Matematicas I

Marıa Burgos Navarro

Pedro A. Garcıa Sanchez

Jose Carlos Rosales

Moises Villegas

Departamento Matematica Aplicada, Universidad de Cadiz

Departamento de Algebra, Universidad de Granada

Departamento de Algebra, Universidad de Granada

Departamento Matematica Aplicada, Universidad de Cadiz

Estas notas se iniciaron durante la ejecucion del proyecto de innovacion docente“Recursos TIC en la docencia matematica, interactividad con la pizarra digital”

de la Universidad de Almerıa

Parte de los contenidos de estos apuntes han sido extraıdos de los apuntesNotas de Algebra Lineal y Estructuras Matematicas.

Indice general

Capıtulo 1. Numeros complejos 51. Definicion axiomatica de R 52. Consecuencias de los axiomas de R 73. El valor absoluto y los intervalos 94. Numeros naturales, enteros y racionales e irracionales 125. Potencias y raıces de numeros reales 146. El metodo de induccion 157. El numero e 178. El cuerpo de los numeros complejos 189. Representacion geometrica de los numeros complejos. Argumentos de un numero

complejo 2110. Forma polar de un numero complejo 2211. Raıces de un numero complejo 23

Capıtulo 2. Matrices y determinantes 251. Matrices 252. Determinantes 263. Operaciones elementales y determinantes 294. Forma normal reducida por filas (o columnas) de una matriz 295. Rango de una matriz 316. Resolucion de sistemas de ecuaciones lineales 32

Capıtulo 3. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 361. Espacios y subespacios 362. Bases 383. Ecuaciones del cambio de base 404. Ecuaciones parametricas de un subespacio vectorial 425. Aplicaciones lineales 446. Ecuaciones de una aplicacion lineal 457. Espacio vectorial cociente 478. Ecuaciones cartesianas o implıcitas de un subespacio vectorial 49

Capıtulo 4. Diagonalizacion de matrices 531. Matrices diagonalizables 532. Metodo para diagonalizar una matriz 543. Forma normal de Jordan 55

Capıtulo 5. Continuidad y lımites de funciones 601. Funciones reales de una variable real. Definicion y primeras propiedades 602. Funciones elementales 653. Simetrıas, periodicidad, acotacion y monotonıa de funciones 744. Transformaciones de graficas 79

3

Indice general 4

5. Continuidad y lımites 826. Teoremas sobre continuidad. Continuidad y lımites de funciones elementales 917. Lımites de potencias 96

Capıtulo 6. Calculo diferencial en una variable 981. Derivabilidad de funciones 982. Reglas de derivacion. Derivadas de algunas funciones elementales 1013. Extremos relativos. Teorema del valor medio 1034. Derivadas de las funciones trigonometricas y de las funciones arco 1045. Reglas de L’Hopital 1056. Derivadas sucesivas 1057. Formula de Taylor 1068. Funciones convexas y concavas. Estudio analıtico y representacion grafica de funciones 1079. Problemas propuestos 109

Capıtulo 7. Calculo integral de una variable 1201. Calculo de primitivas 1202. Primitivas de funciones racionales 1233. Primitivas de fracciones racionales en senos y cosenos 1264. La integral de Riemann 1295. Integrales impropias 1346. Aplicaciones de la integral al calculo de areas, volumenes y longitudes 1367. Problemas propuestos 139

Capıtulo 1

Numeros complejos

1. Definicion axiomatica de R

La definicion axiomatica de R en dos frasesExiste un unico cuerpo totalmente ordenado que verifica el axioma del supremo. Este cuerpo sedenota por R y sus elementos son llamados numeros reales.

Para entender bien esta definicion, debemos responder las tres preguntas siguientes:

¿Que significa que R es un cuerpo?¿Que significa que el cuerpo R esta totalmente ordenado?¿Que significa que R verifica el axioma del supremo?

En esta primera seccion estudiaremos la respuesta a estas preguntas, es decir, estudiaremos losaxiomas de los numeros reales.

¿Que significa que R es un cuerpo? (axiomas de cuerpo)Significa que R es un conjunto no vacıo provisto de dos operaciones, la suma (x, y) 7→ x + y y elproducto (x, y) 7→ xy, que verifican las siguientes propiedades (conocidas como axiomas de cuerpode R):

Axioma 1: La suma es asociativa:

(x+ y) + z = x+ (y+ z), ∀x, y, z ∈ R.Axioma 2: La suma es conmutativa:

x+ y = y+ x, ∀x, y ∈ R.Axioma 3: Existe un numero real 0 (el cero) que es elemento neutro para la suma:

∃0 ∈ R : x+ 0 = x, ∀x ∈ R.Axioma 4: Todo numero real tiene un elemento opuesto:

∀x ∈ R, ∃− x ∈ R : x+ (−x) = 0.

Axioma 5: El producto es asociativo:

(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R.Axioma 6: El producto es conmutativo:

xy = yx, ∀x, y ∈ R.Axioma 7: Existe un numero real distinto de cero 1 (el uno) que es elemento neutro parael producto:

∃1 ∈ R, 1 6= 0 : x1 = x, ∀x ∈ R.Axioma 8: Todo numero real distinto de 0 tiene un elemento inverso:

∀x ∈ R, x 6= 0, ∃x−1 ∈ R : xx−1 = 1.

Axioma 9: El producto es distributivo respecto de la suma:

x(y+ z) = xy+ xz, ∀x, y, z ∈ R.

5

1. DEFINICION AXIOMATICA DE R 6

¿Que significa que el cuerpo R esta totalmente ordenado? (axiomas de orden)Significa que en R hay una relacion binaria, la relacion ser menor o igual ≤, que verifica lossiguientes axiomas:

Axioma 10: La relacion ≤ es reflexiva:

x ≤ x, ∀x ∈ R.

Axioma 11: La relacion ≤ es antisimetrica:

x, y ∈ R, x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y.

Axioma 12: La relacion ≤ es transitiva:

x, y, z ∈ R, x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z.

Axioma 13: La relacion de orden ≤ es total:

x, y ∈ R ⇒ x ≤ y o y ≤ x.

Axioma 14: La relacion ≤ es compatible con la suma:

x, y, z ∈ R, x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y+ z.

Axioma 15: La relacion ≤ es compatible con el producto por numeros reales no negativos:

x, y, z ∈ R, x ≤ y, 0 ≤ z ⇒ xz ≤ yz.

Conjuntos acotados. Maximo, mınimo, supremo e ınfimo de un conjuntoYa sabemos lo que significa que R es un cuerpo totalmente ordenado, pero todavıa nos faltaun axioma: El axioma del supremo. Para enunciar este axioma debemos introducir los siguientesconceptos. Sea A un conjunto no vacıo de numeros reales.

i) Se dice que un numero real x es un minorante o una cota inferior de A si x ≤ a para todoa ∈ A.

x A

Se dice que A esta minorado (o acotado inferiormente) si A tiene un minorante.ii) Se dice que un numero real y es un mayorante o una cota superior de A si a ≤ y para

todo a ∈ A.

yA

Se dice que A esta mayorado (o acotado superiormente) si A tiene un mayorante.iii) Se dice que A esta acotado si A esta mayorado y minorado.iv) Se dice que A tiene mınimo si existe un numero real x ∈ A tal que x ≤ a para todo a ∈ A.

x A

v) Se dice que A tiene maximo si existe un numero real y ∈ A tal que a ≤ y para todo a ∈ A.

yA

Es inmediato que el mınimo y el maximo de A, si existen, son unicos y se denotan pormın(A) y max(A), respectivamente.

vi) Se llama ınfimo de A al maximo, si existe, del conjunto de todos los minorantes de A.

2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE R 7

ınf(A)d dA

vii) Se llama supremo de A al mınimo, si existe, del conjunto de todos los mayorantes de A.

sup(A)d dA

Claramente, el ınfimo y el supremo de A, si existen, son unicos y se denotan por ınf(A)y sup(A), respectivamente.

¿Que significa que R verifica el axioma del supremo?Como ya sabemos lo que es un supremo, podemos enunciar el ultimo axioma:

Axioma 16 (axioma del supremo). Todo conjunto no vacıo y mayorado de numeros realestiene supremo.

2. Consecuencias de los axiomas de R

Usando exclusivamente los axiomas anteriores, se pueden probar las siguientes propiedades(seguramente conocidas).

Corolario 6. Los siguientes numeros reales son unicos:

a) El elemento neutro de la suma.b) El elemento opuesto de un numero real.c) El elemento neutro del producto.d) El elemento inverso de un numero real distinto de cero.

Corolario 7. Si x, y, z,w ∈ R y w 6= 0, se tienen las siguientes propiedades simplificativas:

i) x+ z = y+ z ⇒ x = y.ii) xw = yw ⇒ x = y.

Corolario 8. Si x, y, z,w ∈ R con z 6= 0 6= w, se verifican:

i) x0 = 0. Como consecuencia 0 no tiene inverso.ii) Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0.iii) −(−x) = x.iv) (z−1)−1 = z.v) (−1)x = −x.vi) (−x)y = x(−y) = −(xy).vii) (−x)(−y) = xy.viii) −(x+ y) = (−x) + (−y).ix) (zw)−1 = z−1w−1.x) x

zyw= xy

zw, donde hemos usado la notacion x

z= xz−1.

xi) xz+ y

w= xw+zy

zw.

Ejemplo maxima 1:

(%i1) -(-x);

( %o1) x

(%i2) (x^(-1))^(-1);

( %o2) x

2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE R 8

(%i3) (x*y)^(-1);

( %o3)1

x y(%i4) x/z+y/w;

( %o4)x

z+y

w(%i5) ratsimp(%);

( %o5)y z+wx

wz

Corolario 9. Si x, y, z,w ∈ R, se cumple que:

i) x ≤ y ⇔ −y ≤ −x.ii) x ≤ y, z ≤ w ⇒ x+ z ≤ y+w.iii) x < y, z ≤ w ⇒ x+ z < y+w.iv) x ≤ y, z ≤ 0 ⇒ yz ≤ xz.v) x < y, z > 0 ⇒ xz < yz.vi) xx ≥ 0, ∀x ∈ R.vii) 0 < 1 < 1+ 1.viii) x > 0 ⇔ x−1 > 0.ix) 0 < x < y ⇒ 0 < y−1 < x−1.x) 0 < x < y, 0 < z < w ⇒ 0 < xz < yw.

Como consecuencia del axioma del supremo, podemos obtener la siguiente propiedad para elınfimo:

Corolario 10. Todo conjunto no vacıo y minorado de numeros reales tiene ınfimo.

Se dice que un numero real x es positivo si x > 0, es negativo si x < 0 y es no negativo si x ≥ 0.Notaremos:

R+ = {x ∈ R : x > 0} , R− = {x ∈ R : x < 0} , R+0 = {x ∈ R : x ≥ 0} ,

R∗ = {x ∈ R : x 6= 0} .

A veces, es util conocer las relaciones mınimo-ınfimo y supremo-maximo:

Proposicion 11. Sea A un subconjunto no vacıo de numeros reales. Se verifica que:

i) Si A tiene mınimo, entonces A tiene ınfimo y ınf(A) = mın(A).ii) Si A tiene ınfimo e ınf(A) ∈ A, entonces A tiene mınimo y mın(A) = ınf(A).iii) Si A tiene ınfimo e ınf(A) /∈ A, entonces A no tiene mınimo.iv) Si A tiene maximo, entonces A tiene supremo y sup(A) = max(A).v) Si A tiene supremo y sup(A) ∈ A, entonces A tiene maximo y max(A) = sup(A).vi) Si A tiene supremo y sup(A) /∈ A, entonces A no tiene maximo.

Si A es un conjunto no vacıo y acotado de numeros reales, entonces el conjunto m(A) de todoslos minorantes de A y el conjunto M(A) de todos mayorantes de A son no vacıos y, por definicion,sabemos que

ınf(A) = max(m(A)), sup(A) = mın(M(A)).

3. EL VALOR ABSOLUTO Y LOS INTERVALOS 9

3. El valor absoluto y los intervalos

Valor absoluto de un numero realEl valor absoluto de un numero real x es el numero real

|x| =

{x si x ≥ 0,−x si x < 0.

Se llama distancia entre los numeros reales x e y al numero real no negativo |x− y| .

Propiedades del valor absolutoSean x, y ∈ R. El valor absoluto tiene las siguientes propiedades:

i) |x| ≥ 0.ii) |x| = 0 si, y solo si, x = 0.iii) |x| ≤ y si, y solo si, −y ≤ x ≤ y.iv) x ≤ |x|.v) |xy| = |x| |y| .

vi) Desigualdad triangular : |x+ y| ≤ |x|+ |y| .vii) Desigualdad triangular inversa: ||x|− |y|| ≤ |x− y| .

Ejemplo maxima 2:

(%i1) abs(-x);

( %o1) |x|

(%i2) abs(-4);

( %o2) 4

(%i3) abs(x*y);

( %o3) |x| |y|

(%i4) abs(1/x);

( %o4)1

|x|

Intervalos en la recta realDados dos numeros reales a y b con a ≤ b, los conjuntos

]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b},

[a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b},]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

se denominan, respectivamente, intervalo abierto, intervalo semiabierto por la derecha, intervalosemiabierto por la izquierda e intervalo cerrado de origen a y extremo b.

Dado un numero real a, los conjuntos

]−∞, a[ = {x ∈ R : x < a},

]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a},]a,+∞[ = {x ∈ R : a < x},

[a,+∞[ = {x ∈ R : a ≤ x}

3. EL VALOR ABSOLUTO Y LOS INTERVALOS 10

se llaman, respectivamente, semirrecta abierta de extremo a, semirrecta cerrada de extremo a,semirrecta abierta de origen a y semirrecta cerrada de origen a.

Se dice que un conjunto I de numeros reales es un intervalo si I = R, o bien I responde a unade las ocho descripciones dadas anteriormente.

Observe que ]a, a[ = ∅ y [a, a] = {a}. Se dice que un intervalo de R es degenerado si es vacıo ose reduce a un punto.

No es difıcil comprobar la siguiente caracterizacion de los intervalos de numeros reales:

Proposicion 15. Un conjunto de numeros reales I es un intervalo si, y solo si, [x, y] ⊂ I paratodo x, y ∈ I con x < y.

Una inecuacion es una expresion algebraica en la que intervienen numeros llamados coeficientesy letras llamadas incognitas, y que se verifica para determinados valores de las incognitas.

Una inecuacion con una incognita es de primer grado si aplicando los axiomas de los numerosreales se transforma en una inecuacion de la forma ax + b ∼ 0 (a, b ∈ R, a > 0), donde ∼

representa cualquiera de los signos <, ≤, > o ≥ .Una inecuacion con una incognita es de segundo grado si aplicando los axiomas de los numeros

reales se transforma en una inecuacion de la forma ax2 + bx + c ∼ 0 (a, b, c ∈ R, a > 0), donde∼ representa cualquiera de los signos <, ≤, > o ≥ .

Ejemplo maxima 3: El paquete fourier elim sirve para resolver desigualdades en una o masincognitas.

(%i1) load(fourier_elim)$

(%i2) fourier_elim([x+2>=2*x-4],[x]);

( %o2) [x = 6]∨ [x < 6]

(%i3) fourier_elim([x^2-2*x+1>0],[x]);

( %o3) [x < 1]∨ [1 < x]

(%i4) fourier_elim([x^2-3*x+2<0],[x]);

( %o4) [1 < x, x < 2]

(%i5) fourier_elim([x/2+(x+1)/2-x+2<0],[x]);

( %o5) emptyset

(%i6) expand(x/2+(x+1)/2-x+2);

( %o6)5

2(%i7) fourier_elim([x/2+(x+1)/7-x+2<0],[x]);

( %o7) [6 < x]

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado y expresa el conjunto de todassus soluciones por medio de intervalos:

1. 3x+ 1 > 2x+ 5,2. 2x+ 1 ≤ x+ 3,3. 2(x+ 3) − 3(x− 1) > 2(x+ 2),4. 3x+1

2≥ 5x+1

3,

5. x2+ x+1

7− x+ 2 < 0,

6. x3− 2x+1

8− 8−10x

45> 0.

3. EL VALOR ABSOLUTO Y LOS INTERVALOS 11

Ejercicio 2: Representa, usando intervalos, el conjunto de soluciones de las siguientes inecuacionesde segundo grado:

1. x2 − 5x+ 4 > 0,2. 2x2 − 4x− 6 < 0,3. 2x−8

3x+9> 0,

4. x3 − x2 − 6x < 0,

5. x(x+2)x−3

< 0,

6. (x+1)(x−1)x2+1

> 0,

7. x4 − 1 < 0.

Ejercicio 3: Resuelve las siguientes inecuaciones:

1. |2x− 3| < 1/2,2. |x+ 1| > 2,3.∣∣x2 − 1∣∣ < 1/2,

4. |x− 4| ≤ 1,5.∣∣x2 − 2∣∣ ≤ 2/3,

6. |x+ 1| < |x− 5|,7. |x+ 2| / |3− x| = (x+ 2) / (3− x).

Ejercicio 4: Expresa los siguientes conjuntos, cuando sea posible, usando la notacion de intervalos:

A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} ,B = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1} ,C =

{x ∈ R : 0 < x2 − 4

},

D ={x ∈ R : x2 − 4 < 0

},

E = { 1p: p ∈ Z, p 6= 0},

F = {x ∈ R : 2 ≤ x},G = {x ∈ Q : 0 ≤ x ≤

√2},

H = {x ∈ R : x2 + x+ 1 ≥ 0},I ={x ∈ R \Q : x2 + x < 2

}.

4. NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES E IRRACIONALES 12

Rellena la siguiente tabla.

¿minorado? mın(−) m(−) ınf(−) ¿mayorado? max(−) M(−) sup(−)

A

B

C

D

E

F

G

H

I

4. Numeros naturales, enteros y racionales e irracionales

Numeros naturalesSe dice que un subconjunto A de R es inductivo si 1 ∈ A, y si x ∈ A entonces x+ 1 ∈ A. Se defineel conjunto N de los numeros naturales como la interseccion de todos los subconjuntos inductivosde R.

Propiedades de los numeros naturalesEntre las propiedades de los numeros naturales destacamos las siguientes:

i) Estabilidad bajo las operaciones suma y producto: n+m, nm ∈ N para todo n,m ∈ N.ii) El principio de induccion: si A es un subconjunto inductivo de numeros naturales, entoncesA = N.

En la practica el principio de induccion es muy util para demostrar igualdades, desigual-dades y proposiciones en las que intervienen los numeros naturales.

iii) El principio de la buena ordenacion: todo conjunto no vacıo de numeros naturales tienemınimo.

iv) Propiedad arquimediana del orden de R: para cada x ∈ R, existe n ∈ N tal que x < n. Enparticular, N no esta mayorado en R.

Definimos:1+ 1 = 2, 2+ 1 = 3, 3+ 1 = 4, 4+ 1 = 5

5+ 1 = 6, 6+ 1 = 7, 7+ 1 = 8, 8+ 1 = 9, 9+ 1 = 10.

Numeros enterosSe dice que un numero real x es entero si x = 0 o x ∈ N o −x ∈ N. El conjunto de los numerosenteros se denota por Z. Z es un subanillo de R (es estable para la suma y el producto, y contienetodos los elementos opuestos), pero no es un subcuerpo de R (no contiene los inversos).

4. NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES E IRRACIONALES 13

Factorial de un numero entero no negativoSe definen:

0! = 1, 1! = 1, (n+ 1)! = (n+ 1)n!, ∀n ∈ N.Dado un numero n ∈ N ∪ {0}, al numero natural n! se le llama factorial de n.

Ejemplo maxima 4:

(%i1) minfactorial((n+1)!-(n+1)*n!);

( %o1) 0

(%i2) factcomb((n+1)!-n!*(n+2));

( %o2) − n!

Numeros racionales e irracionalesSe dice que un numero real x es racional si puede ser expresado en la forma x = p

ncon p ∈ Z y

n ∈ N. El conjunto de los numeros racionales se denota por Q. Q es un subcuerpo de R. Observeque N ⊂ Z ⊂ Q. Los numeros reales que no son racionales se llaman numeros irracionales y suconjunto se denota por R\Q.

Densidad de Q en RComo consecuencia de la propiedad arquimediana del orden de R, los numeros racionales sondensos en R: si x, y ∈ R con x < y, entonces existe q ∈ Q tal que x < q < y.

Densidad de R\Q en RTambien los numeros irracionales son densos en R: si x, y ∈ R con x < y, entonces existe β ∈ R\Qtal que x < β < y.

Ejercicio 5: Indiqua si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

1. Todo subconjunto minorado de numeros racionales tiene mınimo.2. Z esta minorado.3. La ecuacion x+ 1 = 0 tiene solucion en Z.4.√2 es un numero racional.

5. El producto de dos numeros racionales es un numero racional.6. El producto de un numero racional y un numero irracional es irracional.7. La suma de un numero racional y un numero irracional es irracional.8. El supremo del conjunto

{1/n2 : n ∈ N

}es 1.

9. Cualquier intervalo de la forma (a, b) con a, b ∈ R y a < b tiene supremo.10. El numero decimal 2, 3 es irracional.11. La suma de dos numeros naturales es un numero natural.12. La diferencia de dos numeros naturales es un numero natural.13. π es irracional.14. R+ tiene supremo.15. La ecuacion x2 + 1 = 0 tiene solucion en R.16. La suma de dos numeros irracionales de la forma

√a y√b es irracional.

Ejemplo maxima 5:

(%i1) integerp(1/2);

( %o1) false

5. POTENCIAS Y RAICES DE NUMEROS REALES 14

(%i2) integerp(4/2);

( %o2) true

(%i3) sqrt(2);

( %o3)√2

(%i4) ratp(%);

( %o4) false

(%i5) %pi;

( %o5) π

(%i6) ratp(%);

( %o6) false

(%i7) solve(x^2+1);

( %o8) [x = −i, x = i]

Ejercicio 6: Considera la siguiente relacion de numeros reales:

1; 0; π; e; 0, 5; 2, 3; 1, 4532;√7; 1/2; 1/3; 1/6; −2; ϕ; 2/4.

Determina

1. los numeros naturales,2. los numeros enteros no naturales,3. los numeros racionales no enteros,4. los numeros irracionales.

5. Potencias y raıces de numeros reales

Potencias enteras de un numero realLas potencias enteras de los numeros reales se definen del siguiente modo: Sea a ∈ R. Se definea0 = 1, a1 = a y an+1 = an a para n ∈ N. Si a 6= 0 y n ∈ N, se define a−n = 1

an.

Raıces de un numero realUsando el axioma del supremo se prueba lo siguiente: dados a ∈ R con a ≥ 0 y n ∈ N, existe ununico numero real x tal que x ≥ 0 y xn = a. Este numero se llama raız n-esima (no negativa)

de a y se denota por n√a. Si n = 2, escribiremos

√a en vez de 2

√a. Se cumple que

√a2 = |a| , y√

a ≤√b si 0 ≤ a ≤ b.

Si a < 0 y n ∈ N es impar (esto es, n = 2m− 1 para algun m ∈ N), se define la raız n-esimade a como n

√a = − n

√−a.

Potencias racionales de un numero realSean a ∈ R+, p ∈ Z y n ∈ N. Definimos:

i) apn = ( n

√a)p.

ii) 0pn = 0 si p > 0.

iii) (−a)pn = ( n

√−a)p si n es impar.

6. EL METODO DE INDUCCION 15

Potencias reales de un numero real positivoDado un numero real positivo a y un numero real x, si a > 1 es facil comprobar que el conjunto{aq : q ∈ Q, q ≤ x} es no vacıo y esta mayorado. El axioma del supremo asegura entonces que esteconjunto tiene supremo. Esto nos permite definir las siguientes potencias de exponente x:

i) Si a > 1, ax = sup{aq : q ∈ Q, q ≤ x}.ii) Si a = 1, 1x = 1.

iii) Si a < 1, ax =(1a

)−x.

Propiedades de las potencias realesSean a, b ∈ R+ y x, y ∈ R. Se verifica que:

i) Si a > 1 y x < y, entonces ax < ay.ii) ax+y = ax ay.iii) (ax)y = axy.

iv) (ab)x = ax bx, en particular,

(1

a

)x=1

ax= a−x.

6. El metodo de induccion

Si se quiere demostrar una propiedad para todos los numeros naturales, normalmente se sueleproceder del siguiente modo:

Se prueba la propiedad para n = 1.Se supone la propiedad cierta para n y se demuestra para n+ 1.

Entonces el principio de induccion (recuerdense las propiedades de N) nos dice que la propiedades cierta para todos los numeros naturales. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 28. Se quiere probar por induccion que 1 ≤ n para todo n ∈ N. Para n = 1 estrivialmente cierto (propiedad reflexiva del orden). Supongamos que la desigualdad es cierta paran y demostremosla para n+ 1. Tenemos 1 ≤ n. Por otra parte,

0 ≤ 1 ⇒ n ≤ n+ 1.

Por tanto (propiedad transitiva del orden), 1 ≤ n+ 1.

Ejemplo 29. Se quiere probar por induccion que 2n ≤ (n+1)! para todo n ∈ N. En primer lugar,comprobamos que es cierto para n = 1:

21 = 2 = (1+ 1)!.

En segundo lugar, suponemos que la desigualdad es cierta para n y la demostramos para n + 1.Tenemos 2n ≤ (n+ 1)!. Ademas,

1 ≤ n+ 1 ⇒ 2 ≤ n+ 2.

Entonces 2n+1 ≤ (n+ 2) (n+ 1)! = (n+ 2)!, como querıamos demostrar.

Ejemplo 30. Se quiere probar por induccion que 10!+ 11!+ 12!+· · ·+ 1

n!≤ 1+

(120

+ 121

+ 122

+ · · ·+ 12n−1

)para todo n ∈ N. Para n = 1, tenemos

1

0!+1

1!= 2 = 1+

1

20

6. EL METODO DE INDUCCION 16

Luego la desigualdad es cierta en este caso. Supongamos que la desigualdad es cierta para n yprobemosla para n+ 1. Por el ejemplo anterior sabemos que 2n ≤ (n+ 1)!, de donde 1

(n+1)!≤ 1

2n.

Por otra parte, se verifica que

1

0!+1

1!+1

2!+ · · ·+ 1

n!≤ 1+

1

20+1

21+1

22+ · · ·+ 1

2n−1.

Ası pues,

1

0!+1

1!+1

2!+ · · ·+ 1

n!+

1

(n+ 1)!≤ 1+

1

20+1

21+1

22+ · · ·+ 1

2n−1+1

2n.

Ejercicio 7: Dados a, b ∈ R y n,m ∈ N, demuestra usando el metodo de induccion las siguientespropiedades de las potencias de exponente natural.

1. Si a > 1, entonces 1 < an.2. Si a > 1, k ∈ N y n < k, entonces an < ak.3. an+m = an am.4. (am)n = amn.5. (ab)n = an bn.

Ejercicio 8: Para cada n ∈ N, consideremos el numero real xn = 12+ 22+ 32+ · · ·+(n− 1)2+n2.

1. Calcula xn para n = 1, 2, 3.2. Comprueba por induccion la igualdad:

xn =n(n+ 1)(2n+ 1)

6, ∀n ∈ N.

Ejemplo maxima 6: Comprobemos con maxima el ejercicio anterior.

(%i1) f(n):=sum(i^2,i,1,n);

( %o1) f (n) :=n∑i=1

i2

(%i2) makelist(f(i),i,1,10);

( %o2) [1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385]Ahora le decimos a maxima que simplifique sumatorias.

(%i3) simpsum:true;

( %o3) true

(%i6) f(n);

( %o6)2n3 + 3n2 + n

6(%i7) ratsimp(%-n*(n+1)*(2*n+1)/6);

( %o7) 0

Ejercicio 9: Considera la desigualdad:

n2 + 3 < n3, ∀n ≥ 2.1. Escribe una desigualdad equivalente a la anterior que sea valida para todo natural.2. Compruebe por induccion dicha desigualdad.

7. EL NUMERO e 17

Ejercicio 10: Dado n ∈ N, calcula el valor de la suma S = 1+ 3+ 32 + · · ·+ 3n.

7. El numero e

En este apartado destacamos un numero real que tendra importancia mas adelante. Para definireste numero, probaremos que el conjunto no vacıo{

1

0!+1

1!+1

2!+ · · ·+ 1

n!: n ∈ N

}esta mayorado y aplicaremos el axioma del supremo. Dado n ∈ N, sabemos por el ejemplo anteriorque

1

0!+1

1!+1

2!+ · · ·+ 1

n!≤ 1+

1

20+1

21+1

22+ · · ·+ 1

2n−1.

Calculemos, pues, el valor de la suma S = 120

+ 121

+ 122

+ · · ·+ 12n−1

. Observe que

S = 1+���1

2+

���1

22+ · · ·+

���1

2n−1−

1

2S =

���1

2+

���1

22+

���1

23+ · · ·+

���1

2n−1+1

2n

S−1

2S = 1−

1

2n.

Luego S = 2−1

2n−1. Por tanto,

1

0!+1

1!+1

2!+ · · ·+ 1

n!≤ 1+ S = 3−

1

2n−1≤ 3.

Hemos probado que 3 es un mayorante del conjunto{10!+ 1

1!+ 1

2!+ · · ·+ 1

n!: n ∈ N

}. Por el axio-

ma del supremo, este conjunto tiene supremo. Denotamos entonces

e = sup

{1

0!+1

1!+1

2!+ · · ·+ 1

n!: n ∈ N

}.

Ejemplo maxima 7: Vamos a obtener algunas aproximaciones del numero e usando su definicion.Recuerda que e = sup

{10!+ 1

1!+ 1

2!+ · · ·+ 1

n!: n ∈ N

}.

(%i1) e(n):=sum(1/(i!),i,0,n);

( %o1) e (n) :=n∑i=0

1

i!

(%i2) makelist(e(i),i,1,20);

( %o2) [2,5

2,8

3,65

24,163

60,1957

720,685

252,109601

40320,98641

36288,9864101

3628800,13563139

4989600,260412269

95800320,8463398743

3113510400,

47395032961

17435658240,888656868019

326918592000,56874039553217

20922789888000,7437374403113

2736057139200,17403456103284421

6402373705728000,

82666416490601

30411275102208,6613313319248080001

2432902008176640000]

(%i3) float(%);

( %o3) [2,0, 2,5, 2,666666666666667, 2,708333333333333, 2,716666666666667, 2,718055555555555,2,718253968253968, 2,71827876984127, 2,718281525573192, 2,718281801146385,

8. EL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 18

2,718281826198493, 2,718281828286169, 2,718281828446759, 2,71828182845823,2,718281828458994, 2,718281828459042, 2,718281828459045, 2,718281828459045,2,718281828459045, 2,718281828459045]

(%i4) float(%e);

( %o4) 2,718281828459045

8. El cuerpo de los numeros complejos

En el cuerpo de los numeros reales la ecuacion x2 + 1 = 0 no tiene solucion. Para conseguirsoluciones de esta ecuacion es necesario, por tanto, ampliar el conjunto de los numeros reales. Elnuevo conjunto de numeros que resulta de esta ampliacion es el conjunto de los numeros complejos.

Definicion de numero complejoLlamaremos numero complejo a todo par ordenado (a, b) de numeros reales.

Igualdad de numeros complejosDados dos numeros complejos z = (a, b) y w = (c, d), se tiene que z = w si, y solo si, a = c yb = d.

Suma y producto de numeros complejosLa suma y el producto de dos numeros complejos z = (a, b) y w = (c, d) vienen dadas por lasigualdades:

z+w = (a+ c, b+ d) , zw = (ac− bd, ad+ bc).

Propiedades de la suma y el producto de numeros complejos

i) La suma y el producto de numeros complejos son operaciones asociativas y conmutativas.ii) El complejo (0, 0) es el elemento neutro de la suma.iii) Dado un complejo z = (a, b), es obvio que (−a,−b) es su elemento opuesto para la suma.

Ası pues, denotamos −z = (−a,−b).iv) El complejo (1, 0) es el elemento neutro del producto.v) Si z = (a, b) es distinto de (0, 0), entonces el numero complejo

(a

a2+b2, −ba2+b2

)es el inverso

de z para el producto y se denota por z−1 o por 1z.

vi) El producto de numeros complejos cumple la propiedad distributiva respecto de la suma.vii) Si z y w son numeros complejos, escribiremos z − w en lugar de z + (−w). Si, ademas,

w 6= (0, 0), entonces zw

tendra el mismo significado que zw−1.

Las propiedades anteriores quedan resumidas en el siguiente enunciado:

Proposicion 35. El conjunto de los numeros complejos con las operaciones suma y productopreviamente definidas, es un cuerpo, el cuerpo de los numeros complejos, que en lo sucesivo deno-taremos por C.

La suma y el producto de numeros complejos tambien verifican propiedades similares a las dela suma y el producto de numeros reales. Concretamente, se tienen propiedades analogas a las queaparecen en los corolarios 6, 7 y 8.

R como subconjunto de CObserve que con los complejos de la forma (a, 0), con a ∈ R, se opera del mismo modo que conlos reales que los determinan. Por ejemplo, dados a, b ∈ R, se tiene

(a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0) , (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) , −(a, 0) = (−a, 0) ;

y si a 6= 0, (a, 0)−1 = (a−1, 0).

8. EL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 19

Estos hechos justifican la costumbre de denotar simplemente por a al complejo (a, 0). De estemodo estamos considerando a R como un subconjunto de C.

Forma binomica de un numero complejoEl complejo (0, 1) recibe el nombre de unidad imaginaria y se denota por i. Surge entonces unanueva forma de expresar los numeros complejos:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a+ b i , ∀(a, b) ∈ C.

La expresion a+ b i es la llamada forma binomica del complejo (a, b). La forma binomica es muyutil desde el punto de vista aritmetico porque permite aprovechar la estructura de cuerpo de C ala hora de operar con numeros complejos. Lo unico que hemos de saber es que

i i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1

Ni siquiera es necesario recordar la definicion de la suma o el producto en C, pues, dados doscomplejos z = a+ b i y w = c+ d i, obtenemos (aplicando las propiedades de cuerpo de C) que

z+w = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i ,

zw = (a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i.

Ejercicio 11: Calcula la suma, producto, diferencia y cociente de los pares de numeros complejosz1 = (2, 1) y z1 = (−2, 3). Calcula ademas las mismas operaciones utilizando la forma binomica.

Parte real, parte imaginaria, conjugado y modulo de un numero complejoSea z = a+ bi ∈ C. Los numeros reales a y b reciben el nombre de parte real y parte imaginaria,respectivamente, de z. Escribimos a = <(z) y b = =(z). El complejo z = a− bi se denomina

conjugado de z y el numero real no negativo |z| =√a2 + b2 recibe el nombre de modulo de z.

Proposicion 39. Dados z,w ∈ C. Se tienen las siguientes propiedades:

i) z = zii) z+w = z+w

iii) zw = zw

iv) Si w 6= 0, ( zw) = z

w

v) <(z) = z+z2

, =(z) = z−z2i

vi) z = z⇔ z ∈ Rvii) |z| = |z| = |− z|

viii) zz = |z|2

ix) |zw| = |z| |w|x) |z| = 0⇔ z = 0

xi) |z+w| ≤ |z|+ |w| (Desigualdad triangular).xii) | |z|− |w| | ≤ |z−w|

xiii) |z+w|2 + |z−w|2 = 2(|z|2 + |w|2) (Identidad del paralelogramo).

Potencias enteras de un numero complejoDado z ∈ C, las potencias de exponente natural de z se definen del siguiente modo:

z1 = z, zn+1 = zn z, ∀n ∈ N.

Ademas, definimos z0 = 1, y si z 6= 0, se define z−n = 1zn

para todo n ∈ N.

Propiedades de las potencias enteras de los numeros complejosDados dos numeros complejos no nulos z y w y dos numeros enteros p y q, se verifica que:

8. EL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 20

i) zp+q = zpzq, en particular, z−p =1

zpii) (zw)p = zpwp

iii) ( zw)p = zp

wp

iv) (zp)q = zpq

Ejemplo 42. Vamos a ver un metodo para calcular las potencias enteras de la unidad imaginaria.Observe, en primer lugar, que las potencias de exponente natural de i se vuelven a repetir a partirde la cuarta potencia:

i0 = 1,i1 = i,i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1,i3 = i2 · i = −i,i4 = i2i2 = (−1)(−1) = 1,i5 = i4i = i,

...

Dado n ∈ N, si dividimos n entre 4, obtenemos que n = 4c+ r para algun cociente c ∈ N∪ {0}y un resto r ∈ N ∪ {0} con 0 ≤ r < 4. Entonces

in = i4c+r = (i4)c ir = ir

y, ahora, ir es una de las cuatro primeras potencias de i. En cuanto a las potencias de exponentenegativo de i, observe que

i−n =1

in=

1

i4c+r=1

ir= i−r = i−r i4 = i4−r.

Como 0 < 4− r ≤ 4, entonces i4−r es una de las primeras potencias de exponente natural de i quehemos calculado antes.

Ejercicio 12: Calcula las potencias 155, 7, 9, 23 y −19 de la unidad imaginaria i = (0, 1).

Ejercicio 13: Expresa los numeros complejos z1 = (−1, 1), z2 = (1, 2) y z3 = (4,−1) en formabinomica y realice las operaciones siguientes:

1. z1z2−z32

z3,

2. −(z1)(z2)2+iz3

z1+z3.

Ejercicio 14: Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes complejos:

1. z2 + (−3+ 2i)z+ (5+ i) = 0,2. z6 − z3 − 2 = 0.

Ejemplo maxima 8:

(%i1) x:4+%i*5;

( %o1) 5 i+ 4

(%i2) 1/x;

( %o2)1

5 i+ 4

9. REPRESENTACION 21

(%i3) rectform(%);

( %o3)4

41−5 i

41(%i4) realpart(%);

( %o4)4

41(%i5) x^2*conjugate(x);

( %o5) (4− 5 i) (5 i+ 4)2

(%i6) expand(%);

( %o6) 205 i+ 164

(%i7) imagpart(%);

( %o7) 205

(%i8) solve(y^2+%i*y-(4-2*%i)=0,y);

( %o8) [y = 2− i, y = −2]

9. Representacion geometrica de los numeros complejos. Argumentos de unnumero complejo

En esta seccion haremos uso de algunas funciones trigonometricas y de algunas funciones arco.Aunque aun no han sido presentadas, suponemos que el alumno esta suficientemente habituado aellas para poder usarlas. En cualquier caso, trataremos estas funciones y sus propiedades en temasposteriores.

Representacion geometrica de los numeros complejosHagamos corresponder a cada numero complejo z = a+ bi el punto del plano cuyas coordenadasreferidas a un sistema de ejes cartesianos ortogonales son (a, b), como indica el siguiente grafico. Deeste modo, se establece una relacion biunıvoca entre los numeros complejos y los puntos del plano.En esta representacion se llama eje real al eje de abscisas y eje imaginario al eje de ordenadas.

z = (a, b)

.

.............

.............

...

.............................

............................

............................

............................

............................

...........................

............................

.........................................................................................................................................................................................................

........................................................

