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MATEMÁTICA BÁSICA PARA CONCURSOS

PROGRAMA

1. Conjuntos numéricos: Números Naturais, múltiplos, divisores,

divisibilidade. MDC e MMC, aplicações, problemas.

2. Números Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.

3. Números fracionários e operações com frações.

4. Equações 1º e 2º graus, Sistemas lineares , aplicações

5. Sistema Métrico Decimal. Medidas de tempo.

6. Razões, proporções, divisão proporcional, regra de três.

Porcentagem, problemas.

7. Progressões Aritmética e Geométrica.

8. Noções de probabilidade.

9. Funções elementares do 1o grau e 2o grau.

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURAIS (N) Os números naturais surgiram de uma necessidade do ser humano de fiscalizar os seus bens. A noção de quantidade é observada na natureza. N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ...}

N* = {1, 2 , 3, ...} é um subconjunto de N.

N é um conjunto ordenado, na forma crescente 0<1<2<3 .......... As operações fechadas

(propriedade: fechamento) em N são: a adição e multiplicação, a e b N.

a + b N e a . b N.

as propriedades em N, são: a) comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a b) elemento neutro: a+0 = a e a . 1= a c) associativa: (a+b) + c = a + (b+c) e (a.b) . c = a . (b.c) d) distributiva: a . (b+c) = a . b + a . c

O conjunto N é limitado, algumas vezes não podemos realizar operações com a subtração e

divisão: 2 – 3 N e 2 3 N.

Múltiplos e Divisores Divisor de um Nº natural não nulo: É o nº natural que o divide exatamente: 2 é divisor de 6, 3 é divisor de 6 etc... Critérios de Divisibilidade É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural qualquer é divisível por outro. Estas regras são chamadas de critérios de divisibilidade .

Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0; 2; 4; 6 ou 8. Os números que são divisíveis por 2 são denominados números pares.

Divisibilidade por 3 (ou por 9): Um número é divisível por 3 (ou por 9) quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3 (ou por 9).

Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois algarismos da direita for divisível por 4

Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5.

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Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 se for divisível simultaneamente por 2 e por 3.

Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0.

Conjunto dos divisores de um nº natural não nulo É o conjunto com todos os divisores naturais não nulos do nº determinado. Ex: D (6) = {1, 2, 3, 6} D (12)={1, 2, 3, 4, 6, 12} Números Primos É o nº natural não nulo, que possui somente dois divisores naturais não nulos distintos, ou seja, o seu conjunto de divisores possui apenas dois elementos. Ex: 2; 3; 5; 11 etc. 1 não é primo D (1) = {1}, n (D (1)) =1 se um Nº natural não nulo, não é primo, nem 1, então é composto: 4; 6; 12; etc. Decomposição em Fatores Primos Um número composto qualquer pode ser decomposto em fatores primos, utilizando-se, para tanto, as divisões sucessivas através dos critérios de divisibilidade. Ex: 84 84 2 42 2 21 3 7 7

1 84 = 22 . 3 .7

Determinação do nº de divisores de um nº natural não nulo: O numero 84 84 2 42 2 21 3 7 7 1

84= 22 . 3 . 7 = 2

2 . 3

1 . 7

1

2 + 1 = 3 1 + 1 = 2 expoentes 1 + 1 = 2

3 . 2 . 2 = 12 84 tem 12 divisores

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Determinação do conjunto dos divisores não nulos de um Nº natural não nulo. Através da decomposição de um número natural em fatores primos, é possível determinar todos os seus divisores. Ex: 84 84 2 42 2 21 3 7 7 1 Decompõe-se em fatores primos, e 1 (Divisores de 84) 84 2 2 42 2 4 21 3 3; 6; 12 7 7 7; 14; 28; 21; 42; 84 1

D (84)={1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84}

Maximo Divisor Comum - M.D.C em N* O Maximo divisor comum entre dois números naturais é obtido a partir da intersecção dos

divisores dos números.

Exemplo: 36 e 24 D (36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36} D (24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} mdc {36;24} = 12 o mdc é obtido multiplicando-se os fatores primos comuns com os menores expoentes: Exemplo: 36 e 24 36 = 22. 32; 24 = 23 . 3; mdc {36;24} = 22. 3 = 12

Existe também o processo de Euclides para obter-se o Maximo divisor comum entre os números naturais (divisões sucessivas) . Exemplo : 36 e 24.

1 2

36 24 12 12 0 Resto nulo mdc {36;24} = 12

Ou determinando simultaneamente o divisor comum:

24 ,36 2 12 ,18 2 6 , 9 3

2 , 3 22 . 3 = 12

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Números Primos entre si Dois números são denominados primos entre si, se o único divisor comum for a unidade. Exemplo: Os números 15 e 16 são primos entre si: M.D.C de (256 e 255) é 1, então 255 e 256 são primos entre si.

Múltiplo de um número natural não nulo Múltiplo de um numero natural N* é o produto dele por outro número natural não nulo. Assim, o conjunto dos múltiplos de M(6) é: M(6) = {6; 12; 18; 24; 30;...} Exemplo: 6 = 6 . 1 ; 12 = 6 . 2

6 . 5 = 30, etc. Conjunto dos múltiplos de um Nº natural não nulo: M (2) = {2, 4, 6, 8, ...} M (3) = {3, 6, 9, 12, ...} M (5) = {5, 10, 15, 20, ...} M (11) = {11, 22, 33, 44, ...}

Mínimo Múltiplo Comum - M. M. C. – em N* Obter o mínimo comum entre dois ou mais números naturais não nulos consiste em determinar, a partir da interseção entre os conjuntos dos múltiplos, o menor elemento. Exemplo: 12 e 18 m (12) = {12; 24; 36; 48; 60; ...} m (18) = {18; 36; 54; 72; 90; ...}

mmc {12; 18} = mínimo {m(12) m (18)} mmc {12; 18} = mínimo {36; 72; ...} mmc {12; 18} = 36 ou decompondo os números simultaneamente em fatores primos. Exemplo: 12 e 18. 12 ,18 2 6 9 2 mmc {12; 18} = 22 . 32 3 9 3 mmc {12; 18} = 36 1 3 3 1 1

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Exercícios Propostos de MMC e MDC 1- Em uma caixa há um certo número de laranjas. Se contarmos as laranjas de 12 em 12, de 20 em 20, ou de 25 em 25, encontraremos sempre o mesmo número de laranjas. Qual a menor quantidade possível de laranjas que há na caixa? 2- (TRE) Uma Repartição pública recebeu 143 microcomputadores e 104 impressoras para distribuir a algumas de suas seções. Esses aparelhos serão divididos em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos. Se cada lote deve ter um único tipo de aparelho, o menor número de lotes formados devera ser. (A) 8 (B) 11 (C) 19 (D) 20 (E) 21 3- (TRE) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Devera distribui-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recipientes necessários para essa distribuição é. (A) 24 (B) 16 (D) 12 (D) 8 (E) 4 4- Todos os funcionários de um Tribunal devem assistir a uma palestra sobre “Qualidade de vida no trabalho”, que será apresentada várias vezes, cada vez para um grupo distinto. Um técnico foi incumbido de formar os grupos, obedecendo aos seguintes critérios: - todos os grupos devem ter igual numero de funcionários; - em cada grupo, as pessoas devem ser do mesmo sexo; - o total de grupos deve ser o menor possível.

Se o total de funcionários é composto de 225 homens e 125 mulheres, o numero de palestras que deve ser programado é. (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 18 (E) 25 5- (TTN) Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa na pista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terão dado cada um, até o momento em que passarão juntos na linha de chegada? (A) 66, 60, 55 (B) 62, 58, 54 (C) 60, 55, 50 (D) 60, 45, 40 (E) 40, 36, 32 6- (PM) Três policiais fazem plantão regularmente, o primeiro a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 10 dias, inclusive aos sábado, domingos e feriados. Se no dia 12/06/01 os três fizeram plantão, a próxima coincidência de data em seus plantões é (A) 12/10/01 (B) 10/10/01 (C) 10/09/01 (D) 12/08/01 (E) 10/08/01 7- Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento, sendo esse comprimento o maior possível. Se uma tábua tem 90 centímetros e a outra tem 126 centímetros, qual deve ser o comprimento de cada pedaço se toda a madeira deve ser aproveitada? (A) 36 cm (B) 12 cm (C) 18 cm (D) 9 cm (E) 90 cm 8- No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um

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funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas do modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual numero de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 (E) 16

9- Um funcionário do T.R.F. queria guardar 192 canetas de cor preta e x quantidades de canetas de cor azul na menor quantidade de envelopes, contendo a mesma quantidade

de canetas de uma mesma cor. Se 8 envelopes são utilizados para as canetas de cor preta, qual é a quantidade x de canetas de cor azul, sabendo-se que a razão entre o nº de envelopes para as canetas de cor azul e preta é 6/16 ? (A) 24 (B) 8 (C) 344 (D) 72 (E) 3 Gabarito:

1 - 300 2 - C 3 - A

4 - C 5 - A 6 - B

7 - C 8 - C 9 - D

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NÚMEROS INTEIROS (Z) OU NºS INTEIROS RELATIVOS

Números inteiros são todos os números naturais acrescidos dos seus opostos ou simétricos. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} É um conjunto ordenado na forma crescente: …., -3 < -2 < -1< 0, ... podendo ser representado de maneira não ordenada Z = {0, ± 1, ± 2, ± 3 , ...} Subconjuntos de Z:

Z* = {±1, ± 2, ± 3, ...}

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N Z - = {0, -1, -2, -3, ...}

Z*+ ={1, 2, 3, ...}

Z * = {-1, -2, -3, ...}

Observe que +2 = 2 , que –2 2 e que quando o Nº for negativo é imperativo que se use os

parênteses (-2). Exemplo: (-2)2 = 4 e -22 = - 4 As operações fechadas em Z, são: adição, multiplicação e subtração . A operação de divisão não é fechada em Z.

