probleme de clasa pentru clasa a xi a - spiruharet-tulcea.ro · probleme de clasa pentru clasa a xi...
TRANSCRIPT
PROBLEME DE CLASA PENTRU CLASA a XI a
Prof.dr. Guţescu Petre
1) Să se stabilească dacă funcţia
1
9 1
2
2
1 sin3 1 , 1
: , ,ln 1 sin 1, 1
ln 1 sin 2 1
xx x
f f x xx
x
R R este derivabilă în 0 1.x
Soluţie. 0 01 , 1x x R este punct de acumulare pentru R (adică orice interval deschis şi mărginit care îl conţine
pe 1 are puncte comune cu R, diferite de 1). Vom studia continuitatea funcţiei f în 0 1.x
1
1
9 1
1 1
sin 3 1sin 3 11 11 lim9 1
3 3 1 3sin 3 1
1
lim lim 1 sin3 1
lim 1 sin3 1 .x
x
x x
xx
xx
x
x
f x x
x e e
2
21 1
22
2
221
2
ln 1 sin 1lim lim
ln 1 sin 2 1
ln 1 sin 1 sin 1
1sin 1 1 1 1 1 1lim .
4 1 1 4 4ln 1 sin 2 1 sin 2 1
sin 2 1 2 1
x x
x
xf x
x
x x
xx
x x
x x
Cum limitele laterale în 0 1x sunt diferite, deducem că f nu este continuă în 0 1x şi, prin urmare, f nu este
derivabilă în 0 1x .
2)Dacă : ,f a b R are derivată în punctul 0 ,x a b , atunci să se calculeze 0 0
1lim .n
n f x f xn
Soluţie.Cum f are derivată în 0x , atunci există
0
0 '
0
0
lim .x x
f x f xf x
x x
Şirul
0
1,ny x n
n
N are limita
0x şi folosind „Criteriul cu şiruri” de la Limite de funcţii deducem că
0 00 '
0
00 0
' '
0 0 0 0
1
lim lim1
1lim .
n
n nn
n
f x f xf y f x n
f xy x
x xn
f x n f x f x f xn
3)Presupunem că : , 0 0f a a ,a >0, f R şi că f este derivabilă în 0.x Să se arate că
0
'
1lim ...
2 3
1 1 11 ... 0 , .
2 3
x
x x xf x f f f
x k
f kk
N
Soluţie.Cum f este derivabilă în 0x , atunci există şi este finită
'
0
0lim 0
0x
f x ff
x
'
0lim 0 .x
f xf
x R Cum
___
0, 1, ,x
i ki când 0,x deducem:
___ ___
' '
0 0
1lim 0 , 1, lim 0 , 1, .x x
x xf f
i if i k f i k
x x i
i
Scriind ultima relaţie pentru fiecare valoare a lui i şi
adunând membru cu membru se obţine relaţia cerută.
4) Să se studieze derivabilitatea funcţiei sin ,
: , ,,
x xf f x
x x
QR R
R Qîn 0.x
Soluţie. Vom studia existenţa limitei raportului 0
0
f x f f x
x x
în 0x folosind „Criteriul cu şiruri”.
Fie 1
0 , 0.n nnx x
Q Atunci:
0
sin sinlim lim lim 1.
n n
n n xn n
f x x x
x x x (1)
Fie 1
, 0.n nnx x
R Q Atunci:
lim lim 1.
n n
n nn n
f x x
x x (2)
Din (1) şi (2), folosind „Criteriul cu şiruri”, deducem că există
0
0lim 1 .
