OANA-DANA CIORANEANU . ROZICA STEFANvArERtA BUDUTANU . rvrAoAlrrun cAlARA$u

GABRIELA TOADER

MATEMATICAEXERCtTil $t PROBLEME

pentru clasa a Vlll_a

Consultant:P rof. u n iv. d r. m ot. em. OCTAV tA N SfA U AS t U

NICULESCU

CUPRINS

Atgebri

Capitolul L Numere reale ..

I.2. Reprezentarea pe axr a numerelor reale. comp;;.;gi'oiaon*.u

I.3. Modulul unui numtrr real...I.4. Intervale de numere reale .

Teste de verificare

Cop!!:lutJl Reguti de cateut tn ts ,

II.1. Operafii cu numere reale .

II.2. Rafionalizarcanumitorului de forma ali saua t Ji , a,b elN* ......

1010

L4

202329

3535

42

48

5353545556586264

Teste de verificare

CaOitolul IV. Rapoarte de numere ,reale reprezentate prin litere.. .. . . . . .. 6grv.1. Rapoarte de numere reare repreientate prin litere. Amftficarea qi

simplificarea rapoartelor......... .... 6gIV.]. Operafii cu rapoarte ........ 70ry.2.1. Adunarea qi sc6derea.. ...... 70N ?.2. inmullirea, impdrfirea, ridicarea la putere .......... 72Testedeverificare .......75Carlt9l.ul V. Funclii .... 7 BV.1. No{iuneade funcfie. Functii definitepe mul{imi finite.. .......... 7gV.2. Funcfia liniari ........ .......... 83Teste de verificare ..............:.:. ........ gg

Capitolul VI. Ecualii de gradul I9498

Teste de verificare

Capitolul VII. Sisteme de ecualii'

Capitolul VIil. Probleme care se rezolvii cu ajutorul ecualiilor

Si al sistemilor de ecualii

Capitolul IX. Inecualii de gradul I cu o necunoscutd

Teste de verificare

CapitolulX. Ecualii deforma ax2 +bx+c=0'a'b'celR'a#0 "' ll4

Geometrie

Capitolul L Puncte, clrepte, plane, corpuri geometrice

I.1. Puncte, drePte, Plane.

r0l

105

108

110

r20r20r23124

Capitolul II. Relalii intre drepte Si plane-'

II.1. Pozilii relative ale unei drepte fa[d de un plan

II.2. Dreapta perpendicul atdpe un plan; distanla de ia un punct

la un Plan; inillimea Piramidei'II.3. Pozilii reiative a doua plane' Plane paralele' Distanla dintre

dou[ plane paralele' in61limea prismei

II.4.Secliuniparaleleclbazaincorpuristudiate'Trunchiuldepiramida'..

t26

130

t32135

140140

142

r45150153

156156Capitolul ItrI. Proieclii ortogonale pe wn plan

III.1. Proieclii ortogoniie de puncte' segmente.gi drepte. p:-11"''

IIL2. Unghiul dintre o dreapti 9i un planl lungimea protecpel

unui segment..'""III.3. Teorema celor trei perpendiculare' Caiculul distanlelor

Ut.+. Ungtri diedru. Ungiriui a doui plane' Plane perpendiculare'

[I.5. Calculul unor distan,te qi masuri de unghiuri pe fefele

Teste de verificare'

sau in interiorul corpurilor studiate

Test de verificare.

IV. 1. Paralelipipedul dreptunghic

r59162t66

170t72

174174t7'7

IV.2. Cubul

IV.3. Prisma regulatIfV.3. 1. Prisma triunghiulard regulatiN .3.2. Prisma patrulateri regulatdry.3.3. Prisma hexagonali regulatd

... 181

Teste de verificare

Capitolul V. Piramida qi trunchiul de piramidd.De scriere, desfdsurare, arii, volumV. 1. Piramida triunghiulari regulatiV.2. Tetraedrul regulat

191

193196198

V.3. Piramida patnilaterd, regulat[ . ..V.4. Piramida hexagonald regulatEV.5. Trunchiul de piramid[Teste de verificare. .. 202

capitolul vI. corpuri rotunde. Descriere, desfdsurare, secyiuni, arii, vorum....VI.1. Cilindrul circular drept..VI.2. Conul circular drept.VI.3. Trunchiul de con circular drept.

205205206208210

VI.4. Sfera.