...........................

............................

............................

............................

............................

.............................

.............................

.

.............................

.............................

............................

............................

............................

...........................

............................

........................................................

......................................................... ............................. . ............................. ............................. ............................ ............................

............................

.......................................................

............................

............................

............................

.............................

.............

.............

...������t

. ............. .......... ................................... Eje real

Eje imaginario

a

arg(z)

b|z|

Ademas, el modulo de z es la longitud del segmento de extremos 0 y (a, b).

10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO 22

Argumento principal de un numero complejoDado un numero complejo no nulo z = a+ bi, el argumento principal de z es el numero real

arg(a+ b i) =

arc tg

(ba

)− π si a < 0, b < 0

−π2

si a = 0, b < 0arc tg

(ba

)si a > 0

π2

si a = 0, b > 0arc tg

(ba

)+ π si a < 0, b ≥ 0.

Graficamente, el argumento principal representa el angulo que forma el segmento de extremos0 y (a, b) con la parte positiva del eje real (vease la figura adjunta).

Proposicion 45. Sea z ∈ C, z 6= 0. El argumento principal de z, arg(z), es el unico numero realen el intervalo ] − π, π] que verifica la igualdad

z = |z|(

cos(arg(z)) + i sen(arg(z))).

Conjunto de argumentos de un numero complejoSea z ∈ C, z 6= 0. Se dice que un numero real ω es un argumento de z si verifica que

z = |z|(cosω+ i senω).

A esta expresion la llamaremos forma trigonometrica del numero complejo z.La proposicion anterior nos dice que el argumento principal de z, arg(z), es uno de los argu-

mentos de z.

Ejercicio 15: Describe geometricamente los conjuntos de numeros complejos definidos de la si-guiente manera:

1. {z ∈ C : <(z) > 0};2. {z ∈ C : −1 ≤ <(z) ≤ 2 , |z| = 1};3. {z ∈ C : 1 < |z| < 2};4. {z ∈ C : |z| ≥ 1};

10. Forma polar de un numero complejo

Definicion 47. Se llama forma polar del numero complejo z a la expresion dada por z = |z|ωdonde |z| es el modulo de z y ω es un argumento de z.

Ejemplo 48. 1+ i =(√2)π4

Operaciones con numeros complejos en forma polarSean z1, z2 dos numeros complejos con z1 = |z1|w1 ; z2 = |z2|w2 . Se verifican las siguientes propieda-des:

i) z1 · z2 = (|z1| · |z2|)w1+w2ii) 1

z1=(

1|z1|

)−w1

iii) z1z2

=(

|z1|

|z2|

)w1−w2

iv) z1 = (|z1|)−w1

Por reiteracion de la formula del producto de numeros complejos en forma polar se tiene:

11. RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO 23

Formula de de MoivreSea z ∈ C, z 6= 0, y sea w ∈ R un argumento de z. Entonces

zn = (|z|w)n = (|z|n)nw , ∀n ∈ N.

Ejemplo 51. Si z ∈ C verifica que |z| = 1 y w es un argumento de z, es decir, z = 1w =cosw+ i · senw, entonces se tiene la siguiente expresion para las potencias de z:

(cosw+ i · senw)n = cos(nw) + i · sen(nw), ∀n ∈ N

Ejercicio 16: Sean los siguientes numeros complejos: z1 =√3− i, z2 = −

√3+ i, z3 = −4i, z4 = 1.

1. Representalos graficamente en el plano complejo.2. Halla sus respectivos modulos y argumentos.3. Escrıbelos en forma polar y trigonometrica.4. Representa graficamente al numero complejo opuesto, al conjugado y al opuesto del conju-

gado de cada uno de los cuatro numeros complejos dados.

Ejercicio 17: Sean los siguientes numeros complejos: z1 = (2)120o z2 = (3)45o .

1. Halla la forma binomica de cada uno de ellos.2. Calcula z1 · z2 y z1/z2 utilizando la forma polar.

Ejercicio 18: Escribe el numero complejo z = −1 +√3i en forma polar y calcula z6 en dicha

forma. Pasa el resultado a la forma binomica. Verifica el resultado hallado realizando la operaciondirectamente en forma binomica y aplicando el binomio de Newton.

Ejemplo maxima 9:

(%i1) x:4+%i*5;

( %o1) 5 i+ 4

(%i2) polarform(%);

( %o2)√41 ei atan(

54)

La expresion eiα es equivalente a cosα+ i sinα.

(%i3) demoivre(%);

( %o3)√41

(5 i√41

+4√41

)

11. Raıces de un numero complejo

Definicion 52. Dados z ∈ C y n ∈ N, se dice que un numero complejo v es una raız n-esima dez si vn = z. En particular, si n = 2 se dice que v es una raız cuadrada de z y si n = 3 se dice quev es una raız cubica de z.

Corolario 53. Si z es el complejo no nulo que tiene por forma polar |z|ω, entonces existen n raıcesn-esimas de v, las cuales estan dadas por la siguiente expresion:(

n√|z|)ω+ 2kπ

n

; k = 0, 1, ..., n− 1.

11. RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO 24

Ejemplo 54. Como −1 = 1π, entonces las raıces cuadradas de −1 son

1π+2·0 π2

= 1π2= cos

(π2

)+ i sen

(π2

)= i ,

1π+2·1 π2

= 1 3π2= cos

(3π

2

)+ i sen

(3π

2

)= −i.

Representacion grafica de las raıces de un numero complejoSea z ∈ C, z 6= 0, ω ∈ R un argumento de z y n ∈ N, n ≥ 3. Graficamente las raıces n-esimas dez: (

n√

|z|)ω+ 2kπ

n

; k = 0, 1, ..., n− 1;

estan representadas como los vertices de un polıgono regular de n lados. Por lo tanto, para repre-sentar las n raıces se toma la circunferencia de centro 0 y de radio n

√|z|, se considera primero el

angulo φn

(para k = 0) y luego sumandole el angulo 2πn

se van obteniendo las restantes n−1 raıces.

Ejercicio 19: Calcula:

1.√i,

2. 3√1,

3. 3√−1+ i.

Ejemplo maxima 10: Pintemos un hexagono. Para ello calculamos las raıces sextas de 1, esto esej2πi/6 con j variando de 0 a 5.

(%i1) makelist([realpart(exp(j*2*%pi*%i/6)),imagpart(exp(j*2*%pi*%i/6))],j,0,6);

( %o1) [[1, 0], [1

2,

√3

2], [−

1

2,

√3

2], [−1, 0], [−

1

2,−

√3

2], [1

2,−

√3

2], [1, 0]]

(%i22) plot2d([discrete,%]);

( %o22)

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.5

0

0.5

y

x

Capıtulo 2

Matrices y determinantes

1. Matrices

Sean I = {1, 2, . . . ,m} y J = {1, 2, . . . , n}. Una matriz de orden m × n sobre un cuerpo K esuna aplicacion

A : I× J→ K, (i, j) 7→ aij.

Normalmente a la matriz A la representaremos de la siguiente forma

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

,y a veces simplemente escribiremos A = (aij), si queda claro donde varıan i y j. Diremos que A esuna matriz con m filas y n columnas.

Denotaremos por Mm×n(K) al conjunto de las matrices de orden m× n sobre K.

Mm×n(K) con la suma coordenada a coordenada tiene estructura de grupo abeliano, estoes, la suma es asociativa, tiene elemento neutro, toda matriz tiene inversa y es conmutativa.

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

+

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

.... . .

...bm1 bm2 . . . bmn

=

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

......

. . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

.

Ejercicio 20: Calcula suma de

(1 2 33 4 2

)y

(2 3 33 0 2

)en M2×3(Q).

Sea A = (aij) ∈ Mm×n(K) y B = (bjk) ∈ Mn×p(K). Entonces podemos definir el producto deA y B como AB = C = (cik) ∈Mm×p(K) con

cik = ai1b1k + ai2b2k + · · ·+ ainbnk.

Ejercicio 21: Sean A =

(1 2 33 4 2

)∈M2×3 y B =

1 2 1 22 0 1 03 1 0 1

∈M3×4. Calcula AB.

Una matriz de orden n× n diremos que es una matriz cuadrada de orden n.

(Mn×n(K),+, ·) es un anillo.

Ejercicio 22: Sean A =

(1 23 4

)and B =

(1 22 0

). Comprueba que AB 6= BA.

25

2. DETERMINANTES 26

2. Determinantes

Dada A = (aij) ∈Mn×n(K), definimos |A|, el determinante de A, recursivamente de la siguienteforma.

1) Para n = 1, |(a11)| = a11 (el determinante de una matriz de orden 1×1 es su unico coeficiente).2) Supuesto que sabemos calcular el determinante de matrices de orden n−1, dado i ∈ {1, . . . , n},

|A| = ai1αi1 + . . .+ ainαin,

donde αij = (−1)i+j|Aij| se conoce como el adjunto de la entrada aij, con Aij ∈M(n−1)×(n−1)(K)la matriz que se obtiene al eliminar la fila i-esima y la columna j-esima de A. Esta formulase conoce como Desarrollo de Laplace por la fila i del determinante de A, y el resultado nodepende de i. Es mas, tambien se puede desarrollar por cualquier columna. Dado j el Desarrollode Laplace por la columna j es

|A| = a1jα1j + . . .+ anjαnj.

Se puede comprobar facilmente que∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a13a22a31 − a23a32a11 − a12a21a33.

Ejercicio 23: Calcula el determinante de

1 2 33 2 12 2 2

∈M3×3(Q).

Ejercicio 24: Calcula el determinante de1 2 3 12 0 1 13 1 0 12 0 1 3

∈M4×4(Q).

Si A = (aij) ∈Mm×n(K), la matriz traspuesta de A es

At =

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2...

.... . .

...a1m a2m . . . anm

∈Mn×m(K),

esto es, la matriz que se obtiene a partir de A intercambiando filas por columnas.

Propiedades de los determinantes. Sea A ∈Mn×n(K).

1) |A| = |At|.2) Si se intercambian dos filas (o dos columnas) de A se obtiene una nueva matriz cuyo determi-

nante es −|A|.3) Si multiplicamos todos los elementos de una fila (o de una columna) de A por α ∈ K, obtenemos

una matriz con determinante α|A|.

2. DETERMINANTES 27

4) Si a una fila de A le sumamos otra fila de A multiplicada por un elemento de K, entonces lanueva matriz tiene el mismo determinante que A (lo mismo ocurre si hacemos esta operacioncon columnas).

5) Si B ∈Mn×n(K), entonces |AB| = |A||B|.

Ejercicio 25: Calcula el determinante de la matriz2 3 4 03 1 2 24 3 3 12 3 3 2

∈M4×4(R).

El elemento neutro del producto enMn×n(K) es la matriz identidad, que es la matriz que tienetodas sus entradas cero salvo en la diagonal que tiene unos (cero es el elemento neutro de K parala suma, y uno el neutro para el producto). A dicha matriz la denotamos por In, o simplemente Icuando n queda claro en el contexto.

Una matriz A ∈ Mn×n(K) es regular si tiene inversa para el producto, esto es, si existe B talque AB = BA = In. En dicho caso, a la matriz B se le denota por A−1.

La matriz adjunta de A es la matriz formada por los adjuntos de las entradas de A, a saber,

A =

α11 α12 . . . α1nα21 α22 . . . α2n

......

. . ....

α1 am2 . . . αnn

.Teorema. Sea A ∈Mn×n(K). Entonces A es regular si y solo si |A| 6= 0. En ese caso

A−1 = |A|−1At.

Ejercicio 26: Calcula la inversa de 2 1 21 0 11 2 2

∈M3×3(C).

Ejemplo maxima 11: Vamos a ilustrar algunos ejemplos de operaciones con matrices en maxima.

(%i1) A:matrix([x,y],[z,t]);

(%o1)

(x yz t

)(%i2) B:matrix([a,b],[c,d]);

(%o2)

(a bc d

)Hay que tener cuidado con la operacion de producto, pues en maxima dicha operacion se hace

como en con la suma, entrada a entrada. Para efectuar el producto usamos el punto.

(%i3) A.B;

(%o3)

(c y+ ax dy+ bxa z+ c t b z+ d t

)

2. DETERMINANTES 28

(%i4) A*B;

(%o4)

(ax byc z d t

)Lo mismo ocurre con la exponenciacion.

(%i5) A^2;

(%o5)

(x2 y2

z2 t2

)(%i6) A^^2;

(%o6)

(y z+ x2 xy+ t yx z+ t z y z+ t2

)(%i7) determinant(A);

(%o7) t x− y z

(%i8) determinant(A.B)=determinant(A)*determinant(B);

(%o8) (c y+ ax) (b z+ d t) − (dy+ bx) (a z+ c t) = (ad− b c) (t x− y z)

(%i9) expand(%);

(%o9) −ady z+ b cy z+ ad t x− b c t x = −ady z+ b cy z+ ad t x− b c t x

(%i10) is(%);

(%o10) true

(%i11) A^^-1;

(%o11)

(− ty z−t x

yy z−t x

zy z−t x

− xy z−t x

)(%i12) C:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);

(%o12)

1 2 34 5 67 8 9

(%i13) determinant(C);

(%o13) 0

4. FORMA NORMAL REDUCIDA POR FILAS (O COLUMNAS) DE UNA MATRIZ 29

3. Operaciones elementales y determinantes

Intercambio de filas: al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo.Sumarle a una fila un multiplo de otra: el determinante en este caso permanece inalterado.Multiplicar un fila por un elemento λ no nulo: el determinante se multiplica por λ.

Ejemplo maxima 12: Para calcular determinantes a veces es mas eficiente usar las operaciones quehemos visto anteriormente. Ası efectuando operaciones elementales por filas o columnas (intercam-bio o suma por un factor de otra) podemos llegar a una matriz triangular superior, esto es, unamatriz cuyas entradas por debajo de la diagonal son todas cero. A este proceso se le conoce comoeliminacion de Gauss-Jordan.

(%i14) triangularize(C);

(%o14)

1 2 30 −3 −60 0 0

El determinante de una matriz de esta forma es trivial, pues solo se multiplican los valores de ladiagonal.

4. Forma normal reducida por filas (o columnas) de una matriz

Sea A =

a11 . . . a1n...

. . ....

am1 . . . amn

∈Mm×n(K). El pivote de la fila i-esima de A, si esta tiene alguna

entrada distinta de cero, es la primera entrada no nula de dicha fila, a saber, es aij 6= 0 con jmınimo verificando esa condicion. Decimos que A esta en forma normal reducida por filas (deforma analoga se define la forma normal por columanas) si

Todas las filas nulas estan debajo de las filas que tienen alguna entrada distinta de cero.Si aij es el pivote de la fila i-esima, entonces aij = 1 y todas las demas entradas de sucolumna son cero.Siempre que aij sea el pivote de la fila i-esima y akl es el pivote de la fila k-esima, si i < k,entonces j < l.

Estas matrices tienen una forma escalonada, de forma que debajo de los escalones todas lasentradas son cero, y encima del peldano, que tiene que valer uno, tambien.

Dada una matriz A, siempre podemos calcular una forma normal reducida por filas (o porcolumnas) haciendo uso de las operaciones elementales que hemos visto anteriormente.

La forma normal reducida asociada a A es unica, ya sea haciendo operaciones elementales porfilas o por columnas.

Ejemplo maxima 13: Con el comando echelon podemos calcular una forma reducida escalonada,pero no es exactamente la forma reducida por filas de la matriz dada, ya que no se exige queencima del pivote hayan ceros.

(%i1) A:matrix([1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12])$

(%i2) echelon(A);

( %o2)

1 2 3 40 1 2 30 0 0 0

4. FORMA NORMAL REDUCIDA POR FILAS (O COLUMNAS) DE UNA MATRIZ 30

El comando triangularize da una forma reducida escalonada en la que los pivotes no tienenpor que ser uno.

(%i3) triangularize(A);

( %o3)

1 2 3 40 −4 −8 −120 0 0 0

Si quisiesemos calcular una transformacion por columnas, basta que le apliquemos uno de estos

comandos a la matriz traspuesta de la original, trasponiendo luego el resultado final.

(%i4) transpose(A);

( %o4)

1 5 92 6 103 7 114 8 12

(%i5) triangularize(%);

( %o5)

1 5 90 −4 −80 0 00 0 0

(%i6) transpose(%);

( %o6)

1 0 0 05 −4 0 09 −8 0 0

Ejemplo maxima 14: Podemos usar la forma normal reducida para calcular inversas.

(%i1) A:matrix([1,-1,1],[2,0,1],[0,3,-2])$A esta matriz le anadimos la matriz identidad a la izquierda, donde gardaremos las operaciones

elementales que se realizan con el comando echelon.

(%i2) M:echelon(addcol(A,ident(3)));

(%o2)

1 0 12

0 12

0

0 1 − 23

0 0 13

0 0 1 −6 3 −2

Las operaciones elementales las guardamos en una matriz que llamamos P.

(%i3) P:submatrix(M,1,2,3);

(%o3)

0 12

0

0 0 13

−6 3 −2

Como vemos, al multiplicar P por A, el resultado es una forma escalonada.

(%i4) T:P.A;

(%o4)

1 0 12

0 1 − 23

0 0 1

Como hemos comentado antes, el comando echelon no hace ceros los elementos que estan

encima de los peldanos. Para conseguirlo, trasponemos la matriz, y repetimos el proceso.

5. RANGO DE UNA MATRIZ 31

(%i5) N:addcol(transpose(T),ident(3));

(%o5)

1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 012

− 231 0 0 1

(%i6) echelon(N);

(%o6)

1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0

0 0 1 − 12

231

(%i7) Q:submatrix(%,1,2,3);

(%o7)

1 0 00 1 0

− 12

231

Ahora en P tenemos las operaciones necesarias para conseguir a partir de A una matriz trian-

gular superior (eliminacion de Gauss), y en Qt las operaciones que eliminan los valores no nulosencima de los pivotes (eliminacion Gauss-Jordan).

(%i8) paso:transpose(Q).P;

(%o8)

3 −1 1−4 2 −1−6 3 −2

(%i9) paso.A;

(%o9)

1 0 00 1 00 0 1

Por lo que la matriz paso es una inversa de A.

5. Rango de una matriz

Sea A ∈Mm×n(K). El rango de la matriz A es el numero de filas no nulas de su forma normalreducida por filas. De forma analoga se define el rango por columnas de A.

Ejercicio 27: Calcula el rango por filas y por columnas de la matriz

(1 1 22 −2 1

)∈M2×3(R).

Teorema. El rango por filas de A coincide con el rango por columnas de A.A dicha cantidad la llamaremos simplemente rango de A y la denotaremos por rango(A).

Teorema (rango y determinantes). El rango de una matriz es el maximo de los ordenesde sus submatrices cuadradas regulares.

Ejercicio 28: Calcula el rango de la matriz1 2 1 02 1 3 14 5 5 1

∈M3×4(R).

Ejemplo maxima 15: El rango de una matriz tambien se puede calcular contando las filas no nulasde su forma triangular reducida asociada.

6. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 32

(%i1) A:matrix([0,1,2,3],[4,5,6,7],[8,9,10,11]);

(%o1)

0 1 2 34 5 6 78 9 10 11

(%i2) rank(A);

(%o2) 2

(%i3) echelon(A);

(%o3)

1 54

32

74

0 1 2 30 0 0 0

(%i4) triangularize(A);

(%o4)

4 5 6 70 4 8 120 0 0 0

6. Resolucion de sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con n incognitas sobre un cuerpo K es una expresion de laforma

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1...

am1x1 + · · ·+ amnxn = bm

.Los elementos aij ∈ K son los coeficientes del sistema, los bi ∈ K son los terminos independientes, ylas xi son las incognitas. Una solucion es una n-upla (s1, . . . , sn) ∈ Kn tal que x1 = s1, . . . , xn = snverifica las igualdades del sistema.

Las m igualdades del sistema anterior se pueden expresar como una unica igualdad entrematrices, a11 . . . a1n

.... . .

...am1 . . . amn

x1...xn

=

b1...bm

,a la que llamaremos expresion matricial del sistema. A dichas matrices se les llama matriz decoeficientes, matriz incognita, y matriz de terminos independientes.

La matriz ampliada del sistema esa11 . . . a1n b1...

. . ....

am1 . . . amn bm

.Normalmente denotaremos a esta matriz por (A|B).

Si un sistema tiene solucion diremos que es compatible, y en caso contrario incompatible. Sitiene una unica solucion, es un sistema compatible determinado, y si tiene mas de una soluciondecimos que es un sistema compatible indeterminado.

Dos sistemas de ecuaciones lineales sobre un cuerpo y con igual numero de incognitas sonequivalentes si tienen las mismas soluciones.

6. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 33

Proposicion (operaciones elementales).

1) Si intercambiamos de posicion dos ecuaciones de un sistema, obtenemos un sistema equivalente.2) Si multiplicamos una ecuacion por un escalar no nulo, obtenemos un sistema equivalente.3) Si a una ecuacion le sumamos otra multiplicada por un escalar, tambien obtenemos un sistema

equivalente al original.

Ejercicio 29: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes en R.

x1 + x2 + x3 + x4 = 12x1 + 3x2 + x3 + x4 = 24x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 0x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2

.

Teorema de Rouche-Frobenius. Sea AX = B la expresion matricial de un sistema deecuaciones lineales con n incognitas.

1) El sistema es compatible si y solo si rango(A) = rango(A|B).2) El sistema es compatible determinado si y solo si rango(A) = rango(A|B) = n.

Ejemplo maxima 16: Vamos a estudiar el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes en Q.

x+ y+ z = −2−3x+ y− z = 2x− y = 0

.(%i1) B:matrix([1,1,1],[-3,1,-1],[1,-1,0])$

(%i2) rank(B);

(%o2) 2

(%i3) C:addcol(B,[-2,2,0])$

(%i4) rank(C);

(%o4) 2El sistema es compatible determinado.

Ejemplo maxima 17: Estudiemos ahora el siguiente sistema con coeficientes en C en funcion delparametro a.

x+ y+ z = a2x+ ay+ z = −2−2x− 2y+ az = 4

.(%i1) D:matrix([1,1,1],[2,a,1],[-2,-2,a])$

(%i2) determinant(D);

(%o2) a2 − 4

(%i3) factor(%);

(%o3) (a− 2) (a+ 2)Ası, si a 6∈ {2, 3}, la matriz de coeficientes tiene rango maximo y el sistema es compatible

determinado.Estudiemos por separado los casos a = 2 y a = 3.

6. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 34

(%i4) E:subst(2,a,D);

(%o4)

1 1 12 2 1−2 −2 2

(%i5) rank(E);

(%o5) 2

(%i6) rank(addcol(E,[2,-2,4]));

(%o6) 3Luego para a = 2, el sistema es incompatible.

(%i7) G:subst(-2,a,D);

(%o7)

1 1 12 −2 1−2 −2 −2

(%i8) rank(G);

(%o8) 2

(%i9) rank(addcol(G,[-2,-2,4]));

(%o9) 2Para a = 3 obtenemos un sistema compatible indeterminado.

Ejercicio 30: Estudia el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes en Q.

2x− y− z = 1−2x+ y+ 2z = 2−y+ z = −2

.

Ejercicio 31: Estudia los siguientes sistemas con coeficientes en R en funcion de los parametros ay b.

1)ax+ y+ z = 1x+ y+ z = 2

},

2)ax+ y+ z = 1x+ y+ z = bax+ by+ z = 1

,3)

ax+ y+ z = 1x− y+ z = 1

},

4)ax+ y+ z = 1x+ 2y+ az = 2

}.

Ejemplo maxima 18: El comando linsolve en maxima puede ser utilizado para resolver sistemaslineales de ecuaciones.

6. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 35

(%i1) linsolve([2*x+y+z=2,x-y-2*2=0],[x,y,z]);

(%o1) [x = −%r1− 6

3, y = −

%r1+ 6

3, z = %r1]

Como vemos, las soluciones dependen de un parametro, que aquı se denomina %r1. El rangode la matriz de coeficientes es 2 como vemos a continuacion, y es el maximo posible (solo hay dosfilas), por lo que coincide con el de la matriz ampliada. El sistema es compatible indeterminado.

(%i2) rank(matrix([2,1,1],[1,-1,-2]));

(%o2) 2

Formula de Cramer. Un sistema es de Cramer si su matriz de coeficientes es cuadrada yregular. Si AX = B es la expresion matricial de un sistema de Cramer, entonces el sistema escompatible determinado y su unica solucion es

|A|−1(|M1|, . . . , |Mn|),

donde Mi es la matriz que se obtiene a partir de A cambiando la columna i-esima por B.

Ejercicio 32: Prueba que el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes en R es un sistema deCramer, y encuentra sus soluciones usando la formula de Cramer.

x+ y+ z = 1x− y+ z = 0x+ y− z = 2

.

Capıtulo 3

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

1. Espacios y subespacios

Sea K un cuerpo. Diremos que un conjunto V tiene estructura de espacio vectorial sobre K si

1) en V hay una operacion + de forma que (V,+) es un grupo abeliano,2) existe una aplicacion K× V → V , (a,−→v ) 7→ a−→v verificando

i) a(−→u +−→v ) = a−→u + a−→v ,ii) (a+ b)−→u = a−→u + b−→u ,

iii) a(b−→u ) = (ab)−→u ,iv) 1−→u = −→u .

A los elementos de V los llamamos vectores y a los de K escalares. La aplicacion descrita arribase conoce como producto por escalares.

Ejercicio 33: Probar que si K es un cuerpo, entonces para cualesquiera enteros positivos n y m,

a) Kn,b) {a(x) ∈ K[x] tales que gr(a(x)) ≤ n},c) Mm×n(K),

son espacios vectoriales sobre K.

Ejercicio 34: Encuentra un espacio vectorial de cardinal 81.

Propiedades que se deducen de la definicion.

1) 0−→u =−→0 (el elemento neutro de + en V).

2) a−→0 =

−→0 .

3) Si a−→u =−→0 , entonces a = 0 o −→u =

−→0 .

4) −(a−→u ) = (−a)−→u = a(−−→u ).5) a(−→u −−→v ) = a−→u − a−→v .6) (a− b)−→u = a−→u − a−→u .7) Si a−→u = a−→v y a 6= 0, entonces −→u = −→v .

8) Si a−→u = b−→u y −→u 6= −→0 , entonces a = b.

En adelante V denotara un espacio vectorial sobre un cuerpo K.

Un subconjunto U de V es un subespacio vectorial de V si

1) U 6= ∅,2) si −→u ,−→v ∈ U, entonces −→u −−→v ∈ U (U es un subgrupo de (V,+)),3) si a ∈ K y −→u ∈ U, entonces a−→u ∈ U.

Las dos ultimas propiedades se pueden substituir por

36

1. ESPACIOS Y SUBESPACIOS 37

2’) si −→u ,−→v ∈ U y a, b ∈ K, entonces a−→u + b−→v ∈ U (U es cerrado para combinaciones linealesde sus elementos).

Ejercicio 35: Demuestra que {(x, y, z) ∈ Q3 tales que x+ y+ z = 0} es un subespacio vectorial deQ3.

Un subespacio vectorial de V es un espacio vectorial sobre K, con la misma suma y productopor escalares.La interseccion de subespacios vectoriales de V es de nuevo un subespacio vectorial de V .

Sea S un subconjunto no vacıo de V . El subespacio vectorial de V generado por S es la in-terseccion de todos los subespacios vectoriales de V que contienen a S. A dicho subespacio lodenotaremos por 〈S〉.

Si S = {−→u 1, . . . ,−→u n}, entonces

〈S〉 = {a1−→u 1 + · · ·+ an−→u n tales que a1, . . . , an ∈ K}.

Sean U1, . . . , Un subespacios vectoriales de V . El subespacio vectorial suma de U1, . . . , Un es

U1 + . . .+Un = {−→u 1 + · · ·+−→u n tales que −→u 1 ∈ U1, . . . ,−→u n ∈ Un}.U1 + · · ·+Un = 〈U1 ∪ · · · ∪Un〉.Si U1 = 〈S1〉, . . . , Un = 〈Sn〉, entonces U1 + · · ·+Un = 〈S1 ∪ · · · ∪ Sn〉.

Sean U y W subespacios vectoriales de V . Decimos que V es suma directa de U y W, y lodenotamos por V = U ⊕ W, si todo vector −→v ∈ V se puede expresar de forma unica como−→v = −→u + −→w , con −→u ∈ U and −→w ∈ W. En dicho caso, diremos que los subespacios vectoriales Uy W son complementarios.

V = U⊕W si, y solo si, V = U+W y U ∩W = {−→0 }.

Ejercicio 36: Sean U = {(x, y) ∈ R2 tales que x+ y = 0} y W = {(x, y) ∈ R2 tales que x− y = 0}.Demuestra que R2 = U⊕W.

Ejemplo maxima 19: El conjunto Kn con K un cuerpo y n un entero positivo es un espacio vectorial.Para el caso n = 3, el producto por escalares esta definido ası.

(%i1) a*[x,y,z];

(%o1) [ax, a y, a z]

Y la suma de vectores se hace componente a componente.

(%i2) [x_1,y_2,z_3]+[x_2,y_2,z_2];

(%o2) [x 2+ x 1, 2 y 2, z 3+ z 2]

Veamos que el conjunto de vectores de la forma (x, y, 0), con x, y ∈ K, es un subespacio de K3.

(%i3) a*[x_1,y_1,0]+b*[x_2,y_2,0];

(%o3) [bx 2+ ax 1, b y 2+ ay 1, 0]

Lo mismo ocurre con los de la forma (x, x, x).

(%i4) a*[x,x,x]+b*[x,x,x];

2. BASES 38

(%o4) [bx+ ax, b x+ ax, b x+ ax]

2. Bases

Un conjunto de vectores S ⊆ V es linealmente dependiente si existen n un entero positivo,

{−→v 1, . . . ,−→v n} ⊆ S y (a1, . . . , an) ∈ Kn \ {(0, . . . , 0)} tales que a1−→v 1 + · · · + an−→v n =

−→0 . En caso

contrario, decimos que S es un conjunto de vectores linealmente independientes.

Ejercicio 37: Demuestra que los vectores (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) ∈ R3 son linealmente indepen-dientes.

S es un conjunto de vectores linealmente dependientes si y solo si existe −→v ∈ S tal que−→v ∈ 〈S \ {−→v }〉.Si−→0 ∈ S, entonces S es un conjunto de vectores linealmente dependientes.

Si S es un conjunto de vectores linealmente dependientes, entonces para todo −→v ∈ V ,S ∪ {−→v } tambien es un conjunto de vectores linealmente dependientes.Si S, ]S ≥ 2, es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces para todov ∈ S S \ {−→v } tambien es un conjunto de vectores linealmente independientes.

Ejemplo maxima 20: Veamos si {(1, 2), (0, 1)} es un conjunto de vectores linealmente independientesen Q2.

(%i1) solve(x*[1,2]+y*[0,1],[x,y]);

(%o1) [[x = 0, y = 0]]

Ahora probamos con {(1, 2, 3), (2, 4, 6)} en Q3, y vemos que son dependientes.

(%i2) solve(x*[1,2,3]+y*[2,4,6],[x,y]);

solve: dependent equations eliminated: (2 3)

(%o2) [[x = −2%r6, y = %r1]]

Una base de V es un subconjunto S de vectores linealmente independientes de V tal que V = 〈S〉.Si B = {−→v 1, . . . ,−→v n} es una base de V , entonces para todo vector −→v ∈ V , existena1, . . . , an ∈ K unicos tales que −→v = a1

−→v 1 + · · ·+ an−→v n.

A la n-upla (a1, . . . , an) se le llama coordenadas del vector −→v respecto de la base B.

Ejercicio 38: Demuestra que B = {(1, 2), (1, 3)} es una base de Q2. Calcula las coordenadas delvector (2, 4) respecto de dicha base.

Teorema de la base. Todo espacio vectorial distinto de {−→0 } tiene al menos una base. Ademas

todas sus bases tienen el mismo cardinal.Al cardinal de una base de V lo denotamos por dim(V), y nos referiremos a el como la dimension

de V .

Ejercicio 39: Prueba que dim(Kn) = n, dim(Mm×n(K)) = nm y dim({a(x) ∈ K[x] tales que gr(a(x)) ≤n}) = n+ 1.

2. BASES 39

Teorema de ampliacion a base. Si dim(V) = n y {−→v 1, . . . ,−→v m} es un conjunto de vectoreslinealmente independientes de V , entonces m ≤ n. Ademas existen −→v m+1, . . . ,

−→v n ∈ V , de formaque {−→v 1, . . . ,−→v m,−→v m+1, . . . ,

−→v n} es una base de V .

Ejercicio 40: Amplia {(1, 1, 1)} una base de R3.

Si dim(V) = n, entonces cualquier conjunto de vectores de V linealmente independientesde cardinal n es una base de V .

Ejercicio 41: Prueba que {(1, 2, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} es una base de Q3.

Ejercicio 42: Calcula una base del subespacio vectorial de R3 generado por {(1, 2, 1), (2, 4, 2), (1, 3, 2), (2, 5, 3)}.

Ejemplo maxima 21: Calculemos una base del subespacio vectorialU de Q3 generado por {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (3, 2, 1)}.

(%i1) C:matrix([1,2,3],[1,1,1],[3,2,1]);

(%o1)

1 2 31 1 13 2 1

Como las operaciones elementales por filas en la matriz C no alteran los sistemas de generadores,

(%i2) triangularize(C);

(%o2)

1 2 30 −1 −20 0 0

nos dice que {(1, 2, 3), (0,−1,−2)} es una base de U.

Ejemplo maxima 22: Veamos que B = {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (0, 0, 2)} es una base de Q3, calculemos lascoordenadas de (2, 3, 4) respecto de esa base.

(%i1) solve(x*[1,1,1]+y*[1,2,1]+z*[0,0,2],[x,y,z]);

(%o1) [[x = 0, y = 0, z = 0]]Al ser tres generadores linealmente independientes en Q3, el conjunto dado es una base.

(%i2) solve(x*[1,1,1]+y*[1,2,1]+z*[0,0,2]-[2,3,4],[x,y,z]);

(%o2) [[x = 1, y = 1, z = 1]]

Ejemplo maxima 23: Sean U yW los subespacios vectoriales de R3 generados por {(1, 1, 1), (1, 2, 1)}y {(1, 2, 3), (0, 0, 2)}, respectivamente. ¿Es R3 = U+W?

(%i1) modulus:5$

(%i2) D:matrix([1,1,1],[1,2,1],[1,2,3],[0,0,2]);

( %o2)

1 1 11 2 11 2 30 0 2

3. ECUACIONES DEL CAMBIO DE BASE 40

(%i3) triangularize(D);

( %o3)

1 1 10 1 00 0 20 0 0

Ası, una base para U+W es {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 2)}, por lo que U+W = Q3.

Ejemplo maxima 24: Sea U el subespacio vectorial de Q3 generado por {(1, 1, 1)(2, 1, 3), (4, 3, 5)},calculemos un complementario de U.

Primero buscamos una base para U, aplicando operaciones elementales al sistema de genera-dores que nos dan.

(%i1) E:matrix([1,1,1],[2,1,3],[4,3,5])$

(%i2) triangularize(E);

( %o2)

1 1 10 −1 10 0 0

Ahora probamos a anadir un vector que sea independiente con los dos anteriores.

(%i3) F:matrix([1,1,1],[0,-1,1],[1,0,0])$

(%i4) triangularize(F);

( %o4)

1 0 00 −1 10 0 −2

De esta forma la recta generada por (1, 0, 0) es un complemento de U en Q3.

Ejemplo maxima 25: Veamos ahora la dimension del subespacio de R4 generado por

{(2,−3, 3,−3), (−3, 1,−1, 1), (3, 3, 3, 3), (−2, 0,−1, 0)}.

La dimension corresponde con el rango de la matriz cuyas filas (o columnas) son esos vectores.

(%i1) rank(matrix([2,-3,3,-3],[-3,1,-1,1],[3,3,3,3],[-2,0,-1,0]));

(%o1) 3Luego la dimension es tres.

3. Ecuaciones del cambio de base

Sean B = {−→v 1, . . . ,−→v n} y B ′ = {−→v ′1, . . . ,−→v ′n} dos bases de V . Sea −→x ∈ V . Entonces existenx1, . . . , xn, x

′1, . . . , x

′n ∈ K tales que −→x = x1

−→v 1+ · · ·+ xn−→v n y −→x = x ′1−→v ′1+ · · ·+ x ′n−→v ′n. Queremos

ver que relacion hay entre las coordenadas de −→x respecto de B y de B ′. Para ello utilizaremos lascoordenadas de los vectores de B respecto de B ′. Supongamos que

−→v 1 = a11−→v ′1 + · · ·+ a1n−→v ′n,...

−→v n = an1−→v ′1 + · · ·+ ann−→v ′n.

3. ECUACIONES DEL CAMBIO DE BASE 41

Entonces

−→x = x1−→v 1 + · · ·+ xn−→v n = x1(a11

−→v ′1 + · · ·+ a1n−→v ′n) + · · ·+ xn(an1−→v ′1 + · · ·+ ann−→v ′n)= (x1a11 + · · ·+ xnan1)−→v ′1 + · · ·+ (x1a1n + · · ·+ xnann)−→v ′n = x ′1

−→v ′1 + · · ·+ x ′n−→v ′n.Por tanto

x ′1 = x1a11 + · · ·+ xnan1...

x ′n = x1a1n + · · ·+ xnann

,que se conocen como las ecuaciones de cambio de base de B a B ′. Estas se pueden tambien expresaren forma matricial

(x ′1 . . . x′n) = (x1 . . . xn)

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

.A la matriz A =

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

se le llama matriz de cambio de base de B a B ′. Esta matriz es

siempre regular y su inversa, A−1 es justamente la matriz de cambio de base de B ′ a B.

Ejercicio 43: Sean B = {(1, 1, 0), (1, 2, 1), (1, 1, 2)} y B ′ = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} dos bases deQ3. Calcula las ecuaciones de cambio de base de B a B ′.

Ejemplo maxima 26: Supongamos que K es Q y V = Q2.Elegimos dos bases, B = {−→v 1,−→v 2} y B ′ = {−→u 1,

−→u 2}.

(%i1) v1:[1,2]$ v2:[0,3]$

(%i3) u1:[1,1]$ u2:[2,0]$

Calculamos las coordenadas de −→u 1 y −→u 2 respecto de B.

(%i5) solve(a11*v1+a12*v2-u1,[a11,a12]);

(%o5) [[a11 = 1, a12 = −1

3]]

(%i6) solve(a21*v1+a22*v2-u2,[a21,a22]);

(%o6) [[a21 = 2, a22 = −4

3]]

Ası la matriz de cambio de base de B ′ a B es la siguiente.

(%i7) A:matrix([1,-1/3],[2,-4/3])$

El vector −→u 1 +−→u 2 tiene coordenadas (1, 1) en B ′. Veamos cuales son sus coordenadas en B.

(%i8) [1,1].A;

(%o8)(3 − 5

3

)Comprobamos el resultado.

(%i9) u1+u2=3*v1-5/3*v2;

(%o9) [3, 1] = [3, 1]La matriz de cambio de base de B a B ′ es la inversa de A.

