matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematicka
statistika
Matematicka statistika
Sarka Hudecova
Katedra pravdepodobnosti a matematicke statistiky
Matematicko-fyzikalnı fakulta Univerzity Karlovy
letnı semestr 20121
1Zalozeno na materialech doc. Michala Kulicha
![Page 2: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/2.jpg)
Matematicka
statistika
Organizacnı pokyny k prednasce
prednaskove slidy v tisknutelne forme vizhttp://www.karlin.mff.cuni.cz/~hudecova
zkouska
pısemna,podrobnosti (bodovanı, pocet otazek apod.) budouupresneny ke konci semestru
konzultace
cvicenı
![Page 3: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/3.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Co je statistika?
Statistika = veda o zıskavanı, zpracovanı a interpretaciinformace obsazene v empirickych pozorovanıch skutecnehosveta (v namerenych datech, pruzkumech apod.)
Zakladnı delenı
popisna (deskriptivnı)
popis konkretnıch datnekolika cısly a obrazky strucne vystihnout dulezitezavery pouze o danych datech, nelze zobecnovat
induktivnı (konfirmatornı)
na zaklade dat umoznuje odpovıdat na obecne otazky opopulaci! zavery lze zobecnitodhady populacnıch parametrupredpoklady, znalost statistickych metoddulezita je interpretace
![Page 4: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/4.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Populace vs. data
Konkretnı data! Cela populace
![Page 5: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/5.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Populace vs. data
Konkretnı data! Cela populace
![Page 6: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/6.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Kde, kdy a proc se pouzıva statistika?
Zkoumame slozity system
nelze jednoduse pochopit nebo popsat pouze na zakladeteorie (tj. potrebujeme empiricke zkusenosti)
za stejnych nebo podobnych podmınek se muze projevovatodlisnym zpusobem! nahoda
prıklady: lidska spolecnost, ekonomika, lidske telo,ekosystem, sport, vedecky experiment, . . .
![Page 7: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/7.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Kde, kdy a proc se pouzıva statistika?
Zkoumame slozity system
nelze jednoduse pochopit nebo popsat pouze na zakladeteorie (tj. potrebujeme empiricke zkusenosti)
za stejnych nebo podobnych podmınek se muze projevovatodlisnym zpusobem! nahoda
prıklady: lidska spolecnost, ekonomika, lidske telo,ekosystem, sport, vedecky experiment, . . .
Druhy statistickych uloh
odhady parametru! vypocet cıselnych charakteristik
testovanı hypotez! overovanı pravdivosti vyroku
predikce! predpovedi
optimalizace! hledanı optimalnıch parametru
![Page 8: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/8.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Prıklad: data z prednasek z minulych let
Na zaklade udaju z let 2006–2011 lze usuzovat
ze by tu dnes melo byt 60 % zen a 40% muzu
prıtomne studentky budou v prumeru 168 cm vysoke,s hmotnostı 60 kg a velikostı bot asi 38,5
prıtomnı studenti budou v prumeru 183 cm vysocıs hmotnostı 76 kg a velikostı bot asi 43
pres 30 % prıtomnych bude z Prahy, kolem 11 % zestredoceskeho kraje a jen velmi malo studentu bude zeSlovenska a Moravy
nejvıce z prıtomnych ma narozeniny v kvetnu, nejmenev unoru a breznu
![Page 9: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/9.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Statisticky prıstup k resenı problemu
1 realny problem, domnenka apod.
2 plan experimentu
3 sber dat
4 vyber vhodneho pravdepodobnostnıho modelu
5 formulace problemu v reci matematicke statistiky
6 aplikace statistickych metod
7 interpretace, zavery, publikace . . .
![Page 10: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/10.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Oblasti aplikace statistiky
Prırodnı vedy
medicına, genetika, farmakologie,biologie, chemie, fyzika, meteorologie . . .
Ekonomie
makro & mikroekonomie, bankovnictvı, pojist’ovnictvı, . . .
Technicke vedy
telekomunikace, doprava, pocıtace, strojırenstvı, kontrolajakosti, rızenı a organizace vyroby, . . .
Spolecenske vedy
sociologie, behavioralnı vedy, archeologie, lingvistika,antropologie . . .
A mnoho dalsıch (sport, marketing, . . . )
![Page 11: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/11.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Obsah prednasky
Cıl prednasky= porozumet zakladnım principum statistickychmetod a pochopit resenı vybranych jednoduchych problemu.