0x
f x f
x
R Deci f este derivabilă în
0x şi ' 0 1.f
5) Fie , 0a b astfel încât 2, .x xa b x R Să se arate că 1.ab
Soluţie. Fie funcţia : , 0 2.x xf f x a b f R R Relaţia din enunţ devine:
00 , 0f x f x x R R punct de minim relativ. Conform teoremei Fermat rezultă ' 0 0.f Dar
' ln ln .x xf x a a b b Deci ln ln 0 ln 0 1.a b ab ab
6) Să se arate că există 0a cu proprietatea: 1, .xa x x R
Soluţie. Inegalitatea este echivalentă cu 1 0, .xa x x R Fie : , 1.xf f x a x R R Inegalitatea este
echivalentă cu 00 , 0f x f x x R R punct de minim relativ. Conform teoremei Fermat rezultă
' 0 0.f Dar ' ln 1.xf x a a Deci ln 1 .a a e
7) Să se arate că funcţia 2: 2,3 , 5 7f R f x x x îndeplineşte condiţiile teoremei Rolle şi să se aplice
această teoremă.
Soluţie. Cum f este funcţie polinomială ea este continuă şi derivabilă pe R şi deci este continuă pe 2,3 şi
derivabilă pe 2,3 .Avem 2 3 1.f f Deci f îndeplineşte condiţiile teoremei Rolle. Prin urmare există
2,3c astfel încât ' 0f c şi cum ' 2 5f x x obţinem ecuaţia 2 5 0c , de unde 5
2,3 .2
c
8) Să se arate că ecuaţia 20 1921 40 2 2 0x x x are cel puţin o soluţie în intervalul 0,2 .
Soluţie. Considerăm funcţia 21 20 2 20: 0,2 , 2 2 2 2f R f x x x x x x x x x .Cum f este
restricţie de funcţie polinomială deducem că f este continuă pe 0,2 şi derivabilă pe 0,2 . Avem
0 2 0.f f Deci f îndeplineşte condiţiile teoremei Rolle. Atunci, există 0,2c astfel încât ' 0,f c
adică există 0,2c astfel încât 20 1921 40 2 2 0c c c , de unde cerinţa problemei.
9) Se consideră funcţia
2
2
, 1,0: 1,1 , , , , .
4 4, 0,1
x ax b xf f x a b c
cx x x
R R Să se determine a,b,c astfel
încât f să satisfacă condiţiile teoremei Rolle şi să se aplice teorema..
Soluţie. Este necesar ca f să fie continuă pe 1,1 . f este continuă pe 1,1 \ 0 ,fiind definită cu ajutorul unor
restricţii de funcţii elementare (polinomiale) . Impunem continuitatea în 0:x
0 0
lim lim 0 4.x x
f x f x f b
Deci pentru 4b funcţia este continuă pe 1,1 .
Este necesar ca f să fie derivabilă pe 1,1 . f este derivabilă pe 1,1 \ 0 ,fiind definită cu ajutorul unor
restricţii de funcţii polinomiale. Impunem derivabilitatea în
' '
0 0
2 2
0 0
0 00 0 0 lim lim
0 0
4lim lim 4.
s dx x
x x
f x f f x fx f f
x x
x ax cx xa
x x
Deci pentru 4a funcţia este derivabilă pe 1,1 .
Este necesar ca 1 1 7.f f c
Prin urmare funcţia îndeplineşte condiţiile teoremei Rolle pentru 4, 7.a b c Atunci există cel puţin un punct
1,1c astfel ca ' 0.f c
Funcţia este:
2
'
2
4 4, 1,0: ,
7 4 4, 0,1
2 4, 1,0.
14 4, 0,1
x x xf f x f x
x x x
x x
x x
R R
Se egalează fiecare formă a lui 'f cu zero şi rezultă: din 2 4 0, 2 1,0 ,x x iar din
2
14 4 0, 0,1 .7
x x Deci punctul 2
.7
c
10) Fie : , , 0f a b a R o funcţie continuă pe , ,a b derivabilă pe ,a b şi
.f a f b
a b Să se arate că există
,c a b astfel încât ' .cf c f c
Soluţie.Se caută o funcţie ajutătoare g căreia să i se poată aplica teorema Rolle pe , .a b Pentru a intui această
funcţie, se prelucrează relaţia cerută urmărind a fi aranjată ca o concluzie a teoremei Rolle. Astfel:
'
' ' '
20 0 0.
cf c f ccf c f c cf c f c g c
c
Deci intuim că
'' ' '
'
2 2
xf x f x f x x x f x f xg x
x x x
şi că
.
f xg x
x Începem rezolvarea propriu zisă.
