Nulto izdanjeMatematicka analiza 4SimeUngarNulto izdanjeiiNulto izdanjePredgovorKazimo nesto o oznakama. Matematicari su tokom stoljeca razvili vrlo sostici-rane oznake. Mnoge su postale standardne i koriste ih svi, ali neke, iz razlicitihrazloga nisu. U principu, svejedno je kakve oznake koristimo, ali buduci sa-me sebi nisu svrha, znatno olaksava citanje i razumijevanje ako su jednostavnei, josvaznije, konzistentne. Toznacidasezaistovrsneilislicnematematickeobjekte koriste slicne oznake ili mala ili velika slova, grcka slova, slova iz istogdijelaabecede,istifont,islicno. Tonaravnonijeuvijekmoguce,alimi cemonastojati biti sto dosljedniji. Tako ceU, V, W, . . . uvijek biti otvoreni skupovi, ceuvijekbitiotvorenskupu Rnili Ckojijedomenapromatranefunkcije.VelikapisanaslovakaoK, U, . . . oznacavat cefamilijeskupova, K, C, . . . nekespecijalneskupove(Kochovakrivulja,Cantorovskup, . . . ). Skalarniproduktvektorax iy oznacavat cemo sa (x [ y), ureden par sa (x, y), a otvoren intervalsa x, y) (ovdje su naravno x i y realni brojevi). Od oznaka koje nisu u literaturistandardne koristit cemo naprimjerf : Rn Rmu znacenju f : Rmgdje je Rn. Ova oznaka,matematicki govoreci,nije sasvim korektna,jertunemanikakvefunkcije Rn Rm(daklefunkcijekojabibiladenirananacitavomRn), ali jedovoljnosugestivnadaopravdavanjenokoristenje. Bo-ljaoznakazapreslikavanjefkojejedeniranosamonapodskupu Rnjef : Rn Rm. Ovucemooznakutakoderkoristiti. Uvezi oznacavanjafunkcija (preslikavanja) i citanja oznacenog, napomenimo i sljedece: f :X Yse cita preslikavanje (funkcija)fsaXuY , a ne naY . Kada se kaze na, toznaci da jefsurjekcija, pa ukoliko nemamo zaistaposla sa surjektivnim pres-likavanjem, treba kazati u. Spomenimo takoder, da oznakaf :X Yznaci daje funkcijafdenirana u svimtockama skupaX.Koristitcemojosjednuoznakukojajesasvimnestandardna. Ukolikojef :X Y preslikavanje i y Y tocka,saf(y) oznacavat cemo skup tocakax Xkojefpreslikava uy. Dakle, f(y) := x X:f(x) =y je originaliiiNulto izdanjeiv Predgovortockey. TojepodskupodX. Uobicajenaoznakazatojef1(y), aliuovojknjizi, jer se radi o udzbeniku, pisat cemof(y) da naglasimo da se ne radi ovrijednosti inverznefukcijef1utocki y,koja udanojsituacijinajcesceinepostoji, a sto studenti cesto zaborave. Ukoliko inverzna funkcija f1:X Yunekoj situaciji zaista postoji, onda je naravno f(y) = f1(y), sto se najcesce,iakonesasvimkorektno, pisef(y)=f1(y)(kao stosegotovouvijekistotakonekorektnopisef(A) = 1kadajef(x) = 1zasvex A,umjesto,kakobi trebalo, f(A) = 1. Posveanalogno, oznacavatcemos f(B) originalskupaB Y . Dakle, f(B):= x X: f(x) B X. Ukolikopostojiinverzna funkcija f1:Y X, onda je naravno f(B) = f1(B), i ova oznakajekorektna.Nulto izdanjeSadrzajPredgovor iiiPopisoznaka vii4 Integraliduzputovaikrivulja 1 22 Vektorske funkcije jedne varijable. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 23 Glatki putovi u Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 24 Integral realne funkcije duz puta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 25 Integral diferencijalne 1-forme duz puta . . . . . . . . . . . . . . 11 26 Algebarska ekvivalencija i deformacija putova . . . . . . . . . . . 27 27 Greenov teorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 28 Funkcije ogranicene varijacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 29 Krivulje u Rni njihova duljina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 30 Krivuljni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 Kompleksnefunkcije 73 31 Derivacija kompleksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 32 Integral kompleksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 33 Cauchyev teorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 34 Cauchyeva integralna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 Nizoviiredovifunkcija 109 35 Uniformna i lokalno uniformna konvergencija . . . . . . . . . . . 109 36 Redovi potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121vNulto izdanjevi SADRZAJ7 Razvojikompleksnihfunkcijauredovepotencija 125 37 Taylorov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 38 Laurentov red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 39 Singulariteti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 40 Reziduumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 41 Broj nultocaka i polova meromorfnih funkcija . . . . . . . . . . . 152 42 Lokalna svojstva holomorfnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 160Indeks 167Nulto izdanjePopisoznakaR skup realnih brojevaRskup realnih brojeva razlicitih od 0R+skup nenegativnih realnih brojevaR+skup strogo pozitivnih realnih brojevaN skup prirodnih brojevaQ skup racionalnih brojevaC skup kompleksnih brojevaCskup kompleksnih brojeva razlicitih od 0Z skup cijelih brojevaRnn-dimenzionalan euklidski prostor otvoren skup u Rnili C, najcesce domena promatrane diferencijabilne od-nosno derivabilne funkcijef :S X Y preslikavanjef :S Y ,gdje jeS X. Najcesce se koristikaof : RnRm. Ovaoznakanijesasvimkorektna. Boljajeoznaka:f :X S Y preslikavanjef :S Y ,gdje jeS X. Najcesce se koristikaof : C CviiNulto izdanjeviii OZNAKEK(P0, r), K(P0, r) otvorena, odnosno zatvorena, kugla (krug, ukoliko se radio ravnini) oko tockeP0radijusar > 0K(z, r), K(z, r) otvoren, odnosno zatvoren, krug u C okoz radijusar > 0Int S interior skupaS; najveci otvoren skup koji je sadrzan uSB(X, Y ) prostor omedenih funkcija saXuYC(X, Y ) prostor neprekidnih funkcija saXuYBC(X, Y ) prostor omedenih neprekidnih funkcija saXuY inkluzija surjektivno preslikavanje, preslikavanje na injektivno preslikavanje, 11 preslikavanje bijektivno preslikavanje, preslikavanje 11 i naf 0,g 1 konstantna preslikavanjaf(x) = 0,g(x) = 1 za svex X[a, b] zatvoren segmentrealnih brojeva, [a, b] = t R : a t ba, b) otvoren interval realnih brojeva, a, b) = t R : a < t < b(x [ y) skalarni produkt vektorax iyf(y) := x X : f(x) = y Xpri cemu jef :X Ypreslikavanje skuporiginala tocke y. Uobicajena je oznaka f1(y). Ovu oznaku cemo ko-ristitikada zelimonaglasitidaseneradioinverznompreslikavanju,koje mozda u danoj situaciji i ne postoji.f(B) := x X : f(x) B X original skupaB. Uobicajena je oznakaf1(B)., trag(slika)putaodnosno; npr. :=([a, b]) Rn, gdjeje : [a, b] Rnput u Rn, str. 61 +2 + +ksuma putova1, . . . , k, str. 7_ f ds integral realne funkcije duz puta; integral prve vrste, str. 9_ F d integral vektorskog poljaFduz puta; integral druge vrste, str. 11Nulto izdanjeOZNAKE ix_ integral diferencijalne 1-forme duz puta ; integral druge vrste, str. 12_ integral diferencijalne 1-forme duz zatvorenogputa, str. 12kutna forma, str. 12 inverzan put; suprotan put, str. 13df vanjski diferencijal realne funkcijefshvacene kao diferencijalne 0-forme,str. 16d = i 0postojin0 N, takavdazasvaki z Sz0isvaki n n0vrijedi [fn(z) f(z)[ 0 takav da jef(z) =

n=0an(z z0)nza sveziz neke okoline tockez0.Ovaj korolar pokazuje, da je svaka derivabilna kompleksna funkcija ne samoholomorfnai daimaderivacijesvihredova, kaostosmobili vecdokazali uTeoremu34.9ovisimderivacijamaderivabilnefunkcija, negojesvakatakvafunkcija ujedno i analiticka, tj. mozeserazvitiuredpotencija, sto je mnogovise.Korolar37.3 Nekaje f : Cholomorfnafunkcijai z0. Akojef(n)(z0)=0zasven N, ondajef konstantnafunkcijanasvakomkruguK(z0, r) oko tockez0, koji je sadrzan u .Nulto izdanje128 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJADokaz:Prema Taylorovom teoremu, za svakir> 0 takav da jeK(z0, r) , isvakiz K(z0, r) jef(z) =