Modele detezil

Modele de tezd pentru semestrul L 21222t

227

Modele de tezd pentru semestrul al ll-lea

Rlspunsuri

AlgebrdGeometrie

179180

188

188

Recapitulare clasele 5, 6, 7

Modele de tezd2833t2

Recapitulare clasele 5,6, Z

Capitolul I

NUMERE REALE

m Mullimi de numere

De relinut!

Notatii:

BI = {0, l, 2, . . . , fi, .' .} este mulfimea numerelor naturale'

IN* = IN \{0} = {L, 2, . .. , fl, .. .} este mullimea numerelor,naturale nenule'

7Z* = 7l\{0} este mullimea numerelor intregi nenule'

T,* = {t, 2, . .. , n, . . .} este mullimea numerelor intregi pozitive'

7,- =1.. ., -ft,.. ', - 2, -tj este mullimea numerelor intregi negative'

7l =71- u {0} u Z*.

(- Io = ] I I a e 71, b e 71, b + Oleste mullimea numerelor rafionale'

fa' )

(O* = (E \{0} este mulfimea numerelor ralionale nenule'

O+ = este mulfimea numerelor ralionale pozitive'

(E- = este mullimea numerelor rafionale negative'

IR = este mullimea numerelor reale'

IR = IR \ {0i este mullimea numerelor reale nenule'

R+ = este mullimea numerelor reale pozitive'

IR- = este mullimea numerelor reale negative'

Observafii:

1. Un num6r ralional este reprezentat in mod unic printr-o fraclie ordinar[ ireduc-

tibil[ sau prin toate fracliile ordinare echivalente cu aceasta' Un numlr ralional

se poate ,"pr.r"nru in mod unic printr-o fraclie zecimald finita sau periodicd'

Numere reale

2. Numerele reale care se scriu ca fraclii zecimale, infinite, neperiodicenumereiralionale. Relinemincluziunile INcZ c (D c IR.

Exerci!ii

l.Precizali dac[ urmdtoarele propozitii sunt adevrrate sau false:

2. Fie mulfimeaA formatl din numere reale:(- ?

a = ]J5; 7: -3.(z)r o ,04: -J9: ]: JiT; _ r I ;t6Care sunt numerele intregi din mul{ime? Dar celemullimilor: AnlN; An(E_ 9i AnlR*.

(3. Fie mutlimea A={-0, 6,5,t31;0:3};

c) 2,02e IN;

D .6e IR\@;

i) re IR;

D(z+J7)e n ro.

9' - r,2(73\\.'\ 'l

irafionale? Enumerafi elementele

a) le IN;

d) -3,7 e7,;

g) -5e O;

j) 13e @\Z;

b)JGe IR;

e) 3,1(6)e (0*;

h't-!9e zz:'2k) 3^,6e <E;

b) AnA,;

e) An(O\Z);

-J1: a5; -a,ztZ,o,1@j. Determinafi mul-

fimile:a) ,4 nlN;

d) An(E*;

c) An(Z\lN);

0 An(lR\c).

4. Folosind amplificarea qi simplificarea, scrieti cinci fraclii echivalente cu fractia P'20

It 63 2 5 85 30 4 ,2 .4I. o.r"r*inalimullimite:S'Fie M =\r' *' 4' r6'Tt' r1'5' 1' lg' 35J'

A- {xe Mlx =ll; B - {xe Ml x <l};

C - {xe Ml *, 1}; D = {x e Ml -r frac{ie ireductibild}'

6. Scrieli trei valori ale numlrului natural n, pentru care fraclia 19 sa fie:

a) supraunitari;d) zecimal[ finit6;

b) reductibilE;e) periodici simPll;

c) ireductibilI;f) periodicl mixt6.

7. Transformali urmitoarele frac{ii ordinare in fracf;i zecimale:

826568112745'3'G'n'25'15'11'

8. Transformali urmatoarele fracfli zecimale in fracfii ordinare ireductibile:

3,15 1,(27) ; 0,3(5); 4,002; 0,28(3)'

9. Determinali valorile num[rului x, xe IN,pentru care avem:

a) Ee IN;x

dt 15 ez:x-l

b) 12 e [.I;'2x+l

"y a{. w;

c; { e IN;-

fl 3'+5.N.' 4x+2

10. Determinali elementele multimilor:

,q ={ *. zl - | o^= N}' , ={ *. v17!:}. z\,"-1.^--r r+3--'J' - L '2x-3 )

6 ={*.7zlro<*'<sz); p =l*.hll 28 <7xz <864'

11. Care este cel mai mic num6r natural nenul ru pentru care fracliile

simultan numere naturale?