Fie funcţia
: , , .f x
g a b g xx
R Cum f este continuă pe ,a b g continuă pe , .a b Cum f este
derivabilă pe ,a b g derivabilă pe , .a b
.f a f b
g a g ba b
Deci g îndeplineşte condiţiile teoremei
Rolle. Atunci există ,c a b astfel încât ' 0.g c Cum
' ' ' '
'
2 2, , ,
f x f x x x f x xf x f xg x x a b
x x x
obţinem: ' 0g c
'
' '
20 0 .
cf c f ccf c f c cf c f c
c
Deci există ,c a b astfel încât
' .cf c f c
11) Să se determine numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei 3 26 9 12 0.x x x
Soluţie. Vom folosi şirul lui Rolle. Parcurgem etapele:
a) Fie funcţia 3 2: , 6 9 12,f f x x x x R R funcţie derivabilă pe R.
b) Ecuaţia
' 2 20 3 12 9 0 4 3 0 3, 1 .f x x x x x x
c) lim , 3 12, 1 8, lim .x x
f x f f f x
d) Şirul lui Rolle este şirul semnelor valorilor de la etapa anterioară: - , +, +, +.
e) Alcătuim următorul tabel:
x -3 -1
'f x 0 0
f x 12 8
- + + +
Avem o singură schimbare de semn, ceea ce înseamnă că ecuaţia are o singură rădăcină reală: 1 , 3 .x
12) Să se discute după valorile parametrului real m numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei 4 3 23 8 6 24 0.x x x x m
Soluţie. Utilizăm şirul lui Rolle. Considerăm funcţia
4 3 2: , 3 8 6 24 .f f x x x x x m R R
'
1 2 30 1, 1, 2.f x x x x lim lim .x x
f x f x
Şirul lui Rolle este:
x - 1 1 2
f x 19m 13m 8m
Pentrurealizareadiscuţieiîntocmimurmătorultabel de semne:
m - 13 - 8 19
m – 19 ---------------------------------------------------0+++++++++++
m + 13 --------------------0++++++++++++++++++++++++++++++
m + 8 ------------------------------------0++++++++++++++++++++
Tabelul de discuţieesteurmătorul:
x -
1
1 2 Discuţie
f(x)
m
m - 19 m + 13 m + 8
, 13m + - - - + 1 2, 1 , 2,x x
13m + - 0 - + 1 2 3 41, , 1 , 2,x x x x
13, 8m + - + - + 1 2 3 4, 1 , 1,1 , 1,2 , 2,x x x x
8m + - + 0 + 1 2 3 4, 1 , 1,1 , 2x x x x
8,19m + - + + + 1 2, 1 , 1,1x x
19m + 0 + + + 1 2 1x x
19,m + + + + + ecuaţia nu are rădăcini reale
13) Să se aplice teorema Lagrange funcţiei 2: 0,1 , , 0.f R f x x ax a
Soluţie. Funcţia f este continuă pe 0,1 ,ea fiind compunere de funcţii continue pe 0,1 şi este derivabilă pe
0,1 , ea fiind compunere de funcţii derivabile pe 0,1 . Deci este funcţie Rolle. Prin urmare, conform teoremei
Lagrange, există 0,1c astfel încât
'1 0
1 0
f ff c
. '
2
2, 0,1 ,
2
x af x x
x ax
şi ultima egalitate
devine
2
2
2 2
21 4 1
2
2 4 4 0.
c aa a c ac
c ac
c a a c ac a
(1)
Dacă 0a , atunci orice punct 0,1c verifică egalitatea (1).
Pentru 0a , din egalitatea (1), obţinem 2
.2
a a ac
Cum 0,1c , singura soluţie rămâne
2
.2
a a ac
14) Să se determine abscisa c a unui punct în care tangenta la graficul funcţiei : ,f R R
2, 0
2 ,
1, 0
xx
f x
x x
să fie paralelă la coarda
care uneşte punctele de abscisă 1 4x şi 2 3.x
Soluţie. Ţinând seama de interpretarea geometrică a teoremei Lagrange, problema revine la a studia dacă această
teoremă este aplicabilă restricţiei funcţiei la intervalul 4,3 ,
2, 4,0
2 .