![Page 12: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/12.jpg)
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Obsah prednasky
Cıl prednasky= porozumet zakladnım principum statistickychmetod a pochopit resenı vybranych jednoduchych problemu.
Dve zakladnı casti
Zaklady pravdepodobnosti
nezbytny teoreticky zaklad pro vyklad statistickych metodpravdepodobnost, nahodna velicina a jejı rozdelenı, strednıhodnota, nezavislost, . . .
Statistika
popisne statistiky jako odhady populacnıch parametruodhady, intervaly spolehlivosti, testy statistickych hypotezzakladnı metody (vybrane testy)
Dulezite je osvojenı si hlavnıch principu, pojmu, zakladnıchmetod. Nikoliv ucenı se vzorecku.
![Page 13: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/13.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Teorie pravdepodobnosti
Pravdepodobnost: matematicky model nahody
Pravdepodobnost zkouma nahodne jevy, tj. jevy, ktere mohou,ale nemusı nastat.
S jakou pravdepodobnostı dany jev nastane?
Jsou dane jevy na sobe nezavisle?
![Page 14: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/14.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Teorie pravdepodobnosti
Pravdepodobnost: matematicky model nahody
Co to je nahoda?
Kde se s nı setkavame?
Pravdepodobnost zkouma nahodne jevy, tj. jevy, ktere mohou,ale nemusı nastat.
S jakou pravdepodobnostı dany jev nastane?
Jsou dane jevy na sobe nezavisle?
![Page 15: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/15.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nahodne jevy
nahodny pokus vysledek predem neurcity (nahoda)
mnozina vsech moznych vysledku Ω
nahodny jev je tvrzenı o vysledku pokusu, tj. A ⊂ Ω
prvky Ω se nazyvajı elementarnı nahodne jevy
jev nemozny ∅ nenastava nikdy
jev jisty je cela mnozina Ω a nastava vzdy
![Page 16: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/16.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nahodne jevy
nahodny pokus vysledek predem neurcity (nahoda)
mnozina vsech moznych vysledku Ω
nahodny jev je tvrzenı o vysledku pokusu, tj. A ⊂ Ω
prvky Ω se nazyvajı elementarnı nahodne jevy
jev nemozny ∅ nenastava nikdy
jev jisty je cela mnozina Ω a nastava vzdy
Prıklad (Hod kostkou)
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6
![Page 17: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/17.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nahodne jevy
nahodny pokus vysledek predem neurcity (nahoda)
mnozina vsech moznych vysledku Ω
nahodny jev je tvrzenı o vysledku pokusu, tj. A ⊂ Ω
prvky Ω se nazyvajı elementarnı nahodne jevy
jev nemozny ∅ nenastava nikdy
jev jisty je cela mnozina Ω a nastava vzdy
Prıklad (Hod kostkou)
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6
Prıklad (Pohlavı 2 sourozencu)
Ω = KK,DK,KD,DD nebo Ω = KK,DK,DDA = [alespon jeden kluk] = KK,KD,DK neboA = [alespon jeden kluk] = KK,KD
![Page 18: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/18.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Operace s nahodnymi jevy
Uvazujme nahodne jevy A,B ⊂ Ω.
podjev A ⊂ B znamena A ⇒ B
jev opacny Ac nastane ⇔ A nenastane
prunik jevu A ∩ B nastane ⇔ nastanou zaroven A i B
sjednocenı jevu A ∪ B nastane ⇔ nastane alespon jeden zjevu A a B
neslucitelne (disjunktnı) jevy: A ∩ B = ∅
![Page 19: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/19.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Operace s nahodnymi jevy
Uvazujme nahodne jevy A,B ⊂ Ω.
podjev A ⊂ B znamena A ⇒ B
jev opacny Ac nastane ⇔ A nenastane
prunik jevu A ∩ B nastane ⇔ nastanou zaroven A i B
sjednocenı jevu A ∪ B nastane ⇔ nastane alespon jeden zjevu A a B
neslucitelne (disjunktnı) jevy: A ∩ B = ∅
Podobne prunik a sjednocenı vıce jevu A1, . . . ,Ak :k⋂
i=1
Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak (vsechny musı nastat);
k⋃
i=1
Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak (alespon jeden musı nastat).
