MATEMÁTICA

6º AO 9º ANO

E. M. PROFª IRACEMA DE SOUZA MENDONÇA

SALA DE INFORMÁTICA - MATUTINO

ALUNO(A):

ALUNO(A):

ANO: DATA:

PROFESSORA: MARIA LUCIA

PCTE: ROSENY

LEIA COM MUITA ATENÇÃO CADA LEIA COM MUITA ATENÇÃO CADA INFORMAÇÃO CONTIDA EM CADA SLIDE, PARA INFORMAÇÃO CONTIDA EM CADA SLIDE, PARA

RESOLVER OS EXERCÍCIOS COM MUITA RESOLVER OS EXERCÍCIOS COM MUITA SEGURANÇA.SEGURANÇA.

Dara Alessandra

Elis Regina

9ano A27/05/2011

Equações do 2º Grau

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Definição:

  Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

Observe que:

a representa o coeficiente de  x²;b representa o coeficiente de x;c representa o termo independente.

Exemplos:

x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.

Equações Completas do 2º Grau

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 20.

-x² + 10x - 16 = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16.

Equações Incompletas do 2º Grau

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero.

Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)

Ex² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3.

-2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4.

Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)

3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2.

x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.

ATIVIDADE-11. Obtenha os coeficientes das

equações do 2° grau:a) 5x²-7x-3=0 a:5 b:-7 c:-3b) x²-4x +2=0 a:1 b:-4 c:2c) x²-x-1=0 a:1 b:-1 c:-1d) 2x²+7x+8=0 a:2 b:7 c:8e) x²-7x=0 a:1 b:-7 c:0f) x²-25=0 a:1 b:0 c:-25

2. Forme as equações do 2° grau em x: • a=1; b=-6 ; c= 5x²-6x+5=0

b) a=3; b=7 ; c= 8 3x²+7x+8=0

c) a=8; b=0 ; c=0 8x²=0

d) a=1; b=-3 ; c= 4 x²-3x+4=0

e) a=7; b=1 ; c= -15 7x²+1x-15=0

Raízes de uma Equação do 2º Grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir aincógnita de uma equação, transforma-a

numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade: Se x є IR, y є IR e x.y = 0 x = 0 ou y = 0

2ª Propriedade: Se x є IR, y є IR e x² = y x = √ y ou x = -√y

1º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)

2º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)

Resolução de Equações Incompletas

Resolução de Equações Incompletas

Equações da forma:ax² +bx = 0, (c = 0)

De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções:

x = 0

e

x = - b a

Equações da forma:ax² +c = 0, (b = 0)

De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0:

dpossui duas raízes reais se:- c for um nº positivo

a

não possui raiz real se:- c for um nº negativo

a

ATIVIDADE-2

1.Determine o conjunto verdade das equações:

x²-7x = 0 Δ=b²-4.a.c x=7+7=14/2=7

Δ=7²-4.1.0 x=7-7=0/2=0

Δ=49

b) 3x²-6x = 0

Δ=b²-4.a.c x=6+6=12/6=2

Δ=-6²-4.3.0 x=6-6=0/2=0

Δ=36

c) x² +5x = 0

Δ=b²-4.a.c x=-5+5=0/2=0

Δ=5²-4.1.0 x=-5-5=-10/2=-5

Δ=25

2.Determine o conjunto verdade das equações:

X² - 49 = 0 a=1 Δ=0²-4.1.49 x=14/2=7

Δ=196

2x² -32 = 0 Δ=0²-4.2.32 x=16/4 =4

Δ= 0+256

Δ=256

5x² - 20 = 0 Δ=0²-4.5.-20

Δ=400 x=

Resolução de Equações CompletasFórmula de Bhaskara

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bhaskara.

A partir da equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula de Bhaskara.

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

(4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a)

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

2º passo: passar 4ac para o 2º membro.

4a²x² + 4abx = - 4ac

Fórmula de Bhaskara

3º passo: adicionar b² aos dois membros.4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

4º passo: fatorar o 1º elemento.(2ax + b) ² = b² - 4ac

5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros. √ (2ax + b) ² = ± √ b² - 4ac

2ax + b = ± √ b² - 4ac

6º passo: passar b para o 2º membro.2ax = - b ± √ b² - 4ac

Trinômio Quadrado Perfeito

Fórmula de Bhaskara

7º passo: dividir os dois membros por 2a.2ax = - b ± √ b² - 4ac

2a 2a

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

x = - b ± √ b² - 4ac 2a

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac 2a 2a

Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta).