1, 0,3
xx
f x
x x
Se constată uşor că f este continuă pe 4,3 şi derivabilă pe Lagrange
4,3 4,3c ,
' '
3 4 34,3 , .
3 4 7
f ff c c f c
(1)
Pentru ' 14,0
2c f c şi (1) devine
1 3,
2 7 fals.
Pentru ' 10,3
2 1c f c
c
şi (1) devine
1 3 130,3 .
7 362 1c
c
Soluţie:
13.
36c
15) Fie funcţia : , 0, ,f a b f continuă pe ,a b , f derivabilă pe , .a b Să se arate că există , ,c a b
astfel încât:
'
.
f cb a
f cf be
f a
Soluţie. Se caută o funcţie ajutătoare g căreia să i se poată aplica teorema Lagrange. Pentru a intui această funcţie,
se prelucrează relaţia cerută urmărind a fi aranjată ca o concluzie a teoremei Lagrange. Astfel:
' '
' '
ln ln ln ln
ln ln.
f c f cb a b a
f c f cf b f be e f b f a
f a f a
f c f b f a f cb a
f c b a f c
Începem rezolvarea propriu zisă. Fie : , , ln .g a b g x f x R Cum f este funcţie Rolle pe , ,a b atunci g
este funcţie Rolle pe ,a b
Lagrange
'
'
, a.î.
ln ln, a.î.
g b g ac a b
b a
f b f a f cg c c a b
b a f c
''
, a.î. ln
, a.î. .
f cb a
f c
f bc a b
f a
f c f bb a c a b e
f c f a
16) Să se studieze, folosind Corolarul teoremei Lagrange, derivabilitatea funcţiei : ,f R R
2
3
1, 1.
2, 1
x x xf x
x x
Soluţie. feste derivabilă pe '
2
2 1, 1\ 1 , .
3 , 1
x xf x
x x
R (1)
1 1
lim lim 1 3x x
f x f x f f
continuăîn 1.x (2)
' ' ' ' '
1 1 1lim 3 1 , lim 3 1 lim 3.s dx x x
f x f f x f f x
(3)
Din (1), (2), (3) deducem, conformCorolaruluiteoremeiLagrange, căexistă ' 1 3f R ; f este derivabilăîn 1.x
Aşadar, f este derivabilă pe .R
17) Să se studieze derivabilitatea funcţiei 2
2: , 1 arcsin
1
xf f x x
x
R R în punctul 0.x
Soluţie. Utilizând definiţia '
0
00 lim
0x
f x ff
x
se ajunge la calcule complicate. Vom utiliza Corolarul
teoremei Lagrange. Funcţia este derivabilă pe R şi este continuă în 0.x
2
2 2'
2
2 2
1arcsin , 0
1 1.
1arcsin , 0
1 1
x xx
x xf x
x xx
x x
' ' ' '
0 0lim 1 0 , lim 1 0s dx x
f x f f x f f
nu este derivabilă în 0.x
15) Să se determine parametrii reali a şi b pentru care funcţia următoare este derivabilă pe domeniul maxim de
definiţie:
3
2
1, 0: , .
ln 1 , 0
x ax xf f x
b x x
R R
Soluţie. f este derivabilă pe ,R
2
'
2
3 , 0
.2, 0
1
x a x
f x xx
x
Trebuie impusă derivabilitatea în 0x pentru ca f să
fie derivabilă pe domeniul maxim de definiţie .R Folosim Corolarul teoremei Lagrange. f continuă în
0 0
0 lim lim 0 1.x x
x f x f x f b
' '
0lim 0sx
f x a f
şi ' '
0lim 0 0 .dx
f x f
f este derivabilăîn 0 0.x a Decif este derivabilă pe
a=0,b=1.R
16) Aplicândteorema Lagrange, să se demonstrezeinegalitatea:
ln , 0 .b a b b a
a bb a a
Soluţie.Funcţia : , , ln ,f a b f x x R estefuncţieRollepe , .a b Atunci, conform teoremei Lagrange, există
,c a b astfelîncâtln ln 1
.b a
b a c
(1)
Dar 1 ln
1 1 1 1 10 ln .
