolla niin vaatimus kuuluu

P|Xnminus p| le a100 = 095

Ehto jonka todennakoisyytta tutkimme tulee muo-toon |X minus np| le na100 josta edelleen

|Y | = |X minus np|radicnps

le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100

Koska Y noudattaa tavallista normaalijakaumaa onehdon |Y | le t toteutumisen todennakoisyys muotoaΦ(t)minusΦ(minust) = Φ(t)minus (1minusΦ(t)) = 2Φ(t)minus 1 missa Φon vanha tuttu normaalijakauman kertymafunktio

Laskumme alkaa nyt olla loppuvaiheessa Yhtalosta

2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975

jolloin taulukon perusteella

radicn

ps

a

100asymp 196 eli a100 asymp 2

radicpsradicn

Luvut p s ovat tuntemattomia mutta koska ps =p(1 minus p) isin [0 14] aina voimme varmuuden vuoksi

Solmu 29

kayttaa maksimiarvoa ps = 14 jolloin otamme huo-mioon pahimman mahdollisen tilanteen Nain saammelopulta arvion

a asymp 100radicn (1)

Ja sitten vain kokeillaan Jos n = 2 000 niin saadaana asymp 224 -yksikkoa Tama arvio on siis laskettu 95 luottamustasolla Se on siina

Tehtava (i) Kuinka suuri n antaa tarkkuuden a asymp 1-yksikko (luottamustasolla 95 )(ii) Kuinka suuri n antaa tarkkuuden a asymp 2 -yksikkoa(luottamustasolla 99 )

Tommi Sottinen luki kirjoituksen lapi ja oikaisi muuta-man vaarinkasityksen Kiitokset

2 Solmu

Solmu 32005

ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)ISSN 1459-0395 (Painettu)

Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hallstromin katu 2b)00014 Helsingin yliopisto


PaatoimittajaPekka Alestalo dosentti Matematiikan laitos Teknillinen korkeakoulu

ToimitussihteeritMika Koskenoja tohtoriassistentti Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopistoAntti Rasila tutkija Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Sahkoposti toimitussolmumathhelsinkifi

ToimituskuntaHeikki Apiola dosentti Matematiikan laitos Teknillinen korkeakouluAapo Halko FT Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopistoAri Koistinen FM Helsingin ammattikorkeakoulu StadiaMatti Lehtinen dosentti MaanpuolustuskorkeakouluMarjatta Naatanen dosentti Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopistoTommi Sottinen yliopistonlehtori Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Graafinen avustaja Marjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilotVirpi Kauko yliopistonopettaja virpikmathsjyufi

Jyvaskylan Avoin yliopistoJorma K Mattila professori jormamattilalutfi

Sovelletun matematiikan laitos Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski professori jormamerikoskiutafi

Matematiikan tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopistoKalle Ranto assistentti kallerantoutufi

Matematiikan laitos Turun yliopistoTiina Rintala opiskelija tirintalpajuoulufi

Oulun yliopistoTimo Tossavainen lehtori timotossavainenjoensuufi

Savonlinnan opettajankoulutuslaitos Joensuun yliopisto

Numeroon 12006 tarkoitetut kirjoitukset pyydamme lahettamaan vuoden 2005 loppuun mennessa

Kiitamme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa seka Suomen Kulttuurirahastoa (sanakirja-projekti)

Huom Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin jotka ovat sita erikseen pyytaneet SolmunInternet-sivuilta saatava paperiversio on mahdollista tulostaa omalla kirjoittimella Toivomme etta lehtea ko-pioidaan kouluissa kaikille halukkaille

Solmu 3

Sisallys










4 Solmu

Suuria yhtaloita





Pekka Alestalo

Paakirjoitus


Solmu 5






Antti Rasila


6 Solmu

Jongleerauksesta


Johdanto






Solmu 7








Simulaattori

















8 Solmu



3 3 3














423











Solmu 9





1203012313261322











(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)