![Page 20: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/20.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Operace s nahodnymi jevy - prıklady
Prıklad (Hod kostkou)
Mnozina vsech vysledku: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6,B = [padne cıslo vetsı nez 3] = 4, 5, 6
jev opacny Ac = [padne liche cıslo] = 1, 3, 5,Bc = [padne cıslo mensı rovno trem] = 1, 2, 3
prunik A ∩ B = [padne sude cıslo vetsı nez 3] = 4, 6
sjednocenıA ∪ B = [padne cıslo sude nebo vetsı nez 3] = 2, 3, 4, 6
![Page 21: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/21.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Pravdepodobnost
objektivnı cıselne vyjadrenı”nadeje“, ze nastane jev A
prirazuje nahodnemu jevu A realne cıslo z intervalu [0, 1]
Pravdepodobnost (zkracene pst, znaceno P) musı mıtnasledujıcı vlastnosti:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1
2 P(Ω) = 1, P(∅) = 0,
3 je-li A ∩ B = ∅, pak P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Z techto vlastnostı pak dale vyplyva
4 P(Ac) = 1− P(A),
5 pro B ⊂ A je P(B) ≤ P(A) a P(A− B) = P(A)− P(B)
6 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
![Page 22: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/22.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti
Predpoklady:
Ω je konecna, tj. Ω = ω1, . . . , ωN
vsechny elementarnı jevy ωi ∈ Ω jsou stejnepravdepodobne
Pravdepodobnost jevu A ⊆ Ω je definovana jako
P(A) =|A|
|Ω|=
|A|
N,
kde |A| znacı pocet prvku mnoziny A.
Klasicka pravdepodobnost ma zjevne vsechny pozadovanevlastnosti.
![Page 23: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/23.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 1
Prıklad (Hod kostkou)
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, uvazujeme nahodne jevyA = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6,B = [padne cıslo vetsı nez 3] = 4, 5, 6
Pak
P(A) =3
6=
1
2, P(B) =
3
6=
1
2,
P(A ∩ B) =2
6=
1
3,
P(A ∪ B) =4
6= P(A) + P(B)− P(A ∩ B) = 1−
1
3
![Page 24: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/24.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
.
![Page 25: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/25.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.
![Page 26: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/26.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6
![Page 27: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/27.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6 a tedy
P(B) =6
36=
1
6.
![Page 28: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/28.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6 a tedy
P(B) =6
36=
1
6.
Poznamka: Kombinatoricke pojmy (permutace, kombinacnıcısla apod.)
![Page 29: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/29.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nevyhody klasicke pravdepodobnosti
Klasicka pravdepodobnost ma dva velmi omezujıcı predpoklady:
1 konecny pocet elementarnıch jevu
2 elementarnı jevy ω musı byt stejne pravdepodobne
![Page 30: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/30.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nevyhody klasicke pravdepodobnosti
Klasicka pravdepodobnost ma dva velmi omezujıcı predpoklady:
1 konecny pocet elementarnıch jevu
2 elementarnı jevy ω musı byt stejne pravdepodobne
Kdy nam klasicka pravdepodobnost nestacı?
nestejne pravdepodobne elem. jevy ω (nesymetricka mince)
Ω nenı konecna (hazıme na kos, dokud se netrefıme)
Ω je abstraktnı, nelze jednoduse popsat ω (chceme mluvito pravdepodobnosti bankrotu banky apod.)
![Page 31: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/31.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nevyhody klasicke pravdepodobnosti
Klasicka pravdepodobnost ma dva velmi omezujıcı predpoklady:
1 konecny pocet elementarnıch jevu
2 elementarnı jevy ω musı byt stejne pravdepodobne
Kdy nam klasicka pravdepodobnost nestacı?
nestejne pravdepodobne elem. jevy ω (nesymetricka mince)
Ω nenı konecna (hazıme na kos, dokud se netrefıme)
Ω je abstraktnı, nelze jednoduse popsat ω (chceme mluvito pravdepodobnosti bankrotu banky apod.)
Obou predpokladu se potrebujeme zbavit obecnejsı aabstraktnejsı axiomaticka definice pravdepodobnosti.