b
b a b b aaa c bb c a b b a a b a a
17) Să se arate că 2arcsin 1 arccos , 1,0 .x x x
Soluţie. Considerăm funcţia 2: 1,0 , arcsin 1 arccos .f R f x x x Calculăm derivata funcţiei şi obţinem:
'
2 22
2 2
1 2 1
2 1 11 1
10, 1,0
1 1
xf x
x xx
xx
x x x
deoarece , 1,0 .x x x
Deci , 1,0 .f x k x Cum 1
,2
f
deducem .k 1 0 , 1,0 .f f f x x
18) Să se demonstreze egalitatea: 2 2 2arcsin 2 1 2arcsin , , .
2 2x x x x
Soluţie. Considerăm funcţiile 22 2, : , , arcsin 2 1 , 2arcsin
2 2f g f x x x g x x
R .
2 2
'
2 2 2 2 2
'
2 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2 1 1 1
2 2, , ,
2 2
x xf x
x x x x x
g x x f x g x k
2 2, .
2 2x
Cum 2 2
0 0 0 0 , ,2 2
f g k f x g x x
2 2 2arcsin 2 1 2arcsin , , .
2 2x x x x
19) Fie 0 a b şifuncţia : ,f a b R , funcţiecontinuăpe ,a b şiderivabilăpe , .a b Să se aratecăexistă ,c a b
astfelîncât :
'1
.a b
f c c f cf a f ba b
Soluţie.Se cautădouăfuncţiiajutătoareg,hcărorasă le aplicămteorema Cauchy. Pentruaintuiceledouăfuncţii,
prelucrămrelaţiacerută. Astfel:
'
'
1
1 1
a b af b bf af c c f c
f a f ba b a b
f b f aab
b af c c f c
abb a
' ' .1 1
f b f a
b af c c f c f c c f c
b a
Începem rezolvarea propriu-zisă.
Fie
1
, : , , , .f x
g h a b g x h xx x
R
Cum f este continuă pe , 0, ,a b g h continue pe , .a b (1)
Cum f este derivabilă pe , 0, ,a b f g derivabile pe , .a b (2)
' '
2
1, , 0, 0, , .h x x a b h x x a b
x (3)
Din (1), (2), (3), folosind teorema Cauchy,
'
2
'
2
, a.î.
', a.î.
1 1 1
g b g ac a b
h b h a
f b f a cf c f c
g c b a cc a bh c
b a c
'1, a.î. .
a bc a b f c c f c
f a f ba b
20) Fie 2
: , .xf f x x e R R Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei precum şi punctele de
extrem.
Soluţie. 2 2 2' 22 1 2 , .x x xf x e x e x x e x R Tabelul de variaţie este:
x 2
2
2
2
'f x ----------------0+++++++++++ 0----------------------
f x 0 1
2e
1
2e 0
(m) (M)
Funcţia este strict descrescătoare pe 2
,2
, strict crescătoare pe 2 2
,2 2
şi strict descrescătoare pe
2, .
2
2
2x este punct de minim,
2
2x este punct de maxim.
21) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei : , 1 .xf f x e R R
Soluţie. ' ' '1, 0 , 0
. 0 1, 0 1.1, 0 , 0
x x
d sx x
e x e xf x f x f f
e x e x
f nu este derivabilă în 0;x
0x este punct unghiular. Tabelul de variaţie este:
x 0
'f x --------------- - 1|1 +++++++++++
f x 0
(m)
22) Să se demonstreze inegalităţile:
a) 1, ;xe x x R
b) ln 1 , 1.x x x
Soluţie. Inegalitatea din enunţ este echivalentă cu: 1 0, .xe x x R
Considerăm funcţia ': , 1. 1, .x xf f x e x f x e x R R R Tabelul de variaţie este:
x 0
'f x --------------------- 0++++++++++++
f x 0
(m)
Cum 0 este minim global, avem: 0, 1 0, 1, .x xf x x e x x e x x R R R
b) Se logaritmează inegalitatea de la a).