12. Fienumerele rafionale: 0,(237 148); 14,3(57); 0,0039 1'

a) Care este a 8-a zecimald a fieclrui num6r?

Ui peterminafi a 50-a zecimal1a fiec[ruia dintre numerele de mai sus'

(-l-13. Fie mulfimea 4=] *.{El x=jl,unde 54, 7b sunt numere prime l. Atla{t:

I^--l ^ 7b''"-- )

a) valoarea cifrelor a qi b;

b) cardinalul mulfimii M.

nnn-- -. - sunt4'6 15

Numere reale

14. Stabilili care este a 2013-a cifr[ de dupr virgul[ in scriere a zecimald a numerelor16 47 63

T'A' 18'

15. Determinali cifra r, pentru care sunt adevdrate relatiile:

"r,ff.^, ur,ff.o;

16.Fie 7'4={aelNla<125}. care este probabilitatea ca alegAnd la

") \F=*tt'int0mplare un ele-

ment d din mullimeaM sdavem Jae (E?

17. stabilili daci urmitoarele propozifii sunt adevdrate sau false:a) nelR; b) neZZ; c) nelR\{o; d) ne (8,

unden= .

18. Aflafi cel mai mare gi cel mai mic numdr intreg a, perftnt "*"

o' - ,9r3 .7,.

a+319. Determina\i cea mai micd valoare pe care o poate lua numirul natural fl, fl) 73, astfel

inc6tfractiil" r-68 n-69 n-70 n-71 n-72 ^:f,^ :_-rrrvsl rrqvL,'. 55 , 56 , 5j , 5g , 59 sd fie simultan reductibile.

20. a) Cdteperechi de numere intregi verificd rela[ia *2 + y2 =47

b) Arntali cd existd x, ye (E\Z care verificd rela{ia *2 + y2 - 4.

c) Gdsifl o pereche de numere x, ye IR\o care verificd relalia *2 + yz =4.

21. Ardtati cd x3 -l3x se divide cu 6, oricare ar fr x eZZ.

22. Determinali numerele intregi x ;i y, yl 0, pentru care ! = *+ y.v

23. Afla[inumerele intregi x, pentru .u.. lF -7r. N.

24. Stabilili care dintre urmdtoarele numere sunt ralionale qi care ira,tionale:

a) J.2.3..-.15. q leJ q '[5" +6" +r'; (v)e nr.

25. a) Ardtati cd n2 <n2 +2n<(n+l)2 ,oricarear fi ne IN.

b) Ardtali "at[r?

*Zn*(D, oricare ar fi ne IN*.

@ Reprezentarea pe axd a numerelor reale.

- Compararea gi ordonarea numerelor reale

De relinut!) Axa numerelor reale este o dreaptb pe care fixdm un punct O, numit origine,un

sens pozitiv (marcat printr-o sdgeatl in partea dreapti) 9i o unitate de misur[convenabil aleasS.

Oric6rui punct A de pe axd ii corespunde un unic num[r real a, numit abscisa

punctuluiA qi scriem A(a). Reciproc: oricirui numdr real b ii corespunde un unic

punct B(b) pe axa numerelor, n:umit imaginea n:umdntlti real b.

Originii, notat[ O, ii corespunde numlrul real 0. La dreapta originii O teprezentdm

numerele reale pozitive, iar la stanga lui O pe cele negative.

Dacd A(a) $ B(b) sunt doui puncte pe axa numerelor, atunci AB = la - bl este

lungimea segmentului [AB].

) Compararea qi ordonarea numerelor reale \

Numirul real a este mai mic decdt numirul real b, daci existd un numdr real

pozitivc, astfel incdta*c =b.Notim a<b,a<b a a<bsaua=b.Oricare doui numere reale pot fi comparate: dacl a, b elR, atunci a < 6 sa:u a = b

sat a> b.

Proprietdti ale relatieide ordine u3"il) a<a,YaeR.2) a3b gib<c > a<c,Ya, b, ceR'.

3) alb qi b3a * a- b, Y a, beIF..

4)Dacd a1b, avem a+c1b*c,V ce IR 9i reciproc.

5)Dac[ alb,avem a'cSb'c,Y celR* qireciproc.

6) DacI alb,avem a'c)b'c,Y celR- gireciproc.

7'1Dacd a < b Si c 1 d, avem a + c < b + d.