Ex: 2 3 Z.

Todo Nº natural é inteiro N Z, mas a recíproca não é verdadeira Z N..

Módulo (Valor Absoluto) A todo número relativo, faz-se corresponder um número positivo ou nulo, denominado valor absoluto ou módulo. Usam-se duas barras para indicá-lo. Ex.: +3 = 3; +7 = 7; 0 = 0; -5 = 5; -9 = 9 Simétrico ou oposto. Dois números relativos são simétricos quando têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários. Ex.: 7 e –7; -1 e +1 OBS.: O oposto de zero é ele mesmo. Representação A cada número, associamos um ponto de uma reta, chamada reta numerada. Sobre esta reta, marquemos um ponto 0 (zero) origem, a partir do qual medimos, à sua direita, os inteiros positivos, e, à sua esquerda, os inteiros negativos, assim:

- - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 +

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Números Racionais – Q

Chama-se racional todo numero que pode ser colocado como fração q

p o numerador p Z e o

denominador q Z *

Q = {x ; x é fração} Quem são esses números racionais? a) os inteiros.

3

6

2

4

1

22

etc.

3

6

2

4

1

22

etc.

b) os decimais exatos.

0,4 = 10

4

0,37 = 100

37

0,937 = 1000

937

c) As dízimas periódicas.

0,444 .... = 4 = 0, 4 9

0, 3737.... = 0,37 = 37 99

0,937937.... = 0,937 = 937 999

1,25 = 125 – 12 = 113 90 90

N Z Q, todo número natural é racional.

Q Z N

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NÚMEROS IRRACIONAIS = Q’ OU I Existem números, entretanto, que não podem ser colocados na forma fracionaria; tais como: 123... = 0,123..... = 3,14155926.....

2 = 1,4142135...

3 = 1,7320508...

e = 2,7182818...

Esses números pertencem ao conjunto dos números irracionais, que são as dizimas não periódicas ou números que resultem nelas.

NÚMEROS REAIS = R

R = Q I e Q I =

R

Q Q’ ou I

z N Para representar conjuntos em R, devemos utilizar intervalos numéricos, já que não podemos determinar nem enumerar quantos Nºs reais existem entre 0 e 1 (infinitos Nºs reais)

Intervalos no Infinito Representação1 Representação 2 Representação 3

{x R | x > a} a ,+ ou

a, +)

a

{x R | x < a} - , a ou

(- , a

__________ a

{x R | x >a} a,+ou (a,+) a

{x R ; x < a} -, a ou

(- , a

a

Tipos Representação 1 Representação 2

Representação 3 Características

Intervalo fechado

{xR/a<x<b} a , b a b Inclui limites

Intervalo aberto

{xR/a<x<b} a,b ou (a,b) a o o b

Exclui limites

Intervalo fechado à esquerda

{xR/a<x<b} a,b ou a,b) a o b Exclui limites à direita

Intervalo fechado à

direita

{xR/a<x<b} a,b ou (a,b a o b Exclui limite à esquerda

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Exemplos: Escreva os conjuntos abaixo na forma de intervalos:

a) {x R ; 1 < x < 5} = 1,5

b) {x R | 1 < x < 5} = 1,5

c) {x R | x > 4} = 4, +

d) {x N | 1 < x < 5} = {1,2,3,4}

Potenciação Potenciação é um produto de fatores iguais à base, sendo tomados tantos fatores quanto for o expoente.

⏟ = 34 = 81

onde 3 é chamada base e 4 é chamado de expoente e 81 é a potência. Para calcularmos potências no conjunto dos números inteiros devemos observar que: POTÊNCIAS DE BASE 10 Toda potência de base 10 é igual a 1, seguido de tantos zeros quantos forem às unidades do expoente, dessa forma, teremos que: 103 = 1.000 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO I – Produto de potências de mesma base,

Regra: Conserva-se a base, e somam-se os expoentes. am an = am+n

(3)2 . (3)3 = (3)2+3 = (3)5 = 243 II – Divisão de potências de mesma base. Regra: Conserva-se a base, e subtraem-se os expoentes. am : an = am-n

65 : 63 = 65-3 = 62 = 36 III - Elevando-se uma potência a um novo expoente, Regra: Conserva-se a base, e multiplicam-se os expoentes. (am)n = am.n

[(3)2]2 = (3)2.2 = (3)4 = 81 RADICIAÇÃO.

Chamaremos de raiz enésima de um número não nulo a, ao número b, tal que: Ou seja:é a base da potencia que está sendo procurada. Essa operação chama-se radiciação.

abba nn

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Na radiciação, temos que: O índice 2 de uma raiz, não será escrito

25 , é o mesmo que 2 25

PROPRIEDADES DOS RADICAIS I) Multiplicando ou dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo

número, a raiz não se altera. Por exemplo: No radical 12 939 532 xx , podemos dividir o índice e os

expoentes por 3, dessa maneira o radical ficará da seguinte forma: 4 313 532 xx

II) Poderemos representar um radical por uma potência de expoente fracionário. n

m

n m aa III) Para introduzirmos fatores nos radicais, elevamos cada fator ao índice.

Vamos escrever 73 só como radical, então precisaremos introduzir o fator 3 no radical.

O fator 3 será introduzido no radical com expoente 2, dessa forma, teremos:

63973773 2 xx

Exercícios 01. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Se x = 1,25.10-2 e y = 0,75.10-3, então x + y é igual a (A) 0,1325.10-4

(B) 1,325.10-4 (C) 23,25.10-4 (D) 132,5.10-4 (E) 1325.10-4 02. (TELEF.-2004-CESGRANRIO)

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03.

Gabarito: 01. D 02. B 03. C

FRAÇÕES

PROBLEMAS COM FRAÇÕES:

Fração de uma quantidade: Determine 2/3 de 60: Exemplo: Uma pessoa atende 2/5 das pessoas que estavam em uma fila pela manhã, à tarde mais 1/4 das pessoas que estavam inicialmente na fila. Se restaram 35 pessoas sem atendimento, quantas pessoas existiam inicialmente na fila?

Fração comparada a uma quantidade :

Se 2/3 corresponde a 60, quanto é o total? Exemplo Uma pessoa atende 2/5 das pessoas que estavam em uma fila pela manhã, à tarde mais 1/3 das pessoas que ficaram na fila pela manhã. Se restaram 40 pessoas sem atendimento, quantas pessoas existiam inicialmente na fila?

11) D12) B

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EQUAÇÕES DO 1º GRAU É uma expressão literal que possui uma igualdade e que as variáveis (ou a variável) da expressão possuam expoente 1. Ex: a) x – 3 = 7

b) 2x – 4 = 0 c) x + y = 4

Para resolvemos uma equação do 1º grau, utilizamos as propriedades: 1º Propriedade Aditiva: Se somarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma outra igualdade. Exemplo: x + 3 = 8 x + 3 – 3 = 8 - 3 x + 0 = 5 x = 5 2º Propriedade Multiplicativa Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma igualdade, por um mesmo número, obtemos uma outra igualdade. Exemplo: 3x = 21

3x . 1 = 21 . 1 x . 1=7 . 1 x =7 3 3 Exemplos: a) 5 (2x - 4) = 7(x + 1) – 3 Resol: 10x – 20 = 7x + 7 - 3 10x – 20 + 20 =7x + 4 + 20 10x = 7x + 24 10x – 7x = 7x – 7x + 24 3x = 24

1. 3x = 1. 24 x = 8 3 3 Na prática resolvemos esta equação da seguinte maneira prática. 10x – 20 = 7x + 7 - 3 10x – 7x = +7 - 3 + 20 3x = 24 x = 8

4 b) 36

3

4

1

xx

3 (x - 1) - 2 (x - 3) = 12 . 3 12 12 12

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Eliminam-se os denominadores m . m . c {4; 6} = 12 3x – 3 - 2x + 6 = 36 3x – 2x = 36 - 6 + 3 x = 33

SISTEMAS LINEARES Uma equação é linear quando os expoentes das variáveis são 1. Quando temos pelo menos duas equações, podemos chamar de sistema. Resolver os sistemas: I) duas equações com duas variáveis:

a)

1154

1132

y

yx

É mais prático utilizar os métodos conhecidos do antigo curso ginasial: substituição , adição e comparação. Pelo método da adição: multiplicamos a equação I por 4: 8x – 12y = 44 e a equação II por 2 : - 8x – 10 y = 22.