23) Să se arate că: 3 23 6 ln 2 6 , 1.x x x x x x
Soluţie. Inecuaţia se mai scrie: 3 23 6 ln 2 6 0, 1.x x x x x x Considerăm funcţia:
3 2 '
2
: 1, , 3 6 ln 2 6 .
3 3 6ln 6 12 , 1, .
f f x x x x x x f x
x x x x
R
Rezolvarea ecuaţiei ' 0f x este dificilă. Calculăm a doua derivată:
2
''6 16
6 12 0, 1.x
f x x xx x
Din '' 0, 1,f x x se deduce că 'f este strict crescătoare pe 1, , de unde ' ' 1 , 1,f x f x adică
' 0, 1.f x x Tabelul de variaţie este:
x 1
''f x 0+++++++++++++++++++
'f x 0+++++++++++++++++++
f x 0
Din tabel: 0, 1,f x x 3 23 6 ln 2 6 0, 1x x x x x x 3 23 6 ln 2 6 , 1.x x x x x x
24) Să se arate că dacă M şi m sunt maximul respectiv minimul funcţiei
3: , , , , , 0,f f x ax px q a p q R ap R R atunci 3
2 4.
27
pMm q
a
R. ' 23 , .f x ax p x R Ecuaţia ' 0f x are două rădăcini deoarece a şi p au semne opuse: 1,2 .3
px
a
Din semnul lui 'f deducem că cele două rădăcini sunt punctele de maxim şi de minim.
Presupunem că 3
1 1 1M f x ax px q şi 3
2 2 2 .m f x ax px q Deci:
2
2 1
1
13
1 11 1
3 0 3 2.
3
3
px
ax p aM px q
pM ax px qM ax px q
a
Analog 2
2.
3m px q Din ultimele două
relaţii obţinem: 3Viète
2 2 2
1 2 1 2
4 2 4.
9 3 27
pMm p x x pq x x q q
a
25) Să se arate că:
a) ln 1 ln 1 , 0,1 ;x x x x
b) 3
arctg , 0, ;3
xx x x x
c) ln 1 1, 1;xx e x
d) sin
, 0 ;sin 2 2
a a aa b
b b b
e) 1 1 1 , 0, ; , 3;n
x nx x x n n N
f) 2 1
ln , 1.1
xx x
x
'.a) : 0,1 , ln 1
0, 0,1 0 ln 1 0,1
f f x x x f x
xx f x f x x
x
R R
0,1x şi ': 0,1 , ln 1 ; 0,1
xg g x x x g x
x
R
0,1 0 , 0,1 ln 1 0, 0,1 .x g x g x x x x
26)Să se determine intervalele de convexitate şi de concavitate, precum şi punctele de inflexiune, pentru funcţiile:
a) 3 2: , 3 ;f f x x x R R
b) 1
: \ 1 , ;1
xf f x
x
R R
c) 2: , ;xf f x x e R R
d) : 0, , ln ;f f x x x R
e) : , sin cos .f f x x x R R
Soluţie. a) '' 6 1 , .f x x x R Ecuaţia '' 0f x are soluţia 1.x Avem tabelul:
x - 1
''f x --------------------0++++++++++++
f x
f este concavă pe , 1 şi este convexă pe 1, . 1x punct de inflexiune.
b)
''
3
4, \ 1 .
1f x x
x
R Avem tabelul:
x - 1
''f x +++++++++ | ----------------
f x |
f este convexă pe , 1 şi este concavă pe 1, . Funcţia nu are puncte de inflexiune.
c) '' 2 4 2 , .xf x x x e x R Ecuaţia '' 0f x are soluţiile: 1.2 2 2.x Avem tabelul:
x 2 2 2 2
''f x +++++++++++0--------------------0++++++++++
f x
f este convexă pe intervalele , 2 2 , 2 2, şi este concavă pe 2 2, 2 2 .