4. ECUACIONES PARAMETRICAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL 42

(%i10) invert(A);

(%o10)

(2 − 1

2

3 − 32

)

Ejemplo maxima 27: Dadas las bases de Q3, B = {(1, 2, 3), (0, 3, 1), (0, 0, 4)} y B ′ = {(1, 1, 1), (0, 2, 3), (0, 0, 7)},veamos cual es la matriz de cambio de base de B a B ′ y la de B ′ a B.

(%i2) solve(x*[1,1,1]+y*[0,2,3]+z*[0,0,7]-[1,2,3],[x,y,z]);

( %o2) [[x = 1, y = 12, z = 1

14]]

(%i3) solve(x*[1,1,1]+y*[0,2,3]+z*[0,0,7]-[0,3,1],[x,y,z]);

( %o3) [[x = 0, y = 32, z = −1

2]]

(%i4) solve(x*[1,1,1]+y*[0,2,3]+z*[0,0,7]-[0,0,4],[x,y,z]);

( %o4) [[x = 0, y = 0, z = 47]]

(%i5) [x,y,z],%o2;

( %o5) [1, 12, 114]

(%i6) [x,y,z],%o3;

( %o6) [0, 32,− 1

2]

(%i7) [x,y,z],%o4;

( %o7) [0, 0, 47]

La matriz de cambio de base de B a B ′ es

(%i8) H:matrix(%o5,%o6,%o7);

( %o8)

1 12

114

0 32

− 12

0 0 47

y la de B ′ a B es

(%i9) J:invert(%);

( %o9)

1 − 13

− 512

0 23

712

0 0 74

Si las coordenadas de un vector respecto de la base B son (1, 1, 1), sus coordenadas respecto

de B ′ son

(%i10) [1,1,1].H;

( %o10)(1 2 1

7

)4. Ecuaciones parametricas de un subespacio vectorial

Supongamos que dim(V) = n y que U es un subespacio vectorial de V de dimension r. SeaB = {−→v 1, . . . ,−→v n} una base de V , y BU = {−→u 1, . . . ,

−→u r} una base de U. Supongamos que−→u 1 = a11

−→v 1 + · · ·+ a1n−→v n,...

−→u r = ar1−→v 1 + · · ·+ arn−→v n.

4. ECUACIONES PARAMETRICAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL 43

Sea −→x = x1−→v 1 + · · ·+ xn−→v n un vector de V . Veamos que tienen que verificar las coordenadas

(x1, . . . , xn) para que −→x ∈ U.El vector −→x ∈ U si y solo si existen λ1, . . . , λr ∈ K tales que −→x = λ1

−→u 1 + · · · + λr−→u r, y estoequivale a que

−→x = λ1(a11−→v 1 + · · ·+ a1n−→v n) + · · ·+ λr(ar1−→v 1 + · · ·+ arn−→v n)

= (λ1a11 + · · ·+ λrar1)−→v 1 + · · ·+ (λ1a1n + · · ·+ λrarn)−→v n.Como las coordenadas son unicas,

x1 = λ1a11 + · · ·+ λrar1...

xn = λ1a1n + · · ·+ λrarn

.Estas ecuaciones son las ecuaciones parametricas de U respecto de la base B.

Ejercicio 44: Dada la base B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) de Q3, y U el subespacio vectorial de Q3

generado por {(1, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 5, 3)}, calcula las ecuaciones parametricas de U respecto de labase B.

Ejemplo maxima 28: Sea U el subespacio de Q3 generado por {(2, 1,−3), (2,−1,−1), (−3, 1, 2)}, cal-culamos a continuacion las ecuaciones parametricas deU respecto de la base B = {(1, 2, 3), (0, 3, 4), (0, 0, 6)}.

Primero encontramos una base para U, y lo hacemos con el comando triangularize.

(%i1) K:matrix([2,1,-3],[2,-1,-1],[-3,1,2])$

(%i2) triangularize(K);

(%o2)

2 1 −30 −4 40 0 0

Por tanto, U tiene como base {(2, 1,−3), (0,−1, 1)}. Encontremos pues las coordenadas de sus

elementos respecto de la base B.

(%i3) solve(x*[1,2,3]+y*[0,3,4]+z*[0,0,6]-[2,1,-3],[x,y,z]);

(%o3) [[x = 2, y = −1, z = −5

6]]

(%i4) solve(x*[1,2,3]+y*[0,3,4]+z*[0,0,6]-[0,-1,1], [x,y,z]);

(%o4) [[x = 0, y = −1

3, z =

7

18]]

Ası un elemento de coordenadas (x, y, z) respecto de la base B estara en U si y solo si (x, y, z) =λ(2,−1,− 5

6) + µ(0,− 1

3, 718) para algun λ, µ ∈ Q. Las ecuaciones parametricas son

x = 2λ,y = −1λ− 1

3µ,

z = −56λ+ 7

18µ.

5. APLICACIONES LINEALES 44

5. Aplicaciones lineales

En lo que queda de capıtulo suponemos que V y V ′ son dos espacios vectoriales sobre el mismocuerpo K.

Una aplicacion f : V → V ′ es lineal (o un homomorfismo) si

1) para todo −→u ,−→v ∈ V , f(−→u +−→v ) = f(−→u ) + f(−→v ),2) para todo a ∈ K y −→v ∈ V , f(a−→v ) = af(−→v ).

f(−→0 ) =

−→0 (el primer

−→0 es de V y el segundo de V ′).

f(−−→v ) = −f(−→v ).El nucleo de f, N(f) = {−→v ∈ V tales que f(−→v ) = −→0 }, es un subespacio vectorial de V .La imagen de f, Im(f), es un subespacio vectorial de V ′.

Una aplicacion lineal es un

1) monomorfismo si es inyectiva,2) epimorfismo si es sobreyectiva,3) isomorfismo si es biyectiva.

Si f es un isomorfismo, tambien lo es f−1.

f es un monomorfismo si y solo si N(f) = {−→0 }.

Si V = 〈{−→v 1, . . . ,−→v n}〉, entonces Im(f) = 〈{f(−→v 1), . . . , f(−→v n)}〉.Si f es un monomorfismo y {−→v 1, . . . ,−→v n} son linealmente independientes, entonces{f(−→v 1), . . . , f(−→v n)} tambien son linealmente independientes.

Ejercicio 45: Demuestra que f : R3 → R2, f(x, y, z) = (x+y, x+z) es una aplicacion lineal. CalculaN(f) y Im(f). ¿Es f un isomorfismo?

Ejercicio 46: Sea f : R2 → R3, (x, y, z) 7→ (x, y, z + y). Calcula una base de Im(f). ¿Es f unepimorfismo?

Teorema: Las aplicaciones lineales vienen determinadas por la imagen de una base.Sea B = {−→v 1, . . . ,−→v n} una base de V , y {−→v ′1, . . . ,−→v ′n} ⊆ V ′. Entonces existe una unica aplicacionlineal f : V → V ′ verificando que f(−→v 1) = −→v ′1, . . . , f(−→v n) = −→v ′n. Ademas, {−→v ′1, . . . ,−→v ′n} es unabase de V ′ si y solo si f es un isomorfismo.

Los espacios vectoriales V y V ′ diremos que son isomorfos si existe un isomorfismo f : V → V ′.

V y V ′ son isomorfos si y solo si dim(V) = dim(V ′).

Ejemplo maxima 29: Sea f : R3 → R4 definida por f(x, y, z) = (x+y, x+ z, 2x+y+ z, y− z). Paracalcular su nucleo usamos:

(%i1) solve([x+y=0,x+z=0,2*x+y+z=0,y-z=0],[x,y,z]);

solve : dependentequationseliminated : (34)( %o1) [[x = −%r1, y = %r1, z = %r1]]Ası N(f) = {(−a, a, a) | a ∈ R}, que tiene como base a {(−1, 1, 1)}. Para calcular una base

de la imagen, sabiendo que {f(1, 0, 0), f(0, 1, 0), f(0, 0, 1) es un sistema de generadores, hacemos losiguiente.

(%i2) f(x,y,z):=[x+y,x+z,2*x+y+z,y-z]$

(%i3) A:matrix(f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1))$

6. ECUACIONES DE UNA APLICACION LINEAL 45

(%i4) triangularize(A);

( %o4)

1 1 2 00 −1 −1 10 0 0 0

Por tanto, una base de Im(f) es {(1, 1, 2, 0), (0,−1,−1, 1)}.

6. Ecuaciones de una aplicacion lineal

Sea f : V → V ′ una aplicacion lineal, y B = {−→v 1, . . . ,−→v n} y B ′ = {−→v ′1, . . . ,−→v ′m} bases de V yV ′, respectivamente. Sean −→x = x1

−→v 1+ · · ·+xn−→v n y f(−→x ) = x ′1−→v ′1+ · · ·+x ′m−→v m ∈ V ′. Queremosestudiar la relacion que existe entre las coordenadas de −→x y f(−→x ).

Supongamos quef(−→v 1) = a11−→v ′1 + · · ·+ a1m−→v ′m,

...f(−→v n) = an1−→v ′1 + · · ·+ anm−→v ′m.

Entonces

f(−→x ) = f(x1−→v 1 + · · ·+ xn−→v n) = x1f(−→v 1) + · · ·+ xnf(−→v n)= x1(a11

−→v ′1 + · · ·+ a1m−→v ′m) + · · ·+ xn(an1−→v ′1 + · · ·+ anm−→v ′m)= (x1a11 + · · ·+ xnan1)−→v ′1 + · · ·+ (x1a1m + · · ·+ xnanm)−→v ′m.

Asıx ′1 = a11x1 + · · ·+ an1xn

...x ′m = a1mx1 + · · ·+ anmxn

que se conocen como ecuaciones de la aplicacion lineal respecto de las bases B y B ′.

Estas ecuaciones se pueden expresar de forma matricial como

(x ′1 . . . x′m) = (x1 . . . xn)

a11 . . . a1m...

. . ....

an1 . . . anm

.La matriz A =

a11 . . . a1m...

. . ....

an1 . . . anm

es la matriz asociada a la aplicacion lineal f respecto de las

bases B y B ′.

f es un isomorfismo si y solo si A es regular.

Ejercicio 47: Sea f : Q2 → Q3, la aplicacion lineal definida por f(x, y, z) = (x, x+y, x−y). Calculalas ecuaciones de f respecto de las bases {(1, 1), (1, 2)} de Q2 y {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} de Q3.

Ejercicio 48: Sea f : Q2 → Q3 una aplicacion lineal tal que f(1, 2) = (2, 3, 1) y f(2,−2) = (3,−3, 2).Calcula la expresion general f(x, y).

Ejercicio 49: Encuentra la matriz asociada a la base {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de una aplicacionlineal f : R3 → R3 que verifica que (1, 0, 0) ∈ N(f) y Im(f) = 〈{(2, 3, 1), (3, 3, 2)}〉.

6. ECUACIONES DE UNA APLICACION LINEAL 46

Ejemplo maxima 30: Calculemos la expresion matricial de la aplicacion lineal del ejemplo anteriorrespecto de las bases B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} y B ′ = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}.Podemos por ejemplo calcular las coordenadas de las imagenes por f de los elementos de B respectode B ′.

(%i1) f(x,y,z):=[x+y,x+z,2*x+y+z,y-z]$

(%i2) solve(x*[1,1,1,1]+y*[0,1,1,1]+z*[0,0,1,1]+t*[0,0,0,1]-

f(1,1,0),[x,y,z,t]);

( %o2) [[x = 2, y = −1, z = 2, t = −2]]

(%i3) solve(x*[1,1,1,1]+y*[0,1,1,1]+z*[0,0,1,1]+t*[0,0,0,1]-

f(1,0,1),[x,y,z,t]);

( %o3) [[x = 1, y = 1, z = 1, t = 3]]

(%i4) solve(x*[1,1,1,1]+y*[0,1,1,1]+z*[0,0,1,1]+t*[0,0,0,1]-

f(0,1,1),[x,y,z,t]);

( %o4) [[x = 1, y = 0, z = 1, t = −2]]

(%i5) C:matrix([2,-1,2,-2],[1,1,1,-4],[1,0,1,-2]);

( %o5)

2 −1 2 −21 1 1 −41 0 1 −2

Por tanto la expresion matricial es (x ′, y ′, z ′, t ′) = (x, y, z)C.

Ejemplo maxima 31: Tomamos una base B = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} en Q3.

(%i1) v1:[1,2,1];v2:[1,1,0];v3:[0,0,3];

(%o1) [1, 2, 1]

(%o2) [1, 1, 0]

(%o3) [0, 0, 3]

Y las imagenes de esos vectores respecto de la base usual {(1, 0), (0, 1)} en Q2.

(%i4) fv1:[1,1];fv2:[2,1];fv3:[1,2];

(%o4) [1, 1]

(%o5) [2, 1]

(%o6) [1, 2]

La matriz de f asociada a dichas bases es:

(%i7) A:matrix(fv1,fv2,fv3);

(%o7)

1 12 11 2

Si queremos calcular la imagen de un elemento con coordenadas (x, y, z) respecto de B, solo

tenemos que multiplicar esas coordenadas por A.

(%i8) [x,y,z].A;

7. ESPACIO VECTORIAL COCIENTE 47

(%o8)(z+ 2 y+ x 2 z+ y+ x

)Ası f(x, y, z) = (x+ 2y+ z, x+ y+ 2z), donde (x, y, z) son coordenadas respecto de B.Si lo que queremos es la expresion de f(x, y, z), con (x, y, z) coordenadas respecto de la base

usual {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, lo que hacemos es calcular primero el cambio de base de B a labase usual, y luego lo multiplicamos por A, obteniendo ası la expresion matricial respecto de lasbases usuales.

(%i9) B:matrix(v1,v2,v3);

(%o9)

1 2 11 1 00 0 3

(%i10) B^^-1;

(%o10)

−1 2 13

1 −1 − 13

0 0 13

(%i11) AA:%.A;

(%o11)

103

53

− 43

− 23

13

23

Veamos que el resultado es el deseado (−→v i lo definimos en funcion de la base usual).

(%i12) v1.AA;v2.AA;v2.AA

(%o12)(1 1

)(%o13)

(2 1

)(%o14)

(1 2

)Por tanto las coordenadas de f(x, y, z) respecto de la base usual de Q2, con (x, y, z) coordenadas

en la base usual de Q3, la podemos calcular como sigue.

(%i17) [x,y,z].AA;

(%o17)(z3− 4 y

3+ 10 x

32 z3− 2 y

3+ 5 x

3

)

7. Espacio vectorial cociente

Sea U un subespacio vectorial de V . Definimos en V la siguiente relacion de equivalencia:−→x R −→y si −→x −−→y ∈ U. Denotamos por V

Ual conjunto cociente V

R.

El conjunto VU

es un espacio vectorial con las operaciones [−→x ] + [−→y ] = [−→x +−→y ] y k[−→x ] =[k−→x ]. A dicho espacio vectorial se le conoce como espacio vectorial cociente de V sobre U.Si {−→u 1, . . . ,

−→um} es una base deU y la ampliamos a una base de V , {−→u 1, . . . ,−→um,

−→um+1, . . . ,−→u n},

entonces {[−→um+1], . . . , [−→u n]} es una base de V

U. Ası

dim

(V

U

)= dim(V) − dim(U).

7. ESPACIO VECTORIAL COCIENTE 48

Primer teorema de isomorfıa. Si f : V → V ′ es una aplicacion lineal, entonces los espaciosvectoriales V

N(f)e Im(f) son isomorfos (el isomorfismo viene dado por [−→v ] 7→ f(v)).

dim(V) = dim(N(f)) + dim(Im(f)).

Ejercicio 50: Sea f : R3 → R2 definida por f(x, y, z) = (2x + y, 3x + z). Encuentra una base deN(f).

Segundo teorema de isomorfıa. Si U1 y U2 son subespacios de V , entonces los espaciosvectoriales U2

U1∩U2y U1+U2

U1son isomorfos.

dim(U1) + dim(U2) = dim(U1 +U2) + dim(U1 ∩U2).

Ejercicio 51: Dados los subespacios vectoriales de Q3,U = 〈{(1, 1, 2), (1, 2, 3)}〉 yW = 〈{(1, 0, 0), (2, 1, 3)}〉,calcula la dimension de U ∩W.

Ejercicio 52: Sea U el subespacio vectorial de Q3 generado por {(1, 2, 1)}. Calcula un complemen-tario de U.

Ejemplo maxima 32: SeaU el subespacio vectorial de Q4 generado por {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (1, 0,−1,−2)},calculemos una base del espacio cociente Q4/U.

(%i1) A:matrix([1,1,1,1],[1,2,3,4],[1,0,-1,-2])$

(%i2) triangularize(A);

( %o2)

1 0 −1 −20 2 −1 10 0 0 0

Una base de U es {(1,0,-1,-2),(0,2,4,6)}. Ahora la ampliamos a una base de Q4.

(%i3) B:matrix([1,0,-1,-2],[0,2,4,6],[0,0,1,0],[0,0,0,1])$

(%i4) determinant(B);

( %o4) 2Una base del cociente es {[(0, 0, 1, 0)], [(0, 0, 0, 1)]}.

Ejemplo maxima 33: Sea f : Q4 → Q3 definida por

(%i1) f(x,y,z,t):=[x+y+z,x+z+t,y-t]$

Como

(%i2) triangularize(matrix(f(1,0,0,0),f(0,1,0,0),f(0,0,1,0),f(0,0,0,1)));

( %o2)

1 1 00 −1 10 0 00 0 0

deducimos que la imagen de f tiene dimension 2. Por el primer teorema de isomorfıa, su nucleodeberıa tambien tener dimension dos. Comprobemoslo:

(%i3) solve(f(x,y,z,t),[x,y,z,t]);

solve : dependentequationseliminated : (1)( %o3) [[x = −%r3− %r2, y = %r2, z = %r3, t = %r2]]

8. ECUACIONES CARTESIANAS O IMPLICITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL 49

Ejemplo maxima 34: SeanU yW los subespacios de Q4 generados por {(1, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 2), (1, 5, 1, 5)}y {(2, 3, 4, 0), (1, 5, 2, 0), (2, 3, 2, 3)}, respectivamente. Veamos cual es la dimension de U ∩W.

Un sistema de generadores paraU+W es {(1, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 2), (1, 5, 1, 5), (2, 3, 4, 0), (1, 5, 2, 0), (2, 3, 2, 3)}.Esto nos dice que la dimension de de U es 2, la de W es 3, y la de U+W es 4. Por el Segundo

Teorema de Isomorfıa, deducimos que la dimension de U ∩W es 1.

8. Ecuaciones cartesianas o implıcitas de un subespacio vectorial

Sea U un subespacio vectorial de V . Sea B = {−→v 1, . . . ,−→v n} una base de V , y BU = {−→u 1, . . . ,−→u r}

una base de U. Supongamos que−→u 1 = a11

−→v 1 + · · ·+ a1n−→v n,...

−→u r = ar1−→v 1 + · · ·+ arn−→v n.

Sea −→x = x1−→v 1 + · · · + xn−→v n un vector de V . Recordemos que el vector −→x ∈ U si y solo si

existen λ1, . . . , λr ∈ K tales que

x1 = λ1a11 + · · ·+ λrar1...

xn = λ1a1n + · · ·+ λrarn

.Luego −→x ∈ U si y solo si el sistema con incognitas λ1, . . . λra11 . . . ar1

.... . .

...a1n . . . arn

λ1...λr

=

x1...xn

tiene solucion. Y sabemos que equivale a rango

a11 . . . ar1...

. . ....

a1n . . . arn

= rango

a11 . . . ar1 x1...

. . ....

a1n . . . arn xn

.

Esto ocurre cuando unos cuantos determinantes valen cero, proporcionandonos ası una sistema deecuaciones de la forma

b11x1 + · · ·+ b1nxn = 0...

bk1x1 + · · ·+ bknxn = 0

,a las que llamaremos ecuaciones cartesianas de U respecto de la base B de V .

Si k es el numero de ecuaciones cartesianas independientes que describen a U, entoncesk+ dim(U) = dim(V).

Ejercicio 53: Dada la base B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, calcula las ecuaciones cartesianasrespecto de la base B del subespacio vectorial de R3 generado por {(1, 2, 1)}.

Ejercicio 54: Calcula las ecuaciones cartesianas del subespacio vectorial 〈{(1, 2, 3, 1), (1, 1, 1, 1), (3, 5, 7, 3)}〉 ⊆Q4.

Ejercicio 55: Consideremos los subespacios vectoriales de R4, E1 = 〈{(1, 1, 1, 1), (1,−1, 1,−1)}〉 yE2 = 〈{(1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1)}〉.a) Calcula una base de E1 + E2.b) Calcula las ecuaciones cartesianas de E1 + E2.

8. ECUACIONES CARTESIANAS O IMPLICITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL 50

c) Calcula las ecuaciones cartesianas de E1 ∩ E2.d) Calcula una base de E1 ∩ E2.

Ejercicio 56: Dada la aplicacion lineal f : Q4 → Q3 definida por f(x, y, z, t) = (x+y, x−4z,−3x+y+ z), calcula una base para su nucleo.

Ejemplo maxima 35: Calculemos las ecuaciones cartesianas de U = 〈{(1, 1, 2), (1,−1, 0)}〉 ⊆ Q3.Sus ecuaciones parametricas respecto de la base usual son

x = λ+ µy = λ− µz = 2λ

.La matriz ampliada de este sistema con incognitas en los parametros λ y µ es

(%i1) A:matrix([1,1,x],[1,-1,y],[2,0,z]);

(%o1)

1 1 x1 −1 y2 0 z

Como su rango debe ser dos, su determinante es cero.

(%i2) determinant(A);

(%o2) −2 z+ 2 y+ 2 x

Ası la ecuacion cartesiana de U es x+ y− z = 0.Esta ecuacion tambien la podemos encontrar haciendo operaciones elementales por filas en A.

Primero extraemos la matriz de coeficientes. Para ello eliminamos la ultima columna de A.

(%i3) C:submatrix(A,3);

(%o3)

1 11 −12 0

Para guardar traza de la operaciones elementales que hacemos en C para obtener su forma

triangular reducida, le anadimos al final la matriz identidad.

(%i4) M:addcol(C,ident(3));

(%o4)

1 1 1 0 01 −1 0 1 02 0 0 0 1

Ahora triangularizamos y nos quedamos con las ultimas columnas, que forman una matriz

regular con las operaciones elementales para que C alcance su forma reducida for filas.

(%i5) triangularize(M);

(%o5)

2 0 0 0 10 −2 0 2 −10 0 −2 −2 2

(%i6) P:submatrix(%,1,2);

8. ECUACIONES CARTESIANAS O IMPLICITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL 51

(%o6)

0 0 10 2 −1−2 −2 2

Aplicamos estas operaciones por filas a la matriz inicial y obtenemos en las ultimas filas las ecua-ciones (en esta caso solo en la ultima, pues hay una).

(%i7) P.A;

(%o7)

2 0 z0 −2 2 y− z0 0 2 z− 2 y− 2 x

Ejemplo maxima 36: Sea U el subespacio de R4 generado por {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 1), (1, 0,−1, 1)}.Calculmemos sus ecuaciones cartesianas respecto de la base B = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}.

(%i1) modulus:false$

(%i2) A:matrix([1,1,1,1],[1,2,3,1],[1,0,-1,1])$

(%i3) triangularize(A);

(%o3)

1 0 −1 10 2 4 00 0 0 0

por lo que {(1, 0,−1, 1), (0, 2, 4, 0)} es una base de U. Calculamos ahora las coodenadas de estosvectores respecto de la base B.

(%i4) solve(x*[1,1,1,1]+y*[0,1,1,1]+z*[0,0,1,1]

+t*[0,0,0,1]-[1,0,-1,1], [x,y,z,t]);

(%o4) [[x = 1, y = −1, z = −1, t = 2]]

(%i5) solve(x*[1,1,1,1]+y*[0,1,1,1]+z*[0,0,1,1]

+t*[0,0,0,1]-[0,2,4,0], [x,y,z,t]);

(%o5) [[x = 0, y = 2, z = 2, t = −4]]

(%i6) J:matrix([1,-1,-1,2],[0,2,2,-4],[x,y,z,t]);

(%o6)

1 −1 −1 20 2 2 −4x y z t

Al exigir que la matriz J tenga rango 2 obtenemos que los siguientes determinantes deben de

valer cero.

(%i7) determinant(matrix([1,-1,-1],[0,2,2],[x,y,z]));

(%o7) 2 z− 2 y

(%i8) determinant(matrix([1,-1,2],[0,2,-4],[x,y,t]));

(%o8) 4 y+ 2 tLas ecuaciones cartesianas de U respecto de B son

z− y = 0y+ t = 0

}.

8. ECUACIONES CARTESIANAS O IMPLICITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL 52

Ejemplo maxima 37: Sean U = {(x, y, z, t) ∈ Q4 | x+y+z+t = 0, x+2t = 0} y W = {(x, y, z, t) ∈Q4 | 4y+ 4z+ t = 0, x+ 4y = 0}. Calculemos una base de la interseccion.

(%i1) M:matrix([1,1,1,1],[1,0,0,2],[0,-1,-1,1],[1,-1,0,0])$

(%i2) nullspace(M);

(%o2) span

−2−231

Una base es de la interseccion es {(−2,−2, 3, 1)}.

Ejemplo maxima 38: Sea f : Q4 → Q3, f(x, y, z, t) = (x + y, z + t, x + y + z + t). Calculemos unabase de N(f).

(%i1) N:matrix([1,1,0,0],[0,0,1,1],[1,1,1,1])$

(%i2) nullspace(N);

(%o2) span

−1100

,001−1

Por tanto una base de N(f) es {(−1, 1, 0, 0), (0, 0, 1,−1)}.

Capıtulo 4

Diagonalizacion de matrices

1. Matrices diagonalizables

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que tiene todas sus entradas nulas, salvo eventual-mente las de la diagonal. Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existen una matriz diagonalD y una matriz regular P tales que A = PDP−1.

La diagonalizacion de matrices es util para el calculo de potencias grandes de una matriz, yaque

Ar = (PDP−1)r = PDP−1PDP−1 r−1. . . PDP−1 = PDrP−1.

En adelante, A representara una matriz cuadrada de orden n× n sobre un cuerpo K.Un elemento λ ∈ K es un valor propio de A si existe x ∈ Kn \ {(0, . . . , 0)} tal que Ax = λx. En

tal caso diremos que x es un vector propio asociado al valor propio λ.

Teorema de caracterizacion de los valores propios. Un elemento λ ∈ K es un valorpropio de A si y solo si |A− λIn| = 0.

Ası los valores propios de A son las raıces del polinomio |A− λIn| ∈ K[λ], que se conoce comopolinomio caracterıstico de A, y lo denotaremos por pA(λ). Notese que gr(pA(λ) = n.

Ejercicio 57: Calcula el polinomio caracterıstico y los valores propios de

(1 22 1

)∈M2×2(R).

Propiedades.

1) Si A es una matriz triangular, entonces sus valores propios son los valores de la diagonal.2) Los valores propios de A y At coinciden.3) |A| = 0 si y solo si 0 es un valor propio de A.4) Si A es regular y λ es un valor propio de A, entonces λ−1 lo es de A−1.

Si λ es un valor propio de A, entonces

V(λ) = {x ∈ Kn tales que (A− λIn)x = 0},

(en este caso 0 = (0, . . . , 0) ∈ Kn) es un subespacio vectorial de Kn. Dicho subespacio lollamamos subespacio vectorial propio asociado al valor propio λ.

Ejercicio 58: Encuentra los subespacios propios asociados a los valores propios de

(1 22 1

)∈

M2×2(R).

Sean λ1, . . . , λk los valores propios de la matriz A. A la multiplicidad de la raız λi de PA(λ) lallamaremos multiplicidad algebraica de λi, mientras que la dimension de V(λi) es la multiplicidadgeometrica de λi.

Ejercicio 59: Calcula las multiplicidades algebraicas y geometricas de los valores propios de(1 22 1

)∈M2×2(R).

53

2. METODO PARA DIAGONALIZAR UNA MATRIZ 54

La multiplicidad geometrica de un valor propio es menor o igual que su multiplicidadalgebraica.

Criterio de diagonalizacion. A es diagonalizable si, y solo si, la suma de las multiplicidadesalgebraicas de los valores propios de A es n y ademas para todo valor propio las multiplicidadesalgebraica y geometrica coinciden.

Toda matriz cuadrada y simetrica con coeficientes en R es diagonalizable.

2. Metodo para diagonalizar una matriz

1) Calculamos pA(λ), sus raıces λ1, . . . , λk y sus multiplicidades algebraicas, m1, . . . ,mk.2) Si m1 + · · ·+mk 6= n, A no es diagonalizable.3) En caso contrario, para cada λi, calculamos el subespacio propio V(λi) y su dimension. Si dicha

dimension no coincide con mi para algun i, entonces A no es diagonalizable.4) Llegado este paso, la matriz A es diagonalizable y D es la matriz que tiene en la diagonal m1

entradas λ1, m2 entradas λ2, y ası hasta mk entradas λk. La matriz de paso P se construyecolocando en las primeras m1 columnas una base de V(λ1), a continuacion en las siguientes m2

columnas una base de V(λ2), y ası hasta que colocamos en las ultimas mk columnas una basede V(λk).

Ejercicio 60: Diagonaliza la matriz

(1 22 1

)∈M2×2(R).

Ejercicio 61: Diagonaliza la matriz 2 0 0−15 −4 3−35 −14 9

∈M3×3(R).

Ejercicio 62: Demuestra que

(1 10 1

)con coeficientes reales no es diagonalizable.

Ejemplo maxima 39: Sea

(%i1) A:matrix([-1,3,3],[0,2,0],[3,-3,-1]);

(%o1)

−1 3 30 2 03 −3 −1

El comando eigenvectors nos proporciona toda la informacion para saber si es diagonalizable.

(%i2) eigenvectors(A);

(%o2) [[[−4, 2], [1, 2]], [[[1, 0,−1]], [[1, 0, 1], [0, 1,−1]]]]

La salida nos dice que los valores propios son −4 y 2, con multiplicidades 1 y 2, respectivamente.Ademas nos da bases para V(−4), {(1, 0,−1)} y V(2), {(1, 0, 1), (0, 1,−1)}. Como las multiplicidadesalgebraicas y geometricas coinciden, y suman 3, A es diagonalizable.

La matriz de paso se calcula poniendo dichas bases una a continuacion de la otra en columnas.

(%i3) P:matrix([1,1,0],[0,0,1],[-1,1,-1]);

3. FORMA NORMAL DE JORDAN 55

(%o3)

1 1 00 0 1−1 1 −1

Comprobamos que efectivamente estan bien hechos los calculos:

(%i4) P^^(-1).A.P;

(%o4)

−4 0 00 2 00 0 2

Podrıamos tambien haber hecho los calculos paso a paso, calculando primero el polinomio

caracterıstico de A.

(%i5) charpoly(A,x);

(%o5) (−x− 1)2 (2− x) − 9 (2− x)

Para ver los valores propios, lo factorizamos.

(%i6) factor(%);

(%o6) −(x− 2)2 (x+ 4)

Y para calcular una base de por ejemplo V(2) utilizamos nullspace.

(%i7) nullspace(A-2*ident(3));

(%o7) span

−3−30

, 03−3

3. Forma normal de Jordan

Ejemplo maxima 40: Vamos a estudiar si la siguiente matriz es o no diagonalizable.

(%i1) A:matrix([3,1,1],[-1,5,1],[0,0,4]);

( %o1)

3 1 1−1 5 10 0 4

Llamamos I a la identidad, que vamos a necesitar luego.

(%i2) I:ident(3);

( %o2)

1 0 00 1 00 0 1

El polinomio caracterıstico de A es

(%i3) factor(charpoly(A,x));

( %o3) − (x− 4)3

Por lo que solo hay un valor propio, con multiplicidad algebraica 3.

(%i4) eigenvectors(A);

( %o4) [[[4], [3]], [[[1, 0, 1], [0, 1,−1]]]]

3. FORMA NORMAL DE JORDAN 56

Como vemos, solo hay dos vectores en el subespacio propio V(4), el nucleo de A − 4I, por loque A no es diagonalizable. Sin embargo el nucleo de (A− 4I)2 sı que tiene dimension tres.

(%i5) nullspace((A-4*I)^^2);

( %o5) span

001

,010

,100

Tomemos uno de ellos que no este en V(4). Al multiplicarlo por (A−4I) nos saldra un elemento

de V(4), que ademas es linealmente independiente con el elemento original.

(%i6) (A-4*I).[1,0,0];

( %o6)

−1−10

(%i7) (A-4*I).%;

( %o7)

000

Tenemos ası dos elementos linealmente independientes de Q3, uno de ellos en V(4). Como quiera

que V(4) tiene dimension dos, podemos aun elegir otro elemento de V(4) que sea linealmenteindependiente con este. Ponemos estos tres vectores en una matriz (que sera invertible al serlinealmente independientes).

(%i8) P:transpose(matrix([1,0,1],[-1,-1,0],[1,0,0]))$

Y obtenemos que aunque A no sea diagonalizable, se acerca bastante a serlo.

(%i9) P^^(-1).A.P;

( %o9)

4 0 00 4 10 0 4

Ejemplo maxima 41: Consideremos ahora la matriz con coeficientes racionales

(%i1) A:matrix([4,2,0,0],[0,6,2,0],[1,-1,7,-1],[-1,1,-1,5]);

( %o1)

4 2 0 00 6 2 01 −1 7 −1−1 1 −1 5

(%i2) I:ident(4)$

El polinomio caracterıstico de A factoriza como

(%i3) factor(charpoly(A,x));

( %o3) (x− 6)3 (x− 4)Por lo que tenemos dos valores propios: 4 y 6, de multiplicidades algebraicas 1 y 4, respectiva-

mente.

(%i4) eigenvectors(A);

( %o4) [[[6, 4], [3, 1]], [[[1, 1, 0, 0]], [[1, 0, 0, 1]]]]Esto nos dice que el nucleo de A− 6I tiene dimension 1 (y esta generado por (1, 1, 0, 0)) por lo

que nos hacen falta dos vectores mas para completar la multiplicidad algebraica. Para A − 4I, la

3. FORMA NORMAL DE JORDAN 57

dimension de su nucleo es 1, que coincide con la multiplicidad algebraica de 4. Por ello ya tenemosun candidato para la matriz de paso, el (1, 0, 0, 1) (y otro sera (1, 1, 0, 0) o un multiplo suyo).

Veamos que ocurre con los nucleos de las potencias de A− 6I.

(%i5) nullspace((A-6*I)^^2);

( %o5) span

0880

,80−80

La dimension de este es dos, por lo que seguimos intentando con (A− 6I)3.

(%i6) nullspace((A-6*I)^^3);

( %o6) span

−4−400

,0−4−40

,004−4

Cuya dimension llena completamente la multiplicidad algebraica de 6. Escogemos un vectorque este en el nucleo de (A − 6I)3 pero que no este en el nucleo de (A − 6I)2, y calculamos lasecuencia que resulta de ir multiplicando por A− 6I hasta que lleguemos a V(6).

(%i7) (A-6*I).[0,0,1,-1];

( %o7)

0220

(%i8) (A-6*I).%;

( %o8)

4400

(%i9) (A-6*I).%;

( %o9)

0000

Como hemos conseguido tres nuevos vectores linealmente independientes, y tenıamos ya uno

de V(4), no tenemos que seguir buscando mas. Ası, escogiendo como matriz de paso:

(%i10) P:transpose(matrix([1,0,0,1],[4,4,0,0],[0,2,2,0],[0,0,1,-1]))$

Obtenemos que A se puede expresar en la base cuyos elementos son las columnas de P de lasiguiente forma.

(%i11) P^^(-1).A.P;

( %o11)

4 0 0 00 6 1 00 0 6 10 0 0 6

Las matrices de los dos ultimos ejemplos no eran diagonalizables, sin embargo hemos encontrado

bases respecto de las cuales tienen en la diagonal sus valores propios (repetidos tantas veces como

3. FORMA NORMAL DE JORDAN 58

sus respectivas multiplicidades algebraicas), y eventualmente tienen algun 1 encima de algunaposicion en la diagonal. De hecho el numero de unos viene a medir lo lejos que estan de serdiagonalizables. Los dos ejemplos se han desarrollando siguiendo las siguientes ideas.

Subespacios propios generalizados. Sea A una matriz cuadrada de orden n con coeficientesen C (ası nos aseguramos que el polinomio caracterıstico descompone totalmente como productode polinomios de grado uno, y la suma de las multiplicidades algebraicas es precisamente n). Seaλ un valor propio de A. Consideremos los subespacios de Cn. Definimos

Vi(λ) = N((A− λId)i),

el i-esimo subespacio propio generalizado asociado a λ.

Se tiene trivialmente que V(λ) = V1(λ) ⊆ V2(λ) ⊆ · · · . Como todos esos conjuntos son subespa-cios de Cn, sabemos que esa cadena se volvera estacionaria, alcanzando el mayor subespacio posible,en un numero finito de pasos. Es facil comprobar que si Vi(λ) = Vi+1(λ), entonces Vi(λ) = Vj(λ)para todo entero j mayor o igual que i. Por tanto, nos aseguramos que el subespacio mas grandeposible es Vn(λ). Se tiene ademas que para un i como el anterior, entonces dim(Vi(λ)) (y por tantodim(Vn(λ))) es precisamente la multiplicidad algebraica de λ, y el subspacio Vi(λ) es invariantepor A, a saber, para cualquier v ∈ Vi(λ), Av vuelve a estar en Vi(λ).

De esta forma, si λ1, . . . , λk son los distintos valores propios deA con multiplicidadesm1, . . . ,mk,respectivamente (recordemos que m1+ · · ·+mk = n en nuestro caso), si elegimos Bi una base paracada Vn(λi), entonces la matriz A respecto de esa base tiene el siguiente aspecto

A1A2

. . .Ak

donde cada matriz Ai es cuadrada de orden mi, y el resto de las entradas son todas 0. En el casoen que A sea diagonalizable V(λi) = Vn(λi), y podemos conseguir que Ai sea una matriz diagonalcuyos valores de la diagonal son todos λi.

Orden de un elemento de un subespacio propio generalizado. Decimos que un vector vde Vn(λ), con λ un valor propio de A, es de orden v si v ∈ Vk(λ)\Vk−1(λ) (a saber, (A−λId)kv = 0y (A− λId)k−1v 6= 0).

Bloque de Jordan. Sea v ∈ Vk(λ) \ Vk−1(λ). Entonces los vectores

(1) vk = v, vk−1 = (A− λId)v, . . . , v1 = (A− λ)k−1v

son linealmente independientes. Es mas, como

Avk = vk−1 + λvk, . . . , Avi = vi−1 + λvi, . . . , Av2 = v1 + λv2, Av1 = λv1,

se tiene que el subespacio U generado por {v1, . . . , vk} es invariante por A, y la expresion de laaplicacion lineal asociada a A restringida a U respecto de la base {v1, . . . , vk} es de la forma

Jk(λ) =

λ 1 0 · · · 0

0 λ 1. . .