8x – 12y = 44 + (e adicionando) - 8x – 10y = 22 0x – 22y = 66 y = - 3, substituindo em I 2x – 3 (-3) = 11

2x = 2 x = 1 encontramos o conjunto Solução S ={(1, - 3)}. II) Três equações com três variáveis ou mais:

a)

1zyx

9z3y2x

1z2yx

Podemos utilizar a regra de Cramer ou o método de Gaus (escalonamento)

V = {(- 10, 0 ,11)}

Exercícios:

Resolva os seguintes sistemas lineares:

1)

-25y-4x

-45y-3x

16

2)

9y2x

4yx

3)

02z-x

04-zy

03-yx

4)

222 zyx

-14z2y3x

-1zyx

PROBLEMAS DO 1º GRAU

Existem problemas que, traduzidos para a linguagem matemática, resultam numa equação ou sistema de equações do 1º grau.

LinguLinguagem Comum

LinguLinguagem matemática

O Dobro de um número 2x

A Metade de um número X 2

O triplo de um número 3x

A metade de um número mais a sua terça parte x + 1 x 2 3

Um número subtraído de dez X - 10

Para se resolver um problema do 1º grau, são necessárias 3 fases: 1ª) traduzir o problema em linguagem matemática. 2ª) resolver a equação. 3ª) verificar a solução. ( se necessário)

Exercícios: 1. Dividir 180 em duas partes, de modo que uma seja o dobro da outra.Quais são as partes? 2. Em um estacionamento existem carros e motos, num total de 40 veículos e 100 rodas em contato com o chão. Qual é a quantidade de carros e motos?

Exercícios Propostos: 1. Determine o conjunto solução dos sistemas em R.

a)

64y2x

6y3x 9

17

b)

54y2x

10y5x 15

c)

14234

2

32

zyx

4zy-2x

6zyx

d)

11323

42

zyx

67z-3y-5x

4z-yx

2. A diferença entre o quádruplo de um número e a terça parte desse número é 187. Esse número é: a) primo b) múltiplo de 3 c) divisível por 4 c) múltiplo de 5 3. Fábio e Márcio pesam juntos 62 kg. Se o peso de Fábio é igual ao dobro do peso de Márcio mais 8 kg, então o peso de Márcio mais 8kg, então o peso de Márcio é: a) 16 kg b) 18 kg c) 22 kg d) 24 kg 4. Se a soma de três números pares consecutivos é 402, o menor dos três é divisível por: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 5. As idades de Carlos e Felipe somam, hoje, 45 anos e há 6 anos passados, a idade de Carlos era o dobro da idade de Felipe. A idade atual de Carlos é: a) 20 b) 22 c) 26 d) 28 6. Uma pessoa tem 65 notas de R$ 50,00 e R$ 20,00, ao todo R$ 2.320,00. Quantas notas há de cada espécie? a) 31 e 34 d) 40 e 25 b) 30 e 31 e) 28 e 27 c) 35 e 30

GABARITO 1. a) S = R

b) S = c) S = R d) S = { (2,-1,1) } 2. B 3. B 4. A 5. D 6. A

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SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

MEDIDAS LINEARES O metro (metro linear) é um padrão internacional para medidas lineares equivalente à décima milionésima parte da distancia que vai do pólo até a linha do Equador. Essa distancia é medida sobre um meridiano da Terra. A unidade fundamental de medidas de comprimento é o metro, indicado por m. Dependendo do comprimento a ser medido, podemos utilizar seus múltiplos e submúltiplos.

Unidades de comprimento Unidade Símbolo Equivalente a

Múltiplos quilômetro hectômetro decâmentro

km hm

dam

1 km = 1000m = 103 m

1 hm = 100m = 102 m

1 dam = 10m = 101 m

Unidade Fundamental metro m 1m

Submúltiplos decímetro centímetro milímetro

dm cm mm

1dm = 0,1m = 10-1 m

1cm = 0,01m = 10-2 m

1mm = 0,001m = 10-3 m

É importante saber transformar uma unidade em outra. Para tanto, convém observar que as unidades lineares variam de 10 em 10. MUDANÇA DE UNIDADES

km hm

dam m

dm cm mm

Exemplos: 1 dam = 10 m 0,01 km = 10 m 0,25 Km = 25000 cm 1 dm = 0,1 m 45,021 dam = 45021 cm 5831 cm = 0,5831 hm 32,4 hm = 3240 m 0,2 mm = 0,0000002 km 6,27 dam = 627 dm

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE O metro quadrado é um padrão internacional para medidas de superfície, e é equivalente à medida da superfície, isto é, à área , de um quadrado de lado 1m.

A unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado, indicado por m2

. Dependendo da superfície cuja área se quer determinar, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos.

19

Unidades de superfície unidade Símbolo Equivalente a

Múltiplos quilômetro quadrado hectômetro quadrado

decâmentro quadrado

km2

hm2

dam2

1 km2 = 1000000m

2

1 hm2 = 10 000m

2

1 dam2 = 100m

2

Unidade Fundamental metro quadrado m2 1m

2

Submúltiplos decímetro quadrado centímetro quadrado

milímetro quadrado

dm2

cm2

mm2

1dm = 0,01m2

1cm = 0,0001m 1mm = 0,000 001m2

Facilmente, podemos perceber que uma unidade é 100 vezes maior do que a imediatamente inferior.

Mudança de unidades

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

Exemplos:

1 dam2 = 100m = 10 000 dm

2 5,3 cm

2 = 0,053 dm2 0,003 hm

2 = 3000 dm

2

35,27 hm2

= 3527000000 cm2 5138,5 m

2 = 0,51385 hm2 40,3 km

2 = 403000 dam

2

63,9 hm2 = 0,000000639 hm

2 42 mm2 = 0,000042 m

2 300 mm2 = 0,0003 m

2

20

Medidas agrárias de superfícies As medidas agrárias são utilizadas para medir grandes extensões de terra, como fazendas, sítios, etc. São elas:

1 are = 1a = 100 m2

1 hectare = 1 há = 10000 m2

1 centiare = 1 ca = 1 m2

Temos ainda:

1 alqueire mineiro = 48400 m2

1 alqueire paulista = 24200 m2

MEDIDAS DE VOLUME O metro cúbico é um padrão internacional para medidas de volume, e é equivalente ao volume de um cubo de aresta 1m. A unidade fundamental de medida de volume é o metro cúbico, indicado por m3. Dependendo do volume a ser medido, podemos utilizar múltiplos os submúltiplos do m3.

Unidades de Volume unidade Símbolo Equivalente a

Múltiplos quilômetro cúbico hectômetro cúbico

decâmentro cúbico

km3 hm3 dam3

1 km3 = 1000000000 m3 1 hm3 = 100 000 m3 1 dam3 = 1 000 m3

Unidade Fundamental metro cúbico m3 1m3

Submúltiplos decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico

dm3 cm3 mm3

1dm3 = 0,001m3 1cm3 = 0,000000 1m3 1mm3 = 0,000000001m3

Observemos que cada unidade é 1000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior. Mudança de unidades

km3 hm3 dam3

m3 dm3 cm3 mm3

Ex.: a) 18.436 m3 = 0,018436 hm

3

b) 0,00047 km3 = 470 dam

3 = 470.000 m3.

MEDIDAS DE CAPACIDADE Chamamos de capacidade de um recipiente ao volume de um liquido ou de um gás que esteja contido nesse recipiente. O litro é um padrão internacional para medidas de capacidade e corresponde a capacidade de um cubo de aresta de 1dm.

21

Unidades de Capacidade unidade Símbolo Equivalente a

Múltiplos Quilolitro hectolitro

decalitro

k

h

da

1 k = 1 000

1 h = 100

1 d = 10

Unidade Fundamental litro 1

Submúltiplos Decilitro centilitro mililitro

d

c

m

1d = 0,1

1c = 0,0 1

1m = 0, 001

Mudança de unidades

k

h

da

d

c

m Exemplos: 1 = 1 dm

3

0,3 d = 0,03

3,25 = 325c

713,5 = 0,7135 k 1hm

3 = 1 000 000 m

3

21,3 dam3 = 21 300 000 dm

3

0,5 km3 = 500 000 dam

3

52,1 cm3 = 0,000 0521 m

3

1000 = 1 000 dm3 = 1 m

3

1 cm3

= 0,001 dm3 = 0,001

5 mm3 = 0,000 005 dm

3 =0,000005

100 h = 10 000 = 10000 dm3

= 10 m3

4 k = 4 000 = 4 000 dm3

4 dm3 = 4 = 0,004 k

MEDIDAS DE MASSA O que as balanças nos fornecem é a massa que o corpo tem, na verdade o que estamos medindo é a massa do corpo.