n=01n!f(n)(z0)(z z0)n. Ako jef(n)(z0) = 0 za sven N, onda jef(z) = f(z0) za svez K(z0, r), tj. funkcijafje na tom krugukonstantna.Denicija37.1Za tockuz0 C za koju jef(z0) = 0 kazemo da jenultockafunkcije f. Ukoliko je f je holomorfna na nekom krugu K(z0, r) oko nultocke z0,i fnije konstantna funkcija 0 na tom krugu, onda, prema prethodnom korolaru,postojin N takav da jef(n)(z0) ,= 0. Najmanji takav prirodan broj n zove serednultocke.Teorem37.4(oizoliranostinultocakaholomorfnefunkcije) Neka jefunkcijaf holomorfnanakruguK(z0, r)i nekajez0njenanultockaredan.Tada postoji funkcijag, holomorfna na kruguK(z0, r), takva da jeg(z0) ,= 0, ida za svakiz K(z0, r) vrijedif(z) = (z z0)ng(z) .Stovise, postoji> 0 takav da jeg(z) ,= 0 za svez K(z0, ).Dakle,holomorfnafunkcija,ukolikoseneradiotrivijalnojfunkciji f 0,ima samo izolirane nultocke.Dokaz:PremaTaylorovomteoremu, f(z) =

k=01k!f(k)(z0)(z z0)k, zasvakiz K(z0, r). Kako je z0 nultocka reda n, to je f(k)(z0) = 0 za k = 0, 1, . . . , n1,pa jef(z) =

k=n1k!f(k)(z z0)k= (z z0)n

k=n1k!f(k)(z z0)kn.Deniramo li funkcijug kao sumug(z) :=

k=n1k!f(k)(z z0)kn, bit ce na tomkrugu zaistaf(z) = (z z0)ng(z) ig(z0) =1n!f(n)(z0) ,= 0.DajefunkcijagholomorfnanakruguK(z0, r), slijedi izcinjenicedaredkojimjefunkcijagdenirana, imaisti radijus konvergencijekaoi Taylorovredfunkcijef. Zaista, zasvaki nizan, n N, kompleksnihbrojeva, premaPropoziciji 36.2 (i), vrijedilimsupkk_[an+k[ =limsupk_n+k_[an+k[_n+kk=limsupkn+k_[an+k[ =limsupkk_[ak[ ,Nulto izdanje 37. Taylorovred 129odakle slijedi da redovi zag ifimaju jednake radijuse konvergencije.Nadalje, kako je funkcija g holomorfna, to je i neprekidna, a jer je g(z0) ,= 0,postoji> 0 takav da jeg(z) ,= 0 i za svez K(z0, ). Zbog toga jez0jedinanultocka funkcijefu kruguK(z0, ).Teorem37.5Neka je C otvoren i povezan skup, af : C holomorfnafunkcija. Akoskupnultocakafunkcijef imagomilistekojepripadaskupu,onda jef(z) = 0 za svez , tj.f 0 na .Dokaz:Nekajez0 gomilisteskupaf(0), nultocakafunkcijef. Tadaje,zbog neprekidnosti, i tockaz0nultocka funkcijef. Tvrdimo da jef(n)(z0) = 0zasven 0. Uprotivnombi z0bilanultockafunkcijef nekog, konacnog,reda, pa bi prema prethodnom teoremu, to bila izolirana nultocka, sto se protivipretpostavci da je ona gomiliste skupa nultocaka odf.Kako je, dakle, f(n)(z0) = 0 za sven 0, iz Taylorovog razvoja funkcijefoko tocke z0, zakljucujemo da je na svakom krugu K oko z0 koji je sadrzan u ,f 0, tj.K f(0) .Pokazimodajef 0na citavom, tj. f(0)=. Nekajez

pro-z0z1z2z3zk=z

K0K1K2K3izvoljna tocka. Kako je otvo-reni povezanpodskupodC,postoji poligonalnalinija odtockez0doz

. Nekaje:=d(, C ). Zbogkom-paktnosti je >0(vidi Ko-rolar 5.10). Odaberimotockez0, z1, . . . , zk = z

na tako daje [zj zj1[ < ,j = 1, . . . , k,i nekasuKj:=K(zj, ), j=0, 1, . . . , k, -krugovi oko tihtocaka. Tada jeKj izj Kj1 Kjza svej = 1, . . . , k.Premaprvomdijeludokaza, f0naK0, tj. K0f(0). Pretposta-vimo, induktivno, daje f0naKj1. Buduci jetockazjgomilistesku-paKj1 f(0), tojeonagomilistei skupaf(0), skupanultocakafunkci-je f, paje, premaprvomdijeludokaza, f0i nakruguKj. Indukcijomzakljucujemo da jef 0 i naKk1, pa je if(z

) = 0.Kao posljedicu dobivamo cinjenicu, da ako su dvije holomorfne funkcije jed-nakena, naprimjer, nekommalomluku, onetadamorajubitijednakesvuda.Nulto izdanje130 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJATocnije, vrijediKorolar37.6(Teoremojedinstvenostiholomorfnefunkcije) Neka jeskup C otvoren i povezan, afigholomorfne funkcije na . Ako sefigpodudaraju na nekom skupu koji ima gomiliste u , onda jef= gna .Dokaz:Primijenimo prethodni teorem na funkcijuf g : C.Teorem37.7(CauchyeveocjenekoecijenataTaylorovogreda) Nekajef(z):=

n=0an(z z0)nza [z z0[ 0, zakljucujemo da jef(n)(0) = 0 za sven 1.Prema Korolaru 37.3,fje konstantna funkcija.Liouvilleov teorem ne kaze da su ogranicene holomorfne funkcije nuzno kons-tantne. Samoogranicenefunkcijekojesuholomorfnena citavoj kompleksnojravnini su konstantne. Funkcije koje su holomorfne na citavoj kompleksnoj rav-nini, zovu secijeleili citavefunkcije. Liouvilleov teorem kaze da su prave,tj. nekonstantne, cijele funkcije, uvijek neomedene. To se mozda kosi s nasompredodzbom o, naprimjer, funkciji sinus, koja je cijela funkcija, i, kaofunkcijarealne varijable, ona je ogranicena, ali sinus, kao funkcija kompleksne varijablenijeogranicena funkcija.1JosephLiouville(18091882),francuskimatematicarNulto izdanje 38. Laurentovred 133Sljedeci teorem zapravo ne spada u analizu,nego u algebru. Medutim,svinjegovi dokazi, kako elementarni tako i sosticirani, zahtijevaju sredstva analizei/ili topologije. Mi cemo ovaj teorem ovdje dokazati kao jednostavnu posljedicuLiouvilleovog teorema, koji nam je sada pri ruci. Postoje i elementarni dokazikoji koriste samo malo tehnike iz realne analize.Teorem37.10(Osnovniteoremalgebre)Neka je p(z) := anzn+an1zn1+ + a1z + a0,gdjesua0, . . . , an C, an ,= 0, n 1,polinomskompleksnimkoecijentima,stupnjabarem1. Tadapimabaremjednunultocku,tj.postojiz0 C takav da jep(z0) = 0.Dokaz:Pretpostavimosuprotno, tj.dapnemanultocke, dakledajep(z) ,= 0zasvez C. Tadajei funkcijaq : C C, deniranasq(z):=1p(z), cijelafunkcija. Nadalje,[p(z)[ = [z[nan +an1z+ +a1zn1+a0zn,pajezbogan ,= 0, lim|z|[p(z)[ = +. Stogaje lim|z|q(z) = 0. Toznacidazasvaki >0, specijalnoza=1, postoji R>0takavdazasvez C, zakoje je [z[>R, vrijedi [q(z)[< 1. Kako je zatvoren krugK(0, R) kompaktan,aqje neprekidna funkcija,to je funkcijaqna tom krugu omedena,tj. postojiM> 0 takav da je [q(z)[ < Mza sve [z[ R, pa je [q(z)[ < M +1 za sve z C.Prema Liouvilleovom teoremu jeqkonstantna funkcija,a zbog lim|z|q(z) = 0jeq(z) = 0, z C, sto ne moze biti jer je, prema deniciji,q(z) =1p(z). 38 LaurentovredPri proucavanjufunkcijakojesuholomorfnenanekomkruguokotocke z0,koristi se razvoj u Taylorov red red (pozitivnih) potencija od zz0. Medutim,ukoliko je funkcija u tocki z0 losa, ali je u drugim tockama holomorfna, koristese redovi u kojima se osim pozitivnih, pojavljuju i negativne potencije.Prijenegostoiskazemoosnovni teorem, uvedimonekeoznake. Nekasucn C, n Z, kompleksnibrojevi. Dvostrani red, tj.redkomesu clanovinumerirani (indeksirani) cijelim brojevima, u oznaci nZcn, oznacavat ce sumuNulto izdanje134 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJAdvajuredova,reda n0cnireda n1cn. Zared nZcnkazemodakonvergira,ako konvergiraju oba reda n0cni n1cn, a sumu cemo oznacavati sa+

