mata kuliah matematika teknik 2 - gunadarma...
TRANSCRIPT
![Page 1: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/1.jpg)
“Vektor dan Operasi Aljabar Vektor dalam R3”
Ady Daryanto SP MSi
E-mail : [email protected]
Hp : 0813-1415-8676
MATA KULIAH
MATEMATIKA TEKNIK 2
[KODE/SKS : KD042216 / 2 SKS]
![Page 2: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/2.jpg)
Vektor dan Operasi Aljabar Vektor dalam R3
Pengertian vektor secara geometri.
Sistem koordinat dalam dimensi 3 (R3).
Vektor dalam R3 .
Panjang vektor dan vektor satuan.
Sudut antara dua vektor.
Vektor proyeksi.
![Page 3: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/3.jpg)
SKALAR DAN VEKTOR
Skalar
Merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
tertentu.
Contoh : massa, volume, temperatur, energi.
Vektor
Merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan
arah tertentu.
Contoh : gaya, kecepatan, percepatan.
![Page 4: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/4.jpg)
Vektor
: Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah.
Contoh: Gaya, Kecepatan, Percepatan.
Secara geometri
Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarahpada bidang atau ruang, dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung) vektortersebut. (contoh (a))
Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen. (contoh (b))
aA
B
ABa
(a) (b)
![Page 5: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/6.jpg)
Secara aljabar
Misalkan u vektor di R2 u =(u1, u2), dimana u1, u2 ε R
Misalkan v vektor di R3 v =(v1, v2, v3), dimana v1, v2, v3 ε R
u1, u2 disebut komponen u, sedangkan v1, v2, v3 disebutkomponen v
Dua vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar danarahnya sama atau dengan kata lain komponen yang bersesuaian sama
Misal: Diketahui u =(u1, u2) dan w =(w1, w2)
u = w u1= w1 dan u2 = w2
Vektor
![Page 7: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/7.jpg)
Vektor Posisi
Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik
asal koordinat
A=(x1, y1)
O
=(x1, y1) vektor
posisi titik AOA
a
x
y
![Page 8: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/8.jpg)
Operasi Vektor
Penjumlahan
Misal )y,x(u 11
)y,x(w 22
dan vektor di R2, maka
),( 2121 yyxxwu
Secara geometri
wu
w
u
x
y
![Page 9: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/10.jpg)
Pengurangan
Misal )y,x(u 11
)y,x(w 22
dan vektor di R2, maka
)yy,xx()w(uwu 2121
Secara geometri
wu
w
u
x
y
w
Operasi Vektor
![Page 11: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/11.jpg)
Hitunglah
![Page 12: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/12.jpg)
SISTEM KOORDINAT DALAM DIMENSI R3
Titik
dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z
P(x, y, z)
Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)
![Page 13: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/13.jpg)
P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)
![Page 14: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/14.jpg)
SISTEM KOORDINAT DALAM DIMENSI R3
Vektor
Dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az
Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az
vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang
![Page 15: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/15.jpg)
• Vektor Posisi Dimensi R3
zyx
zyx
aaaQr
aaaPr
22
32
• Vektor antara 2 titik
zyx
zyxQPPQ
a2a4a
a)31(a)22(a)12(rrR
![Page 16: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/21.jpg)
Perkalian titik
:Hasilnya skalar
uProyeksi v pada u
uv
v
Proyeksi u pada v
uvuv
vuvu
uv
uv
cos
cos
Operasi Vektor
![Page 22: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/24.jpg)
Tugas 1
No Besaran Skalar Satuan SI Besaran Vektor Satuan SI
1 Massa Kg Gaya Newton (kg m/s2)
2 Volume m3 Kecepatan m/s
3 Temperatur Kelvin Percepatan m/s2
4 Energi Joule (J) Medan Listrik ….
Dst
.. … … … …
15
Keterangan
SI: Standar Internasional
![Page 25: MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 2 - Gunadarma Universityadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/49545/1.+Vektor... · Setiap vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c80716f09d3f2ea298cd3b6/html5/thumbnails/25.jpg)