O grama é um padrão internacional para medidas de massa e equivalente à massa de 1 cm3

de

água destilada à temperatura de 4ºC.

22

A unidade fundamental de medidas de massa é o grama, indicado por g , e, dependendo da massa a ser medida, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos.

Unidades de Massa unidade Símbolo Equivalente a

Múltiplos quilograma hectograma decagrama

kg hg

dag

1 kg = 1 000g =103 g 1 hg = 100g = 102 g 1 dag = 10g = 101 g

Unidade Fundamental grama g 1g

Submúltiplos decigrama centigrama miligrama

dg cg mg

1dg = 0,1 = 10-1 g 1cg = 0,0 1g =10-2 g 1mg =0, 001g =10-3 g

Facilmente vemos que, novamente, cada unidade é 10 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10g

Volume – Capacidade

5,43 dag

= 5430 cg 12,73 cg

= 0,001273 hg

125 kg = 125 000 g

231 mg = 2,31 dg 5 cg

= 0,00005 kg

0,07 kg = 70g 72,4 hg = 7 240 000 mg Medidas de Tempo No sistema internacional, a unidade oficial de tempo é o segundo, cujo símbolo é s.Além do segundo, as unidades de tempo são o minuto, a hora, a semana, o mês, o ano e o século. Temos: a) 1 minuto = 60 segundos b) 1 hora = 60 minutos (ou 1 hora = 3.600 s) c) 1 semana = 7 dias d) 1 mês comercial = 30 dias e) 1 ano comercial = 360 dias (ou 1 ano = 12 meses) f) 1 século = 100 anos Obs: O ano civil tem 365 dias e o ano bissexto 366 dias Exemplos: 1) Transforme em dias: 3 anos 4 meses e 18 dias 3 a 4me 18d = (3 x 360) + (4 x 30) + 18 1080 + 120 + 18 1218 dias

23

2) Transforme em meses: 1 ano 8 meses e 10 dias Lembre-se que um dia é uma fração do mês representada por 1 mês 30 1a 8me 10d = (1 x 12) me + 8me + 10 x 1 me 30 12me + 8me + 10 me 30 36 + 24 + 1 = 63 me = 21 me 3 3 3) Transforme 789 dias em anos, meses e dias: Primeiramente transformamos tudo em meses, dividindo 789 por 30: 789 30 = 26 meses e 9 dias 189 26 meses 09 dias Em seguida verificamos quantos anos cabem em 26 meses:

26 12 2 meses 2 anos Resposta: 2a 2me 9d 4) Transforme 2, 325 anos em anos, meses e dias: 2,325 a = 2a + 0,325ª 2a + 0,325 x 12me 2a + 3,9me 2a + 3me + 0,9 x 30d 2a + 3me + 27d Resposta: 2a 3me 27d 5) Transforme em horas, minutos e segundos: 2,725h 2,725 h = 2h + 0,725h

2h + 0,725 x 60mim 2h + 43,5 mim 2h + 43mim + 0,5mim 2h + 43mim + 0,5 x 60s 2h + 43mim + 30s

Resposta: 2h 43mim 30s

Exercícios propostos 1. Para ladrilhar o piso de uma sala retangular de 7,20m por 96dm, foram comprados ladrilhos quadrados de 20cm de lado. a) Quantos ladrilhos foram necessários? b) Qual foi o custo total, se o preço da centena de ladrilhos é de R$ 6,00?

2. Sabendo que a garrafa de 2 de refrigerante enche 8 copos, qual é capacidade de cada

copo?

24

3. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Dividindo-se todos os 0,36 km de corda de um rolo em pedaços de 180 cm de comprimento cada um, quantas partes serão obtidas? (A) Trezentas. (B) Duzentas. (C) Trinta. (D) Vinte. (E) Doze.

4. O volume inicial de um tanque, hermeticamente fechado, é de 2m3 de ar. Cada golpe de uma

bomba de vácuo extrai 100 dm3 de ar desse tanque. Após o 13º golpe, quantos m

3 de ar

permaneceram no tanque?

5. O volume de 7m3 de liquido deve ser distribuído igualmente em ampolas cujo volume Maximo

é 0,25. Quantas ampolas serão usadas?

6. Uma fabrica produziu 3t (1t = 1000kg) de suco de laranja. Essa quantidade de suco deve ser engarrafada colocando-se 750g de suco em cada garrafa. Quantas garrafas serão utilizadas? 7. (TÉC.JUDIC.-2002-CEARÁ-FCC)O tampo de uma mesa tem a forma de um quadrado, cujo lado mede 120 cm. Se ele deve ser revestido por um material que custa R$ 18,50 o metro quadrado, a quantia mínima a ser desembolsada para se executar esse serviço é (A) R$ 26,64 (B) R$ 25,86 (C) R$ 24,48 (D) R$ 22,20 (E) R$ 20,16 8. O tanque de combustível de um automóvel tem forma de um paralelepípedo retângulo, com as seguintes dimensões: 80 cm de comprimento, 40 cm de largura e 20 cm de altura. Ao sair para uma viagem, encheu-se totalmente o tanque. Ao se chegar ao destino, verificou-se ter gasto 2/5 do combustível que havia no tanque. Quantos litros sobraram?

9. Transforme em dias: a) 2a 7 me 15 d b) 1a 9 me 20 d 10. Transforme em meses: a) 2a 7 me 15 d b) 3a 4 me 20 d 11. (AUX.PER.CRIM.-2002-AMAPÁ-FCC) Uma das caixas de água de um prédio mede 1,5 m de comprimento, 8 dm de largura e 120 cm de altura. O número de litros de água que ela comporta é (A) 129,5 (B) 144 (C) 1 295 (D) 1 440 (E) 2 880

25

12. (TÉC.JUDIC.-PIAUÍ-2002-FCC) O volume de uma caixa d'água é de 2,760 m3. Se a água nela contida está ocupando os 3/5 de sua capacidade, quantos decalitros de água devem ser colocados nessa caixa para enchê-la completamente? (A) 331,2 (B) 184 (C) 165,6 (D) 110,4 (E) 55,2 13. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Pretende-se acondicionar 1 200 litros de fertilizante em recipientes, cada um com capacidade para 0,025 m3. A menor quantidade de frascos que deverão ser usados é (A) 48 (B) 50 (C) 96 (D) 480 (E) 500 14.(SECRET.ESC.-SP-2003-FCC) A coleta seletiva de lixo de uma escola prevê conseguir 5 quilos de alumínio, por semana, provenientes de latas recicláveis. Se 3 latas vazias têm massa aproximada de 20 gramas, a meta da escola será atingida se forem arrecadadas semanalmente um total de latas igual a (A) 250 (B) 300 (C) 550 (D) 600 (E) 750 15. (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Em uma rodovia, uma carreta está transportando 65 toras de madeira, cada qual com peso de 82 kg. Se a carreta vazia pesa 3,5 toneladas, então, ao parar num posto de pesagem, quantas toneladas a balança marcará? (A) 6,43 (B) 7,87 (C) 8,83 (D) 9,27 (E) 9,63 Gabarito:

1. 1.728 ladrilhos e R$ 103,68

2. 250 m

3.B

4. 0,7m3

5. 28.000 ampolas

6. 4.000 garrafas

7. A

8. 38,4

9. a) 945d b) 650d

10. a) 2

63 me b)

3

122 me

26

11.A

12.D

13.A

14.E

15.C

27

RAZÕES E PROPORÇÕES

RAZÃO Dados dois números a e b, com b 0, chamamos de razão ao quociente de a com b. Expressa uma comparação de a com b.

Indicamos razão por b

a ou a : b, onde a é o antecedente b é o conseqüente.

Razões inversas Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um.

Exemplo: 12

1

1

2

2

1 e

1

2

Razão entre dois números

Dados dois números a e b 0, denomina-se razão de a para b ao quociente b

a. O número a é

denominado antecedente e o número b, conseqüente da razão. Exemplos: Uma prova de Matemática é composta de 15 questões. Um aluno acertou 10 delas. Determinar: 1) A razão do número de questões que acertou para o número de questões que havia na prova.

Neste caso, a razão é: 3

2

15

10

Ou seja, o aluno acertou 2 em cada 3 questões, ou também podemos dizer que ele acertou 3

2

das questões. 2) A razão do número de questões que acertou para o número de questões que errou.