n=cn :=

n=1cn +

n=0cn.Pritom je

n=1cn:=limnn

k=1ck,ili, ako umjeston pisemo n,:=

n=1cn.Analogno cemo govoriti o apsolutnoj, a u slucaju redova funkcija, i o uniformnoji lokalno uniformnoj konvergenciji takvih redova.Kao i u poglavlju 5, za tocku z0 C i pozitivne brojeve 0 < r < R, oznacavatcemo sV:= V (z0; r, R) kruzni vijenac, tj. skup z C : r < [z z0[ < R.Teorem38.1(Laurentov1teorem)Neka je funkcijafholomorfna na kruz-nom vijencuV:= V (z0; r, R) oko tockez0. Tada za svakiz Vvrijedif(z) =+

n=an(z z0)n, (1)gdje su koecijentiandani formuloman =12i_0f()( z0)n+1d, (2)a 0 je pozitivno orijentirana kruznica oko z0 proizvoljnog radijusa , r < < R.To jeLaurentovred funkcijefoko tockez0.Dokaz:Kaoi kodTaylorovogteorema, dokaz cemoprovesti zaslucaj z0=0,a opci se slucaj dobije zamjenom varijable z sa z z0. Trebamo, dakle, dokazatida zaz V:= V (0; r, R) vrijedif(z) =+

n=anzn, (3)1PierreAlphonseLaurent(18131854),francuskiinzenjerNulto izdanje 38. Laurentovred 135gdje su koecijenti d ani formuloman =12i_0f()n+1d, n Z , (4)a 0je proizvoljna kruznica oko 0 koja lezi uV .Nekajez V i nekasu1i 2kruzniceoko0radijusa1i 2takodaje r r.Stovise, ako je lim|z|f1(z) = 0, onda je rastavf= f1 + f2jedinstven. Funkcijaf1naziva seglavni ilisingularni dio,a funkcijaf2regularni dio funkcijef.Nulto izdanje 38. Laurentovred 137Dokaz:(i)Pokazimonajprije, daobaredau(10)konvergirajulokalnouniformnonavijencuV . Prema deniciji je+

n=an(z z0)n=

n=1an(z z0)n+

n=0an(z z0)n. (11)Treba pokazati da oba reda na desnoj strani u prethodnoj formuli, konvergirajulokalnouniformnonaV . Promotrimonajprijedrugiodtihredovaredpo-zitivnihpotencija, ipokazimodaonkonvergiralokalnouniformnoinavecemskupuK(z0, R) V .Nekajez K(z0, R)proizvoljnatocka. Odaberimotockuz

V takodazz

z0Rje [z z0[< [z

z0[ 1,1z 1= 1z11 1z= 1z

n=0_1z_n=

n=11zn=

n=1zn.Za prvi sumand,1z 2, za [z[ < 2 vrijedi1z 2= 12 z= 1211 z2= 12

n=0_z2_n=

n=0zn2n+1,a za [z[ > 2 je1z 2=1z11 2z=1z

n=0_2z_n=

n=12n1zn=

n=1zn2n+1.Zbrajanjem, na sva tri podrucja, odgovarajucih redova, dobivamof(z) =___

n=0_1 12n+1_zn, [z[ < 1

n=1zn

n=012n+1zn, 1 < [z[ < 2

n=1_12n+1 1_zn, 2 < [z[.Ako zelimo tu istu funkciju razviti u red, naprimjer, na probusenom kruguK(1, 1), dakle po potencijama odz 1, onda za prvi sumand nalazimo1z 2= 11 (z 1)=

n=0(z 1)n,dok je drugi sumand vec zapisan kao red potencija od z 1, a svi koecijenti an,osima1, jednaki su nuli, ia1 = 1. Tako dobivamof(z) = 1z 1

n=0(z 1)n, 0 < [z 1[ < 1 .Kao i u slucaju Taylorovog reda, i kod Laurentovog reda dokazuju se sljedeceocjene za koecijente:Nulto izdanje 39. Singulariteti 141Teorem38.3(CauchyeveocjenekoecijenataLaurentovogreda)Nekajef(z) =+

n=an(z z0)nza0 r< [z z0[ 0 takav da za svez K(z0, ) vrijedi [f(z)f(z0)[ < . Stoga je f(K(z0, )) K(, )f(z0)ukolikofje denirana uz0, ili jef(K(z0, )) K(, ), ukoliko nije. U oba jeslucajafogranicena na-okolini tockez0.(iii) (iv)Ovajeimplikacijatrivijalna, jerakojef omedenananekojokolini tockez0, onda zbog limzz0(z z0) = 0, slijedi da limes limzz0(z z0) f(z)postoji, i jednak je 0.(iv) (v) Za broj 0 < r< R, sM(r) oznacimo maksimum modula funkci-jefnakruzniciokoz0radijusar,dakle, M(r) := max[f(z)[ : [z z0[ =r.Dokazimo, najprije, da jelimr0r M(r) = 0 . (1)Zbog kompaktnosti kruznice, za svakir < R, postoji tockazr, [zrz0[ = r,z0zrtakva da jeM(r) = [f(zr)[. Oznacimo saSskup tako oda-branihtocakazr. Zbog(iv)jei limzz0[z z0[ [f(z)[=0, akako jez0ocito gomiliste skupaS, to je i0 =limzz0zS[z z0[ [f(z)[ = limzrz0[zrz0[ [f(zr)[ = limr0r M(r)Nulto izdanje144 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJAcime je dokazano (1).Neka je f(z) =+

n=an(zz0)nLaurentov razvoj funkcije f na probusenomkrugu K(z0, R). Prema Cauchyevim ocjenama koecijenata Laurentovog reda,Teorem 38.3, je [an[ rnM(r) za sven 1, pa zbog (1) zakljucujemo da jean = 0 za sven 1, tj. koecijenti uz sve negativne potencije u Laurentovomredu funkcijefoko tockez0, jednaki su nuli.(v) (i) Ova implikacija je opet jednostavna. Zaista, prema (v), Laurentovrazvoj funkcijefnaK(z0, R) ima oblikf(z) =