Δ = b2 - 4ac

Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara:

x = - b ± √ Δ 2a

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O)2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O)3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)

Discriminante

Δ > O Δ = O Δ < O

O valor de √Δ é real e a equação tem duas

raízes reais diferentes, assim representadas:

O valor de √Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e

iguais, assim representadas:

O valor de √Δnão existe em IR,

não existindo, portanto, raízes

reais.

x’ = - b + √Δ 2a

x” = - b - √Δ 2a

x’ = x” = -b 2a

As raízes da equação são número complexos.

Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau

Nessas equações (há incógnita no denominador), devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule. Vejamos, através do exemplo a seguir, como se resolvem as equações fracionárias.

ex + 1 = 5 (x ≠ 3) x - 3

- O m.m.c. é x – 3: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3) x – 3 x – 3 x – 3

- Eliminando os denominadores: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3) x² – 3x + 1 = 5x – 15

Equações Fracionárias Redutíveis aEquações do 2º Grau

- Transpondo e reduzindo: x² – 3x – 5x + 1 + 15 = 0

x² – 8x + 16 = 0

- Temos: Δ = b2 - 4ac

a = 1 Δ = (-8)² - 4 . 1 . 16

b = -8 Δ = 64 - 64

c = 16 Δ = 0

- Substituindo na fórmula: x = - b ± √Δ

2a

  x = - (-8) ± 0 = 8 ± 0 x’ = x” = 4 2 . 1 2 Logo, V = {4}

• x² -7x + 6 = 0

Temos: Δ = b2 – 4.a.c

a =1 Δ =b²-4.a.c

b = -7 Δ =7²-4.1.6

c = 6 Δ = 49-24=25

Substituindo na fórmula: x = - b ± √Δ

2a

X=7+5=12/2=6

x=7-5=2/2=1

ATIVIDADE- 3

2. Resolva as equações do 2º grau.

2. Resolva as equações do 2º grau.

b) -x² +12x - 20 = 0

Temos: Δ = b² – 4.a.c

a = -1 Δ =12²-4.-1.-20

b = 12 Δ = 144-80

c =-20 Δ = 81

Substituindo na fórmula: x = - b ± √Δ

2.a

x=-12+9=3/2

x=-12-9=11/2

Relações entre os Coeficientese as Raízes

1ª Relação: Soma das Raízes (S)

x’+x” = - b + √Δ + - b - √Δ = - b + √Δ - b - √Δ = -2b = -b 2a 2a 2a 2a a

2ª Relação: Produto das Raízes (P)

x’.x” = -b+√Δ . -b-√Δ = (-b+√Δ) . (-b-√Δ) = (-b)²-(√Δ)² = b²-Δ 2a 2a 4a² 4a² 4a²

Como ∆ = b² - 4ac, temos:

x’.x” = b²- (b² - 4.a.c) = b² - b² + 4.a.c = 4.a.c = c 4a² 4a² 4.a.a a

Relações entre os Coeficientese as Raízes

Soma das Raízes:

É representada pela letra S.

S = x’+ x” = -b

a

Produto das Raízes:

É representado pela letra P.

P = x’. x” = c

a

Composição de uma Equação do2º Grau, Conhecidas as Raízes

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos:

ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0

a a a a a

Como: S = x’+ x” = -b e P = x’. x” = c

a a

Podemos escrever a equação desta maneira:

x2 - Sx + P = 0

Exercício sobre Composição

Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. 

Solução: 

A soma das raízes corresponde a: 

S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5 

O produto das raízes corresponde a: 

P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 

A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14. 

Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

Componha a equação do 2º grau cujas raízes são: • 5 e 2

• -2 e -3 x²-sx+p=0

• x²+5x-6=0

• 4 e -5 x²-sx+p=0

• x²+1x+20=0

• -5 e 5 x²-sx+p=0 x²-25=0

ATIVIDADE – 4

x²-sx+p=0x²-7x+10=0