......

. . . . . . . . . 00 0 λ 10 0 · · · 0 λ

,al que llamaremos bloque de Jordan de tamano k asociado a λ.

3. FORMA NORMAL DE JORDAN 59

Si para cada Vn(λi) buscamos un elemento de orden maximo y calculamos la secuencia asociadaa este como en (1), obtendremos parte de una base de Vn(λ). Si el numero de elementos de lasecuencia no es igual a mi, entonces buscamos de nuevo otro elemento de orden maximo queno este en el espacio generado por los que ya hemos calculado anteriormente y le calculamos susecuencia asociada (1). Siguiendo este proceso acabaremos por llenar mi elementos en la base, ytendremos ası que Ai respecto de esa base esta formada por una matriz diagonal en bloques, y enla diagonal apareceran bloques de Jordan de tamano las longitudes de las secuencias que hemos idoconsiderando. Cuando juntemos todas las bases que hemos obtenido para cada Vn(λi) llegaremosa que la matriz A se puede expresar en esa base como una matriz en diagonal por bloques, yesos bloques son bloques de Jordan asociados a los valores propios de A, y que tienen tamanolas longitudes de las secuencias (1) utilizadas para construir las distintas bases de los subespaciospropios generalizados. La matriz resultante se conoce como forma de Jordan asociada a A y esunica salvo reordenamiendo de los bloques.

Capıtulo 5

Continuidad y lımites de funciones

En preparacion... Faltan ejemplos de maxima.

1. Funciones reales de una variable real. Definicion y primeras propiedades

AplicacionesUna aplicacion f es una correspondencia entre dos conjuntos A y B tal que a todo elemento de Ale corresponde un solo elemento de B.

A'

&

$

%

rat

B'

&

$

%

-

�����:

-

��� r r� �� ���� r r��� r r��Esta correspondenciaes una aplicacion

A'

&

$

%

a

t

e

B'

&

$

%

-XXXXXz

-

-

��� r r� �� ���� r r����� r r��� r r��Esta correspondenciano es una aplicacion

A'

&

$

%

rat

B'

&

$

%

-

-

��� r r����� r r��� r r��Esta correspondenciano es una aplicacion

En estos ejemplos, el primer diagrama representa una aplicacion, pues, a cada elemento delconjunto A = {r, a, t} le corresponde una sola cara del conjunto B. Sin embargo, el segundodiagrama no representa una aplicacion porque al elemento a ∈ A le corresponden dos caras delconjunto B. Tampoco el tercer diagrama representa una aplicacion ya que al elemento r ∈ A no lecorresponde ningun elemento de B.

Dominio, conjunto final e imagen de una aplicacionSea f una aplicacion entre dos conjuntos A y B. Al conjunto A se le llama conjunto inicial o dominiode f y al conjunto B se le llama conjunto final o codominio de f. Para indicar los conjuntos A y Bse suele usar la notacion f : A → B. Si la aplicacion f le hace corresponder a un elemento x ∈ Aun elemento y ∈ B, se dice que y es la imagen de x mediante f y se expresa por y = f(x). Se llamaimagen de f al conjunto f(A) = {f(x) ∈ B : x ∈ A}.

En el ejemplo anterior (primer diagrama) el dominio de la aplicacion f es el conjunto A ={r, a, t}, el conjunto final es

B = {��� r r� �� � ,��� r r ,��� r r�� }

y la imagen de f es

f(A) = {��� r r� �� � ,��� r r }

Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivasSea f : A → B una aplicacion. Se dice que f es inyectiva si todo par de elementos distintos de Atiene imagenes distintas en B, es decir:

x1, x2 ∈ A, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2),60

1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES 61

o, equivalentemente, si x1, x2 ∈ A y f(x1) = f(x2), entonces x1 = x2.A'

&

$

%

r

t

e

B'

&

$

%

-

-

-

��� r r� �� ���� r r����� r r��� r r��Es inyectiva

A'

&

$

%

rat

e

B'

&

$

%

-

������:

-

-

��� r r� �� ���� r r����� r r��� r r��No es inyectiva

Se dice que f es sobreyectiva si f(A) = B, es decir:

∀y ∈ B, ∃x ∈ A : y = f(x).

A'

&

$

%

r

t

e

B'

&

$

%

-

-

-

��� r r� �� ���� r r����� r r��� r r��No es sobreyectiva

A'

&

$

%

racte

B'

&

$

%

-

�����

�:

�����:

-

-

��� r r� �� ���� r r����� r r��� r r��Es sobreyectiva

A'

&

$

%

rc

te

B'

&

$

%

-

-

-

-

��� r r� �� ���� r r����� r r��� r r��Es biyectiva

Se dice que f es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Se prueba que f es biyectivasi, y solo si, para todo y ∈ B existe un unico punto x ∈ A tal que y = f(x).

Funcion real de variable realUna funcion real de variable real es una aplicacion f : A→ B, donde A y B son dos subconjuntosno vacıos de numeros reales.

Para definir una funcion, es suficiente especificar su dominio A y dar una expresion algebraicaque permita determinar la imagen de cada elemento de A. Si el dominio de una funcion f noaparece especificado, entenderemos que dicho dominio es el mayor subconjunto de numeros realesen el que la expresion algebraica de f tiene sentido y lo denotaremos por dom(f).

Dada una funcion f : A→ R, para cada punto x ∈ A el par ordenado de numeros reales (x, f(x))se puede representar como un punto en el plano con un sistema de coordenadas cartesianas. Deesta manera, la grafica de f, es decir, el conjunto

{(x, f(x)) ∈ R2 : x ∈ A

}, se representa en el plano

mediante una curva que se denomina representacion grafica de f.

.

....................................

.................................

..............................

...........................

........................

.....................

........................................................ .......... ......... .......... ........... .............

.................................................................................... ........... .......... ......... .......... ...........

.............................................

.....................

........................

...........................

..............................

.................................

....................................

t

x

(x, f(x))f(x)

A

f(A)f

1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES 62

Operaciones algebraicas con funcionesSean f, g : A→ R funciones. La funcion suma de f y g es la funcion f+ g : A→ R dada por

(f+ g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ A.La funcion producto de f y g es la funcion fg : A→ R definida por

(fg)(x) = f(x)g(x), ∀x ∈ A.Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ A, la funcion cociente de f y g es la funcion f

g: A→ R dada por(

f

g

)(x) =

f(x)

g(x), ∀x ∈ A.

Si f y g no tienen el mismo dominio, entonces el dominio de f+g y fg es dom(f)∩dom(g), mientrasque el dominio de f

ges [dom(f) ∩ dom(g)] \ {x ∈ R : g(x) = 0}.

Composicion de funcionesSean f : A→ R y g : B→ R funciones tales que f(A) ⊂ B. Se llama funcion compuesta de f y g ala funcion g ◦ f : A→ R definida por

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A.

A

x B

f(A)

f(x)

Rg(f(x))

..................................

................................

.............................................................

............................. ............................ ........................... ........................... ............................ ............................. ..........................................................

...

................................

.................................Z~ .

...................................

..................................

................................................................

.............................. ............................. ........................... ........................... ............................ ............................ .......................................................

...

..............................

...............................

Z~

f g

Si el dominio de g ◦ f no aparece especificado, entonces

dom(g ◦ f) = {x ∈ dom(f) : f(x) ∈ dom(g)} .

Restriccion de una funcionDada una funcion f : A→ R y un subconjunto no vacıo B de A, se llama funcion restriccion de fa B a la funcion f|B : B→ R definida por

f|B (x) = f(x), ∀x ∈ B.

Funcion inversaSi f : A→ R es inyectiva, se llama funcion inversa de f a la unica funcion f−1 : f(A)→ R tal que(f−1 ◦ f)(x) = x para todo x ∈ A.

Ademas, f−1 es tambien inyectiva y (f ◦ f−1)(y) = y para todo y ∈ f(A). Las representacionesgraficas de f y f−1 son curvas simetricas respecto de la recta y = x (la bisectriz del primer y tercercuadrantes).

Ejemplo maxima 42: Veamos como las funciones cuadrado y sumar uno no conmutan al compo-nerlas.

(%i1) f(x):=x^2$ g(x):=x+1$

(%i2) f(g(1)); g(f(1));

1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES 63

(%o2) 4

(%o3) 2

(%i4) f(g(x))=g(f(x));

(%o4) (x+ 1)2 = x2 + 1

(%i5) expand(%);

(%o5) x2 + 2 x+ 1 = x2 + 1

Ejemplo maxima 43: Veamos si la funcion f(x) = x−2x+1

tiene inverso (en su dominio, R \ {−1}).

(%i1) solve((x-2)/(x+1)=t,[x]);

( %o1) [x = −t+ 2

t− 1]

(%i2) f(x):=(x-2)/(x+1);

( %o2) f (x) :=x− 2

x+ 1(%i3) g(x):=-(x+2)/(x-1);

( %o3) g (x) :=− (x+ 2)

x− 1(%i4) f(g(x));

( %o4)−x−2x−1

− 2−x−2x−1

+ 1(%i5) ratsimp(%);

( %o5) x

(%i6) g(f(x));

( %o6)−x−2x+1

− 2x−2x+1

− 1(%i7) ratsimp(%);

( %o7) xDe hecho, de esta forma tambien sabemos que el conjunto imagen de f es R \ {1}.

Ejercicios 63:

1. Sea f : R → R la funcion definida por f(x) = x−1x2+2

para todo x ∈ R. Calcula f(0), f(−1),

f(2a), f( 1x), f(x+ h) donde x, a, h ∈ R.

2. Para estudiar el ritmo al que aprenden los animales, un grupo de estudiantes de psicologıarelalizaron un experimento en el que una rata era enviada repetidamente a traves de unlaberinto de laboratorio. Los estudiantes encontraron que el tiempo requerido por la ratapara atravesar el laberinto en la n-esima prueba era aproximadamente de:

f(n) = 3+ 10n.

a) En este ejemplo el dominio de la funcion f esta determinado por el contexto del ex-perimento. ¿Cual es el dominio de la funcion f, es decir, para que valores de n tienesignificado f(n) en este contexto?

1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES 64

b) ¿Cuanto tiempo se tomara la rata para atravesar el laboratorio en la tercera prueba?3. Realiza las graficas de las siguientes funciones de R en R. Para ello, calcula los vertices de

las correspondientes parabolas y los puntos de corte con los ejes.a) f(x) = −x2 + 2x+ 6 para todo x ∈ R.b) f(x) = −2x2 + 5x para todo x ∈ R.c) f(x) = (x− 3)(x+ 1) para todo x ∈ R.d) f(x) = −4x2 + 4x+ 1 para todo x ∈ R.

4. En cada uno de los siguientes apartados, determina los intervalos en los que la funcionf : R→ R es positiva y los intervalos en los f es negativa.a) f(x) = −x2 − 11x− 10b) f(x) = x2 − 4x− 3c) f(x) = x2 − 2x+ 1d) f(x) = (3x− 1)(2x+ 1)

5. Considera las funciones reales: f(x) = x/ (x+ 1) , g(x) = x2 − 5.a) Determina los dominios de f y de g.b) Calcula f+ g, fg, f

g, g ◦ f y f ◦ g indicando en cada caso su dominio.

6. En los siguientes apartados el dominio de la funcion f no aparece especificado, luego enten-demos que dicho dominio es el mayor subconjunto de numeros reales en el que la expresionalgebraica de f tiene sentido. Calcula dom(f).

a) f (x) = −x2 − x+ 1

b) f (x) = x2+3x+2x2−2x

c) f (x) = x3+2√x−1

d) f (x) =√x3 + 2x2 − 1

e) f (x) =√

|x|

f ) f (x) = 4√−x+ 2− 3

√−x

g) f (x) =√

x+1x−2

h) f (x) =√

x+1x2−4x+3

i) f (x) = 3√x2 − 1

j ) f(x) = x2+3x2−2x+1

k) f(x) = 1x3−3x2+3x−1

l) f(x) =√x2 + 2x− 3

m) f(x) =√

x−1x2+1

n) f(x) =√|x|− 2x

n) f(x) =√1−√1− x2

o) f(x) = 3

√x2+1x−2

p) f(x) =√x− 2

√x

7. Calcula el dominio y recorrido (o conjunto imagen) de las siguientes funciones:

a) f(x) =

{−x si x ≤ −10 si x > −1

b) f(x) =

{1 si 0 ≤ x ≤ 2x2 si x > 2

c) f(x) =

{x2 si 0 ≤ x ≤ 3x+ 1 si 3 < x ≤ 6

d) f(x) = x2

x2+5.

8. En cada uno de los siguientes apartados, calcula la composicion que se indica de las fun-ciones f y g,a) g ◦ f y f ◦ g para las funciones f, g : R→ R definidas por f(x) = x3 + 1, g(x) = x2 − 5,

para todo x ∈ R.b) g ◦ f para la funcion f : R+

0 → R definida por f(x) =√x para todo x ∈ R+

0 , y la funciong : R→ R dada por g(x) = x2 − 4 para todo x ∈ R.

c) f ◦g para la funcion f : R+0 → R definida por f(x) =

√x para todo x ∈ R+

0 , y la funciong : R\ ] − 2, 2[→ R dada por g(x) = x2 − 4 para todo x ∈ R\ ] − 2, 2[.

2. FUNCIONES ELEMENTALES 65

d) g ◦ f para las funciones f y g dadas por f(x) = 1x

y g(x) =√x. Nota: como en este caso

el dominio de f y el de g no estan especificados, debemos calcular primero dom(f) ydom(g), y luego tomar el correspondiente subconjunto de dom(f).

9. Descompon como composicion de dos funciones la funcion h : R→ R definida por h(x) =(2x+ 1)6 para todo x ∈ R.

10. Comprueba, en cada caso, si la funcion f es inyectiva. En caso afirmativo, calcula su inversaf−1 y muestra que (f−1 ◦ f)(x) = x para todo x ∈ dom(f).

a) f(x) = x3, ∀x ∈ R.b) f(x) = 5x− 7, ∀x ∈ R.c) f(x) = 2x−3

7, ∀x ∈ R.

d) f(x) = 2x− 3, ∀x ∈ R.

e) f(x) = 9− x2, ∀x ∈ R.f ) f(x) = x+1

x−1, ∀x ∈ R \ {1}.

g) f(x) =√2x− 3, ∀x ≥ 3

2.

h) f(x) = 3√1− x3, ∀x ∈ R.

11. Sea la funcion definida por f(x) = |x+ 3|−∣∣x−22

∣∣ :a) Halla la expresion equivalente en la que no aparezcan los valores absolutos.b) Representa graficamente la funcion f.c) Resuelve analıtica y graficamente la inecuacion f(x) ≤ 8.d) Resuelve analıtica y graficamente la inecuacion f(x) ≤ 1+ 2x.

2. Funciones elementales

Funciones polinomicas, racionales e irracionalesSea f : A→ R una funcion real de variable real.

i) Se dice que f es polinomica si existen k ∈ N ∪ {0} y a0, a1, . . . , ak ∈ R tales que f(x) =ak x

k + · · ·+ a1 x+ a0 para todo x ∈ A.ii) Se dice que f es racional si existen dos funciones polinomicas P,Q : A → R tales que

Q(x) 6= 0 para todo x ∈ A y f(x) =P(x)

Q(x)para todo x ∈ A.

iii) Se dice que f es irracional si existe k ∈ N con 2 ≤ k y una funcion racional R : A→ R tales

que f(x) = k√R(x) para todo x ∈ A. Si k es par, se debe tener R(x) ≥ 0 para todo x ∈ A,

pues de lo contrario, la expresion k√R(x) no tendrıa sentido.

Ejemplo maxima 44: Vamos a representar la grafica de las funciones f : R+0 → R y g : R\{0}→ R

definidas porf(x) =

√x, ∀x ∈ R+

0 ; g(x) = 1x, ∀x ∈ R\{0}.

(%i1) plot2d(sqrt(x),[x,0,10])$

(%i1) plot2d(1/x,[x,-10,10],[y,-10,10])$

plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.plot2d: some valueswere clipped.

2. FUNCIONES ELEMENTALES 66

Funciones exponencialesSea a un numero real positivo. Llamaremos funcion exponencial de base a a la aplicacion f : R→ Rdefinida por

f(x) = ax, ∀x ∈ R.Llamaremos simplemente funcion exponencial a la funcion exponencial de base e. La funcionexponencial de base 1 no es otra cosa que la funcion constantemente igual a 1.

Lema 66. Sea a un numero real positivo distinto de 1. Se verifica que:

i) La funcion exponencial de base a es inyectiva.ii) La imagen de la funcion exponencial de base a es R+.

Ejemplo maxima 45: Representemos la la funcion exponencial utilizando maxima.

(%i1) plot2d(exp(x),[x,-10,10])$

Funciones logarıtmicasSea a un numero real positivo distinto de 1. Llamaremos funcion logarıtmica de base a, y ladenotaremos por loga, a la funcion inversa de la funcion exponencial de base a. Por tanto, loga esla unica funcion de R+ en R que verifica:

loga(ax) = x, ∀x ∈ R.

La inversa de la funcion exponencial, es decir, la funcion logarıtmica de base e se llamara funcionlogaritmo neperiano y se denotara por ln o por log en lugar de loge.

Teniendo en cuenta la definicion de las funciones logarıtmicas y las propiedades de las potenciasreales de los numeros reales positivos, es facil obtener lo siguiente:

Propiedades de las funciones logarıtmicasSea a un numero real positivo distinto de 1. Se verifica que:

i) loga es inyectiva.ii) La imagen de loga es todo R.iii) loga(xy) = loga(x) + loga(y), ∀x, y ∈ R+.iv) loga (x

y) = y loga(x), ∀x ∈ R+, ∀y ∈ R.

2. FUNCIONES ELEMENTALES 67

Reduccion a una sola funcion exponencial y a una sola funcion logarıtmicaTodas las funciones exponenciales y logarıtmicas se pueden obtener de forma sencilla a partir de lafuncion exponencial y del logaritmo neperiano. En efecto, sea a un numero real positivo distintode 1; entonces

ax =(eln(a)

)x= ex ln(a), ∀x ∈ R.

Por otra parte,ln(x) = ln

(aloga(x)

)= loga(x) ln(a), ∀x ∈ R+;

de donde, por ser ln(a) 6= 0 (a 6= 1), se sigue que

loga(x) =ln(x)

ln(a), ∀x ∈ R+.

Ası pues, se reduce al conocimiento de las funciones exponencial y logaritmo neperiano el de todaslas demas funciones exponenciales y logarıtmicas.

La razon de elegir el numero e como base de la funcion exponencial y del logaritmo neperianose pondra de manifiesto al estudiar el calculo diferencial.

Ejemplo maxima 46: Veamos ahora graficamente la funcion logaritmo neperiano.

(%i1) plot2d(log(x),[x,-10,10])$

plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.

Ejemplo maxima 47: Para resolver ex+1ex−1

= 2, basta con ejecutar en maxima:

(%i1) solve((exp(x)+1)/(exp(x)-1)=2,[x]);

( %o1) [x = log (3)]

O bien resolver primero

(%i2) solve((x+1)/(x-1)=2,[x]);

( %o2) [x = 3]y luego utilizar logaritmos.

Funciones potencialesSea b un numero real no nulo. Llamaremos funcion potencia de exponente b a la funcion h : R+ → Rdefinida por:

h(x) = xb, ∀x ∈ R+.

Las funciones potenciales tambien se pueden expresar a partir de la funcion exponencial y dellogaritmo neperiano:

xb = eb ln(x), ∀x ∈ R+.

Como consecuencia de la igualdad anterior, tenemos las siguientes propiedades.

Corolario 71. Sea b un numero real no nulo. Entonces:

2. FUNCIONES ELEMENTALES 68

i) La funcion potencia de exponente b es inyectiva.ii) La imagen de la funcion potencia de exponente b es R+.

La funcion parte enteraLa funcion parte entera E : R→ R se define del siguiente modo:

E(x) = max{p ∈ Z : p ≤ x}, ∀x ∈ R.El principio de buena ordenacion de los numeros naturales permite comprobar facilmente que estemaximo existe. Dado x ∈ R, al numero entero E(x) se le llama parte entera de x.

Ejemplo maxima 48: Representemos graficamente la funcion parte entera.

(%i1) plot2d(floor(x),[x,-10,10])$

Nuestro siguiente objetivo es definir las funciones trigonometricas. Lo haremos utilizando lon-gitudes de arcos de circunferencia. Vamos, pues, a formalizar estas nociones.

Semicircunferencia unidadDenominaremos semicircunferencia unidad a la grafica de la funcion g : [−1, 1]→ R definida por

g(x) =√1− x2, ∀x ∈ [−1, 1].

Para simplificar la notacion, vamos a considerar tambien la aplicacion γ : [−1, 1] → R2 definidapor

γ(x) = (x, g(x)) =(x,√1− x2

), ∀x ∈ [−1, 1].

A γ se le llama parametrizacion de la semicircunferencia unidad.

(x, g(x)) = γ(x)

.

.............................

.............................

............................

............................

............................

...........................

............................

........................................................

......................................................... ............................. . ............................. ............................. ............................ ............................

............................

.......................................................

............................

............................

............................

.............................

.............

.............

...

t

x−1 1

Particion de un intervaloSean a, b ∈ R con a < b. Llamaremos particion del intervalo [a, b] a cualquier subconjuntoP = {x0, x1, . . . , xn} contenido en [a, b] que verifica: a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.

a =x0 x1 x2 . . . xn−1 xn= b

Denotaremos por P([a, b]) el conjunto de todas las particiones de [a, b].

Definicion 75. Sean a, b ∈ [−1, 1] con a < b, P = {x0, x1, . . . , xn} una particion del intervalo [a, b]y γ : [−1, 1]→ R2 la parametrizacion de la semicircunferencia unidad considerada anteriormente.Denotamos

`(P, γ) = |γ(x1) − γ(x0)|+ |γ(x2) − γ(x1)|+ · · ·+ |γ(xn) − γ(xn−1)| ,

2. FUNCIONES ELEMENTALES 69

donde |(x, y)| =√x2 + y2 para todo (x, y) ∈ R2. Observe que |γ(xk) − γ(xk−1)| es la distancia en

el plano del punto γ(xk−1) al punto γ(xk).

a = x0 x1 x2 x3 = b

..............................

..............................

............................................................

............................................................ ............................... ............................... . ............................... ............................... .............................. ..............................

......................................................

......

..............................

...........................................................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

.............

.............

.....

.............

.............

.....

!!!!

!!!!aaaaaaa

LLLLLLLL

tγ(x0)

tγ(x1)tγ(x2)

tγ(x3)Graficamente, los puntos γ(x0), γ(x1), . . . , γ(xn−1), γ(xn) son los vertices de una poligonal y `(P, γ)debe entenderse como la longitud de esa poligonal. Intuitivamente, el arco de circunferenciaγ([a, b]) debe tener longitud mayor o igual que la de cualquiera de las poligonales considera-das (por aquello de que “la distancia mas corta entre dos puntos es la longitud del segmento quelos une”). Si el conjunto de las longitudes de las poligonales estuviera mayorado, lo mas naturalserıa definir la longitud del arco de circunferencia como el supremo de dicho conjunto.

Teorema 76. Sea γ : [−1, 1]→ R2 la parametrizacion de la semicircunferencia unidad consideradaanteriormente y sean a, b ∈ [−1, 1] con a < b. Se verfica que:

i) El conjunto {`(P, γ) : P ∈ P([a, b])} esta mayorado. Entonces, por el axioma del supremo,podemos considerar

`(γ([a, b])) = sup{`(P, γ) : P ∈ P([a, b])}.

A `(γ([a, b])) se le denomina longitud del arco de circunferencia γ([a, b]).ii) Si c ∈ ]a, b[ , entonces `(γ([a, b])) = `(γ([a, c])) + `(γ([c, b])).iii) Si a, b ∈ [−1, 0] o a, b ∈ [0, 1], se tiene

`(γ([a, b])) ≤ (b− a) +∣∣∣√1− b2 −√1− a2∣∣∣ .

El numero πDefinimos el numero π como la longitud de la semicircunferencia unidad, esto es,

π = `(γ([−1, 1])).

La funcion arco-cosenoSea γ : [−1, 1]→ R2 la parametrizacion de la semicircunferencia unidad considerada anteriormente.Se define la funcion arc cos : [−1, 1]→ R como

arc cos(x) =

`(γ([x, 1])) si −1 ≤ x < 1,

0 si x = 1.

A esta funcion se le llama funcion arco-coseno.

.

.............................

.............................

............................

............................

............................

...........................

............................

........................................................

......................................................... ............................. . ............................. ............................. ............................ ............................

............................

.......................................................

............................

............................

............................

.............................

.............

.............

...

t

x−1 1

............................

............................

............................

............................

.............................

.............

.............

...?

@I

arc cos(x)

2. FUNCIONES ELEMENTALES 70

Propiedades de la funcion arco-cosenoSe verifica que:

i) Si x, y ∈ [−1, 1] y x < y, entonces arc cos(y) < arc cos(x).ii) La funcion arco-coseno es inyectiva.iii) La imagen de la funcion arco-coseno es el intervalo [0, π] y arc cos(−1) = π.iv) arc cos(x) + arc cos(−x) = π para todo x ∈ [−1, 1]. En particular, arc cos(0) = π

2.

v)√1− x2 ≤ arc cos(x) ≤ (1− x) +

√1− x2 para todo x ∈ [0, 1].

Ejemplo maxima 49: Dibujemos la grafica de la funcion arco-coseno con ayuda maxima.

(%i1) plot2d(acos(x),[x,-1,1])$

Como la funcion arco-coseno es inyectiva, podemos considerar su funcion inversa arc cos−1 :[0, π]→ R. A partir de esta inversa definiremos la funcion coseno.

Observe tambien que, dado x ∈ R, si k es la parte entera del numero real π−x2π

, entoncesx+ 2kπ ∈ ] − π, π] .

La funcion cosenoDefinimos la funcion cos| ]−π,π] : ] − π, π] → R como

cos| ]−π,π](x) =

arc cos−1(x) si x ∈ [0, π],

arc cos−1(−x) si x ∈ ] − π, 0[ .Con ayuda de esta funcion, se define la funcion coseno, cos : R→ R, de la siguiente forma:

cos(x) = cos| ]−π,π]

(x+ 2 E

(π− x

2π

)π

), ∀x ∈ R.

Obviamente, cos(x) = cos| ]−π,π](x) para todo x ∈ ] − π, π], luego la notacion empleada esconsecuente con la notacion de las funciones restriccion.

La funcion senoDefinimos la funcion sen | ]−π,π] : ] − π, π] → R como

sen | ]−π,π](x) =

√1− (cos(x))2 si x ∈ [0, π],

−√1− (cos(x))2 si x ∈ ] − π, 0[ .

Con ayuda de esta funcion, se define la funcion seno, sen : R→ R, de la siguiente forma:

sen(x) = sen | ]−π,π]

(x+ 2 E

(π− x

2π

)π

), ∀x ∈ R.

2. FUNCIONES ELEMENTALES 71

Propiedades del seno y del cosenoSe tienen las siguientes propiedades:

i) cos2 x+ sen2 x = 1, ∀x ∈ R.ii) La restriccion de la funcion coseno al intervalo [0, π] es la funcion arc cos−1. Como conse-

cuencia: cos(0) = 1, cos(π2) = 0 y cos(π) = −1.

iii) Si x, y ∈ [0, π] y x < y, entonces cos(y) < cos(x).iv) La restriccion de la funcion coseno al intervalo [0, π] es inyectiva.v) Si x, y ∈ [−π

2, π2] y x < y, entonces sen(x) < sen(y).

vi) La restriccion de la funcion seno al intervalo [−π2, π2] es inyectiva.

vii) sen(−π2) = −1, sen(0) = 0, sen(π

2) = 1 y sen(π) = 0.

viii) cos(x+ 2kπ) = cos(x), sen(x+ 2kπ) = sen(x), ∀x ∈ R, ∀k ∈ Z.ix) La imagen, tanto de la funcion seno como de la funcion coseno, es el intervalo [−1, 1].x) cos(−x) = cos(x), sen(−x) = − sen(x), ∀x ∈ R.

xi) cos(x+ π) = − cos(x), sen(x+ π) = − sen(x), ∀x ∈ R.xii) Si a, b ∈ R y verifican la igualdad a2 + b2 = 1, entonces existe un unico x ∈ ] − π, π] tal

que cos(x) = a y sen(x) = b.xiii) Si x, y ∈ R y se tiene sen(x) = sen(y) y cos(x) = cos(y) , entonces x = y + 2kπ para

algun k ∈ Z.

Ejemplo maxima 50: Dibujemos simultaneamente el seno y el coseno.

(%i1) plot2d([cos(x),sin(x)],[x,-%pi,%pi])$

Es facil comprobar usando la propiedad xiii) anterior que

{x ∈ R : cos x = 0} ={π2+ kπ : k ∈ Z

}y {x ∈ R : sen x = 0} = {kπ : k ∈ Z} .

Las funciones tangente, secante, cosecante y cotangente

i) Se llama funcion tangente a la funcion tg : R\{π2+ kπ : k ∈ Z}→ R definida por

tg(x) =sen(x)

cos(x), ∀x ∈ R\{

π

2+ kπ : k ∈ Z}.

ii) Se llama funcion secante a la funcion sec : R\{π2+ kπ : k ∈ Z}→ R definida por

sec(x) =1

cos(x), ∀x ∈ R\{

π

2+ kπ : k ∈ Z}.

iii) Se llama funcion cosecante a la funcion cosec : R\{kπ : k ∈ Z}→ R definida por

cosec(x) =1

sen(x), ∀x ∈ R\{kπ : k ∈ Z}.

2. FUNCIONES ELEMENTALES 72

iv) Se llama funcion cotangente a la funcion cotg : R\{kπ : k ∈ Z}→ R definida por

cotg(x) =cos(x)

sen(x), ∀x ∈ R\{kπ : k ∈ Z}.

Propiedades de la funcion tangente

i) tg(x+ kπ) = tg(x), ∀x ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z}.

ii) Si x, y ∈]−π2, π2

[y x < y, entonces tg(x) < tg(y).

iii) La restriccion de la funcion tangente al intevalo]−π2, π2

[es inyectiva.

iv) La imagen de la funcion tangente es todo R.

Ejemplo maxima 51: Dibujamos ahora las funciones tangente, secante y cosecante.

(%i1) plot2d([tan(x),sec(x),csc(x)],[x,-%pi,%pi],[y,-10,10])$

plot2d: some values were clipped.plot2d: some values were clipped.The number 0.0 isn’t in the domain of cscplot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.plot2d: some values were clipped.

Como las restricciones de las funciones seno, coseno y tangente a determinados intervalos soninyectivas, podemos considerar sus funciones inversas. Por ejemplo, la inversa de la restriccion alintervalo [0, π] de la funcion coseno es la funcion arco-coseno, que ya ha sido estudiada. Por otraparte, para el seno y la tangente tenemos las siguientes funciones:

Las funciones arco-seno y arco-tangente

i) Llamaremos funcion arco-seno a la inversa de la restriccion del seno al intervalo[−π2, π2

]. A

esta funcion se la denota por arc sen y viene determinada por:

arc sen : [−1, 1]→ R, arc sen(sen(x)) = x, ∀x ∈[−π

2,π

2

].

2. FUNCIONES ELEMENTALES 73

ii) La funcion arco-tangente es, por definicion, la inversa de la restriccion de la funcion tangenteal intervalo

]−π2, π2

[. A esta funcion se la denota por arc tg y viene determinada por:

arc tg : R→ R, arc tg(tg(x)) = x, ∀x ∈]−π

2,π

2

[.

Propiedades de las funciones arco-seno y arco-tangente

i) Si x, y ∈ [−1, 1] y x < y, entonces arc sen(x) < arc sen(y).ii) La funcion arco-seno es inyectiva.iii) La imagen de la funcion arco-seno es el intervalo

[−π2, π2

].

iv) Si x, y ∈ R y x < y, entonces arc tg(x) < arc tg(y).v) La funcion arco-tangente es inyectiva.vi) La imagen de la funcion arco-tangente es el intervalo

]−π2, π2

[.

Ejemplo maxima 52: Representamos ahora las funciones arco-seno y arco-tangente.

(%i1) plot2d([asin(x),atan(x)],[x,-%pi/2,%pi/2],[y,-2,2])$

plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.

Ejercicios 64:

1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f (x) = e−3x ln

(x3 + 2x2 − 1

),

b) f (x) = 1x

ln√

1+x1−x

,

c) f (x) = ln (x+ 1) − ln x,d) f (x) = ex+sen x−1

ln(1+x),

e) f (x) =√

arc sen(x− 1),

f ) f(x) = e−3x ,

g) f(x) = (x+ |x|)√

sen2 x,

h) f(x) = ln(x(x2 + x− 4)

),

i) f(x) =√

sen x− 1√2,

j ) f(x) = ln(ln(sen x)),k) f(x) = arc cos

(x+1x2+1

).

Solucion: ]−∞, 0] ∪ [1,+∞[.

l) f(x) = ln(5

√x2+x+3x2+1

− 1)

.

Solucion: ]−2,+∞[.

2. Calcula las razones trigonometricas que falten (seno coseno, tangente, cotangente, secantey cosecante) en los siguientes casos:

a) senα = −0,6; π ≤ α ≤ 3π2

,

b) cosα = 0,8; 3π2≤ α ≤ 2π,

c) tgα = −4; 3π2≤ α ≤ 2π,

d) cotgα = −19; π

2≤ α ≤ π.

3. Resuelve la ecuacion sen x = cos x.4. Resuelve:

3. SIMETRIAS, PERIODICIDAD, ACOTACION Y MONOTONIA DE FUNCIONES 74

a) x√x =

(√x)x

,b) 2 ln x = 3+ ln x

10,

c) ln x+ ln(x+ 3) = 2 ln(x+ 1),d) 4 ln(x

5) + ln( 625

4) = 2 ln x,

e) 2 ln x− 2 ln(x+ 1) = 0,

f ) ln x = 2−ln xln x

,

g) ln(25− x3) − 3 ln(4− x) = 0,

h) ln(16−x2)ln(3x−4)

= 2,

i) 8 · 2x = x√45,

j ) 3 · 2x + 4x = 88.

5. Resuelve los siguientes sistemas:

a)

{2 · 3x + 9y = 27,9x − 81 = 0.

b)

{x+ y = 110,ln x+ lny = 3.

6. Si f(x) = 2x para todo x ∈ R, demuestra que f(x + 3) − f(x − 1) = 152f(x) y f(x+3)

f(x−1)= f(4)

para todo x ∈ R.7. Sabiendo que el dominio de la funcion f es [0, 1], halla el dominio de las funciones:

a) f(x2),b) f(sen x),c) f(x− 5),d) f(2x− 3),e) f(tgx).

8. Determina el dominio y recorrido (o conjunto imagen) de las siguientes funciones:a) f(x) = sen(ln x),

b) f(x) = ex2.

9. En cada uno de los siguientes casos, descompon como composicion de dos funciones lafuncion h : R→ R.a) h(x) = sen(x2).b) h(x) = sen2 x.

10. Comprueba, en cada apartado, si la funcion f es inyectiva. En caso afirmativo, calcula suinversa f−1 y muestre que (f−1 ◦ f)(x) = x para todo x ∈ dom(f).a) f(x) = ex, ∀x ∈ R.b) f(x) = ex

ex+4, ∀x ∈ R.

c) f(x) = 4+ ln(x− 3), ∀x ∈ ]3,+∞[ .

d) f(x) = ex−e−x

ex+e−x, ∀x ∈ R.

e) f(x) = 2x

1+2x, ∀x ∈ R.

3. Simetrıas, periodicidad, acotacion y monotonıa de funciones

Funciones simetricas

i) Una funcion f : A→ R se dice que es par (o tiene simetrıa par) si

−x ∈ A y f(−x) = f(x), ∀x ∈ A.En este caso, f tiene una grafica simetrica respecto del eje de ordenadas.

ii) Una funcion f : A→ R se dice que es impar (o tiene simetrıa impar) si

−x ∈ A y f(−x) = −f(x), ∀x ∈ A.Esto significa que la grafica de f presenta una simetrıa respecto del origen.

3. SIMETRIAS, PERIODICIDAD, ACOTACION Y MONOTONIA DE FUNCIONES 75

Ejemplo 88. La funcion f : R → R dada por f(x) = x2, para todo x ∈ R, es simetrica par;mientras que la funcion g : R→ R definida por g(x) = x3, para todo x ∈ R, es simetrica impar.

.

........................................

.....................................

..................................

...............................

............................

.........................

......................

................................... ............. ............ ........... .......... ........... ............

................................................

......................

.........................

............................

...............................

..................................

.....................................

........................................f(x) = x2

...............................

...........................

........................

........................................................................ ............... .............. . .............. ............... ................

........................................................

........................

...........................

..............................g(x) = x3

Funciones periodicasSe dice que una funcion f : A→ R es periodica si existe un numero real positivo t tal que

x+ t ∈ A y f(x+ t) = f(x), ∀x ∈ A.En tal caso se dice que t es un periodo de f.

Ejemplo 90. La funcion seno es una funcion periodica de periodo 2π.

Funciones acotadasSea f : A→ R una funcion real de variable real y B un subconjunto no vacıo de A.

i) Se dice que f esta acotada superiormente en B si el conjunto f(B) esta acotado superior-mente, es decir, existe M ∈ R tal que

f(x) ≤M, ∀x ∈ B.En tal caso, la grafica de f|B no puede superar los valores de la recta horizontal y =M. Si f esta acotada superiormente en todo A, diremos simplemente que f esta acotadasuperiormente.

.

.....................................

..................................

...............................

............................

.........................

.................................................................................. .................. ................. .................. ................... ....................

.......................................

....

........................

...........................

B

f(B)

M

f|B

ii) Se dice que f esta acotada inferiormente en B si el conjunto f(B) esta acotado inferiormente,es decir, existe m ∈ R tal que

m ≤ f(x), ∀x ∈ B.En este caso, la grafica de f|B esta por encima de la recta horizontal y = m. Si f esta acotadainferiormente en todo A, diremos simplemente que f esta acotada inferiormente.

iii) Se dice que f esta acotada en B si esta acotada superior e inferiormente en B. Claramente,f esta acotada si y solo si existe M ∈ R+ tal que

|f(x)| ≤M, ∀x ∈ B.Ahora la grafica de f|B esta comprendida entre las rectas horizontales y = −M e y = M.Si f esta acotada en todo A, diremos simplemente que f esta acotada.

3. SIMETRIAS, PERIODICIDAD, ACOTACION Y MONOTONIA DE FUNCIONES 76

iv) Decimos que f tiene maximo absoluto si el conjunto f(A) tiene maximo, es decir, si existe unpunto x0 ∈ A tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ A. En esta situacion, a f(x0) = max(f(A))se le llama maximo absoluto de f y se dice que f alcanza su maximo absoluto en el puntox0 ∈ A.

.

.....................................

..................................

...............................

............................

.........................

.................................................................................. .................. ................. .................. ................... ....................

.......................................

....

........................