n=0an(z z0)n. Deniramo lif(z0) := a0, singularitet smo uklonili, jer dobivena je funkciju na citavom kruguK(z0, R) jednaka sumi reda (nenegativnih) potencija, pa je holomorfna na tomkrugu.Primjer39.1Kaoprimjer, promotrimofunkcijuf(z) :=1 cos 2zz2, kojajeholomorfna svuda osim u tocki 0, gdje nije denirana. Pokazimo da je taj, ocitoizoliran, singularitet, uklonjiv. Kako je cos t = 1 t22!+t44!t66!+ , to jef(z) =1 _1 (2z)22!+(2z)44!(2z)66!+_z2= 2 + 23 z2445 z4+ .Dakle, 0 je uklonjiv singularitet funkcijef, i deniramo lif(0) := 2 uklonilismo ga.Funkcije s uklonjivim singularitetima su gotovo tako dobre kao holomorfnefunkcije. Specijalno, i za njih vrijedi opci Cauchyev teorem:Korolar39.2(Cauchyevteoremzafunkcijesuklonjivimsingularitetima)Neka je funkcija f : C holomorfna, osim mozda u nekim tockama, u kojimaimauklonjivesingularitete. Tadajezasvaki, unulhomotopan, zatvorenpodijelovima gladak put, _f dz = 0.Dokaz:Uklonimolisingularitetefunkcijaf,dobivamoholomorfnufunkcijuf,pa na nju primijenimo opci Cauchyev teorem,Teorem 33.4. Ukoliko put inte-gracijeneprolazi niti jednimuklonjivimsingularitetomfunkcijef, ondasefi fduz tog puta podudaraju, pa su im i integrali jednaki. Ali i ukoliko put inte-gracije prolazi nekim od uklonjivih singulariteta funkcije f, to na integral nemautjecaja. Naime,kako su uklonjivi singulariteti izolirani,na putuih,premaNulto izdanje 39. Singulariteti 145Napomeni 39.1, ima samo konacno mnogo, a kao sto znamo od ranije, promjenafunkcije u konacno mnogo tocaka ne utjece niti na njenu integrabilnost, niti nasam integral.Drugi tip izoliranih singulariteta su polovi. Za izoliran singularitetz0funk-cijefkazemodajepol , akouLaurentovomrazvojufunkcijefokotockez0ima konacno mnogo (ali barem jedan) clanova s negativnim potencijama, tj. spotencijama od1z z0. Redpolaje red najvece potencije od1z z0koja se utom Laurentovom razvoju pojavljuje s koecijentom razlicitim od nule.Teorem39.3(Karakterizacijapolova) Neka je funkcijafholomorfna naprobusenom kruguK(z0, R). Sljedece su tvrdnje ekvivalentne:(i) z0je pol funkcijef(redam).(ii) z0nije uklonjiv singularitet funkcijef, ali postoji prirodan brojk takav dajez0uklonjivsingularitetfunkcijez (z z0)kf(z). (Najmanjitakavkupravo jem red pola.)(iii) limzz0[f(z)[ = +.Dokaz:(i) (ii) Ukoliko je z0 pol m-tog reda funkcije f, onda, prema deniciji,Laurentovrazvojfunkcijefokotockez0imaoblikf(z) =+

n=man(z z0)n,am ,= 0, pa, prema Teoremu 39.1 kojim su karakterizirani uklonjivi singulari-teti, z0nijeuklonjivsingularitetfunkcijef. Pomnozimoli fsa(z z0)k, zasvaki k m dobit cemo funkciju koja u svom Laurentovom razvoju oko tocke z0nema negativnih potencija, pa je, prema istom teoremu, z0 uklonjiv singularitette funkcije. Ocito je najmanji prirodan broj s ovim svojstvom, upravo brojm red pola.(ii) (iii) Ako funkcija g(z) := (zz0)mf(z) ima u z0 uklonjiv singularitet,onda, premaTeoremu39.1, postoji limes limzz0g(z) C, paje, zbogm 1,limzz0[f(z)[ =limzz0|g(z)||z z0|m= +.(iii) (i)Pretpostavimodaje limzz0[f(z)[ = +. Toznaci dazasvakiM> 0postoji >0, takavdazasvaki zK(z0, ) vrijedi [f(z)[ >M.Specijalno(uzevsi npr. M=1), postoji >0takavdajef(z) ,=0zasvez K(z0, ). Denirajmo funkciju g :K(z0, ) C s g(z) :=1f(z). Funkcija gNulto izdanje146 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJAjeholomorfnanaK(z0, )i limzz0g(z) = 0. PremaTeoremu39.1, gimauz0uklonjiv singularitet, i ako deniramo g(z0) := 0, dobivamo holomorfnu funkcijuna citavom kruguK(z0, ).Tockaz0jejedinanultockafunkcijeg, i oznacimonjenreds m. PremaTeoremu 37.4, na kruguK(z0, ) postoji holomorfna funkcijah takva da jeg(z) = (z z0)mh(z), [z z0[ < , (2)i h(z) ,= 0 za sve [z z0[ 0,slikaprobusenogkrugaK(z0, )gustanaC, tj. zasvaki w Ci svaki >0, postoji zK(z0, ), takavdaje[f(z) w[ < .1FeliceCasorati(18351890),talijanskimatematicar2Julian-KarlVasilievicSohockij(18421927),ruskimatematicar,rodenuPoljskojNulto izdanje148 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJAz0zfw0f(z)Dokaz:Nekaje z0bitansingularitetfunkcije f, i odaberimo, wi kaouiskazu teorema. Ukoliko postojiz K(z0, ) takav da jef(z) = w, tvrdnja jedokazana.Pretpostavimo, dakle, da je f(z) ,= w za svaki z K(z0, ). Tada je i funk-cijag :K(z0, ) C,denirana sg(z) :=1f(z) w,holomorfna naK(z0, ).Funkcijag ima uz0izoliran singularitet.Akojefunkcijagomedenananekoj okolini tockez0, ondajez0uklonjivsingularitet, pa postoji limes limzz0g(z) =: C.Ukoliko je ,= 0, onda je limzz0f(z) =1

+ w, pa bi, prema Teoremu 39.1, funk-cijafimalauz0uklonjivsingularitet,iunjenomLaurentovomrazvojuokoz0ne bi bilo negativnih potencija.Ukoliko je = 0, onda je limzz0[f(z) w[ = +, pa je i limzz0[f(z)[ = +, stobi, prema Teoremu 39.3, znacilo da fima uz0 pol, dakle, u Laurentovomrazvoju bilo bi samo konacno mnogo negativnih potencija.Prematome, otpadajuobjemogucnosti, pajefunkcijag neomedenanasvakoj okolini tockez0. Tospecijalnoznaci, dai zaodabranei , postojiz K(z0, ) takav da je [g(z)[ >1, tj. [f(z) w[ < .Obratjejednostavan. Naime, ukolikojezasvaki >0, slikaprobusenog-krugaokoz0gustanaC, ondaniti mozef biti omedenananekoj okolinitocke z0, niti moze limes modula biti jednak +. Prema karakterizacijama uk-lonjivih singulariteta, odnosno polova, zakljucujemo da u Laurentovom razvojufunkcijefokotockez0morabitibeskonacnomnogonegativnihpotencija, pajez0bitan singularitet funkcijef.Primjeri funkcijasbitnimsingularitetomsuz e1zi z sin1z. Objeovefunkcijeimajubitansingularitetu0, stosejednostavnovidi iznjihovihLaurentovih razvoja.Nulto izdanje 40. Reziduumi 149 40 ReziduumiU ovoj cemo tocki dokazati teorem o reziduumima, koji je vrlo koristan i teoret-ski i u primjenama.Denicija40.1Neka je funkcija f holomorfna na probusenom krugu K(z0, r)inekaje

an(z z0)nnjenLaurentovredokotockez0. Koecijenta1uz1z z0naziva sereziduumfunkcijefu tockiz0, i oznacavamo ga res(f, z0).Promotrimo li Laurentov razvoj funkcijez f(z) res(f, z0)z z0oko tockez0,vidimo da ona ima na probusenom kruguK(z0, r) primitivnu funkciju. Takona reziduum funkcije u nekoj tocki, mozemo gledati kao na mjeru koliko se tafunkcija razlikuje od derivacije neke holomorfne funkcije denirane na okolini tetocke.Prema formuli (2) na str. 134, za koecijente Laurentovog reda, vidimo dajeres(f, z0) =12i_0f() d,gdje je 0 neka dovoljno mala pozitivno orijentirana kruznica oko z0. Napisemoli tu formulu kao_0f() d = 2i res(f, z0) ,dobivamokorisnuformuluzanalazenjeintegralakompleksnefunkcije, ukolikoznamo njen Laurentov razvoj, ili barem koecijent uz1z z0. Teorem o rezidu-umima, koji cemo sada dokazati, poopcuje tu formulu.Teorem40.1(oreziduumimazafunkcijeskonacnomnogosingulariteta)Nekaje Cotvorenskup, f : Cfunkcijakojajeholomorfnaosimutockamas1, s2, . . . , sk,ukojimaimaizoliranesingularitete,inekajezatvo-ren, u nulhomotopan, po dijelovima gladak put, koji ne prolazi niti jednom odtih tocaka. Tada je_f dz = 2ik

j=1(, sj)res(f, sj) . (1)Nulto izdanje150 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJADokaz:Nekaje gj(z) :=

n=1a(j)n (z sj)nglavni dioLaurentovograzvojafunkcijefoko tockesj,j = 1, . . . , k. Denirajmo funkcijuh: C formulomh(z) := f(z) k