![Page 32: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/32.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Axiomaticka definice pravdepodobnosti
Necht’ Ω je libovolna mnozina. Pravdepodobnostı nazvemelibovolnou funkci P definovanou na podmnozinach Ω, ktera manasledujıcı vlastnosti:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1 pro libovolne A ⊂ Ω,
2 P(Ω) = 1,
3 pro vsechny A1,A2, . . . ⊂ Ω takove, ze Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j ,platı
P
(
∞⋃
i=1
Ai
)
=
∞∑
i=1
P(Ai ).
![Page 33: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/33.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Poznamky
Axiomaticka definice pravdepodobnosti:
pripoustı konecne, spocetne i nespocetne mnoziny Ω
elementarnı jevy nemusı byt stejne pravdepodobne
pro danou Ω lze zavest mnoho ruznych pravdepodobnostı– mezi nimi si musıme sami zvolit (vetsinou to prirozenevyplyne)
Dale budeme (teoreticky) pracovat s obecnou axiomatickoudefinicı pravdepodobnosti. V prıkladech ale budeme vetsinoupouzıvat klasickou pravdepodobnost.
![Page 34: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/34.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
⋆ Poznamky
Poznamka pro narocne:Ve skutecnosti se pravdepodobnost zavadı jen pro tzv.meritelne mnoziny, ne nutne pro vsechny podmnoziny Ω(nemeritelnou mnozinu nepovazujeme za nahodny jev). Prinespocetne Ω (treba Ω = R) nelze totiz rozumne zavestpravdepodobnost, ktera funguje pro vsechny podmnoziny Ω.
![Page 35: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/35.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Podmınena pravdepodobnost
Definice
Necht’ jev B ⊂ Ω ma kladnou pravdepodobnost, P(B) > 0.Podmınenou pravdepodobnost jevu A za podmınky, ze nastaljev B , definujeme vztahem
P(A | B) =P(A ∩ B)
P(B).
![Page 36: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/36.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Podmınena pravdepodobnost — poznamky
Nepodmınena pravdepodobnost P(A) vypovıda opravdepodobnosti vyskytu jevu A v situaci, kdy nemame zadnedodatecne informace o prubehu nebo vysledku experimentu.
Podmınena pravdepodobnost P(A | B) vypovıda opravdepodobnosti vyskytu jevu A v situaci, kdy vıme, ze nejakyjiny jev B urcite nastal (tj. mame dodatecnou informaci)
Poznamka
Pozor, jevy A a B nelze prohazovat, protoze obecneP(A|B) 6= P(B |A).
![Page 37: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/37.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Prıklad – dostihy
Prıklad
Favority dostihu jsou kone Lıvanec a Skobrt’ak. Kursybookmakeru naznacujı, ze pravdepodobnost vıtezstvı Lıvance je0.2 a Skobrt’aka 0.25. Skobrt’ak vsak pred startem spolkl hrebıka nepobezı. Jaka je pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec?
![Page 38: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/38.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Prıklad – dostihy
Prıklad
Favority dostihu jsou kone Lıvanec a Skobrt’ak. Kursybookmakeru naznacujı, ze pravdepodobnost vıtezstvı Lıvance je0.2 a Skobrt’aka 0.25. Skobrt’ak vsak pred startem spolkl hrebıka nepobezı. Jaka je pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec?
Resenı: Jevy: L = [vyhraje Lıvanec], S = [vyhraje Skobrt’ak].Mame P(L) = 0.2, P(S) = 0.25, L ∩ S = ∅.
![Page 39: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/39.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Prıklad – dostihy
Prıklad
Favority dostihu jsou kone Lıvanec a Skobrt’ak. Kursybookmakeru naznacujı, ze pravdepodobnost vıtezstvı Lıvance je0.2 a Skobrt’aka 0.25. Skobrt’ak vsak pred startem spolkl hrebıka nepobezı. Jaka je pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec?
Resenı: Jevy: L = [vyhraje Lıvanec], S = [vyhraje Skobrt’ak].Mame P(L) = 0.2, P(S) = 0.25, L ∩ S = ∅.Odtud
P(L | Sc) =P(L ∩ Sc)
P(Sc )=
P(L)
P(Sc )=
1/5
3/4=
4
15.
Pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec, je 4/15 = 0.2667.