Neste caso, a razão é 21

2

5

10

Razões Equivalentes

Dada uma razão qualquer b

a, onde b 0, podemos escrever inúmeras razões equivalentes a

ela, bastando, para isso, multiplicar (ou dividir) o antecedente e o conseqüente pelo mesmo número. Exemplos:

a) Escrever razões equivalentes à razão 3

2:

9-

6-

6-

4-

6

4

18

12

15

10

12

8

9

6

3

2

b) Escrever razões equivalentes a ...12

32

6

16

3

8

28

(não é uma proporção)

mais, invertendo somente uma razão, determinamos uma

proporção (inversa) ou

A razão pode ser estabelecida entre duas grandezas.

PROPORÇÕES

Quando escrevemos a igualdade entre duas razões, temos uma proporção.

Por exemplo: d

c

b

a ou a : b : : c : d

4

2

2

1 é uma proporção

15

25

3

5 é uma proporção

Temos assim, a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos

Simbolicamente, se d

c

b

a então, b . c = a . d

Proporção Produto dos Meios Produto dos Extremos

15

12

5

4 5 . 12 = 60 4 . 15 = 60

Outras propriedades das proporções P1 – Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o 1° ou para o 2°, assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3° ou 4° termo.

d

c

b

a

d

dc

b

ba

0 d ec b,a, com

c

dc

a

ba

d

c

b

a

d

d-c

b

b-a

0 d ec b,a, com

c

d-c

a

b-a

P2 – Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo conseqüente.

29

d

c

db

ca

0 db e db, com

b

a

db

ca

d

c

b

a

d

c

d-b

c-a

0 d-b e db, com

b

a

d-b

c-a

d

c

b

a

P3 – Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo conseqüente.

d²

c²

bd

ac

0 b e d com

b

a

bd

ac

d

c

b

a2

2

Proporções Múltiplas Quando temos uma igualdade de mais de duas razões, dizemos que se trata de uma proporção múltipla.

f

e

d

c

b

a e observando as propriedades Fundamental e P2, podemos escrever:

1) f

e

d

c

b

a

fdb

eca

2) f

e

d

c

b

a

f-db

e-ca

3) f

e

d

c

b

a

fd-b

ec-a

4) f

e

d

c

b

a

f-d-b

e-c-a

30

Exercícios propostos: 01. Numa cidade 3/16 dos moradores são de nacionalidade estrangeira. Se o total de habitantes é 30.000, o número de brasileiros na cidade é A) 23.865 B) 24.375 C) 25.435 D) 25.985 E) 26.125 02 - Num dado momento, no almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos de impressos: A e B. Após a retirada de 80 unidades de A, observou-se que o numero de impressos B estava para o de A na proporção de 9 para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades de B e a proporção passou a ser de 7 de B para cada 5 de A. Inicialmente, o total de impressos dos dois tipos era A) 780 B) 800 C) 840 D) 860 E) 920 03. Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que: 3/8 foram arquivados numa primeira e etapa e1/4 numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era A) 18 B) 24 C) 27 D) 30 E) 34 04. Os salários de dois funcionários A e B,

nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de 8 é igual a RS 6.800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? A) R$ 200.00 B) R$ 250,00 C) R$ 300,00 D) R$ 350,00 E) R$ 400,00 05. Em uma caixa havia chocolates e balas. João abrir a caixa e comeu um terço das balas e um terço dos chocolates que encontrou. Pedro chegou em seguida e comeu metade das balas que encontrou e cinco chocolates. Em seguida o Dr. Feitosa chegou, e havia 5 balas e um terço do número inicial de chocolates. Podemos concluir que a quantidade de guloseimas (balas + chocolates) que João comeu foi: A) 10 B) 18 C) 24 D) 54 E) 32 06. Dos 16 veículos que se encontravam em uma oficina, sabe-se que o número x, dos que necessitavam ajustes mecânicos, correspondia a 5/3 do n.º y, dos que necessitavam de substituição de componentes elétricos. Se nenhum desses veículos necessitava dos dois tipos de conserto, então x-y é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Gabarito

1B 2ª 2B 5E 5A 6D

31

NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS DEFINIÇÃO Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A

e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3; ...; an)

e B = (b1; b2; b3; ...; bn), então:

n

n

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

b

a K

K é denominado fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade; Exemplo: Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12).

2

1

12

6 K

2

1

8

4 K

2

1

10

5 K

2

1

6

3 K

Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é: 2

1

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

DEFINIÇÃO Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os

elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;

...; an) e B = (b1; b2; b3; ...; bn), então:

nn2211b a ... b a b a K

Exemplo: Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4): K = 1 . 20 = 20 K = 2 . 10 = 20 K = 4 . 5 = 20 K = 5 . 4 = 20 Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20.

32

DIVISÃO PROPORCIONAL Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3. Solução: Divida 180 em partes proporcionais a (2, 5 e 11). Solução: Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. Solução: Divida em 18 em partes inversamente proporcionais a (2, 3, 6). Solução: Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcionais a 1 e 4. Solução: Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4. Solução:

33

Exercícios Propostos

01. (TÉC.JUDIC.-PIAUÍ-2002-FCC) Dois sócios constituíram uma empresa com capitais iguais, sendo que o primeiro fundou a empresa e o segundo foi admitido 4 meses depois. No fim de um ano de atividades, a empresa apresentou um lucro de R$ 20 000,00. Eles receberam, respectivamente, (A) R$ 10 500,00 e R$ 9 500,00 (B) R$ 12 000,00 e R$ 8 000,00 (C) R$ 13 800,00 e R$ 6 200,00 (D) R$ 15 000,00 e R$ 5 000,00 (E) R$ 16 000,00 e R$ 4 000,00 02. (TRT-21ª REGIÃO-2003-FCC) Certo mês, os números de horas extras cumpridas pelos funcionários A, B e C foram inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8 meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três cumpriram um total de 56 horas extras, então o número de horas extras cumpridas por B foi (A) 8 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 36 03. (TÉC.JUDIC.1ª REGIÃO-FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é (A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) 56

04. (AG.PENIT.-2002-AMAPÁ-FCC) Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de serviço

de três soldados na corporação, que devem dividir entre si um certo número de fichas cadastrais para verificação.

Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na corporação, o número de fichas que caberá a (A) Daniel é 180. (B) Manoel é 176. (C)) Daniel é 170. (D) Manoel é 160. (E) Daniel é 162.

GABARITO: 01.B 02.B 03.C 04.E

34

REGRA DE TRÊS São situações problema, que envolvem proporções, onde a incógnita a ser determinada é a quarta proporcional.

x

c

b

a(Quarta proporcional)

REGRA DE TRÊS SIMPLES Problemas de regra de três simples envolvem sempre duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. São dados dois dos valores que uma das grandezas assume; dos correspondentes valores assumidos pela segunda grandeza somente um é conhecido, o outro deverá ser determinado. Exemplos:

a) Se 20 operários completam determinado serviço em 9 dias, quantos operários farão o mesmo serviço trabalhando 5 dias? Solução: Seja x o número de operários procurado. Então: Operários Tempo (d) As flechas, em sentidos opostos, indicam que, se o número de operários aumentar, o número de dias, para fazer o mesmo serviço, irá diminuir; ou seja, as grandezas são inversamente proporcionais.

Logo, 9

5

x

20

E, portanto 5x = 180 donde x = 36 Assim o número de operários procurado é 36. b) Joana comprou 3,2 m de tecido para fazer um vestido. Se fosse fazer 4 vestidos iguais, que metragem de pano deveria comprar? Solução: Seja x o valor procurado Metragem (m) N° de vestidos Aqui, as grandezas são diretamente proporcionais e, por isso, as flechas estão no mesmo sentido. De fato, para fazer mais vestidos, Joana deverá adquirir mais tecido.

Então: 4

13,2

x

Assim, ela deverá comprar 12,8 m de tecido.

35

24.15

360x

REGRA DE TRÊS COMPOSTA Os problemas de regra de três composta envolvem sempre mais de duas grandezas. Das grandezas envolvidas, conhecem-se todos os valores respectivamente correspondentes, exceto de uma delas, onde apenas um valor é conhecido e o outro deve ser determinado. Aqui, também, as flechas vão indicar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Isto significa que, fixada a flecha da grandeza da qual vai determinar um valor, coloca-se flecha no mesmo sentido nas grandezas diretamente proporcionais a ela, e, em sentido contrário, nas grandezas que são inversamente proporcionais à fixada. Exemplo: a) Sabe-se que 5 máquinas produzem 60 mts de tecido em 2 horas. Pergunta-se quantos metros de tecido serão produzidos por 10 maquinas do mesmo tipo, trabalhando 6 horas? Solução: Seja o número de metros procurados. Temos:

Nº de Máquinas Quantidade de tecido (m)

Tempo (h)

1º compara-se a grandeza, quantidade de metros e tempo (h)

Nº de Máquinas Quantidade de

tecido (m) Tempo (h)

2º compara-se a grandeza, quantidade de metros e número de maquinas.