j=1gj(z) . (2)Svakaodfunkcijagjjeholomorfnana C sj, pajefunkcijahholomorfna,osim u tockama s1, s2. . . , sk, u kojima ima uklonjive singularitete. Primijenimoli sada Cauchyev teorem za funkcije s uklonjivim singularitetima, Korolar 39.2,dobivamo_hdz = 0 . (3)Za svakij 1, . . . , k je_gj dz = 2i (, sj) res(f, sj) . (4)Zaista, kako je funkcijagjholomorfna na C sj, red kojim je ona deniranakonvergira lokalno uniformno na citavom skupu C sj, vidi dokaz tvrdnje (i)teorema o jedinstvenosti Laurentovog reda, Teorem 38.2, pa, jer put ne prolazitockomsj,taj red konvergira uniformno na. Zato mozemo integrirati clanpo clan, pa dobivamo_gj dz =_

n=1a(j)n(z sj)ndz = a(j)1 2i (, sj) = 2i (, sj) res(f, sj) ,jer za n ,= 1, funkcije z 1(z sj)nimaju na Csj , primitivnu funkciju,te je njihov integral duzjednak nuli.Zbrajanjem formul a (4), iz (2) i (3) dobivamo tvrdnju teorema.Teorem40.2(oreziduumima)Nekaje Cotvorenskup, f : Cfunkcija koja je holomorfna osim u tockama skupa S , u kojima ima izoliranesingularitete, i neka je : [a, b] zatvoren, u nulhomotopan, po dijelovimagladak put, koji ne prolazi niti jednim singularitetom funkcijef, tj.S = .Nulto izdanje 40. Reziduumi 151Tada je indeks putaobzirom na sve tocke skupaSosim njih konacno mnogo,jednak nuli, i vrijedi_f dz = 2i

sS(, s)res(f, s) . (5)Dokaz:Primijetimonajprije, da, premaNapomeni39.1, S, skupsingularitetafunkcijef, nema gomiliste koje pripada skupu , jer bi inace to gomiliste biloneizoliran singularitet funkcije f, pa proizvoljan kompaktan podskup od sadrzinajvise konacno mnogo elemenata skupaS.Neka jezatvoren po dijelovima gladak put, nulhomotopan u , i neka jeH: [a, b] [0, 1] homotopija izmedu i nekog konstantnog puta. Oznacimos H:=H([a, b][0, 1]) trag(sliku) homotopije H. ZasvakutockuzC Hjezatvorenput nulhomotopanuC z, paje (, z) =0,Teorem 34.3 (i).Oznacimo sa SH:= SH skup onih singulariteta funkcije f koji se nalaze uskupu H, i neka je SO := SSH skup ostalih singulariteta. Zbog kompaktnostipravokutnika [a, b][0, 1] i neprekidnosti homotopije H, skup H je kompaktan,pa je skupSHkonacan, a za sve tockes SOje(, s) = 0.Nekaje1:= SO. Pokazimodajetootvorenskup. Nekajez 1proizvoljnatocka. znijegomilisteskupaSO, jerbi toondabiloi gomilisteskupaS, a pokazali smo da takvih u nema. Zbog toga, postoji r> 0 takavda jeK(z, r) SO = 1, tj. skup 1je otvoren.Restrikcijafunkcijef naotvorenskup1jefunkcijakojajeholomorfna,osimutockamakonacnogskupaSH=: s1, . . . , sk, azatvorenputjenul-homotopan u 1, jer jeH 1. Mozemo, dakle, na tu restrikciju primijenitiprethodni teorem o reziduumima za funkciju s konacno mnogo singulariteta, padobivamo_f dz = 2ik

j=1(, sj) res(f, sj) .Kakosmodokazali daje(, s) =0zasves SO, tosumuuprethodnojformuli mozemo napisati i kao sS, pa smo tako dokazali (5).Nulto izdanje152 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJA 41 BrojnultocakaipolovameromorfnihfunkcijaPrimijenit cemosadateoremoreziduumimanaodredivanjebrojanultocakaipolova meromorfnih funkcija, a kao jednostavnu posljedicu dobit cemo i dokazDrugog osnovnog teorema algebre.Kako meromorfna funkcija, u tockama u kojima nije holomorfna, ima samouklonjive singularitete i polove, mozemo uklonjive singularitete zaista i ukloniti,tako da opcenito mozemo smatrati da meromorfna funkcije ima samo polove.Za tockuz0koja je nultocka ili pol funkcijef, sr(z0, f) N oznacit cemored te nultocke odnosno pola.Teorem41.1Neka jefmeromorfna funkcija na otvorenom povezanom skupu C, kojanijekonstanta0, f,0. nekajepozitivnoorijentiranakonturakojaneprolazi niti jednomnultockomniti polomfunkcijef icijejeunutarnje podrucje B sadrzano u , te neka je h H() proizvoljna holomorfnafunkcija. Tada je12i_h(z) f

(z)f(z)dz =

z

Bz

jenultockaodfh(z

) r(z

, f)

z

Bz

jepolodfh(z

) r(z

, f) . (1)Dokaz:Buduci je(, z0) = 1 za svaku tockuz0 B,to je,prema teoremu oreziduumima, Teorem 40.2,12i_h(z) f

(z)f(z)dz =

sBsjesingularitetodhf

fres(hf

f, s) . (2)Odredimo reziduume funkcijehf

fu njenim singularitetima koji se nalaze uunutrasnjempodrucjuBkonture. Utockamaukojimajefunkcijafholo-morfnai nijejednakanuli, funkcijahf

fjeholomorfna. Zatosesingularitetifunkcijehf

fnalaze medu nultockama i singularitetima, dakle polovima, funk-cijef. Niti skup nultocaka niti skup polova funkcijefnema gomilista u , pasmo na funkcijuhf

fzaista mogli primijeniti teorem o reziduumima.Nulto izdanje 41. Brojnultocakaipolovameromorfnihfunkcija 153Nekaje, prvo, snultockafunkcijef, itoredar(s, f)=: n. PremaTeore-mu 37.4, postoje> 0 i holomorfna funkcijag H(K(s, )), takvi da jef(z) = (z s)ng(z) , z K(s, ) , ig(z) ,= 0 , z K(s, ) .Za svakiz K(s, ) tada vrijedih(z)f

(z)f(z)= h(z)nz s +h(z)g

(z)g(z).Kako je drugi sumand, funkcijahg

g, holomorfna na kruguK(s, ), to je singu-laritetfunkcijehf

fzapravosingularitetfunkcijez h(z)nz s. Razvijemolifunkcijuhna-kruguokosuTaylorovred, vidimodaakojeh(s) = 0, ondaje s uklonjiv singularitet funkcije z h(z)nz s, pa je njen reziduum u s jednaknuli, dakle jednak je broju h(s)n. Ako je h(s) ,= 0 onda funkcija z h(z)nz sima us pol prvog reda, i njen reziduum je opet jednakh(s)n.Ponovimoli ovozakljucivanjezasvakunultockufunkcijefkojasenalaziunutar konture , dobivamo prvi sumand u (1).Neka je sada s pol funkcije freda p. Ako u Laurentovom razvoju funkcije foko pola s izlucimo faktor (z s)p, vidimo da, kao i u slucaju nultocke, postoji >0i holomorfnafunkcijag H(K(s, )), sasvojstvomg(z) ,=0zasvez K(s, ), i takva da jef(z) =1(z s)pg(z) , z K(s, ) .Kao i ranije, dobivamoh(z)f

(z)f(z)= h(z)pz s +h(z)g

(z)g(z),pa zakljucujemo da jeres(hf

f, s) = h(s)(p) = h(s)r(s, f) .Sumiranjemposvimpolovimafunkcijefkojisenalazeunutar,dobivamoidrugu sumu u (1).Specijalno, za konstantnu funkcijuh(z) = 1 za svakiz, dobivamoNulto izdanje154 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJAKorolar41.2Nekaje f meromorfnafunkcijamanaotvorenompovezanomskupu, kojanijekonstantna, a nekajenulhomotopnapozitivnoori-jentirana kontura, koja ne prolazi niti jednom nultockom niti polom funkcijef.Tada je12i_f