![Page 40: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/40.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Prıklad
Prıklad
V suplıku jsou tri pary ponozek ze stejneho materialu: zelene,modre a bıle. Po tme nahodne vyberete dve ponozky a anizbyste overili jejich barvu, vyrazıte v nich do skoly. Zjistete, sjakou pravdepodobnostı
mate obe ponozky stejne barvy,
alespon jedna obuta ponozka je zelena,
na prave noze je zelena ponozka
mate obe ponozky stejne, jestlize v suplıku urcite zbyl parzelenych ponozek,
mate obe ponozky stejne, jestlize na prave noze matezelenou.
![Page 41: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/41.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost dvou jevu
Mame prostor elementarnıch jevu Ω a pravdepodobnost P.
Definice
Nahodne jevy A,B ⊆ Ω nazyvame nezavisle, jestlize platı
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
V opacnem prıpade je nazyvame zavisle.
![Page 42: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/42.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost dvou jevu
Mame prostor elementarnıch jevu Ω a pravdepodobnost P.
Definice
Nahodne jevy A,B ⊆ Ω nazyvame nezavisle, jestlize platı
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
V opacnem prıpade je nazyvame zavisle.
Necht’ jsou jevy A, B nezavisle a P(A) > 0, P(B) > 0. Pak
P(A | B) =P(A ∩ B)
P(B)=
P(A)P(B)
P(B)= P(A)
a podobne P(B | A) = P(B).Jevy jsou tedy nezavisle, pokud pravdepodobnost jednoho jevunenı nijak ovlivnena tım, zda druhy jev nastal nebo ne.
![Page 43: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/43.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad
Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel na obou kostkach je lichy].Jsou jevy A a B nezavisle?
![Page 44: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/44.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad
Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel na obou kostkach je lichy].Jsou jevy A a B nezavisle?
Mame Ω = (SS), (LL), (SL), (LS), kde S znacı sude cıslo a L
liche. Pak
P(A) =1
2, P(B) =
1
2, P(A ∩ B) =
1
4.
Tj. platı podmınka P(A ∩ B) = P(A) · P(B) a jevy jsounezavisle.
![Page 45: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/45.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad
Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel je vetsı nez 10].Jsou jevy A a B nezavisle?
![Page 46: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/46.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad
Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel je vetsı nez 10].Jsou jevy A a B nezavisle?
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6,|Ω| = 36
P(A) =3 · 6
36=
1
2, P(B) =
3
36=
1
12, P(A∩B) =
2
36=
1
18.
Tj. neplatı podmınka P(A ∩ B) = P(A) · P(B) a jevy jsouzavisle.
![Page 47: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/47.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad (Vtip o statistikovi v letadle)
Statistik prochazel bezpecnostnı kontrolou na letisti, kdyz bylav jeho kufru nalezena bomba. Vysvetloval: ”Podle statistik jepravdepodobnost prıtomnosti bomby v letadle 0, 001. Takzesance, ze na palube budou dve bomby, je 0, 000001. Kdyz sivezmu svoji bombu, cıtım se pak mnohem bezpecneji. Bez sveosobnı bomby proto nikdy necestuji.”
![Page 48: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/48.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad (Vtip o statistikovi v letadle)
Statistik prochazel bezpecnostnı kontrolou na letisti, kdyz bylav jeho kufru nalezena bomba. Vysvetloval: ”Podle statistik jepravdepodobnost prıtomnosti bomby v letadle 0, 001. Takzesance, ze na palube budou dve bomby, je 0, 000001. Kdyz sivezmu svoji bombu, cıtım se pak mnohem bezpecneji. Bez sveosobnı bomby proto nikdy necestuji.”
Oznacme A = [ja mam v letadle bombu],B = [nekdo jiny ma v letadle bombu]. Jevy A a B jsou zjevnenezavisle (ja nejsem clen zadne teroristicke skupiny). Proto
P(B |A) = P(B) =1
1000,
a proto si bombu do letadla brat nemusıte.
![Page 49: Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... · Matematicka statistika Co je statistika? Oblasti aplikace statistiky Pˇr´ırodn´ı](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042520/5a7879317f8b9a1f128b828f/html5/thumbnails/49.jpg)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost— poznamky
Poznamka
Jsou-li A,B nezavisle, pak (A,Bc), (Ac ,B), (Ac ,Bc) jsou tezdvojice nezavislych jevu.
Definice
Nahodne jevy A1,A2, . . . ,An ⊆ Ω nazyvame nezavisle pravekdyz platı
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1)P(A2) · · ·P(An).