10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 3

Sisallys










4 Solmu

Suuria yhtaloita





Pekka Alestalo

Paakirjoitus


Solmu 5






Antti Rasila


6 Solmu

Jongleerauksesta


Johdanto






Solmu 7








Simulaattori

















8 Solmu



3 3 3














423











Solmu 9





1203012313261322











(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)



10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






4 Solmu

Suuria yhtaloita





Pekka Alestalo

Paakirjoitus


Solmu 5






Antti Rasila


6 Solmu

Jongleerauksesta


Johdanto






Solmu 7








Simulaattori

















8 Solmu



3 3 3














423











Solmu 9





1203012313261322











(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)



10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 5






Antti Rasila


6 Solmu

Jongleerauksesta


Johdanto






Solmu 7








Simulaattori

















8 Solmu



3 3 3














423











Solmu 9





1203012313261322











(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)



10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






6 Solmu

Jongleerauksesta


Johdanto






Solmu 7








Simulaattori

















8 Solmu



3 3 3














423











Solmu 9





1203012313261322











(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)



10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 7








Simulaattori

















8 Solmu



3 3 3














423











Solmu 9





1203012313261322











(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)



10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






8 Solmu



3 3 3














423











Solmu 9





1203012313261322











(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)



10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 9





1203012313261322











(44)(4x4x)(4x2x)(42x)(2x4)(4x2x)(42x)(2x4x)(2x4)



10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






10 Solmu

441(42x)(2x4)42(42)


















Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 11

Kerhomatematiikkaa


Taustaa







12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






12 Solmu


Tavoitteet



Suunnittelu






Ohjelmia

Ohjelma 1 Ympyra





Ohjelma 2 Pentomino



Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 13













Ohjelma 5 Seikkailu





















14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






14 Solmu
















Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 15















16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






16 Solmu



f Nrarr P f(x) = 2x







0a11a12a13

0a21a22a23

0a31a32a33



bi = 1 jos aii 6= 1

ja

bi = 0 jos aii = 1












Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 17










18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






18 Solmu




f X rarr 1 2 3 n




11 rarr 21 31 rarr 41 51 rarr 61

12 22 32 42 52 62

darr

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

darr

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66


1 21

2

1

3

2

2 3 4

3

2


Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 19


1 21

2

1

3 3 4

3

2

2

3

1

4

1

5 5



11

12

21

13

32

23

31


pq

pp+q

p+qq

tai jos pq = x niin

x

x1+x x+ 1


1

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

1

1

4













x =m

nminusm ja y =r

sminus r





m

nminusm 6=r


20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






20 Solmu





y

y

1+y y + 1

x = y

1+y + k 1+y1+k(1+y)

Luvun x =y


1 + y

1 + k(1 + y)


1+y on [x] = k ja


1 + y

1 + k(1 + y)=

1

k + 11+y

=1

k + 1minus y1+y

=1

[x] + 1minus x



x1 = 1 ja xn+1 =1



Kirjallisuutta





Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 21



I

T AKK

M A

M U

U

M

S

matikkakerh









22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






22 Solmu







+ =


kolmio



+ + =








Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 23





+ =

+ =

+ =

+ =













24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






24 Solmu

1

11

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

2

4 6

3 3

4

5 510 10

6 615 20 15

77 21 35 35 21
















Madon perspektiivi




Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 25






g(u tM) =

Mprod

i=1

(1 + u ti)


g(u tM) =Msum

m=1

s(mM)sum

n=1

amnumtn


26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






26 Solmu


(397



28 140 252summa1

50000

100000

150000

200000219489

lkm




Viitteet




Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 27

Presidentti-gallup


Gallup-uutinen







2 000

4 000 000middot 1 999

3 999 999

2

3 998 002middot 1




Otanta


28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






28 Solmu









Selitys











le na

100radicnps

=

radicn

psmiddot a

100



2Φ

(radicn

ps

a

100

)minus 1 = 095

saadaan ensin

Φ

(radicn

ps

a

100

)= 0975


radicn

ps

a


radicpsradicn


Solmu 29






Solmu 29






matematiikkalehti 3/2005 .ﬂ/taa hakusanan ’solmu’, niin ensimm˜ainen linkki joh-taa...

Documents