(z)f(z)dz = N(f) P(f) , (3)gdjeje N(f) broj nultocaka, aP(f) broj polovafunkcije f unutar, i toracunajuci njihov red, tj. ukoliko je neka nultocka ili pol reda r, treba ju brojati rputa.Integralunalijevoj strani formule(3)mozemodati i geometrijski smisao.Ako napravimo supstituciju (zamjenu varijabli)f(z) =: w, dobivamo12i_f

(z)f(z)dz =12i_f()dww. (4)f() je po dijelovima glatka zatvorena krivulja, pa je desna strana u prethodnojformuli, upravo indeks te krivulje obzirom na tocku 0. Tako dobivamoKorolar41.3Zameromorfnufunkcijuf kojanijekonstantnanaotvorenompovezanomskupu C, ipozitivnoorijentiranukonturukojajenulhomo-topna u i ne prolazi niti jednom nultockom niti polom funkcijef, vrijediN(f) P(f) = (f(), 0) .Ovaj se korolar naziva iPrincipargumenta.Primjer41.1Kaoprimjerupotrebeprethodnihrazmatranja, odredimokakosu po kvadrantima rasporedene nultocke polinomap(z) :=18z887z7+296z612z5+372z4523z3+ 8z2+ 1 .Pokazimo, najprije, da p nema realnih nultocaka. Zaista, za derivaciju nala-zimo (kako trazimo realne nultocke, varijablu oznacavamo sax)p

(x) = x78x6+ 29x560x4+ 74x352x2+ 16x .Direktnom provjerom, vidi se da su 0, 1 i 2 nultocke polinoma p

, pa dijeljenjemdobivamo djelomicnu faktorizacijup

(x) = x(x 1)(x 2) (x45x3+ 12x214x + 8)=:q(x).Nulto izdanje 41. Brojnultocakaipolovameromorfnihfunkcija 155Polinomqfaktoriziramo tako da nademo koecijentea,b,c,d koji zadovo-ljavaju sistem linearnih jednadzbi dobiven usporedivanjem koecijenata uz istepotencije odx u produktu(x2+ax +b)(x2+cx +d) = x45x3+ 12x214x + 8 ,pa dobivamop

(x) = x(x 1)(x 2)(x22x + 2)(x23x + 4) .Kvadratni faktori nemaju realnih nultocaka, pa su tocke 0, 1 i 2 jedine realnenultocke derivacije, te, jer se radi o polinomu parnog stupnja kojem je najstarijikoecijentpozitivan, pima, kaorealnafunkcija, tristacionarnetocke, itosulokalni minimumi utockama0i 2, i lokalni maksimumutocki 1. Kakojep(0) = 1 > 0, ip(2) =2921> 0,p nema realnih nultocaka.Pokazimo sada dap nema niti cisto imaginarnih nultocaka. Zay R jep(i y) =18y8296y6+372y48y2+ 1=:pRe(y)+i (87y712y5+523y3)=:pIm(y). (5)Dabi bilop(i y) =0, morajurealni i imaginarni dioistovremenoiscezavati.Imaginarni dio jednak jepIm(y) =421y3(6y463y2+ 91) ,pa jey1 = 0 trostruka nultocka, a ostale cetiri jednostruke nultocke suy4,5 = 1221 _5953 1.315 y6,7 = 1221 +_5953 2.962 .Kako je pRe(0) = 1, pRe(y4) = pRe(y5) 18.611 i pRe(y6) = pRe(y7) 1167.39,topReipImne mogu istovremeno iscezavati, tj.p nema nultocaka niti na ima-ginarnoj osi.Odredimosadabroj nultocakapolinomapuprvomkvadrantu. NekajeR > 0, i neka je = 1 +2 +3 kontura sastavljena od sljedecih orijentiranihlukova (vidi sliku):1je segment realne osi od 0 doR.2je luk kruznice oko 0 radijusaR od tockeR doi R3je segment imaginarne osi odi R do 0.Nulto izdanje156 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJAPremaDrugomosnovnomteoremualgebre, koji cemouskorodokazati, Te-orem41.5, polinomimakonacnomnogonultocakatocnoonolikokolikimujered. Zbogtogace, zadovoljnoveliki R, svenultockepolinomapkojesenalaze u prvom kvadrantu, biti obuhvacene konturom . Kako je polinom holo-morfna funkcija, pa nema polova, bit ce, prema prethodnom korolaru, broj tihnultocaka jednak indeksu krivuljep() =p(1) + p(2) + p(3) obzirom na 0.Treba, dakle, samopriblizno, kvalitativno, odrediti slikup()detalji namnisu vazni, vazno je jedino koliko se putap() namota oko 0.(i) Jer je p polinom s realnim koecijentima, to za realne varijable, p poprima irealne vrijednosti, pa je p(1) segment realne osi, koji sadrzi tocke p(0) = 1ip(R) 18R8.(ii) Tocke luka 1su oblikaRei t,t [0,2], pa je u tockama luka 1p(Rei t) =18R8e8 i t_1 647Rei t+1163R2e2 i t 96R3e3 i t++148R4e4 i t 4163R5e5 i t+64R6e6 i t+8R8e8 i t_.Kako je R velik, to je izraz u velikoj zagradi u prethodnoj formuli pribliznojednak 1, pa slikap(2) dva puta obilazi priblizno kruznicu oko 0 radiju-sa18R8, pocevsi odtockep(R)dotockep(i R), zakoju, izformule(5),vidimo da je Imp(i R) 87R7> 0, jer jeR velik.0 Ri R123p(1)p(2)p(3)1 18R8(iii) p(3)jeskuptocakaoblikap(i y), y [R, 0]. Krivuljap(3)pocinjeutocki p(i R), gdjejezavrsilakrivuljap(2), azavrsavautocki 1=p(0),Nulto izdanje 41. Brojnultocakaipolovameromorfnihfunkcija 157gdje je pocela krivuljap(1). Pitanje je samo da li,i kako sep(3) vrtioko0. Datoustanovimo, dovoljnojeustanoviti gdjei kakop(3)sijecerealnu os. Iz (5) vidimo da je za nenegativan realany, p(i y) realan samou nultockama polinomapIm, tj. u tockamay6 =1221 +_5953 2.962 , y4 =1221 _5953 1.315 , y1 = 0 ,ukojimapolinomppoprimapribliznevrijednosti 1167.39, 18.611i 0.Kako su y6 i y4 jednostruke nultocke polinoma pIm, to krivulja p(3) pocinjeutocki p(i R) 18R8+ i87R7ukojojzavrsavap(2), ikojajeugornjojpoluravnini, zatim u tocki p(i y6) 1167.39 prelazi u donju poluravninu,pa se opet u tocki p(i y4) 18.611 vraca u gornju poluravninu, te zavrsavau tockip(0) = 1, gdje je pocetak krivuljep(1) (vidi sliku).Na osnovu ovih razmatranja,zakljucujemo da je indeks krivuljep() ob-zirom na tocku 0 jednak 3,pa nas polinomp ima u prvom kvadrantu trinultocke (racunajuci njihov red).Kako nultocke polinoma s realnim koecijentima moraju dolaziti u konjugi-rano kompleksnim parovima, zakljucujemo da polinomp ima i u cetvrtomkvadrantu tri nultocke. Prema,vec spominjanom,Drugom osnovnom te-oremualgebre, ukupanbrojnultocakanasegpolinomapjeosam, pajerna koordinatnim osima nema nultocaka i jer nultocke dolaze u konjugiranokompleksnim parovima, mora se jos po jedna nultocka nalaziti u drugom iu trecem kvadrantu.Cesto se koristi sljedeci teorem:Teorem41.4(Roucheov1teorem)Nekasufunkcije f i g holomorfnenaotvorenomskupu, i nekejekonturacijejei unutrasnjepodrucjesadrzanou. Akozasvaki z vrijedi [g(z)[ < [f(z)[, ondaobuhvacajednakbrojnultocakafunkcij afi f + g(pritomsvakunultockutrebaracunationoliko puta koliki je njezin red).Dokaz:Za svaki z je [f(z)[> [g(z)[ 0, pa jef(z) ,= 0. Nadalje, kada bineki z bio nultocka funkcije f+g, bilo bi g(z) = f(z), tj. [g(z)[ = [f(z)[, su-protno pretpostavci teorema. Dakle, kontura ne prolazi niti jednom nultockom1Eug`eneRouche(18321910),francuskimatematicarNulto izdanje158 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJAfunkcij a f i f +g, pa, jer se radi o holomorfnim funkcijama, za odredivanje brojanjihovihnultocakaunutarkonture, mozemoprimijeniti Korolar41.2. TakodobivamoN(f +g) N(f) =12i_f

