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Matemática
SÉRIES NUMÉRICAS
Professor Dudan
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Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma “regra” , uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos: 2,10,12,16,17,18,19, ? 2,4,6,8,10, ? 2,4,8,16,32, ?
Séries Numéricas
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Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. Alguns exemplos de progressões aritméticas: 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.
-2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2.
6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.
Progressão Aritmética
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Exemplo Na série (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ...) r = a2 – a1 = 9 – 5 = 4 ou r = a3 – a2 = 13 – 9 = 4 ou r = a4 – a3 = 17 – 13 = 4 e assim por diante.
DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer pelo seu antecessor.
Progressão Aritmética
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TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência. Atenção! a20 = a1 + 19r ou a20 = a7 + 13r ou a20 = a14 + 6r
Progressão Aritmética
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Exemplo Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.
Progressão Aritmética
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Exemplo Dada a progressão aritmética (8, 11, 14, 17, ...), determine: a) razão b) décimo termo c) a14
Progressão Aritmética
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Exemplo Calcule a razão da P.A. onde o terceiro termo vale 14 e o décimo primeiro termo vale 40.
Progressão Aritmética
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Exemplo A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12 vale: a) -5 b) -9 c) -6 d) -7 e) 0
Progressão Aritmética
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TERMO GERAL ou MÉDIO
Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,
Progressão Aritmética
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Exemplos: Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que:
DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central. Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.
Progressão Aritmética
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Exemplo Determine a razão da P.A. (x+2, 2x, 13).
Progressão Aritmética
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Exemplo As idades das três filhas de Carlos estão em progressão aritmética. Colocando em ordem crescente tem-se (1 + 3x, 4x + 2, 7x + 1). Calcule a idade da filha mais nova. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Progressão Aritmética
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SOMA DOS “n” TERMOS
Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos:
DICA: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos , multiplicada pelo número de casais (n/2).
Progressão Aritmética
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Exemplo Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos. 1)Cálculo da razão da PA 2)Determinando o 20º termo da PA
Progressão Aritmética
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3) Calculando a Soma dos termos
Progressão Aritmética
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Exemplo A soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. é 180. Se o primeiro termo vale 8, calcule o último termo dessa progressão.
Progressão Aritmética
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Exemplo Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi: a) 384 b) 192 c) 168 d) 92 e) 80
Progressão Aritmética
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Matemática
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Professor Dudan
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Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica.
Progressão Geométrica
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Alguns exemplos de progressões geométrica:s 1, 2, 4, 8, 16, ..., é uma progressão geométrica em que a razão é igual a 2. -1, -3, -9, -27, -81, ..., é uma P.G. em que q = 3. 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.G. com q = 1. (3, 9, 27, 81, 243, ...) → é uma P.G Crescente de razão q = 3
(90, 30, 10, 10/3, ...) → é uma P.G Decrescente de razão q= 1/3
Progressão Geométrica
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Exemplo Na série(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...) q = a2 / a1 = 2/1 = 2 ou q = a3 /a2 = 4/2 = 2 ou q = a4 /a3 = 8/4= 2 e assim por diante.
DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor.
Progressão Geométrica
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TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência. Atenção! a20 = a1q19 ou a20 = a7.q13 ou a20 = a14.q6 ou a20 = a18.q2
Progressão Geométrica
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Exemplo Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 6º termo dessa PG.
Progressão Geométrica
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Exemplo Dada a progressão geométrica (5, 10, 20, 40, ...), determine: a) razão b) oitavo termo c) a10
Progressão Geométrica
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Exemplo Calcule a razão da P.G. na qual o primeiro termo vale 2 é o quarto termo vale 54.
Progressão Geométrica
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TERMO GERAL ou MÉDIO
Numa progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é,
Progressão Geométrica
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Exemplo Na P.G (2,4,8,16,...) veremos que :
DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a média geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado do termo central.
Progressão Geométrica
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Exemplo Na P.G. cujos três primeiros termos são x-10, x e 3x, o valor positivo de x é a) 15. b) 10. c) 5. d) 20. e) 45.
Progressão Geométrica
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SOMA DOS FINITOS TERMOS
Caso deseja-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:
Progressão Geométrica
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Exemplo : Considerando a PG ( 1, 3, 9, 27, 81, ...), determine a soma dos seus 7 primeiros elementos .
Progressão Geométrica
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SOMA DOS INFINITOS TERMOS
Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos:
DICA: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1.
Progressão Geométrica
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Exemplo : Calcule a soma dos infinitos termos da progressão :
... ,
43 , , ,
2336
Progressão Geométrica
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Exemplo : A soma da série infinita é
...511 ++++
1251
251
Progressão Geométrica
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Exemplo Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 500 mil litros? a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em 1986. b) Seis. c) Quatro. d) Dois. e) Um.
Progressão Geométrica
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PROGRESSÕES
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COMO A FEPESE
COBRA ISSO?
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Um alpinista escala uma montanha vertical com 10 metros de altura. No primeiro dia ele sobe verticalmente 0,8 metros, no segundo dia, mais 1,6 metros, no terceiro, mais 2,4 metros e assim sucessivamente. Quantos dias serão necessários para o alpinista chegar ao topo?
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
MPE/SC - 2014
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Um navio petroleiro sofre uma avaria e derrama 100 litros de óleo no mar. A cada hora, a vazão aumenta em 8% em relação a vazão da hora anterior. Se fizermos uma tabela de vazão do óleo, hora a hora, obteremos uma progressão:
a) aritmética de razão 1,08. b) aritmética de razão 1,8. c) geométrica de razão 0,8. d) geométrica de razão 1,08. e) geométrica de razão 8.
FATMA - 2012
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Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura
Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T“completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: A.Exatamente 41 bolas de gude. B.menos de 220 bolas de gude. C.pelo menos 230 bolas de gude. D.mais de 300 bolas de gude. E.exatamente 300 bolas de gude.
TRT-SC - 2012
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Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é:
A. menor que 824 B. igual a 1024 C. igual a 1030 D. igual a 1320 E. maior que 1502
TRT-SC - 2012
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Uma universidade é fundada em certa cidade e, para seu funcionamento, no primeiro ano são contratados 6 técnicos. No segundo ano são contratados mais 36 técnicos e no terceiro ano mais 216 técnicos.
Caso esta progressão seja mantida, podemos afirmar corretamente que no quarto ano serão contratados mais:
a) 648 técnicos. b) 1246 técnicos. c) 1296 técnicos. d) 1686 técnicos. e) 1896 técnicos.
UFFS - 2012
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PREF TIJUCAS /SC - 2013
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GABARITOS Questões FEPESE : B-D-C-C-C-D