...........................

A

f(A)

f

x0

f(x0)

v) Decimos que f tiene mınimo absoluto si el conjunto f(A) tiene mınimo, es decir, si existe unpunto x0 ∈ A tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ A. En esta situacion, a f(x0) = mın(f(A))se le llama mınimo absoluto de f y se dice que f alcanza su mınimo absoluto en el puntox0 ∈ A.

Ejemplos 92.

a) La funcion exponencial esta acotada inferiormente (en todo R), pues, todos sus valores sonpositivos.

b) La funcion f : R\{0} → R dada por f(x) = −1/x2, para todo x ∈ R\{0}, esta acotadasuperiormente ya que todos sus valores son negativos.

c) La funcion seno esta acotada, pues, | sen x| ≤ 1 para todo x ∈ R.

Funciones monotonasSea f : A→ R una funcion real de variable real y B un subconjunto no vacıo de A.

i) Se dice que f es creciente en el subconjunto B si, para cualesquiera x1, x2 ∈ B con x1 < x2,se tiene

f(x1) ≤ f(x2).Si f es creciente en todo A, se dice simplemente que f es creciente.

ii) Se dice que f es decreciente en el subconjunto B si, para cualesquiera x1, x2 ∈ B con x1 < x2,se tiene

f(x2) ≤ f(x1).Si f es decreciente en todo A, se dice simplemente que f es decreciente.

iii) Se dice que f es monotona en el subconjunto B si f es creciente en B o f es decreciente enB. Si f es monotona en todo A, se dice simplemente que f es monotona.

iv) Se dice que f es estrictamente creciente en el subconjunto B si, para cualesquiera x1, x2 ∈ Bcon x1 < x2, se tiene

f(x1) < f(x2).

.

......................................

....................................

.................................

.................................

.................................

..................................................................

.................................................................. ................................. .................................

B

f(B)

f|B

x2

f(x2)

x1

f(x1)

3. SIMETRIAS, PERIODICIDAD, ACOTACION Y MONOTONIA DE FUNCIONES 77

Si f es estrictamente creciente en todo A, se dice simplemente que f es estrictamentecreciente.

v) Se dice que f es estrictamente decreciente en el subconjunto B si, para cualesquiera x1, x2 ∈B con x1 < x2, se tiene

f(x2) < f(x1).

Si f es estrictamente decreciente en todo A, se dice simplemente que f es estrictamentedecreciente.

vi) Se dice que f es estrictamente monotona en el subconjunto B si f es estrictamente crecienteen B o f es estrictamente decreciente en B. Si f es estrictamente monotona en todo A, sedice simplemente que f es estrictamente monotona.

Ejemplos 94.

a) La funcion exponencial y el logaritmo neperiano son estrictamente crecientes en sus res-pectivos dominios.

b) Las funciones f, g : R → R, dadas por f(x) = x3 y g(x) = 3√x para todo x ∈ R, son

estrictamente crecientes en R.c) La funcion h : R\{0} → R definida por h(x) = 1/x, para todo x ∈ R\{0}, es estrictamente

decreciente en el intervalo ] −∞, 0[ y en el intervalo ]0,+∞[ . Sin embargo, la funcion hno es monotona en R\{0}.

d) La funcion h : R\{0} → R dada por h(x) = 1/x2, para todo x ∈ R\{0}, es estrictamentecreciente en el intervalo ] −∞, 0[ y es estrictamente decreciente en el intervalo ]0,+∞[.

e) La funcion seno es estrictamente creciente en el intervalo [−π/2, π/2].f) Cualquier funcion constante es creciente y decreciente en todo R.

Ejemplo maxima 53: La funcion f(x) = x2 + |x| es par, como vemos a continuacion.

(%i1) f(x):=x^2+abs(x);

( %o1) f (x) := x2 + |x|

(%i2) f(x)-f(-x);

( %o2) 0

Ejemplo maxima 54: Veamos si la funcion g(x) = x−1x2+1

esta acotada superior e inferiormente.Primero vemos como es su grafica.

(%i1) g(x):=(x-1)/(x^2+1);

( %o1) g (x) :=x− 1

x2 + 1(%i2) plot2d(g(x),[x,-10,10])$

Esto nos da una idea de cuales pueden ser las cotas superiores e inferiores. Vemos que porejemplo −2 < g(x) < 1 para todo x ∈ R. Para ello cargamos el paquete fourier elim.

3. SIMETRIAS, PERIODICIDAD, ACOTACION Y MONOTONIA DE FUNCIONES 78

(%i3) load(fourier_elim)$

(%i4) fourier_elim([g(x)<1],[x]);

( %o4) [x2 − x+ 2 > 0]

(%i5) solve(x^2-x+2,[x]);

( %o5) [x = −

√7 i− 1

2, x =

√7 i+ 1

2]

Por tanto x2 − x+ 2 no tiene raıces reales, y como 02 − 0+ 2 > 0, para todo x, x2 − x+ 2 > 0.

(%i6) fourier_elim([g(x)>-2],[x]);

( %o6) [2 x2 + x+ 1 > 0]

(%i7) solve(2*x^2+x+1,[x]);

( %o7) [x = −

√7 i+ 1

4, x =

√7 i− 1

4]

Razonando como antes, llegamos a que x2 + x+ 1 > 0 para todo x.

Ejercicios 65:

24. Determinar cuales de las siguientes funciones son pares o impares:

a) f(x) = xx2−1

b) f(x) = sen x+x+x3

x2+cos x+4

c) f(x) = |2x|d) f(x) = 1

2(ax + a−x)

e) f(x) = 3√(x+ 1)2 + 3

√(x− 1)2

f ) f(x) = ln( 1+x1−x

)

g) f(x) =√x− 1

25. Sea g : R → R la funcion definida por g(x) = x − E(x) para todo x ∈ R (donde E es lafuncion parte entera). Comprueba si g es periodica y, en caso afirmativo, proporciona unperiodo.

26. Indique si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en sus respectivos dominios:

a) f(x) = x2,b) f(x) = x3,

c) f(x) = 1/x,d) f(x) = 3.

27. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones f, g : R→ R definidaspor

f(x) = sen x, g(x) = E(x) + x, ∀x ∈ R.

28. Se considera la funcion g : [1, 3]→ R definida por

g(x) =

x2 − x− 2

x− 2si x 6= 2,

0 si x = 2.

¿Esta acotada esta funcion en el intervalo [1, 3]? Calculense, en caso de que existan, elmaximo absoluto y el mınimo absoluto de g.

4. TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS 79

4. Transformaciones de graficas

A partir de las graficas de funciones conocidas podemos obtener las graficas de algunas otrasfunciones sin necesidad de realizar ningun analisis adicional. Para hacer esto, debemos conocercomo se transforma la grafica de una funcion f : A→ R ante ciertas modificaciones. Dado a ∈ R,a > 0, las transformaciones son las siguientes:

i) Traslacion hacia la derecha:

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x)

-a

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x− a)

ii) Traslacion hacia la izquierda:

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x)

-−a

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x+ a)

iii) Traslacion hacia arriba:

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x)

-a

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x) + a

iv) Traslacion hacia abajo:

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x)

-

−a

.

...................................

................................

.............................

..........................

......................

...................

....................................... ................. ........ ......... .......... .............

................

...................

......................

..........................

.............................

................................

...................................

f(x) − a

v) Si a > 1, contraccion en el eje de abscisas:

4. TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS 80

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x)

-

.

.........................................

......................................

...................................

................................

.............................

..........................

......................

...................

........................................................................................................

...................

......................

..........................

.............................

................................

.............

.............

.........

.............

.............

............

.............

.............

.............

..

f(ax)

contraccion→←vi) Si a < 1, dilatacion en el eje de abscisas:

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x)

-

.

.......................................

....................................

................................

.............................

..........................

.......................

................................................................ ............ ........... ............ ............. ..............

.....................................

.......................

..........................

.............................

................................

....................................

.......................................

f(ax)

dilatacion←→vii) Si a > 1, dilatacion en el eje de ordenadas:

.

.....................................

..................................

...............................

............................

.........................

.....................

...................................................... ........ ....... ........ ......... ............

.................................

.....................

.........................

............................

...............................

..................................

.....................................

f(x)

-

.

......................................

...................................

................................

.............................

..........................

.......................

....................

......................................................................................

...............................

....................

.......................

..........................

.............................

................................

...................................

.............

.............

............

a f(x)

dilatacion↑↓

viii) Si a < 1, contraccion en el eje de ordenadas:

.

.....................................

..................................

...............................

............................

.........................

.....................

...................................................... ........ ....... ........ ......... ............

.................................

.....................

.........................

............................

...............................

..................................

.....................................

f(x)

-

...............................

...........................

........................

.....................

.......................................................... ........... .......... ........... ............ ............. ...............

..................

.....................

........................

...........................

..............................

a f(x)

contraccion↓↑

ix) Simetrıa respecto del eje de abscisas:

4. TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS 81

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x)

-

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

............................... ........... ......... ........ ........ .........

..........................................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................−f(x)

x) Simetrıa respecto del eje de ordenadas:

...............................

...........................

........................

........................................................................ ............... .............. . .............. ............... ................

........................................................

........................

...........................

..............................f(x)

-

...............................

...........................

........................

......................................

.................. ................ ............... .............. . .............. ............... ................ .................

..................

.....................

........................

...........................

..............................

f(−x)

xi) Valor absoluto:

.

..........................................

.......................................

....................................

.................................

.............................

..........................

.......................

....................

................................................... ........ ........ ......... ........... ..............

.................

....................

.......................

..........................

.............................

.................................

....................................

.......................................

..........................................

f(x)

-..............................

..........................

......................

.......................................................... ......... ....... ......... .......... .............

...................................

......................

..........................

..............................

..................................

......................................

..........................................

.............................................

.

.............................................

..........................................

......................................

..................................

|f(x)|

xii) Grafica de la funcion inversa (simetrıa respecto de y = x):

. ........... ..........................................................

......................

.........................

............................

................................

...................................

......................................

......................................... f(x)

-

�

�

�

�

�

.....................................................................................................................

............................................................

.........................................................................

......................................... f−1(x)

Ejemplo maxima 55:

(%i14) plot2d([x^2,(x-1)^2,-x^2,x^2+1],[x,-5,5],[y,-10,10])$

plot2d: some values were clipped.plot2d: some values were clipped.plot2d: some values were clipped.plot2d: some values were clipped.

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 82

Ejercicios 66:

1. Representa graficamente las siguientes funciones:a) g(x) = −x2 a partir de la grafica de f(x) = x2,b) g(x) = x2 + 2 a partir de la grafica de f(x) = x2,c) g(x) = (x− 2)2 a partir de la grafica de f(x) = x2,d) g(x) = (x− 2)2 + 3 a partir de la grafica de f(x) = x2,e) g(x) = 3x2 a partir de la grafica de f(x) = x2,f ) g(x) = (x− 3)2 a partir de la grafica de f(x) = x2,g) g(x) = 1

3xa partir de la grafica de f(x) = 1

x,

h) g(x) =∣∣x2 − 3x− 4∣∣ a partir de la grafica de f(x) = x2 − 3x− 4,

i) g(x) = ex−2 a partir de la grafica de f(x) = ex,j ) g(x) = ln(x+ 1) a partir de la grafica de f(x) = ln x.

2. Representa graficamente las siguientes funciones:

a) g(x) = 4x−2

+ 3, b) g(x) = 4x,

c) g(x) = 3x+2x+1

. (Indicacion: realiza la division antes de dibujar la grafica.)

5. Continuidad y lımites

Entorno centrado en un puntoDados un numero real x0 y un numero real positivo δ, el entorno (abierto) centrado en x0 y deradio δ es el intervalo:

]x0 − δ, x0 + δ[ = {x ∈ R : |x− x0| < δ}.

Funcion continua en un puntoSea f : A→ R una funcion real de variable real y sea x0 ∈ A. Se dice que f es continua en el puntox0 si se verifica la siguiente propiedad:

Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que

x ∈ A, |x− x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε.

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 83

Esto significa que dado un numero real positivo cualquiera ε, si tomamos un entorno centradoen f(x0) de radio ε, ]f(x0) − ε, f(x0) + ε[ ,

podemos encontrar otro entorno centrado ahora en x0 y de radio δ, ]x0 − δ, x0 + δ[ , tal que laimagen a traves de f de ]x0 − δ, x0 + δ[ se queda contenida dentro de ]f(x0) − ε, f(x0) + ε[ .

Intuitivamente la funcion f es continua en x0 si su grafica “no tiene ningun salto a lo largo dela recta vertical x = x0”.

Se dice que f es continua en un subconjunto B ⊂ A si es continua en todo punto de B. Diremosque f es continua si es continua en A.

Ejemplos 97.

i) Toda funcion constante es continua en su dominio de definicion.ii) La funcion f : R→ R definida por f(x) = x, para todo x ∈ R, es continua en R.iii) La funcion g : R→ R definida por g(x) = E(x) (parte entera de x), para todo x ∈ R, no es

continua en los puntos de Z. Pero g sı es continua en R\Z.

Continuidad de la funcion restriccion. Caracter local de la continuidadSea A un subconjunto de R, f : A→ R una funcion, B un subconjunto de A y x0 ∈ B.

i) Si f es continua en el punto x0, entonces la funcion f|B es continua en x0.ii) Si existe un numero real positivo r tal que ]x0 − r, x0 + r[ ∩A ⊂ B y la funcion f|B es

continua en x0, entonces f es continua en x0.

La continuidad y las operaciones algebraicas de funcionesSea A un subconjunto de R, x0 ∈ A y f, g : A → R dos funciones continuas en el punto x0. Severifica que:

i) f+ g es continua en x0.ii) f · g es continua en x0.

iii) |f| es continua en x0.

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 84

iv) Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ A, entonces f/g es continua en x0.

La continuidad y la composicion de funcionesSean f : A→ R y g : B→ R funciones tales que f(A) ⊂ B y x0 ∈ A. Si f es continua en x0 y g escontinua en f(x0), entonces la funcion compuesta g ◦ f es continua en x0.

Como consecuencia, si f es continua en A y g es continua en f(A), entonces g ◦ f es continuaen A.

Corolario 101.

i) Toda funcion polinomica, en particular toda funcion constante, es continua en su dominio.ii) Toda funcion racional es continua en su dominio.iii) La funcion valor absoluto es continua en su dominio.

Acumulacion de un conjuntoSea A un subconjunto de R. Se dice que un punto x0 ∈ R es un punto de acumulacion del conjuntoA si cualquier entorno centrado en x0 contiene puntos de A distintos de x0, en otras palabras, paratodo r > 0 se tiene que

( ] x0 − r, x0 + r [ \{x0})⋂A 6= ∅

Intuitivamente, x0 es un punto de acumulacion de A si “esta pegado a otros puntos de A”.Al conjunto de puntos de acumulacion de A se le suele denotar por A ′. Se dice que un punto

de A es un punto aislado de A si no es un punto de acumulacion de A.

Ejemplo 103. Determinemos el conjunto de puntos de acumulacion de ]0, 1[ , {0} ∪ [1, 2], ] −∞, 1[∪{2} y [1,+∞[ .

a) ( ]0, 1[ ) ′ = [0, 1] d d0 1

t t0 1

b) ({0} ∪ [1, 2]) ′ = [1, 2] t t t0 1 2

t t1 2

c) ( ] −∞, 1[∪{2}) ′ = ] −∞, 1] d t1 2

t1

d) ([1,+∞[ ) ′ = [1,+∞[ t1

t1

Para poder hablar del lımite de una funcion en un punto es necesario que dicho punto este cer-cano al dominio de definicion de la funcion. Para ser mas precisos, el citado punto debe ser deacumulacion del dominio (aun cuando no pertenezca a el).

Lımite de una funcion en un puntoSea A ⊆ R no vacıo, x0 un punto de acumulacion de A y f : A→ R una funcion.

i) Se dice que f tiene lımite (finito) cuando x tiende hacia x0 si existe l ∈ R verificando lasiguiente propiedad:

Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que

x ∈ A, 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε.

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 85

Cuando esto ocurre, este numero l es unico, se denomina lımite de la funcion f en x0, y seescribe

lımx→x0 f(x) = l.

ii) Diremos que f tiene lımite +∞ (resp. −∞) cuando x tiende hacia x0 si se verifica lasiguiente propiedad:

Para todo numero real K > 0 (resp. K < 0) existe un numero real δ > 0 tal que

x ∈ A, 0 < |x− x0| < δ ⇒ K < f(x)

(respectivamente, x ∈ A, 0 < |x− x0| < δ ⇒ f(x) < K).

Cuando esto ocurre, se dice que +∞ (resp. −∞) es el lımite de la funcion f en x0, y seescribe

lımx→x0 f(x) = +∞ (resp. lım

x→x0 f(x) = −∞).

Lımite de una funcion en +∞ y en −∞i) Sea A ⊆ R un subconjunto no acotado superiormente (respectivamente, no acotado infe-

riormente) y f una funcion definida de A en R. Se dice que f tiene lımite (finito) cuandox tiende hacia +∞ (resp. hacia −∞) si existe un numero real l verificando la siguientepropiedad:

Para todo numero real ε > 0 existe un numero real M > 0 (resp. N < 0) tal que

x ∈ A, M < x ⇒ |f(x) − l| < ε

(respectivamente, x ∈ A, x < N ⇒ |f(x) − l| < ε)

Cuando esto ocurre, este numero l es unico, se denomina lımite de la funcion f en +∞(resp. en −∞), y se escribe

lımx→+∞ f(x) = l (resp. lım

x→−∞ f(x) = l).ii) Sea A ⊆ R un subconjunto no acotado superiormente y f : A → R una funcion. Se dice

que f tiene lımite +∞ (resp. −∞) cuando x tiende hacia +∞ si se verifica la siguientepropiedad:

Para todo numero real K > 0 (resp. K < 0) existe un numero real M > 0 tal que

x ∈ A, M < x ⇒ K < f(x)

(respectivamente, x ∈ A, M < x ⇒ f(x) < K).

Cuando esto ocurre, se dice que +∞ (resp. −∞) es el lımite de la funcion f en +∞, y seescribe

lımx→+∞ f(x) = +∞ (resp. lım

x→+∞ f(x) = −∞).

iii) Analogamente, si A ⊆ R es un subconjunto no acotado inferiormente y f : A → R es unafuncion, se pueden definir los lımites infinitos de f en −∞, que se denotaran por

lımx→−∞ f(x) = +∞ y lım

x→−∞ f(x) = −∞.Lımites laterales de una funcion en un puntoSea A ⊆ R no vacıo, f : A→ R una funcion y α ∈ R. Denotemos

A−α = {x ∈ A : x < α} , A+

α = {x ∈ A : α < x}

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 86

i) Si α ∈ (A−α)′ y existe el lımite

lımx→α

(f|A−

α

)(x),

entonces se dice que f tiene lımite por la izquierda en α. Cuando esto ocurre, al lımiteanterior se le llama lımite por la izquierda de f en α y se denota por lım

x→α−f(x).

ii) Si α ∈ (A+α)′ y existe el lımite

lımx→α

(f|A+

α

)(x),

entonces se dice que f tiene lımite por la derecha en α. Cuando esto ocurre, al lımite anteriorse le llama lımite por la derecha de f en α y se denota por lım

x→α+f(x).

Proposicion 107. Sea f : A→ R una funcion real de variable real, α ∈ A ′ y l ∈ R ∪ {−∞,+∞}.

i) Si α /∈ (A+α)′, entonces

lımx→α f(x) = l ⇔ lım

x→α−f(x) = l.

ii) Si α /∈ (A−α)′, entonces

lımx→α f(x) = l ⇔ lım

x→α+f(x) = l.

iii) Si α ∈ (A−α)′ ∩ (A+

α)′, entonces

lımx→α f(x) = l ⇔ lım

x→α−f(x) = lım

x→α+f(x) = l.

Calculo de lımitesSea A ⊆ R no vacıo, f, g : A → R dos funciones y α ∈ A ′ ∪ {−∞,+∞}. Supongamos que existenlos lımites lım

x→α f(x) y lımx→αg(x). Entonces:

i) lımx→α (f(x) + g(x)) = lım

x→α f(x) + lımx→αg(x),

salvo que lımx→α f(x) = +∞ y lım

x→αg(x) = −∞, o lımx→α f(x) = −∞ y lım

x→αg(x) = +∞; pues,

en estos dos casos se presenta la indeterminacion “∞−∞”.

ii) lımx→α f(x)g(x) =

(lımx→α f(x)

)(lımx→αg(x)

),

salvo que lımx→α f(x) = ±∞ y lım

x→αg(x) = 0, o lımx→α f(x) = 0 y lım

x→αg(x) = ±∞; pues, en

estos dos casos se presenta la indeterminacion “0 ·∞”.iii) Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ A y lım

x→αg(x) = ±∞, entonces

lımx→α

f(x)

g(x)= 0,

salvo que lımx→α f(x) = ±∞; pues, en este caso se presenta la indeterminacion “

∞∞”.

iv) Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ A, lımx→αg(x) = 0 y 0 < f(x)

g(x)para todo x ∈ A; entonces

lımx→α

f(x)

g(x)= +∞,

salvo que lımx→α f(x) = 0; pues, en este caso se presenta la indeterminacion “

0

0”.

v) Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ A y lımx→αg(x) ∈ R\{0}, entonces

lımx→α

f(x)

g(x)=

lımx→α f(x)lımx→αg(x)

,

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 87

El lımite y la composicion de funcionesSean f : A→ R y g : B→ R funciones tales que f(A) ⊂ B y sea α ∈ A ′ ∪ {−∞,+∞}. Supongamosque existe el lımite lım

x→α f(x).i) Si lım

x→α f(x) = l ∈ B y g es continua en l, entonces existe el lımite lımx→α(g ◦ f)(x) y vale g(l).

ii) Si lımx→α f(x) = l /∈ B (esto incluye los casos l = +∞ y l = −∞) y existe el lımite lım

x→l g(x),entonces existe el lımite lım

x→α(g ◦ f)(x) y se tiene

lımx→α(g ◦ f)(x) = lım

x→l g(x).Regla del sandwichSea A ⊆ R no vacıo, f, g, h : A → R tres funciones y α ∈ A ′ ∪ {−∞,+∞}. Supongamos quef(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ A. Si existen los lımites lım

x→α f(x) y lımx→αh(x), y son iguales,

entonces existe el lımite de g en α y

lımx→αg(x) = lım

x→α f(x) = lımx→αh(x).

La continuidad y el lımite de una funcion en un puntoSea f : A→ R una funcion y a ∈ A.

i) Si a es un punto aislado de A, entonces f es continua en a.ii) Si a es un punto de acumulacion de A, entonces f es continua en a si, y solo si, lım

x→a f(x) =f(a).

Tipos de discontinuidadesSea f : A→ R una funcion y a ∈ A un punto de acumulacion de A.

i) Se dice que f tiene una discontinuidad evitable en a si f tiene lımite finito en a, pero

lımx→a f(x) 6= f(a).

Observe que la funcion f : A→ R definida por

f(x) =

f(x) si x ∈ A\{a},

lımx→a f(x) si x = a,

es continua en a y f(x) = f(x) para todo x ∈ A \ {a}, lo que justifica la denominacionempleada.

ii) Se dice que f tiene una discontinuidad de salto en a si f tiene lımites laterales finitos en a,pero

lımx→a− f(x) 6= lım

x→a+ f(x).El numero

∣∣∣ lımx→a+ f(x) − lım

x→a− f(x)∣∣∣ recibe el nombre de salto de f en a.

iii) Se dice que f tiene una discontinuidad esencial en a si alguno de los lımites laterales de fen a no existe o es infinito.

AsıntotasSean A ⊆ R no vacıo y f : A→ R.

i) La recta x = b con b ∈ A ′ es una asıntota vertical de f si, cuando tenga sentido,

lımx→b− f(x) = ±∞ o lım

x→b+ f(x) = ±∞.

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 88

ii) La recta y = c con c ∈ R es una asıntota horizontal de f si, cuando tenga sentido,

lımx→−∞ f(x) = c o lım

x→+∞ f(x) = c.iii) La recta y = mx+n con m,n ∈ R y m 6= 0, es una asıntota oblıcua de f si, cuando tenga

sentido,lımx→−∞[f(x) − (mx+ n)] = 0 o lım

x→+∞[f(x) − (mx+ n)] = 0.

Los coeficientes m y n vienen dados por m = lımx→−∞

f(x)

x, n = lım

x→−∞[f(x) −mx] o

bien m = lımx→+∞

f(x)

x, n = lım

x→+∞[f(x) −mx].

Ejemplo maxima 56:La funcion f(x) = x

x2−1tiene una asıntota vertical x = 1 y una asıntota horizontal y = 0.

Calculamos primero el lımite por la derecha de 1.

(%i1) limit(x/(x^2-1),x,1,plus);

( %o1) ∞Por la izquierda de 1.

(%i2) limit(x/(x^2-1),x,1,minus);

( %o2) −∞En ∞.

(%i3) limit(x/(x^2-1),x,inf);

( %o3) 0Y por ultimo en −∞.

(%i4) limit(x/(x^2-1),x,minf);

( %o4) 0

Ejemplo maxima 57:Vamos a estudiar la continuidad de la funcion f : R→ R, definida como

f(x) =

{x2 + 1 si x < 0ex en caso contrario.

Por debajo de 0, la funcion es polinomica y por tanto continua. Por encima de 0, es la funcionexponencial, que tambien es continua. Luego solo queda por estudiar lo que pasa en el cero.

Dibujemos la funcion para ver que aspecto tiene.

(%i1) f(x):=if x<0 then (x^2+1) else exp(x)$

(%i2) plot2d(f(x),[x,-5,5])$

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 89

Si estudiamos los valores de los lımites a izquierda y derecha del cero, vemos que coinciden con1, el valor de la funcion en ese punto. Por tanto, f es continua en todo R.

(%i3) limit(x^2+1,x,0,minus);

( %o3) 1

(%i4) limit(exp(x),x,0,plus);

( %o4) 1

Ejercicios 67:

1. Comprueba las siguientes igualdades usando la definicion de lımite:

a) lımx→3 5x = 15,

b) lımx→+∞

1

x2 + 1= 0,

c) lımx→1

1

x+ 1=1

2,

d) lımx→1−

x

x− 1= −∞,

e) lımx→1+

x

x− 1= +∞,

f ) lımx→0 x sen

(1

x

)= 0.

2. Estudia los siguientes lımites calculando los lımites laterales cuando sea necesario:a) lım

x→0 x3,b) lım

x→2x

|x− 2|,

c) lımx→2

x− 2

|x− 2|,

d) lımx→1

x(x+ 3)

(x− 1)(x− 2),

e) lımx→0

(x4 + 2) |x|

x.

3. Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→0

x3 + x2

x2 + x,

b) lımx→∞

2x2 − 14x+ 12

x2 − 10x+ 4,

c) lımx→1

x2 − 1

x2 − 3x+ 2,

d) lımx→∞

(2x2 − 7

x+ 1−6x2 + 4

3x− 5

),

5. CONTINUIDAD Y LIMITES 90

e) lımx→0

x5 − 4x3

4x6 − 2x4,

f ) lımx→−1

x3 + 4x2 + 5x+ 2

x3 − x2 − 5x− 3,

g) lımx→3

x2 − 9

(x− 3)2,

h) lımx→+∞

(√x+ 5−

√x)

,

i) lımx→+∞

√x+ 2− 2√x+ 7− 3

,

j ) lımx→ 1

(1

1− x−

3

1− x3

),

k) lımx→1(

1

1− x−

3

1− x3

),

l) lımx→+∞

x3√x3 + 10

,

m) lımx→+∞

x− 1x2

− 3

2x+ 1x2

+ 5,

n) lımx→+∞

1+ x3

x3,

n) lımx→+∞

2x− 1

5x2 + 3,

o) lımx→+∞

(√x2 + 4x+ 1−

√x2 + 8x+ 1

).

4. Halla las asıntotas de las siguientes funciones:a) f(x) = 3x−5

x−2para todo x ∈ R \ {2}.

b) f(x) = 4+ 2xx−3

= 6x−12x−3

para todo x ∈ R \ {3}.

c) f(x) = 2+ 73(x−2)

− 103(x+1)

para todo x ∈ R \ {−1, 2}.

d) f(x) = x2+3x+7x+2

para todo x ∈ R \ {−2}.

e) f(x) = x3

(x+1)2para todo x ∈ R \ {−1}.

f ) f(x) = 2(x2−9)x2−4

para todo x ∈ R \ {±2}.g) f(x) = 3x−2√

2x2+1para todo x ∈ R.

h) f(x) = 2x−3|x−1|

para todo x ∈ R \ {1}.

5. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) = 4x−4x2−1

,b) f(x) = x

|x|,

c) f(x) = x3+2x2−x−2x3−x2−x+1

,d) f(x) = E(x),

e) f(x) =

{1 si x ≤ 1,1x

si x > 1.

f ) f(x) =

−x2 si x < 0,1 si x = 0,0 si x > 0.

Recuerda que E(x) representa la parte entera del numero real x.6. Las funciones f : R\{1}→ R y g : R\{2}→ R definidas por

f(x) =x3 − 1

x− 1, ∀x ∈ R\{1}; g(x) =

|x− 2|

x− 2, ∀x ∈ R\{2};

obviamente, son continuas en sus respectivos dominios. ¿Es posible extender de algunamanera estas funciones a todo R (es decir, definir en R dos nuevas funciones f y g quecoincidan, respectivamente, en R\{1} con f y en R\{2} con g) y que sigan siendo continuas?

7. La diferencia de potencial en funcion del tiempo entre las placas desviadoras verticales deun tubo de television viene dada por la ecuacion

u(t) = a · (t− E(t)), ∀t ∈ R;

donde a es una constante no nula y E(t) es la parte entera del numero real t. Dibuja lacurva que representa esta funcion. ¿Es u una funcion continua?

8. Estudia la continuidad de la siguientes funciones segun los distintos valores de a:

6. TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD. CONTINUIDAD Y LIMITES DE FUNCIONES ELEMENTALES 91

a) f(x) =

1

1+ xsi −1 < x < 0,

a si x = 0,1+ x2 si 0 < x < 1,

b) f(x) =

x3 si x ≤ 12,

ax si x > 12.

9. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y clasifiqua sus discontinuidades cuandoestas existan.

a) f(x) =x2 + 3

x2 − 2x+ 1, ∀x ∈ R\{1}.

b) f(x) =

{x2 + 1 si x < 2,x+ 3 si x ≥ 2.

c) f(x) =

x4 − 1

x2 − 1si x ∈ R \ {−1, 1},

2 si x = −1,3 si x = 1.

d) f(x) =

x2 − 3x

9− x2si x ∈ R \ {−3, 3},

0 si x = −3,1 si x = 3.

e) f (x) =x− |x|

x, ∀x ∈ R\{0}, f(0) = 0.

f ) f (x) =

x− 3 si x ≤ −1,3x− 1 si − 1 ≤ x < 1,− 12(x+ 3) si 1 ≤ x ≤ 7.

g) f(x) =

1

1+ xsi x < −1,

1− x2 si 1 ≤ x ≤ 2,E(x) si 3 ≤ x ≤ 5.

Ten en cuenta que E(x) representa la parte entera del numero real x.

6. Teoremas sobre continuidad. Continuidad y lımites de funciones elementales

Sea f : A→ R una funcion. Recordemos que f tiene mınimo absoluto si el conjunto f(A) tienemınimo, es decir, si existe un punto x0 ∈ A tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ A. Tambien se diceque f alcanza su mınimo absoluto en el punto x0.

Recordemos tambien que f tiene maximo absoluto si el conjunto f(A) tiene maximo, esto es, siexiste un punto x1 ∈ A tal que f(x) ≤ f(x1) para todo x ∈ A. Tambien se dice que f alcanza sumaximo absoluto en el punto x1.

Teorema de WeierstrassSi a, b ∈ R con a < b y f : [a, b] → R es una funcion continua, entonces f esta acotada y tieneextremos (mınimo y maximo) absolutos.

6. TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD. CONTINUIDAD Y LIMITES DE FUNCIONES ELEMENTALES 92

Teorema de BolzanoSean a, b ∈ R con a < b y f : [a, b] → R una funcion continua tal que f(a)f(b) < 0. Entoncesexiste al menos un punto c ∈ ]a, b[ tal que f(c) = 0.

Teorema del valor intermedioSea I un intervalo y f : I→ R una funcion continua. Entonces f(I) es un intervalo.

Continuidad de la funcion inversaSean I un intervalo y f : I → R una funcion continua e inyectiva. Entonces f es estrictamentemonotona y su inversa f−1 : f(I)→ R es estrictamente monotona y continua.

Ejemplo maxima 58:Estudiemos la funcion f : [0, 10]→ R, f(x) = x2 + 2x − 10. Al ser polinomica, sabemos que es

continua.

(%i1) f(x):=x^2+2*x-10;

( %o1) f (x) := x2 + 2 x− 10Veamos si es inyectiva.

(%i2) solve(f(x)=f(y),[x,y]);

( %o2) [[x = %r3, y = −%r3− 2], [x = %r4, y = %r4]]Esto nos dice que si f(x) = f(y), entonces, o bien x = y, o y = −x−2. Notese que si x ∈ [0, 10],

−x − 2 6∈ [0, 10], por lo que f(x) = f(y) con x, y ∈ [0, 10] lleva a que f(x) = f(y). Por tanto lafuncion es inyectiva, y en consecuenica, estrictamente monotona.

(%i3) f(0);

( %o3) − 10

(%i4) f(10);

( %o4) 110Por el Teorema del valor intermedio, sabemos que f([0, 10]) es un intervalo, y ya sabemos que

es estrictamente monotona. Por ser f(0) = −10 y f(10) = 110, concluimos que f es estrictamentecreciente, y que f([0, 10]) = [−10, 110]. Sabemos ademas por el Teorema de Bolzano (tambien porel del valor intermedio), que f(x) se anula en un punto.

(%i5) solve(f(x)=0);

( %o5) [x = −√11− 1, x =

√11− 1]

Luego f(x) = 0, lleva a x =√11− 1.

Sabemos ademas que la funcion inversa de f en [−10, 110] es continua y estrictamente monotona.

(%i6) solve(f(x)=y,x);

( %o6) [x = −√y+ 11− 1, x =

√y+ 11− 1]

Como quiera que x = −√y+ 11 − 1 no esta en [0, 10], tenemos que la siguiente funcion es la

inversa de f.

(%i7) g(x):=sqrt(x+11)-1;

( %o7) g (x) :=√x+ 11− 1

(%i8) g(f(x));

( %o8)√x2 + 2 x+ 1− 1

6. TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD. CONTINUIDAD Y LIMITES DE FUNCIONES ELEMENTALES 93

(%i9) radcan(%);

( %o9) x

(%i10) f(g(x));

( %o10)(√x+ 11− 1

)2+ 2

(√x+ 11− 1

)− 10

(%i11) radcan(%);

( %o11) x

Continuidad de las funciones elementalesLas funciones elementales son continuas en sus respectivos dominios de definicion. Mas explıcita-mente:

i) La funcion exponencial es continua en todo R.ii) La funcion logaritmo neperiano es continua en R+.

iii) La funcion potencia de exponente b ∈ R\{0} es continua en R+.iv) Si n ∈ N es par, la funcion raız de ındice n es continua en [0,+∞[ .v) Si n ∈ N es impar, la funcion raız de ındice n es continua en R.

vi) Las funciones seno y coseno son continuas en R.vii) La funcion tangente es continua en R\

{π2+ kπ : k ∈ Z

}.

viii) Las funciones arco-seno y arco-coseno son continuas en [−1, 1].ix) La funcion arco-tangente es continua en R.

Teorema 119. Se verifica que:

i) lımx→+∞ ex = +∞ , lım

x→−∞ ex = 0 .

ii) lımx→0 ln(x) = −∞ , lım

x→+∞ ln(x) = +∞ .

iii) Si b ∈ R con b > 0, entonces lımx→0 xb = 0 , lım

x→+∞ xb = +∞ .

iv) Si b ∈ R con b < 0, entonces lımx→0 xb = +∞ , lım

x→+∞ xb = 0 .

v) Las funciones seno y coseno no tienen lımite ni en +∞ ni en −∞.vi) lım

x→−π2+

tg(x) = −∞ , lımx→π

2−

tg(x) = +∞ .

vii) lımx→−∞ arc tg(x) =

−π

2, lım

x→+∞ arc tg(x) =π

2.

viii) lımx→0

sen(x)

x= 1 .

Ejercicios 68:

1. Consideremos las funciones f, g : [−1, 1]→ R definidas por:

f(x) =x2

1+ x2, g(x) =

2x

1+ |x|, ∀x ∈ [−1, 1].

Para cada una de estas funciones se pide:a) Comprobar que verifican las hipotesis del teorema de Weierstrass.b) ¿Tienen esas funciones extremos absolutos (maximo y mınimo absolutos)?c) Determinar dichos extremos absolutos en caso de que existan.

6. TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD. CONTINUIDAD Y LIMITES DE FUNCIONES ELEMENTALES 94

2. Se definen las funciones f, g : R+0 → R como

f(x) =4x2

x2 + x+ 1, g(x) = cos x, ∀x ∈ R+

0 .

¿Existe algun punto x ≥ 0 donde f(x) = g(x)?3. Sea f(x) = ex − 2 para todo x ∈ [0, 2]. Estudia si f tiene algun punto fijo en el intervalo

[0, 2] (esto es, algun c ∈ [0, 2] tal que f(c) = c).4. Demuestra que la funcion f : R→ R, dada por f(x) = 2x3 − 5x2 + x + 2 para todo x ∈ R,

corta al eje de abcisas en el intervalo [−1, 3]. Considera ahora la funcion g : R \ {2} → Rdefinida por

g(x) =2x+ 1

x− 2, ∀x ∈ R \ {2}.

¿Puede afirmarse lo mismo de ella?5. Demuestra que la ecuacion 3x −

√2 = 0 tiene una solucion en el intervalo [0, 1].

6. Demuestra que la aplicacion f es biyectiva, determina su inversa f−1 y estudia la continuidadde ambas, donde f es:

a) f : ] − 1, 1[→ R, f(x) = ln√

1+x1−x, ∀x ∈ ] − 1, 1[ .

b) f : R+ → ]1,+∞[ , f(x) = (1+√x)3, ∀x ∈ R+.

c) f : R+ → ] − 1,+∞[ , f(x) = 1−x3

x3, ∀x ∈ R+.

7. Prueba que la funcion f(x) = 2x3 − 6x + 1 tiene, al menos, una raız real en el intervalo]0, 1[ .

8. Prueba que las graficas de las funciones f(x) = ln x y g(x) = e−x se cortan en algun puntodel intervalo ]1, 2[ .

9. Indica si las siguientes funciones estan acotadas y calcula el conjunto imagen en cada unade ellas:a) f(x) = x2 − 1, ∀x ∈ [−1, 1].

b) f(x) = x2+4x−3x2−2x+1

, ∀x ∈ [−1, 4] \{1}.

c) f(x) = 1x−1

, ∀x ∈ [2, 5]

d) f(x) = x2, ∀x ∈ [−1, 2[10. ¿Existe solucion real de la ecuacion sen x = x− 1?11. Observa que en los siguientes lımites el numerador y el denominador tienen algun factor

comun. Calcula estos lımites eliminando dicho factor comun.

a) lımx→1 x3 − 1x− 1

,

b) lımx→1

3√x− 1

x− 1(indicacion: ten presente que x− 1 =

(3√x)3

− 1 ),

c) lımx→1 xn − 1x− 1

(indicacion: nota que xn − 1 = (x− 1)(xn−1 + xn−2 + · · ·+ x+ 1) ),

d) lımx→a√x−√a

x− a.