Portanto: serão produzidos 360 m.

Portanto: b) Sabendo-se que 20 operários executam determinado serviço em 12 dias de 9 horas cada, pergunta-se quantos operários realizarão o mesmo serviço trabalhando 15 dias de 6 horas cada? Solução: Seja o número de operários procurado. Temos: Nº de operários Nº de dias Nº de horas diárias Teremos 24 operários. c) 2 azulejistas assentam azulejos numa parede de 20 m por 3 m em 3 dias. Em quantos dias, 3 azulejistas, com o mesmo ritmo de trabalho, assentam azulejos numa parede de 30 m por 4 m?

Nº de azulejistas Comprimento da parede (m)

Altura da parede (m)

Tempo (d)

2 20 3 3

3 30 4 x x = 4 Logo serão necessários 4 dias.

360. x donde , 6

1

x

60

39

EXERCÍCIOS PROPOSTOS REGRA DE TRÊS SIMPLES 1) (TÉC.JUDIC.-TRT-24ª-FCC) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm, todas, a mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em (A) 8 horas e 40 minutos. (B) 8 horas e 20 minutos. (C) 7 horas e 45 minutos. (D) 7 horas e 30 minutos. (E) 7 horas e 15 minutos. 2)(AUX.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Ao catalogar os tipos de produtos agrícolas existentes em estoque, um auxiliar de serviços de campo observou que gastava, em média, 25 minutos para catalogar 15 tipos. Nessas condições, se trabalhar ininterruptamente por 1 hora e 20 minutos, espera-se que o número de produtos que ele consiga catalogar seja (A) 36 (B) 38 (C) 42 (D) 45 (E) 48 3) Um ônibus com a velocidade de 80 km/h vai da cidade A até a cidade B em 2 h. Nas mesmas condições e corn a velocidade de 100 km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância? a) 1 h 20 min d) 1 h 36 min b) 1 h 30 min e) n. r. a. c) 2 h 30 min 4) (AUX.JUD.-TRF-1ª-2001-FCC) Em uma gráfica, uma máquina imprimiu 8.520 unidades de certo formulário num determinado período de tempo. Quantas unidades desse formulário seriam impressas no mesmo período por outra máquina, cujo rendimento corresponde a ¾ do rendimento da primeira? (A) 11 360 (B) 8 250 (C) 7 490 (D) 6 390 (E) 6 315 5) Uma máquina, varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 h de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2? a) 6 h d) 9 h b) 7 h e) n. r. a. c) 8 h

6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1 em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0,15?

a) 15 dias d) 25 dias b) 20 dias e) n. r. a. c) 10 dias

7) A cantina da escola possuía um estoque de hamburguer a ser vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havído uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de "hambuguer" se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de: a) 1.350 d) 450 b) 900 e) n. r. a. c) 750 8) São necessários 25 dias para que sejam

asfaltados 3

2 de uma determinada estrada.

Para se asfaltar 5

3 dessa mesma estrada, são

necessários: a) 7 dias e 12 h d) 22 dias e 12 h b) 15 dias e) n. r. a. c) 20 dias 9) Um motociclista fez o percurso de 40 km entre duas cidades ern 35 minutos. Se a

velocidade fosse igual a 5

2 da anterior, faria o

mesmo percurso em? a) 1 h 27 min 20 s d) 1 h 37 min b) 1 h 27 min 30 s e) n. r. a. c) 2 h 17 min 10 s 10) Um acampamento corn 10 soldados dispõe de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais de 20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento? a) 2 meses d) 4 meses b) 3 meses e) n. r. a. c) 1 mês

RESPOSTAS 1) d 5) b 8) d 2) e 6) a 9) b 3) d 7) d 10) c 4) d

40

EXERCÍCIOS PROPOSTOS REGRA DE TRÊS COMPOSTA 1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for aumenteda para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão? a) 15 dias d) 35 dias b) 20 dias e) n. r. a. c) 30 dias 2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8 h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5 h de trabalho, de quantos operários deverá ser acrecida a equipe? a) 5 d) 8 b) 4 e) n. r. a. c) 6 3) Três máquinas operando 8 horas por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam produzidos por 7 máquinas que operassem 11 horas por dia? a) 15.000 d) 16.000 b) 15.400 e) n. r. a. c) 15.800 4) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1.500 rpm em 5 horas. Se esse motor funcionar a 1.800 rpm durante 3 horas, qual será o consumo do óleo? a) 8,4 L d) 12,4 L b) 9,4 L e) n. r. a. c) 14,4 L 5) Vinte operários constroem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir à terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia? a) 5 d) 15 b) 10 e) n. r. a. c) 12 6) Um funcionário, trabalhando 8 horas por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de um tempo correspondente a: a) 3 h 56 min d) 2 h 24 min b) 3 h 42 min e) n. r. a. c) 3 h 10 min

7) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5 horas por dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8 horas por dia, executarão o mesmo serviço em? a) 3 dias d) 6 dias b) 4 dias e) n. r. a. c) 5 dias 8) Um carro percorre 4.320 km em 5 dias, rodando em média 8 h/dia. Quantos dias serão necessá-rios para percorrer 2.916 km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9 horas por dia? a) 2 dias d) 4,5 dias b) 3 dias e) n. r. a. c) 4 dias 9) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300 m. Quanto tempo levará uma turma de 16 trabalhando 9 horas por dia para construir um muro de 225 m? a) 15 dias d) 25 dias b) 20 dias e) n. r. a. c) 10 dias 10) Doze pedreiros constroem 27 m2 de um muro em 30 dias, de 8 horas. Quantas horas devem traba-lhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36 m2 do mesmo muro? a) 8 h d) 11 h b) 9 h e) n. r. a. c) 10 h 11) Oito pedreiros levantaram um muro em 10 dias, trabalhando 6 h por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias? a) 20 h d) 11 h b) 18 h e) n. r. a. c) 16 h

RESPOSTAS 1) d 5) d 9) a 2) a 6) d 10) c 3) b 7) c 11) a 4) c 8) b

41

a) Percentual: 15%

b) Fração centesimal:

c) Decimal ou unitária: 0,15

PORCENTAGEM OU PERCENTAGEM Observe a seguinte situação: Nas pesquisas eleitorais, 15% estão indecisos. A colocação feita significa que dentre cada 100 pessoas entrevistadas, 15 estão indecisas. 15% é a taxa de porcentagem ou percentual, 15 é a porcentagem, admitindo-se 100 como principal. Formas de taxa:

p = i . P p = porcentagem

i = taxa P = principal Os problemas de porcentagem são tão-somente problemas de uma regra de três simples, onde as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Exemplos: a) Numa classe de 35 alunos, compareceram 28. qual a taxa da presença? E da ausência? Solução: Temos: 35 alunos correspondem a 100% 28 alunos correspondem a x% Então: 35 - 100 28 - x x = 80% b) Em um certo dia, 200 funcionários de uma fábrica não comparreceram ao trabalho. Sabendo-se que 60% estiveram presentes, quantos funcionários existem na fábrica? Presentes: 60% - x 40% - 200

40%

200 60%x

x = 300 então o total é:

300 + 200 = 500 funcionários.

AUMENTOS SUCESSIVOS Imagine a seguinte situação: Um comerciante realiza dois aumentos, um após o outro, de 20% e 10%. Qual foi o percentual total de aumento? 100 + 20% de 100 = 120 (1º aumento) e 120 + 10% de 120 = 132 (2º aumento)

Diferença: 132 – 100 = 32

32%

42

Utilizando uma expressão apenas para o percentual de aumento: (1+i1) . (1+i2) –1 = (1,2) x (1,1)=1,32–1 = 0,32 ou 32%

Generalizando: (1+i1) . (1+i2) . (1+i3)... – 1

ABATIMENTOS SUCESSIVOS A situação é de abatimentos, um após o outro de 20% e 10%: 100 – 20% de 100 = 80 (1º desconto) e 80 – 10% de 80 = 72

Diferença: 100 – 72 = 28 ou seja 28%

de abatimento total. Utilizando uma expressão para o percentual de abatimento ou desconto. 1 - (1-i1) . (1-i2) = 1 - (1 - 0,2) x (1 - 0,1) =1 – (0,8) x (0,9) = 1 – 0,72 = 0,28 ou 28%

Generalizando: 1 - (1-i1) . (1-i2) . (1-i3)...

