matemática · observe como exemplo a determinação da matriz. a= 2 3 1 1 0 4 ... sendo a uma...
TRANSCRIPT
www.acasadoconcurseiro.com.br
Matemática
Operações e Propriedades com Matrizes
Professor Dudan
www.acasadoconcurseiro.com.br
Matemática
3
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM MATRIZES
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais.
Exemplo:
Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.
A = 3 1+ x2− y 5
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
B= 2 4
1 5
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Solução:
1+ x = 42− y =1
→ x = 3y =1
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎧⎨⎪
⎩⎪
Adição e subtração de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A + B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. O mesmo ocorre para a subtração.
Exemplo:
Dadas as matrizes A e B determine A + B.
A = −10 12 3
4 62 8
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
B= 1 8
0 64 −16 −3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
A+B= −10+1 1+82+0 3+6
4+ 4 6−12+3 8−3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
A+B= −9 92 9
8 55 5
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
www.acasadoconcurseiro.com.br4
Exemplo:
1. Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A = −3 56 4
28
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ e B= −8 −9
45 612−3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ .
2. Dadas as matrizes A =1 2 3−4 5 64 6 8
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
, B=−7 −8 912 6 58 7 4
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
e C =2 3 −46 7 12 8 7
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
, determine a
matriz D resultante da operação A + B – C.
MULTIPLICAÇÃO COM MATRIZES
Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A e um número real k, denomina-se multiplicação de matriz por escalar (numero real K), a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.
Observe como exemplo a determinação da matriz.
A =231
104
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⇒3.A = 3231
104
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
3.23.33.1
3.13.03.4
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
693
3012
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo m x n e B uma matriz do tipo n x p, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo m x p, tal que cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos.
Matemática – Operações e Propriedades com Matrizes – Prof. Dudan
www.acasadoconcurseiro.com.br 5
ATENÇÃO: O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
Exemplo:
3. Calcule o produto de A = 1 23 1
32
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ por B=
−120
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
.
4. Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
www.acasadoconcurseiro.com.br6
5. Sobre as sentenças abaixo:
I. O produto das matrizes A 3x2 .B 2x1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto das matrizes A 5x4 .B 5x2 é uma matriz 4 x 2
III. O produto das matrizes A 2x3 .B 3x2 é uma matriz quadrada 2 x 2.
É verdade que:
a) Somente I é falsa;b) Somente II é falsa;c) Somente III é falsa;d) Somente I e III são falsas;e) São todas falsas.
6. O valor de a para que a igualdade matricial abaixo seja verdadeira é:
2 11 1
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1 −1−1 a
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
1 00 1
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
a) 1 b) 2 c) 0 d) – 2 e) – 1
7. Calcule a matriz transposta da matriz C dado que C = 2 53 −7
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥+
−1 −72 12
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ .
Matemática – Operações e Propriedades com Matrizes – Prof. Dudan
www.acasadoconcurseiro.com.br 7
8. Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i2 – j2 e bij = – i2 + j2, o valor de A – B é:
a) 0 00 0
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
b) 0 −66 0
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
c) 0 −60 0
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
d) 0 6−6 0
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
e) 6 00 0
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Gabarito: 1. C =−11 −4 14
51 10 5
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ 2. D =
−8 −9 162 4 1010 5 5
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ 3. =
3
−1
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ 4. C 5. B 6. B 7. C
t 1 5−2 5
⎡⎣
⎤⎦ 8. B