12. Estudia los lımites laterales de la funcion f : R\{0} → R en el punto 0 en cada uno de lossiguientes casos:

a) f(x) = 21x ,

b) f(x) =x sen x

|x|,

c) f(x) =6

4+ e−1x

.

13. Calcula los siguientes lımites:

6. TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD. CONTINUIDAD Y LIMITES DE FUNCIONES ELEMENTALES 95

a) lımx→+∞

(√x2 + x+ 1−

√x2 − 2x− 1

),

b) lımx→+∞

√x− 2

√x,

c) lımx→2√x+ 2−

√2x

x− 2,

d) lımx→a(√x−√a),

e) lımx→+∞(1+ e−3x),

f ) lımx→+∞

xe1x

3x+ 1,

g) lımx→−∞

xe1x

3x+ 1,

h) lımx→+∞

x2 + e−x

6x2 + 2,

i) lımx→+∞ cos

x+ 1

x2.

14. Halla las asıntotas de las siguientes funciones:a) f(x) = ln(x+ 3), ∀x ∈ ] − 3,+∞[ ,

b) f(x) =

√x2 + 3

x− 1, ∀x ∈ R \ {1}.

15. Utiliza la igualdad lımx→0

sen x

x= 1 para calcular los siguientes lımites:

a) lımx→0

x sen x

(1− cos x)2,

b) lımx→+∞

sen21

x

( x√2− 1)(

√x2 + 1− x)

,

c) lımx→0

x2 (1− cos x)

sen4 x,

d) lımx→0

1− cos x

x2/2.

16. Estudia la continuidad de las siguientes funciones segun los distintos valores de los parame-tros a y b:

a) f(x) =

e2x si x < 0,

a+ x si x ≥ 0,

b) f(x) =

b cos x si x ≤ 0,√4− x2 si 0 < x < 1,

b+ ax si x ≥ 1,

c) f(x) =

x sen

(1

x

)si x 6= 0,

b si x = 0.17. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y clasifique sus discontinuidades cuando

estas existan.a) f(x) =

√|x|− 4x , ∀x ∈ ] −∞, 0].

b) f(x) =

√x2 − 1

x− 2, ∀x ∈ [−1, 1]∪ ]2,+∞[ .

c) f(x) =3

√x2 + 1

x− 2, ∀x ∈ R\{2}.

d) f (x) =√

|x|− 4 , ∀x ∈ R\ ]−4, 4[ .

e) f (x) =ex + e−x

ex − e−x, ∀x ∈ R\{0}, f(0) = 0.

f ) f (x) =1+ e

1x

1− e1x

, ∀x ∈ R\{0}, f(0) = 0.

7. LIMITES DE POTENCIAS 96

7. Lımites de potencias

Proposicion 120. Sean f, g : A → R dos funciones con 0 < f(x) para todo x ∈ A y sea α ∈A ′ ∪ {−∞,+∞}. Supongamos que existen los lımites lım

x→α f(x) y lımx→αg(x). Se verifica que:

i) Si lımx→α f(x) = 0 y lım

x→αg(x) ∈ R+ ∪ {+∞}, entonces lımx→α f(x)g(x) = 0.

ii) Si lımx→α f(x) ∈ R+ y lım

x→αg(x) ∈ R, entonces

lımx→α f(x)g(x) =

(lımx→α f(x)

) lımx→αg(x) .

iii) Si lımx→α f(x) ∈ ]1,+∞[ y lım

x→αg(x) = +∞, entonces lımx→α f(x)g(x) = +∞.

iv) Si lımx→α f(x) ∈ ]0, 1[ y lım

x→αg(x) = +∞, entonces lımx→α f(x)g(x) = 0.

v) Si lımx→α f(x) = +∞ y lım

x→αg(x) ∈ R+ ∪ {+∞}, entonces lımx→α f(x)g(x) = +∞.

Observe que aun quedan tres casos mas que no aparecen en la proposicion anterior. Estos trescasos son los correspondientes a las indeterminaciones “1∞”, “00” e “∞0”.

a) Si lımx→α f(x) = 0 = lım

x→αg(x), hacemos f(x)g(x) =(

1f(x)

)−g(x), y ası reducimos la indetermina-

cion “00” a una de tipo “∞0”.b) Si lım

x→α f(x) = +∞ y lımx→αg(x) = 0, observamos que f(x)g(x) = eg(x) ln(f(x)) y estudiamos si

existe el lımite lımx→αg(x) ln(f(x)). De esta forma pasamos de una indeterminacion “∞0” a

una de tipo “0 ·∞”.

Ejemplo maxima 59:

(%i1) limit(x^x,x,0);

( %o1) 1

(%i2) exp(limit(-x*log(1/x),x,0));

( %o2) 1

Estudiemos ahora algunos lımites correspondientes a la indeterminacion “1∞”.

Lema 121. Sea A ⊂ R no vacıo, α ∈ A ′ y f : A→ R\[−1, 0] una funcion tal que lımx→α f(x) = +∞

o lımx→α f(x) = −∞. Entonces

lımx→α

(1+

1

f(x)

)f(x)= e.

Si A no esta acotado superiormente (respectivamente, A no esta acotado inferiormente) yα = +∞ (respectivamente, α = −∞), el resultado anterior tambien se cumple.

Proposicion 122. Sea A ⊂ R no vacıo, α ∈ A ′ y f, g : A → R dos funciones tales que 0 < f(x)para todo x ∈ A y lım

x→α f(x) = 1. Entonces:

i) Dado l ∈ R, se tienelımx→α f(x)g(x) = el ⇔ lım

x→αg(x)(f(x) − 1) = l.ii) lım

x→α f(x)g(x) = +∞ ⇔ lımx→αg(x)(f(x) − 1) = +∞.

iii) lımx→α f(x)g(x) = 0 ⇔ lım

x→αg(x)(f(x) − 1) = −∞.

Si A no esta acotado superiormente (respectivamente, A no esta acotado inferiormente) y α = +∞(respectivamente, α = −∞), el resultado anterior tambien se cumple.

7. LIMITES DE POTENCIAS 97

Ejercicios 69:

1. Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→+∞

(3x+ 5

3x− 5

)x,

b) lımx→−∞

(x2 + 3

x2 − 3x+ 1

)x,

c) lımx→+∞

[(x+ 1)2 − 4

(x+ 1)2

](x+1)2.

2. Calcula los siguientes lımites. Recuerda que lımx→0

senx

x= 1 y sen2x+ cos2x = 1.

a) lımx→0(1+ senx)

1x ,

b) lımx→0(cos x)

1

x2 ,

c) lımx→0(

x− 2

x2 + x− 2

)1+cotg2x

.

3. Determina las asıntotas de la funcion f : R→ R definida por:

f(x) = x

(x2 + 1

x2 + 2

)x, ∀x ∈ R.

Capıtulo 6

Calculo diferencial en una variable

En preparacion

1. Derivabilidad de funciones

En lo sucesivo, A sera un conjunto no vacıo de numeros reales.

Funcion derivableSea f : A → R una funcion y a un punto de A ∩ A′. Se dice que f es derivable en a si la funcionfa : A \ {a}→ R, definida por

fa(x) =f(x) − f(a)

x− a, ∀x ∈ A \ {a},

tiene lımite fınito en a. Este lımite, si existe, se llama derivada de f en el punto a y se denota porf′(a). Simbolicamente

f′(a) = lımx→a

f(x) − f(a)

x− a.

No puede hablarse por tanto de derivada de una funcion en puntos aislados de su conjunto dedefinicion.

Si B es un subconjunto no vacıo de puntos de A ∩A′, se dice que f es derivable en el conjuntoB si f es derivable en todo punto de B.

Si C es el conjunto de todos los puntos de A ∩ A′ en los que f es derivable, se llama funcionderivada de f a la funcion f′ : C→ R que a cada punto de C le hace corresponder la derivada de fen dicho punto.

Si A = A ∩A ′ y f es derivable en todo A, entonces se dice, simplemente, que f es derivable.

Ejemplo 124. La funcion identidad f : R→ R, dada por f(x) = x para todo x ∈ R, es derivableen R con f′(a) = 1 para todo a ∈ R. En efecto, dado a ∈ R, tenemos que

lımx→a

f(x) − f(a)

x− a= lım

x→ax− a

x− a= 1.

Luego f es derivable en a y f ′(a) = 1.

Interpretacion fısica de la derivadaSea f : A → R una funcion real de variable real. Imaginemos que la funcion f representa algunamagnitud (como el espacio recorrido, el area, la temperatura,...) y que la variable x representa eltiempo. Al definir la derivada de f en un punto a ∈ A, se ha establecido

f ′(a) = lımx→a

f(x) − f(a)

x− a.

Refiriendonos al cociente que aparece en este lımite, podemos decir que:

• El incremento f(x) − f(a) muestra el cambio que tiene la funcion f en el intervalo deextremos x y a.• El incremento x− a representa el tiempo transcurrido entre x y a.

98

1. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES 99

Ası pues, el cocientef(x) − f(a)

x− aes la velocidad media a la que cambia la funcion f en el intervalo

de extremos x y a. Ahora bien, al hacer que “x tienda a a”, consideramos intervalos de tiempocada vez mas pequenos en torno a a. Podemos decir entonces que f ′(a) es la velocidad instantaneaa la que cambia f en el momento a.

En muchos problemas tendremos una funcion de la que querremos obtener su velocidad ins-tantanea de cambio (su derivada). Es muy probable que dicha funcion se encuentre relacionadacon otras funciones cuyas derivadas sı se conozcan. La estrategia en este caso consiste en:

a) Encontrar una expresion matematica que relacione las funciones del contexto del problema.b) Derivar dicha expresion obteniendo una relacion entre las funciones y las derivadas que se

conocen y las que no.c) Despejar la derivada deseada.

Ejemplo 126. Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circularesconcentricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tieneun radio de 3m, este aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm/s. ¿A que rapidez (velocidad)aumenta el area del cırculo formado por dicha onda?

¿Que se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que esta aumentandoel area de un cırculo cuando su radio mide 3m. Ademas, se sabe que cuando el radio mide 3m, lalongitud de este aumenta a una velocidad de 0,5m/s.

Sean A, r : R+0 → R funciones tales que A(t) es el area del cırculo delimitado en el estanque por

la onda exterior en el instante t ∈ R+0 y r(t) es el radio de dicho cırculo. Sea t0 ∈ R+

0 el instanteen el que el radio mide 3m, es decir, el instante en el que r(t0) = 3. Entonces, lo que se pide esA ′(t0) y lo que se sabe es que r ′(t0) = 0,5. Como

A(t) = π r(t)2, ∀t ∈ R+0 ;

se tiene que A ′(t0) = 2 π r(t0) r′(t0) = 2 π 3 · 0,5 = 3 π. Por tanto, en el instante en el que la onda

exterior tiene un radio de 3m, el area del cırculo formado por dicha onda aumenta a una velocidadde 3 πm2/s ≈ 9,4248m2/s.

Definicion 127. Se dice que una funcion g : R → R es afın si g es de la forma g(x) = αx + βpara todo x ∈ R, donde α y β son dos numeros reales fijos. Las funciones afines son aquellas cuyarepresentacion grafica es una lınea recta.

Caracterizacion de la derivabilidadSea f : A → R una funcion y a un punto de A ∩ A′. Se cumple que f es derivable en a si, y solo

si, f es continua en a y existe una funcion afın g : R → R tal que lımx→a

f(x) − g(x)

x− a= 0. En caso

afirmativo, g viene definida por g(x) = f′(a)(x− a) + f(a) para todo x ∈ R.

Interpretacion geometrica de la derivadaEn las condiciones del resultado anterior, la funcion g recibe el nombre de funcion afın tangente af en el punto (a, f(a)) y su representacion grafica es la recta de ecuacion y = f′(a)(x− a) + f(a)que se llama recta tangente a f en (a, f(a)). Por tanto f′(a) es la pendiente de esta recta.

1. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES 100

.

.....................................

..................................

...............................

...........................

........................

.....................

.......................................................... ........... .......... ........... ............ .............

........................................................................................ ............... .............. ............. .............. ...............

.....................................................

......................

.........................

............................

...............................

..................................

.....................................

a

(a, f(a))f

y = f′(a)(x− a) + f(a)

���

���

���

���

���

t

Se llama recta normal a f en el punto (a, f(a)) a la recta perpendicular a la recta tangente af en (a, f(a)). Su ecuacion es y = (−1/f′(a))(x− a) + f(a) si f′(a) 6= 0, o bien x = a si f′(a) = 0.

Derivadas lateralesSea f : A→ R una funcion y a un punto de A∩A′. Recordemos la notacion del capıtulo anterior:

A−a = {x ∈ A : x < a} , A+

a = {x ∈ A : a < x}

i) Si a ∈ (A−a )′ y la funcion fa : A\ {a}→ R tiene lımite finito por la izquierda en a, entonces

se dice que f es derivable por la izquierda en el punto a. En tal caso, a dicho lımite se lellama derivada por la izquierda de f en el punto a y se denota por f′−(a). Simbolicamente

f′−(a) = lımx→a−

f(x) − f(a)

x− a.

ii) Si a ∈ (A+a )′ y la funcion fa : A \ {a}→ R tiene lımite finito por la derecha en a, entonces

se dice que f es derivable por la derecha en el punto a. En tal caso, a este lımite se le llamaderivada por la derecha de f en el punto a y se denota por f′+(a). Simbolicamente

f′+(a) = lımx→a+

f(x) − f(a)

x− a.

Proposicion 131. Sea f : A→ R una funcion y a un punto de A ∩A′. Se verifica que:

i) Si a /∈ (A+a )′, entonces f es derivable en a si, y solo si, es derivable por la izquierda en a.

En caso afirmativo, se tiene f′(a) = f′−(a).ii) Si a /∈ (A−

a )′, entonces f es derivable en a si, y solo si, es derivable por la derecha en a.

En caso afirmativo, se tiene f′(a) = f′+(a).iii) Si a ∈ (A−

a )′∩(A+

a )′, entonces f es derivable en a si, y solo si, f es derivable por la izquierda

y por la derecha en a y f′−(a) = f′+(a); en cuyo caso f′(a) = f′−(a) = f

′+(a).

Derivabilidad de la funcion restriccion. Caracter local de la derivabilidadSea f : A→ R una funcion real de variable real, B ⊂ A y a ∈ B ∩ B ′.

i) Si f es derivable en el punto a, entonces la funcion f|B es derivable en el punto a con(f|B)

′ (a) = f ′(a).ii) Si existe un numero real positivo r tal que ]a−r, a+r[∩A ⊂ B y la funcion f|B es derivable

en a, entonces f es derivable en a y f ′(a) = (f|B)′ (a).

Ejemplo 133. Vamos a estudiar la derivabilidad de la funcion f : R→ R dada por f(x) = |x| paratodo x ∈ R (f es la funcion valor absoluto). Para ello seguimos los siguientes pasos:

• En primer lugar, elegimos los subconjuntos B mas grandes posibles del dominio de f en losque f no cambia de definicion y se verifica la siguiente propiedad:

∀a ∈ B, ∃r > 0 : ]a− r, a+ r[∩A ⊂ B(de esta forma, podremos aplicar a cada punto a ∈ B el caracter local de la derivabilidad).En nuestro ejemplo, uno de estos conjuntos es R+, pues, cualquier punto a ∈ R+ posee unentorno contenido en R+.

2. REGLAS DE DERIVACION. DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 101

R+

0d

aLo mismo ocurre con R−.• En segundo lugar, estudiamos la derivabilidad de las restricciones f|B y aplicamos el caracter

local de la derivabilidad. En este ejemplo debemos estudiar la derivabilidad de f|R+ y def|R− . Observe que

f|R+(x) = x, ∀x ∈ R+;es decir, que f|R+ es la restriccion a R+ de la funcion identidad. Sabemos que la funcion

identidad es derivable en todo R con derivada la funcion constate 1; luego, por la deriva-bilidad de la funcion restriccion (apartado i)), f|R+ es derivable en R+ con (f|R+) ′ (a) = 1para todo a ∈ R+. Por el caracter local de la derivabilidad, f es derivable en R+ conf ′(a) = (f|R+) ′ (a) = 1 para todo a ∈ R+. Por otra parte,

f|R−(x) = −x, ∀x ∈ R−.

Entonces, es facil ver que f|R− es derivable en R− con (f|R−) ′ (a) = −1 para todo a ∈ R−. Denuevo por el caracter local de la derivabilidad, f es derivable en R− con f ′(a) = (f|R−) ′ (a) =−1 para todo a ∈ R−.• Finalmente, utilizamos las derivadas laterales para estudiar la derivabilidad de f en los

puntos donde existe cambio de definicion. En nuestro ejemplo, falta estudiar la derivabilidadde f en 0. Ahora no podemos usar el caracter local de la derivabilidad porque no tenemosninguna restriccion de f que satisfaga las hipotesis necesarias (las hipotesis del apartadoii)) para a = 0. Ası pues, utilizamos las derivadas laterales. Como

lımx→0−

f(x) − f(0)

x− 0= −1 , lım

x→0+f(x) − f(0)

x− 0= 1 ,

entonces f es derivable por la izquierda en 0 con f′−(0) = −1 y f es derivable por la derechaen 0 con f′+(0) = 1. Puesto que f ′−(0) 6= f ′+(0), entonces f no es derivable en 0.

Resumiendo, f es derivable en R\{0} con f′(x) =|x|

xpara todo x ∈ R\{0}, y f no es derivable

en 0.

2. Reglas de derivacion. Derivadas de algunas funciones elementales

Derivada de la suma, del producto y del cocienteSean f, g : A→ R funciones, λ ∈ R y x un punto de A∩A′. Supongamos que f y g son derivablesen x. Entonces:

i) f+ g es derivable en x con (f+ g)′(x) = f′(x) + g′(x).ii) λf es derivable en x con (λf)′(x) = λf′(x).

iii) fg es derivable en x con (fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x).

iv) Si g(t) 6= 0 para todo t ∈ A, entoncesf

ges derivable en x con(

f

g

)′(x) =

f′(x)g(x) − f(x)g′(x)

g(x)2.

Regla de la cadenaSean f : A → R y g : B → R funciones tales que f(A) ⊂ B. Sea x ∈ A ∩ A′ y supongamosque f(x) ∈ B′. Si f es derivable en x y g es derivable en f(x), entonces g ◦ f es derivable en x y(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f′(x).

2. REGLAS DE DERIVACION. DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 102

Derivacion de la funcion inversaSea f : A→ R una funcion inyectiva y x un punto de A ∩A′. Si f es derivable en x con f′(x) 6= 0y f−1 es continua en f(x), entonces f(x) ∈ (f(A))′ y f−1 es derivable en f(x) con

(f−1)′(f(x)) =1

f′(x).

Usando las reglas de derivacion, es facil obtener las derivadas de algunas funciones:

Corolario 137.i) Dado α ∈ R la funcion constante f : R → R definida por f(x) = α para todo x ∈ R esderivable en R con f′(x) = 0 para todo x ∈ R.

ii) Dado n ∈ N, si f : R→ R es la funcion potencia de exponente n, es decir, f(x) = xn paratodo x ∈ R, entonces f es derivable en R con f ′(x) = nxn−1 para todo x ∈ R.

iii) Dado n ∈ N, si n es impar y f : R→ R es la funcion raız de ındice n, esto es, f(x) = n√x

para todo x ∈ R, entonces f es derivable en R\{0} con

f′(x) =1

n( n√x)n−1

, ∀x ∈ R\{0}.

iv) Dado n ∈ N, si n es par y f : R+0 → R es la funcion raız de ındice n, o sea, f(x) = n

√x

para todo x ∈ R+0 , entonces f es derivable en R+ con

f′(x) =1

n( n√x)n−1

, ∀x ∈ R+.

v) Si P : A→ R es una funcion polinomica y A ∩A ′ es no vacıo, entonces P es derivable enA ∩A ′ y P ′ : A ∩A ′ → R es tambien una funcion polinomica.

vi) Si R : A → R es una funcion racional y A ∩ A ′ es no vacıo, entonces R es derivable enA ∩A ′ y R ′ : A ∩A ′ → R es tambien una funcion racional.

Derivadas de las funciones exponenciales, logarıtmicas y potenciales

i) Si f : R → R es la funcion exponencial, esto es, f(x) = ex para todo x ∈ R, entonces f esderivable en R con f′(x) = ex para todo x ∈ R.

ii) Sea a ∈ R+ y sea f : R → R la funcion exponencial de base a, o sea, f(x) = ax para todox ∈ R. Puesto que f(x) = ax = ex lna para todo x ∈ R; entonces, usando la regla de lacadena, se obtiene que f es derivable en R con

f′(x) = ex lna · lna = ax lna , ∀x ∈ R.

iii) La funcion logaritmo neperiano es derivable en R+ con (ln)′(x) = 1x, ∀x ∈ R+.

iv) Dado a ∈ R+ \ {1}, puesto que loga(x) =ln x

lnapara todo x ∈ R+; entonces la funcion

logarıtmica de base a es derivable en R+ con (loga)′(x) =

1

x lnapara todo x ∈ R+.

v) Sea b ∈ R y sea f : R+ → R la funcion potencia de exponente b, esto es, f(x) = xb paratodo x ∈ R+. Como f(x) = xb = eb ln x para todo x ∈ R+; entonces, usando la regla de lacadena, obtenemos que f es derivable en R+ con

f′(x) = eb ln x · bx= bxb−1, ∀x ∈ R+.

vi) Sean f, g : A → R dos funciones tales que 0 < f(x) para todo x ∈ A, y sea h : A → R lafuncion definida por

h(x) = f(x)g(x) , ∀x ∈ A.

3. EXTREMOS RELATIVOS. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 103

Dado x ∈ A ∩ A ′, si f y g son derivables en x, entonces h es derivable en x y, comoln ◦h = g · (ln ◦f), resulta que

h ′(x)

h(x)= g ′(x) ln(f(x)) + g(x)

f ′(x)

f(x).

Ası pues, h ′(x) = h(x)

(g ′(x) ln(f(x)) + g(x)

f ′(x)

f(x)

).

3. Extremos relativos. Teorema del valor medio

Definicion de extremo relativoSea f : A→ R una funcion y a ∈ A.

i) Se dice que f alcanza un maximo relativo en a si existe un δ > 0 tal que ]a− δ, a+ δ[ ⊂ Ay f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ ]a− δ, a+ δ[ .

c.

.....................................

..................................

...............................

...........................

........................

.....................

.......................................................... ........... .......... ........... ............ .............

........................................................................................ ............... .............. ............. .............. ...............

.....................................................

......................

.........................

............................

...............................

..................................

.....................................

aa− δ a+ δ

f(a)

f ( ]a− δ, a+ δ[ )

f

ii) Se dice que f alcanza un mınimo relativo en a si existe un δ > 0 tal que ]a− δ, a+ δ[ ⊂ Ay f(a) ≤ f(x) para todo x ∈ ]a− δ, a+ δ[ .

iii) Se dice que f alcanza un extremo relativo en a si f alcanza un mınimo relativo o un maximorelativo en a.

Condicion necesaria para la existencia de extremos relativosSea f : A → R una funcion y a un punto de A. Si f alcanza un extremo relativo en a y f esderivable en a, entonces f′(a) = 0. Se dice que a es un punto crıtico de f si f es derivable en a yf′(a) = 0.

No se deben confundir los maximos relativos de f con el maximo absoluto de f (definido en elcapıtulo anterior). En caso de que existan, la diferencia fundamental es que el maximo absolutode f es mayor o igual que todos los valores de f, mientras que un maximo relativo de f, f(a), esmayor o igual que los valores que f toma solo en un entorno del punto a. Lo mismo ocurre con elmınimo absoluto y un mınimo relativo.

Muchas veces nuestro objetivo sera calcular los extremos absolutos. Para hacer esto, los extre-mos relativos pueden resultar muy utiles:

Relacion entre los extremos absolutos y los extremos relativosSea f : A→ R una funcion y a un punto de A.

i) Si a es un punto interior de A (esto es, si existe un δ > 0 tal que ]a − δ, a + δ[⊂ A) y falcanza su mınimo absoluto en a, entonces f alcanza un mınimo relativo en a.

ii) Si a es un punto interior de A y f alcanza su maximo absoluto en a, entonces f alcanza unmaximo relativo en a.

iii) Si f alcanza un extremo relativo en a, entonces f puede alcanzar o no un extremo absolutoen a.

4. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y DE LAS FUNCIONES ARCO 104

Regla practica para el calculo de extremos absolutosSea f : A→ R una funcion y sea int(A) = {a ∈ A : ∃δ > 0 tal que ]a−δ, a+δ[ ⊂ A}. Consideremoslos conjuntos

B1 = {x ∈ A : x /∈ int(A)},

B2 = {x ∈ int(A) : f no es derivable en x},

B3 = {x ∈ int(A) : f es derivable en x con f′(x) = 0}

y sea B = B1 ∪ B2 ∪ B3. Supongamos que f alcanza su maximo absoluto (resp. mınimo absoluto)en un punto a ∈ A. Entonces a ∈ B y max(f(A)) = max(f(B)) (resp. mın(f(A)) = mın(f(B))).

Teorema de RolleSean a, b ∈ R con a < b y f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ talque f(a) = f(b). Entonces existe un punto c ∈]a, b[ tal que f′(c) = 0.

Teorema del valor medioSean a, b ∈ R con a < b y f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b] y derivable en ]a, b[.Entonces existe un punto c ∈]a, b[ tal que f(b) − f(a) = f′(c)(b− a).

Aplicaciones del teorema del valor medioSean I un intervalo y f : I→ R una funcion derivable. Entonces:

i) f es creciente si, y solo si, f′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.ii) f es decreciente si, y solo si, f′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I.

iii) f es constante si, y solo si, f′(x) = 0 para todo x ∈ I.iv) Si f′(x) > 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente creciente.v) Si f′(x) < 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente decreciente.

vi) Si f′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente monotona y ocurre una de las dosposibilidades siguientes: f′(x) > 0 para todo x ∈ I, o f′(x) > 0 para todo x ∈ I.

vii) Si f′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, entonces f−1 es derivable en f(I) y (f−1)′(f(x)) = 1f′(x)

para

todo x ∈ I (Teorema de la funcion inversa).

4. Derivadas de las funciones trigonometricas y de las funciones arco

En el siguiente teorema estudiamos la derivabilidad de la funcion coseno. Aunque no entramosen los detalles de la demostracion, debemos senalar que para probar este resultado se utiliza elteorema del valor medio y se sigue el mismo camino que se recorrio cuando definimos la funcioncoseno.

Teorema 146. La funcion coseno es derivable en todo R con (cos) ′(x) = − sen(x) para todo x ∈ R.

Corolario 147.i) La funcion seno es derivable en R con (sen)′(x) = cos x para todo x ∈ R.ii) La funcion tangente es derivable en todo punto de R\{π

2+ kπ : k ∈ Z} con

(tg)′(x) = 1(cos x)2

, ∀x ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z

}.

iii) La funcion arco-seno es derivable en ] − 1, 1[ con (arcsen)′(x) = 1√1−x2

, ∀x ∈ ] − 1, 1[ .

iv) La funcion arco-coseno es derivable en ] − 1, 1[ con (arccos)′(x) = −1√1−x2

, ∀x ∈] − 1, 1[.v) La funcion arco-tangente es derivable en R con (arctg)′(x) = 1

1+x2, ∀x ∈ R.

Formulas trigonometricas de adicionDado b ∈ R, consideramos la funcion f : R→ R definida por

f(x) = [sen(x+ b) − sen x cosb− cos x senb]2 + [cos(x+ b) − cos x cosb+ sen x senb]2

6. DERIVADAS SUCESIVAS 105

para todo x ∈ R. Es claro que f es derivable en R con f ′(x) = 0 para todo x ∈ R. Entonces, delas aplicaciones del teorema del valor medio se sigue que f es constante. Como f(0) = 0, entoncesf(x) = 0 para todo x ∈ R. Ası pues, dado x ∈ R, resulta que

sen(x+ b) = sen x cosb+ cos x senb,

cos(x+ b) = cos x cosb− sen x senb.

5. Reglas de L’Hopital

Reglas de L’HopitalSea I un intervalo, a un punto de I o a = ±∞ y f, g : I\{a}→ R funciones derivables en I\{a} cong′(x) 6= 0 para todo x ∈ I \ {a}. Supongamos que se cumple una de las dos condiciones siguientes:

a) lımx→ag(x) = lım

x→a f(x) = 0,b) lım

x→a |g(x)| = +∞.

Entonces lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→af ′(x)

g′(x).

Regla practica de derivacionSea I un intervalo, a ∈ I y f : I→ R una funcion continua en a y derivable en I\{a}.

i) Si existe el lımite lımx→a− f ′(x) y es finito, entonces f es derivable por la izquierda en a y

f ′−(a) = lımx→a− f ′(x). Si lım

x→a− f ′(x) = +∞ o lımx→a− f ′(x) = −∞, entonces f no es derivable por

la izquierda en a.ii) Analogo enunciado a i), por la derecha.iii) Si existe el lımite lım

x→a f ′(x) y es finito, entonces f es derivable en a y f ′(a) = lımx→a f ′(x).

iv) Si existen los lımites lımx→a− f ′(x) y lım

x→a+ f ′(x), y lımx→a− f ′(x) 6= lım

x→a+ f ′(x), entonces f no es

derivable en a.

6. Derivadas sucesivas

Definicion 151. Sea f : A→ R una funcion real de variable real y A1 el subconjunto de puntos deA∩A ′ en los que f es derivable. Si a ∈ A1∩A ′1 (naturalmente, suponemos que A1∩A ′1 es no vacıo)y la funcion derivada de f, f ′ : A1 → R, es derivable en a, decimos que f es dos veces derivableen a y llamamos derivada segunda de f en a a la derivada de f ′ en a. Logicamente notaremosf ′′(a) = (f ′) ′(a).

Sea A2 el conjunto de puntos de A1 ∩ A ′1 en los que f es dos veces derivable. La funcionf ′′ : A2 → R que a cada punto de A2 le hace corresponder la derivada segunda de f en dicho puntose llamara funcion derivada segunda de f.

De manera general, sea n ∈ N, f(n) : An → R la funcion derivada n-esima de f y a ∈ An ∩A ′n.Diremos que f es n+1 veces derivable en a cuando f(n) sea derivable en a. La derivada de f(n) en ase llamara derivada (n+1)-esima de f en a y se notara f(n+1)(a). Se nota entonces An+1 al conjuntode los puntos de An ∩A ′n en los que f es n+ 1 veces derivable y la funcion f(n+1) : An+1 → R quea cada punto de An+1 le asocia la (n + 1)-esima derivada de f en el se llamara funcion derivada(n+ 1)-esima de f.

Funciones de clase Cn

Sea I un intervalo (como siempre no vacıo y no reducido a un punto), f : I → R una funcion y nun numero natural. Se dice que f es de clase Cn en I si f es n veces derivable en todo punto de I yf(n) es continua en I. Se suele notar Cn(I) al conjunto de las funciones de clase Cn en I. Notaremostambien C0(I) al conjunto de las funciones continuas en I.

7. FORMULA DE TAYLOR 106

Se dice que f : I → R es de clase C∞ en I si es de clase Cn en I para todo numero natural n.C∞(I) sera el conjunto de las funciones de clase C∞ en I.

Es evidente queC∞(I) ⊂ Cn+1(I) ⊂ Cn(I) ⊂ C0(I) , ∀n ∈ N.

7. Formula de Taylor

Polinomio de TaylorSea f : A→ R una funcion de variable real, n un numero natural y supongamos que f es n vecesderivable en un punto a ∈ A∩A ′. Llamaremos polinomio de Taylor de orden n de la funcion f enel punto a a la funcion polinomica Pn : R→ R definida por:

Pn(x) = f(a) + f′(a)(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n.

Es inmediato comprobar que Pn verifica:

Pn(a) = f(a), P ′n(a) = f′(a), . . . , P(n)n (a) = f(n)(a).

Formula infinitesimal del restoSea I un intervalo (no vacıo y no reducido a un punto), n ∈ N con n ≥ 2 y f : I→ R una funcionn− 1 veces derivable en I. Supongamos, ademas, que f es n veces derivable en un punto a de I ysea Pn el polinomio de Taylor de orden n de la funcion f en el punto a. Entonces

lımx→a

f(x) − Pn(x)

(x− a)n= 0.

La funcion Rn : I→ R dada por

Rn(x) = f(x) − Pn(x), ∀x ∈ I,recibe el nombre de resto de Taylor de orden n de la funcion f en el punto a.

El resultado anterior nos dice que el polinomio de Taylor Pn nos da una buena aproximacionde la funcion f en las proximidades del punto a, aproximacion que es mejor cuanto mayor es elnumero natural n.

Formula (o teorema) de TaylorSea I un intervalo, n un natural y f : I→ R una funcion de clase Cn en I y n + 1 veces derivableen I salvo, a lo mas, en los eventuales extremos del intervalo I. Dados dos puntos cualesquiera a,x de I con a 6= x, existe un punto c en el intervalo abierto de extremos a y x tal que:

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n +

f(n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1.

Equivalentemente,

Rn(x) =f(n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1,

donde Rn es el resto de Taylor de la funcion f en el punto a.

La formula de Taylor puede usarse en muchos casos para estimar el error que se comete alaproximar una funcion por su polinomio de Taylor, y permite por tanto evaluar determinadasfunciones con suficiente exactitud.

Regla practica para el estudio de los extremos relativosSea I = ]a, b[ un intervalo abierto no vacıo, x0 ∈ I, n ∈ N con n ≥ 2 y f : I→ R una funcion n− 1veces derivable en I y n veces derivable en el punto x0. Supongamos, ademas, que:

f ′(x0) = f′′(x0) = · · · = f(n−1)(x0) = 0 y f(n)(x0) 6= 0.

8. FUNCIONES CONVEXAS Y CONCAVAS. ESTUDIO ANALITICO Y REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES107

i) Si n es par y f(n)(x0) > 0 (respectivamente, f(n)(x0) < 0), entonces f alcanza un mınimorelativo (respectivamente, un maximo relativo) en el punto x0.

ii) Si n es impar, entonces f no alcanza un extremo relativo en el punto x0.

8. Funciones convexas y concavas. Estudio analıtico y representacion grafica defunciones

Funciones convexas y concavasSea f : A→ R una funcion real de variable real y sea I un intervalo contenido en A. Se dice que fes convexa en I cuando para cualesquiera dos puntos a, b ∈ I con a < b se verifica que:

f((1− t)a+ t b) ≤ (1− t) f(a) + t f(b), ∀t ∈ [0, 1].

.

.....................................

..................................

...............................

............................

.........................

.......................

...................... ..................... .................... ................... ................... .................... .............................................................................................

...........................

.............................. f

a (1- t)a+ t b b

f((1- t)a+ t b)

(1- t)f(a)+ t f(b)`````````

t ttt

Se dice que f es concava en I cuando −f es convexa en I.

Proposicion 158. Sea I un intervalo y f : I→ R una funcion dos veces derivable en I. Se verificaque:

i) f es convexa en I si, y solo si, f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.ii) f es concava en I si, y solo si, f ′′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I.

Estudio analıtico y representacion grafica de funcionesSi para dibujar la grafica de una funcion tan solo calcularamos algunos de sus puntos, podrıan pasarinadvertidos muchos de los rasgos esenciales de dicha grafica. Entonces no podrıamos obtener unarepresentacion fiel de la funcion.

Llamamos estudio analıtico de una funcion al estudio de ciertas propiedades que nos permitenhacer una representacion grafica de la funcion muy aproximada a la real. Para realizar tal analisisde la funcion, es aconsejable examinar de forma ordenada los siguientes elementos:

1. El dominio.2. La simetrıa y la periodicidad.3. Los puntos de corte con los ejes.4. La continuidad y las asıntotas verticales.5. Las asıntotas horizontales u oblicuas.6. La derivabilidad.7. Los puntos crıticos, el signo de la derivada primera y los intervalos de crecimiento y decre-

cimiento.8. Los extremos (maximos y mınimos) relativos.9. La derivada segunda.

10. El signo de la derivada segunda, los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos deinflexion (donde la derivada segunda es 0).

11. Los extremos (maximo y mınimo) absolutos y la imagen de la funcion.

Puntos singularesA veces, puede que, en el estudio analıtico de una funcion, encontremos puntos del dominio donde lafuncion no es derivable. Entonces se dice que la funcion presenta un punto singular. Distinguiremos

8. FUNCIONES CONVEXAS Y CONCAVAS. ESTUDIO ANALITICO Y REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES108

tres tipos de puntos singulares. Sea I un intervalo, a ∈ I y f : I → R una funcion derivable enI\{a}.

a) Si existen las dos derivadas laterales de f en a y son distintas, diremos que f presenta unpunto anguloso en a.

b) Si los lımites lımx→a− f ′(x) y lım

x→a+ f ′(x) son infinitos de distinto signo (la tangente en dicho

punto es vertical), diremos que f presenta un punto de retroceso en a.

.

...............................

................................

.................................

.....................................................................

.................................

................................

.............

.............

.....

a

f(a)

c) Si los lımites lımx→a− f ′(x) y lım

x→a+ f ′(x) son infinitos de igual signo (la funcion presenta tangente

vertical y es creciente o decreciente), diremos que f presenta un punto de inflexion contangente vertical en a.

............................

..........................

.........................

........................

.......................

.............

.........

............................

..........................

.........................

........................

.......................

......................

a

f(a)

............................

..........................

.........................

........................

.......................

......................

............................

..........................

.........................

........................

.......................

.............

.........

a

f(a)

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 109

9. Problemas propuestos

9.1. Problemas sobre derivabilidad de funciones.

1. Calcule la derivada de la funcion f en el punto a usando su definicion:a) f (x) = x2 + 1, ∀x ∈ R, a = 4.b) f (x) = (3+ x)/(3− x), ∀x ∈ R \ {3}, a = 2.c) f (x) =

√2x− 1, ∀x ≥ 1/2, a = 5.

2. Calcule las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la funcion f en el punto indicado:a) f(x) = x2 − 1 para todo x ∈ R, en el punto (0,−1).b) f(x) = 2x2 − 4x+ 5 para todo x ∈ R, en el punto (3, 11).

3. Sean α,β ∈ R y f : R→ R la funcion definida por f(x) = x2 + αx+ β, ∀x ∈ R.a) Usando la definicion de derivabilidad, pruebe que f es derivable en todo punto de R.b) Encuentre los valores de α y β que hacen que el punto (2, 4) pertenezca a la grafica def y que la recta tangente a la misma en dicho punto sea la recta de ecuacion 2x−y = 0.