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) (TÉCN.JUDIC.-BAHIA-2003-FCC) Comparando as quantidades de processos arquivados por um técnico judiciário durante três meses consecutivos, observou-se que, a cada mês, a quantidade aumentara em 20% com relação ao mês anterior. Se no terceiro mês ele arquivou 72 processos, qual o total arquivado nos três meses? (A) 182 (B) 186 (C) 192 (D) 196 (E) 198 2) (TRT-21ª REGIÃO-2003-FCC) Um comerciante compra um artigo por R$ 80,00 e pretende vendê-lo de forma a lucrar exatamente 30% sobre o valor pago, mesmo se der um desconto de 20% ao cliente. Esse artigo deverá ser anunciado por (A) R$ 110,00 (B) R$ 125,00 (C) R$ 130,00 (D) R$ 146,00 (E) R$ 150,00 3) (AUX.SERV.CAMPO-MARANHÃO-2005-FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a 02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o mesmo observado em 02/01/2004, então, relativamente a 02/01/2005, será necessário um aumento de (A) 60% (B) 80% (C) 150% (D) 160%

43

(E) 180% 4) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das famílias têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% casa própria e automóvel. O percentual dos que não tem casa própria nem automóvel é de: a) 46% d) 40% b) 54% e) n. r. a. c) 60% 5) (GUARDA CIVIL METR.-SP-2004-FCC) Uma mercadoria é vendida à vista por R$ 799,00, ou em duas prestações iguais. Sabendo que o preço total da mercadoria a prazo é 10% superior ao preço à vista, cada prestação da compra a prazo é igual a (A) R$ 479,40 (B) R$ 459,99 (C) R$ 439,45 (D) R$ 419,99 (E) R$ 403,45 6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre: a) 20,12% d) 15% b) 10,18% e) n. r. a. c) 8% 7) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. para iludir os consumidores, o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de: a) R$ 26,00 d) R$ 34,00 b) R$ 28,00 e) n. r. a. c) R$ 31,00

RESPOSTAS

1. A 2. C

3. C 4. C

5. C 6. A

7. B

44

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS P.A. E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS P.G.

Progressão Aritmética ou Seqüência Aritmética

Uma sucessão de números (a1, a2, a3, ..., an – 1, an) forma uma Progressão Aritmética (P.A.), se cada um de seus

termos, a partir do 2º, for igual ao anterior somado com uma constante denominada de razão da P.A.

Exemplos:

1) (5, 8, 11, 14, ... ) é uma P.A. crescente, cuja razão r = 11 – 8 = 3

... 2, ,

2

3 1, ,

2

1 é uma P.A. crescente, cuja razão r = 1 –

2

1

2

1

( – 8, – 5, – 2, 1, 4, ...) é uma P.A. crescente, cuja razão r = 4 – 1 = 3

( 3, 3, 3, ... ) é uma P.A. constante, cuja razão r = 3 – 3 = 0

( 12, 7, 2, – 3, – 8, – 13, ... ) é uma P.A. decrescente, onde r = 2 – 7 = – 5

Termo Geral da P.A.

A fórmula que nos permite calcular um termo qualquer de uma P.A. é:

onde: an = termo geral (ou termo de ordem n)

a1 = primeiro termo

n = quantidade de termos

r = razão da P.A.

OBS.: Em sala veremos como calcular sem uso de fórmulas.

Soma dos termos da P.A.

A fórmula que nos permite calcular a soma dos termos de uma P.A. finita é:

Por exemplo, a soma dos termos da P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 23) é:

A1 = 3 ( 1º termo ) S6 =

78 2

156

2

6 x 26

2

6 x 23 3

An = (último termo)

N = 6

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA OU SEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA

an = a1 + ( n – 1 ) r

Sn =

45

Uma seqüência de termos não nulos (a1, a2, a3, ..., an – 1, an) forma uma Progressão Geométrica (P.G.), se o

quociente de cada um de seus termos, a partir do 2º, pelo seu antecessor, for sempre o mesmo. Este quociente é

chamado a razão da P.G. e é indicado por q

Exemplos:

(3, 12, 48, 192, ...) é uma P.G., pois: P.G. da razão 4 48

192

12

48

3

12

(128, 64, 32, 16, ...) é uma P.G., pois: 2

1

32

16

64

32

128

64 é a razão

(5, 5, – 5, 5, 5, ...) é uma P.G., pois: 1 5

5

5

5

é a razão

... ,

4

1 ,

2

1 1, é uma P.G., pois:

2

1

2

14

1

1

2

1

é a razão

Fórmula do termo geral

onde: an = termo geral (ou termo de ordem n)

a1 = 1º termo

q = razão da P.G.

n = quantidade de termos

Soma dos termos de uma P.G. finita

A fórmula que nos permite calcular a soma dos termos de uma P.G. com um número finito de termos é:

Sn

1 q

q xa 1 n1

( I )

A partir desta fórmula podemos derivar uma outra que nos dá a soma dos termos em função de a1, an e q. Essa

fórmula é a seguinte:

Sn 1 q

a q x a 1n

( II )

OBS.: Em sala veremos como calcular sem a fórmula

Soma dos termos de uma P.G. decrescente e infinita

Seja, por exemplo, a P.G.

... ,

100

1 ,

10

1 1, 10, 100,

A fórmula que nos permite achar o limite para o qual tende a soma das infinitas parcelas de uma P.G.

decrescente e ilimitada, tal como a que apresentamos acima é:

an = a1 x qn – 1

46

Sn = q 1

a1

Logo, somando os infinitos termos da P.G.

... ,

100

1 ,

10

1 1, 10, 100, obtemos:

Sn =

9

1000

9

10100x

10

9

100

10

1 1

100

Produto dos termos de uma P.G. finita

A fórmula que nos permite calcular o produto dos termos de uma P.G. como um número conhecido de termos,

é:

2n

n1n

n1 a a a a pn

EXERCÍCIOS

01. (BACEN/98) A respeito das sucessões A e B, podemos afirmar que

A: – 8, – 6, – 4, ...

B: 17, 14, 11, ...

a) elas não têm termos iguais.

b) o 6º termo de A e de B são iguais.

c) o 10º termo de A e de B são iguais.

d) elas têm sete termos iguais.

e) elas têm cinco termos iguais.

02. Numa P.A. o quinto e décimo segundo termos são respectivamente, 10 e 80. O 1º termo é:

a) 10

b) – 30

c) – 10

d) 20

e) 30

03. A soma dos 10 primeiros termos da PA ( – 4; – 2; 0; ...) vale:

a) 20

b) 40

c) 30

d) 50

04. (TFC/95) Cinco números estão em progressão geométrica, sabendo-se que o primeiro é igual a 2 e o último a 32,

o valor do quarto número é:

47

a) 30

b) 28

c) 24

d) 17

e) 16

GABARITO

01. B

02. B

03. D

04. E

48

PROBABILIDADE

CONCEITOS BÁSICOS

Experimentos aleatórios

Denominam-se experimentos aleatórios os experimentos cujos resultados não podem ser previstos.

Exemplos:

a) Resultado dos jogos da loteria esportiva.

b) Ao se lançar um dado, qual a face que está voltada para cima.

Espaço amostral

É o conjunto com todas as possibilidades de resultados de um experimento aleatório

Exercício:

Determine os espaços amostrais (S) referentes aos experimentos abaixo citados:

a) Tira-se uma carta de um baralho e anota-se o tipo de carta que saiu. S = (ouro, copas, paus, espada)

b) Lança-se um dado e anota-se a face voltada para cima: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) Lança-se um dado e uma moeda (considere K = cara e C = coroa).

S = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6)}

Eventos Denomina-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral S. Para reconhecer os diversos

tipos de eventos, vamos considerar uma caixa com 4 bolas, cada uma delas com um número: 1, 2,

3ou 4.

Evento certo

M: Retirar, da caixa, 4 bolas, sem reposição, uma de cada vez e obter ou 1 ou 2 ou 3 ou 4.

M = {1, 2, 3, 4}

Evento impossível

N: Retirar da caixa uma bola com o número 6. N = Ø

Eventos complementares

Considere um evento A e seu espaço amostral S.

Denomina-se complementar de A em relação a S ao conjunto A, tal que:

a) A Ā = S b) A Ā = Ø

O evento-A pode ser interpretado como a negação de A.

Imagine que A: números pares A = {2, 4}

Então Ā números de S que não são pares Ā = {1, 3}

Para obtermos o evento Ā devemos tomar os elementos de S que não estão em A.

Eventos mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando A B = Ø.

Exemplo: A: números pares

B: números impares A B = Ø

Evento elementar

É formado por um único elemento de um Espaço Amostral.

Exemplo: No lançamento de um dado limpo, obtermos um número par que seja primo.

49

Espaço Amostral Equiproválvel É quando a probabilidade de ocorrência de seus eventos elementares é a mesma.

Probabilidade de um evento

A probabilidade de um evento é calculada pela razão :)(

)()(

Sn

AnAP onde

P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A.

n(A) é o número de elementos do evento A.

n(S) é o número de elementos do evento S.