(z) +g

(z)f(z) +g(z)dz 12i_f

(z)f(z)dz=12i_g

(z) f(z) g(z) f

(z)f(z)(f(z) +g(z))dz. (6)Pokazali smodajezasvaki z , f(z) ,=0. Stoga, zbogneprekidnosti,postoji (otvorena)okolinaU , takvadajef(z) ,=0zasvez U, pajedobro denirana funkcijeh:U C formulomh(z) := 1 +g(z)f(z). Deriviranjemnalazimodajeh

(z)h(z)=g

(z) f(z) g(z) f

(z)f(z)(f(z) + g(z)). Uvrstimoli tou(6), zamjenomvarijablew := h(z), dobivamoN(f +g) N(f) =12i_h

(z)h(z)dz =12i_h()dww= (h(), 0) ,gdje je posljednja jednakost dobivena kao ranije, u Korolaru 41.3.Trebajosodrediti indeks(h(), 0). Kakojezasvaki z ,g(z)f(z) 0takavdazasveR> R0vrijedi [an[ Rn> [an1[ Rn1++ [a1[ R + [a0[. Neka je kruznicaoko0radijusaR. Izprethodnenejednakostividimodazasvaki z vrijedi[g(z)[ < [f(z)[, papremaRoucheovomteoremu, zakljucujemodap=f+ gima u kruguK(0, R) jednak broj nultocaka kaof, koji ima jednu nultocku, 0,redan. Kako to vrijedi za svakiR R0, svaka nultocka polinomap ce kad-tadbiti obuhvacena, pa zakljucujemo dap ima tocnon kompleksnih nultocaka.Primjer41.2Promotrimo ponovno polinomp(z) :=18z887z7+296z612z5+372z4523z3+ 8z2+ 1iz Primjera 41.1, i pokazimo da se sve njegove nultocke nalaze unutar kruga radi-jusa 3 oko tocke 1, a izvan kruga radijusa910, tj. u kruznom vijencu V (1;910, 3).Razvijemo li polinomp po potencijama odz 1, dobijemop(z) =18(z 1)817(z 1)7+13(z 1)614(z 1)4+13(z 1)3(z 1)2+11156(to je zapravo Taylorov red polinoma p oko tocke 1, a najjednostavnije se dobijetako da se izracunap(z + 1), i uzmu koecijenti dobivenog polinoma). Neka jef(z) :=18(z 1)8g(z) := 17(z 1)7+13(z 1)614(z 1)4+13(z 1)3(z 1)2+11156.Tada je za [z 1[ = 3[f(z)[=18 38 820 , i[g(z)[ 17 37+13 36+14 34+13 33+ 32+11156 596 ,pausvimtockamakruznice [z 1[ =3vrijedi [g(z)[ < [f(z)[. PrimjenomRoucheovogteoremazakljucujemodapolinomi p=f+ gi fimajuukruguK(1, 3)jednakbroj nultocaka. Kakopolinomf imautomkrugu, jednunultocku, 1, i onajeredaosam, toipolinompimautomkruguosamnultocaka, apremaDrugomosnovnomteoremualgebre, tosuujednoi svenjegove nultocke.1Nulto izdanje160 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJANeka je sadaf(z) :=11156g(z) :=18(z 1)817(z 1)7+13(z 1)614(z 1)4+13(z 1)3(z 1)2.Tada je za [z 1[ =910[f(z)[=11156 1.98 , i[g(z)[ 18_910_8+17_910_7+13_910_6+14_910_4+13_910_3+_910_2 1.52 ,pausvimtockamakruznice [z 1[ =910vrijedi [g(z)[ < [f(z)[. Kakojefkonstantan polinom, pa nema niti jedne nultocke, to niti polinomp =f + gukruguK(1,910)nemaniti jednenultocke. Svese, dakle, nultockepolinomapnalaze u kruznom vijencuV (1;910, 3). 42 LokalnasvojstvaholomorfnihfunkcijaU ovoj cemo tocki, nakon Weierstrassovog pripremnog teorema, dokazati tri poz-nata teorema: o otvorenom preslikavanju, o maksimumu modula i Schwarzovulemu.Teorem42.1(Weierstrassovpripremniteorem)Nekajefunkcijaf ho-lomorfnautocki z0, oznacimow0:=f(z0), i nekajerednultockez0funkci-je z f(z) w0jednak n. Tadapostoje >0i >0takvi dazasvakiw K(w0, ), funkcijaz f(z) wima u kruguK(z0, ) tocnon nultocaka,racunajuci njihov red.Stovise, brojevi i moguseodabrati takodazasvaki wK(w0, ),funkcijaz f(z) wima u kruguK(w0, ), tocnon razlicitih nultocaka.z0fw0wNulto izdanje 42. Lokalnasvojstvaholomorfnihfunkcija 161Dokaz:Funkcija z f(z) w0 je holomorfna i nije konstanta 0 (jer tada njenanultockaz0nebimoglabitikonacnogredan). Stogasusvenjezinenultockeizolirane, Teorem 37.4, pa postoji> 0 takav da jez0jedina nultocka funkcijezf(z) w0nazatvorenomkruguK(z0, ). Specijalno, narubu, tj. za[z z0[ =, vrijedi [f(z) w0[ >0. Nekaje:= min|zz0|=[f(z) w0[ >0(minimumpostoji jerjekruznicakompaktanskup, afneprekidnafunkcija).Neka je w K(w0, ). Tada za [z z0[ = vrijedi [w0w[ < [f(z) w0[. IzRoucheovog teorema 41.4, primijenjenog na funkcije z f(z)w0 i z w0w,slijedidanjihovasuma, tj.funkcijaz (f(z) w0) + (w0 w) =f(z) w,ima u krugu K(z0, ) jednak broj nultocaka kao i funkcija z f(z) w0, dakle,ima ih tocnon. Time je dokazana prva tvrdnja teorema.Da dokazemo i drugi dio teorema, primijetimo, najprije, da ako su i kaou teoremu, onda je i svaki

< , uz pripadni

:= min|zz0|=

[f(z) w0[, dobar.Nadalje, derivacija f

funkcije f takoder je holomorfna funkcija, i nije konstantnafunkcija 0, f

, 0. Naime, u protivnom bi sve njene derivacije bile jednake nuli,pabi funkcijafbilakonstantnanaK(z0, ). Stogasui nultockefunkcijef

izolirane, pa mozemo odabrati tako da, osim ranijeg zahtjeva, vrijedi i f

(z),=0za sve z K(z0, ). Zbog toga su, za proizvoljan w K(f(z0), ), sve nultockefunkcijez f(z) wu kruguK(z0, ) jednostruke. Kako ih, racunajuci red,iman, moraju sve biti medusobno razlicite.Primjer42.1Dobra ilustracija Weierstrassovog pripremnog teorema, je funk-cijaf(z) :=zn= [z[neniarg z. Onapreslikavakut2nsvrhomu0,na citavukompleksnu ravninu C, tj. ravninu namotan puta oko ishodista. Osim 0, svesu ostale tocke kompleksne ravnine, slike od po tocno n razlicitih tocaka,n raz-licitihn-tihkorijena. Weierstrassovpripremniteoremkaze,dakle,dalokalno,svaka je holomorfna funkcija takva.Korolar42.2(Teoremootvorenompreslikavanju)Neka je C otvo-renskupi f : Cholomorfnafunkcija,kojanijekonstantnanitinajednojkomponentipovezanostiskupa. TadajezasvakiotvorenskupU , slikaf(U) otvoren skup u C, tj.fjeotvorenopreslikavanje.Dokaz:Nekaje w0f(U), i nekaje z0Utakavdaje f(z0) =w0, tj.z0jenultockafunkcijez f(z) w0. PremaWeierstrassovompripremnomteoremu, postoje brojevi> 0 i > 0 takvi da za svakiw K(w0, ), funkcijaz f(z) wimaukruguK(z0, )baremjednunultocku. Drugacijereceno,Nulto izdanje162 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJAzasvaki wK(w0, ) postoji zK(z0, ) takavdaje f(z) =w. PremanapomeninapocetkudokazadrugogdijelaWeierstrassovogteorema,broj ,iondapripadni , mozemoodabrati takoda, zbogotvorenosti skupaU, budeK(z0, ) U, pa je tada iK(w0, ) f(U), sto pokazuje da je skupf(U) Cotvoren.Specijalno, vrijediKorolar42.3Neka je C otvoren i povezan skup, af : C holomorfnafunkcija koja nije konstantna. Tada je skupf() C otvoren.Teorem42.4(olokalnojinvertibilnostiholomorfnefunkcije) Neka jefunkcijaf holomorfnautocki z0i nekajef