4. El perfil de una carretera viene dado en un tramo de montana por la funcion f : [0, 20]→ Rdefinida como f(x) = (−x2 + 20x)/100 para todo x ∈ [0, 20]. ¿Que senal de trafico habrıaque colocar en el punto de abscisa 5 para indicar el desnivel?

5. La relacion entre la distancia recorrida en metros por un movil y el tiempo en segundos ese(t) = 6 t2. Calcular:a) La velocidad media entre t = 1 y t = 4.b) La velocidad instantanea en t = 1.

6. Esta entrando lıquido en un deposito cilındrico vertical de 6 metros de radio a velocidadconstante de 8m3/min. ¿A que velocidad esta subiendo el nivel?

7. Usando las derivadas laterales, estudie la derivabilidad de la funcion f : R→ R en el puntoa :a) f (x) = x2 + 1+ |2x− 1| , a = 1/2.b) f (x) = x2 si x ≤ 0, f (x) = x si x > 0, a = 0.

c) f (x) =√

|x|, a = 0.8. Sean a, b ∈ R y f : R→ R la funcion definida por

f(x) = ax+ b si x ≤ 0, f(x) = x2 si x > 0.

Estudie para que valores de a y b es f derivable en 0.

9.2. Problemas sobre las reglas de derivacion, la derivacion de las funciones ele-mentales, los extremos relativos y el teorema del valor medio.

9. Utilizando la definicion de derivada, pruebe que:a) Si λ ∈ R y f : A → R es una funcion derivable en un punto a ∈ A ∩ A ′, entonces la

funcion λ f : A→ R es derivable en a con (λ f) ′(a) = λ f ′(a).b) Toda funcion constante es derivable en R y su derivada es 0 en cada punto.c) La funcion exponencial es derivable en R y su funcion derivada es la propia funcion

exponencial.10. Debido a unas pesimas condiciones ambientales, una colonia de un millon de bacterias no

comienza su reproduccion hasta pasados dos meses. La funcion que representa la poblacionde la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

f(t) =

{106 si 0 ≤ t ≤ 2,106 et−2 si t > 2.

Se pide:a) Verificar que la poblacion es funcion continua del tiempo.b) Calcular la tasa de variacion media de la poblacion en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 110

c) ¿A que velocidad esta aumentando la poblacion de bacterias al comienzo del cuartomes, es decir, en t = 4?

11. La funcion f verifica la siguiente ecuacion

2x3 − f(x)3 − x f(x) = 0

para todo x que pertenece a un entorno del punto 1. Suponiendo que f es derivable en 1,calcule f ′(1).

12. Utilizando la regla de la cadena, calcule (f ◦ g) ′ en los siguientes casos:a) f(x) = x2 + 2 para todo x ∈ R y g(x) =

√x para todo x ∈ R+.

b) f(x) = arc sen(x) para todo x ∈ [−1, 1] y g(x) =√x para todo x ∈ ]0, 1[ .

13. Utilizando las reglas de derivacion y las derivadas de las funciones elementales, calcule lasderivadas de las siguientes funciones:a) f(x) = x5 − 1

3x3 − 7x+ 7

8, ∀x ∈ R.

b) f(x) = (2x+ 1)5, ∀x ∈ R.

c) f(x) = 2x√5x, ∀x ∈ R+.

d) f(x) = (x+ 2)2 · (5x− 1)7, ∀x ∈ R.

e) f(x) =(x−√1− x2

)2, ∀x ∈ ] − 1, 1[ .

f ) f(x) = 3x2−2xx2+2

, ∀x ∈ R.

g) f(x) = ln(x2 + 1), ∀x ∈ R.h) f(x) = log3(1+ x

2), ∀x ∈ R.

i) f(x) = ln(3√x2), ∀x ∈ R\{0}.

j ) f(x) = ln(

cos(x2

2

)), ∀x ∈

]−√π,√π[

.

k) f(x) = ex−e−x

ex+e−x, ∀x ∈ R.

l) f(x) = esen x, ∀x ∈ R.

m) f(x) =√

1−x1+x, ∀x ∈ ] − 1, 1[ .

n) f(x) = ln(√

1−x1+x

), ∀x ∈ ] − 1, 1[ .

n) f(x) = arc tg(1+x1−x

), ∀x ∈ R\{1}.

o) f(x) = ex2·ln x, ∀x ∈ R+.

p) f(x) = sen

(1

sen(

1sen x

)) , ∀x ∈ ]arc sen(1π

), π2

].

q) f(x) = sen4(2x), ∀x ∈ R.r) f(x) = sen x · cos(2x), ∀x ∈ R.

s) f(x) = ln(√

1−sen x1+sen x

), ∀x ∈ R\

{π2+ kπ : k ∈ Z

}.

t) f(x) =tg x− 1

tg x+ 1, ∀x ∈ R\

({π2+ kπ : k ∈ Z

}⋃{−π4+ kπ : k ∈ Z

}).

u) f(x) = arc sen(√

1−x1+x

), ∀x ∈ ]0, 1[ .

v) f(x) = arc sen

(1

1+ x2

), ∀x ∈ R\{0}.

w) f (x) = ln(x+√4+ x2

), ∀x ∈ R.

x ) f(x) = x arc sen x+√1− x2, ∀x ∈ ] − 1, 1[ .

y) f(x) = arc tg(√

1−x1+x

), ∀x ∈ ] − 1, 1[ .

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 111

14. Halla la ecuacion de la recta tangente y de la recta normal de cada una de las siguientesfunciones en el punto indicado:a) f(x) = tg(2x) para todo x ∈

]−π4, π4

[, en el punto (0, 0).

b) f(x) = tg(3x) para todo x ∈]−π6, π6

[, en el punto (0, 0).

c) f(x) = (x+ 1) 3√3− x para todo x ∈ R\{3}, en el punto (2, 3).

15. Sea f : R → R la funcion definida por f(x) = x + ex, ∀x ∈ R. Prueba que f es biyectiva yque f−1 es derivable en R. Calcula (f−1)′(1) y (f−1)′(1+ e).

16. Calcula las derivadas de las siguientes funciones, utilizando segun el caso, bien la derivacionlogarıtmica, bien la regla de la cadena.

a) f(x) = (ln x)ln x

b) f(x) = (sen x)sen x

c) f(x) = (tg x)sen x

d) f(x) = xxx

e) f(x) = arc tg(2(1− x))f ) f(x) = ex

x

g) f(x) = sen (sen(sen x))

h) f(x) = x1/x

i) f(x) =(ln x)x

xln xj ) f(x) = xsen x

k) f(x) =(1+

a

x

)xl) f(x) = (tg x)

√x

m) f(x) = (sen x)tg x

17. Utilice el teorema de Rolle para ver que la ecuacion cos x + sen x + x(cos x − sen x) = 0tiene solucion en el intervalo [0, 7π/4].

18. Estudie si se puede aplicar el teorema de Rolle a las funciones

a) f(x) = tg x, ∀x ∈ [0, π]. b) f(x) = |x|, ∀x ∈ [−1, 1].

19. Demuestra que la ecuacion x3 + 3x = 2x2 + 5 tiene una unica solucion real.20. Demuestra que la funcion f : [−2,−1] → R, dada por f(x) = 1

x+ 1

2x2 − 1 para todo

x ∈ [−2,−1], posee un unico cero en el intervalo [−2,−1].21. Pruebe que la ecuacion x3− x2− 1 = 0 tiene una unica raız real y localice dicha raız dando

algun intervalo que la contenga. Sugerencia: utilice el teorema de Bolzano para probar laexistencia de la raız y estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento para probar launicidad.

22. Separe en intervalos las raıces de las siguientes ecuaciones:

a) 2x3 + 3x2 − 72x+ 12 = 0b) x ln x = 1

c) ex + x = 0d) x− x2 − ln (x+ 1) = 0

23. Explique razonadamente si en los siguientes casos se puede aplicar el Teorema del valormedio:

a) f(x) = |x| , ∀x ∈ [−1, 1].

b) f(x) = x4−1x−8, ∀x ∈ [−1, 1].

c) f(x) = sen x, ∀x ∈ R.

d) f(x) = ln x, ∀x ∈ ]0, 100].e) f(x) = x√

x+1, ∀x ∈ [0, 1].

f ) f(x) =√x+ 1 , ∀x ∈ [−1, 1].

24. Dados dos numeros reales a y b que satisfacen 0 < a ≤ b, prueba que se verifican lasdesigualdades 1−a/b ≤ ln(b/a) ≤ b/a− 1. Utiliza este resultado para probar que ln(1,2)esta comprendido entre 1

6y 1

5. Indicacion: si a < b, aplica el teorema del valor medio a la

funcion f : [a, b]→ R definida por f(x) = ln x para todo x ∈ [a, b].

25. Usando el Teorema del valor medio, demuestre que 5+ 1/12 <√26 < 5+ 1/10.

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 112

26. Aplique el Teorema del valor medio para dar un valor aproximado de√403.

27. Un teorema de Cauchy afirma que, dados a, b ∈ R con a < b, si f, g : [a, b] → R sondos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[ , entonces existe c ∈ ]a, b[ tal quef ′(c)(g(b) − g(a)) = g ′(c)(f(b) − f(a)).a) Aplique el teorema de Rolle a la funcion h : [a, b]→ R definida como h(x) = (g(b) − g(a)) (f(x) − f(a)) − (f(b) − f(a)) (g(x) − g(a)), ∀x ∈ [a, b],

y demuestre este teorema de Cauchy.b) Aplique el teorema de Cauchy a las funciones seno y coseno en el intervalo

[π4, 3π4

], y

despues calcule el valor o valores del ”punto intermedio” c.28. Utiliza el teorema del valor medio para deducir las desigualdades siguientes:

a) |sen x− seny| ≤ |x− y| , si x 6= y.b) nyn−1(x− y) ≤ xn − yn ≤ nxn−1(x− y), si 0 < y ≤ x con n ∈ N.

29. La ecuacion ex = 1+ x tiene una raız x = 0. Demuestre que no puede tener otra.30. Utilice las formulas trigonometricas de adicion del seno y del coseno para obtener las

identidades

sen(2x) = 2 sen x cos x, cos(2x) = cos2 x− sen2 x, ∀x ∈ R.

Pruebe que cos(π/4) = 1/√2 = sen(π/4). Calcule el lımite lım

x→π4

1− tg x

cos(2x)multiplicando

numerador y denominador por cos x y poniendo en practica las identidades anteriores.

31. Halla el valor de α para que la funcion f : R\{2}→ R, dada por f(x) =αx− 1

x− 2para todo

x ∈ R\{2}, sea creciente.32. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x2 + 5x− 3 b) f(x) = 1x+5

33. Halle los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) f(x) = x4e−x2, ∀x ∈ R.

b) f(x) =x2 + 1

x− 2, ∀x ∈ R\{2}.

c) f(x) = x2e−x, ∀x ∈ R.d) f(x) = x5, ∀x ∈ R.e) f(x) = 3x4 − 12x2 − 7, ∀x ∈ R.

f ) f(x) =1

3√x2 − 8x+ 17

, ∀x ∈ R.

g) f(x) = x(x− 2)2(x+ 1)3, ∀x ∈ R.h) f(x) = ln

(√2x3 + 3x2

), ∀x ∈ R+.

i) f(x) =x3

(x+ 1)2, ∀x ∈ R \ {−1}.

j ) f(x) =x+ 3

x2 + x− 2, ∀x ∈ R\{−2, 1}.

34. Determine los extremos absolutos y la imagen de las siguientes funciones (recuerde el teo-rema del valor intermedio):a) f (x) = x3 − 3x2, ∀x ∈ [−1, 3] .b) f (x) = 1/(x+ 1), ∀x ∈ [0, 2] .c) f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x+ 1, ∀x ∈ [0, 2].d) f (x) = ln x

x, ∀x ∈ [1, 2e].

e) f (x) = x+√5+ 4 cos x, ∀x ∈ [0, π] .

f ) f (x) =x2

x2 + 3, ∀x ∈ R.

35. Halla un punto P de la hiperbola 2y2 − x2 − 2 = 0 cuya distancia a (0, 3) sea mınima.36. El coste de un marco para una ventana rectangular se estima en 0,75 euros por cada metro

de altura y 0,5 euros por cada metro de anchura. La ventana tendra 1m2 de superficie.¿Que dimensiones tendra el marco para que resulte lo mas barato posible?.

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 113

37. Un deposito con tapa esta formado por un cilindro de altura h que termina en su partesuperior por una semiesfera de radio r. Se pide calcular las dimensiones del deposito si debetener un volumen de 45πm3 y se desea que el area total sea mınima.

38. La cantidad de producto transformado que se genera en un reactor depende del tiempo quepasan en el las componentes de la reaccion. Para una reaccion particular, si el reactor esta t

horas en funcionamiento, se obtienen m(t) = 50 e−1t kilogramos de producto transformado.

Cuando el producto utilizado se sustituye periodicamente por otro nuevo, el rendimientodel reactor es mejor. Por tanto, hay que recargar el reactor despues de cierto tiempo (thoras) de funcionamiento. Para vaciar, limpiar y llenar de nuevo el reactor son necesarios90minutos. ¿Cuantas veces al cabo de 24 horas debe ser alimentado el reactor para producirla maxima cantidad posible de producto transformado?

9.3. Problemas sobre las reglas de L’Hopital y la regla practica de derivacion.

39. Calcula, utilizando las reglas de L’Hopital, los siguientes lımites:

a) lımx→−1

x3 + 1

x+ 1

b) lımx→0

sen 5x− sen 3x

sen x

c) lımx→0

sen x− x cos x

x (1− cos x)d) lım

x→0+ xsen xe) lım

x→0 x cotg3 x

f ) lımx→0

5x − 1

x

g) lımx→0+

1− cos x√x

h) lımx→0+ (1+ tg x)

1

x2

i) lımx→0

tg x

ex − 1

j ) lımx→0

esen x − 1

x

k) lımx→1

xn − 1

x− 1

l) lımx→+∞ ln

(2+ 3ex√2+ 3x2

)40. Dada una funcion f : A → R y α ∈ A ′ ∪ {−∞,+∞}, si lım

x→α f(x) = 0, se dice que

f es un infinitesimo en α. Si f, g : A→ R son dos infinitesimos en α tales que

g(x) 6= 0, ∀x ∈ A y lımx→α

f(x)

g(x)= 1,

entonces se dice que f y g son infinitesimos equivalentes para x → α. En tal caso, sesuele usar la notacion “f(x) ≈ g(x) para x→ α”. Si en el calculo de lımites un infinitesimose presenta como factor o divisor, entonces puede ser sustituido por otro equivalente. Utilizala regla de L’Hopital para probar que los siguientes infinitesimos son equivalentes:

a) sen x ≈ x para x→ 0.b) tg x ≈ x para x→ 0.

c) 1− cos x ≈ x2

2para x→ 0.

d) arc sen x ≈ x para x→ 0.e) ex − 1 ≈ x para x→ 0.f ) ln(1+ x) ≈ x para x→ 0.g) ln(x) ≈ x− 1 para x→ 1.

41. Utiliza infinitesimos equivalentes para calcular los siguientes lımites:

a) lımx→0

x sen x

(1− cos x)2

b) lımx→0

sen(1− cos 3x)

x · tg(x4) · cos x

c) lımx→+∞

(1+ ln

(x2−3x+5x2−9

)) 2x2−3x+1

d) lımx→+∞

(3x2 + 1

) (1− cos

(1x

))(x2 − 2) ln

(1+ 1

x2

)

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 114

e) lımx→0

1− cos x

arc sen(3x2)

f ) lımx→+∞

(x ln

(√x+ a

x− a

)) g) lımx→+∞

sen2(1x

)(21/x − 1)

(√x2 + 1− x

)h) lım

x→0x2 (1− cos x)

sen4 x

42. Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→0

x

x+ sen xb) lım

x→0 (x · ln x)c) lım

x→0 x2 · ln xd) lım

x→0 (ex − 1) · tg(π2+ x)

e) lımx→0

x2

1− cos 3x

f ) lımx→0

x · sen 4x

1− cos 3x

g) lımx→1

ln x

1− x2

h) lımx→0(x+ 3

x+ 4

)5x+2i) lım

x→−∞(x+ 1

x− 1

)xj ) lım

x→−∞ x(a1x − 1

)k) lım

x→0x · arc sen x

1− cos 2x

l) lımx→0

ex2− 1

1− cos x

m) lımx→0

1− cos x− cos 2x · cos 3x

1− cos x

n) lımx→0

ax − asen x

x3

n) lımx→0

ln(√

x+11−x

)x

o) lımx→1(1

ln x−

1

x− 1

)p) lım

x→+∞ex + sen x

ex + cos x

q) lımx→0+

ln(sen 2x)

ln(sen x)r) lım

x→0+(xn · ln x) (n ∈ N)

s) lımx→0

(ex − 1) sen x

x2

t) lımx→π

2

cos2 x

2x− π

u) lımx→+∞

(3x2 − x+ 1

2x2 + x+ 1

) x3

1−x

v) lımx→+∞

(x+ a

x− a

)xw) lım

x→0(1+ x2

)cot g2xx ) lım

x→+0

sen2 x

x2 + x3y) lım

x→0 x · ln(tg x)z ) lım

x→01+ sen x− cos x

1+ senpx− cospx

43. Calcula:

a) lımx→∞

(a1x + b

1x

2

)xdonde 1 < a, 1 < b.

b) lımx→0(1

x2−

1

sen2 x

)(Utiliza, cuando veas conveniente, la fornula del seno del angulo doble).

44. Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→+∞ x

3x

b) lımx→0(√x)tg x

c) lımx→0(1− e2x

) 1ln 2x

d) lımx→0 (tg x)tg 2x

e) lımx→0+

(1

x

)sen x

f ) lımx→0+

(1

x

)tg x

g) lımx→0 (− ln x)

1x

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 115

45. Estudie la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

a) f (x) =√1− x2, ∀x ∈ [−1, 1].

b) f (x) = |3x − 3| , ∀x ∈ R.

c) f (x) = 3√

|x|, ∀x ∈ R.

d) f (x) =2x

(1+ |x|), ∀x ∈ R.

e) f(x) =

{x3 − 2 si x < 0x2 + 1 si x ≥ 0.

f ) f(x) =

{ex si x < 0x+ 1 si x ≥ 0.

g) f(x) =

{x3 si x < 0ex − 1 si x ≥ 0.

h) f(x) =

{x si x ≤ 0ln(1+ x) si x > 0.

i) f(x) =

{x sen(1/x) si x ∈ R\{0}0 si x = 0.

j ) f(x) =

{x2 + 1 si x ≤ 0tg x si 0 < x < π/2.

k) f (x) = xx, ∀x ∈ R+, f(0) = 1.

l) f (x) = max({x, 1− x}), ∀x ∈ [0, 1].

m) f(x) =

x2 + 1 si x < 02x+ 1 si 0 ≤ x ≤ 1x+ 1

xsi x > 1.

46. Considere las funciones

f(x) =

− sen x si −π/2 < x < 01 si x = 0sen x si 0 < x < π/2 ;

g(x) =

{−1 si x < 01 si x ≥ 0.

a) Determine los domınios de definicion de g ◦ f y f ◦ g.b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f, g, g ◦ f y f ◦ g.

47. Estudia la derivabilidad de la funcion en los puntos indicados en cada caso:a) f(x) = |3x − 3| , ∀x ∈ R, en el punto x0 = 1.

b) f(x) =

{x2 + 1 si x < 0−x2 + 4 si x ≥ 0 en el punto x0 = 0.

c) f(x) =

x

1+ e1x

si x 6= 0

0 si x = 0

en el punto x0 = 0.

d) f (x) =

x2 + 1 si x ≤ 0,

tg x si 0 < x < π2.

en el punto x0 = 0.

e) f(x) =

−2x− 1 x ≤ −1x2 −1 < x < 0

sen x x ≥ 0en los puntos x = −1 y x = 0.

f ) g(x) =

x+ x3 x < 00 x = 0

sen x x > 0en el punto x0 = 0.

48. Sean a, b ∈ R y f : R→ R la funcion definida por

f(x) =

ax+ b x ≤ 0,

x2 x > 0.

Estudia para que valores de a y b es f derivable en cero.49. Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion f : R→ R definida por

f(x) =

{x3 sen

(1x

)si x 6= 0

0 si x = 0.

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 116

Demuestra ademas que f ′ es continua pero no derivable en x = 0.50. La funcion f(x) = 3

√(x− 1)2 toma en los extremos del intervalo [0, 2] el mismo valor.

¿Contradice esto el Teorema de Rolle?51. Determine los extremos absolutos y la imagen de las siguientes funciones (recuerde el teo-

rema del valor intermedio):a) f (x) = 4− |x− 4| , ∀x ∈ [1, 6] .b) f (x) = 3x2/3 − 2x, ∀x ∈ [−1, 1] .

c) f (x) = 1−√2 |x|− x2, ∀x ∈ [−2, 2] , f(3) = 2.

d) f (x) =2

1+ e|x|, ∀x ∈ R.

9.4. Problemas sobre las derivadas sucesivas.

52. Sea f(x) = |x|3 para todo x ∈ R. Calcula las derivadas primera y segunda de f. ¿Es f

derivable tres veces en todos los puntos de la recta real?53. Halle las derivadas n-esimas de las siguientes funciones:

a) f(x) =1

2x+ 3, ∀x ∈ R\{−3

2}.

b) f(x) = e2x, ∀x ∈ R.c) f(x) = 3x, ∀x ∈ R.d) f(x) = ln(2x), ∀x ∈ R+.e) f(x) = sen(kx), ∀x ∈ R.

f ) f(x) =1

x− 5, ∀x ∈ R\{5}.

g) f(x) = 1(x−1)(x−2)

, ∀x ∈ R\{1, 2}.h) f(x) = ln(2− x), ∀x ∈ ] −∞, 2[ .i) f(x) = sen(4x) cos(2x), ∀x ∈ R.

j ) f(x) =1

x2 − 8x+ 12, ∀x ∈ R\{2, 6}

(Indicacion: antes de derivar tenga encuenta que 1

x2−8x+12= −1

4(x−2)+ 1

4(x−6)).

54. Calcule la derivada de orden 25 de la funcion f : R→ R definida por f(x) = x2ex para todox ∈ R.

55. Estudie la existencia de las derivadas sucesivas de la funcion f : R→ R dada por

f(x) = xmsen(1/x), ∀x ∈ R\{0}, f(0) = 0,

donde m es un numero natural.56. Determine los valores de las constantes a y b para que sea de clase C1 la funcion

f(x) =

{ax+ b si x < 0ex si x ≥ 0.

57. Pruebe que las funciones exponenciales, la funcion seno y la funcion coseno son de claseC∞ en R. Pruebe tambien que

sen(n)(x) = sen(x+ nπ/2), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N,y calcule todas las derivadas de la funcion coseno.

9.5. Problemas sobre la formula de Taylor.

58. Dada la funcion f : R+ → R, definida por f(x) =ln x

xpara todo x ∈ R+, calcule el polinomio

de Taylor de orden dos de f en el punto a = 1.59. Calcule el polinomio de Taylor de cuarto grado de las siguientes funciones en el punto

a = 0:

a) f (x) = 1/(1+ x2),b) f (x) = 1/(1+ x),c) f (x) =

√1+ x,

d) f (x) = ex,

e) f (x) = ln (1+ x) ,f ) f (x) = senx,g) f (x) = cos x,h) f (x) = tgx.

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 117

60. Calcule el polinomio de Taylor de segundo grado centrado en a = 0 de las funciones:

a) f (x) = xe−x2

b) f (x) = ln(1− x2)c) f (x) = sen2x

d) f (x) = exsenxe) f (x) = arcsenxf ) f (x) = arctgx

61. Calcule el polinomio de Taylor de segundo grado centrado en a de las funciones:

a) f (x) =ln x

x, a = 1.

b) f (x) = cos3 x, a = π/2.

62. Sea f : R+ → R la funcion definida por f(x) = bx2 + ln x para todo x ∈ R+, donde b esuna constante desconocida. Se sabe que el polinomio de Taylor de orden 1 de f en el puntoa = 1 viene dado por

P1(x) = −2+ 3x, ∀x ∈ R.Calcula la constante b y el polinomio de Taylor de orden 3 de f en el punto a = 1.

63. Comprueba que la funcion f : R→ R, definida por f(x) = sen2 x para todo x ∈ R, satisfacelas hipotesis del teorema de Taylor para n = 2 (el polinomio de Taylor que debe apareceren la formula es de orden 2) y escribe la correspondiente formula de Taylor para el puntoa = 0.

64. Sea f : ] − 1,+∞[→ R la funcion dada por f(x) =√x+ 1 para todo x ∈ ] − 1,+∞[ .

a) Calcule el polinomio de Taylor de orden cuatro de f en a = 0.

b) Calcule un valor aproximado de√1,02 utilizando un polinomio de segundo grado y

estime el error cometido utilizando la formula de Taylor.65. Sea f : R+ → R la funcion dada por f(x) =

√x para todo x ∈ R+. Aproxima, utilizando

algun desarrollo de Taylor de f en el punto a = 4 el valor√6 con error menor que una

centesima.66. Halla, mediante el desarrollo de Taylor en el punto a = 0:

a) El valor de ln(1,2) con error menor que una centesima.

b) El valor de√5 con error menor que una centesima.

67. Calcule un valor aproximado de los siguientes numeros reales con error menor que unacentesima:

e, π/4,√1,3, sen(0,3), cos 1, tg(0,6),

3√7.

68. Ordena segun potencias de (x− 2) la expresion de la funcion polinomica

f(x) = x3 + 4x2 − 5x+ 8, ∀x ∈ R

utilizando la formula de Taylor.69. Haciendo uso del teorema de Taylor, exprese los polinomios dados en potencias de x− a :

a) q (x) = x4 + x2 − 5x+ 7, a = 1.b) q (x) = x3 + 2x2 − x+ 3, a = 2.c) q (x) = −2x3 − x2 + x− 1, a = −3.d) q (x) = x5 + x2 + 4, a = −1.

70. ¿Para que valores de x se puede asegurar que es valida la aproximacion

ln(1+ x) = x− x2/2+ x3/3

con una exactitud mayor de 0,0001?71. De una estimacion del error maximo cometido en el intervalo [−1/2, 1/2] al aproximar

f(x) = arcsenx por un polinomio de grado 2.

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 118

72. El desarrollo de Taylor puede utilizarse tambien para calcular el lımite de una funcion.Usando la formula infinitesimal del resto, calcule los siguientes lımites:

a) lımx→0 x2tgx/(x− senx),

b) lımx→0 ex/senx,

c) lımx→0 x sen x/ ln(1+ x),

d) lımx→0(ln(1+ x) − x)/(1− cos x/2).

73. Utilice la formula infinitesimal del resto para estudiar el comportamiento en cero de lassiguientes funciones:a) g(x) = (1/x) (e− (1+ x)1/x), ∀x ∈ R+.b) h(x) = 1/x4 − 1/6x2 − senx/x5, ∀x ∈ R\{0}.

9.6. Problemas sobre funciones convexas y concavas, y representacion grafica defunciones.

74. Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la funcion f(x) = x2+1x2−4

.75. Pruebe que la funcion logaritmo neperiano es concava en R+. Estudie los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de su funcion derivada primera. Determine si la grafica de lafuncion logaritmo neperiano se encuentra por encima o por debajo de su recta tangente enel punto x = 4 (utilice para ello el teorema del valor medio).

76. La funcion de onda simplificada de un electron en una dimension es:

ψ(x) = A sen(n·πax), ∀x ∈ [0, a];

donde a y A son constantes positivas. Estudia esta funcion para n = 1, n = 2 y cualquiern ∈ N.

77. Estudia las siguientes funciones polinomicas y dibuja sus graficas:

a) f (x) = x3 − x,b) f (x) = 4x3 − 5x+ 1,

c) f (x) = −x4 + 2x2,d) f(x) = x4 − 18x2 + 32.

78. Estudia las siguientes funciones (incluidos los puntos angulosos y las rectas tangentes latera-les en ellos) que han sido definidas utilizando el valor absoluto y representalas graficamente:

a) f (x) = |2x− 3| ,b) f (x) =

∣∣x2 − 6x+ 5∣∣ , c) f (x) =∣∣3x4 − 6x2∣∣ .

79. Estudia las siguientes funciones racionales y dibuja sus graficas:

a) f (x) = (x2 + 1)/x,b) f (x) = (x4 − 2x2)/(x2 − 1),c) f (x) = x2/(x2 − 3x+ 2),

d) f(x) = (1+ x)/x,e) f(x) = x3/(x− 3),f ) f(x) = 2

(x2 − 9

)/(x2 − 4

).

80. Estudia las siguientes funciones irracionales (indicando los puntos de retroceso y rectastangentes laterales en ellos) y dibuja sus graficas:

a) f (x) =√x2 + x+ 1,

b) f (x) = 3√3x4 − 6x2,

c) f (x) =√

(x+ 1) (x− 2) (x− 5),

d) f(x) =

√x2 (x− 3)

x2 − 1.

81. Estudia las siguientes funciones y dibuja sus graficas:

9. PROBLEMAS PROPUESTOS 119

a) f (x) = xe−x2,

b) f(x) = x3−x2−x+1x2+1

,

c) f(x) = x2−4x+5x−2

,

d) f(x) = x2−5x+4x2+5x+4

,

e) f (x) = ln(1− x2),f ) f (x) = ex sen x,

g) f(x) = ln(x2(x−3)x2−1

),

h) f(x) = (x− 1) ex.

Capıtulo 7

Calculo integral de una variable

En preparacion

1. Calculo de primitivas

Primitiva de una funcionSea I un intervalo (como siempre no vacıo y no reducido a un punto) y f : I→ R una funcion realde variable real. Se dice que f admite primitiva en I si existe una funcion F : I→ R derivable en Ital que

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.En tal caso, se dice que F es una primitiva de f. Al conjunto de todas las primitivas de f lodenotaremos por ∫

f(x)dx.

Conjunto de primitivas de una funcionSea I un intervalo, f : I→ R una funcion que admite primitiva en I y F : I→ R una primitiva de f.

i) Si c ∈ R, entonces la funcion F+ c es tambien una primitiva de f, pues,(F+ c) ′(x) = F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

ii) Si G : I→ R es otra primitiva de f, entonces (F−G) ′(x) = f(x)− f(x) = 0 para todo x ∈ I,con lo cual, F−G es constante en I.

Como consecuencia de los dos apartados anteriores, el conjunto de primitivas de f se obtiene

sumando constantes a la primitiva F, esto es,

∫f(x)dx = {F+ c : c ∈ R}. Por eso, se suele escribir∫

f(x)dx = F(x) + C,

donde C representa el conjunto de las funciones constantes.

Observaciones 163.i) En la expresion anterior la variable ‘x’ es irrelevante, lo mismo se podrıa escribir

∫f(t)dt =

F(t) + C. La variable de integracion adquiere un papel destacado cuando en la funcion

aparecen varios parametros desconocidos, como en:

∫ax sen(t x2)dx.

ii) La propia definicion y el conocimiento de las derivadas de las funciones elementales propor-cionan las primitivas de un gran numero de funciones. Por ejemplo, como sen ′(x) = cos(x)para todo x ∈ R, entonces la funcion seno es una primitiva del coseno en R. A estasprimitivas se las suele llamar primitivas inmediatas.

120

1. CALCULO DE PRIMITIVAS 121

De las formulas basicas de derivacion se deducen los siguientes resultados que proporcionanlas primeras reglas practicas para el calculo de primitivas. Aunque no se mencione explıcitamente,al referirnos en lo sucesivo a primitivas de funciones se entendera que lo son en todo el intervalodonde esten definidas estas funciones.

Primitivas inmediatas

i) De la funcion potencial de exponente natural o 0:∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ C (en este caso, n ∈ N ∪ {0} y el dominio es todo R).

ii) De la funcion potencial de exponente entero:∫xs dx =

xs+1

s+ 1+ C (en este caso, s ∈ Z\{−1} y el dominio es R\{0}).

iii) De la funcion potencial de exponente m/n con m,n ∈ N y n impar:∫xm/n dx =

xmn+1

mn+ 1

+ C (en este caso, el dominio es todo R).

iv) De la funcion potencial de exponente real:∫xp dx =

xp+1

p+ 1+ C (en este caso, p ∈ R\{−1} y el dominio es R+).

v) Logarıtmica: ∫1

xdx = ln |x|+ C.

vi) Exponencial: ∫ex dx = ex + C,∫ax dx =

ax

lna+ C (donde a ∈ R+).

vii) Seno y coseno: ∫sen xdx = − cos x+ C,∫cos xdx = sen x+ C.

viii) Tangente y cotangente:∫1

cos2 xdx =

∫(1+ tg2 x)dx = tg x+ C,∫

1

sen2 xdx =

∫(1+ cotg2 x)dx = − cotg x+ C.

ix) Arcoseno: ∫1√1− x2

dx = arc sen x+ C.

1. CALCULO DE PRIMITIVAS 122

x) Arcotangente: ∫1

1+ x2dx = arc tg x+ C.

Tambien

∫1

a x2 + bx+ cdx , donde ax2 + bx+ c es un polinomio sin raıces reales, es de

tipo arcotangente. Para calcular este tipo de primitivas, debemos transformar el polinomiodel denominador en un cuadrado mas una constante:∫

1

a x2 + bx+ cdx =

∫4a

4a2 x2 + 4ab x+ 4acdx =

∫4a

(2a x+ b)2 − b2 + 4acdx =

=

∫ 4a

4ac− b2(2a x+ b√4ac− b2

)2+ 1

dx =2√

4ac− b2arc tg

(2a x+ b√4ac− b2

)+ C

Primitivas de sumas y productos por escalaresSean f, g : I→ R dos funciones que admiten primitivas en el intervalo I y sea α ∈ R\{0}. Se verificaque:

i) Si F,G : I→ R son primitivas de f y de g, respectivamente, entonces F+G es una primitivade f+ g. Escrito de otra forma:∫

(f(x) + g(x))dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx.

ii) Si F : I → R es una primitiva de f, entonces αF es una primitiva de α f. Escrito de otraforma: ∫

α f(x)dx = α

∫f(x)dx.

Formula de integracion por partes para primitivasSean u, v : I → R dos funciones derivables en el intervalo I. Entonces uv ′ admite primitiva en Isi, y solo si, vu ′ admite primitiva en I. En caso afirmativo, se cumple que∫

u(x) v ′(x)dx = u(x) v(x) −

∫v(x)u ′(x)dx.

Esta formula se deduce inmediatamente aplicando la regla de la derivada de un producto, y esusual escribirla de forma mas compacta como:∫

udv = uv−

∫v du,

donde hemos denotado dv = v ′(x)dx y du = u ′(x)dx.La formula de integracion por partes se utiliza cuando queremos calcular la primitiva de un

producto de dos funciones. Entonces una de estas dos funciones es u y la otra es v ′. En la eleccionde la funcion u suele ser util adoptar el siguiente orden de prioridad:

1o Logaritmos y funciones arco.2o Polinomios3o Exponencial, senos, cosenos, . . .

Cambio de variable para el calculo de primitivasSean I y J intervalos, y ϕ : J→ I y f : I→ R funciones tales que ϕ es derivable en J.

2. PRIMITIVAS DE FUNCIONES RACIONALES 123

i) Si f admite primitiva en I con∫f(x)dx = F(x) + C, entonces la funcion (f ◦ ϕ)ϕ ′ admite

primitiva en J y se cumple que∫f(ϕ(t))ϕ ′(t)dt = F(ϕ(t)) + C.

ii) Si ϕ, ademas de derivable, es biyectiva, ϕ−1 es derivable en I y la funcion (f◦ϕ)ϕ ′ admiteprimitiva en J con

∫f(ϕ(t))ϕ ′(t)dt = G(t) + C, entonces f admite primitiva en I y se

verifica que ∫f(x)dx = G(ϕ−1(x)) + C.

El apartado i) de este resultado es consecuencia inmediata de la regla de la cadena, y el apartadoii) es consecuencia de la regla de la cadena y de la regla de derivacion de la funcion inversa.

2. Primitivas de funciones racionales

En esta seccion damos un metodo para calcular el conjunto de primitivas de una funcionracional: ∫

P(x)

Q(x)dx,

donde P y Q son polinomios (con coeficientes reales).

Que hacer cuando el grado de P es mayor o igual que el grado de QSi el grado de P es mayor o igual que el grado de Q, entonces dividimos P entre Q. Ası, obtenemosdos polinomios S y R tales que P = QS + R y el grado de R es menor que el grado de Q. Porconsiguiente,

P(x)

Q(x)= S(x) +

R(x)

Q(x).

Como la primitiva del polinomio S es inmediata, el problema se reduce a calcular∫R(x)

Q(x)dx,

y ahora el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Ası pues, en lo que restade este apartado, nos ceniremos solamente al calculo de primitivas de funciones racionales en lasque el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

Descomposicion del denominador en factores irreduciblesSupongamos que el polinomioQ tiene k raıces reales r1, . . . , rk y 2s raıces complejas α1+β1 i , α1−β1 i , . . . , αs + βs i , αs − βs i . Supongamos, ademas, que m1, . . . ,mk son, respectivamente, lasmultiplicidades de r1, . . . , rk ; y que λ1, . . . , λs son, respectivamente, las multiplicidades de α1 +β1 i , . . . , αs + βs i . Entonces Q puede descomponerse de la siguiente forma:

Q(x) = γ (x− r1)m1 · · · (x− rk)mk

((x− α1)

2 + β21)λ1 · · · ((x− αs)2 + β2s)λs

donde γ ∈ R es el coeficiente del termino de mayor grado de Q. Esta descomposicion es unica.

Descomposicion en fracciones simples cuando no hay raıces complejas de multiplicidadmayor que 1 en el denominadorSean P y Q dos polinomios tales que el grado de P es menor que el grado de Q. Supongamos queP y Q no tienen factores comunes y que Q se descompone como

Q(x) = γ (x− r1)m1 · · · (x− rk)mk

((x− α1)

2 + β21)· · ·((x− αs)

2 + β2s),

2. PRIMITIVAS DE FUNCIONES RACIONALES 124

es decir, las raıces complejas de Q son de multiplicidad 1. Entonces P/Q se escribe de forma unicacomo sigue:

P(x)

Q(x)=

A1 1

x− r1+

A1 2

(x− r1)2+ · · ·+ A1m1

(x− r1)m1+

+A2 1

x− r2+

A2 2

(x− r2)2+ · · ·+ A2m2

(x− r2)m2+ · · ·+

+Ak 1

x− rk+

Ak 2

(x− rk)2+ · · ·+ Akmk

(x− rk)mk+

+B1x+ C1

(x− α1)2 + β21+

B2x+ C2(x− α2)2 + β22

+ · · ·+ Bsx+ Cs(x− αs)2 + β2s

donde, para cualesquiera j ∈ {1, . . . , k} y n ∈ {1, . . . ,mj}, Aj n es un numero real, y para cualquierj ∈ {1, . . . , s}, Bj y Cj tambien son numeros reales. Las fracciones que aquı aparecen son lasdenominadas fracciones simples. Si Q solo tiene raıces reales, entonces P/Q se descompone comoantes, pero sin los ultimos s sumandos.