8)Dac[ 03a<b gi 0<c<r/, avem0(a'c<b'd.

) Partea tntreagd a numlrului real x, notata [x], este cel mai mare num6r intreg mai

mic sau egal cu x.

Nurndrul {x} = x - [x] este partea fracfionar6 a numdrului real x'

Proprietiti ale p5(ii intregi:1) [x]<x<["r]+1, (V) xe IR.

2) lx+nl=lxl+n, (V) xe IR, (V) xe Z.

3) [r]= xexeTl''

+) [r]+[v]<[-r+r']<["r]+[v]+t, (v) x, ve IR'

REspunsuri 237

EI-y,J,

5 .4. 2)10 | t9)

s. a)anw={o; +s; J};

b) Anzt={-u' o, +s; J};o An(z\N)={-6};ot ano.={

45; -6,2;l,o,r<r>lt e) An(o\z)={t,rrl, z}; -a,z;o,rtrl}' fl an(n\o)={rfi,

r.1,9, 4,{, o. s. A=l!}, B={!,?,5 ,2,4}, c={€, tr, 1}, o=ll, 63,

s l0' 40 60' tm |.8] [3 4 16 19 35J 147 25 t ) 13 47

6. a) 3, 5, 8; b) 2, 10, 26; c)7, 25, 35; d) 5,10, 20; e) 7, ll, Z7 ; t) 28, 35, 108.

ALGEBRA

Capitolul I

NUMERE REALE

1.1. Multimide numere

l. a) A; b) A; c) F; d) F; e) A; f) F; g) F; h) A; i) A; j) F; k) A; l) A. 2. Numerele intregi din mullimea A sunt:

7; -Jg=-l; -rr; f =1. Numerele iralionale din mul,timea A sunt:G 9i Jl8. o.*={r. fi.An@-={-3,(2); -'-6; -rr; -r.z(z:)}. AnR={fr,r,0,*' l' ilt,f}

-o; s,(:); :];

7.1,6; 0,(6); 0,4;7; 3,24; s,+(6); 0,(:o).

o 63 . 14 . t6 .2001. t7o.-. -.20 tt 45 500 60

9. a)xe11,2,3,6,9, l8]; b) Zx+leDrr 2x+limpar,2x+Ie{1,3}, decixe{o,t};c) JinAnd cont cE

4 Si , trebuie si fie simultan nuniere naturale, rentltd cd singura solufie este x = 0; d) x - 7 este un divizor-9'

intreg al lui 15, adicE (x-7)e{tt,t:,t5,tl5J.Rezolv6nd ecualiile ob{inem: xe{-8, 2,4,6,8,10,

12,22|; e)x-21xfi, dx x-2lx-2, decix-21(x+3)-(*-z), adiclt x-215, x-2e{1,5} ceeace duce

la xe{3, 7); f) 4x+213x+5= 4x+214(3x+5)>4x+2ll2x+20. Pe de alti parte, 4x+214x+2>

= 4x+213(4x+2)+ 4x+2ll2x+6. Avem 4x+zl(tzx+20)-(12x+6), adica 4x+2114+ 4x+2e

e{t,2,7, 14}. Rezolvand ecualiile oblinem soluliile naturale xe {0,:}. 10. A=i-13, -8, -5, - };

3={-11, -r,L,2,4,taJ;C={t4, t5, t6, !7};p=12,3,4,...,r0,lq. 11. n=14,6,15]= 69.

12, a) A 8-a zecimali a primului numer este 3, a celui de-al doilea 5, iar a ultimului numtrr este 0; b) Pentru a

determina a 50-a zecimala a numlrului 0,(237148) 1mp64im 50 la 6 qi oblinem cAtul 8 9i restul 2, deci cifra

c6utat6 este cea de pe pozilia a doua din perioadtr, adieE 3, A 50-a zecimalE a numdnrlui 14,3(57) este 5,

iar a num6nlui 0,00391 este evidcnt 0, 13. ilnum6r prim = ae {3, 9Jl 7numar prim + be ll, 3, 9l;b) cardM = 2.3= 6.

14. += 2,(285114)2013:6dEedtul3359irestul3,deeia20l3-azecimalEesteaueiaeifrddincele6ale7',A1

perioadei, adic6 5; --=

0,7(12);2013-l=2012;2012:2=1006, deci a 2013-a zecimala este 2;oo

* =1 = 3,5, iar a2Ol3-acifr6 de dupi virgulE este 0.182"

AlgebrE

rs. "l 'ff.,

= ? =* - 9x=2.k'=ex=e8= 2.72 * x=8: b) 3x3=3'k'=3'll'z=363=x=6'

l:.