2 2, 2 2x x puncte de inflexiune.
d) '' 1, 0, .f x x
x Ecuaţia '' 0f x nu are soluţii. Avem tabelul:
x 0
''f x +++++++++++++++
f x
Funcţia este convexă pe 0, şi nu are puncte de inflexiune.
e) '' ''sin cos , . 2 sin 2f x x x x f x x R
''cos 2 sin cos , 2x x x f x x T R perioadă pentru
''.f Este suficient să stabilim convexitatea şi concavitatea pe 0,2 .
'' 50 tg 0 , .
4 4f x x x
Avem tabelul:
x 0 4
5
4
2
''f x ++++++++0----------------0+++++++++
f x
f este convexă pe intervalele 5
0, , ,24 4
şi este concavă pe 5
, .4 4
5,
4 4x x
puncte de inflexiune.
27)Să se aratecăîntr-un triunghiABC au locinegalităţile:
a) 3 3
sin sin sin ;2
A B C
b) 3.a b c
b c a a c b a b c
Soluţie.
a) Fie '': 0, , sin . sin 0, 0,f f x x f x x x R
f concavăpe Jensen
0,3 3
f A f B f CA B Cf
sin sin sin 3 3sin sin sin sin .
3 3 2
A B CA B C
b) Notând 2a b c p , inegalitatea se rescrie:
3.
2 2 2
a b c
p a p b p c
Considerămfuncţia
''
2: 0, , 0, 0,
2 2
x pf p f x f x x p
p x p x
R
f convexăpe Jensen
0,3 3
f a f b f ca b cp f
2 1
3 3 2 2 2
p a b cf
p a p b p c
3 .
2 2 2
a b c
p a p b p c
28) Să se aratecă 1 21 2 1 2
...... , , ,..., 0, .nn
n n
x x xx x x x x x
n
Soluţie.
Fie ''
2
1: 0, , ln 0, 0,f f x x f x x
x R
Jensen1 21 2
......concavă ,
nnf x f x f xx x x
f fn n
1 21 2 1 2
... 1, ,..., 0, ln ln ... ,n
n n
x x xx x x x x x
n n
1 2, ,..., 0,nx x x 1 2
1 2
...... ,nn
n
x x xx x x
n
1 2, ,..., 0, .nx x x
29)Să se determine punctele de extremprecumşinaturalor, pentrufuncţiile:
a) 4 3 2: , 4 4 ;f f x x x x R R
b) 2: , .xf f x x e R R
Soluţie.a) ' 2 '4 3 2 , . 0 0,1,2 .f x x x x x f x x R
'' 24 3 6 2 , .f x x x x R '' 0 8 0 0f x punct de minim.
'' 1 4 0 1f x punct de maxim. '' 2 8 0 2f x punct de minim.
b) ' 2 '2 , . 0 2,0 .xf x x x e x f x x R
'' 2 4 2 , .xf x x x e x R '' 22 2 0 2f e x punct de maxim. '' 0 2 0 0f x punct de
minim.
30) Să se aratecădacă , 0, ,2
a b
atunci :
sin tg sin tg sin .2
a ba a b b a b
R. Se aplicăinegalitatealui Jensen funcţiei : 0, , sin tg .2
f R f x x x x
31) Fie : 1, 0,f o funcţie de douăoriderivabilă, cu proprietăţile:
(i) '' 0, 1, ;f x x
(ii) ' 0, 1, .xf x f x x
Să se aratecă: a) funcţia
: 1, , ,f x
g g xx
R esteconvexă;
b) 2 , , 1, .2
a bf af b bf a a b
R. a)
2 '' '
''
3
20, 1,
x f x xf x f xg x x g
x
convexă .
b) Se aplicăinegalitatealui Jensen funcţieig şi se ţineseamacă1 1
2.a b
32) Să se studiezevariaţiaşisă se reprezintegrafic, pedomeniul maxim de definiţie, funcţia:
2
2
1: , .
1
xf D f x
x
R
Soluţie.