Propriedades básicas das probabilidades

1) A probabilidade de ocorrer o evento A é um número compreendido entre 0 e 1: 0 < P(A) < 1

2) A probabilidade de ocorrer o evento certo é igual a 1: P(S) = 1

3) A probabilidade de ocorrer o evento impossível é zero: P(Ǿ) = 0

Exemplos:

1) No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de

ocorrer:

a) A: número primo

b) B: múltiplos de 3 B = {3, 6} n(B) = 2 e n(S) = 6

P(B) = )(

)(

Sn

Bn = 6

2 =

3

1

2) Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 ?

N(S) = 18 A = {3, 6, 9, 18} n(A) = 4 P(A) = 18

4 =

9

2 ou 0,222 = 22,2%

Soma de probabilidades

Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral S. Da teoria de conjuntos, temos que:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Podemos dividir os dois membros de uma equação por um mesmo número, obtendo assim uma

equação equivalente. Vamos, então, dividir por n(S): )(

)(

Sn

BAn =

)(

)(

Sn

An +

)(

)(

Sn

Bn -

)S(n

)BA(n P(A

B) = P(A) + P(B) – P(A B) Essa fórmula deve ser usada quando queremos obter a probabilidade de ocorrerem dois

Eventos, sempre separados pela palavra ou. Quando os eventos são separados pela palavra e calcula-se P(A B).

Exemplo: Lançando-se um dado qual é a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3.

Vimos que n(S) = 6

Evento A: n° par A = {2, 4, 6} n(A) = 3 P(A) = 6

3 =

2

1

Evento B: múltiplo de 3 B = {3, 6} n(B) = 2 P(B) = 6

2 =

3

1

A B: n° par e múltiplo de 3 A B = 6 n(A B) = 1 P(A B) = 6

1

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(A B) = 3

2

6

4

6

123

6

1

3

1

2

1

ou 0,666 = 66,7%

50

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não

Interferir na ocorrência do outro.

Se A e B forem eventos independentes, então a probabilidade de ocorrer A e B é calculada por:

P(A B) = P(AP x P(B)

Exemplo: Uma urna contem 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas. Calcule a probabilidade de,ao se

Retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1a amarela e a 2

a branca.

Temos que n(S) = 15

A: amarelas n(A) = 6 P(A) = 5

2

15

6

B: brancas n(B) = 9 P(B) =14

9

A B: 1a amarela e 2

a branca P(A B) =

35

9

14

9

5

2x ou 0,257 = 25,7%

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Vai ocorrer uma mudança no Espaço Amostral.

Exemplo:

Em uma urna foram colocadas 10 fichas numeradas de 1 a 10, retirando-se ao acaso uma dessas fichas:

a) Qual é a probabilidade do número ser par, sabendo-se que é maior que 7?

b) Qual é a probabilidade do número ser maior que 7, sabendo-se que ele é impar?

EXERCÍCIOS

1. No lançamento de um dado e de uma moeda, ao mesmo tempo, determine a probabilidade de se obter cara e um

número par.

2. Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade de se, ao retirar uma bola, obter um divisor de

20.

3. (UNESP/SP) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que a soma de suas

faces superiores seja 7 ou 9 é:

a) 6

1 b)

9

4 c)

11

2 d)

18

5 e)

7

3

4. De um baralho de 52 cartas extraiu-se uma carta ao acaso. Calcule a probabilidade dessa carta ser dama ou carta

de outros.

Obs.: Num baralho há 13 cartas de cada tipo (ouros, paus, espada e copas). Há, também, 4 damas, 4 valetes, 4 reis

e 4 azes (um de cada tipo).

5. Calcule a probabilidade de se obter cara e um múltiplo de 3 quando se lança uma moeda e um dado.

51

6. Em Barueri 60% dos habitantes são homens. Dentre todos os habitantes da cidade, 3% são canhotos. Determine a

probabilidade de um habitante, escolhido ao acaso, ser mulher e canhota.

Gabarito

1. 0,25 = 25% 5. 6

1

3

1

2

1x ou 0,166...

2. P(A) = 10

3

20

6 ou 0,3 = 30% 6. 012,0

100

3

100

3

5

2x

3. P(A B) = 18

5

36

10

36

4

36

6 4.

13

4

52

16

52

1

52

13

52

4

Equações do 2º grau

Uma equação em x é dita do 2º grau, quando pode ser escrita na forma:

ax2 + bx + c = 0 , onde a, b e c são números reais com a ≠ 0.

Exemplos de Equações do 2º grau a) x2 - 6x + 8 = 0 b) x2 + x - 4 = 0

c) -x + 2x2 + ½ = 0

d) 1 - 5x - x2 = 0

e) 5 + x2 = -3x

f ) -x + x2 = 0

g) 03

x2

Resolução: Para resolvermos, ou determinarmos o conjunto solução de uma equação do 2º grau, utilizamos a fórmula de Bhaskara.

Equações incompletas

52

Usando a fórmula de Bhaskara ou nas seguintes situações: a) Na forma ax2 + bx = 0 , fatora-se isolando x: Exemplo: x2 – 4x = 0 x* (x – 4) = 0 x = 0 ou x – 4 = 0 x = 4 S = {0, 4} b) Na forma ax2 + c = 0, isola-se o termo com x: Exemplo: x2 – 4 = 0 x2 = 4

x = ± 4 = ± 2 S = {-2, 2} Equações completas Usando a fórmula ou a relação entre coeficientes e raízes.

Exercícios: Determine o conjunto solução das equações abaixo:

53

a) x2 - 5x + 6 = 0

b) x2 - 7x + 10 = 0

c) x2 - 6x + 9 = 0

54

g) 2x2 - 12x + 16 = 0 h) x2 - 4x = 0 i) x2 - 4 = 0 j) 6x2 - 5x + 1 = 0

d) x - x - 12 = 0

2

e) x + x - 12 = 0 2

f) x + 6x + 8 = 0 2

55

l) 15x2 - 13x + 2 = 0 m) x2 - x + 4 = 0 Anotações:

48

56

FUNÇÕES OU APLICAÇÕES Definição: Uma relação de A em B é chamada de função quando associa a todo elemento de A um único elemento em B. É um tipo de relação caracterizada por uma dependência.

f(x) = y

Função definida por uma sentença A função f : A B definida por y = x + 1. A sentença y = x + 1, diz que só servem os pares ( x, y

) que se encaixem na igualdade. Ex.: A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 3, 4, 5, 6 } f : A B, tal que y = x + 1 f: { ( 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ) }

R1

R1 É uma função de A em B, pois associa a todo elemento de A um único em B.

57

Domínio de uma função D( f ) É o próprio conjunto de partida. Ex.: A = { -1, 1, 2 } Imagem de uma função Im (f) É o conjunto formado pelos elementos do conjunto de chegada que participam da relação.

Ex.: { -3, 3, 6 } em R1 (acima).

FUNÇÕES DO 1º GRAU

São da forma y = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da função.

Sempre a 0. O gráfico cartesiano da função de 1º grau é sempre uma reta que pode ser de dois tipos:

a) a menor que zero ( negativo ) b) a maior que zero ( positivo )

função decrescente função crescente Valor numérico da função ou valor da função; f : R R definida por y = x + 2 ( ou f(x) = x + 2 )

Gráfico

x y = x + 2

-4 y=-4+2=-2 (-4, -2)

-3 y=-3+2=-1 (-3, -1)

-2 y=-2+2=0 (-2, 0)

-1 y=-1+2=1 (-1, 1)

0 y=0+2=2 (0, 2)

1 y=1+2=3 (1, 3)

2 y=2+2=4 (2, 4)

58

x

y

0

Gráfico Cartesiano: Exemplos

a) y = 3x – 2 b) y = - 2

1 x + 1

Note que a reta corta o eixo dos y (eixo das ordenadas) em b .

Construa o gráfico cartesiano das funções:

a) y= 2x-4

b) y= x-3

c) y= -2x-4

x

y

0

x

y

0

59

FUNÇÕES DO 2º GRAU

São na forma y = ax2 + bx + c com a 0

O gráfico da função de 2º grau sempre será uma parábola, que pode ser de dois tipos:

a < 0 concavidade para baixo a > 0 concavidade para cima Gráfico Exemplos:

a) y = x2 - 4x + 3 b) y = x

2 - 2x + 1

c) y = -x2 + 3x - 5 d) y = - x

2 + 1

Construa o gráfico cartesiano das funções:

a) y = x2 - 6x + 8 b) y = x2 - 7x + 10

c) y = -x2 + 6x – 8

Valor mínimo: a > 0 y = x2 - 6x + 8 ( )a4

Δ-,

a2

b-=v

60

3=2

4+2=

2

x′′+x′=xv

4=32-36=ac4-b=Δ 1-=4

4-=

a4

Δ-=y 2

v

Valor máximo: a < 0 y = - x2 + 6x – 8

3=2

4+2=

2

x′′+x′=xv

1+=4-

4-=

a4

Δ-=yv