"l 1TIelR\@+ Jr+*. nro=xe {0, t, 2, 3, 4, s, 6, 7, 8, g}.

J

16. Cazui posibile: 126. Avem Ji=ke@>a=k2 <I25=ae{O',1',2', ..., 1l'?},adic6 12 cazuri

favorabile. Probabilitatea ".1.

J1 . adrca Z.

lnB(.xD=Jzor* =2013.

a) A; b) A; c) F; d) A.

,r. a' -2013 - a' -g -2004 -(a+z)(a-3) -2004 - o-3-2004 .7, a a+31 2004. Cel mai mic num6ra+3 a+3 a+3 a+3 a+3lntreg a pentru care a+312004 se ob{ine in cazul a+3=-2004=a=-2007, iar cel mai mare pentru

a+3=2OM= a=2001.- - n-68 n-13-55 n-13 n-69 n-13-56 n-70 n-13-57 n-71 n-13-58 n-72 n-13-59

"'tt= t, =55-'' 56= 56 'r7= 57 58= 58 '59= 59

Fracfiile sunt simultan reductibile dacd, n - 13 are minim un divizor comun diferit de 1 cu fiecare din

numerele 55,56,57,58 gi59 = ceamaimicdvaloarepecareopoatelua neste n=2'3'5'59=1770.

20. a) (0, z); (0, -2): (-2.0);br 4='::=uolr'u =Y.+=l:j'.f91 >exisra .=l.r=9.2s 25 2s 2s \si \s/ 5' 5

e @ \ Z, astfel incdt x' + y' =4; c) x = J7 e m \ @. y = J7e IR \@ verificd relalia x' + y' = 4.

21. x3 -l3x=x3 -x-72x=-r(x'-r) -l2x=;(x-1)(x+1)-l2x.Produsul a oricare trei numere consecu-

tive este divizibil cu 2 qi 3, deci 6 I (x - 1). x. (x + 1) 9i cum 6ll2x = 6l x3 -13x.

22. x, y e 7Z = x + y - ! e Z > x = k. y, k e TZ.Avem ft . I + ), = k = y = !-e 7Z > k + ll k, dar k + I I k + l,y ' k+l

ceeaceducelak+lll.CumfteZl,dink+111=>k+l=1sauk+1=-1, adicik=0sauft=-2.Pentru[=0=> x=0, care conducelay = 6, fals, c6ciy * 0. Pentru k =-2, oblinem x= -2y qi ecua{ia -2=-2y + y )+y=29ix=-4.23. Din tff -lr.lNavem12 -7x=k2,undeftelN.Deoarecex'-7x=x(x-i) =k'obtinem cir: dlx qi

dlx-7, oricare ar fr d,divizor al lui &,ceea ce conduce lax=l,care este solulie a problemei, deoarece

fi'1n=J0=0elN,sau ci x=a'ri x-7=b2,undea,belN,ceea ce conduce ia a'-b'=7,adicd,(a-b)(a+b)=7 qi cum a,De IN avem a-b=l qi a+b =T.Obtinem a=4, b =3 = x=16,care

este solu(ie a problemei, deoarece ,116'1.16 = fi6.9 = t2e IN. Deoarece xeTZ avem qi cazul x=-a'qi x-7 =-b2 care duce la x=-9. 24. a) Se observd ci produsul de sub radical se divide cu 11, dar nu se

divide cu 112, deci nu este p6trat perfect, adic[ este numdr ira]ional; b), c) Se verific[ faptul c[ ultima cifrda numerelor de sub radical este 3, respectiv 2, ceea ce inseamnd ci numerele date sunt iralionale.

25. a) Prima parte a inegalitltlil n.3n2 +2n este echivalentd cu 0 <2n ceea ce este adev6rat, (V) z€ IN.

A doua parte a inegalit6{ii, n2 +2n<n2 +2n+leste echivalentS cu 0 < L b) Dacd ne IN, n*0, prima

parte a inegalitilii de la punctul a) devine stricti, adicint <n'+2n<(n+1)2 ) n2 +2n este cuprinsd intre

doudpdtrate per[ecte consecutive = lt +2r nu poate fi pdtrat perfect= G *n e A.

2012.2013

2