I. , 1 1,1 1, .D Funcţiaestepară: , ,f x f x x D decigraficulestesimetricfaţă de .Oy
II. Graficul nu intersecteazăaxa ,Ox iarintersecţia cu Oy este punctual 0, 1 .
III. 1 1 1 1
lim , lim , lim , lim ,x x x x
f x f x f x
decidreptele 1, 1x x suntasimptoteverticale.
lim 1,x
f x
decidreapta 1y esteasimptotăorizontală la şi la . funcţiaestecontinuăpeD.
IV.
'
22
4, .
1
xf x x D
x
0 estepunct critic. Semnulderivateişiintervalele de monotoniesunttrecuteîntabelul
de variaţie. 0 estepunct de maxim.
V.
2
''
32
4 3 1, .
1
xf x x D
x
Semnulderivatei a douaşiintervalele de convexitate-concavitatesunttrecuteîntabelul
de variaţie.
VI. Tabelul de variaţie:
x 1 0 1
'f x ++++++++++|+++++++0------------- | ---------------
''f x ++++++++++|--------------------------- |+++++++++
f x 1 | - - 1 | 1
VII.Graficul
y
1
-1 O 1 x
-1
33) Să se studiezevariaţiaşisă se reprezintegrafic, pedomeniul maxim de definiţie, funcţia:
: , ln sin .f D f x x R
Soluţie.
I. |sin 0 2 , 2 1 .k
D x x k k
Z
R DeoareceD nu estemulţimesimetrică, f nuesteniciparăşiniciimpară. f
areperioada 2 :
2 ln sin 2 ln sin , ,f x x x f x x D deciestesuficientsăstudiemfuncţiapeintervalul
0,2 0, .D
II. Graficul nu intersectează .Oy Intersecţia cu axa Ox este ,0 .2
III. 0 0
lim limln sin , lim limln sin ,x x x x
f x x f x x
deci
dreptele 0,x x suntasimptoteverticale. Funcţiaestecontinuăpe 0, .
IV. ' cosctg , 0, .
sin
xf x x x
x Funcţiaeste strict crescătoarepe 0, ,
2
strict descrescătoarepe , ,2
iar
2x
estepunct de maxim.
V. ''
2
10, 0, ,
sinf x x
x decifesteconcavăpe 0, .
VI. Tabelul de variaţie:
x 0 2
'f x |+++++++++ 0 ----------------- |
''f x |----------------------------------- |
f x | 0 |
VII. Graficul
y
2 O 2 2 3 x
34) Să se studieze variaţia şi să se reprezinte grafic, pedomeniul maxim de definiţie, funcţia:
2
2: , arccos .
1
xf D f x
x
R
Soluţie.
I. 2
2| 1 1 .
1
xD x
x
R R Funcţia nu estenicipară, niciimpară.
II. Intersecţiile cu axelesunt: 0,2
cu Oy şi 1,0 cu .Ox
III. lim ,2x
f x
decidreapta
2y
esteasimptotăorizontală la şi la . Funcţia este continuă pe R.
IV. f este derivabilă pe \ 1,1R cu
2
'
2 2
2 1
1 1
xf x
x x
2
2
2, , 1 1,
1.
2, 1,1
1
xx
xx
În – 1 şi 1 funcţia nu este derivabilă şi avem:
' ' ' '1 1, 1 1, 1 1, 1 1.s d s df f f f Deci 1 şi – 1 sunt puncte unghiulare. Semitangentele la grafic în
aceste puncte au pantele 1 şi – 1, deci sunt paralele cu prima şi respectiv a doua bisectoare.Semnul derivatei şi
intervalele de monotonie sunt trecute în tabelul de variaţie. Punctul – 1 este punct de maxim, iar 1 este punct de
minim.
V.
22
''
22
4, , 1 1,
1,
4, 1,1
1
xx
xf x
xx
x
de unde obţinem că
0x este punct de inflexiune.
VI. Tabelul de variaţie:
x 1 0 1
'f x +++++++++ 1|-1 ------------------ -1|1+++++++++++
''f x ++++++++++ |----------- 0 +++++++|--------------------
f x2
2
0
2
VII. Graficul
y
2
- 1 O1 x