Los coeficientes que hay en los numeradores de las fracciones simples se calculan del siguientemodo:

• Las fracciones simples se reducen al denominador comun Q(x).• Se igualan los numeradores de ambos lados de la expresion.• Se obtiene un sistema de ecuaciones lineales (identificando coeficientes,...) y al resolverlo

conseguimos los coeficientes de las fracciones simples.

A continuacion veremos como calcular la primitiva de cada uno de los sumandos de la descom-posicion anterior.

Primitiva de una fraccion simple con una raız real de multiplicidad 1 en el denominadorEste tipo de primitivas son inmediatas y de tipo logarıtmico:∫

1

x− rdx = ln(|x− r|) + C.

Primitiva de una fraccion simple con una raız real de multiplicidad m > 1 en el deno-minadorEste tipo de primitivas son inmediatas y de tipo potencial:∫

1

(x− r)mdx =

1

1−m

1

(x− r)m−1+ C.

Primitiva de una fraccion simple con un par de raıces complejas conjugadas de mul-tiplicidad 1 en el denominadorEstas primitivas son denominadas de tipo neperiano-arcotangente, y se calculan como se muestraa continuacion:∫

Bx+A

(x− α)2 + β2dx = B

∫x− α

(x− α)2 + β2dx+ (Bα+A)

∫1

(x− α)2 + β2dx =

=B

2

∫2(x− α)

(x− α)2 + β2dx+

Bα+A

β

∫1/β(

x−αβ

)2+ 1

dx =

=B

2ln((x− α)2 + β2

)+Bα+A

βarc tg

(x− α

β

)+ C.

Observe que en estos calculos hemos supuesto que B y A no son ambos nulos, pues, el casoA = 0 = B es trivial.

2. PRIMITIVAS DE FUNCIONES RACIONALES 125

Nos falta estudiar el caso en el que el denominador tiene raıces complejas (no reales) de mul-tiplicidad mayor que 1. Cuando esto ocurre, podemos utilizar el siguiente metodo:

Metodo de Hermite para denominadores con raıces complejas de multiplicidad mayorque 1La idea en la que se basa este procedimiento es bastante sencilla. Si Q se descompone como

Q(x) = γ (x− r1)m1 · · · (x− rk)mk

((x− α1)

2 + β21)λ1 · · · ((x− αs)2 + β2s)λs

entonces

P(x)

Q(x)=d

dx

(P0(x)

Q0(x)

)+

A1

x− r1+ · · ·+ Ak

x− rk+

B1x+ C1(x− α1)2 + β21

+ · · ·+ Bsx+ Cs(x− αs)2 + β2s

donde

Q0(x) = (x− r1)m1−1 · · · (x− rk)mk−1

((x− α1)

2 + β21)λ1−1 · · · ((x− αs)2 + β2s)λs−1

y P0 es un polinomio de grado menor que Q0 con coeficientes desconocidos. Para determinar loscoeficientes de P0 y de las fracciones simples que aparecen, seguimos los siguientes pasos:

• Derivamos la funcion racionalP0

Q0

.

• Escribimos ambos terminos de la igualdad anterior con comun denominador.• Identificamos coeficientes y resolvemos el sistema de ecuaciones.

Ası pues,∫P(x)

Q(x)dx =

P0(x)

Q0(x)+

∫A1

x− r1dx+ · · ·+

∫Ak

x− rkdx+

∫B1x+ C1

(x− α1)2 + β21dx+ · · ·+

+

∫Bsx+ Cs

(x− αs)2 + β2sdx

y las primitivas que falta calcular corresponden a fracciones cuyos denominadores tienen todosraıces simples.

3. PRIMITIVAS DE FRACCIONES RACIONALES EN SENOS Y COSENOS 126

3. Primitivas de fracciones racionales en senos y cosenos

En este apartado calcularemos primitivas de funciones del tipo x 7→ R(sen(x), cos(x)), definidasen un intervalo I ⊂ ] − π, π[ , donde R es una fraccion racional de dos variables. Por ejemplo,

R(sen(x), cos(x)) =2 sen(x) cos(x) + sen(x)

sen2(x) + cos3(x).

Cambio de variable generalEl procedimiento general es reducir estas funciones a fracciones racionales (del tipo estudiado enla seccion anterior) mediante el cambio de variable:

x = ϕ(t) = 2 arc tg(t), es decir, t = tg(x2

),

con lo que resulta, a partir de las formulas trigonometricas y la formula de derivacion de la funcionarc tg, que:

cos(x) = cos2(x2

)− sen2

(x2

)=1− tg2

(x2

)1+ tg2

(x2

) =1− t2

1+ t2,

sen(x) = 2 sen(x2

)cos(x2

)=

2 tg(x2

)1+ tg2

(x2

) =2 t

1+ t2,

dx = ϕ ′(t)dt =2

1+ t2dt.

Ahora debemos calcular ∫R(sen(ϕ(t)), cos(ϕ(t)))ϕ ′(t)dt ,

y aquı el integrando es una funcion racional de t por serlo sen(x), cos(x) y dx. Si∫R(sen(ϕ(t)), cos(ϕ(t)))ϕ ′(t)dt = G(t) + C ,

entonces, por la formula del cambio de variable,∫R(sen(x), cos(x))dx = G

(tg(x2

))+ C .

Existen situaciones particulares en las cuales es posible resolver estas primitivas de forma massencilla. Nos limitamos a describir los procedimientos sin justificar las aseveraciones que se hacen.

R impar respecto al cosenoSupongamos que R(sen(·), cos(·)) es impar respecto al coseno, es decir,

R(sen(x),− cos(x)) = −R(sen(x), cos(x)), ∀x ∈ I,lo que equivale a que:

R(sen(x), cos(x)) = S(sen(x)) cos(x), ∀x ∈ I,donde S es una fraccion racional de una variable. Entonces podemos calcular la primitiva facilmentemediante el cambio de variable:

t = ϕ(x) = sen(x).

3. PRIMITIVAS DE FRACCIONES RACIONALES EN SENOS Y COSENOS 127

Esto implica que1− t2 = cos2(x) , dt = ϕ ′(x)dx = cos(x)dx,

Si ∫S(t)dt = F(t) + C

(observe que esta ultima integral es de tipo racional), entonces la formula del cambio de variablenos dice que∫

R(sen(x), cos(x))dx =

∫S(sen(x)) cos(x)dx =

∫S(ϕ(x))ϕ ′(x)dx = F(sen(x)) + C.

R impar respecto al senoSupongamos que

R(− sen(x), cos(x)) = −R(sen(x), cos(x)), ∀x ∈ I,es decir,

R(sen(x), cos(x)) = S(cos(x)) sen(x), ∀x ∈ I,donde S es una fraccion racional de una variable. Haciendo el cambio de variable:

t = ϕ(x) = cos(x),

se tiene1− t2 = sen2(x) , dt = ϕ ′(x)dx = − sen(x)dx,

Si ∫S(t)dt = F(t) + C

(observe que esta ultima integral es de tipo racional), entonces la formula del cambio de variablenos dice que∫

R(sen(x), cos(x))dx =

∫S(cos(x)) sen(x)dx = −

∫S(ϕ(x))ϕ ′(x)dx = −F(cos(x)) + C.

R par respecto al seno y cosenoSupongamos que I ⊂

]−π2, π2

[y que

R(− sen(x),− cos(x)) = R(sen(x), cos(x)), ∀x ∈ I.Entonces

R(sen(x), cos(x)) = S(tg(x)), ∀x ∈ I,donde S es una fraccion racional de una variable. Si se efectua el cambio de variable:

x = ϕ(t) = arc tg(t), esto es, t = tg(x),

se deduce de las formulas trigonometricas que

t2

1+ t2= sen2(x) ,

1

1+ t2= cos2(x).

Por otra parte,

dx = ϕ ′(t)dt =1

1+ t2dt.

Ası pues, si calculamos∫R(sen(ϕ(t)), cos(ϕ(t)))ϕ ′(t)dt =

∫S(t)

1

1+ t2dt = G(t) + C

3. PRIMITIVAS DE FRACCIONES RACIONALES EN SENOS Y COSENOS 128

(que es de tipo racional), entonces la formula del cambio de variable nos dice que∫R(sen(x), cos(x))dx = G(tg(x)) + C.

Observacion 179. A veces las formulas trigonometricas permiten calcular algunas integrales ensenos y cosenos directamente, sin necesidad de aplicar los cambios de variable anteriores. Porejemplo,∫

cos2(x)dx =

∫2 cos2 x− sen2 x+ sen2 x

2=

∫ (1

2+

cos(2x)

2

)dx =

x

2+

sen(2x)

4+ C.

4. LA INTEGRAL DE RIEMANN 129

4. La integral de Riemann

En nuestros estudios elementales de Fısica y Matematicas aprendimos a calcular areas de ciertasfiguras geometricas como rectangulos, triangulos, cırculos, . . . El concepto de integral surgio comogeneralizacion de este tipo de areas. Concretamente, si tenemos una funcion acotada f : [a, b] →[0,+∞[ , el problema consiste en (dar sentido y) calcular el area de la region plana R limitada porla grafica de f, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

Para hacer esto, el primer paso es “trocear” el intervalo [a, b]:

Particion de un intervaloSean a, b ∈ R con a < b. Llamaremos particion del intervalo [a, b] a cualquier subconjuntoP = {x0, x1, . . . , xn} contenido en [a, b] que verifica: a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.

a =x0 x1 x2 . . . xn−1 xn= b

Denotaremos por P([a, b]) el conjunto de todas las particiones de [a, b].

Ahora aproximaremos el area buscada utilizando rectangulos:

Sumas superiores y sumas inferioresSea f : [a, b]→ R una funcion acotada y sea P = {x0, x1, . . . , xn} una particion de [a, b].

i) Supongamos que f([a, b]) ⊂ [0,+∞[ . Una primera aproximacion del area buscada puedehacerse considerando los rectangulos que tienen como base los subintervalos [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn],y cuya altura viene dada, respectivamente, por los numeros reales sup (f ([x0, x1])) , . . . , sup (f ([xn−1, xn])).

(En caso de que la funcion f sea continua, sup (f ([xk−1, xk])) es el maximo absoluto de fen el intervalo [xk−1, xk]). El area del rectangulo de base [xk−1, xk] y que tiene una alturasup(f([xk−1, xk])) es, como sabemos,

(xk − xk−1) · sup(f([xk−1, xk])).

Por tanto, nuestra primera aproximacion del area buscada es

S(f, P) = (x1 − x0) sup(f([x0, x1])) + · · ·+ (xn − xn−1) sup(f([xn−1, xn])).

4. LA INTEGRAL DE RIEMANN 130

Al numero real S(f, P) se le llama suma superior de la funcion f con respecto a la particionP. Observe que S(f, P) es mayor o igual que el area que queremos encontrar.

ii) Supongamos que f([a, b]) ⊂ [0,+∞[ . Podemos hacer tambien una aproximacion del areabuscada utilizando rectangulos que se queden bajo la grafica de f, esto es, rectangulosque tengan como base los subintervalos [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn], y cuya altura sea,respectivamente, ınf (f ([x0, x1])) , . . . , ınf (f ([xn−1, xn])).

(En caso de que la funcion f sea continua, ınf (f ([xk−1, xk])) es el mınimo absoluto de fen el intervalo [xk−1, xk]). El area del rectangulo de base [xk−1, xk] y que tiene una alturaınf(f([xk−1, xk])) es, como sabemos,

(xk − xk−1) · ınf(f([xk−1, xk])).

Por tanto, esta otra aproximacion del area que buscamos es

I(f, P) = (x1 − x0) ınf(f([x0, x1])) + · · ·+ (xn − xn−1) ınf(f([xn−1, xn])).

Al numero real I(f, P) se le llama suma inferior de la funcion f con respecto a la particionP. Observe que I(f, P) es menor o igual que el area que queremos encontrar.

iii) Si no suponemos f([a, b]) ⊂ [0,+∞[ (es decir, que f puede tomar valores negativos), lasuma superior S(f, P) y la suma inferior I(f, P) se definen igual que antes, pues, las formulas

S(f, P) = (x1 − x0) sup(f([x0, x1])) + · · ·+ (xn − xn−1) sup(f([xn−1, xn])) ,

I(f, P) = (x1 − x0) ınf(f([x0, x1])) + · · ·+ (xn − xn−1) ınf(f([xn−1, xn]))

tienen perfecto sentido tambien en el caso general.

Ejercicio 70: Ilustremos con un ejemplo las definiciones anteriores de suma superior y suma inferior.Considere la particion P = {0, 1/4, 1, 3/2, 2} del intervalo [0, 2] y calcule las sumas superior e inferiorde la funcion f : [0, 2]→ R, definida por f(x) = x2 para todo x ∈ [0, 2], con respecto a la particionP. (Sol.: S(f, P) = 249

64, I(f, P) = 107

64)

Si tomamos otra particion Q del intervalo [a, b] que tenga mas elementos que la particionanterior, apareceran mas rectangulos y las sumas superior S(f,Q) e inferior I(f,Q) aproximaranmejor el valor del area buscada.

4. LA INTEGRAL DE RIEMANN 131

Concretamente:

Lema 182. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Si P,Q son particiones de [a, b] tales queP ⊂ Q, entonces I(f, P) ≤ I(f,Q) ≤ S(f,Q) ≤ S(f, P).

Finalmente, efectuamos un proceso de paso al lımite haciendo los rectangulos cada vez masestrechos, o equivalentemente, tomamos ınfimos y supremos:

Integral superior e integral inferiorSea f : [a, b] → R una funcion acotada. El valor que se obtiene por el proceso de paso al lımite,haciendo los rectangulos cada vez mas estrechos, para las sumas superiores es∫b

a

f = ınf {S(f, P) : P ∈ P([a, b])} ,

y el valor que se obtiene por dicho proceso para las sumas inferiores es∫ba

f = sup {I(f, P) : P ∈ P([a, b])} .

A los numero reales

∫ba

f e

∫ba

f se les denomina, respectivamente, integral superior e integral inferior

de f en el intervalo [a, b].

Existen ejemplos de funciones para las que los valores de la integral superior y de la integralinferior no coinciden. Sin embargo, nuestro interes a lo largo del presente tema se centra en estasotras:

Funcion integrable RiemannSe dice que una funcion acotada f : [a, b]→ R es integrable (Riemann) en [a, b] si∫b

a

f =

∫ba

f.

En tal caso, el numero real

∫ba

f =

∫ba

f recibe el nombre de integral (de Riemann) de f en [a, b], y

se denota por ∫ba

f o

∫ba

f(x)dx.

En temas anteriores vimos que la continuidad y la derivabilidad presentaban un buen compor-tamiento frente a las operaciones con funciones. Con la integrabilidad ocurre lo mismo:

Propiedades de la integral

i) Si f, g : [a, b]→ R son funciones integrables en [a, b], entonces f+ g es integrable en [a, b]y se verifica que: ∫b

a

(f+ g) =

∫ba

f+

∫ba

g .

ii) Si f : [a, b] → R es una funcion integrable en [a, b] y α ∈ R , entonces la funcion α f esintegrable en [a, b] y se tiene que:∫b

a

(α f) = α

∫ba

f .

4. LA INTEGRAL DE RIEMANN 132

iii) Si f, g : [a, b] → R son funciones integrables en [a, b] y se verifica que f(x) ≤ g(x) paratodo x ∈ [a, b], entonces se tiene que:∫b

a

f ≤∫ba

g .

iv) Si f : [a, b]→ R es una funcion integrable en [a, b], entonces la funcion |f| es integrable en[a, b] y se verifica que: ∣∣∣∣∫b

a

f

∣∣∣∣ ≤ ∫ba

|f| .

v) Si f, g : [a, b]→ R son funciones integrables en [a, b], entonces f g es integrable en [a, b] yse verifican las siguientes desigualdades:(∫b

a

(f g)

)2≤∫ba

(f2) ·∫ba

(g2) ,(∫ba

(f+ g)2)1/2

≤(∫b

a

(f2)

)1/2+

(∫ba

(g2)

)1/2.

vi) Si f : [a, b]→ R es integrable en [a, b] y existe r > 0 tal que r ≤ f(x) para cada x ∈ [a, b],entonces la funcion 1/f es integrable en [a, b].

La definicion de integral superior e integral inferior no suele ser util en la practica para analizarla integrabilidad de una funcion. Por este motivo, necesitamos condiciones suficientes que impliquenla integrabilidad.

Teorema (primeras condiciones suficientes de integrabilidad)

i) Toda funcion monotona f : [a, b]→ R es integrable en [a, b].ii) Toda funcion continua f : [a, b]→ R es integrable en [a, b].

Propiedad de aditividad respecto del intervalo de integracionSea f : [a, b]→ R una funcion acotada y sea c ∈ ]a, b[ . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) f es integrable en [a, b].ii) f es integrable en [a, c] y en [c, b].

En caso de que se verifique la afirmacion i) o ii), se tiene:∫ba

f =

∫ ca

f+

∫bc

f .

Podemos generalizar la propiedad anterior para el caso en el que los extremos a, b, c no estanordenados como antes. Para hacer eso, necesitamos el siguiente convenio:

DefinicionSea I un intervalo y f : I→ R una funcion real de variable real.

i) Si a ∈ I, convendremos que f es integrable en [a, a] y que

∫aa

f = 0.

ii) Si a, b ∈ I con a < b y f es integrable en [a, b], definimos

∫ab

f mediante la igualdad∫ab

f = −

∫ba

f.

4. LA INTEGRAL DE RIEMANN 133

Resulta, por tanto, que si α,β ∈ I y la funcion f es integrable en el intervalo de extremos α y β,

entonces la expresion

∫βα

f siempre tiene sentido, sea cual sea la forma en la que estan ordenados

α y β.

Corolario 189. Sea f : I → R una funcion real de variable real definida en un intervalo I,α,β, γ ∈ I, a = mın{α,β, γ} y b = max{α,β, γ}. Si f es integrable en el intervalo [a, b], entonceslas tres integrales siguientes tienen sentido sea cual sea el orden de α, β y γ, y se verifica laigualdad: ∫β

α

f =

∫γα

f+

∫βγ

f .

Las condiciones suficientes de integrabilidad que hemos visto antes pueden ser debilitadas delsiguiente modo:

Teorema (segundas condiciones suficientes de integrabilidad)Sean f, g : [a, b]→ R dos funciones acotadas.

i) Si g es integrable en [a, b] y el conjunto de puntos de [a, b] en los que f difiere de g es finito(es decir, el conjunto {x ∈ [a, b] : f(x) 6= g(x)} es finito), entonces f tambien es integrableen [a, b] y se verifica que ∫b

a

f =

∫ba

g .

ii) Si el conjunto de puntos de [a, b] en los que f no es continua es finito, entonces f es integrableen [a, b].

Composicion de funciones integrables con continuasSea f : [a, b] → R una funcion integrable en [a, b] y sea g : A → R una funcion continua en A.Supongamos (para poder hacer la composicion) que f([a, b]) ⊂ A. Entonces la funcion g ◦ f esintegrable en [a, b].

Para enunciar el proximo resultado debemos introducir la siguiente nomenclatura:

Funcion localmente integrableSea I un intervalo y f : I → R una funcion real de variable real. Se dice que f es localmenteintegrable en I si f es integrable en todo intervalo cerrado y acotado [a, b] que este contenido en I.

Integral indefinidaSea f : I→ R una funcion localmente integrable en el intervalo I y sea a ∈ I. Llamaremos integralindefinida de f con origen en a a la funcion F : I→ R definida por:

F(x) =

∫ xa

f ∀x ∈ I.

El siguiente teorema, que es el resultado principal de este tema, relaciona las nociones decontinuidad, derivabilidad e integrabilidad. De este teorema nacen multitud de aplicaciones delcalculo integral.

Teorema fundamental del calculoSea f : I → R una funcion localmente integrable en el intervalo I y F : I → R cualquier integralindefinida de f, es decir, cualquier funcion definida en I por:

F(x) =

∫ xa

f , ∀x ∈ I,donde a es algun punto de I. Se verifica que:

i) F es continua en I.

5. INTEGRALES IMPROPIAS 134

ii) Si f es continua en un punto x0 ∈ I, entonces F es derivable en x0 y F ′(x0) = f(x0).iii) Como consecuencia, si f es continua en todo el intervalo I, entonces F es derivable en I y

se tiene que F ′(x) = f(x) para todo x ∈ I (es decir, F es una primitiva de f en I).

El siguiente resultado nos proporciona un metodo practico de gran utilidad para el calculo deintegrales.

Regla de BarrowSea f : [a, b] → R una funcion integrable en [a, b] y supongamos que f admite como primitiva auna funcion G : [a, b]→ R (es decir, G ′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]). Entonces:∫b

a

f = G(b) −G(a) .

Formula de cambio de variable para integralesSea ϕ : [c, d] → R una funcion derivable en [c, d] tal que su funcion derivada ϕ ′ es integrable en[c, d], I un intervalo con ϕ([c, d]) ⊂ I y f : I→ R una funcion real de variable real. Supongamos,ademas, que se cumple alguna de las tres condiciones siguientes:

a) f es continua en I.b) ϕ es creciente en [c, d] y f es integrable en [ϕ(c), ϕ(d)].c) ϕ es decreciente en [c, d] y f es integrable en [ϕ(d), ϕ(c)].

Entonces (f ◦ϕ)ϕ ′ es integrable en [c, d] y se verifica que:∫dc

(f ◦ϕ)ϕ ′ =∫ϕ(d)ϕ(c)

f .

5. Integrales impropias

A continuacion, vamos a extender la nocion de integral introduciendo el concepto de “integralimpropia” que es aplicable a funciones no necesariamente acotadas y a intervalos de integracioncualesquiera. Ası pues, en todo este apartado consideraremos, salvo que se diga lo contrario, inter-valos ]α,β[ donde α ∈ R ∪ {−∞}, β ∈ R ∪ {+∞} y α < β cuando α,β ∈ R.

Funcion impropiamente integrableSea f : ]α,β[→ R una funcion localmente integrable en ]α,β[ . Diremos que f es impropiamenteintegrable en ]α, γ[ si existe a ∈ ]α,β[ tal que la funcion F : ]α,β[→ R definida por:

F(x) =

∫ xa

f(t)dt, ∀x ∈ ]α,β[

tiene lımite finito en α y en β.En tal caso, es inmediato comprobar que cualquier otra integral indefinida G de f con origen

en algun punto c ∈ ]α,β[ tambien tiene lımite finito en α y en β, y que lımx→β F(x) − lım

x→α F(x) =

lımx→βG(x) − lım

x→αG(x). Esto nos da licencia para definir la integral impropia de f como el numero

real ∫βα

f(x)dx = lımx→β F(x) − lım

x→α F(x).Propiedad de aditividad de la integral impropia respecto del intervalo de integracionSea f : ]α,β[→ R una funcion localmente integrable en ]α,β[ y sea c ∈ ]α,β[ . Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

5. INTEGRALES IMPROPIAS 135

i) f es impropiamente integrable en ]α,β[ .ii) f es impropiamente integrable en ]α, c[ y en ]c, β[ .

En caso de que se verifique la afirmacion i) o ii), se tiene:∫βα

f(x)dx =

∫ cα

f(x)dx+

∫βc

f(x)dx .

Regla de Barrow para integrales impropiasSea f : ]α,β[→ R una funcion localmente integrable en ]α,β[ y supongamos que f admite primitivaG en ]α,β[ . Se verifica que f es impropiamente integrable en ]α,β[ si, y solo si, G tiene lımitefinito en α y en β. En caso de que se cumplan estas afirmaciones, la integral impropia de f vienedada por ∫β

α

f(x)dx = lımx→βG(x) − lım

x→αG(x).Test de comparacionSea f : ]α,β[→ R una funcion localmente integrable en ]α,β[ . Si existe una funcion g : ]α,β[→ Rimpropiamente integrable en ]α,β[ con |f(x)| ≤ g(x) para todo x ∈ ]α,β[ ; entonces f es impro-piamente integrable en ]α,β[ y se verifica que:∣∣∣∣∫β

α

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫βα

g(x)dx.

En particular, si |f| es impropiamente integrable en ]α,β[ , entonces f es impropiamente integrableen ]α,β[ y se verifica que: ∣∣∣∣∫β

α

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫βα

|f(x)|dx.

Test de comparacion por paso al lımiteSupongamos que α ∈ R (puede que β = +∞ o β ∈ R con α < β) y sean f, g : [α,β[→ R funcioneslocalmente integrables en [α,β[ con 0 ≤ f(x), 0 < g(x) para todo x ∈ [α,β[ , y tales que existe el

lımite lımx→β

f(x)

g(x). Se verifica que:

i) Si lımx→β

f(x)

g(x)> 0, entonces f es impropiamente integrable en ]α,β[ si, y solo si, lo es g.

ii) Si lımx→β

f(x)

g(x)= 0 y g es impropiamente integrable en ]α,β[ , entonces f tambien es impro-

piamente integrable en ]α,β[ .

iii) Si lımx→β

f(x)

g(x)= +∞ y f es impropiamente integrable en ]α,β[ , entonces g tambien es

impropiamente integrable en ]α,β[ .

Igual que hicimos para integrales propias, cuando una funcion f sea impropiamente integrableen ]α,β[ , definimos ∫α

β

f(x)dx = −

∫βα

f(x)dx.

Cambio de variable para integrales impropiasSea ϕ : ]α,β[→ R una funcion estrictamente monotona y derivable en ]α,β[ tal que su funcionderivada ϕ ′ es localmente integrable en ]α,β[ . Sean γ = lım

x→αϕ(x), ρ = lımx→βϕ(x) y f una funcion

localmente integrable en ϕ ( ]α,β[ ). Entonces f es impropiamente integrable en ϕ ( ]α,β[ ) si, y

6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CALCULO DE AREAS, VOLUMENES Y LONGITUDES 136

solo si, (f ◦ ϕ)ϕ ′ es impropiamente integrable en ]α,β[ . Cuando se cumplen estas afirmaciones,se tiene: ∫β

α

f(ϕ(t))ϕ ′(t)dt =

∫ ργ

f(x)dx .

6. Aplicaciones de la integral al calculo de areas, volumenes y longitudes

El objetivo de esta seccion es presentar, sin justificacion, algunas formulas integrales que seaplican en el calculo de areas, volumenes y longitudes.

Areas de recintos planosSean f, g : [a, b]→ R funciones integrables en [a, b] (donde a < b). Consideremos la region R delplano delimitada por las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b, y las graficas de f y g.

i) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], se define el area de la region R como∫ba

(g(x) − f(x))dx .

ii) La definicion anterior se generaliza al caso en el que f y g no guardan ninguna relacion deorden definiendo el area de la region R como∫b

a

|g(x) − f(x)|dx .

Sin embargo, en la practica determinaremos los puntos de corte de las graficas de f y gpara reducir el problema a varios del primer tipo.

Volumenes de revolucionSea f : [a, b] → R una funcion integrable en [a, b] con 0 ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]. Recibe elnombre de solido de revolucion, el solido generado al girar alrededor del eje de abscisas, la regionR limitada por la grafica de f, el eje de abscisas y las rectas verticales de ecuaciones de x = a yx = b.

6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CALCULO DE AREAS, VOLUMENES Y LONGITUDES 137

La idea intuitiva que seguimos para definir el volumen de este tipo de solidos es parecida a la queutilizamos para definir la integral. Consideremos una particion Pn = {x0, x1, . . . , xn} del intervalo[a, b] y, para cada k ∈ {1, . . . , n}, el cilindro generado al girar alrededor del eje de abscisas elrectangulo de base [xk−1, xk] y altura f(xk−1). El volumen de este cilindro es, como sabemos,(xk − xk−1)π f(xk−1)

2.

Al sumar los volumenes de todos los cilindros (para k = 1, . . . , n), se obtiene el valor

αn = (x1 − x0)π f(x0)2 + (x2 − x1)π f(x1)

2 + · · ·+ (xn − xn−1)π f(xn−1)2

que es una aproximacion del volumen del solido de revolucion. Mientras mas delgados sean loscilindros, mejor sera la aproximacion de la suma anterior al volumen del solido. Dicho de otromodo, si hacemos tender 4(Pn) = max {x1 − x0, . . . , xn − xn−1} hacia cero, obtendremos el valordeseado del volumen. Se puede probar que si 4(Pn) tiende hacia cero, entonces αn tiende a∫b

a

πf(x)2dx.

Por consiguiente, este es el valor con el que definimos el volumen del solido de revolucion.

Areas de revolucionSea f : [a, b]→ R una funcion de clase C1 en [a, b] con 0 ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]. Consideremosde nuevo el solido de revolucion anterior (es decir, el generado al girar alrededor del eje de abscisas,la region limitada por la grafica de f, el eje de abscisas y las rectas verticales de ecuaciones dex = a y x = b). El area de la superficie que envuelve a este solido es:∫b

a

f(x)√1+ f ′(x)2 dx.

Longitudes de curvas de graficas de funcionesSea f : [a, b] → R una funcion de clase C1 en [a, b]. La longitud de la curva dada por la grafica{(x, f(x)) : x ∈ [a, b]} de la funcion f es:∫b

a

√1+ f ′(x)2 dx .

Calculo de volumenes por seccionesConsideremos un solido que tiene la propiedad de que cualquier seccion plana perpendicular a unarecta dada tiene un area conocida. Podemos asumir, por comodidad, que la recta es el eje X.

6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CALCULO DE AREAS, VOLUMENES Y LONGITUDES 138

Sean a y b los puntos de la recta por los que pasan la primera y la ultima seccion del solido.Supongamos que A : [a, b]→ R es la funcion que, para cada x ∈ [a, b], nos da el area A(x) de laseccion transversal que pasa por el punto x. Si A es integrable, entonces el volumen del solido es∫b

a

A(x)dx.

7. PROBLEMAS PROPUESTOS 139

7. Problemas propuestos

7.1. Problemas sobre calculo de primitivas.

1. Calcula las siguientes integrales inmediatas:

a)∫

5√x3dx

b)∫3x2+2xx3+x2

dx

c)∫eln x

xdx

d)∫xsen(x2 + 1)dx

e)∫

x2√1−(x3−1)2

dx

2. Determina las siguientes integrales usando el metodo de cambio de variable:

a)∫

3x2+6x√x3+3x2

dx,

b)∫x√1+ 5x2dx,

c)∫

sen2x cos xdx,

d)∫ cos(ln x)

xdx,

e)∫(1+ cos x)3senxdx,

f )∫

cos x1+sen2x

dx,

g)∫

3x2+2(x3+2x−1)2

dx,

h)∫

e−2x

1+e−4xdx,

i)∫

e2x√1−e4x

dx.

3. Halla las siguientes integrales usando el metodo de integracion por partes:

a)∫

arc tg xdx,b)∫x2 cos xdx,

c)∫ex cos xdx,

d)∫

ln xdx,e)∫

sen2xdx,

f )∫x√1+ xdx,

g)∫

cos3 xdx,h)∫x3exdx.

i)∫x2 · ln x dx

(Solucion: x3

3ln x− x3

9+ C)

j )∫

sen3 x dx

(Solucion: − cos x+cos3 x

3+ C)

k)∫x · arc tg x dx

(Solucion: 12(x2 + 1) arc tg x− x

2+ C)

l)∫

x ex

(x+1)2dx

(Solucion: −xex

(x+1)+ ex + C)

m)∫ ln(sen x)

cos2 xdx

(Solucion: ln (sen x) · tg x− x+ C)n)∫x · tg2(x)dx

(Solucion: x tg x+ ln |cos x|− x2

2+ C)

n)∫

sen (ln x)dx

(Solucion: x·[sen(ln x)−cos(ln x)]2

+ C)

o)∫x ·√1+ xdx

(Solucion: 2(6−x)(1+x)√1+x

15+ C)

4. Resuelve las siguientes integrales racionales:

a)∫

5x2−19x+2x3−2x2−5x+6

dx,

b)∫

x2+1x3+x2−2x

dx,

c)∫

dxx2−1

,

d)∫

dxx(x−1)2

,

e)∫

x2+3x−2(x+1)2(x+2)2

dx,

f )∫x3+2x−1dx,

g)∫x4−3x3+4x2−3x−3

x2−2x+1dx,

h)∫

dxx(x2+x+1)

,

i)∫

x3+1x2−4x+5

dx,

j )∫2x−7x2+6

dx.

k)∫

x3

x2−4dx

(Solucion: 12x2 + 2 ln(x2 − 4) + C)

l)∫

x2−4xx2−5x+6

dx

(Solucion: x+ ln(

|x−2|4

|x−3|3

)+ C)

7. PROBLEMAS PROPUESTOS 140

m)∫

x+1x3+x2−6x

dx

(Solucion: −16

ln |x|− 25

ln |x+ 3|+ 310

ln |x− 2|+ C)

n)∫

3x+5x3−x2−x+1

dx

(Solucion: −4(x−1)

− 12

ln |x− 1|+ 12

ln |x+ 1|+ C)

n)∫

x3

(x+1)3dx

(Solucion: x− 3 ln |x+ 1|+ 3x+1

+ 1

2(x+1)2+ C)

o)∫2x−7x2+9

dx

(Solucion: ln∣∣x2 + 9∣∣− 7

3arc tg

(x3

)+ C)

p)∫

12x2+2x+5

dx

(Solucion: 13

arc tg(23

(x+ 1

2

))+ C)

q)∫

x3+1x2−4x+5

dx

(Solucion: x2

2+ 4x+ 11

2ln∣∣x2 − 4x+ 5∣∣+ 3 arc tg (x− 2) + C)

r)∫

8x2+19x+75x3+4x2+x−26

dx

(Solucion: 5 ln |x− 2|+ 32

ln∣∣x2 + 6x+ 13∣∣− 7 arc tg

(x+32

)+ C)

s)∫

1x3+1

dx

(Solucion: 13

ln |x+ 1|− 16

ln∣∣x2 − x+ 1∣∣+ √

33

arc tg(1√3· (2x− 1)

)+ C)

t)∫

7x3+x2−23x−65x4+6x3+12x2−6x−13

dx

(Solucion: 3 ln |x+ 1|− 2 ln |x− 1|+ 3 ln∣∣x2 + 6x+ 13∣∣− 9 arc tg

(x+32

)+ C)

u)∫

1x4+2x2+1

dx

(Solucion: x2(x2+1)

+ 12

arc tg x+ C)

5. Calcula las siguientes integrales trigonometricas:

a)∫

dxsenx+2 cos x

b)∫

dx1+senx+cos x

c)∫√

1+ cos 2xdxd)∫(senx)2dx

e)∫

cos5 xdxf )∫

sen x1+sen2 x

dx

(Solucion:√24

ln∣∣∣ cos x−√2cos x+

√2

∣∣∣+ C)

g)∫

sen3 x · cos2 x dx

(Solucion: − cos3 x3

+ cos5 x5

+ C)

h)∫

sen4 x · cos5 x dx

(Solucion: sen5 x5

− 2 sen7 x7

+ sen9 x9

+ C)

i)∫

sen(√x)dx

(Sol.: 2 sen(√x)− 2√x cos

(√x)+ C)

j )∫

cos4 xdxsen x

(Solucion: ln∣∣ 1−cos x

sen x

∣∣+ cos x− cos3 x3

+ C)

k)∫ 1

1+ cos xdx

(Solucion: − cotg x+ cosec x+ C)

6. Calcula∫√

25− x2 dx

(Solucion: 12x ·√25− x2 + 25

2arc sen

(x5

)+ C)

7. Calcula la integral irracional cuadratica

∫x+√x2 − 2x+ 4

1+√x2 − 2x+ 4

dx utilizando el cambio de va-

riable dado por la expresion√x2 − 2x+ 4 = t x+

√4.

(Solucion: x+√x2 − 2x+ 4− ln

∣∣∣1+√x2 − 2x+ 4∣∣∣+ 2+ C)

7.2. Problemas sobre la integral de Riemann.

7. PROBLEMAS PROPUESTOS 141

8. Aplica el Teorema Fundamental del Calculo Integral, para calcular la derivada de las si-guientes funciones:a) F(x) =

∫x0

sen t · dt. Solucion: F′(x) = sen x.

b) F(x) =∫x20

√1+ t2dt. Solucion: F′(x) = x+2x5√

1+x4.

c) F(x) =∫x3x2

dt√1+ t4

. Solucion: F′(x) = x(

−2√1+x8

+ 3x√1+x12

)d) F(t) =

∫t2+ln t

1e−x

2dx. Solucion: F′(t) = 0.

e) F(x) =∫tg xsen x

dtsen t

. Solucion: F′(x) = − cos(x) cosec(sen x) + cosec(tg x) sec2(x).9. Sea f una funcion derivable en todo R. Se considera la funcion real F : R→ R definida por:

F(x) =

∫ x2−3x+20

f(t)dt, ∀x ∈ R.

Demostrar que F admite derivada primera y segunda y calcular la expresion de dichasderivadas.

7.3. Problemas sobre integrales impropias.

10. Calcular la siguientes integrales impropias:

a)∫+∞−∞ 1

1+x2dx (Solucion: π)

b)∫1−1

1√1−x2

dx (Solucion: π)

c)∫30

1√9−x2

dx (Solucion: π/2)

d)∫ π2

0cos x√1−sen x

dx (Solucion: 2)

e)∫+∞−∞ 1

ex+e−xdx (Solucion: π/2)

f )∫+∞0

e−√x

√xdx (Solucion: 2)

g)∫+∞2

1x(ln x)2

dx (Solucion: 1ln(2)

)

7.4. Problemas sobre las aplicaciones de la integral al calculo de areas, volumenesy longitudes.

11. Calcula el area de la region del plano limitado por las curvas:a) La curva y =

√2x+ 1, el eje de abcisas y las rectas x = 0 y x = 4.

b) La parabola de ecuacion y = −x2 + 3x+ 10 y el eje de abcisas.c) La curva y =

√x, la recta 4y+ x− 12 = 0 y el eje de abcisas.

d) La curva y = x3 − 16x y el eje de abcisas.e) Las curvas y = x4 − 2x2 e y = 2x2.f ) Las curvas y = 6x− x2 e y = x2 − 2x.g) Las curvas y2 = 4x e y = 2x− 4.h) Las curvas x2 = 2y e x2 + y2 = 8.

12. Calcula el volumen del solido de revolucion formado al girar la region acotada por la graficade la curva y =

√senx y el eje de abcisas desde x = 0 y x = π.

13. Calcula el volumen de revolucion generado en la rotacion del area limitado por la curvay = −x2 − 3x+ 6 y la recta y = −x+ 3 alrededor de la recta y = 0.

14. La circunferencia x2+y2 = 4 gira alrededor de la recta y = −2. Halla el area de la superficieengendrada.

15. Encontrar el area de la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el arco de curvay = x3 entre x = 0 y x = 1.

16. Halla la longitud del arco de curva 9x2 = 4y3 limitada por (0, 0) y (2√3, 3).

17. Calcula la longitud del arco de curva y = x32 entre los puntos (0, 0) y (4, 8).