(z0) ,=0. Tadapostojeotvoreniskupovi Uz0i V f(z0) takvi daje fU : UV bijekcija, i inverznafunkcijag :=_fU_1:V Uje holomorfna uf(z0).Dokaz:Iz pretpostavke f

(z0) ,= 0, slijedi da je z0 jednostruka nultocka funkcijez f(z) f(z0). Nekasu >0i >0kaouWeierstrassovompriprem-nomteoremu42.1, stimdajedovoljnomalendavrijedii f

(z) ,=0zasvez K(z0, ), sto zbog neprekidnosti funkcijef

i napomene na pocetku doka-zadrugogdijelaWeierstrassovogteorema, mozemopostici. OznacimosV :=K(f(z0), ) iU:= K(z0, ) f(V ). Zbog neprekidnosti funkcijef, skupUjeotvoren. Prema Weierstrassovom teoremu, za svakiw V=K(f(z0), ), pos-toji jedan jedini z K(z0, ) takav da je f(z) = w, sto znaci da je fU :U Vbijekcija. Oznacimonjeninverzsg:= _fU_1:VU. Preslikavanjegjeneprekidno, jer, kako jef, prema prethodnom korolaru, otvoreno preslikavanje,za svaki otvoren skupU

U, skupg(U

) = f(U

) je otvoren. Stoga sufUig homeomorzmi.Ostaje pokazati da je funkcija g holomorfna na V , a za to je dovoljno pokazatida je g derivabilna na V . Neka su w,w

V , i neka su z := g(w) i z

:= g(w

)U,tj.w = f(z) iw

= f(z

). Tada jelimw

wg(w

) g(w)w

w=limz

zz

zf(z

) f(z)=limz

z1f(z

)f(z)z

z.(Uovomsmoracunumogli zamijeniti limes limw

wslimesomlimz

zjersufUi ghomeomorzmi.) Ovajposljednjilimespostoji, jerjefholomorfnanaU.Stoga postoji i prvi od gornjih limesa, tj. funkcijagje derivabilna uw, a kakojew Vbila proizvoljna tocka,g je derivabilna naV .Nulto izdanje 42. Lokalnasvojstvaholomorfnihfunkcija 163Napomena42.1Pokazimo kako se prethodni teorem moze dokazati i koristecisamoTeoremoinverznoj funkciji izrealneanalize, Teorem12.1, i Cauchy-Riemannov teorem 31.1.Naime, funkcijafje holomorfna, pa jef

neprekidna. Stoga jef, shvacenakaofunkcijaf=(u, v): R2, R2, diferencijabilnaklaseC1. Utockiz0=(x0, y0) je f

(z0) =xu(x0, y0) +i xv(x0, y0) ,=0, pa, zbogCauchy-Riemannovih uvjeta, za Jacobijan nalazimodet (u, v)(x, y)(x0, y0) =xu yuxv yv(x0,y0)=xu xvxv xu(x0,y0)= |f

(z0)|2= 0 ,tj. diferencijal preslikavanjaf= (u, v) je u tocki (x0, y0) regularan. Prema Te-oremu o inverznom preslikavanju, postoje otvoreni skupovi Uoko tocke (x0, y0)i V okotocke f(x0, y0) =: (0, 0), takvi daje fU : UV bijekcija, ainverznopreslikavanjeg=(p, q): V UjediferencijabilnoklaseC1, i vri-jediDg(, ) =_Df(x, y)_1, za sve (, ) = f(x, y) V . To znaci da je(p, q)(, )(, ) =_(u, v)(x, y)(x, y)_1=1det(u,v)(x,y)(x, y)_xu xvxv xu_(x,y),pai zafunkcijug=(p, q)vrijedeCauchy-Riemannovi uvjeti, tj. funkcijag,shvacena kao kompleksna funkcija, holomorfna je u tockif(z0).Korolar42.5(Teoremoholomorfnomizomorzmu)Nekajeholomorf-nafunkcija f :Cinjektivna. Tadaje f

(z),=0zasve z, skupf() Cjeotvoren,iinverznafunkcijag :f() bijekcijef : f()je holomorfna, tj.f : f() jeholomorfni ilianaliticki izomorzam.Dokaz:Kada bi postojala tockaz0 takva da jef

(z0) = 0, onda biz0bilanultocka funkcijez f(z) f(z0) reda barem 2,pa,prema Weierstrassovompripremnom teoremu 42.1, funkcija fne bi mogla biti injekcija na nekoj okolinitockez0.Kakojefinjektivnopreslikavanje, korestrikcijaf : f()jebijekcija,papostojiinverznopreslikavanjeg :f() . PremaTeoremuootvorenompreslikavanju, zapravo Korolaru 42.3, skupf() C je otvoren, pa ima smislagovoriti o holomorfnosti preslikavanjag.Prema Teoremu o lokalnoj invertibilnosti holomorfne funkcije, Teorem 42.4,oko svake tocke z skupa , postoji okolina i na njoj holomorfni inverz funkcije f.Ali,inverznafunkcijajejedinstvena,pasetakavlokalniinverz,natojokoliniNulto izdanje164 7. RAZVOJIKOMPLEKSNIHFUNKCIJAUREDOVEPOTENCIJApodudarasrestrikcijomfunkcijeg. Zboglokalnogkarakteraderivabilnosti,toznacidaifunkcijagimanatojokoliniderivaciju, pajeonaholomorfnauz,dakle,g H().Kao posljedicu Teorema o otvorenom preslikavanju, dobivamo iKorolar42.6(Teoremomaksimumumodula)Nekaje Cotvorenipovezan skup, a f : C holomorfna funkcija. Ako fnije konstantna funkcija,onda [f[ ne poprima u maksimum.Dakle, nekonstantna holomorfna funkcija fna podrucju je ili neomedena,ili je [f(z)[ < sup[f()[, za svakiz .Dokaz:Prema Teoremu o otvorenom preslikavanju, Korolar 42.3, skupf() jeotvoren, pa za svakiz , oko tockef(z) postoji krugK(f(z), ) f(), a unjemu ocito ima tocaka kojima je modul veci od [f(z)[.zff(z)|f(z)|I sljedeca se varijanta prethodnog korolara cesto naziva istim imenom, a zaobje verzije se koristi i nazivPrincipmaksimumamodula.Korolar42.7Neka jeK kompaktan skup, af : C holomorfna funk-cijakojanijekonstantnaniti najednoj okolini niti jednetockenutrinesku-paK. Tadamodul funkcijefKpoprimamaksimumsamounekojtockirubaK = K Int KskupaK.Malo pojednostavljeno receno, ako je funkcija fholomorfna u svim tockamakompaktnogskupaK, ondamodul [f[, koji kaoneprekidnafunkcijanakom-paktu mora imati maksimum, taj maksimum poprima jedino u tockama ruba.Korolar42.8(Schwarzova1lema)Neka jef :K(0, 1) K(0, 1) holomorf-na funkcija takva da jef(0) = 0. Tada je ili [f(z)[ < [z[ za svez K(0, 1), ilijefrotacija, tj. postoji R takav da jef(z) = z ei , za svez K(0, 1).1KarlHermanAmandusSchwarz(18431921),njemackimatematicarNulto izdanje 42. Lokalnasvojstvaholomorfnihfunkcija 165Drugacijereceno, holomorfnopreslikavanjejedinicnogkruganas amasebekoje ksira srediste kruga,je ili rotacija,dakle,izometrija,ili ima svojstvo dasvaku tocku, osim sredista koje drzi ksnim, priblizi sredistu kruga.Dokaz:Denirajmo pomocnu funkcijug :K(0, 1) C formulomg(z) :=___f(z)z, z ,= 0f

(0) , z = 0.Funkcija g je holomorfna na probusenom krugu K(0, 1) i neprekidna je u 0, paje, prema Korolaru 34.11, holomorfna na citavom kruguK(0, 1).Nekajez K(0, 1)proizvoljnatocka. Zasvaki rtakavdaje [z[